Aula 02 - Física IV

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2014 
Prof. Neri Alves 
Faculdade de Ciência e Tecnologia , FCT/UNESP 
Presidente Prudente, 23 de setembro de 2014 
 
Breve revisão da 1a aula 
A partir das equações de Maxwell 
 𝑬 ∙ 𝒅𝑨 =
𝑸
𝜺𝒐
 
 𝑩 ∙ 𝒅𝑨 = 𝟎 
 𝑬 ∙ 𝒅𝑺 = −
𝒅𝝓𝑩
𝒅𝒕
 
 𝑩 ∙ 𝒅𝑺 = 𝝁𝟎𝑰 + 𝝁𝒐𝜺𝟎
𝒅𝝓𝑬
𝒅𝒕
 
 𝐸 ∙ 𝑑𝑆 = −
𝑑𝜙𝐵
𝑑𝑡
 𝐵 ∙ 𝑑𝑆 = 𝜇𝑜𝜀0
𝑑𝜙𝐸
𝑑𝑡
 
𝝏𝑬
𝝏𝒙
= − 
𝝏𝑩
𝝏𝒕
 
−
𝝏𝑩
𝝏𝒙
= 𝝁𝒐𝜺𝒐 
𝝏𝑬
𝝏𝒕
 
𝐸
𝐵
=
𝜔 
𝑘
 =c 
𝑪 =
𝟏
 𝝁𝟎𝜺𝟎
 
Derivando em relação a x temos 
𝝏𝟐𝑬
𝝏𝒙𝟐
= − 
𝝏 
𝝏𝒙
𝝏𝑩
𝝏𝒕
= − 
𝝏 
𝝏𝒕
𝝏𝑩
𝝏𝒙
= −
𝝏 
𝝏𝒕
−𝝁𝒐𝜺𝒐
𝝏𝑬
𝝏𝒕
 
𝝏𝟐𝑬
𝝏𝒙𝟐
= 𝝁𝒐𝜺𝒐
𝝏𝟐𝑬
𝝏𝒕𝟐
 
𝝏𝟐𝑩
𝝏𝒙𝟐
= −𝝁𝒐𝜺𝒐
𝝏𝟐𝑩
𝝏𝒕𝟐
 
Similarmente se obtém 
Equação 
de 
onda 
Onde: 𝝁𝒐 = 4𝝅 𝒙 𝟏𝟎
−𝟕𝒘𝒃 
 𝜺𝒐 = 𝟖, 𝟖𝟓 𝒙 𝟏𝟎
−𝟏𝟐 𝑪
𝟐
𝑵.𝒎𝟐
 
 𝑪 = 𝟐, 𝟗𝟗 𝒙 𝟏𝟎𝟖
𝒎
𝒔
 
𝝏𝑬
𝝏𝒙
= −𝑬𝒎𝒌𝒄𝒐𝒔(𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) −
𝝏𝑩
𝝏𝒙
= −𝑩𝒎𝝎𝒄𝒐𝒔(𝒌𝒙 −𝝎𝒕) 
𝑬 = 𝑬𝒎𝒌𝒄𝒐𝒔 𝒌𝒙 −𝝎𝒕 
𝑬𝒎
𝑩𝒎
=
𝑬
𝑩
=
𝝎 
𝒌
 =c 
𝝎 = 𝟐𝝅𝒇 𝒌 =
𝟐𝝅
𝝀
 
𝝎
𝒌
= 𝝀𝒇 = 𝒄 
Solução simples 
𝑩 = 𝑩𝒎𝒄𝒐𝒔(𝒌𝒙 − 𝒘𝒕) 
Obs: 
• A soluções das 3 e 4 equações de Maxwell são ondulatórias e 
os campos E e B obedece a mesma equação de onda. 
• As ondas eletromagnéticas se propagam no vácuo com a 
velocidade da luz 
 
• 𝑬 ⊥ 𝑩 e 𝑬 ⊥ 𝑽 e 𝑩 ⊥ 𝑽, são portanto ondas transversais; 
𝑪 =
𝟏
 𝝁𝟎𝜺𝟎
 
• Os módulos de 𝑬 e 𝑩 em qualquer instante se relaciona por 
𝑬
𝑩
= 𝑪 
 
• Ondas eletromagnéticas obedecem o principio da 
superposição; 
• Se um campo elétrico e magnético representa uma 
distribuição energética, uma onda eletromagnética 
transporta energia no vácuo. 
 
• 𝒖𝒆 =
𝟏
𝟐
𝜺𝒐𝑬
𝟐 
• 𝒖𝒎 =
𝑩𝟐
𝟐𝝁𝒐
 
 
Vetor de Poynting 
𝑺 =
𝟏
𝝁𝟎
𝑬 × 𝑩 
Direção de propagação 
 
Direção de transporte de energia num ponto 
𝑬 =
𝑭
𝒒
 
Analise “dimensional” 
𝝁𝟎 =
𝑾𝒃
𝑨𝒎
 
𝑬 =
𝑵
𝑪
 
𝑭 = 𝒒𝑭 × 𝑩 𝑩 =
𝑵
𝒄.𝒎
𝒔
=
𝑾𝒃
𝒎𝟐
 
𝑺 =
𝟏
𝝁𝟎
𝑬 𝑩 
𝑺 =
𝟏
𝑾𝒃
𝑨𝒎
𝑵
𝑪
𝑾𝒃
𝒎𝟐
=
𝑵𝒎
𝒎𝟐𝒔
 
𝑺 =
𝑾𝒂𝒕𝒕𝒔
𝒎𝟐
=
𝑷𝒐𝒕ê𝒏𝒄𝒊𝒂
Á𝒓𝒆𝒂
 
𝑬 ⊥ 𝑩 têm-se que: 
Como 
𝑬 × 𝑩 = 𝑬𝑩, assim como o módulo de 𝑺 é 𝑺 = 𝑺 
𝑺 =
𝟏
𝝁𝟎
EB 
𝑬 
𝑩 
𝑺 
Como 𝑬
𝑩
= 𝑪 
𝑺 =
𝟏
𝑪𝝁𝟎
𝑬𝟐 =
𝒄
𝝁𝟎
𝑩𝟐 
Como 
𝑬 = 𝑬𝒎𝒔𝒆𝒏 𝒌𝒙 −𝝎𝒕 
𝑬𝟐 = 𝑬𝒎
𝟐 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒌𝒙 −𝝎𝒕 
𝑺 =
𝟏
𝑪𝝁𝟎
𝑬𝒎
𝟐 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒌𝒙 − 𝝎𝒕 
Intensidade ≡ 𝑺𝒎é𝒅𝒊𝒐 
I = 𝑺𝒎é𝒅 
Como o valor médio de 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒌𝒙 −𝝎𝒕 =
𝟏
𝟐
 
I = 𝑺𝒎é𝒅 =
𝟏
𝟐𝑪𝝁𝟎
𝑬𝒎
𝟐 =
𝑪
𝟐𝝁𝟎
𝑩𝒎
𝟐 
-1 
+1 
𝒔𝒆𝒏 𝒌𝒙 − 𝝎𝒕 
valor médio = 0 
+1 
𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒌𝒙 − 𝝎𝒕 
valor médio = 
𝟏
𝟐
 
𝑪𝝁𝟎 = 
𝝁𝟎
𝜺𝟎
= 𝟏𝟐𝟎𝝅𝛀 = 𝟑𝟕𝟕𝛀 
Denominado impedância no Vácuo 
Densidade de energia elétrica (livros anteriores) 
𝑬𝑹𝑴𝑺 =
𝑬𝒎
𝟐𝒎
 I =
𝟏
𝑪𝝁𝟎
𝑬𝑹𝑴𝑺
𝟐 
Ou 
e 
𝒖𝒆 =
𝟏
𝟐
𝜺𝟎𝑬
𝟐 𝝁𝒎 =
𝟏
𝟐𝝁𝟎
𝑩𝟐 𝑩 =
𝑬
𝑪
 
𝒖𝒎 = 𝒖𝒐 =
𝟏
𝟐
𝜺𝟎𝑬
𝟐 =
𝑩𝟐
𝟐𝝁𝟎
 
𝒖 =
𝟏
𝟐𝝁𝟎
𝑬
𝑪
𝟐
=
𝟏
𝟐
𝜺𝟎𝑬
𝟐 
Logo 
A densidade total de energia 
𝒖 = 𝒖𝒐 + 𝒖𝒎 =
𝟏
𝟐
𝜺𝟎𝑬
𝟐 +
𝑩𝟐
𝟐𝝁𝟎
𝒐𝒖 =
𝟏
𝟐
𝜺𝟎𝑬
𝟐 𝒐𝒖 =
𝑩𝟐
𝝁𝟎
𝒐𝒖 
𝒖𝒎𝒆𝒅 =
𝟏
𝟐
𝜺𝟎𝑬𝒎
𝟐 =
𝑩𝒎
𝟐
𝟐𝝁𝟎
 
Variação da intensidade com a distância 
• Fonte pontual 
• Propagação isotrópica 
• Conservação da energia 
𝚫𝑬
𝚫𝒕
 
Taxa na 
superfície 
de raio r 
Fonte 
 
 
r 
Taxa 
Gerada 
na fonte 
= 
Taxa 
que atravessa 
a superfície de 
raio r (I) 
𝑰 =
𝑷𝒐𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂
Á𝒓𝒆𝒂
=
𝑷
𝟒𝝅𝒓𝟐
 
Pressão da radiação 
𝚫𝒑 =
𝚫𝑼
𝑪
 
• Objeto livre 
• Incidência perpendicular 
• Absorve toda a radiação 
• Quando a energia é refletida 𝚫𝒑 =
𝟐𝚫𝑼
𝑪
 
I=
𝒑𝒐𝒕ê𝒏𝒄𝒊𝒂
á𝒓𝒆𝒂
=
𝑬𝒏𝒆𝒓𝒈𝒊𝒂(𝚫𝑼)
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐 (𝚫𝒕)
Á𝒓𝒆𝒂 (𝚫𝑨)
 
Considere uma superfície plana de área A 
𝚫𝑼 = 𝑰𝑨𝚫𝒕 
Se a energia é totalmente absorvida 𝚫𝒑 =
𝑰𝑨𝚫𝒕 
𝑪
 
F=
𝑰𝑨 
𝑪
 
𝑭 
𝑨
=
𝑰
𝑪
= 𝑷𝒓(𝑷𝒓𝒆𝒔𝒔ã𝒐) Quando reflete 𝑷𝒓 =
𝟐𝑰
𝑪
 
Luz e ótica 
Natureza da Luz 
LUZ: Um dos componentes básicos da natureza (matéria e radiação) 
 e da vida; 
 
VIDA na Terra: Vegetais convertem energia luminosa em energia química. 
Teorias da luz: Uma fascinante historia 
Gregos (500AC): Luz é formada por corpúsculos 
Newton (1700): Teoria corpuscular para explicar reflexão e refração 
Huygens (1650): Caráter ondulatório pois contorna obstáculos 
 (não foi aceita de imediato, pois se propaga no vácuo) 
Young (1773) Interferência 
Maxwell (1873) Teoria magnética (Fortalece hipótese ondulatório) 
A questão do éter 
Efeito fotoelétrico 
Einstein (1905): Quantização – Fótons (pacotes de energia) 
 
 Luz não é onda. Luz não é partícula. Luz é luz. 
 A luz tem características de partículas e de ondas. 
 Algumas vezes age como onda outras como partículas 
𝑬 = 𝒉𝒇 A energia cinética dos elétrons independe da intensidade da luz 
𝒉 = 𝟔, 𝟑𝒙𝟏𝟎−𝟑𝟒𝑱𝒔 𝒐𝒖 𝟒. 𝟏𝟑𝟔 𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟓𝒆𝑽𝒔 
Medida da velocidade da Luz C=3𝒙𝟏𝟎𝟖
𝒎
𝒔
 
Medida da velocidade da Luz 
C = 3𝒙𝟏𝟎𝟖
𝒎
𝒔
 
Galileu: Primeira tentativa. Lanternas com distância de 8km 
 
 
 
Roemer (1675): Antes era considerada instantânea. 
 
 O tempo que a luz leva para percorrer uma orbita terrestre de 
 300 milhões de quilômetros é 1000seg (300000km/s). 
 Atraso na previsão dos eclipses da lua de júpiter é de 600s em 3 meses, 
 devido a diferença de um raio da orbita da Terra 
 A velocidade estimada por Roemer foi de aproximadamente 2,3𝒙𝟏𝟎𝟖
𝒎
𝒔
 
 
Técnica de Fizeau 
(1849) 
C = 2,9977𝒙𝟏𝟎𝟖
𝒎
𝒔
 
𝑪 =
𝟐𝒅
∆𝒕
 
𝝎 =
∆𝜽
∆𝒕
 
𝑪 =
𝟐𝒅𝝎
∆𝜽
 
Ótica geométrica 
Aproximação da propagação retilínea 
Ótica geométrica Raio 
Onda plana 
𝛌 ≪d 
𝛌 ≅d 
Onda de luz passando por uma fresta 
𝛌 ≫ d 
Não há 
difração 
Difração 
Fonte puntiforme 
de ondas 
esféricas. 
Reflexão 
𝜽𝟏
′ = 𝜽𝟏 
Reflexão 
especular 
Reflexão 
difusa 
Reflexão e refração 
Normal 
Raio Incidente 
Raio Refletido 
Raio refratado 
Interface 
Ar n1 
Água n2 
𝜽𝟏 𝜽𝟏 
𝜽𝟐 
Lei da refração (lei de Snell) 𝒏𝟏𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏
′ = 𝒏𝟐𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐 
Lei da reflexão 𝜽𝟏
′ = 𝜽𝟏 
Principio da reversibilidade 
Meio com 
velocidade 
alta 
Meio com 
velocidade 
baixa 
Aproxima
da normal 
 𝒏𝟏 
 𝒏𝟐 
Ar v= 𝟑, 𝟎 𝒙 𝟏𝟎𝟖
𝒎
𝒔
 
Vidro v= 𝟐, 𝟎 𝒙 𝟏𝟎𝟖
𝒎
𝒔
 
Refração da Luz 
𝑺𝒆𝒏 𝜽𝟐
𝑺𝒆𝒏 𝜽𝟏
=
𝑽𝟐
𝑽𝟏
= 𝑪𝒕𝒆 
𝑽𝟐 Velocidade da luz no meio 2 
𝑽𝟏 Velocidade da luz no meio 1 
𝒏𝟐 > 𝒏𝟏 
Meio com 
velocidade 
baixa 
Meio com 
velocidade 
alta 
Afasta da 
normal 
 𝒏𝟏 
 𝒏𝟐 𝒏𝟐 > 𝒏𝟏 
Ar v= 𝟑, 𝟎 𝒙 𝟏𝟎𝟖
𝒎
𝒔
 
Vidro v= 𝟐, 𝟎 𝒙 𝟏𝟎𝟖
𝒎
𝒔
 
IMPORTANTE! 
Quando a luz passa de um meio para o outro 
 a frequência não se altera. 
Exemplo: Carros no estrangulamento da rodovia 
 
 n =
𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒂 𝒍𝒖𝒛 𝒏𝒐 𝒗á𝒄𝒖𝒐
𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒂 𝒍𝒖𝒛 𝒏𝒐 𝒎𝒆𝒊𝒐
=
𝑪
𝑽
 Índice de Refração: 
 𝒏𝟏 =
𝒄
𝒗𝟏
 
 𝒏𝟐 =
𝒄
𝒗𝟐1 
2 
B 
A 𝝺1 
𝝺2 
𝑣2 
𝑣2 
1 
2 
B 
A 𝝺1 
𝝺2 
𝑣2 
𝑣2 
No meio material a absorção e 
re-emissão da luz diminui a velocidade de 
propagação 
1 
2 
B 
A 𝝺1 𝑣2 
𝑣2 
𝒗 = 𝝀𝒇 
𝒇𝟏 = 𝒇𝟏 = 𝒇 
𝒗𝟐 = 𝝀𝟐 𝒇 
𝒗𝟏 = 𝝀𝟏 𝒇 
𝒗𝟏
𝒗𝟐
=
𝝀𝟏
𝝀𝟐
=
𝑪
𝒏𝟏
𝑪
𝒏𝟐
=
𝒏𝟐
𝒏𝟏
 
𝝀𝟏𝒏𝟏 = 𝝀𝟐𝒏𝟐 
Se o meio um for o vácuo n=1 
𝝀𝟏 = 𝝀𝟎 , 𝝀𝟐 = 𝝀 𝒏𝟐=n e 
n=
𝝀𝟎
𝝀
 
1 
2 
B 
A 𝝺1 
𝝺2 
𝑣2 
𝑣2