Lógica Aula em Slide 2

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Lógica Matemática 
INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA - MATC 220 
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
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Sumário 
1. Tautologia X contradição X contingência 
2. Equivalência Lógica 
3. Redução dos números de conectivos 
4. Forma Normal 
5. Negação de Proposições 
 
 
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Tautologia X Contradição X Contingência 
Uma proposição composta pode ser classificada de três 
formas. Uma proposição composta é dita ser: 
TAUTOLOGIA quando o seu valor lógico é sempre verdade, 
independente dos valores lógicos das proposições 
componentes. 
CONTRADIÇÃO quando o seu valor lógico é sempre falso, 
independente dos valores lógicos das proposições 
componentes. 
CONTINGÊNCIA quando ela não é tautologia nem é 
contradição. 
 
Tautologia X Contradição X Contingência 
 
Tautologia: A origem do termo vem do grego tautó, que significa "o mesmo", mais 
logos, que significa "assunto". Portanto, tautologia é dizer sempre a mesma coisa 
em termos diferentes. 
É uma proposição cujo valor lógico é sempre verdadeiro. 
Exemplo 1 
A proposição p ∨ (~p) é uma tautologia, pois o seu valor lógico é sempre V, 
conforme a tabela-verdade. 
 
 
 
Exemplo 2 
A proposição (p Λ q) → (p ↔ q) é uma tautologia, pois a última coluna da tabela-
verdade só possui V. 
 
 
 
 p q (p ˄ q) (p ↔ q) (p ˄ q) → (p ↔ q) 
 V V V V V 
 V F F F V 
 F V F F V 
 F F F V V 
Contradição 
 Contradição é uma proposição cujo valor lógico é sempre falso. 
Exemplo 1 
A proposição p ˄ (~ p) é uma contradição, pois o seu valor lógico é sempre F 
conforme a tabela-verdade. 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 
A proposição ~(p ˅ q) ˄ (p ˄ q) é uma contradição, pois a última coluna da tabela-
verdade só possui F. 
 
 
 
 p q p ˅ q ~ (p ˅ q) p ˄ q ~ (p ˅ q) ˄ (p ˄ q ) 
 V V V F V F 
 V F V F F F 
 F V V F F F 
 F F F V F F 
Contingência 
Toda proposição composta em cuja última coluna da sua tabela-
verdade figuram as letras V e F cada uma pelo menos uma vez. 
Exemplo 
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p q p  q  p ν q (p  q) Λ( p ν q) 
V V V V V 
V F F F F 
F V V V V 
F F V V V 
 
Dadas as proposições abaixo, verifique quais são tautologias, quais são 
contradições e quais são contingências. 
a) (p  q)  ((p  q)  (q  r)) b) ((p  q)  p)  q 
c)(p  q)  (p  ~q) d) p  (p  q)  r 
e) ~(~p  q)  (p  q) f) p  (q (q p) 
g) (p  q)  ~(p  q) h) (q  p)  (p  q) 
i) (p  q)  ((p  r)  (q  r)) 
 
 
 
A relação de equivalência nos permite verificar quando duas 
proposições (simples ou compostas) são equivalentes, ou seja, 
quando estas proposições têm sempre valor lógico igual. 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: Dizemos que uma proposição P é logicamente 
equivalente a outra proposição Q quando P e Q têm as mesmas 
tabelas-verdade. 
Notação: P  Q 
Relação de Equivalência 
Os símbolos  e  são distintos: o primeiro é 
o símbolo da operação lógica bicondicional e o 
segundo é o símbolo da relação que estabelece 
que a bicondicional P  Q é uma tautologia. 
Dizer que P  Q, significa dizer que P e Q têm 
tabela verdade idêntica ou que PQ é uma 
tautologia. 
 
Relação de Equivalência 
p q ~q ~p ~q  ~p 
V V F F V 
V F V F F 
F V F V V 
F F V V V 
p  q ~q  ~p (pq)  (~q~p) 
V V V 
F F V 
V V V 
V V V 
Exemplo: 
A proposição p  q é equivalente à proposição ~q ~p ,pois 
possuem tabelas-verdade iguais além da proposição 
(pq)  (~q ~p) ser uma tautologia. 
• 
 
 
 
Relação de Equivalência 
Condicional ⟺ 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 
Equivalência Lógica 
Exemplo: 
Mostrar que (p  q) ^ (q  p) e (p  q) são 
equivalentes. 
p q p  q q  p (p  q) ^ (q  p) p  q 
V V V V V V 
V F F V F F 
F V V F F F 
F F V V V V 
Tabelas-verdade idênticas 
Logo, (p  q) ^ (q  p)  (p  q) 
Proposições associadas a uma condicional 
Definição: Dada a condicional p  q, chamam- 
se PROPOSIÇÕES ASSOCIADAS a p  q, 
as 3 seguintes proposições condicionais que 
contêm p e q: 
 Proposição RECÍPROCA de p  q: q  p 
 Proposição CONTRÁRIA de p  q: ~p  ~q 
 Proposição CONTRAPOSITIVA de p  q: ~q  ~p 
Proposições associadas a uma condicional 
p q p  q q  p ~p  ~q ~q ~p 
V V V V V V 
V F F V V F 
F V V F F V 
F F V V V V 
As tabelas-verdade dessas 4 proposições: 
Equivalentes 
A condicional e sua contrapositiva são equivalentes; nesta equivalência se 
baseia o método de demonstração por absurdo. 
Proposições equivalentes 
 
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a) Se P e Q são ambas tautológicas ou ambas 
contradições então P ⇔ Q . 
b) ∼ (p ∨q) ⇔ ∼ p∧ ∼ q 
c) ∼ (p ∧q) ⇔ ∼ p∨ ∼ q 
d) (p →q) ⇔ ~p ∨ q 
e) ∼ (p →q) ⇔ p∧ ∼ q 
f) ∼ (p ↔q) ⇔ (p∧ ∼ q)∨(q∧ ∼ p) 
 
Leis de De Morgan 
Redução do Número de 
Conectivos 
Diz-se que uma proposição está na forma Normal (FN) se, e 
somente se, quando muito contém os conectivos: ~, ^, ∨. 
Exemplos: ~p^~q ; ~(~p ∨ ~ q); (p^q) ∨ (~q ∨ r) 
Toda proposição pode ser transformada numa forma normal 
equivalente mediante as seguintes medidas: 
1. Eliminar →, trocando p → q por ~ p  q. 
2. Eliminar ↔, trocando p ↔ q por (~ p  q)  (~ q  p). 
3. Mover ~ para dentro usando as leis de De Morgan e 
“ Dupla Negação”. 
4. Aplicar a lei distributiva ( sobre ) e ( sobre ), ou seja: 
p (q  r) ⇔(p  q)  (p  r) e p  (q  r) ⇔ (p  q) (p  r) 
 
 
 
 
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Forma Normal 
Exemplo: Determinar a Forma Normal da proposição: 
 P  Q v ~R 
Solução: 
(P  (Q v ~R)) ^ ((Q v ~R)  P) 
(~P v (Q v ~R)) ^ (~(Q v ~R) v P) 
(~P v (Q v ~R)) ^ ((~Q ^ R) v P) 
(~P v (Q v ~R)) ^ ((P v ~Q) ^(P v R)) 
(~P v Q v ~R) ^(P v ~Q) ^(P v R) 
 
Simplifique as Proposições 
a) ~ (~p →~q) 
b) ~(p ∨q ) ∨ (~p ∧ q) 
c) ~(((p ∨q) ∧ ~q) ∨ (q ∧ r)) 
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a) p  q  q  p 
b) p ( q  r )  (p  q)  (p  r) 
c) p  (q  r )  (p  q)  (p  r) 
1. Sejam p, q, e r proposições. Verifique se são 
verdadeiras as equivalências abaixo através da 
Tabela-Verdade: 
 
d) ~(p  q)  p ~q (promete e não ..) 
e) p  q  ~p  q 
f) p q  ~ q  ~p (contrapositiva) 
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2. O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair 
do castelo, e é condição suficiente para a duquesa ir ao 
jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é 
condição necessária e suficiente para o barãosorrir e é 
condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão 
não sorriu. Logo: 
a) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a 
princesa. 
b) Se o duque não saiu do castelo, então o conde 
encontrou a princesa. 
c) O rei não foi à caça e o conde não encontrou a 
princesa. 
d) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim. 
e) O duque saiu do castelo e o rei não foi à caça. 
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3. Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” 
é logicamente equivalente a dizer que: 
 
a) André é artista se e somente se Bernardo não é 
engenheiro. 
b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. 
c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro. 
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. 
e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. 
 
 
1) Qual a negação da proposição composta: "Eu estudo e 
aprendo"? 
 
2) Qual a negação da proposição "O Brasil é um país ou a 
Bahia é um estado" ? 
 
3) Qual a negação da proposição: "Se eu estudo então eu 
aprendo" ? 
 
4. (ESAF-AFC-2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre 
e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é 
verdade que: 
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. 
b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. 
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. 
d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. 
e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. 
5. Não é verdade que "se eu morrer então eu vou 
para o céu" então: 
A) eu vou morrer ou não vou para o céu. 
B) eu não vou morrer e vou para o céu. 
C) eu vou morrer ou eu vou para o céu. 
D) eu não vou morrer ou eu não vou para o céu. 
E) eu vou morrer e não vou para o céu. 
6. Dizer que não é verdade que Celina é bonita ou Cristina não é 
loira, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: 
a) Celina não é bonita ou Cristina não é loira. 
b) Celina não é bonita ou Cristina é loira. 
c) Celina é bonita ou Cristina é loira. 
d) Celina não é bonita e Cristina não é loira. 
e) Celina não é bonita e Cristina é loira. 
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Referências Bibliográficas 
ALENCAR FILHO, Edgard. Iniciação à Lógica 
Matemática. São Paulo: Editora Nobel. 
IEZZI, Gelson et al. Fundamentos de Matemática 
Elementar, vol 1. São Paulo: Editora Atual. 
 
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