ADIÇÃO DE ARCOS

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Se 𝒂 e 𝒃 são as determinações de dois 
arcos, verifica-se que: 
COSSENO DE (𝐚 + 𝐛) 
𝑐𝑜𝑠(𝑎 + 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠 𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑏 − 𝑠𝑒𝑛 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑏 
COSSENO DE (𝐚 − 𝐛) 
𝑐𝑜𝑠 (𝑎 − 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠 𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑏 + 𝑠𝑒𝑛 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑏 
SENO DE (𝐚 + 𝐛) 
𝒔𝒆𝒏 (𝒂 + 𝒃) = 𝒔𝒆𝒏 𝒂 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝒃 + 𝒄𝒐𝒔 𝒂 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝒃 
SENO DE (𝐚 − 𝐛) 
𝐜𝐨𝐬(𝟐 ∙ 𝒂) = 𝟐 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒂 − 𝟏 
b) cos(2 ∙ 𝑎) = (1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑎) − 𝑠𝑒𝑛2𝑎 =
= 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑎 − 𝑠𝑒𝑛2𝑎 
𝐜𝐨𝐬(𝟐 ∙ 𝒂) = 𝟏 − 𝟐 ∙ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒂 
CÁCULO DE SENO (𝟐 ∙ 𝒂) 
𝑠𝑒𝑛(2 ∙ 𝑎) = 𝑠𝑒𝑛(𝑎 + 𝑎) = 𝑠𝑒𝑛 𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑎 + 𝑐𝑜𝑠 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑎 
Assim: 
𝒔𝒆𝒏 (𝟐 ∙ 𝒂) = 𝟐 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝒂 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝒂 
CÁLCULO DA 𝐭𝐠 (𝟐 ∙ 𝒂) 
tg a + tg a 
tg(2 ∙ a) = tg(a + a) = 
1 − tg a ∙ tg a 
𝒔𝒆𝒏 (𝒂 − 𝒃) = 𝒔𝒆𝒏 𝒂 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝒃 − 𝒄𝒐𝒔 𝒂 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝒃 
TANGENTE DE (𝐚 + 𝐛) 
Assim: 
𝟐 ∙ 𝐭𝐠 𝐚 
𝐭𝐠 (𝟐 ∙ 𝐚) = 
𝟏 − 𝐭𝐠𝟐𝐚
𝐭𝐠 𝐚 + 𝐭𝐠 𝐛 
𝐭𝐠 (𝐚 + 𝐛) = 
𝟏 − 𝐭𝐠 𝐚 ∙ 𝐭𝐠 𝐛 
TANGENTE DE (𝐚 − 𝐛) 
𝐭𝐠 𝐚 − 𝐭𝐠 𝐛 
𝐭𝐠 (𝐚 − 𝐛) = 
𝟏 + 𝐭𝐠 𝐚 ∙ 𝐭𝐠 𝐛 
2. ARCO DUPLO
Trata-se de obter as expressões das 
funções trigonométricas dos arcos da forma 
𝟐 ∙ 𝒂 
CÁCULO DE COSSENO (𝟐 ∙ 𝒂) 
𝐜𝐨𝐬(𝟐 ∙ 𝒂) = 𝐜𝐨𝐬(𝒂 + 𝒂) = 𝐜𝐨𝐬 𝒂 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝒂 − 𝒔𝒆𝒏 𝒂 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝒂 
Assim: 
𝐜𝐨𝐬 𝟐𝐚 = 𝐜𝐨𝐬² 𝐚 − 𝐬𝐞𝐧𝟐𝐚 
Essa expressão pode ser escrita de 
outras maneiras: 
a) cos(2 ∙ 𝑎) = 𝑐𝑜𝑠2𝑎 − (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑎) =
= 𝑐𝑜𝑠2𝑎 − 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑎 
3. ARCO TRIPLO
Trata-se de obter as expressões das 
funções trigonométricas dos arcos da forma 
𝟑 ∙ 𝒂 
Pela importância, destacam-se os 
seguintes casos: 
CÁLCULO DE 𝐜𝐨𝐬(𝟑 ∙ 𝐚) 
cos 3𝑎 = cos(2𝑎 + 𝑎) = cos 2𝑎 ∙ cos 𝑎 − 𝑠𝑒𝑛 2𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑎 
Assim: 
𝐜𝐨𝐬 𝟑𝐚 = 𝟒 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝟑𝐚 − 𝟑 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝐚 
CÁLCULO DE 𝐬𝐞𝐧(𝟑 ∙ 𝐚) 
𝐬𝐞𝐧 𝟑𝐚 = 𝟑 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝐚 − 𝟒 ∙ 𝐬𝐞𝐧³𝐚 
4. FÓRMULAS DE REVERSÃO 
(WERNER) 
cos(a + b) + cos(a − b) = 2 ∙ cos a ∙ cos b 
cos(a + b) − cos(a − b) = −2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 a ∙ 𝑠𝑒𝑛 b 
sen(a + b) + sen(a − b) = 2 ∙ sen a ∙ cos b 1 
I. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
DE ARCOS 
sen(a + b) − sen(a − b) = 2 ∙ cos a ∙ sen b 
5. TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO
𝐩 + 𝐪 
𝐜𝐨𝐬 𝐩 + 𝐜𝐨𝐬 𝐪 = 𝟐. 𝐜𝐨𝐬 ( 
𝟐 
𝐩 + 𝐪 
𝐩 − 𝐪 
) ∙ 𝐜𝐨𝐬 ( ) 
𝟐 
𝐩 − 𝐪 
𝐜𝐨𝐬 𝐩 − 𝐜𝐨𝐬 𝐪 = −𝟐. 𝐬𝐞𝐧 ( 
𝟐 
) ∙ 𝐬𝐞𝐧 ( ) 
𝟐 
𝐩 + 𝐪 𝐩 − 𝐪 
𝐬𝐞𝐧 𝐩 + 𝐬𝐞𝐧 𝐪 = 𝟐. 𝐬𝐞𝐧 ( ) ∙ 𝐜𝐨𝐬 ( ) 
𝟐 𝟐 
𝐬𝐞𝐧 𝐩 − 𝐬𝐞𝐧 𝐪 = 𝟐. 𝐜𝐨𝐬 ( 
𝐩 + 𝐪 
𝟐 
𝐩 − 𝐪 
) ∙ 𝐬𝐞𝐧 ( ) 
𝟐 
Exemplo 1
Calcule o valor de sen 105°.
Solução: Podemos escrever 105° como sendo a soma 
de 60° com 45°. Dessa forma teremos:
Exemplo 2. 
Qual o valor de sen 15°?
Solução: temos que