Propriedades da Multiplicação

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5
9 4
 Divisão exata
Observe as situações a seguir.
Situação 1
Reinaldo distribuiu, em quantidades iguais, 45 bombons em cinco 
embalagens. Quantos bombons ele colocou em cada embalagem?
Para determinar a quantidade de bombons que Reinaldo colocou 
em cada embalagem, devemos dividir 45 por 5.
4 5 5
0 9
dividendo divisor
 quocienteresto 
G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
Divisão com números naturais4
 5 Em cada item, aplique a propriedade dis­
tributiva da multiplicação.
a) 5 8 (8 1 2) d) (8 2 3) 8 4
b) 9 8 (8 2 3) e) 10 8 (20 1 30)
c) (2 1 8) 8 15 f) 12 8 (15 2 6)
 6 Determine o número de quadradinhos 
da figura. 
 1 Sabendo que a e b são números naturais 
e a 8 b 5 60, responda.
a) Qual é o valor de b 8 a?
b) Qual é o valor de 1 8 a 8 b?
c) Qual é o valor de a 8 (b 8 5)?
• Quais são as propriedades utilizadas 
para justificar as respostas de cada item?
 2 Luís considerou mais fácil efetuar as 
multiplicações 2 8 37 8 50 e 30 8 17 da 
seguinte maneira: 2 8 50 8 37 e 30 8 (10 1 7). 
Você concorda com Luís? Justifique.
 4 Sabendo que a é um número natural, 
observe a igualdade 307 8 a 5 307 e res­
ponda às questões.
a) Qual é o valor de a? 
b) Qual é a propriedade da multiplicação 
que se aplica a essa situação?
 3 Calcule mentalmente.
a) 1 8 2 8 3 8 4 8 5
b) 100 8 375 8 2
c) 50 8 26 8 2
d) 25 8 37 8 4
E
N
Á
G
IO
 C
O
E
LH
O
45 9 5 5 9 Lemos: “quarenta e cinco dividido por cinco é igual a nove”.
Logo, Reinaldo colocou 9 bombons em cada embalagem.
Chamamos essa operação de divisão. 
Nesse caso, usamos a divisão para repartir uma quantidade 
em partes iguais.
Quando o resto da divisão é zero, dizemos que a divisão é exata.
60
60
300
3 700
2 600
120
75 000
elemento neutro
5. a) 5 8 8 1 5 8 2
 b) 9 8 8 2 9 8 3
 c) 2 8 15 1 8 8 15
d) 8 8 4 2 3 8 4
e) 10 8 20 1 10 8 30
f ) 12 8 15 2 12 8 6
5 8 9 1 5 8 4 5 65
Comutativa, elemento neutro e associativa, 
respectivamente. 
1
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• As atividades propostas 
têm como objetivo pôr em 
prática as propriedades da 
multiplicação. A compreen-
são dessas propriedades aju-
dará na realização do cálculo 
mental e na resolução das 
expressões numéricas. 
 
• Inicia-se o trabalho com a 
divisão com números natu-
rais, abordando as seguintes 
ideias: repartir em partes 
iguais e medida.
• A tendência é que os alunos 
apresentem uma dificuldade 
maior para efetuar divisões, 
em comparação com as de-
mais operações vistas até o 
momento. Por isso, peça que 
efetuem divisões que abor-
dem situações diversas, esco-
lhendo como forma de reso-
lução aquela estratégia que 
melhor se adaptar.
• Explique aos alunos que, para indicar uma divisão, podemos utilizar ÷ ou 4. Nesta obra, adotaremos 4 como 
padrão.
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Situação 2
Um feirante tem 480 laranjas para vender e vai colocá-las em sacos com 12 unidades 
(uma  dúzia) cada um. Quantos sacos serão utilizados pelo feirante para armazenar todas 
as laranjas?
Queremos saber quantos grupos de 12 po-
dem ser formados com 480 laranjas. Para isso, 
efe tuamos a divisão 480 9 12.
4 8 0 12
2 4 8 40
0 0
Logo, serão utilizados 40 sacos. 
Nesse caso, usamos a divisão para descobrir 
quantas vezes uma quantidade cabe em outra.
JO
S
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 J
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Dividindo mentalmente
A professora de Ana Clara e Maurício pediu a eles que dividissem 1 024 por 4 o mais rápido que 
conseguissem. Ambos fizeram um cálculo mental e deram o resultado quase ao mesmo tempo: 
256. Então, a professora pediu a eles que explicassem como haviam pensado para chegar ao 
resultado.
 Resposta de Ana Clara: Primeiro, dividi 1 024 por 2, que resultou em 512, e, em seguida, 
dividi 512 por 2 novamente, resultando em 256. Como 2 vezes 2 é igual a 4, achei que 
fazendo assim ia dar certo.
1 024 9 2 5 512
512 9 2 5 256
 Resposta de Maurício: Fiz a decomposição de 1 024 da seguinte maneira 1 000 1 20 1 4. 
Então, primeiro, dividi 1 000 por 4, que resultou em 250; depois, dividi 20 por 4, resul-
tando em 5; por fim, dividi 4 por 4, tendo como resposta 1. Então, somei 250 1 5 1 1, 
que resultou em 256.
1 024 5 1 000 1 20 1 4
1 000 9 4 5 250
20 9 4 5 5
4 9 4 5 1
250 1 5 1 1 5 256
Depois de ouvir as duas resoluções, a professora comentou que tanto Ana Clara quanto 
Maurício haviam calculado de maneira correta, mas, em comparação com a forma utilizada 
por Maurício, a resolução de Ana Clara era mais simples e prática, porque apresentava menos 
etapas de cálculo.
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• Questione os alunos so-
bre as estratégias de cálculo 
utilizadas por Ana Clara e 
Maurício na situação apre-
sentada no tópico “Dividindo 
mentalmente”, perguntando 
com qual das estratégias eles 
se identificaram mais e tire 
eventuais dúvidas quanto 
aos cálculos realizados. 
Depois, peça que resolvam 
a divisão que ilustra a situa-
ção 2 de uma maneira dife-
rente da proposta no livro.
 
Sugestão de atividade extra
• O recurso Aritmética 2.02 trabalha com as operações de multiplicação e de divisão e estimula o cálculo mental.
Disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id530951>. Acesso em: 29 jul. 2018.
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id530951
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 1 Resolva os problemas.
a) Os 576 quadros de uma exposição foram 
embalados em caixas com 9 quadros 
cada uma. Quantas caixas foram ne­
cessárias para embalar os quadros?
b) Artur dividiu, igualmente, os 216 pei­
xes do seu tanque em 12 aquários. 
Quantos peixes Artur colocou em cada 
um desses aquários?
c) Tia Lúcia repartiu R$ 480,00 igual­
mente entre os seus 8 netos. Quantos 
reais ela deu a cada um?
 5 Um colégio foi construído em uma área de 
6 000 metros quadrados. Dividindo essa 
área em três partes iguais, uma delas 
ficou livre e, em cada uma das outras duas 
partes, foram construídas 25 salas de aula. 
Qual é a área de cada sala de aula?
 6 Um caminhão transporta 24 432 garra­
fas de suco em caixas que contêm duas 
dúzias de garrafas cada uma. Quantas 
caixas há nesse caminhão?
 7 Reúna­se com um colega e resolvam o 
seguinte problema. 
A luz emitida pelo Sol viaja no vácuo a 
300 000 quilômetros por segundo. Saben­
do que o Sol está a aproximadamente 
150 000 000 de quilômetros da Terra, cal­
culem a quantidade de segundos que a 
luz do Sol demora para chegar à Terra.
 2 Efetue a divisão de 120 por 5 e responda.
a) Qual é o quociente dessa divisão?
b) Qual é o resto dessa divisão?
 3 Efetue no caderno.
a) 156 9 12 
b) 320 9 64 
c) 900 9 25
d) 10 032 9 8
 4 Calcule mentalmente e escreva o resultado.
a) 50 9 10
b) 500 9 10 
c) 500 9 100
d) 50 9 5
No cálculo de uma expressão numérica, as operações indicadas devem ser efetuadas na 
 seguinte ordem:
1o) multiplicações e divisões, na ordem em que aparecem;
2o) adições e subtrações, na ordem em que aparecem.
• 30 9 2 8 3 5
 5 15 8 3 5 45
• 15 9 5 2 1 1 4 8 3 5
 5 3 2 1 1 12 5
 5 2 1 12 5
 5 14
• 5 2 1 1 4 5
 5 4 1 4 5 8
Exemplos
 Expressões numéricas com as quatro operações
64 caixas
18 peixes
60 reais
24
zero
10
50
5
5
13
5
36
1 254
1 018 caixas
500 segundos
80 metros quadrados
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• As atividades deste tópico 
visam explorar diversas di-
visões e, consequentemen-
te, situações variadas para 
estender o enredo de estra-
tégias de cálculo do aluno. 
No momento da resolução 
das atividades,explore mais 
de uma estratégia e peça 
aos alunos que apresentem 
aquela que eles utilizaram 
nas resoluções. 
• A atividade 4 pode ser 
complementada com a se-
guinte pergunta: “O que po-
demos observar nas divisões 
realizadas?”. Espera-se que 
os alunos observem que, 
para dividir um número por 
10, 100, ..., basta eliminar à 
direita desse número um, 
dois, ... zeros. 
• A seguir apresentamos a 
resolução da atividade 5:
6 000 4 3 5 2 000 P cada parte 
terá 2 000 metros quadrados
2 000 4 25 5 80 P área de uma 
sala
A área de cada sala de aula 
será de 80 metros quadrados.
• Para resolver a atividade 7, 
podemos organizar as in-
formações do problema no 
seguinte esquema:
300 000 quilômetros 1 segundo
150 000 000 quilômetros ? segundos
Temos aqui um caso de pro-
porção direta, relacionando 
a distância, em quilômetro, 
com o tempo, em segundo. 
Então, para determinar 
quanto tempo, em segundo, 
a luz demora para percorrer 
150 000 000 quilômetros, pre-
cisamos multiplicar 1 segun-
do pelo mesmo fator que 
multiplicamos 300 000 qui - 
lômetros e determinamos 
150 000 000 quilômetros. Para 
encontrar esse fator, de-
vemos realizar a seguinte 
divisão: 150 000 000 4 300 000 5 
5 500
Portanto, 500 segundos 
(1 segundo 3 500) é o tem-
po que a luz do Sol demora 
para chegar à Terra. Aqui, 
os alunos poderão observar 
que a multiplicação e a divi-
são exata são operações in-
versas, assim como a adição 
e a subtração. 
 
• Peça aos alunos que observem as regras para a resolução das expressões no que diz respeito à ordem das ope-
rações ou ao uso dos sinais de associação. Para que compreendam a influência das regras, resolva novamente 
no quadro de giz os exemplos apresentados no livro, porém sem respeitar as regras 2 os resultados serão 
diferentes ou a resolução da expressão não será possível no conjunto dos números naturais, fazendo com que, 
nessa fase, os alunos não consigam resolvê-la. 
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Há expressões em que aparecem sinais de associação. Nesse caso, devemos resolver as 
 operações nesta ordem:
1o) as que estiverem entre parênteses ( );
2o) as que estiverem entre colchetes [ ];
3o) as que estiverem entre chaves { }.
• (24 2 12) 9 2 8 3 5
 5 12 9 2 8 3 5 
 5 6 8 3 5 18
• 100 1 60 9 (9 2 5 1 2) 8 2 5
 5 100 1 60 9 (4 1 2) 8 2 5
 5 100 1 60 9 6 8 2 5
 5 100 1 10 8 2 5
 5 100 1 20 5 120
• 30 2 {20 2 4 8 [30 2 (8 1 4) 8 2] 9 2} 5
 5 30 2 {20 2 4 8 [30 2 12 8 2] 9 2} 5
 5 30 2 {20 2 4 8 [30 2 24] 9 2} 5
 5 30 2 {20 2 4 8 6 9 2} 5
 5 30 2 {20 2 24 9 2} 5
 5 30 2 {20 2 12} 5
 5 30 2 8 5
 5 22
Exemplos
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
 1 Calcule o valor das expressões numéricas.
a) 5 1 6 8 4
b) (5 1 6) 8 4
c) 10 1 8 8 4 2 15
d) 200 2 3 8 60 1 8
e) (18 2 15 9 5 1 3) 8 4
f) [(21 9 7) 8 (3 9 1) 1 6] 2 [(7 8 6) 9 (5 2 2)]
g) {[13 2 (3 8 2 1 1)] 1 3 1 (5 8 2 2 4 9 2)}
 2 Copie as expressões substituindo os pelos sinais aritméticos (1, 2, 8, 9), de 
modo que se obtenha o valor indicado em azul ao lado de cada uma.
a) 6 [(6 6) 6] p 6
b) [(6 6) 6] 6 p 7 
c) (6 6) (6 6) p 37
d) [(6 6) 6] 6 p 78
e) (6 6 6) 6 p 210
29
44
27
28
72
17
1
(6 8 6 8 6) 2 6 5 210
6 1 [(6 2 6) 8 6] 5 6
[(6 8 6) 1 6] 9 6 5 7
(6 8 6) 1 (6 9 6) 5 37 ou (6 9 6) 1 (6 8 6) 5 37
[(6 1 6) 8 6] 1 6 5 78
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Observações
3 8 7
3 5
dividendo divisor
 quocienteresto 
Considere a seguinte divisão: 3 8 7
?
Observe que não existe nenhum número natural que, ao ser multiplicado por 7, dê como 
resultado 38. O número natural que, ao ser multiplicado por 7, origina o produto mais próximo 
e menor que 38 é 5. Veja:
5 8 7 5 35
35 , 38
38 2 35 5 3
Assim, 38 9 7 é uma divisão com quociente igual a 5 e resto igual a 3. Observe:
Quando o resto da divisão é diferente de zero, dizemos que a divisão é não exata.
 Relação fundamental da divisão
Na divisão de 38 por 7, observamos que: 38 5 5 8 7 1 3
Chamamos essa igualdade de relação fundamental da divisão, em que:
dividendo 5 quociente 8 divisor 1 resto
1 O resto de uma divisão entre dois números naturais é sempre menor que o divisor. Veja:
2 A divisão exata é a operação inversa da multiplicação. Observe os exemplos:
• 4 8 5 5 20 • 7 8 6 5 42
 20 9 5 5 4 42 9 6 5 7
3 A divisão de zero por qualquer número natural diferente de zero é sempre zero.
 0 9 3 5 0 0 9 25 5 0 0 9 1 587 5 0
4 O quociente de 6 9 0 deveria ser o número que, multiplicado por zero, resultasse em 6. Não há 
número que multiplicado por zero resulte em 6; logo, é impossível efetuar 6 9 0.
 Esse raciocínio é válido para qualquer outra divisão por zero. Podemos dizer que é impossível 
dividir por zero, ou seja, o zero nunca pode ser divisor.
 Divisão não exata
2 5 3
1 8
1 , 3
5 2 8
4 6
4 , 8
2 7 3 5
2 7 0
27 , 35
• Ressalte aos alunos que o 
resto de uma divisão deve 
ser sempre menor que o divi-
sor e que não é possível rea- 
lizar a divisão por zero. 
• Caso os alunos queiram usar 
a calculadora como instrumen-
to de conferência dos resulta-
dos das divisões não exatas, co-
mente que a calculadora não 
registra o resto. Para a confe-
rência, os alunos devem recor-
rer à relação fundamental da 
divisão.
 
Veja sequência didática 2 
do 1o bimestre no Material 
do Professor – Digital.
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5 4 8
6
7
2 9
7 8
3 5
a)
b)
c)
8 2
0 4
8 2
0 4
8 2
0 4
JO
S
É
 L
U
ÍS
 J
U
H
A
S
 1 Determine o quociente e o resto de cada 
uma das divi sões abaixo. 
a) 37 9 15
b) 108 9 32
c) 2 332 9 41
d) 5 600 9 95
e) 17 890 9 100
f) 1 847 9 28
 4 Na divisão de 60 000 por 1 800, quais são 
o quociente e o resto?
 5 Em um colégio, há 540 alunos, que serão 
divididos em grupos de 37 para participar 
de um desfile.
a) Quantos grupos completos serão for­
mados? 
b) Quantos alunos seriam necessários pa­
ra completar mais um grupo?
 2 Copie as divisões no caderno, substituindo 
cada pelo número que falta.
 6 Responda às questões.
a) Qual é o quociente da divisão de zero 
por 10?
b) Qual é o quociente da divisão de 10 
por zero? 
 3 Junte­se a um colega e resolvam o se­
guinte pro blema.
Luísa quer dividir 528 por 132 utilizando a 
calculadora, mas há um problema: das te­
clas das operações, só funciona a da sub­
tração. Como Luísa deverá fazer o cálculo 
para obter o resultado da divisão?
4 8 9
5
7
4 7
13
6 8
d)
e)
f)
 9 Junte­se a um colega e resolvam o seguinte 
pro blema.
A carga máxima permitida em um elevador 
é 500 quilogramas. Qual é o número mí­
nimo de viagens necessárias para que 
uma pessoa com 75  quilogramas possa 
transportar 45  caixas de 30 quilogramas 
cada uma?
 7 Utilizando uma calculadora, efetue a divi­
são de 8 por 0. Qual é o resultado obtido 
no visor da máquina?
 8 O que acontece com o quociente, nas di­
visões abaixo, quando multiplicamos o 
dividendo e o divisor pelo mesmo núme­
ro natural diferente de zero? Justifique sua 
resposta.
1 6 4
0 4
multiplicamos dividendo e 
divisor por 2
multiplicamos dividendo e 
divisor por 3
multiplicamos dividendo e 
divisor por 4
2 4 6
0 4
3 2 8
0 4
quociente: 2; resto: 7
3
53
110
6
65
15
15 alunos
4 viagens
quociente: 3; resto: 12
quociente: 56; resto: 36
quociente: 58; resto: 90
quociente: 178; resto: 90
quociente: 65; resto: 27
33 e 600
14 grupos
zero
não existe
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• Na atividade 3, os alunos 
deverão analisar quantas ve-
zes o 132 cabe em 528. Para 
isso, deverão utilizar apenas 
a subtração. Assim:
528 2 132 5 396 P 1 vez
396 2 132 5 264 P 2 vezes
264 2 132 5 132 P 3 vezes132 2 132 5 0 P 4 vezes, com 
resto zero. 
Logo, o número 132 cabe exa-
tamente 4 vezes no número 
528, ou seja, 528 4 132 5 4. 
Aprofunde a atividade per-
guntando: “E se Luisa tives-
se que dividir 529 por 132?“. 
Espera-se que os alunos per-
cebam que 132 cabe 4 vezes 
no número 529, porém nes-
se caso teremos resto 1. 
• Na atividade 7, os alunos 
deverão utilizar a calcula-
dora para verificar que é im-
possível dividir por zero. Ao 
inserir a operação 8 4 0 na 
calculadora, deverá apare-
cer uma mensagem de erro, 
pois não é possível dividir 8 
por 0. As mensagens podem 
variar de acordo com a cal-
culadora utilizada. 
• Ao multiplicar o dividendo 
e o divisor pelo mesmo fator 
(número natural diferente de 
zero), na atividade 8, espera-
-se que os alunos concluam 
que o quociente permanece 
o mesmo. Para ilustrar esse 
procedimento, use o Mate-
rial Dourado. Peça a eles que 
deem outros exemplos para 
esse fato.
 
• Na atividade 9, os alunos deverão perceber que em uma única viagem o elevador não suportaria, já que a 
massa de todas as caixas é 1 350 quilogramas (45 3 30 5 1 350). Como o limite para o elevador é de 500 quilo-
gramas e a pessoa de 75 quilogramas estará em todas as viagens, então o limite é de 425 quilogramas (500 2 
2 75 5 425)para as caixas por viagem. Em cada viagem, poderão ser transportadas, no máximo, 14 caixas, 
pois 425 4 30 dá 14 e resto 5 (divisão não exata). Para transportar 45 caixas por viagem, a pessoa terá que 
fazer no mínimo 4 viagens, pois 45 4 14 dá 3 e resto 3; ou seja, uma possibilidade será 3 viagens com 14 caixas 
(carga máxima do elevador) e uma viagem com 3 caixas.
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Potenciação com números naturais5
44 5 256
expoente
base
potência
Para responder a essa pergunta, devemos efetuar uma multiplicação de fatores iguais:
4 8 4 8 4 8 4 5 256
total de
parafusos
tempo gasto para retirar 
cada parafuso
Logo, o mecânico gastou 256 segundos para retirar todos os parafusos.
Ao efetuar uma multiplicação em que todos os fatores são iguais, fazemos uma operação 
 denominada potenciação.
Acompanhe a situação a seguir.
Podemos representar a multiplicação 4 8 4 8 4 8 4 assim: 44 (lemos: “quatro elevado à quarta 
potência” ou “quatro à quarta”). Observe:
De modo geral, na potenciação com números naturais, a base é o fator que se repete na 
 multiplicação, o expoente indica a quantidade de vezes que o fator se repete e a potência é o 
resultado da operação.
Então, na situação acima, temos:
número de fatores
fator que se repete
4 8 4 8 4 8 4 5 44
Lúcia é dona de uma oficina de carros. Em um dia, havia 4 carros na oficina. Sabendo 
que cada carro tem 4 rodas, que cada roda tem 4 parafusos e que um dos mecânicos usa 
uma parafusadeira automática que permite tirar um parafuso em 4 segundos, calcule 
quanto tempo esse mecânico gastou para retirar todos os parafusos de todos os carros.
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• A potenciação finaliza o 
estudo deste capítulo sobre 
as operações com números 
naturais, completando o de-
senvolvimento da habilida-
de EF06MA03. 
• Se achar necessário, a situa - 
ção a seguir poderá auxiliar 
os alunos na percepção dos 
padrões que caracteriza a 
potenciação como adição de 
parcelas iguais.
 � Marta está participando 
de um programa de corri-
da que durará 7 dias. No 
1o dia, Marta correu 100 me-
tros; no 2o dia, 200 metros, 
no 3o dia, 400 metros; no 
4o dia, 800 metros; no 5o dia, 
1 600 metros; no 6o dia, 
3 200 metros; e finalmente, 
no 7o dia, 6 400 metros. 
Responda:
a) Quantas vezes a distância 
que Marta correrá no 7o dia 
é superior à distância que ela 
correrá no 6o dia? Qual das 
distâncias é metade da outra?
b) Qual é a diferença entre 
a distância percorrida no 2o 
dia e a percorrida no 1o dia? 
E entre as distâncias do 6o e 
do 7o dia?
c) Existe algum padrão nessa 
comparação entre a distân-
cia percorrida correspon-
dente aos dias sucessivos? 
Se sim, qual?
O esquema a seguir facilitará 
as percepções dos padrões:
Dia
1o
2o
3o
4o
5o
6o
7o
Diferença
100
200
400
800
1 600
3 200
100
200
400
800
1 600
3 200
6 400
Distância percorrida
(em metro)
# 2
# 2
# 2
# 2
# 2
# 2
 � A comparação sugerida 
“quantas vezes...” admi-
te um padrão: a cada dia 
Marta deve percorrer uma 
distância igual do dobro 
do dia anterior.
 � A comparação pelas di-
ferenças também fornece 
um padrão interessante: o 
resultado é sempre igual 
ao subtraendo.
Para completar essa fase exploratória, solicite aos alunos que expressem a distância percorrida por Marta utilizan-
do a multiplicação. Veja:
1o dia: 100; 2o dia: 200 5 100 3 2; 3o dia: 400 5 200 3 2 5 100 3 2 3 2; 4o dia: 800 5 400 3 2 5 100 3 2 3 2 3 2; 
5o dia: 1 600 5 800 3 2 5 100 3 2 3 2 3 2 3 2; 6o dia: 3 200 5 1 600 3 2 5 100 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2; 7o dia: 6 400 5 
5 3 200 3 2 5 100 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
 
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 Leitura de potências
Observe como lemos algumas potências.
• 32: três elevado à segunda potência • 67: seis elevado à sétima potência
• 23: dois elevado à terceira potência • 49: quatro elevado à nona potência
As potências com expoentes 2 e 3 podem ser lidas de outra maneira. Veja alguns exemplos a 
seguir.
Potências com expoente 2
• 12: um elevado ao quadrado ou o quadrado de um
• 22: dois elevado ao quadrado ou o quadrado de dois
• 32: três elevado ao quadrado ou o quadrado de três
Representação geométrica
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Observação
Um número natural é considerado um quadrado perfeito quando é o produto de dois números 
naturais iguais. Veja:
• 1 8 1 5 1 • 2 8 2 5 4 • 3 8 3 5 9 • 4 8 4 5 16 • 5 8 5 5 25
Os números 1, 4, 9, 16 e 25 são exemplos de quadrados perfeitos.
• 34 5 3 8 3 8 3 8 3 5 81 • 25 5 2 8 2 8 2 8 2 8 2 5 32
• 104 5 10 8 10 8 10 8 10 5 10 000 • 152 5 15 8 15 5 225
• 03 5 0 8 0 8 0 5 0 • 16 5 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 5 1
• 51 5 5 • 311 5 31 • 600 5 1 • 7590 5 1
Exemplos
Exemplos
Quando o expoente é igual a 1, a potência é igual à base. E, quando o expoente é igual a zero, 
com a base diferente de zero, a potência é igual a 1.
• Com o intuito de auxiliar 
no trabalho de potências 
com expoente 2, peça aos 
alunos que representem 
geometricamente 42 e 52. 
Observando o padrão exis-
tente, espera-se que eles 
construam dois quadrados, 
sendo um com 4 quadradi-
nhos por 4 quadradinhos e 
o outro 5 por 5. Aprofunde 
o estudo e pergunte a eles 
como representar geometri-
camente 1 0002. Eles deverão 
responder que será um qua-
drado com 1 000 quadradi-
nhos por 1 000 quadradinhos.
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Potências com expoente 3
• 13: um elevado ao cubo ou o cubo de um
• 23: dois elevado ao cubo ou o cubo de dois
• 33: três elevado ao cubo ou o cubo de três
Representação geométrica
 Potências de base 10
Observe as seguintes potências de base 10:
• 101 5 10 • 103 5 10 8 10 8 10 5 1 000 • 105 5 10 8 10 8 10 8 10 8 10 5 100 000
Nesses exemplos, percebe-se que as potências de base 10, com expoentes naturais, 
são iguais a um número formado pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as 
unidades do expoente.
Decomposição de um número usando potências de base 10
Considere os números 54, 857 e 56 948. Decompondo-os e aplicando potências de 10, 
 podemos escrever:
• 54 5 50 1 4 5 5 8 101 1 4 8 100
• 857 5 800 1 50 1 7 5 8 8 100 1 5 8 10 1 7 5 8 8 102 1 5 8 101 1 7 8 100
• 56 948 5 50 000 1 6 000 1 900 1 40 1 8 5 5 8 104 1 6 8 103 1 9 8 102 1 48 101 1 8 8 100
Lendo e aprendendo
É comum, principalmente em Física, escrever números com muitos algarismos usando 
potência de base 10.
A velocidade da luz é igual a trezentos milhões de metros por segundo.
300 000 000 de metros por segundo 5
5 3 8 100 000 000 metros por segundo 5
5 3 8 108 metros por segundo
Exemplo
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• Com o auxílio do Material 
Dourado, peça aos alunos 
que representem geometrica­
mente 43 e 53, usando, por 
exemplo, os cubinhos. Obser­
vando o padrão exis tente, 
espera­se que eles cons­
truam dois cubos, sendo um 
4 cubinhos # 4 cubinhos # 
# 4 cubinhos e o outro, 5 # 
# 5 # 5.
Ainda com o Material Dou­
rado, peça aos alunos que 
representem geometri­
camente 103. Eles pode­
rão montar um cubo com 
10 cubinhos # 10 cubinhos 
# 10 cubinhos ou, sim­
plesmente, perceber que o 
cubão do Material Dourado 
representa 103, que é igual 
a 1 000. Aprofunde o estu­
do e pergunte aos alunos 
como representar geome­
tricamente 102. Eles deve­
rão responder que será um 
quadrado com dimensões 
10 por 10 ou indicar a placa 
do Material Dourado que re­
presenta uma centena (100 5 
5 102).
Lendo e aprendendo
• Para ajudar na compreensão desta seção, dê outros exemplos de números muito “grandes” que são usual­
mente representados usando a potência de base 10.
 � Distância da Terra ao Sol: 149 600 000 quilômetros ou 1 496 3 104 quilômetros;
 � Distância da Terra à Lua: 384 400 quilômetros ou 3 844 3 102 quilômetros.
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Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
Que números deveriam ser colocados nos 
quadrinhos?
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E
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R
G
E
 T
U
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M
I
25 = 32
24 = 16
23 = 8
22 = 4
21 = 
20 = 
4 2
4 2
4 2
4 2
4 2
35 = 243
34 = 81
33 = 27
32 = 9
31 = 
30 = 
4 3
4 3
4 3
4 3
4 3
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 3 Calcule:
a) o quadrado de 13;
b) o cubo de 7;
c) três elevado à sexta potência.
 2 Como se leem as potências abaixo?
a) 93 
b) 72
c) 104
d) 135
 4 Calcule o valor de 25 2 52.
 5 Escreva no caderno os números a seguir 
usando potências de base 10.
a) 600 000
b) 4 500 000
c) 8 000 000 000
d) 8 700
 1 Calcule o valor das potências.
a) 35 g) 112
b) 43 h) 150
c) 142 i) 17 1
d) 25 j) 05
e) 103 k) 501
f) 16 l) 202
243
 6 O professor Daniel escreveu no quadro 
duas sequências com potências dos nú­
meros 2 e 3. Veja:
 7 Expresse, em 
potência de 
base 10, o 
núme ro de 
cubinhos que 
formam o 
cubo maior 
da figura.
800
52 000
JO
S
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 J
U
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A
S
 8 Determine em cada caso a potência de 
maior valor.
a) 1001 ou 1100
b) 800 ou 080
 10 Decomponha os números usando potên­
cias de 10.
a) 938 c) 7 952
b) 4 078 d) 60 000
 9 Calcule mentalmente as potências.
a) 105
b) 102
c) 8 8 102
d) 52 8 103
100 000
100
 11 Determine o valor de 54 e 56, sabendo que 
55 é igual a 3 125. Em cada um dos casos, 
faça apenas uma conta.
 12 Em uma caixa como a da figura abai­
xo, Pedro distribuiu bolinhas de gude. 
Na primeira casa, ele colocou uma bo ­ 
linha e, em cada uma das casas seguintes, 
o dobro do número de bolinhas da anterior. 
Quantas bolinhas Pedro colocou na oitava 
casa?
dez elevado à quarta potência
treze elevado à quinta potência
7
8 8 109
87 8 102
729
121
64 1
17
0
50
400
10 8 10 8 10 5 1 000 5 103
21 5 2 e 20 5 1
31 5 3 e 30 5 1
nove elevado ao cubo
sete elevado ao quadrado
6 8 105
45 8 105
169
343
196
32
1 000
1
d) 6 8 104
3 125 9 5 5 625 5 54; 
3 125 8 5 5 15 625 5 56
27 bolinhas 5 128 bolinhas
1001
800
10. a) 9 8 102 1 3 8 10 1 8
b) 4 8 103 1 7 8 10 1 8
c) 7 8 103 1 9 8 102 1 5 8 10 1 2
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• Na atividade 6, comente 
com os alunos que, na se-
quência das potências de 2, 
cada potência apresentada 
em uma linha (a partir da 
segunda) corresponde à me-
tade da potência da linha 
anterior. Continuando essa 
sequência de divisões por 2, 
obtém-se: 21 5 2 e 20 5 1. Já 
na sequência das potências 
de 3, cada potência apresen-
tada em uma linha (a partir 
da segunda) corresponde à 
terça parte da potência da 
linha anterior. Continuando 
essa sequência de divisões 
por 3, obtém-se: 31 5 3 e 
30 5 1.
Essa atividade ajuda na sis-
tematização de conclusões 
com relação ao expoente 1 
e 0, ou seja, ao trocar a base 
da potência por um núme-
ro diferente de 2 ou de 3, 
podemos chegar à mesma 
conclusão: que um número 
elevado a zero é 1 e que um 
número elevado a 1 é igual 
a ele mesmo. Isso ajudará na 
resolução da atividade 8.
 
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Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
O algarismo 
que ficar será aquele 
em que vocês 
pensaram.
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 J
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H
A
S
 1 Calcule o valor das expressões.
a) 20 2 (14 8 6 1 23)
b) (24 2 3 8 4) 9 2 1 52 9 5
c) 102 9 52 1 50 8 22 2 23
d) {62 1 2 8 [23 1 2 8 (32 8 13)] 2 25} 8 50
e) 55 2 (3 8 2 1 1)2 1 (42 1 32) 9 52 2 16
 3 Reúna­se com um colega, resolvam o 
 problema abaixo e justifiquem a resposta.
Pensem em um algarismo diferente de zero. 
Multipliquem­no por 3 e acrescentem 1 ao 
resultado. Multipliquem o novo resultado 
por 3 e somem o produto com o algarismo 
em que vocês pensaram. O resultado ter­
minará em 3. Eliminem o 3.
 2 Calcule o valor de A 1 B sabendo que: 
 A 5 (3 8 2 2 1)2 e 
 B 5 (22 1 1) 8 (5 1 23)
• 83 2 9 9 3 5 
 5 512 2 9 9 3 5
 5 512 2 3 5
 5 509
• 22 8 24 9 (23)2 5
 5 4 8 16 9 (8)2 5
 5 64 9 64 5
 5 1
• 32 8 93 10 25 1 1 _ i9 C' 1 5
 5 9 8 {5 1 [3 1 5]} 5
 5 9 8 {5 1 8} 5
 5 9 8 13 5
 5 117
Exemplos
 Expressões numéricas com potenciações
Agora, vamos estudar expressões numéricas envolvendo as operações com os números 
 naturais que vimos até aqui. As operações devem ser efetuadas nesta ordem:
1o) potenciações;
2o) multiplicações e divisões (na ordem em que aparecem);
3o) adições e subtrações (na ordem em que aparecem).
Vale lembrar que, em expressões com sinais de associação, estes devem ser eliminados na 
seguinte ordem: parênteses, colchetes e chaves.
• 53 1 (8 2 3) 8 2 5
 5 125 1 5 8 2 5
 5 125 1 10 5
 5 135
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7
0
56
6
90
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• Se achar necessário, repi-
ta a ação de resolver uma 
das expressões apresentadas 
como exemplos, ignorando 
as regras da ordem em que 
as operações devem efetua-
das e dos sinais de associação, 
para que os alunos compreen - 
dam a importância de seguir 
as regras. 
• Verifique como os alunos 
resolvem a atividade 2: se 
preferem simplificar cada 
uma das expressões A e B 
primeiro e depois somar os 
resultados ou se preferem re-
solver uma única expressão. 
Ambos os procedimentos es-
tão corretos e determinam o 
mesmo valor para A 1 B.
• Para a resolução da ativi-
dade 3, os alunos poderão 
fazer alguns testes, resol-
vendo as etapas indicadas 
a partir de um algarismo 
maior que zero (1, 2, 3, 4, 5, 
6, 7, 8, 9). Supondo que o al-
garismo inicial seja x, então 
devemos:
 � multiplicar o algarismo 
por 3: 3x
 � acrescentar 1 ao resulta-
do: 3x 1 1
 � multiplicar o novo resul-
tado por 3: 3(3x 1 1)
 � somar o produto com o 
algarismo inicial: 
3(3x 1 1) 1 x 5 10x 1 3
Obtemos um número na 
ordem das dezenas, cuja 
unidade é representada 
pelo algarismo 3 e a de-
zena, pelo x. Por exemplo, 
se o algarismo escolhido 
inicialmente for o 7, nesse 
momento teremos o nú-
mero 73.
 � eliminar o algarismo 3: x
Ao eliminar o algarismo 3 
do número obtido (10x 1 3), 
o algarismo que resta é o 
x, número pensado inicial-
mente. 
 
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Em muitas situações, não é necessário saber o valor exato de uma operação. Acompanhe o 
exemploa seguir. 
Paulo foi ao supermercado com 200 reais. Antes de passar no caixa, ele verificou se teria 
dinheiro suficiente para pagar a compra. Veja o que ele fez.
Arredondamentos e estimativas6
Ao fazer os cálculos, Paulo utilizou o arredondamento dos preços dos produtos para fazer 
a estimativa do valor total gasto na compra.
10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 40 1 30 1 20 1 10 5 150
12 1 7 1 13 1 11 1 6 1 37 1 31 1 22 1 13 5 152
arroz papel 
higiênico
cálculo do 
valor total:
cálculo do 
valor total 
estimado:
margarina peixe desodorante
sabão em pó iogurte carne frango
Para arredondar um número para determinada ordem decimal, temos que:
 observar o algarismo à direita da ordem escolhida:
• se o algarismo for menor que 5, manteremos a mesma ordem (arredondando o número 
“para baixo”);
• se o algarismo for maior ou igual a 5, aumentaremos 1 na ordem escolhida (arredondando 
o número “para cima”).
 substituir por zeros os algarismos à direita do algarismo da ordem escolhida.
Vamos lá... 10 do pacote 
de arroz mais 10 do sabão em pó 
mais 10 do papel higiênico mais 
10 do iogurte mais 10 da 
margarina dá 50. 
50 mais 40 da carne dá 90.
Mais 30 do peixe dá 120.
Mais 20 do frango dá 140.
Mais 10 do desodorante 
fica 150. 
Como 150 é menor que 
200, então vai dar para 
comprar tudo! Será que estou 
esquecendo de algo? Vou 
conferir a lista... 
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• Este tópico visa o desen-
volvimento da habilidade 
EF06MA12. A situação traz 
um exemplo do dia a dia do 
uso do cálculo por arredon-
dando, obtendo, assim, uma 
estimativa. 
• Converse com os alunos e 
solicite que apontem outros 
exemplos de situações do dia 
a dia em que utilizamos as es-
timativas. 
 
Sugestão de leitura para o aluno
• O mistério dos números perdidos, de Michael Thompson, tradução de Adazir Almeida Carvalho. São Paulo: 
Melhoramentos, 2010.
Com aventura, o leitor será desafiado a resolver problemas numéricos para avançar a cada etapa, superando 
obstáculos e se envolvendo cada vez mais com a história.
66
Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a refle-
xão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas 
e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.
Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora 
e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, 
experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.
Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo 
o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus 
saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.
Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, 
tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.
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.
• O número 178 arredondado para a ordem 
das dezenas mais próxima:
• O número 29 428 742 arredondado para a 
ordem de centena de milhar mais próxima:
ordem das 
dezenas
Como 8 . 5, então 
acrescentamos 1 
à ordem das dezenas.
178 180
ordem da centena 
de milhar
29 428 742 29 400 000
Exemplos
ATIVIDADES
Como 2 , 5, então mantemos 
a mesma ordem.
 1 Faça os arredondamentos conforme indi-
cado em cada item.
a) 369, para a centena mais próxima. 
b) 357 896, para a dezena de milhar mais 
próxima.
c) 111, para a centena mais próxima.
d) 111, para a dezena mais próxima.
 2 Calcule o valor aproximado da expressão.
323 9 111 1 32
 3 Responda às questões no caderno. 
a) Cite exemplos de situações em que utili-
zamos arredondamentos e estimativas.
b) Elabore um problema e resolva-o usan-
do estimativa. Peça a um colega que 
resolva o problema elaborado por 
você usando também estimativa. 
Agora, compare as resoluções.
 4 Maria precisa comprar uma geladeira 
e um fogão com um orçamento de 
R$ 1 850,00. Ela pesquisou os preços dos 
produtos em duas lojas. Observe os preços, 
faça os cálculos mentalmente e, depois, 
responda às questões.
a) Se Maria tivesse que comprar os eletro-
domésticos na mesma loja, em qual 
loja ela conseguiria realizar a compra? 
b) Se Maria comprasse os eletrodomés-
ticos em lojas diferentes, qual seria 
a melhor combinação e o valor total 
estimado da compra?
 5 Paula pesquisou alguns dados sobre a 
projeção da população brasileira. Observe 
a tabela.
Projeção da população brasileira por sexo 
(2020 e 2030)
Ano
Sexo População 
projetadaMasculino Feminino
2020 104 546 709 107 530 666 212 077 375
2030 109 628 293 113 498 624 223 126 917
Dados obtidos em: <https://ww2.ibge.gov.br/home/
estatistica/populacao/projecao_da_populacao/2013/
default_tab.shtm>. Acessos em: 27 set. 2018.
Diante dos números apresentados, Paula 
escreveu o seguinte texto:
Em 2020, a projeção da população brasi-
leira é de aproximadamente habitantes, 
dos quais cerca de habitantes serão do 
sexo masculino e , do sexo feminino. 
Em 2030, a projeção feita pelo IBGE diz que 
a população terá um aumento de aproxima-
damente habitantes com relação a 2020.
a) Copie o texto no caderno e substitua os .
b) Compare o texto que você escreveu 
com o de um colega. Vocês chegaram 
aos mesmos arredondamentos e esti-
mativa? Justifique. 
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Faça as atividades no caderno.
Loja A Loja B
370
360 000
100
110
300 9 100 1 30 5 33
Respostas pessoais.
Na loja A.
geladeira da loja A 
(R$ 1 254) e fogão da loja B (R$ 399); R$ 1 600 (1 200 + 400)
Resposta pessoal.5. a) Resposta possível: Em 2020, a projeção da população 
brasileira é de aproximadamente 210 000 000 habitantes, dos quais cerca de 100 000 000 habitantes serão do sexo 
masculino e 110 000 000, do sexo feminino. 
Em 2030, a projeção feita pelo IBGE diz que a população brasileira terá um aumento de aproximadamente 
10 000 000 habitantes com relação a 2020.
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• Na atividade 2, peça aos 
alunos que calculem o valor 
exato da expressão, compa-
rando-o com o valor aproxi-
mado encontrado. 
• Atividades que visam a 
interação dos alunos com 
seus pares, trabalhando no 
desenvolvimento e na elabo-
ração de problemas, como a 
atividade 3, que busca pela 
solução desses problemas, 
fará com que os alunos res-
peitem o modo de pensar 
dos colegas, além de apren-
der em conjunto. Esse tipo 
de atividade favorece o de-
senvolvimento das compe-
tências gerais 9 e 10, além da 
competência específica 8 de 
Matemática. 
 
https://ww2.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/projecao_da_populacao/2013/default_tab.shtm
https://ww2.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/projecao_da_populacao/2013/default_tab.shtm
https://ww2.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/projecao_da_populacao/2013/default_tab.shtm
67
Competência específica 2: Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos con-
vincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.
Competência específica 3: Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Arit-
mética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria 
capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e 
resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.
Competência específica 8: Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desen-
volvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos 
consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.
• O professor vai escolher um dos grupos para apresentar o plano desenvolvido e a 
 solução obtida. Durante a exposição, os outros grupos devem observar suas resolu-
ções e verificar se os resultados obtidos estão de acordo com o que foi apresentado. 
• Forme um grupo com três colegas. 
• Cada integrante do grupo deverá apresentar para os demais seu plano de resolução. 
• O grupo deve discutir as diferenças e as semelhanças de cada plano e escolher um dos 
planos para a execução do processo de resolução. 
 Observação
 Resolvam o problema de forma coletiva, mas façam o registro individual no caderno.
• Calcule a quantidade de velinhas compradas para as dez primeiras comemorações de 
aniversário e para as comemorações de 50 a 59 anos. 
• A quantidade de velinhas de aniversário compradas em cada década foi a mesma? 
• Considerando as informações coletadas, elabore um esquema que represente um pos-
sível processo de resolução do problema. 
• Analise as informações do enunciado e anote aquelas que julgar relevantes para a 
resolução do problema. 
• Responda: 
 I. Após comprar as velinhas 0 e 4, quais foram as próximas três velinhas que vovô 
Eduardo precisou comprar? 
II. Até completar 50 anos, ele precisou comprar mais velinhas de número 4? 
• O grupo deve reler o problema e verificar se todas as condições do enunciado foram 
satisfeitas.
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Resolvendo em equipe
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(Obmep) Vovô Eduardo comemorou todos os seus 
aniversários a partir dos 40 anos colocando, no bolo, 
velinhas em forma de algarismos de 0 a 9 para indicar 
sua idade. Primeiro, ele comprou as velinhas de núme-
ros 0 e 4. Ele sempre guardou as velinhas para usar nos 
próximos aniversários, comprando uma nova somente 
quando não era possível indicar sua idade com as 
guardadas. Hoje vovô Eduardo tem 85 anos. Quantas 
velinhas ele comprou até hoje?
a) 10 b) 11 c) 13 d) 14 e) 16
Resposta pessoal.
as velinhas de números 1, 2 e 3
Sim, ele precisou comprar mais uma para formar a idade de 44 anos.
Entre 40 e 49 anos foram necessárias 
11 velinhas e, entre 50 e 59 anos, apenas 1.
Uma das estratégias que podem ser utilizadas pelos alunos é a escrita dos números 40 a 85 e a 
contagem das velas de aniversário já usadas e das que serão compradas até o 85o aniversário.
Valide a resolução apresentada ou questione o grupo e os demais alunos da classe sobre o erro 
cometido e como solucioná-lo. Faça apenas a mediação das discussões, contribuindo para que 
os alunos resolvam o problema, e incentive-os a analisar diferentes estratégias de resolução.
não
Será necessário comprar 14 velas de aniversário (alternativa d), pois, dos 40 aos 
49 anos, serão utilizadas 11 velas; dos 50 aos 59 anos, 1 vela (para formar 55 anos); 
dos 60 aos 69 anos, 1 vela (para formar 66 anos); dos 70 aos 79 anos, 
1 vela (para formar 77 anos); e, dos 80 aos 85 anos, nenhuma.
Faça as atividades no caderno.
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Resolvendo em equipe
• A seção destaca as etapas 
selecionadas para encami-
nhar a resolução de proble-
mas. Elas devem ser anali-
sadas e discutidas com os 
alunos. Além de favorecer o 
desenvolvimento das com-
petências gerais 2, 4, 9 e 10 e 
das competências específicas 
de Matemática 2, 3, 5 e 8, a 
seção permite a transferên-
cia de estratégias de resolu-
ção para outros contextos e 
situações, servindo de base 
para a resolução das ativi-
dades do item “Aplicando” 
da seção “Trabalhando os 
conhecimentos adquiridos” 
deste ou de outros capítulos, 
por exemplo.
• As especificações para as 
14 velas de aniversário são:
 � dos 40 aos 49 anos, serão 
utilizadas 11 velas: 0, 1, 2, 
3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9; 
 � dos 50 aos 59 anos, 
1 vela: 5 (para formar 55)
 � dos 60 aos 69 anos, 
1 vela: 6 (para formar 66); 
 � dos 70 aos 79 anos, 
1 vela: 7 (para formar 77); e
 � dos 80 aos 85 anos, 
nenhuma vela precisará ser 
comprada.
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Trabalhando os conhecimentos adquiridos
Faça as atividades no caderno.
Revisitando
Aplicando
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 1 Quais foram as operações com números 
naturais estudadas neste capítulo?
 2 A propriedade comutativa é válida para a 
adição, mas não para a subtração. Explique 
por que isso ocorre e justifique sua resposta 
com um exemplo.
 4 Em uma divisão não exata, qual é a relação 
entre o resto da divisão e o divisor?
 3 Entre as situações a seguir, identifique as 
que correspondem a problemas que envol-
vem proporção.
a) Em uma sorveteria, estão disponíveis 
6 sabores de sorvete e 2 sabores de 
calda (chocolate e caramelo). Dessa 
maneira, é possível escolher 12 possibi-
lidades diferentes, sendo um sabor de 
sorvete e uma calda.
b) Um ingresso de cinema custa R$ 24,00. 
Então, 3 ingressos custarão R$ 72,00.
 5 Explique o significado dos termos base e ex-
poente usados na potenciação de números 
naturais.
 6 Na expressão numérica abaixo, que opera-
ção deve ser efetuada primeiro?
 7 4 13 51 2
2
: _ i9 C
 1 Alexandre e Ísis fizeram uma viagem. A pas-
sagem aérea de ida e de volta de cada um 
deles custou R$ 560,00. A diária completa 
em apartamento duplo saiu por R$ 280,00. 
Ao todo, eles gastaram R$  3 080,00 com 
passagens e hospedagem. Quantos dias o 
casal ficou hospedado?
 2 Determine três números consecutivos cuja 
soma seja 192.
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44 5 5 5 53
 3 Um caminhão pode transportar no máximo 
15 000 quilogramas. Em uma viagem, ele 
transportou 96 caixas de 80 quilogramas e 
35 caixas de 104 quilogramas. Quantos qui-
logramas de carga ainda podem ser trans-
portados por esse caminhão, nessa viagem?
 4 Em uma calculadora, tecle:
Agora, responda:
a) Que número você obteve?
 5 Adicionando 80 ao triplo de um número, 
obtemos 137. Qual é esse número?
3 125
 6 Em uma rua, há 42 postes de iluminação, e 
a distância entre dois postes consecutivos 
quaisquer é sempre 45  metros. Sabendo 
que o primeiro poste e o último ficam a 
10 metros das extremidades da rua, deter-
mine, em metro, a medida do comprimento 
dessa rua.
 7 Supondo que João seja capaz de assentar 
576 tijolos em 8 horas e que Pedro consiga 
assentar 468 tijolos em 6 horas, quantos 
tijolos esses dois pedreiros podem assentar 
juntos em 4 horas?
c) Para fazer uma receita de bolo, são usa-
dos 4 ovos. Para fazer meia receita, são 
necessários 2 ovos.
d) Uma cantina italiana oferece 3 tipos 
de massa e 3 tipos de molho (ao sugo, 
bolonhesa e branco). Assim, é possível 
montar 9 pratos diferentes, compostos de 
um tipo de massa e um tipo de molho.
b) O que ocorre cada vez que você digita a 
tecla 5 ?
c) Repita o mesmo procedimento utilizando 
o número 5. Que número você obteve? 
7 dias
63, 64, 65
adição, 
subtração, multiplicação, divisão e potenciação
e expoente indica quantas vezes o fator se repete.
Base é o fator que se repete na multiplicação, 
Espera-se que os alunos percebam que 10 2 7 é 
diferente de 7 2 10.
Resposta pessoal. 
situações b e c
Comoa divisão não é exata, o resto é diferente 
de zero e menor que o divisor.
subtração
O resultado que estava no 
visor é quadruplicado.
3 680 quilogramas
1 024
19
1 865 metros
600 tijolos
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• A seção “Trabalhando os 
conhecimentos adquiridos” 
tem como objetivo reto-
mar os conceitos e procedi-
mentos vistos no capítulo, 
incentivando a revisão, a 
autoavaliação e a criativida-
de por meio da resolução e 
elaboração de problemas. É 
composta de atividades de 
diversos níveis de dificulda-
de, incluindo desafios, cuida-
dosamente escolhidas, para 
que os alunos as resolvam 
com base nos conhecimentos 
adquiridos até o momento. 
Revisitando 
• Esta seção foi criada para 
que os alunos tenham a 
oportunidade de verificar 
os conhecimentos consolida-
dos. Se eles tiverem alguma 
dúvida em relação aos con-
teúdos avaliados na seção, 
sugira que retomem as pági-
nas do capítulo. Incentive-os 
a buscar a troca de conheci-
mento em grupo e, caso a 
dúvida persista, ajude-os a 
encontrar um bom caminho 
para a compreensão.
• Na atividade 2, os alunos 
precisam justificar que a 
propriedade comutativa não 
é válida para a subtração. 
Na subtração de dois núme-
ros naturais (a 2 b), temos 
que o minuendo é maior ou 
igual ao subtraendo (a > b). 
Portanto, a propriedade co-
mutativa não é válida, pois 
a 2 b % b 2 a, e, quando a . b, 
não conseguimos calcular 
b 2 a no conjunto dos nú-
meros naturais. 
 
Aplicando
• Na atividade 6, oriente os alunos a desenhar um esquema. Isso poderá ajudá-los a entender o problema:
Portanto, a rua tem 1 865 metros de comprimento.
10 1 41 3 45 1 10 5 1 865
10 1045
poste 1 poste 3 poste 39 poste 41poste 2 poste 4 poste 40 poste 42
4545 4545 ... 45
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Lembre-se:
Não escreva no livro!
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 9 Um negociante adquiriu 375 litros de certo 
produto por R$ 4 450,00. Considerando que 
ele pagou R$ 9,00 por litro transportado e 
que deseja ter um lucro de R$ 1 925,00, por 
quanto ele deve vender um litro do produto?
 8 Em uma divisão, o divisor é 325 e o resto 
é 210. Qual é o maior valor que podemos 
adicionar ao dividendo sem alterar o 
quociente?
 11 Calcule a diferença entre o dobro do cubo 
de 8 e o triplo do quadrado de 17.
 10 (Enem) Jogar baralho é uma atividade 
que estimula o raciocínio. Um jogo tradi­
cional é a Paciência, que utiliza 52 cartas. 
Inicialmente, são formadas sete colunas 
com as cartas. A primeira coluna tem uma 
carta, a segunda tem duas cartas, a terceira 
tem três cartas, a quarta tem quatro cartas e 
assim sucessivamente até a sétima coluna, 
a qual tem sete cartas, e o que sobra forma 
o monte, que são as cartas não utilizadas 
nas colunas.
A quantidade de cartas que forma o monte é:
a) 21
b) 24
c) 26
d) 28
e) 31
alternativa b
 12 Para pagar à vista a compra de seu novo 
automóvel, Henrique calculou que teria de 
economizar uma quantia durante 7 meses: 
• R$ 4,00 no primeiro mês;
• R$ 16,00 no segundo mês;
• R$ 64,00 no terceiro mês; e assim por diante.
Determine o valor aproximado que Henrique 
conseguiu econo mizar.
157
R$ 21 844,00 ou, aproximadamente, R$ 22 000,00
 13 Um número quadrado perfeito pode ser re­
presentado geometricamente por um qua­
drado formado por quadradinhos menores. 
Veja:
Responda.
a) Considerando a sequência 1, 4, 9 e 16, 
quais são os dois números quadrados 
perfeitos seguintes?
b) Quais são os números quadrados perfeitos 
situados entre 150 e 250?
LU
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B
IO
No caderno, elabore um problema que possa ser resolvido com a sequência de operações:
2 8 20 2 13
Depois, troque de caderno com um colega e resolva o problema criado por ele.
O colega resolveu corretamente o seu problema? Qual é a solução do problema?
 14 Se 210 5 1 024, qual é o valor de 29? E de 211?
512; 2 048
 15 Uma cisterna tem um vazamento que provo­
ca uma perda inicial de 4 litros de água em 
20 minutos. O vazamento foi aumentando 
da seguinte maneira: a cada 20 minutos, a 
quantidade de água que vazava era o dobro 
da quantidade anterior. Após uma hora e 
vinte minutos do início do vazamento, qual 
foi a quantidade total de água perdida?
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DESAFIO
Observe o esquema abaixo e calcule, efetu an­ 
do apenas uma multiplicação, a soma de todos 
os números naturais de 1 a 100.
1 2 3 4 ... 50 51 ... 97 98 99 100
50 1 51 5 101
4 1 97 5 101
3 1 98 5 101
2 1 99 5 101
1 1 100 5 101 50 8 101 5 5 050
114
R$ 26,00 25 e 36
169, 196, 225
60 litros
Elaborando 
• A seção incentiva a ela-
boração de questões pelos 
alunos, favorecendo o de-
senvolvimento das compe-
tências gerais 2, 4 e 10 e da 
competência específica de 
Matemática, 5.
• Veja alguns problemas pos-
síveis que os alunos poderão 
apresentar: “Lara comprou 
dois pacotes com 20 figuri-
nhas cada um, mas perdeu 
13 delas. Quantas figurinhas 
restaram?” Resposta: 27 figu-
rinhas; “Carlos tem o dobro 
da idade de sua irmã menos a 
idade de seu filho. Se a irmã 
de Carlos tem 20 anos e seu 
filho 13, quantos anos Carlos 
tem?” Resposta: 27 anos.
Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, 
a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver 
problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.
Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora 
e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, 
experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.
Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, 
tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.
Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e 
resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.
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É hora de observar e refletir
Hoje sabemos que o Sistema Solar é formado por oito planetas (Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, 
Saturno, Urano e Netuno) e todos estão em órbita ao redor do Sol. Mas nem sempre foi assim. Johannes Kepler 
(1571-1630), matemático e astrônomo alemão, propôs, em sua primeira obra publicada (1597), outro modelo 
para o Sistema Solar.
Na época, os planetas conhecidos eram seis: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter e Saturno. Kepler procurou 
associar as distâncias entre os planetas aos poliedros com 4, 6, 8, 12 e 20 faces iguais, respectivamente, 
conhecidos hoje como poliedros de Platão. 
 Na imagem da abertura, foram representados alguns sólidos geométricos. Você conhece objetos que podem 
ser representados por sólidos geométricos? Se sim, indique alguns. 
 Escreva com suas palavras o que são sólidos geométricos, poliedros e poliedros regulares. 
 Kepler associou os planetas aos poliedros com 4, 6, 8, 12 e 20 faces iguais. Quais são os nomes dados a esses 
poliedros? 
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CAPÍTULO
FIGURAS GEOMÉTRICAS 
ESPACIAIS3
Representação artística do modelo de Kepler 
para o Sistema Solar e poliedros de Platão.
Resposta pessoal.
Cubo, tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
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Objetivos 
• Reconhecer figuras geomé­
tricas espaciaisna natureza, 
objetos e construções.
• Identificar e estudar um 
sólido geométrico (poliedros 
e corpos redondos) e seus 
elementos.
• Comparar sólidos por meio 
do reconhecimento de seus 
elementos.
• Associar a imagem de um 
sólido à planificação de sua 
superfície, quando possível.
Habilidades da BNCC 
• Este capítulo foi planeja­
do para favorecer o desen­
volvimento da habilidade 
EF06MA17 e parte da habi­
lidade EF06MA18, que será 
complementada no capítulo 9.
Para iniciar este capítulo, é im­
portante identificar os conhe­
cimentos prévios dos alunos 
sobre o tema. Durante todo 
o aprendizado, a utilização de 
material concreto é bastante 
útil para que os alunos avan­
cem no processo de abstração. 
É hora de observar e refletir 
• A abertura do capítulo traz 
um modelo elaborado por 
Kepler que mostra sua ten­
tativa de utilizar formas geo­
métricas para representar as 
distâncias entre as órbitas, fa­
vorecendo o desenvolvimen­
to da competência geral 1 e 
da competência específica 1. 
Comente com os alunos 
que, nesse modelo, as esfe­
ras continham as órbitas dos 
planetas. Cada poliedro foi 
utilizado para separar uma 
esfera. O cubo, por exemplo, 
foi usado para separar as es­
feras de Saturno e Júpiter. 
Anos depois, ao aprofundar 
seus estudos, Kepler concluiu 
que as órbitas eram elípticas 
e não esféricas e, por isso, 
substituiu esse modelo por 
outro mais adequado. 
Na primeira pergunta, al­
guns exemplos são: uma 
bola (representada por uma 
esfera), um dado (represen­
tado por um cubo) e uma 
caixa (representa da por um 
paralelepípedo). Na segun­
da, espera­se que os alunos 
respondam que os sólidos 
geométricos são figuras geo­
métricas maciças (não ocas) e 
que apresentam três dimen­
sões (comprimento, largura e 
altura). Poliedros são sólidos 
geométricos que apresentam 
apenas partes planas; já os 
poliedros regulares apresen­
tam todas as partes iguais. 
EF06MA17: Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do 
seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial.
EF06MA18: Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá­los em regulares e não 
regulares, tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros.
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Trocando ideias
Cubo, escultura interativa de Tony 
Rosenthal, Nova York, EUA, 2008.
Palácio
 da Paz
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econcil
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Astana
, Cazaquis
tão, 20
16.
Quarto do hotel Free Spirit Spheres, 
Vancouver, Canadá, 2005.
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No nosso dia a dia, podemos observar elementos da natureza, objetos e construções de 
diferentes formas. A Terra, por exemplo, lembra uma esfera; uma árvore conífera, como o 
próprio nome sugere, lembra um cone; as colunas de alguns edifícios lembram cilindros.
Terra. Interior da Grande Mesquita de 
Córdoba, Espanha, 2017.
Árvore conífera.
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 Que formas vocês observam nas construções das imagens abaixo?
Para responder a questões como essa, vamos estudar, neste capítulo, algumas figuras   
que apresentam formas como as que aparecem nas imagens acima, cha madas de 
figuras geométricas espaciais.
pirâmide
esfera
prisma
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<foto nova da mesquita de 
Córdoba>
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Se achar importante, diga aos alunos que as imagens nesta página não foram apresentadas em escala de tamanho.
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Trocando ideias 
• Esta seção foi criada para 
incentivar uma conversa en-
tre os alunos sobre assun-
tos do capítulo, mobilizando 
seus conhecimentos. Sugeri-
mos explorá-la oralmente; se 
você achar necessário, solici-
te que respondam às ques-
tões por escrito no caderno.
• A partir de algumas formas 
identificadas nas imagens, 
como a esfera, o cilindro e a 
pirâmide, inicie uma discus-
são sobre as formas geomé-
tricas espaciais encontradas 
no cotidiano, em objetos, 
construções etc. 
Convém chamar a atenção 
dos alunos para que obser-
vem no dia a dia objetos, na-
turais ou construídos, cujas 
formas lembrem figuras geo-
métricas espaciais, como uma 
bola de futebol, um edifício, 
um tronco de árvore, uma 
melancia, uma caixa ou uma 
lata de leite. 
• A seção poderá ser explo-
rada com o auxílio de outras 
disciplinas, como História e 
Arte, mostrando e valori-
zando a diversidade cultural 
e como as figuras geométri-
cas espaciais estão presentes 
nas construções e em ou-
tros campos, favorecendo o 
desenvolvimento das com-
petência gerais 1 e 3 e da 
competência específica 1.
 
Orientações para o 
professor acompanham o 
Material Digital Audiovisual
Material Digital Audiovisual
• Vídeo: Geometria em 
documentos históricos
Competência geral 1: Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e 
digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, demo-
crática e inclusiva.
Competência geral 3: Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar 
de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.
Competência específica 1: Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de dife-
rentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e 
tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.
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Sólidos geométricos1
Poliedros Corpos redondos
A superfície dos poliedros é formada apenas por partes planas (chamadas de face). Já a su-
perfície dos corpos redondos apresenta pelo menos uma parte arredondada, ou seja, não plana. 
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Tridimensional
Apresenta três dimensões: comprimento, largura e altura.
Superfície
Imagine a superfície de um sólido geométrico como se fosse uma casca muito fina que o envolvesse.
Embalagens que lembram sólidos geométricos.
As indústrias utilizam diferentes tipos de embalagem para acondicionar os mais diversos 
 produtos, como alimentos, bebidas, produtos químicos, entre outros.
A fim de criar embalagens adequadas, são feitos estudos prévios sobre o melhor formato 
dessas embalagens, para que seja possível armazenar a quantidade necessária de produto. 
As formas dessas embalagens lembram sólidos geométricos — assunto que vamos estudar 
neste capítulo.
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Em Geometria, sólido é uma figura 
geométrica tridimensional e maciça, ou 
seja, não oca.
Já a superfície é toda a parte visível de 
um sólido geométrico.
Entre os diversos tipos de sólidos vamos 
estudar os chamados poliedros e alguns 
tipos especiais dos chamados corpos 
redondos.
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• Pode-se pedir aos alunos 
que levem à escola objetos, 
como embalagem de creme 
dental e outras caixas, bolas, 
latas de leite, entre outros, 
pois a observação e o manu-
seio desses objetos serão de 
grande valia para o aprendi-
zado deles. Por meio da ma-nipulação desses objetos, os 
alunos poderão perceber, 
por exemplo, as diferen-
ças entre os corpos redon-
dos e os poliedros. É possível 
também utilizar sabão em 
pedra para “esculpir” obje-
tos diversos e, assim, iniciar 
a abordagem deste tema. 
Pode-se pedir aos alunos 
que criem tanto modelos de 
poliedros como modelos de 
corpos redondos. 
Aproveite as embalagens e 
os objetos para explicar o 
significado dos termos tridi-
mensional e superfície.
• Levante os conhecimentos 
prévios dos alunos quanto 
aos tipos de figuras geomé-
tricas espaciais apresenta-
das, tentando formar um 
grupo de objetos que se 
assemelhem a poliedros e 
outro grupo que se asseme-
lhem a corpos redondos.
• Neste capítulo, serão estu-
dados os prismas, as pirâmi-
des, os cones e os cilindros 
retos. Se julgar conveniente, 
amplie esse estudo para o 
caso de esses sólidos serem 
oblíquos.
 
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Na caixa, Nicole percebe os vértices 
(pontas), as arestas (quinas) e as 
faces (onde está passando os dedos).
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vértice
face
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Vamos conhecer melhor as partes que formam um poliedro.
Em qualquer poliedro, podemos encontrar vértices, arestas e faces. Veja:
Cada região que forma a superfície de um poliedro é chamada face. O segmento comum a 
duas faces é chamado de aresta, e os pontos de encontro das arestas são chamados vértices.
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Poliedros2
O poliedro ao lado recebe o nome de bloco retangular ou 
paralelepípedo reto-retângulo. Ele apresenta:
• A habilidade EF06MA17 
começa a ser trabalhada 
neste tópico, com a apre-
sentação dos elementos de 
um poliedro, e continua ao 
longo de todo o capítulo. 
Aproveite as embalagens 
trazidas pelos alunos para 
trabalhar os elementos de 
um poliedro (vértices, ares-
tas e faces).
 
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Em cada sólido representado no quadro acima, o número de vértices somado com o 
 número de faces é igual ao número de arestas somado com 2. Essa relação foi observada 
por um matemático suíço do século XVIII chamado Leonhard Euler e, em homenagem a ele, 
é conhecida como relação de Euler. 
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Observe, no quadro a seguir, a quantidade de faces, de vértices e de arestas de alguns poliedros. 
É possível verificar alguma relação entre essas quantidades?
6 faces 8 vértices 12 arestas
5 faces 5 vértices 8 arestas
8 faces 12 vértices 18 arestas
5 faces 6 vértices 9 arestas
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12 1 2 5 14
Confira a relação 
para os demais sólidos 
do quadro.
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número de faces número de 
arestas
número de vértices
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• A relação de Euler rela-
ciona o número de vértices, 
faces e arestas de prismas e 
pirâmides, contemplando a 
habilidade EF06MA17.
• Comente sobre a história e 
as inúmeras contribuições do 
matemático Leonhard Euler 
no avanço dessa ciência, de 
forma a contemplar a com-
petência específica 1.
• Avalie a conveniência de 
ampliar esse estudo mos-
trando poliedros convexos 
e não convexos, ressaltando 
que a relação de Euler é vá-
lida para todos os poliedros 
convexos, porém, os polie-
dros não convexos nem sem-
pre obedecem à relação de 
Euler.
Sugestão de leitura
• Textos com informações 
sobre a vida de Leonhard 
Euler.
Disponíveis em: <http://www.
fem.unicamp.br/~em313/
paginas/person/euler.htm> 
e <http://ecalculo.if.usp.br/
historia/euler.htm>. Acessos 
em: 26 ago. 2018.
Sugestão de atividade extra
• Reproduza com a turma 
o experimento do portal 
M3 Matemática Multimídia 
(Cortar cubos), que indica 
cortes em cubos para veri-
ficação da relação de Euler. 
Como complemento, se pos-
sível, construa um ou mais 
poliedros em que não se ve-
rifica a relação de Euler para 
que os alunos manuseiem e 
verifiquem que a relação de 
Euler não é válida para o po-
liedro em questão.
Disponível em: <http://m3.ime.
unicamp.br/recursos/1369>. 
Acesso em: 26 ago. 2018. 
Competência específica 1: Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de 
 diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos 
e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.
http://www.fem.unicamp.br/~em313/paginas/person/euler.htm
http://www.fem.unicamp.br/~em313/paginas/person/euler.htm
http://www.fem.unicamp.br/~em313/paginas/person/euler.htm
http://ecalculo.if.usp.br/historia/euler.htm
http://ecalculo.if.usp.br/historia/euler.htm
http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1369
http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1369