aPOSTILA 2 ANO 1 BIMESTRE 2025 (2) (2)

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O Reino das Tabuadas: A Jornada para a Torre do Conhecimento
Em um mundo distante, onde as leis da matemática governavam o equilíbrio do universo, existia um
reino mágico chamado Numerópolis. Este reino era dividido em várias regiões, cada uma regida por uma
força diferente da matemática: álgebra, geometria, trigonometria, cálculo... Mas havia uma região que
todos os habitantes consideravam especial e fundamental para que as outras regiões pudessem
prosperar: a Região das Tabuadas.
A Região das Tabuadas era conhecida por sua grandeza e importância, pois, sem ela, nenhuma outra
região poderia funcionar corretamente. Isso porque, em Numerópolis, existia uma poderosa Torre do
Conhecimento, onde todos os estudantes passavam para adquirir o conhecimento necessário para
resolver os problemas mais complexos do reino. Mas havia um requisito essencial para entrar na Torre:
saber toda a tabuada de cor.
O Grande Desafio
Em uma manhã brilhante, um jovem estudante chamado Lucas decidiu que queria ser um grande
matemático. Ele sonhava em estudar as artes mais profundas da álgebra e da geometria, mas sabia que,
para isso, precisaria primeiro entender as bases fundamentais de Numerópolis. Ele sabia que, sem a
tabuada, seu progresso seria limitado. Muitos diziam que a tabuada era a chave para todo o aprendizado
matemático, mas Lucas nunca deu muita importância a isso. Para ele, eram apenas números repetidos,
algo que ele nunca acharia interessante o suficiente para memorizar.
No entanto, ao tentar resolver problemas mais avançados, Lucas começou a perceber uma coisa:
sempre que chegava em uma etapa mais difícil, ele se via preso. Um problema de multiplicação aqui,
uma divisão ali, e logo ele se via travado. Em busca de respostas, ele foi até o grande sábio Professor
Pythagoras, um mestre da matemática que vivia nas montanhas da região das Tabuadas.
— Professor Pythagoras, eu quero aprender mais sobre álgebra, geometria e até cálculo! Mas sinto que
sempre fico preso nos problemas de multiplicação e divisão. Por que isso acontece? — perguntou Lucas,
com um olhar curioso.
O sábio sorriu e respondeu:
— Ah, jovem Lucas, o que você está enfrentando é o obstáculo da falta de agilidade. Para avançar nas
artes da matemática, você precisa entender algo muito importante: as tabuadas são como os
fundamentos de um castelo. Sem um bom alicerce, o castelo desaba. A tabuada é o alicerce do seu
aprendizado. Sem ela, você será como um viajante perdido, tentando atravessar um campo de números
sem saber qual caminho seguir.
O Mistério da Tabuada
O Professor Pythagoras então conduziu Lucas a uma parte secreta das montanhas, onde uma grande
Árvore da Sabedoria estava plantada. Suas folhas eram compostas por cálculos de multiplicação, e seus
frutos eram as respostas para os problemas mais complexos da matemática.
— Cada folha da árvore representa uma multiplicação da tabuada. E os frutos que crescem aqui são as
respostas que você buscará em desafios mais difíceis. Veja, Lucas, para resolver problemas de álgebra,
geometria ou até mesmo cálculo, você precisará saber multiplicar rapidamente, sem pensar. Porque o
cálculo mental rápido é o que vai permitir que você entenda e resolva os problemas mais complexos sem
se perder no caminho. — explicou o sábio.
Lucas começou a entender. A tabuada não era apenas uma lista de números a serem decorados, mas
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um verdadeiro mapa mágico que o guiaria pelas terras da matemática. Com ela, ele seria capaz de cruzar
rios de frações, escalar montanhas de equações e atravessar florestas de gráficos e fórmulas sem se
perder.
A Conquista da Agilidade
Lucas decidiu que, a partir daquele momento, ele se dedicaria de corpo e alma a memorizar todas as
tabuadas. Todos os dias, ele praticava com afinco, até que as multiplicações se tornaram naturais para ele,
como uma música que ele já sabia de cor. Ele não precisava mais pensar para multiplicar números; ele os
dizia automaticamente, com agilidade.
Com o tempo, Lucas percebeu algo surpreendente: os problemas de álgebra, que antes pareciam
imensos e complicados, começaram a se tornar mais fáceis de entender e resolver. As equações que antes
lhe pareciam um labirinto começaram a se desdobrar diante dele como um mapa claro, sem obstáculos.
Ele estava pronto para estudar problemas mais complexos de geometria, onde as áreas e volumes exigiam
cálculos rápidos de multiplicação. E quando chegou o momento de enfrentar o cálculo, ele entendeu que
saber as tabuadas era a chave para desvendar a beleza das equações diferenciais e integrais.
A Chegada à Torre do Conhecimento
Finalmente, depois de muito estudo e prática, Lucas foi chamado para entrar na Torre do Conhecimento.
Lá, ele foi desafiado por vários mestres em diferentes áreas da matemática. Cada um apresentou a ele
problemas desafiadores, que exigiam conhecimento profundo de álgebra, geometria e cálculo. Mas, para
cada um desses desafios, Lucas se saiu bem, pois já tinha a agilidade necessária nas operações de
multiplicação, o que o permitia resolver cada problema com rapidez e precisão.
Ao final de sua jornada, o Professor Pythagoras apareceu novamente e disse:
— Lucas, agora você é um mestre da matemática. Você entende que as tabuadas são mais do que
simples números repetidos. Elas são a base, o alicerce que torna possível avançar em todas as outras
áreas da matemática. Sem saber as tabuadas, sua mente ficaria sobrecarregada, e você não poderia
explorar as maravilhas que a matemática tem a oferecer. Com elas, você pode ir muito mais longe.
Moral da História
A história de Lucas nos ensina que saber a tabuada de cor é muito mais do que uma habilidade básica. Ela
é uma das pedras fundamentais para o sucesso em matemática, especialmente no ensino médio. Quando
dominamos a tabuada, a multiplicação e a divisão se tornam automáticas, permitindo que nossa mente se
concentre nas partes mais complexas da matemática, como álgebra, geometria e cálculo.Portanto, não
subestimem o poder das tabuadas. Elas são a chave que abre muitas portas na matemática, e quem as
conhece bem terá a agilidade necessária para navegar com confiança pelas águas turbulentas dos
problemas matemáticos mais difíceis.
Saber a tabuada não é apenas uma 
tarefa de memorização, mas uma 
verdadeira ferramenta para abrir portas 
para o entendimento de conceitos mais 
complexos, como álgebra, geometria e 
cálculo.
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A MAGIA DA MATEMÁTICA: EXPLORANDO MATRIZES
Era uma vez, em uma pequena cidade chamada Matrizópolis, um professor chamado
Euclides, que era apaixonado por matemática. Ele passava horas em seu laboratório,
explorando novas formas de ensinar seus alunos sobre conceitos complexos de maneira
simples e divertida.
Um dia, enquanto organizava seus livros, ele encontrou um antigo manuscrito sobre
matrizes, escrito por um matemático renomado chamado Carl Friedrich Gauss. O manuscrito
detalhava a definição de matrizes como arranjos retangulares de números, símbolos ou
expressões, organizados em linhas e colunas. Fascinado por esse conceito, Euclides
decidiu que era hora de compartilhar essa descoberta com seus alunos.
Ele começou criando um quadro na sala de aula, desenhando uma matriz 2x2. "Vejam,
uma matriz é como uma tabela, onde cada posição pode conter um valor diferente," explicou
ele. "Se a tabela tivesse duas linhas e duas colunas, a chamaríamos de matriz 2x2. Essas
matrizes podem ser usadas para resolver sistemas de equações lineares, transformar dados
e até mesmo em gráficos!"
Os alunos ficaram intrigados. A curiosidade deles aumentou quando Euclides começou a
falar sobre a aplicabilidade das matrizes no dia a dia. Ele mencionou que as matrizes eram
usadas em tudo, desde a programação de computadores até a modelagem de sistemas no
mundo real. "Vocês sabiam que jogos de vídeo game usam matrizes para criar gráficos? E
que engenheiros utilizam matrizes para calcular estruturas, como pontes e prédios?" Ele
mencionou como as matrizes ajudama gerenciar dados em redes sociais, a otimizar rotas
de transporte e até mesmo no processamento de imagens.
Com entusiasmo, Euclides propôs um desafio prático. Ele pediu a seus alunos que
formassem grupos e criassem uma apresentação sobre como poderiam usar matrizes em
uma situação cotidiana. Um grupo decidiu abordar a logística de uma festa, utilizando
matrizes para organizar convidados e assentos. Outro grupo analisou dados sobre as
temperaturas da cidade usando matrizes para prever o clima da semana. A competição foi
divertida e educativa, mostrando a cada um que a matemática não estava tão distante da
realidade.
Com o tempo, o amor de Euclides por matrizes se espalhou por Matrizópolis. Ele recebeu
reconhecimento da comunidade e inspirou uma nova geração de matemáticos. As matrizes,
antes vistas como um mero conceito acadêmico, tornaram-se uma ferramenta poderosa,
conectando teoria e prática.
Assim, a pequena cidade de Matrizópolis se transformou em um centro de aprendizado e
inovação, onde matrizes eram não só ensinadas, mas celebradas. E, claro, tudo isso
começou com a paixão de um professor que viu beleza na matemática e dedicou sua vida a
mostrar aos outros como essa beleza se manifestava no mundo ao seu redor.
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Denomina-se matriz m x n (lê-se m por n) uma
tabela retangular formada por m x n números reais,
dispostos em m linhas e n colunas.
A imagem acima pode ser representada por uma
matriz 𝐴4𝑥3(4 linhas e 3 colunas). Cada número que
está na tabela acima pode ser chamado de
elemento de uma matriz. Por exemplo, o número 6
está na linha 1 e coluna 1, porém o elemento 4 está
na linha 3 e coluna 4. De uma forma geral, podemos
representar um elemento de uma matriz como
sendo 𝐴𝑖,𝑗 , em que i é o numero da linha e j o
número da coluna.
REPRESENTAÇÃO
Existem duas formas de se representar uma matriz:
explicitamente e implicitamente. Essas duas
representações podem ser usadas separadamente
ou em conjunto, dependendo do contexto. Assim, as
representações seriam:
• Explicitamente: é uma forma representada por
parênteses ou colchetes.
• Implicitamente: uma forma mais genérica, ou
seja, como uma “lei” que determina os elementos
ai,j da matriz. Um exemplo seria:
1 - Determine a ordem de cada matriz a seguir:
2 - Considere a matriz A de ordem 𝐴4𝑥5 a seguir:
Determine: 
a) 𝑎2,3
b) 𝑎4,1
c) 𝑎2,5
d) 𝑎1,2
e) 𝑎4,4
f) 𝑎3,2
g) 𝑎4,5
Números e Álgebra
1° BIMESTRE – 2° ANO /2025 Habilidade: (EM13MAT301) 
MATRIZES
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TIPOS DE MATRIZES
Conheça abaixo alguns desses tipos especiais de
matriz:
• Matriz linha: Como o próprio nome já diz, a
matriz linha possui apenas uma linha – com a
possibilidade de ter várias colunas, como indica
a figura abaixo.
• Matriz coluna: Diferente da matriz linha, a
matriz coluna possui uma única coluna e várias
linhas.
• Matriz quadrada: Para que uma matriz possa
ser chamada de quadrada, a quantidade de
linhas e colunas deve ser igual, ou seja, m = n.
No exemplo da figura acima, tem-se uma matriz
quadrada de ordem 3 (3×3).
• Matriz diagonal: A matriz diagonal é uma matriz
quadrada de ordem n que possui os elementos
da diagonal principal diferentes de zero, sendo
que os demais são iguais a zero.
• Matriz nula: No conjunto das matrizes, uma
matriz que possui todos os seus elementos
iguais a zero é chamada de matriz nula. A
ordem dela não interfere no nome, ou seja, ela
pode ser uma matriz quadrada ou não.
• Matriz identidade: Quando os elementos da
diagonal principal de uma matriz quadrada de
ordem n forem todos iguais a 1, então a matriz é
chamada de matriz identidade.
3 - Considere a matriz B de ordem 𝐵5𝑥3 a seguir:
4 - Considere a matriz C de ordem 𝐶2𝑥7 a seguir:
Determine: 
a) 𝑏4,3
b) 𝑏1,2
c) 𝑏5,3
d) 𝑏4,1
e) 𝑏2,3
f) 𝑏5,2
g) 𝑏2,2
Determine: 
a) 𝐶2,5 b) 𝐶1,4 c) 𝐶2,7 d) 𝐶1,1 e) 𝐶2,7 f) 𝐶1,7
5 - Considere a matriz C de ordem 𝐶2𝑥4 determine essa
matriz, sendo que 𝑐𝑖,𝑗 = i + j
6 - Considere a matriz D de ordem 𝐷3𝑥2 determine essa
matriz, sendo que 𝑑𝑖,𝑗= i − j.
7- Considere a matriz B de ordem 𝐵2𝑥3 a seguir:
Determine a matriz B sendo que 𝑏𝑖,𝑗= i + 2j.
8 - Considere a matriz A de ordem 𝐴2𝑥2 a seguir:
Determine a matriz A sendo que 𝑎𝑖,𝑗 = 3i − j
9 - Considere a matriz E de ordem 𝐸1𝑥3 determine essa
matriz, sendo que 𝑒𝑖,𝑗 = i² - j.
10 - Considere a matriz F de ordem 𝐹4𝑥1 determine
essa matriz, sendo que 𝑓𝑖,𝑗 = i + 2j.
11 - Determine a matriz G de ordem 𝐺2𝑥2, sendo que:
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• Matriz oposta: Seja a matriz A = (𝑎𝑖𝑗)m x n. Chama-
se oposta de A a matriz representada por -A , tal que
A + (-A) = 0𝑚𝑥𝑛, sendo 0𝑚𝑥𝑛 a matriz nula do tipo m x
n.
• Matriz transposta: Seja A uma matriz de ordem m x
n. A sua transposta é dada por 𝐴𝑡= (𝑎′𝑗,𝑖)n x m. Na
prática, a transposta de A é obtida trocando, de uma
forma ordenada, suas linhas pelas colunas.
• Matriz inversa: Sejam A e B duas matrizes, ambas
quadradas de ordem n. Se fizermos a multiplicação
de A por B e o resultado for uma matriz identidade,
então B é chamada de inversa da matriz A.
OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES
Igualdade de matrizes: Duas matrizes A e B são iguais
se forem de mesma ordem, ou seja, m x n, e todos os
elementos correspondentes forem iguais. Ou seja, se A
= (𝑎𝑖𝑗 )m x n e B = (𝑏𝑖𝑗)m x n, tem-se que A = B se 𝑎𝑖𝑗 =
𝑏𝑖𝑗, para todo i e para todo j.
Usando a imagem acima, tomemos as duas matrizes A
e B. Elas serão iguais se tivermos a seguinte relação:
a = 3 1 = d 2 = c b = -5
Adição de matrizes: Considere as duas matrizes A e B
acima, respectivamente. A soma de A com B
(representada por A + B) é a matriz C = (𝐶𝑖𝑗)m x n, em
em que 𝐶𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 . Em outras palavras, a
matriz soma C tem a mesma ordem de A e B e
seus elementos são a soma dos elementos
correspondentes de A e B.
Subtração de matrizes: Na subtração, utiliza-se
os o conceito de matriz oposta. Assim, seja A a
matriz à esquerda da subtração acima e B a matriz
da direita. A diferença entre A e B, representa por
A – B, é a soma de A com a oposta de B, como é
visto na figura abaixo.
Multiplicação de um número real por uma
matriz: Ao se multiplicar uma matriz A por um
número real qualquer k, obtemos uma outra matriz
B de tal forma que o resultado é B = k ∙ A. Isso
significa que B é obtida multiplicando todos os
elementos de A pelo número real k.
Multiplicação de matrizes: Antes de mais nada,
é importante perceber que a multiplicação AB só
existe quando o número de colunas de A for igual
ao número de linhas de B. Além disso, a matriz
resultante dessa multiplicação possui o número de
linhas de A e o número de colunas de B.
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12 - Considere as matrizes A e B abaixo, sabendo que
as matrizes A = B, determine o valor dos elementos X,
Y e Z:
13 - Considere as matrizes A e B abaixo, sabendo que
as matrizes A = B, determine o valor dos elementos X,
Y, Z e W:
14 - Dadas as matrizes A, B, C e D, determine:
a) 2A b) −3B c) 2C d) 4D e) −2D f) −4𝐴
15 - Dadas as matrizes A, B, C e D. Determine o
que se pede:
a) 3A b) −2B c) 2C d) −3D
16 - Dadas as matrizes:
Determine:
a) A + B − C c) A − B + C e) A − B − 𝐶
b) 3A − 2B d) B − 2C
17 - Dadas as matrizes A, B, C, D e E. Determine
o que se pede:
a) A + C c) B + E e) C − 𝐷
b) A − B d) D + 𝐸 f) B − C
18 - Dadas as matriz A e B a seguir, determine o
produto das matrizes AxB:
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Referências:
 Matemática: ciência e aplicações: ensino médio –
Gelson Iezzi [et. al.]
 Matemática: contexto & aplicações: ensino médio –
Luiz Roberto Dante
 https://www.todoestudo.com.br/matematica/matrize
s
19 - Dadas as matriz C e D a seguir, determine o
produto das matrizes C x D:
20 - Dadas as matriz E e F a seguir, determine o
produto das matrizes A x B:
21 - Dadas as matriz A e B a seguir, determine o
produto das matrizes A x B:
22 - Dadas as matriz G e H a seguir, determine o
produto das matrizes G x H:
23 – Dadas as matriz W e Z a seguir, determine o
produto das matrizes W x Z:
24 - Josefa preparoutrês tipos distintos de
sanduíches usando três ingredientes (A, B e C) em
proporções variadas, conforme a tabela 1. Os preços
unitários dos ingredientes constam da tabela 2.
A matriz que corresponde aos preços dos
sanduíches tipo do 1, 2 e 3 será representada por :
25 - A E. E. Processo de Aprendizagem promoveu
uma gincana de Matemática. Ao final da gincana, a
direção divulgou aos alunos apenas as tabelas 1 e
2, a seguir:
A matriz que corresponde ao total de pontos das
equipes será representada por:
26 - Uma loja está fazendo uma promoção para a
compra conjunta de dois tipos de eletrodomésticos,
de maneira que o consumidor interessado paga:
 R$ 590,00 por um forno de microondas e um
aspirador de pó;
 R$ 1.300,00 por um forno de microondas e uma
geladeira;
 R$ 1.250,00 por um aspirador de pó e uma
geladeira. Denominando por x o preço do forno
de microondas, y o preço do aspirador de pó, e z
o preço da geladeira, podemos estabelecer um
sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas, que
pode ser representado pela matriz:
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A GUERRA DOS DETERMINANTES E A BATALHA DAS MATRIZES
Em um reino distante, chamado Algébria, a matemática governava tudo. O reino era dividido em duas
grandes facções: o Reino dos Determinantes, liderado pelo impetuoso Rei Determinante, e o Reino das
Matrizes, comandado pelo sábio Mestre Matrius. Ambos os reinos estavam em uma constante disputa, cada
um acreditando que seu poder era o mais essencial para governar o mundo.
O Início da Conflito
O Rei Determinante acreditava que a chave para controlar a realidade estava no poder do determinante,
um valor mágico que, ao ser calculado, determinava se uma matriz poderia ser invertida ou se havia um
padrão oculto nas estruturas ao redor. Ele costumava dizer:
— O Determinante é a verdadeira essência do universo! Ele revela o que é possível e o que não é!
Por outro lado, Mestre Matrius, líder do Reino das Matrizes, acreditava que a verdadeira força estava nas
matrizes e em como elas podiam ser manipuladas, transformadas e combinadas. Ele sempre falava:
— Não é o determinante, mas a interação das matrizes que cria novas dimensões e possibilidades. A
manipulação delas é a chave para transformar qualquer cenário.
O Desafio
Tudo começou quando o Rei Determinante, com sua força inegável, declarou guerra ao Reino das
Matrizes, desafiando-os a provar que suas operações de matriz poderiam realmente ter mais poder do que o
simples cálculo de determinantes. Ele acreditava que, ao provar sua supremacia, poderia finalmente
dominar o Reino de Algébria.
Mestre Matrius, em resposta, convocou seu exército de matrizes, que eram formadas por números e
variáveis dispostas de maneira ordenada e estratégica. Ele sabia que, enquanto o Rei Determinante fosse
forte em calcular os valores das matrizes, ele, Matrius, tinha o poder de transformar a própria estrutura da
realidade usando as operações de matrizes, como multiplicação e inversão.
A Primeira Batalha: O Ataque do Rei Determinante
Na primeira batalha, o Rei Determinante invocou seu poder: ele usou os determinantes de várias matrizes
de alta ordem para tentar causar um impacto direto no campo de batalha. Seu poder parecia esmagador,
pois ele podia simplesmente calcular o valor de um determinante e, dependendo do seu valor, transformar
as estruturas ao redor, destruindo qualquer obstáculo.
Mas, em resposta, Mestre Matrius não usou apenas um número. Ele ordenou a transformação das
matrizes de seu exército, multiplicando e combinando diferentes formas e estruturas. Enquanto o Rei
Determinante tentava calcular os valores, Matrius usava a multiplicação de matrizes para reorganizar o
espaço, fazendo seus soldados se moverem de maneiras inesperadas e criando novas configurações de
batalha. As forças do Rei Determinante foram surpreendidas pela habilidade de Matrius de manipular as
matrizes como se fossem peças de um grande quebra-cabeça.
— Você pode calcular determinantes, mas eu posso reconfigurar o próprio espaço! — disse Matrius,
sorrindo, enquanto seus soldados se reposicionavam e criavam novas possibilidades.
A Virada: A Defesa de Matrius
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No entanto, o Rei Determinante não estava derrotado. Ele sabia que, para garantir a vitória, precisaria
encontrar a matriz inversa, que poderia reverter qualquer mudança que Matrius tentasse fazer. O Rei
Determinante se concentrou, tentando encontrar a fórmula para anular as transformações de Matrius. Ele
queria encontrar uma maneira de destruir a flexibilidade das matrizes, impedindo que elas se
modificassem e tomassem o controle.
Mas, nesse momento, Matrius revelou sua jogada final: ele usou o poder das matrizes inversas. Com a
habilidade de inverter uma matriz, ele foi capaz de reverter as ações do Rei Determinante, transformando
novamente o campo de batalha, tornando tudo que o Rei fazia ineficaz. Não importava o quão forte fosse
o determinante, pois as matrizes, ao se inverterem, podiam desfazer qualquer ação e criar uma nova
configuração.
— Você pode ter o poder do determinante, mas a verdadeira força está na transformação contínua. Ao
inverter as matrizes, podemos reverter qualquer transformação, criando novas possibilidades! — explicou
Matrius, com a confiança de quem sabia que seu exército de matrizes sempre teria uma resposta.
O Fim da Guerra: A União dos Reinos
Com a batalha finalizada e a vitória do Reino das Matrizes, o Rei Determinante se retirou para refletir
sobre o que aconteceu. Ele finalmente entendeu que o determinante era apenas uma das ferramentas do
vasto e complexo arsenal de possibilidades que as matrizes ofereciam.
— Eu estava errado, disse o Rei Determinante, após refletir. O poder do determinante é grande, mas é
nas transformações das matrizes que está o verdadeiro potencial.
Mestre Matrius, ao ouvir isso, estendeu a mão para o Rei.
— Vamos unir nossos poderes, então. Determinantes e matrizes juntos podem criar um novo futuro para
Algébria. A matemática é mais poderosa quando entendemos como ela se interliga.
E assim, os dois reinos se uniram, e a partir daquele dia, Algébria prosperou com a sabedoria de usar
tanto os determinantes quanto as matrizes, cada uma com seu papel fundamental. O equilíbrio entre elas
trouxe um novo entendimento de como as estruturas matemáticas podem interagir e criar transformações
infinitas no mundo.
Moral da História: A guerra dos determinantes e matrizes nos ensina que, embora as duas ferramentas
sejam poderosas, elas são mais eficazes quando trabalhamos com ambas. A verdadeira força está em
entender como a matemática pode se complementar, criando novas possibilidades e transformações no
mundo ao nosso redor
Juntas, matrizes e determinantes formam 
a base para muitas soluções práticas e 
teóricas que moldam o nosso mundo. Ao 
compreender essas ferramentas, 
podemos não apenas resolver problemas 
matemáticos, mas também construir 
modelos que refletem e explicam 
fenômenos do mundo real de maneira 
mais profunda e precisa. 
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Determinantes de matrizes de ordem 2 e 3
Um determinante de ordem 2 é obtido realizando a
multiplicação cruzada entre os elementos de uma
matriz A e, em seguida, subtraindo essa
multiplicação, como mostrado na figura abaixo:.
Por outro lado, o determinante de ordem 3 é obtido
de uma maneira um pouco diferente.
Utilizamos aqui a regra de Sarrus, mostrada a partir
da figura a seguir:
Números e Álgebra
1° BIMESTRE – 2° ANO /2025 Habilidade: (EM13MAT301) 
DETERMINANTES
O resultado final dessa regra é o determinante a
seguir:
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1 - Dadas as matriz 2x2 a seguir, calcule o determinante
de cada uma delas:
2 - Dadas as matriz 2x2 a seguir, calcule o determinante
de cada uma delas:
3 - Dadas as matriz 3x3 a seguir, calcule o determinante
de cada uma delas:
4 - Dadas as matriz 3x3 a seguir, calcule o determinante
de cada uma delas:
Números e Álgebra
1° BIMESTRE – 2° ANO /2025 Habilidade: (EM13MAT301) 
Sistemas de Equações lineares
5 - Qual deve ser o valor de x namatriz para que seu
determinante seja igual a 5?
6 - Resolva a equação:
7 - O valor do determinante da matriz M a seguir é:
8 - Uma das aplicações para determinantes é na
verificação se três pontos estão alinhados ou não.
Para isso, calculamos o determinante na matriz
composta pelas três abscissas na primeira coluna,
as três ordenadas na segunda coluna e a terceira
coluna com todos os elementos iguais a 1. Por
exemplo, os pontos A(2, 2), B(3, 5) e C(x, 11)
estarão alinhados se o determinante da matriz a
seguir for igual a zero.
O valor de x que faz com que esses três pontos
estejam alinhados é:
a) 12 b) 10 c) 8 d) 5 e) 3
9 - Analise a matriz a seguir:
O seu determinante é igual a zero, porque
a) o termo central da matriz é zero.
b) a primeira e a terceira linhas são iguais.
c) a primeira e a segunda colunas são múltiplas.
d) a primeira e a terceira linhas são múltiplas.
e) a matriz possui ordem 3.
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A JORNADA DOS DESAFIOS MATEMÁTICOS: A BATALHA DOS SISTEMAS DE EQUAÇÕES
Em um mundo digital, onde o conhecimento e os desafios se entrelaçam com a tecnologia, existia um
reino virtual chamado Códix. Esse reino era conhecido por sua infinita quantidade de desafios matemáticos
e enigmas lógicos, que atraíam mentes brilhantes de todos os cantos do mundo. Mas, apesar de sua
grandeza, Códix estava em uma crise silenciosa. O equilíbrio de seu funcionamento estava prestes a ser
ameaçado por um problema que ninguém conseguia resolver: o Enigma dos Sistemas de Equações.
O Início da Jornada
No centro de Códix, havia uma poderosa Torre do Conhecimento, onde os maiores matemáticos e
desbravadores de enigmas se reuniam para resolver problemas de diferentes tipos. Eles passavam horas,
dias e até anos tentando encontrar soluções para os enigmas mais complexos. Porém, uma ameaça pairava
sobre o reino, algo que nem mesmo os melhores desbravadores conseguiam compreender completamente.
O Enigma dos Sistemas de Equações apareceu misteriosamente em uma madrugada sem explicação.
Ele surgiu como uma série de desafios cada vez mais difíceis de resolver, sem que nenhum algoritmo ou
fórmula encontrada fosse capaz de decifrá-lo completamente. Era um sistema de equações tão complexo
que parecia quebrar as leis da matemática e até mesmo do tempo. Algo precisava ser feito, e uma solução
parecia distante.
A Chegada do Jovem Herói
Entre os aventureiros que tentavam resolver o enigma, um jovem chamado Luan, um estudante comum,
apareceu na Torre do Conhecimento. Luan não era um gênio, mas sempre teve uma paixão imensa por
matemática e desafios. Ele soubera, através de fóruns online e desafios na internet, sobre o enigma que
afligia o reino e decidiu enfrentar o mistério.
— Eu sei que posso resolver esse desafio. Se eu entender como lidar com sistemas de equações, posso
salvar Códix! — disse Luan, com determinação nos olhos.
O Mestre das Equações, o guardião da Torre do Conhecimento, observou o jovem com curiosidade. Ele
sabia que apenas alguém que entendesse a verdadeira essência dos sistemas de equações seria capaz de
resolver o enigma. Então, decidiu dar uma chance a Luan e o desafiou:
— Você pode resolver um sistema de equações simples? Aquele que resolver, terá a chave para o
Enigma. Mas tenha cuidado, pois as equações que o aguardam são mais complicadas do que qualquer um
poderia imaginar.
Luan não hesitou. Ele sabia que sistemas de equações representavam conjuntos de incógnitas que
podiam ser resolvidas simultaneamente, e que o segredo estava em encontrar valores para essas incógnitas
que satisfizessem todas as equações ao mesmo tempo. Era como se ele estivesse tentando encontrar o
equilíbrio perfeito entre várias variáveis.
A Primeira Prova: O Sistema Simples
Ao entrar na Sala dos Desafios, Luan se deparou com duas equações simples. Para resolver o problema,
ele precisaria encontrar dois valores que, quando aplicados nas equações, as tornassem verdadeiras. Luan
usou o método de substituição: primeiro isolou uma das incógnitas em uma das equações e depois
substituiu esse valor na outra. Com calma e raciocínio lógico, ele conseguiu resolver o sistema. As
equações estavam agora completas, e uma porta dourada se abriu à sua frente.
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O Desafio Complicado: O Sistema das Dimensões Paralelas
Ao atravessar a porta, Luan entrou em uma sala onde o desafio havia se tornado mais complexo. Ele
agora enfrentava um sistema com três equações e três incógnitas. Esse desafio representava um espaço
tridimensional, onde as soluções precisavam ser encontradas simultaneamente em várias direções.
Luan sabia que precisava usar a eliminação para resolver o sistema. Ele começou a somar e subtrair as
equações de forma estratégica, até que conseguiu reduzir o número de incógnitas. Com persistência e
lógica, ele encontrou os valores corretos para as três incógnitas, e a sala se iluminou, revelando uma chave
dourada.
O Enigma Final: O Desafio das Equações Não Lineares
Com sua confiança renovada, Luan avançou para a sala final, onde o Enigma dos Sistemas de
Equações aguardava. O desafio agora era ainda mais complexo: ele se deparou com um sistema de
equações não lineares, que envolvia curvas, potências e até funções mais complicadas. Luan sabia que
este não seria um desafio fácil, e as fórmulas que ele conhecia não seriam suficientes para solucioná-lo.
Com base no que aprendera, ele usou as ferramentas que adquiriu ao longo de sua jornada: a
visualização gráfica das equações e a tentativa de encontrar interseções entre elas. Ele sabia que, ao fazer
isso, poderia entender onde as soluções se encontravam. Depois de muita paciência e tentativa, Luan
finalmente encontrou a solução que Códix tanto precisava.
A Vitória e o Legado
Com a resposta nas mãos, Luan correu até o Mestre das Equações, que o aguardava na entrada da
Torre. O jovem entregou a solução, e o reino digital de Códix brilhou intensamente, dissipando a escuridão
que se instalara. O enigma foi desfeito, e a harmonia foi restaurada.
O Mestre das Equações sorriu e, com um olhar de sabedoria, disse:
— Você resolveu o Enigma dos Sistemas de Equações, Luan. Mas a verdadeira vitória não está apenas na
solução final, mas em como você usou sua determinação, criatividade e raciocínio lógico para enfrentar o
desafio. Cada passo dado foi uma lição valiosa.
Luan, agora mais confiante, sabia que sua jornada matemática não tinha fim. A cada desafio enfrentado,
ele aprendia mais sobre como a matemática podia ser usada para resolver problemas complexos e
desafiadores. Ele também compreendeu que, muitas vezes, as soluções não estão em fórmulas prontas,
mas na maneira como pensamos, analisamos e conectamos as ideias.
Moral da História
O que Luan aprendeu, e que o reino de Códix agora sabia, é que a matemática vai além de números e
fórmulas. A verdadeira magia está em compreender como resolver problemas, como usar a criatividade e a
lógica para chegar a soluções. Os sistemas de equações são uma poderosa ferramenta para entender o
mundo ao nosso redor, mostrando como diferentes elementos podem se interconectar. E, no final, a maior
lição de todas é que, com paciência e persistência, podemos resolver até os problemas mais difíceis —
tanto na matemática quanto na vida.
Encarem os desafios matemáticos com 
confiança e curiosidade. Lembrem-se de que 
a verdadeira aprendizagem acontece quando 
vocês se permitem explorar, cometer erros e 
buscar soluções criativas. 
Como na história, o mais importante é 
continuar a jornada, sempre em busca de 
entender mais e mais sobre o fascinante 
mundo da matemática.
17
Sistemas de Equações lineares
1 - Resolva, mostrando os cálculos devidos, os
sistemas lineares abaixo pelo método da adição:
2 - Resolva, mostrando os cálculos devidos, os
sistemas lineares abaixo pelo método da adição:
3 - Resolva os desafios de sistemas lineares ao lado:
Números e Álgebra
1° BIMESTRE – 2° ANO /2025 Habilidade: (EM13MAT301) 
Sistemas de Equações lineares
a) b)
c) d)
18O ponto P (m, n) é intersecção das duas retas. O
valor de m – n é igual a:
a) 1 b) –2 c) – 5 d) – 7 e) 5
7 - (Saresp 2007). Na figura abaixo estão
representadas as retas r, de equação y = –3x + b,
e a reta t, de equação y = ax + 1.
A resolução do sistema formado por estas duas
equações
a) é dada por x = 2 e y = 3.
b) é dada por x = –3 e y = 1.
c) depende do valor de a e b.
d) é dada por x = 3 e y = 2.
e) é dada por x = 1 e y = 3.
8 - (Supletivo 2012 – MG). Considere a
representação geométrica abaixo.
Gráficos de funções lineares com uma ou duas 
variáveis
Exemplo:
4 - (SAEPE). No plano cartesiano abaixo estão
representados as retas m, n e suas respectivas
equações.
As coordenadas do ponto P, intersecção dessas retas,
são:
a) (1, 1). c) (4, 3). e) (5, ‒ 2).
b) (7, 0). d) (6, ‒ 1)
5 - Na figura o ponto P é a interseção das retas r e s.
As equações de r e s são respectivamente y = x - 1 e y
= -2x + 5. As coordenadas do ponto P são:
a) (2,1) c) (1,2) d) (1,0)
b) (0,5) d) (1,1)
6 - (Saresp 207). As duas retas a e b, representadas
na figura abaixo, têm as seguintes equações: Qual sistema de equações do 1º grau com duas
incógnitas está relacionado a essa representação
geométrica?
19
A JORNADA DOS DETERMINANTES: A CHAVE PARA DESVENDAR MISTÉRIOS
Em um mundo distante chamado Algébria, onde os números tomavam formas e os gráficos tinham
vida, havia uma jovem chamada Lúcia, fascinada pelos segredos que a matemática guardava. Um dia,
enquanto explorava uma antiga biblioteca, Lúcia encontrou um livro empoeirado intitulado "Os
Determinantes e Suas Magias".
Intrigada, Lúcia começou a ler e descobriu que os determinantes eram como chaves mágicas. Com o
poder de descobrir se um sistema de equações tinha soluções únicas, infinitas ou inexistentes, os
determinantes se tornavam essenciais não apenas na matemática, mas em várias ciências e na vida
cotidiana.
A Missão de Lúcia
Certa manhã, a Rainha Equação convocou Lúcia. O reino estava em caos devido a um sistema de
equações que havia paralisado a fonte mágica que abastecia toda a água do vale. A Rainha explicou
que, sem resolver o sistema, a seca se espalharia por todo Algébria.
O sistema de equações era:
O Poder do Determinante
Com a ajuda do sábio Mago Matheus, Lúcia rapidamente calculou o determinante:
Resolução:
Calculando Dx:
Calculando Dy:
Utilize os determinantes para resolver isso!, ordenou a Rainha. Com seu fiel livro em
mãos, Lúcia formou a matriz:
Como esse sistema é 2x2, encontraram os valores de: D, Dx e Dy.
Calcularam o determinante, encontraram que:
D = 2 · 2 – 4 · 3
D = 4 – 12
D = – 8
Dx = 7 · 2 – 10 · 3
Dx = 14 – 30
Dx = – 16
Dy = 2 · 10 – 7 · 4
Dy = 20 – 28
Dy = – 8
20
Em seguida, calcularam os valores de x e de y:
Como D é diferente de zero, temos uma solução única!, exclamou Lúcia, aliviada. Ela então resolveu o
sistema e descobriu que (x = 3) e (y = 1). Com a solução ao alcance, a fonte mágica foi reativada, e a água
voltou a fluir pelo vale.
Novos Desafios
Conclusão
Assim, quem diria que um simples conceito matemático poderia ter um impacto tão grande em um reino
mágico? Lúcia, agora uma verdadeira guardiã dos determinantes, sabia que a matemática era mais do que
números e fórmulas; era a linguagem do universo, a chave para resolver problemas e transformar vidas. E,
com isso, ela estava pronta para novas aventuras!
Apesar da vitória, outros desafios surgiram. Lúcia e
Matheus foram chamados novamente, desta vez para
resolver um conflito entre duas aldeias que alegavam
propriedade sobre a mesma terra. As equações eram:
x + 2y = 6
2x + 4y = 12
Lúcia obteve (D = 0). "Isso significa que as equações são
dependentes", disse Matheus. "Elas representam a
mesma reta no plano. Precisamos entender a relação
entre as aldeias e ajudá-las a chegar a um acordo.“
Tente seguir o 
modelo anterior e 
certifique com resolução 
se chegamos ao 
mesmo resultado.
O Legado dos Determinantes
Com isso, Lúcia aprendeu que os determinantes não apenas
resolvem problemas matemáticos, mas também ajudam a entender
realidades sociais e econômicas. Em sua jornada, ela percebeu
que a matemática tinha uma importância vital no mundo real:
desde a otimização de recursos em empresas até a análise de
dados em pesquisas científicas.
Graças a sua coragem e inteligência, Lúcia se tornou uma
heroína em Algébria, e os determinantes, uma ferramenta
poderosa em sua defesa da verdade e da justiça.
Este texto nos lembra da 
importância dos determinantes 
na resolução de problemas, seja 
na matemática pura ou em 
situações da vida cotidiana, 
mostrando como essa 
ferramenta se aplica em diversas 
áreas como engenharia, física e 
ciências sociais.
21
Escalonamento de matrizes – Resolvendo 
sistemas lineares
Matriz escalonada
A forma de uma matriz escalonada depende da
quantidade de linhas e colunas, ou seja, da
quantidade de equações e da quantidade de
incógnitas no sistema linear.
Considerando um sistema com mesmo número de
equações e de incógnitas, a matriz escalonada é
uma matriz onde todos os elementos abaixo da
diagonal principal são iguais a zero.
Como fazer o escalonamento
Exemplo: Vamos resolver o sistema linear abaixo
para encontrar os valores de x, y e z.
Escrever a matriz de coeficientes e termos
independentes e indicar cada uma das três linhas
da matriz.
Escalonar essa matriz, significa zerar o primeiro
elemento da segunda linha, e o primeiro e o
segundo elemento da terceira linha.
1º objetivo: zerar o primeiro elemento da segunda
linha.
Vamos multiplicar cada elemento da linha 2 pelo
número 2 e subtrair cada valor da linha 1
multiplicado por 3.
Resultado:
2º objetivo: zerar o primeiro elemento da terceira
linha.
Vamos multiplicar cada elemento da linha 3 pelo
número 2 e subtrair cada elemento da linha 1
multiplicado por 5.
Resultado:
3º objetivo: zerar o segundo elemento da terceira
linha.
Vamos subtrair da linha 3 cada elemento da linha 2
multiplicado pelo número 3.
Resultado:
A matriz está escalonada! 
Agora, vamos reescrever o sistema linear,
considerando a matriz escalonada.
22
• Na equação 3 temos que:
-14z = 42 
⇒ z = -42/14 
⇒ z = -3
• Substituindo o valor de z por -3 na equação 2,
temos que:
y + 10z = -28
⇒ y + 10.(-3) = -28
⇒ y – 30 = -28
⇒ y = -28 + 30
⇒ y = 2
• Substituindo o valor de z por -3 e o valor de y por
2 na equação 1, temos que:
2x + y -2z = 10
⇒ 2x + 2 – 2.(-3) = 10
⇒ 2x + 2 + 6 = 10
⇒ 2x = 20 – 8
⇒ 2x = 2
⇒ x = 2/2
⇒ x = 1
Portanto, a solução do sistema é S = {1, 2, -3}.
Observações:
Se no escalonamento da matriz, todos os elementos
de uma linha zerarem, então o sistema possui
infinitas soluções.
Se no escalonamento da matriz, todos os
coeficientes de uma linha zerarem, mas o termo
independente for diferente de zero, então o sistema
não possui solução.
1 - (SAEPI) - A matriz M é a forma escalonada do
sistema a seguir:
A solução desse sistema é :
a) (0, 1, 0) c) (1, – 3, – 4) e) (1, 1, – 1)
b) (1, 2, 1) d) (2, 0, 4)
2 - Observe o sistema a seguir:
Das alternativas a seguir a que representa a
solução correta do sistema é:
a) (2, 1, 3) c) (–2, 1, –3) e) (2, –1, 3)
b) (–2, –1, –3) d) (2, 1, –3)
3 - (SAEPE) - Observe o sistema linear
representado abaixo.
4 - (SAEPE) - Observe o sistema de equações
lineares abaixo.
5 - Classifique o sistema em possível e
determinado, possível e indeterminado ou
impossível.
“Nunca se esqueça de agradecer
a Deus por todas as suas realizações.”
(Walter Bueno Domingues)
Qual é o conjunto solução 
desse sistema?
a) S = {(– 33, – 88, – 6)}
b) S = {(– 17, 32, – 6)}
c) S = {(10, – 28, 42)}
d) S = {(12, 12, 24)}
e) S = {(55, – 88, 6)}
A solução desse sistema é o 
terno ordenado:
a) (2, 3, 0)
b) (3, – 5, 2)
c) (4, 0, 0)
d) (6, 2, 10)
e) (58, 8, 4)
d)
Referências:
 Matemática: ciência e aplicações: ensino
médio – Gelson Iezzi [et. al.]
 Matemática: contexto & aplicações: ensino
médio – Luiz Roberto Dante
 https://escolaeducacao.com.br/escalonamento-de-matrizes/
 https://wiki.sj.ifsc.edu.br/images/9/96/Lista_de_
resolu%C3%A7%C3%A3o_de_sistemas_linear
es.pdf
https://escolaeducacao.com.br/escalonamento-de-matrizes/