2 - Fuzzy - Conceitos Básicos de Conjuntos Crisp e Fuzzy

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cro e sor Conjuntos Crisp e Fuzzy 1
LABIC
Conceitos Básicos de 
Conjuntos Crisp e 
Fuzzy
ClaudioClaudio Rodrigues de OliveiraRodrigues de Oliveira
Solange Oliveira RezendeSolange Oliveira Rezende
LABIC/SCE/ICMCLABIC/SCE/ICMC
USP São CarlosUSP São Carlos
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RoteiroRoteiro
• Motivação
• Conjuntos Crisp (Convencionais)
• Conjuntos Fuzzy (Nebulosos ou Difusos)
• Aplicações
• Considerações Finais
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MotivaçãoMotivação
• Supera as limitações da lógica convencional
• Permite tratar matematicamente expressões em 
linguagem natural
• Representa o conhecimento superficial ou abstrato de 
um dado objeto referenciado
• Tratamento de Incerteza
• Representa o grau de verdade de uma dada proposição
• Possui ampla aplicabilidade em sistemas de controle
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Conjuntos Crisp (convencionais)Conjuntos Crisp (convencionais)
• Um conjunto Crisp é definido como um subconjunto de um 
universo qualquer (conjunto universo X), onde possui 
elementos desse universo.
• Ex: 
 Conjunto Universo: {aranha, abelha, baleia, galinha, cachorro, 
elefante, mosca, jacaré}
 Conjunto dos Animais Mamíferos {baleia, cachorro, elefante}
→Apenas uma parcela dos animais formam os mamíferos.
→Somente eles representam os mamíferos com 100% de 
certeza.
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Conjuntos Crisp (convencionais)Conjuntos Crisp (convencionais)
• Função Característica
 A:X→{0,1}
 A(X)=1 se e somente se X ∈ A.
 A(X)=0 se e somente se X∉ A.
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Lógica CrispLógica Crisp
• A lógica aplicada aos conjuntos crisp é baseada na lógica 
de Aristóteles.
• Faz uso da álgebra booleana.
• Emprega o preceito da dualidade, ou seja, somente admite 
valores verdadeiro ou falso para uma dada proposição
• Raciocínio baseado em premissas e conclusões
Valor verdade de uma afirmaçãoValor verdade de uma afirmação
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Relações Entre Conjuntos CrispRelações Entre Conjuntos Crisp
a, b, c b, c, a a, b, c b, c, a 
1. Igualdade * A = B
Ex: A= {a,b,c}
B= {b,a,c}
A BA B
a,c,b a,e,c,d a,c,b a,e,c,d 
2. Diferença * A ≠ B
Ex: A= {a,c,b}
B= {a,e,c,d}
A BA B
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Relações Entre Conjuntos CrispRelações Entre Conjuntos Crisp
3. Inclusão * A ⊂ B
Ex: A={a,b,c}
B={a,b,c,d,e}
A BA B
A é subconjunto de BA é subconjunto de B
a,b,c a,b,c a,b,c,d,ea,b,c,d,e
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Relações Entre Conjuntos CrispRelações Entre Conjuntos Crisp
4. Intersecção * A ∩ B
Ex: A={a,b,c,d,e,f,g}
B={0,1,2,3,e,f,g}
A ∩ B = {e,f,g}
a,b,c,d,e,f,ga,b,c,d,e,f,g 0,1,2,3,e,f,g0,1,2,3,e,f,g
A BA B
a,b,c,d e,f,ga,b,c,d e,f,g 0,1,2,30,1,2,3
A ∩ B
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Relações Entre Conjuntos CrispRelações Entre Conjuntos Crisp
5. União * A ∪ B
Ex: A={a,b,c,d,e,f,g}
B={0,1,2,3,e,f,g}
A ∪ B = {0,1,2,3,a,b,c,d,e,f,g}
a,b,c,d,e,f,ga,b,c,d,e,f,g 0,1,2,3,e,f,g0,1,2,3,e,f,g
A BA B
0,1,2,3, a,b,c,d,e,f,g0,1,2,3, a,b,c,d,e,f,g
A ∪ B
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Relações Entre Conjuntos CrispRelações Entre Conjuntos Crisp
6. Complemento * ¬A
Ex: U={a,b,c,d,e,f,g}
A={a,b,c}
¬A = {d,e,f,g}
a,b,c,d,e,f,g a,b,c,d,e,f,g 
AA
d,e,f,g d,e,f,g 
Complemento de AComplemento de A Complemento de A Complemento de A 
em relação a Uem relação a U¬A
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Propriedades dos Conjuntos CrispPropriedades dos Conjuntos Crisp
1.1. IINVOLUÇÃONVOLUÇÃO → A negação de um conjunto negado →
Ex: A → Conjunto
B → Universo
A = {a,b,c}
¬¬A= A, onde ¬A = {d,e,f,g} e ¬¬A={a,b,c}
A negação de um conjunto negado 
resulta no mesmo conjuntoresulta no mesmo conjunto
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Propriedades dos Conjuntos CrispPropriedades dos Conjuntos Crisp
22. . LEILEI DODO MEIOMEIO EXCLUIDOEXCLUIDO
Ex: A ∪ ¬A =X
A união de um conjunto com seu complemento A união de um conjunto com seu complemento 
resulta no conjunto universoresulta no conjunto universo
33. . LEILEI DADA CONTRADIÇÃOCONTRADIÇÃO
Ex: A ∩ ¬A = ∅
A intersecção de um conjunto com o seu A intersecção de um conjunto com o seu 
complemento resulta em conjunto vazio.complemento resulta em conjunto vazio.
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Conjuntos FuzzyConjuntos Fuzzy
⇒Não Empregam Valores Verdade
⇒Um elemento pode pertencer com um certo grau a um dado 
conjunto
⇒Expressa valores linguísticos/ usa variáveis linguísticas
⇒Suporta modos de raciocínio aproximado
⇒O raciocínio exato corresponde um caso limite do raciocínio 
aproximado.
⇒O elemento de um conjunto fuzzy é representado por µi/χi, o que 
denota que: O elemento χi pertence ao conjunto fuzzy com grau 
µi.
Grau de pertinênciaGrau de pertinência
Grau de pertinênciaGrau de pertinência
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Função de PertinênciaFunção de Pertinência
• É a função que define os grau de pertinência do elemento 
num conjunto fuzzy.
• µA:U⇒ [0,1]
• X é mapeado por um valor Y e representa o grau de 
pertinência.
• Ex:
 Seja A ⊆ X no qual:
 A = {2,4,6,8,10}
 A(x) = x/10
 A(x) = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1
 Representação Fuzzy de A: {0.2/2, 0.4/4, 0.6/6, 0.8/8, 1/10}
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Exemplo de um Conjunto FuzzyExemplo de um Conjunto Fuzzy
 Adulto = {0/5+0/10+0.5/16+0.7/17+0.8/20+0.9/22+1/30+1/40}
 cada elemento tem o formato µi/χ i, sendo µi o grau de pertinência
 elementos de 5 a 10 → pertinência com grau 0.
 30 a 40 → pertinência com grau 1
 16,17,20,22 → graus de pertinência variando entre 0.5 e 0.9.
⇒ o símbolo + indica a união dos elementos e não soma algébricao símbolo + indica a união dos elementos e não soma algébrica
imprecisãoimprecisão
A notação para conjuntos fuzzy pode ser expressa da seguinte forma:
A = {µ1/χ1 + µ2/χ 2+ µ3/χ 3 + µ4/χ 4+ ... + µn/χ n}
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Representação GráficaRepresentação Gráfica
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
5 10 16 17 20 22 30 40
0
0,5
0,7
0,8
0,9
1
Representação Gráfica do Conjunto Representação Gráfica do Conjunto FuzzyFuzzy AdultoAdulto
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Conjuntos Fuzzy do Tipo 2Conjuntos Fuzzy do Tipo 2
• Os graus de pertinência são conjuntos fuzzy do tipo 1.
 * Conjunto Fuzzy representando um conceito inteligente:
0/150/15
0.3/160.3/16
0.8/200.8/20
0/1.00/1.0
0.5/1.50.5/1.5
0.9/1.750.9/1.75
0/2.00/2.0
0.3/1.750.3/1.75
0.1/1.30.1/1.3
Alta/JoãoAlta/João
Média/JoséMédia/José
Baixa/MariaBaixa/Maria Média Alta BaixaMédia Alta Baixa
Conjuntos Conjuntos FuzzyFuzzy representando os representando os valoresvalores
linguísticoslinguísticos: Alta, Média, baixa: Alta, Média, baixa
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Operações Sobre Conjuntos FuzzyOperações Sobre Conjuntos Fuzzy
• Pode-se destacar as operações de complemento, união e 
intersecção.
Sejam A e B conjuntos Sejam A e B conjuntos FuzzyFuzzy de X:de X:
µµÃ-- Complemento de A:Complemento de A:
¬A(x) = 1 ¬A(x) = 1 -- A(x)A(x)
Ã
A ¬A
(a)(a)
11
XX
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Operações Sobre ConjuntosFuzzyOperações Sobre Conjuntos Fuzzy
-- União de A com B:União de A com B:
A(x) A(x) ∪∪ B(x) = B(x) = maxmax[A(x), B(x)][A(x), B(x)] AA BB
(b)(b)
µµAA∪∪BB
XX
AA
(c)(c)
-- Intersecção de A com B:Intersecção de A com B:
A(x) A(x) ∩∩ B(x) = min[A(x), B(x)]
µµAA∩ ∩ BB
B(x) = min[A(x), B(x)]
BB
XXA A ∩∩ BB
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Operações Sobre Conjuntos FuzzyOperações Sobre Conjuntos Fuzzy
-- Negação de A:
(d)(d)
Negação de A:
A ¬A
A linha azul A linha azul 
representa a representa a 
negação do negação do 
conjunto conjunto fuzzyfuzzy A.A.
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Variável LinguísticaVariável Linguística
• Definição: é uma quíntupla (X,T(X),U,G,M), no qual:
 X: nome da variável
 T(X):Conjunto de valores linguisticos (atributos, adjetivos) de x
 U: Universo de discurso (faixa, intervalo)
 G: Regra sintática para gerar os valores de x.
 M: Regra semântica para associar cada valor a seu significado.
• Exemplo:
→ X=T=Temperatura
→ T(X)={baixa, muito baixa, moderadamente alta, ...}
→ U: [100°C, 500°C]
→ baixa: T abaixo de .... (G)
→ por volta de 250 °C (M): 
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Aplicações em Outras Áreas de IAAplicações em Outras Áreas de IA
⇒⇒ Sistemas Especialistas Sistemas Especialistas 
⇒⇒ Sistemas Baseados em ConhecimentoSistemas Baseados em Conhecimento
⇒⇒ Redes Neurais ArtificiaisRedes Neurais Artificiais
⇒⇒ ComputaComputaçção com Palavrasão com Palavras
⇒⇒ RaciocRaciocíínio Aproximadonio Aproximado
⇒⇒ Linguagem NaturalLinguagem Natural
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Aplicações IndustriaisAplicações Industriais
⇒⇒ Controle de ProcessosControle de Processos
⇒⇒ RobRobóóticatica
⇒⇒ ModelamentoModelamento de Sistemas parcialmente abertosde Sistemas parcialmente abertos
⇒⇒ Reconhecimento de PadrõesReconhecimento de Padrões
⇒⇒ Apoio ao Processo de Tomada de DecisõesApoio ao Processo de Tomada de Decisões
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Considerações FinaisConsiderações Finais
A teoria dos conjuntos A teoria dos conjuntos fuzzyfuzzy e a aplicação e a aplicação 
da lógica nebulosa representam um grande da lógica nebulosa representam um grande 
avanço científico, no sentido de que, por avanço científico, no sentido de que, por 
tratarem de incerteza, produzem soluções tratarem de incerteza, produzem soluções 
mais próximas do mundo natural, para mais próximas do mundo natural, para 
sistemas de diversos tipos, do que outros sistemas de diversos tipos, do que outros 
métodos.métodos.
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Algumas ReferênciasAlgumas Referências
[Klir & Yuan 95] Klir G. J. and Yuan Bo, Fuzzy Sets and Fuzzy
Logic – Theory and Aplications. Prentice Hall, N. J., 1995.
[Zadeh & Kacprzyk 92] Zadeh L.A., Kacprzyk J., Fuzzy Logic
For The Management of Uncertainty, 
N.Y./Chichester/Brisbane/Toronto/Singapore, John Wiley & 
Suns. Inc., 1992.
[Kasabov 96] Kasabov N. K., Fundations of Neural Networks, 
Fuzzy Systems, and knowledge Engeneering, MIT –
Massachusetts Institute of Technology, A Bradford Book, 1996.
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AgradecimentosAgradecimentos
* * José Augusto José Augusto FabriFabri, pelo material do exame de Qualificação , pelo material do exame de Qualificação 
Sistemas Sistemas NeuroNeuro--FuzzyFuzzy: Processamento e Aprendizado de : Processamento e Aprendizado de 
Conhecimento. UFSCar Conhecimento. UFSCar -- Departamento de Ciência da Departamento de Ciência da 
ComputaçãoComputação
* Trabalho sobre conjuntos * Trabalho sobre conjuntos fuzzyfuzzy e lógica e lógica fuzzyfuzzy produzido pelos produzido pelos 
professora Heloisa Camargo da UFSCar. professora Heloisa Camargo da UFSCar. 
* Material disponível nas URLs:* Material disponível nas URLs:
http://www.dee.ufc.br/~pimentel/fuzzy/fuzzy1.htmhttp://www.dee.ufc.br/~pimentel/fuzzy/fuzzy1.htm
http://www.inf.ufpr.br/~joao/cap0023.htmlhttp://www.inf.ufpr.br/~joao/cap0023.html
	Roteiro
	Motivação
	Conjuntos Crisp (convencionais)
	Conjuntos Crisp (convencionais)
	Lógica Crisp
	Relações Entre Conjuntos Crisp
	Relações Entre Conjuntos Crisp
	Relações Entre Conjuntos Crisp
	Relações Entre Conjuntos Crisp
	Relações Entre Conjuntos Crisp
	Propriedades dos Conjuntos Crisp
	Propriedades dos Conjuntos Crisp
	Conjuntos Fuzzy
	Função de Pertinência
	Exemplo de um Conjunto Fuzzy
	Representação Gráfica
	Conjuntos Fuzzy do Tipo 2
	Operações Sobre Conjuntos Fuzzy
	Operações Sobre Conjuntos Fuzzy
	Operações Sobre Conjuntos Fuzzy
	Variável Linguística
	Aplicações em Outras Áreas de IA
	Aplicações Industriais
	Considerações Finais
	Algumas Referências
	Agradecimentos