aula limite

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Limite 
 
 Prof. Mateus Brandão 
 Frases como: o limite de uma velocidade, o limite de 
 um peso de um lutador de boxe, o limite da resistência 
 de um maratonista, o fato de esticar uma mola até o 
 limite; nos sugerem que o limite é uma fronteira que em 
 certas circunstâncias não podem ser atingidas, mas em 
 outras pode ser atingida ou mesmo ultrapassada. 
 
 Vamos pensar em uma mola que se rompe a um peso 
 de 10 quilogramas 
 
 
 
 
 
O Limite de uma Função 
 Assim: penduramos pesos cada vez maiores para 
determinarmos qual a extensão que a mola pode atingir 
sem se romper e medimos o comprimento s da mola para 
cada peso Q. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q = 2 
Q = 6 
Q = 9,5 
Q = 9,999 
s 
 
 Observamos então que se o comprimento s da mola se aproxima de 
um valor L, dizemos que “o limite de s quando Q tende para 10 é L”. Com 
isso, um limite matemático se parece com o limite de uma mola. A notação 
de limite é: 
 
 que se lê como “o limite de f(x) quando x tende a c é L”. 
 
 
 
Lxf
cx


)(lim
Exemplo 1: Determine 
 
Solução: Seja . Observando o gráfico de f, vemos que 
 
f(x) se aproxima de 2 quando x se aproxima de 1 pela esquerda ou pela 
 
direita, de modo que podemos escrever: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinação de um Limite 
)1(lim 2
1


x
x
1)( 2  xxf
2)1(lim 2
1


x
x
-2 -1 
2 
2 1 
3 
2 
(1,2) 
 Observando a tabela abaixo, chegamos à mesma conclusão. 
Observe que quando x se aproxima de 1, f(x) se aproxima de 2. 
 
 
x 0,900 O,990 0,999 1,000 1,001 1,010 1,100 
F(x) 1,810 1,980 1,998 2,000 2,002 2,020 2,210 
X tende a 1 X tende a 1 
F(x) tende a 2 F(x) tende a 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Determine 
 
 
Solução: Observando o gráfico de f, vemos que f(x) se aproxima de 2 quando x 
se aproxima de 1 pela esquerda ou pela direita. O ponto onde a função não 
é definida é representada pelo sinal de vazio. 
1
1
lim
2
1 

 x
x
x
1 
2 
2 3 
1 
3 
(1,2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observando a tabela quando x é igual a 1 não existe uma representação 
pois, conforme visto no gráfico a função não está definida. O fato de f(x) não 
ser definida no ponto x = 1 é irrelevante para a determinação do limite. O 
limite depende somente dos valores de f(x) nas proximidades de x = 1, não 
do valor da função em x = 1. 
 
 
 
x 0,900 O,990 0,999 1,000 1,001 1,010 1,100 
F(x) 1,900 1,990 1,999 ? 2,001 2,010 2,100 
X tende a 1 
F(x) tende a 2 
X tende a 1 
F(x) tende a 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 3: Determine 
 
Solução: Observando o gráfico da função, vemos que f(x) se aproxima de 1 
quando x se aproxima de 1 pela esquerda ou pela direita. 





 1,0
1,
lim
1 x
xx
x
1 
 
2 3 
1 
 
2 
3 
(1,1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na tabela abaixo, vemos que não importa que f(1) = 0 ; o limite 
depende dos valores de f(x) nas proximidades de x = 1, não do 
valor da função em x = 1. 
 
 
 
 
x 0,900 O,990 0,999 1,000 1,001 1,010 1,100 
F(x) 0,900 0,990 0,999 0,000 1,001 1,010 1,100 
X tende a 1 X tende a 1 
F(x) tende a 1 F(x) tende a 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observando os exemplos acima, destacamos alguns fatos importantes: 
1. Dizer que o limite de f(x) é L quando x tende a c significa que o valor de 
f(x) pode tornar-se arbitrariamente próximo de L, bastando para isso 
escolher um valor de x suficientemente próximo de c. 
2. Para que o limite exista, é preciso que f(x) se aproxime do mesmo valor 
quando x se aproxima de c pela esquerda e pela direita. Se f(x) se 
aproxima de números diferentes quando x se aproxima de c pela 
esquerda e pela direita, o limite não existe. 
3. O valor de f(x) para x = c não tem influência sobre o limite de f(x) quando 
x tende a c. No exemplo 3, por exemplo, o limite de f(x) quando x tende a 
1 é igual a 1, embora o valor de f(x) seja 0 para x = 1. No exemplo 2, o 
limite de f(x) quando x tende a 1 existe (é igual a 1), embora a função não 
seja definida no ponto x = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Limites de Expressões Algébricas Simples 
 Exemplos: 
1) f(x) = 2x -3 e a = 4 
 
 
 Quanto mais próximo de 4, x estiver, mais próximo de 5, f(x) vai estar 
 
2) f(x) = e a = -3 
 
 
 
 
 Quanto mais próximo de -3, x estiver, mais próximo de 10, f(x) vai estar 
53)4(232lim
4


x
x
12 x
101)3(1lim 22
3


x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
Limites Laterais 
 Se x se aproxima de a através de valores maiores 
que a ou pela sua direita, escrevemos: 
 
 
 
 Esse limite é chamado de limite lateral à direita 
de a. 
b)x(flim
ax


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Se x se aproxima de a através de valores menores que a 
pela sua esquerda, escrevemos: 
 
 
 
 
 
 Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a. 
 
 
c)x(flim
ax


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O limite de f(x) para xa existe se, e somente se, 
os limites laterais à direita e esquerda são iguais, ou 
seja: 
 
• * Se , então 
 
 
 
• ** Se , então não existe 
b)x(flim)x(flim
axax

 
b)x(flim
ax


)x(flim)x(flim
axax  
 )x(flim
ax
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplos: 
1) Observe o gráfico da função f(x): 
 
 1 
 2 
 4 










2)x(flim
4)x(flim
1x
1x
)x(flim
1x
 logo, não existe 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Sendo f(x) = então: 
 
 
 
 





1x ,1x6
1x ,x4x2
5)1x6(lim)x(flim
5)x4x(lim)x(flim
1x1x
2
1x1x






logo 
5)x(flim
1x


 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema sobre Limites 
1) Limite de uma constante 
 O limite de uma constante é a própria constante, isto é: 
 
 Exemplos: a) b) 
2) Limite da soma ( ou da diferença ) 
 O limite da soma (ou da diferença) de duas funções é igual à soma 
(ou à diferença ) dos limites dessas funções, isto é: 
 
 
kklim
ax


33lim
4x

 3
2
3
2
lim
8x


  )x(glim)x(flim)x(g)x(flim
axaxax 

 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
a) 
 
b) 
 
3) Limite do produto 
 O limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites dessas funções, 
isto é: 
 
 
 
 
 Exemplo: 
 
193163limxlim)3x(lim
4x
2
4x
2
4x


3525limxlim)5x(lim
2x2x2x


)x(glim)x(flim)x(g)x(flim
axaxax 

1644xlim4limx4lim 2
2x2x
2
2x


 
 
 
 
 
 
 
 
4) Limite do quociente 
 O limite do quociente de duas funções é o quociente dos limites dessas 
funções (exceto quando o limite do divisor for igual a zero), isto é: 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
5) Limite de uma potência 
 O limite de uma potência enésima de uma função é igual à potência 
enésima do limite dessa função, isto é: 
)x(glim
)x(flim
)x(g
)x(f
lim
ax
ax
ax




4
5)2x(lim
)3x(lim
2x
3x
lim
2x
2x
2x









 n
ax
n
ax
)x(flim)]x(f[lim


 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
6) Limite de uma raiz 
 O limite da raiz enésima de uma função é igual à raiz enésima do limite 
dessa função, isto é: 
 
 
 
 
Exemplo: 
    10010x5limx5lim 22
2x
2
2x


n
ax
n
ax
)x(flim)x(flim


232x2limx2lim 55 4
2x
5 4
2x


 
 
 
 
 
 
 
 
Limites infinitos e limites para x tendendo ao infinito 
 Ampliaremos agora o conceito de limite, introduzindo o elemento infinito, que 
representamos por . 
 O símbolo  não representa um número, portanto, não se efetuam com ele 
as operações que realizamos com os números reais. 
 
 Exemplo: Seja o gráfico da função f(x) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
 
 
 
 
 
 
 
 
 Quando x se aproxima de zero, pela direita, y cresce 
indefinidamente superando qualquer valor arbitrário que fixemos, isto 
é, y tende a mais infinito e indicamos: 
 
 
 
 
 Quando x se aproxima de zero, pela esquerda, y decresce 
indefinidamente, isto é, y tende a menos infinito e indicamos: 
 
 
 
 
 
 Observe que não existe porque os limites laterais são 
diferentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 x
1
lim
0x

 x
1
lim
0x
x
1
lim
0x
 
 
 
 
 
 
 
 
 A partir do mesmo gráfico, podemos concluir que: 
 
 quando x cresce indefinidamente, o gráfico quase encosta no eixo 
x, isto é, y tende a zero: 
 
 
 
 
 
 quando x decresce indefinidamente, o gráfico quase encosta no 
eixo x, isto é, y tende a zero: 
 
 
 
0
x
1
lim
x


0
x
1
lim
x


 
 
 
 
 
 
 
 
Técnica para cálculo de limites 
1º caso: 
 A função existe, isto é, está definida no ponto considerado. 
 
 Técnica de resolução: Substituição direta do valor de x. 
 
Exemplo: 
 
 
 
2º caso: 
 A função polinomial não tem denominador e x tende a + ou . 
 
 Técnica de resolução: Colocar em evidência a maior potência de x. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
4
1
13
43
1x
4x
lim
3x







  













4
x432
4
x
234
x
x3lim
x
1
x
1
x
1
x
2
3xlim1xxx2x3lim
 
 
 
 
 
 
 
 
3º caso 
 O numerador se aproxima de um número real não-nulo e o 
denominador tende a zero. 
 
 Técnica de resolução: Se o denominador tende a zero, a fração 
cresce ou decresce indefinidamente e o limite será + ou . 
 
 
 Exemplo: a) 
 
 Para sabermos o sinal da resposta com x tendendo a 1 pela direita, 
podemos fazer x=1,1 e verificar qual é o sinal da função. 
 
 f(x) = 
 
Se a função é positiva para x =1,1, o limite tende a +. 

 1x
x3
lim
21x
 
0
11,1
1,13
1x
x3
22





 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
Fazendo x = 0,9, temos: 
 
 f(x) = logo, o limite tende a . 
 
 
4º caso 
 O numerador tende a um número real e o denominador se aproxima 
de + ou . 
 
 Técnica de resolução: Neste caso o limite é sempre igual a zero. 
 
Exemplos: a) b) 

 1x
x3
lim
21x
 
0
19,0
9,03
2



0
x
7
lim
x


0
1x
3
lim
3x




 
 
 
 
 
 
 
 
 
5º caso 
 O numerador e o denominador tendem a + ou . 
 
 Técnica de resolução: Divida o numerado e o denominador pela 
maior potência de x e faça a substituição. 
 
 Exemplos: 
 a) 
 
 
0
1
0
x
1
x
4
1
x
3
x
1
x
2
x
1
lim
x
1
x
x4
x
x
x
3
x
x
x
x2
x
x
lim
1x4x
3xx2x
lim
74
7652
x
77
3
7
7
777
2
7
5
x37
25
x












 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
6º caso 
 O numerador e o denominador tendem a zero. 
 
 Técnica de resolução: Devemos fatorar o numerador e o denominador 
e simplificar a função ou multiplicar e dividir a fração pelo conjugado do 
numerador ( denominador ). 
 
Exemplos: a) 
 







43
4
x2
5
x
x
2
x
1
x
1
1
lim
x2x
xx
lim
2xlim
2x
)2x(x
lim
2x
x2x
lim
2x2x
2
2x







 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
  
 
    2
1
1x1
1
lim
1x1x
1x1
lim
1x1x
1x11x1
lim
x
1x1
lim
0x0x
0x0x













 
 
 
 
 
 
 
 
Limite exponencial fundamental 
 
Seja a função f(x) = , definida num domínio D. 
 
 Tabelando a função f, temos 
 
 x y 
 1 2 
 2 2,25 
 3 2,369 
 10 2,594 
 100 2,705 
 1000 2,717 
 10000 2,718 
 e 
 
 Para os valores de x correspondem valores de y que vão se 
aproximando do número irracional e, chamado número de Euler (Leonhard 
Euler 1707-1783). 
 
 
 
1
1







x
x

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde e = 2,71828182... ( usando oito casas decimais ) 
 
 
1º Exemplo: Calcular 
 
 
 
 
 
e
x
1
1lim
x
1
1lim
x
x
x
x














.
x
1
1lim
x4
x








4
4
x
x
4
x
x
x4
x
e
x
1
1lim
x
1
1lim
x
1
1lim 





































 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º Exemplo: Calcular 
 
 
 
 
 = 
 
 
 Fazendo Se x   y  
 
Substituindo, temos: 
 
 
x
x x
6x
lim 




 

x
x x
6x
lim 




 

x
x
x
x x
6
1lim
x
6
x
x
lim 













y6x
y
1
x
6

6
6
y
y
y6
y
x
x
e
y
1
1lim
y
1
1lim
x
6
1lim 




























 
 
 
 
 
 
 
 
Função contínua 
 
 Uma função f(x) definida em um intervalo J, com a  J, é dita contínua 
 
em x = a, se: 
 
 1º exemplo: Verificar se a função f(x) = é contínua em x =3. 
 
Cálculo de f(3): f(3) = = 5 
 
Cálculo de lim f(x): 
 
 Logo, f(x) é contínua em x=3. 
 Observe que f(x) não é contínua em x=2, pois, não existe f(2). 
 
2º exemplo: Verificar se a função f(x) = é contínua em x=1. 
 
Como não existe f(1), porque teríamos uma divisão por zero, a função é 
descontínua em x=1. 
)a(f)x(flim
ax


2x
4x2


23
432


5)2x(lim
)2x(
)2x)(2x(
lim
2x
4x
lim
3x3x2
3x







1x
7x

