3 - Fuzzy - Algumas Definições para Subconjuntos Nebulosos

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LABIC
Subconjuntos Nebulosos
Solange Oliveira Rezende
LABIC/SCE/ICMC
USP São Carlos
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Subconjuntos Nebulosos
• Formalmente, um subconjunto nebuloso A é 
definido em um universo de discurso X e é 
caracterizado pela sua função característica
A : X → [0,1]
onde A expressa a extensão com que x se 
enquadra na categoria representada por A.
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Operações
• Intersecção: A ∩ B = C, onde
C(x) = min(A(x),B(x)) = A(x) ∧ B(x)
• União: A ∪ B = C, onde
– C(x) = max(A(x),B(x)) = A(x) ∨ B(x)
• Complemento: A, onde
A(x)=1-A(x)
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Definições
• Um operador T:[0,1]x[0,1] →[0,1] é 
chamado um operador T-norma se
– é não decrescente ponto a ponto
• T(a,b) ≥ T(c,d) se a ≥ c e b ≥ d
– é comutativo
• T(a,b) = T(b,a)
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Definições (cont.)
– é associativo
• T(a,T(b,c)) = T(T(a,b),c)
– satisfaz as condições limite
• T(0,a) = 0 e T(a,1) = a
• min é a maior de todas as T-normas 
possíveis
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Definições (cont.)
• Um operador S: [0,1] x [0,1] → [0,1] é 
chamado um operador T-conorma ou S-
norma se
– é não decrescente ponto a ponto
• S(a,b) ≥ S(c,d) se a ≥ c e b ≥ d
– é comutativo
• S(a,b) = S(b,a)
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Definições (cont.)
– é associativo
• S(a,S(b,c)) = S(S(a,b),c)
– satisfaz as condições limite
• S(a,0) = a e S(a,1) = 1
• max é a menor de todas as S-normas 
possíveis
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Definições (cont.)
• Um operador N:[0,1] → [0,1] é chamado 
um operador de negação se
– N(1) = 0; N(0) = 1
– é involutivo
• N(N(a)) = a
– é de ordem reversa
• se a > b então N(a) ≤ N(b)
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Definições (cont.)
• A lei de DeMorgan, válida na teoria de 
conjuntos, pode ser generalizada para 
subconjuntos nebulosos.
• Seja T uma T-norma qualquer. Então o 
operador S definido por
S(a,b) = 1 - T(a,b)
é uma S-norma, chamada dual de T.
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Definições (cont.)
• Os operadores max e min são operadores 
duais.
• Outro exemplo importante de T-norma é o 
operador de produto
T(a,b) = a . b
• e o seu dual é a S-norma
S(a,b) = a + b - ab
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• Outros exemplos:
– T(x,y)=xy/(x+y-xy)
– T(x,y)=max(1-((1-x)p+(1-y)p)1/p,0)
– S(x,y)=(x+y-2y)/(1-xy)
– S(x,y)=min((xp+yp)1/p,1)
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Diferença entre Negação e 
Antônimo
• O antônimo relaciona conceitos como alto-
baixo, grande-pequeno, velho-jovem.
• A negação relaciona alto-não-alto, baixo-
não-baixo, velho-não-velho
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Definições (cont.)
• Se A é um subconjunto nebuloso definido 
sobre o conjunto base X e X é um conjunto 
ordenado
X = {x1, x2, ..., xr}
no qual xi > xj quando i > j então
o antônimo  pode ser definido por
Â(xj) = A(xr-j+1)
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• Outras propriedades podem ser associadas 
aos operadores de união e intersecção.
• Cada par de operadores duais pode ou não 
possuir essas propriedades.
• A propriedade de idempotência exige que
T(a,a) = a e S(a,a) = a
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• A propriedade da lei do meio excluído:
A ∪ A = X
• E princípio da não contradição:
A ∩ A = 0
válidas na teoria dos conjuntos 
convencional, geralmente não são satisfeitas 
pelos conjuntos nebulosos.
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• Outra propriedade de interesse é a 
distributividade mútua:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
• No ambiente nebuloso, as propriedades de 
distributividade mútua e idempotência vêm 
juntas e se opõem à lei do meio excluído e 
da não contradição
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• Logo, na seleção de um operador, deve-se 
escolher entre esses pares de propriedades.
• Outros tópicos de interesse para esse 
trabalho relativos a subconjuntos nebulosos 
são os métodos para comparação de 
quantidades nebulosas. Duas medidas de 
proximidade entre subconjuntos nebulosos 
conhecidas são as medidas de possibilidade 
e necessidade (ou certeza).
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• Sejam A e B subconjuntos nebulosos do 
conjunto base X. A possibilidade de A com 
relação a B é definida como
Poss(A/B) = max x∈X[A(x)∧B(X)].
• E a certeza (necessidade) de A com relação 
a B é definida como
Cert(A/B) = min x∈X(A(x) ∨(1-B(x))].
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• As medidas de possibilidade e certeza se 
relacionam pela expressão
Cert(A/B) = 1 - Poss(A/B);
• A medida de possibilidade de A com 
relação a B reflete a extensão com que A e 
B se interceptam. A medida de certeza 
representa o grau com que B está contido 
em A.
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• Essas definições formais podem ser 
estendidas substituindo-se mínimo e 
máximo por T-soma e S-norma 
respectivamente:
Poss(A/B) = sup x∈X[A(x)*B(x)]
Cert(A/B) = inf x∈X[A(x)s(1-B(x))]
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• O conceito de relação pode ser naturalmente 
estendido a subconjuntos nebulosos e tem 
um papel importante na teoria e aplicação 
dos mesmos. Uma relação nebulosa R, 
definida sobre o produto cartesiano X × Y 
onde X e Y são conjuntos base, é um 
mapeamento tal que
• R: X × Y → [0,1]
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• Logo, a cada par de elementos (x,y), x E X 
e y E Y, é atribuído um número no intervalo 
[0,1]. Esse número representa o grau de 
ligação entre os elementos do par. Um 
exemplo simples é o conceito de 
aproximadamente igual.
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• Assuma X=Y={1 + 2 + 3 + 4}. Seja R a 
relação x é aproximadamente igual a y. 
Esta relação pode ser definida1 por
R = {1/(1,1) + 0.5/(1,2) + 0/(1,3) + 0/(1,4) + 
0.5/(2,1) + 1/(2,2) + 0;5/(3,2) + 0/(4,2) + 
0/(1,3) + 0.5/(2,3) + 1/(3,3) + 0.5/(4,3) + 
0/(1,4) + 0/(1,4) + 0.5/(3,4) + 1/(4,4)}
(1) + indica união e a/b significa que o grau de 
pertinência do elemento b é a.
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• Para conjuntos base finitos, a notação de 
matriz para relações nebulosas é bastante 
útil. Neste caso a relação R é representada 
como uma matriz [R(xi,yj)] tal que








=
15.000
5.015.00
05.015.0
005.01
 )y,R(x ji
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LABIC
• A operação de produto cartesiano pode ser 
facilmente estendida para subconjuntos 
nebulosos. Sejam A e B subconjuntos 
nebulosos sobre os conjuntos de base X e Y, 
respectivamente. O produto cartesiano A x 
B é definido como uma relação nebulosa, 
tal que
A x B(x,y) = min [A(x), B(y)];
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