Aula-4 Distância

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Prof. Assoc. Paulo C. L. Segantine 
100 m 
GRAMOMETRIA 
 
É a parte da Mensuração que estuda 
os processos e instrumentos 
utilizados nas medições dos 
alinhamentos entre pontos topográficos 
que se pretende representar. 
O comprimento de um alinhamento 
pode ser obtido por: 
1. Medições diretas 
2. Medições indiretas 
3. Medições eletrônicas 
Medições diretas 
 
 
Uma medição é considerada ‘direta’ 
quando o instrumento usado na 
medição apoia-se na superfície física 
ao longo do alinhamento. 
Os instrumentos normalmente 
utilizados para medições de distâncias 
diretas são chamados de 
“diastímetros” (como por exemplo: 
trenas, fitas de aço, trenas de aço). 
 
1. Passo médio 
2. Passômetro 
3. Odômetro 
4. Som/Relógio 
5. Réguas graduadas 
Rampa Subida Descida
0º 0,80 m 0,80 m
5º 0,73 m 0,77 m
10º 0,66 m 0,73 m
15º 0,59 m 0,70 m
20º 0,53 m 0,66 m
Rziha propõe para o passo médio: 
 senpP  1
Aclive 
Declive 







2
1

senpP
1. Cadeia de agrimensor 
2. Trenas de pano ou de lona 
3. Trenas de aço 
4. Fio de invar 
 
GROSSEIROS 
 
SISTEMÁTICOS 
 
ACIDENTAIS 
Erros mais comuns nas 
medições lineares topográficas: 
1. Engano do número de trenadas 
Erros mais comuns nas 
medições lineares topográficas: 
1. Engano do número de trenadas 
2. Erro de leitura no diastímetro 
Erros mais comuns nas 
medições lineares topográficas: 
1. Engano do número de trenadas 
2. Erro de leitura no diastímetro 
3. Erro de aproximação na leitura de 
 aproximação no diastímetro 
1. Engano do número de trenadas 
2. Erro de leitura no diastímetro 
3. Erro de aproximação na leitura de aproximação no diastímetro 
4. Erro na grafia dos algarismos 
Erros mais comuns nas 
medições lineares topográficas: 
1. Engano do número de trenadas 
2. Erro de leitura no diastímetro 
3. Erro de aproximação na leitura de aproximação no diastímetro 
4. Erro na grafia dos algarismos 
5. Erro de aproximação do ponto ‘zero’ 
Erros mais comuns nas 
medições lineares topográficas: 
1. Engano do número de trenadas 
2. Erro de leitura no diastímetro 
3. Erro de aproximação na leitura de aproximação no diastímetro 
4. Erro na grafia dos algarismos 
5. Erro de aproximação do ponto ‘zero’ 
6. Erro devido ao comprimento do 
 diastímetro 
Erros mais comuns nas 
medições lineares topográficas: 
Erro devido ao comprimento 
do diastímetro 
 
 
 
 nn
r
Ctrenadaocompriment
Ctrenadaocompriment
Lmedidoocompriment
Lrealocompriment
nominal

A regra de três é inversa porque, quanto 
maior for o diastímetro, menor será o número 
de vezes que caberá dentro da linha. 
 
Exemplo aplicativo
Um alinhamento foi medido com uma
trena, que depois de aferida media
19,96m e registrou 113,30m. Qual o
comprimento real deste alinhamento?
mLL
C
C
L
L
rr
nn
r 07,113
20
96,19*30,113

Erros mais comuns nas 
medições lineares topográficas: 
7. Erro devido a temperatura 
 tLCT  **0 
Comprimento nominal 
da trena 
Coeficiente de dilatação 
do material 
Diferença de temperatura 
8. Erro devido a catenária 
Erros mais comuns nas 
medições lineares topográficas: 
0
2
3
8
L
f
CC 
F
LP
f
8
* 20
Cc = erro provocado pela catenária; 
f = flecha central; 
L0 = vão livre medido. 
F = força aplicada na operação 
P = peso próprio do material 
2
3
0
2
24
*
F
LP
CC 
O erro devido a catenária é do tipo
positivo e pode ser desprezível para
pequenas cordas.
9. Erro devido a tensão 
)(** 00 FFLcC fF 
Erros mais comuns nas 
medições lineares topográficas: 
cf
 = coeficiente de dilatação devido a tensão 
F0 = força padrão indicada pelo fabricante 
F = força aplicada na operação 
L0 = vão livre medido 
10. Erro devido de horizontalidade do 
diastímetro. 
Erros mais comuns nas 
medições lineares topográficas: 
11. Erro devido a verticalidade da baliza 
Erros mais comuns nas 
medições lineares topográficas: 
12. Erro devido ao desvio lateral 
Erros mais comuns nas 
medições lineares topográficas: 
13. Erro devido a inclinação do terreno 
Erros mais comuns nas 
medições lineares topográficas: 
v = variação de altura considerada 
para o comprimento da trena 
utilizada. 
O limite do erro depende 
naturalmente do objetivo e 
consequentemente da precisão. 
Este limites são fixados em 
normas cadastrais. 
DHe 015,0
Terrenos planos 
Terrenos ligeiramente inclinados 
DHe 020,0
Terrenos inclinados 
DHe 025,0
. 
resolução de diferentes 
tipos de triângulos. 
Aplicam conceitos da 
Trigonometria e da 
Geometria 
São de utilização rápida onde a 
distância entre dois pontos 
topográficos é calculada através da 
medição de outras grandezas, não 
havendo, portanto, a necessidade de 
percorrer o alinhamento para 
compará-la com a grandeza padrão. 
Geralmente utilizam recursos 
óticos para efetuar as medições. 
vantagem de seu uso em regiões 
de relevo acidentado. 
A distância é obtida através de um 
triângulo retângulo ou um triângulo 
isósceles 
trigonometria plana 
 
DE
CF
ABCG
DE
AB
CF
CG
*
Aplicando o princípio estadimétrico, 
GREEN (1778) construi um aparelho 
simples, composto por um tubo de 3 
fios, a que deu o nome de estadia. 
1º caso: ângulo vertical de altura igual a 
zero 00 - luneta horizontal. 
 
2º caso: ângulo vertical de altura 
diferente de zero 00 - 
luneta inclinada. 
CHDH  *100
Aláticos 
Analáticos 
HDH *100
FIFSH 
Exemplo aplicativo: Se desejarmos medir um 
alinhamento AB, o teodolito (composto por uma 
luneta analática) será instalado em A, e a mira será 
instalada em B; em seguida, faz-se as leituras dos 
fios estadimétricos superior e inferior e 
suponhamos ter encontrado mmFS 1282 e mmFI 815 . 
Qual o valor da distância AB? mmmDH 700,4646700100*467 
Aláticos  cos*cos**100 2 CHDH 
Analáticos 2cos**100 HDH  FIFSH 
L 1
L 2
1

2
i
DH
Este método é indicado para os 
teodolitos que possuem apenas os fios 
axiais (vertical e horizontal). 
No caso de se utilizar aparelhos que 
possuem além dos fios axiais, fios 
estadimétricos, o operador deve 
utilizar sempre os mesmos fios como 
referência para as leituras na mira. 
Este método é indicado para os teodolitos que possuem apenas os 
fios axiais (vertical e horizontal). 
L 1
L 2
1

2
i
DH
12
12
tantan  


LL
DH
L 1
L 2
1

2
i
DH
Calcule a distância entre os pontos sabendo: 
L1 = 1282mm  α1= 2º 32´ 42” 
L2 = 1645mm  α2= 4º 24´ 16” 
 
DH = 11,143m 
As medições de distâncias, davam 
preferência às grandezas angulares 
em relação às grandezas lineares, 
dada a maior precisão conseguida 
pelas medições angulares. 
No passado 
distanciômetros eletrônicos mudou 
esta relação. 
No presente 
Existem diferentes tipos de EDMs, que 
utilizam: microondas, laser, ondas de 
rádio etc. 
Os mais comuns são aqueles que 
funcionam com infravermelho, por 
serem mais leves e de fácil 
manuseio. 
Medição de distâncias 
• Através de instrumentos topográficos 
mede-se sempre a distância inclinada. 
O distanciômetro eletrônico pode ser 
acopladoa um teodolito ótico ou eletrônico; 
Ainda pode ser inserido num teodolito 
eletrônico (estação total). 
DI2002 S 
DI3000S 
DI2002 S 
DI3000S 
TM1100 
TC307 TC407 
Pentax 
Prisma 
ótico 
TC 702 
Medições angulares / Medição 
de distâncias com infravermelho 
(IR). Precisão angular de 2". 
 
Faz correção automática do erro 
de linha visada, de eixo 
inclinado, de índice vertical, 
inclinação do eixo vertical, 
curvatura da terra e refração. 
TCR 702 
Medições angulares / Medição de 
distâncias com infravermelho(IR) / 
Medição de distâncias sem alvo 
refletor (RL). Precisão angular de 2". 
 
Faz correção automática do erro de 
linha visada, de eixo inclinado, de 
índice vertical, inclinação do eixo 
vertical, curvatura da terra e 
refração. 
TCRA 702 
Medições angulares / Medição de 
distâncias com infravermelho (IR) / 
Medição de distâncias sem alvo 
refletor (RL) / Reconhecimento 
automático dos alvos (ATR) / 
Topografia motorizada. Precisão 
angular de 2". 
 
Faz correção automática do erro de 
linha visada, de eixo inclinado, de 
índice vertical, inclinação do eixo 
vertical, curvatura da terra e 
refração. 
 
A medição eletrônica é baseada na emissão 
e recepção de uma onda eletromagnética. 
A 
B 
L 
Precisão da distância medida 
eletronicamente 
É função, principalmente, de: 
• Resolução do indicador de fase 
(capacidade do aparelho de medir 
defasagem); 
Precisão da distância medida 
eletronicamente 
É função, principalmente, de: 
• Resolução do indicador de fase (capacidade do aparelho de medir 
defasagem); 
• Freqüência da onda usada para a medida 
da fração decimal da distância; 
Precisão da distância medida 
eletronicamente 
É função, principalmente, de: 
• Resolução do indicador de fase (capacidade do aparelho de medir 
defasagem); 
• Freqüência da onda usada para a medida da fração decimal da distância; 
• Estabilidade das freqüências das ondas 
(oscilador). 
Correções de distâncias medidas 
eletronicamente 
• Correções sistemáticas devido aos erros 
instrumentais; 
Correções de distâncias medidas 
eletronicamente 
• Correções sistemáticas devido aos erros instrumentais; 
• Correções causadas pelas condições 
atmosféricas; 
Correções de distâncias medidas 
eletronicamente 
• Correções sistemáticas devido aos erros instrumentais; 
• Correções causadas pelas condições atmosféricas; 
• Correções geométricas. 
Correções dos erros 
instrumentais 
• Constante de adição (prismas não adaptados 
ao instrumento de medida), geralmente = 0; 
Correções dos erros 
instrumentais 
• Constante de adição (prismas não adaptados ao instrumento de medida), 
geralmente = 0; 
• Constante de escala ( variação da freqüência 
da onda de modulação usada pelo 
instrumento). Já existem aparelhos com auto 
correção; 
Correções dos erros 
instrumentais 
• Constante de adição (prismas não adaptados ao instrumento de medida), 
geralmente = 0; 
• Constante de escala ( variação da freqüência da onda de modulação 
usada pelo instrumento). Já existem aparelhos com auto correção; 
• Erros cíclicos (erros devido a um defeito na 
medida da defasagem entre ondas 
transmitidas e recebidas  calibração ou auto-
correção). 
Correções atmosféricas 
Os instrumentos são calibrados para 
condições atmosféricas pré-determinadas, 
normalmente: 
• Pressão atmosférica = 760 mm/Hg (1013 
mb); 
• Temperatura do ar = 12° 
Para outras condições atmosféricas faz-se 
necessário corrigir as medidas realizadas 
de acordo com a fórmula de Barrel & Sears. 
Correções atmosféricas 
7857,0
t237,3
7,5t
x
absoluto valor em relativa, umidadeh
C; em atemperaturt
mb; em pressãop
ppm; em aatmosféric Correção s
:
10
)16,273(100
27,11
00366,01
29035,0
5,281











Onde
t
h
t
p
s x
Exemplo: 
89,17857,0
413,237
41*5,7
10*
)4116,273(100
95*27,11
41*00366,01
993*0,29035
-281,5s
:Assim
% 95h
C 41
 993 745










x
t
mbHgmmP
x
Exemplo: 
ppms
s
 4,33
64,270,2505,281


Em instrumentos modernos, basta inserir 
temperatura e pressão que ele calcula 
automaticamente o ppm e corrige as distâncias. 
Correções geométricas 
Dependem das altitudes dos pontos 
medidos, da latitude local, do 
elipsóide de referência e do sistema 
de coordenadas plano adotado. 
Meça uma distância mínima de 30 
metros com trena, por estadimetria 
e com estação total. Faça um 
relatório e comente as vantagens e 
desvantagens de cada método. 
Tipos de distâncias 
Existem diversas distâncias relevantes 
sob a ótica da Mensuração: 
•Inclinada; 
•Horizontal; 
•Esférica; 
•Plana. 
•Vetor 
P 
Q 
Distância inclinada L’ 
Distância horizontal DH (L) 
DN 
Superfície terrestre 
Distâncias inclinada e horizontal 
horizontal 
L (distância horizontal) 
 
 
P 
Q Zênite 

senLL
ou
LL

 cos
Quando é válida esta expressão? 


senLL
ou
LL

 cos
Somente para pontos suficientemente 
próximos, entre os quais se possa 
desconsiderar a curvatura terrestre. 
Distância esférica 
Considerando-se então a curvatura 
terrestre e adotando-se uma esfera 
como a superfície de referência, 
tem-se a seguinte situação: 
A’ 
L A 
L B 
L 0 
A H A 0 
A B’ 
0 B 
B 
 B 
H 
R 
R = raio da Terra 
 B = altitude do ponto B H 
 A = altitude do ponto A H 
L A = distância esférica 
 no nível A 
L B = distância esférica 
 no nível B 
L 0 = distância esférica 
 no nível do geóide 
B
B
A
A
HR
L
HR
L
R
L



0








R
H
L
L
C
C
1
0
Generalizando: 
ppm
HR
H
d
C
C 610Re


 dLLL cc Re*0 
Na prática, opera-se com valores em 
ppm adotando-se uma altitude média 
para a região na qual desenvolveu-se o 
levantamento. 
Seja uma distância de 1253,936 
metros medida num local de raio 
médio igual a 6362,735 km, altitude 
ortométrica igual a 854,159 metros 
e latitude igual a 21° 58´ 32”. Qual 
o valor desta distância no nível do 
geóide? 
Valores para a distância esférica considerando-se alguns valores de altitude. 
 
Distância esférica [m] Valores de altitude 
h [m] 
1000 2000 5000 10 000 
0 0 0 0 0 
10 1000,002 2000,003 5000,008 10000,016 
100 1000,016 2000,031 5000,078 10000,157 
500 1000,078 2000,157 5000,392 10000,785 
1000 1000,157 2000,314 5000,785 10001,570 
 
L = distância horizontal em A; 
L A = distância esférica no nível 
 de A; 
C A = corda AB’; 
α = ângulo no centro da 
Terra. 
A B 
B’ 
R 
L 
H A 
L A 
C A 
H = 0 
B’ = projeção de B sobre A 
na superfície esférica; 
Relação distância esférica 
versus distância horizontal 
α 
Arco AB’ 
  *AA HRL 
Corda AB’
 
2
*2

senHRC AA 
tangente AB
  tan*AHRL 
 
valores do 
arco  
valores do 
arco LA 
 [m] 
valores da 
corda CA 
[m] 
valores da 
tangente L 
[m] 
diferença 
LA -CA 
[m] 
diferença 
L-LA 
[m] 
1’ 1855,285 1855,285 1855,285 6*10
-6
 5,23*10
-5
 
2’ 3710,570 3710,570 3710,570 5,23*10
-5
 4,71*10
-4
 
5’ 9276,425 9276,424 9276,431 8,17*10
-4
 0,007 
10’18552,850 18552,843 18552,902 0,006 0,059 
30’ 55658,550 55658,373 55658,963 0,177 1,590 
1º 111317,100 111315,687 111328,404 1,413 12,717 
 
Redução de distâncias inclinadas 
Significa calcular, a partir do valor da 
distância inclinada, o valor da distância 
projetada sobre uma superfície de 
referência. 
Reduzir a partir do ângulo vertical 
    












2
*cos*
2
*cos*
 HLsenHLLA
    












2
*cos*
2
*cos*
 HLsenHLLB
Distância do nível A: 
Distância do nível B: 
cos*LLm 
Distância no nível médio entre A e B 
Para os cálculos dessas 
distâncias, é importante o 
conhecimento do ângulo . 
 
Para os cálculos dessas distâncias, é importante o 
conhecimento do ângulo . 
 
Entretanto, o ângulo medido é o 
ângulo vertical de altura do 
alinhamento AB, que também 
não é o ângulo . 
Entendendo a refração 
A atmosfera terrestre é composta 
por uma combinação de diversos 
gases e vapor d’água. Ao atravessar 
uma parte da atmosfera, a visada AB 
que se esperava ser retilínea, sofre 
uma curvatura. Isto ocorre devido ao 
efeito da refração. 
 é o ângulo de 
altura efetivamente 
medido. 
 é o ângulo de 
refração. 
2
*

 K
Considerando a teoria do nivelamento 
trigonométrico, admite-se que: 
K = 0,1306  valor médio do coeficiente de 
refração obtido por Gauss, JORDAN (1944). 
Arredondado para 0,13. 
 
2
1
2
 K
cos*LLr 
Tomando-se o ângulo de altura  
efetivamente medido, obtem-se uma 
distância denominada distância 
reduzida - Lr - dada por 
 
 
 



























2
1*
2
coscos
2
1coscos
2
1cos






KHLL
KLLL
KLL
r
r
r
Substituindo a equação do valor de 
 na equação de  
    






2
*1*cos*
 KHLLr
Considerando ainda que o ângulo  
seja suficientemente pequeno, pode-
se adotar 
1
2
cos 

Então equação será: 
R
L
22


Assim, pode-se a partir deste 
momento calcular a diferença de 
distância entre o valor de Lr e os 
demais valores calculados. Sabendo-
se que: 
 
 





 



R
K
HLLL
KHLL
HLKHLLL
Ar
Ar
ArA
2
2
**
2
.2
2
cos
2
1cos





 
R
K
LHLL
HKLL
HLKHLLL
Br
Br
BrB
2
**
2
2
cos
2
1cos








 
 





 



R
K
LhLL
KHLL
LKHLLL
mr
mr
mrm
2
1
**
2
1
cos
2
1cos




Lh
Lh
Lh
m
B
A






**10*684,0
**10*102,0
**10*466,1
7
7
7



Os erros em função da diferença de altitude 
e da distância esférica S, para K= 0,13 e 
R=6 356,778 km (região de São Carlos), têm-
se: 
Considere , para a 
qual deseja-se calcular a altitude Hr da 
distância reduzida Lr. 
0 AB HHH
H
K
HH
K
HH ABr 






2
1
2
   HHHHH ABr  *935,0*065,0
Introduzindo-se o valor de K = 0,13: 
Considerando as relações apresentadas 
e que 
AB HHH 
, tem-se que: 
   cos**11,14 kmL
equação aproximada 
Os cálculos anteriores podem ser 
realizados em função do ângulo 
vertical corrigido , conforme 
apresentado a seguir: 
cos*LLr 






 HHH Am *
2
1
senLH *
Exemplo: 
A partir de um ponto P, de altitude 870 m, 
visou-se um ponto Q, obtendo-se os 
seguintes valores: 
 
L’ = 5643,856 m 
 = 5 04’ 29” 
 
Pede-se reduzir a distância PQ ao nível do 
mar (para R0 = 6362,733 km). 
Solução através do ângulo 
 vertical medido 
   HHHHH ABr  *935,0*065,0
cos.LLr  kmLr 735,5621"29 '04 5cos .856,5643 
O valor real de H é dado por: 
 HHr  *935,0870
 
  



cos**11,14 e metros) em (R
 )aproximado(valor 
2
cos'.
2
2
cos
'.
0
0
kmL
HR
L
senL
H
A




Simplificadamente pode-se adotar: 
senLH *
m senH 226,499"29'045*856,5643 0 
Assim: 
  m 2265,13362265,499*935,0870 rH
ppm
HR
H
d
C
C 610Re


ppm
HR
H
d
C
C 610Re


ppmd 05,21010
13376362735
7768,1336
Re 6 


 dLLL cc Re*0 
m L 552,5620
10
210
*7331,56217331,5621
60







Solução através do ângulo 
 vertical corrigido 
   cos**11,14 kmL
senLH *
cosLLm 
ppm
HR
H
d
C
C 610Re


 dLLL cc Re*0 
Distância plana 
Em diversos cálculos relativos à 
determinação de coordenadas 
em Mensuração considera-se um 
plano de projeção, a partir do 
qual define-se o sistema de 
coordenadas NE. 
 
As distâncias planas são distâncias 
deformadas, que variam de acordo com 
o tipo de relação da projeção adotada. 
No Brasil adota-se o sistema de projeção 
UTM. 
Projeção UTM 
Cilíndrica 
Conforme 
Geodésica-plana UTM 
Escala > verd 
Escala > verd 
Geodésica-plana UTM 
As distâncias planas são diferentes das 
distâncias “topográficas” 
Geodésica-plana UTM 
As distâncias planas são diferentes das distâncias “topográficas” 
Para que as distâncias planas possam 
ser locadas no terreno, elas necessitam 
ser corrigidas pelo fator de escala local 
da projeção utilizada. 
Distância entre 
as antenas 
vetor