Aula 5 - Probabilidade

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Probabilidade
Vanêssa Brito Fernandes Neves
 Alguns fenômenos são previsíveis, outros não. Em
matemática, os fenômenos previsíveis são aqueles chamados
determinísticos. Por exemplo: se uma pedra for lançada de
um prédio e sua velocidade for medida durante a queda, os
resultados serão sempre iguais porque esse fenômeno
obedece às leis da física.
 Entretanto, se lançarmos uma moeda comum e observarmos
qual face ficará para cima quando estiver no solo, teremos
apenas a certeza de que metade das chances é de cara e a
outra metade de coroa, isso é um fenômeno probabilístico.;
 A maioria dos fenômenos de que trata a estatística
são de natureza aleatória ou probabilística; dessa
forma, é importante conhecer algumas definições
envolvendo conjunto para que se possa continuar o
estudo de Probabilidade.
 Experimento Aleatório:
 Situações ou acontecimentos, que mesmo em condições
iniciais sempre idênticas, não apresentam os mesmos
resultados finais, não sendo também previsíveis.
Exemplo:
1) O lançamento de um dado comum e a observação do 
número mostrado na face de cima;
2) O lançamento de uma moeda e a observação do número 
de caras obtido;
3) Determinação da vida útil de um componente eletrônico.
 Características dos Experimentos Aleatórios:
 Cada experimento pode ser repetido
indefinidamente sob as mesmas condições;
 Apesar de não poder adiantar um resultado
particular, pode-se descrever os seus possíveis
resultados;
 Se um experimento for repetido muitas vezes,
surgirá uma regularidade, e isso tornará possível a
construção de um modelo matemático, com o qual
se analisará o experimento.
 Espaço Amostral (Ω):
 É o conjunto de todos os resultados possíveis de um
experimento aleatório. Seja Ω = {ω1, ω2, ω3,..., ωn,...}, os
elementos ω1, ω2, ω3,..., ωn,... são chamados de pontos
amostrais do conjunto Ω.
Exemplo:
1) No caso do lançamento de um dado comum
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6};
2) No caso do lançamento de uma moeda
Ω = {cara, coroa};
3) No caso do lançamento de uma moeda 4 vezes e da observação 
do número de caras
Ω = {0, 1, 2, 3, 4}.
 Classificação de um espaço amostral:
 Um espaço amostral pode ser classificado em:
 1) Finito
 EXEMPLOS
 2) Infinito:
 Enumeráveis (contáveis);
 Não-enumeráveis (não contáveis).
EXEMPLOS
 Evento:
 É qualquer subconjunto de um espaço amostral
Ω. Um evento constituído de um único ponto
amostral é dito evento elementar, o conjunto
vazio (Ø) é chamado de evento impossível e Ω de
evento certo. Pode-se combinar eventos usando
as várias operações com conjunto.
Exemplo:
1) A: ocorrência de números pares no lançamento de um 
dado A = {2, 4, 6};
2) B: ocorrência do número 7 no lançamento de um dado
B = Ø - evento impossível;
3) C: ocorrência de números primos divisível por 2 no 
lançamento de um dado
D = {2} – evento elementar;
4) C: ocorrência de números maiores que zero (0) e 
menores que 7 no lançamento de um dado
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω – evento certo.
 Operações entre eventos:
 Sejam os eventos A e B definidos no mesmo espaço
amostral:
 1) União: A U B  Se ocorrer pelo menos um dos 
eventos
 2) Interseção: A ∩ B  Se ocorrer ambos os eventos
 3) Diferença: A – B  Se A ocorre e B não ocorre.
 4) Complementar: Ac  É o evento que ocorre quando A 
não ocorrer
 5) Mutuamente exclusivos: A ∩ B =Ø  Se eles não 
puderem ocorrer juntos.
 Probabilidade:
 De modo geral, pode-se dizer que
Probabilidade é uma medida de possibilidades
de um evento aleatório. Se um experimento
pode resultar em n pontos amostrais
mutuamente exclusivos e igualmente prováveis
e se m desses pontos são pertencentes ao
evento A qualquer, então a probabilidade de A
é a fração , denominado Probabilidade
Clássica ou à priori.
n
m
)A( P
Exemplo:
1) A: ocorrência de números pares no lançamento de um 
dado
A = {2, 4, 6}, m = 3 e n = 6
2) B: ocorrência do número 7 no lançamento de um dado
B = Ø , m = 0 e n = 6;
 
2
1
6
3
A P
   Ø0
6
0
A PP 
Exemplo:
3) C: ocorrência de números primos divisível por 2 no 
lançamento de um dado
D = {2}, m = 1 e n = 6;
4) C: ocorrência de números maiores que zero (0) e 
menores que 7 no lançamento de um dado
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, m = 6 e n = 6.
 
6
1
C P
    PP 1
6
6
D
 Definição Axiomática:
 Seja E um experimento aleatório com um espaço amostral
associado Ω. A cada evento A ⊆ Ω associa-se um número
real, representado por P (A) e denominado “probabilidade
de A”, que satisfaz as seguintes propriedade (axiomas):
i ) 0 ≤ P (A) ≤ 1;
ii ) P (Ω) = 1;
iii) P (A∪B) = P (A) + P (B), se A e B forem eventos mutuamente 
exclusivos;
iv ) Se A1, A2, ... , An, ... , forem, dois a dois, eventos 
mutuamente exclusivos, então: .
 









 n
1i
i
n
1i
i AA PP 
 Consequências dos Axiômas (Propriedades Básicas):
i ) P (Ø) = 0;
ii ) Se A e Ā são eventos complementares então:
P (A) + P (Ā) = 1 ou P (Ā) = 1 - P (A);
iii) Se A⊆ B então P (A) ≤ P (B);
iv ) Se A e B são dois eventos quaisquer então:
P (A - B) = P (A) - P (A∩B);
v ) Se A e B são dois eventos quaisquer de Ω então:
P (A∪B) = P (A) + P (B) - P (A∩B);
v i ) P (A∪B ∪C) = P (A) + P (B) + P (C) - P (A∩B) - P (A∩C) - P (B∩C) + P (A∩B ∩C);
 Da:
 Seja E um experimento aleatório com um espaço amostral
associado Ω. A cada evento A ⊆ Ω associa-se um número
real, representado por P (A) e denominado “probabilidade de
A”, que satisfaz as seguintes propriedade (axiomas):
i ) 0 ≤ P (A) ≤ 1;
ii ) P (Ω) = 1;
iii) P (A∪B) = P (A) + P (B), se A e B forem eventos mutuamente 
exclusivos;
iv ) Se A1, A2, ... , An, ... , forem, dois a dois, eventos mutuamente 
exclusivos, então: .
 









 n
1i
i
n
1i
i AA PP 