Lista de exercícios - Derivadas

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Ca´lculo I
Bacharelado em Cieˆncias e Tecnologia - 2010 - Fe´rias
(1a Lista de Exerc´ıcios)
1. Usando a fo´rmula
df
dx
= lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
,
encontre a derivada das func¸o˜es dadas
(a) f(x) = 4x2 + 5x+ 3
(b) f(x) =
√
3x+ 5
(c) f(x) = 1
x+1
(d) f(x) = 3
x2+1
2. Verifique se f e´ cont´ınua e deriva´vel no ponto x0 = 0, sendo:
f(x) =

x2 + sen(x), se x > 0
x5 + 4x3, se x < 0
0, se x = 0
Resposta: cont´ınua mas na˜o deriva´vel em x0 = 0.
3. Calcule f ′(x) para as func¸o˜es abaixo
(a) cosh(x) = e
x+e−x
2
(b) senh(x) = e
x−e−x
2
(c) f(x) = x+1
x−1
(d) f(x) = e1/x
2
+ 1
ex2
(e) f(x) = xe + ex +
log2(x
2)
(f) f(x) = ln(arctg(x))
(g) f(x) = ln(x +√
x2 + 1)
(h) f(x) = (cos2(x) +
1)sen(x)
(i) f(x) = cot(3x2 + 5)
(j) f(x) =
3√x2cos(x)
(x4+tg2(x)+1)2
(k) f(x) =
√
cos−1(x2) + 2cos2(3x)
4. Uma part´ıcula move-se ao longo de uma reta de acordo com a equac¸a˜o de moveimento
s =
t2
2
+
4t
t+ 1
onde s e´ a distaˆncia desde a origem, em m, em t segundos. Encontre a velocidade
(em m/s), a distaˆncia percorrida e o tempo quando a acelerac¸a˜o e´ nula. Resposta:
t = 1s, s = 1m, v = 2m/s
5. Mostre que a taxa de variac¸a˜o do volume de uma esfera em relac¸a˜o ao seu raio e´
numericamente igual a` a´rea da esfera.
1
6. Seja f(x) = x2 − x. Determine a equac¸a˜o da reta tangente no ponto de abscissa 0.
Resposta: y = −x
7. Seja f(x) = 2x + 1. Determine a equac¸a˜o da reta tangente no ponto de abscissa 3.
Resposta: y = 2x+ 1
8. Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a` hipe´rbole x
2
4
− y2
9
= 1 no ponto (x0, y0).
Resposta: xx0
a2
− yy0
b2
= 1
9. Sejam f(x) = x3 + 5x − 6 e g a func¸a˜o inversa de f . Admitindo g deriva´vel ate´
segunda ordem, calcule g′(x) e g′(0) Resposta g′(0) = 1
8
10. Achar, caso existam, os valores ma´ximo e mı´nimo de:
(a) f(x) = sen(x)− cos(x), x ∈ [0, pi] Resposta: −1,√2
(b) f(x) =
√
3 + 2x− x3,−1
2
≤ x ≤ 1 Resposta:
√
17
8
,
√
3 +
√
32
27
(c) f(x) = 1
x
+ ln(x), 1
2
≤ x ≤ 4 Resposta: 4, 1
11. Esboce o gra´fico das func¸o˜es abaixo e deˆ as ass´ıntotas, quando existirem:
(a) f(x) = x3−x2−x+1
(b) f(x) = x4 + 2x+ 1
(c) f(x) = x
x2+1
(d) f(x) = x
3
x2−1
(e) f(x) =
(
3− 6
x
)
e2/x
(f) f(x) =
√
4x2 + x+ 1
(g) f(x) = x
2−1
x2−4
(h) f(x) = 3
√
x3 − x2
12. Seja f uma func¸a˜o cuja derivada tem gra´fico esboc¸ado na figura abaixo:
64 5321−1
−2
y = f ′(x)
y
x
(a) Em que intervalos f e´ crescente ou decrescente?
(b) Para quais valores de x f tem um ma´ximo ou mı´nimo local?
(c) Em que intervalos f tem concavidade para cima ou para baixo?
(d) Ache os pontos de inflexa˜o de f .
(e) Assumindo que f seja cont´ınua e que f(0) = 0, esboce o gra´fico de f .
2
13. Seja y = cos(ωt), ω constante. Verifique que
d2y
dt2
+ ω2y = 0.
14. A func¸a˜o y = f(x) e´ dada implicitamente pela equac¸a˜o xy + 3 = 2x. Mostre que
dy
dx
= 2−y
x
. Calcule dy
dx
∣∣
x=2
.
15. Dada 4x2 + 9y2 = 36 encontre a derivada segunda por meio de derivac¸a˜o impl´ıcita.
Resposta: − 16
9y3
16. Determine a constante a tal que f(x) = x2 + a
x
tenha:
• Um mı´nimo local em x = 2.
• Um mı´nimo local em x = −3.
• Mostre que f na˜o tera´ ma´ximo local para nenhum valor de a.
Resposta: (a) 16; (b) -54.
17. Calcule, caso exista
(a) limx→0
(
1
1−cos(x) − 2x2
)
Resposta:
1/6
(b) limx→1 x
5−6x3+8x−3
x4−1 Resposta: −5/4
(c) limx→0+
(
1
x
− ln(x)) Resposta: +∞
(d) limx→0+ x ln(x) Resposta: 0
(e) limx→0+ xx Resposta: 1
18. Utilizando a diferencial, calcule um valor aproximado para
√
1, 01. Resposta: ≈
1, 005′
19. Achar os pontos da hipe´rbole x2−y2 = 1 mais pro´ximos de (0, 1). Resposta:
(
±
√
5
2
, 1
2
)
20. Um arame de comprimento L deve ser cortado em 2 pedac¸os, um para formar um
quadrado e outro um triaˆngulo equila´tero. Como se deve cortar o arame para que
a soma das a´reas cercadas pelos dois pedac¸os seja mı´nima? Mostre que o lado do
quadrado, neste caso e´ 2/3 da altura do triaˆngulo. Resposta: O lado do quadrado e´√
3L
9+4
√
3
21. Um reservato´rio tem fundo horizontal e sec¸a˜o transversal como se mostra na figura.
Achar a inclinac¸a˜o dos lados com a vertical de modo a obter a ma´xima capacidade
deste reservato´rio.
3