Aula 1 Limites de uma função e continuidade Parte I

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Disciplina: Análise Matemática para
Engenharia I
Aula 1: Limites de uma função e continuidade – Parte I
Apresentação
No sentido �gurado, limite é de�nido como “uma marca a partir da qual não se pode continuar” ou “o mais alto grau ou �nal
de alguma coisa”. Em matemática, o conceito de limite é fundamental para o Cálculo diferencial e integral. Na verdade,
constitui a pedra fundamental sobre a qual se apoia, por exemplo, as ideias de taxa de variação, integração e séries in�nitas.
Nesta aula, começaremos a desenvolver o conceito de limite em etapas, a partir de uma noção informal e intuitiva e,
posteriormente, veremos uma de�nição matemática precisa. Aqui desenvolveremos também os teoremas e os
procedimentos para se calcular limites.
Objetivos
De�nir o conceito de limite;
Reconhecer as propriedades dos limites;
Determinar os limites laterais e os limites no in�nito.
Ideia de limite
Muitas das ideias básicas do Cálculo tiveram sua origem em dois problemas geométricos:
Dada uma função f e um ponto P(x ,y )
em seu grá�co, encontre uma equação
da reta que é tangente ao grá�co em P.
(a) Reta tangente, em verde, ao
grá�co da função f, em vermelho,
em P.
o o Dada uma função f, encontre a área
entre o grá�co de f e um intervalo [a,b]
no eixo x.
(b) Área S compreendida entre o
grá�co de f(x) e um intervalo [a,b].
Assim como a noção geral da reta tangente leva ao conceito de limite, o mesmo acontece com a noção geral da área.
Tradicionalmente a parte do Cálculo que se originou do problema da reta tangente é denominada Cálculo Diferencial; enquanto
que a parte originada do problema da área é denominada Cálculo Integral.
Você verá mais tarde que a distinção é bastante arti�cial, pois o Cálculo Diferencial e o
Cálculo Integral estão estritamente relacionados.
A ideia de limite também ocorre no contexto familiar dos números decimais. Por exemplo, a expansão decimal da fração ¹⁄� é:
1
3 = 0, 33333…
Nela, os pontos indicam que o dígito 3 se repete inde�nidamente. Embora você nunca tenha pensado em decimais dessa maneira,
podemos escrever ¹⁄� como:
1
3 = 0, 33333… = 0, 3 + 0, 03 + 0, 003 + 0, 0003 + 0, 00003…
Isso é a soma de “in�nitas” parcelas. Conforme será discutido com maiores detalhes mais adiante, pois, à medida que incluímos
mais e mais parcelas na soma, nos aproximamos mais e mais de um valor limite de ¹⁄�.
Noção intuitiva de limite
Agora que você já viu como a ideia de limite aparece em algumas situações, vamos nos concentrar no conceito.
O uso mais básico de limites é descrever como uma função se comporta quando a variável independente tende a um dado valor.
Por exemplo, examine o comportamento da função:
f x = x2 - 3x + 2
Quando x está cada vez mais próximo de 3.
( )
 Gráfico da função f(x) = x - 3x + 2. Observe que à medida que x se aproxima de 3, por
qualquer um dos lados, esquerdo ou direito, o valor de f(x) se aproxima de 2 (ponto
indicado em azul no gráfico).
2
Podemos descrever isso dizendo que “o limite de x – 3x + 2 é 2 quando x tende a 3 por qualquer um dos lados”, e escrevemos:
lim ( x → 3 ) x2 - 3x + 2 = 2
A tabela a seguir torna a ideia mais clara.
Tabela 1: Valores para a função f(x) = x – 3x + 2 conforme a variável independente x se aproxima do valor 3.
2
( )
2
x 2 2,5 2,9 2,99 2,9999 3 3,0001 3,01 3,05 3,1 3,5
f(x) 0 0,75 1,71 1,9701 1,9997001 2 2,00030001 2,0301 2,1525 2,31 3,75
 
A ideia geral é a seguinte: “os valores de f(x) podem se tornar tão próximos quanto queiramos de L, desde que tomemos valores
de x su�cientemente próximos de a (mas não iguais a a)”.
Podemos, então, escrever:
limx → af x = L
Que deve ser lido como “o limite de f(x) quando x tende a a é L” ou “f(x) tende a L quando x tende a a”.
Podemos também escrever: f(x) → L quando x → a. 
( )
Em resumo, limite é o ponto máximo a que uma função f(x) tende, dado um valor de x;
e, não importa se a função chega ou não a esse ponto máximo.
Exemplo 1
Use evidência numérica para conjecturar o valor de: limx → 1
x - 1
√ x - 1
Solução: Embora a função não esteja de�nida em x = 1, isso não tem relação alguma com o limite. A Tabela 2 apresenta valores
amostrais de x se aproximando de 1 de ambos os lados.
Nos dois casos, os correspondentes valores de f(x), calculados até a sexta casa decimal, parecem estar se aproximando mais e
mais de 2, e, portanto, você pode conjecturar que:
limx → 1
x - 1
√ x - 1 = 2
Isso é consistente com o grá�co de f(x) apresentado anteriormente.
Tabela 2: Valores da função f x =
x - 1
√ x - 1
à medida que x se aproxima de 1:
( )
x 0,99 0,999 0,99999 0,999999 1 1,00001 1,0001 1,001 1,01
f(x) 1,994987 1,99950 1,999950 1,999995 2,000005 2,000050 2,000500 2,004988
 
 Gráfico da função f x =
x - 1
√ x - 1( )
“A função f(x), não está de�nida quando x = 1 (ponto indicado por um círculo aberto em preto). No entanto, o limite pode ser
calculado, por ambos os lados, e quando x → 1, f(x) → 2”.
Embora a evidência numérica seja útil, por vezes, ela pode levar a conclusões erradas sobre os limites, por causa dos erros de
arredondamento ou porque os valores amostrais não revelam o verdadeiro comportamento do limite.
Isso chama a atenção para o fato de que é necessário dispor de métodos alternativos
para corroborar limites conjecturados a partir de evidências numéricas.
Limites laterais
Os limites laterais podem ser entendidos da seguinte forma:
Os valores de f(x) podem se tornar tão próximos de L quanto quisermos, desde que tomemos os valores de x su�cientemente
próximos de a (mas maiores do que a); então, escrevemos:
limx → a + f x = L
Ou seja: “L é o limite de f(x) quando x tende a a pela direita” ou “f(x) tende a L quando x tende a a pela direita”.
Os valores de f(x) podem se tornar tão próximos de L quanto quisermos, desde que tomemos os valores de x su�cientemente
próximos de a (mas menores do que a); então, escrevemos:
limx → a - f x = L
( )
( )
Isto é: “L é o limite de f(x) quando x tende a a pela esquerda” ou “f(x) tende a L quando
x tende a a pela esquerda”.
Usando a notação adequada: f x → L com x → a + e f x → L com x → a - .
De um modo geral, não há garantia de que uma função tenha um limite bilateral em um ponto dado; ou seja, os valores de f(x)
podem não se aproximar mais e mais de um único número real L quando x → a
Nesse caso, dizemos que:
limx → af x não existe
Consequentemente: “O limite bilateral de uma função f(x) existe em um ponto a se, e somente se, existirem os limites laterais
naquele ponto e tiverem o mesmo valor; isto é:
limx → af x = L se, e somente se, limx → a - f x = L e limx → a + f x = L
Você pode assimilar a ideia da existência ou não de limite de uma função f(x) em um ponto x = a guardando os seguintes
postulados:
“Não existe um limite bilateral, se os limites esquerdo e direito forem diferentes”. Em outras palavras, se há uma “quebra” no
grá�co de uma função e as duas partes da função não se encontram em determinado ponto, não existe limite bilateral.
“Um limite bilateral não existe se uma função cresce ou decresce in�nitamente a um determinado valor de x”.
“Um limite bilateral não existe se uma função oscila in�nitamente, sem nunca se aproximar de alguma cota”. Isso é raro, mas, às
vezes, uma função pode oscilar continuamente para lá e para cá, sem nunca alcançar um valor numérico.
Quando esse é o caso, não existe limite.
Exemplo: f x =
1
sin x 
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
 Gráfico da função f x = 1sin x ( )
Observe que limx → 0
1
sin x não existe, uma vez que a função f(x) oscila continuamente entre -1 e 1, sem nunca alcançar um valor
numérico.
Exemplo 2
Considere as funções ilustradas nos grá�cos a seguir. Encontre os limites laterais e bilaterais em x = a se eles existirem.
 Diferentes funções f(x) para a avaliação de limites laterais e bilaterais. Fonte: ANTON et al. (2007).
Solução: As funções f(x) nos grá�cos têm os mesmos limites laterais quando x → a uma vez que as funções são idênticas,
exceto em x = a . Esses limites são:limx → a - f x = 1 e limx → a + f x = 3( ) ( )
Em todos os três casos, o limite bilateral não existe quando x → a, pois os limites
laterais não são iguais.
Limites in�nitos
Às vezes, os limites laterais ou bilaterais não existem porque os valores da função crescem ou decrescem sem cotas.
Por exemplo, considere o comportamento da função f x = 
1
x para valores de x perto de 0.( )
Saiba mais
É evidente, a partir da Tabela 3 e do último grá�co, que à medida que tomamos os valores de x cada vez mais próximos de 0 pela
direita, os valores de f x = 
1
x são positivos e crescem sem cota; e, à medida que tomamos os valores de x cada vez mais
próximos de zero pela esquerda, os valores de f x = 
1
x negativos e decrescem sem cota.
( )
( )
Esses comportamentos �nais são descritos escrevendo:
limx → 0 +
1
x = + ∞ e limx → 0
- 1
x = - ∞
 Gráfico da função f x = 
1
x . Observe que quando 
x → 0 - , f x → - ∞; enquanto que quando 
x → 0 + , f x → + ∞.
( )
( )
( )
Tabela 3: Diferentes valores para a função f x = 
1
x à medida que a variável independente x se aproxima de zero pela esquerda e
pela direita.
( )
x -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 0 0,0001 0,001 0,01 0,1 1
f(x) -1 -10 -100 -1.000 -10.000 10.000 1.000 100 10 1
As expressões limx → a - f x = + ∞ e limx → a + f x = + ∞ e signi�cam que f(x) cresce sem conta quando x tende a a pela
esquerda ou pela direita, respectivamente.
( ) ( )
Se ambas são verdadeiras, então escrevemos: limx→af x = + ∞.( )
Analogamente, as expressões limx → a - f x = - ∞ e limx → a + f x = - ∞ signi�cam que f(x) decresce sem conta quando x tende a
a pela esquerda ou pela direita, respectivamente.
( ) ( )
Se ambas são verdadeiras, então escrevemos: limx→af x = - ∞.( )
Exemplo 3
Para a função f x =
- 1
x - 3 )2
 , descreva os limites em x = 3 na notação de limite apropriada.
Solução: Observe no grá�co abaixo que a função f x =
- 1
x - 3 )2
 decresce sem cota quando x tende a 3 pela esquerda e pela
direita. Então:
limx → 3 -
- 1
x - 3 )2
= - ∞ e limx → 3 +
- 1
x - 3 )2
= - ∞ . Logo: limx → 3
- 1
x - 3 )2
= - ∞
( ) (
( ) (
( ( (
 Gráfico da função f x = - 1
x - 3 )2
.( ) (
Observe que quando x → 3 seja pela esquerda ou seja pela direita, a função f(x) decresce sem cota.
Nos próximos grá�cos há um resumo geral do comportamento de algumas funções f(x) típicas. Observe que:
1 A função cresce sem cota quando x tende a a pela direita; e, decresce sem cota, quando x tende a a pela esquerda;
2 A função cresce sem cota quando x tende a a pela direita e pela esquerda;
3 A função decresce sem cota quando x tende a a pela direita; e, cresce sem cota quando x tende a a pela esquerda;
4 A função decresce sem cota quando x tende a a pela esquerda e pela direita.
 Diferentes funções f(x) para a avaliação de limites laterais quando x → a. Fonte: ANTON et al. (2007).
Assíntotas verticais
Os grá�cos a seguir ilustram geometricamente o que acontece quando ocorre uma das seguintes situações:
limx → a - f x = + ∞ limx → a + f x = + ∞ limx → a - f x = - ∞ limx → a + f x = - ∞
Em cada caso, o grá�co de y = f(x) ou sobe ou desce sem cota, ajustando-se mais e mais à reta vertical x = a à medida que x
tende a a pelo lado indicado no limite.
A reta x = a é denominada assíntota vertical da curva y = f(x). O termo assíntota deriva do grego asymptotos, que signi�ca “que
não pode coincidir”.
( ) ( ) ( ) ( )
 Assíntotas verticais para uma função f(x) quando x → a - ou x → a + Fonte: ANTON et al. (2007).
Calculando limites
Vamos começar com algumas funções simples cujos limites podem ser facilmente determinados:
"Sejam a e k dois números reais: limx → ak = k           limx → ax = a           limx → 0 -
1
x = - ∞           limx → 0
+ 1
x = + ∞"
 Representação de limites de algumas funções simples. Fonte: ANTON et al. (2007).
"Seja a um número real e suponha que: limx → af x = L1 e limx → ag x = L2"
Ou seja, os limites existem e têm valores L e L , respectivamente.
Então:
(a) O limite da soma é a soma dos limites.
limx → a f x + g x = limx → af x + limx → ag x = L1 + L2
(b) O limite da diferença é a diferença dos limites.
limx → a f x - g x = limx → af x - limx → ag x = L1 - L2
(c) O limite do produto é o produto dos limites.
limx → a f x · g x = limx → af x · limx → ag x = L1 · L2
(d) O limite do quociente é o quociente dos limites, desde que o limite do denominador não seja zero.
limx → a
f ( x )
g ( x ) =
limx → af x
limx → ag x
=
L1
L2
, desde que L2 ≠ 0
(e) O limite da raiz enésima é a raiz enésima do limite.
limx → a
n
√f(x) =
n
limx → af x =
n
L1 desde que L1 > 0 se n for par
Além disso, essas a�rmações também são válidas para os limites laterais, ou seja, quando x → a - ou x → a + .
Para o caso especial em que a função f(x) é uma função constante, ou seja, f(x) = k, temos:
limx → a k · g x = limx → ak · limx → ag x = k · limx → ag x
Ou seja, um fator constante pode ser movido para fora de um símbolo de limite.
(f) Para qualquer polinômio p(x)=c +c x+ ... +c x e qualquer número real a
limx → ap x = co + c1a + ⋯ + cna
n = p a
( ) ( )
1 2
[ ( ) ( )] ( ) ( )
[ ( ) ( )] ( ) ( )
[ ( ) ( )] ( ) ( )
( )
( )
√ ( ) √
[ ( )] ( ) ( )
o 1 n
n
( ) ( )
Exemplo 4
Encontre limx → 2 x2 - 5x + 7
Solução:
limx → 2 x2 - 5x + 7 = limx → 2x2 - limx → 25x + limx → 27 = limx → 2x2 - 5 · limx → 2x + limx → 27 = 22 - 5 · 2 + 7 = 1
Ou:
limx → 2 x2 - 5x + 7 = limx → 2 22 - 5 · 2 + 7 = limx → 21 = 1
( )
( )
( ) ( )
Exemplo 5
Encontre limx → 5
6x4 - 5
x - 3
limx → 5
6x4 - 5
x - 3 =
limx → 5 6x4 - 5
limx → 5 ( x - 3 ) =
6 · 54 - 5
5 - 3 =
3745
2
O método utilizado no exemplo 5 não funciona com funções racionais em que o limite do denominador é nulo.
Há dois casos a considerar: aquele em que o limite do denominador é zero e do numerador não é zero; e, aquele em que ambos os
limites, o do denominador e o do numerador são iguais a zero.
Se o limite do denominador é zero, mas o limite do numerador não é, podemos provar que o limite da função racional não existe e
que ocorre uma das seguintes situações:
O limite poderá ser - ∞
O limite poderá ser + ∞
O limite poderá ser - ∞ de um lado e + ∞ do outro
Os grá�cos a seguir ilustram essas três possibilidades gra�camente para funções racionais da forma: 
1
x - a , 
1
( x - a ) 2
 , 
- 1
( x - a ) 2
No caso em que 
p ( x )
q ( x ) é uma função racional para a qual p(a) = 0 e q(a) = 0, o numerador e o denominador necessariamente
possuem um ou mais fatores comuns de x – a.
Nesse caso, o limite de 
p ( x )
q ( x ) quando x → a pode ser encontrado cancelando todos os fatores comuns de x – a e usando um dos
métodos considerados anteriormente para encontrar o limite da função simpli�cada.
( )
 Limites de algumas funções racionais em que o limite do denominador é zero, mas o limite do numerador não é. Fonte: ANTON et al. (2007).
Exemplo 6
Encontre limx → - 4
2x + 8
x2 + x - 12
Solução: O numerador e o denominador têm um zero em x = - 4. Logo, há um fator comum em x – (-4) = x + 4.
limx → - 4
2x + 8
x2 + x - 12
= limx → - 4
2 · ( x + 4 )
( x + 4 ) · ( x - 3 ) = limx → - 4
2
x - 3 = -
2
7
Exemplo 7
Encontre limx → 5
x2 - 3x - 10
x2 - 10x + 25
Solução: O numerador e o denominador têm um zero em x = 5. Logo, há um fator comum em x – 5.
limx → 5
x2 - 3x - 10
x2 - 10x + 25
= limx → 5
( x - 5 ) · ( x + 2 )
( x - 5 ) · ( x - 5 ) = limx → 5
( x + 2 )
( x - 5 )
Contudo: limx → 5(x + 2) = 7 ≠ 0 e limx → 5(x - 5) = 0.
Portanto: limx → 5
x2 - 3x - 10
x2 - 10x + 25
= limx → 5
( x + 2 )
( x - 5 ) não existe.
Observando a análise de sinais:
limx → 5 -
x2 - 3x - 10
x2 - 10x + 25
= limx → 5 -
( x + 2 )
( x - 5 ) = - ∞
limx → 5 +
x2 - 3x - 10
x2 - 10x + 25
= limx → 5 +
( x + 2 )
( x - 5 ) = + ∞
Observe que o limite quando x → 5 não existe.
Teorema: Sejam f(x) =
p ( x )
q ( x )
uma função racional e a um número real qualquer.
Se:
(a) (a)q(a) ≠ 0, então limx → af(x) = f(a).(b) (b)q(a) = 0, mas p(a) ≠ 0, então, limx → af(x) não existe.
 Gráfico da função 
x2 - 3x - 10
x2 - 10x + 25
 ou 
( x + 2 )
( x - 5 ) .
Um quociente f(x)/g(x) em que o numerador e o denominador têm ambos um limite zero quando x → a é denominado forma
indeterminada do tipo 0/0.
Às vezes, os limites de formas indeterminadas do tipo 0/0 podem ser encontrados por meio de simpli�cação algébrica, como nos
exemplos 6 e 7, mas frequentemente isso não funciona e precisamos usar outros métodos.
Exemplo 8: Limites envolvendo radicais
limx → 1
x - 1
√x - 1
Como esse limite é uma forma indeterminada do tipo 0/0, você precisa construir uma estratégia para torná-lo evidente, caso
exista. Uma estratégia é racionalizar o denominador da fração. Assim, obtemos:
limx → 1
x - 1
√x - 1
= limx → 1
x - 1 · √x + 1
√x - 1 · √x + 1
= limx → 1
( x - 1 ) · √x + 1
x - 1 = limx → 1 √x + 1 = 2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Exemplo 9: Limites de funções de�nidas por partes
Para funções que são de�nidas por partes, é melhor obter o limite bilateral em um ponto no qual a fórmula muda, encontrando
primeiro os limites laterais no ponto.
Seja: f(x) =
1
( x + 2 ) , x < - 2
x2 - 5, - 2 < x ≤ 3
√x + 13, x > 3
Encontre: (a) limx → - 2f(x)     (b) limx → 0f(x)     (c) limx → 3f(x)
Solução:
(a) limx → - 2 -
1
x + 2 = - ∞ e limx → - 2
+ x2 - 5 = - 1. Logo limx → - 2f(x) não existe.
(b) A parte aplicável da fórmula é f x = x2 – 5 em ambos os lados de 0, portanto não há necessidade de considerar limites
laterais.
limx → 0f(x) = limx → 0 x2 - 5 = - 5
(c) As partes aplicáveis da fórmula de f(x) são: limx → 3 - x2 - 5 = 4 e limx → 3 +√x + 13 = 4. Como os dois limites laterais são iguais,
limx → 3f(x) = 4.
{
( )
( )
( )
( )
 Gráfico da função f(x) proposta no Exemplo 9. Observe que há consistência com os
limites calculados em (a), (b) e (c).
Limites no in�nito
Se os valores de uma variável x crescem sem parar, então escrevemos x → + ∞, e se os valores de x decrescem sem parar,
então escrevemos x → - ∞.
Algumas vezes, dizemos que o comportamento �nal de uma função f(x) é o comportamento da função quando x cresce ou
decresce sem parar.
Por exemplo:
limx → - ∞
1
x = 0 e limx → + ∞
1
x = 0
"Se os valores de f(x) �cam tão próximos quanto quisermos de um número L à medida que x cresce sem parar, então: 
lim𝑥 → + ∞𝑓 𝑥 = 𝐿 ou 𝑓 𝑥 → 𝐿 quando 𝑥 → + ∞".( ) ( )
"Se os valores de f(x) �cam tão próximos quanto quisermos de um número L à medida que x decresce sem parar, então: 
lim𝑥 → - ∞𝑓 𝑥 = 𝐿 ou 𝑓 𝑥 → 𝐿 quando 𝑥 → - ∞".( ) ( )
Se ocorrer um desses limites, dizemos que a reta y = L é uma assíntota horizontal do grá�co de f.
Exemplo 10
Grá�co da função f x = 1 +
1
x )
x
Observe que y = e é uma assíntota horizontal para f tanto no sentido positivo quanto no sentido negativo.
limx → - ∞ 1 +
1
x )
x = e limx → + ∞ 1 +
1
x )
x = e
( ) (
( (
 Assíntota horizontal presente no gráfico da função 
f x = 1 +
1
x )
x quando x → - ∞ e x → + ∞.( ) (
Regras de limites para limites no in�nito:
limx → - ∞ f x )n = limx → - ∞ f x )n e limx → + ∞ f x )n = limx → + ∞ f x )n
Desde que existam os limites indicados de f(x).
Também segue que constantes podem ser tiradas fora do símbolo de limite para limites no in�nito:
limx → - ∞ kf x = k · limx → - ∞ f x e limx → + ∞ kf x = k · limx → + ∞ f x
Desde que existam os limites indicados de f(x).
Finalmente, se f(x)=k é uma função constante, então os valores de f não mudam quando x → + ∞ ou x → - ∞, de modo que:
limx → - ∞ k = k e limx → + ∞ k = k 
( ( ) ( ( ) ( ( ) ( ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Limites in�nitos no in�nito
"Se os valores de f(x) crescem sem cota quando x → - ∞ ou x → + ∞ , então escrevemos:
limx → - ∞ f x = + ∞ e limx → + ∞ f x = + ∞, conforme o caso."
"Se os valores de f(x) decrescem sem cota quando x → - ∞ ou x → + ∞ , então escrevemos:
limx → - ∞ f x = - ∞ e limx → + ∞ f x = - ∞, conforme o caso."
( ) ( )
( ) ( )
Limites de x quando x → ± ∞
Nos grá�cos apresentados a seguir, ilustramos o comportamento no in�nito dos polinômios da forma x para n = 1, 2, 3 e 4, que
são casos especiais do seguinte resultado geral:
limx → + ∞ xn = + ∞, n = 1, 2, 3…
limx → - ∞ xn =
-∞, n = 1, 3, 5…
+∞, n = 2, 4, 6…
n
n
{
 Limites de x quando x → ± ∞ para funções de n = 1, 2, 3 e 4. Fonte: ANTON et al. (2007).n
A multiplicação de x por um número real positivo não afeta os limites, mas a multiplicação por um número real negativo inverte
os sinais.
Exemplo 11
Considere a função f(x)=2x e g(x)=-2x , encontre os limites quando x → ± ∞.
limx → - ∞ 2x3 = 2 · limx → - ∞ x3 = - ∞ e limx → + ∞ 2x3 = 2 · limx → + ∞ x3 = + ∞
limx → - ∞ - 2x3 = - 2 · limx → - ∞ x3 = + ∞ e limx → + ∞ - 2x3 = - 2 · limx → + ∞ x3 = - ∞
n
3 3
 Gráficos das funções f(x)=2x (curva em vermelho) e g(x)=-2x (curva em azul).
Observe o comportamento de cada função quando 
x → ± ∞
.
3 3
Limites de polinômios quando x → ± ∞
O comportamento �nal de um polinômio coincide com o comportamento �nal de seu termo de maior grau.
limx → - ∞ co + c1x + ⋯ + cnx
n = limx → - ∞ cnx
n
limx → + ∞ co + c1x + ⋯ + cnx
n = limx → + ∞ cnx
n
Exemplo 12
Encontre limx → - ∞ 3x6 + x5 - 2x4 - 9
limx → - ∞ 3x6 + x5 - 2x4 - 9 = limx → - ∞ 3x6 = 3 · limx → - ∞ x6 = + ∞
( )
( )
( )
( ) ( )
Limites de funções racionais quando x → ± ∞
Uma técnica para determinar o comportamento �nal de uma função racional consiste em dividir cada termo do numerador e do
denominador pela maior potência de x que ocorra no denominador, depois do que o comportamento �nal pode ser determinado
usando resultados que já foram discutidos.
Exemplo 13
Encontre limx → - ∞
3x + 5
6x - 8
Solução:
limx → - ∞
3x + 5
6x - 8 =
limx → - ∞ 3 +
5
x
limx → - ∞ ( 6 - 
8
x )
 =
limx → - ∞ 3 + 5 · limx → - ∞
1
x
limx → - ∞ 6 - 8 · limx → - ∞
1
x
=
3 + 5 · 0
6 - 8 · 0 =
3
6 =
1
2
( )
 Gráfico da função 
3x + 5
6x - 8 . Observe a linha pontilhada em azul, que corresponde à assíntota
horizontal onde y=�⁄�. A linha tracejada em verde corresponde à assíntota vertical onde x=�⁄�.
Exemplo 14
Encontre limx → + ∞
6x3 - 3x2 - 4
1 - 3x2
Solução
Divida cada termo no numerador e no denominador pela maior potência de x que ocorre no denominador, a saber, x .
limx → + ∞
6x3 - 3x2 - 4
1 - 3x2
=
limx → + ∞ 6x - 3 -
4
x2
limx → + ∞ (
1
x2
- 3 )
Nesse caso, não podemos argumentar que o limite do quociente é o quociente dos limites porque o limite do numerador não
existe.
Contudo, temos:
limx → + ∞ 6x - 3 = + ∞; limx → + ∞ -
4
x2
= 0; limx → + ∞
1
x2
- 3 = - 3
Assim, o numerador tende a + ∞, enquanto o denominador tem um limite negativo �nito. Concluímos, portanto, que o quociente
tende a - ∞. Logo:
limx → + ∞
6x3 - 3x2 - 4
1 - 3x2
=
limx → + ∞ 6x - 3 -
4
x2
limx → + ∞ ( 1
x2
- 3 )
= - ∞
2
( )
( ) ( ) ( )
( )
Um método rápido para encontrar limites de funções racionais
quando x → + ∞ ou x → - ∞
Como o comportamento �nal de um polinômio coincide com o comportamento �nal de seu termo de maior grau, é razoável
concluir que:
“O comportamento �nal de uma função racional coincide com o comportamento �nal do quociente do termo de maior grau do
numerador dividido pelo termo de maior grau do denominador”.
Exemplo 15
Encontre limx → + ∞
6x3 - 3x2 - 4
1 - 3x2
limx → + ∞
6x3 - 3x2 - 4
1 - 3x2
= limx → + ∞
6x3
- 3x2
= limx → + ∞ - 2x = - 2 · limx → + ∞ x = - ∞
Limites envolvendo radicais
Encontre limx → + ∞
3
3x + 8
6x - 8
limx → + ∞
3
3x + 8
6x - 8 =
3
limx → + ∞
3x + 8
6x - 8 =
3
limx → + ∞
3x
6x =
3
1
2
O limite de uma raiz enésima é a raiz enésima do limite.
Encontre limx → + ∞
√x2 - 2
5x - 7
Neste caso, é prático manipular a função de forma que as potências de x se tornem potências de 1/x. Isso pode ser obtido
dividindo-se o numerador e o denominador por |x| e usando o fato de que √x2 = x .
Quando x → + ∞, os valores de x tornam-se positivos; logo, podemos substituir |x| por x onde for conveniente. Obtemos:
limx→ + ∞
√x2 - 2
5x - 7 =
limx → + ∞
√x2 - 2
| x |
limx → + ∞
5x - 7
| x |
=
limx → + ∞
√x2 - 2
√x2
limx → + ∞
5x - 7
x
=
limx → + ∞ 1 -
2
x2
limx → + ∞ ( 5 - 7
x
=
limx → + ∞ 1 -
2
x2
5 - 7 · limx → + ∞ 1
x
=
1
5
Quando x → - ∞, os valores de x tornam-se negativos; logo, podemos substituir |x| por - x onde for conveniente. Obtemos:
limx → - ∞
√x2 - 2
5x - 7 =
limx → - ∞
√x2 - 2
| x |
limx → - ∞
5x - 7
| x |
=
limx → - ∞
√x2 - 2
√x2
limx → - ∞
5x - 7
( - x )
=
limx → - ∞ 1 -
2
x2
limx → - ∞ ( - 5 +
7
x
=
limx → - ∞ 1 -
2
x2
- 5 + 7 · limx → + ∞ 1
x
= -
1
5
Encontre limx → + ∞ √x8 - 5 - x4
Você precisa tratar a função como uma fração de denominador igual a 1 e, então, racionalizar o numerador.
limx → + ∞ √x8 - 5 - x4 = limx → + ∞ √x8 - 5 - x4 ·
√x8 - 5 + x4
√x8 - 5 + x4
limx → + ∞
x8 - 5 - x8
√x8 - 5 + x4
= limx → + ∞
- 5
√x8 - 5 + x4
= limx → + ∞
- 5
x4
1 - 5
x8
+ 1
= limx → + ∞
0
2
= 0
Observação: √x8 = x4
√
√ √ √ √
| |
√
)
√ ( )
√
)
√ ( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( √ )
Comportamento �nal de funções trigonométricas, exponenciais
e logarítmicas
Considere a função f(x) = sin(x), cujo grá�co aparece no próximo grá�co. Para essa função, os limites quando x → + ∞ e x → - ∞
deixam de existir, não porque f(x) cresça ou decresça sem cota, mas porque esses valores variam entre -1 e 1 sem se aproximar
de algum número real especí�co.
Em geral, as funções trigonométricas deixam de possuir limites quando x → + ∞ e x → - ∞, por causa da periodicidade. Não
existe notação para denotar esse tipo especí�co de comportamento.
 Gráfico da função f(x)=sin (x). Fonte: ANTON et al.
(2007).
Para as funções exponenciais e logarítmicas:
limx → + ∞ ln x = + ∞ e limx → + ∞ ex = + ∞
limx → ∞ + ln x = - ∞ e limx → - ∞ ex = 0
limx → - ∞ e - x = + ∞ e limx → + ∞ e - x = 0
 Gráfico das funções f(x)=e (curva em vermelho), f(x)= e (curva em azul) e f(x)=ln(x)
(curva em verde).
x -x
Atividade
1. Considere limx → + ∞ 1 + 2x - 3x5 . A resposta correta é:( )
a) 0
b) 1
c) +∞
d) -∞
e) – 1
2. Considere limx → - ∞
x - 2
x2 + 2x + 1
. A resposta correta é:
a) 0
b) +∞
c) -∞
d) �⁄�
e) -1
3. Considere limt → - ∞
5 - 2t3
t2 + 1
. A resposta correta é:
a) 0
b) +∞
c) -1
d) -∞
e) +1
4. Considere limx → + ∞ √x2 + 3 - x . A resposta correta é:( )
a) +∞
b) -∞
c) 3
d) √3
e) 0
5. Considere limx → + ∞ ln
2
x . A resposta correta é:( )
a) 0
b) -1
c) -∞
d) +∞
e) +1
Notas
Nota 1
Texto
Referências
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. Volume 1. Porto Alegre: Artmed Editora S.A., 2007.
BROCHI, A. Cálculo Diferencial e Integral I. Rio de Janeiro: SESES, 2015.
FERNANDES, D. B. Cálculo. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2014.
PANONCELI, D. M. Análise Matemática. Curitiba: Intersaberes, 2017.
Próxima aula
Conceito formal de limite;
De�nição de continuidade;
Propriedades de funções contínuas;
Teorema do valor intermediário.
Explore mais
A �m de revisar tópicos importantes da matemática elementar; despertar o seu interesse no assunto aqui tratado; e, ao mesmo
tempo, demonstrar como limites são importantes no dia a dia do engenheiro, seguem sugestões de vídeos para você assistir:
Expressões quadráticas e polinômios <https://pt.khanacademy.org/math/algebra-basics/alg-basics-quadratics-and-
polynomials#alg-basics-adding-and-subtracting-polynomials> ;
Cálculo I – Limites – Exercícios Exemplos resolvidos indeterminação 0/0 (parte I) <https://youtu.be/OMH8AZgZIr4> ;
Cálculo I – Limites – Exercícios Exemplos resolvidos indeterminação 0/0 (parte II) <https://youtu.be/TVlgyDtg25U> ;
https://pt.khanacademy.org/math/algebra-basics/alg-basics-quadratics-and-polynomials#alg-basics-adding-and-subtracting-polynomials
https://youtu.be/OMH8AZgZIr4
https://youtu.be/TVlgyDtg25U
Cálculo I – Assíntotas verticais e horizontais <https://youtu.be/PLU6ZOgsXTQ> .
https://youtu.be/PLU6ZOgsXTQ