Material Complementar - Radiciação

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Profª Tania Elisa Seibert 
 CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO 
UNIDADE 1 – MATERIAL COMPLEMENTAR - RADICIAÇÃO 
1 
2 RADICIAÇÃO NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 
 
Revisa-se, neste material complementar, alguns conceitos matemáticos que são objeto 
de ensino nos anos finais do Ensino Fundamental, entre eles o conceito de radiciação e suas 
propriedades. Lembre-se que a radiciação é a operação inversa da potenciação. Observe: 
8² = 8 x 8 = 64 e √64 = 8 
5³ = 5 . 5 . 5 = 123 e √125
3
 = 5 
Portanto, define-se a radiciação como: 
Sendo 𝐚 e 𝐛 dois números pertencentes aos Reais (𝐚 ∧ 𝐛 ∈ ℝ) e 𝐧 um número Natural 
(𝐧 ∈ ℕ∗), denomina-se raiz enésima de 𝐚 o número 𝐛 que elevado a 𝐧 resulta no número 𝐚. 
Isto é: √a
n = b ⇔ bn = a, para: a = radicando; b = raiz; n = índice; √ = radical; operação: 
radiciação. Exemplos: 
√8
3
= 2 ⇔ 23 = 8 
√−8
3
= −2 ⇔ (−2)3 = −8 
 
Atenção: 
a) No conjunto dos números Reais, se o radicando é um número negativo e o índice do radical 
é um número par, a raiz não é definida. Porém, no conjunto dos números Complexos a raiz é 
definida. 
b) Se o índice do radical for um número ímpar, a raiz é sempre definida. 
√8
3
= 2 √−8
3
= −2 
 
2.1 PROPRIEDADES DOS RADICAIS 
 
Assim como na potenciação, neste subcapítulo estudam-se as propriedades da 
radiciação. 
 
a) Propriedade 1 
O radical de uma potência qualquer, quando é definido, pode ser obtido como uma 
potência fracionária. Isto significa que para todo radical temos: √𝐚𝐦
𝐧
= 𝐚
𝐦
𝐧 . 
Exemplos: 
√8
3
= 8
1
3 = 2 
 
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2 
√23
5
= 2
3
5 = 2 
Como consequência temos que: √𝐚𝐦
𝐧
= √𝐚𝐦𝐩
𝐧𝐩
. Observe: 
√amp
np
 = a
mp
np (Simplificando p). 
√amp
np
 = √am
n
 
√8
3
= √85 .1
5 . 3
 = 8
5 .1
5 .3 (Simplificando 5). 
8
1
3 = √8
3
= 2 
 
Atenção: 
√23
3
= 2
3
3 = 2¹ = 2 
Logo, pode-se afirmar que √𝐚𝐧
𝐧
= 𝐚 
 
b) Propriedade 2 
Observe o exemplo: 
√125 . 8
3
 = √1000
3
 = 10 
Outra forma de realizar o mesmo cálculo: 
√125
3
 . √8
3
 = 5 . 2 = 10 (Como o resultado é o mesmo do anterior podemos afirmar que) 
√125 . 8
3
 = √125
3
 . √8
3
 
 De forma geral escreve-se que: √a
n × √b
n
= √ab
n
 (Observe que para aplicar esta 
propriedade os índices dos radicais devem ser iguais). 
 
Cuidado: em caso de índice par, os radicandos devem ser positivos. 
 
c) Propriedade 3 
Observe o exemplo: 
√
64
8
3
= √8
3
 = 2 (O número 8 é resultado da divisão 64 : 8) 
Outra forma de realizar o mesmo cálculo: 
√
64
8
3
=
√64
3
√8
3 = 
4
2
= 2 
De forma geral escreve-se que: √
𝐚
𝐛
𝐧
=
√𝐚
𝐧
√𝐛
𝐧 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐛 ≠ 𝟎. 
 
 
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3 
Cuidado: em caso de índice par, os radicandos devem ser positivos. 
 
d) Propriedade 4 
O radical de outro radical é obtido por meio de um terceiro radical, cujo índice é o 
produto dos índices dos radicais dados, isto é: √ √𝐚
𝐦𝐧 = √𝐚
𝐧 .𝐦
 . 
Exemplos: 
a) √√5
3
= √5
3 . 2
 = √5
6
 b) √√10
43
= √10
12
 
 
Cuidado: em caso de índice par, os radicandos devem ser positivos. 
 
Importante: 
1) Um número que multiplica um radical pode ser introduzido no radical, desde que fique 
elevado ao índice. 
Exemplo: 
5 . √8
3
= 𝟓 . 2 = 10 (Introduzindo 5 no radical). 
√𝟓3. 8
3
= √125 . 8
3
= √1000
3
= 10 
 
2) ( √𝒂
𝒏 )
𝒎
= √𝒂𝒎
𝒏
 
 
2.2 RADICAIS SEMELHANTES 
 
Os radicais são semelhantes quando têm o mesmo índice e o mesmo radicando, como 
por exemplo, os seguintes radicais: 
a) √7, 6√7, −5√7 (São radicais semelhantes porque tem o mesmo índice e o mesmo 
radicando). 
b) √2, √2
4
 (Não são radicais semelhantes porque tem diferentes índices). 
De forma geral podemos dizer que √𝑎
𝑛
; 𝑏 √𝑎
𝑛
; 
𝑏
 𝑐
√𝑎
𝑛
; −𝑐 √𝑎
𝑛
 são semelhantes, pois 
possuem o mesmo índice e o mesmo radicando. 
 
2.3 OPERAÇÕES COM RADICAIS: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
 
 
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4 
A operação da adição ou da subtração de radicais é definida somente para radicais 
semelhantes. Exemplo: 
a) 7√5
3
+ 4√5
3
− 3√5
3
= 
(7 + 4 – 3)√5
3
 = 8√5
3
 
 
De forma geral pode-se escrever: 
a) 𝒃 √𝒂
𝒏 + 𝒄 √𝒂
𝒏 = (𝒃 + 𝒄) √𝒂
𝒏
 
b) 𝒃 √𝒂
𝒏 − 𝒄 √𝒂
𝒏 = (𝒃 − 𝒄) √𝒂
𝒏
 
 
2.4 OPERAÇÕES COM RADICAIS: MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 
 
A operação da multiplicação ou da divisão é definida somente para radicais com o 
mesmo índice. Exemplos: 
a) √2
3
 . √4
3
= √8
3
 
b) √5 × √10 = √50 
c) 
√100
√20
= √
100
20
= √5 
 
De forma geral diz-se que: 
a) √𝒂
𝒏 × √𝒃
𝒏
= √𝒂𝒃
𝒏
 
b) 
√𝒂
𝒏
√𝒃
𝒏 = √
𝒂
𝒃
𝒏
 
 
Atenção: 
Para multiplicarmos ou dividirmos radicais com índices diferentes, transformamos os 
radicais em um mesmo índice. 
√b4
3
 . √c
4
 (Índices diferentes – escrever na forma fracionária) 
b
4
3 . c
1
4 (Frações de denominadores diferentes – utilize equivalência entre frações e escreva-as 
com frações de mesmo denominador). 
4
3
 e 
1
4
 (Mínimo múltiplo comum (mmc) entre 3 e 4 é 12. Divide 12 pelo denominador e 
multiplique o resultado pelo numerador. Faça isso para cada uma das frações). 
16
12
 e 
3
12
 (Reescreva as raízes). 
 
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5 
√b4
3
 = √b16
12
 
√c
4 = √c3
12
 (Agora realize a multiplicação). 
√b16
12
 . √c3
12
 = √𝑏16𝑐3
12
 
 
2.5 SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS 
 
Observe com atenção os exemplos: 
 
a) √64 = √43 (64 = 43, porque 4 . 4 . 4 = 64) 
√43 = √42. 4 (Aplicando a propriedade da potenciação am . an = am + n) 
√42. 4 = √42. √4 (Aplicando a propriedade da radiação √𝑎 . 𝑏 = √𝑎. √𝑏 ). 
√42. √4 = 4
2
2 . √4 (Aplicando a propriedade √an
m
= a
n
m ). 
4¹ . √4 = 4. 2 = 8 
 
b) √120 = √22. 2 . 3 . 5 (Decompondo 120 em fatores primos encontramos 2²x2x3x5). 
√22. 2 . 3 . 5 = √22. √2 . 3 . 5 (Aplicando as propriedades). 
√22. √2 . 3 . 5 = 2√30 
Logo: 
√120 = 2√30 
 
c) √𝟖 + √𝟑𝟐 = √𝟐𝟑 + √𝟐𝟓 (Decompondo 8 e 32 em fatores primos). 
√𝟐𝟑 + √𝟐𝟓 = √𝟐𝟐. 𝟐 + √𝟐𝟒. 𝟐 
√𝟐𝟐. 𝟐 + √𝟐𝟒. 𝟐 = √𝟐𝟐. √𝟐 + √𝟐𝟒. √𝟐 
√𝟐𝟐. √𝟐 + √𝟐𝟒. √𝟐 = 𝟐
𝟐
𝟐 √𝟐 + 𝟐
𝟒
𝟐 √𝟐 
𝟐√𝟐 + 𝟐²√𝟐 = 
 2√2 + 4√2 = 6√2 
 
d) √5
3
 . √200
3
= 
√5 . 200
3
= 
√1000
3
= 
√103
3
= 10 
 
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2.6 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES 
 
Para uma fração cujo denominador é um número Irracional, na forma de um radical, 
racionalizar o denominador é a operação de conversão do denominador Irracional em um 
denominador Racional, através do produto do numerador e do denominador por um fatortal 
que o denominador torne-se um número Racional. 
 
Exemplos: 
 
1) 
5
√3
 
 
5
√3
=
5
√3
 . 
√3
√3
 (Multiplicar numerador e denominador de 
5
√3
 pelo denominador desta fração). 
5
√3
 . 
√3
√3
 =
5 . √3
√3 . √3
 (Aplicando no denominador a propriedade da multiplicação de radicais de 
mesmo índice √𝑎 . √𝑏 = √𝑎𝑏). 
5 . √3
√3 . √3
 = 
5√3
√9
 (Lembre que √9 = 3) 
5√3
√9
 = 
5√3
3
 
Logo: 
5
√3
 = 
5√3
3
 (Utilize calculadora e teste este resultado). 
 
2) 
8
√2
 
8
√2
 . 
√2
√2
 = 
8√2
√4
 
8√2
√4
 = 
8√2
2
 (Simplifique o 8 do numerador com o 2 do denominador). 
8√2
2
 = 4√2 
Logo: 
8
√2
= 4√2 (Utilize calculadora e teste este resultado). 
 
3) 
2√3
√6
 
2√3
√6
 . 
√6
√6
=
2√18
√36
 
 
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2√18
√36
= 
2 . 3 √2
6
 (Simplifique √18 = √3². 2 = √3² . √2 = 3√2 ). 
2 . 3 √2
6
= 
6√2
6
= √2 (Simplifique o 6 do numerador com o 6 do denominador). 
Logo: 
2√3
√6
= √2 (Utilize calculadora e teste este resultado). 
 
Observações: 
a) Para denominador √bm
n
 o fator é √bn−m
n
, temos: 
a
√bm
n =
a
√bm
n . 
√bn−m
n
√bn−m
n =
a √bn−m
n
√bm × bn−m
n
 
=
a √bn−m
n
√bm+n−m
n
 
=
a √bn−m
n
√bn
n
 
=
a √bn−m
n
b 
 
 
Exemplo: 
1) 
5
√72
5 (Observe que no denominador temos √bm
n
) 
5
√72
5 .
√73
5
√73
5 (Observe que multiplicamos pelo fator é √bn−m
n
. Neste exemplo n = 5 e m = 3, logo 
n – m = 3). 
5
√72
5 . 
√73
5
√73
5 =
5 √73
5
√75
5
 
 (Observe que no denominador, na multiplicação dos radicandos, 
utilizamos a propriedade da potenciação (a
m
 . a
n
 = a
m + n
), isto é: 7² . 7³ = 7
2+3
 = 7
5
). 
5 √73
5
√75
5
 
=
5 √73
5
7
 
Logo: 
5
√72
5 =
5 √73
5
7
 (Utilize calculadora e teste este resultado). 
 
b) Para os denominadores 𝑏 ± √𝑐 os fatores são 𝑏 ∓ √𝑐, isto é: 
1) 
𝑎
𝑏+√𝑐
=
𝑎
b−√𝑐
 .
 𝑏−√𝑐
 𝑏−√𝑐
= 
𝑎( 𝑏−√𝑐)
(𝑏+√𝑐)×( 𝑏−√𝑐)
=
𝑎( 𝑏−√𝑐)
𝑏2− √𝑐
2 = 
𝑎( 𝑏−√𝑐)
𝑏2−𝑐
=
𝑎𝑏−𝑎√𝑐
𝑏2−𝑐
 
 
Exemplo: 
a) 
7
4+√5
 (Observe que no denominador temos uma adição). 
7
4+√5
 .
4−√5
4−√5
 (Por termos uma adição no denominador multiplicamos o numerador e o 
denominador pelo fator 4 − √5) 
 
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7.(4 − √5) = 7 . 4 − 7√5 = 28 − 7√5 (Multiplicação que deve ser realizada no 
numerador). 
28 − 7√5 (Resultado no numerador). 
(4 + √5) . (4 − √5) = (Multiplicação no denominador – Produto da soma pela diferença de 
dois termos: (b + √c) . ( b − √c) = b² − (√c)
2
 ) 
 
(4 + √5) . (4 − √5) = 42 − (√5)
2
(Resolvendo o produto da soma pela diferença de dois 
termos). 
16 – 5 = 11(Resultado no denominador). 
Reescrevendo com os resultados encontrados no numerador e no denominador: 
7
4+√5
= 
28−7√5
11
 
 
b) 
5
2− √3
 (Observe que no denominador temos uma subtração). 
5
2− √3
=
5(2+√3)
(2−√3) (2+√3) 
 (Por termos uma subtração no denominador multiplicamos o 
numerador e o denominador pelo fator 2 + √3) 
5(2 + √3) = 10 + 5√3 (Multiplicação que deve ser realizada no numerador). 
10 + 5√3 (Resultado no numerador). 
(2 − √3) . (2 + √3) = (Multiplicação no denominador – Produto da soma pela diferença de 
dois termos: (b − √c) × ( b + √c) = b² − (√c)
2
 ). 
(2 − √3) . (2 + √3) = 22 − (√3)
2
(Resolvendo o produto da soma pela diferença de dois 
termos). 
4 – 3 = 1(Resultado no denominador). 
Reescrevendo com os resultados encontrados no numerador e no denominador: 
5
2− √3
=
10+5√3
1
 
5
2− √3
= 10 + 5√3 (Fatorando 10 + 5√3). 
10 + 5√3 = 5(2 + √3) (Fator comum em evidência). 
__________________________________________________________________________ 
 
 
 
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9 
ATIVIDADE 
 
Construa um formulário com as propriedades da potenciação. Elas serão necessárias 
para resolver vários exercícios propostos nas diferentes fases da Rota Acadêmica. 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
HOMA, A. I. Laboratório de Matemática. Canoas/RS: ULBRA, 2013. 
 
LONGEN, A. Matemática: uma atividade humana. Ensino Médio. Volume único. Curitiba: 
Base, 2003.