Cálculo II _ Séries

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Séries Infinitas
Séries Geométricas
	São exemplos de seqüências geométricas:
2, 4, 8, 16, 32, ...
1, 2/3, 4/9, 8/27, 16/81, ...
a, ar, ar2, ar3, ...
	O exemplo (a) pode representar uma população de bactérias em intervalos de tempo iguais numa cultura sem limites.
	O exemplo (b) pode representar a altura que uma bola salta ao bater sucessivamente numa superfície horizontal.
Qual seria a distância total percorrida por uma bola solta de 1 metro de altura enquanto salta “infinitas” vezes? Procure fazer o cálculo. (Lembre ou deduza a fórmula da soma de uma progressão geométrica de n termos.) – Sugestão: Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ... + ar(n  1). Multiplique Sn por r e subtraia Sn. O que acontece se |r| < 1? Como fica a fórmula da soma para infinitos termos de Sn e |r| < 1?
	A soma feita acima contém uma série geométrica infinita: Sn = 2/3 + 4/9 + ... + (2/3)n + ...
	Uma soma de termos de uma seqüência geométrica é chamada de série geométrica, e pode ser escrita na forma: a + ar + ar2 + ar3 + ... + ar(n  1) + ...
A soma de uma série geométrica (se existir – isto é se for um número finito definido) é por definição:
 onde Sn é a soma de n termos da série. Como obtido acima, uma série geométrica tem uma soma se e somente se |r| < 1, e nestes caso: 
. (1.1)
Uma série que possui uma soma é chamada de convergente.
Problemas:
Podemos escrever 1/3 = 0,33333... = 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ... . Qualquer fração cujo equivalente decimal é repetitivo e infinito, pode ser escrito como uma série geométrica infinita. Use (1.1) para obter as frações equivalentes às dízimas periódicas.
(a) 0,11111...		(b) 0,02020202...		(c) 0,77777...		(d) 0,12454545...
(e) 0,363363363363...	(f) 0,00757575...
Em um processo de purificação de água, 1/n da impureza é removida no primeiro estágio. Em cada estágio sucessivo a quantidade de impureza removida é 1/n da impureza removida no estágio anterior. Mostre que se n = 2, a água pode ser tornada tão pura quanto se desejar, mas se n = 3, pelo menos metade da impureza irá permanecer na água não importa quantos estágios se utilizem.
Definições e Notação
	Há muitos outros tipos de séries, além das geométricas. Alguns exemplos:
12 + 22 + 32 + 42 + ...
1/2 + 2/22 + 3/23 + 4/24 + ...
x – x2/2 + x3/4 – x4/4 + ...
	Em geral uma série infinita quer dizer uma expressão da forma
a1 + a2 + a3 + ... + an + ...
onde os an ’s são números ou funções dados por alguma fórmula ou regra. As reticências significam que a série nunca termina. Os termos continuam de acordo com a lei de formação, que é suposta evidente quando se chegam às reticências. Caso possa haver alguma dúvida quanto à regra de formação, um termo geral é escrito como nos exemplos abaixo:
12 + 22 + 32 + ... + n2 + ..., 
Uma série também pode ser escrita de uma forma abreviada usando o sinal de somatório  seguido pela fórmula do termo geral. Exemplos:
Problemas:
É útil escrever séries tanto na forma a1 + a2 + a3 + ... quanto na forma 
. Escreva vários termos das seguintes séries:
(a) 
		(b) 
		(c) 
		(d) 
(e) 
	(f) 
Escreva as seguintes séries na forma abreviada (com somatório):
(a) 1/3 + 2/5 + 4/7 + 8/9 + 16/11 + ...		(b) 1/(2.3) + 1/(3.4) + 1/(4.5) + 1/(5.6) + ...
(c) 1/4 – 1/9 + 1/16 – 1/25 + ...			(d) 1/7 + 2/9 + 3/11 + 4/13 + ...
(e) 1/4 – 1/8 + 1/16 – 1/32 + ...			(f) (ln 2)/2 – (ln 3)/3 + (ln4)/4 – (ln 5)/5 + ...
Aplicações de Séries
Problema: No exemplo da bola saltitante, calcule a distância percorrida por ela até o décimo toque no chão. Compare com o resultado com a soma infinita.
	A base do uso de séries infinitas em aplicações é este fato de que algumas dão um resultado aproximado de boa precisão após a soma de um número definido de termos. Muitos problemas não podem ser resolvidos em termos das chamadas funções elementares (potências, raízes, funções trigonométricas e suas inversas, logarítmos exponenciais, e combinações destas). Mesmo funções que podem ser resolvidas por funções elementares podem ser muito complicadas de se lidar. Nestes casos, às vezes podemos encontrar a resposta em termos de uma série infinita, e então usar tantos termos quantos necessários para obter a resposta com a precisão desejada.
Exemplo: a integral definida 
 para a qual não é possível obter o resultado em termos de funções elementares, pode ser calculada expandindo o integrando em uma série e então integrando termo a termo. Iremos apreender como representar funções por meio de séries. Freqüentemente uma função complicada pode ser aproximada por uns poucos termos de suas séries.
Séries Convergentes e Divergentes
	Se uma série tem uma soma finita é chamada de convergente. Caso a soma não tenha valor definido ou seu limite tenda ao infinito é chamada de divergente. Operações com séries não convergentes ou suas aplicações podem levar a resultados absurdos. É portanto importante poder verificar se uma série é convergente.
Seja uma série dada por a1 + a2 + a3 + ... + an + ... 
As somas: S1 = a1	S2 = a1 + a2	...	Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an
são chamadas de somas parciais da série.
Se 
 onde S é um número finito podemos fazer as seguintes definições:
Se a soma parcial Sn de uma série infinita tende a um limite S, a série é dita convergente. Usaremos o termo divergente para significar não convergente.
O valor limite S é chamada de soma da série.
A diferença Rn = S – Sn é chamada de resto (ou resto após n termos). Podemos ver que: 
4.1 Testando a convergência de uma série; o teste preliminar
	Serão considerados alguns testes simples de convergência de uma série. Estes testes ilustram algumas das idéias envolvidas e funcionam para vários casos, mas não todos.
Teste preliminar: se os termos de uma série infinita não tendem a zero, a série diverge. Este teste não pode dizer se uma série converge.
Exemplo: 1/2 + 2/3 + 3/4 + 4/5 + ... não converge pois seus termos se aproximam de 1. Após esta verificação não é preciso fazer mais nenhum teste.
4.2 Testes de convergência para séries de termos positivos; convergência absoluta
	Serão considerados 3 testes úteis para séries com todos termos positivos. Se alguns termos não forem positivos podemos ainda considerar outra série cujos termos tem o valor absoluto da série original. Se esta nova série converge dizemos que a série original é absolutamente convergente. Pode-se mostrar que uma série é absolutamente convergente então ela converge.
Teste da comparação
	Seja m1 + m2 + m3 + ... + mn + ... uma série de termos positivos que sabidamente converge. Então a série que está sendo testada a1 + a2 + a3 + ... + an + ... é absolutamente convergente se |an|  mn para todos valores de n (exceto para um número finito de termos).
Exemplo. Testar a convergência da série 
 comparando-a com a série geométrica 
 que sabemos ser convergente.
Teste da Integral
	Dada uma série 
 onde an é uma função de n, consideramos n uma variável contínua e verificamos a integral 
. Se a integral for finita a série converge, e se a integral for infinita, a série diverge. (Basta calcular o valor da integral no limite superior)
Visualize o significado deste teste usando-o na série harmônica: 
.
	O teste da integral depende de ser possível integrar andn; e isto nem sempre é fácil. O teste a seguir pode muitas vezes ser usado nestes casos.
Teste da razão
	Lembrando que na série geométrica cada termo pode ser obtido multiplicando o termo anterior pela razão r. Ou seja an+1 = ran ou an+1/an = r. Para outras séries a razão an+1/an depende de n; seja n o valor absoluto desta razão e  o limite (se houver) desta razão para n  .
Lembrando ainda que uma série geométrica converge se |r| < 1, é plausível que uma série com  < 1 deva convergir, e isto é verdade. Da mesma forma que uma série geométrica diverge se |r| > 1, uma série com  > 1 tambémdiverge. Mas se  = 1 o teste da razão não pode prever se a série converge ou não.
Exemplos
Testar a convergência da série: 
Testar a convergência da série harmônica: 
Exercícios
 Uma definição matemática cuidadosa de uma série infinita convergente com soma S é: Dado um pequeno número positivo qualquer (usualmente denominado  pelos matemáticos), é possível encontrar um inteiro N tal que |S – Sn| <  para todo n > N. Em outras palavras isto quer dizer que não importa quão pequeno seja  todas as somas parciais Sn diferem menos que  da soma final S . Selecione algum  e obtenha o N correspondente para as seguintes séries. (Em a, b, c obtenha primeiro S)
(a) 
		(b) 
 (Sugestão: 
)
 (Sugestão: 
 quando n > 3; portanto o resto 
 é menor do que o resto de uma série geométrica.)
Já provamos pelo teste da integral que a série harmônica 
 é divergente. Prove outra vez usando o teste da comparação usando a série:
1 + 1/2 + (1/4 + 1/4) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8) + (8 termos iguais a 1/16) + ... que é igual a
1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ...
Use o teste da Integral para descobrir se as séries seguintes convergem ou divergem. (Sugestão e advertência – não use o limite inferior das integrais.)
(a) 
		(b) 
		(c) 
		(d) 
Use o teste da integral para provar o seguinte teste da chamada série p. A série 
 
é 
 (Cuidado: Faça o caso p = 1 separadamente.
Use o teste da razão para verificar a convergência das séries:
(a) 
		(b) 
		(c) 
(d) 
		(e) 
		(f) 
Séries com sinal alternante
	Quando se trata com uma série de sinais alternantes, deve-se verificar se:
a série converge absolutamente.
a série converge?
Exemplo: 1 –1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 - ... + (-1)n+1 + ...
Não converge absolutamente pois se o sinal negativo não é considerado temos a série harmônica que não converge. Se fosse absolutamente convergente não seria necessário fazer a 2a questão, mas neste caso ainda vamos perguntar se a série converge quando se consideram os sinais negativos.
Teste para série convergente
Uma série alternante converge se o valor absoluto dos termos decresce continuamente para zero.
|an+1| < |an| e 
Mostre que o exemplo acima converge.
5.1 Séries Condicionalmente Convergentes
	Uma série como a anterior que converge mas não é absolutamente convergente, é chamada de condicionalmente convergente. Deve-se tomar cuidado ao lidar com séries condicionalmente convergentes pois um rearranjo nos termos da série pode alterar o resultado da soma.
Fatos úteis acerca de séries
A convergência ou divergência de uma série não é afetada pela multiplicação de cada termo pela mesma constante. Também não é afetada pela alteração de um número finito de termos.
Duas séries convergentes 
 e 
 podem ser adicionadas termo a termo. A série resultante é convergente e sua soma é obtida por adicionar as somas das duas séries dadas.
Os termos de uma série absolutamente convergente podem ser rearranjados em qualquer ordem sem afetar a convergência ou a soma. Isto deixa de ser verdade para séries condicionalmente convergentes.
Séries de Potências; Intervalo de Convergência
	Séries com termos que são funções de x são bastante úteis. Uma classe destas tem o enésimo termo igual a uma constante multiplicada por xn. Estas são chamadas de séries de potências.
A forma geral de uma série destas é: 
	A convergência de uma série de potências depende do valor de x que está sendo considerado. Freqüentemente se usa o teste da razão para achar os valores de x para os quais a série converge.
Exercícios
Verifique a convergência das séries usando o teste da razão
(a) 
		(b) 
		(c) 
Respostas: As séries convergem para: (a) –2 < x < 2		(b) –1 < x  1		(c) todo x
Ache o intervalo de convergência de cada uma das seguintes séries de potências. Certifique-se de investigar os extremos do intervalo em cada caso.
(a) 
		(b) 
		(c) 
		(d) 
(e) 
		(f) 
		(g) 
			(h) 
7.1 Teoremas acerca de Séries de Potências
Uma série de potências pode ser diferenciada ou integrada termo a termo; a série resultante converge para a derivada ou a integral da função representada pela série original dentro do mesmo intervalo de convergência da série original.
Duas séries de potências podem ser adicionadas, subtraídas ou multiplicadas; a série resultante converge pelo menos no intervalo comum de convergência.
Uma série pode ser substituída em outra desde que os valores da série substituída estejam no intervalo de convergência da outra série.
A série de potências de uma função é única. Isto é, há apenas uma série da forma 
 que converge para uma dada função.
Expandindo funções em séries de potências
	Vamos ilustrar um método de obter uma série de potências de uma função para o caso de sen x.
Seja sen x = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn + ... (8.1)
O intervalo de convergência de uma série de potências contém a origem, a série acima deve valer para x = 0.
Substituindo x = 0 em (8.1) obtemos 0 = a0.
Diferenciando (8.1) termo a termo obtemos: cos x = a1 +2a2x + 3a3x2 + ... + nanxn-1 + ... (8.2)
Substituindo novamente x = 0 em (8.2) obtemos 1 = a1.
Diferenciando outra vez e fazendo x = 0 obtemos: - sen x = 2a2 + 3.2a3x + 4.3a4x2 + ... (14.3) e 0 = 2a2
Continuando o processo obtém-se –1 = 3!a3 de onde a3 = -1/3!; a4 = 0; a5 = 1/5! ...
Assim se obtém: 
De um modo geral pode-se expandir uma função em potências de (x – a) (em vez de x), e substituindo x = a em vez de x = 0. Assim teremos:
 (8.3)
Esta é a chamada série de Taylor para a função f(x) em torno de x = a.
Se fazemos a = 0 em (14.3) obtemos a série de Maclaurin para f(x).
Exercícios
Obtenha as séries de Maclaurin para as funções:
i) cos x		ii) ex		iii) ln(1 + x)		iv) (1 + x)p onde p é qualquer número real.
Verifique o intervalo de convergências das séries obtidas (inclusive a série para sen x).
Lembrando que i2 = -1, obtenha a série de Maclaurin para eix. Compare-a com as séries das funções seno e coseno. Pode concluir que eix = (cos x + i sen x)?
Técnicas para obter séries de potências
	É conveniente memorizar as séries para as funções do exercício 12. A partir destas pode-se obter outras por:
Multiplicação de uma série por um polinômio ou outra série
Exemplo1: Obter a série para (x + 1) sen x
Exemplo 2: Obter a série para ex cos x - neste caso deve-se procurar ajuntar os termos envolvendo a mesma potência de x .
Divisão de duas séries ou de uma série por um polinômio
Exemplo 1: 1/x ln(1 + x) = 1/x (x – x2/2 + x3/3 – x4/4 + ... )
Exemplo 2: Para achar a série de 1/(1 + x) faz-se a divisão longa:
1				|1 + x_____________________________ 
1 + x				 1 – x + x2 – x3 ...
 -x
 -x – x2
	 x2
	 x2 + x3
		-x3, etc.
Exemplo 3: Para achar a série de tan x divide-se a série de sen x pela série de cos x.
Série binomial
Se lembrarmos da fórmula do binômio de Newton (a + b)n , ao fazer a = 1, b = x , e n = p veremos que a série obtida no exercício 12 iv) é semelhante a ela no início. A diferença é que agora p pode ser fracionário ou negativo, e nestes casos a expansão é uma série infinita.
Exemplo 1: Ache de novo a série para 1/(1 + x) = (1 + x)-1 usando a fórmula do binômio.
Substituição de um polinômio ou uma série para a variável em outra série
Exemplo 1: Ache a série para 
.
Combinação de métodos
Exemplo: Ache a série para arc tan x, sabendo que 
.
Usando a fórmula do binomial ache a série para 1/(1 + x2) e depois integre esta série termo a termo.
Obtenha as séries de Maclaurin para as funções:
(a) (1 + x)/(1 – x)		(b) sen x2		(c) 
	(d) 
(e) 
		(f) 
		(g) 
		(h) 
Convergência e precisão em cálculos
	Para verificar se a soma parcial de uma série que representa uma função resulta num valor suficientemente preciso em uma aplicação é interessante poder avaliaro resto da soma.
	Suponha que f(x) é expandido em sua série de Maclaurin 
. Então os coeficientes an são: 
. Pode-se mostrar que o resto Rn(x) = f(x) – (ao + a1x + ... + anxn) ao se calcular f(x) para x = b, usando os termos da série até xn , satisfaz a desigualdade:
 (10.1)
Algumas aplicações de séries
Cálculos numéricos
	Na falta de tabelas ou calculadoras científicas (ou para programar rotinas de calculadoras científicas), pode-se utilizar séries que convergem rapidamente.
Exemplo 1: Obter 
.
Fazemos 999 = 1000 – 1 = 1000(1 – 10-3) e expandimos 
 numa série binomial. Substituindo x = -10-3, n = -1/3 no resultado do exercício 12 iv), obtemos:
então 
Pode-se verificar pela avaliação do resto (eq. 10.1), que este resultado é preciso até a nona casa decimal.
Exemplo 2: Calcular o valor de sen 0,1 (ângulo em radianos – naturalmente)
Verifique que ao somar o terceiro termo da série já temos uma boa aproximação com 9 casas decimais.
Avaliação de integrais definidas
Exemplo: As integrais de Fresnel (integrais de sen2x e cos2x) ocorrem em problemas de difração de Fresnel em óptica.
Aproximação por séries
Quando um problema em equações diferenciais ou física é muito difícil em sua forma exata, podemos obter uma resposta aproximada substituindo uma ou mais funções do problema por uns poucos termos de sua série infinita.
Exemplo: Ao resolver o problema de um pêndulo simples obtém-se a equação: 
, onde  é o ângulo entre o ponto de equilíbrio e a posição do pêndulo e l seu comprimento. Como veremos adiante, esta equação não pode ser resolvida em termos e funções elementares. Entretanto como sen  =  – 1/3! 3 + ...e como a série converge rapidamente para  pequeno, podemos aproximar a equação por: 
 cuja solução é: 
 como pode ser verificado, e podemos dizer que um pêndulo realiza um movimento harmônico.
Calcule as seguintes quantidades com pelo menos 3 casas decimais:
(a) sen (1/2)		(b) e0,2		(c) 
 (este tipo de cálculo é muito utilizado em estatística)		(d) (1,002)25	(e) 1/1,01
Use séries de Maclaurin para calcular os limites:
(a) 
		(b) 
A velocidade v de elétrons acelerados a grandes energias é muito próxima da velocidade da luz. Dada a voltagem V do acelerador, desejamos calcular a razão v/c. A fórmula relativística para o cálculo é: 
, com V em milhões de Volts. Use dois termos da série binomial para obter v/c se
						Calculadora		2 termos da série
V = 100 milhões de Volts 		Resp. 0,9999874999219		0,9999875
V = 500 milhões de Volts		Resp. 0,9999994999999		0,9999995
V = 25000 milhões de Volts.		Resp. 0,9999999998		0,9999999998
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