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UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA 
FACULDADE DE ENGENHARIA 
DEPARTAMENTO DE TRANSPORTES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MECÂNICA 
 
 
Dos 
 
 
SOLOS 
 
 
 
II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Prof. M. Marangon 
 Engo Civil e Geotécnico 
 Mestre (PUC-Rio) – Doutor (COPPE/UFRJ) 
 
 
 
 Versão 2013/1 
 
Apresentação 
 
 Tradicionalmente a disciplina Mecânica dos Solos II transmite uma carga de 
conhecimentos muito grande ao aluno, o que tem exigido deste, um grande acúmulo de 
material bibliográfico para consulta e estudo. 
 
 No sentido de contribuir para uma simplificação desta tarefa e de melhor 
organizar os conteúdos abordados no curso de Solos II é que reunimos aqui os assuntos 
em forma de notas de aula. Não queremos com isto que o aluno deixe de consultar 
livros, como os aqui listados e consultados por nós na edição destas, pois consideramos 
ser esta prática importante para a formação profissional. 
 
 O conteúdo abordado nestas notas de aula, em sua 1a Versão (1996), contou 
com a contribuição do Prof. Avelino Gonçalves Koch Torres (Unid. 02, 04, 05 e 06), e 
nesta 2a Versão (2005/1) a contribuição da Profa. Vânia Portes, a quem gostaríamos de 
agradecer. 
 
 Gostaríamos de contar com a compreensão e colaboração dos Srs. acadêmicos e 
de outros leitores na identificação e comunicação das possíveis incorreções, que serão 
consideradas para o aperfeiçoamento deste trabalho. Se desejar poderá usar o e-mail: 
marcio.marangon@ufjf.edu.br 
 
 O curso está estruturado em unidades a seguir apresentadas: 
 
 Unidade 1 - Hidráulica dos Solos 
 Unidade 2 - Tensões nos Solos 
 Unidade 3 - Compressibilidade e Adensamento dos Solos 
 Unidade 4 - Equilíbrio Plástico dos Solos 
 Unidade 5 - Resistência ao Cisalhamento dos Solos 
 Unidade 6 - Empuxo de Terra 
 Unidade 7 - Capacidade de Carga dos Solos 
 
 
 Este material produzido se encontra disponibilizado, com atualizações 
semestrais, no site (em construção) do NuGeo – Núcleo de Geotecnia da Faculdade de 
Engenharia da UFJF, www.ufjf.br/nugeo, coordenado por este autor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
i 
Bibliografia 
 
1) Pinto, Carlos de Souza. Curso Básico de Mecânica dos Solos. Oficina do 
Texto. 2000. Rio de Janeiro/RJ. 
 
 2) Das, Braja M. Fundamentos de Engenharia Geotécnica. Tradução All Tasks 
Thomson Learning. São Paulo/SP. 2007 
 3) Caputo, Homero Pinto - Mecânica dos Solos e suas Aplicações 
 Livros Técnicos e Científicos Editora S.A 
 4) Torres, Avelino Gonçalves Koch, Mecânica dos Solos II - Notas de Aula 
 Faculdade de Engenharia - UFJF - 1995 
 5) Barata, Fernando Emmanuel Barata - Propriedades Mecânica dos Solos - Uma 
Introdução ao Projeto de Fundações. Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. 
 6) Chiossi, Nivaldo José - Geologia Aplicada à Engenharia. 
 Ed. Grêmio Politécnico da USP. 
 7) Ortigão, J.A.R. - Introdução à Mecânica dos Solos dos Estados Críticos 
 Livros Técnicos e Científicos Editora 
 8) Simons, Noel E. e Menzies, B. K. - Introdução à Engenharia de Fundações. 
Editora Interciência 
 9) Lambe, T. W. e Whitman, R. V. - Soil Mechanics 
 John Wiley & Sons 
 10) Bueno, Benedito de Souza e Vilar, Orêncio Monje - Mecânica dos Solos 
 Pub. 69 - Imprensa Universitária da UFV. 
 11) Vargas, Milton - Introdução à Mecânica dos Solos 
 Ed. MacGraw-Hill do Brasil Ltda. 
 12) Almeida, Márcio de Souza S. de - Aterros sobre Solos Moles 
 Ed. UFRJ 
 13) Marangon, Márcio - Relatórios Técnicos de Consultoria 
Fundação Centro Tecnológico de Juiz de Fora. Faculdade de Engenharia - UFJF 
- 1993/1999 
 
 Outras publicações acadêmicas do autor (Notas de Aula): 
 
• Elementos de Geologia - 1995 
• Tópicos em Geotecnia e Obras de Terra - 1996 
• Geotecnia de Fundações - 1997 
• Geologia Ambiental - 2005 
 
 
 
 
 
ii 
Índice 
Unidade 1 
Hidráulica dos Solos .......................................................................................................... 04 
1. 1 – Ocorrência de Água Subterrânea .............................................................................. 04 
1. 2 – Fenômenos Capilares ................................................................................................ 05 
1. 3 – Fluxo de Água nos Solos .......................................................................................... 06 
1. 4 – Coeficiente de Permeabilidade .................................................................................. 10 
1. 5 – Fatores que Influem na Permeabilidade .................................................................... 11 
1. 6 – Determinação do Coeficiente de Permeabilidade ..................................................... 14 
1. 6. 1 – Permeâmetro de Nível Constante ............................................................... 14 
1. 6. 2 – Permeâmetro de Nível Variável ................................................................. 15 
1. 7 – Lei de Fluxo Generalizada ........................................................................................ 18 
1. 8 – Rede de Fluxo ........................................................................................................... 20 
 
Unidade 2 
Tensões nos Solos .............................................................................................................. 30 
2. 1 – Pressões Verticais devidas ao peso próprio dos Solos .............................................. 30 
2. 2 – Principio das Tensões Efetivas ................................................................................. 36 
2. 2. 1 – Pressão Vertical Total .................................................................................... 36 
2. 2. 2 – Pressão Neutra (u) .......................................................................................... 37 
2. 2. 3 – Pressão Efetiva (σ') ........................................................................................ 40 
2. 2. 4 – Variações do Nível d’Água ............................................................................ 42 
2. 2. 5 – Exemplo Numérico de Aplicação .................................................................. 45 
2. 3 – Pressões Devidas a Cargas Aplicadas ....................................................................... 49 
 
Unidade 3 
Compressibilidade e Adensamento dos Solos ................................................................. 55 
3. 1 – Introdução ................................................................................................................. 55 
3. 2 – Compressibilidade dos Solos .................................................................................... 55 
3. 3 – Ensaio de Compressão Confinada (Oedométrico) .................................................... 56 
3. 4 – Interpretação dos Resultados de um Ensaio de Compressão Confinada .................. 58 
3. 5 – Tensão de Pré-Adensamento .................................................................................... 61 
3. 6 – Determinação da Condição de Adensamento (em que se encontra o solo) ............. 64 
3. 7 – Parâmetros de Compressibilidade e Recalque por Compressão Primaria ................ 65 
 
1 
3. 8 – Adensamento dos Solos ............................................................................................ 69 
3. 8. 1 – Analogia Mecânica do Processo de Adensamento de Terzaghi .................... 69 
3. 8. 2 – Teoria do Adensamento 1-D de Terzaghi ...................................................... 71 
3. 8. 3 – Grau ou Porcentagem de Adensamento .........................................................até o 
fundo do vaso. O fenômeno é idêntico ao da pressão atmosférica e compreende o peso da 
coluna d'água de h1 (altura) e independendo de sua seção transversal (peso da coluna de 
água dividida pela área da base sempre na proporção constante). 
 
Em seguida elevaremos o nível d'água para cota NA2 com a colocação cuidadosa de 
água no vaso, de maneira que não haja a mínima condição de turbulência no fluido, capaz, 
de perturbar, artificialmente, a arrumação estrutural da areia. 
 
A pressão neutra no ponto A correspondente a essa segunda situação de NA2, 
será: u2 = γa x h2 
 Houve um aumento da altura da coluna d'água de h1 para h2, logo houve um 
acréscimo no valor da pressão neutra, a saber: 
u2 – u1 = ∆u = γa . (h2 – h1) 
∆u = γa . ∆h 
 
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Mecânica dos Solos II 
 
TENSÕES NOS SOLOS 
 
 39
Constatamos, após esse acréscimo de pressão neutra, que H permaneceu 
constante, isto é, não houve qualquer variação na arrumação estrutural da areia. O índice 
de vazios permaneceu o mesmo o que indica que a estrutura não sofreu nenhuma ação 
mecânica. 
 
Pela obrigatoriedade da relação tensão-deformação, conclui-se que tudo se 
desenvolveu na água dos vazios, e nenhuma pressão adicional diferenciada surgiu no 
esqueleto estrutural, capaz de alterar as posições relativas dos grãos, não houve qualquer 
alteração das características mecânicas da estrutura. 
 
A pressão neutra é considerada, conceitualmente idêntica a pressão atmosférica, 
quando seu desenvolvimento se dá por submersão (água sob a ação da gravidade), isto é, o 
peso da coluna de água correspondente a uma espessura, por ação da gravidade, passa a 
agir como um peso descarregado na área da base da coluna. 
 
 
b) Ocorrências de pressão neutra fora da condição de submersão 
 
A água que enche todos os vazios do solo pode não estar sob ação da gravidade, 
mas sim sob ação de pressões exteriores de percolação ou de adensamento. 
 
Nos dois casos temos: 
 
 b. 1 - Condição de Percolação de Água (estudada na Unidade 01) 
 
Como visto na Unidade 01, o cálculo da pressão neutra desenvolvida no interior da 
massa de solo será função da diferença de carga que motivará o fluxo (i = gradiente 
hidráulico diferente de zero). 
 
A pressão neutra final, em qualquer ponto da massa de solo, é igual a soma da 
parcela hidrodinâmica e a parcela hidrostática. A primeira leva em consideração a parcela 
de perda de carga até o ponto considerado e a segunda leva em consideração à 
profundidade do referido ponto, considerado o referencial de carga igual a zero. 
 
u = parcela de pressão hidrodinâmica + parcela de pressão hidrostática 
 
 
Para a realização de tais cálculos torna-se extremamente conveniente o traçado da 
rede de fluxo (linhas de fluxo – canais de fluxo e linhas equipotenciais – intervalos de 
perda de carga), com o maior número de pontos possíveis (cruzamento das linhas), para 
facilidade de seus valores. 
 
Para ilustrar, apresenta-se na Figura 2.8 o traçado de uma rede de fluxo onde 
identificaremos, claramente, o número de linhas de Fluxo (LF), canais de fluxo (Nf) e o 
número de linhas equipotenciais (LE) e de número de quedas de potencial (Nd). 
 
 
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TENSÕES NOS SOLOS 
 
 40
 
 
 
 
 
 
 
 
Condição de Adensamento de Camadas Argilosas (estudada na Unidade 03) 
 
A percolação da água nos solos, induzida a partir do acréscimo de pressão na água 
nos poros de um solo (principalmente no caso de solos argilosos) proveniente de um 
carregamento aplicado sobre esta camada, implica também na variação de seu índice de 
vazios – descrécimo. Tem-se, assim, o fenôme do adensamento, que será estudado na 
Unidade 03, deste curso. 
 
 
2.2.3 - Pressão efetiva (σσσσ’) 
 
A pressão efetiva ou pressão intergranular é a outra parcela da pressão vertical total 
que se desenvolve no esqueleto estrutural dos solos pelo contato grão a grão. 
 
Sua variação acarreta alterações nas características mecânicas dos solos, portanto 
é a parcela da pressão vertical total que nos interessa para análise do comportamento dos 
maciços granulares porosos, estudado na Mecânica dos Solos. 
 
Experiência 
 
Da mesma maneira que procedemos com a pressão neutra, podemos, com o mesmo 
ensaio, em laboratório, como mostra a Figura 2.9, comprovar seu comportamento e os 
efeitos decorrentes de seu acréscimo sobre as estruturas. 
 
 
(I) Impermeável 
Figura 2.8 – A superfície impermeável é uma linha de fluxo definidora de um canal. Sete 
equipotenciais correspondem, cada uma, a uma linha de igual pressão piezométrica ou 
hidrodinâmica. 
 
 
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TENSÕES NOS SOLOS 
 
 41
 
 
Figura 2.9 – Ensaio para verificação do comportamento do solo 
Toma-se o mesmo recipiente 
com a camada de areia 
anterior (H = altura inicial), 
mantendo-se u = constante 
(portanto NA = constante) 
com entrada de água 
continuadamente, mas sem 
ocasionar turbulência. 
 
Com o sistema garantido, 
logo, com u = constante, 
introduzimos um tubo cheio 
de esferas de chumbo 
(chumbo de caça) de maneira 
que se possa, acionando um 
fio de nylon, por um gatilho, 
fazer depositar na superfície 
da areia as esferas que serão 
sobrecargas diretamente 
sobre os grãos de areia. 
 
Essa sobrecarga será também uma estrutura permeável que continuará permitindo a 
passagem da água, portanto, mantendo constante o valor de u. 
 
Em síntese fizemos um acréscimo de pressão (proveniente do peso das esferas) - σσσσ’ 
sobre a areia, mantendo u = cte, acréscimo esse sem queda, mas, depositando as esferinhas 
de chumbo sobre os grãos de areia. 
 
Após esse acréscimo verificamos que a altura da areia original H cai para H1, o que 
comprova a alteração das características mecânicas da camada ou a acomodação dos grãos 
de areia – redução do índice de vazios sem a influência da pressão na água. 
 
Determinação da pressão efetiva 
 
Sendo essa uma pressão de contato grão a grão, seu cálculo seria efetivado através 
do somatório dos pesos de todos os grãos da estrutura dividido pelo somatório de todas as 
áreas de contato entre os grãos. 
 
Esse cálculo se torna difícil, mesmo por estimativa, pois, o contato intergranular é 
de difícil avaliação uma vez que depende de vários fatores, tais como: forma das partículas, 
tipos superfícies contantos, minerais componentes dos grãos, arrumação,... 
 
Tal cálculo teria que se basear nas propriedades intrínsecas dos materiais 
componentes das partículas e se limita aos estudos teóricos ligados a pesquisas específicas. 
 
 
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TENSÕES NOS SOLOS 
 
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Para resolver o cálculo, objetivamente, e dentro dos problemas práticos na 
engenharia de solos, nos basearemos no cálculo da pressão total, já demonstrado 
anteriormente e no cálculo da parcela pressão neutra, facilmente calculável, assim, 
teremos: 
σ’ = σ - u 
Onde: 
σ’ = pressão efetiva ou de contato grão a grão 
σ = pressão vertical total ⇒ σ = γp x Z 
u = pressão neutra ou poropressão que, no caso de submersão, u = γa x h (nos 
outros casos percolação e adensamento, requer cálculo específico). 
 
Assim, para sistematização de seu cálculo sugere-se: 
• Calculam-se os valores das pressões verticais totais em cada plano (horizonte) 
considerado o γp, na condição de ocorrência do material “in situ”. 
• Verifica-se a ocorrência de u no enquadramento em um dos três casos possíveis, ou 
seja, submersão, percolação e adensamento. Em função do caso ocorrente calcula-
se u; 
• Calcula-se a tensão efetiva aplicando-se o conceito: σ’ = σ - u (princípio das 
tensões efetivas de Terzaghi); 
• Traça-se, sucessivamente, em cada plano, (após esses cálculos) os diagramas 
correspondentes(total, efetiva e neutra) a essas cotas a fim de que se possam 
comparar os traçados gráficos como verificação dos cálculos analíticos; 
 
 
2.2.4 – Variações do nível d'água 
 
 
Nesse tópico verificaremos as variações dos valores das pressões verticais devidas 
ao peso próprio dos solos quando, por necessidade de construção ou decorrência dos 
mesmos, temos que rebaixar ou elevar o nível estático do lençol freático. Por necessidades 
construtivas, às vezes, rebaixamos o lençol freático trazendo o NA a uma cota ∆h abaixo 
do normal. Também, ao se construir reservatórios de água em hidroelétricas, daremos 
condição de elevação da água numa cota muito acima dos níveis normais dos cursos 
d’água. 
 
Essas oscilações do NA trarão reflexos acentuados na estrutura, pois, a faixa de 
submersão vai variar e, nessa faixa as partículas sólidas têm seus pesos aliviados pelo 
empuxo ocorrente em suas condições de imersão. Logo, se seus pesos vão oscilar para mais 
ou para menos, sua contribuição para a pressão efetiva (parcela grão a grão), também irá 
variar. Logo, o comportamento da estrutura como um todo sofrerá transformações. 
 
i - Rebaixamento do lençol freático 
 
A ocorrência de oscilação mais comum é o rebaixamento do NA que poderá se dar 
por drenagens (sistema de drenagem por gravidade) como obras definitivas ou por 
bombeamento do lençol para casos provisórios no período de construção. 
 
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TENSÕES NOS SOLOS 
 
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Para melhor ilustração imaginamos um rebaixamento num terreno permeável para 
permitir uma escavação de construção de uma galeria de águas pluviais, ou de esgoto ou de 
metrô, e, precisamos saber os reflexos nas fundações dos prédios já existentes. 
 
Seja o perfil da Figura 2.10 de uma camada permeável, com o NA1 em determinada 
cota “há” em relação ao NT, sobrejacente ao plano A, que pode estar sujeita a 
compressibilidade por sobrecarga. 
 
 
Figura 2.10 – Perfil de solo para rebaixamento 
do nível d’água 
 
Considere que por questão construtiva temos 
necessidade, em um determinado período da 
obra, de rebaixar NA1 para cota NA2. 
 
 
Pergunta-se qual serão as variações das 
pressões verticais devidas ao peso próprio 
dos solos no plano A, quando o 
rebaixamento ocorrer ? 
 
 
 Plano A 
 
 
Para melhor facilidade de cálculo indicaremos os valores diretamente no plano A, 
sem considerar planos intermediários e sem traçar os diagramas uma vez que o perfil é 
muito simples e as fórmulas são auto-explicativas. 
 
Para simplificar ainda mais, consideraremos que, ao se efetuar o rebaixamento, na 
espessura ∆h a estrutura ficará nas mesmas condições originárias e em nenhuma das 
situações haverá formação de franja capilar. 
 
Pressões verticais totais 
– Para o nível NA1: σ1A = γP1 . ha + γP2 . h 
 σ1A = (γS + S.n.γa) . ha + (γS + n.γa) . h 
 σ1A = γS.ha + S.n.γa. ha + γS.h + n.γa.h 
– Para o nível NA2: σ2A = γP1 . (ha + ∆h) + γP2 . (h – ∆h) 
 σ2A = (γS + S.n.γa) . (ha + ∆h) + (γS + n.γa) . (h – ∆h) 
 σ1A = γS.ha + S.n.γa. ha + γS.∆h + S.n.γa.∆h + γS.h + n.γa.h – 
n.γa.∆h – γs.∆h 
– Variação da pressão: σA = σ2A – σ1A 
 σA = + S.n.γa.∆h – n.γa.∆h 
 σA = (S – 1).n.γa.∆h ⇒ mas, S – 1 = – A 
 
∆σA = - A .n .γa. ∆h 
 
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TENSÕES NOS SOLOS 
 
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Pela expressão, temos que a pressão vertical total diminui de um valor igual à 
contribuição da pressão devido a água que enchia os vazios na espessura ∆h (e saiu devido 
a ocorrência do rebaixamento). 
Nota-se que restou alguma água nos vazios, como é natural de ocorrer, 
correspondente a aeração A que limita a condição de não ter escoado toda a água. 
 
Pressões neutras 
– Para o nível NA1: u1A = γa . h 
– Para o nível NA2: u2A = γa . (h – ∆h) 
 u2A = γa.h – γa.∆h 
– Variação da pressão: ∆uA = u2A – u1A 
 ∆uA = γa.h – γa.∆h – γa.h 
 
∆uA = – γa . ∆h 
 
A pressão neutra diminui de um valor correspondente a eliminação da condição de 
submersão na faixa ∆h (deixou de ocorrer). 
 
Pressão efetiva 
Como temos as variações ocorrentes nas duas parcelas de cálculo dessa pressão, 
efetuaremos seu cálculo a partir desses valores, a saber: 
 ∆σ’A = ∆σA – ∆uA 
 ∆σ’A = – A.n.γA.∆h + γA.∆h 
 
∆σ’A = (1 – A.n) .γa . ∆h 
 
A pressão efetiva aumentou de um valor correspondente ao empuxo que deixou de 
agir sobre as partículas (aliviando seus pesos na faixa h), transformando-se em sobrecarga 
pelo maior peso desses grãos. 
 
Caso fosse possível toda a água escoar dos vazios da faixa do rebaixamento, 
teríamos A = 1,0 e as fórmulas, ficariam: 
 ∆σA = – n.γa.∆h ⇒ água que enchia os vazios na faixa h 
∆uA = – γa.∆h 
∆σ’A = (1 – n).γa.∆h ⇒ empuxo que agia nas partículas na faixa h 
 
 
ii - Levantamento do lençol freático 
 
No caso do NA oscilar em sentido inverso, isto é, de NA2 para NA1, logicamente as 
variações terão seus sinais trocados, isto é: 
 
• Aumentará a pressão total = + A.n.γa.∆h; 
• Aumentará a pressão neutra = + γa.∆h; 
• Diminuirá a pressão efetiva = – (1 – A.n).γa.∆h. 
 
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TENSÕES NOS SOLOS 
 
 45
Isso pode ocorrer com a subida do NA na época das águas (período de chuvas) em 
relação ao seu nível mais baixo no período de seca. Normalmente essa variação, na 
natureza não é expressiva para causar reflexos no seu comportamento mecânico. 
 
Análise das variações do NA 
 
Os casos ocorrentes em engenharia serão específicos, portanto sua complexidade 
pode ser muito maior do que esse simples exemplo literal apresentado. Nestes 
apontamentos, no entanto, são fornecidos todos possíveis elementos básicos a serem 
considerados nestas outras formulações. 
Cumpre, apenas, acrescentar que nos solos impermeáveis as variações nas tensões 
não ocorrem como abordado. 
Caberá, a cada engenheiro, dentro das peculiaridades de ocorrência e características 
da obra, lançar as hipóteses, antever evoluções no sentido de optar por soluções funcionais, 
tecnicamente exigíveis, mais econômicas possíveis e com a qualidade compatível com as 
possíveis mutações no período de utilização (vida útil). 
 
 
2. 2. 5 - Exemplo Numérico de Aplicação 
 
Calcular as pressões verticais devidas ao peso próprio dos solos para o perfil da 
Figura 2.11 (as cotas do perfil são referenciadas a um RN). 
 
a) Nas condições atuais; 
b) Após uma drenagem permanente que rebaixará a cota do NA até – 4 m e escavação 
da argila orgânica e lançamento de um aterro de extensão infinita até a cota + 3 m 
com um material de peso específico aparente natural de 1,8 t/m3 (no aterro). 
 
Cálculo dos valores de γγγγP, já que não foram fornecidos diretamente os seus valores: 
 
1) Argila orgânica: γPI = γsat I = 1,3 g/cm3 = 1,3 t/m3 
 
2) Areia fina: 
%6,99996,0
75,0
67,2.28,0
e
.h
S
II
IIII
II ===
ρ
= (podemos considerar 100%) 
γPII = γSII + SII.nII.γa 
43,0
75,1
75,0
e1
e
n
II
II
II ==
+
= 
53,1
75,1
67,2
e1
.
e1 II
aII
II
gII
SII ==
+
γρ
=
+
γ
=γ 
Substituindo os valores chega-se que: γPB = 1,96 t/m3 
3) Argila siltosa: 
III
III
SIII h1+
γ
=γ ∴ ( ) ( )45,01.1,1h1. IIISIIIIII +=+γ=γ ⇒ γPC = 1,59 t/m3 
 
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TENSÕES NOS SOLOS 
 
 46
 
Figura 2.11 – Perfil de solo 
 
 
Permeável 
γI = 1,3 g/cm3 
 
Permeável 
eII = 0,75 
hII = 28 % 
ρII = 2,67 
Considerado 
permeável 
γSIII = 1,1 g/cm3 
hIII = 45% 
 
Cálculo das pressões: 
 
a) Nas condições atuais: 
– No plano A: σA = γPA . HI = 1,3 . 4,0 = 5,2 t/m2 
 uA = γa . HI = 4,0 t/m2 
 σ’A = σA – uA = 1,2 t/m2 
– No plano B: σB = σA + γPB . HII = 5,2 + 1,96 . 4,0 = 13,04 t/m2 
 uB = uA + γa . HII = 4,0 + 4,0 = 8,0 t/m2 
 σ’B = σB – uB = 13,04 – 8,0 = 5,04 t/m2 
– No plano C: σC = σB + γPC . HIII = 13,04 + 1,59. 6,0 = 22,58 t/m2 
 uC = uB + γa . HIII = 8,0 + 6,0 = 14,0 t/m2 
 σ’C = σC – uC = 22,58 – 14,0 = 8,58 t/m2 
 
Diagramas (t/m2) 
 
 
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TENSÕES NOS SOLOS 
 
 47
b) Após a drenagem (rebaixamento do NA até a cota – 4m), remoção da argila e 
lançamento do aterro (as camadas são consideradas permeáveis): 
 
 
 
Figura 2.12 – Perfil de solo com rebaixamento do 
nível d’água 
 
 
 
Admitindo-se a areia fina acima do NA 
com S = 80% (consideração pela falta de 
informação) 
 
Na faixa de 1,0 m teremos: 
 
225,0
67,2
75,0.8,0e.'S
'h
II
ÍIII
II ==
ρ
= 
%5,22'h II = 
a
g
p .
e1
e
.S
e1
γ
+
+
+
γ
=γ=γ 
 
γP = 1,53 + 0,8 . 0,43 
γP = 1,87 t/m3 
 
 
– No plano A: σA = 6,0 . 1,8 = 10,8 t/m2 
 uA = 0 
 σ’A = σA – uA = 10,8 t/m2 
 
– No plano B: σB = 10,8 + 1,87 . 1,0 = 12,67 t/m2 
 uB = 0 
 σ’B = 12,67 t/m2 
 
– No plano C: σC = σB + 1,96 . 3,0 = 18,55 t/m2 
 uC = 1,0 . 3,0 = 3,0 t/m2 
 σ’C = 15,55 t/m2 
 
– No plano D: σD = σC + 1,59 . 6,0 = 28,09 t/m2 
 uD = uC + 1,0 . 6,0 = 9,0 t/m2 
 σ’C = 19,09 t/m2 
 
 
 
 
 
 
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 48
Avaliação do Rebaixamento do Lençol Freático 
 
Formularemos, a partir do perfil inicial, qual a variação da pressão vertical quando 
efetuarmos o rebaixamento programado até a cota – 3m, isto é, para se dar condição de 
trabalhar a primeira camada. 
 
 
Como o problema não dá maiores detalhes, vamos admitir, para o plano A uma 
porosidade de 45% e um grau de saturação após o rebaixamento de 80%. 
 
γPI = 1,3 g/cm3 γPI = γSI + nI.γa na condição inicial 
 
nI = 0,45 1,3 = γSI + 0,45 ∴ γSI = 0,85 g/cm3 
 
Para a faixa que houve rebaixamento do NA temos: 
 
γPII = γSI + SII.nI.γa = 0,85 + 0,8.0,45 ∴ γPII = 1,21 t/m3 = 1,21 g/cm3 
 
– Cálculo das pressões para 
NA1: 
σAI = γPI . hI = 1,3 . 4,0 = 5,2 t/m2 
 uAI = γa . hI = 1,0 . 4,0 = 4,0 
 σ’AI = 1,2 t/m2 
 
– Cálculo das pressões para 
NA2: 
σAII = γPII . hI = 1,21 . 4,0 = 4,84 t/m2 
 uAII = 0 
 σ’AII = 4,84 t/m2 
 
– Variação da pressão: ∆σ’ = σ’AII – σ’AI 
 ∆σ’ = 4,84 – 1,2 
 ∆σ’ = 3,64 t/m2 
 
Checando as fórmulas anteriormente deduzidas: 
 
 ∆σ’A = (1 – A.n).γa.∆h 
 
A = aeração = 1 – S = 1 – 0,8 = 0,2 
 
 ∆σ’A = (1 – 0,2.0,45).(1,0).(4,0) ∴ ∆σ’A = 3,64 t/m2 
 
 
 
 
 
 
 
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 49
2.3 - Pressões devidas a cargas aplicadas 
 
 As cargas aplicadas na superfície de um terreno induzem tensões, com 
conseqüentes deformações, no interior de uma massa de solo. Embora as relações entre 
tensões induzidas e as deformações resultantes sejam essencialmente não lineares, soluções 
baseadas na teoria da elasticidade são comumente adotadas em aplicações práticas, 
respeitando-se as equações de equilíbrio e compatibilidade. 
As pressões produzidas por cargas aplicadas na superfície de um maciço terroso são 
calculadas, ou melhor, avaliadas, na hipótese de um “maciço semi-infinito, elástico, 
isótropo e homogêneo”; conceitos que, a rigor, podem não ser verificados. 
 As cargas transmitidas pelas estruturas se propagam para o interior dos maciços e se 
distribuem nas diferentes profundidades, como ilustrado na Figura 2.13, podendo se 
verificar experimentalmente. 
 
Figura 2.13 – Distribuição de “pressões” de acordo com a profundidade 
 
Denominan-se isóbaras as curvas ou superfícies obtidas ligando-se os pontos de 
mesma pressão vertical (Figura 2.14). Este conjunto de superfícies isóbaras forma o que se 
chama bulbo de “pressões”, como indicado nas figuras abaixo para uma carga concentrada. 
 
 
Figura 2.14 – Bulbo de pressões (linhas de igual valor de “pressão”) 
 
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 50
Aplicação da Teoria da Elasticidade: 
 
 Segundo descreve o Prof. Carlos de Souza Pinto (PINTO, 2000), a teoria da 
elasticidade tem sido empregada para a estimativa das tensões atuantes no interior da massa 
de solo em virtude de carregamentos na superfície, e mesmo no interior do terreno. 
 “O emprego de Teoria da elasticidade aos solos é questionável, pois o 
comportamento dos solos não satisfaz aos requisitos de material elástico, principalmente 
no que se refere a reversibilidade das deformações quando as tensões mudam de sentido. 
Entretanto, quando ocorrem somente acréscimos de tensão, justifica-se a aplicação da 
teoria. Por outro lado, até determinado nível de tensões, existe uma certa proporcionalidade 
entre as tensões e as deformações, de forma que se considera um Módulo de Elasticidade 
constante como representativo do material. Mas a maior justificativa para a aplicação da 
Teoria de Elasticidade é o fato de não de dispor ainda de melhor alternativa e, também, 
porque ela tem apresentado uma avaliação satisfatória das tensões atuantes no solo, pelo 
que se depreende da análise de comportamento de obras. 
 
A) Carga concentrada: 
 
Boussinesq (1885) desenvolveu as equações para cálculo dos acréscimos de tensões 
efetivas vertical (σz), radial (σr), tangencial (σt) e de cisalhamento (τrz) (outras 
componentes de tensões ainda não estudadas), causadas pela aplicação de uma carga 
concentrada pontual agindo perpendicularmente na superfície de um terreno, admitindo 
constante o módulo de elasticidade do maciço. Por isso, as fórmulas não contêm o valor 
deste módulo. 
 
 
Figura 2.15 – Carga concentrada aplicada na 
superfície do terreno: solução de Boussinesq 
 
 
( ),cossen3
2
,
cos1
cos
cos)21(
2
,
cos1
cos)21(
cossen3
2
,cos
2
3
)(
3
2
4
2
2
3
2
2
32
2
5
22522
3
θθ
π
τ
θ
θθµ
π
σ
θ
θµθθ
π
σ
θ
ππ
σ
z
p
z
p
z
p
z
p
zr
zp
rz
t
r
z
=



+
−−−=



+
−−=
=
+
⋅=
 
 
Pela fórmula: σ
π
θz
p
z
=
3
2 2
5cos , verifica-se que em cada plano horizontal (Figura 
2.16) há uma distribuição simétrica em forma de sino, com a pressão máxima sob a carga, a 
qual decresce com o quadrado da distância do plano considerado à superficie de aplicação 
da carga. 
 
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 51
 
Figura 2.16 – Distribuição simétrica em forma de sino devido à carga concentrada 
 
B) Carga distribuída ao longo de uma linha: 
 
A pressão vertical induzida σz no ponto (A), por uma carga uniformemente 
distribuída p ao longo de uma linha na superfície de um semi-espaço foram obtidas por 
Melan (Figura 2.17) e é dada pela fórmula: 
θ
π
=σ 4
Z cos.
z.
p2
 
 
 
Figura 2.17 – Carga distribuída ao longo de uma linha (adotado uma referência) 
 
C) Carga uniformemente distribuída numa faixa: 
 
Em se tratando de uma placa retangular em que uma das dimensões é muito maior 
que a outra, como por exemplo, no caso de sapatas corridas, os esforços introduzidos na 
massa de solo podem ser calculados por meio da formula desenvolvida por Terzaghi e 
Carothers. A Figura 2.18 apresenta o esquema de carregamento e o ponto onde se está 
calculando o acréscimo de tensão. As pressões num ponto (M) situado a uma profudidade 
(Z), com o ângulo α em radianos, são dadas pelas fórmulas abaixo. 
 
 
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 52
 
Figura 2.18 – Placa retangular de comprimento infinito (sapata 
corrida): por Terzaghi e Carothers 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
σ
π
α α β
σ
π
α α β
τ
π
α β
z
x
xz
p
p
p
= +
= −
=
2 2 2
2 2 2
2 2
sen cos
sen cos
sen sen
 
 
Como observado foram informadas outras componentes de tensões (ainda não 
estudadas). As tensões principais e a máxima de cisalhamento (a serem estudadas na 
Unidade 04) são dadas por:( )α+α
π
=σ 2sen2.
p
1 , ( )α−α
π
=σ 2sen2.
p
3 e α
π
=τ 2sen.
p
máx 
 
A Figura 2.19 mostra-nos as curvas de igual pressão normal e tangencial segundo 
Jürgenson, abaixo de um carregamento retangular. 
 
 
 
Figura 2.19 – Curvas de igual pressão normal e tangencial: por Jürgenson 
 
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 53
D) Carga distribuída sobre uma placa circular: 
 
Para uma superfície flexível e circular de raio R, carregada uniformemente com 
pressão P, o valor da pressão vertical σz, abaixo do centro (Figura 2.20) é dado pela 
fórmula de Love. O bulbo de pressão correspondente está indicado na Figura 2.21. 
 
 
Figura 2.20 – Carregamento circular 

















 

+
−=σ
2
3
2
Z
z
r
1
1
1.p 
 
Para o cálculo do acréscimo de carga no subsolo, para qualquer posição que se 
queira, podemos obter para a área carregada uniformemente com pressão P, o valor da 
pressão vertical σz fornecida pelo gráfico da figura 2.21. 
 
 
 
Figura 2.21 – Bulbo de pressões para o carregamento circular 
 
A figura 2. 22 ilustra, como exemplo, o aspecto da distribuição da intensidade das 
tensões verticais que ocorrem no subsolo de um terreno (mostrada a meia seção), 
considerando a aplicação na superfície de um carregamento externo de 100kPa. 
 
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 54
Neste exemplo ilustrativo foi usado um software de análise de tensões, a partir da 
teoria da elasticidade, desenvolvido aplicando a técnica numérica do “Método dos 
Elementos Finitos” (M. E. F.). Na análise foram considerados a profundidade de 20,0m e o 
afastamento do eixo central da carga circular (com 6,0m de diâmetro) em 12,0m. 
Observa-se que os maiores valores ocorrem nas proximidades do carregamento, 
região com maiores deformações. Nesta região, devido o nível elevado de tensões, poderá 
desenvolver tensões cisalhantes elevadas, podendo levar à ruptura do solo, dependendo da 
resistência ao cisalhamento do solo, como será visto nas Unidades 04 e 05 deste curso. 
 
3 m Footing
100 kPa
 7
 
 1
4 
 
 2
1 2
8 
 3
5 
 
 42 
0 2 4 6 8 10 12
E
le
va
tio
n 
(m
et
re
s)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
 
Figura 2. 22 - Aspecto da distribuição das tensões verticais, devidas ao peso próprio 
e ao carregamento externo, que ocorrem no subsolo do terreno carregado. 
 
 Em termos de diagrama final de tensões verticais totais, como pode ser visto o seu 
aspecto na figura 2. 23 (considerado o carregamento da figura anterior, no eixo, em uma 
única camada), tem-se a sobreposição dos efeitos (soma) das tensões (c), devidas ao peso 
próprio dos solos (a) e devidas ao carregamento aplicado (b). 
 
 
Figura 2. 23 - Sobreposição dos efeitos das tensões de peso própio e carregamento. 
 
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COMPRESSIBILIDADE E ADENSAMENTO DOS SOLOS 
 
 55
 
 
 
Unidade 3 - COMPRESSIBILIDADE E ADENSAMENTO DOS SOLOS 
 
 
 
3.1 - Introdução 
 
As cargas de uma determinada estrutura ou, por exemplo, da construção de um 
aterro, são transmitidas ao solo gerando uma redistribuição dos estados de tensão em cada 
ponto do maciço (acréscimos de tensão), a qual irá provocar deformações em maior ou 
menor intensidade, em toda área nas proximidades do carregamento, que por sua vez, 
resultarão em recalques superficiais. 
 
Definem-se então alguns conceitos importantes: 
 
Compressão (ou expansão): É o processo pelo qual uma massa de solo, sob a ação 
de cargas, varia de volume (“deforma”) mantendo sua forma. 
Os processos de compressão podem ocorrer por compactação (redução de volume 
devido ao ar contido nos vazios do solo) e pelo adensamento (redução do volume de água 
contido nos vazios do solo). 
 
Compressibilidade: Relação independente do tempo entre variação de volume 
(deformação) e tensão efetiva. É a propriedade que os solos 
têm de serem suscetíveis à compressão. 
Adensamento: Processo dependente do tempo de variação de volume 
(deformação) do solo devido à drenagem da água dos 
poros. 
 
 
3.2 – Compressibilidade dos solos 
 
O solo é um sistema particulado composto de partículas sólidas e espaços vazios, os 
quais podem estar parcialmente ou totalmente preenchidos com água. Os decréscimos de 
volume (as deformações) dos solos podem ser atribuídos, de maneira genérica, a três 
causas principais: 
• Compressão das partículas sólidas; 
• Compressão dos espaços vazios do solo, com a conseqüente expulsão da água (no 
caso de solo saturado); 
• Compressão da água (ou do fluido) existente nos vazios do solo. 
 
Para os níveis de tensões usuais aplicados na engenharia de solos, as deformações 
que ocorrem na água e grãos sólidos são desprezadas (pois, são incompressíveis). 
Calculam-se, portanto, as deformações volumétricas do solo a partir da variação do 
índice de vazios (função da variação das tensões efetivas). 
 
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COMPRESSIBILIDADE E ADENSAMENTO DOS SOLOS 
 
 56
Em solos saturados (finos – elevado índice de vazios), a variação de volume é 
devida à drenagem da água. Esta situação é verificada para o caso de ocorrência de 
argilas sedimentares em que se tem S ≅≅≅≅ 100%. Estes solos se formam pelo transporte da 
água – se formam em regiões baixas – topografia “plana”, em que o NA é elevado. 
No caso de solos de formação não sedimentar (formados no local da rocha de 
origem) correspondente a situações de cotas mais elevadas, não se tem o NA elevado, 
conseqüentemente se encontram freqüentemente não saturados. Desta forma não se 
esperam adensamento destes solos assim como em solos granulares que apresentam 
permeabilidade elevada, não sendo submetidos ao processo de drenagem lenta como no 
caso dos solos argilosos – “sujeitos ao efeito do adensamento”. 
 
O fluxo (drenagem) da água no solo é governado pela lei de Darcy → v = k.i ∴ a 
variação de volume não é imediata, sendo função da velocidade com que ocorre o fluxo. 
 A compressibilidade de um solo irá depender do arranjo estrutural das partículas 
que o compõe e do grau em que estas são mantidas uma em contato com a outra. 
 
Variação de volume → devido à variação das tensões efetivas 
 (princípio das tensões efetivas) 
 
No caso do carregamento confinado a deformação volumétrica corresponde a 
deformação específica vertical 

 ∆=
0h
h
Vε . 
 
 
3.3 – Ensaio de adensamento ou de compressão confinada (oedométrico) 
 
Dentre os parâmetros de compressibilidade que o engenheiro geotécnico necessita 
para a execução de projetos e o estudo do comportamento dos solos, destacam-se a pressão 
de pré-adensamento, σσσσ’ vm, o índice de compressão, Cc, e o coeficiente de adensamento, cv. 
A obtenção desses parâmetros se dá a partir de resultados de ensaios de compressibilidade 
do solo. 
O estudo de compressibilidade dos solos é normalmente efetuado utilizando-se o 
oedômetro, que foi desenvolvido por Terzaghi para o estudo das características de 
compressibilidade e da taxa de compressão do solo com o tempo. A Figura 3.1 apresenta o 
aspecto do recipiente do aparelho em que é colocada a amostra, utilizado nos ensaio de 
compressão confinada. 
 
Figura 3.1 – Oedômetro utilizado nos ensaios de compressão confinada (de adensamento) 
 
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 57
As fotos abaixo mostram a imagem de 5 tubos de shelby (com amostra de argila 
mole) na câmara úmida e do equipamento de adensamento. 
 
 
 
 
 
 
 
O ensaio de compressão oedométrica (também referido como ensaiode 
compressão confinada ou ensaio de adensamento) é o mais antigo e mais conhecido para a 
determinação de parâmetros de compressibilidade do solo. O ensaio consiste na 
compressão de uma amostra de solo, compactada ou indeformada, pela aplicação valores 
crescentes de tensão vertical, sob a condição de deformação radial nula. As condições de 
contorno estão apresentadas na Figura 3.2. 
 
 
Figura 3.2 – Condições de contorno do ensaio de compressão confinada 
 
O ensaio é realizado mantendo a amostra saturada e utilizando duas pedras porosas 
(uma no topo e uma na base) de modo a acelerar a velocidade dos recalques na amostra e, 
conseqüentemente, diminuir o tempo de ensaio. Durante cada carregamento, são efetuadas 
leituras dos deslocamentos verticais do topo da amostra e do tempo decorrido. 
 
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 58
• Procedimento do ensaio (resumido) 
NBR 12007 MB 3336 (ABNT) – Solo – Determinação de Adensamento Unidirecional 
− Saturação da amostra 
− Aplicação do carregamento 
− Leituras, geralmente efetuadas em uma progressão geométrica do tempo 
(15s, 30s, 1min, 2min, 4min, 8min, ... 24hs), dos deslocamentos verticais do 
topo da amostra através de um extensômetro 
− Plotar gráficos com as leituras efetuadas da variação da altura ou recalque 
versus tensões aplicadas 
− A partir da interpretação dos gráficos, decidir se um novo carregamento 
deve ser aplicado. Repetem-se os processos anteriores. 
− Última fase: descarregamento da amostra. 
• Seqüências usuais de cargas 
(em kgf/cm2) : 0,10, 0,20; 0,40; 0,80; 1,60, 3,20, 6,40,; etc 
(em kPa) : 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, etc 
∴ em geral são aplicados de 5 a 8 carregamentos → podendo chegar a quase 2 
semanas de ensaio 
 
 obs.: 1 kN = 0,1 t 1 t/m2 = 10 kPa 
1 kgf = 9,81 N 1 kgf/cm2 = 10 t/m2 
 1 kgf/cm2 = 100 kPa 
 
 
3.4 – Interpretação dos resultados de um ensaio de compressão confinada 
 
 Existem diversos modos de se representar os resultados do ensaio de adensamento. 
A taxa de deformação do solo no início do ensaio é bem veloz, mas, como o decorrer do 
ensaio ela decresce. Depois de transcorrido o tempo necessário para que as leituras se 
tornem constantes, os resultados de cada estágio são colocados em um gráfico em função 
do logaritmo do tempo. 
 A curva de compressão do solo é normalmente representada em função do índice de 
vazios versus o logaritmo da tensão vertical. O valor do índice de vazios ao final de cada 
estágio de carregamento pode ser obtido considerando-se a hipótese de carregamento 
confinado, a partir da relação da deformação volumétrica com o índice de vazios: 


 ∆=
0h
h
Vε ou 
e
e
V +
∆−=
1
ε (como pode ser demonstrado) 
 
Logo: ( )0
0
0 1. e
h
h
eef +∆−= 
 
 Onde: 
 ef – índice de vazios ao final do estágio de carregamento atual 
 ∆h – variação da altura do corpo de prova (acumulada) ao final do estágio 
 h0 – altura inicial do corpo de prova (antes do início do ensaio) 
 e0 – índice de vazios inicial do corpo de prova (antes do início do ensaio) 
 
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 59
O índice de vazios inicial do corpo de prova (“e0”) pode ser obtido a partir da 
relação: 
e0 = δ - 1 δ = peso específico das partículas sólidas 
 γs o γs o = peso específico seco na condição inicial 
 
Para a condição inicial da amostra, pode-se calcular o grau de saturação (“So”) a 
partir da relação: 
S0 = δ hi hi = teor de umidade na condição inicial 
 e0 e0 = índice de vazios inicial da argila 
 
 Resultados do Ensaio 
Os gráficos da Figura 3.3 mostram a representação dos resultados do ensaio de 
compressão confinada. 
 
 
 
Figura 3.3 – Representação dos resultados em termos de 
índice de vazios versus tensão vertical 
 
O valor da tensão a qual separa os trechos de recompressão e compressão virgem do 
solo na curva de compressão do solo é normalmente denominado de tensão de pré-
adensamento, e representa, conceitualmente, o maior valor de tensão já sofrido pelo solo 
em campo (no resultado mostrado na curva acima, se aproxima de 100 kPa). Corresponde 
ao início do trecho virgem de compressão (em que se tem o comportamento linear do 
índice de vazios com o log da tensão vertical aplicada). 
 
Interpretação dos Resultados 
 
Para o melhor entendimento de alguns conceitos do ensaio de compressão 
confinada, analisaremos o exemplo dos gráficos da Figura 3.4 (resultados de ensaio 
oedométrico realizado em uma argila normalmente adensada, com um descarregamento no 
meio do ensaio – com tensão de carregamento inicial - 175 kPa - acima dos valores 
correspondentes ao trecho não virgem), plotados no gráfico em escala semi-log (nota-se 
 
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COMPRESSIBILIDADE E ADENSAMENTO DOS SOLOS 
 
 60
que os resultados podem ser aproximados por dois trechos lineares) e no gráfico das 
tensões em escala não logarítmica. 
 
 
Figura 3.4 – Resultado do ensaio de adensamento em argilas normalmente adensadas 
 
Nota-se que a amostra foi comprimida, em primeiro carregamento, do ponto A até o 
ponto B. Em seguida, sofreu um processo de descarregamento até o ponto D, para 
finalmente ser recarregada até aproximadamente o ponto B, e novamente aplicado o 
carregamento levou a amostra a atingir o ponto C. A curva apresenta histerese, ou seja, 
deformações plásticas irreversíveis. Isto pode ser observado claramente tomando-se o valor 
de σv’ = 175 kPa, em que cada um dos trechos de carga/descarga/recarga corta a linha 
correspondente a esta tensão com valores diferentes de índice de vazios. 
 
A expressão primeiro carregamento significa que os carregamentos que ora se 
impõem ao solo superam o maior valor por ele já sofrido em sua história de carregamento 
prévia. É um conceito de grande importância, pois o solo (e todo material de 
comportamento elastoplástico) guarda em sua estrutura indícios de carregamentos 
anteriores. Assim, da curva apresentada acima, temos: 
 
• Trecho A-B: trecho de carregamento virgem, no sentido que a amostra ensaiada 
nunca experimentara valores de tensão vertical daquela magnitude. Quando isto 
ocorre, dizemos que a amostra está em níveis de tensões correspondente à condição 
de “normalmente adensada”. 
• Trecho B-D-B (descarga/recarregamento): não é normalmente adensada, pois a 
tensão a qual lhe é imposta é inferior à tensão máxima por ela experimentada (ponto 
B), sendo classificado como solo “pré-adensado”. 
• Trecho B-C: apresenta um estado de tensão superior ao maior estado de tensão já 
experimentado, sendo classificado como normalmente adensado. 
A Tabela 3.1 apresenta um resumo do exposto anteriormente. 
 
Um outro exemplo que pode ser analisado refere-se a uma argila hipotética, cuja 
relação índice de vazios em função da pressão de adensamento seja indicada na figura 3. 5. 
Esta argila terá sido adensada, no passado, segundo a curva tracejada na figura, 
até uma tensão efetiva igual a aproximadamente o valor “3” – entre 2 e 4 (as tensões estão 
 
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 61
indicadas por valores absolutos, independentes do sistema de unidades; 3 poderia ser 300 
kPa, por exemplo). Veja que esta argila apresenta, atualmente (executado o ensaio de 
laboratório), a curva de índice de vazios em função da tensão confinante indicada pela 
linha contínua. 
 
 Figura 3.5 – Relação índice de vazios em função 
 da pressão de adensamento para uma argila. 
 
Tabela 3.1 – Comparação entre pressões atual σ’ v e máxima passada σ’ vm 
PRESSÃO COMPORTAMENTODA ARGILA 
σ’ v 1 → solo pré-adensado (ou sobre adensado) condição usual 
2. Se OCR = 1 → solo normalmente adensado pouco usual 
3. Se OCR 1) 
( ) 'sen
0 .'sen95,0 ϕϕ OCRK −= ⇒ equação empírica 
 
A expressão é função do parâmetro ϕ’ - ângulo de atrito do solo – parâmetro 
relacionado à resistência ao cisalhamento do solo, conforme será também visto 
posteriormente neste curso (Unidades 04 e 05). 
 
 
3.7 – Parâmetros de compressibilidade e recalque por compressão primária 
 
 Em resumo, tem-se a partir da curva representada em função do índice de vazios 
(“e”) versus a tensão vertical (σσσσ’ v) e da curva representada em função do índice de vazios 
versus o logaritmo da tensão vertical, os coeficientes (compressibilidade e 
compressibilidade volumétrica) e índices (compressão e expanssão): 
 
- Coeficiente de Compressibilidade av 
 
 
 - Coeficiente de Compressibilidade Volumétrica mv e Módulo Oedométrico E oed 
 
 
 
 
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A inclinação dos trechos de descarregamento/recarregamento e carregamento 
virgem da curva de compressão em escala semi-log são dadas pelos índices de expansão ou 
recompressão (Ce) e de compressão (Cc), respectivamente. São determinados pelas 
expressões a seguir apresentadas: 
 
 
 
 
 - Índice de Compressão Cc = ∆e . 
 ∆log σ‘v 
 




−
=
vi
vf
if
C
ee
C
σ
σ
log
 (trecho de compressão virgem dosolo) 
 
 - Índice de Expansão ou Recompressão Cs = ∆e . 
 ∆log σ‘v 
 




−
=
vi
vf
if
e
ee
C
σ
σ
log
 (trecho de descompressão e recompressão do solo) 
 
 
Recalque Total por Compressão Primária 
O cálculo dos recalques total no solo pode ser expressa em função da variação do 
índice de vazios, como pode-se demonstrar, e considera as características iniciais do solo. 
 
Deformação volumétrica: corresponde a deformação vertical 

 ∆=
0h
h
Vε 
Deformação volumétrica em função do índice de vazios pode ser expressa: 
: 
e
e
V +
∆−=
1
ε 
 
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 67
 Logo: 0
0
H.
e1
e
H 



+
∆=ρ=∆ 
Sendo: 
ρ – valor do recalque do solo, em relação a superfície (referência) 
∆e – variação do índice de vazios correspondente à nova tensão aplicada 
H0 – altura inicial da camada de solo compressível (ou da camada de solo para a 
qual se quer calcular o recalque) 
 
O valor acima pode ser expresso em função do índice de compressão “Cc” e da 
diferença dos logs das tensões consideradas (=log da diferença de tensões), bastando 
substituir o valor da diferença dos índices de vazios, como se vê nas expressões a seguir, 
dependendo de cada caso. 
 
Em função dos níveis de tensões aplicados temos para o recalque, conforme 
apresentado, por exemplo, pelo Prof. Cezar Bastos (FURG), a partir dos níveis de tensões 
aplicadas em função da tensão de pré-adensamento aplicada (σ’ vm): 
 
 
Figura: Diferentes níveis de tensões aplicadas em função da tensão de pré-adensamento 
 
Solo Normalmente Adensado (NA) 
 
 
Recalque para solos NA 
 
 
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 68
Solo Pré-Adensado (PA) 
 
 
Recalque para solos PA 
 
sendo Cr = índice de recompressão (trecho antes da reta virgem) 
 
Tomando a variação linear do acréscimo de tensões ao longo da camada 
compressível, costuma-se calcular o acréscimo na cota média e admiti-lo como 
representativo de toda a camada. Conhecido o acréscimo ∆σ′, pode-se calcular o recalque 
total da camada. 
 
Para o uso da expressão acima é necessário determinar o valor de “∆e” utilizando-se 
as expressões que fornecem os valores dos índices de recompressão (Ce) e de compressão 
(Cc), como apresentado (a partir do gráfico obtido em laboratório). 
 
Podemos obter também o valor do recalque de compressão primária em função dos 
valores do coeficiente de compressibilidade 


σ∆
∆−=
V
V '
ea e do coeficiente de 
compressibilidade volumétrica, dado pela expressão: 
 
0
v
oedv
v
v e1
a
E
1
'
m
+
==
σ∆
ε∆
= ou ainda, pode-se mostrar que 
'0 v
v H
H
m
σ∆
∆= 
 
Substituindo os valores do coeficientes na expressão de ∆H (anterior), conclui-se: 
 
 
 '.m.HH vv0 σ∆=∆ Recalque total estimado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 69
3.8 – Adensamento dos solos 
 
Adensamento: Processo gradual dependente do tempo de variação de volume do 
solo devido à drenagem da água dos poros, compressão e aumento de tensões efetivas com 
a conseqüente diminuição de pressão neutra. 
 
Quando: ∆u = 0 → o adensamento primário cessa e toda a tensão é suportada 
pelo esqueleto sólido; 
 ∆u → excesso de pressão neutra 
 
3.8.1 – Analogia mecânica do processo de adensamento de Terzaghi 
 
Conforme já descrito anteriormente, sendo o solo saturado e as partículas de água e 
sólidos incompressíveis, toda variação de volume deverá ocorrer em função da variação do 
índice de vazios. Esta variação somente ocorrerá por expulsão de água dos vazios 
(processo de compressão) ou absorção de água para dentro dos vazios (processo de 
expansão). Logo, para que o solo se deforme é necessário que haja um processo de fluxo de 
água em seu interior. 
 
Processo de Adensamento e Teoria de Terzaghi: 
hipótese simplificadora → relação entre “e” e σv é assumida com linear. 
 
 
Figura 3.10 – Analogia de Terzaghi 
Válvula: Permeabilidade do solo 
Mola: Rigidez do esqueleto sólido 
 
a
0
0
u
h
γ
= e 
a
u
h
γ
∆=∆ 
 
ρ = deslocamento do pistão devido à aplicação da carga 
 
Pressões: σ = σ’ + u, mas u= uo + ∆u 
 uo = pressão hidrostática 
 ∆u = excesso de poro pressão 
 
Uma mola de altura inicial H é imersa em água em um cilindro ajustado em um 
pistão de área transversal A, através do qual uma carga axial pode ser transmitida ao 
sistema, que representa o solo saturado, como representado na Figura 3.9. A mola tem 
função análoga à estrutura de solo e a água do cilindro, à pressão neutra. O pistão possui 
uma válvula que controla a facilidade com que a água sai do sistema cuja função é a 
representação do coeficiente de permeabilidade do solo. Aplica-se uma carga P ao pistão. 
 
Têm-se as seguintes situações: 
1. Válvula fechada: a pressão (
A
P
) decorrente da aplicação da carga P será suportada 
pela água, sendo a força suportada pela mola ainda nula. 
 
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 70
2. Válvula aberta: expulsão da água a uma velocidade que é função da diferença entre 
a pressão da água e a pressão atmosférica. Com isso, o pistão se movimenta e a 
mola passa a ser solicitada em função do deslocamento. À medida que a água é 
expulsa, a poropressão diminui e aumenta a tensão na mola. Em qualquer instante, 
as forças exercidas pela mola e pela água no pistão devem ser iguais a P. O 
processo continua até P ser suportado pela mola, sendo a pressão da água devida 
somente ao peso próprio. Neste ponto não há mais fluxo para fora. O aumento da 
pressão sobre o esqueleto sólido corresponde ao aumento de pressão efetiva. 
 
Ilustração do Modelo Hidromecânico de Terzaghi 
 
 
 
 
 Cada fase do processo descrito anteriormente pode ser observada nos gráficos 
apresentados na Figura 3.11. 
 
Após constatar que uma amostra de argila saturada sujeita a um aumento de carga 
∆P apresentava deformações retardadas devido à sua baixa permeabilidade, Terzaghi 
(1925) desenvolveu uma formulação matemática para esse fenômeno. No 
desenvolvimento dessa formulação, foi necessário a Terzaghi que elaborasse uma série de 
hipóteses simplificadoras, dentre as quais, algumas são de conseqüências muito 
importantes sobre a possibilidade de se aplicar esta teoria ao estudo de um caso real. A 
 
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 71
seguir, o princípio básico do fenômeno de adensamento é apresentado e então, as diferentes 
hipóteses de Terzaghi serão examinadas e suas conseqüências estabelecidas. 
 
 
Figura 3.11– Fases de carregamento e variações nas tensões no processo de adensamento 
 
 
3.8.2 – Teoria do adensamento 1-D de Terzaghi 
 
 O desenvolvimento da Teoria do Adensamento de baseia nas seguintes hipóteses: 
 
1. O solo é totalmente saturado (Sr = 100%); 
2. A compressão é unidimensional; 
3. O fluxo de água é unidimensional e governado pela Lei de Darcy; 
4. O solo é homogêneo; 
5. As partículas sólidas e a água são praticamente incompressíveis perante a 
incompressibilidade do solo; 
6. O solo pode ser estudado como elementos infinitesimais; 
7. As propriedades do solo não variam no processo de adensamento e não há diferença 
de comportamento entre massas de solos de pequenas e grandes dimensões; 
8. O índice de vazios varia linearmente com o aumento da tensãoefetiva durante o 
processo de adensamento. 
 
Dedução da teoria: 
Objetivo: Determinar para qualquer instante (tempo – “t” ) e em qualquer posição 
(profundidade - “z” ) o grau de adensamento de uma camada, ou seja, as deformações, os 
índices de vazios, as tensões efetivas e as pressões neutras correspondentes. 
 
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 72
Consideremos um elemento de solo submetido ao processo de adensamento 
conforme figura 3. 12: 
 
Figura 3.12 – Elemento de solo submetido ao processo de adensamento 
 
Sendo a equação de fluxo (não há variação de volume) num solo saturado, 
indicando a variação de volume pelo tempo, dada abaixo: 
0dz.dy.dx.
z
h
.k
y
h
.k
x
h
.k
t
V
2
2
z2
2
y2
2
x =


ϑ
ϑ+
ϑ
ϑ+
ϑ
ϑ=
ϑ
ϑ
 
 
– Equação de Laplace para fluxo 
tridimensional. 
 
 
No estudo do adensamento, o fluxo ocorre somente na direção vertical e a 
variação de volume não é nula. A quantidade de água que sai do elemento é menor do 
que a que entra. A equação de fluxo, neste caso, se reduz a: 
dz.dy.dx.
z
h
.k
t
V
2
2
ϑ
ϑ=
ϑ
ϑ
 → Equação 1 
 
Mas o que é variação de volume do solo senão a variação de seus índices de vazios, 
já que consideramos a água e os grãos sólidos praticamente incompressíveis em relação à 
estrutura sólida do solo. Logo, a variação de volume com o tempo é dada pela expressão: 



+ϑ
ϑ=
ϑ
ϑ
dz.dy.dx.
e1
e
tt
V
 ou 
e1
dz.dy.dx
.
t
e
t
V
+ϑ
ϑ=
ϑ
ϑ
 → Equação 2 
 
Uma vez que 
e1
dz.dy.dx
+
é o volume dos sólidos, e portanto, invariável com o tempo, 
temos igualando as equações 1 e 2, que: 
e1
dz.dy.dx
.
t
e
dz.dy.dx.
z
h
.k
2
2
+ϑ
ϑ=
ϑ
ϑ
 ⇒ 
e1
1
.
t
e
z
h
.k
2
2
+ϑ
ϑ=
ϑ
ϑ
 → Equação 3 
 
Só a carga em excesso à hidrostática provoca fluxo. Portanto, a carga h pode ser 
substituída pela pressão na água, ou seja, 
a
u
γ
. Mas, sabemos que, du.ade V= . Substituindo 
estes valores na equação 3, obtemos: 
 
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( )
t
u
z
u
.
.a
e1.k
2
2
av ϑ
ϑ=
ϑ
ϑ
γ
+
 → Equação de adensamento 1-D 
 
Esta equação expressa a variação da pressão neutra em relação ao tempo função da 
variação de u com a profundidade, multiplicada por conjunto de parâmetros. Na equação: 
K = coeficiente de permeabilidade 
e = índice de vazios 
av = coeficiente de compressibilidade 
γa = peso específico da água 
u = excesso de pressão neutra (∆u) 
z = variável espacial (profundidade) 
t = tempo 
 
Para a solução da equação acima, foram consideradas as condições de contorno 
desta equação, conforme apresentadas no quadro abaixo (*), e interpretadas na figura 3.13. 
 
 Tempo Profundidade Pressão (excesso) 
para 
 
t = 0 
e 
 
0 ≤ z ≤ H u (z,0) = u0 
para 
 
0 ≤ t ≤ ∞ 
e 
 
z = 0 u (0,t) = 0 
para 0 ≤ t ≤ ∞ 
e 
 z = H 0
z
u =
ϑ
ϑ
 
(*) Há quem acrescente a condição “para t = ∞ e 0 ≤ z ≥ H, u = 0”. Isto, porém, é uma redundância da 
solução da equação 2, como pode ser facilmente demonstrado. 
 
 
Figura 3.13 – Exemplo de adensamento com a interpretação das condições de contorno 
 
 
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O coeficiente do primeiro membro da equação de adensamento reflete as 
características do solo (permeabilidade, porosidade e compressibilidade) e é denominado 
Coeficiente de Adensamento – cv. Seu valor é admitido como constante para cada 
acréscimo de tensões. Tem-se, portanto: 
( )
av
v .a
e1.k
c
γ
+= 
Logo, a equação diferencial do adensamento assume a expressão: 
t
u
z
u
.c
2
2
v ϑ
ϑ=
ϑ
ϑ
. 
 
O Coeficiente de Compressibilidade Volumétrica, dado por 
e1
a
m v
v +
= , é obtido 
pela inclinação da curva de compressão do diagrama εv x σ’ v. Logo, podemos escrever o 
coeficiente de adensamento como: 
avav
v .m
k
.a
)e1.(k
c
γ
=
γ
+= então, k = cv . mv . γa 
 
Na integração da equação de adensamento, a variável tempo T aparece sempre 
associada ao coeficiente de adensamento e à maior distância de percolação, e é dada pela 
expressão: 
2
d
v
H
t.c
T = 
 
O fator tempo T correlaciona os tempos de recalque às características do solo, 
através do cv, e às condições de drenagem do solo, através do Hd. 
O termo Hd refere-se, portanto, à distância de drenagem da camada de solo e é igual 
a maior distância que a água tem que percorrer para alcançar uma camada drenante. O seu 
valor dependerá das condições de drenagem, como se vê: 
 
 
 
O coeficiente de adensamento (cv) pode ser obtido a partir da realização de ensaio 
de adensamento, em laboratório, aplicando-se os métodos usuais de Taylor ou Casagrande. 
Consiste em aplicar a expressão para a variável tempo T, associada a uma determinada 
percentagem de adensamento decorrida. O método de Taylor relaciona o tempo (“t”) 
necessário para completar 90% do adensamento primário e o método de Casagrande 
relaciona o tempo (“t”) necessário para completar 50% do adensamento primário. 
Condições de drenagem 
 
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Observa-se ser um cálculo simples, com a maior dificuldade recaindo sobre a 
determinação destes tempo “t”. Para tanto são utilizados métodos próprios (segundo seus 
autores), que consistem basicamente em traçar gráficos com resultados de ensaio e assim 
obter o valor de “t” buscado. As figuras a seguir apresentadas ilustram os métodos, que 
serão melhor apresentados na parte prática deste curso. 
 
Método de Taylor 
(raiz de t) 
 
Cv = 0,848 . H2 
 t90 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método de Casagrande 
(log de t) 
 
Cv = 0,197 . H2 
 t50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A equação de adensamento 1–D, consideradas as suas condições de contorno 
fornece a seguinte solução para o excesso de pressão neutra u, à uma profundidade z 
decorrido o tempo t: 
 
( ) ( ) ( )
4
T..1m2m
0m d
0
22
e.
H
z
.
2
.1m2
sen.
1m2
1
.u.
4
t,zu
π+−∞=
=
∑ 

 π+
+π
= → Equação 1 
 
onde: “e” é a base do logaritmo natural e “T” o fator adimensional de tempo. 
 
 
 
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3.8.3 – Grau ou percentagem de adensamento 
 
 Define-se como grau ou porcentagem de adensamento a relação entre a 
deformação (ε) ocorrida num elemento numa certa posição, caracterizada pela sua 
profundidade z, num determinado tempo e a deformação deste elemento quando todo o 
processo de adensamento tiver ocorrido (εf): 
 
f
zU
ε
ε= 
 
Podemos exprimir o grau ou porcentagem de adensamento em função dos seguintes 
índices, como mostra a figura (notação de tensão efetiva como “σ”)e as expressões abaixo: 
 
 
Figura - Variação linear do índice de vazios com a pressão efetiva 
 
A porcentagem de adensamento ocorrida pode ser expressa por relação direta 
(relação entre “OCORRIDO” e intervalo de ocorrência) ou pela expressão: 1 – relação 
entre o que “FALTA OCORRER” e intervalo de ocorrência, vejamos: 
 
112
1
12
1 1
''
''
u
u
ee
ee
U z −=
−
−=
−
−=
σσ
σσ
 
 
Em termos de percentagem de adensamento na profundidade z, a equação 1, 
aplicando a expressão acima se escreve (sendo u1 = u0, o que faz simplificar): 
 
( ) ( )
4
T..1m2m
0m d
z
22
e.
H
z
.
2
.1m2
sen.
1m2
1
.
4
1U
π+−∞=
=
∑ 

 π+
+π
−= → Equação 2 
 
Ou, de forma simplificada, sendo o valor de 
( )
2
.1m2
M
π+= : 
 
∑∞=
=
−



−=
m
0m
T.M
d
Z
2
e.
H
z
.senM.
M
2
1U → Equação3 
 
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Os valores da porcentagem de adensamento (de pressão neutra dissipada) Uz 
podem ser obtidos atribuindo-se valores a z/H e T, com os quais se constroem as curvas da 
Figura 3.14. 
 
Nota-se que: 
t = 0 →→→→ Uz = 0 % 
t = ∞∞∞∞ →→→→ Uz = 100 % 
 
 
Observe-se ainda que as curvas indicam, para a profundidade de menor condição 
de drenagem (maior distância à face drenante), uma maior percentagem de adensamento 
Uz. Na profundidade zero (superfície da camada drenante) ou próxima a ela, Uz é próximo 
de zero, ou seja, a pressão neutra já dissipou totalmente, sendo transferida para a parcela 
de tensão efetiva. 
Então, para um determinado solo (cv e Hd) e para um tempo “t” tem-se um “T”. A 
uma profundidade z, observadas as curvas de “T”, tem-se a percentagem de dissipação Uz 
e consequentemente obtem-se o valor de “ganho” de tensão efetiva (complemento). 
 
 
Figura 3.14 – Grau de adensamento em função da profundidade e do fator tempo 
 
 
3.8.4 – Grau de adensamento médio 
 
 Observando-se que o adensamento ocorre mais rapidamente nas proximidades das 
faces drenantes (Uz maior) e mais lentamente (Uz menor) no centro da camada ou na 
extremidade não drenante, para um tempo t, a percentagem média U (sem índice) de 
adensamento ao longo de toda a camada de espessura “z” será a média dos valores de Uz. 
O adensamento ocorre mais rapidamente nas proximidades 
das faces drenantes (Uz maior) e mais lentamente (Uz menor) 
no centro da camada ou na extremidade não drenante. 
 
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 78
 Como será visto o recalque da camada em qualquer tempo “t” pode ser calculado 
a partir do cálculo do grau de adensamento médio U considerada a média de todos os 
valores a profundidades “z”, sendo dado por: 
 
H
U
U
z∫≡ ∴ ∫
−
−
=
H
O f
dz
ee
ee
H
U
0
01
 
ou, de acordo com a equação 
1
1
u
u
U z −= ∫ −=
H
O
dz
u
u
H
U )1(
1
0
 
 
 A equação teórica U = f(T) – equação 4, pode ser expressa (Figura 3. 15) pelas 
seguintes relações empíricas: 
2
100
U
.
4
T 

π= → para U 60% 
 
Representação Gráfica: relação U (percentagem média) x T (fator tempo, em log) 
 
 
 
Figura 3.15 – Valores de grau de adensamento U em função do fator tempo T, em log 
Apresentada a equação real para U = f(T) – equação 4, nesta seqüência. 
 
 Na prática, interessa-nos a determinação da porcentagem média de adensamento (ou 
recalque) de toda a camada compressível. Logo, o valor de U pode ser calculado ainda da 
seguinte forma: 
 
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H
U
∆
ρ= 
 Sendo: 
 ρ = recalque parcial, após tempo t; 
∆H = recalque total da camada no tempo infinito. 
 
O recalque que se observa na superfície do terreno é resultante da somatória das 
deformações dos diversos elementos ao longo da profundidade. A média dos graus de 
adensamento, ao longo da profundidade, dá origem ao grau de adensamento médio, 
também denominado Porcentagem de Recalque, pois indica a relação entre o recalque 
sofrido até o instante considerado e o recalque total correspondente ao carregamento. 
 
Pode ser também expresso pela seguinte equação a seguir, sendo representada 
graficamente de acordo com a Figura 3.15, sendo que o fator T não está expresso em log. 
 
∑∞=
=
−−=
m
0m
T.M 2
e.
M
2
1U 
 
 
 
Figura 3.15 – Valores de porcentagem de recalque em função do fator tempo T 
 
 
3.8.5 – Cálculo de recalque por adensamento 
 
 O recalque em qualquer ponto t poderá ser calculado multiplicando o grau de 
adensamento médio (o quanto já adensou toda a camada) pelo recalque total previsto. 
 
phUth ∆=∆ .)( , sendo ∆hp = recalque total por compressão primária 
 
 
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 80
 Uma seqüência prática para o cálculo assim se descreve: 
• Calcular ∆hp 
• Com o tempo “t”, calcular o fator tempo pela equação 
2
d
V
H
t.c
T = 
• Com o valor de “T”, calcula-se U 
• Calcular phUth ∆=∆ .)( 
• Repetir para vários tempos “t” e 
traçar a curva recalque versus 
tempo. 
 
 
 
 
3.8.6 – Compressão secundária 
 
Depois de cessado o processo de adensamento, o solo continua a se deformar com o 
tempo, de modo que a curva recalque da amostra versus log (t) passa a representar um 
trecho aproximadamente constante. Este trecho é denominado compressão secundária do 
solo ou trecho de fluência, como mostra a Figura 3.16, sendo que no processo de 
compressão secundária o solo apresenta um comportamento mais viscoso. 
 
Em resumo: compressão secundária é o decréscimo de volume do solo 
(deformação) sob σ’ v = constante. Em aplicações práticas admite-se que a compressão 
secundária manifesta-se apenas após a dissipação total de poropressões (t100). É 
representada pela seguinte equação: 
 
)tlog(
C V
∆
ε∆
=α 
O valor do recalque por compressão secundária é dado pela equação abaixo: 




=∆ α
0
pC t
t
log.H.Ch , onde Hp = altura da camada após compressão primária. 
 
 
Figura 3.16 – Representação gráfica da compressão secundária 
 
 
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COMPRESSIBILIDADE E ADENSAMENTO DOS SOLOS 
 
 81
3.8.7 – Problema Resolvido 
 
As sondagens procedidas num certo local indicaram o perfil de subsolo mostrado na 
Figura 3.17. 
 
Figura 3.17 – Esquema do perfil de subsolo 
 
Duas torres, iguais e distantes 80 metros, foram construídas. Os recalques de cada 
torre foram registrados e constam da tabela abaixo, em cm. 
 
Tabela 3.3 – Valores dos recalques das torres A e B 
Tempo Torre A Torre B 
0 0 0 
3 meses 6,02 0,93 
6 meses 10,12 1,54 
1 ano 14,50 2,20 
2 anos 20,60 3,15 
3 anos 25,40 7,65 
5 anos 32,00 9,35 
 
A disparidade dos recalques observados levou os engenheiros a uma análise mais 
detalhada das condições do subsolo nas regiões das torres A e B. Constatou-se que: 
 
1. O índice de vazios médio da camada de argila na região da torre B era 1,90 e na 
região da torre A era 2,03; 
2. A camada de argila nas duas regiões é a mesma formação e tem os mesmos índices 
de compressão e coeficiente de adensamento; 
3. Foram encontrados na região da torre B antigos blocos de pedra que teriam sido as 
fundações de um antigo monumento indígena. 
 
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COMPRESSIBILIDADE E ADENSAMENTO DOS SOLOS 
 
 82
Pede-se: 
 
a) Explicar as diferenças dos recalques entre A e B; 
b) Calcular o recalque total provável da torre A; 
c) Estimar a altura provável do monumento indígena, supondo que o acréscimo de 
pressão no centro da camada argilosa é igual a 0,4p (sendo “p” a pressão aplicada 
ao solo pelo monumento) e que o monumento foi construído com a mesma pedra da 
fundação cuja densidade natural era 16,2 kN/m3; 
d) Calcular o recalque total provável da torre B. 
 
Resolução: 
 
a) A diferença dos recalques entre as torres A e B deve-se possivelmente ao fato da camada 
de argila da região da torre B ser pré-adensada, isto é, o antigo monumento indígena 
provocou um recalque da argila na região de B (remoção de sobrecarga em época anterior, 
como construção antiga, aterro,...). 
 
b) Cálculo do recalque total da torre A. 
 
 O recalque da torre A pode ser calculado a partir de qualquer data indicadas na 
Tabela 3.3. 
 Sabe-se que: 2
d
v
H
t.c
T =
 
 
• Para t = 1 ano, temos: 045,0
101x5,4
T
2
== 
 
A porcentagem média de adensamento para t = 1 ano é: 
 
 
2
100
U
.
4
T 

π= supondo U76 
3. 8. 4 – Grau de Adensamento Médio ........................................................................ 77 
3. 8. 5 – Calculo de Recalque por Adensamento ......................................................... 79 
3. 8. 6 – Compressão Secundaria ................................................................................. 80 
3. 8. 7 – Problema Resolvido ....................................................................................... 81 
 
Unidade 4 
Equilíbrio Plástico dos Solos ............................................................................................ 85 
4. 1 - Introdução .................................................................................................................. 85 
4. 2 – Tensões em um Ponto ............................................................................................... 86 
4. 3 – Análise Gráfica de Estado de Tensões ...................................................................... 91 
4. 4 – Critério de Rutura de Mohr ....................................................................................... 93 
4. 5 – Teoria de Coulomb .................................................................................................... 98 
4. 6 – Critério de Rutura Mohr-Coulomb ........................................................................... 103 
 
Unidade 5 
Resistência ao Cisalhamento dos Solos ......................................................................... 108 
5. 1 - Considerações Preliminares sobre Resistência ao Cisalhamento ............................ 110 
5. 2 – Ensaios de Resistência ao Cisalhamento ................................................................ 111 
5. 2. 1 – Ensaios de Campo ................................................................................... 111 
5. 2. 1 – Ensaios de Laboratório ............................................................................ 115 
5. 3 – Ensaios de Compressão Simples ............................................................................. 115 
5. 4 – Ensaio de Cisalhamento Direto ............................................................................... 117 
5. 5 – Ensaio de Compressão Triaxial ............................................................................... 124 
5. 5. 1 – Ensaios Triaxiais Convencionais ............................................................ 128 
5. 5. 2 – Resistência das Areias ............................................................................. 130 
5. 5. 3 – Resistência das Argilas ............................................................................ 132 
5. 5. 4 – Trajetória de Tensões .............................................................................. 140 
5. 5. 5 – Valores de Parâmetros de Resist. ao Cisalh. e Correlações com SPT ..... 142 
5. 5. 6 – Aplicação dos Ensaios em Análise e Projetos ......................................... 145 
5. 5. 7 – Considerações Finais sobre a Compressão Triaxial ................................ 146 
 
2 
Unidade 6 
Empuxos de Terra ........................................................................................................... 150 
6. 1 – Conceitos Básicos e Fundamentais de Empuxo ...................................................... 151 
6. 2 – Empuxo no Repouso ............................................................................................... 154 
6. 3 – Condições em que o Plano de Contenção se Movimenta ....................................... 157 
6. 4 – Teoria de Rankine ................................................................................................... 161 
6. 4. 1 – No Caso de haver Sobrecarga no Terrapleno .......................................... 163 
6. 4. 2 – No Caso de Considerar o Solo também Coesivo .................................... 164 
6. 4. 3 – No Caso de haver mais de uma Camada................................................... 165 
6. 4. 4 – No Caso de Ocorrer NA na Camada ....................................................... 166 
6. 4. 5 – No Caso de Considerar Atrito entre o Parâmetro Vertical e o Solo do 
Terrapleno ............................................................................................................... 166 
6. 5 – Teoria de Coulomb .................................................................................................. 167 
6. 6 – Método das Cunhas ................................................................................................. 169 
6. 7 – Condições de Estabilidade de Contenção de Peso – muros de Arrimo .................. 170 
6. 8 – Exemplo de Análise com uso de Recursos Computacionais .................................. 173 
 
Unidade 7 
Capacidade de Carga dos Solos ..................................................................................... 179 
7. 1 – Introdução e Definições .......................................................................................... 179 
7. 2 – Pressão de Ruptura x Pressão Admissível .............................................................. 181 
7. 3 – Formula de Rankine ............................................................................................... 182 
7. 4 – Formula de Terzaghi ............................................................................................... 184 
7. 5 – Formula Generalizada (Formula de Meyerhof) ...................................................... 188 
7. 6 – Relação entre Tensão Admissível e N (SPT) .......................................................... 190 
7. 7 – Exercícios de Avaliação da Capacidade de Suporte dos Solos ................................ 191 
7. 8 – Determinação da capacidade de carga (taxa de trabalho) de fundações superficiais a 
partir do ensaio de placa .................................................................................................... 196 
 
3 
 
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HIDRÁULICA DOS SOLOS 
 
 4
 
 
 
Unidade 1 - HIDRÁULICA DOS SOLOS 
 
 
 
Em muitos casos o engenheiro se defronta com situações em que é necessário 
controlar o movimento de água através do solo e, evidentemente, proporcionar uma 
proteção contra os efeitos nocivos deste movimento. 
 Do ponto de vista prático, a água pode ser considerada incompressível e sem 
nenhuma resistência ao cisalhamento, o que lhe permite, sob a ação de altas pressões, 
penetrar em micro fissuras e poros, e exercer pressões elevadas que levam enormes 
maciços ao colapso. 
 Um aspecto importante em qualquer projeto em que se tenha a presença de água é a 
necessidade do reconhecimento do papel que os pequenos detalhes da natureza 
desempenham. Assim, não basta apenas realizar verificações matemáticas, mas também 
recorrer a julgamentos criteriosos dessas particularidades, pois que elas nem sempre podem 
ser suficientemente quantificadas. 
 
O objetivo básico desta unidade é fornecer as informações necessárias para o 
entendimento físico da presença da água nos solos e para a resolução de problemas 
que envolvem percolação de água no solo. 
 
 
1.1 – Ocorrência de água subterrânea 
 
 Segundo CHIOSSI (1989), o interior da Terra, composto de diferentes rochas, 
funciona como um vasto reservatório subterrâneo para a acumulação e circulação das 
águas que nele se infiltram. As rochas que formam o subsolo da Terra, raras vezes, são 
totalmente sólidas e maciças. Elas contêm numerosos vazios (poros e fraturas) 
denominados também de interstícios, que variam dentro de uma larga faixa de dimensões e 
formas, dando origem aos aqüíferos. Apesar desses interstícios poderem atingir dimensões 
de uma caverna em algumas rochas, deve-se notar que a maioria tem dimensõesem valor absoluto sobre o plano principal maior, 
no caso o horizontal; 
σσσσ2 = tensão principal intermediária agindo normal ao plano principal intermediário; 
σσσσ3 = tensão principal menor, agindo sobre o plano principal menor. 
 
No caso dos solos, iremos considerar, dentro de um espaço semi-infinito (nas 
características dos horizontes) o solo como homogêneo e contínuo em todas as direções. 
Nessas características a elasticidade (reação da massa) será a mesma em todas as direções 
dando-nos a condição particular de σ2 = σ3. 
 
Com essa consideração reduzimos o sistema a uma condição bi-dimensional de 
tensões onde teremos: 
 
σσσσ1 = tensão principal maior agindo normal ao plano principal maior; 
 
σσσσ3 = tensão principal menor agindo normal ao plano principal menor. 
 
 
 
 
Figura 4.3 – Representação 
infinitesimal do ponto O 
 
 
 
Representando o ponto O como um cilindro 
infinitesimal, de acordo com a Figura 4.3, teremos o 
problema de análise das tensões a ser resolvido num 
sistema bi-dimensional de tensões ou sistema plano de 
tensões. 
 
 
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EQUILÍBRIO PLÁSTICO DOS SOLOS 
 
 88
Direção das tensões principais 
 
É interessante observar que sendo a superfície do terreno horizontal, em qualquer 
profundidade z, a tensão principal maior σ1 terá como direção à vertical e a tensão principal 
menor σ3 à sua perpendicular, ou seja, a direção horizontal. 
No caso da superfície ser diferente da situação anterior, ou tiver carga aplicada na 
superfície em cada profundidade z, terá sua tensão principal maior e menor 
(perpendiculares entre si) inclinada segundo uma direção diferente à cada posição, como 
ilustrada na figura 4. 4. Isto ocorre devido a influência direta da condição do carregamento 
resultante. 
 
 
Figura 4. 4 - Direção das tensões principais para alguns pontos no interior da massa 
de solo, para uma condição de carga aplicada na superfície 
 
Cálculo das tensões normal (σσσσαααα ) e tangencial (τττταααα ) em um plano αααα 
 
Pelo ponto O podemos, ainda, além dos dois planos principais considerados, passar 
outro plano qualquer (por um ponto podemos passar uma infinidade de planos). Mas, 
nesse terceiro plano, daremos uma orientação de posição, isto é, ele fará um ângulo αααα 
com o plano principal maior (terá uma inclinação em relação ao plano horizontal). 
Nesse caso, o plano estará inclinado em relação as duas tensões principais, que, 
com suas ações, darão, como decorrência, duas componentes agindo nesse plano, uma 
normal σα e uma tangencial τα. 
 
Representando-se, agora, o ponto O pela interseção desses três planos, teríamos por 
seus traços a figura abaixo, onde temos (traços dando um triângulo infinitesimal). 
 
 
Ponto O representado como um 
triângulo infinitesimal 
 
OA = traço do plano principal maior onde age a 
tensão σ1, representada pela reação a mesma ; 
OB = traço do plano principal menor onde age a 
tensão σ3; 
AB = traço do terceiro plano que faz um ângulo α 
com o plano principal maior (a horizontal). 
 
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EQUILÍBRIO PLÁSTICO DOS SOLOS 
 
 89
O estado de tensões traduzidos pelas ocorrências de σ1 e σ3 pode ser expresso no 
plano inclinado α, pelas componentes σα e τα. Isto é, as duas componentes σα e τα que 
agem no terceiro plano são definidoras do estado de tensões σ1 e σ3 que agem no ponto e 
esse plano, podendo ser qualquer um, pode até ser o de rutura quando τα se aproximar 
ou ultrapassar o valor da resistência interna ao cisalhamento. 
 
Nesse caminho, o problema consistirá, então, em se calcular as duas tensões σα e τα 
em função das tensões agentes σ1 e σ3 representados pelos esforços por unidade de área. 
 
 
Figura 4.5 – Traços do ponto O 
representado por unidades de área 
Assim, considerando-se a figura ao lado com 
uma profundidade unitária, normal ao papel, o 
traço AB terá o comprimento ds e os outros 
subseqüentemente. 
 
OA ds
OB ds
=
=
cos
sen
α
α
 
 
 
Sobre essas áreas agem as tensões, as forças aplicadas, são mostradas no esquema 
da Figura 4.6 a seguir: 
 
Figura 4.6 – Tensões agentes 
 
 
Donde temos os esforços com suas 
direções definidas em relação a suas ações 
sobre os planos considerados. 
 
Supondo-se o ponto O em equilíbrio (condição de indeslocável) teremos condição 
de decompor os esforços segundo as direções de σ1 e σ3 (ação nos planos principais), com 
a representação mostrada na Figura 4.7: 
 
Figura 4.7 – Decomposição dos esforços segundo direções de σ1 e σ3 
 
 
Esforço se equilibram 
quando o ponto O está 
estável, sem condição 
de deslocamento. 
 
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EQUILÍBRIO PLÁSTICO DOS SOLOS 
 
 90
Estando o sistema em equilíbrio serão satisfeitas as equações fundamentais da 
estática, donde teremos: 
 
H ds ds ds
V ds ds ds
∑ = − + =
∑ = − − =
0 0
0 0
3
1
σ α σ α τ α
σ α σ α τ α
α α
α α
sen sen cos
cos cos sen
 
 
Ou (cancelando-se o ds): 
 
σ α σ α τ α
σ α σ α τ α
α α
α α
3
1
0
0
sen sen cos
cos cos sen
− + =
− − =
 
 
Multiplicando-se 1 por cos α e 2 por sen α, teremos: 
 
σ α α σ α α τ α
σ α α σ α α τ α
α α
α α
3
2
1
2
0
0
sen cos sen cos cos
sen cos sen cos sen
− + =
− − =
 
 
Subtraindo-se II de I, temos: 
 
( ) ( )σ σ α α τ α αα1 3
2 2 0− − + =sen cos sen cos 
 
Sabemos que: ( )sen sen cos sen cosa b a b b a± = ± 
 
sen sen cos2 2a a a= 
sen
sen cos
2
2
a
a a= 
 
Ou, 
sen
sen cos
2
2
α α α= 
 
Substituindo em III, temos: 
 
α
σ−σ
=τα 2sen
2
31 (IV) tensão tangencial (cisalhamento) no plano αααα 
 
Somando-se I e II ,temos: 
 
( ) ( )
( )
σ σ α α σ α α τ α α
σ σ
α σ α τ α α
α α
α α
1 3
2 2
1 3 2 2
2 0
2
2 2 0
+ − + − =
−
− + − =
sen cos sen cos cos sen
sen sen cos sen
 
 
(1) 
(V) 
(2) 
(I) 
(II) 
(III) 
 
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EQUILÍBRIO PLÁSTICO DOS SOLOS 
 
 91
Sabemos que: 
 
( )cos cos cos sen sena b a b a b± = ± 
cos cos sen
cos cos sen
2
2
2 2
2 2
a a a= −
= −α α α
 
 
Substituindo em V: 
 
σ σ
α σ α τ αα α
1 3 2
2
2 2 0
−
− + =sen sen cos 
 
Substituindo τ∝ por seu valor expresso em IV: 
 
σ σ
α σ α
σ σ
α αα
1 3 1 3
2
2 2
2
2 2 0
+
− +
−
=sen sen sen cos ou 
 
 
 
 
 
 
As expressões IV e VI são as definidoras do estado de tensões, ou seja, calculam as 
tensões definidoras do estado de tensões resultante da ocorrência de σ1 e σ3 agentes 
num ponto O, situado no interior da massa de solo. 
 
Nesse estudo, estabelecemos o desenvolvimento analítico para o cálculo das tensões 
definidoras do estado de solicitações no ponto O (interior da massa de solo) onde ocorrem 
σ1 e σ3. 
 
 
4.3 – Análise gráfica de estado de tensões 
 
Para a análise gráfica iremos representar o estado de tensões pelo círculo de Mohr 
que é o lugar geométrico dos pontos de coordenadas σα e τα definidores do estado de 
tensões no ponto O, quando agem, no mesmo as tensões principais σ1 e σ3, como mostra a 
Figura 4.8. 
Esse lugar geométrico (círculo de Mohr) traduz todos os valores de coordenadas 
correspondentes a todos os possíveis planos inclinados, em relação aos planos principais, 
que podemos passar no ponto O e que fazem um ângulo α qualquer, com o plano principal 
maior (ou em termos de nossa referência inicial com a horizontal). 
 
O lugar geométrico, círculo de Mohr, identifica os pontos definidores do estado de 
tensões no ponto O para qualquer plano referencial aos possíveis α e, esse ângulo será 
definido pela posição do ponto no círculo. 
σ σ σ σ
α σα
1 3 1 3
2 2
2
+
+
−
=cos 
 
(VI) tensão normal no plano αααα 
 
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EQUILÍBRIO PLÁSTICO DOS SOLOS 
 
 92
 
Figura 4.8 – Representação gráfica dos estados de tensões no ponto O 
 
Em outras palavras, o estado de tensões no ponto O, qualquer, no interior e uma 
massa de solo, pode ser, graficamente, representado, num sistema cartesiano de 
coordenadas σ e τ, coordenadas agentes no plano qualquer, quando o mesmo, está sujeito 
as tensões σ1 e σ3. 
 
Para se traçar o lugar geométrico representativo das tensões nos planos α: 
a) Marca-se no eixo das abscissas as tensões σ1 e σ3; 
b) No intervalo entre σ1 e σ3 traça-se o círculo de tensões, cujo diâmetro é σ1 - σ3, 
 portanto o raio é igual a: 
 r =
−σ σ1 3
2
 
c) Toma-se o ponto M, sobre o círculo, obtendo-se os coordenadas σα e τα; 
 
* Pela propriedade do círculo de Mohr, temos: 
 
“Todo raio que forma com o eixo das abscissas um ângulo 2α, corta o círculo num 
ponto M cujas coordenadas são σα e τα, definidoras do estado de tensões no ponto O, 
submetido ao par de tensões principais σ1 e σ3. Esse ângulo α é o ângulo que o plano 
qualquer, onde agem σα e τα, faz com o plano principal maior”. 
. Pelas propriedades conhecidas, ligando-se o ponto M ao início do círculo, a corda 
define o ângulo α. O início do círculo é o pólo. 
 
* O centro do círculo terá as coordenadas: 
τ
σ σ σ
σ σ σ σ
o
o r
,
,
=
= + = +
−
=
+
0
2 23 3
1 3 1 3
 
 
Coordenadas do ponto M em função das tensões σ1 e σ3 
Raio do círculo: r =
−σ σ1 3
2
 
Coordenadas de o, : τo, = 0 e σ
σ σ
o
, =
+1 3
2
 
 
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 93
Então, temos: 
σ σ σ α
σ σ σ σ
αα = + = + =
+
+
−
o o o o r, , ,, , cos cos2
2 2
21 3 1 3 
 
 
 
 
 
τ α
σ τ
αα = =
−
∴r sen sen2
2
21 3 
 
 
Essas expressões obtidas do sistema gráfico de representação são as mesmas 
deduzidas analiticamente o que nos permite trabalhar com o gráfico, num sistema muito 
mais simples de visualização. 
 
 
4.4 – Critério de rutura de Mohr 
 
Dentre os vários critérios de rutura considerados em Resistência dos Materiais, para 
os diversos materiais diferentes, um se caracteriza por sua condição essencialmente 
empírica, o critério de rutura de Mohr. Sendo o solo um material heterogêneo por 
excelência, um critério como o de Mohr traduz muito bem as características diferenciadas 
dos solos. Assim, toma-se o critério de Mohr, que se obtém com traçados gráficos de 
círculos de Mohr em condições experimentais práticas a partir de informações obtidas 
diretamente em corpos-de-prova ensaiados. 
 
Como o estado de tensões ocorrentes em um ponto, no interior do maciço de solo se 
traduz, perfeitamente pelo círculo de Mohr, vamos, levar as solicitações de σ1 e σ3 ao 
estado de rutura e procurar identificar, nos inúmeros planos ∝∝∝∝, aquele que 
corresponde ao de rutura do material. Esse plano será, portanto, o plano de rutura e o 
ângulo α correspondente, aquele que define o limite da cunha instável para o estado de 
tensões de rutura considerado nos ensaios. 
 
O critério de Mohr consiste em se ensaiar uma infinidade de corpos-de-prova 
indeformados (obtidas a partir de amostragem “shelby”, quando amostra de argilas ou 
“blocos” para outros materiais, ou deformadas (solo compactado ou areias para diferentes 
graus de compacidade) do mesmo horizonte de solo a ser analisado. Essa abordagem inicial 
é teórica, pois, esse esquema de coletas de amostras, nessa quantidade, é de difícil 
viabilidade prática; mas, a partir da teoria, vamos conferir algumas considerações, em 
paralelo, que poderão contribuir para simplificação do processo e sua conseqüente 
esquematização prática. 
 
Vamos tomar um corpo-de-prova cilíndrico 
O ensaio consistirá, em princípio, de acordo com a Figura 4.9, nas seguintes fases: 
σ
σ σ σ σ
αα =
+
+
−1 3 1 3
2 2
2cos 
τ
σ σ
αα =
−1 3
2
2sen 
 
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 94
 
Figura 4.9 – Critério de Mohr 
 
Proteger o corpo-de-prova com 
membrana elástica de 
impermeabilização de maneira que se 
pode submetê-lo, lateralmente a uma 
pressão σ3, controlada, através de um 
esquema especial de uma câmara ou 
célula de pressão hermeticamente 
fechada. 
 
Por exemplo, podemos injetar na 
câmara água com pressão manométrica 
controlada e constante, de maneira que 
se tenha a efetiva execução desta 
pressão (confinamento). 
 
Em seguida, nesse ensaio especial de laboratório, temos condição de acionar um 
dispositivo capaz de fazer agir, sobre o corpo-de-prova, uma pressão axial σ1 até romper a 
sua estrutura. Nota-se que, durante o processo de aplicação da tensão axial, a tensão lateral 
σ3 é mantida constante e, no instante em que o corpo se rompe, mede-se a máxima σ1 
correspondente a σ3 aplicada (Figura 4.9). 
 
No caso haverá um cisalhamento do corpo-de-prova segundo um ângulo αααα, do 
plano de rutura, conforme se representa na figura anterior e a parte de cima se desloca em 
relação à debaixo caracterizando bem o fenômeno (podem ocorrer rupturas com outras 
características dependendo do tipo de solo que terá elasticidade diferente. Foi dado esse 
exemplo para caracterizar melhor o que, teoricamente se afirma). 
 
No final desse ensaio, nesse primeiro corpo-de-prova teríamos um par de tensões 
de solicitações σσσσ1 e σσσσ3, correspondentes ao estado de rutura do corpo-de-prova, 
portanto, são tensões de rutura. Tomaríamos esses valores e traçaríamos o círculo de 
tensões correspondente, sabendo-se que esse lugar geométrico, pelas condições de 
execução do ensaio, terá embutido o plano de rutura que faz um determinado ângulo com a 
horizontal e sobre o qual agirão as tensões σα e τα definidoras do estado de rutura. 
 
Se repetirmos esse ensaio para um segundo corpo-de-prova, agora tomando σ3
’ > σ3 
teríamos, para romper o corpo-de-prova, σ1
’ > σ1. Portanto, identificaríamos um novo par 
de tensões de rutura que nos daria condição de traçar um novo círculo de Mohr onde se 
poderia identificar o mesmo plano de rutura para o mesmo material nas mesmas condições 
de utilização. 
 
Poderíamos repetir o ensaio, sucessivamente, para a infinidade de corpos-de-prova, 
e teríamos no final, ao plotarmos essa infinidade de círculos, algo bem próximo da figura 
representativa 4. 10. 
 
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 95
 
 
Figura 4.10 – Representação do círculo de Mohr para várias amostras 
 
Nota-se, que temos uma linha curva que tangencia essa infinidade de círculos 
correspondentes a rutura. Essa linha que dá o contorno do lugar geométrico desses círculos 
(Mohr chamou de curva intrínseca ou curva de envoltória dos círculos) correspondente a 
condição de tensão na ruptura. 
 
Da figura, podemos ter outros traçados que nos levará as seguintes análises quanto 
aos valores das tensões aplicadas e sua condição de estabilidade à ruptura. 
 
− Tomar σ3 de um dos círculos e formar um par com σ1
’ menor que σ1 
correspondente a rutura. Ao traçarmos esse círculo notaremos que ele ficará aquém 
da envoltória dos círculos de Mohr correspondente a rutura; 
− Tomar σ3 de um dos círculos e formar um par com σ1
’ maior que σ1 correspondente 
a rutura. Da mesma forma, notaremos que parte do círculo extrapolará o limite da 
envoltória, isto é, para tensões maiores que a tensão de rutura, termos tensões 
definidoras do estado de tensão maiores do que aquelas que definem o estado de 
rutura. 
 
Conclusão: a envoltória dos círculos de Mohr correspondentes a rutura limita um 
espaço onde se podem representar, graficamente estados de tensões ocorrentes até o 
estado de rutura. Ou seja, essa linha é o lugar geométrico dos pontos (de cada círculo 
traçado com tensões derutura) correspondentes ao plano de rutura definido em função 
ao material em análise. Destacando-se da figura 4.11 três círculos, teríamos a figura 
seguinte em que se identifica, de maneira genérica e completa, as tensões em relação ao 
critério de rutura de Mohr. 
 
 
Tendo-se a curva intrínseca de Mohr de equação: ( ) ( )τ σ αr f f= = , a situação de 
solicitação no material, pode ser avaliada em relação a essa envoltória, onde temos: 
 
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 96
 
− 1º caso: o círculo correspondente à solicitação indica um equilíbrio estável. 
Tendo-se a solicitação representada pelo par de tensões ( )σ σ1 3, , traça-se o círculo 
correspondente numa planilha onde já está plotada a envoltória correspondente as 
características do material. Se o círculo traçado se situar no interior da curva 
intrínseca de rutura, concluímos que o equilíbrio é estável, isto é, a máxima tensão 
τα é menor do que a correspondente a envoltória limite; 
 
− 2º caso: o círculo correspondente à solicitação indica um equilíbrio incipiente (que 
está no limite da instabilidade/estabilidade). 
Nesse caso o círculo corresponde a solicitação tangente a envoltória:τ τα = r . 
Haverá possibilidade de rutura do material, por cisalhamento, ao longo do plano de 
rutura caso haja qualquer infinitésimo de aumento de qualquer uma das duas 
tensões de solicitação ou pequena queda do valor de τr; 
 
− 3º caso: o círculo correspondente à solicitação indica um equilíbrio instável. 
Nesse caso, plotado o círculo corresponde às tensões de solicitação, esse ultrapassa 
a área limitada pela envoltória, isto é, ocorrerá tensão que ultrapassará a resistência 
interna ao cisalhamento, do material τr. Ocorrerá a rutura do material caso a 
solicitação prevista seja efetiva ou determinado colapso já se deu porque houve esse 
desequilíbrio constatado. 
 
 
Figura 4.11 – Pontos de tangência para vários círculos de Mohr 
 
Chamamos, na figura, de T os pontos de tangência dos círculos que definem o 
conceito descrito, isto é, os pontos T são pontos do lugar geométrico da curva intrínseca de 
Mohr ou da envoltória de Mohr, correspondentes aos pares de tensões de rutura. 
 
Se os pontos são de tangência aos círculos de rutura, cada um corresponde 
(coordenadas de rutura) ao início do comportamento inelástico (comportamento plástico) 
 
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EQUILÍBRIO PLÁSTICO DOS SOLOS 
 
 97
do material. Sendo assim, nesse ponto a coordenada τα se iguala a τr = tensão de resistência 
interna do material ou resistência ao cisalhamento do material. 
Propriedades da envoltória de Mohr: 
 
A Figura 4.11 nos dá um exemplo de uma curva geométrica definidora da 
resistência de um solo considerando as várias particularidades do solo ensaiado. 
 
Dentro desse enfoque a envoltória de Mohr varia de material para material, 
possuindo ela as seguintes propriedades: 
 
− É simétrica em relação ao eixo–σ; 
− É aberta para o lado dos σ positivos (tensões de compressão) e fechadas do lado dos 
σ negativos (tensão de tração); 
− Sua inclinação sobre o eixo–σ diminui à medida que τ cresce, tendendo a tornar-se 
paralela tanto mais elástico e flexível for o material. 
 
A teoria do critério de rutura de Mohr, sendo baseada, quase inteiramente na 
experimentação é a mais satisfatória, como teoria básica, para o assunto de aplicações 
em solos, cujo caráter, heterogêneo de ocorrência é profundamente aleatório, requer, 
obrigatória ligação com a experiência prática. 
 
A maior objeção que lhe é imposta é a de que essa teoria considera σ3 = σ2 embora 
se comprove, em inúmeras verificações práticas, ser muito pequena a influência dessa real 
diferenciação. As aproximações de cálculos, dentro do esquema básico do critério, têm 
satisfeito aos requisitos práticos de dimensionamentos e análises. 
 
Resumindo esquematicamente o critério, associa as tensões como mostrado na 
Figura 4.12: 
 
 
Figura 4.12 – Resumo das tensões do critério de 
Mohr 
Representação do ponto O 
 
 
 
 
Considerado profundamente ampliado 
por ser um elemento infinitesimal. 
 
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 98
 
4.5 – Teoria de Coulomb 
 
 
Esta teoria se desenvolveu para análise das forças internas de resistência nos 
maciços pulverulentos (granulares). 
 
Princípios da física 
Partindo-se da teoria do plano 
inclinado (da Física): 
 
 Na superfície de contato entre o plano 
inclinado e o corpo de peso P temos o 
desenvolvimento da força de atrito de 
contato Fa de mesma direção e sentido 
contrário a T, como mostra a Figura 4.13. 
 
 O plano pode se movimentar fazendo-
se variar o ângulo. 
 
 
 
 No momento em que o ângulo deixa de ser zero o peso do corpo P deixa de agir 
integralmente sobre o plano horizontal, passando a agir duas componentes: 
 
N = tensão principal maior, agindo em valor absoluto sobre o plano principal maior, no 
caso o horizontal; 
T = componente tangencial no plano, que tende a fazer o corpo deslizar, sobre o plano, 
por anteposição a força Fa; 
Fa = Força de atrito. Quanto mais ásperas forem a superfícies de contato, maior será (Fa) 
e quando mais lisa e/ou lubrificada menor será. 
 
 
Condições resultantes da inclinação do plano: 
 
α = 0 ⇒ P é normal ao plano, N = P e T = 0. Nesse caso, o equilíbrio é estável sem 
possibilidade de ocorrência da componente tangencial no plano; 
α ≠ 0 ⇒ P se decompõe em N e T, mas, devido ao tamanho de T ϕ no plano), a componente tangencial T 
ultrapassará o valor de Fa, e o corpo escorre paraT > Fa no plano. 
 
Para o cálculo do valor da componente tangencial no plano, temos: 
 
Figura 4.13 – Forças geradas num plano inclinado 
 
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 99
 
Equação do atrito 
 
T = P.sen α 
N = P.cos α 
 ⇒ α=∴α=
α
α= tg.NTtg
cos
sen
N
T
 
 
Isto é, a componente tangencial é o resultado do produto da componente normal N 
vezes a tangente do ângulo α (coeficiente angular). 
 
Quando α = ϕ, temos tg α = coeficiente de atrito entre as duas superfícies e o ϕ‚ o 
ângulo de atrito interno entre essas duas superfícies (ângulo de atrito crítico). 
 
T1 = N1.tg ϕ 
 
T1, no caso, corresponde a resistência de atrito entre as duas superfícies e será 
sempre calculada em função da componente normal ao plano de escorregamento. T1 
corresponderá ao valor da resistência limite ao escorregamento. 
 
 
Análise do Fenômeno nos Solos 
 
 No caso de maciços pulverulentos, em que se considera uma quantidade granular 
(agregado, como exemplo, areia seca), teremos certeza de que a única força de resistência 
interna será o atrito de contato grão a grão. Portanto, só haverá força interna de atrito. 
Logo, o fenômeno será idêntico a análise da física feita no plano inclinado. 
 
 Assim, suponhamos que se tenha, sobre uma mesa um monte de areia seca (I). 
Esse monte de areia estará em repouso (equilíbrio) ou estável quando limitada por um 
ângulo de inclinação α = ϕ = ângulo de atrito interno do materialgranular. 
 
No desenho (II) representamos a mesma massa de areia seca, agora contida por 
anteparos A que retém a massa instável (cunha instável) que, no primeiro desenho caiu no 
chão por não ter o que a contivesse. Nesses termos, podemos afirmar que a cunha instável é 
limitada em relação à massa estável por um plano, acima do qual as forças internas de 
resistência estão suplantadas pelas componentes tangenciais geradas pela existência da 
própria massa. Nesse caso, chamaremos esse plano de plano de escorregamento (limite em 
que o equilíbrio é rompido). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E = empuxo que a areia desenvolve sobre o paramento interno da caixa 
correspondente ao esforço desenvolvido pela cunha instável. 
 
Caixa móvel que serve de 
anteparo à massa de areia 
seca. 
 
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EQUILÍBRIO PLÁSTICO DOS SOLOS 
 
 100
 
 O anteparo deverá ser dimensionado para resistir ao movimento da cunha instável, 
pressão que o solo faz a partir da cunha instável, ou seja, a porção da massa que age sobre 
o paramento vertical de contenção, como será visto na Unidade 6. 
 
Por analogia da Física podemos escrever: 
 
τα = σα tg ϕ = τR (no plano de rutura) 
Sendo: 
τα = componente tangencial no plano que faz ângulo com a horizontal (plano de rutura); 
σα = componente normal ao plano; 
tgϕ = coeficiente de atrito interno do material (coeficiente angular da reta); 
τR = tensão interna de resistência ao cisalhamento do material. Tem mesma direção e 
sentido contrário a τα, agindo, ambos no plano de rutura. É resultante da resistência 
interna desenvolvida nos agregados secos que ocorrem na massa 
 
O atrito desenvolvido em agregados secos é aquele ocorrente pelo contato grão a 
grão, correspondente à força de atrito de contato grão a grão. Graficamente, temos para a 
envoltoria de equilíbrio limite, corresponde à resistência ao cisalhamento do solo, a figura 
abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Coulomb, portanto, concluiu que pelo atrito entre os grãos (em 
função da tensão de compressão) se desenvolve a resistência interna dos agregados 
secos, e que o plano de escorregamento das massas desses solos, corresponde a 
situação em que a possível componente tangencial no plano se iguala a essa resistência 
interna ao cisalhamento. 
 
Caso os solos possuam também ligantes (fração fina) com desenvolvimento de 
coesão (ligação dos grãos por atração físico-química, contribuindo na de resistência ao 
cisalhamento) haverá um aumento de τR devido a esse acréscimo de resistência interna, 
tensão de tração, que será representada por “c” e a equação ficará: 
 
 τ = c + σ tg ϕ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EQUILÍBRIO PLÁSTICO DOS SOLOS 
 
 101
 
Essa é a equação de Coulomb que traduz a resistência interna dos solos: dado 
pelo somatório da resistência por atrito de contato grão a grão, devida aos agregados e a 
resistência por ligação (atração físico-química por carga elétrica) devida aos ligantes 
(coesão). 
 
 
 
Figura – Análise comparativa dos contatos entre os grãos de areia e os grãos de 
argila. PINTO (2000) 
 
A coesão é um fenômeno físico diferente do atrito de contato grão a grão, mas de 
comportamento idêntico ao atrito interno, pois impede o cisalhamento das partículas por 
ligação que lhe dão resistência a tração (partícula a partícula). Graficamente, temos: a 
envoltória de equilíbrio limite: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 σi é a tensão inicial de tração que gera na equação o valor de c. Ambas as tensões 
de compressão e de tração agem normais ao plano. Pelo próprio gráfico, temos: 
 
 c = σi tg ϕ 
 
 Logo, a equação de Coulomb ficará: 
 
 τ = σi tg ϕ + σ tg ϕ = f (σ) 
 
 Isto é, a resistência ao cisalhamento será função dos componentes normais ao 
plano de rutura, logo: 
 
ττττ = f (σσσσ) 
 
 
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 102
 
Para os possíveis tipos de ocorrências de solos temos: 
 
 Só Agregado Só Ligante Agregado e Ligante 
 (fração granular) (fração fina) areno-argiloso ou 
 “arenoso” “argiloso” argilo-arenoso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão importante: 
 
A ocorrência da parcela interna de resistência a coesão “c” dará como 
decorrência a possibilidade de se ter um ângulo αααα do plano de rutura maior que ϕ (atrito 
interno só dos agregados). 
 
Assim, a massa estável representada nas figuras I e II, terá outra conformação 
podendo, ter até um ângulo de 90o sem necessidade de anteparo. No desenho abaixo 
representamos uma situação intermediária: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta situação estará, logicamente condicionada a capacidade do ligante desenvolver 
força de coesão o que, condicionará análises mais técnicas e capazes de situar, 
conceitualmente, as situações mais desfavoráveis. 
 
Por exemplo, a proporção agregado/ligante é um fator importante a ser 
considerado. No caso de termos muito ligante e pouco agregado, quando o ligante perder, 
eventualmente sua resistência (por exemplo por entrada de água na massa) o agregado 
passará a atuar. No caso não só o ligante definirá a resistência interna deste solo. 
 
 
 
No caso temos: 
αααα = ângulo do plano de 
escorregamento; 
ϕϕϕϕ = ângulo de atrito interno (do 
agregado componente do solo) 
 
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 103
4.6 - Critério de rutura Mohr–Coulomb 
 
Considerando-se as teorias do Critério de Rutura de Mohr e de Coulomb, verifica-
se que os comportamentos físicos são idênticos para as duas linhas de limitação e ambas 
têm a mesma equação. Isto é, no critério de rutura temos a envoltória, linha que define o 
esforço limite de rutura, de equação ( )τ α= f e na teoria de Coulomb, temos a linha que 
limita a resistência da estrutura dos solos, de equação, também, ( )τ α= f . 
Ora, se ambas tem a mesma forma matemática, podemos assimilá-las, isto é, 
particularizar, para o caso dos solos, a envoltória de Mohr como se fosse uma reta. 
Temos, então o critério de rutura Mohr – Coulomb em que a premissa básica é a 
afirmativa de que nos solos, a envoltória dos círculos de Mohr, correspondentes a 
rutura é uma reta de equação τ σ ϕr c tg= + . 
Algum erro pode decorrer dessa assimilação (figura), mas, a prática tem 
demonstrado que os resultados são perfeitamente compatíveis com os valores requeridos. 
 
Com essa assimilação temos condição de traçar a envoltória, correspondente a 
determinado solo com o traçado de dois círculos, mas, praticamente, pela própria teoria dos 
erros adota-se no mínimo três círculos, interpolando-se, graficamente a envoltória 
tangente aos mesmos, como mostrado na figura abaixo (neste exemplo foram utilizadas 
tensões efetivas, ou seja, foram subtraídas das tensões totais os valores de pressão neutra 
geradas no momento da ruptura – veja que os valores de σ’
3 não são inteiros). 
 
Veja as informações dos corpos de prova na ruptura (tabela seguinte) e a envoltória 
em termos de tensões efetivas, traçada como exemplo. 
 
 
 
Figura – Traçado da envoltória de Mohr-Coulomb a partir da realização de três 
ensaios em laboratório (3 corpos de prova) e a obtenção de três círculos de Mohr efetivos. 
 
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 104
Tabela: Informações dos corpos de prova ensaiados quanto a resistência ao 
cisalhamento, no momento da ruptura 
 
 
 
De acordo com o critério de ruturaMohr–Coulomb, quando a tensão de 
cisalhamento, expressa pela reta de Coulomb τ σ ϕ= +c tg se iguala a resistência ao 
cisalhamento τ r , em cada ponto, ao longo da superfície de rutura, o maciço se romperá. O 
círculo correspondente ao estado de tensões, em torno do ponto O, será tangente a reta de 
Coulomb e o solo estará no estado incipiente de equilíbrio, isto é, no estado plástico 
em que, qualquer deformação, uma vez cessado o esforço, permanece, sem retorno a 
posição original. Se a condição de equilíbrio incipiente ocorre, ela existe em todos os 
pontos ao longo do plano de rutura e diz-se que a massa de solo está no Estado de 
Equilíbrio Plástico. 
 
Condição Analítica da Rutura 
 
Baseados no critério de rutura Mohr–Coulomb vamos traçar um gráfico onde temos 
um círculo tangente a linha de rutura e todos os elementos indicados para consolidar em 
demonstração a teoria considerada até aqui. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Componentes Principais da Figura: 
 
σ i = tensão inicial de tração normal ao plano de escorregamento; 
σα = tensão de compressão normal ao plano de escorregamento; 
τα = tensão tangencial (de rutura) ao plano de escorregamento; 
 
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 105
α = ângulo do plano de ruptura com plano principal maior; 
r = raio do círculo; 
ϕ = ângulo de atrito interno do solo; 
σ1 e σ3 = tensões de rutura agentes no ponto considerado; 
tgϕ = coeficiente de atrito interno do solo; 
c tgi= =σ ϕ coesão do solo (devido ao ligante - presença da fração argila); 
σ ϕα tg = atrito interno do solo (devido ao agregado - presença da fração areia); 
 
Expressão de Cálculo do ângulo αααα: 
 
Pela propriedade do círculo de Mohr o ângulo interno feito como o raio de T é 2α 
conforme figura, portanto: 
2 90
45
2
α ϕ
α ϕ
= °+
= °+
 
 
 
Dedução da Equação Analítica da Rutura 
 
Pela figura: ND NC CD= + 
NB NC CB= − mas, CD CB CT r= = = 
 
Dividindo-se membro a membro, temos: 
ND
NB
NC CD
NC CB
= +
−
 ou 
ND
NB
NC CT
NC CT
= +
−
 
 
Dividindo-se numerador e denominador por NC , temos: 
ND
NB
NC
NC
CT
NC
NC
NC
CT
NC
=
+
−
= +
−
= °+
°−
1
1
90
90
sen
sen
sen sen
sen sen
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ 
 
Da figura tiramos: ND i= +σ σ1 
NB i= +σ σ3 
Substituindo:
σ σ
σ σ
ϕ
ϕ
i
i
+
+
= °+
°−
1
3
90
90
sen sen
sen sen
 
Pela Trigonometria:
sen sen
sen sen
a b
a b
tg
a b
tg
a b
+
−
=
+
−
2
2
 
ou podemos escrever: 
 
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 106
 
σ σ
σ σ
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
i
i
tg
tg
tg tg N
+
+
=
°+
°− = °+ = °+


 =1
3
2 2
90
2
90
2
90
2
45
2
 
 
Nϕ = Chamado por Terzaghi de número de fluência 
 
A equação ficará: 
σ σ
σ σ ϕ
i
i
N
+
+
=1
3
 ou ( )σ σ σ σϕi iN+ = +1 3 
σ σ σ σϕ ϕ1 3= + −N Ni i 
( )σ σ σϕ1 3 1= + −N N i mas, σ
ϕi
c
tg
= 
ϕ
ϕϕσσ
tg
N
cN
1
31
−+= 
Demonstra-se que 
N
tg
N
ϕ
ϕϕ
−
=
1
2 , conforme feito adiante. 
 
Finalmente, temos 
 
 
 
A partir da equação analítica de rutura temos a condição de calcular uma das 
tensões (σ1 ou σ3) quando se conhece a outra delas e se determinou os parâmetros c e ϕϕϕϕ 
que são valores característicos dos solo em suas condições de utilização (dependendo do 
problema a resolver teremos necessidade de determinar os parâmetros nas condições mais 
desfavoráveis possíveis). 
Para se obter os valores de c e/ou ϕ, temos a necessidade de realizar ensaios 
especiais de laboratório, com a necessária sofisticação, para representar, com a maior 
precisão possível, as condições de ocorrência do material em suas situações naturais de 
ocorrência e utilização. 
 
Temos, também, ensaios "in situ" cujas determinações são de melhor avaliação pela 
manutenção real das condições de campo, mas, cujas aplicações são restritas a situações 
especiais de ocorrência e aos parâmetros que se pretende determinar. 
 
Obeservação: 
Nesta unidade (04) do curso foi enfocadas com ênfase as tensões principais atuantes 
nas massas do solo porque objetivou o estudo da resistência ao cisalhamento dos solos, 
como será visto na unidade seguinte. 
 
 
σ σ ϕ ϕ1 3 2= +N c N EQUAÇÃO ANALÍTICA 
DA RUPTURA 
 
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EQUILÍBRIO PLÁSTICO DOS SOLOS 
 
 107
Estado de tensões atuantes em ponto da massa de um material: 
 
Através do traçado do círculo de Mohr, pode-se estudar o estado de tensões 
atuantes em qualquer ponto da massa de solo, assim como em qualquer outro material. Este 
assunto é estudado nos cursos de resistência dos materiais (na UFJF é visto em Resistência 
dos Materiais II). 
A figura a seguir ilustra o círculo de Mohr referente às tensões atuantes no 
elemento ao seu lado, cujos planos (x e y): 
* (a) COINCIDEM com a horizontal e vertical e 
* (b) NÃO COINCIDEM com a horizontal e vertical 
 
Observe que em (a) a tensão cisalhante no plano y - τy, tem sinal negativo e em (b) 
a tensão cisalhante no plano α - τα tem sinal positivo. O sentido de se considerar a reta que 
passa pelo centro do círculo de Mohr, definindo assim as tensões atuantes implica em 
determinar valores positivos ou negativos para as tensões cisalhantes mas não implica em 
determinar valores numéricos diferentes para as tensões normais. 
 
 
 
Effective Stress at Node 760
Normal
0 10 20 30 40 50 60 70 80
S
he
ar
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
sx
sy
14.318
-14.811
73.242
10.805
76.756
 
Figura – Exemplo de estado de tensões atuantes em um ponto no interior da massa de solo, 
e valores e direção em que atuam as tensões principais maior e menor. 
 
 
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RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO DOS SOLOS 
 
 108 
 
 
 
Unidade 5 – RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO DOS SOLOS 
 
 
 
Como visto na unidade 04, um carregamento externo aplicado na superfície, ou a 
própria geometria da superfície da massa de solo, contribui para o desenvolvimento de 
tensões tangenciais ou de cisalhamento, que podem chegar a valores próximos a máxima 
tensão cisalhante que o solo suporte sem haver ruptura do material. Esta é a tensão 
cisalhante de resistência do solo, a ser estudada nesta unidade do curso. 
 
 A figura abaixo ilustra o aspecto da distribuição de tensões e a intensidade destas 
tensões, como exemplo, seja a componente vertical, seja a cisalhante máxima que ocorrem 
no subsolo de um terreno (mostrada a meia seção), que tem aplicado na superfície um 
carregamento externo de 100kPa. Observa-se que os maiores valores ocorrem nas 
proximidades do carregamento, região em que se tem as maiores deformações e que há a 
possibilidade de haver ruptura, dependendo da resistência ao cisalhamento do solo 
 
3 m Footing
100 kPa
 7
 
 1
4 
 
 2
1 2
8 
 3
5 
 
 42 
0 2 4 6 8 10 12
E
le
va
tio
n 
(m
et
re
s)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
 
Distribuição de tensões verticais devidas ao 
peso próprio e ao carregamento externo 
 E = 5000 kPa 
3 m Footing
100 kPa
 2
 
 4
 
 6
 
 1
0 
 1
4 
 
 2
4 
 30 
 32 
 32 
0 2 4 6 8 10 12
E
le
va
tio
n 
(m
et
re
s)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
 
Distribuição das máximas tensões cisalhantes 
 
ν = 0,334 
Fig. 5. 01 - Aspecto das tensões que ocorrem no subsolo de um terreno carregado 
 
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 109 
 Como visto, as tensões principais nos interessam particularmente para o estudo 
de resistência ao cisalhamento dos solos, uma vez que obtidos estes valores poderemos 
calcular as máximastensões cisalhantes que irão atuar no projeto em estudo. 
 
Para ilustrar, é mostrada na figura 5. 02, o estado de tensões atuantes em um ponto 
no interior da massa de solo, e também os valores e a direção em que atuam as tensões 
principais maior e menor, como estudado. Neste exemplo ilustrativo foi usado um software 
de análise de tensões, desenvolvido aplicando a técnica numérica do “Método dos 
Elementos Finitos” (M. E. F.). O ponto destacado (de no 760) situa-se à 2,0m de 
profundidade (cota 18) e à 1,5m de distância do eixo da carga de 6,0m aplicada, ou seja, o 
meio da faixa de 3,0m apresentada. 
 
547548549550551552553554 555556557558559560561562563
578 579 580 581 582 583 584 585 586
589590591592593594595596 597598599600601602603604605
620 621 622 623 624 625 626 627 628
631632633634635636637638 639640641642643644645646647
662 663 664 665 666 667 668 669 670
673674675676677678679680 681682683684685686687688689
704 705 706 707 708 709 710 711 712
715716717718719720721722 723724725726727728729730731
746 747 748 749 750 751 752 753 754
757758759760761762763764 765766767768769770771772773
788 789 790 791 792 793 794 795 796
799800801802803804805806 807808809810811812813814815
830 831 832 833 834 835 836 837 838
841842843844845846847848 849850851852853854855856857
3 m Footing
100 kPa
14
16
18
20
 
 
Effective Stress at Node 760
Normal
0 10 20 30 40 50 60 70 80
S
he
ar
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
sx
sy
14.318
-14.811
73.242
10.805
76.756
 
Figura 5. 02 - Estado de tensões atuantes em um ponto no interior da massa de solo, 
e valores e direção em que atuam as tensões principais maior e menor. 
 
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 110 
Como pode ser observado no traçado do círculo de Mohr, assim como se verifica o 
valor na figura 5. 01, a máxima tensão de cisalhamento atuante no ponto é da ordem de 32 
kPa, correspondente a um σ1 de 76,76 kPa e σ3 de 10, 81 kPa. A questão que se coloca 
nesta análise é: Este nível de tensão de cisalhamento está aquém do valor correspondente 
à da resistência do material ? Este último valor, a ser obtido a partir do traçado da sua 
envoltória de resistência é que será estudado nesta unidade. 
 
O problema da determinação da resistência aos esforços cortantes nos solos 
constitui um dos pontos fundamentais de toda a mecânica dos solos. Uma avaliação correta 
deste conceito é um passo indispensável para qualquer análise da estabilidade das obras 
civis. 
 
5.1 – Considerações preliminares sobre resistência ao cisalhamento 
 
A capacidade dos solos em suportar cargas, depende de sua resistência ao 
cisalhamento, isto é, da tensão τ r que é a máxima tensão que pode atuar no solo sem que 
haja ruptura. 
 
Terzaghi (conhecido como o “pai” da Mecânica dos Solos) conseguiu conceituar 
essa resistência como conseqüência imediata da pressão normal ao plano de rutura 
correspondente a pressão grão a grão ou pressão efetiva. Isto é, anteriormente 
considerava-se a pressão total o que não correspondia ao real fenômeno de 
desenvolvimento de resistência interna, mas, na nova conceituação, amplamente 
constatada, conclui-se que somente as pressões efetivas mobilizam resistência ao 
cisalhamento, (por atrito de contato grão a grão) donde escrevemos: 
 
( ) ϕσϕστ tguctgcr −+=+= ,' 
 
 Hvorslev, ao analisar argilas saturadas, concluiu que nessa situação a coesão 
(representada na equação por “c”) é função essencial do teor de umidade donde se escreve: 
( )c f h= 
 
Logo temos para a máxima tensão de cisalhamento (poderá ser representado 
simplesmente por τr) : 
 
 
 
Em outras palavras, a expressão acima traduz a situação já afirmada de que os 
parâmetros c e ϕ não são características simples dos materiais, mas, dependem, 
essencialmente, das condições de ocorrência/utilização dos materiais. Como as condições 
de utilização são variáveis, partiu-se para se sofisticar os ensaios de laboratório na tentativa 
de criar as situações de ocorrência/utilização, procurando considerar o fato da amostra ter 
sido retirada do todo e, logicamente perdendo algumas características originais de 
comportamento ao natural. 
 
Da expressão matemática temos: 
( ) ( ) ϕστ tguhfr −+=' 
 
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 111 
( )c f h tgi= = σ ϕ tensão interna de resistência por atrito fictício ou proveniente do 
entrosamento de suas partículas traduzida pela força de coesão (que 
pode ser verdadeira e/ou aparente - em areias). Depende da ocorrência 
de água nos vazios e suas condições de arrumação estrutural. Em 
engenharia, só consideramos válida a coesão verdadeira. 
( ) ϕσ tgu− tensão interna de resistência por atrito de contato grão a grão. 
Dependente da arrumação estrutural (maior ou menor contato grão a 
grão) e da ocorrência da pressão neutra que refletirá diretamente no 
valor deσ , . 
 
Os parâmetros c e ϕ, definidores da resistência interna ao cisalhamento dos solos 
terão que ser determinados, na maioria dos casos, em laboratório nas condições mais 
desfavoráveis previstas para o período de utilização de cada projeto específico. Os 
ensaios buscarão representar o rompimento de uma seção em relação a uma outra contígua, 
medindo as tensões de rutura capazes de identificar, nas condições do projeto, sua 
resistência ao corte. 
 
 
5.2 - Ensaios de resistência ao cisalhamento 
 
 
5.2.1 - Ensaios de Campo (a ser estudados na parte prática do curso) 
 
Como a retirada de amostras indeformadas implica, apesar de todos os cuidados e 
expedientes sofisticados, numa possível deformação da amostra, procura-se, mais 
modernamente, executar ensaios “in situ” capazes de traduzir as reais características de 
resistências das camadas. Dentre os ensaios “in situ” mais empregados no Brasil para 
determinação de parâmetros de resistência ao cisalhamento e de deformabilidade no campo 
destacam-se: 
 
• Ensaio de palheta ou "Vane Shear Test"; 
• Ensaio de penetração estática do cone (CPT) ou "Deepsoundering"; 
• Ensaio pressiométrico (câmara de pressão no furo de sondagem). 
 
Além desses, no caso de fundações são executadas para provas de carga que, 
traduzirão, especificamente, as resistências do solo frente às características do elemento 
estrutural na transmissão de carga. 
O ensaio de CPT e “Vane test” têm por objetivo a determinação da resistência ao 
cisalhamento do solo, enquanto o ensaio pressiométrico visa estabelecer uma espécie de 
curva de tensão-deformação para o solo investigado, conforme pode ser visto na tabela a 
seguir. A seguir será detalhado cada um desses ensaios. 
 
Ensaio de penetração estática do cone – CPT. 
 
O ensaio de penetração estática do cone, também conhecido como deepsounding, 
foi desenvolvido na Holanda com o propósito de simular a cravação de estacas e está 
normalizado pela ABNT através da norma NBR 3406. 
 
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 112 
Ensaios Disponíveis x Parâmetros obtidos 
 
Tipo de Ensaio Tipo de Solo Principais características 
 Melhor 
Aplicável 
Não 
Aplicável 
que podem ser determinadas 
 
 
1 - Ensaio Padronizado 
de Penetração (SPT)* 
 
 
Granulares 
 Avaliação qualitativa do estado de 
compacidade ou consistência. 
Comparação qualitativa da estratigrafia 
do subsolo. 
2 - Ensaio de 
Penetração Estática do 
Cone (CPT) 
 
 
Granulares 
 Avaliação contínua da compacidade e 
resistência de solos granulares. 
Avaliação contínua de resistência não 
drenada de solos argilosos. 
3 - Ensaio de Palheta Coesivos Granulares Resistência não drenada de solos 
argilosos. 
4 - Ensaio 
Pressiométrico 
 
Granulares 
 Coeficiente de empuxo no repouso; 
compressibilidadee resistência ao 
cisalhamento. 
* Sem interesse direto na determinação dos parâmetros de resistência 
 
O ensaio de CPT permite medidas quase contínuas da resistência de ponta e lateral 
devido à cravação de um penetrômetro no solo, as quais por relações, permitem identificar 
o tipo de solo, destacando a uniformidade e continuidade das camadas. Permite, também, 
determinar os parâmetros de resistência ao cisalhamento e a capacidade de carga dos 
materiais investigados. É um ensaio de custo relativamente baixo, rápido de ser executado, 
sendo portanto, indicado para a prospecção de grandes áreas. Apresenta como 
desvantagens a não obtenção de amostras para inspeção visual, a não penetração em 
camadas muito densas e com a presença de pedregulhos e matacões, as quais podem tornar 
os resultados extremamente variáveis e causar problemas operacionais como deflexão das 
hastes e estragos na ponteira. 
O equipamento para execução do ensaio CPT consta de um cone de aço, móvel, 
com um ângulo no vértice de 600 e área transversal de 10 cm2. 
O ensaio consiste em cravar o cone solidário a uma haste e medir o esforço 
necessário à penetração. São feitas medidas de resistência de ponta e total. 
Os dados permitem obter, ainda, boas indicações das propriedades do solo, ângulo 
de atrito interno de areias, e coesão e consistência das argilas. 
 
Ensaio de palheta – “Vane test”. 
 
O “Vane test” foi desenvolvido na Suécia, com o objetivo de medir a resistência ao 
cisalhamento não drenada de solos coesivos moles saturados. Hoje o ensaio é normalizado 
no Brasil pela ABNT (NBR 10905). 
O equipamento para realização do ensaio é constituído de uma palheta de aço, 
formada por quatro aletas finas retangulares, hastes, tubos de revestimentos, mesa, 
dispositivo de aplicação do momento torçor e acessórios para medida do momento e das 
deformações. O equipamento está apresentado na figura 5. 04. O diâmetro e a altura da 
palheta devem manter uma relação constante 1:2 e, sendo os diâmetros mais usuais de 55, 
 
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 113 
65, e 88mm. A medida do momento é feito através de anéis dinamométricos e vários tipos 
de instrumentos com molas, capazes de registrar o momento máximo aplicado. 
 
 
Figura 5. 03 – Resultado de um ensaio de penetração contínua – CPT. 
 
O ensaio consiste em cravar a palheta e em medir o torque necessário para cisalhar 
o solo, segundo uma superfície cilíndrica de ruptura, que se desenvolve no entorno da 
palheta, quando se aplica ao aparelho um movimento de rotação. A instalação da palheta 
na cota de ensaio pode ser feita ou por cravação estática ou utilizando furos abertos a trado 
e/ou por circulação de água. No caso de cravação estática, é necessário que não haja 
camadas resistentes sobrejacentes à argila a ser ensaiada a que a palheta seja munida de 
uma sapata de proteção durante a cravação. Tanto o processo de cravação da sapata, quanto 
o de perfuração devem ser paralisados a 50cm acima da cota de ensaio, a fim de evitar o 
amolgamento do terreno a ser ensaiado. A partir daí, desce apenas a palheta de realização 
do ensaio. Com a palheta na posição desejada, deve-se girar a manivela a uma velocidade 
constante de 6º/min, fazendo-se as leituras da deformação no anel dinamométrico de meio 
em meio minuto, até rapidamente, com um mínimo de 10 rotações a fim de amolgar a 
argila e com isto, determinar a sensibilidade da argila (resistência da argila indeformada/ 
resistência da argila amolgada). 
Para o cálculo da resistência não drenada da argila deve-se adotar as seguintes 
hipóteses: 
 
• Drenagem impedida: ensaio rápido; 
• Ausência de amolgamento do solo, em virtude do processo de cravação da 
palheta; 
• Coincidência de superfície de ruptura com a geratriz do cilindro, formado pela 
rotação da palheta; 
• Uniformidade da distribuição de tensões, ao longo de toda a superfície de 
ruptura, quando o torque atingir o seu valor máximo; 
• Solo isotrópico. 
 
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 114 
 
 
Figura 5. 04 – Equipamento para ensaio de palheta – vane test, de campo e em 
tamanho reduzido para laboratório – este do LaEsp – Laboratório de Ensaios Especiais em 
Mecânica dos Solos da UFJF. 
 
No instante da ruptura o torque máximo (T) aplicado se iguala à resistência ao 
cisalhamento da argila, representadas pelos momentos resistentes do topo e da base do 
cilindro de ruptura e pelo momento resistente desenvolvido, ao longo de sua superfície 
lateral, dado pela expressão: 
T = ML + 2MB 
 Onde: T = torque máximo aplicado à palheta; ML=momento resistente 
desenvolvido ao longo da superfície lateral de ruptura; MB=momento resistente 
desenvolvido no topo e na base do cilindro de ruptura, dados por: 
uL cHDM ..
2
1 2π= 
uB cDM 3
12
π= 
 Onde: D = diâmetro do cilindro de ruptura; H = altura do cilindro de ruptura; Cu = 
resistência não drenada da argila. Substituindo as duas últimas equações na anterior e 
fazendo-se H = 2D, tem-se o valor da coesão não drenada da argila, expresso pela fórmula: 
 
3
.
7
6
D
T
cu π
= 
 
Ensaio pressiométrico 
 
Este ensaio é usado para determinação “in situ” principalmente do módulo de 
elasticidade (e da resistência ao cisalhamento de solos e rochas), sendo desenvolvido na 
França por Menard. 
 
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 115 
O ensaio pressiométrico consiste em efetuar uma prova de carga horizontal no 
terreno, graças a uma sonda que se introduz por um furo de sondagem de mesmo diâmetro 
e realizado previamente com grande cuidado para não modificar-se as características do 
solo. 
O equipamento destinado a execução do ensaio, chamado pressiométrico, é 
constituído por três partes: sonda, unidade de controle de medida pressão-volume e 
tubulações de conexão. A sonda pressiométrica é constituída por uma célula central ou de 
medida e duas células extremas, chamadas de células guardas, cuja finalidade é estabelecer 
um campo de tensões radiais em torno da célula de medida. 
Após a instalação da sonda na posição de ensaio, as células guardas são infladas 
com gás carbônico, a uma pressão igual a da célula central. Na célula central é injetada 
água sob pressão, com o objetivo de produzir uma pressão radial nas paredes do furo. Em 
seguida, são feitas medidas de variação de volume em tempos padronizados, 15, 30 e 60 
segundos após a aplicação da pressão do estágio. O ensaio é finalizado quando o volume 
de água injetada atingir 700 a 750 cm³. 
Com as interpretações dos resultados de pares de valores (pressão x ∆ volume) 
obtidos no ensaio, se determina o módulo pressiométrico entre outros valores de pressão. 
 
 
5.2.2 - Ensaios de laboratório 
 
São diversos os tipos de ensaios de laboratório que buscam, com maior grau de 
sofisticação, representar as condições, com fidelidade e exatidão, possíveis de ocorrências, 
dentre as principais temos: 
 
• Ensaio de Compressão Simples; 
• Ensaio de Cisalhamento Direto; 
• Ensaio de Compressão Triaxial; 
 
Dependendo da importância da obra a realizar, das características dos solos e das 
condições de ocorrência justifica a realização de ensaios com a finalidade específica de 
obter os parâmetros de resistência ao cisalhamento (“c” e” ϕ ” ) 
 
Faremos nos itens seguintes (itens 5.4, 5.5 e 5.6) uma descrição conceitual dos 
ensaios, e uma análise referente a determinação de c e ϕ, deixando o detalhamento dos 
mesmos para as aulas práticas específicas. As descrições serão genéricas e sucintas. 
 
 
5.3 – Ensaio de compressãosimples 
 
Este ensaio consiste em se ensaiar os corpos de provas em uma prensa aberta em 
que só se tem condição de aplicar a pressão axialσ1, uma vez que, sendo a prensa aberta 
não há condição de aplicar pressões laterais, isto é, σ3 = 0. Tem-se assim um só círculo e 
ϕ =0. Logo só é aplicável a solos puramente coesivos. 
Os valores desses ensaios são extremamente limitados na sua interpretação e 
utilização prática em geotecnia.aplicados para identificar as consistências das argilas e, 
 
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 116 
quando ensaiadas em amostras naturais e amolgadas nos dão condição de determinar a 
sensibilidade das argilas. 
 
A foto da figura 5.5 abaixo ilustra o ensaio após sua execução, onde se vê a prensa 
de compressão simples em que temos um corpo de prova que mesmo após o cisalhamento 
(quando resultou em tensão cisalhante máxima) foi levado a uma deformação excessiva. 
 
Como no ensaio não se tem condição de aplicar σ3, o gráfico resultante será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.5 – Foto da prensa utilizada nos ensaio de compressão simples e gráfico resultante 
no ensaio de compressão simples 
 
Análise do ensaio de compressão simples com o corpo de prova rompido 
Como no ensaio temos um só círculo, precisamos, de uma direção para traçar a 
linha de rutura. Logo, conclui-se que a condição exigível é que se tenha a direção 
horizontal, isto é, o ensaio só é aplicável em solos puramente coesivos, onde ϕ = 0. 
 
Os dados da interpretação do gráfico finais podem ser visto na figura 5.6: 
 
 
 
Figura 5.6 – Interpretação do gráfico final do ensaio de compressão simples 
 
 
P = Carga na ruptura medida na prensa; 
A = Área do corpo de prova (conhecida); 
A velocidade de aplicação da carga é controlada e 
padronizada. 
 
A
P=1σ 
ϕ = 0, temos:σ
σ
1
12
2
= ∴ = =c c r 
 
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 117 
Em função de seus resultados temos uma classificação válida para qualquer 
ocorrência de estrutura de argila (ligante) onde o valor Rc é dado como resistência à 
compressão simples. 
 
 Tabela 5.1 – Dados de resistência à compressão simples 
Argilas Faixa valor Rc Obs: 
Muito mole Rc 40,0 t/m2 (400 kPa) 
 
Em face da limitação deste ensaio temos dois tipos de ensaios costumeiramente 
empregados para a determinação da resistência ao cisalhamento dos solos: o ensaio 
de cisalhamento direto e o ensaio de compressão triaxial. 
 
 
5.4 – Ensaio de cisalhamento direto 
 
O ensaio de cisalhamento direto é o mais antigo procedimento para a determinação 
da resistência ao cisalhamento e se baseia diretamente no critério de Mohr-Coulomb. 
Aplica-se uma tensão normal num plano e verifica-se a tensão cisalhante que provoca a 
ruptura. 
Para o ensaio, um corpo de prova do solo é colocado parcialmente numa caixa de 
cisalhamento, ficando com sua metade superior dentro de um anel, como se mostra 
esquematicamente na figura 5. 7a, publicada por PINTO (2000). 
 
Aplica-se inicialmente uma força vertical N. 
Uma força tangencial T é aplicada ao anel que contém a 
parte superior do corpo de prova, provocando seu 
deslocamento, ou um deslocamento é provocado, 
medindo-se a força suportada pelo solo. As forças T e 
N, divididas pela área da seção transversal do corpo 
de prova, indicam as tensões σσσσ e ττττ que nele estão 
ocorrendo. A tensão τ pode ser representada em função 
do deslocamento no sentido do cisalhamento, como se 
mostra na Figura 5. 7b, onde se identificam a tensão de 
ruptura, τmax, e a tensão residual, que o corpo de prova 
ainda sustenta, após ultrapassada a situação de ruptura, 
τres. O deslocamento vertical durante o ensaio também e 
registrado, indicando se houve diminuição ou aumento 
de volume durante o cisalhamento. 
 
Realizando-se ensaios com diversas tensões 
normais, obtém-se a envoltória de resistência, como 
apresentado na Unidade 04. 
Figura 5. 7 
 
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 118 
O ensaio é muito prático, porém o ensaio não permite a determinação de 
parâmetros de deformabilidade do solo e o controle de condições de drenagem é difícil, 
pois não há como impedi-la, assim não permite a obtenção dos valores da pressão neutra. 
 
Ensaios em areias são feitos sempre de forma a que as pressões neutras se dissipem, 
e os resultados são considerados em termos de tensões efetivas. No caso de argilas, pode-se 
realizar ensaios drenados, que são lentos, ou não drenados. Neste caso, os carregamentos 
devem ser muito rápidos, para impossibilitar a saída de água. 
 
Pelas restrições acima, o ensaio de cisalhamento direto é considerado menos 
interessante que o ensaio de compressão triaxial. Entretanto, pela sua simplicidade, ele é 
muito útil quando se deseja medir simplesmente a resistência, e, principalmente, quando se 
deseja conhecer a resistência residual. 
 
O sentido do deslocamento da parte superior do corpo de prova pode se inverter até 
que a tensão cisalhante se estabilize num valor aproximadamente constante (residual). 
Neste ensaio consegue-se provocar um deslocamento relativo de uma parte do solo sobre a 
outra muito maior do que se pode atingir em ensaios de compressão triaxial. 
 
Durante muitos anos o ensaio de cisalhamento direto foi, praticamente o único para 
determinação da resistência dos solos devido a sua simplicidade. A necessidade de maiores 
sofisticações para representar as ocorrências de campo, tem sido, em muitos casos, 
substituídos pelos ensaios de compressão triaxial. 
 
O ensaio de cisalhamento direto 
 
Como abordado, o ensaio consiste, em uma caixa bi-partida onde colocamos a 
amostra, fixamos a parte inferior e movimentamos a superior no sentido de se fazer o 
corte da amostra, medindo o esforço necessário para tal. A tampa da parte superior é 
falsa, isto é, sobre ela pode-se aplicar a carga vertical P distribuída em sua área A. 
Na Figura 5. 8 vemos o esquema completo com a amostra em condição de ensaio, 
onde se nota que pode-se executa-lo com drenagem, pelas pedras porosas, ou sem 
drenagem (com a ressalva de que é impossível impermeabilizar totalmente o sistema). As 
saídas de drenagens são para melhorar o processo da garantia desse expediente e não para 
medir a pressão neutra, pois, isso não será possível. 
 
 
Figura 5.8 – Esquema do ensaio de cisalhamento direto 
 
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 119 
 As fotos abaixo mostram a moldagem de um CP (corpo de prova - seção quadrada) 
para ser ensaiado no equipamento de cisalhamento direto, como o do LaEsp - Laboratório 
de Ensaios Especiais em Mecânica dos Solos abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
Foto 1 – Detalhe de um CP sendo talhado em um bloco de amostra indeformado 
Foto 2 – Aspecto do equipamento durante a realização de um ensaio 
Foto 3 – Detalhe da caixa de cisalhamento com o extensômetro para medição da 
deformação vertical do CP durante o ensaio. 
 
 
Comportamento Tensão x Deformação dos Solos 
 
Curvas tensão x deformação 
As curvas de ruptura (tensão x deformação) obtidas nos ensaios de resistência têm 
uma das formas mostrada na Figura 5. 9. 
Na rutura frágil depois de atingir a τR, a resistência cai acentuadamente ao se 
aumentar a deformação. Obtem-se para o valor máximo o que se denomina de resistência 
de “pico” . 
 
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 120 
Na rutura plástica o esforço máximo é mantido com a continuidade da deformação. 
Pode-se obter assim a chamada resistência “residual” . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A ruptura “Frágil” é típica de ocorrência em argilas rijas e duras ou areias 
compactas enquanto que a ruptura “Plástica” é típica de ocorrência em argilas moles ou 
médias ou areias fofas ou pouco compactas. 
 
 
 
Figura 5. 9 – Aspecto das curvas tensão x deformação dos solos 
 
A figura 5. 10 ao lado, apresenta, 
como exemplo, as curvas de um ensaio 
de cisalhamento direto (parte da planilha 
de ensaio do CP01, abaixo). Observa-se 
que se trata de uma amostra de argila, e 
de baixa consistência (mole ou média) 
tendo em vista o aspecto das curvas 
apresentadas. Nota-se que o valor da 
resistência (valor máximo) não é 
pronunciada. 
 
Os dados obtidos a partir dos 
gráficos da figura 5. 10, por exemplo, 
correspondentes às tensões no plano de 
rutura, que somados a várias outras 
amostras ensaiadas da mesma estrutura, 
nos darão vários outros pares de tensão 
que, possibilitam o traçado da envoltória 
de resistência do solo e a obtenção dos 
parâmetros c e ϕ (figura 5.12). 
114
42
17
27
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 5 10 15
T
en
sã
o 
ci
sa
lh
an
te
 -
 ττ ττ 
(k
P
a)
σσσσv (kPa)
27
114
17
42
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
0 5 10 15
Deslocamento horizontal (mm)
D
es
lo
ca
m
en
to
 v
er
tic
al
 
(m
m
)
σσσσv (kPa)
 
Figura 5. 10 – Curvas tensão x deformação 
 
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RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO DOS SOLOS 
 
 121 
A figura 5. 11 ilustra resultados de ensaio, submetido os corpos de prova a 7 
diferentes tensões normais. Observa-se valores de resistência de “pico”, principalmente 
para os níveis maiores de tensão. 
 
 
Figura 5. 11 – Exemplo de curvas tensão x deformação de um solo. 
 
A tabela abaixo, em arquivo Excel, apresenta um resumo de dados de um ensaio de 
cisalhamento direto e de valores calculados para o posterior traçados dos gráficos de 
interpretação do ensaio. 
 
Tabela – Dados e valores calculados de um ensaio de cisalhamento direto. 
 
 
Figura 5. 12 – Interpolação dos pontos de ruptura para obtenção da reta de Mohr-Coulomb 
Planilha de Resultados Folha: 01 de 03
Leitura Leitura Anel de Desloc. Desloc. Área Força Tensão Tensão Índice 
Extens. Extens. Carga Horiz. Vert. Corrig. Cisalh. Fcis/Fn Cisalh. Vert. de
Horiz. Vert. (mm) (mm) (cm²) (N) (kPa) (kPa) Vazios
0 1208,0 100,0 0,000 0,000 103,23 31,01 0,000 0,0 17,2 1,463
8 1207,8 114,0 0,175 0,000 103,05 66,83 0,376 6,5 17,2 1,463
10 1207,5 115,0 0,224 0,001 103,00 69,38 0,391 6,7 17,2 1,463
20 1204,2 118,0 0,472 0,008 102,75 77,06 0,434 7,5 17,3 1,463
 
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RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO DOS SOLOS 
 
 122 
O ensaio de cisalhamento direto só dá valores confiáveis para o caso de rutura 
plástica, pois, no outro caso a curva estará defasada do real. No caso da rutura plástica os 
esforços são iguais em toda seção de rompimento, enquanto na outra há diferenciação entre 
a periferia e o centro da amostra. 
Observa-se que nesse ensaio a área da seção crítica varia durante a aplicação do 
esforço tangencial. Portanto, para sua real determinação deveríamos ter um processo 
continuado de correção. 
 
Esse ensaio caracteriza claramente que a resistência ao cisalhamento dos solos é a 
propriedade que os solos possuem de resistirem ao deslizamento de uma seção em relação 
à outra contígua. 
 
Observações sobre pré-adensamento 
 
Como visto, adensamento é a diminuição de volume do solo sob ação de uma 
pressão. Sua ocorrência é maior nos solos argilosos, pois são compressíveis, e em menor 
escala nos solos arenosos quando fofos. A condição de pré-adensamento é a situação em 
que a camada compressível tenha, em épocas geológicas anteriores, sofrido pressões muito 
maiores do que as que suportam atualmente, isto é, a natureza adensou a camada. 
Uma estrutura de solo pré-adensado, implica em problemas na determinação de sua 
resistência, pois, quando em processo de cisalhamento, este solo tende a se expandir e, 
assim, está sujeita a absorção de água que estará gerando uma pressão neutra (u), e 
logicamente, diminuindo a pressão efetiva (σσσσ’) e o valor da determinação de ττττr. Se, por 
acaso não houver possibilidade de absorção de água quando solicitada ao cisalhamento, 
sua tendência de expandir acarretará aumento da resistência do solo. Assim, nas argilas 
pré-adensadas, havendo possibilidade de drenagem, sua resistência será maior do que na 
situação em que não seja possível esse expediente. 
 
Nas argilas normalmente adensadas, passa-se exatamente o contrário, ou seja: 
Diminuem o volume quando solicitadas ao cisalhamento; 
Apresentam pressão neutra positiva. 
Teremos, como decorrência, aumento de σ , (pressão efetiva) quando drenada, uma 
vez que ocorrerá a dissipação da pressão neutra u . 
 
Fatores que influenciam os resultados dos ensaios 
• Areias – Compacidade, forma das partículas e distribuição granulométrica, 
(ocorrência da pressão neutra). 
• Argilas – Estado de adensamento do solo, sensibilidade de sua estrutura, condições 
de drenagem e velocidade de aplicação das cargas e a ocorrência de pressão neutra. 
Em função desses fatores e também das solicitações de campo, temos vários tipos 
de ensaios que buscam essas representações (solicitações previstas na obra). 
 
Tensões principais 
 
A análise do estado de tensões durante o carregamento, entretanto, é bastante 
complexa. O plano horizontal, antes da aplicação das tensões cisalhantes, é o plano 
principal maior. Com a aplicação das forças T, ocorre rotação dos planos principais. 
 
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RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO DOS SOLOS 
 
 123 
Uma das desvantagens do ensaio de cisalhamento direto é a impossibilidade de se 
conhecer os esforços que atuam em planos diferentes daquele de rutura, com um único 
ensaio. Somente depois de traçada a envoltória será possível determinar o círculo de Morh 
referente á condição de equilíbrio incipiente e determinar as tensões principais 
associada, uma vez que o círculo tangencia a linha de rutura nesse ponto determinado, 
cujos valores das tensões principais obtém-se pelo processo abaixo, conforme exemplo da 
figura 5. 14. 
 
Então, para se obter as correspondentes tensões principais (de forma indireta, 
já que o ensaio não trabalha com estes valores) deve-se seguir a seguinte seqüência: 
 
• Ressalta-se o ponto T na envoltória (σ e τ), refere-se a tensão de cisalhamento do 
corpo de prova que se queira determinar as tensões principais; 
• Tira-se uma perpendicular a envoltória de rutura, passando por este ponto; 
• Por T determina-se r e traça-se o círculo (pelo ponto O’ - centro); 
• Traçado o círculo pelo ponto T tiramos uma paralela ao plano em que atuam os 
espaços, no caso horizontal e determinamos o ponto P sobre o círculo; 
• Unindo-se P a A e B temos as direções dos planos principais que estão detalhados 
na seção desenhada abaixo do gráfico do ensaio; 
Tendo-se o círculo traçado podemos tirar, também, os valores de σ1 e σ3 (para o 
exemplo da figura 5. 14, têm-se respectivamente, 8,1 t/m2 e 1,7 t/m2). 
 
 
 
 
Figura 5. 14 – Exemplo de determinação das tensões principais obtidos para um corpo de 
prova ensaiado no ensaio de cisalhamento direto 
 
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RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO DOS SOLOS 
 
 124
5.5 – Ensaio de compressão triaxial 
 
 
Esses ensaios são osmais utilizados na atualidade, por sua condição de 
aparelhagem, mais refinadas, capazes de garantir uma impermeabilização total da 
amostra, controle absoluto da drenagem e medida do valor da pressão neutra. 
 
O Professor Carlos de Souza Pinto (PINTO, 2000) descreve muito bem o 
procedimento básico do ensaio triaxial, a saber: 
O ensaio de compressão triaxial convencional consiste na aplicação de um estado 
hidrostático de tensões e de um carregamento axial sobre um corpo de prova cilíndrico do 
solo. Para isto, o corpo de prova é colocado dentro de uma câmara de ensaio, cujo esquema 
é mostrado na figura 5. 15, e envolto por uma membrana de borracha. A câmara é cheia de 
água, à qual se aplica uma pressão, que é chamada pressão confinante ou pressão de 
confinamento do ensaio. 
A pressão confinante atua em todas as direções, inclusive na direção vertical. O 
corpo de prova fica sob um estado hidrostático de tensões. 
 
Figura 5. 15 - Corpo de prova dentro de uma câmara 
de ensaio, submetido às tensões de confinamento e axial 
 
Como não existem tensões de cisalhamento nas bases e nas geratrizes do corpo de 
prova, os planos horizontais e verticais são os planos principais. Se o ensaio é de 
carregamento, o plano horizontal é o plano principal maior. No plano vertical, o plano 
principal menor, atua a pressão confinante. A tensão devida ao carregamento axial é 
denominada acréscimo de tensão axial ( σ1- σ3) ou tensão desviadora. 
Durante o carregamento, medem-se, a diversos intervalos de tempo, o acréscimo de 
tensão axial que está atuando e a deformação vertical do corpo de prova. Esta deformação 
vertical é dividida pela altura inicial do corpo de prova, dando origem à deformação 
vertical específica, em função da qual se expressam as tensões desviadoras (figura 5. 16), 
bem como podem ser plotadas com as variações de volume ou de pressão neutra. 
O carregamento axial é feito por 
meio da aplicação de forças no 
pistão que penetra na câmara, 
caso em que o ensaio é chamado 
de ensaio de deformação 
controlada. A carga é medida por 
meio de um anel dinamométrico 
externo, ou por uma célula de 
carga intercalada no pistão. Este 
procedimento tem a vantagem de 
medir a carga efetivamente 
aplicada ao corpo de prova, 
eliminando o efeito do atrito do 
pistão na passagem para a câmara. 
 
 
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RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO DOS SOLOS 
 
 125
 
 
As tensões desviadoras (acréscimos verticais) durante o carregamento axial 
permitem o traçado dos círculos de Mohr correspondentes, como é mostrado para um dos 
ensaios representados na figura 5. 17, o de número 2 – círculos traçejados. 
A tensão desviadora representada em função da deformação específica, indica o 
valor máximo, que corresponde à ruptura, a partir do qual fica definido o círculo de 
Mohr, correspondente à situação de ruptura. Círculos de Mohr de ensaios feitos em outros 
corpos de prova permitem a determinação da envoltória de resistência conforme o critério 
de Mohr, como na Figura 5. 17, ou ainda pode-se obter a envoltória de Mohr-Coulomb. 
 
 
 
Figura 5. 17 - Traçado dos círculos de 
Mohr correspondentes a realização de 3 
ensaios triaxiais. Na figura é mostrada a 
envoltória de Mohr (curva). 
 
 
Figura 5. 16 - Exemplo de curvas 
“ tensão desviadora x deformação 
axial”, para uma amostra de argila 
(identificada como CU6) coletada em 
poço à 4,00 m de profundidade, em 
Igrejinha, Juiz de Fora/MG. 
 
Para os 3 corpos de prova ensaiados 
foram utilizadas as tensões de 
confinamento de 100, 200 e 600 kPa. 
Foto – Conjunto de equipamentos para 
a realização do ensaio de compressão 
triaxial, do LaEsp – Laboratório de 
Ensaios Especiais em Mecânica dos 
Solos / UFJF. 
 
Consta basicamente de: 
. Prensa de compressão; 
. Unidade de controle de pressões; 
. Compressor; 
. Reservatório de água desgazificada; 
. Microcomputador (monitoramento e 
aquisição de dados automática) 
 
 
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 126
Estes ensaios nos dão condição de reproduzir em laboratório, com relativa precisão, 
as condições que os solos estarão sujeitos no projeto e serão solicitados nas obras. 
 
Considerações sobre o ensaio 
Nesta unidade são abordados em linhas gerais, os conceitos relacionados a 
realização do ensaio triaxial (foto), sendo deixados os detalhamentos para as aulas práticas. 
 
 
Foto 1 
 
Foto 2 
 Foto 3 
 
 
Foto 4 
Foto 1 – Moldagem de um CP de areia sobre a própria base interna da câmara; 
Foto 2 – Montagem na câmara triaxial, após a montagem do CP na base, fora da 
prensa de compressão; 
Foto 3 – Aspecto da câmara montada na prensa, preenchida com água sob pressão, 
durante a realização do ensaio; 
Foto 4 – Registro de um corpo de prova rompido, em que se observa o plano de 
cisalhamento do material ensaiado – no caso um solo argiloso compactado. 
 
Como pode ser visto na figura 5. 18 (esquema do ensaio), na base do corpo de 
prova e no cabeçote superior são colocadas pedras porosas, permitindo-se a drenagem 
através destas peças, que são permeáveis. A drenagem pode ser impedida por meio de 
registros apropriados (torneiras), como se vê na foto ao lado, sendo controladas as suas 
posições (aberto/fechado) pelo operador. 
Se a drenagem for permitida e o corpo de prova estiver saturado ou com elevado 
grau de saturação, a variação de volume de água que sai ou entra no corpo de prova. Para 
 
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 127
isto, as saídas de água são acopladas a buretas graduadas. No caso de solos secos, a medida 
de variação de volume só é possível com a colocação de sensores no corpo de prova, 
internamente à câmara. Sensores internos, em qualquer caso, são mais precisos, mas não 
são empregados em ensaios de rotina. 
Se a drenagem não for permitida, em qualquer fase do ensaio, a água ficará sob 
pressão. As pressões neutras induzidas pelo carregamento podem ser medidas por meio de 
transdutores conectados aos tubos de drenagem. 
Figura 5. 18 – Esquema do ensaio de compressão triaxial, com destaque para o 
sistema de drenagem da amostra. A foto ao lado vê-se o operador controlando as posições 
(aberto/fechado) das torneiras e conseqüentemente da drenagem do CP. 
 
Estado de tensões efetivas 
 
Em função da possibilidade de se controlar a drenagem dos CPs, o estado de 
tensões que atua no solo pode ser determinado tanto em termos de tensões totais (TTT) 
como em tensões de tensões efetivas (TTE). Da mesma forma pode-se obter as envoltórias 
de resistência considerando-se as tensões principais σσσσ1 e σσσσ3 e a pressão neutra, u, num 
solo, plotando os dois círculos indicados na figura 5. 19. Dois pontos fundamentais, 
ilustrados por esta figura são: 
1) O círculo de tensões efetivas se situa deslocado para a esquerda, em relação ao círculo 
de tensões totais, de um valor igual à pressão neutra. 
2) As tensões de cisalhamento em qualquer plano são independentes da pressão neutra, 
pois a água não transmite esforços de cisalhamento. As tensões de cisalhamento são 
devidas somente à diferença entre as tensões principais e esta diferença é a mesma, 
tanto em tensões totais, como em tensões efetivas. 
 
 
Figura 5. 19 – Efeito da pressão neutra no estado de tensões em um elemento de solo. 
 
 
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RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO DOS SOLOS 
 
 128
5.5.1 – Ensaios Triaxiais Convencionais 
 
No que se refere às condições de drenagem, tem-se três tipos básicos de ensaio: 
 
a) Ensaio lento (com consolidação e com drenagem) 
A característica fundamental desse ensaio, que também é conhecidomuito 
pequenas. São geralmente, interligados, permitindo o deslocamento das águas infiltradas. 
 
A água subterrânea é originada predominantemente da infiltração das águas das 
chuvas, sendo este processo de infiltração de grande importância na recarga da água no 
subsolo. A recarga depende do tipo de rocha, cobertura vegetal, topografia, precipitação e 
da ocupação do solo. A utilização desta água é feita através de poços caseiros e profundos, 
conforme a profundidade alcançada. O processo de formação do lençol freático é mostrado 
na Figura 1.1. 
 
 Problemas relativos às águas subterrâneas são encontrados em um grande 
número de obras de Engenharia. A ação e a influência dessas águas têm causado 
numerosos imprevistos e acidentes, sendo os casos mais comuns verificados em cortes de 
 
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 5
estradas, escavações de valas e canais, fundações para barragens, pontes, edifícios, etc. As 
obras que necessitam de escavações abaixo do lençol freático, como por exemplo, a 
construção de edifícios, barragens, túneis, etc; pode ser executado um tipo de drenagem ou 
rebaixamento do lençol freático. A água existente no subsolo pode ser eliminada por vários 
os métodos. 
 
 
 
 
Figura 1.1 – Ciclo Hidrológico: Infiltração e formação de lençol freático 
 
 
1.2 – Fenômenos capilares 
 
 
 A posição do lençol freático no subsolo não é, entretanto, estável, mas bastante 
variável. Isso representa dizer que, em determinada região, a profundidade do lençol 
freático varia segundo as estações do ano. Essa variação depende do clima da região, e 
dessa maneira, nos períodos de estiagem, a posição do lençol freático sofre normalmente 
um abaixamento, ao contrário do período das cheias, quando essa posição se eleva. 
 
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HIDRÁULICA DOS SOLOS 
 
 6
 A ocorrência de leitos impermeáveis (argila, por exemplo) ocasiona aprimoramento 
localizado de certas porções de água, formando um lençol freático ou nível d’água 
suspenso, que não corresponde ao nível d’água principal. 
 
 Em conseqüência da infiltração, a água precipitada sobre a superfície da terra 
penetra no subsolo e através da ação da gravidade sofre um movimento descendente até 
atingir uma zona onde os vazios, poros e fraturas se encontram totalmente preenchidos 
d’água. Esta zona é chamada zona saturada ou freática. Essa zona é separada por uma 
linha conhecida como nível freático ou lençol freático, abaixo da qual estará o solo na 
condição de submersão (se em condição de água livre), e acima estará o solo saturado até 
uma determinada altura. 
 
 Nos solos, por capilaridade, a água se eleva por entre os interstícios de pequenas 
dimensões deixados pelas partículas sólidas, além do nível do lençol freático. A altura 
alcançada depende da natureza do solo. 
 
O corte, na Figura 1.2, mostra-nos uma distribuição de umidade do solo e os 
diferentes níveis e condições da água subterrânea em uma massa de solo. Verifica-se que o 
solo não se apresenta saturado ao longo de toda a altura de ascensão capilar. Observa-se 
que o fenômeno de capilaridade ocorre em maiores proporções em solos argilosos. A altura 
capilar é calculada pela teoria do tubo capilar, que considera o solo um conjunto de tubos 
capilares. 
 
Figura 1.2 – Distribuição de umidade no solo 
 
 
1.3 – Fluxo de água nos solos 
 
 A fundamentação teórica para resolução dos problemas de fluxo de água foi 
desenvolvida por Forchheimer e difundida por Casagrande (1937). 
 
 O estudo de fluxo de água nos solos é de vital importância para o engenheiro, pois a 
água ao se mover no interior de um maciço de solo exerce em suas partículas sólidas forças 
que influenciam o estado de tensão do maciço. Os valores de pressão neutra (da água) e 
com isso os valores de tensão efetiva (na estrutura granular) em cada ponto do maciço 
são alterados em decorrência de alterações de regime de fluxo. De uma forma geral, os 
conceitos de fluxo de água nos solos são aplicados nos seguintes problemas: 
 
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HIDRÁULICA DOS SOLOS 
 
 7
• Estimativa da vazão de água (perda de água do reservatório da barragem), através 
da zona de fluxo; 
• Instalação de poços de bombeamento e rebaixamento do lençol freático; 
• Problemas de colapso e expansão em solos não saturados; 
• Dimensionamento de sistemas de drenagem; 
• Dimensionamento de “liners” em sistemas de contenção de rejeitos; 
• Previsão de recalques no tempo (adensamento de solos moles – baixa 
permeabilidade); 
• Análise da influência do fluxo de água sobre a estabilidade geral da massa de solo 
(estabilidade de taludes); 
• Análise da possibilidade da água de infiltração produzir erosão, arraste de material 
sólido no interior do maciço, “piping”, etc. 
 
O estudo dos fenômenos de fluxo de água em solos se apóia em três pilares: 
i - conservação da energia (Bernoulli), 
ii - permeabilidade dos solos (Lei de Darcy) e 
iii - conservação da massa. 
 
Alguns conceitos sobre os dois primeiros pontos são aqui abordados: 
 
i – Conservação da energia 
 
A água ocupa a maior parte ou a totalidade dos vazios do solo e quando 
submetidas a diferenças de potenciais, ela se desloca no seu interior. A água pode atuar 
sobre elementos de contenção, obras de terra, estruturas hidráulicas e pavimentos, gerando 
condições desfavoráveis à segurança e à performance destes elementos. 
 
O conceito de energia total de um fluido, formulado por Bernoulli, é apresentado 
nas disciplinas de Fenômenos dos Transportes e Mecânica dos Fluidos. A equação 1.1 
apresenta a proposta de Bernoulli para representar a energia total ou carga total em um 
ponto do fluido, expressa em termos de energia/peso. 
 
g2
vu
zh
2
a
total +
γ
+= 
 
⇒ carga total = carga altimétrica + carga piezométrica + 
carga cinética 
 
Onde: htotal – energia (carga) total do fluido 
z – diferença (cota) entre ponto considerado e nível de referência (referencial 
padrão) 
u – valor da pressão neutra (da água)* 
v – velocidade de fluxo da partícula de água 
g – valor da aceleração da gravidade 
 
 
Para a maioria dos problemas envolvendo fluxo de água nos solos, a parcela 
referente à energia cinética pode ser desprezada. Logo tem-se a equação de cargas: 
 
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HIDRÁULICA DOS SOLOS 
 
 8
a
total
u
zh
γ
+= 
 
 A carga hidráulica em um ponto corresponde à carga piezométrica, expressa em 
altura de coluna d’água. Em relação a um plano de referência abaixo deste, por exemplo, 
corresponderá à soma desta carga com a referente a esta profundidade (altimétrica). 
 Uma observação importante em relação ao movimento da água nos solos: Para que 
haja fluxo de água entre dois pontos é necessário que a energia (carga) total em cada 
ponto seja diferente. A água fluirá sempre de um ponto de maior energia (carga) para o 
ponto de menor energia (carga) total. 
 
* OBS.: Uma coluna de água de altura h faz em uma área unitária 1 × 1 uma pressão “u”: 
 u (pressão) = 
área
(peso) Força
 peso = vol. γ a = 1 × 1 × h × γ a = h x γ a 
 então: u = =
γ
1x1
h.a h.aγ logo a carga piezométrica será: h = 
a
u
γ
 
 
ii – Lei de Darcy 
 
 Permeabilidade: é a propriedade que o solo apresenta de permitir o escoamento da 
água através dele, sendo o grau de permeabilidade expresso numericamente pelo 
“coeficiente de permeabilidade”. 
Importância: O estudo da percolação de água no solo, ou seja, a permeabilidade, é 
importante porque intervêm num grande número de problemas práticos, tais como 
drenagem, rebaixamento do nível d’água, cálculo de vazões, análise de recalques, estudo de 
estabilidade, etc. 
 Graucomo ensaio 
tipo CD – consolidad drained ou tipo S – slow (lento), é que as tensões aplicadas na 
amostra são efetivas (tensões atuam no arcabouço estrutural dos solos). São ensaios em 
que há permanente drenagem do corpo de prova. Aplica-se a pressão confinante e espera-
se que o corpo de prova adense, ou seja, que a pressão neutra se dissipe. A seguir, a tensão 
axial é aumentada lentamente, para que a água sob pressão possa sair. Desta forma, a 
pressão neutra durante todo o carregamento é praticamente nula, e as tensões totais 
aplicadas indicam as tensões efetivas que estavam ocorrendo, sendo portanto os parâmetros 
determinados em termos de tensões efetivas (TTE ). 
A referencia “lento” não se refere à velocidade de carregamento, mas sim à 
condição de ser tão lento quanto necessário para a dissipação das pressões neutras; se o 
solo for muito permeável, o ensaio pode ser realizado em poucos minutos, mas, para 
argilas, o carregamento axial requer 20 dias ou mais. 
 
b) Ensaio adensado rápido (com consolidaçào e sem drenagem) 
Nesse tipo de ensaio, também conhecido como ensaio tipo CU – consolidad 
undrained ou tipo R – rapid (rápido) ou ainda rápido pré-adensado, a amostra se 
consolida primeiramente sob a pressão hidrostática σ3, como no ensaio lento. Em seguida, 
após aplicação lenta de σ3, a amostra é levada a rutura por uma rápida aplicação da carga 
axial σ1 de maneira que não se permita a variação de volume, na fase de aplicação de σ1, 
sem a saída de água (ensaio lento para σ3 e ensaio rápido para σ3). 
A condição essencial desse ensaio é não permitir nenhum adensamento adicional na 
amostra durante a fase de aplicação da carga axial até a rutura (σ1). Logo, após aplicar 
σσσσ3, fecha-se as válvulas de saída de água pelas pedras porosas dando garantia da 
condição pré-estabelecida, independente da velocidade em que essa carga axial seja 
aplicada. 
Na segunda etapa do ensaio, aplicação de σ1, pode-se pensar que a água dos vazios 
é que irá receber toda a carga de pressão em forma de pressão neutra, mas, no real isso não 
se dá, pois, parte dessa pressão axial é recebida pela fase sólida do solo, pois a amostra 
não está totalmente confinada lateralmente (como no caso do ensaio de adensamento). 
Como no triaxial a amostra só está envolvida por uma delgada membrana de latex, há, 
portanto, condição da estrutura granular absorver esforços cortantes desde o início do 
ensaio. No ensaio a pressão neutra age-ocorre em seu valor absoluto, podendo ser medida. 
Este ensaio indica a resistência não drenada em função da tensão de adensamento. 
Se as pressões neutras forem medidas, a resistência em termos de tensões efetivas também 
é determinada, razão pela qual ele é muito empregado, pois permite determinar a 
envoltória de resistência em termos de tensão efetiva (TTE ) num prazo muito menor do 
que o ensaio CD ou ainda em termos de tensões totais (TTT ). 
 
c) Ensaio rápido (sem consolidação e sem drenagem) 
Neste ensaio, também denominado ensaio tipo UU – unconsolid undrained ou tipo 
Q – quick (imediato), não se permite em nenhuma etapa adensamento (consolidação) da 
 
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 129
amostra. As válvulas de comunicação entre as pedras porosas e os buretos de medição 
serão fechadas impedindo a drenagem da mesma durante as aplicações das tensões. 
No ensaio, aplica-se a pressão hidrostática σ3 e, de imediato, se rompe o corpo de 
prova com a aplicação da pressão axial σ1, em velocidades padronizadas. 
Não se conhecem as pressões efetivas em nenhuma das fase de execução do ensaio 
nem tão pouco sua distribuição. O ensaio é geralmente interpretado em termos de tensões 
totais (TTT ). 
 
Fases do Ensaio 
Em resumo, tem-se 2 fases distintas no ensaio triaxial: 
 
1a FASE: Saturação do CP e Adensamento (consolidação) 
 
Saturação 
De uma forma geral, o ensaio é iniciado com a saturação do CP. Faz-se geralmente 
o uso do próprio sistema de pressão do equipamento para aplicar uma pressão interna no 
CP (contra-pressão), aumentando o valor na câmara, de forma a se obter pressão σ3 (de 
confinamento). A obtenção da condição de saturação é verificada calculando-se o 
coeficiente B de Skempton, também conhecido como coeficiente de pressão neutra. 
 
Por exemplo, quando se aplica uma conta-pressão de 300kPa e na câmara do 
triaxial uma pressão de 400 kPa corresponde em solicitar a amostra com uma tensão σ3 de 
confinamento de 100 kPa. 
 
 “Coeficientes A e B” da pressão neutra 
A teoria dos “coeficientes A e B” da pressão neutra (pore pressure coefficients), 
apresentada por Skempton, em 1954, propõe-se a determinar a variação da pressão neutra 
em uma amostra de argila, quando variam as tensões principais σ1 e σ3. 
A fórmula proposta por Skempton, é a seguinte: 
 
∆u = B[∆σ3 + A (∆σ1 - ∆σ3)] 
 
onde A e B são coeficientes determinados experimentalmente. O coeficiente A depende 
principalmente do tipo de solo e do estado de solicitação a que já esteve submetido; o 
coeficiente B, é predominantemente influenciado pelo grau de saturação. Para solos 
saturados B = 1 e para solos parcialmente saturados BAo se traçar os círculos de Mohr, correspondentes às máximas tensões desviadora 
(que correspondem à ruptura) obtém-se círculos cuja envoltória é uma reta passando pela 
origem (sem coesão), pois as tensões de ruptura foram admitidas proporcionais as tensões 
confinantes. A resistência da areia fica definida pelo angulo de atrito interno efetivo, como 
Planilha de Resultados Folha: 01 de 06
∆∆∆∆h εεεεa Ac Faxial σσσσd ∆∆∆∆u p q p' A
(mm) (%) (cm²) (kgf) (kPa) (kPa) (kPa) (kPa) (kPa)
0,000 0,00 11,210 0,0 0,0 0,0 300,0 0,0 100,0 -
0,056 0,08 11,219 2,2 18,9 1,8 309,5 9,5 107,6 0,10
0,094 0,13 11,225 3,9 33,8 3,0 316,9 16,9 113,9 0,09
0,129 0,18 11,231 5,4 47,4 4,2 323,7 23,7 119,5 0,09
0,166 0,24 11,237 6,7 58,6 5,2 329,3 29,3 124,1 0,09
 
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 131
se mostra na Figura 5. 21(c). A areia é então definida assim, em muito casos, pela 
impossibilidade de se moldar um corpo de prova de areia seca ou saturada. 
 As medidas de variação de volume durante o carregamento axial indicam uma 
redução de volume, como apresenta a figura 5. 21(b), sendo que, para pressões confinantes 
maiores, as diminuições de volume são um pouco maiores. 
 
 
Figura 5. 21 - Aspectos típicos de curvas tensão-deformação, deformações verticais e 
traçado das envoltórias de resistência - ϕf (máximas tensões desviadora - ruptura) para 
areias fofas (“a”, “b” e “c”) e compactas, ϕc, além de relacionar com ϕr e ϕf – residual e 
fofa (“d”, “e” e “f”). 
 
Areias compactas: 
Resultados típicos de ensaios drenados de compressão triaxial de areias compactas 
estão apresentados na figura 5. 21 (d), (e), (f). 
 A tensão desviadora cresce muito mais rapidamente com as deformações até atingir 
um valor máximo, sendo este valor considerado como a resistência máxima ou resistência 
de pico. Nota-se por outro lado, que atingida esta resistência máxima, ao continuar a 
deformação do corpo de prova, a tensão desviadora decresce lentamente até se estabilizar 
em torno de um valor que é definido como a resistência residual. 
 Os círculos representativos do estado de tensões máximas definem a envoltória de 
resistência. Como, em primeira aproximação, as resistências de pico são proporcionais as 
tensões de confinamento dos ensaios, a envoltória a estes círculos é uma reta que passa 
 
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 132
pela origem, e a resistência de pico das areias compactas se expressa pelo angulo de atrito 
interno correspondente. 
 Por outro lado, pode-se representar também, os círculos correspondentes ao estado 
de tensões na condição residual. Estes círculos, novamente, definem uma envoltória 
retilínea passando pela origem. O angulo de atrito correspondente, chamado angulo de 
atrito residual, é muito semelhante ao ângulo de atrito desta mesma areia no estado fofo, 
pois as resistências residuais são da ordem de grandeza das resistências máximas da 
mesma areia no estado fofo. 
 Com relação à variação de volume, observa-se que os corpos de prova apresentam, 
inicialmente, uma redução de volume, mas, ainda antes de ser atingida a resistência 
máxima, o volume do corpo de prova começa a crescer, sendo que, na ruptura, o corpo de 
prova apresenta maior volume do que no início do carregamento. 
 
Valores típicos de ângulos de atrito interno de areias. 
 Compacidade 
Areias bem graduadas fofo a compacto 
• De grãos angulares 37º a 47º 
• De grãos arredondados 30º a 40º 
Areias mal graduadas 
• De grãos angulares 35º a 43º 
• De grãos arredondados 28º a 35º 
 
 
5.5.3 – Resistência das argilas (Pinto, 2000) 
 
 
Introdução: 
As argilas se diferenciam das areias, por um lado, pela sua baixa permeabilidade, 
razão pela qual adquire importância o conhecimento de sua resistência tanto em termos de 
carregamento drenado como de carregamento não drenado. Por outro lado, o 
comportamento de tensão-deformação das argilas quando submetidas a um carregamento 
hidrostático ou a um carregamento típico de adensamento oedométrico, é bem distinto do 
comportamento das areias. Estas apresentam curvas tensão-deformação independentes para 
cada índice de vazios em que estejam originalmente. O índice de vazios de uma areia é 
conseqüente das condições de sua deposição na natureza. Carregamentos posteriores, que 
não criem tensões desviadoras elevadas, não produzem grandes reduções de índices de 
vazios. Uma areia fofa permanece fofa ainda que submetida à elevada carga. Para que 
esteja compacta, ela deve se formar compacta, ou ser levada a esta situação pelo efeito de 
vibrações que provocam escorregamento das partículas. 
As argilas sedimentares, ao contrário, se formam sempre com elevados índices de 
vazios. Quando elas se apresentam com índices de vazios baixos, estes são conseqüentes 
de um pré-adensamento. Em virtude disso, diversos corpos de prova de uma argila, 
representativos de diferentes índices de vazios iniciais apresentarão curvas tensão-
deformação que apos atingir a pressão de pré-adensamento correspondente, fundem-se 
numa única reta virgem (figura 5. 22). 
A resistência de uma argila depende do índice de vazios em que ela se 
encontra, que é fruto das tensões atuais e passadas, e da estrutura da argila. 
 
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 133
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise em termos de tensões efetivas (TTE) e tensões totais (TTT): 
O comportamento dos solos é determinado pelas tensões efetivas a que estiverem 
submetidos. As tensões efetivas refletem as forças que se transmitem de grão a grão, das 
quais resultam as deformações do solo e a mobilização de sua resistência. Esta resulta, 
principalmente, do atrito entre as partículas e do seu rolamento e re-acomodação, 
conseqüentes das forças transmitidas de partícula a partícula. 
Na análise de um problema de estabilidade do solo, conseqüentemente, devem-se 
considerar as tensões efetivas atuantes no solo. As tensões totais aplicadas sempre são 
conhecidas. Para o conhecimento das tensões efetivas, é necessário o conhecimento das 
pressões neutras, não só as devidas ao nível d’água e a redes de percolação, como também 
as resultantes do próprio carregamento. Quando as pressões neutras podem ser conhecidas 
com razoável precisão, como, por exemplo, pela observação do comportamento de obra 
semelhante, a análise por tensões efetivas (TTE) é sempre previsível. Entretanto, como a 
estimativa das pressões neutras pode ser muito difícil, realizam-se, com freqüência, 
análises de estabilidade em termos das tensões totais atuantes. 
Para análise em termos de tensões totais (TTT), realizam-se ensaios não drenados e 
analisam-se os resultados em termos das tensões aplicadas. Admite-se, implicitamente, que 
as pressões neutras que surgem nestes ensaios são semelhantes às pressões neutras que 
surgiriam no carregamento real no campo. Se esta hipótese for verdadeira, a análise pelas 
tensões totais será semelhante à análise pelas tensões efetivas. Se a hipótese não for 
verdadeira, a análise será somente aproximada, empregam-se as soluções por tensões 
totais, que são mais fáceis. 
Dentre os diversos procedimentos de carregamento na realização de ensaios de 
laboratório, o mais comum consiste no ensaio em que a pressão confinante é mantida 
constante, enquanto a pressão axial é aumentada até a ruptura. Este ensaio, evidentemente 
aplica-se a problemas de carregamento. 
 
5.5.3.1 Resistência de argilas em ensaio CD: 
 
Considerando que o estudo da resistência deve se iniciar pela análise de seu 
comportamento em ensaios drenados, são apresentados a seguir, resultados típicos de 
argilas quando submetidas a ensaios triaxiais drenados, do tipo CD. 
 
a – Resistênciaacima das tensões de pré-adensamento (normalmente adensada - NA). 
Consideremos uma argila hipotética, cuja relação índice de vazios em função da 
pressão hidrostática de adensamento seja indicada na figura 5. 23(a). Esta argila terá sido 
adensada, no passado, segundo a curva tracejada na figura, até uma tensão efetiva igual a 3 
 
 
 
Figura 5. 22 – Variação do índice de 
vazios em carregamento em argila. 
 
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RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO DOS SOLOS 
 
 134
– entre 2 e 4 (as tensões estão indicadas por valores absolutos, independentes do sistema de 
unidades; 3 poderia ser 300 kPa, por exemplo). Esta argila apresenta, atualmente, a curva 
de índice de vazios em função da tensão confinante indicada pela linha contínua. 
Consideremos a realização de dois ensaios, com tensões confinantes de 4 a 8. 
Quando aplicadas estas tensões, os corpos de prova adensam sob os seus efeitos, e estarão 
normalmente adensados em relação a estes valores. Ao se fazer o carregamento axial, 
nestes ensaios, com estes valores, serão obtidas curvas com aspecto indicado na parte (b) 
da figura 5. 23. As tensões desviadoras, a que os corpos de prova são submetidos, crescem 
lentamente com as deformações verticais, sendo que a máxima tensão desviadora ocorre 
para deformações específicas da ordem de 15 a 20 %. Como conseqüência da 
proporcionalidade das tensões desviadoras máximas com a tensão confinante, os círculos 
de Mohr representativos do estado de tensões na ruptura são círculos que definem uma 
envoltória reta, cujo prolongamento passa pela origem como indicado na figura 5. 23 (h). 
 
 
 
 
 
 
Figura 5. 23 - Aspectos típicos de curvas tensão-deformação, deformações verticais (“b” e 
“c” – NA e “d” e “e” – PA) e traçado das envoltórias de resistência a partir do ensaio do 
tipo CD em argila saturada sem estrutura (PINTO, 2000). 
 
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 135
Por outro lado, observa-se que durante o carregamento axial, o corpo de prova 
apresenta redução de volume, da mesma ordem de grandeza, sendo só ligeiramente maior 
para confinantes maiores. Este resultado está indicado nas figura 5. 23(c). 
 
b – Resistência abaixo das tensões de pré-adensamento (pré-adensada - PA). 
 
Considere-se agora, que da amostra referida como exemplo no item anterior, e que 
tem uma tensão de pré-adensamento igual a 3, moldem-se 3 corpos de prova para o ensaio 
triaxial drenado, com tensões confinantes iguais a 0,5 e a 2; portanto, abaixo da tensão de 
pré-adensamento. 
Considere-se inicialmente, que este solo não tivesse sido pré-adensado sob a tensão 
de 3, mas sim sob uma tensão menor que 0,5 e ao se fazerem os ensaios citados, os corpos 
de prova estariam, após adensamento sob a tensão confinante, nas posições indicadas pelos 
símbolos 0,5’e 2’ na figura 5. 23(a). Neste caso, estes corpos de prova estariam 
normalmente adensados e os seus resultados seriam semelhantes aos dos corpos de prova 
ensaiados nas condições indicadas pelas tensões confinantes 4 e 8, já estudados. 
Entretanto, o pré-adensamento sob pressão 3 fez com que estes corpos de prova 
ficassem nas condições de 0,5e 2 na parte (a) da figura 5. 23, ou seja, com índice de vazios 
menores do que os correspondentes aos corpos de prova nas condições de 0,5’ e 2’. 
Menor índice de vazios significa maior proximidade entre as partículas, donde um 
comportamento diferente que se manifesta pelos resultados indicados na figura 14.2 (d) e 
(e). A envoltória de resistência é uma curva até a tensão de pré-adensamento. 
 
c – Envoltória de resistência das argilas. 
Como conclusão temos que uma argila, no estado natural, sempre apresenta uma 
tensão de pré-adensamento. Portanto ao ser submetida a ensaios de compressão triaxial, 
alguns ensaios poderão ser feitos com tensões confinantes abaixo e outros com tensões 
confinantes acima da tensão de pré-adensamento. O resultado final é aquele indicado 
na figura 5. 23(h). A envoltória de resistência é uma curva até a tensão de pré-
adensamento, e uma reta, cujo prolongamento passa pela origem, acima desta tensão. 
Não sendo prático se trabalhar com envoltórias curvas, costumasse substituir o 
trecho curvo da envoltória por uma reta que melhor a represente. 
Há, naturalmente, várias retas possíveis, devendo-se procurar a reta que melhor se 
ajuste a envoltória, no nível das tensões do problema prático que se estiver estudando. 
 
* Condição acima da pressão de pré-adensamento (ângulo de atrito interno efetivo) 
Índice de Plasticidade Ângulo de atrito interno efetivo (0) 
Geral São Paulo 
10 30 a 38 30 a 35 
20 26 a 34 27 a 32 
40 20 a 29 20 a 25 
60 18 a 25 15 a 17 
 
* Condição abaixo da pressão de pré-adensamento 
Depende da tensão de pré-adensamento e do nível de tensões de interesse 
 Valores usuais de “c”: 5Figura 5. 25 - Avaliação comparativa do comportamento obtido nos ensaios CU e 
CD é apresentada para corpos de prova de solo normalmente adensado e pré-adensado. 
 
5.5.3.3 Resistência em ensaio UU: 
 
Os ensaios de compressão triaxial do tipo CD e CU mostram como varia a 
resistência dos solos argilosos, em função da tensão efetiva. Eles fornecem as chamadas 
envoltórias de resistência, que na realidade, são equações que indicam como a tensão 
cisalhante de ruptura (ou a resistência) varia com a tensão efetiva (ensaio CD) ou como a 
resistência não drenada varia com a tensão efetiva de adensamento (ensaio CU). Estas 
equações de resistência são empregadas nas análises de estabilidade por equilíbrio limite, 
em projetos de engenharia, onde a tensão efetiva no solo varia de ponto para ponto. 
Existem situações, entretanto, em que se deseja conhecer a resistência do solo 
(a tensão cisalhante de ruptura) no estado em que o solo se encontra. 
É o caso, por exemplo, da análise da estabilidade de um aterro construído sobre 
uma argila mole. Como se mostra na figura 5. 26, o problema é verificar se a resistência do 
solo ao longo de uma superfície hipotética de ruptura é suficiente para resistir à tendência 
de escorregamento provocada pelo peso do aterro. Uma eventual ruptura ocorreria antes 
 
 
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RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO DOS SOLOS 
 
 138
de ocorrer qualquer drenagem. Portanto, a resistência que interessa é aquela que existe 
em cada ponto do aterro, da maneira como ele se encontra. É a resistência não drenada do 
solo. 
A argila no estado natural se encontra sob uma tensão vertical efetiva que depende 
de sua profundidade, da posição do nível d’água e do peso específico dos materiais que 
estão acima dela. Seu índice de vazios depende da tensão vertical efetiva e das tensões 
efetivas que já atuaram sobre ela. 
Para se conhecer a resistência não drenada do solo, pode-se empregar três 
procedimentos: (a) por meio de ensaios de laboratório; (b) por meio de ensaio de campo 
(ensaio Vane Shear Test ou de palheta); e (c) por meio de correlações. 
 
Figura 5. 26 - Análise da estabilidade de um aterro construído sobre argila mole. 
 
Em Laboratório: 
Quando uma amostra é retirada do terreno, as tensões totais caem a zero. 
Convém lembrar que, quando se aplicam acréscimos de tensão isotrópicos (de igual 
valor nas três direções principais) num corpo de prova de solo saturado, sendo impedida a 
drenagem, surge uma pressão neutra de igual valor, em virtude da baixa compressibilidade 
da água perante a compressibilidade do solo, sendo este um dos pontos básicos do estudo 
do adensamento. Da mesma forma, quando se reduzem tensões externas, ocorre uma 
redução de pressão neutra de igual valor. 
Por ocasião da amostragem, a pressão externa deixa de atuar, e não há 
possibilidade de drenagem. Logo, na amostra ocorre uma redução da pressão neutra, que 
passa a ser negativa. Num terreno genérico, as três tensões principais não são iguais. 
Admite-se que o efeito da amostragem seja igual ao da redução de uma tensão isotrópica 
igual à média das três tensões principais, que é a tensão octaédrica, σ’oct, o que é bastante 
aceitável, considerando-se que, nesta situação, o comportamento é próximo do 
comportamento elástico. 
Figura 5. 27 – Exemplo de tensões atuantes no 
terreno e na amostra 
 
Considere o exemplo da figura 5. 
27, ilustrado por PINTO (2000), 
sendo conceitualmente, 
σ’oct = σv + σh(x) + σh(y) / 3. 
 
Por exemplo, 
sendo σv= 80, σh= 62 e u= 30, 
temos: σ’ v= 50, σ’h= 32 
⇒ a média das 3 tensões = 38 
(admite-se que 38kPa corresponde 
ao valor reduzido na tensão 
isotrópica quando extraída a 
amostra) 
 
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 139
Na amostra coletada u= -38, logo atua nos eixos esta magnitude de tensão: 
 σ’ v= 38, σ’h= 38 
Isto implica no fato de que qualquer que seja a pressão confinante de ensaio, o corpo de 
prova ficará com a mesma tensão confinante efetiva, veja: 
 
 σ3= 100 u= -38 +100 = 62 σ’3= 100 –62 = 38 kPa 
 σ3= 150 u= -38 +150 = 112 σ’3= 150 –112 = 38 kPa 
 ... .... ... 
 
Conclui-se, portanto, que em ensaios de compressão triaxial do tipo UU, com 
amostras saturadas, a tensão confinante efetiva após a aplicação da pressão confinante 
será sempre a mesma e igual à pressão confinante efetiva que existia na amostra, que é 
igual, em valor absoluto, à pressão neutra negativa da amostra, que é igual, ainda, à 
média das tensões principais efetivas que existia no terreno na posição que a amostra foi 
retirada. 
Após o confinamento, os corpos de prova são submetidos a carregamento axial, 
sem drenagem. Ora, independentemente das pressões confinantes de ensaio, todos os 
corpos de prova estão sob a mesma tensão confinante efetiva, todos apresentarão o mesmo 
desempenho, e, conseqüentemente, a mesma resistência. Os círculos de Mohr em tesões 
totais terão os mesmos diâmetros, e a envoltória será uma reta horizontal, como se mostra 
na figura 5. 28. A ordenada desta reta é a resistência não drenada da argila, Que é 
constante, também chamada de coesão da argila, usualmente referida como Su. 
O comportamento das argilas em ensaios não drenados justifica a denominação de 
solos coesivos tradicionalmente empregado para designar as argilas em contraposição às 
areias, chamadas de solos não coesivos. Como foi visto anteriormente, a resistência das 
argilas, no íntimo, é resultante de um fenômeno de atrito entre as partículas. A resistência 
que elas apresentam quando não confinadas é fruto da tensão confinante efetiva que existe. 
A impressão que se tem, entretanto, é a de um material que apresenta resistência mesmo 
que não submetido a qualquer confinamento, e, portanto, de um material coesivo, ao 
contrário das areias. A denominação de solos coesivos é anterior ao conceito de pressões 
efetivas formulado por Terzaghi. 
 
 
Figura 5. 28 – Envoltória de resistência de argilas saturadas em ensaio UU 
 
 Observa-se que para uma amostra de solo em condições de tensões diferentes da 
situação colocada (reprodução das condições de campo), por exemplo, uma amostra de 
solo compactada em que o grau de saturação naturalmente não é 100%, a obtenção da 
sua envoltória de resistência leva ao traçado “clássico”, em que se determina a sua coesão e 
ângulo de atrito para o material. Um exemplo de ensaio UU em amostra compactada é 
apresentado no final desta Unidade. 
 
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 140
5. 5. 4 - Trajetória de tensões 
 
Quando se pretende representar o estado de tensões num solo em diversas fases 
de carregamento, num ensaio ou num problema prático, os diversos círculos de Morh 
podem ser desenhados, como se observa na figura 5. 29. Num caso simples como o desta 
figura, em que a tensão confinante se mantém constante enquanto a tensão axial aumenta, 
os círculos representam bem a evolução das tensões. 
 
 
 (a) círculos de Mohr (b) pela trajetória das tensões 
Figura 5. 29 – Representação da evolução do estado de tensões 
 
Quando as duas tensões principais variam simultaneamente, entretanto, esta 
representação gráfica pode se tornar confusa. Diante disto, criou-se a sistemática de 
representar as diversas fases de carregamento pela representação exclusiva dos pontos de 
maior ordenada de cada círculo, como os pontos 1,2 e 3 na figura 5. 29, ligando-os por 
uma curva que recebe o nome de trajetória de tensões. 
Sendo p e q as coordenadas dos pontos da trajetória, pela sua definição, tem-se: 
p= (σσσσ1 + σσσσ3) / 2 e q= (σσσσ1 - σσσσ3) / 2 
 
Nota-se que p é a média das tensões principais e q é a semi diferença das tensõesprincipais, ou ainda, p e q são, respectivamente, a tensão normal e tensão cisalhante no 
plano de máxima tensão cisalhante. 
Na figura 5. 30 estão representadas as trajetórias de tensões para os seguintes 
carregamentos: 
 
 
Traçadas as trajetórias de tensões de uma série de ensaios, é possível determinar a 
envoltória a estas trajetórias. No caso da figura 5. 31, esta trajetória é a reta EDI, que pode 
ser expressa pela equação: q = d + p . tgββββ 
 
** Os coeficientes desta reta, d e ββββ, podem ser correlacionados com os 
coeficientes da envoltória de resistência, c e ϕ, como se demonstra geometricamente 
através da figura 5.31. 
Curva I : confinante constante e axial crescente. 
Curva II : Confinante decrescente e axial 
constante. 
Curva III : Confinante decrescente e axial 
crescente com iguais valores absolutos. 
Curva IV : Confinante e axial crescentes numa 
razão constante. 
Curva V: Confinante e axial variáveis em razões 
diversas. 
 
 Figura 5. 30 
 
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 141
 
Figura 5. 31 – Correlação entre a envoltória dos círculos de Mohr e a envoltória às 
trajetórias de tensão 
 
As retas FDI e GCH se encontram no ponto A, sobre o eixo das abcissas. Então do 
triângulo ABD tem-se BD = AB . tgβ. Do triângulo ABC tem-se BC = AB . senϕ. Sendo 
BC = BD, resulta: sen ϕϕϕϕ = tan ββββ 
 
Por outro lado, o intercepto c = EG = AE tgϕ e o intercepto d = EF = AE tgβ. 
Dividindo-se estas duas expressões, tem-se: (c/d) = (tgϕϕϕϕ/tgββββ) 
 
Lembrando que tgβ = senϕ, resulta: c = d/cosϕϕϕϕ 
 
Estas expressões são muito úteis, por exemplo, para se determinar à envoltória de 
resistência mais provável de um número muito grande de resultados. A representação de 
todos os círculos de Mohr faria o gráfico ficar muito confuso. A representação só dos 
pontos finais das trajetórias de tensões permite a determinação da envoltória média mais 
provável, e, dela, a envoltória de resistência. 
 
Trajetória de tensões efetivas 
As trajetórias de tensões têm seu maior campo de aplicação nas solicitações não 
drenadas de laboratório ou de campo. Nestes casos, as tensões efetivas é que são 
geralmente representadas e permitem representar claramente o desenvolvimento das 
pressões neutras em função do carregamento, pois, na representação tradicional dos 
resultados dos ensaios, as pressões neutras são indicadas em função da deformação. 
Consideremos um ensaio com manutenção da tensão confinante e acréscimo de 
tensão axial, representado na figura 5. 32. A trajetória de tensões totais é uma linha reta, 
formando 45 graus com a horizontal. Consideremos que com o acréscimo de tensão axial 
representado na figura tenha ocorrido uma pressão neutra igual a u. O círculo de tensões 
efetivas se apresenta deslocado para a esquerda deste valor, assim como o ponto 
representativo do estado de tensões efetivas na respectiva trajetória. 
Portanto, a diferença de abscissa de um ponto da trajetória de tensões efetivas ao 
correspondente ponto da trajetória de tensões totais indica a tensão neutra existente. Se a 
trajetória de tensões efetivas estiver para a esquerda, tensão neutra é positiva; se para a 
direita, a tensão neutra é negativa. A trajetória de tensões totais geralmente não é 
representada, para maior clareza do gráfico. Sua direção é conhecida pelas condições do 
carregamento. 
 
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RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO DOS SOLOS 
 
 142
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5. 32 – Trajetória de tensões efetivas obtidas a partir da trajetória de tensões 
totais e pressão neutra. 
 
 Observe que a trajetória de tensões efetivas corresponde à linha tracejada, indicada 
na figura pela letra “p”, com uma barra em cima, e não por p’ ( sem ’ que é mais usual para 
a representação de tensões efetivas). Esta notação se equivale. 
 
 
5.5.5 – Valores de parâmetros de resistência ao cisalhamento e correlações com SPT 
 
São apresentados na tabela abaixo valores de parâmetros de resistência ao 
cisalhamento e de capacidade de carga (como será visto na Unidade 07 deste curso) para 
alguns solos compactados. 
 
Tabela - Parâmetros de resistência e capacidade de carga para alguns solos compactados. 
Ref. Data Material 
c 
 
(Kgf/cm2) 
ϕ 
 
(º) 
q0
 
 
(Kgf/cm2) 
Svenson 1980 Argila amarela/RJ 
Argila vermelha/RJ 
Argila vermelha/MG 
Argila vermelha/PR 
4,0 
1,8 
1,7 
1,2 
22 
23 
27 
33 
98,65 
48,17 
63,23 
78,25 
Cruz 
 
1985 - solo laterítico de basalto não 
saturado 
- solo laterítico de arenito não 
saturado 
- solo laterítico de gnaisse não 
saturado 
-solo laterítico quatzo-xisto não 
saturado 
- colúvio arenito basalto não 
saturado 
0,40 a 0,70 
 
0,10 a 0,50 
 
0,20 a 0,50 
 
0,15 
 
0,30 a 0,60 
24 a 33 
 
26 a 31 
 
26 a 29 
 
33 
 
27 a 31 
11,69 a 
45,80 
3,53 a 
26,89 
6,93 a 
22,34 
10,09 
 
11,28 a 
39,30 
Marangon 2004 - solo argiloso de comportamento 
laterítico (latossolo) 
- solo argiloso de comportamento 
não laterítico (podzólico) 
0,5 
 
 
1,5 
44 
 
 
34 
114,75 
 
 
90,10 
 
 
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RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO DOS SOLOS 
 
 143
Trata-se de solos maduros (não saprolíticos) com características semelhantes, de 
utilização típica na construção de aterros em geral. Os valores mostram serem elevadas às 
condições de suporte dos solos compactados com estes materiais, assim como altos para os 
solos compactados brasileiros, em geral, quando este é bem compactado e de material 
laterizado de boa qualidade. 
 
Outros Resultados de Ensaios Triaxial 
 
 São apresentados alguns resultados de ensaios triaxiais (do tipo S - CD, R - CU e Q 
- UU) executados em uma série de solos de obras de barragens construídas no Brasil, 
conforme apresentado por CRUZ (1996), que podem servir como ordem de grandeza na 
escolha de parâmetros de cálculo para as fases preliminares de projeto. 
 
Amostra Natural / Solo Talhado em Blocos Indeformados 
Solo Residual Maduro – Solo Laterítico (CRUZ, 1996) 
 
 
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 144
Amostra Natural / Solo Talhado em Blocos Indeformados 
Solo Residual Jovem – Solo Saprolítico (CRUZ, 1996) 
 
Observe que foram listados parâmetros de ensaios realizados em solos residuais 
maduros (ou seja, horizonte B, que corresponde a solos argilosos laterizados – lateríticos 
típicos utilizados como material de construção para aterros, subleitos, e camadas nobres de 
obras de terra em geral). Na tabela seguinte foram apresentados resultados de ensaios em 
solos residuais jovem ou saprolíticos (horizonte C, corresponde a solos menos argilosos 
ou até mesmo silto-arenosos – inconvenientes para uso como material de construção). 
 
Correlação entre os parâmetros de resistência com os valores de SPT obtidos em 
sondagem à percussão 
 
Nas tabelas a seguir apresentam-se uma visão, mesmo que empírica e grosseira, dos 
valores estimados de c e ϕ, co-relacionando esses valores com o SPT. 
Esses valores devem ser tomados com toda reserva uma vez que os parâmetros 
dependem da condição de utilização, portanto, as tabela implicam em sugerir uma faixa de 
valores. 
Para o caso de obras de baixo custo esses valores podem ser orientadores quando o 
problema não comporta a execução de ensaios especiais e, nesse caso convém procurar 
enquadrar o valor a ser adotado na condição mais desfavorável possível (a favor da 
segurança). 
 
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RESISTÊNCIAAO CISALHAMENTO DOS SOLOS 
 
 145
Tabela – Características dos solos sem coesão (arenosos) 
SPT ϕϕϕϕ Nomenclatura para sondagens 
 50 > 40º Muito compacto 
 
Tabela – Características dos solos com coesão (argilosos) 
SPT C (t/m2) Nomenclatura para sondagens 
 30 > 20 Dura 
 
No caso dos solos com coesão, temos uma fórmula aproximada, a saber: 
( ) IP.045,058,0tg −=ϕ 
 
5.5.6 – Aplicações dos ensaios em análise e projetos 
 
A partir dos três ensaios básicos associamos, de acordo com as condições previstas 
de ocorrência na obra, as condições de ensaio em relação à compressão ou expansão, 
condição de drenagem, condição de deformação, entre outras. 
De acordo com a importância da obra e/ou com as características do solo e dos 
previstos esforços solicitantes, poderemos criar, em laboratório, condições que sejam 
condizentes com cada problemas de projeto em questão. 
 
Como citações simples, só como ilustração, temos alguns exemplos de aplicações 
dos ensaios padronizados, em situações práticas de projetos e obras de Engenharia: 
 
• No caso de estabilidade de estruturas de solos argilosos a longo tempo com relação 
a taludes e empuxos, ou de estruturas de solos arenosa recomenda-se o ensaio lento, 
com predominância tipo CD (S); 
• Solos argilosos abaixo de fundações de edifícios, estruturas de terra em cortes 
provisórios, fundações de aterros em solos moles recomenda-se o ensaio rápido, 
tipo UU (Q); 
• No caso de barragens de terra quando há possibilidade de rápido esvaziamento 
recomenda-se o ensaio adensado rápido (ou rápido pré-adensado), tipo CU-R. 
 
Observa-se que para a obtenção dos parâmetros de resistência em termos de tensões 
totais, é importante considerar a obra a que serão aplicados, dentro do ponto de vista acima 
apresentado. Um problema de escavação, por exemplo, em que haverá redução das tensões, 
não pode ser tratado da mesma maneira que um problema de fundações, onde haverá um 
carregamento. O desenvolvimento das tensões neutras em cada caso será diferente. O 
ensaio, em termos das tensões totais, deve procurar representar o problema específico. 
 
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 146
5. 5. 7 – Considerações finais sobre a compressão triaxial 
 
a) Em dado instante do ensaio é sempre considerado uniforme o estado de tensões em 
toda a amostra. Assim, podemos recorrer às soluções gráficas de Mohr. 
b) Como vimos, σ2 = σ3, portanto reduzimos ao sistema plano de tensões, com um só 
círculo. Portanto, o tratamento analítico/gráfico se tornou bem mais simplificado do 
que o tridimensional (com três círculos). 
c) A resistência ao cisalhamento de solos coesivos é variável e dependente de vários 
fatores circunstanciais, diferentemente dos solos granulares onde os fatores são 
menos acentuados. 
d) Ao tentarmos reproduzir, em laboratório, as condições que a estrutura de solo estará 
sujeita nas obras, será necessário levantar todos os fatores intervenientes e levar em 
conta cada um dos mesmos, tratando-se de reproduzi-los às condições reais para 
cada caso em particular. Não há como se ter um ensaio que reflita todas as 
possibilidades de ocorrência e de solicitações naturais previstas na obra. 
e) Cada situação condicionaria um ensaio especial. É óbvio que esse procedimento 
não é prático para o funcionamento de um laboratório além do ônus decorrente. O 
que se faz, então, é reproduzir as circunstâncias mais típicas e influentes em alguns 
ensaios padronizados, referidos a comportamentos e circunstâncias extremas. 
Assim seus resultados devem ser adaptados aos casos reais, interpretando-os com 
critério e tendo sempre em referência a experiência vivida/constatada. 
f) O ensaio de compressão triaxial é constituído por duas etapas: 
• A aplicação na amostra da pressão inicial da câmara (água), para se poder 
dar início às aplicações de σ3 e σ1. Essa aplicação inicial pode ser com ou 
sem drenagem. 
• A aplicação das cargas propriamente dita, seja lateral ou axial. Nessa etapa, 
também podemos ter drenagem (ensaios drenados) ou não (ensaios não-
drenados). 
g) Os ensaios de compressão triaxial são dois tipos principais: 
• Ensaios de compressão, em que a dimensão axial do corpo de prova diminui 
e o diâmetro aumenta; 
• Ensaios de expansão, em que a dimensão axial aumenta durante o ensaio. 
h) Para se ter o ensaio de compressão adotamos três procedimentos: 
• A dimensão axial pode diminuir aumentando o esforço axial e mantendo-se 
constante o lateral (quando há pressão de água, também no topo da amostra, 
tem que ser compensada para manter a pressão axial constante); 
• Pode ocorrer, também, mantendo constante o esforço axial e fazendo 
diminuir o esforço lateral transmitido pela água; 
• Conseguimos o mesmo resultado aumentando o esforço axial e diminuindo 
o lateral simultaneamente. Nesse tipo de ensaio o mais comum é se ter cada 
incremento de pressão axial no dobro do decréscimo da pressão lateral, de 
maneira que a média aritmética dos esforços normais principais se mantenha 
constante. 
i) Para o caso do ensaio de expansão teremos, também, três procedimentos: 
• Aumenta-se a dimensão no sentido do eixo do corpo de prova diminuindo a 
pressão axial e mantendo constante a lateral. Na prática a haste da prensa vai 
exercer uma tração no corpo de prova; 
 
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 147
• Manter a pressão axial constante, aumentando-se a pressão na água; 
• Fazer diminuir a pressão axial ao mesmo tempo em que se aumenta a 
pressão lateral. Nesse caso é muito usual o incremento, isto é, a diminuição 
da pressão axial, em cada variação de carga aplicada, no dobro do aumento 
da pressão lateral, buscando, mais uma vez a constância como feito em C; 
j) Num ensaio triaxial à compressão, a pressão axial é sempre a tensão principal 
maior enquanto que num ensaio triaxial à tração ocorre o contrário, ou seja, a 
pressão axial é a tensão principal menor. 
 
 
Descrição, como exemplo, da obtenção de parâmetros de resistência ao 
cisalhamento, coesão – “c” e ângulo de atrito – “ϕϕϕϕ”, para 2 solos argilosos 
compactados através do ensaio UU, visando o estudo deste solo como suporte em 
projetos de pavimentos, conforme abordado por MARANGON, 2004. 
 
Para este estudo foram selecionadas duas amostras de solo, uma de comportamento 
laterítico, a amostra ZM10 – bairro Retiro em Juiz de Fora, e uma outra de comportamento 
não laterítico, a amostra MV08, da BR , próximo à Conselheiro Lafaiete. 
 
Foram utilizados corpos de prova nas dimensões 5 x 10 cm. As amostras de solo 
foram preparadas e passadas na peneira de 3/8” (máximo de 1/5 do diâmetro do cilindro) 
para serem homogeneizadas no teor de umidade ótima, correspondente a energia 
aproximada do PN, permanecendo 24 horas em câmara úmida. 
A moldagem dos corpos de prova de solo compactado, na densidade máxima, 
correspondente à umidade ótima, foi feita por prensagem de uma quantidade de solo úmido 
previamente calculado para, após a sua moldagem, apresentar altura aproximadamente em 
10cm. 
Para a determinação de cada uma das envoltórias de resistência ao cisalhamento 
foram moldados 4 CPs, tendo sido adotadas as seguintes tensões de confinamento σ3: 
20kPa, 50kPa, 70kPa e 150kPa, (0,20 kgf/cm2 a 1,50 kgf/cm2) correspondendo ao intervalo 
dos níveis de tensões usualmente utilizadas na análise visando o projeto de um pavimento. 
Os dados correspondentes aos corpos de prova moldados estão apresentados na 
tabela abaixo. 
O ensaio estático de resistência ao cisalhamentoutilizado foi o do tipo UU (não 
adensado e não drenado) prevendo uma situação mais desfavorável de solicitação do 
subleito por uma roda de veículo parado sobre o pavimento, imediatamente após a 
liberação ao tráfego. 
 
Tabela - Dados dos corpos de prova moldados para o ensaio triaxial estático para 
obtenção da resistência ao cisalhamento. 
 
 
Amostra 
Teor de 
Umidade 
(%) 
Massa Específica 
Aparente Seca 
(kN/m3) 
Ótima Moldagem Máxima 
(máx) 
Moldagem 
(CP1) 
Moldagem 
(CP2) 
Moldagem 
(CP3) 
Moldagem 
(CP4) 
ZM10 26,5 24,48 14,83 14,89 14,90 14,86 14,91 
MV08 28,8 26,94 14,65 14,64 14,65 14,63 14,66 
 
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 148
Os ensaios foram executados em uma prensa triaxial, do Laboratório de Geotecnia 
da COPPE/UFRJ, acoplado a um sistema automático de aquisição de dados, tendo sido 
seguidos os procedimentos usuais para a realização deste tipo de ensaio. Os dados obtidos 
foram posteriormente trabalhados em planilhas eletrônicas permitindo a plotagem dos 
gráficos usuais à interpretação do ensaio. 
 
Os círculos de Mohr foram traçados a lápis em papel milimetrado e as 
envoltórias de resistência obtidas. São apresentados, contudo, neste trabalho, as 
envoltórias de resistência obtidas a partir das trajetórias de tensão, em termos de p` x 
q, que permite também o cálculo dos parâmetros de resistência “c” e “ϕ”, tendo sido 
verificado uma boa aproximação entre os parâmetros obtidos pelos dois métodos. A figura 
5. 33 mostra a envoltória de resistência para a amostra ZM10 e a figura 5. 34 a envoltória 
para a amostra MV08. 
 
Os parâmetros de resistência ao cisalhamento obtidos nas envoltórias de resistência 
traçadas a partir dos círculos de Mohr e das trajetórias de tensões, assim como os valores 
máximos alcançados pela tensão desvio na ruptura de cada um dos 4 CPs ensaiados estão 
apresentados na tabela abaixo, em resumo aos resultados obtidos nos ensaios. 
Pode-se observar que os resultados apresentados são coerentes. A amostra MV08 
apresenta maior coesão, e conseqüentemente menor ângulo de atrito, que a amostra ZM10. 
Estes parâmetros correspondem a níveis de resistência ao cisalhamento, 
relativamente satisfatórios, em se tratando de solo compactado. 
 
 
Figura 5. 33 - Envoltória de 
resistência ao cisalhamento 
em termos do diagrama p` x 
q, para a amostra ZM10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5. 34 - Envoltória de 
resistência ao cisalhamento 
em termos do diagrama p` x 
q, para a amostra MV08. 
 
 
 
 
 
 
Ensaio Triaxial - UU
Amostra ZM10
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650
p' ( kPa )
q 
( 
kP
a 
)
 
Ensaio Triaxial - UU
Amostra MV08
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650
p' ( kPa )
q 
( 
kP
a 
)
 
 
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 149
Tabela - Parâmetros de resistência ao cisalhamento obtidos a partir do traçado dos 
círculos de Mohr e do traçado das trajetórias de tensão e valores máximos alcançados pela 
tensão desvio na ruptura, nos ensaios do exemplo ilustrado. 
 
 
Amostra 
Parâmetros de Resistência ao 
Cisalhamento 
c (kPa) ϕ (graus) 
 
Tensão Desvio Máxima (Ruptura) 
(kPa) 
Círculos de 
Mohr 
Trajetória de 
tensões 
 
σ3 = 20 
 
σ3 = 50 
 
σ3 = 70 
 
σ3 = 150 
 
ZM10 c = 45,0 c = 44,8 237,3 512,4 797,4 879,0 
ϕ = 44,3 ϕ = 44,4 
 
MV08 c = 140,0 c = 147,9 518,3 655,6 768,7 817,1 
ϕ = 34,4 ϕ = 33,7 
 
Um bom exercício para a compreensão da obtenção dos parâmetros c e ϕ consiste 
em traçar a envoltória dos círculos de Mohr e a envoltória das trajetórias de tensão, para os 
dados do exemplo acima, e verificar a correlação entre os parâmetros obtidos. 
 
 
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EMPUXOS DE TERRA 
 
 150
 
 
Unidade 6 - EMPUXOS DE TERRA 
 
 
 
A determinação do valor do empuxo de terra, que deve ser entendido como a ação 
produzida pelo maciço terroso sobre as obras com ele em contato, é fundamental na 
análise e projeto de obras como muros de arrimo, cortinas em estacas pranchas, cortinas 
atirrantadas, escorramentos de escavações em geral, construções em subsolos, encontros de 
pontes, entre outras situações semelhantes a estas. 
As fotos abaixo ilustram algums exemplos de obras de contenção em que são 
utilizadas diferentes soluções na estrutura de contenção a saber: (a) muro em solo-cimento 
- bairro de N. S. de Lurdes (J. Fora), (b) muro em concreto ciclópico - bairro Aeroporto (J. 
Fora), (c) muro em pedras arrumadas manualmente em gaiolas metálicas – gabiões e (d) 
muro em concreto armado. 
 
(a) 
 
(b) 
(c) 
 
(d) 
 
Para a determinação das pressões de empuxo de terra (pressões horizontais) 
utilizaremos inicialmente os conceitos da teoria de elasticidade que relaciona o 
comportamento das tensões e deformações em diferentes direções nos materiais. 
 
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EMPUXOS DE TERRA 
 
 151
6.1 – Conceitos básicos e fundamentais de empuxo 
 
Relação entre Tensão x Deformação - Teoria da Elasticidade 
 
 Inicialmente abordaremos alguns conceitos da teoria da elasticidade no que se 
refere ao comportamento dos solos e suas características de deformabilidade quando 
submetido a uma pressão de compressão. 
 
 
Figura 6.1 – Deformação de um corpo 
submetido a um carregamento 
Para cada tensão (carga) temos uma 
deformação (Lei de Hooke = 
proporcionalidade tensão-deformação). O 
parâmetro que reflete este comportamento é 
dado pelo: 
 
Módulo da Elasticidade = E = Módulo de 
Young = Módulo de Deformabilidade. 
 σ = Ε ε, logo: 
 
Deformação
Tensão
E
∆
∆= 
 
Assim poderemos, a partir do gráfico tensão 
x deformação obtida em um ensaio de 
compressão, determinar o módulo de 
elasticidade em um segmento reto 
 
Módulo inicial = é o adotado na condição em que o equilíbrio é elástico (retirada a carga 
o corpo volta a forma primitiva sendo que, nos solos o retorno se dá 
sempre parcialmente, havendo uma deformação residual ou plástica). 
 
Considerando que o corpo de prova de solo sofre uma tensão de compressão, no 
sentido da altura, este sofre uma deformação neste sentido e conseqüentemente no sentido 
de seu diâmetro b, teremos então: 
 
 
L
L∆=ε σ = E . ε 
H
H
E v
∆
σ
= ou 
b
b
E H
∆
σ
= 
 
A partir das deformações nos sentidos horizontal e vertical poderemos determinar o 
Coeficiente de Poisson (µ). O Coeficiente de Poisson é o parâmetro que reflete o quanto o 
solo deforma no sentido horizontal em relação à deformação no sentido do carregamento. 
Logo: 
v
h
vertical
horizontal
Deformação
Deformação
ε
ε
=
∆
∆
=µ ou µ =
b
H
b
H
∆
∆
 εh = µ . εv = µ . 
E
vσ
 
 
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EMPUXOS DE TERRA 
 
 152
Valores típicos para Módulo de Elasticidade (E) de solos 
Como ordem de grandeza, pode-se indicar os valores apresentados na tabela 6.1 
como módulos de elasticidade para argilas sedimentares saturadas, em solicitações rápidas, 
que não dão margem à drenagem. 
Para as areias, os módulos são os correspondentes à situação drenada (tabela 6. 2), 
pois a permeabilidade é alta, em relação ao tempo de aplicação das cargas. 
 
Tabela 6.1 – Módulos de elasticidade típicos de argilas saturadas não drenada. 
Consistência 
Módulo de elasticidade 
MPa kN/m²(kPa) 
Muito molea 20000 
Muito rija 20 a 40 20000 a 40000 
Dura > 40 > 40000 
 
Tabela 6.2 – Módulos de elasticidade típicos de areias em solicitação drenada, para 
tensão confinante de 100 kPa. 
 
Compacidade 
Módulo de elasticidade 
Fofa Compacta 
MPa kN/m² (kPa) MPa KN/m² (kPa) 
Areias de grãos frágeis, angulares 15 15000 35 35000 
Areias de grãos duros, arredondados 55 55000 100 100000 
Areia (S. Paulo), bem graduada, pouco argilosa 10 10000 27 27000 
 
Valores típicos para coeficiente de Poisson (µ) de solos 
 
Para solos, tem-se a seguinte variação: 0,25elástico, para os valores 
das tensões, teremos que a tensão horizontal σH é proporcional a tensão σV, donde tem-se a 
relação: vH .K σ=σ 
 
* No caso da consideração de repouso absoluto chamaremos KO de coeficiente de 
empuxo no repouso (coeficiente de cálculo de σH). Assim: v0H .K σ=σ 
 
A tensão horizontal será proporcional a tensão vertical de um valor K0 
correspondente ao coeficiente no repouso absoluto. 
Considerando o solo homogêneo e contínuo e substituindo na equação anterior, 
temos: 
0
E
.K
E
.K
.
E
. v0v0v =
σ
−
σ
µ+
σ
µ 
Simplificando a equação: 
 0KK. 00 =−µ+µ , tirando-se o valor de K0: 
 
Valores de K0 
Quando é considerado o repouso absoluto, esta condição será satisfeita em função 
das constantes elásticas do material e o coeficiente de proporcionalidade entre σH e σV 
(pressões no ponto), deduzido, é função, apenas, do Coeficiente de Poisson. 
Para solos, o Coeficiente de Poisson é variável em função do material e situação de 
estar drenado ou não. SORVERS sugere (tabela 6.3) para valores de K0 calculados. 
O Prof. CAPUTO (1987) sugere, de uma forma genérica, os seguintes valores para 
K0 apresentados na tabela 6.4. 
µ−
µ=
1
K0 
 
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EMPUXOS DE TERRA 
 
 157
Tabela 6.3 – Valores de K0 para situações drenadas e não-drenadas 
Solo K0 efetivo drenado K0 total sem drenagem 
Argila média (mole) 0,6 1,0 
Argila dura 0,5 0,8 
Areia solta 0,6 – 
Areia compacta 0,4 – 
Considerado o coeficiente de Poisson, para solos: 0,25estrutura de contenção, limita a massa de solo 
responsável por uma compressão no sentido horizontal gerando essa situação particular de 
equilíbrio, como mostra a Figura 6.10. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.10 – Empuxo passivo 
 
Para o cálculo do empuxo, o procedimento será análogo, variando, apenas o 
coeficiente de empuxo, que, neste caso será Kp, ou coeficiente de empuxo passivo. 
 
Assim temos: hh K pv ... γγσ == 2...
2
1
hKE pp γ= 
 
A mobilização da resistência do solo ao longo da superfície de rutura (plano de 
rutura) é que reduz a ação do terrapleno (solo atrás da contençao no estado ativo e 
aumenta esta ação no caso do estado passivo. Vemos pelo gráfico da figura 6.11 que, 
depois de determinada mobilização o empuxo não cresce nem decresce nos dois sentidos, 
 
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EMPUXOS DE TERRA 
 
 161
pois, a resistência ao cisalhamento já atingiu o valor máximo. Esta variação de solicitação 
no plano é decorrente, então, da capacidade que o solo tem de desenvolver, internamente, 
resistência ao cisalhamento. 
 
 
Figura 6.11 - Representação esquemática dos casos de empuxo 
 
 “Tanto sob alívio de tensões laterais (condição ativa) como sob acréscimo de 
tensões laterais (condição passiva) existem, nas curvas típicas tensão-deformação dos 
elementos de solo, estados de tensão dentro dos quais o regime é “elástico”. Portanto, 
ocorridas as deformações tipo elásticas, “cessa” o movimento, estabelecendo-se o repouso. 
Reconhecemos, pois, que o eixo vertical de repouso assinalado na figura anterior é apenas 
uma condição das inúmeras de repouso possíveis, de gênero repouso-ativo e repouso-
passivo. Para cada lado, o limite da faixa de possibilidades de repouso é dado pela natureza 
da curva tensão/deformação e o limite respectivo de comportamento elástico.” 
 
Pressao Neutra 
Tanto no caso de empuxo ativo quanto passivo é válida a consideração de 
acréscimo no diagrama de pressões quando há condição do surgimento da pressão neutra. 
Isto é, a pressão horizontal é calculada em função da ocorrência das pressões verticais 
efetivas e neutras, variando, somente o coeficiente de empuxo para cada caso específico a 
considerar. 
 
 
6.4 – Teoria de Rankine 
 
Rankine, para sua teoria, impõe algumas condições iniciais pressupostas como 
fundamentais para os primeiros passos da análise da resistência ao cisalhamento das 
massas de solos. São elas: 
 
a) O solo do terrapleno considerado é areia pura seca (sem coesão) homogênea em 
todo o espaço semi-infinito considerado; 
b) O atrito entre o terrapleno e o parâmetro vertical do plano de contenção é 
considerado nulo; 
c) Terrapleno sem nenhuma sobrecarga (concentrada, linear ou distribuída); 
d) O terrapleno é constituído de uma camada única e contínua de mesmo solo e sua 
superfície superior é horizontal (solo homogêneo). 
 
 
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EMPUXOS DE TERRA 
 
 162
Condição do empuxo ativo (Figura 6.12) 
 
 Figura 6.12 – Empuxo ativo 
 
A tendência da cunha, no caso ativo, é 
acompanhar o movimento com o 
afastamento, mas a resistência ao 
cisalhamento, desenvolvida ao longo 
do plano de rutura, reduz sua ação de 
movimento, diminuindo o esforço 
sobre o parâmetro vertical ao valor 
mínimo. Ressalta-se que somente 
pressão efetiva mobiliza resistência ao 
cisalhamento. 
 
A condição inicial de Rankine impõe a condição de c = 0 (coesão nula). Tomando-
se a equação analítica da rutura, temos: 
 
1 3 2σ σ ϕ ϕ= +.N C N , para c = 0, temos: 1 3σ σ ϕ= .N 
 
Para condição ativa, temos: σ σh = 3 e σ σv = 1 , donde, substitiuindo na equação 
acima, tem-se: σ σ ϕv h N= ⋅ 
Tirando-se o valor da pressão horizontal: σ σ
ϕ
h vN
= ⋅1
 ou σ σh a vK= ⋅ 
 
 
 Portanto, 
 
 
 
Condição do empuxo passivo (figura 6.13) 
 
 
 Figura 6.13 – Empuxo passivo 
Ao peso da cunha agindo sobre o 
parâmetro vertical se soma toda a 
resistência ao cisalhamento 
desenvolvida ao longo do plano de 
rutura. Nesse caso, a componente 
horizontal é maior possível. 
A tendência da cunha, no caso passivo, 
é resistir ao movimento da estrutura, ao 
longo de toda a superfície de rutura, por 
sua resistência interna ao cisalhamento. 
Assim, a ação do terrapleno sobre o 
parâmetro vertical aumenta. 
 
a
o
oK
N tg
tg= =
+
= −1 1
45
2
45
22
2
ϕ ϕ
ϕ
( )
( ) 
 
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EMPUXOS DE TERRA 
 
 163
Por analogia às considerações anteriores, temos: 
 
σ1 = Nϕ . σ3 ou σh = Nϕ . σv, logo: 
 
 
Em função das expressões obtidas, temos: 
kp
1
Ka = ou 
ka
1
kp = , sendo Ka 1,0 e Kacom que isto ocorre ⇒ Expresso por um coeficiente “k” maior ou menor. 
 
A determinação do coeficiente de permeabilidade é feita tendo em vista a lei 
experimental de Darcy (proposta em 1856 por esse engenheiro francês). Darcy realizou um 
experimento com um arranjo similar ao mostrado na Figura 1.3 para estudar as 
propriedades do fluxo de água através de uma camada de filtro de areia: 
 
 
Figura 1.3 – Esquema do experimento realizado por Darcy 
 
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HIDRÁULICA DOS SOLOS 
 
 9
Observe: Considerando o plano de referência (adotado) no nível inferior do desenho: 
 A carga total h1 corresponde à soma da carga altimétrica e piezométrica em 
qualquer ponto do fluido, tendo um valor constante (h1) desde a entrada no sistema até a 
chagada na porção de solo (quando tem um decréscimo até a saída desta porção). Observe 
que à medida que o valor da carga piezométrica vai aumentando (referida a cota de 
entrada – alimentação) no percurso da entrada no sistema até o solo, o valor da carga 
altimétrica vai diminuindo (complementar). 
 A carga total h2 corresponde à soma da carga altimétrica e piezométrica em 
qualquer ponto do fluido, tendo um valor constante (h2) desde a saída da porção de solo até 
a chagada na saída final do sistema. 
 
 No percurso (percolação) da água no solo observe que há uma diminuição 
da carga total (perda de carga) – O movimento da água se deu de uma condição de 
carga maior para carga menor. 
 Obs.: Se o tubo 2 estivesse em uma posição mais alta que a posição 1 não 
haveria fluxo neste sentido (assinalado com setas) 
 
Este experimento deu origem a uma lei que correlaciona a taxa de perda de 
energia da água (gradiente hidráulico) no solo com a sua velocidade de escoamento 
(Lei de Darcy). 
 
Os níveis de água h1 e h2 são mantidos constantes e o fluxo de água ocorre no 
sentido descendente através do corpo-de-prova. Medindo o valor da taxa de fluxo que 
passa através da amostra (vazão de água) q, para vários comprimentos de amostra (L) e de 
diferença de potencial (∆h), Darcy descobriu que a vazão “q” era proporcional à razão 
L
h∆ (ou gradiente hidráulico da água, i). 
k.i.A.A
L
∆h
k.q =

= 
 
A vazão (q) dividida pela área transversal do corpo-de-prova (A) indica a 
velocidade com que a água percola pelo solo. O valor da velocidade de fluxo da água no 
solo (v) é dado por: 
 v
A
q
. =


 k.i
L
∆h
k.v =

= 
 
Obs: A existência do gradiente hidráulico fará com que haja percolação. 
 
Esta velocidade é conhecida como velocidade de descarga (v) – usual na prática da 
Engenharia, sendo, portanto diferente da velocidade real da água nos vazios do solo. 
Aplicando-se as noções desenvolvidas em índices físicos pode-se admitir que a relação 
entre a área transversal de vazios e a área transversal total seja dada pela porosidade (n). 
Desse modo, a velocidade de percolação real da água no solo é: 
n
v
v real = 
 
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 10
Entende-se por velocidade real de percolação (vp), a velocidade com que a água 
escoa nos vazios do solo. Considera-se a área efetiva de escoamento ou área de vazios (Av), 
através do correspondente coeficiente de percolação, aqui indicado por kP, assim: 
vP = kP . i 
 
 Esta velocidade não é muito utilizada na prática devido à dificuldade de sua 
determinação. 
 
 – Validade da Lei de Darcy 
 
A lei de Darcy é válida para um escoamento “laminar”, tal como é possível e deve 
ser considerado o escoamento na maioria dos solos naturais. 
 
Um escoamento se define como laminar quando as trajetórias das partículas d’água 
não se cortam; em caso contrário, denomina-se turbulento. 
 
 
1.4 – Coeficiente de permeabilidade 
 
O valor de k é comumente expresso como um produto de um número por uma 
potência negativa de 10. Exemplo: k = 1,3 x 10-8 cm/seg, valor este, aliás, característico de 
solos considerados como impermeáveis para todos os problemas práticos. 
 
Na Figura 1.4 apresentamos, segundo A. Casagrande e R. E. Fadum, os intervalos 
de variação de k para os diferentes tipos de solos e na Tabela 1.1, segundo Casagrande. 
 
 
Figura 1.4 – Intervalos de variação de K para diversos solos 
 
Tabela 1.1 – Coeficientes de permeabilidade de solos típicos (Baseado em Casagrande) 
K 
Material 
Características de 
escoamento cm/seg m/dia 
10+2 
 
 
10-3 
 
 
10-7 
 
10-9 
1 a 100 864 a 86400 Pedregulho limpo 
Aqüíferos bons 
0,001 a 1 0,86 a 864 
Areia limpas, misturas de areia 
limpas e pedregulho 
10-7 a 10-3 8,64 x 10-5 a 
0,86 
Areias muito finas; siltes; 
misturas de areia, silte e argila; 
argilas estratificadas 
Aqüíferos pobres 
10-9 a 10-7 
8,64 x 10-7 a 
8,64 x 10-5 
Argilas não alteradas Impermeáveis 
 
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 11
 É interessante notar que os solos finos, embora possuam índices de vazios 
geralmente superiores àqueles alcançados pelos solos grossos, apresentam valores de 
coeficientes de permeabilidade bastante inferiores a estes. 
 
 
1.5 - Fatores que influem na permeabilidade 
 
A permeabilidade é uma das propriedades do solo com maior faixa de variação de 
valores e é função de diversos fatores, dentre os quais podemos citar o índice de vazios, 
temperatura, estrutura do solo, grau de saturação e estratificação do terreno. 
 
 A) Índice de vazios: 
 
 A equação de Taylor correlaciona o coeficiente de permeabilidade com o índice de 
vazios do solo. Quanto mais fofo o solo, mais permeável ele é. Conhecido o k para um 
certo tipo de solo, pode-se calcular o k para outro solo pela proporcionalidade da equação 
apresentada (mais utilizada para areias). 
2
3
2
1
3
1
2
1
e1
e
e1
e
k
k
+
+
= 
 
A influência do índice de vazios sobre a permeabilidade, em se tratando de areias 
puras e graduadas, pode ser expressa pela equação de A. Casagrande: 
 
2
85,0 e.k.4,1k = , sendo k0.85 → Coeficiente de permeabilidade quando e = 0,85. 
 
Maior índice de vazios (e) → Maior coeficiente de permeabilidade (k). 
 
B) Temperatura: 
 
 Quanto maior for a temperatura, menor a viscosidade da água e, portanto, mais 
facilmente ela escoa pelos vazios do solo com correspondente aumento do coeficiente de 
permeabilidade. Logo, k é inversamente proporcional à viscosidade da água. 
 
 Por isso, os valores de k são referidos à temperatura de 200C, o que se faz pela 
seguinte relação: 
VT
20
T
T20 C.k.kk =
η
η
= 
 Onde: 
 kT – o valor de k para a temperatura do ensaio; 
 η20 – é a viscosidade da água a temperatura de 200C; 
 ηT – é a viscosidade a temperatura do ensaio; 
 CV – relação entre as viscosidades. 
 
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 12
 Segundo Helmholtz, a viscosidade da água em função da temperatura é dada pela 
fórmula empírica: 
2T0002,0T033,01
0178,0
++
=η , sendo T é a temperatura do ensaio em ºC. 
 
 A figura 1. 5 mostra uma planilha de ensaio, executado em um solo coletado à 
1,50m de profundidade em uma região de Igrejinha – Juiz de Fora, em área estudada para 
possível utilização como aterro sanitário do município, em que se observa a correção feita 
para a temperatura. 
 
 
 
Figura 1.5 – Exemplo de resultado de ensaio de permeabilidade 
(Solo argilo-arenoso, coletado em Igrejinha – JF). 
 
 
Observe os resultados de k obtidos em 4 amostras diferentes a 25,4o de temperatura 
e o valor médio (dos 4 ensaios) corrigido para 20o ( k20º ) igual a 1,24 x 10-3 cm/seg. 
 
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HIDRÁULICA DOS SOLOScrit
a
a a
Ih
C K
K
C
K
h= = =
2
1
2
4
2
. .
. .
.
.
.
γ γ
 
 
6.4.3 – No caso de haver mais de uma camada 
 
 Nesse caso, no cálculo do diagrama da camada 2, consideraremos a camada 1 como 
uma sobre-carga sobre a camada 2 (figura 6.18), uma vez que o comportamento da camada 
2 vai ser diferente da camada superior e, é função de suas caraterísticas de resistência. 
 
 
KhK aa
hC ...2...
2
1 2 −γ 
Teoricamente, nessa profundidade não há 
desenvolvimento de empuxo. Logo, essa é a altura 
em que podemos fazer um corte sem necessidade 
de estrutura de contenção ou escoramento. 
“Tratando-se de solos argilosos, por 
possíveis variações de c no período de utilização, o 
IPT/SP recomenda, em função de constatações 
práticas, que se adote um coeficiente de segurança, 
tomando-se hcrit = hI.”, ou seja, apenas 
correspondente a fenda de tração (figura 6. 16). 
 
Figura 6. 16 – Aspecto das fendas 
de tração em solos argilosos 
Figura 6.18 – Empuxo considerando 
ocorrência de várias camadas (ϕ 2 ϕ1) 
 
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EMPUXOS DE TERRA 
 
 167
O professor Pimenta Velloso em seu livro “Muros de Arrimo” adota os valores: 
 
 
Para muros de paredes lisas δ = 
1
3
ϕ 
 
Para muros de paredes normais δ = 
2
3
ϕ 
 
Para muros de paredes rugosas δ = 
3
4
ϕ 
 
6.5 – Teória de Coulomb 
 
 Outra solução analítica consagrada para a determinação do empuxo de terra deve-se 
a Coulomb, datada de 1776, anterior a de Rankine que foi apresentada em 1857. Esta teoria 
é apresentada nestas notas de aula conforme publicado por CAPUTO (1987). 
 
Solos não coesivos – Na teoria apresentada por este notável físico - Coulomb, o 
terrapleno é considerado como um maciço indeformável, mas que se rompe segundo 
superfícies curvas, as quais se admitem planas por conviniência (figura 6.20). 
 
Figura 6.20 – Cunha de empuxo ativo 
 
* Divergem as opiniões quanto ao valor a ser atribuído a δ, como visto acima, 
sabendo-se no entanto que ele não pode exceder ϕ; admite-se, segundo Müller Breslau, 
quanto muito ϕδ
4
3= e, de acordo com Terzaghi, ϕδϕ
3
2
2
≤≤ . 
 
Obtem-se assim a determinação de Ea (resultante de empuxo ativo) traçando-se o 
polígono de forças, tal como desenhado na figura 6.20. 
 
Admitindo-se, então, vários possíveis planos de escorregamentos, BCi, será 
considerada como superfície de ruptura aquela que corresponder ao maior valor de 
Ea, que é o valor procurado. 
 Partindo das condições de equilíbrio das três forças P, R, Ea, deduzem-se (ver 
CAPUTO, 1987) analiticamente as equações gerais, para os empuxos ativo (Ea) e 
passivo (Ep), este último correspondendo à superfície de deslizamento, também suposta 
plana, que produz o prisma de empuxo mínimo (figura 6.21). 
Considerando-se uma possível cunha de 
ruptura ABC, em equilíbrio sob a ação de: 
P – peso da cunha, conhecido em grandeza 
e direção; 
R – reação do terreno, formando um ângulo 
ϕ com a normal à linha de ruptura BC; 
Ea – empuxo resistido pela parede, força 
cuja direção é determinada pelo ângulo δ de 
atrito entre a superfície rugosa AB e o solo 
arenoso. 
 
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EMPUXOS DE TERRA 
 
 168
Figura 6.21 – Cunha de empuxo passivo 
 
 Os valores para os coeficientes de empuxo segundo a teoria de Coulomb são: 
aa KhE ..
2
1 2γ= 2
2
2
)sen()sen(
)sen()sen(
1)sen(sen
)(sen



+−
−++−
+=
βαδα
βϕδϕδαα
ϕα
aK 
pp KhE ..
2
1 2γ= 
2
2
2
)()(
)()(
1)(
)(



+−
−+−−
+=
βαδα
βϕδϕδαα
ϕα
sensen
sensen
sensen
sen
K p 
 
A teoria de Coulomb, que apenas estamos considerando para o caso de solos não 
coesivos, leva em conta, ao contrário da teoria de Rankine, o atrito entre o terrapleno e a 
superfície sobre a qual se apóia. 
 
 Essas equações, para α = 90º e β = δ = 0º, transformam-se nas conhecidas 
expressões de Rankine: 
 )
2
45(..
2
1
);
2
45(..
2
1 2222 ϕγϕγ +=−= tghEtghE pa 
 
Antigamente, eram utilizadas tabelas, como as de Krey, que facilitam muito a 
determinação dos valores do empuxo, como apresentado para o caso ativo de um muro 
com paramento vertical (α=00) e terrapleno com horizontal (β=00), na tabela 6.7. 
 
Tabela 6.7 - Coeficientes de empuxo ativo para muro com α=00 e β=00. 
ϕ 15º 20º 25º 27.5º 30º 32.5º 35º 
δ = 00 0.590 0491 0.406 0.369 0.334 0.301 0.272 
δ = 50 0.557 0.466 0.386 0.351 0.318 0.288 0.261 
δ = 100 0.534 0.448 0.372 0.340 0.309 0.281 0.253 
δ = 150 0.517 0.435 0.364 0.332 0.302 0.274 0.248 
δ = 200 - 0.428 0.358 0.328 0.300 0.271 0.246 
δ = 250 - - 0.357 0.327 0.298 0.271 0.246 
δ = 300 - - - - 0.297 0.273 0.248 
A curvatura da superfície de ruptura tem 
aqui maior importância que no caso 
ativo e é tanto mais acentuada quanto 
maior for δ em relação à ϕ, o que torna 
admissível a aplicação da teoria de 
Coulomb para o cálculo do empuxo 
passivo, somente aos solos não coesivos 
quando δ ≤ ϕ/3. 
 
 
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EMPUXOS DE TERRA 
 
 169
Solos coesivos – Na aplicação da teoria de Coulomb aos solos coesivos, além das 
forças R (atrito) e P (peso da cunha), devemos considerar ainda as forças de coesão, S, ao 
longo da superfície de deslizamento e de adesão, T, entre o terrapleno e a parede. O 
problema consiste, pois, em procurar o máximo valor da força Ea que, com as demais, 
feche o polígono das forças (figura 6.22), as quais são conhecidas em grandeza e direção: 
P, S e T, e apenas em direção: R e Ea. 
 
Figura 6.22 – Cunha de empuxo ativo considerado o solo coesivo 
 
As soluções de Coulomb e Rankine são analíticas, embora sob conceituações 
distintas, são simples e de fácil utilização e vem sendo largamente empregadas até o 
presente, apesar de algumas limitações de aplicabilidade em situações práticas. Ambas não 
levam em conta, por exemplo, a condição de retroaterro ser irregularou apresentar 
sobrecarga. Uma outra questão, para a análise de um projeto desta natureza, consiste no 
conhecimento do ponto de aplicação da força resultante de empuxo. 
 Diversas soluções gráficas (Poncelet, Culmann...) foram posteriormente 
apresentadas procurando resolver o problema. 
 O método de culmann procura determinar a força resultante de empuxo para 
retroaterro com geometria irregular ou ainda carregado externamente. Este método, na sua 
versão original, se aplica a solos não coesivos e leva em consideração não só o angulo de 
atrito do solo, mas também o atrito entre solo e muro. O valor do empuxo é determinado 
fazendo-se variar o ângulo de inclinação da superfície de ruptura, admitida plana. Entre os 
valores obtidos, o maior deles é tomado como sendo a resultante de empuxo procurada. 
 
6.6 - Método das Cunhas 
 
 A solução gráfica da método das cunhas é similar à de culmann, no entanto, 
apresenta diferença na orientação de polígono de força e a vantagem de considerar a coesão 
como um parâmetro do solo (figura 6.23). 
 
 
 Figura 6. 23 – Método das Cunhas: Forças atuantes na cunha ABED; Polígono de 
forças; Determinação da inclinação de ‘R’ (Bowles, 1988). 
 
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 170
 A determinação da força resultante de empuxo pelo método das cunhas, segundo 
Bowles (1988), tem se mostrado bastante conservativa para o caso de se ter carregamento 
concentrado no retroaterro. 
 Quando ao ponto de aplicação desta resultante o que se tem usado associado a estes 
métodos são procedimentos práticos como apresentado por Terzaghi em 1943, apresentado 
na figura 6. 24, como uma solução simplificada e cuja aplicabilidade pode ser questionada. 
 
Figura 6. 24 – Ponto de aplicação de Pa. Retroaterro irregular; Carga concentrada 
ou em linha na zona de ruptura; Externo a zona de ruptura, mas na zona ABC. 
 
6.7 – Condiçoes de estabilidade de contençao de peso - muros de arrimo 
 
 A construção de muros de arrimo é obra que freqüentemente se apresenta ao 
engenheiro, particularmente ao engenheiro rodoviário. Os muros de sustentação podem ser 
de gravidade (construídos de alvenaria ou de concreto simples ou ciclópico), de flexão ou 
de contraforte (em concreto armado), ou, ainda, “muro de fogueira” (crib wall), formado 
por peças de madeira, de aço ou de concreto armado pré-moldado, preenchidos com solos 
os espaços entre as peças. A figura 6. 25 ilustra alguns exemplos de aplicação. 
 
Outros tipos de obra de contenção são as estruturas construídas por uma gaiola 
metálica em forma de cesta, e cheia com pedras, chamadas gabiões, e a técnica da terra 
armada, concebida pelo francês H. Vidal, e que consiste em reforçar um terrapleno com 
tiras de aço, capazes de suportar forças de tração importantes. Algumas vezes esses 
elementos são corrugados, visando aumentar o atrito entre o solo e a armadura. (figura 6. 
25, parte inferior). 
 
 
Figura 6. 25 - Exemplos de aplicação de estruturas de contenção. 
 
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 171
Condições de Estabilidade 
Na verificação da estabilidade de um muro de gravidade, seja de seção trapezoidal 
ou do tipo escalonado como representados na figura 6. 26, ou com qualquer outra seção, 
devem ser investigadas as seguintes condições de estabilidade: 
 
Figura 6. 26 – Diferentes tipos de seção de muros de arrimo 
 
1a condição: Segurança contra o tombamento – Evidentemente, a condição para 
que o muro não se tombe em torno da extremidade externa A da base, figura 6. 27, é que 
momento do peso do muro seja maior que o momento do empuxo total, ambos tomados em 
relação ao ponto A. É aconselhável que a resultante de todas as forças atuantes, R, passe 
dentro do “núcleo central” (terço médio da seção) da base AB e, tanto quanto possível, 
próximo do ponto médio O quando o muro repousar sobre o terreno muito compressível. 
 
 
 
2a condição: Segurança contra o escorregamento – Desprezando-se a contribuição 
do empuxo passivo, Ep, o que é a favor da segurança, esta condição será satisfeita quando, 
pelo menos: 
 
 
 
sendo: δ igual ao ângulo de atrito entre o muro e o solo, o qual pode ser tomado, 
segundo CAPUTO (1986) da ordem de 30º se o solo é areia grossa pura e 
aproximadamente 25º se areia grossa argilosa ou siltosa, ou outros valores como já 
apresentado. 
 
3a condição: Segurança contra ruptura e deformação excessiva do terreno de 
fundação – Quando a força R cair no núcleo central da base, o diagrama de pressões no 
solo será (o que é uma aproximação) um trapézio; o terreno estará, pois, submetido apenas 
a tensões de compressão. As equações de equilíbrio para a figura 6. 27 serão: 
 
Figura 6. 27 – Resultante do peso 
do muro (R) na base, 
componentes vertical (V) e 
horizontal (H) e aspecto do 
diagrama de pressão no solo de 
apoio. 
1,5 H = V tg δ 
 
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EMPUXOS DE TERRA 
 
 172
eV
b
b
Vb
.
6
..
2
.
2
21
21
=−
=+
σσ
σσ
 ou 
221
21
...6
)(
2
1
)(
2
1
b
eV
b
V
=−
=+
σσ
σσ
 
 
ou ainda: 

 +=
b
e
b
V 6
11σ e 

 −=
b
e
b
V 6
12σ 
Essas equações agrupam-se na fórmula única: 
6/
.
2b
eV
b
V ±=σ 
 
Com M = Ve e designando-se por W o momento resistente da base (de área S=b.1) 
em relação ao eixo baricêntrico: 
 ,
62/
12/ 23 b
b
b
W == tem-se: 
 
,
W
M
S
V ±=σ
 que é a conhecida fórmula da flexão composta 
A condição a ser satisfeita, portanto, é que a maior das pressões (σ1) seja menor ou 
igual à pressão admissível do terreno (conforme será visto na Unidade 07 do curso). 
 
As equações de equilíbrio para a figura 6. 28, quando a força R cair fora do núcleo 
central, em que a distribuição é triangular, limitada à parte da compressão, serão: 
 
 ,
2
'3.1 V
e =σ
 donde: 
'3
2
1 e
V=σ 
 
 
 
Essas três condições de estabilidade deverão ser satisfeitas para as seções críticas do 
muro em estudo. Uma quarta verificação deve também ser analisada, se possível, a saber: 
 
4a condição: Segurança contra ruptura do conjunto muro-solo – A possibilidade de 
ruptura do terreno segundo uma superfície de escorregamento ABC (figura 6. 29) deve 
também ser investigada, apartir da aplicação dos conhecimentos de Estabilidade de 
taludes, vistos em outra disciplina do curso. 
Figura 6. 28 – Resultante do peso 
do muro (R) na base e aspecto do 
diagrama de pressão no solo de 
apoio, para a condição em que a 
força R cai fora do núcleo central. 
 
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EMPUXOS DE TERRA 
 
 173
 
 
 
6.8 – Exemplo de análise com uso de recursos computacionais 
 
Este sub-iten é apresentado com o objetivo de servir de leitura complementar aos 
pontos abordados na unidade e também orientar o estudante na realização prática de uma 
análise de empuxo de terra e de estabilidade de um muro de peso através de um software 
disponibilizado aos alunos, por este autor, neste curso de Mecânica dos Solos. 
 
“O MÉTODO DAS CUNHAS ITERATIVO” 
 
Procurando uma solução para o problema da determinação do posicionamento da 
força resultante de empuxo, inicialmente para uma condição de retroaterro irregular sem 
carregamento, este autor desenvolveu um programa para microcomputador, em que se 
faz a discretização da altura do muro e calcula a resultante de empuxo, pelo método das 
cunhas, para cada altura determinada. A este procedimento chamou-se de “Método das 
Cunhas Iterativo” (MARANGON, 1992, trabalho publicado, direitos reservados).Imaginou-se, desta forma, que o conhecimento da variação (diferença) do valor da 
resultante de empuxo calculada ao longo da altura do muro poderia ser uma informação 
que contribuiria para a determinação do diagrama de distribuição de pressões sobre a 
parede do arrimo, e também do ponto de aplicação de sua resultante. 
 
 Na figura 6. 30 tem-se a divisão da altura do muro em elementos discretos de 
alturas `dh` (constantes), a determinação das forças resultante de empuxo referente a cada 
altura Hi. Obtidas as forças ‘Pi’, aplicadas ao longo de toda a altura do muro a uma 
distância ‘di’ de um ponto na base, obteve-se o ponto de aplicação da resultante geral de 
empuxo aplicando-se uma equação, abaixo, de momento de forças em relação ao ponto 
fixo ‘a’ (figura 6. 30). Isto foi feito conhecida a resultante “R”, correspondente à área do 
diagrama de pressões determinado. 
Σ Pi x di = R x Y 
 
Determinação do diagrama de pressões: 
 Dividiu-se a força Pi pela área de sua aplicação, correspondente a altura ‘dh” 
(calculada por metro linear de muro). Determinou-se, desta forma, a pressão ‘Pdi’ para 
cada elemento ao longo de toda sua altura, obtendo-se assim, o diagrama de pressões como 
ilustrado na figura 6. 30. Observa-se que os valores de pressões obtidos (por exemplo à 
base do muro) serão dependentes da discretização adotada, como discutido posteriormente. 
Figura 6. 29 - Possibilidade de ruptura 
do conjunto muro-solo, segundo uma 
superfície de escorregamento de 
instabilidade do talude. 
 
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EMPUXOS DE TERRA 
 
 174
 
Figura 6. 30 – Resolução iterativa. Discretização na altura; Determinação do ponto 
de aplicação da resultante; Obtenção do diagrama de pressões (MARANGON, 1992). 
 
Para o retroaterro com carregamento externo (pontual, pontual linear, em faixa ou 
seção carregada) fez-se uso da Teoria da Elasticidade, para a avaliação do acréscimo de 
pressão na parede, através da equação proposta por Boussinesq abaixo. 
 
σr = P 3 sen ϕ2 cos ϕ3 – (1-2µ) cos2 ϕ 
 2 π z2 1 + cos ϕ 
 
Onde P: carga unitária pontual aplicada no solo; ϕ: ângulo entre a vertical e a 
direção definida pela carga ao ponto em que se deseja obter o valor da pressão; µ: 
coeficiente de Poisson; Z: profundidade do ponto considerado para o cálculo. 
 
Este acréscimo de pressão foi também calculado para cada altura ‘dh’e somado à 
pressão (empuxo) de terra calculada (sobreposição de efeitos). O ponto de aplicação da 
resultante foi então obtido para tais condições de retroaterro, sendo utilizado pelo programa 
para análise de estabilidade do arrimo. 
 
Características Gerais do Programa 
O programa para análise de empuxo de terra e análise de estabilidade de um muro 
de peso, denominado de ‘EMPUFJF’ (EMPUXO-UFJF), foi escrita na linguagem 
FORTRAN-77, compilado e editado em compilador da Microsoft, para ser executada em 
micro-computadores. A interação do usuário com o programa se realiza através da tela ou 
do arquivo de dados de entrada e saída. Considera os diversos parâmetros da interface solo-
muro, de sobrecarga e da geometria do retroaterro e do muro, que são definidas por 
coordenadas. O retroaterro poderá ser também definido por um ângulo constante em toda 
sua extensão. (figura 6. 31). 
 
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EMPUXOS DE TERRA 
 
 175
 
Figura 6. 31 – Dados de entrada considerados para o problema 
 
O programa, nesta presente versão não considera o desenvolvimento de poropressão 
e a análise se dá em termos de tensões efetivas (parâmetros c’ e ϕ’ - condição drenada) e 
apresenta a opção de considerar a existência de trinca de tração, calculando sua 
profundidade e posicionando-a automaticamente a montante do talude e junto ao arrimo. 
 Para cada superfície arbitrada (inclinação ρi) o programa identificar a poligonal 
fechada referente a sua cunha. A figura 6. 32 destaca uma destas cunhas de empuxo, à 
altura hi, com a consideração de abertura de trincas de tração no solo de retroaterro – 
formada pelo polígono ‘abcdefa’. 
 
 
Figura 6. 32 – Determinação da resultante de empuxo máximo para a altura Hi, 
considerada a abertura da trinca (MARANGON, 1992). 
 
 A partir dos dados de entrada, faz-se o equilíbrio das forças, destacadas na figura 6. 
32. As forças desconhecidas Ri (resultante na base da cunha) e Pai (resultante de empuxo 
no muro) são computadas analiticamente a partir das equações de equilíbrio em x e y: 
 Σ Fx = 0 Pa sen β + Cs cos ρ – R sen γ – Cw cos α = 0 
 Σ Fy = 0 Pa cos ß + Cs ρ + R cos γ + Cw sen α – W = 0 
 
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EMPUXOS DE TERRA 
 
 176
 A procura da superfície de ruptura crítica (inclinação ρmáx) é feita, para cada 
altura, variando-se o ângulo de inclinação da superfície de ruptura plana (ρ), partindo-se de 
um valor de ρ = ϕ até ρ = 80o, de 2o em 2 o. Em seguida para o intervalo [- 2o, + 2o ] da 
superfície de maior resultante obtida nesta primeira análise, varia-se de 0,5o em 0,5o para 
melhor precisão do resultado. 
 Por se tratar de um processo iterativo a precisão dos resultados referentes ao 
diagrama de pressão, está associada ao incremento adotado pelo usuário. Sugere-se adotar 
um ‘dh’ da ordem de 1/60 a 1/400 da altura do muro. 
 
Exemplo de diagrama para Retroaterro Sobrecarregado 
No exemplo apresentado na figura 6. 33, considerou-se para o solo de retroaterro os 
parâmetros (ϕ = 30o , C = 0 e δ = 20o). A seção retangular do carregamento foi dividida em 
10 partes para cada lado (NSQL e NSQW = 10), e assim, foi considerado como tendo 100 
cargas unitárias de 16 kN (PSQR = 16), para um coefíciente de Poisson de 0,5. 
 
 
Figura 6. 33 – Exemplo de retroaterro sobrecarregado. 
 
Verificou-se inicialmente os resultados, adotando um ‘dh’ de 0,75m, para o 
acréscimo de pressão devido a sobrecarga. Em seguida, para o mesmo ‘dh’ foi verificado 
do empuxo do retroaterro e a sobreposição de efeitos. A figura 6. 34 apresenta os 
diagramas obtidos no exemplo. Observa-se que o carregamento externo elevou o ponto de 
aplicação, inicialmente em 2,50m (0,333 de h), para 3,065m, ou seja 0,409 de sua altura. 
 
 
Figura 6. 34 – Pressão na parede sem a consideração do sobrecarregamento, Efeito 
proveniente da sobrecarga e Sobreposição de efeitos de retroaterro e sobrecarga. 
 
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EMPUXOS DE TERRA 
 
 177
Exemplo de diagrama para Retroaterro Irregular 
 Apresenta-se um exemplo (figura 6. 35) com retroaterro irregular definidos por 
coordenadas, sendo adotadas para o solo os parâmetros ϕ’= 35º e C = 0. O exemplo é 
também analisado substituindo-se esta irregularidade por um plano de inclinação constante 
(18,5º) que imagina-se equivalente. Na figura 6. 36 são apresentados os diagramas de 
pressão (empuxo) para ambas as considerações de retroaterro, e para este sendo horizontal. 
 Os diagramas de pressão para o retroaterro definido por um plano segundo um 
ângulo constante para a condição horizontal são triangulares e têm o seu ponto de aplicação 
à 1/3 de sua altura (0,333 h). Para a consideração da irregularidade do retroaterro, no 
entanto, o diagrama não apresentou a mesma linearidade e teve a aplicação de sua 
resultante elevada à 0,364 de sua altura. 
. 
 
Figura 6. 35 – Exemplo de retroaterro definido por coordenadas 
 
Na figura 6. 36, apresenta-se, os ângulos de inclinação das superfície de ruptura 
crítica (ρmax), para cada altura ‘Hi’ considerada. Observa-se que, para o retroaterro plano, 
este ângulo é constante, para qualquer altura de muro considerada. Para o retroaterro 
irregular, este ângulo variou em função da altura consideradana determinação da cunha de 
empuxo crítica. 
 
Figura 6. 36 – Exemplo de retroaterro irregular. Diagramas de pressões (empuxo) e 
Variação da inclinação da cunha de empuxo máximo (ρmáx) com a altura. 
 
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EMPUXOS DE TERRA 
 
 178
O programa além de obter a cunha de empuxo máxima (OPÇÃO 1) e o diagrama de 
empuxo (OPÇÃO 2), utilizando o “método das cunhas iterativo”, conforme apresentado 
por MARANGON (1992), analisa a condição de estabilidade de um muro de peso 
(OPÇÃO 3), conforme descrito. 
 
Na análise da estabilidade considera as formas mostradas na figura 6. 37, onde Pw é 
a resultante de pressão da água preenchendo a trinca de tração, Phs é a resultante de 
sobrecarga no terrapleno e Pp é a resultante de empuxo passivo. 
 
 
Figura 6. 37 – Forças consideradas na análise de estabilidade do muro de arrimo. 
 
Assim, as os fatores de segurança para o tombamento e deslizamento do muro 
podem ser escritos como abaixo. O valor do fator de segurança a ser adotado deve ser 
avaliado pelo projetista. É comum considerar satisfatório quando este valor supera 1,50. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPACIDADE DE CARGA DOS SOLOS 
 
 179
 
 
Unidade 7 – CAPACIDADE DE CARGA DOS SOLOS 
 
 
 
7.1 – Introdução e definições 
 
O problema da determinação da capacidade de carga dos solos é dos mais 
importantes para o engenheiro, que atua na área de construção civil, particularmente 
para o desenvolvimento de projeto de fundações. 
 
As fundações superficiais são aquelas em que a profundidade de assentamento da 
fundação no solo é menor ou igual à sua largura. Um outro tipo de fundação, chamada 
profunda, possui o comprimento maior que sua largura (figura 7. 01). Estas serão melhor 
estudadas nas disciplinas referentes à Fundações. 
 
 
 
Fundações Superficiais ou Diretas 
 
 
Fundações Profundas 
 
Figura 7. 01 - Principais tipos de fundações. Superficiais: bloco, sapata, viga e 
radier, Profundas: estacas metálicas, pré-moldadas, moldadas “in situ”, escavadas - 
tubulões. 
 
 Ressalta-se que na determinação da capacidade de carga devem-se considerar 
duas condições fundamentais de comportamento (ou restrições): ruptura e 
deformação. 
Definições mais especificas, sobre “capacidade de carga” aplicáveis tanto às 
fundações superficiais quanto às profundas são ilustradas na figura 7. 02. 
 
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CAPACIDADE DE CARGA DOS SOLOS 
 
 180
 Para este estudo são previamente definidos dois critérios de ruptura: ruptura 
“generalizada” – frágil (curva C1) e ruptura “localizada” – plástica (curva C2), definidos 
mais adiante no item 7.4 , ilustrado na figura 7. 06. 
 
* Capacidade de carga de ruptura (ou limite) – Qr: é a carga limite (ou máxima) a 
partir da qual a fundação provoca a ruptura do terreno e se desloca sensivelmente (ruptura 
frágil ou “generalizada”), ou se desloca excessivamente (ruptura plástica ou “localizada”), 
o que pode provocar a ruína da superestrutura. 
 
 * Capacidade de carga de segurança à ruptura – Qseg: é a maior carga (transmitida 
pela fundação) a que o terreno resiste, com segurança, à ruptura, independentemente das 
deformações que possam ocorrer. 
FS
Q
Q r
seg = , sendo FS o fator de segurança à ruptura. 
 
 * Capacidade de carga admissível – Qadm: é a maior carga transmitida pela 
fundação que o terreno admite, em qualquer caso, com adequada segurança à ruptura e 
sofrendo deformações compatíveis com a sensibilidade da estrutura aos deslocamentos da 
fundação.: 
 
Deve-se ter, portanto: Qadm ≤ Qseg 
 
 
Figura 7. 02 – Curva carga-recalque de uma fundação em um dado terreno (solo com 
ruptura do tipo frágil – valor máximo bem pronunciado) 
 
 No caso de fundações diretas tanto se pode trabalhar com carga Q como pressões 
médias p, sendo a pressão média: 
 
BxL
Q
baseárea
Q
p == 
 
Não são muito comuns os acidentes de fundação devidos à ruptura do terreno. Mais 
comuns são os causados por recalques excessivos. Um exemplo clássico da literatura 
 
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CAPACIDADE DE CARGA DOS SOLOS 
 
 181
técnica, relatado pelo professor Homero Pinto Caputo, é o caso indicado esquematicamente 
na figura 7. 03. Trata-se de um conjunto de silos construído sobre um radier geral, com 23 
x 57 m. 
 
Figura 7. 03 – Acidentes de fundação: ruptura do terreno (CAPUTO, 1986) 
 
Em conseqüência de uma dissimetria de carregamento, houve a ruptura do solo e o 
colapso da obra, que em 24 horas tombou para a posição mostrada. Provavelmente a 
elevação lateral do nível do solo ajudou a mantê-lo, impedindo que tombasse 
completamente. Entre nós, um exemplo de acidente devido à ruptura de fundação foi o 
caso do Edifício São Luiz Rei, no Rio de Janeiro, ocorrido em 30/01/58. O controle de 
recalques, iniciado no dia 27 do mesmo mês, registrou uma velocidade de recalques de 2 
mm/h, atingindo no dia do acidente a 4 mm/h. 
 
7.2 – Pressão de ruptura x pressão admissível 
 
A pressão de ruptura ou capacidade de carga de um solo é, assim, a pressão pr, que 
aplicada ao solo causa a sua ruptura. Adotando um adequado coeficiente de segurança, da 
ordem de 2 a 3, obtém-se a pressão admissível, a qual deverá ser “admissível” não só à 
ruptura com também às deformações excessivas do solo. 
 
O cálculo da capacidade de carga do solo pode ser feito por diferentes métodos e 
processos, embora nenhum deles seja matematicamente exato. 
 
Coeficiente de segurança – Não é simples a escolha do adequado coeficiente de 
segurança nos cálculos de Mecânica dos Solos. Na literatura técnica encontramos 
numerosas regras particulares à natureza de cada obra. Para um estudo moderno do assunto 
vejam-se os “critérios” de Brinch Hansen, como mencionado pelo Professor Dirceu de 
Alencar Velloso em uma conferência. Um estudo abrangente do assunto é apresentado pelo 
Prof. A. J. da Costa Nunes em Acidente de Fundações e Obras de Terra (Conferência na 
Sociedade Mineira de Engenheiros – 1979). 
 
Tendo em vista que os dados básicos necessários para o projeto e execução de uma 
fundação provêm de fontes mais diversas, a escolha do coeficiente de segurança é de 
grande responsabilidade. A tabela 7. 01 resume os principais fatores a considerar, e a tabela 
7. 02 apresenta valores sugeridos de fatores de segurança a considerar. 
 
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CAPACIDADE DE CARGA DOS SOLOS 
 
 182
Tabela 7. 01 – Fatores que influenciam na escolha do coeficiente de segurança 
Fatores que influenciam a 
escolha do coeficiente de 
segurança 
COEFICIENTE DE SEGURANÇA 
 
 PEQUENO GRANDE 
Propriedades dos materiais Solo homogêneo 
Investigações geotécnicas amplas 
Solo não-homogêneo 
Investigações geotécnicas escassas 
Influências exteriores tais como: 
água, tremores de terra, etc. 
Grande número de informações, 
medidas e observações disponíveis 
Poucas informações disponíveis 
Precisão do modelo de cálculo Modelo bem representativo das 
condições reais 
Modelo grosseiramente 
representativo das condições reais 
Conseqüências em caso de 
acidente 
Conseqüências 
financeiras limitadas e 
sem perda de vidas 
humanas 
Conseqüências 
financeiras 
consideráveis e risco 
de perda de vidas 
humanas 
Conseqüências 
financeiras desastrosas e 
elevadas perdas de vidas 
humanas 
 
 Tabela 7. 02 – Valores de Fatores de segurança a considerar 
Categoria Estruturas Características Prospecção 
 Típicas de Categoria Completa Limitada 
 
 
A 
Pontes Ferroviárias 
Alto-Fornos 
ArmazénsEstruturas Hidráulicas 
Muros de Arrimo 
Silos 
 
Provável ocorrer as máximas 
cargas de projeto; conseqüência de 
ruptura são desastrosas 
3,0 4,0 
 
B 
Pontes Rodoviárias 
Edifícios Públicos 
Indústrias Leves 
As máximas cargas de projeto 
apenas eventualmente podem 
ocorrer; conseqüências de ruptura 
são sérias 
2,5 3,5 
C Prédios de Escritórios 
e/ou de Apartamentos 
Dificilmente ocorrem as máximas 
cargas de projeto. 
2,0 3,0 
 
A determinação da capacidade de carga pode ser feita tanto teoricamente, 
empregando fórmulas teóricas ou semi-empíricas existentes ou experimentalmente, através 
da execução de provas-de-carga. A seguir serão apresentadas as teorias de Rankine e a 
teoria de Terzaghi para o cálculo da capacidade de carga dos solos. 
 
7.3 - Fórmula de Rankine 
 
Para deduzi-la, consideremos em um solo não coesivo uma “fundação corrida”, ou 
seja, uma fundação com forma retangular alongada. 
 
Em correspondência ao vértice A, assinalemos as três zonas da Figura 7. 04. 
Escrevendo a condição de equilíbrio entre a pressão da zona 1 que suporta a fundação e a 
pressão da zona 2 contida pela altura h de terra, tem-se: 
 
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CAPACIDADE DE CARGA DOS SOLOS 
 
 183
 
 
Figura 7. 04 – Fórmula de Rankine 
ar K.p'=σ (como visto na unidade 6) 
 


 ϕ−=σ
2
º45.tg.p' 2
r e 
 


 ϕ−σ=σ
2
º45.tg'.'' 2 
 
admitindo-se que se estabeleçam os 
estados de Rankine. 
 
Como se sabe, quando uma massa de solo se expande (pressões ativas) ou se contrai 
(pressões passivas), segundo Rankine, formam-se planos de ruptura definidos por um 
ângulo de 
2
º45
ϕ+ ou 
2
º45
ϕ− com a horizontal, de acordo com a Figura 7. 05. 
Ativo Passivo 
 
Figura 7. 05 – Inclinação dos planos de ruptura 
 
Para que não ocorra ruptura do terreno deve-se ter: 
h.'' γ≤σ , ou h.
2
º45.tg.p 4
r γ≤

 ϕ− 
Daí: 24 ..
2
º45... pr Khtghp γϕγ =

 += , que é a pressão limite de ruptura de Rankine 
 
Pela aplicação do teorema dos estados correspondentes de Caquot, pode-se 
generalizar esta fórmula aos solos coesivos. Com efeito, substituindo pr por: 
 
ϕ
+
tg
c
pr e γ.h por 
ϕ
+γ
tg
c
h. ter-se-á: 
 2
pr K.
tg
c
h.
tg
c
p 


ϕ
+γ=
ϕ
+ , ou 
 
 
 que é expressão para o empuxo. 
 
Para solos puramente coesivos (ϕ = 0º): pr = γh + 4c. 
Para h = 0: pr = 4c, valor considerado bastante conservador. 
( )1K.
tg
c
K.h.p 2
p
2
pr −
ϕ
+γ= 
 
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CAPACIDADE DE CARGA DOS SOLOS 
 
 184
7.4 - Fórmula de Terzaghi 
 
 A teoria de Terzaghi (1943), desenvolvida baseada nos estudos de Prandtl (1920) 
para metais, é a mais difundida para o caso de fundações diretas ou rasas. 
Terzaghi estudou a capacidade de carga de ruptura para este tipo de fundações em 
solos de diversas categorias, ou seja, solos com atrito e coesão (c, ϕ), solos não-coesivos ou 
granulares (c = 0) e solos puramente coesivos (ϕ= 0). 
 
 Para seu estudo foram definidos dois critérios de ruptura: ruptura “generalizada” – 
frágil (curva C1) e ruptura “localizada” – plástica (curva C2), definidos na figura 7. 06. 
 
 
Figura 7. 06 – Critério de ruptura de Terzaghi 
 
Como já visto na unidade 05, nos solos de ruptura tipo C1, à medida que a carga (ou 
pressão) aumenta, o material resiste, deformando-se relativamente pouco, vindo a ruptura 
acontecer quase que bruscamente. É como se toda a massa rompesse a um só tempo, 
generalizadamente. A pressão de ruptura é, nesse caso, bem definida, dado pelo valor pr do 
gráfico. Quando atingida, os recalques tornam-se incessantes e é denominada por ruptura 
generalizada, sendo típica de solos pouco compressíveis (compactos ou rijos). 
Nos solos de ruptura tipo C2, as deformações são sempre grandes e aceleradamente 
crescentes. Não há uma ruptura definida. É como se o processo de ruptura fosse dado 
paulatina e constantemente, desde o início do carregamento, em regiões localizadas e 
dispersas na massa do solo. A pressão de ruptura para este caso é dada por p’r que, segundo 
Terzaghi, corresponde ao ponto “a”, em que há uma mudança no gráfico, com passagem da 
curva inicial para um trecho aproximadamente retilíneo final. Este tipo de ruptura é 
denominado por ruptura localizada, sendo típica de solos muito compressíveis (fofos ou 
moles). 
 
Quando a ruptura é atingida, o terreno desloca-se, arrastando consigo a fundação, 
como mostrado na figura 7. 07. O solo passa, então, do estado “elástico” ao estado 
“plástico”. O deslizamento ao longo da superfície ABC é devido à ocorrência de tensões de 
cisalhamento (τα) maiores que a resistência ao cisalhamento do solo (τr), como já 
conceituado na unidade 04 e 05 destas notas de aula. 
 
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CAPACIDADE DE CARGA DOS SOLOS 
 
 185
 
Figura 7. 07 – Solo arrastando a fundação. 
 
Recentemente tem sido mencionado um outro tipo de ruptura, que ocorre por 
puncionamento. A teoria de Terzaghi parte de considerações semelhantes às de Prandtl, 
relativas à ruptura plástica dos metais por puncionamento. Retomando esses estudos, 
Terzaghi aplicou-os ao cálculo da capacidade de carga de um solo homogêneo que suporta 
uma fundação corrida e superficial. 
 
Segundo esta teoria, o solo imediatamente abaixo da fundação forma uma 
“cunha” , que em decorrência do atrito com a base da fundação se desloca verticalmente, 
em conjunto com a fundação. O movimento dessa “cunha” força o solo adjacente e produz 
então duas zonas de cisalhamento, cada uma delas constituída por duas partes: uma de 
cisalhamento radial e outra de cisalhamento linear (figura 7. 08). 
 
 
Figura 7. 08 – Zonas de cisalhamento radial e linear 
 
Assim, após a ruptura, desenvolvem-se no terreno de fundação três zonas: I, II e III, 
sendo que a zona II admite-se ser limitada inferiormente por um arco de espiral 
logarítmica, como mostra a figura 7. 09. 
 
 
Figura 7. 09 – Zonas de ruptura segundo teoria de Terzaghi 
 
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CAPACIDADE DE CARGA DOS SOLOS 
 
 186
A capacidade de suporte da fundação, ou seja, a capacidade de carga, é igual à 
resistência oferecida ao deslocamento pelas zonas de cisalhamento radial e linear. 
 
Da Figura 7. 09, obtém-se: 
 
( )ϕ
=
cos
b
AB , onde ϕ é o ângulo de atrito inteiro do solo. 
Sobre AB , além do empuxo passivo Ep, atua a força de coesão: 
( )ϕcos
.
.
cb
ABcC == 
 
Para equilíbrio da cunha, de peso P0, tem-se: 
 
( ) 0E.2sen.C.2PP p0 =−ϕ−+ ou ( ) 0p PE.2sen.C.2P −+ϕ= 
 
Ou ainda: 
( ) ( ) ( )( ) γϕ−+ϕ


ϕ
= .tg.b.b.2.
2
1
E.2sen.
cos
b
.2P p ou 
 
( ) ( )ϕγ−+ϕ= tg.b.E.2tg.c.b.2P 2
p , sendo γ o peso específico. 
 
Daí: ( ) ( )ϕγ−+ϕ== tg.b..
2
1
b
E
tg.c
b.2
P
P p
r 
 
Entrando-se com a consideração do valor de Ep, que omitiremos para não alongar, a 
expressão final obtida por Terzaghi escreve-se: 
 
 
 
 
A fórmula obtida refere-se a fundações corridas, onde Nc, Nq e Nγ são fatores de 
capacidade de suporte, função apenas do seu ângulo de atrito (ϕ) do solo e definidos por: 
 
 ( ) 

 ϕ+= ϕπ
2
º45.tg.eN 2tg.
q Segundo Reisnner (1924), adotado 
 por Vésic (1975) 
( ) ( )ϕ−= gcot.1NN qc 
 
( ) ( )ϕ+=γ tg.1N.2N q Segundo Meyerhof (1955) 
 
Estes valores são apresentados na tabela 7.03. 
qcr N.h.N.b.N.cp γ+γ+= γ 
 
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CAPACIDADE DE CARGA DOS SOLOS 
 
 187
Para os dois tipos de ruptura obtém-se, em função de ϕ, osvalores de Nc, Nq e Nγ, 
fornecidos pela figura 7. 10, segundo Terzaghi e Peck, (1948). 
 
Figura 7. 10 – Valores dos fatores de capacidade de carga - Nc, Nq e Nγ (φ = ϕ) 
 
 
A análise até aqui exposta refere-se ao caso de “ruptura generalizada”. Em se 
tratando de “ruptura localizada”, os fatores a serem usados serão Nc’, Nγ’e Nq’ (Figura 
7.9), adotando-se um ϕ’ dado por ( ) ( )ϕ=ϕ tg.
3
2
'tg e c.
3
2
'c = . Os valores N’ são obtidos 
entrando-se com ϕ’ nas linhas cheias ou com ϕ nas linhas tracejadas. 
 
Explicando o significado dos termos da fórmula de Terzaghi, pode-se escrever, de 
acordo com a figura 7. 11, a expressão de cálculo da capacidade de carga do solo como a 
soma de três parcelas, sendo elas referentes à contribuição da: Coesão do solo de contato 
da fundação, Atrito do solo de contato da fundação e sobrecarga do solo acima da cota de 
assentamento da fundação. 
} 4847648476
aargsobrec
q2
atrito
1
coesão
cr N.h.N.b.N.cp γ+γ+= γ 
 
 
Figura 7. 11 – Definições de parâmetros 
a serem considerados na determinação 
da capacidade de carga do solo de uma 
fundação superficial (direta ou rasa). 
 
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CAPACIDADE DE CARGA DOS SOLOS 
 
 188
- Casos particulares 
Para os solos puramente coesivos, tem-se ϕ = 0º. Logo, Nq = 1,0; Nγ = 0 e Nc = 5,7, 
obtendo-se: 
h.c.7,5pr γ+= 
 
 Se h = 0: c.7,5pr = , para fundações corridas e c4,7c.3,1x7,5pp rrrb === , para 
fundações quadradas e circulares. 
 Para as areias (c=0), tem-se: q21r N.h.N.b.p γ+γ= γ , mostrando que a capacidade 
de carga das areias é proporcional à dimensão da fundação e aumenta com a profundidade. 
 
- Ocorrência do N.A. 
Abaixo do nível d’água deve-se usar o peso específico de solo submerso, o que 
reduzirá o valor da capacidade de carga. 
 
Fundações de seção diferente (não corrida) 
Para fundações de base quadrada de lado 2b tem-se: 
 
 
 
E para fundações com base circular de raio r: 
 
 
 
 
 
Fundações corridas 
Para fundações corridas de comprimento L e largura 2b, em argilas (ϕ = 0º): 
h.N.cp cr γ+= 
Introduzindo, agora, as razões 
L
b.2
 e 
b.2
h
 (que deverá ser menor que 2,5), o valor 
de Nc é obtido pela fórmula de Skempton: 


 +

 +=
b.10
h
1.
L
b.2
5Nc 
 
 
7.5 - Fórmula generalizada ( Fórmula de Meyerhof) 
 
Pela fórmula de Terzaghi vimos que para carga vertical centrada e fundação 
alongada, a capacidade de carga dos solos é dada pela fórmula: 
qcr N.h.N.B..
2
1
N.cp γ+γ+= γ , onde B, neste caso, é a largura total da fundação. 
Obs.: Veja que b = ½ B, sendo “b” a semi-largura 
qcrb N.h.N.b..8,0N.c.3,1p γ+γ+= γ 
qcrb N.h.N.r..6,0N.c.3,1p γ+γ+= γ 
 
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CAPACIDADE DE CARGA DOS SOLOS 
 
 189
Generalizando-a para as fundações de diferentes formas, que tem a sua origem 
principalmente nos estudos de Meyerhof, ela se escreve: 
 
 
 
 
Os fatores de capacidade N são dados pela tabela 7. 03 (proposição de Meyerhof 
como se vê na figura 7. 12) e os coeficientes de forma pela tabela 7. 04. 
 
Proposição de Meyerhof: a sobrecarga ao nível da base variável é correspondente 
à sobrecarga na profundidade da fundação, junto a esta e indo a zero a uma determinada 
distância. 
 
Figura 7. 12 – Zonas de ruptura segundo a proposição de Meyerhof 
 
Tabela 7. 03 – Valores dos fatores de capacidade segundo proposição de Meyerhof, a partir 
de Vésic (1975) 
ϕ 0º 5º 10º 15º 20º 22,5º 25º 27,5º 30º 32,5º 35º 37,5º 40º 42,5º 
Nc 5,1 6,5 8,3 11,0 14,8 17,5 20,7 24,9 30,1 37,0 46,1 58,4 75,3 99,2 
Nq 1,0 1,6 2,5 3,9 6,4 8,2 10,7 13,9 18,4 24,6 33,3 45,8 64,2 91,9 
Nγ 0,0 0,3 0,7 1,6 3,5 5,0 7,2 10,4 15,2 22,5 33,9 54,5 81,8 131,7 
 
Tabela 7. 04 – Valores dos coeficientes de forma 
Forma da 
fundação 
Coeficiente de forma 
sc sq sγγγγ 
Corrida 1,0 1,0 1,0 
Retangular (b 30 > 4,80 > 3,60 
 
Tabela 7. 06 - Relações entre índice de resistência à penetração (SPT) com as taxas 
admissíveis para solos arenosos (Maria José Porto) 
Areia No de golpes SPT Tesão Admissível 
(Kg/cm2) 
Fofa ≤ 4 50 > 6,0 
 
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CAPACIDADE DE CARGA DOS SOLOS 
 
 191
7.7 – Exercícios de avaliação da capacidade de carga dos solos 
 
São apresentados neste item alguns exemplos de avaliação da capacidade de suporte 
dos solos (determinação da “taxa de trabalho”) e de dimensionamento geotécnico de 
fundações superficiais. 
 
Considere os resultados de SPT para os primeiros metros de prospecção, realizado 
em um terreno praticamente plano. 
 
 
 
Para as proposições apresentadas, sugere-se ao estudante observar os fatores que 
influem no dimensionamento geotécnico da fundação e conseqüentemente na adoção das 
várias opções para o seu projeto. São realizadas várias análises, com finalidade didática, 
contribuindo assim na fixação dos conceitos, além de serem feitas várias hipóteses com 
finalidade de comparações de resultados. As tabelas de parâmetros serão fornecidas à parte. 
 
1º EXERCÍCIO 
Determine a capacidade de carga para uma sapata corrida, assente no horizonte de areia 
(para a mínima escavação), com 2,0 m de largura (em seguida será feito o cálculo 
considerando a hipótese dos materiais de subsolo ocorrem em posição inversa). 
 
Avaliação dos parâmetros (valores obtidos por correlação empírica - tabelas) 
a) Argila 
N = 6 => “média” 
 
γ = 1,6 t/m³ 
c = 2,5 t/m³ 
φ = 0 
 
b) Areia 
N = 9 => “med. compacta” 
 
γ = 1,9 t/m³ 
c = 0 
φ = 35º 
 
 
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 192
capacidade de carga ? 
 
qr = c . Nc + γa . ha . Nq + γb . b*. Nγ Sc = 1 Nc = 58 
qr = 0 +1,6 x 1,5 x 41 + 1,9 x 1,0 x 42 Sγ = 1 Nγ = 42 
qr = 98,4 + 79,8 = 178,2 t/m² Sq = 1 Nq = 41*b = 1/2 B ruptura generalizada 
 “areia medianamente compacta” 
 
qr = 98,4 t/m² + 79,8 t/m² devido à base (largura – “atrito na base”) 
 
 devido à sobrecarga (profundidade de assentamento) 
 
qr = 178,2 t/m² = 17,8 kgf/cm² 
 
FS
qr
adm =σ para FS = 3,0 (Prédio de Apartamentos – Prospecção limitada - 
Parâmetros estimados por tabelas) 
2/9,5
3
8,17
cmkgf==σ 
 
2º EXERCÍCIO 
Determine a capacidade de carga para o exemplo anterior considerando um NA na base 
da camada de areia (ao nível de assentamento). 
 
 Camada b = areia γsub = ? γsub = γsat - γa 
 
 γsub = 2,0 – 1,0 γsat > γnat 
 γsub = 1,0 t/m² se γsat = 2,0 t/m³ 
 
 qr = 98,4 + γb b Nγ = 98,4 + 1,0 x 1,0 x 42 = 140,4 = 14,0 kgf/cm² 
 2/66,4
3
14
cmkgf==σ 
 
 Tem-se valores de σ sob NA sempre menores que na condição de não ocorrer. 
 
3º EXERCÍCIO 
Dimensione agora esta sapata corrida para o valor da capacidade de carga (taxa 
admissível σ ) calculado no exemplo anterior, para suportar 30t/m. 
 
 
σ
σ F
A
A
F =⇒= F - carregamento na fundação (adotado = 30 t/m) 
 σ - taxa (calculada = 4,66 kgf/cm²) 
 
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 193
Só que )(bfpe
FS
p
r
r ==σ (pela teoria de Terzaghi) 
 
 dimensão da Fundação 
 
Desta forma faz-se necessário arbitra um valor esperado para “b” e calcular o valor de σ 
 
A partir de σ , calcula-se a área necessária be
F
A
σ
= 
 
Se o valor de “b” distanciar muito do “b” anteriormente arbitrado no cálculo da taxa 
σ , recalcular o valor de pr e σ com este novo “b” e depois a nova área 
σ
F
A = e b ( a 
dimensão da fundação) até convergir o valor. 
 
Obs.: O dimensionamento de Fundações rasas em areia poderia ser feito arbitrando-
se o valor da capacidade de suporte do solo (taxa) e determinado diretamente o valor de b, 
calculado a área necessária para a fundação (avaliação de valor aproximado – empírico). 
 
 
** Considere agora a hipótese dos dois materiais ocorrem em posição inversa 
 
 b) areia 
a) argila 
 
“coeficientes de forma” diferentes – “argila” Nc’ = 5,7 
 Ruptura Nγγγγ’ = 0 
 Localizada Nq’ = 1 
 
 
4º EXERCÍCIO (camadas de solos invertidas, assente em argila e não em areia) 
Determine a capacidade de carga do solo com os dados apresentados no 1º exercício 
 
 γγγ NbNhNcq aqbacar ..... ++= 0 
 
 qr = 2,5 x 5,7 + 1,9 x 1,5 x 1,0 
 qr = 14,25 + 2,85 = 17,1 = 1,71 kgf/cm² 2/57,0
3
71,1
cmkgf==σ 
 
 parcela parcela da 
 da coesão sobrecarga 
 
se coesão pouco maior p. ex. c = 3,5 t/m² 
22 /76,0/28,2 cmkgfecmkgfqr == σ 
 
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 194
5º EXERCÍCIO 
Refaça o exercício anterior (40) para argila com N-SPT = 12, no nível da sapata 
 
N = 12 consistência “rija” 
Parâmetros γ adotado 1,9 t/m³ 
 c 2/75,0 cmkgc ≅ = 7,5 t/m² 
 
 
então: qr = 5,7 x 7,5 + 1,9 x 1,5 x 1,0 + 0 
 
 qr = 42,75 + 2,85 = 45,8 = 5,58 kgf/cm² 
 parcela da coesão maior 
 
2/52,1
3
58,4
cmkgf==σ 
 
obs.: 
O dimensionamento da capacidade de carga (e conseqüente taxa 
admissível σ ) pode ser calculado para uma argila – desconsiderado o ângulo de atrito 
(φ=0), independente da dimensão da fundação. 
A partir do valor de σ obtém-se a sua dimensão b, calculando-se a área 
necessária 
σ
F
A = . 
 
Conclusões: 
A capacidade de carga de uma “argila” não é proporcional à dimensão da 
Fundação, só sendo função da pressão de “sobrecarga” e do valor da “coesão”. 
A capacidade de carga de uma “areia” é proporcional à dimensão da Fundação e 
da pressão de “sobrecarga”. 
 
6º EXERCÍCIO 
Qual a dimensão que deve ter uma sapata quadrada para uma carga centrada de 11,8 t, a 
uma profundidade de 1,5 m, em uma argila que se pode adotar uma coesão de 50 kPa. 
 
Argila 
Parâmetros φ = 0 (desprezado) 
 γ = 1,8 t/m³ (Valor adotado) 
 c = 50 kPa = 5,0 t/m² 
 
 0 
 qr = 1,3 . c . Nc + γ . h . Nq + 0,8 . γ . b . Nγ 
 qr = 1,3 x 5 x 5,7 + 1,8 x 1,5 x 1 + 0 Sc = 1,3 
 qr = 37,05 + 2,7 = 39,75 t/m² obs. Sq = 1,0 
 =3,97 gf/cm² Sγ = 0,8 
 
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 195
 2/32,1
3
97,3
cmkgf
FS
pr ===σ Valores práticos “empíricos” utilizados 
 para argilas = 1,0 a 1,5 Kgf/cm² 
Cálculo da área necessária e de “L” 
 
2
2
4,8939
/32,1
11800
cm
cmkgf
kg
A
F
A
A
F ==⇒=⇒=
σ
σ 
cmLAL 5,94=⇒= 
 Logo: 
 
 
Se a profundidade de assentamento fosse de 2,0m ? 
qr = 37,05 + 1,8 x 2,0 x 1 = 40,65 = 4,06 kgf/cm² 
2/35,1 cmkgf=σ pouca diferença, no caso de argila, se mantido o valor da coesão 
constante, o que não ocorre na prática. Os valores de coesão são crescentes com a 
profundidade. 
 
 Realizado o dimensionamento Geotécnico, faz-se necessário dimensionar a 
fundação enquanto elemento estrutural. Assim uma série de conhecimentos 
relacionados a aspectos estruturais associado às diversas soluções a serem adotadas em um 
projeto de fundação devem ser observados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Este assunto é abordado, 
nesta Universidade, na disciplina de 
“Fundações”, oferecida pelo 
Departamento de Estruturas. 
 
Uma outra disciplina, 
oferecida como eletiva, por este 
professor é a “Geotecnia de 
Fundações”, em que são estudados 
aspectos geotécnicos que estão 
envolvidos na discussão de projetos 
desta natureza. 
 
 Com objetivo meramente 
ilustrativo, apresenta-se ao lado uma 
sapata, em dimensões próximas a 
obtida no último exercício resolvido, 
detalhada a sua armadura. 
 
 
 
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CAPACIDADE DE CARGA DOS SOLOS 
 
 196
7.8 – Determinação da capacidade de carga (taxa de trabalho) de fundações superficiais 
a partir do ensaio de placa 
 
 
(Segundo a NBR 6489, apresentado por Bueno, B.S. e outros, Pub. 204 - UFV) 
 
O ensaio de placa, conforme croqui da figura 7. 14, constitui um modelo clássico de 
análise da capacidade de carga dos solos. 
Os valores de σr e σ r
, refletem medidas das tensões de ruptura dos solos para as 
condições de rupturas geral e local. No primeiro caso, há uma clara destinação do ponto de 
ruptura; segundo, o máximo recalque tolerável (δmax) é que irá determinar a carga que o 
solo deve suportar em face da obra projetada. 
 
 
Figura 7. 14 – Aspecto do carregamento da placa e das curvas tensão x recalque, obtidas no 
ensaio de campo. 
 
Execução do ensaio de placa. 
 
A NBR 6489 fixa a metodologia a ser observada paraa realização da prova de 
carga sobre placa. 
A placas deve ser rígida e não ter área inferior a 0,5 m2; será colocada no fundo de 
um poço de base nivelada ocupando toda a área. A relação entre a largura e a profundidade 
do poço para a prova deverá ser a mesma que a relação existente entre a largura e a 
profundidade da futura fundação. 
 
A carga será aplicada em estádios sucessivos de, no mínimo, 20% da taxa de 
trabalho admissível provável do terreno. 
 
Em cada estádio de carga, os recalques, com precisão de 0,01m, serão lidos 
imediatamente após a aplicação da carga e após intervalos de tempo sucessivamente 
dobrados (1, 2, 4, 8, 16, ...n minutos). Só será aplicado novo acréscimo de carga depois de 
verificar a estabilidade dos recalques (com tolerância máxima de 5% do recalque total 
 
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CAPACIDADE DE CARGA DOS SOLOS 
 
 197
neste estádio, calculado entre duas leituras sucessivas). O dispositivo de leitura dos 
recalques deve estar acoplado em barras apoiadas a uma distância de 1,5 vezes o diâmetro 
da placa, distância esta medida a partir do centro da placa. 
O ensaio deverá ser levado até, pelo menos, observar-se um recalque total de 
25mm ou até atingir-se o dobro da taxa admitida para o solo. 
A carga máxima alcançada no ensaio, caso não se vá até a ruptura, deverá ser 
mantida, pelo menos, durante 12 horas. 
A descarga deverá ser feita em estádios sucessivos, não superiores a 25% da carga 
total, lendo-se os recalques de maneira idêntica à do carregamento e mantendo-se cada 
estádio até a estabilização dos recalques, dentro da precisão requerida. A figura 7. 15 
ilustra os resultados obtidos de uma prova de carga. 
 
 
 
Figura 7. 15 – Resultados obtidos de uma prova de carga. 
 
 
Interpretação dos resultados do ensaio de prova de carga . 
 
O critério convencional não considera a diferença de comportamento (resultante dos 
fatores já citados nos métodos de determinação da capacidade de carga) da placa e da 
sapata, e pode ser visualizada na figura 7. 16. 
 
 
i) se ocorre a ruptura do solo (ruptura geral) 
 
σ =
p
FS
r ; FS=2,0 
 
 
 
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CAPACIDADE DE CARGA DOS SOLOS 
 
 198
 
Figura 7. 16 – Curvas tensão x recalque obtidas para diferentes solos, quanto ao tipo 
de ruptura verificado para o solo de fundação. 
 
ii) se ocorre uma deformação excessiva (ruptura local ou puncionamento) 
 
δmax = ? 
δmax = 25 mm σ
σδ
σδ
=
=
=



25
10
mm
FS
mm
 ; FS = 2,0 
 
A taxa de trabalho será o menor valor dentre a tensão que provoca um recalque de 
25 mm reduzida por um fator de segurança e a tensão que provoca um recalque de 10mm. 
 
iii) quando a reação é insuficiente. 
 
A taxa de trabalho será obtida dividindo-se pelo coeficiente de segurança 
a tensão máxima atingida no ensaio, σn, que deverá atuar por um tempo mínimo de 
12horas. A taxa assim obtida deverá ser menor do que a tensão que provoca um recalque de 
10 mm. 
σ =
p
FS
r ; FS=2,0 
 
σ σδ≤ = 10mm 
 
 
 
Fim 
M. Marangon, 13/01/201313
C) Estrutura do solo: 
 
 A combinação de forças de atração e repulsão entre as partículas resulta a estruturas 
dos solos, que se refere à disposição das partículas na massa de solo e as forças entre elas. 
A amostra com estrutura dispersa terá uma permeabilidade menor que a floculada. 
 
D) Grau de saturação: 
 
 O coeficiente de permeabilidade de um solo não saturado é menor do que o que ele 
apresentaria se estivesse totalmente saturado. Essa diferença não pode, entretanto ser 
atribuída exclusivamente ao menor índice de vazios disponível, pois as bolhas de ar 
existentes, contidas pela tensão superficial da água, são um obstáculo para o fluxo. 
Entretanto, essa diferença não é muito grande. 
 
E) Estratificação do terreno: 
 
Em virtude da estratificação do solo, os valores de k são diferentes nas direções 
horizontal e vertical, como mostra a Figura 1.6. Chamando-se de k1, k2, k3, ... os 
coeficientes de permeabilidade das diferentes camadas e de e1, e2, e3, ... respectivamente as 
suas espessuras, deduzamos as fórmulas dos valores médios de k nas direções paralela e 
perpendicular aos planos de estratificação. A permeabilidade média do maciço depende da 
direção do fluxo em relação à orientação das camadas. 
 
 
Figura 1.6 – Direção do fluxo nos terrenos estratificados 
 
 E.1) Permeabilidade paralela à estratificação: na direção horizontal, todos os 
estratos têm o mesmo gradiente hidráulico i. Portanto demonstra-se que: 
∑
∑
=
==
n
1i
i
n
1i
ii
H
h.
h.k
k 
 E.2) Permeabilidade perpendicular à estratificação: na direção vertical, sendo 
contínuo o escoamento, a velocidade v é constante. Portanto demonstra-se que: 
∑
∑
=
=



=
n
1i i
i
n
1i
i
V
k
h
h
k 
 
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HIDRÁULICA DOS SOLOS 
 
 14
 Para camadas de mesma permeabilidade, k1 = k2 = ...= kn, obtém-se pela aplicação 
dessas fórmulas: kh = kv. 
 Demonstra-se, ainda, que em todo depósito estratificado, teoricamente: kh > kv. 
 
 
1.6 – Determinação do coeficiente de permeabilidade 
 
 
A determinação de k pode ser feita: por meio de fórmulas que o relacionam com a 
granulometria (por exemplo, a fórmula de Hazen), no laboratório utilizando-se os 
“permeâmetros” (de nível constante ou de nível variável) e in loco pelo chamado “ensaio 
de bombeamento” ou pelo ensaio de “tubo aberto”; para as argilas, a permeabilidade se 
determina a partir do “ensaio de adensamento”. 
 
A foto apresentada na Figura 1.7, tirada da superfície para dentro de um poço com 
4,00 m de profundidade, mostra um laboratorista ao lado de uma amostra indeformada de 
solo, sob a forma de bloco aparafinado a ser encaminhado para um laboratório. 
 
 
Figura 1.7 – Amostra indeformada retirada de um poço 
 
 
1.6.1 – Permeâmetro de nível constante 
 
 É utilizado para medir a permeabilidade dos solos granulares (solos com razoável 
quantidade de areia e/ou pedregulho), os quais apresentam valores de permeabilidade 
elevados. 
 
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 15
 Este ensaio consta de dois reservatórios onde os níveis de água são mantidos 
constantes, como mostra a Figura 1.8. Mantida a carga h, durante um certo tempo, a água 
percolada é colhida e o seu volume é medido. Conhecidas a vazão (Q) e as dimensões do 
corpo de prova (comprimento L e a área da seção transversal A), calcula-se o valor da 
permeabilidade, k, através da equação: 
 
t.A.
L
h
kt.A.i.kt.A.vQ === ⇒ 
thA
LQ
k
..
.= 
 
 
Figura 1.8 – Permeâmetro de carga constante 
 
 Onde: 
 Q – é a quantidade de água medida na proveta (cm3); 
 L – é o comprimento da amostra medido no sentido do fluxo (cm); 
 A – área da seção transversal da amostra (cm2); 
 h – diferença do nível entre o reservatório superior e o inferior (cm); 
 t – é o tempo medido entre o inicio e o fim do ensaio (s); 
 
Procedimento: Mede-se o volume d'água que percola pela amostra (V) em 
determinados intervalos de tempo (t). 
 
 
1.6.2 – Permeâmetro de nível variável 
 
O permeâmetro de nível variável é considerado mais vantajoso que o anterior, 
sendo preferencialmente usado para solos finos, nos quais o volume d’água que percola 
através da amostra é pequeno. Quando o coeficiente de permeabilidade é muito baixo, a 
determinação pelo permeâmetro de carga constante é pouco precisa. 
 
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 16
 
Figura 1.9 – Permeâmetro de carga variável 
 
 
 Neste ensaio medem-se os valores h obtidos para diversos valores de tempo 
decorrido desde o início do ensaio, como mostra a Figura 1.9. São anotados os valores da 
temperatura quando da efetuação de cada medida. O coeficiente de permeabilidade dos 
solos é então calculado fazendo-se uso da lei de Darcy: 
 
q = v . A = k . i . A A.
L
h
.kq = 
 
 
 E levando-se em conta que a vazão de água passando pelo solo é igual à vazão da 
água que passa pela bureta, que pode ser expressa como: 
 
q = a . v 
dt
dh
aq .= (conservação da energia) 
 
 Igualando-se as duas expressões de vazão tem-se: 
 
A
L
h
k
dt
dh
a ... = 
 
 Que integrada da condição inicial (h = hi, t = 0) à condição final (h = hf, t = tf): 
 
∫=∫ 1
0
1
0
.
.
.
t
t
h
h
dt
L
Ak
h
dh
a 
 Conduz a: 
 
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 17
t.
L
A.k
h
h
ln.a
1
0 ∆= 
 Explicitando-se o valor de k: 
 




∆
=
1
0
h
h
ln.
t.A
L.a
k ou 



∆
=
1
0
h
h
log.
t.A
L.a
.3,2k 
 Onde: 
 a – área interna do tubo de carga (cm2) 
 A – seção transversal da amostra (cm2) 
 L – altura do corpo de prova (cm) 
 h0 – distância inicial do nível d`água para o reservatório inferior (cm) 
 h1 – distância para o tempo 1, do nível d`água para o reservatório inferior (cm) 
 ∆t – intervalo de tempo para o nível d’água passar de h0 para h1 (cm) 
 
Procedimento: faz-se leituras das alturas inicial e final da bureta e o intervalo de 
tempo correspondente. 
 
 O novo laboratório de “Ensaios Especiais em Mecânica dos Solos” da Faculdade de 
Engenharia da UFJF, dispõe de um permeâmetro combinado para solos (carga constante e 
carga variável), fornecido pela Wille Geotechnik (alemã). 
Consta basicamente de um painel, com recipiente para água e buretas graduadas 
para leituras de níveis de carga hidráulica e de um recipiente (câmara) para amostra de 
solo. O sistema é alimentado por água conduzido por mangueira, de um tanque próximo. 
 
 
Foto – Vista geral do Permeâmetro Combinado de Solos da UFJF 
 
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 18
 
 Aspecto do cilindro (câmara) recipiente 
da amostra de solo a ser ensaiada. Neste 
caso, adequado para materiais granulares, 
como se vê, encontra-se preenchido com 
areia. Observe a entrada de água pela 
mangueira conectada na base, e a saída pelo 
topo. Observe dois pontos ligados por 
mangueira, ao painel, para medição da carga 
hidráulica e definição do comprimento “L”. 
 
 Painel em fórmica do permeâmetro, onde 
consta: Recipiente de água com regulagem 
de altura e possibilidade de manter o nível da 
água constante, conjunto de 4 “buretas” com 
diâmetros diferentes, fixadas junto a régua 
graduada. 
 
 
 
 
1.7 – Lei de fluxo generalizada 
 
 
A equação diferencial de fluxo é a base para o estudo de percolação bi ou 
tridimensional. Tomando um ponto definido por suas coordenadas cartesianas (x,y,z), 
considerando o fluxo através de um paralelepípedo elementar em torno deste ponto, e 
assumindo a validade da lei de Darcy, solo homogêneo e solo e água incompressíveis, é 
possível deduzira equação tridimensional do fluxo em meios não-saturados: 
 



∂
∂+
∂
∂
+
=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
t
e
.S
t
s
.e.
1e
1
z
h
.k
y
h
.k
x
h
.k
2
2
z2
2
y2
2
x 
 
 
 
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 19
Onde: 
Kj – permeabilidade na direção j 
h – carga hidráulica total 
S – grau de saturação 
e – índice de vazios 
t – tempo 
 
Em muitas aplicações em geotecnia, a equação pode ser simplificada para a situação 
bidimensional, em meio saturado e com fluxo estacionário, obtendo-se: 
 



∂
∂+
∂
∂
+
=
∂
∂+
∂
∂
t
e
.S
t
s
.e.
1e
1
y
h
.k
x
h
.k
2
2
y2
2
x 
 
Observando-se os termos e (índice de vazios) e S (grau de saturação), verifica-se 
que podem ocorrer quatro tipos de fenômenos: 
 
a) e e S são constantes ⇒ Fluxo permanente ou estacionário (não varia com o 
tempo), s = 100%. (estudado nesta Unidade 01) 
0
y
h
.k
x
h
.k
2
2
y2
2
x =
∂
∂+
∂
∂
 
 
Se nessa equação for considerada isotropia na permeabilidade, isto é, kx = ky, pode-
se simplificar ainda mais: 
0
y
h
x
h
2
2
2
2
=
∂
∂+
∂
∂
 
 
b) e é variável e S é constante: (estudado na Unidade 03) 
i. e decrescente – adensamento 
ii. e crescente – expansão 
 
c) e é constante e S é variável: (estudado em outra disciplina) 
i. S decrescente – drenagem 
ii. S crescente – embebimento 
 
d) e e S são variáveis ⇒ problemas de compressão e expansão, além de drenagem e 
embebimento. 
 
 
 Obs: Os casos (b), (c) e (d) são denominados fluxo transiente (quantidade de água 
que percola varia com o tempo). 
 
 Normalmente o problema de fluxo é tratado no plano, considerando-se uma seção 
típica do maciço situada entre dois planos verticais e paralelos, de espessura unitária. Tal 
 
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 20
procedimento é justificado devido ao fato de que a dimensão longitudinal é bastante maior 
que as dimensões de seção transversal. Portanto, considerando: 
 
• Fluxo é estacionário; 
• Solo saturado; 
• Não ocorre nem compressão, nem expansão durante o fluxo: 0
t
e =
ϑ
ϑ
 
• Solo homogêneo; 
• k igual nas duas direções kx = ky; 
• Validade da Lei de Darcy. 
 
 Temos: 0
y
h
x
h
2
2
2
2
=
∂
∂+
∂
∂
 ⇒ Equação de Laplace 
 
 Como é do conhecimento geral, a anisotropia (direção que se considera para a 
medição de uma determinada propriedade) do solo é uma condição encontrada 
freqüentemente. Entretanto existe um artifício matemático que permite estudar o fluxo 
através de um solo anisotrópico como se o mesmo estivesse ocorrendo em um solo 
isotrópico. 
 
 A solução geral que satisfizer a condição de contorno de um problema particular de 
fluxo constituirá a solução da equação para este problema específico. É importante 
observar que a permeabilidade do solo não interfere na equação de Laplace. 
 
 A solução geral da equação de Laplace é constituída por dois grupos de funções as 
quais são representadas por duas famílias de curvas ortogonais entre si. 
 Em uma região de fluxo as duas famílias de curvas constitui o que se denomina 
rede ou linhas de fluxo. 
 
 
1.8 – Rede de fluxo 
 
 
 A equação de Laplace tem como solução duas famílias de curvas que se interceptam 
normalmente. A representação gráfica destas famílias constitui a chamada rede de 
escoamento ou rede de fluxo (“flow net”). 
 
 A rede de fluxo é um procedimento gráfico que consiste, basicamente, em traçar na 
região em que ocorre o fluxo, dois conjuntos de curvas conhecidas com linhas de 
escoamento ou de fluxo, que são as trajetórias das partículas do líquido e por linhas 
equipotenciais ou linhas de igual carga total. 
 O trecho compreendido entre duas linhas de fluxo consecutivas quaisquer é 
denominado canal de fluxo e representa um acerta porção ∆Q da quantidade total Q de 
água que se infiltra. Portanto, a vazão em cada canal de fluxo é constante e igual para todos 
os canais. 
 
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 21
 A perda de carga ∆h entre as linhas equipotenciais adjacentes denomina-se queda 
de potencial. 
 
 No caso de solos isotrópicos e homogêneos, as linhas de fluxo e equipotenciais 
formam figuras que são basicamente “quadrados”, em destaque na Figura 1.10. A mesma 
vazão percola entre dois pares adjacentes de linhas de fluxo. A perda de carga entre linhas 
equipotenciais sucessivas é a mesma. 
 
O método mais comum na resolução de problemas de fluxo bidimensional consiste 
na construção da REDE DE FLUXO, representação gráfica da solução da equação 
diferencial. 
 
Figura 1.10 – Destaque do traçado de uma rede de fluxo 
 
– Métodos de traçado de rede de fluxo 
 
 Os métodos para a determinação das redes de fluxos são: 
• Soluções analíticas, resultantes da integração da equação diferencial do fluxo. 
Somente aplicável em alguns casos simples, dada a complexidade do tratamento 
matemático quando se compara com outros métodos. 
• Solução gráfica é o mais rápido e prático de todos os métodos, como veremos 
adiante. 
• Soluções numéricas, resultantes da utilização de recursos computacionais, através 
de métodos números como os de “diferenças finitas”, “métodos dos elementos 
finitos”, entre outros. (ver figura na página n. 27) 
 
– Determinação gráfica da rede de fluxo 
 
 Este método foi proposto pelo físico alemão Forchheimer. Consiste no traçado, a 
mão livre, de diversas linhas de escoamento e equipotenciais, respeitando-se as condições 
de que elas se interceptem ortogonalmente e que formem figuras “quadradas”. Há que se 
atender também às “condições limites”, isto é, às condições de carga e de fluxo que, em 
cada caso, limitam a rede de percolação. 
 
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 22
 As redes montadas por figuras com a/L constante e, em particular, “quadradas” 
( )1L
a = , implicam no atendimento às condições que lhes são impostas, isto é, por cada 
canal de fluxo passa a mesma quantidade (∆∆∆∆Q) de água entre duas equipotenciais 
consecutivas a mesma queda de potencial (∆∆∆∆h). 
 O método exige, naturalmente, experiência e prática de quem o utiliza. Geralmente, 
o traçado baseia-se em outras redes semelhantes obtidas por outros métodos. 
 
 As Figuras 1.11 e 1.12 apresentam dois casos em que se apresenta o traçado das 
linhas de fluxo e a utilização de filtros de proteção para o controle de fluxo de água que 
ocorre. Na Figura 1.11 temos uma barragem de terra através da qual há um fluxo de água, 
graças às diferenças de carga entre montante e jusante. Com intuito de proteger a barragem 
do fenômeno de erosão interna (“piping” ) e para permitir uma rápida drenagem da água 
que percola através da barragem, usa-se construir filtros, como, por exemplo, o filtro 
horizontal esquematizado no desenho. 
 
 
Figura 1.11 – Linhas de fluxo em uma barragem 
 
 Na Figura 1.12, a água percola através do solo arenoso da fundação do reservatório. 
Pelo desenho, pode-se notar que próxima à face jusante das estacas-prancha, o fluxo é 
vertical e ascendente, o que pode originar o fenômeno de areia movediça. Para combater 
este problema, faz-se um filtro de material granular, permitindo assim a livre drenagem das 
águas. 
 
Figura 1.12 – Linhas de fluxo em uma cortina de estacas–prancha 
 
Tomemos, para exemplificar, o aspecto das linhas equipotenciais e de fluxo, o caso 
simples de uma cortina de estacas-prancha cravadas num terreno arenoso, onde se indicam 
as condições limites, constituídas por duas linhas de fluxo e duas linhas equipotenciais, 
como são mostradas na Figura 1.13. 
 
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 23
 
Figura 1.13 – Representação das condições limites 
 
Para este caso, a rede de fluxo tem a configuração mostrada na Figura 1.14. 
Numerosas linhas de fluxo e linhas equipotenciais poderiam ser traçadas, como as do 
exemplo; em que se obtém Nd = 12 quedas de potencial e Nf = 5 canais de fluxo. 
 
 
Figura 1.14 – Configuração da rede de fluxo em uma cortina de estacas–prancha 
 
Obs 1: Ao nível da superfície, sob a coluna de água de altura h, temos a 
equipotencial de carga h. A pressão (u), neste caso corresponde à carga nesta superfície de 
valor igual a “h” como se verifica. 
Obs 2: Uma coluna de água de altura h, portanto de carga hidráulica h, faz em 
uma área unitária 1 × 1 uma pressão “u”: 
 
u (pressão) = 
área
(peso) Força
 
 peso = vol. γ a = 1 × 1 × h × γ a = h x γ a 
 u = =
γ
1x1
h.a h.aγ 
 
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 24
 Neste caso, observa-se que a água percola da esquerda para a direita em função da 
diferença de carga total existente. Observa-se que as 13 linhas equipotenciais são 
perpendiculares às 6 linhas de fluxo, formando elementos aproximadamente quadrados. A 
rede é formada por 5 canais de fluxo (nf = 5) e por 12 quedas equipotenciais (nq = 12). 
Nota-se que os canais de fluxo possuem espessuras variáveis, pois a seção 
disponível para passagem de água por baixo da estaca prancha é menor do que a seção pela 
qual a água penetra no terreno. Logo, a velocidade será variável ao longo do canal de 
fluxo. Quando o canal se estreita, sendo constante a vazão, a velocidade será maior, 
gerando um gradiente hidráulico maior (Lei de Darcy). Conseqüentemente, sendo constante 
a perda de potencial de uma linha equipotencial para outra, o espaçamento entre as 
equipotenciais deve diminuir. Sendo assim, a relação entre as linhas de fluxo e 
equipotenciais se mantém constante. 
 
Piezômetro: 
Na figura anterior veja que temos um piezômetro “instalado” em uma profundidade 
próxima da camada impermeável. Este dispositivo (piezômetro) nada mais é do que um 
tudo de PVC com a extremidade perfurada que permite a entrada da água, que devido a um 
fechamento (selo, geralmente feito de bentonita) próximo a esta extremidade permitirá o 
estabelecimento da coluna de água a ser medida (consequentemente a determinação da 
pressão no ponto). 
 A figura abaixo ilustra o esquema de montagem de um piezômetro e a foto mostra 
em detalhe a extremidade perfurada de um piezômetro. 
 
 
Foto: Detalhe da extremidade (h = 60cm) 
 Figura: Esquema de montagem 
 
 
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 25
Cálculo de vazão em função do traçado da rede de fluxo 
 
A partir do traçado da rede de fluxo pode-se calcular a vazão percolada. Assim: 
 
Isolando um elemento da rede de fluxo, como aquele mostrado na Figura 1.15, o 
qual é formado por linhas de fluxo distanciadas entre si de “b” no plano do desenho e de 
uma unidade de comprimento no sentido normal do papel. 
 
 
Figura 1.15 – Elemento individual da rede de fluxo 
 
Segundo a Lei de Darcy, a vazão (q) no canal de fluxo será: .i.Akq = , sendo o 
gradiente hidráulico (i) dado por: 
trecho
trecho
l
h∆=i 
 A área no elemento é igual a: A = b.l. Portanto: ( )b.l.
l
∆h
k.q 

= 
 No traçado da rede de fluxo, como o elemento é um quadrado, tem-se: b = l, sendo 
assim: hk.q ∆= . 
 A perda de carga entre duas equipotenciais consecutivas é constante, requisito para 
que a vazão num determinado canal de fluxo também seja constante. 
 A carga total disponível (h) é dissipada através das linhas equipotenciais (nq), de 
forma que entre duas equipotenciais consecutivas temos: 
dn
h
h =∆ 
 
 Realizando as devidas substituições, tem-se a vazão em cada canal de fluxo, dada 
pela expressão abaixo (sendo b/l = 1): 
dn
h
kq .= 
 
 A vazão total do sistema de percolação (Q), por unidade de comprimento, é dada 
pela vazão do canal (q) vezes o número de canais de fluxo (nf). Portanto: 
fnqQ .= ⇒ 
d
f
n
n
hkQ ..= 
 
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 26
 Onde: 
 h – perda de carga total 
 
q
f
n
n – fator de forma, que depende da rede traçada 
 
Propriedades básicas de uma rede de fluxo 
• As linhas de fluxo e as linhas equipotenciais são perpendiculares entre si, isto é, sua 
interseção ocorre a 90º; 
• A vazão em cada canal de fluxo é constante e igual para todos os canais; 
• As linhas de fluxo não se interceptam, pois não é possível ocorrerem duas 
velocidades diferentes para a mesma partícula de água em escoamento; 
• As linhas equipotenciais não se interceptam, pois não é possível se ter duas cargas 
totais para um mesmo ponto; 
A perda de carga entre duas equipotenciais consecutivas quaisquer é constante. 
 
A Figura 1.16 apresenta a solução gráfica para um outro exemplo semelhante ao 
mostrado anteriormente. 
 
 
Figura 1.16 – Rede de fluxo através de uma fundação permeável de uma cortina de 
estacas–prancha 
 
A figura abaixo ilustra um traçado de rede de fluxo à mão livre, sob um verte douro 
de concreto , tendo na fundação (extremidades) duas cortinas (paredes) verticais até uma 
determinada profundidade. 
 
 
 
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 27
A figura abaixo ilustra um traçado de rede de fluxo gerado por um software (uso de 
programa computacional, com resolução numérica, p. ex. uso de MEF), sob uma barragem 
de concreto , tendo na fundação uma cortina (parede vertical). 
 
 
 
Exemplo Numérico 
Resolução: 
a) Tem-se: q = k i A. 
Resolvendo em função da rede de fluxo: 
Gradiente i = ∆h/L = (h/Nd) (1/L) 
Vazão para 1 canal ∆q = k (h/LNd) a 1 para 1m de cortina 
Vazão total (unitário) q = k (h/Nd) (a/L) 1 Nf a/L = 1 (~quadrado) 
 
 como anteriormente demonstrado 
 
q = 1,4x10-5 x 15 x 102 x (3/6) = 10,5x10-3cm3/seg 
qtotal = 10,5x10-3 cm3/Seg x 104cm = 105 cm3/seg (considerado os 100m de cortina) 
Em um mês tem-se: t = 30 x 24 x 60 x 60 = 2592x103Seg 
Q = 105 x 2592 x 103 = 272,16x106cm3/mês = 
q = k.h.(Nf/Nd) 
272m3/mês 
Para a cortina, com 100 m de comprimento, 
representada na figura ao lado, calcular: 
 
a) A quantidade de água que 
percola, por mês, através do 
maciço permeável, 
b) A pressão neutra no ponto A. 
 
 
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 28
b) A pressão neutra no ponto A obtém-se da seguinte forma: 
 
 ∆h = (h/Nd) = (15/6) = 2,5m (perda de carga em cada equipotencial) 
O número de quedas ∆h até ao ponto A é de aproximadamente 3,5, logo a perda até 
este ponto é de 3,5 x (15/6) = 8,75m e o nível de água no tubo piezométrico instalado em A 
situa-se à 8,8m abaixo do nível de água a montante, ou seja a 6,25m do nível do terreno em 
que está instalado. 
 
Como demonstrado na proposta de Bernoulli para representar a energia total ou 
carga total em um ponto do fluido, tem-se, expresso em termos de energia/peso: 
 
carga total = carga altimétrica + carga piezométrica 
 
como visto a pressão no ponto é a carga, expressa em altura de coluna d’água, 
multiplicada pelo seu peso específico: 
ua = h.aγ 
 
Considerando a soma das cargas, a pressão na água, em um ponto A, pode também 
ser assim expressa: ua = pressão hidrostática + pressão hidrodinâmica 
 (altimétrica) (piezométrica) 
 
A tensão correspondente no ponto A é, portanto, de: 
 
(25 + 6,25) x γa = 
 
 
Observeo exemplo abaixo: 
 
Verifique, calculando, a altura do nível da água dentro do piezômetro (tubo) que 
corresponde a 3,83m do nível da superfície do terreno (3,33m do nível inferior da água). 
 
 
ua = 31,2 t/m2 
 
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HIDRÁULICA DOS SOLOS 
 
 29
As figuras abaixo ilustram diferentes exemplos de traçados de rede de fluxo (para 
fluxo confinado). Observe como os elementos impermeáveis (cortinas – paredes) ou 
permeáveis (filtros de material drenante) influenciam a trajetória das linhas de fluxo. 
 
 
 
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TENSÕES NOS SOLOS 
 
 30
 
 
 
Unidade 2 - TENSÕES NOS SOLOS 
 
 
 
O conhecimento das tensões atuantes em um maciço de terra, sejam elas advindas 
do peso próprio ou em decorrência de carregamentos em superfície, ou ainda pelo alívio de 
cargas provocado por escavações, é de vital importância no entendimento do 
comportamento de praticamente todas as obras de engenharia geotécnica. Há uma 
necessidade de se conhecer a distribuição de tensões (pressões) nas várias profundidades 
abaixo do terreno para a solução de problemas de recalques, empuxo de terra, capacidade 
de carga no solo, etc. 
 
 
2.1 – Pressões verticais devidas ao peso próprio dos solos 
 
 
Na análise do comportamento dos solos, as tensões devidas ao peso próprio têm 
valores consideráveis, e não podem ser desconsideradas. Este estudo visa determinar as 
pressões atuantes na massa de solo, nas diversas profundidades de um maciço, quando 
consideramos somente o peso próprio, isto é, apenas sujeito à ação da gravidade, sem 
cargas exteriores atuantes. Estas pressões são denominadas pressões virgens ou 
geostáticas. 
 
Quando a superfície do terreno é horizontal aceita-se intuitivamente que a tensão 
atuante em num plano horizontal a uma certa profundidade seja normal a este plano. De 
fato, as componentes das forças tangenciais ocorrentes em cada contato tendem a se 
contrapor, anulando a resultante. Quando o solo é constituído de camadas 
aproximadamente horizontais, a tensão vertical resulta da somatória do efeito das diversas 
camadas. 
 
Seja a superfície superior do terrapleno com uma inclinação i (em relação 
horizontal), de uma massa de solo cujo interior se situa o ponto A cotado no plano A 
(correspondendo à base de um prisma) a uma profundidade Z em relação ao nível do 
terreno, como mostra a Figura 2.1. O prisma corresponderá a uma coluna de solo de 
comprimento unitário, largura b (na horizontal) e profundidade Z. 
 
Consideramos a massa de solo como constituída de solo homogêneo no espaço 
semi-infinito visualizado para a análise de pressão vertical total. O terreno está solicitado 
só pela ação da gravidade não ocorrendo lençol freático nessa espessura Z. 
 
Considerando o espaço semi-infinito de solo homogêneo, todo prisma de solo a ser 
considerado terá o material com peso específico γp (valor acima do ponto “p”). 
 
 
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Figura 2.1 – Representação do prisma de solo para o calculo das tensões 
 
Admitindo-se que a massa está em repouso absoluto, a figura 2.2 expressa um 
plano em repouso absoluto, correspondente a seção I, II, III e IV que não se desloca pela 
ocorrência dos esforços considerados: 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.2 – Destaque das seções I, II, III e IV do prisma de solo 
 
Estando o prisma em equilíbrio, serão satisfeitas as equações fundamentais da 
estática: 
Σ H = 0 ∴ E1 = E’1 e E2 = E’2 
Σ V = 0 ∴ PV = PA (Logo, tanto faz considerarmos a ação PV quanto a 
reação PA). 
Σ MA = 0 
∴ 
E1 x Z’A = E’1 x Z’A 
E2 x Z’A = E’2 x Z’A 
Pv = peso do prisma de solo 
PA = reação do solo pela continuidade abaixo do plano A 
E1 = E’1 = esforços nas faces laterais do prisma de solo 
E2 = E’2 = esforços nas faces frontais do prisma de solo 
 
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Os esforços laterais ocorrem pela existência da continuidade da massa homogênea 
em todas as direções. Portanto, os pares de esforços são de mesma intensidade, mesma 
direção e sentidos contrários. 
 
Para calcular PV, temos: 
 
PV = volume do prisma de solo x peso específico aparente natural devido ao 
peso próprio de todos os materiais existentes acima do ponto, considerado. 
 
 PV = VP x γPA, mas VP = comprimento x largura x altura 
VP = 1 x b x Z 
VP = b x Z 
 
O peso do prisma de solo, ao descarregar sobre a área inclinada da base dará uma 
pressão no ponto A da base, ou seja: 
 
PVA = pressão vertical total no ponto A 
 
 
1.
icos
b
.Z.b
1.
icos
b
P
S
P
área
p
P PAv
A
V
base
v
VA
γ
==== 
 
 
A pressão PVA independe da seção do prisma (coluna de solo), pois, quanto maior 
sua seção, maior será a área da base SA. Ou quanto menor a seção, menor será o peso e a 
área da base. Logo, o resultado da divisão entre o peso da coluna de solo e a área da base 
onde atua esse peso será sempre constante. 
 
Assim temos: σA = PVA com direção definida. 
 
Como já está consagrado em Mecânica dos Solos chama-se a tensão de pressão. 
Entenda-se que sempre que falarmos, daqui para frente, pressão, estaremos expressando a 
tensão. Só por estar consagrada essa nomenclatura manteremos esse expediente sem 
prejuízo da conceituação clássica colocada. 
 
No caso de terrapleno com a superfície superior coincidente com a horizontal, 
teremos: 
PAA .Z γ=σ , pois nesse caso, i = 0, isto é, a profundidade considerada vezes o peso 
específico do solo homogêneo ocorrente nessa profundidade. 
 
Colocando-se em um sistema cartesiano, teremos os diagramas representativos de 
toda a distribuição na espessura Z, como mostra a Figura 2.3. 
 
PAVA iZP γ.cos.= 
 
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Figura 2.3 – Diagramas representativos da distribuição de tensões na espessura Z 
 
No caso de uma seqüência de camadas de solos homogêneos diferentes, 
considerando somente terrapleno horizontal, como mostra a Figura 2.4, temos: 
 
 
Figura 2.4 – Distribuição de tensões para uma seqüência de camadas de solos heterogêneos 
 
Isto é, a pressão vertical total da camada 1 se transmite integralmente sobre a 
camada 2 e na espessura dessa segunda camada haverá o acréscimo de diagrama devido a 
pressão gerada nessa espessura. 
 
No caso de n camadas de γpi e espessuras Zi, teremos a expressão: 
 
∑ γ=σ
n
1
iPi Z. 
 
 
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Obs. : Análise sobre os materiais ocorrentes nas camadas 
 
Considerando cada camada homogênea, como uma espessura correspondente, 
podemos considerar que podem ocorrer os materiais: partículas sólidas e água (em diversas 
situações de peso específico, a saber): 
 
1. Só água = lâmina d’água; 
2. Só partículas = solo seco (não ocorre na prática, pode ser utilizado para 
correlacinar parâmetros); 
 
3. Partículas com todos os vazios cheios de água, S=100%: 
3.a. Solo saturado = quando a água dos vazios não está sujeita a ação da 
gravidade (partículas envolvidas pela água) 
. Ocorrência típica de solo impermeável (vazios não se comunicam); 
3.b. Solo submerso = quando a água dos vazios está sujeita a ação da 
gravidade, assim, as partículas sólidas estão imersas na água, portanto, 
as partículas estão sujeitas ao empuxo que atua sobre as mesmas 
 . Ocorrência típica de solo permeável (vazios se comunicam). 
 
O cálculo do peso específico para qualquer dessas ocorrências poderá ser obtido a 
partir da relação de outros índices físicos, obtendo-se o peso específico aparentenatural 
do solo, pela expressão deduzida em seguida. 
 
 
t
t
V
P
=γ = peso específico aparente natural do solo. 
 
t
a
s
t
a
t
s
t
as
t
t
V
P
V
P
V
P
V
PP
V
P
+γ=+=
+
==γ 
 
γ =
P
V
a
a
 ⇒ Pa = γa x Va 
 
Substituindo temos: 
γ γ
γ
= +
⋅
s
V
V
a a
t
 
 
Dividindo por Vv, numerador e denominador, não altera a fração: 
γ γ γ γ γ γ γ= + = + = + ⋅s a
V
V
V
V
s a
S
n
s Sn a
a
v
t
v
1
 
 
Logo, pode-se escrever: γ γ γp s Sn a= + ⋅ 
 
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Observe que se aplicada a expressão anterior (de “relação de índices físicos”) para 
os diferentes materiais possíveis de ocorrer, temos, para cada caso: 
 
1 - Lâmina d'água 
γs = 0 
S = 100% = 1.0 
n = 100% 
 
 
γp = γa 
 
2 - Solo seco 
 S = 0 ∴ γp = γs 
 
3 - Solo saturado e na condição submersa (duas situações – pode-se utilizar 
ambos, porem para o cálculo das tensões totais deverão ser utilizados os pesos 
específicos saturados, como será visto no item seguinte – princípio das tensões efetivas) 
Considerando apenas as ocorrências dos materiais, temos, em ambos os casos, água 
enchendo todos os vazios. 
 
S = 1,0 
 
 
γp = γs + n γa 
γp = γsat, ou γp = γsub + γa 
 
Qualquer uma das expressões pode ser empregada com resultado idêntico, pois 
apenas fizemos substituições pertinentes em função das relações entre índices físicos. 
 
4 - Partículas sólidas com água ocupando parcialmente os vazios 
 Solo pacialmente saturado. A expressão será a completa: 
 γp = γs + S.n.γa 
 
Análise das condições gerais de ocorrência do peso específico dos solos 
 
As Figuras 2.5 e 2.6 apresentam perfil de solo onde destacamos algumas faixas de 
ocorrências de espessuras homogêneas e os respectivos valores de peso específicos: 
 
 
Figura 2.5 – Perfil de solos heterogêneos com 
presença de lâmina d’água 
Lâmina d’água: 
γPA = γa 
 
Camada 1 
Solo permeável submerso: 
γPB = γS1 + n1.γa = γsat1 
 
 
Camada 2 
(considerada com S