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Lista de exercı´cios - Ca´lculo II
Professor Vinı´cius Leal do Forte
15/06/2015
1) Calcule o vetor gradiente das func¸o˜es:
(a) f(x, y) = sin(x2) + (y + 2)3 em (0, 0)
(b) f(x, y) = 1
x2+y2
em (1, 1)
(c) f(x, y, z) = xy2z3 em (1, 1, 1)
(d) f(x, y, z) = ln(r) em (0, 0, e), onde r = ‖ r‖ =√x2 + y2 + z2
2) Calcule as derivadas direcionais de f na direc¸a˜o u no ponto r nos casos:
(a) f(x, y) = x2 + y2, u = i+j√
2
, r = (
√
2
2
,
√
2
2
)
(b) f(x, y, z) = xy + xz + yz , u = i−j−k√
3
, r = (1, 1,−1)
(c) f(x, y, z) = 1
r
, u = 2i− 3j , r = (1, 1, 0)
(d) f(x, y) = ln(x2 + y2 + z2), u = i−j−k√
3
, r = (1, 3, 2)
(e) f(x, y) = e−3xcos3y, u = cos(− 1
12
pi)i+ sen(− 1
12
pi)j
(f) g(x, y, z) = cos2xcos3ysen4z, u = i−j+k√
3
, r = (pi
2
, 0, 0)
3) A densidade e´ ρ(x, y)kg/m2 em todos os pontos de um plano retangular no plano xy e ρ(x, y) =
1√
x2+y2+3
(a) Ache a taxa de variac¸a˜o da densidade no ponto (3, 2), na direc¸a˜o e sentido do vetor unita´rio
cos2
3
pii + sen2
3
pij.
(b) Ache a direc¸a˜o e o sentido e o valor da maior taxa de variac¸a˜o de ρ em (3, 2).
4) A temperatura e´ T (x, y) graus em qualquer ponto de uma placa retangular situada no plano xy e
T (x, y) = 3x2 + 2xy. A distaˆncia e´ medida em metros.
(a) Ache a taxa de variac¸a˜o ma´xima da temperatura no ponto (3,−6) da placa.
(b) Ache a direc¸a˜o e sentido em que a taxa de variac¸a˜o e´ ma´xima em (3,−6).
5) O potencial ele´trico e´ V (x, y) volts em qualquer ponto do plano xy e V (x, y) = e−2xcos2y. A
distaˆncia e´ medida em metros.
(a) Ache a taxa de variac¸a˜o do potencial no ponto (0, pi
4
), na direc¸a˜o do vetor cospi
6
i + senpi
6
j.
(b) Ache a direc¸a˜o e sentido e o valor da taxa de variac¸a˜o ma´xima de V em (0, pi
4
).
6) Determine os extremos relativos de f , se existirem.
(a) f(x, y) = x3 + y2 − 6x2 + y − 1
(b) f(x, y) = x2 − 4xy + y3 + 4y
1
(c) f(x, y) = x3 + y3 − 18xy
(d) f(x, y) = 2x+2y+1
x2+y2+1
(e) f(x, y) = senx+ seny, 0 ≤ x ≤ pi, 0 ≤ y ≤ pi
7) Suponha que a fabricac¸a˜o de um produto requer x horas por ma´quina e y horas por pessoa e
o custo de produc¸a˜o seja dado por f(x, y), onde f(x, y) = 2x3 − 6xy + y2 + 500. Determine o
nu´mero de ma´quinas-hora e pessoas-hora necessa´rias para que o custo seja mı´nimo.
8) Uma injec¸a˜o de x mg da droga A e y mg da droga B causa uma resposta de R unidades, e
R = x2y3(c − x − y), onde c e´ uma constante positiva. Que quantidade de cada droga causara´ a
resposta ma´xima.
9) Um disco circular e´ a regia˜o limitada pela circunfereˆncia x2 + y2 = 1. Se T gruas for a temper-
atura em qualquer ponto do disco e T = 2x2 + y2 − y, ache o poto mais quente e o ponto mais frio
do disco.
10) Uma companhia possui treˆs fa´bricas produzindo o mesmo produto. Se as fa´bricas A,B e C
produzem x, y e z unidades, respectivamente, seus custos de fabricac¸a˜o sa˜o (3x2+200), (y2+400)
e (2z2+300). Se um pedido de 1.100 unidades deve ser entregue, use o me´todo dos multiplicadores
de Lagrange para determinar como a pruduc¸a˜o deve ser distribuı´da entre as treˆs fa´bricas, a fim de
minimizar o custo total de fabricac¸a˜o.
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