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Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 5 1 5 FUNÇÃO EXPONENCIAL Inicia-se este capítulo com o estudo das equações e inequações exponenciais, que serão necessárias no desenvolvimento das funções exponenciais. 5.1 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS A equação exponencial é uma equação cuja incógnita encontra-se no expoente, como nos exemplos: 2x−5 = 16 e 7x 2−x = 1 A solução da equação exponencial pode ser realizada através de diferentes formas, como se estuda a seguir: a) Decomposição dos termos em uma mesma base Observe a resolução de alguns exemplos: 1) 2x+1 = 8 (Decompor 8 na base 2 para igualar as bases). 2x+1 = 23 (Desconsiderar as bases igualando somente os expoentes). x + 1 = 3 x = 2, logo V = {2} 2) 32x = 1 9 (Decompor 9 na base 3). 32x = 1 32 (Aplicar a propriedade 1 an = a−n). 32x = 3−2 (Desconsiderar as bases igualando somente os expoentes). 2x = −2 x = −2 2 x = −1, logo V = {−1} 3) 34x = 3−2 (As bases já são iguais, portanto igualar somente os expoentes). 4x = −2 x = −2 4 x = − 1 2 , logo V = {− 1 2 } Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 5 2 4) 9x = 27 (Decompor 9 e 27 na base 3). (32)x = 33 32x = 33 2x = 3 x = 3 2 , logo V = { 3 2 } 5) ( 1 5 ) 𝑥 = 125 5−𝑥 = 53 −𝑥 = 3 𝑥 = −3 , logo V = {−3} 6) (√3) x = √81 3 (3 1 2) x = √34 3 (3 1 2) x = 3 4 3 3 x 2 = 3 4 3 x 2 = 4 3 3x = 8 x = 8 3 , logo V = { 8 3 } 7) 7x+3 = 1 (Lembre-se que a0 = 1) 7x+3 = 70 x + 3 = 0 x = −3 , logo V = {−3} 8) 2x 2−7x+12 = 1 2x 2−7x+12 = 20 x2 − 7x + 12 = 0 (Aplicando Baskara) x1 = 3 e x2 = 4 , logo V = {3, 4} Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 5 3 b) Substituição do termo 𝐛𝐱 por 𝐦, para 𝐱 a incógnita e 𝐛 a base e 𝐦 uma incógnita qualquer. Observe a resolução de alguns exemplos: 1) 3x+1 + 3x−1 = 10 (Lembre-se que: am+n = am . an e am−n = am ∶ an. Aplicar estas propriedades e reescrever a equação). 3x. 3 + 3x. 3−1 = 10 (Lembre-se que 3-1 = 1 3 ) 3x. 3 + 3x. 1 3 = 10 (Substituir 3x = m) 3m + m 3 = 10 (mmc) 9m + m = 30 10m = 30 m = 3 (Voltando à condição 3x = m) 3x = m (Substituindo m pelo valor encontrado. Neste exemplo m = 3). 3x = 3 x = 1, logo V = {1} 2) 3x+1 − 3x = 3x−2 + 51(Lembre-se que: am+n = am . an e am−n = am ∶ an. Aplicar estas propriedades e reescrever a equação). 3x. 31 − 3x = 3x. 3−2 + 51 3x. 3 − 3x = 3x. 1 9 + 51 (Lembre − se que 3−2 = 1 32 = 1 9 ) (Substituir 3x = m) 3m − m = m 9 + 51 2m − m 9 = 51 (mmc) 18m − m = 459 17m = 459 m = 27 (Voltando à condição 3x = m) 3x = m 3x = 27 3x = 33 x = 3, logo V = {3} Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 5 4 3) 2x−3 + 2x−1 + 2x = 52 2x . 1 23 + 2x. 1 2 + 2x = 52 2x 8 + 2x 2 + 2x = 52 (Substituir 2x = m) m 8 + m 2 + m = 52 (mmc) m + 4m + 8m = 416 13m = 416 m = 32 (Voltando à condição 2x = m) 2x = 32 2x = 25 x = 5, logo V = {5} _____________________________________________________________________ ATIVIDADES 1) Resolva as equações exponenciais a) ( 2 3 ) x = 8 27 b) 2x = √4 3 c) 125x+2 = 1 d) 22x − 5. 2x + 4 = 0 e) 3x−1 + 3x+ = 90 f) 16x+64 5 = 4x+1 RESPOSTAS 1a) V = {3} b) V = { 2 3 } c) V = {−2} d) V = {0,2} e) V = {3} f) V = {1,2} _________________________________________________________________________ 5.2 INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS Inequação exponencial é uma desigualdade entre expressões cuja incógnita encontra-se no expoente, como por exemplo 2x−5 > 16 e 7x 2−x ≤ 1. A solução da inequação exponencial pode ser realizada através dos mesmos métodos da equação exponencial. A seguir alguns exemplos de resolução. Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 5 5 1) 9x ≤ 27 32x ≤ 33 2x ≤ 3 x ≤ 3 2 V = {x ∈ ℝ|x ≤ 3 2 } 2) ( 1 9 ) x ≤ 27 (3−2)x ≤ 33 3−2x ≤ 33 −2x ≤ 3 (Cuidado: sinal da incógnita negativo. Não se esqueça de inverter o sinal da desigualdade). 2x ≥ −3 x ≥ −3 2 V = {x ∈ ℝ|x ≥ −3 2 } 3) 32x + 3x − 12 > 0 (Substituir 3x = m). m2 + m − 12 > 0 (Aplicando Baskara) m1 = 3 e m2 = −4 (Voltando para 3 x = m) 3x > m 3x > 3 x > 1 3x < −4 ⇒ ∄x ∈ ℝ| 3x < −4 V = {x ∈ ℝ|x > 1} _________________________________________________________________________ ATIVIDADES 1) Resolva as inequações exponenciais a) 2𝑥 ≥ 128 b) 4𝑥 + 4 > 5. 2𝑥 c) 25𝑥 − 5. 5𝑥 + 5 < 0 RESPOSTAS 1a) S = {x ∈ ℝ|x ≥ 7} b) S = {x ∈ ℝ|x < 0 ou x > 2} c) S = {x ∈ ℝ|0 < x < 1} ___________________________________________________________________________ Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 5 6 5.3 FUNÇÃO EXPONENCIAL Para a função f: ℝ → ℝ, na forma f(x) = ax, para a = base tal que a ϵ ℝ | a > 0 e a ≠ 1, denomina-se a f(x) como uma função exponencial. Exemplos de funções exponenciais: f(x) = 2x, f(x) = ( 2 3 ) x e f(x) = 3x+2 Graficamente a função exponencial, f(x) = ax em ℝ tem as seguintes formas> 1) Para a > 1 (Lembre-se que a é a base) D = ℝ Im = {y ∈ ℝ|y > 0} Função crescente 2) Para 0 < a < 1 D = ℝ Im = {y ∈ ℝ|y < 0} Função decrescente 5.3.1 Características da função exponencial As funções exponenciais têm algumas características: x y x y Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 5 7 1) Características da função exponencial na sua forma geral 𝐟(𝐱) = 𝐚𝐱 (Observe os gráficos da página anterior para compreender melhor as características). a) Sobre as raízes ou zeros da função exponencial: não tem raiz. b) Sobre o domínio: D = ℝ; c) Sobre a imagem: Im = {yϵℝ|y > 0}. d) Para a > 1 a função é crescente para todo o domínio. e) Para 0 < a < 1 a função é decrescente para todo o domínio. f) f(x) > 0: positiva para todo o domínio. g) f(x) < 0: não existe parte negativa, portanto: ∄xϵℝ| f(x) < 0, logo V = ∅ 2) Características da função exponencial na forma 𝐟(𝐱) = 𝐚𝐱 − 𝐛 a > 0 𝟎 < 𝐚 < 𝟏 a) Sobre as raízes: a função exponencial tem raiz em f(x) = 0. Exemplo: f(x) = 2x − 4 0 = 2x − 4 4 = 2𝑥 22 = 2𝑥 𝑥 = 2 V = {2} b) Sobre o domínio: D = ℝ c) Para a > 1 a função é crescente para todo o domínio. d) Para 0 < a < 1 a função é decrescente para todo o domínio e) Positiva no intervalo, para: e.1) a > 1, f(x) > 0 para x >, raiz, logo V = {xϵℝ|x > raiz}; e.2) 0 < a < 1, f(x) > 0 para x < raiz, logo V = {xϵℝ|x < raiz}. x y x y Profª Tania Elisa SeibertCURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 5 8 f) Negativa no intervalo, para: f.1) a > 1, f(x) < 0 para x > raiz, logo V = {xϵℝ|x < raiz}; f.2) 0 < a < 1, f(x) < 0 para x < raiz, logo V = {xϵℝ|x > raiz}. __________________________________________________________________________ ATIVIDADES 1) Esboce os gráficos e analise as características das funções: 1) f(x) = 2x 2) f(x) = ( 1 5 ) x 3)f(x) = 3x − 3 2) O número de bactérias em um meio duplica de hora em hora. Se, inicialmente, existem 8 bactérias no meio, determine o número de bactérias no fim de 10 horas. 3) Sob certas condições, o número de bactérias B de uma cultura, em função do tempo t, medido em horas, é dado por B(t) = 2 t 12 . Determine o número de bactérias após 5 dias da hora zero. 4) Uma certa substância se decompõe aproximadamente segundo a lei Q(t) = k . 2−0,5t, em que K é uma constante, t indica o tempo em minutos e Q(t) indica a quantidade da substância, em gramas, no instante t. Considerando os dados desse processo de decomposição mostrados no gráfico, determine os valores de K e de a. 5) O montante M é a quantia a ser recebida após a aplicação de um capital C, a uma taxa i, durante certo tempo t. No regime de juros compostos, esse montante é calculado pela relação M = C(1 + i)2. Considere um capital de R$ 10.000 aplicado a uma taxa de 12% ao ano durante 4 anos. Qual seria o montante ao final dessa aplicação? RESPOSTAS 1a) Gráfico de f(x) = 2x Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 5 9 b) Domínio: ℝ c) Imagem: ]0, +∞[ d) Raiz: V = ∅ e) Intervalo onde a função é crescente: ℝ d) Intervalo onde a função é decrescente: nunca é decrescente - V = ∅ e) Intervalo no qual a função é positiva: ℝ f) Intervalo no qual a função é negativa: nunca é negativa - V = ∅ 2a) Gráfico de f(x) = ( 1 5 ) x b) Domínio: ℝ c) Imagem: ]−∞, 0[ d) Raiz: V = ∅ e) Intervalo onde a função é crescente: nunca é crescente - V = ∅ d) Intervalo onde a função é decrescente: ℝ e) Intervalo no qual a função é positiva: ℝ f) Intervalo no qual a função é negativa: nunca é negativa - V = ∅ 3a) Gráfico de f(x) = 3x − 3 Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 5 10 b) Domínio: ℝ c) Imagem: ]−3, + ∞[ d) Raiz: V {1} e) Intervalo onde a função é crescente: ℝ d) Intervalo onde a função é decrescente: ∅ e) Intervalo no qual a função é positiva: ]1, +∞[ f) Intervalo no qual a função é negativa: ]−∞, 1[ 2) O número de bactérias em um meio duplica de hora em hora. Se, inicialmente, existem 8 bactérias no meio, determine o número de bactérias no fim de 10 horas. No tempo t = 0, o número de bactérias é igual a 8. No tempo t = 1, o número de bactérias é dado por 8.2 = 16. No tempo t = 2, o número de bactérias é dado por 8.2.2 = 32. Assim, no tempo t = x, o número de bactérias é dada por n = 8 . 2x Logo, no tempo desejado, ou seja, ao fim de 10 horas, o número de bactérias será: n = 8 . 2x n = 8 . 210 n = 23 . 210 n = 213 n = 20.000.000.000.000 de bactérias 3) Sob certas condições, o número de bactérias B de uma cultura, em função do tempo t, medido em horas, é dado por B(t) = 2 t 12 . Determine o número de bactérias após 5 dias da hora zero. 5 dias após o início da hora zero representam um total de 5. 24 = 120 horas. Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 5 11 Portanto: B(t) = 2 t 12 B(120) = 2 120 12 B(120) = 210 B(120) = 210 = 1024 Logo, o número de bactérias após 5h será 1024. 4) Uma certa substância se decompõe aproximadamente segundo a lei Q(t) = k . 2−0,5t, em que K é uma constante, t indica o tempo em minutos e Q(t) indica a quantidade da substância, em gramas, no instante t. Considerando os dados desse processo de decomposição mostrados no gráfico, determine os valores de K e de a. Representação gráfica: A função exponencial Q(t) = k . 2−0,5t , passa pelos pontos (a, 512) e (0, 2048). Substituindo esses pontos na função, temos: Q(t) = k . 2−0,5t (Substituir os valores do ponto (0, 2048) na função). Q(0) = k . 2−0,5.0 Q(0) = k . 2−0,5.0 2048= k . 20 k = 2048 (Substituir o valor de k na função). Q(t) = 2048 . 2−0,5t (Substituir os valores do ponto (a, 512) na função). 512 = 2048 . 2−0,5a 512 2048 = 2−0,5a 1 4 = 2−0,5a 1 22 = 2−0,5a 2−2 = 2−0,5a −2 = −0,5a Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 5 12 −2 −0,5 = a a = 4 5) O montante M é a quantia a ser recebida após a aplicação de um capital C, a uma taxa i, durante certo tempo t. No regime de juros compostos, esse montante é calculado pela relação M = C(1 + i)n. Considere um capital de R$ 10.000 aplicado a uma taxa de 12% ao ano durante 4 anos. Qual seria o montante ao final dessa aplicação? M = C(1 + i)4 (Fórmula do montante no regime de juros compostos; montante é a soma entre o capital aplicado e os juros recebidos). M = 10000(1 + 0,12)4 (Transformar a taxa de 12% para número decimal: 12 100 = 0,12) M = 10000(1,12)4 M = 10000 . 1,57352 M = 15 735,20 Logo, o montante será de R$ 15 735,20 _______________________________________________________________________ REFERÊNCIAS HOMA, A. I. Laboratório de Matemática. Canoas/RS: ULBRA, 2013. JACKSON, R. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia. v. 1. São Paulo: Scipione, 2010. LOGEN, A. Matemática: uma atividade humana. Ensino Médio. v.1. Curitiba: Base, 2003. __________________________________________________________________________
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