LISTA CAL III SEG APLICAÇÕES DAS DERIVADAS PARCIAIS (1)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PROF: GREICIANE
LISTA DE EXERCÍCIOS - DIFERENCIAL TOTAL, DERIVADA DIRECIONAL E
TAXA DE VARIAÇÃO, DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR, MÁXIMOS E
MÍNIMOS.
1. Calcule a diferencial das funções nos pontos pedidos.
a) f(x, y) = 8xy − 4y−2, (0,1)
b) f(x, y) = sec(2xy), (0,0)
c) f(x, y) = ln(
x
y
, (1,1)
d) f(x, y) = e2xy−25 , (-1, 2)
e) f(x, y) = cot(x+ y), (π/2, 0)
2. Suponha que a temperatura em um ponto (x, y) do plano seja dada por T (x, y) =
80
1 + x2 + 2y2
, onde T é medida em graus Celsius e x, y em metros. Qual o incremento
da temperatura quando a posição varia de (1, 1) para (-3, 2)?
3. Verifique se a função f(x, y) =
x2 − y2
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0) e f(0, 0) = 0 é diferenciável
em (0,0).
4. Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos pontos pedidos.
a) f(x, y) = 34x8y−2 + 6x, (x,y) = (-2,1).
b) f(x, y) = sec(5x+ 2xy) , (x,y) = (0,0).
c) f(x, y) = e
3xy
4x+ 7xy , (x,y) = (1,0)
d) f(x, y) = xy
x2 − y2
x2 + y2
, (x, y) 6= (0, 0) e f(0, 0) = 0, (x, y) = (0, 0)
5. Verifique se as funções a seguir são diferenciáveis.
a) f(x, y) = 4xy2 − 13x2y
b) f(x, y) =
√
x2 + y2
c) f(x, y) = ln(xy + 1)
d) f(x, y) = e−2xy
e) f(x, y) = cos
x
y
6. Calcule as derivadas direcionais pedidas.
a) f(x, y) = ye−x no ponto (0, 4) e na direção de θ =
2π
3
1
b) f(x, y, z) =
√
xy no ponto (3,2) e na direção do versor de v = (−1,−2)
c) f(x, y) =
√
1 + x2 + y2 no ponto (2,2) e na direção do versor de v = (1, 2)
d) f(x, y) =
2
x2 + y2
no ponto (-1, 1) e na direção do versor de v = 2~i+ 3~j
7. A temperatura em um ponto (x, y) é T (x, y), medida em graus Celsius. Um inseto
rasteja, de modo que sua posição depois de t segundos seja dada por x =
√
1 + t e
y = 2 +
1
3
t, onde x e y são medidas em cent́ımetros. A função temperatura satisfaz
∂T (2, 3)
∂x
= 4 e
∂T (2, 3)
∂y
= 3. Quão rápido a temperatura aumenta no caminho do
inseto depois de 3 s?
8. A temperatura em qualquer ponto de uma placa plana é dada pela função T (x, y) =
54 − 2
3
x2 − 4y2. Ache a taxa de variação da temperatura em relação a distância
movida ao longo da placa nas direções dos eixos x e y, respectivamente, no ponto
(3, 1).
9. A densidade ρ(x, y) em uma placa retangular é dada por ρ(x, y) =
1√
x2 + y2 + 3
.
(a) Ache a taxa de variação da densidade no ponto (3, 2), na direção e sentido do
vetor unitário ~u = cos
2
3
π~i+ sin
2
3
π~j; (b) Calcule a direção e o valor da maior taxa
de variação de ρ em (3, 2).
10. Use a aproximação diferencial para calcular o valor da função f(x, y) = x(1 + y)−1
no ponto (7, 98, 2, 02).
11. Verifique se a função f(x, y) = x4 + y4 − 4xy + 1 possui pontos de mı́nimos locais,
pontos de máximos locais ou pontos de sela.
12. O ı́ndice de massa corpórea (IMC) é dado em função da altura e do peso pela
fórmula IMC =
m
h2
. Suponha que (m,h) = (34, 1,3), use a diferencial para estimar
o incremento na altura, mantendo o IMC constante e um incremento no peso para
35 kg.
13. O volume V de um cilindro circular reto é calculado usando os valores 3,5 m de
diâmetro e 6,2 m de altura. Use a diferencial para estimar o erro máximo no volume
se cada uma das dimensões tem erro máximo de 5%. (V =
1
2
πr2h)
2