CONCEITUACAO DO MEIO POROSO ROCHA E FLUIDO

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17/08/2015
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MEIO POROSO, ROCHA 
E FLUIDOS II
-PARTE NUMÉRICA-
Profª. Cindy Ruiz
Msc. em Engenharia de Petróleo e Gás
E-mail: cindy.ruiz@unp.edu.br
POROSIDADE
Cálculo da porosidade segundo o tipo de empacotamento
Profa. M. Sc. Cindy Pamela Aguirre Ruiz
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = (2𝑟)
3= 8𝑟3
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑔𝑟ã𝑜𝑠 = 8 ×
1
8
4
3
𝜋𝑟3
∅ =
𝑉𝑝
𝑉𝑡
=
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑔𝑟ã𝑜𝑠
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
∅ =
8𝑟3 −
4
3𝜋𝑟
3
8𝑟3
= 0,476 = 47,6%
 Empacotamento cúbico:
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Cálculo da porosidade segundo o tipo de empacotamento
Profa. M. Sc. Cindy Pamela Aguirre Ruiz
 Empacotamento ortorrômbico:
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2𝑟 𝑆𝑒𝑛 60 (2𝑟)(2𝑟)
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 8𝑟
3 𝑆𝑒𝑛 60 = 6,93 𝑟3
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝐺𝑟ã𝑜𝑠 = 8 ×
1
8
4
3
𝜋𝑟3
∅ =
6,93 𝑟3 −
4
3𝜋𝑟
3
6,93 𝑟3
= 0,395 = 39,5%
Cálculo direto da porosidade (testemunhos ou cores)
Profa. M. Sc. Cindy Pamela Aguirre Ruiz
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝐺𝑅Ã𝑂𝑆 + 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑃𝑂𝑅𝑂𝑆
Cálculo direto da porosidade (testemunhos ou cores)
Volume total
 Geometria:
 Princípio de Arquimedes:
Profa. M. Sc. Cindy Pamela Aguirre Ruiz
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 =
𝜋
4
𝑑2𝑙
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 =
𝑚2 −𝑚1
𝜌𝑤
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Cálculo direto da porosidade (testemunhos ou cores)
Volume dos poros:
 Lei de Boyle
Profa. M. Sc. Cindy Pamela Aguirre Ruiz
𝑉𝑝 =
(𝑝1−𝑝2)
(𝑝2−𝑝0)
𝑉𝑟𝑒𝑓
𝑝1 > 𝑝2 > 𝑝0
Pressão 
hidrostática 
Fluxo de 
saída
Fluxo de 
entrada
Tubo de 
borracha
Testemunho 
Hassler holder
Cálculo indireto da porosidade (perfilagem)
Profa. M. Sc. Cindy Pamela Aguirre Ruiz
 Fator de resistividade da formação;
 Perfil de micro resistividade;
 Perfil de raios gama;
 Perfil de densidade;
 Perfil acústico;
 Etc.
Cálculo da média da porosidade
Cálculo da 
média da 
porosidade
Método 
Aritmético
Método 
Ponderado
Método 
Estadístico
Espessura da 
areia
Área Volume
Número de amostras, frequência, 
histograma, etc.
∅ =
 𝑖=1
𝑛 ∅𝑖
𝑛
∅ =
 𝑖=1
𝑛 ℎ𝑖∅𝑖
 𝑖=1
𝑛 ℎ𝑖
∅ =
 𝑖=1
𝑛 ∅𝑖𝐴𝑖
 𝑖=1
𝑛 𝐴𝑖
∅ =
 𝑖=1
𝑛 ∅𝑖𝐴𝑖ℎ𝑖
 𝑖=1
𝑛 𝐴𝑖 ℎ𝑖
Profa. M. Sc. Cindy Pamela Aguirre Ruiz
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Exemplos Porosidade
1. Um reservatório de petróleo possui uma extensão areal de 20.000
𝑓𝑡2 e uma espessura neta de 100 𝑓𝑡. A rocha reservatório tem uma
porosidade uniforme de 35%. Qual é a o volume poroso do
reservatório?
2. Calcular a porosidade efetiva de uma amostra de arenito usando os
dados seguintes:
 Peso da amostra seca exposta ao ar: 20 g;
 Peso da amostra saturada exposta ao ar: 22,5 g;
 Densidade da água: 1 g/cc;
 Peso da amostra saturada submersa na água: 12,6 g.
Exemplos de Porosidade
3. Calcular o volume total de uma amostra preservada (recoberta com
parafina) e imersa na água, segundo os dados seguintes:
 Peso da amostra seca exposta ao ar: 20 g;
 Peso da amostra seca recoberta com parafina: 20,9 g;
 Densidade da parafina: 0,9 g/cc;
 Peso da amostra saturada submersa na água: 10 g.
 Densidade da água: 1 g/cc;
Determinar a porosidade da rocha, assumindo que a densidade do
arenito é de 2,67 g/cc.
Exemplo de porosidade 
4. Obtiveram-se dados de amostras de um reservatório com uma 
pressão de bolha de 3000 psia e uma temperatura de 160 °F. 
Calcule a porosidade do reservatório aplicando a média aritmética e a 
ponderada por espessura.
Amostra Espessura (pés) Porosidade (%)
1 1,0 10
2 1,5 12
3 1,0 11
4 2,0 13
5 2,1 14
6 1,1 10
Profa. M. Sc. Cindy Pamela Aguirre Ruiz
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5
∅ =
 𝑖=1
𝑛 ∅𝑖
𝑛
∅ =
 𝑖=1
𝑛 ℎ𝑖∅𝑖
 𝑖=1
𝑛 ℎ𝑖
 Média ponderada
∅ =
10 + 12 + 11 + 13 + 14 + 10
6
∅ = 11,67%
∅ =
(1 × 10) + (1,5 × 12) + (1 × 11) + (2 × 13) + (2,1 × 14) + (1,1 × 10)
1 + 1,5 + 1 + 2,1 + 1,1
∅ = 12,11%
Profa. M. Sc. Cindy Pamela Aguirre Ruiz
Exemplo de porosidade 
5. Calcular a porosidade média aritmética e a média ponderada pela 
espessura para os seguintes dados de testemunhos: 
Número de 
amostra
Profundidade (ft) Porosidade (%)
1 3705,5 40,1
2 3706,5 35,1
3 3707,5 39,3
4 3708,5 36,5
5 3709,5 29,1
SATURAÇÃO DE FLUIDOS
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Média das saturações
𝑆𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 ó𝑙𝑒𝑜 = 𝑆𝑜 =
 𝑖=1
𝑛 ∅𝑖ℎ𝑖𝑆𝑜𝑖
 𝑖=1
𝑛 ∅𝑖ℎ𝑖
𝑆𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 á𝑔𝑢𝑎 = 𝑆𝑤 =
 𝑖=1
𝑛 ∅𝑖ℎ𝑖𝑆𝑤𝑖
 𝑖=1
𝑛 ∅𝑖ℎ𝑖
𝑆𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑔á𝑠 = 𝑆𝑔 =
 𝑖=1
𝑛 ∅𝑖ℎ𝑖𝑆𝑔𝑖
 𝑖=1
𝑛 ∅𝑖ℎ𝑖
Profa. M. Sc. Cindy Pamela Aguirre Ruiz
Exemplo de porosidade e saturações 
6. Calcule a saturação média de petróleo e água conata a partir da 
informação apresentada a continuação:
Amostra h (pés) Ø (%) So (%) Swc (%)
1 1,0 10 75 25
2 1,5 12 77 23
3 1,0 11 79 21
4 2,0 13 74 26
5 2,1 14 78 22
6 1,1 10 75 25
Profa. M. Sc. Cindy Pamela Aguirre Ruiz
Equações a serem 
utilizadas
Amostr
a
h (pés) Ø Øh So ØhSo Swc ØhSw
1 1,0 0,10 0,100 0,75 0,0750 0,25 0,0250
2 1,5 0,12 0,180 0,77 0,1386 0,23 0,0414
3 1,0 0,11 0,110 0,79 0,0869 0,21 0,0231
4 2,0 0,13 0,260 0,74 0,1924 0,26 0,0676
5 2,1 0,14 0,294 0,78 0,2293 0,22 0,0647
6 1,1 0,10 0,110 0,75 0,0825 0,25 0,0275
1,054 0,8047 0,2493
 𝑆𝑂 =
0,8047
1,054
= 0,7635 𝑆𝑊 =
0,2493
1,054
= 0,2365
 𝑆𝑜 =
 𝑖=1
𝑛 ∅𝑖ℎ𝑖𝑆𝑜𝑖
 𝑖=1
𝑛 ∅𝑖ℎ𝑖
 𝑆𝑤 =
 𝑖=1
𝑛 ∅𝑖ℎ𝑖𝑆𝑤𝑖
 𝑖=1
𝑛 ∅𝑖ℎ𝑖
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Exemplo de porosidade e saturações 
7. Uma amostra de 2,54 cm de comprimento e 2,54 cm de diâmetro 
tem uma porosidade de 22%. Ela está saturada com óleo e água, e o 
conteúdo de óleo é de 1,5 cm3.
a) Qual é o volume poroso da amostra?
b) Quais são as saturações do óleo e da água da amostra?
Exemplo de porosidade e saturações 
8. Se a formação tem 2,5 m de espessura, qual é o volume in place de 
óleo (em m3 e em bbl) de uma área de 40,47 hectares de área, se a 
amostra descrita no exemplo anterior é representativa do reservatório?
a) 1 hectare = 10.000 m2
b) 1 bbl = 0,1589873 m3
PERMEABILIDADE E LEI DE DARCY
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Aplicação da Lei de Darcy: Fluxo Linear Permanente
Fluido incompressível Fluido compressível 
𝑣𝑠 =
𝑞
𝐴
= −
𝑘
𝜇
𝑑𝑝
𝑑𝑥
𝑞 = −
𝑘𝐴
𝜇𝐿
∆𝑝 𝑞 =
𝑘𝐴(𝑝1 − 𝑝2)
𝜇𝐿
Profa. M. Sc. Cindy Pamela Aguirre Ruiz
Exemplo de Fluxo linear permanente - Incompressível
9. Uma amostra de testemunhagem com 2 cm de comprimento e 1 cm
de diâmetro apresentou uma vazão de água (µ = 1 cp) de 60
cm3/minuto com pressão a montante de 2,3 atm e pressão a jusante
de 1,0 atm. Calcular a permeabilidade da amostra.
𝑞 =
)𝑘𝐴(𝑝1 − 𝑝2
𝜇𝐿
𝑞 = −
𝑘𝐴
𝜇𝐿
∆𝑝
Profa. M. Sc. Cindy Pamela Aguirre Ruiz
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9
𝑞 = 60 𝑐𝑚3 min = 1 𝑐𝑚3 𝑠
𝐴 =
𝜋𝑑2
4
=
𝜋 1 2
4
𝑐𝑚2 =
𝜋
4
𝑐𝑚2
∆𝑝 = 2,3 − 1,0 = 1,3 𝑎𝑡𝑚
1 = 𝑘
𝜋
4
1,3
1 × 2
𝑘 = 1,96 𝐷𝑎𝑟𝑐𝑦
Profa. M. Sc. Cindy Pamela Aguirre Ruiz
Aplicação da Lei de Darcy: Fluxo Radial Permanente
Fluido incompressível
Fluido compressível 
𝑞
2𝜋𝑟ℎ
= −
𝑘
𝜇
𝑑𝑝
𝑑𝑟
𝑞 =
2𝜋𝑘ℎ
𝜇 ln
𝑟𝑒
𝑟𝑤
∆𝑝
 𝑞 =
2𝜋𝑘ℎ(𝑝𝑒 − 𝑝𝑤)
𝜇 ln
𝑟𝑒
𝑟𝑤
Profa. M. Sc. Cindy Pamela Aguirre Ruiz
Exemplo de Fluxo radial permanente - Incompressível
10. Um sistema radial tem um raio externo de 300 m em um raio de
poço igual a 0,3 m. Admitindo que o fluido seja incompressível,para
que valor o raio do poço deve ser aumentado para dobrar a vazão?
Solução
𝑞 =
)2𝜋𝑘ℎ(𝑝𝑒 − 𝑝𝑤
)𝜇l n( 𝑟𝑒 𝑟𝑤
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10
Solução
𝑞∗ = 2𝑞 =
)2𝜋𝑘ℎ(𝑝𝑒 − 𝑝𝑤
)𝜇l n( 𝑟𝑒 𝑟𝑤∗
𝑞
2𝑞
=
1
2
=
)l n( 𝑟𝑒 𝑟𝑤
∗
)l n( 𝑟𝑒 𝑟𝑤
𝑟𝑤
∗ = 𝑟𝑒
𝑟𝑤
𝑟𝑒
= 300
0,30
300
𝑟𝑤
∗ = 9,49 𝑚
Profa. M. Sc. Cindy Pamela Aguirre Ruiz
Cálculo da média da Permeabilidade
Leitos Paralelos em fluxo linear
𝑞𝑡 = 𝑞1 + 𝑞2 + 𝑞3
 𝑘 =
𝑘1𝐴1 + 𝑘2𝐴2 + 𝑘3𝐴3
𝐴𝑡
 𝑘 =
 𝑖=1
𝑛 𝑘𝑖𝐴𝑖
𝐴𝑡
 𝑘𝐴𝑡∆𝑝
𝜇𝐿
=
 𝑘𝐴1∆𝑝
𝜇𝐿
+
 𝑘𝐴2∆𝑝
𝜇𝐿
+
 𝑘𝐴3∆𝑝
𝜇𝐿
Profa. M. Sc. Cindy Pamela Aguirre Ruiz
Exemplo de Leitos paralelos – fluxo linear
11. Uma amostra de rocha reservatório, com 4 cm de comprimento e
composta por três camadas horizontais, cujas características estão
apresentadas na tabela a seguir, foi submetida ao fluxo de água.
Admitindo que não haja fluxo cruzado entre as camadas e que o fluxo
ocorra em paralelo nas várias camadas, sob uma queda de pressão de
0,802 atm, calcular a vazão total através da amostra. Dado adicional:
𝜇á𝑔𝑢𝑎 = 1 𝑐𝑝
Profa. M. Sc. Cindy Pamela Aguirre Ruiz
Camada Permeabilidade 
(md)
Largura (cm) Altura (cm)
1 100 1 1
2 200 1 2
3 300 1 3
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Solução
 𝑘 =
100 × 1 + 200 × 2 + 300 × 3
1 + 2 + 3
 𝑘 =
 𝑖=1
𝑛 𝑘𝑖ℎ𝑖
ℎ𝑡
 𝑘 = 233,3 𝑚𝑑 = 0,233 Darcy
Profa. M. Sc. Cindy Pamela Aguirre Ruiz
Cálculo da vazão total
𝑞𝑡 =
0,233 × 6 × 0,802
1 × 4
𝑞𝑡 =
 𝑘𝐴𝑡∆𝑝
𝜇𝐿
𝑞𝑡 = 0,28 𝑐𝑚
3/𝑠
Exemplo de Leitos paralelos – fluxo linear
12. Três testemunhos ligados em paralelo possuem as seguintes 
características:
a) Com que fração da capacidade total de vazão cada um contribui?
b) Se água flui através dos três testemunhos, sob um diferencial de 
pressão de 15 psi, qual é a sua vazão? Considere que a viscosidade 
da água seja de 0,01 poise.
Comprimento cm 6 8 4
Diâmetro cm 2 3 1
Permeabilidade md 100 200 300
Cálculo da média da Permeabilidade
Leitos em série em fluxo linear
∆𝑝𝑡 =
𝑞𝜇𝐿𝑡
 𝑘𝐴
 𝑘 =
𝐿𝑡
 𝑖=1
𝑛 𝐿𝑖
𝑘𝑖
=
 𝑖=1
𝑛 𝐿𝑖
 𝑖=1
𝑛 𝐿𝑖
𝑘𝑖
𝑞𝜇𝐿𝑡
 𝑘𝐴
=
𝑞𝜇𝐿1
𝑘1𝐴
+
𝑞𝜇𝐿2
𝑘2𝐴
+
𝑞𝜇𝐿3
𝑘3𝐴
∆𝑝𝑡 = ∆𝑝1 + ∆𝑝2 + ∆𝑝3
 𝑘 =
𝐿𝑡
𝐿1
𝑘1
+
𝐿2
𝑘2
+
𝐿3
𝑘3
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Exemplo de Leitos em série em fluxo linear
13. Calcule a permeabilidade média de uma formação composta pelas 
seguintes em série:
Arena Longitude da areia Permeabilidade (md)
1 400 70
2 250 400
3 300 100
4 500 60
Cálculo da média da Permeabilidade
Leitos Paralelos com fluxo radial
𝑞𝑖 =
2𝜋𝑘𝑖ℎ𝑖(𝑝𝑒 − 𝑝𝑤)
𝜇 ln
𝑟𝑒
𝑟𝑤
, 𝑖 = 1, 𝑛
𝑞𝑡 = 
𝑖=1
𝑛
𝑞𝑖
𝑞𝑡 =
2𝜋 𝑘ℎ𝑡(𝑝𝑒 − 𝑝𝑤)
𝜇 ln
𝑟𝑒
𝑟𝑤
 𝑘 =
 𝑖=1
𝑛 𝑘𝑖ℎ𝑖
ℎ𝑡
=
 𝑖=1
𝑛 𝑘𝑖ℎ𝑖
 𝑖=1
𝑛 ℎ𝑖
Profa. M. Sc. Cindy Pamela Aguirre Ruiz
Exemplo
14. Deseja-se aumentar a produtividade de um poço de óleo com fluxo
radial em série. O engenheiro “A” sugere que colocar um empaque de
grava em um raio de 2 pés faria com que a permeabilidade média fosse
5 vezes maior. O engenheiro “B” diz que a injeção de um produto
químico “mágico” (estimulação) seria capaz de aumentar a
permeabilidade média em 4 vezes em um raio de 5 pés. Qual dos dois
engenheiros oferece a melhor resposta?
Dados:
 𝑟𝑤 = 0,5 pés
 𝑟𝑒 = 1000 pés
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Cálculo da média da Permeabilidade
Leitos em série com fluxo radial
 𝑘 =
ln
𝑟𝑒
𝑟𝑤
1
𝑘1
ln
𝑅
𝑟𝑤
+
1
𝑘2
ln
𝑟𝑒
𝑅
Profa. M. Sc. Cindy Pamela Aguirre Ruiz
 𝑘 =
ln
𝑟𝑒
𝑟𝑤
1
𝑘1
ln
𝑟1
𝑟𝑤
+
1
𝑘2
ln
𝑟2
𝑟1
+⋯+
1
𝑘𝑛
ln
𝑟𝑒
𝑟𝑛−1
 𝑘 =
ln
𝑟𝑒
𝑟𝑤
 𝑖=1
𝑛 1
𝑘𝑖
ln
𝑟𝑖
𝑟𝑖−1
Exemplo 7 - Permeabilidade 
Leitos em série – fluxo radial
15. Um poço tem um raio igual a 10 cm e um raio de drenagem de 400
m. Se a pressão externa é de 200 kgf/cm2 e a pressão dinâmica de
fundo de poço é de 150 kgf/cm2 , qual é a pressão em um raio de 2
m?
Solução
𝑞 =
2𝜋𝑘2ℎ (𝑝𝑒 − 𝑝)
𝜇 ln
𝑟𝑒
𝑅
=
2𝜋𝑘3ℎ (𝑝𝑒 − 𝑝𝑤)
𝜇 ln
𝑟𝑒
𝑟𝑤
Profa. M. Sc. Cindy Pamela Aguirre Ruiz
𝑝 = 𝑝𝑒 −
𝑝𝑒 − 𝑝𝑤
)l n( 𝑟𝑒 𝑟𝑤
l n 𝑟𝑒 𝑅
𝑝 = 200 −
200 − 150
)l n( 400 0,1
l n 400 2
𝑝 = 168 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2
Profa. M. Sc. Cindy Pamela Aguirre Ruiz