GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

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Geometria 
Analítica e 
Álgebra Linear
Dr. Ricardo Ramos Fragelli
Dr. Ronni Geraldo Gomes de Amorim 
Dr. Vinícius de Carvalho Rispoli
Coordenador de Conteúdo Fábio Augusto Gentilin e 
Márcia Fernanda Pappa
Designer Educacional Janaína de Souza Pontes e 
Yasminn Talyta Tavares Zagonel
Revisão Textual Érica Ortega e Silvia Gonçalves
Editoração Isabela Belido e Thayla Guimarães 
Cripaldi 
Ilustração Bruno Pardinho, Marta Kakitani e 
Marcelo Goto
Realidade Aumentada Kleber Ribeiro, Leandro 
Naldei e Thiago Surmani
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação a 
Distância;FRAGELLI, Ricardo Ramos; AMORIM, Ronni Geraldo 
Gomes de; RISPOLI, Vinícius de Carvalho;
Geometria Analítica e Álgebra Linear. Ricardo Ramos Fragelli; 
Ronni Geraldo Gomes de Amorim; Vinícius de Carvalho Rispoli. 
Maringá-PR.: Unicesumar, 2018. 
296 p.
“Graduação - EAD”.
1. Geometria Analítica 2. Álgebra . 3. Linear 4. EaD. I. Título.
ISBN: 978-85-459-1163-0
CDD - 22 ed. 512
CIP - NBR 12899 - AACR/2
NEAD - Núcleo de Educação a Distância
Av. Guedner, 1610, Bloco 4 - Jardim Aclimação
CEP 87050-900 - Maringá - Paraná
unicesumar.edu.br | 0800 600 6360
Impresso por:
Reimpresso em:
DIREÇÃO UNICESUMAR
Reitor Wilson de Matos Silva, Vice-Reitor e 
Pró-Reitor de Administração Wilson de Matos 
Silva Filho, Pró-Reitor Executivo de EAD William 
Victor Kendrick de Matos Silva, Pró-Reitor de
Ensino de EAD Janes Fidélis Tomelin, Presidente
da Mantenedora Cláudio Ferdinandi. 
NEAD - NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Diretoria Executiva Chrystiano Mincoff, James 
Prestes e Tiago Stachon; Diretoria de Graduação
e Pós-graduação Kátia Coelho; Diretoria de 
Permanência Leonardo Spaine; Diretoria de 
Design Educacional Débora Leite; Head de 
Produção de Conteúdos Celso Luiz Braga de Souza 
Filho; Head de Metodologias Ativas Thuinie Daros; 
Head de Curadoria e Inovação Tania Cristiane Yoshie 
Fukushima; Gerência de Projetos Especiais Daniel 
F. Hey; Gerência de Produção de Conteúdos
Diogo Ribeiro Garcia; Gerência de Curadoria
Carolina Abdalla Normann de Freitas; Supervisão
do Núcleo de Produção de Materiais Nádila de
Almeida Toledo; Supervisão de Projetos Especiais
Yasminn Talyta Tavares Zagonel; Projeto
Gráfico José Jhonny Coelho e Thayla Guimarães
Cripaldi; Fotos Shutterstock
PALAVRA DO REITOR
Em um mundo global e dinâmico, nós trabalha-
mos com princípios éticos e profissionalismo, não 
somente para oferecer uma educação de qualida-
de, mas, acima de tudo, para gerar uma conversão 
integral das pessoas ao conhecimento. Baseamo-
-nos em 4 pilares: intelectual, profissional, emo-
cional e espiritual.
Iniciamos a Unicesumar em 1990, com dois 
cursos de graduação e 180 alunos. Hoje, temos 
mais de 100 mil estudantes espalhados em todo 
o Brasil: nos quatro campi presenciais (Maringá, 
Curitiba, Ponta Grossa e Londrina) e em mais de
300 polos EAD no país, com dezenas de cursos de 
graduação e pós-graduação. Produzimos e revi-
samos 500 livros e distribuímos mais de 500 mil
exemplares por ano. Somos reconhecidos pelo
MEC como uma instituição de excelência, com
IGC 4 em 7 anos consecutivos. Estamos entre os
10 maiores grupos educacionais do Brasil.
A rapidez do mundo moderno exige dos 
educadores soluções inteligentes para as ne-
cessidades de todos. Para continuar relevante, a 
instituição de educação precisa ter pelo menos 
três virtudes: inovação, coragem e compromisso 
com a qualidade. Por isso, desenvolvemos, para 
os cursos de Engenharia, metodologias ativas, as 
quais visam reunir o melhor do ensino presencial 
e a distância.
Tudo isso para honrarmos a nossa missão que é 
promover a educação de qualidade nas diferentes 
áreas do conhecimento, formando profissionais 
cidadãos que contribuam para o desenvolvimento 
de uma sociedade justa e solidária.
Vamos juntos!
Prezado(a) Acadêmico(a), bem-vindo(a) à Co-
munidade do Conhecimento. 
Essa é a característica principal pela qual a 
Unicesumar tem sido conhecida pelos nossos alu-
nos, professores e pela nossa sociedade. Porém, é 
importante destacar aqui que não estamos falando 
mais daquele conhecimento estático, repetitivo, 
local e elitizado, mas de um conhecimento dinâ-
mico, renovável em minutos, atemporal, global, 
democratizado, transformado pelas tecnologias 
digitais e virtuais.
De fato, as tecnologias de informação e comu-
nicação têm nos aproximado cada vez mais de 
pessoas, lugares, informações, da educação por 
meio da conectividade via internet, do acesso 
wireless em diferentes lugares e da mobilidade 
dos celulares. 
As redes sociais, os sites, blogs e os tablets ace-
leraram a informação e a produção do conheci-
mento, que não reconhece mais fuso horário e 
atravessa oceanos em segundos.
A apropriação dessa nova forma de conhecer 
transformou-se hoje em um dos principais fatores de 
agregação de valor, de superação das desigualdades, 
propagação de trabalho qualificado e de bem-estar. 
Logo, como agente social, convido você a saber 
cada vez mais, a conhecer, entender, selecionar e 
usar a tecnologia que temos e que está disponível. 
Da mesma forma que a imprensa de Gutenberg 
modificou toda uma cultura e forma de conhecer, 
as tecnologias atuais e suas novas ferramentas, 
equipamentos e aplicações estão mudando a nossa 
cultura e transformando a todos nós. Então, prio-
rizar o conhecimento hoje, por meio da Educação 
a Distância (EAD), significa possibilitar o contato 
com ambientes cativantes, ricos em informações 
e interatividade. É um processo desafiador, que 
ao mesmo tempo abrirá as portas para melhores 
oportunidades. Como já disse Sócrates, “a vida 
sem desafios não vale a pena ser vivida”. É isso que 
a EAD da Unicesumar se propõe a fazer.
Seja bem-vindo(a), caro(a) acadêmico(a)! Você 
está iniciando um processo de transformação, 
pois quando investimos em nossa formação, seja 
ela pessoal ou profissional, nos transformamos e, 
consequentemente, transformamos também a so-
ciedade na qual estamos inseridos. De que forma 
o fazemos? Criando oportunidades e/ou estabe-
lecendo mudanças capazes de alcançar um nível 
de desenvolvimento compatível com os desafios 
que surgem no mundo contemporâneo. 
O Centro Universitário Cesumar mediante o 
Núcleo de Educação a Distância, o(a) acompa-
nhará durante todo este processo, pois conforme 
Freire (1996): “Os homens se educam juntos, na 
transformação do mundo”.
Os materiais produzidos oferecem linguagem 
dialógica e encontram-se integrados à proposta 
pedagógica, contribuindo no processo educa-
cional, complementando sua formação profis-
sional, desenvolvendo competências e habilida-
des, e aplicando conceitos teóricos em situação 
de realidade, de maneira a inseri-lo no mercado 
de trabalho. Ou seja, estes materiais têm como 
principal objetivo “provocar uma aproximação 
entre você e o conteúdo”, desta forma possibilita 
o desenvolvimento da autonomia em busca dos 
conhecimentos necessários para a sua formação 
pessoal e profissional.
Portanto, nossa distância nesse processo de 
crescimento e construção do conhecimento deve 
ser apenas geográfica. Utilize os diversos recursos 
pedagógicos que o Centro Universitário Cesumar 
lhe possibilita. Ou seja, acesse regularmente o Stu-
deo, que é o seu Ambiente Virtual de Aprendiza-
gem, interaja nos fóruns e enquetes, assista às aulas 
ao vivo e participe das discussões. Além disso, 
lembre-se que existe uma equipe de professores e 
tutores que se encontra disponível para sanar suas 
dúvidas e auxiliá-lo(a) em seu processo de apren-
dizagem, possibilitando-lhe trilhar com tranquili-
dade e segurança sua trajetória acadêmica.
APRESENTAÇÃO
Prezado(a) aluno(a)!
No decorrer do estudo desta disciplina, você se deparará com um universo 
novo e impressionante. Este novo mundo é repleto de aplicações, as quais 
variam desde itens tecnológicos simples que fazem parte do seu cotidiano 
até grandes projetos científicos. Nesse sentido, para que você perceba um 
pouco do alcance dos conteúdos de Geometria Analítica e Álgebra Li-
near, em cada unidaden%7D%24%0A%0A
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Lucas gonçalves
15+ (-6)+ (-2) = 7 / 0+15++2=17 9+ (-2)+(-4)= 3 / 0+5+4=99+(-1)=8 / 1           7 ,17                              3,   9                              8,   1                                          
25UNIDADE I
Observe que no resultado, por exemplo, c12 5 0 3 5 2 1� � � �� � �� �. . . foi obtido pela 
soma dos produtos dos elementos da primeira linha de B pela segunda coluna de A. É in-
teressante observar que o produto AB não é definido. Você saberia explicar o porquê?
Apresentamos a seguir as propriedades do produto matricial válidas para matrizes 
quadradas. Para isso, sejam A, B e C três matrizes quadradas n n× (ordem n), e In 
um número real e A a matriz identidade de ordem n. Temos então (LIMA, 2016):
1. Associatividade: A BC AB C( ) = ( )
2. Elemento neutro: AI I A An n= =
3. Distributividade: A B C AB AC( ) =+ +
4. a a a( ) = ( ) = ( )AB A B A B
5. Em geral, AB BA= .
Nas propriedades acima, note que a matriz identidade desempenha o papel de ele-
mento neutro do produto matricial.
Embora comentamos que as propriedades acima sejam válidas para matrizes 
quadradas, podemos generalizá-las para matrizes de qualquer ordem, desde que as 
matrizes tenham tamanho adequado.
Demonstraremos as duas primeiras propriedades. As outras demonstrações são 
análogas e podem ser encontradas nas referências bibliográficas.
Demonstração da Propriedade 1.
Sejam A aij= ( ), B bij= ( ) e C cij= ( ). Denominemos D AB= , sendo D dij= ( ). 
Assim,
d b cij k
n
ik kj= =1∑
Dessa forma, temos que
A BC AD a d a b c
l
n
il lj
l
n
il
k
n
lk kj( ) = = =
=1 =1 =1
� � �
�
�
��
�
�
��
A BC a b c a b c
l
n
k
n
il lk kj
k
n
l
n
il lk kj( ) = = .
=1 =1 =1 =1
�� � �
�
�
��
�
�
��
Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo. 
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
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26 Matrizes
Denominando F AB= , F fij= ( ) onde f a bij k
n
ik kj= =1∑
chegamos a
A BC f c FC AB C
k
n
ik kj( ) = = = ( )
=1
,∑
como queríamos demonstrar.
Dada a matriz
A =
2 3
1 1
,
��
�
�
�
�
�
desafio você a encontrar uma matriz B tal que AB I= 2.
Agora já estamos em condições de retornar ao problema introdutório da unidade. 
Vamos encontrar o seu gasto calórico diário devido às atividades físicas por meio 
da multiplicação matricial. Para esse fim, multiplicaremos as matrizes B e A que 
representam os dados contidos nas Tabelas 1 e 2,
BA =




























750
600
1000
600
.
BA
600
750
1100
875
1475
.
Esse último resultado esboça o seu gasto calórico diário no decorrer da semana. 
Ou seja, você gastou 600 calorias na segunda-feira, 750 calorias na terça-feira, 875 
calorias na quarta-feira, 1100 calorias na quinta-feira e 1475 calorias na sexta-feira.
Como você percebeu, o estudo das matrizes pode nos ajudar em atividades sim-
ples do cotidiano. No decorrer da disciplina, você perceberá que tarefas muito mais 
complexas serão facilitadas mediante o cálculo matricial.
2 DESAFIO
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DF%3DAB%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DF%3DAB%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DF%3D(f_%7Bij%7D)%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DF%3D(f_%7Bij%7D)%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DF%3D(f_%7Bij%7D)%0A
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB%0A%0A%0A%0A
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27UNIDADE I
Matriz Transposta
A matriz transposta é um ingrediente fundamental do cálculo matricial, conforme 
você poderá constatar no decorrer do curso. Por exemplo, a transposição matricial é 
utilizada na definição da matriz inversa, como também no cálculo do produto escalar. 
Determinar a matriz transposta é muito simples, basta trocar as linhas de uma matriz 
por suas colunas, ou seja, quem é linha passa a ser coluna e vice-versa. Dessa forma, 
se uma matriz A tem ordem m n× , a sua transposta tem ordem n m× . Façamos então 
uma definição mais formal.
DEFINIÇÃO 2
A transposta de uma matriz A aij m n= ( ) × é definida pela matriz A B bt
ij n m= = ( ) × obtida 
trocando-se as linhas com as colunas, ou seja, b aij ji= .
Você poderá entender melhor essa operação por meio do exemplo a seguir.
Seja a matriz
A �
�
� �
�
�
�
�
�
�
3 0 2
2 5 1
.
Determine a sua transposta.
Resolução: para determinarmos a transposta de A basta trocarmos as linhas com as 
colunas. Assim, obtemos neste caso
At �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3 2
0 5
2 1
.
Determine a transposta da matriz coluna
v � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3
2
1
.
Em seguida, calcule o produto v vt .
Resolução: a transposta da matriz coluna é uma matriz linha dada por
vt � � �� �3 2 1 .
5.1 EXEMPLO
5.2 EXEMPLO
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%5Ctimes n%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%5Ctimes n%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%5Ctimes n%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%5Ctimes n%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%5Ctimes n%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%5Ctimes n%0A%0A
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%5Ctimes n%0A%0A
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%5Ctimes n%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%5Ctimes n%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%5Ctimes n%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%5Ctimes n%0A%0A
28 Matrizes
O produto
v vt � � �� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � �3 2 1
3
2
1
9 4 1 14.
Perceba que o resultado do produto v vt é um número real positivo.
Propriedades da Transposição de Matrizes
Algumas propriedades da transposição matricial são elencadas a seguir (ANTON; 
RORRES, 2012):
1. ( ) =A At t
2. ( ) =AB B At t t
3. I It =
Terminamos o conteúdo dessa unidade. Agora é a sua vez de colocá-lo em prática. 
Para esse fim, responda as Atividades de Estudo a seguir.
Aluno(a), antes de realizar cálculos envolvendo matrizes lembre-se sempre que só é 
possível adicionarmos ou subtrairmos duas matrizes que tiverem a mesma ordem, 
ou seja, as matrizes que serão somadas ou subtraídas devem ter o mesmo número 
de linhas e colunas. A multiplicação de matrizes, porém, só é definida quando o 
número de colunas da primeira matriz (matriz da esquerda) é igual ao número de 
linhas da segunda matriz (matriz da direita). Além disso, o resultado do produto 
será uma matriz com o mesmo número de linhas da primeira e o mesmo número 
de colunas da segunda.
29
Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução.
1. A matriz A aij� � � de ordem 2X3 tal que 𝑎𝑖𝑗=2𝑖−3𝑗 é dada por:
a) �
1 3 0
4 1 2
�
�
�
�
�
�
�
�
b) � � �
� �
�
�
�
�
�
�
1 4 7
1 2 5
c) � �
� � �
�
�
�
�
�
�
1 1 2
7 5 4
d) 0 1 1
1 2 0
�
�
�
�
�
�
�
�
e) � � �
� �
�
�
�
�
�
�
7 4 1
5 2 1
2. Dadas as matrizes
A e
y
x
=
−
+






3 1
8 22
 
B �
��
�
�
�
�
�
15 1
8 38
.
Os valores de x e y tais que a matriz A seja igual à matriz B são:
a) y = 5 e x � �6 .
b) y = 3 e x = 7 .
c) y = 4 e x � �6 .
d) y � �3 e x = 6 .
e) y =1 e x = 2 .
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%3D(a_%7Bij%7D)http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%3D(a_%7Bij%7D)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%3D(a_%7Bij%7D)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%3D(a_%7Bij%7D)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%3D(a_%7Bij%7D)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D2%5Ctimes 3
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D2%5Ctimes 3
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D2%5Ctimes 3
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D2%5Ctimes 3
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D2%5Ctimes 3
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D2%5Ctimes 3
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D2%5Ctimes 3
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D2%5Ctimes 3
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D2%5Ctimes 3
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D2%5Ctimes 3
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D2%5Ctimes 3
Lucas gonçalves
  1  2  3  1  2  3    aij= 2.1 - 3.1 / 2.2 
30
3. Dadas as matrizes
A B=





 =
−





5 2
3 4
3 2
5 1
e
 
C �
��
�
�
�
�
�
1 0
2 3
.
O resultado da expressão AB Ct−3 é:
a) 
� ��
�
�
�
�
�
28 29
14 11
b) 
28 29
14 11� �
�
�
�
�
�
�
c) 14 11
28 29� �
�
�
�
�
�
�
d) � ��
�
�
�
�
�
14 11
28 29
e) 28 14
29 11
�
�
�
�
�
�
�
�
4. Denominamos de comutador das matrizes A e B a operação [ , ] =A B AB BA− . 
Dizemos que as matrizes A e B comutam quando [ , ] = 0A B . Considere as matrizes
1 2
1 0 0 1
= =
0 1 1 0
S e S   
   −   
Calcule[ , ]1 2S S . As matrizes S1 e S2 comutam?
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5BS_%7B1%7D%2CS_%7B2%7D%5D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5BS_%7B1%7D%2CS_%7B2%7D%5D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5BS_%7B1%7D%2CS_%7B2%7D%5D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5BS_%7B1%7D%2CS_%7B2%7D%5D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5BS_%7B1%7D%2CS_%7B2%7D%5D
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5BS_%7B1%7D%2CS_%7B2%7D%5D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5BS_%7B1%7D%2CS_%7B2%7D%5D
31
Álgebra Linear com aplicações
Autores: Howard Anton e Chris Rorres
Editora: Bookman
Sinopse: esta obra traz o conteúdo básico de álgebra linear para estudantes de 
ciências exatas e engenharia. O conteúdo é permeado de interessantes aplicações.
Comentário: a leitura dos capítulos 1 e 2 desta obra é recomendada.
LIVRO
32
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. 10. ed. São Paulo: Editora Bookman, 2012.
FRANCO, N. M. B. Álgebra Linear. 1. ed. São Paulo: Editora Pearson, 2016.
HOLT, J. Álgebra Linear com Aplicações. 1. ed. São Paulo: Editora LTC, 2016.
LIMA, E. L. Álgebra Linear. 9. ed. Rio de Janeiro: Editora SBM, 2016.
33
1. Para construir a matriz A, observe a sua ordem para saber os valores que i e j podem assumir; os quais são 
i = 1,2 e j = 1,2,3. Dessa forma, os elementos da matriz são construídos de acordo com a lei de formação 
dada aij = 2i - 3j . Temos então: a11=2-3=-1, a12=2-6=-4,a13=2-9=-7, a21=4-3=1, a22=4-6=-2, e a23=4-9=-5. Assim, a 
matriz A é dada por
A = -1 -4 -7
1 -2 -5
A alternativa correta é a B.
2. Para resolver essa questão, basta igualar os elementos correspondentes das matrizes A e B. Fazendo isso, 
encontramos 3y = 15 e x2 + 2 = 38, o que nos fornece y = 5 e x = +-6. A alternativa correta é a letra A.
3. Iniciamos a resolução desta questão pelo cálculo do produto AB, o que nos fornece
AB = 25 -8
29 -2
Na sequência calculamos Ct e multiplicamos o resultado por 3, o que leva a
Ct �
��
�
�
�
�
�
3 6
0 9
.
Realizando a subtração AB Ct−3 , obtemos
AB Ct� �
�
�
�
�
�
�
�
�3
28 14
29 11
.
Portanto, a alternativa correta é a letra E.
4. Resolvemos esta questão fazendo separadamente os produtos S S1 2 e S S2 1 e depois subtraímos os resul-
tados. Temos então:
S S1 2
0 1
1 0
�
�
�
�
�
�
�
�
 e 
S S1 2
0 1
1 0
�
��
�
�
�
�
�
Dessa forma, chegamos a
S S1 2
0 2
2 0
, .� � �
�
�
�
�
�
�
�
Como S S1 2 0,� � � , ou seja, S S S1 2 2 1as matrizes dadas não comutam.
A seguir, apresentamos as respostas dos desafios.
34
Desafio 1. A resposta do desafio decorre da propriedade 4 da adição de matrizes. Ou seja, a matriz que 
somada à matriz A leva à matriz nula é a matriz −A. Dessa forma, basta multiplicarmos cada elemento de 
A por −1, obtendo assim o resultado
� �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
A
1 5 3
4 2 0
3 4 9
.
Desafio 2. Esse desafio corresponde ao conteúdo que veremos na próxima unidade. Na oportunidade, 
resolveremos tal problema.
35
36
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Definir determinante de uma matriz e calcular o determi-
nante de matrizes de segunda e terceira ordem.
• Definir e calcular a matriz dos cofatores, bem como utili-
zar o método de Laplace no cálculo de determinantes de 
matrizes de ordem arbitrária.
• Definir e calcular a matriz adjunta.
• Definir e calcular a matriz inversa, bem como identificar 
as propriedades da matriz inversa.
• Resolver sistemas de equações lineares usando o méto-
do de Cramer, bem como classificar os sistemas lineares 
como possíveis e impossíveis.
Definição de 
Determinante
Cálculo de Determinantes 
pelo Método de Laplace Matriz Inversa
Sistemas de Equações 
LinearesMatriz adjunta
Dr. Ronni Amorim
Dr. Ricardo Fragelli
Dr. Vinícius Rispoli
Determinante, 
Matriz Inversa e 
Sistemas Lineares
Definição de 
Determinante
Prezado(a) aluno(a)! Nesta unidade, estudare-
mos sobre determinante e matriz inversa. No 
primeiro momento introduziremos a definição 
de determinante. Na sequência, calcularemos a 
matriz inversa. Conforme veremos, o cálculo de 
determinantes constitui um ingrediente essencial 
para a obtenção da matriz inversa. Além disso, 
diversos outros temas que serão estudados em 
outras unidades utilizam a noção de determi-
nante, dentre os quais podemos citar: a resolução 
de sistemas lineares pelo método de Cramer e o 
cálculo dos autovalores.
Digamos que certo dia você esteja observando 
o céu noturno com a ajuda de um telescópio e o 
direciona para um planeta que orbita uma estrela 
específica. No mesmo instante, há um suposto ha-
bitante desse planeta observando a Terra. Contu-
do, ele detém instrumentos melhores e consegue 
ver pequenos detalhes da Terra. Um dos detalhes 
visto por este ser extraterrestre foi você. Então, ele 
decide enviar uma mensagem para você. Contudo, 
a mensagem enviada está codificada.A mensagem 
por ele enviada vem na forma da seguinte matriz:
39UNIDADE II
M �
� � �
� � � �
�
�
�
�
�
�
15 18 18 17 4 0
30 55 31 51 25 1
.
Além da matriz, ele enviou uma tabela contendo números e letras, na qual foi atri-
buída o espaço vazio para o número zero, a letra A para o número um, a letra B para 
o número 2, a letra C para o número 3, e assim sucessivamente até associar a letra Z 
ao número 23. Não foram utilizadas as letras K, Y e W. Além disso, o extraterrestre 
enviou uma segunda matriz, a qual ele denominou chave. Essa matriz está logo abaixo:
C =
1 1
2 3
.
�
�
�
�
�
�
�
�
Você conseguiria decifrar essa mensagem? Esse será um dos nossos objetivos nesta 
unidade: desenvolver um método para ler o que o extraterrestre quis nos dizer.
O determinante de uma matriz quadrada n n× é uma função que associa um 
número real à matriz. Perceba que o determinante é definido apenas para matrizes 
quadradas. A seguir, apresentaremos uma definição formal para essa “função”. Antes 
disso, definiremos o que é uma inversão (LIMA, 2016).
Dada uma sequência numérica, denominaremos de inversão quando um número 
inteiro precede um menor que ele. Por exemplo, no conjunto [1 2] não temos inver-
são; contudo, no conjunto [2 1] temos uma inversão. Então, formalmente, podemos 
definir inversão da seguinte forma: Dada uma permutação dos inteiros 1,2, , n, 
existe uma inversão quando um número inteiro precede um número menor que ele. 
Por exemplo, considerando o conjunto [3,2,1] percebemos nele três inversões, o dois 
e o três precedem o um e o três precede do dois. Na Tabela 1, apresentamos algumas 
permutações e o respectivo número de inversões.
Tabela 1 - Permutações e número de inversões
Permutação Número de Inversões
[1,2,3] 0
[1,3,2] 1
[2,1,3] 1
[2,3,1] 2
[3,1,2] 2
[3,2,1] 3
Fonte: os autores.
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D %5B1%5Cquad 2%5D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D %5B1%5Cquad 2%5D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D %5B1%5Cquad 2%5D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D %5B1%5Cquad 2%5D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D %5B1%5Cquad 2%5D
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40 Determinante, Matriz Inversa e Sistemas Lineares
Observe que para os três números inteiros distintos, tivemos 3! = 6 inversões. Logo, 
torna-se fácil deduzir que para n inteiros distintos teremos n! inversões.
DEFINIÇÃO 1
Dada uma matriz A n n× , definimos o determinante de A, denotado por detA como
detA a a a
n
n
N
j j njn
= ( 1) ,
=1
!
1 1 2 2� � 
onde N N j j jn= [ , ], , ]1 2  representa o número de inversões da permutação 
[ , , , ]1 2j j jn .
Algumas observações importantes acerca da definição são as seguintes:
 • o coeficiente ( 1)− N define o sinal de cada parcela do somatório;
 • em cada parcela do somatório existe somente um elemento de cada linha e so-
mente um elemento de cada coluna da matriz;
 • por meio de reordenações, podemos definir de forma equivalente 
detA a a an
n N
j j jnn
= ( 1)=1
!
11 22� �  .
A partir da definição, podemos escrever uma fórmula que nos permite calcular o 
determinante de matrizes de ordem 2 e de ordem 3.
Determinante de Matrizes 2x2
Em uma matriz quadrada
A
a a
a a
= 11 12
21 22
�
�
�
�
�
�
de segunda ordem, temos que n = 2. Dessa forma, cada permutação terá dois ele-
mentos, o que totaliza duas (2!) permutações, as quais são [1 2] e [2 1]. Logo, o 
somatório que define o determinante terá duas parcelas. Além disso, podemos escrever 
explicitamente como:
detA a a a a a a a a= ( 1) ( 1) = .0
11 22
1
12 21 11 22 12 21� � � �
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41UNIDADE II
Como exemplo, calculemos o determinante da matriz
A =
1 1
2 3
.
�
�
�
�
�
�
�
�
Neste caso, teremos: detA= 1 ( 3) ( 1) 2 = 3 2 = 1� � � � � � � �
Determinante de Matrizes 3 X 3
Utilizando a definição de determinante e procedendo de forma análoga ao que fize-
mos para matrizes de ordem 2, podemos mostrar que o determinante de uma matriz 
A 3 3× escrita na forma
A
a a a
a a a
a a a
=
11 12 13
21 22 23
31 32 33
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
é dado por
detA a a a a a a a a a a a a a a a= ( ) (11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32� � � � � aa a a12 21 33)
Você deve obter a fórmula acima como exercício.
Como exemplo, calculemos o determinante da matriz
B =
1 3 2
5 2 7
3 0 1
.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Utilizando o último resultado, temos
detB = (1 ( 2) ( 1) ( 3) 7 3 2 5 0) (2 ( 2) 3 1 7 0 ( 3) 5 (� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��1)
detB = (2 63 0) ( 12 0 15) = 64.� � � � � � �
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42 Determinante, Matriz Inversa e Sistemas Lineares
Propriedades dos Determinantes
A seguir, apresentamos algumas propriedades dos determinantes.
1. detA detAt=
Dada uma matriz, o seu determinante é igual ao da sua transposta. Essa pro-
priedade decorre da definição, pois, conforme estabelecemos,o somatório pode 
ser realizado em relação aos índices que representam as linhas ou as colunas.
2. Se multiplicarmos uma linha de uma matriz por um número real k , o deter-
minante fica multiplicado por k.
3. Se permutarmos duas linhas (ou duas colunas) de uma matriz, o determinante 
dessa matriz muda de sinal.
4. Se multiplicarmos todos os elementos de uma matriz por um número real k, 
o determinante da matriz fica multiplicado por kn.
5. O determinante de uma matriz que tem duas linhas (ou colunas) iguais é 
igual a zero.
6. O determinante não se altera se somarmos aos elementos de uma linha, os 
elementos correspondentes de outra linha multiplicados por uma constante.
7. det AB detAdetB( ) = .
Exercício: Utilizando a definição de determinante, justifique as propriedades acima.
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43UNIDADE II
Você deve ter notado que calcular o determinante 
pela definição pode ser bastante enfadonho. Por 
isso, metodologias alternativas para o cálculo são 
sempre bem-vindas. Um desses métodos alter-
nativos consiste no método de Laplace. Antes de 
estudá-lo, precisamos definir alguns conceitos. 
O primeiro conceito que introduziremos é o de 
submatriz.
Submatriz
Seja uma matriz quadrada A n n× . Uma subma-
triz Aij de A é uma matriz obtida eliminando a 
i-ésima linha e a j-ésima coluna de A (ANTON; 
RORRES, 2012).
Como exemplo, considere a matriz
A =
1 3 2
5 2 7
3 0 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Cálculo do Determinante 
pelo Método de Laplace
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA %5Cquad n%5Ctimes n%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA %5Cquad n%5Ctimes n%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA %5Cquad n%5Ctimes n%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA %5Cquad n%5Ctimes n%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA %5Cquad n%5Ctimes n%0A
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
44 Determinante, Matriz Inversa e Sistemas Lineares
As matrizes
A e A21 32=
3 2
0 1
=
1 2
5 7
−
−












são submatrizes de A.
Outro conceito que nos será útil no cálculo de determinantes pelo método de Laplace 
é o conceito de cofator. A definição de cofatores também será importante na definição 
de matriz adjunta.
Cofator
O cofator de um elemento aij de uma matriz quadrada A n n× é o número
Dij
i j
ijdetA= ( 1) .� �
O cofator é também denominado complemento algébrico.
Para exemplificar, tomemos a matriz
A =
1 3 2
5 2 7
3 0 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Neste caso, temos que
D22
2 2
22
4= ( 1) = ( 1)
1 2
3 1
� �
�
�
�
�
�
�
�
� detA det
D22 = 7.−
 e
D12
1 2
12
3= ( 1) = ( 1)
5 7
3 1
� �
�
�
�
�
�
�
�
� detA det
D12 = ( 1) ( 26) = 26.� � �
Exercício: Calcule os demais cofatores da matriz acima.
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Da_%7Bij%7D%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Da_%7Bij%7D%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Da_%7Bij%7D%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Da_%7Bij%7D%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Da_%7Bij%7D%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Da_%7Bij%7D%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Da_%7Bij%7D%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Da_%7Bij%7D%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Da_%7Bij%7D%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Da_%7Bij%7D%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Da_%7Bij%7D%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Da_%7Bij%7D%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Da_%7Bij%7D%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Da_%7Bij%7D%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Da_%7Bij%7D%0A
45UNIDADE II
Método de Laplace
O cálculo de determinante de uma matriz A n n× via o desenvolvimento de Laplace 
é realizado por meio da fórmula a seguir
detA a
j
n
ij ij= ,
=1
∆∑
para qualquer linha i. De forma análoga, podemos definir também
detA a
i
n
ij ij=
=1
∆∑
para qualquer coluna j.
Para exemplificar, calculemos o determinante da matriz
A =
1 3 2
5 2 7
3 0 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
pelo método de Laplace.
Segundo a definição, para fazer o cálculo podemos escolher qualquer linha ou qual-
quer coluna, e então fazemos o somatório. Tomemos a linha 3.
Neste caso, podemos escrever:
detA a
j
n
j j=
=1
3 3∆∑
detA a a a= 31 31 32 32 33 33D D D+ +
detA= 3 ( 17) 0 3 ( 1) 13 = 51 13 = 64� � � � � � � � � �
Como exercício, calcule o determinante da matriz A pelo método de Laplace utili-
zando outra linha ou coluna.
46 Determinante, Matriz Inversa e Sistemas Lineares
Nesta seção, introduziremos o conceito de matriz 
adjunta. Antes disso, precisamos definir a matriz 
dos cofatores.
Definição: Matriz dos Cofatores
Seja A aij= ( ) uma matriz quadrada de ordem n. 
Definimos a matriz dos cofatores de A, denotada 
por D, a matriz que se obtém substituindo cada 
elemento aij de A pelo seu respectivo cofator Dij .
Exemplificaremosessa definição com o cál-
culo da matriz dos cofatores associada à matriz
A =
1 3 2
5 2 7
3 0 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Já conhecemos os cofatores D12 = 26 e D22 = 7− . 
Calculando os demais cofatores, obtemos:
D11
1 1
11
2= ( 1) = ( 1)
2 7
0 1
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� detA det
D11 = 2.
Matriz Adjunta
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%3D(a_%7Bij%7D)%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%3D(a_%7Bij%7D)%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%3D(a_%7Bij%7D)%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%3D(a_%7Bij%7D)%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%3D(a_%7Bij%7D)%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%3D(a_%7Bij%7D)%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%3D(a_%7Bij%7D)%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%3D(a_%7Bij%7D)%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%3D(a_%7Bij%7D)%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%3D(a_%7Bij%7D)%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dn%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dn%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dn%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dn%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dn%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dn%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dn%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dn%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dn%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dn%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dn%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dn%0A%0A%0A%0A
file:///V:/Producao_de_Materiais/03_Gradua%c3%a7%c3%a3o/01_Cursos/Hibridos/Comuns/2018/A3/GEOMETRIA%20ANAL%c3%8dTICA%20E%20%c3%81LGEBRA%20LINEAR/03_Design%20Editorial/01_Livro/word/Word%20importado/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dn%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%0A%0A%0A%0A
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5CDelta%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5CDelta%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5CDelta%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5CDelta%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5CDelta%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5CDelta%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5CDelta%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5CDelta%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5CDelta%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5CDelta%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5CDelta%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5CDelta%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5CDelta%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5CDelta%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5CDelta%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5CDelta%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5CDelta%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Da_%7Bij%7D%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Da_%7Bij%7D%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Da_%7Bij%7D%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5CDelta_%7B12%7D%3D26%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5CDelta_%7B12%7D%3D26%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5CDelta_%7B12%7D%3D26%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5CDelta_%7B12%7D%3D26%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5CDelta_%7B12%7D%3D26%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5CDelta_%7B12%7D%3D26%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5CDelta_%7B12%7D%3D26%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5CDelta_%7B12%7D%3D26%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5CDelta_%7B12%7D%3D26%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5CDelta_%7B12%7D%3D26%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5CDelta_%7B12%7D%3D26%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5CDelta_%7B12%7D%3D26%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5CDelta_%7B12%7D%3D26%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5CDelta_%7B12%7D%3D26%0A%0A%0A%0A
47UNIDADE II
D13
1 3
13
4= ( 1) = ( 1)
5 2
3 0
� �
��
�
�
�
�
�
� detA det
D13 = 6.
D21
2 1
21
3= ( 1) = ( 1)
3 2
0 1
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� detA det
D21 = 3.−
D23
2 3
23
5= ( 1) = ( 1)
1 3
3 0
� �
��
�
�
�
�
�
� detA det
D23 = 9.−
D31
3 1
31
4= ( 1) = ( 1)
3 2
2 7
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� detA det
D31 = 17.−
D32
3 2
32
5= ( 1) = ( 1)
1 2
5 7
� �
�
�
�
�
�
�
� detA det
D32 = 3.
D33
3 3
33
6= ( 1) = ( 1)
1 3
5 2
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� detA det
D33 = 13
Colocando os cofatores calculados nas posições devidas, obtemos a matriz
D =
2 26 6
3 7 9
17 3 13
,� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
a qual é a matriz dos cofatores de A.
Agora, para praticar um pouco, determine a matriz dos cofatores da matriz
B =
1 2
5 7
.
�
�
�
�
�
�
48 Determinante, Matriz Inversa e Sistemas Lineares
Definição: Matriz Adjunta
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Definimos a matriz adjunta de A , denotada 
por adj A( ) , como a transposta da matriz dos cofatores de A, isto é (FRANCO, 2016),
adj A t( ) = .D
Para exemplificar, determinemos a matriz adjunta da matriz abaixo:
A =
1 3 2
5 2 7
3 0 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Note que a matriz A é aquela que determinamos a sua matriz dos cofatores. Dessa 
forma, basta calcular a transposta da matriz dos cofatores, que neste caso será dada por:
adj A t( ) = =
2 3 17
26 7 3
6 9 13
.D
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
É a sua vez de praticar. Calcule a matriz adjunta da matriz
B =
1 2
5 7
�
�
�
�
�
�
Lembre-se que você já determinou a matriz dos cofatores de B.
Na sequência, estudaremos um importante teorema que envolve a matriz adjunta. Antes 
disso, você está convidado a fazer alguns cálculos. Consideremos a mesma matriz A 
utilizada no exemplo que acabamos de resolver. Já sabemos que detA= 64− . Agora, 
calcule a multiplicação Aadj A( ).
Você encontrará
Aadj A( ) =
64 0 0
0 64 0
0 0 64
= 64
1 0 0
0 1 0
0 0 1
=
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ddetA I� 3.
Será que o resultado encontrado acima A adj A detAIn( ) = é sempre válido? A resposta 
é positiva. Neste caso, enunciaremos o seguinte teorema.
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%0AA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%0AAhttp://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%0AA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%0AA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%0AA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%0AA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%0AA
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%0AA
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%0AA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%0AA
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%0AA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%0AA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%0AA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%0AA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%0AA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%0AA
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%0AA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%0AA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%0AA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%0AA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%0AA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%0AA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%0AA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%0AA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%0AA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%0AA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%0AA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%0AA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%0AA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%0AA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%0AA
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
49UNIDADE II
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, tal que detA 0= . Então, Aadj A detAIn( ) = .
Demonstração: faremos uma demonstração esquemática para matrizes de ordem 
dois, que pode ser generalizada para matrizes de ordem n.
Seja a matriz
A
a a
a a
= .11 12
21 22
�
�
�
�
�
�
Temos que a matriz adjunta associada à A é dada por:
adj A
a a
a a
( ) = 22 12
21 11
�
�
�
�
�
�
�
�
Dessa forma, o produto Aadj A( ) é dado por:
Aadj A
a a a a a a a a
a a a a a a a
( ) = 12
21
11 22 21 11 1112 12
21 22 22 11 1222
� � �
� � aa
det A
det A
det A I
21
2=
( ) 0
0 ( )
= ( ) .
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Os resultados para matrizes de ordem superior podem ser obtidos de forma análoga. 
A seguir apresentaremos o conceito de matriz inversa.
TEOREMA1
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA 
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA 
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA 
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA 
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dn
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dn
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dn
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dn
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DdetA%5Cneq 0
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DdetA%5Cneq 0
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DdetA%5Cneq 0
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DdetA%5Cneq 0
50 Determinante, Matriz Inversa e Sistemas Lineares
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. De-
nominamos matriz inversa de A, denotada por 
A−1, a uma matriz, também de ordem n que 
satisfaz a seguinte propriedade AB BA In= = . 
Se essa matriz A−1 existir, A será chamada de 
matriz invertível (HOLT, 2016).
Matriz Inversa
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dn
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dn
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%5E%7B-1%7D
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DAB%3DBA%3DI_n
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%5E%7B-1%7D
51UNIDADE II
Calcule a inversa da matriz
A =
2 1
4 3�
�
�
�
�
�
�
Resolução: determinaremos a matriz inversa A−1 utilizando a definição. 
Para isso, denominemos
A
a b
c d
� �
�
�
�
�
�
1 = ,
e determinemos os elementos a, b, c e d.
Assim, temos que:
2 1
4 3
=
1 0
0 1�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
a b
c d
O que nos leva a:
2 2
4 3 4 3
=
1 0
0 1
.
a c b d
a c b d
� �
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Dessa forma, temos dois sistemas de equações dados por:
2 = 1a c+
� �4 3 = 0a c
e
2 = 0b d+
� �4 3 = 1.b d
O que nos leva a: a = 3 /10, b = 1/10− , c = 4 /10 e d = 2 /10. Logo, concluímos que
A� �
��
�
�
�
�
�
1 3 10 1 10
4 10 2 10
/ /
/ /
.
Como exercício, calcule o produto entre a matriz A−1 calculada e a matriz A original; 
e então confirme se o resultado é realmente a matriz identidade.
Você deve ter notado que o cálculo da matriz inversa pela definição pode ser 
uma tarefa enfadonha, sobretudo para matrizes de ordens superiores a dois. Para 
isso, iremos desenvolver uma expressão que nos permitirá a realização deste cálculo 
de forma mais direta, sem a necessidade de resolver sistemas de equações. Para esse 
fim, considere o resultado já encontrado:
1 EXEMPLO
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Da%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dc%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dc%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dc%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dc%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Da%3D3%2F10%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db%3D-1%2F10%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dc%3D4%2F10%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dc%3D4%2F10%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dc%3D4%2F10%0A%0A
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dc%3D4%2F10%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dc%3D4%2F10%0A%0A
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dc%3D4%2F10%0A%0A
52 Determinante, Matriz Inversa e Sistemas Lineares
Aadj A detA In( ) = ( ) ,
podemos reescrevê-lo na seguinte forma:
A adj A
det A
In
( )
( )
=�
��
�
��
Comparando esta expressão com a definição de matriz inversa, concluímos que
A
detA
adj A−1 = 1 ( )
Essa expressão nos possibilita calcular matrizes inversas de forma mais direta.
Como exemplo, tomemos a matriz
A =
1 3 2
5 2 7
3 0 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Já calculamos a sua adjunta, a qual é dada por:
adj A( ) =
2 3 17
26 7 3
6 9 13
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
O seu determinante também já foi calculado, para o qual foi obtido detA= 64− . 
Dessa forma, a inversa de A é dada por:
A�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 = 1
( 64)
2 3 17
26 7 3
6 9 13
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DdetA%3D-64%0A
53UNIDADE II
Como exercício, verifique se o produto AA−1 para a matriz dada neste exemplo é 
realmente igual à matriz identidade.
Com a definição de matriz inversa a partir da matriz adjunta, podemos inferir 
que a condição para que uma matriz tenha inversa é:
detA 0.=
Algumas propriedades da matriz inversa serão apresentadas a seguir.
Propriedades
1. I In n
� �1 .
2. ( ) =1 1 1AB B A− − − .
3. A At t� � � � �� �1 1 .
4. Se uma matriz A possui inversa, a inversa é única.
5. detA
detA
� �1 1 .
Demonstrações: A primeira propriedade é imediata, pois a adjunta da matriz iden-
tidade é ela mesma, os únicos cofatores não-nulos de uma matriz identidade são 
aqueles associados à diagonal principal. E ainda, o determinante da matriz identidade 
é igual a 1. Neste caso, fica provada a propriedade 1.
Você pode verificar a segunda propriedade de forma bem fácil. Sabemos que, 
pela definição da matriz inversa, quando multiplicamos uma matriz por sua inversa 
devemos obter a matriz identidade. Neste caso, temos
( ) = = = = .1 1 1 1 1AB AB B A AB B I B B B In n
− − − − −
Por outro lado, temos
AB AB ABB A AI A AA In n( ) = = = =1 1 1 1 1− − − − −
E assim fica demonstrada a propriedade 2.
A propriedade 3 pode ser demonstrada de forma análoga à anterior. Conforme 
está explicitado na expressão a seguir
54 Determinante, Matriz Inversa e Sistemas Lineares
A A A A I It t t
n
t
n
� �� � � � � � �1 1 .
A propriedade 4 pode ser demonstrada por contradição. Para isso, supomos que as 
matrizes B e C são inversas da matriz A. Então, AB BA In= = e AC CA In= = . Com 
isso, podemos escrever
B BI B AC BA C I C Cn n� � � � � � � � � ,
logo, B C= .
A quinta propriedade é facilmente demonstrada se utilizarmos a definição de matriz 
inversa AA In
� �1 e a propriedade doé apresentada pelo menos uma situação na qual o 
conteúdo nela discutido pode ser utilizado. Além disso, devido ao caráter 
prático do conteúdo abordado nesta disciplina, ela constitui uma das ba-
ses que o auxiliará na compreensão de temas mais avançados das outras 
disciplinas do curso de Engenharia. Ou seja, os conteúdos e técnicas que 
serão estudados nesta disciplina aparecerão nas demais disciplinas como 
importantes ferramentas.
Nesse arcabouço, os principais temas que serão abordados são os seguintes: 
cálculo com matrizes, determinante e matriz inversa; vetores no plano e no 
espaço tridimensional; geometria analítica no plano: estudo da reta e da 
circunferência; geometria analítica em três dimensões; espaços vetoriais; 
transformações lineares; autovalores e autovetores; diagonalização de ma-
trizes; estudo das cônicas.
Dessa forma, a orientação é que se dedique bastante ao estudo desta disci-
plina, tente assimilar bem todos os conceitos que serão apresentados, pois 
essas atitudes farão a diferença no decorrer da sua graduação. Além disso, 
aproveite bastante, pois os conteúdos apresentados serão demasiadamente 
interessantes. Tenha um bom estudo e, porque não, uma boa diversão.
CURRÍCULO DOS PROFESSORES
Dr. Ronni Geraldo Gomes de Amorim
Possui Pós-doutorado pela International Centre of Condensed Matter Physics of University 
of Brasilia (2012), Doutorado em Física pela Universidade de Brasília (2009), Mestrado em 
Física pela Universidade de Brasília (2006), Graduação em Física pela Universidade de Brasília 
(2003) e Graduação em Matemática pela Universidade Católica de Brasília (1999). Atualmente 
é Professor Adjunto da Universidade de Brasília.
Para mais informações, acesse: .
Dr. Ricardo Ramos Fragelli
Possui Doutorado em Ciências Mecânicas (2010) pela Universidade de Brasília (UnB), onde 
também fez Mestrado (2003) e Graduação (2000) em Engenharia Mecânica. Professor Adjun-
to da UnB dos cursos de Engenharia da Faculdade UnB Gama e do Mestrado em Design do 
Departamento de Design Industrial, onde orienta trabalhos na área de Design Educacional. 
Desenvolve pesquisas em Sistemas Tutores Inteligentes e Adaptativos, técnicas, métodos e 
tecnologias para Educação. Por meio de suas pesquisas, recebeu onze prêmios nacionais de 
Instituições como MEC, MCT, CAPES, ABED, ABMES e Santander Universidades.
Para mais informações, acesse: .
Dr. Vinícius de Carvalho Rispoli
Possui Doutorado (2014) em Engenharia de Sistemas Eletrônicos e Automação pela Univer-
sidade de Brasília, com período sanduíche na University of Michigan (EUA). Mestrado (2007) 
e Graduação (2005) em Matemática pela Universidade de Brasília. Tem experiência na área 
de Matemática Aplicada, com ênfase em Equações Diferenciais, Métodos Numéricos e Oti-
mização. Atua na área da Engenharia Biomédica/Matemática Aplicada e é Professor Adjunto 
II de Matemática Aplicada na Faculdade UnB Gama, Universidade de Brasília.
Para mais informações, acesse: .
Matrizes
13
Determinante, 
Matriz Inversa e 
Sistemas Lineares
37
Fundamentos de 
Geometria Analítica 
no R2 
69
Vetores no Plano 
e no Espaço
Retas e Planos do R3
101
137
Espaços e 
Subespaços Vetoriais
163
Transformações 
Lineares
Diagonalização 
de Matrizes
229
As Cônicas
257
199
72 Distância entre dois pontos
107 Vetor no R³
144 Reta no R³
188 Mistura das cores
217 Rotação do quadrado
261 Elipse
266 Hipérbole
Utilize o aplicativo 
Unicesumar Experience 
para visualizar a 
Realidade Aumentada.
271 A parábola
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Dr. Ronni Amorim
Dr. Ricardo Fragelli
Dr. Vinícius Rispoli
• Definir matriz e identificar os critérios de igualdade matricial.
• Reconhecer os principais tipos de matrizes: matriz quadra-
da; matriz diagonal, matriz identidade, matriz linha; matriz 
coluna; matriz triangular superior; matriz triangular inferior.
• Estudar as operações de adição, subtração, multiplicação 
e transposição de matrizes, identificando as propriedades 
relativas a cada operação.
Definição de Matriz
Classificação das Matrizes
Cálculo Matricial
Matrizes
Definição de Matriz
Prezado(a) aluno(a)! Nesta unidade, você estuda-
rá o conceito de matriz e aprenderá os principais 
tipos de matrizes. Conforme veremos, o cálculo 
matricial é fundamental ao desenvolvimento de 
diversas áreas do conhecimento, tendo aplicações 
em física, engenharia, economia etc. Além disso, os 
conceitos que serão desenvolvidos nesta unidade 
servirão como base para a discussão dos outros 
conteúdos que abordaremos ao longo da disciplina.
Como exemplo da importância da matriz em 
nosso dia a dia, consideraremos uma pequena 
aplicação na prática desportiva.
Praticar atividades físicas regularmente traz 
grandes benefícios para a nossa saúde. Felizmente, 
frequentar uma academia tem se tornado uma 
“febre”. Tornou-se uma moda a busca por saúde, 
corpo definido e qualidade de vida.
Nesse sentido, suponha que você tenha aderido 
a um novo programa de treinamento físico, o qual 
deve ser realizado durante a semana. Nesse treina-
mento, você deve praticar entre uma e duas horas 
de atividade diária. Dentre as atividades, o seu per-
sonal trainning recomendou as seguintes: spinning, 
natação, treinamento funcional e corrida na esteira.
15UNIDADE I
O gasto calórico médio devido à prática de 1h de cada uma das atividades enumeradas 
segue esboçado na Tabela 1 a seguir.
Tabela 1 - Gasto calórico por atividade
Atividade Corrida a 12 km/h Spinning Treinamento 
Funcional Natação
Gasto calórico em 1h 750 cal 600 cal 1000 cal 600 cal
Fonte: os autores.
Você está seguindo rigorosamente o programa de treinamento proposto e pratica 
diariamente um conjunto de atividades. O tempo diário gasto por você em cada 
atividade na primeira semana está descrito na Tabela 2.
Tabela 2 - Tempo diário gasto em cada atividade
Dia Corrida a 12 km/h Spinning Treinamento 
Funcional
Natação
segunda-feira 0 0,5h 0 0,5h
terça-feira 1h 0 0 0
quarta-feira 0 0,5h 0,5h 0,5h
quinta-feira 0,5h 0 0,5h 0
sexta-feira 0,5h 0,5h 0,5h 0,5h
Fonte: os autores.
Podemos sumarizar as informações contidas nas Tabelas 1 e 2 utilizando as matrizes. 
Além disso, conhecendo as operações do cálculo matricial, podemos calcular de 
forma prática o seu gasto calórico diário decorrente da prática das atividades físicas 
elencadas. Para isso, antes estudaremos um pouco sobre as matrizes.
De uma forma simples, podemos dizer que uma matriz consiste em uma tabela 
retangular de elementos dispostos em linhas e colunas. Organizar elementos no for-
mato de matriz pode repercutir na facilitação de cálculos e na tomada de decisões, 
conforme notaremos em alguns exemplos.
Representamos uma matriz com m linhas e n colunas da seguinte forma 
(ANTON; RORRES, 2012)
A
a a a
a a a
a a a
am n
n
n
m m mn
ij m� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
= = ( )
11 12 1
21 22 2
1 2
…
…
� � �
…
nn ,
em que 1 i mdeterminante do produto
det .AB detAdetB� � �
Seja então, AA In
� �1 . Calculando o determinante de ambos os lados da equação, obtemos
det AA detAdetA detIn
� �� � � � �1 1 1
detAdetA� �1 1
supondo detA 0= , chegamos a
detA
detA
� �1 1 .
Um exercício interessante do cálculo matricial está colocado a seguir.
Exercício: Isole a matriz X dada na equação AX B= .
Resolução: podemos isolar a matriz X multiplicando à esquerda dos dois lados 
da equação por A−1. Como AA In
−1 = e In é o elemento neutro da multiplicação 
matricial, temos que
X A B= .1−
desde que A−1 exista.
Agora que você já conhece o conceito de matriz inversa, podemos retornar ao 
problema da mensagem por você recebida. O seu objetivo é decifrá-la. Para esse 
fim, você deve entender como ela foi elaborada.
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55UNIDADE II
Primeiramente, o responsável pela escrita da mensagem trocou as letras por números, 
da maneira que foi estabelecida no início desta unidade. Em seguida, ele colocou os 
números em uma matriz, a qual foi multiplicada à esquerda pela matriz chave, e o resul-
tado obtido foi a matriz enviada. Denominemos a matriz segredo por S, a matriz chave 
por C e a matriz mensagem (a que foi enviada a você) por M . Neste caso, temos que:
M CS= .
Neste caso, precisamos isolar a matriz S para então deciframos a mensagem. Para 
esse fim, multipliquemos à esquerda dos dois lados por C−1. Dessa forma, temos
C M C CS− −1 = .1
Contudo, você sabe que C C I−1
2= . Assim sendo,
C M I S−1
2= ,
ou seja,
S C M= .1−
Dessa forma, percebemos que para decifrar a mensagem você deve multiplicar a 
matriz M recebida à esquerda pela inversa da matriz chave.
Como exercício é deixado para você mostrar que a inversa da matriz chave é:
C� �
�
�
�
�
�
�
�
1 =
3 1
2 1
.
Sendo assim, a decodificação da mensagem nos fornece
S =
3 1
2 1
15 18 18 17 4 0
30 55 31 51 25 1
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
� � � �
�
�
�
�
�
�
O que nos fornece
S =
15 1 23 0 13 1
0 19 5 17 17 1
.
�
�
�
�
�
�
Associando os números da matriz a letras do alfabeto, chegamos a
PAZ NA TERRA.
E essa foi a mensagem enviada pelos extraterrestres.
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56 Determinante, Matriz Inversa e Sistemas Lineares
Os sistemas lineares são de extrema importância 
nas mais variadas áreas do conhecimento. Sendo 
assim, compreender como encontrar a solução 
de um sistema de equações lineares é demasia-
damente necessário a qualquer profissional de 
ciência e tecnologia, sobretudo a você que será 
um futuro engenheiro. Existem diversos métodos 
para encontrar a solução de um sistema linear. 
Estudaremos nesta seção um desses métodos, 
denominado Método de Cramer.
Método de Cramer
Nesta seção, veremos como se resolveum sistema 
linear por meio da regra de Cramer. A regra de 
Cramer é aplicável quando o número de equa-
ções é igual ao número de incógnitas. De forma 
geral, é possível resolver um sistema de equações 
quando o número de equações é maior ou igual 
ao número de incógnitas.
Para esse fim, considere o sistema de equações 
lineares com n equações e n incógnitas dado a 
seguir (ANTON; RORRES, 2012).
Sistemas de 
Equações Lineares
57UNIDADE II
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a
n n
n n
n n
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2
=
=
� � �
� � �
�
…
…
� � � � �
xx a x bnn n n2 =� �
�
�
�
�
�
�
� …
Podemos escrevê-lo no formato matricial
a a a
a a a
a a a
x
x
x
x
n
n
n n nn
n
11 12 1
21 22 2
1 2
1
2
3.
…
…
…












































= ,
1
2
3
b
b
b
bn
o qual pode ser escrito como
AX B= ,
onde A representa a matriz dos coeficientes, X representa a matriz das incógnitas (ou 
matriz solução) e B representa a matriz dos termos independentes. Neste caso, temos
A
a a a
a a a
a a a
n
n
n n nn
=
11 12 1
21 22 2
1 2
…
…
� � � �
…
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
X
x
x
x
xn
= ,
1
2
3
�
















 
 e
B
b
b
b
bn
=
















1
2
3
�
A regra de Cramer nos diz que a solução do sistema é dada por
x detA
detA1
1= ,
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DX
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DX
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DX
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DX
58 Determinante, Matriz Inversa e Sistemas Lineares
x detA
detA2
2= ,

x detA
detAn
n= ,
onde detA é o determinante da matriz dos coeficientes e detAi é o determinante da 
matriz Ai. A matriz Ai é obtida de A pela substituição da i-ésima coluna de A pela 
matriz dos termos independentes.
Faremos uma demonstração esquemática da regra de Cramer. Contudo, a demons-
tração pode ser generalizada para o caso com mais incógnitas e equações. Tomaremos 
um sistema com três incógnitas e três equações dado por
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3
=
=
=
+ +
+ +
+ + bb3
,
o qual pode ser escrito no formato matricial dado por
a a a
a a a
a a a
x
x
x
b
b
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1
2
3
1
2=
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� bb3
.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Escrevemos, então,
AX B= ,
X A B= .1−
Neste caso,
x
x
x
detA
1
2
3
11 12 13
21 22 23
31 32 33
= 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
D D D
D D D
D D D ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
b
b
b
1
2
3
.
Efetuando a multiplicação de A−1 por B, obtemos
x
x
x
detA
b b b
b b b
1
2
3
11 1 21 2 31 3
12 1 22 2 32 3
1
= 1
∆ ∆ ∆
∆ ∆ ∆
∆ 33 1 23 2 33 3
.
b b b∆ ∆
Note que, utilizando o método de Laplace, podemos mostrar que
D D D11 1 21 2 31 3 1= ,b b b detA+ +
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Ddet A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Ddet A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Ddet A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Ddet A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Ddet A%0A
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Ddet A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Ddet A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Ddet A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Ddet A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Ddet A%0A
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Ddet A%0A
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DdetA_%7Bi%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DdetA_%7Bi%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DdetA_%7Bi%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DdetA_%7Bi%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DdetA_%7Bi%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DdetA_%7Bi%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DdetA_%7Bi%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DdetA_%7Bi%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DdetA_%7Bi%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DdetA_%7Bi%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DdetA_%7Bi%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_%7Bi%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_%7Bi%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_%7Bi%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_%7Bi%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_%7Bi%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_%7Bi%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_%7Bi%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_%7Bi%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_%7Bi%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_%7Bi%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_%7Bi%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_%7Bi%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DAhttp://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%5E%7B-1%7D%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%5E%7B-1%7D%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%5E%7B-1%7D%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%5E%7B-1%7D%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%5E%7B-1%7D%0A
59UNIDADE II
onde
A
b a a
b a a
b a a
1
1 12 13
2 22 23
3 32 33
= ,
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ou seja, é a matriz obtida pela substituição da primeira coluna da matriz A pela matriz B.
De forma análoga,
D D D12 1 22 2 32 3 2= ,b b b detA+ +
onde
A
a b a
a b a
a b a
2
11 1 13
21 2 23
31 3 33
= ,
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ou seja, é a matriz obtida pela substituição da segunda coluna da matriz A pela matriz B.
E também,
D D D13 1 23 2 33 3 3= ,b b b detA+ +
em que
A
a a b
a a b
a a b
1
11 12 1
21 22 2
31 32 3
=
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
,
ou seja, é a matriz obtida pela substituição da terceira coluna da matriz A pela matriz B.
Com isso, mostramos a regra de Cramer.
Utilizando a regra de Cramer, resolva o sistema de equações a seguir:
x y z
x y z
x y z
� �
� � �
� � �
�
�
�
�
�
4 = 6
4 2 = 1
2 2 3 = 20
Resolução: o sistema quando escrito no formato matricial fica dado por
1 4 1
4 1 2
2 2 3
. =
6
1
20
.
x
y
z
E as matrizes Ax, Ay e Az , obtidas pela substituição da matriz dos termos independen-
tes na primeira, segunda e terceira coluna da matriz A, respectivamente, são dadas por
2 EXEMPLO
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_x
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_y
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_y
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_y
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_z
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_z
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_z
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_z
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_z
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_z
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_z
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_z
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_z
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_z
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_z
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_z
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_z
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_z
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_z
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_z
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_z
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_z
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_z
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_z
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_z
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_z
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_z
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_z
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_z
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_z
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_z
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_z
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_z
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_z
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_z
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_z
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_z
60 Determinante, Matriz Inversa e Sistemas Lineares
Ax =
6 4 1
1 1 2
20 2 3
,
Ay =
1 6 1
4 1 2
2 20 3
,
 e Az =
1 4 6
4 1 1
2 2 20
.
Você deve verificar como exercício que detA= 55− , detAx = 144 , detAy = 61 e 
detAz = 230− . 
Dessa forma, encontramos a solução x = 144 / 55− , y = 61/ 55− e z = 230 / 55 .
Classificação dos Sistemas
Utilizando a regra de Cramer, podemos classificar os sistemas de acordo com o valor 
encontrado para os determinantes da matriz dos coeficientes e das demais matrizes.
1. detA 0= : Sistema Possível e Determinado: o sistema é possível e determinado 
se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero. Neste caso, 
a solução é única.
2. detA = 0 : quando o determinante da matriz dos coeficientes é igual a zero, 
temos duas possibilidades:
a) detA ii � �0,� � : quando os demais determinantes são todos nulos, temos um 
sistema com infinitas soluções, ou seja, o sistema é possível e indeterminado.
b) detAi 0= : quando pelo menos um dos demais determinantes é diferente de 
zero, temos um sistema impossível.
Por exemplo, o sistema que resolvemos é possível e determinado.
Você sabia que a inversa da transposta é igual a transposta da inversa? Ou seja, se 
alguém pedir para que você inverta uma matriz e depois calcule a transposta, você 
obteria o mesmo resultado se calculasse primeiro a transposta e depois a invertesse.
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DdetA%3D-55
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DdetA_x%3D144
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DdetA_y%3D61
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DdetA_y%3D61
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DdetA_y%3D61
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DdetA_y%3D61
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dx%3D-144%2F55
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dy%3D-61%2F55
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dy%3D-61%2F55
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dy%3D-61%2F55
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dy%3D-61%2F55
61
Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução.
1. O determinante da matriz A
A �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 2 3
1 1 2
0 1 2
é igual a:
a) -2.
b) 2.
c) -1.
d) 1.
e) 0.
2. A adjunta da matriz
A �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 2 3
1 1 2
0 1 2
é dada por
a) 
0 2 2
1 1 3
1 1 3
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
b) 
1 0 1
2 1 4
1 1 2
�
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
c) 
2 1 3
3 2 1
1 2 1
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
d) 
0 1 1
2 2 1
1 1 1
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
e) 
0 2 1
1 2 1
1 1 1
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
62
3. Os valores de x para os quais a matriz
A
x
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 1 0
1 0 1
1 2
tem inversasão:
a) x 1= .
b) x � �1.
c) x � �2.
d) x 0= .
e) x >1.
4. Sobre o sistema linear
x y z
x y z
x y z
� � �
� � � �
� � �
�
�
�
�
�
6
4
2 1
podemos afirmar:
I) O sistema é possível e determinado.
II) O sistema é impossível.
III) O sistema é possível e indeterminado.
IV) A solução do sistema é dada por x y z= = =1 3 2,� ,� .
V) O sistema admite infinitas soluções.
Está(ão) correta(s):
a) I e IV.
b) apenas a II.
c) apenas a III.
d) III e IV.
e) apenas a IV.
5. Mostre que a inversa da matriz
A
a b
c d
�
�
�
�
�
�
�
é dada por
A
ad bc
d b
c a
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 .
63
Álgebra Linear Contemporânea
Autor: Howard Anton e Robert C. Busby
Editora: Bookman
Sinopse: esta obra traz o conteúdo de álgebra linear para estudantes de ciências 
exatas e engenharia com aplicações modernas. Neste livro há uma interface 
entre álgebra linear e geometria.
Comentário: a leitura do capítulo 4 desta obra é recomendada.
LIVRO
64
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra Linear Contemporânea. Porto Alegre: Editora Bookman, 2006.
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. 10. ed. São Paulo: Editora Bookman, 2012.
FRANCO, N. M. B. Álgebra Linear. 1. ed. São Paulo: Ed. Pearson, 2016.
HOLT, J. Álgebra Linear com Aplicações. 1. ed. São Paulo: Ed. LTC, 2016.
LIMA, E.L. Álgebra Linear. 9. ed. Rio de Janeiro: Ed. SBM, 2016.
65
1. A resolução desta atividade consiste em calcular o determinante da matriz dada. O cálculo pode ser reali-
zado por diversos métodos. Utilizaremos o resultado que encontramos no texto para matrizes de ordem 
3 a partir da definição. Sendo assim, temos:
detA � � � � � �2 1 1 2 2 0 3 1 1 0 1 3 1 1 1 2 1 2. . . . . . . . . . . .
detA � �1.
Portanto, a alternativa correta é a letra C.
2. Nesta questão, devemos calcular a matriz adjunta associada à mesma matriz da questão anterior. Para 
isso, precisamos calcular antes os seus cofatores, os quais são:
� � � � � � � � � � � � � � � � � � �11 12 13 21 22 23 31 320 2 1 1 2 1 1 1,� ,� ,� ,� ,� ,� ,� ,��� � �33 1
Dessa forma, a matriz dos cofatores é dada por
� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0 2 1
1 2 1
1 1 1
Como a matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores, chegamos ao resultado:
adjA �
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0 1 1
2 2 1
1 1 1
Portanto, a alternativa correta é a letra D.
3. A resolução desta questão consiste em aplicar a condição de existência da matriz inversa, a qual é: detA 0= .
O determinante da matriz dada é igual a: 1 2 0� � �x
o que nos fornece x � �1. Portanto, a resposta correta é a letra B.
4. Resolveremos essa atividade utilizando o método de Cramer. Como primeiro passo, escrevemos o sistema 
no formato matricial, o qual é dado por
1 1 1
1 1 1
2 1 1
6
4
1
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
x
y
z
.
Em seguida, calcula-se o determinante da matriz dos coeficientes, a qual denominamos por
A � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 1 1
1 1 1
2 1 1
.
66
Obtemos, então,detA � �4. Como o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero, o sistema 
dado é possível e determinado. Concluímos assim, que os itens II, III e V estão incorretos e o item I está 
correto. Resta-nos saber se o item IV está correto. Para esse fim, calcularemos a solução do sistema.
Ax � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
6 1 1
4 1 1
1 1 1
,
Ay � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 6 1
1 4 1
2 1 1
,
 e
Az � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 1 6
1 1 4
2 1 1
.
Obtemos assim, detA detA detAx y z� � � � � �4 12 8,� ,� .
Dessa forma, encontramos a solução x y z= = =1 3 2.
O item 4 está correto. Assim, a alternativa correta é a letra A.
5. Há várias formas de se resolver esta questão. Resolveremos por meio do cálculo da adjunta. Antes, devemos 
encontrar os cofatores da matriz A , os quais são dados por
∆ = ∆ = − ∆ = − ∆ =11 12 21 22d c b a.
Assim, a matriz dos cofatores é dada por
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
d c
b a
.
Calculando a adjunta da matriz dos cofatores, obtemos a matriz adjunta, a qual é dada por
adjA
d b
c a
�
�
�
�
�
�
�
�
�.
Como o determinante de A é dado por detA ad bc� � , obtemos para a inversa de A o seguinte resultado
A
ad bc
d b
c a
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 1 .
Chegamos ao resultado esperado.
67
68
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Calcular a distância entre dois pontos.
• Identificar e construir equações de retas.
• Identificar e construir equações de circunferências.
O ponto
A reta
A circunferência
Dr. Ronni Amorim
Dr. Ricardo Fragelli
Dr. Vinícius Rispoli
Fundamentos de 
Geometria Analítica no R2 
O Ponto
Prezado(a) aluno(a), nesta unidade você estudará 
os principais elementos da geometria analítica no 
plano. Os conceitos estudados serão fundamentais 
para a compreensão das demais unidades. Os tópi-
cos serão divididos basicamente em três: o ponto, 
a reta e a circunferência. De um ponto de vista 
histórico, pode-se dizer que a geometria analítica 
teve início com a obra “La Geométrie” escrita por 
René Descartes. Descartes (1596-1650), embora 
fosse licenciado em Direito, realizou brilhantes 
contribuições às áreas de Física e Matemática. Des-
cartes introduziu as bases da geometria analítica, 
ao introduzir as ideias de eixos e de coordenadas 
(o conhecido plano cartesiano), que permitiram 
traduzir um problema geométrico para a lingua-
gem algébrica e, reciprocamente, dar uma inter-
pretação geométrica a determinadas equações. 
Desde então, a geometria analítica tem evoluído 
e se tornado um item de fundamental importância 
em áreas como engenharia e computação.
71UNIDADE III
Como um pequeno exemplo que traduz a importância da geometria analítica até 
mesmo em nosso dia a dia, considere a situação a seguir. Suponha que você tenha 
encontrado um mapa, confeccionado pelo seu falecido bisavô, o qual traz a locali-
zação de um tesouro enterrado no sítio da família. Contudo, a leitura do mapa não 
é simples, e, além disso, o seu bisavô tinha estabelecido que apenas uma escavação 
poderia ser feita para retirar o tesouro, a fim de conservar as características do sítio. 
O mapa era baseado em um pé de goiaba e dois pés de manga, localizados próximos 
à casa do sítio. As instruções do seu bisavô eram as seguintes:
1. Partindo do pé de goiaba, caminhe até o pé de manga à sua esquerda, contando 
os passos. Chegando lá, gire à direita 90 graus e caminhe o mesmo número 
de passos. Aonde chegar, faça uma marca.
2. Voltando novamente ao pé de goiaba, ande até chegar ao pé de manga à sua 
direita, contando os passos. Chegando lá, gire à esquerda 90 graus, caminhe 
o mesmo número de passos e faça uma marca nesta posição.
3. O tesouro está enterrado exatamente na reta que liga essas duas marcas e à 
mesma distância das duas marcas.
A Figura 1 traz um esboço do problema proposto, incluindo às goiabeiras e a mangueira.
G
M2
M1
Figura 1 - Mapa do tesouro
Fonte: os autores.
72
E aí, como você resolverá o problema do tesouro?
Antes de solucionar este problema, você deve estudar os conteúdos de geometria 
analítica, os quais serão de grande valia na solução desta tarefa. Iniciaremos com o 
estudo do ponto.
Antes de introduzirmos a representação de um ponto na geometria analítica, é impor-
tante definirmos o sistema de coordenadas no plano. A representação gráfica de pontos 
no plano é feita por meio do plano cartesiano. Este nome é homenagem a Renê Descartes, 
o qual foi um dos precursores da geometria analítica. O plano cartesiano é constituído de 
dois eixos perpendiculares que se interceptam. Utilizando-o, torna-se possível realizar a 
representação da posição de qualquer objeto no plano. Diversas atividades utilizam o plano 
cartesiano, como a cartografia, por exemplo. Nesse sentido, a localização de um ponto 
no plano cartesiano é feita pelas coordenadas do plano P (abscissa, ordenada)=P(x,y). A 
localização do ponto no eixo x é denominada abscissa, enquanto no eixo y é denominada 
ordenada, as quaissão denominadas coordenadas do ponto. Tais valores correspondem 
a uma espécie de endereço do ponto. É importante que você saiba que a ordem das coor-
denadas é fundamental; caso você troque a ordem da abscissa com a ordenada, o ponto 
representado se modifica. Vejamos alguns exemplos:
• O ponto A(5,-3) possui as coordenadas 5 e -3, sendo 5 sua abscissa e -3 sua orde-
nada.
• O ponto B(6,5) possui as coordenadas 6 e 5, sendo 6 sua abscissa e 5 sua ordenada.
• O ponto C(4,5, -3,5) possui as coordenadas 4,5 e -3,5, sendo 4,5 sua abscissa 
e -3,5 sua ordenada.
• O ponto D(0,0) possui coordenadas 0 e 0, sendo 0 sua abscissa e 0 sua orde-
nada. O ponto D é denominado origem.
Fundamentos de Geometria Analítica no R2 
Distância entre dois pontos
73UNIDADE III
Os pontos exemplificados estão esboçados na Figura 2.
y
x
C (4,5;-3,5)
B (6,5)
A (-5,3)
D (0,0)-6 -5 -4 -3 -2 -1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
Figura 2 - Representação gráfica de pontos
Fonte: os autores.
Uma consideração importante sobre o plano cartesiano é a seguinte: os eixos 
x e y dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes (BOULOS; 
CAMARGO, 2004).
• Os pontos pertencentes ao primeiro quadrante possuem abscissas e orde-
nadas positivas.
• Os pontos pertencentes ao segundo quadrante possuem abscissas negativas 
e ordenadas positivas.
• Os pontos pertencentes ao terceiro quadrante possuem abscissas e orde-
nadas negativas.
• Os pontos pertencentes ao quarto quadrante possuem abcissas positivas 
e ordenadas negativas.
74
Distância entre dois pontos
Agora que você já sabe representar um ponto no plano cartesiano, poderá imaginar 
como determinar a distância entre dois pontos. A pergunta é simples: dados dois 
pontos, como você pode calcular a distância entre eles? A resposta é bem simples, 
e é baseada no Teorema de Pitágoras. Para você perceber isso, observe a Figura 3.
Figura 3 - Distância entre dois pontos
Fonte: os autores.
O seu objetivo é descobrir a distância entre os pontos A e B. Antes disso, note que as 
coordenadas dos pontos são A x y1 1,�� � e B x y2 2,�� �. Note também que os pontos A, B 
e C formam um triângulo retângulo, com o lado AB representando sua hipotenusa. 
Os catetos AC e BC medem respectivamente x x1 2− e y y1 2− . Denominada a medida 
do lado AB por d , temos que a distância entre os pontos A e B é dada por:
d x x y y� �� � � �1 2
2
1 2
2( ) . (1)
Para que você compreenda melhor, façamos um exemplo.
Fundamentos de Geometria Analítica no R2 
75UNIDADE III
Calcule a distância entre os pontos A(1,-1) e B(3,1).
Você pode calcular a distância entre os pontos A e B utilizando a Equação (1).
Fazendo isso, obtemos:
d � �� � � � �� �1 3 1 12 2
d � �� � � �� �2 22 2
d = 8
d = 2 2
Ache o comprimento do segmento cujos extremos são dados pelos pontos (2,-1) e (-1,3).
O comprimento do segmento que possui os pontos dados como extremos nada 
mais é que a distância entre tais pontos. Sendo assim, você pode calcular da mesma 
forma que no exemplo anterior:
d � � �� �� � � �� � �� �2 1 1 32 2
d � � � � �� �3 42 2
d = 25
d = 5
Ponto Médio de um Segmento
A pergunta que você deve responder agora é outra: dados dois pontos no plano 
cartesiano, como você faria para determinar as coordenadas do ponto médio do 
segmento que liga esses dois pontos? Esse é um problema muito importante da 
geometria analítica plana e você o utilizará para resolver o problema motivador do 
início da unidade. Para isso, considere a Figura 4 a seguir.
1 EXEMPLO
2 EXEMPLO
76
B
CA
y2
y1
x2x1
y
M
x
Figura 4 - Ponto médio
Fonte: os autores.
Para determinar as coordenadas do ponto médio do segmento que une os pontos A 
e B, você deve considerar que a distância entre A e M é a mesma entre B e M. Assim, 
denominando dAM como a distância entre A e M; dBM como a distância entre B e 
M; e x yM M,�� � como as coordenadas do ponto M, temos:
d dAM BM=
x x y y x x y yM M M M�� � � �� � � �� � � �� �1
2
1
2
2
2
2
2 ,
Elevando ambos os membros ao quadrado e desenvolvendo os produtos notáveis, obtemos:
x x x x y y y y x x x x y y y yM M M M M M M M
2
1 1
2 2
1 1
2
2
2
2
2
2
2
2
22 2 2 2� � � � � � � � � � �
Simplificando a última equação, podemos escrever:
2 21 2 1 2 2
2
1
2
2
2
1
2x x x y y y x x y yM M�� � � �� � � � � � ,
reconhecemos do membro direito da equação o produto da soma pela diferença. 
Assim, temos:
2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2x x x y y y x x x x y y y yM M−( ) + −( ) = +( ) −( ) + +( ) −( )
Fundamentos de Geometria Analítica no R2 
77UNIDADE III
Comparando os dois membros da equação acima, percebemos que para a igualdade 
ser mantida devemos ter:
2 1 2x x xM � �� � ,
2 1 2y y yM � �� �.
O que nos leva às coordenadas do ponto médio de um segmento:
x
x x
M �
�� �1 2
2
,
y
y y
M �
�� �1 2
2
.
Para que você fixe essa ideia, façamos um exemplo.
Determine as coordenadas do ponto médio do segmento cujos extremos são os 
pontos (2,-1) e (-1,3).
Para resolver este exemplo você deve utilizar as equações deduzidas anteriormente. 
Dessa forma,
xM �
� �� �� �2 1
2
,
yM �
�� � �� �1 3
2
.
Com isso, as coordenadas do ponto médio do segmento dado são:
xM =
1
2
,
yM =1.
Ou seja, 1
2
1,��
�
�
�
�
�
3 EXEMPLO
78 Fundamentos de Geometria Analítica no R2
Neste tópico, você estudará sobre retas no plano. 
Dessa maneira, a seção está organizada com os 
seguintes tópicos: coeficiente angular de uma reta; 
equação da reta; retas paralelas e perpendiculares; 
distância entre ponto e reta.
Como você notou, um ponto é representa-
do no plano como um par ordenado. Por outro 
lado, uma reta é representada por um conjunto de 
pontos que satisfazem à equação ax by c� � � 0 . 
No decorrer da seção, o estudo sistemático desta 
equação será detalhado.
Coeficiente Angular de uma Reta
Um ingrediente fundamental na escrita da 
equação de uma reta é o seu coeficiente angu-
lar, também conhecido como declividade da 
reta. E o que seria o coeficiente angular de uma 
reta? Para responder a essa questão, considere 
a Figura 5 dada a seguir.
A Reta
79UNIDADE III
B
A
y2
y1
x2x1
y
x
y2 y1
x2 x1
Figura 5 - Coeficiente angular
Fonte: os autores.
Considere a reta que passa pelos pontos A e B mostrados na Figura 5. O coeficiente 
angular dessa reta, representado por m, é definido como a tangente do ângulo que a 
reta forma com a horizontal, ou seja, é igual à tangente do ângulo oposto ao lado com 
medida y y2 1− . Assim, utilizando as relações trigonométricas do triângulo retângulo, 
temos que a declividade é dada por:
m y y
x x
�
�
�
2 1
2 1
.
É importante destacar que a declividade deve ser sempre considerada do eixo x para 
a reta no sentido anti-horário. Assim, se a reta for crescente, m > 0, pois o ângulo 
será agudo. Se a reta for decrescente, my y m x x� � �� �0 0 . (2)
A Equação (2) representa a equação de uma reta no plano.
Para que você fixe este conceito, faremos um exemplo.
Determine a equação da reta que passa pelo ponto (-1,5) e tem coeficiente angular 3.
Você pode resolver este exemplo utilizando a Equação (2), pois foi fornecido um 
ponto pelo qual a reta passa e a declividade. Dessa forma, obtém-se:
y x� � �� �5 3 1 .
Desenvolvendo a última expressão, tem-se
y x� � �5 3 3,
a qual pode ser escrita na forma reduzida (isolando o y)
y x3 8,+
ou na forma geral (colocando todos os fatores no primeiro membro)
3 8 0x y .
4 EXEMPLO
Fundamentos de Geometria Analítica no R2 
81UNIDADE III
Equação da reta quando são conhecidos dois pontos 
pelos quais ela passa
Digamos que são fornecidos dois pontos pelos quais passa determinada reta e seja 
solicitado que você escreva a equação da reta. Como você resolveria este problema? 
A solução é simples. Como você conhece dois pontos que pertencem à reta, tais 
pontos podem ser usados no cálculo do coeficiente angular. Após a determinação 
do coeficiente angular, basta você utilizar a Equação (2) e escrever a equação da reta. 
Para que você compreenda este método, o exemplo abaixo é apresentado.
Escreva a equação da reta que passa pelos pontos (-1, 3) e (5,-3).
Primeiramente, você deve calcular o coeficiente angular da reta que passe por 
esses pontos. Assim, temos:
m �
� �� �
� �
3 3
1 5
,
m � �1.
Agora, de posse da declividade da reta, podemos utilizar a Equação (2). Uma obser-
vação importante é que qualquer um dos dois pontos dados poderão ser utilizados 
na obtenção da equação da reta.
y x� � � �� �3 1 1 .
Desenvolvendo a última expressão, tem-se
y x� � � �3 1,
a qual pode ser escrita na forma reduzida
y x� � � 2,
ou na forma geral
x y� � �2 0.
5 EXEMPLO
82
Retas Paralelas e Perpendiculares
Considere a seguinte situação: a você foram apresentadas as equações de duas retas 
e foi perguntado se elas são paralelas. O que você faria para responder a essa ques-
tão? Nessa seção, identificaremos quando duas retas são paralelas, concorrentes e 
perpendiculares observando as suas equações.
Sabemos da geometria plana que retas paralelas não se interceptam. Nesse sentido, 
para que duas retas não se interceptem, elas devem formar o mesmo ângulo com a 
horizontal. No linguajar da geometria analítica plana, as retas paralelas devem pos-
suir o mesmo coeficiente angular, ou seja, a mesma declividade. Uma forma simples 
de encontrar o coeficiente angular de uma reta é observar o fator que multiplica a 
incógnita x quando a equação da reta estiver na forma reduzida (tente justificar essa 
última frase). De forma simples, duas retas r e s, com coeficientes angulares iguais a 
mr e ms, respectivamente, são paralelas se, e somente se:
m mr s=
Por exemplo, as retas y x� � �3 2 e y x� � �3 5 são paralelas, pois ambas possuem 
o mesmo coeficiente angular, neste caso igual a -3.
Caso os coeficientes angulares sejam diferentes, as retas são concorrentes. Retas 
concorrentes especiais são as retas perpendiculares. Duas retas r e s, com coeficientes 
angulares iguais a mr e ms, respectivamente, são perpendiculares se, e somente se:
m
mr
s
� �
1 .
Por exemplo, as retas y x� � �2 1 e y x� �
1
2
2 são perpendiculares.
A demonstração dessa propriedade será realizada a seguir.
Para estabelecermos a condição de perpendicularismo entre duas retas, tomemos 
inicialmente uma reta oblíqua r que forme ângulo qr, com o eixo das abscissas. Seja 
s r⊥ tal que a reta s forme ângulo qs com o eixo das abscissas, também no seu sentido 
positivo, conforme apresentado na Figura 6.
Fundamentos de Geometria Analítica no R2 
83UNIDADE III
y
x
S
r
r
sθ θ
Figura 6 - Retas perpendiculares
Fonte: os autores.
Temos então, q qs
o
r� �90 , e 
ms s
o
r� � �� �tan tanq q90 . Contudo,
tan cot
tan
,90 1o
r r
r
�� � � � � �q q
q
o que nos dá m
ms
r
� �
1 .
Assim m mr s. � �1 é a condição de perpendi-
cularismo entre duas retas oblíquas ao eixo x.
É importante observar que a aplicação de m mr s. � �1 é condicionada ao fato de r e 
s serem oblíquas ao eixo do x, pois não é definida no caso de uma delas ser vertical. 
Entretanto, se uma reta é vertical, independentemente da condição estabelecida, uma 
perpendicular a ela é horizontal e vice-versa.
No propósito de fixar esses conceitos, são apresentados três exemplos.
Escreva a equação da reta que é paralela à reta y x� �5 2 e que passe pelo ponto (-1,1).
A resolução deste exemplo é bem simples. A reta procurada é paralela à reta 
y x� �5 2, portanto possui coeficiente angular igual a 5. Além disso, como ela passa 
pelo ponto (-1,1), a sua equação pode ser determinada usando a Equação (2), ou seja,
y x� � �� �1 5 1 .
6 EXEMPLO
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84
Desenvolvendo a última expressão, tem-se
y x� � �1 5 5,
a qual pode ser escrita na forma reduzida
y x� �5 6.
Escreva a equação da reta que é perpendicular à reta 2 4 3 0y x� � � e que passe 
pelo ponto (2,-3).
Como a reta r procurada é perpendicular à reta s: 2 4 3 0y x� � � , a relação entre 
os seus coeficientes angulares é dada por m
mr
s
� �
1 . Assim, no primeiro momento, 
devemos encontrar o coeficiente angular de s. Para esse fim, isolemos y na equação 
2 4 3 0y x� � � . Assim, obtemos:
y x� �2 3
2
,
e o coeficiente angular de s é ms = 2. Assim, o coeficiente angular da reta procurada é 
igual a mr � �
1
2
. Com isso, estamos procurando uma reta de coeficiente angular igual 
a − 1
2
 e que passa pelo ponto (2,-3). Utilizando a Equação (2), obtemos:
y x� � � �� �3 1
2
2 .
Desenvolvendo a última expressão, tem-se
y x� � � �3 1
2
1,
a qual pode ser escrita na forma reduzida
y x� � �
1
2
2.
Determine as coordenadas do ponto P de intercessão das retas de equações 
y x� � �3 1 0 e 2 5 2 0y x� � � .
Para encontrar a interseção entre as retas, você deve resolver o sistema de equações 
gerado pelas equações das retas dadas, pois no ponto de intercessão, as retas possuem 
mesmas coordenadas. Fazendo isso, você pode obter:
Multiplicando a primeira equação por 2, obtém-se:
2 6 2 0y x� � � .
7 EXEMPLO
8 EXEMPLO
Fundamentos de Geometria Analítica no R2 
85UNIDADE III
Isolando o 2y,
2 6 2y x� � � .
Isolando o 2y na segunda equação, obtém-se:
2 5 2y x� � .
Igualando-se ambos os 2y, tem-se:
5 2 6 2x x� � � � ,
ou seja,
x 4
11
.
Com tal resultado, conclui-se que
y 1
11
.
Logo as coordenadas de intercessão das retas são: 4
11
1
11
�x = y =e .
Distância Entre Ponto e Reta
Nesta seção, você determinará a distância entre um ponto e uma reta. Conhecer a 
distância entre reta e ponto será utilizado quando for introduzida a posição relativa 
entre retas e circunferências.
A distância entre um ponto P x y0 0 0,�� � a uma reta de equação y mx n� � , supondo 
que o ponto não pertença à reta, pode ser encontrado por meio da equação
d
n y mx
m
�
� �
�
0 0
2 1
. (3)
Para fixar este conceito, um exemplo é apresentado a seguir.
Calcule a distância entre o ponto P(1,-1) e à reta de equação y x� �5 1.
Reconhecendo os parâmetros m = 5, n =1, x0 1= e y0 1� � e utilizando a Equação 
(3), obtém-se:
d �
� �� � �
�
1 1 5 1
5 12
.
,
d =
7
26
.
9 EXEMPLO
86 Fundamentos de Geometria Analítica no R2
Neste tópico, você estudará sobre outro elemen-
to geométrico muito relevante para a geometria 
analítica: a circunferência. Da geometria euclidia-
na plana, sabemos que a definição formal de cir-
cunferência é: o lugar geométrico constituído de 
pontos equidistantes de um ponto fixo. Ao ponto 
fixo denominamos centro da circunferência e a 
distância fixa citada denominamos de raio da cir-
cunferência. Essa definição é bastante intuitiva, 
pois, em algum dia, muitas pessoas já necessita-
ram desenhar uma circunferência.
Suponha, por exemplo, que você necessite 
desenhar a circunferência central do campo de 
futebol. Como você faria isso? Primeiramente,você necessitaria de uma corda cujo comprimento 
fosse do tamanho do raio da circunferência que 
você deseja plotar. A partir de então, um procedi-
mento simples seria amarrar em uma extremida-
de da corda um objeto que você fixaria no ponto 
central do campo e na outra extremidade o objeto 
contendo a tinta. Com a corda esticada e presa na 
extremidade fixa, basta dar uma volta completa 
marcando o percurso com a tinta. Pronto, você 
fez a circunferência desejada.
A Circunferência
87UNIDADE III
Equação da Circunferência
Agora, a meta é utilizar os conhecimentos adquiridos sobre geometria analítica até o 
momento para escrever uma equação que descreva todos os pontos que pertençam 
a uma dada circunferência. O procedimento será análogo ao que foi feito no estudo 
da reta (WINTERLE, 2014).
Considere que o ponto C x y� � �0 0,� represente o centro da circunferência. O con-
junto de pontos de coordenadas P x y,� � representam a circunferência de raio R se a 
distância desses pontos ao centro forem iguais ao raio. Dessa forma, podemos escrever
x x y y R�� � � �� � �0
2
0
2
Elevando ao quadrado ambos os membros da equação acima, obtém-se
x x y y R�� � � �� � �0
2
0
2 2. (4)
Essa última equação representa uma equação de uma circunferência de centro 
C x y� � �0 0,� e raio R .
Obtenha a equação da circunferência de centro em (1,-2) e raio igual a 3.
A resolução deste exemplo é bem simples, basta substituir na Equação (4) o ponto 
e o raio dados no enunciado. Fazendo isso, obtém-se:
x y�� � � � �� �� � �1 2 32 2 2 ,
x y�� � � �� � �1 2 92 2
Caso seja de interesse, os quadrados da expressão acima podem ser desenvolvidos, 
obtendo-se a equação
x y x y2 2 2 4 4 0� � � � �
a qual também corresponde à mesma circunferência.
Determine o centro, o raio e o comprimento da circunferência de equação 
x y x y2 2 6 4 9 0� � � � � .
O reconhecimento do centro e do raio de uma circunferência quando é fornecida a 
equação é facilmente realizado se a equação estiver na forma da Equação (4). 
10 EXEMPLO
11 EXEMPLO
88
Então, coloquemos a equação neste formato.
x y x y2 2 6 4 9 0� � � � �
x x y y2 26 4 9 0� � � � �
O próximo passo é completar os quadrados da equação acima. Antes disso, lembre-
mos que a b a ab b�� � � � �2 2 22 e a b a ab b�� � � � �2 2 22 . Utilizando essas duas 
expressões, verificamos que x x x�� � � � �3 6 92 2 e y y y�� � � � �2 4 42 2 . Logo, a 
equação da circunferência dada neste problema pode ser escrita como
x y�� � � �� � � �3 2 4 02 2
 ou ainda
x y�� � � �� � �3 2 42 2
x y�� � � �� � �3 2 22 2 2
Com isso, reconhecemos que a circunferência tem raio igual a 2 e centro (-3,2). 
Conhecendo o raio, podemos calcular o seu comprimento por meio da conhecida 
equação l r= 2p , o que nos fornece l = 4p unidades de comprimento.
Posição Relativa Entre Ponto e Circunferência
Considere agora que lhe seja fornecido um ponto e a equação de uma circunferência: o 
que você faria para saber se o ponto é externo, interno ou está sobre a circunferência? 
A resposta é bem intuitiva! Basta você determinar a distância do ponto considerado 
até o centro da circunferência, caso essa distância seja maior que o raio da circun-
ferência, o ponto é exterior à circunferência. Caso a distância calculada seja menor 
que o raio, o ponto é interior. E caso a distância seja igual ao raio, o ponto pertence 
à circunferência. Fácil, não é mesmo?
Façamos um exemplo para fixar bem o conceito.
Seja a circunferência de equação x y�� � � �� � �3 2 42 2 , verifique a posição dos 
pontos A(-2,3), B(5,3) em relação à circunferência dada.
A resolução desta questão é bem simples. Primeiramente, verifique que a cir-
cunferência dada tem centro no ponto (-3,2) e raio igual a 2. Agora basta calcular as 
distâncias dos pontos A e B até o centro da circunferência.
12 EXEMPLO
Fundamentos de Geometria Analítica no R2 
89UNIDADE III
A distância deste ponto A ao centro da circunferência é dada por:
d 2 3 3 22 2 � 2
Como 2 2 , segue que o ponto B está do lado de fora da circunferência.
Agora deixaremos uma pergunta a você: como você faria para determinar a 
posição relativa entre uma reta e uma circunferência? Ou melhor, como você 
descobriria se uma reta é secante, tangente ou se está no exterior de uma cir-
cunferência? A resposta é bem simples, basta você calcular a distância da reta 
até o centro da circunferência, se a distância encontrada for inferior ao raio da 
circunferência, a reta é secante; por outro lado, se a distância for igual ao raio da 
circunferência, a reta é tangente; e, por fim, se a distância for maior que o raio da 
circunferência, a reta é externa. Para fixar esse conceito, veja o seguinte exemplo.
Qual é a posição relativa entre a reta y x� �3 2 e a circunferência 
x y�� � � �� � �3 2 1
4
2 2 ?
Observando as equações, você nota que a reta possui coeficiente angular igual a 3 
e a circunferência possui centro em 3 2,� � e raio igual a 1
2 . Utilizando a Equação 
(3) para determinar a distância da reta à circunferência dada, temos
d �
� � �
� � �
2 2 3 3
3 1
2
.
,
d =
1
2
.
Como a distância encontrada foi igual ao raio da circunferência, concluímos que a 
reta dada é tangente à circunferência.
Tendo em vista que você já se tornou um perito em Geometria Analítica no Plano, 
podemos retornar ao desafio do tesouro, proposto no início da unidade. Para resol-
vê-lo de forma eficiente, vamos definir o eixo x passando pelas mangueiras, com a 
origem do sistema de coordenadas localizado na mangueira 1, conforme mostrado 
13 EXEMPLO
90
na forma apresentada na Figura 7. A partir daí, definamos as coordenadas de cada 
ponto importante.
• Mangueira 1: M1 0 0,� � ;
• Mangueira 2: M d2 0,� � ;
• Goiabeira: G a b,� � ;
• Ponto A: A d b a d� �� �,� (distância até M2 possui a mesma medida do 
segmento M G2 );
• Ponto B: B b a,��� � (distância até M1 possui a mesma medida do segmento M G1 ).
G
A
x
B
M2
M1 
y
Figura 7 - Mapa do Tesouro
Fonte: os autores.
Tente você mesmo explicar porque as coordenadas dos pontos A e B são essas esta-
belecidas (lembre-se da geometria do problema).
Fundamentos de Geometria Analítica no R2 
91UNIDADE III
Agora, você sabe que o tesouro, ao qual denominaremos de ponto T x yT T,� �, está lo-
calizado no ponto médio do segmento com extremos nos pontos A e B. Neste caso, temos
x
b d b d
T �
� �� �� �
�
2 2
,
y
a a d d
T �
� � �� �� �
� �
2 2
.
Com isso, as coordenadas do Tesouro são T
d d
2 2
,��
�
�
�
�
� . Você deve ter percebido que 
as coordenadas do tesouro dependem exclusivamente das coordenadas das man-
gueiras, mais especificamente, dependem da distância entre as mangueiras. Dessa 
forma, não dependíamos da localização da goiabeira para localizar o tesouro, ou 
seja, caso a goiabeira tivesse sido arrancada, teríamos encontrado o tesouro. Viu 
como o seu bisavô foi esperto?
92
Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução.
1. A equação da reta que passa pelo ponto (1,-1) e que é paralela à reta de equação 
y x� � �3 1 é dada por:
a) y x� � �3 1 .
b) y x� � �3 2 .
c) y x� � �3 5 .
d) y x� �3 2 .
e) y x� �3 1 .
2. As coordenadas do ponto médio do segmento com extremidades nos pontos 
A(-2,3) e B(4,7) são:
a) (1, 5).
b) (-1,10).
c) (-2,5).
d) (2,10).
e) (-1,2).
3. A equação da reta que passa pelo ponto (2,-3) e é perpendicular à reta de equa-
ção y x� � �
1
2
3 é dada por:
a) y x� �3 1.
b) y x� �3 2 .
c) y x� �2 7.
d) y x� � �2 1 .
e) y x� �2 1 .
93
4. O comprimento da circunferência de equação x y x y2 2 2 6 15 0� � � � � é igual a:
a) 5p.
b) 25p.
c) 50p.
d) 15p.
e) 10p .
5. A distância do ponto (-2,3) ao centro da circunferência de equação 
x y x y2 2 2 6 15 0� � � � � é:
a) 3.
b) 5.
c) 5 .
d) 3 5 .
e) 3 .
94
Fundamentos da Matemática Elementar: GeometriaAnalítica, v. 7
Autor: Gelson Iezzi
Editora: Atual
Sinopse: um livro recomendado aos estudantes que desejam aprofundar no 
estudo da geometria analítica no plano.
Comentário: excelente livro, repleto de exemplos, aplicações e exercícios. 
Recomenda-se a leitura minuciosa dos cinco primeiros capítulos.
LIVRO
95
BOULOS, P.; CAMARGO, I. Geometria Analítica - Um Tratamento Vetorial. 3. ed. São Paulo: Editora Pearson, 
2004.
WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: Editora Pearson, 2014.
96
1. Você pode resolver esta questão utilizando a Equação (2), pois foi fornecido um ponto pelo qual a reta 
passa e a declividade. Dessa forma, obtém-se:
y x� � � �� �1 3 1 .
Desenvolvendo a última expressão, tem-se
y x� � � �1 3 3,
a qual pode ser escrita na forma reduzida (isolando o y)
y x� � �3 2,
portanto, a resposta correta é a alternativa B.
2. Para resolver este exemplo você deve utilizar as equações deduzidas anteriormente. Dessa forma,
xM �
� �� �2 4
2
, e yM �
�� �3 7
2
.
Com isso, as coordenadas do ponto médio do segmento dado é:
xM =1, e yM = 5.
Ou seja, 1 5,�� � . Portanto, a alternativa correta é a letra A.
3. Como a reta r procurada é perpendicular à reta s:� y x� � �
1
2
3, a relação entre os seus coeficientes angu-
lares é dada por m
mr
s
� �
1
. O coeficiente angular de s é ms � �
1
2
. Assim, o coeficiente angular da reta 
procurada é igual a mr = 2. Com isso, estamos procurando uma reta de coeficiente angular igual a 2 e 
que passa pelo ponto (2,-3). Utilizando a Equação (2), obtemos:
y x� � �� �3 2 2 .
Desenvolvendo a última expressão, tem-se
y x� � �3 2 4,
A qual pode ser escrita na forma reduzida
y x� �2 7
Portanto, a alternativa correta é a C.
97
4. Para resolver a esta questão, primeiramente devemos encontrar o centro e o raio da circunferência. O 
reconhecimento do centro e do raio de uma circunferência quando é fornecida a equação é facilmente 
realizado se a equação estiver na forma da Equação (4). Então, coloquemos a equação neste formato.
x y x y2 2 2 6 15 0� � � � �
O próximo passo é completar os quadrados da equação acima. Antes disso, lembremos que a b a ab b�� � � � �2 2 22 
e a b a ab b�� � � � �2 2 22 . Utilizando essas duas expressões, verificamos que x x x�� � � � �1 2 12 2 e y y y�� � � � �3 6 92 2 . 
Logo, a equação da circunferência dada neste problema pode ser escrita como
x y�� � � �� � � �1 3 25 02 2
ou ainda
x y�� � � �� � �1 3 252 2
x y�� � � �� � �1 3 52 2 2
Com isso, reconhecemos que a circunferência tem raio igual a 5 e centro (1,-3). Conhecendo o raio, podemos 
calcular os seu comprimento por meio da conhecida equação l r= 2p , o que nos fornece l =10p unidades 
de comprimento. Portanto, a alternativa correta é a E.
5. A circunferência dada nessa questão é a mesma da questão 4, cujo centro possui coordenadas (1,-3). Assim, 
a distância do ponto (-2,3) ao centro da circunferência é dada por
d � � �� � � � �� �2 1 3 32 2
d = 45,
d = 3 5.
Portanto, a alternativa correta é a letra D.
98
99
100
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Definir vetor e calcular a soma de vetores e multiplicação 
de vetores por um número real, identificando as proprie-
dades dessas operações.
• Definir e calcular o produto escalar entre vetores, utilizan-
do-o para identificar o ângulo entre dois vetores.
• Definir e calcular o produto vetorial.
• Definir e calcular o produto misto.
Soma de vetores e 
multiplicação por escalar
Produto Escalar Produto Misto
Produto Vetorial
Dr. Ronni Amorim 
Dr. Ricardo Fragelli
Dr. Vinícius Rispoli
Vetores no Plano 
e no Espaço
Soma de Vetores e
Multiplicação por Escalar
Prezado(a) aluno(a), nesta unidade você será 
introduzido no universo dos vetores. Os vetores 
são entidades matemáticas muito genéricas e ex-
tremamente relevantes nas mais diversas áreas, 
sobretudo na engenharia. Apesar da natureza ge-
nérica dos vetores, nesta unidade o foco será no 
estudo dos vetores no plano e no espaço, ou seja, 
em espaços mais concretos e de fácil visualização. 
A generalização dos vetores será realizada na uni-
dade denominada espaços vetoriais, a qual será 
estudada em outro momento. 
De um ponto de vista concreto, você sabe que, 
quando queremos falar de algumas grandezas fí-
sicas, apenas um valor numérico não é suficiente 
para representá-las. Por exemplo, se alguém deseja 
conhecer o movimento de um carro em uma dada 
estrada, não é suficiente que você forneça a essa 
pessoa apenas o valor da velocidade do carro, 80 
quilômetros por hora, por exemplo. Para saber 
de fato o que se passa com o carro, ou seja, para 
descrever de forma completa o seu movimento, 
essa pessoa precisaria saber se o carro está indo 
da esquerda para a direita ou de baixo para cima. 
103UNIDADE IV
Nesses casos, surge o conceito de vetores. Outras grandezas físicas como força, acele-
ração, as quais são imprescindíveis na engenharia, também são caracterizadas como 
vetores. Nesse sentido, aproveite esta unidade e aprenda muito sobre os vetores, pois 
eles lhe serão muito úteis no decorrer de toda a graduação!
Vetores no Plano e no Espaço
Antes de iniciarmos o estudo dos vetores, considere a seguinte situação: 
Suponha que você esteja participando de um treinamento para sobrevivência na 
selva e a seguinte instrução lhe foi dada: caminhe 3 km para Oeste e depois 6 km para 
o Sul. Em seguida, caminhe 11 km para o Leste. Após esta instrução, o comandante 
do treinamento lhe faz a seguinte pergunta: em relação ao ponto de partida, qual a 
distância você andou e qual é a sua orientação? Contudo, outro comandante passou a 
você a instrução, mas em ordem diferente, ele lhe disse: caminhe 11 km para o Leste e 
depois 6 km para o Sul; e em seguida 3 km para o Oeste. Essa nova instrução deixou 
você bastante confuso. Seriam as duas instruções diferentes? Essa pergunta é crucial 
para a sua aprovação na instrução de sobrevivência na selva. O que você responderia? 
No decorrer da unidade aprenderemos como responder a esta e a outras situações 
igualmente interessantes.
Nesta seção, o nosso objetivo é definir vetores no plano e no espaço, estudando 
as suas principais características. Iniciaremos a nossa discussão com o estudo de 
vetores no plano.
Vetores no Plano
De um ponto de vista prático, um vetor pode ser definido como um segmento orienta-
do, que é caracterizado por um módulo, uma direção e um sentido. O módulo, também 
denominado como norma, é o comprimento do vetor. Dados dois pontos no plano 
cartesiano, podemos definir dois vetores que tenham a origem e a extremidade nesses 
pontos. Considerando os pontos A x y1 1,�� � e B x y2 2,�� �, podemos definir os vetores 
AB
� ���
, com origem em A e extremidade em B, e BA
� ���
, com origem em B e extremidade 
em A. Uma maneira eficiente de se representar um vetor é por meio de suas coorde-
nadas; por exemplo, o vetor AB
� ���
 possui coordenadas x x y y2 1 2 1� �� �,� e o vetor BA
� ���
 
possui coordenadas x x y y1 2 1 2� �� �,� . Note que dados os dois pontos que definem a 
origem e a extremidade de um dado vetor, para determinarmos as coordenadas do 
vetor basta subtrairmos as coordenadas da origem das coordenadas da extremidade.
104 Vetores no Plano e no Espaço
Dados os pontos P 1 2,�� � e Q �� �3 1, , obtenha as coordenadas do vetor PQ
� ���
.
Note que o vetor PQ
� ���
 solicitado possui origem em P e extremidade em Q, portanto 
as suas coordenadas são obtidas mediante a subtração das coordenadas de Q das 
coordenadas de P. Dessa forma, temos:
PQ
� ���
� � � � �� �� � � �� �3 1 1 2 4 3,� ,
Portanto, o vetor PQ
� ���
 possui coordenadas iguais a (-4,3).
Contudo, o que significam as coordenadas encontradas no Exemplo 1? Elas re-
presentam as coordenadas de um vetor com a origem na origem do sistema de 
coordenadas cartesianas. Você não achou estranho esse resultado, já que o vetor PQ
� ���
 
possui a origem no ponto (1,-2)? Isso ocorre porque, quando representamos o vetor 
PQ
� ���
, utilizamos as coordenadasdos pontos que representam a sua origem e a sua 
extremidade em relação à origem do sistema de coordenadas cartesiano. Neste caso, 
quando estabelecemos a diferença entre tais pontos, obtemos o resultado também 
em relação à origem do sistema cartesiano. Dessa forma, o vetor PQ
� ���
 obtido ficou 
dado tendo sua origem na origem do sistema cartesiano. 
Na verdade, quando temos vetores que possuem o mesmo tamanho, a mesma 
direção e o mesmo sentido, dizemos que eles são equivalentes, ou em um linguajar 
mais apropriado, dizemos que são equipolentes. Na essência, todos vetores nessas 
condições representam o mesmo vetor.
Por exemplo, todos os vetores representados na Figura 1 são equipolentes ao vetor 
v com coordenadas x y,� �.
Y
X
v
v
v
v
v
v
y P
0 x
Figura 1 - Vetores equipolentes
Fonte: os autores.
1 EXEMPLO
105UNIDADE IV
Façamos um outro exemplo para fixar bem esse tema.
(a) Dada a Figura A, escreva as coordenadas dos vetores AB
� ���
 e CD
� ���
.
(b) Considerando que os vetores AB
� ���
 e CD
� ���
 sejam paralelos ao vetor 
v , podemos dizer 
que eles são equipolentes a v?
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
x
y
A
B
C
D
x
y
θ
vy
vx
v
Figura A Figura B
Conforme você aprendeu no exemplo 1, as coordenadas dos vetores AB
� ���
 e CD
� ���
 são 
facilmente encontradas subtraindo-se as coordenadas da origem das coordenadas 
das extremidades. Sendo assim, temos:
As coordenadas do vetor AB
� ���
� � �1 2, e do vetor CD
� ���
� � �1 2, .
A letra b é facilmente respondida, pois os vetores AB
� ���
 e CD
� ���
 são paralelos ao vetor 
v, e, além disso, possuem as mesmas coordenadas de 
v . Portanto, são AB
� ���
 e CD
� ���
 de 
fato equipolentes a AB
� ���
 e CD
� ���
.
Dando continuidade à discussão, é importante que você conheça uma outra forma 
de se representar vetores. Você já sabe que um vetor pode ser representado por um 
par ordenado; contudo, também é possível representá-lo por meio de uma matriz 
coluna. Por exemplo, o vetor 
v v vx y� � �, pode ser representado da seguinte forma 
v
v
v
x
y
�
�
�
�
�
�
�.
Essa representação dos vetores é interessante para realizar as operações com vetores, 
pois já conhecemos o cálculo matricial.
Outro ponto importante no estudo dos vetores no plano é a determinação do 
comprimento e da orientação do vetor quando nos são fornecidas suas coordenadas. 
Essa é uma tarefa muito fácil, conforme será mostrado a seguir.
O comprimento do vetor, também denominado módulo ou norma do vetor, pode 
ser encontrado por meio da aplicação do Teorema de Pitágoras. Note na Figura B que 
o comprimento do vetor 
v representa a hipotenusa do triângulo retângulo destacado, 
enquanto as medidas dos catetos são dadas por suas coordenadas (também denomi-
2 EXEMPLO
106 Vetores no Plano e no Espaço
nadas componentes do vetor). Assim, dado 
v v vx y� � �, , temos que o comprimento 
de v , representado por 
�v ou simplesmente v é dado por
v v vx y� �2 2 . (1)
A orientação do vetor v � é definida como o ângulo que o vetor forma com o eixo x no 
sentido anti-horário. Conforme você pode ver na Figura B, podemos utilizar a trigo-
nometria no triângulo retângulo para determinar o ângulo q . Fazendo isso, obtém-se
v v
v v sen
x
y
�
�
cosθ
θ
 (2)
Se a equação de baixo for dividida pela de cima, obtemos
v
v
sen
cos
tgy
x
= =
q
q
q,
com isso, tem-se
q �
�
�
�
�
�
�acrtg
v
v
y
x
. (3)
Você entenderá como aplicar essas últimas equações no exemplo a seguir.
Dado o vetor 
a � � �1 1, , determine o seu comprimento e a sua orientação.
O comprimento do vetor 
a é facilmente encontrado, 
a a� � � �
 1 1 22 2 .
A orientação também pode ser encontrada de forma simples,
q � �
�
�
�
�
� � � � �arctg arctg o1
1
1 45 .
Logo, o vetor dado tem o comprimento igual à raiz de 2 e forma um ângulo de 45 
graus com a horizontal no sentido positivo.
Outra forma interessante de se representar um vetor é por meio da utilização de 
vetores unitários. E o que são esses vetores unitários? São vetores de comprimento 
igual a um e que tem a direção dos eixos coordenados. Assim, no plano definimos dois 
vetores unitários, 

i e 

j , os quais são, respectivamente, os vetores unitários nas direções 
3 EXEMPLO
107UNIDADE IV
dos eixos x e y. Dessa forma, podemos definir os vetores v v ix x
��� �
= e v v jy y
��� �
= . Com 
esses vetores, o vetor 
v pode ser escrito como

 
v v i v jx y� �
Assim, um mesmo vetor 
v pode ser representado nas três formas: 

 
v
v
v
v v v i v jx
y
x y x y�
�
�
�
�
�
� � � � � �,
Por exemplo, o vetor apresentado no Exemplo 3 pode ser escrito alternativamente como
a i j i j= + = +1 1
Agora você já sabe representar vetores no plano. As operações relativas aos vetores 
no plano serão estudadas em conjunto com os vetores no espaço, pois a forma de 
realizá-las é equivalente.
Vetores no Espaço
Enquanto no plano necessitamos de duas componentes para representar um vetor, no 
espaço tridimensional, também denominado R3, são necessárias três componentes, as 
quais são denominadas coordenadas do vetor. Isso se deve pelo fato de um ponto no 
R3 possuir três coordenadas. Nesse sentido, o sistema de coordenadas tridimensional 
possui três eixos, os quais usualmente são tomados como ortogonais (perpendiculares).
z
zp
x
x
p
y
P(x ,y ,z )
y
p
p p p
Figura 2 - Representação de um ponto no R3
Fonte: os autores.
Vetor no R³
108 Vetores no Plano e no Espaço
Conforme você vê na Figura 2, as coordenadas do ponto P são P x y zp p p,� ,�� �. Na 
Figura 5, você pode observar a representação de um vetor v v v vx y z� � �, , no espaço 
tridimensional. Como é esperado, para que você represente um vetor no R3 utilizando 
vetores unitários, é necessário definir o vetor unitário na direção do eixo z, o qual será 
denominado 

k . Nesse sentido, o vetor 
v pode ser escrito como 

 

v v i v j v kx y z� � � .
Figura 3 - Vetor no R³ 
Fonte: os autores.
Outra forma bastante usual de se representar os vetores no espaço tridimensional 
(R3) é por meio de uma matriz coluna, de forma análoga ao que fazemos no plano. 
Dessa forma, um mesmo vetor pode ser escrito das seguintes maneiras: 

 

v v i v j v k v v v
v
v
v
x y z x y z
x
y
z
� � � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, , .
O comprimento (ou norma) de um vetor no espaço tridimensional é calculado de 
forma análoga ao caso bidimensional. Para esse fim, utiliza-se o Teorema de Pitágoras 
109UNIDADE IV
duas vezes. Primeiramente, calculamos o comprimento da projeção do vetor no plano 
xy. Conforme fica evidente na Figura 5, tal comprimento é a hipotenusa do triângulo 
retângulo cujos catetos são vx e vy. Denominando essa hipotenusa por h, temos
h v vx y� �2 2 .
Por fim, identificamos que o comprimento do vetor v nada mais é que a medida 
da hipotenusa do triângulo retângulo cujos catetos são vz e h. Neste caso, obtemos
v v v v vx y z� � � �
 2 2 2 . (4)
Agora, para que você fixe bem este último conceito, façamos o exemplo proposto.
Calcule o comprimento do vetor a � �� �1 1 5,� ,� .
Para determinarmos o comprimento do vetor dado, basta utilizarmos a Equação 
(4). Dessa forma, temos
a a� � � �� � � �
 1 1 5 272 2 2 .
Soma de Vetores
Neste tópico, você aprenderá a adicionar vetores, bem como todas as propriedades 
desta operação vetorial. Quando adicionamos dois vetores, obtemos um novo vetor, ou 
seja, se a adição for realizada no plano, por exemplo, ao operar dois vetores pertencen-
tes ao plano, obtém-se um novo vetor também pertencente ao plano. Conforme você 
estudará na sequência deste curso, o plano (R2) é um exemplo de um espaço vetorial. 
Portanto, todas as vezes que adicionamos dois vetores pertencentes a um dado espaço 
vetorial, obtemos como resultado outro vetor que pertence ao mesmo espaço vetorial.
A soma de vetores será introduzida da maneira mais intuitiva possível. Para isso, 
consideredois vetores no R2, u e v , por exemplo. Se quisermos fazer a soma  u v+ , trans-
ladamos 
v de forma que sua origem coincida com a extremidade de u. A soma  u v+ é o 
vetor que sai da origem de 
u e vai até a extremidade de 
v , conforme mostra a Figura 4.
4 EXEMPLO
110 Vetores no Plano e no Espaço
A
B
u + v
u
v
C
Figura 4 - Soma de vetores
Fonte: os autores.
Caso u e 
v sejam transladados paralelamente a eles mesmos e colocados sob uma 
mesma origem, obtemos um paralelogramo, conforme aparece na Figura 5. A diagonal 
deste paralelogramo representa o vetor 
 u v+ .
A
B
C
u
v
u + v
Figura 5 - Paralelogramo
Fonte: os autores.
Esse procedimento geométrico utilizado para somar vetores é denominado regra do 
paralelogramo. É instrutivo dizer que tal regra é válida para realizar a soma de uma 
quantidade qualquer de vetores. A regra é muito clara: para você realizar a soma, 
basta desenhar o primeiro vetor da soma e na extremidade dele colocar a origem 
do segundo, na extremidade do segundo colocar a origem do terceiro, e assim su-
cessivamente, até completar a quantidade de vetores que você esteja somando. Por 
fim, o vetor soma corresponde ao vetor que sai da origem do primeiro vetor e possui 
extremidade na extremidade do último vetor. 
111UNIDADE IV
Outra curiosidade sobre a soma dos vetores é a comutatividade. Quando somamos 
vetores, não importa a ordem em que eles aparecem. Ou seja, 
 u v+ é o mesmo que 
 v u+ . 
A verificação geométrica desta propriedade será deixada para você. Para esse fim, con-
sidere os vetores u � �� �1 1, e 
v � �� �2 3, . Utilizando um papel milimetrado, desenhe 
o vetor soma 
 u v+ e depois 
r rv u� . Você notará que ambos se tratam do mesmo vetor.
Você deve estar imaginando a dificuldade de somar vetores caso em todas as 
ocasiões for necessário fazer a representação geométrica da soma. Você pode ficar 
tranquilo, pois introduziremos a seguir o método algébrico para se realizar a soma, o 
que simplificará bastante o cálculo. A Figura 6 nos fornece uma ideia de como realizar 
essa soma. Apesar desta figura representar a soma de vetores no plano, o resultado 
pode ser extrapolado para o R3, bem como para espaços de dimensão qualquer.
Y
X
v2+w2
w2
w2
v2 v
v1
v1
v1+w1
v+w
w1
w
Figura 6 - Soma de vetores no plano
Fonte: os autores.
Observando a Figura 6, notamos que o vetor resultado da soma 
 v w+ é obtido a partir 
dos vetores v v v� � �1 2,� e w w w� � �1 2,� pela soma das componentes correspondentes de 
ambos vetores, ou seja,  v w v w v w� � � �� �1 1 2 2,� . Esse resultado já era esperado, pois 
você já sabe que um vetor pode ser representado por uma matriz coluna, e por isso a 
soma de vetores deveria seguir a mesma regra da soma de matrizes. Portanto, agora você 
já sabe: para adicionar dois vetores, basta adicionar as componentes correspondentes.
112 Vetores no Plano e no Espaço
Algumas propriedades da adição de vetores são apresentadas a seguir:
1. Comutatividade: 
   v w w v� � � ;
2. Associatividade:      u v w u v w� �� � � �� � � ;
3. Elemento Neutro: 

 
 v v v� � � �0 0 � ;
onde 

0 0 0� � �, representa o vetor nulo. Mais uma vez, essas propriedades da adição 
de vetores já eram esperadas, pois são as mesmas propriedades da adição de matrizes 
já estudadas na Unidade 1.
Dados os vetores 
u � �� �1 1 3, , , 
v � �� �2 0 5, , e 
w � � �0 0 1, , , calcule:
a)  u v+ ;
b) 
 v w+ ;
c) verifique que 
   v u u v� � � ;
d) verifique que 
     u v w u v w� �� � � �� � � .
Resolução
a) A soma  u v+ é obtida adicionando-se as componentes correspondentes de cada 
vetor. Dessa forma,  u v� � � � � � �� �� �1 2 1 0 3 5,� ,� , o que fornece  u v� � � �� �3 1 2, , .
b) A soma 
 v w+ é calculada de forma análoga, ou seja,  v w� � �� �2 0 4, , .
c) Para verificar que 
   v u u v� � � , basta calcularmos 
 v u+ , pois já sabemos o 
resultado de 
 u v+ . Fazendo isso, obtemos 
 v u� � � �� �3 1 2, , , confirmando a 
comutatividade da soma.
d) Temos que   u v w� �� � � �� � � �� � � � �� �1 1 3 2 0 4 3 1 1, , , , , , . Por outro lado, 
  u v w�� � � � � �� � � � � � � �� �3 1 2 0 0 1 3 1 1, , , , , , . Esse resultado confirma a asso-
ciatividade da soma dos vetores dados.
Multiplicação por Escalar
Nesta seção, você entenderá como calcular a multiplicação de um vetor por um 
número real (ao qual denominaremos escalar) e verificar as principais propriedades 
dessa operação.
A multiplicação de um número real por um vetor é realizada da mesma forma 
que a multiplicação de um número real por uma matriz, ou seja, basta multiplicar 
o número real por cada elemento do vetor. Dessa forma, seja k um número real e 
v v v v� � �1 2 3,� ,� um vetor. O produto kv nos fornece
kv kv kv kv�
= ( )1 2 3 .
5 EXEMPLO
113UNIDADE IV
Algumas consequências do produto de um escalar por um vetor, kv, são as seguintes:
• será igual ao vetor nulo se k = 0 ou 
v � � �0 0, ;
• terá comprimento (norma) k vezes o comprimento de 
v ;
• terá o mesmo sentido de v se k > 0, e sentido contrário ao de 
v se kantes, as matrizes são bastante úteis na representação 
de dados em uma forma mais compacta. Por exemplo, considere uma situação na 
qual o engenheiro mede o diâmetro e a massa de três esferas constituídas de materiais 
distintos. Esse engenheiro colocou os valores encontrados na tabela a seguir:
Tabela 3 - Massa e diâmetro das esferas
Massa (kg) Diâmetro (cm)
Esfera 1 0,3 20
Esfera 2 0,5 27
Esfera 3 0,4 24
Fonte: os autores.
Perceba que as informações contidas na Tabela 1 podem ser colocadas na matriz C 
apresentada a seguir
C =
0,3 20
0,5 27
0, 4 24
.










Conforme você pode notar, a ordem da matriz C é 3 2× , pois ela possui 3 linhas e 2 
colunas e, em particular, c21 = 0,5.
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3%5Ctimes3%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3%5Ctimes3%0Adois vetores; enquanto 
que na Física o produto escalar é usado no cálculo 
do trabalho realizado por uma força constante. 
Produto
Escalar
116 Vetores no Plano e no Espaço
Ao observar a Equação (5) apresentada, você deve ter imaginado que para calcular 
o produto escalar entre dois vetores seja imprescindível que se conheça o ângulo for-
mado entre eles. Se você utilizar necessariamente a Equação (5), a resposta é positiva. 
Contudo, caso sejam fornecidas apenas as componentes dos vetores, como você pode 
calcular o produto escalar entre eles? Para esse fim, desenvolveremos uma equação 
que nos permitirá realizar tal cálculo e generalizar a definição do produto escalar.
Note na Figura 9 que no triângulo definido por 
u , 
v e 
 u v− , o lado oposto ao 
ângulo entre os vetores 
u e 
v é justamente a diferença 
 u v− . Neste caso, podemos 
utilizar a conhecida lei dos cossenos para determinarmos o comprimento de 
 u v− 
em termos de 
u e 
v . Dessa forma, temos:
     u v u v u v� � � �2 2 2 2� cos .q
Podemos isolar o cosseno, obtendo
cosθ =
− + +







1
2
2 2 2� � � �
� �
u v u v
u v
DEFINIÇÃO 1
O produto escalar ou interno entre dois vetores 
u e 
v é definido por 
   u v u v� � cos ,q (5)
em que q é o ângulo entre eles (WINTERLE, 2014).
Por definição, o ângulo q é o ângulo convexo formado pelos vetores quando eles estão 
na mesma origem. Ou seja, tal ângulo deve satisfazer 0 θ πpode verificar que uma dessas soluções é dada por:
x u v u v� �2 3 3 2 ,
y u v u v� �1 3 3 1,
z u v u v� �1 2 2 1.
Qualquer múltiplo dessa solução também é solução do sistema. Com tal solução, 
podemos escrever o resultado
 u v u v u v u v u v u v u v� � � � �� �2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1,� ,� (9)
Utilizando a Equação (9), podemos calcular o produto vetorial entre os vetores 
unitários 

i � � �1 0 0, , , 

j � � �0 1 0, , e 

k � � �0 0 1, , . Já sabemos que eles são unitários e 
mutuamente perpendiculares. Assim sendo, obtemos
� � �
i j j× = − − −( ) = ( ) =0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0. . . . , . . , .
123UNIDADE IV
Fica como tarefa para você mostrar que
� � �
k j i× =−
� � �
j k i× =
� � �
i k j× =−
� � �
k i j× =
� � �
j i k× =−
E ainda, 
   
 
i i j j k k� � � � � � 0.
Se representarmos os vetores 
 u v× e 
 u v× em termos dos vetores unitários,
u u i u j u k= + +1 2 3
v v i v j v k= + +1 2 3
podemos escrever uma fórmula mnemônica para o cálculo de 
 u v× , qual seja:
 
 

u v det
i j k
u u u
v v v
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 2 3
1 2 3
Note que essa fórmula mnemônica realmente reflete a definição de produto vetorial, 
pois as seguintes considerações podem ser feitas:
1. Se trocarmos a posição de duas linhas em uma matriz, o sinal do determinante 
muda. Essa propriedade do determinante reflete a antissimetria do produto 
vetorial, ou seja, 
   u v v u� � � � .
2. Se uma matriz tem duas linhas (ou duas colunas) idênticas, o seu determinante 
é nulo. Isso reflete a propriedade 
 u u� � 0, ou seja, o produto vetorial de dois 
vetores paralelos é sempre nulo. 
Para que você fixe os conceitos desenvolvidos até aqui, segue um exemplo.
124 Vetores no Plano e no Espaço
 Dados os vetores u � �� �1 1 3, , e 
v � �� �2 0 5, , , calcule 
 u v× .
Você pode calcular o produto vetorial por duas formas distintas: usando a Equação 
(9) ou utilizando a fórmula mnemônica. Calcularemos utilizando a segunda opção. 
Neste caso, temos 
 
 

u v det
i j k
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 1 3
2 0 5
Esse cálculo nos fornece:
 
 

 

 

u v i j k i j k i j k� � � �� � � � �� � � � �5 6 0 0 5 2 5 11 2 .
Algumas propriedades do produto vetorial são elencadas a seguir.
1. Antissimetria: 
   u v v u� � � � .
2. 
 u v� � 0 se, e somente se, 
 u kv= ou 
 v ku= .
3.       u w v u w u v� �� � � � � � .
Essas propriedades são facilmente demonstradas. Você deve fazê-las como exercício.
Interpretação Geométrica do Produto Vetorial
Para que você entenda geometricamente o significado do produto vetorial, considere a 
Figura 11. Nela você pode observar que os vetores 
u e 
v delimitam um paralelogramo, 
cuja área é dada pelo produto da base pela altura do quadrilátero (WINTERLE, 2014).
θ
θ
v
u
vh sen
Figura 11 - Área do paralelogramo
Fonte: os autores.
A base do paralelogramo é dada pela norma do vetor 
u , ou seja, � u . A altura, porém, 
pode ser encontrada com o uso de trigonometria básica, ou seja, h v sen=

q. Dessa 
forma, a área do paralelogramo fica dada por:
9 EXEMPLO
125UNIDADE IV
Área u v sen=
 
q.
Compare a última equação com a definição do produto vetorial. Você chegará à 
conclusão que Área u v� �
  .
Ou seja, a área do paralelogramo definido por dois vetores é igual ao módulo do 
produto vetorial entre tais vetores. Essa é a interpretação geométrica do produto vetorial.
Para que você treine este último resultado, apresentamos o exemplo a seguir.
 Calcule a área do triângulo de vértices A 1 1 2, ,�� �, B 0 1 2, ,�� � e C 1 0 3, ,� �. 
Antes de calcular a área deste triângulo, precisamos determinar os vetores que o 
delimitam. Para isso, vamos considerar os vetores AB
� ���
 e BC
� ���
, os quais ligam os pontos 
A a B e B a C, respectivamente. Construímos esses vetores de maneira similar ao que 
fizemos no início da unidade, ou seja, AB
� ���
� � �� �1 2 4, , e BC
� ���
� �� �1 1 5,� ,� . Um esboço 
do triângulo é mostrado na Figura 12.
A C
B D
Figura 12 - Exemplo 10
Fonte: os autores.
É fácil perceber que a área deste triângulo é igual à metade da área do paralelogramo 
definido pelos vetores AB
� ���
 e BC
� ���
. Neste caso, temos: 
Área AB BC� �
1
2
� ��� � ���
Por outro lado, 
AB BC det
i j k
i j k
u ruu u ruu
4
5
6
11
21
Assim, AB BC
� ��� � ���
� � 38. Por isso, 
Área = 38
2
10 EXEMPLO
126 Vetores no Plano e no Espaço
Nesta seção, você estudará o produto de três ve-
tores no espaço. A esse produto damos o nome 
de produto misto. A aplicação geométrica mais 
conhecida que envolve o produto misto é o cál-
culo de volumes. O nome desse produto não é por 
acaso, pois na mesma expressão temos produto 
escalar e produto vetorial. Nesse sentido, segue a 
definição do produto misto.
Produto
Misto
127UNIDADE IV
A interpretação geométrica do produto misto é tal que o volume do paralelepípedo 
definido pelos vetores 
u , 
v e 
w é dado por   w u v� �� � . Esse resultado pode ser visua-
lizado por meio da Figura 13.
u
v
w
θ Área da 
base
u vX
Altura = ||w|| |cos θ|
Figura 13 - Volume do paralelepípedo
Fonte: os autores.
Sabemos que o volume de um paralelepípedo é dado pelo produto entre a área da 
base e sua altura. A base do paralelepípedo representado na Figura 12 é delimitada 
pelos vetores 
u e 
v . Dessa forma, a sua área é encontrada por:
área dabase u v .= ×
� �
Por outro lado, a altura do paralelepípedo pode ser encontrada por meio do vetor 
w 
e do ângulo q e pelo uso de trigonometria básica. Neste caso, obtemos: 
altura w cos=

q.
DEFINIÇÃO 3
Sejam 
u u u u� � �1 2 3,� , , 
v v v v� � �1 2 3,� , e 
w w w w� � �1 2 3,� , , o produto misto 
  u v w� �� � 
é definido por 
  u v w
u u u
v v v
w w w
� �� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
det
1 2 3
1 2 3
1 2 3
.
128 Vetores no Plano e no Espaço
Dessa forma, temos:
volume área dabase altura� � �� �� �
volume w u v cos� �
  
q
O que coincide com a definição do produto escalar entre 
w e 
 u v× . Por fim, po-
demos escrever:
volume w u v� � �� �   .
A seguir são apresentadas algumas propriedades do produto misto.
1. 
     u u v v u v� �� � � � �� � � 0.
2. 
     w u v w u v� �� � � �� � � .
Na sequência, será apresentado um exemplo para que você fixe o conceito estudado.
 Calcule o volume do paralelepípedo definido pelos vetores u � �� �1 1 2, , , v � �� �0 1 2, , 
e w � � �1 0 3, , . 
Primeiramente, você deve calcular o produto misto entre os três vetores dados. 
Isso nos fornece 
  u v w� �� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �� � � � �� � �det
1 1 2
0 1 2
1 0 3
3 2 0 2 0 0 3.
Como 
volume u v w� � �� �   ,
temos que
volume = =3 3.
11 EXEMPLO
129UNIDADE IV
Agora você já está apto a responder ao desafio proposto no início da unidade, pois 
você já se tornou um expert quando o assunto é vetores. Bem, como você deve estar 
imaginando, a instrução dada pelos dois comandantes é a mesma, pois para você 
encontrar o deslocamento resultante, basta adicionar os vetores e, conforme você já 
sabe, a soma vetorial é comutativa (a ordem não importa). Para descobrir o seu des-
locamento resultante em relação à posição inicial, bem como a orientação, primeira-
mente considere os deslocamentos verticais separadamente dos horizontais. Vamos 
considerar aqui a direção Norte-Sul como vertical e a Leste-Oeste como horizontal. 
Bem, na horizontal você percorreu 11 km para Leste e 3 km para Oeste. Ou seja, ho-
rizontalmente, você percorreu uma distância líquida de 8 km para Leste. Já na vertical, 
você percorreu uma distância de 6 km para Sul. Agora que temos dois vetores per-
pendiculares, para calcularmos o vetor resultante, basta utilizarmos o Teorema de 
Pitágoras. Dessa forma, a distância total por você percorrida foi de d � � �6 8 102 2 . 
O seu deslocamento resultante foi de 10 km. Para encontrar a direção, basta determi-
narmos o ângulo, mas isso você já sabefazer muito bem. Então, an ,θ =
−( )
=−1 6
8
323 13o.
Ou seja, a orientação do deslocamento resultante foi de 36,87 graus a Sudoeste (tente 
justificar esses últimos cálculos).
É importante que você observe as diferenças entre os produtos escalar e vetorial. No 
produto escalar, temos como resultado um número real. Além disso, este produto 
nos fornece o cosseno do ângulo entre os dois vetores operados. Se o produto es-
calar for nulo, isso indica que os vetores são ortogonais. Enquanto isso, o produto 
vetorial nos fornece como resultado um novo vetor, o qual é perpendicular aos dois 
vetores operados. O módulo do produto vetorial é igual à área do paralelogramo 
definido pelos dois vetores operados.
Agora que você já sabe tudo acerca dos vetores no espaço, que tal praticar o que 
aprendeu por meio das atividades de estudo? Chegou a sua vez!
130
Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução.
1. O comprimento e a orientação do vetor 
a � �� �1 3, são, respectivamente:
a) 2 e 60o.
b) 2 e 300o.
c) 2 e 150o.
d) 2 e 240o.
e) 2 e 330o.
2. Dados 
u � � �2 0 1, ,� e 
v � �� �1 1 2, , , o cosseno do ângulo entre 
u e 
v é:
a) 6
3
c) 5
3
e) 3
3
3. Dados os vetores 
u � �� �0 2 1, , e 
v � �� �1 2 3, , , o vetor perpendicular ao plano 
que contém 
�u e 
�v é:
a) 2 2 2, ,�� �.
b) 1 2 3, ,�� �.
c) 4 1 1, ,� �.
d) 4 1 2, ,� �� �.
e) 4 2 2, ,�� �.
b) 3
2
d) 
3
6
131
4. A área do paralelogramo delimitado pelos vetores 
u � �� �0 2 1, , e 
v � �� �1 2 3, , é:
a) 3 unidades de área.
b) 7 unidades de área.
c) √21 unidades de área.
d) √30 unidades de área.
e) 5 unidades de área.
5. O volume do paralelepípedo definido pelos vetores 
u � � �� �2 0 1, , , 
v � �� �1 1 1, , 
e 
w � �� �2 3 0, , é igual a:
a) 5 unidades de volume.
b) 13 unidades de volume.
c) 9 unidades de volume.
d) 11 unidades de volume.
e) 7 unidades de volume.
132
Álgebra Linear e suas aplicações
Autor: Gilbert Strang
Editora: Cengage Learning
Sinopse: esta obra traz o conteúdo básico de álgebra linear para estudantes 
de ciências exatas e engenharia. O conteúdo é apresentado de uma maneira 
alternativa em relação a outros livros.
Comentário: recomendo a leitura dos quatro primeiros capítulos deste livro.
LIVRO
133
BOULOS, P.; CAMARGO, I. Geometria Analítica - Um Tratamento Vetorial. 3. ed. São Paulo: Editora Pearson, 2004.
WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: Editora Pearson, 2014.
134
1. O comprimento do vetor 
a � é facilmente encontrado, 
a a� � � �� � � �
 1 3 4 22 2
.
A orientação também pode ser encontrada de forma simples,
q �
��
�
��
�
�
�� � �� � �arctg arctg o3
1
3 300 .
Logo, o vetor dado tem o comprimento igual a 2 e forma um ângulo de 300 graus com a horizontal no 
sentido positivo. Portanto, a alternativa correta é a letra B.
2. Para encontrarmos o cosseno do ângulo entre os vetores dados, antes devemos calcular o produto escalar 
entre eles, bem como determinar a norma de cada um. 
Para calcularmos o produto escalar, basta utilizarmos a Equação (7). Dessa forma, temos:
� �u v⋅ = + + =2 0 2 2 2
A norma de 
u é dada por 
�u = ( ) + + =2 0 1 3
2 2 2 .
A norma de 
v é dada por �v = ( ) + −( ) + ( ) = =1 1 2 4 22 2 2
.
O cosseno do ângulo entre os vetores pode ser encontrado com o uso da Equação (8). Fazendo isso, obtemos:
cos .q = =
2 2
2 3
6
3
Portanto, a alternativa correta é a letra A.
3. Para determinarmos o vetor perpendicular ao plano contendo os vetores dados, basta calcular o produto 
vetorial entre eles, pois o resultado de tal produto nos fornece um novo vetor que é perpendicular a ambos 
vetores multiplicados.
 
 

 

u v det
i j k
i j k� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �0 2 1
1 2 3
4 2 .
Portanto, a alternativa correta é a letra D.
135
4. A área do paralelogramo definido por dois vetores nada mais é que a norma do produto vetorial entre 
eles. Como os vetores dados são os mesmos da questão anterior, basta calcularmos a norma do vetor 
encontrado na questão anterior. Fazendo isso, temos:
 u v� � � � �16 1 4 21.
Portanto, a alternativa correta é a letra C.
5. O volume do paralelepípedo definido pelos vetores dados é igual ao módulo do produto misto entre eles. 
Dessa forma: 
  u v w� �� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �det
2 0 1
1 1 1
2 3 0
7,
Como � �7 7 , a alternativa correta é a letra E.
136
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Identificar e escrever a equação do plano.
• Identificar e escrever a equação da reta no R3.
• Identificar as posições relativas entre retas e planos.
Equação do Plano no 
Espaço
Equação da Reta no R3
Posições Relativas Entre 
Retas e Planos
Dr. Ronni Amorim 
Dr. Ricardo Fragelli
Dr. Vinícius Rispoli
Retas e Planos do R3
Equação do Plano 
no Espaço
Prezado(a) aluno(a)! Nesta unidade iniciaremos 
o estudo de geometria analítica no R3, ou seja, no 
espaço tridimensional. Estudaremos especifica-
mente sobre planos e retas. Sendo assim, o nosso 
objetivo é compreender como são equacionados 
os plano e as retas, além de identificar as posições 
relativas entre planos e retas no R3.
Antes de iniciar o estudo da unidade, consi-
dere a seguinte situação: suponha que você vá 
com quatro amigos a um bar. Chegando lá, vocês 
observam cinco banquinhos, dos quais um tem 
apenas três pernas. O seu amigo que é mais peri-
to em matemática avança logo no banco de três 
pernas e o pega para sentar. Vocês não entendem 
todo aquele desejo do seu colega por aquele ban-
co, daí ele diz:
 “
Prefiro o banco de três pernas, pois eles 
nunca mancam.
Você saberia explicar de um ponto de vista ma-
temático o porquê da afirmação do seu colega? 
Então, estude bem esta unidade, pois no final dela 
você saberá responder a essa misteriosa situação.
139UNIDADE V
Você saberia representar um plano na forma de uma equação? Essa pergunta, 
embora pareça complicada, é na verdade muito simples e intuitiva. Para compreender 
a resposta, basta aprofundar um pouco no estudo sobre geometria analítica. Nesta 
unidade, você iniciará o estudo da geometria analítica no espaço. Por esse motivo, 
expandirá os horizontes matemáticos e desenvolverá habilidades para tratar proble-
mas mais complexos. Nesta seção, o objetivo será compreender o que é um plano e, 
dadas algumas características de um plano particular, você deverá escrever a equação 
que o representa. Então, vamos encarar mais esta jornada do conhecimento.
Assim como foi feito no estudo da reta no plano, você estudará como escrever a 
equação de um plano no espaço em diferentes circunstâncias. Para início de conversa, 
considere um plano p que passe pelo ponto P x y z0 0 0,� ,�� � e seja ortogonal ao vetor 
n a b c� � �, , . Considere o ponto A x y z, ,� � como um ponto qualquer que pertença 
ao plano p . Neste caso, podemos admitir vetores PA x x y y z z
� ���
� � � �� �0 0 0,� ,� que 
também pertencem ao plano p . Como o vetor n é ortogonal ao plano, então os 
vetores PA
� ���
 são ortogonais a 
n . Logo, o plano consistirá do conjunto de vetores 
com coordenadas x x y y z z� � �� �0 0 0,� ,� que são ortogonais a n , ou seja, o produto 
escalar entre n e PA
� ���
 deve ser nulo,
� � ���n PA⋅ =0
a b c x x y y z z, , ,� ,�� � � � � �� �0 0 0
a x x b y y c z z�� � � �� � � �� �0 0 0� (1)
A Equação (1) representa um plano no espaço (BOULOS; CAMARGO, 2004). Contu-
do, observe que, para escrevê-la, você necessita conhecer um ponto pelo qual o plano 
passa e um vetor ortogonal (ou normal) ao plano. Para amadurecer este conceito, 
observe o exemplo a seguir.
Escreva a equação do plano que passe pelo ponto P 1 2 4, ,��� � e seja ortogonal ao 
vetor 
 

n i j k� � � �3 2 .
A resolução deste exemplo é muito simples, basta utilizar as coordenadas do ponto P 
(que pertence ao plano) e do vetor normal ao plano na Equação (1). Fazendo isso, temos:
� �� � � � �� �� � � �� � �3 1 2 2 1 4 0x y z
1 EXEMPLO
140 Retas e Planos do R3
Desenvolvendoesta última equação, temos:
� � � � � � �3 3 2 4 4 0x y z ,
� � � � �3 2 3 0x y z .
E esta última é a equação do plano com as características dadas no exemplo.
Com a finalidade de exemplificar, a Figura 1 mostra o plano p com o seu vetor 
normal 
n e dois pontos que podem ser utilizados para a construção da sua equação.
A
X
n
π
Figura 1 - Plano
Fonte: os autores.
Agora que você já compreendeu como escrever a equação de um plano se for fornecido 
um ponto pelo qual o plano passa e o vetor normal ao plano, consideraremos o caso 
em que são dados apenas três pontos que pertençam ao plano. Você sabia que, assim 
como por dois pontos passa apenas uma reta, por três pontos passa apenas um plano? 
Podemos utilizar esse postulado da geometria para escrever a equação do plano. Con-
sidere então os pontos P x y z0 0 0,� ,� �� � , Q x y z1 1 1,� ,� �� � e R x y z2 2 2,� ,� �� � pertencentes ao um 
plano a . A partir desses pontos, podemos construir os vetores 
� � ���v QP= e �
� ���
w RP= , os 
quais pertencem ao plano a . Se calcularmos o produto vetorial   v w a b c n� � � � �, , , 
obtemos um vetor perpendicular a v e w simultaneamente e, por isso, perpendicular 
ao plano a . Pronto, agora já temos o vetor normal ao plano, bem como um ponto 
pelo qual o plano passa (podemos utilizar qualquer um dos três pontos dados). Sendo 
assim, podemos utilizar a Equação (1) e finalmente escrever a equação do plano a 
(WINTERLE, 2014). Tudo isso ficará mais claro no exemplo a seguir.
141UNIDADE V
Determine a equação do plano que passe pelos pontos A 1 0 3, ,�� � , B � �� �0 2 1, , e 
C 0 0 1, ,�� � .
Para resolver este exemplo, primeiramente, você deve construir dois vetores per-
tencentes ao plano a partir dos pontos dados. É importante você notar que você 
pode construir diversos vetores e qualquer um desses levará para a solução correta; 
por isso, não se preocupe com a maneira que você construiu os vetores. Sejam então,
AB = − − − − −( )( ) = − −( )0 1 2 0 1 3 1 2 4, ,
AC = − − − − −( )( ) = −( )0 1 0 0 1 3 1 0 2, ,
os vetores pertencentes ao plano. Dessa forma, o vetor normal é dado por
n det
i j k
1 2 4
1 0 2
,AB ACx
 
n � � � �� �4 2 2 .
E assim, temos que a equação do plano é dada por
4 1 2 0 2 3 0x y z ,
– 4x + 4 –2y –2z – 6 = 0
4 2 2 2 0x y z .
Viu como foi fácil! Uma curiosidade muito importante que talvez você já tenha notado 
é a seguinte: se você já conhecer a equação do plano e quiser saber qual é o vetor nor-
mal ao plano, basta observar os coeficientes das variáveis x, y e z . Esses coeficientes 
são justamente as coordenadas do vetor normal ao plano. Observe o exemplo a seguir.
Encontre um vetor normal ao plano de equação 2 3 5 0x y z� � � � .
Esse exemplo é muito simples. Conforme foi colocado anteriormente, os coefi-
cientes das variáveis x , y e z são as coordenadas do vetor normal ao plano. Neste 
caso, temos que n � �� �2 1 3, , . É instrutivo lembrar que qualquer vetor paralelo a n 
também é normal ao plano. Assim, por exemplo, os vetores 4 2 6, ,�� � , � �� �2 1 3, , e 
1 1
2
3
2
, ,� � � ���
�
�
�
�
� são também normais ao plano.
Planos que passam pela origem terão um interesse teórico muito relevante a partir 
da próxima unidade. Para escrever um plano que passa pela origem, você já conhece 
um ponto que passa pelo plano, o qual é a própria origem P 0 0 0, ,� � . Suponha que o 
vetor 
n a b c� � �, , seja normal ao plano. Neste caso, temos:
2 EXEMPLO
3 EXEMPLO
142
a x b y c z�� � � �� � � �� � �0 0 0 0,
ax by cz� � � 0
a qual representa a equação de um plano que passa pela origem. A diferença entre 
a equação de um plano que passa pela origem e a equação de outro que não pas-
sa pela origem está na ausência do termo independente no primeiro tipo, ou seja, 
equações de planos que passam pela origem não possuem termo independente. 
Assim, enquanto ax by cz� � � 0 é a forma geral de um plano que passa pela ori-
gem, ax by cz d� � � � 0 é a forma geral de um plano que não passa pela origem. 
Por exemplo, o plano 2 3 5 0x y z� � � � não passa pela origem, enquanto o plano 
3 2 0x y z� � � passa.
Agora que você já sabe identificar e escrever equações de planos no espaço, o 
próximo passo será estudar as retas no espaço.
Retas e Planos do R3
Note a semelhança com o conteúdo estudado na última unidade. Lá, quando o 
objetivo era escrever a equação de uma reta no plano, era necessário conhecer 
dois pontos pelos quais a reta passa, ou então conhecer um ponto pelo qual a reta 
passa e a inclinação da reta. Por outro lado, para escrever a equação de um plano no 
espaço tridimensional, é necessário conhecer três pontos pelos quais o plano passa, 
ou então conhecer um ponto pelo qual o plano passa e um vetor normal ao plano.
143UNIDADE V
Para obter a equação de uma reta no espaço, você 
precisa de dois ingredientes: um ponto pelo qual 
a reta passa e a direção da reta. A direção da reta 
é obtida por meio do vetor diretor da reta, o qual 
é um vetor paralelo à reta considerada. Suponha-
mos que você queira escrever a equação de uma 
reta r que passa pelo ponto P x y z0 0 0,� ,�� � e que 
seja paralela ao vetor v a b c� � �, , . Sabemos que 
uma reta nada mais é que um conjunto de pontos. 
Neste caso, para um ponto Q x y z, ,� � perten-
cer à reta r , o vetor PQ �
� ���
deve ser paralelo a 
v ,
� �PQ v
� ��� �
=l , o que neste caso nos fornece
PQ x x y y z z a b c v
� ��� �
� � � �� � � � � �0 0 0,� ,� , ,l l
Equação da 
Reta no R3
As equações dadas em (2) são denominadas equações paramétricas da reta r .
Se isolarmos o parâmetro l , obtemos as equações da reta na forma simétrica:
x x
a
y y
b
z z
c
�
�
�
�
�0 0 0 .
Você percebeu como é fácil representar uma reta no espaço tridimensional? De 
forma a fixar os conceitos desenvolvidos nesta seção, considere o exemplo a seguir.
Considere uma reta que passe pelo ponto P 1 1 3, ,�� � e que seja paralela ao vetor 
v � �� �1 0 2, , , obtenha sua equação na forma paramétrica e também na forma simétrica.
Esse exemplo é facilmente solucionado, pois já conhecemos um ponto pelo qual 
a reta passa, bem como o seu vetor diretor. Neste caso, temos:
Equações paramétricas:
x
y
z
= +
= −
= −
1
1
3 2
λ
λ
Equações simétricas:
x z
� �
�1 3
2
Observe que a forma simétrica não contém a variável y ; isso indica que a reta dada 
é paralela ao plano xz. Isso já era esperado, pois ela é paralela ao vetor v � �� �1 0 2, , , 
o qual está no plano xz , pois tem componente y igual a zero.
4 EXEMPLO
144 Retas e Planos do R3
Isso nos fornece:
x x a
y y b
z z c
� �
� �
� �
�
�
�
�
�
0
0
0
l
l
l
ou ainda
x x a
y y b
z z c
= +
= +
= +





0
0
0
λ
λ
λ
. (2)
Reta no R³
145UNIDADE V
Para exemplificar, a Figura 2 apresenta uma reta no espaço tridimensional.
Figura 2 - Reta no R3
Fonte: os autores.
Suponha que você não conheça o vetor diretor de uma reta, mas conhece dois pontos 
pelos quais ela passa. Seria possível obter as equações que representam essa reta? A 
resposta é positiva, pois, a partir dos pontos conhecidos, você pode encontrar o vetor 
diretor. Veja o exemplo a seguir.
Encontre as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos P �� �2 1 0, , 
e Q 1 0 1, ,�� � .
Como a reta passa pelos dois pontos dados, então o vetor 
PQ
� ���
� � �� � � � �� � � � �� �1 2 0 1 1 0 3 1 1,� ,� , , é o vetor diretor da reta, pois este vetor é 
paralelo à reta. Neste caso, podemos usar tanto P como Q para escrever a equação 
da reta. Usando P , temos:
x
y
z
= − +
= −
= −
2 3
1
λ
λ
λ
Essas são as equações paramétricas da reta.
5 EXEMPLO
146
Um item interessante neste estudo é a caracterização do alinhamento de três pontos. 
Suponha que fosse a você solicitado que descobrisse se três pontos dados estão ali-
nhados: o que você faria? A resposta é bem simples e é amparada no que já estudamos 
sobre retas. Sejam os pontos P x y z0 0 0,� ,�� � , Q x y z1 2 3,� ,�� � e R x y z2 2 2,� ,�� � . Para que 
P , Q e R sejamalinhados, é necessário que os vetores PQePR
� ��� � ���
�� sejam paralelos, 
isto é, PR kPQ
� ��� � ���
= . Isso leva a:
x x y y z z k x x y y z z2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1� � �� � � � � �� �,� ,� ,� ,�
O que induz a
x x
x x
y y
y y
z z
z z
2 1
3 1
2 1
3 1
2 1
3 1
�
�
�
�
�
�
�
�
,
que é a condição de alinhamento de três pontos. Para fixar esse conceito, considere 
o exemplo a seguir.
Verifique se os pontos A 5 2 6, ,�� � , B � � � �� �1 4 3, , e C 7 4 7, ,�� � estão alinhados.
Para resolver este exemplo, basta verificar se a condição de alinhamento é satis-
feita. Assim, temos:
x x
x x
2 1
3 1
1 5
7 5
6
2
3�
�
�
� �
�
�
�
� � ,
y y
y y
2 1
3 1
4 2
4 2
6
2
3�
�
�
� �
�
�
�
� � ,
z z
z z
2 1
3 1
3 6
7 6
3
1
3�
�
�
� � �� �
� � �� �
�
�
� � .
Como
x x
x x
y y
y y
z z
z z
2 1
3 1
2 1
3 1
2 1
3 1
�
�
�
�
�
�
�
�
,
Segue que os pontos dados estão alinhados.
6 EXEMPLO
Retas e Planos do R3
147UNIDADE V
Agora que você já sabe como identificar as re-
tas e os planos no espaço tridimensional e, além 
disso, sabe como escrever suas equações, chegou 
o momento de estudar as posições relativas en-
tre tais constructos. Nesta seção, você verá como 
identificar retas paralelas e concorrentes, planos 
paralelos e concorrentes, bem como identificar a 
interseção entre retas e planos.
Iniciemos o estudo pelos planos. Quando ana-
lisamos dois planos, podemos encontrar duas si-
tuações: eles podem ser paralelos ou se cortam 
segundo uma reta. Sendo assim, dois planos a1 
e a2 são paralelos se, e somente se, os seus ve-
tores normais são paralelos, ou seja, se o vetor 
normal de um for um múltiplo do outro (SAN-
TOS; FERREIRA, 2009). Nesse caso, os planos 
são ditos paralelos. Caso contrário, se os vetores 
normais não forem paralelos, o ângulo formado 
pelos planos é o mesmo ângulo definido pelos 
vetores normais. Para calcular esse ângulo, você 
pode utilizar o produto escalar, estudado na Uni-
dade 4. Para ilustrar essas situações, consideremos 
os exemplos a seguir.
Posições Relativas 
Entre Retas e Planos
148
Determine o ângulo entre os planos
a1 3 2 6 5 0: x y z� � � �
a2 5 3 2 1 0: x y z� � � �
Já sabemos identificar os vetores normais aos planos a partir das equações. Neste 
caso, temos que n1 3 2 6� �� �, , e n2 5 3 2� �� �, , . De imediato, já percebemos que 
os planos dados não são paralelos, pois os seus vetores normais não são múltiplos. 
Assim, o ângulo entre os planos é calculado por
cos .q �
�
 
 
n n
n n
1 2
1 2
n1
2 2 23 2 6 49 7� � �� � � � � .
n2
2 2 2
5 3 2 36 6� � � �� � � � .
 n n1 2 3 5 2 3 6 2 15 6 6 2 9 6 2 3 3 2 2� � � �� � � �� � � � � � � � �� �. . . .
Assim,
cos
.
.q �
�� �
�
�3 3 2 2
7 6
3 2 2
14
Utilizando uma calculadora científica, podemos determinar o ângulo:
q �
��
�
��
�
�
�� �
�cos , .1 3 2 2
14
89 3o
7 EXEMPLO
Retas e Planos do R3
Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo. 
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
149UNIDADE V
O exemplo a seguir também trata da interseção de planos.
Encontre as equações paramétricas da reta r , intersecção dos planos
a1 3 0: x y z� � �
a2 2 1 0: x y z� � � �
Já sabemos que, para escrever a equação de uma reta, precisamos dos seguintes itens: 
conhecer um ponto pelo qual a reta passa e o seu vetor diretor, ou conhecer dois 
pontos pelos quais a reta passa. Como a reta de intersecção dos planos dados pertence 
a ambos, então o seu vetor diretor é perpendicular aos vetores normais de ambos 
os planos, pois o vetor diretor da reta é paralelo à reta e, assim, paralelo também aos 
planos; logo ele deve ser perpendicular aos vetores normais. Os vetores normais aos 
planos são dados por n1 3 1 1� �� �, , e n2 1 2 1� �� �, , . Dessa forma, o vetor diretor 
pode ser encontrado tomando-se
 
 

n n det
i j k
1 2 3 1 1
1 2 1
1 4 7� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� �, , .
Agora que já temos o vetor diretor, precisamos de um ponto que pertença à reta, para 
isso voltemos às equações dos planos
3 0
2 1 0
x y z
x y z
− + =
+ − − =


 .
Note que temos apenas duas equações e três incógnitas, por isso não conseguiríamos 
encontrar a solução. Para resolver isso, tomemos x = 0 . Ficamos então com
− + =
− − =



y z
y z
0
2 1 0 .
Resolvendo este sistema, encontramos z =1 e y =1 . Assim, a reta r passa pelo ponto 
0 1 1, ,� � . A equação da reta de interseção dos planos na forma paramétrica é dada por
x
y
z
� �
� �
� �
l
l
l
1 4
1 7
.
8 EXEMPLO
150
Analisar posição relativa entre duas retas já é um pouco mais complicado, pois duas 
retas no espaço pode ocorrer uma das seguintes situações:
• as retas se interceptam em um ponto, ou seja, são concorrentes;
• as retas são paralelas;
• as retas são reversas, isto é, não são paralelas nem se interceptam.
E como fazer para identificar cada situação? Fazer isso é bem simples! Primeiramente, 
para saber se as retas se interceptam, basta substituir os valores das variáveis x , y e 
z de uma na outra. Se as equações resultantes forem satisfeitas e não for obtido ne-
nhuma contradição, dizemos que as retas são concorrentes. Vejamos alguns exemplos.
Verifique se as retas r e s são concorrentes. Em caso afirmativo, encontre o ponto 
de interseção.
r
x
y
z
:�
� �
� �
� �
�
�
�
�
�
1 2
2 4
l
l
l
 s
x
y
z
:�
� �
�
� �
�
�
�
�
�
1
1
g
g
g
Para resolver este problema, vamos substituir os valores de x , y e z da reta r na 
reta s. Assim, temos:
1 2 1 2− = + → = − .γγ λλ
2 4 2 4+ = → = − .γ γλ λ
− = − → = + .λ λ1 1γ γ
Substituindo a primeira equação em qualquer uma das duas outras, obtemos:
λ λ λ+ = − → = −1 2 1
3
E também, γ =
2
3
.
Com isso, concluímos que as retas são concorrentes. Para determinar o ponto no qual 
elas se encontram, basta substituir l ou g nas equações paramétricas. Fazendo isso, 
obtemos que 5
3
2
3
1
3





 é o ponto de interseção.
9 EXEMPLO
Retas e Planos do R3
151UNIDADE V
Verifique se as retas r e s são concorrentes. Em caso afirmativo, encontre o ponto 
de interseção.
r
x
y
z
:�
�
� �
� �
�
�
�
�
�
2
1
4
l
l
 s x y z .− =
−
=1 2
4 6
Note que enquanto a equação da reta r está na forma paramétrica, a da reta s encon-
tra-se na forma simétrica. O método de resolução é o mesmo do exemplo anterior: 
substituir a equação de uma reta na outra. Substituindo as variáveis x , y e z da 
reta r na reta s , obtemos:
2 1 1 2
4
4
6
l
l
� �
� �
�
�
2 1 3
4
4
6
l
l
� � � �
� ,
O que nos leva ao sistema: 
2 1 3
4
1
8
4
6
3
4
17
2
λ λ
λ
λ
− = − → =
+
= − → = −






.
Note que chegamos a uma contradição, pois encontramos dois valores para l . Con-
cluímos assim que as retas r e s não são concorrentes.
Muito bom! Você já sabe verificar se duas retas são concorrentes ou não. Agora 
resta descobrir qual o ângulo que elas formam. Para fazer isso, basta descobrir o ângulo 
formado pelos vetores diretores das retas. Achou fácil? Realmente é, pois você já sabe 
fazer tudo isso. Dada a equação de uma reta, seja na forma simétrica ou paramétrica, 
você já sabe como identificar o seu vetor diretor. Além disso, você também já sabe 
como determinar o ângulo entre vetores por meio do produto escalar. Então, vamos 
colocar as mãos no trabalho. Antes de analisar os exemplos, lembremos que duas 
retas concorrentes definem quatro ângulos (vide Figura 3), congruentes dois a dois 
(os dois opostos pelo vértice). O ângulo entre as retas é definido como o menor dos 
ângulos. Para isso, consideraremos sempre o valor absoluto do cosseno encontrado.
10 EXEMPLO
152
u
v
θ
u
θ
π - θ
s
r
s
r
v
Figura 3 - Retas concorrentes
Fonte: os autores.
Observações importantes:
• Se o ângulo calculado for nulo, dizemos que as retas são paralelas;
• Se o ângulo calculado for reto, dizemos que as retas são ortogonais. Retas or-
togonais podem ser concorrentes ou não, caso sejam concorrentes, são ditas 
perpendiculares.
Para fixar essesconceitos, vamos analisar o exemplo que segue.
Calcule o ângulo formado pelas r e s dadas a seguir:
r
x
y
z
:�
� �
� �
� �
�
�
�
�
�
1 2
2 4
l
l
l
 
s
x
y
z
:�
� �
�
� �
�
�
�
�
�
1
1
g
g
g
A resolução desta questão é bastante simples. A primeira coisa que devemos fazer é 
encontrar os vetores diretores de ambas as retas. Já sabemos que, estando a equação de 
uma reta na forma paramétrica, as componentes do vetor diretor são os coeficientes 
do parâmetro. Neste caso, temos:
vr � � �� �2 4 1, , e vs � �� �1 1 1, ,
11 EXEMPLO
Retas e Planos do R3
153UNIDADE V
Dessa forma,
vr � � � � � �( ) ( ) .2 4 1 212 2 2
vs � � �� � � �1 1 1 32 2 2 .
 v vr s� � �� � � � �� � �� � �2 1 4 1 1 1 3. . . .
Assim,
cos
.
.q = =
3
21 3
1
7
Utilizando uma calculadora científica, podemos determinar o ângulo:
q � �
�
�
�
�
� �
�cos , .1 1
7
67 8o
Dadas as retas r e s, verifique se elas são ortogonais.
r
x
y
z
:�
� �
�
� �
�
�
�
�
�
l
l
3
1
 s x y z.2 1
2
3 2−
= − = −
Duas retas são ortogonais se o produto escalar entre os vetores diretores for igual 
a zero. Então, antes de determinarmos o produto escalar, necessitamos descobrir 
quem são os vetores diretores. A reta r está na forma paramétrica, logo, as compo-
nentes do seu vetor diretor são os coeficientes do parâmetro, isto é, vr � � �� �1 0 1, , . 
Enquanto isso, a reta s está na forma simétrica, logo, as componentes do seu vetor 
diretor são os denominadores, estando os coeficientes das variáveis x , y e z iguais 
a 1. Para facilitar a compreensão, podemos escrever a equação da reta s na forma
x y z
� �
�
�
�
�
�
1
2
3
1
2
1
o que nos dá vs � � �� �1 1 1, , . Calculando o produto escalar entre vr e vs , obtemos
 v vr s� � �� � � � � � �� � �� � �1 1 0 1 1 1 0. . . .
Como o produto escalar entre os vetores diretores é nulo, segue que as retas 
dadas são ortogonais.
12 EXEMPLO
154
Agora que você já sabe como identificar a posição relativa entre dois planos e a 
posição relativa entre duas retas, só resta entender como determinar a interseção 
entre um plano e uma reta. Conforme você constatará, essa é uma tarefa bem fácil, 
basta substituir a equação da reta na equação do plano e descobrir, quando houver 
interseção, em que ponto ela ocorre. Vejamos o exemplo a seguir.
Ache a interseção entre a reta r e o plano a , sendo:
r
x
y
z
:�
� �
� �
�
�
�
�
�
�
2 2
3
l
l
l
 e a : .2 4 6 0x y z� � � �
Resolvemos este problema substituindo os valores de x , y e z dados na equação da 
reta na equação do plano. Fazendo isso, obtemos:
2 2 2 4 3 6 0�� � � �� � � � �l l l ,
4 4 12 4 6 0� � � � � �l l l ,
� �7 14l ,
l � �2.
Substituindo l � �2 na equação da reta, obtemos x = 6 , y =1 e z � �2 . Logo, a reta 
r e o plano a se interceptam no ponto 6 1 2, ,�� � .
Antes que você encare as atividades propostas para esta unidade, voltemos ao 
problema inicial da unidade. O seu amigo que sempre escolhe o banco com três 
pernas baseia-se na ideia que dados três pontos há apenas um plano que os contém. 
Assim, eles estarão contidos em um mesmo plano e o banco ficará estável, sem man-
car. Bancos que possuem quatro pernas podem mancar, pois pode haver inúmeros 
planos que contenham quatro pontos.
13 EXEMPLO
Retas e Planos do R3
155
Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução.
1. A equação do plano que passa pelo ponto P �� �1 0 2, , e é ortogonal ao vetor 

 

n i j k� � � 2 é dada por:
a) 3 2 6 5 0x y z� � � �
b) x y z� � � �2 5 0
c) x y z2 3 0
d) x y z� � � �3 4 0
e) 3 3 0x y z� � � �
2. As equações paramétricas da reta que passa pelos pontos P 1 0 1, ,� � e Q 1 2 0, ,� � são:
x
y
z
=
=
= −





1
2
1
λ
λ
a)
x
y
z
=
=
= −





λ
λ
3
1
b)
x
y
z
=
= +
= −





λ
λ
λ
1
1
c)
x
y
z
=
=
= −





1
3
1
λ
λ
d)
x
y
z
= −
=
= −





λ
λ
3
1
e)
156
3. Um vetor normal ao plano de equação x y z� � � �2 5 0 é:
a) n � �� �1 2 1, ,
b) n � � �� �1 2 5,� ,�
c) n � � � �� �1 2 5,� ,�
d) 
n � � �� �1 2 1,� ,�
e) 
n � �� �1 2 1,� ,�
4. O valor de m tal que as retas r e s sejam ortogonais é
r
x m
y
z m
:�
� � �� �
� �
� �
�
�
�
�
�
5 1
2
l
l
l
 
s x z:� � �
�1
2
1
3
a) 1
3.
b) − 1
3
c) − 1
2 .
d) 1
2.
e) 1
5. O ângulo entre os planos a e b cujas equações são
α
β
:
:
x y z
x y z
+ + =
− − =
0
0
é aproximadamente:
a) 60°
b) 70°
c) 90°
d) 45°
e) 30°
157
Álgebra Linear
Autor: David Poole
Editora: Thomson Pioneira
Sinopse: esta obra traz o conteúdo de álgebra linear em uma linguagem simples 
e direta. Há muitos problemas resolvidos ao longo do texto.
Comentário: a leitura do Capítulo 3 desta obra é recomendada.
LIVRO
158
BOULOS, P.; CAMARGO, I. Geometria Analítica - Um Tratamento Vetorial. 3. ed. São Paulo: Ed. Pearson, 2004.
SANTOS, F. J.; FERREIRA, S. F. Geometria Analítica. 1. ed. São Paulo: Ed. Bookman, 2009.
WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: Ed. Pearson, 2014.
159
1. A resolução deste problema é muito simples, basta utilizar as coordenadas do ponto P (que pertence ao 
plano) e do vetor normal ao plano na Equação (1). Fazendo isso, temos:
x y z+( ) − −( ) + −( ) =1 1 0 2 2 0
Desenvolvendo esta equação, temos:
x y z1 2 4 0,
x y z2 3 0.
E esta última é a equação do plano com as características dadas no problema. Portanto, a alternativa 
correta é a C.
2. Como a reta passa pelos dois pontos dados, então o vetor PQ
� ���
� � � �� � � �� �1 1 2 0 0 1 0 2 1,� ,� , , é o vetor dire-
tor da reta, pois este vetor é paralelo à reta. Neste caso, podemos usar tanto P como Q para escrever a 
equação da reta. Usando P , temos:
x
y
z
=
=
= −
1
2
1
λ
λ
Essas são as equações paramétricas da reta. Portanto, a alternativa correta é a A.
3. Este problema é muito simples. Conforme foi colocado no texto, os coeficientes das variáveis x , y e z são 
as coordenadas do vetor normal ao plano. Neste caso, temos que 
n � �� �1 2 1, , . Portanto, a alternativa 
correta é a E.
4. Para as retas serem ortogonais, o produto escalar entre seus vetores diretores deve ser igual a zero. O 
vetor normal da reta r é m m� � �� �1 1 2,� ,� e da reta s é 2 0 3, ,� �. Calculando o produto escalar, temos:
2 1 1 0 2 3 0. . . .m m�� � � �� � � �� � �
Como o produto escalar deve ser nulo, devemos ter m = 1
2 . A alternativa correta é a D.
160
5. Primeiramente, devemos encontrar os vetores normais aos planos, os quais são:
na � � �1 1 1, , e 
nb � � �� �1 1 1, , .
Calculando o módulo e o produto escalar entre eles, obtemos:
na = 3.
nb � � �� � � �� � �1 1 1 32 2 2 .
n n = + −( ) + −( ) = −1 1 1 1 1 1 1. . . .α β.
Assim,
cos
.
.q �
�
� �
1
3 3
1
3
cos .q =
1
3
Utilizando uma calculadora científica, podemos determinar o ângulo:
q � �
�
�
�
�
� �
�cos , .1 1
3
70 5o
Logo, a alternativa correta é a letra B.
161
162
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Reconhecer os postulados que definem espaços e subes-
paços vetoriais. Identificar se um dado conjunto corres-
ponde a um espaço vetorial.
• Identificar a condição para um conjunto de vetores ser 
linearmente independente.
• Identificar os conceitos de combinação linear, base e di-
mensão de um espaço vetorial.
• Construir a matriz mudança entre bases de um espaço 
vetorial. 
Espaços e 
Subespaços Vetoriais
Combinação Linear Base e Dimensão
Mudança de BaseIndependência Linear
Dr. Ronni Amorim 
Dr. Ricardo Fragelli
Dr. Vinícius Rispoli
Espaços e Subespaços 
Vetoriais
Espaços e 
Subespaços Vetoriais
Prezado(a) aluno(a), na Unidade 4, você estudou 
sobre vetores no plano e no espaço. Você percebeu 
que os vetores satisfaziam algumas propriedades 
interessantes e peculiares. Nesta unidade, as ideias 
apresentadas na Unidade 4 serão generalizadas 
por meio do conceito de espaços vetoriais. Você 
perceberá, ainda, que a noção que você possui 
acerca dos vetores também ficará mais abrangente. 
Sendo assim, aproveiteo conteúdo desta unidade, 
pois ele lhe será útil no decorrer de todo o curso.
Antes de ingressar definitivamente no assunto 
da unidade, considere a seguinte história. Supo-
nha que você tenha comentado que estudaria sobre 
espaços vetoriais nas próximas semanas com um 
amigo que, além de entender de matemática, tam-
bém gosta bastante de pintar. Nessa conversa, o 
seu amigo diz que o assunto espaços vetoriais tem 
muito a ver com a obtenção das cores utilizando 
cores primárias. Seu amigo comenta ainda sobre 
situações envolvendo combinações lineares e bases 
de espaços vetoriais. Você, mesmo confiando na 
competência do seu amigo, fica com um pé atrás, 
desconfiando da suposta relação entre cores e este 
165UNIDADE VI
assunto tão abstrato da álgebra linear. Conforme você verá no fim da unidade, o seu 
amigo tem razão neste aspecto da relação entre a obtenção de cores e os espaços vetoriais.
Nesta seção, serão introduzidos os conceitos de espaço e subespaço vetorial. Con-
forme você notará, a apresentação será bem mais abstrata que nas unidades anteriores. 
Contudo, à medida que a apresentação do conteúdo for sendo realizada, estabelece-
remos a conexão com os conteúdos já estudados. 
Até a Unidade 5, representávamos vetores usando uma seta sobre a letra. Contu-
do, nesta unidade, estes objetos matemáticos serão representados por uma letra em 
negrito. A razão desta mudança é que o conceito de vetores é algo muito mais geral 
do que aquele já estudado, conforme você perceberá ao longo da unidade. No entan-
to, quando tratarmos de vetores nos espaços bi ou tridimensional, continuaremos 
usando a seta sobre a letra. Ou seja, representaremos vetores com setas sobre as letras 
somente nos casos específicos dos espaços bi e tridimensional.
DEFINIÇÃO 1
Seja um conjunto V , não vazio, sobre o qual são definidas duas operações chamadas 
de adição e multiplicação por escalar, as quais são fechadas em V , isto é:
 • Adição: ∀ ∈ + ∈u v u vV V .
Lembre-se que o símbolo ∀ significa para todo. Assim, o enunciado anterior quer 
dizer que, na adição, a soma de quaisquer dois vetores que pertençam ao conjunto 
V , também pertence a V . Isso significa que a operação é fechada no conjunto.
 • Multiplicação por escalar: ∀ ∈ ∈ ∈λ λRe V Vu u .
Este enunciado diz que, se multiplicarmos um número real por qualquer ele-
mento do conjunto V , obtemos como resultado um elemento de V .
O conjunto V com essas duas operações é denominado de Espaço Vetorial Real se 
forem verificados os seguintes axiomas: 
Considere u v w,� ,� �∈V e λ µ,� �∈R .
1. u v w u v w� �� � � �� � �
2. u v v u� � �
3. Existe 0 �∈V , tal que 0 0� � � �v v v
4. Existe �� ��v � V , tal que � � �v v 0
166 Espaços e Subespaços Vetoriais
5. l l lu v u v�� � � �
6. λ µ λ µ�� � � �v v v
7. λµ λ µ� � � � �v v
8. 1v v=
Estes axiomas são denominados axiomas de espaço vetorial (HOLT, 2016).
Qualquer conjunto que satisfaz a esses axiomas é denominado espaço vetorial. Se 
qualquer um dos axiomas não for satisfeito, não temos um espaço vetorial. Os dois 
conjuntos já estudados no curso, o R2 e o R3 , são exemplos de espaços vetoriais. Os 
elementos de um espaço vetorial são denominados vetores. Vejamos o exemplo a seguir.
Mostre que o R3, munido da adição e multiplicação por escalar apresentadas na 
Unidade 4, é um espaço vetorial.
Para resolver este exemplo, recordemo-nos que um vetor no R3 pode ser re-
presentado por uma tripla ordenada na forma u u u u� � �1 2 3,� , . Lembremos ain-
da que a soma de dois vetores 
u u u u� � �1 2 3,� , e v v v v� � �1 2 3,� , é definida como 
 u v u v u v u v� � � � �� �1 1 2 2 3 3,� , e o produto por um escalar l é definido por 
l l l l
u u u u� � �1 2 3,� , . Assim, dados os vetores u u u u� � �1 2 3,� , , 
v v v v� � �1 2 3,� , e 
w w w w� � �1 2 3,� , pertencentes ao R3 e λ µ,� �pertencentes a R , devemos mostrar que 
os oito axiomas são satisfeitos. Então faremos isso.
(1) � � �u v w u u u v v v w w w+ +( ) = ( ) + ( ) + ( )( )1 2 3 1 2 3 1 2 3, , ,
= ( ) + + + +( )u u u v w v w v w1 2 3 1 1 2 2 3 3, ,
= + + + + + +( )u v w u v w u v w1 1 1 2 2 2 3 3 3, .
Como os componentes dos vetores são números reais, e a adição de números 
reais é associativa, podemos escrever:
� � �u v w u v u v u v w w w+ +( ) = + + +( ) + ( )1 1 2 2 3 3 1 2 3, ,
= ( ) + ( )( ) + ( ) = +( ) +u u u v v v w w w u v w1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , .� � �
1 EXEMPLO
167UNIDADE VI
(2) � �u v u u u v v v+ = ( ) + ( ) =1 2 3 1 2 3, , u v u v u v1 1 2 2 3 3� � �� �,� ,
Contudo, as componentes dos vetores são números reais e, por isso, podemos 
inverter a ordem das parcelas sem alterar a soma. Assim:
   u v u v u v u v v u v u v u v u� � � � �� � � � � �� � � �1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3,� , � ,� , �
(3) Sabemos que o vetor nulo do R3 é o vetor 

0 0 0 0� � �, , , e ele claramente satisfaz 
as condições dadas no axioma 3.
(4) Sabemos que o vetor oposto a 
v é � � � � �� �v v v v1 2 3, � , e que este vetor 
claramente satisfaz a condição dada no axioma 4.
(5) λ λ λ λ λ
� �u v u v u v u v u v u v u v+( ) = + + +( )( ) = + +( ) +1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3, ( ), (( )( ) = + + +( ) = ( ) +λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λu v u v u v u u u v v1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2, , , vv3( )
λ λ λ λ λ
� �u v u v u v u v u v u v u v+( ) = + + +( )( ) = + +( ) +1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3, ( ), (( )( ) = + + +( ) = ( ) +λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λu v u v u v u u u v v1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2, , , vv3( )
λ λ λ λ λ
� �u v u v u v u v u v u v u v+( ) = + + +( )( ) = + +( ) +1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3, ( ), (( )( ) = + + +( ) = ( ) +λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λu v u v u v u u u v v1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2, , , vv3( )
λ λ λ λ λ
� �u v u v u v u v u v u v u v+( ) = + + +( )( ) = + +( ) +1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3, ( ), (( )( ) = + + +( ) = ( ) +λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λu v u v u v u u u v v1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2, , , vv3( ) 
λ λ λ λ λ
� � � �u v u u u v v v u v+( ) = ( ) + ( ) = +1 2 3 1 2 3, , .
Na demonstração deste axioma, utilizamos a propriedade distributiva da multipli-
cação de números reais.
(6) λ∝ λ∝ λ∝ λ∝ λ∝( ) = ( )( ) = ( )�v v v v v v v1 2 3 1 2 3, , ,λ µ,� � λ µ,� � λ µ,� � λ µ,� � λ µ,� �
Usando a comutatividade da multiplicação de números reais, temos:
λ∝ λ∝ λ∝ λ∝ λ ∝ ∝ ∝ λ ∝( ) = ( ) = ( ) = ( )� �v v v v v v v v1 2 3 1 2 3, , .λ µ,� � λ µ,� � λ µ,� � λ µ,� � λ µ,� �λ µ,� � λ µ,� � λ µ,� �
(7) 1 1 1 1 11 2 3 1 2 3 1 2 3
� �v v v v v v v v v v v= ( ) = ( ) = ( ) =, , ,
O 1 é o elemento neutro da multiplicação de números reais.
168 Espaços e Subespaços Vetoriais
Com isso, verificamos que o R3 é de fato um espaço vetorial, pois satisfez os oito axiomas.
Outros exemplos de espaços vetoriais:
• O Rn , ou seja, o conjunto dos vetores representado por n-uplas, v � �� �v v vn1 2,� , , .
• O conjunto constituído pelas matrizes Mn m× com as operações usuais de 
multiplicação de matrizes e multiplicação de matriz por número real.
• O espaço constituído pelo conjunto das funções reais com as operações de 
soma e produto por escalar definidos por f g x f x g x�� �� � � � � � � � e 
l lf x f x� �� � � � �.
Você deve verificar, como exercício, que os conjuntos acima são de fato espaços vetoriais.
Agora você observará um exemplo de um conjunto que não é um espaço vetorial.
Considere o conjunto W de todos os pares ordenados de números reais com as 
seguintes operações definidas
• Adição: x y x y x x y y1 1 2 2 1 1 1 2,� ,� ,�� � � � � � � �� �
• Multiplicação por escalar: l lx y x y1 1 1 1,� ,�� � � � �
Verifique se W é um espaço vetorial.
Note que a multiplicação por escalar definida neste exemplo não é a usual. Você 
poderá verificar que quase todos os axiomas são satisfeitos, exceto o sexto. Observe:
λ µ λ µ�� �� � � �� �� �x y x y1 1 1 1,� ,� ,
note que não podemos colocar os coeficientes λ µ,� em evidência, descaracterizando 
assim o axioma 6. Portanto W , com as operações assim definidas, não é um espaço 
vetorial.
A seguir são apresentadas algumas propriedades dos espaços vetoriais.
• O vetor nulo de um dado espaço vetorial é único.• O vetor simétrico de u representado por−u é único.
Iremos provar a primeira propriedade dada acima. A demonstração da segunda é 
similar. Antes, para você ir se acostumando com a nomenclatura matemática, enun-
ciaremo-na mediante um teorema.
2 EXEMPLO
169UNIDADE VI
O vetor nulo de um dado espaço vetorial é único.
Demonstração: a prova será feita por contradição. Suponha que um espaço vetorial 
V possua dois vetores nulos 01 e 02 . Então, ambos devem satisfazer:
v v v� � � ��0 01 1
v v v+ = + =0 02 2
Assim, v v� � �� �0 01 2 , donde concluímos que 0 01 2= . Ou seja, se houver dois vetores 
nulos, eles devem ser iguais. Portanto, o vetor nulo é único (ANTON; RORRES, 2012). 
Agora que você já sabe o que é um espaço vetorial, podemos apresentar a definição 
de uma estrutura matemática tão importante quanto. A essa estrutura denominamos 
subespaço vetorial. Um subespaço vetorial é um subconjunto de um espaço vetorial que 
por si só satisfaz os axiomas de um espaço vetorial. Sendo assim, podemos classificar os 
subespaços vetoriais como sendo espaços vetoriais contidos em espaços vetoriais mais 
amplos. Formalmente, podemos apresentar a definição de subespaço vetorial como:
TEOREMA1
DEFINIÇÃO 2
Um subconjunto W de um espaço vetorial V é denominado subespaço vetorial de 
V se W for um espaço vetorial por si só com as operações de adição e multiplicação 
por escalar definidas em V .
Em outras palavras, dado um espaço vetorial V , um subconjunto W , não vazio, será 
um subespaço vetorial de V se:
I. Para quaisquer u e v pertencentes a W tivermos u v+ pertencente a W .
II. Para quaisquer l � pertencente aos reais e u pertencente a W tivermos lu 
também pertencente a W .
Perceba que, para verificar se um dado conjunto é subespaço de outro, basta verificar 
se os seus elementos satisfazem as duas condições dadas acima. Dessa forma, você 
terá mostrado que tal conjunto é, por si só, um espaço vetorial.
Algumas observações consequentes da definição (LIMA, 2016):
• Devido ao fato do vetor nulo de um dado espaço vetorial V ser único, qualquer 
subespaço W de V conterá o vetor nulo de V .
• Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços, quais sejam: o con-
junto formado somente pelo vetor nulo e o próprio espaço vetorial. Tais su-
bespaços são denominados subespaços triviais.
170 Espaços e Subespaços Vetoriais
Para exemplificar a noção de subespaço vetorial, tomemos o caso do R2. Já sabemos 
que o R2 é um espaço vetorial, pois seus elementos satisfazem todos os oito axiomas. 
Considere então o exemplo a seguir.
Mostre que o subconjunto W x y y x= ( ) ={ }, / 2 é um subespaço do R2.
Antes de resolvermos este problema, perceba que W nada mais é que o con-
junto de pares ordenados que pertencem à reta y x= 2 . Assim, podemos escre-
ver W simplesmente como W x x� � �� �,2 . Um vetor para pertencer a W deve 
possuir a forma v � � �x x,2 . Por exemplo, 0 0,� � , 1 2 3 6, ,( ) − −( ) pertencem a 
W , enquanto 2 3,� �, �� �1 2, não pertencem. Agora, para mostrar que W é um su-
bespaço de R2, devemos verificar as duas condições estabelecidas na Definição 2. 
Para isso, considere v1 1 12� � �x x, e v2 2 22� � �x x, . Assim, temos:
I. v v1 2 1 1 2 2 1 2 1 22 2 2 2� � � � � � � � � �� �x x x x x x x x, , ,� ,
v v1 2 1 2 1 22� � � �� �� �x x x x,�
Note que, em v v1 2+ , a segunda coordenada é o dobro da primeira, satisfazendo 
assim a condição para pertencer a W .
II. l l l lv1 1 1 1 12 2� � � � � �x x x x, , .
Observe que em lv1, a segunda coordenada é o dobro da primeira, satisfazendo assim 
a condição para pertencer a W .
Como as duas condições foram satisfeitas, o conjunto W é um subespaço do R2.
De uma forma geral, pode-se mostrar que qualquer reta que passa pela origem é 
um subespaço de R2. 
Mostre que o subconjunto W x y z x y z= ( ) − + ={ }, , 2 0 é um subespaço do R3.
Antes de mostrarmos que W é um subespaço do R3, note que a equação 
x y z� � �2 0 representa um plano que passa pela origem. 
Podemos isolar qualquer uma das variáveis na equação dada, de forma a obtermos 
o vetor genérico que pertença a W . Assim temos: x y z� �2 e um vetor de W possui 
a forma v � �� �2y z y z, , . Note que em um vetor qualquer de W , a primeira coor-
denada é igual a duas vezes a segunda menos a terceira. Devemos então demonstrar 
as duas condições dadas na Definição 2. Para isso, considere v1 1 1 1 12� �� �y z y z, , 
e v2 2 2 2 22� �� �y z y z, , . Assim, temos:
3 EXEMPLO
4 EXEMPLO
171UNIDADE VI
v v1 2 1 1 1 1 2 2 2 22 2� � �� � � �� �y z y z y z y z, , , ,
v v1 2 1 1 2 2 1 2 1 22 2� � � � � � �� �y z y z y y z z,� ,�
v v1 2 1 2 1 2 1 2 1 22+ = +( ) − +( ) + +( , .y y z z y y z z
Note que em v v1 2+ , a primeira coordenada é igual a duas vezes a segunda menos 
a terceira, satisfazendo assim a condição para pertencer a W .
l l l l l lv1 1 1 1 1 1 1 1 12 2� �� � � �� �y z y z y z y z, , , , .
Observe que em lv1 , a segunda coordenada é igual a duas vezes a segunda menos 
a terceira, satisfazendo assim a condição para pertencer a W .
Como as duas condições foram satisfeitas, o conjunto W é um subespaço do R3.
Da forma geral, podemos mostrar que as retas e os planos que passam pela origem 
são subespaços de R3. 
Outro exemplo que podemos considerar é que os polinômios constituem um 
subespaço vetorial do espaço das funções contínuas. Lembre-se que um polinômio 
é uma expressão da forma p x a a x a xn
n� � � � ���0 1 . E todo polinômio é uma 
função contínua. É de conhecimento que a soma de dois polinômios também é 
um polinômio e que um produto de um escalar por um polinômio também é um 
polinômio. Assim sendo, o conjunto de todos os polinômios é fechado em relação à 
soma e multiplicação por escalar. Assim, o conjunto dos polinômios é um subespaço 
vetorial do espaço vetorial das funções contínuas. 
Outros exemplos de subespaços vetoriais serão apresentados nos exercícios 
desta unidade.
Um item relevante no estudo de subespaços vetoriais é a operação de interseção 
de subespaços. A noção de interseção é a mesma quando tratamos da interseção de 
conjuntos, ou seja, na interseção de dois conjuntos sempre admitimos os elementos 
que aparecem simultaneamente em ambos. Com subespaços vetoriais, a ideia é a 
mesma, na interseção de dois subespaços consideramos aqueles elementos (vetores) 
que estão simultaneamente em ambos. A pergunta colocada passa a ser: o conjunto 
formado pela interseção de dois subespaços vetoriais seria por si só um subespaço 
vetorial? Essa pergunta será respondida mediante um teorema (FRANCO, 2016). 
172 Espaços e Subespaços Vetoriais
Dados W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V , a interseção W W1 2∩ � também 
é um subespaço de V .
Demonstração: já sabemos que qualquer subespaço de V possui o vetor nulo de V , dessa 
forma, a interseção W W1 2∩ � nunca será um conjunto vazio. Além disso, para caracterizar 
W W1 2∩ � como um subespaço de V , devemos mostrar que os elementos da interseção 
satisfazem as duas condições dadas na Definição 2. 
I. Sejam v e w vetores pertencentes a W W1 2∩ � . Então, v e w pertencem a W1 e 
também a W2 . Como W1 e W2 são subespaços vetoriais de V , v w+ pertence 
a W1 e W2 e, portanto, pertence a W W1 2∩ � , satisfazendo, assim, a primeira 
condição.
II. Seja v um vetor pertencente a W W1 2∩ � . Então, lv pertence a W1 e também 
a W2 . Como W1 e W2 são subespaços vetoriais de V , lv pertence a W1 e 
W2 , e, portanto, pertence a W W1 2∩ � , satisfazendo assim, a segunda condição.
Como as duas condições dadas na Definição 2 foram satisfeitas, segue que W W1 2∩ � 
também é um subespaço vetorial de V .
Considere dois subespaços vetoriais de R2 dados por 
W x y y x1 2= ( ) ={ }, /
W x y y x2 5= ( ) = −{ }, /
Vemos que W1 e W2 são duas retas que passam pela origem. A interseção desses con-
juntos é justamente o vetor (ou ponto) 
v � � �0 0, (para verificar isso, basta resolver 
as duas equações, y x= 2 e y x� �5 , simultaneamente). Sabemos que 
v �� �0 0, é o 
vetor nulo de V e, portanto, o conjunto por ele formado, W W1 2 0 0∩ = ( ){ }, é um dos 
subespaços triviais de V .
Conforme você pode verificar, se tivermos dois planos que passam pela origem, 
os quais são subespaços de R3, a sua interseção é uma reta que passa pela origem, 
sendo também um subespaço de R3.
Na sequência, você estudará alguns conceitos fundamentais ao arcabouço teórico 
do espaço vetorial, os quais são: combinação linear; independência linear; e base.
TEOREMA2
5 EXEMPLO
173UNIDADE VI
Neste tópico, você estudará o conceito de combi-
nação linear, bem como alguns teoremas associa-
dos. Na essência, uma combinação linear é uma 
forma de se obter novos vetores de um espaço 
vetorial a partir de um conjunto de vetores dados.
Combinação 
Linear
174 Espaços e Subespaços Vetoriais
Veja um exemplo prático de combinação linear.
Escreva o vetor 
u � �� �8 13 3, , como combinação linear os vetores 
v1 1 4 1� �� �, , e 
v2 2 1 1� �� �, , .
Resolução: Devemos escrever   u a v a v� �1 1 2 2 . Ou seja, devemos descobrir quais 
são os coeficientes a a1 2,� . Para isso, escrevamos:
�� � � �� � � �� �8 13 3 1 4 1 2 1 11 2, , , , , , .a a
Obtemos o sistema
a a
a a
a a
1 2
1 2
1 2
2 8
4 13
3
� � �
� �
� � �
�
�
�
�
�
,
o qual possui como solução a1 2= e a2 5= . Portanto, podemos escrever
�� � � �� � � �� �8 13 3 2 1 4 1 5 2 1 1, , , , , , .
Escreva o vetor 
u � �� �2 3, como combinação linear os vetores 

i � � �1 0, e 

j � � �0 1, .
Resolução: Procedendo da mesma forma que no exemplo anterior, obtemos
�� � � � � � � � �2 3 2 1 0 3 0 1, , , .
Perceba que sempre que utilizarmos 

i � � �1 0, e 

j � � �0 1, para escrever outro vetor 
pertencente ao R2 , obtemos, como coeficientes, as componentes do vetor.
6 EXEMPLO
7 EXEMPLO
DEFINIÇÃO 3
Dizemos que um vetor u pertencente a um espaço vetorial V é uma combinação li-
near dos vetores v v vn1 2 , ,⊃u v v vn� � ���a a an1 1 2 2 , pertencentes a V se u puder ser escrito na forma
u v v vn� � ���a a an1 1 2 2 ,
em que a a an1 2,� , ,�…u v v vn� � ���a a an1 1 2 2 , são números reais (escalares) denominados coeficientes da 
combinação linear.
175UNIDADE VI
Para fixar as ideias advindas da Definição 4, considere o exemplo a seguir.
Determine se v1 1 0 1� �� �, , , v2 0 1 2� � �, , e v3 1 1 1� �� �, , geram o R3 .
Resolução: para que os vetores dados gerem o R3 , é necessário que qualquer vetor 
do R3 possa ser escrito como combinação linear deles. Assim, considere o vetor 
genérico pertencente ao R3 dado por x y z, ,� � . Devemos ter:
x y z a v a v a v, ,� � � � �1 1 2 2 3 3
  
x y z a a a, , , , , , , , .� � � �� � � � � � �� �1 2 31 0 1 0 1 2 1 1 1
O que nos fornece os sistema de equações
a a x
a a y
1 3
2 3
2
Para que esse sistema seja consistente para quaisquer valores de x , y e z , o deter-
minante da matriz dos coeficientes deve ser diferente de zero, conforme você estudou 
na Unidade 2. Isso nos fornece
det
1 0 1
0 1 1
1 2 1
4.
Dessa forma, podemos garantir que os vetores dados geram o R3 .
8 EXEMPLO
DEFINIÇÃO 4
Uma vez definidos os vetores v v vn1 2 , ,⊃u v v vn� � ���a a an1 1 2 2 , pertencentes ao espaço vetorial V , o con-
junto W � de todos os vetores de V que são combinações lineares destes é um subes-
paço vetorial. O conjunto W �é denominado subespaço gerado por v v vn1 2 , ,⊃u v v vn� � ���a a an1 1 2 2 ,, e é 
denotado por ger W� � .
Uma propriedade bastante importante às combinações lineares é a noção do subes-
paço gerado. Notaremos este fato observando a definição a seguir.
176 Espaços e Subespaços Vetoriais
Neste tópico, você estudará outro ingrediente fun-
damental no arcabouço de espaços vetoriais. O 
conceito de independência linear, conforme será 
visto, é fundamental na definição de base de um 
espaço vetorial. A definição deste conceito será 
fornecido a seguir.
Independência 
Linear
177UNIDADE VI
Observação: uma observação importante é que se os vetores v v vn1 2 , ,⊃a a an1 1 2 2 0v v vn� ��� � , são li-
nearmente independentes, nenhum deles pode ser escrito como combinação linear 
dos outros.
Para fixar o último conceito, vejamos o exemplo a seguir.
Determine se os vetores 
v1 1 1� �� �, e v2 1 0� � �, são linearmente independentes.
Resolução: usando a Definição 5, escrevemos a equação:
a a1 21 1 1 0 0 0, , , .�� � � � � � � �
Esta equação induz o sistema
a a
a
1 2
1
0
0
� �
� �
�
�
�
,
o qual possui a solução a1 0= e a2 0= . Portanto, os vetores dados são linearmente 
independentes. 
Podemos utilizar o último exemplo para enfatizar a importância de se conhecer se 
um conjunto de vetores é linearmente independente ou não. Por exemplo, o conjunto 
de vetores W = −( ) ( ) ( ){ }1 1 1 0 1 1, , ,, geram o R2, conforme você pode confirmar. Con-
tudo, você pode verificar também que o conjunto W não é linearmente independente. 
Dessa forma, um dos vetores é supérfluo para gerar o R2 e descrever este espaço.
9 EXEMPLO
DEFINIÇÃO 5
Sejam V um espaço vetorial e v v vn1 2 , ,⊃a a an1 1 2 2 0v v vn� ��� � , vetores a ele pertencentes. Dizemos que 
o conjunto formado pelos vetores v v vn1 2 , ,⊃a a an1 1 2 2 0v v vn� ��� � , é linearmente independente, ou que 
os vetores v v vn1 2 , ,⊃a a an1 1 2 2 0v v vn� ��� � , são linearmente independentes, se a equação
a a an1 1 2 2 0v v vn� ��� � ,
Implica que a a an1 2 0� ��� � . Se algum dos coeficientes ai for diferente de zero, 
dizemos que os vetores v v vn1 2 , ,⊃a a an1 1 2 2 0v v vn� ��� � , são linearmente dependentes. 
178 Espaços e Subespaços Vetoriais
Nesta seção, você aprenderá como determinar se 
em um dado conjunto de vetores que geram um 
espaço vetorial, todos os vetores a ele pertencentes 
são realmente necessários para construir outros 
vetores que pertencem a este espaço. Em outras 
palavras, você aprenderá se um dado conjunto de 
vetores constitui uma base de um espaço vetorial. 
No R2, um exemplo de base são os vetores uni-
tários 

i e 

j , pois conforme você viu em unida-
des anteriores, por meio deles podemos escrever 
qualquer outro vetor pertencente ao plano. Nesta 
seção, você confirmará que tais vetores unitários 
de fato satisfazem os requisitos para ser base.
Base e 
Dimensão
179UNIDADE VI
Vejamos alguns exemplos para que você fixe bem o último conceito apresentado.
Determine se o conjunto W = −( ) ( ){ }1 1 1 0, , é uma base de R2.
Resolução: precisamos verificar se o conjunto dado satisfaz os dois requisitos esta-
belecidos na Definição 6. No exemplo 8, já foi mostrado que os vetores pertencentes 
ao conjunto W são linearmente independentes. Neste caso, resta-nos verificar se eles 
geram o R2. Dessa forma, precisamos verificar se o vetor genérico do R2, dado por 
v x y� � �, , pode ser escrito como combinação linear dos elementos de W . Assim, temos:
x y a a, , .( ) = −( ) + ( )1 21 1 1 0
Isso nos leva a 
a a x
a y
1 2
1
� �
� �
�
�
�
.
O determinante da matriz dos coeficientes deste sistema é igual a 1, ou seja, é diferente 
de zero. Portanto, W gera o R2. Assim, concluímos que W é base do R2.
Conforme você pode verificar, o conjunto 3 0 1 0, ,( ) ( ){ } não é uma base de R2. Perceba 
que os vetores são múltiplos (linearmente dependentes), ou seja, são paralelos. Ou 
melhor, estão sobre uma mesma reta. E sabemos que vetores que estão sobre uma 
mesma reta não podem ser usados para escrever qualquer outro vetor do plano, pois 
a reta tem apenas uma dimensão. Para representar um vetor no R2, são necessários 
pelo menos dois vetores linearmente independentes.
O conjunto 1 2 1 2 9 0, , ,� , ,� � � �� � é linearmente independente, mas não gera o R3. Dessa 
forma, o conjunto dado não é uma base do R3. De fato, conforme vimos na Unidade 
5, dois vetores definem um plano. Como o conjunto dado possui apenas dois veto-
10 EXEMPLO
11 EXEMPLO
12 EXEMPLO
DEFINIÇÃO 6
Um conjunto de vetores { , , }v v vn1 2 ⊃a a an1 1 2 2 0v v vn� ��� � , pertencente a um espaço vetorial V é uma 
base de V se os doisrequisitos seguintes forem satisfeitos:
I. { , , }v v vn1 2 ⊃a a an1 1 2 2 0v v vn� ��� � , deve ser linearmente independente;
II. { , , }v v vn1 2 ⊃a a an1 1 2 2 0v v vn� ��� � , deve gerar V .
180 Espaços e Subespaços Vetoriais
res, eles podem ser usados para construir apenas vetores que estejam contidos no 
mesmo plano definido por eles. Para representar um vetor no R3, são necessários 
pelo menos três vetores.
O conjunto 1 0 0 1, ,( ) ( ){ } é denominado base canônica do R2. E o conjunto 
1 0 0 0 1 0 0 0 1, , ,� , , ,� , ,� � � � � �� � é denominado base canônica do R3. Repare que tais con-
juntos correspondem aos vetores unitários relativos aos espaços vetoriais citados, 
conforme foi visto na Unidade 4. Fica com você a tarefa de verificar que os conjuntos 
dados são realmente bases dos respectivos espaços vetoriais mencionados.
Agora que você já sabe o que é uma base, surge a questão: duas bases distintas de 
um mesmo espaço vetorial podem possuir quantidades diferentes de elementos? A 
resposta é não. A justificativa aparece no teorema apresentado a seguir.
Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos.
Como consequência do Teorema 3, decorre a definição de dimensão de um es-
paço vetorial.
13 EXEMPLO
TEOREMA3
DEFINIÇÃO 7
O número de vetores que constituem uma base, o qual é constante para todas as ba-
ses de um mesmo espaço vetorial V , é denominado dimensão de V e representado 
por dimV .
Como exemplo, podemos inferir que a dimensão do plano é 2, ou seja, dim .�R2. E a 
dimensão do R3 é 3, ou seja, dim .R3
De forma a fixar os conceitos apresentados até aqui, considere o exemplo a seguir.
Considere o espaço vetorial D constituído das matrizes diagonais de ordem 2. Qual 
é a dimensão de D? Escreva uma base para D. (Como tarefa, mostre que D é um 
subespaço das matrizes quadradas de ordem dois.)
Resolução: um elemento genérico de D pode ser escrito como:
v � �
�
�
�
�
�
a
b
0
0
.
Perceba que v possui apenas duas varáveis independentes, a e b . Portanto, a dimensão 
de D é 2, ou seja, dimD = 2. 
14 EXEMPLO
181UNIDADE VI
Agora, perceba que v pode ser escrito como
v � �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
a
b
a b
0
0
1 0
0 0
0 0
0 1
,
logo, o conjunto a
1 0
0 0
0 0
0 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, gera D e é linearmente independente (confira 
essa última afirmação). Então a é uma base de D (a é a base mais simples de D, co-
nhecida como base canônica).
Considere agora a seguinte questão: dado um espaço vetorial V , você acha que 
seria possível utilizar uma base deste espaço para escrever um vetor de duas ou mais 
maneiras distintas? A resposta é não. O porquê você entenderá no teorema a seguir.
Dada uma base α = …{ , , }v v vn1 2 de V , então cada vetor v pertencente a V pode 
ser escrito de maneira única como combinação linear dos vetores de a .
Demonstração: a prova deste Teorema pode ser realizada por absurdo. Suponha que 
o vetor v possa ser representado de duas formas distintas utilizando a, as quais são:
v v v vn� � ���a a an1 1 2 2
e
v v v vn� � ���b b bn1 1 2 2 .
Assim, podemos escrever
a a a b b bn n1 1 2 2 1 1 2 2v v v v v vn n� ��� � � ��� ,
( ) ( ) ( ) .a b a b a bn n1 1 1 2 2 2 0− + − +…+ − =v v n
O que nos fornece: a b1 1= , a b2 2= , ..., a bn n= . Ou seja, se houver mais de uma 
representação, elas devem ser iguais.
E aí, você entendeu o Teorema 4? Então agora podemos introduzir a importante 
definição de coordenadas de um vetor. Você já sabe o significado de coordenadas de 
um vetor, pois isso foi introduzido na Unidade 4, mas o enfoque apresentado aqui 
será diferente, pois permitirá uma generalização do conceito, conforme você poderá 
ver na próxima seção.
TEOREMA4
182 Espaços e Subespaços Vetoriais
Observação: uma base ordenada é uma base em que a ordem dos vetores é fundamental.
Para que você compreenda melhor essa última definição, segue o exemplo.
Perceba que o vetor v � �� �2 3, pode ser escrito como v � � � � � �2 1 0 3 0 1, , na base 
α = ( ) ( ){ }1 0 0 1, , . Portanto v[ ] = −





α
2
3 .
O mesmo vetor v � �� �2 3, quando escrito na base β = −( ) ( ){ }1 1 1 0, , é dado por 
v � �� � � � �3 1 1 1 1 0, , . Portanto v[ ] = −





β
3
1 .
15 EXEMPLO
DEFINIÇÃO 8
Seja V um espaço vetorial e α = …{ , , }v v vn1 2 uma base ordenada de V . Se o vetor v 
pertencente a V for escrito na forma v v v vn� � ���a a an1 1 2 2 , escrevemos 
v� � �
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
��
a
a
a
an
1
2

e dizemos que v� �a representa as coordenadas de v na base a .
183UNIDADE VI
No decorrer do curso de engenharia, você perce-
berá que alguns problemas se tornam mais fáceis 
de resolver quando os vetores estão representados 
em uma base específica. Sendo assim, é indispen-
sável conhecer um método de se mudar os vetores 
de uma base para outra, e que seja válido para 
todos os vetores da base de origem. Este método é 
denominado mudança de base. Nesta seção, você 
aprenderá a construir a matriz mudança de base.
Considere então as bases α = …{ , , }v v vn1 2 
e β = …{ , , }u u un1 2 de uma espaço vetorial V . 
Dado um vetor v pertencente a V , podemos es-
crevê-lo utilizando qualquer uma das bases dadas, 
ou seja:
v v v vn� � ���a a an1 1 2 2 ,
v u u un� � ���b b bn1 1 2 2 .
Mudança 
de Base
184 Espaços e Subespaços Vetoriais
Dessa forma, podemos escrever
v� � �
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
��
a
a
a
an
1
2

,
 
v� � �
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
��
b
b
b
bn
1
2

.
Também podemos escrever os vetores u1 da base b utilizando os vetores da base a. 
Façamos isso:
u v v vn1 11 1 21 2 1� � ���c c cn
u v v v
u v v v
u v v
n
n
1 11 1 21 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1 2 2
� � ���
� � ���
� �
c c c
c c c
c c
n
n
n n n ����
�
�
�
�
� cnnvn
.
Substituindo essas equações em v u u un� � ���b b bn1 1 2 2 , obtemos:
v v v v v v v vn n� � ���� � � � ���� � ���b c c c b c c c b cn n n n1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2 1 11 2 2� ���� �c cn nnv vn .
Tal expressão pode ser escrita como
v v= + +…+( ) + + +…+( ) +…+b c b c b c b c b c b c bn n n n1 11 2 12 1 1 1 21 2 22 2 2 1cc b c b cn n n nn1 2 2+ +…+( )vn
Por outro lado, 
v v v vn� � ���a a an1 1 2 2 .
Assim, podemos escrever:
a c b c b c bn n1 11 1 12 2 1� � ��� �
a c b c b c bn n2 21 1 22 2 2� � ��� �
  � � � � � � � � � � � � � � � � � �
a c b c b c bn n n nn n= + +…+1 1 2 2
185UNIDADE VI
Essas últimas equações podem ser escritas no formato matricial como:
a
a
a
c c
c c
b
b
bn
n
n nn
n
1
2
11 1
1
1
2
� �
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
��
.
Ou seja, 
v v� � � � �α α
β
βC .
A matriz C
c c
c c
n
n nn
α
β �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
11 1
1
�
� � �
�
 é denominada matriz mudança da base b para a base a. 
Observação: Se conhecermos Cα
β e quisermos Cβ
α, basta tomarmos a inversa de Cα
β , 
pois C Cβ
α
α
β� � ��1
.
Dessa forma, fica estabelecido como construir a matriz mudança de base. Basta 
escrevermos os vetores da base antiga em termos dos vetores da nova base; dessa forma, 
a transposta da matriz dos coeficientes dessa equação matricial será a matriz mudança 
de base. Para ficar mais claro o conceito apresentado, façamos o exemplo a seguir.
Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo. 
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
 Sejam α = ( ) ( ){ }1 0 0 1, , e β = −( ) ( ){ }1 1 1 1, , bases de R2. Encontre: (a) a matriz 
mudança da base a para a base b ; (b) escreva o vetor 
v � �� �3 2, na base b usando 
a matriz encontrada no item anterior.
Resolução: resolver este problema é simples, basta que você tenha atenção.
Primeiramente, você deve escrever cada vetor da base antiga, que neste caso é a 
a, utilizando a base nova, que neste caso é a b . Assim, temos:
16 EXEMPLO
186 Espaços e Subespaços Vetoriais
1 0 1
2
1 1 1
2
1 1, , , ,� � � �� � � � �
0 1 1
2
1 1 1
2
1 1, , , .� � � � �� � �http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3%5Ctimes3%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3%5Ctimes3%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3%5Ctimes3%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B13%7D%3D2
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B13%7D%3D2
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B13%7D%3D2
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B32%7D%3D0
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B32%7D%3D0
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B32%7D%3D0
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B32%7D%3D0
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B32%7D%3D0
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B32%7D%3D0
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B32%7D%3D0
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B32%7D%3D0
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B32%7D%3D0
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B32%7D%3D0
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B32%7D%3D0
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B21%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B21%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B21%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B21%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B21%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B21%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B21%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B21%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B21%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B21%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B21%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B21%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B21%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B21%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B21%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B21%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B21%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B21%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B21%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B21%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B21%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B21%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B21%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B21%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Db_%7B21%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DC%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DC%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DC%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3%5Ctimes 2
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3%5Ctimes 2
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3%5Ctimes 2
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3%5Ctimes 2
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3%5Ctimes 2
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3%5Ctimes 2
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3%5Ctimes 2
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3%5Ctimes 2
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3%5Ctimes 2
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3%5Ctimes 2
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3%5Ctimes 2
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3%5Ctimes 2
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3%5Ctimes 2
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3%5Ctimes 2
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3%5Ctimes 2
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3%5Ctimes 2
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3%5Ctimes 2
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3%5Ctimes 2
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3%5Ctimes 2
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3%5Ctimes 2
17UNIDADE I
Outros exemplos que podem ser considerados são as matrizes correspondentes às 
Tabelas 1 e 2. No caso da Tabela 1, temos uma matriz de apenas uma coluna dada por
A �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
750
600
1000
600
.
Enquanto a Tabela 2 pode ser representada pela matriz B X�5 4 dada por
B =
















.
Igualdade de Matrizes
Dizemos que duas matrizes são iguais quando elas possuem a mesma ordem e seus 
elementos correspondentes são iguais. Por exemplo, as matrizes A am n ij m n× ×=[ ] é 
igual a B br s ij r s× ×=[ ] se m r= , n s= e a bij ij= para todo i j, .
Para você compreender melhor o conceito de igualdade matricial, façamos o 
exercício a seguir.
Determine os valores de x e y de forma que as matrizes A e B sejam iguais.
A
x
=
2
9 12�
�
�
�
�
�
�
B
y
=
2 2
9 3
.
�
�
�
�
�
�
�
�
Resolução: de acordo com o que aprendemos, para que as matrizes sejam iguais, 
primeiramente elas devem ter a mesma ordem, e essa exigência é satisfeita, pois am-
bas são de ordem 2 2× . Em segundo lugar, seus elementos correspondentes devem 
ser iguais; isso nos leva a concluir que x = 2− e 3 = 12y , ou seja, x = 2− e y = 4 .
Agora que você já sabe como representar uma matriz, estudaremos algumas 
matrizes especiais.
1 EXEMPLO
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_%7Bm%5Ctimes n%7D%3D(a_%7Bij%7D)_%7Bm%5Ctimes n%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_%7Bm%5Ctimes n%7D%3D(a_%7Bij%7D)_%7Bm%5Ctimes n%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_%7Bm%5Ctimes n%7D%3D(a_%7Bij%7D)_%7Bm%5Ctimes n%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_%7Bm%5Ctimes n%7D%3D(a_%7Bij%7D)_%7Bm%5Ctimes n%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_%7Bm%5Ctimes n%7D%3D(a_%7Bij%7D)_%7Bm%5Ctimes n%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_%7Bm%5Ctimes n%7D%3D(a_%7Bij%7D)_%7Bm%5Ctimes n%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_%7Bm%5Ctimes n%7D%3D(a_%7Bij%7D)_%7Bm%5Ctimes n%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB_%7Br%5Ctimes s%7D%3D(b_%7Bij%7D)_%7Br%5Ctimes s%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB_%7Br%5Ctimes s%7D%3D(b_%7Bij%7D)_%7Br%5Ctimes s%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB_%7Br%5Ctimes s%7D%3D(b_%7Bij%7D)_%7Br%5Ctimes s%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%3Dr
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dn%3Ds
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dn%3Ds
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dn%3Ds
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Da_%7Bij%7D%3Db_%7Bij%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Da_%7Bij%7D%3Db_%7Bij%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Da_%7Bij%7D%3Db_%7Bij%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Da_%7Bij%7D%3Db_%7Bij%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Da_%7Bij%7D%3Db_%7Bij%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Da_%7Bij%7D%3Db_%7Bij%7D
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dx
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dx
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dx
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dy
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dy
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dy
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dy
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dy
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dy
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dy
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dy
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dy
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dy
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA� �
Agora, basta colocar os elementos, transpondo-os, para constituir a matriz mu-
dança de base, ou seja,
Cβ
α �
��
�
�
�
��
�
�
�
�
��
1
2
1
2
1
2
1
2
.
E essa é a matriz mudança da base a para a base b . Podemos utilizá-la para mu-
dar qualquer vetor da base a para a base b . Em particular, vamos mudar o vetor 
v � �� �3 2, , o qual já está representado na base canônica a para a base b. Assim, temos:
v v� � � � �β β
α
αC ,
v� � �
��
�
�
�
��
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
��
�
�
�
�
��
b
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
5
2
1
2
.
Assim, o vetor dado quando escrito na base b é dado por v � � � � �
�
�
�
�
�v b
5
2
1
2
, .
Viu como foi fácil? Nas atividades de estudo, você terá a oportunidade de praticar o 
que foi estudado nesta seção.
Agora, voltemos à história do início da unidade. As cores podem de fato serem 
relacionadas com os conceitos que você estudou nesta unidade. Aquele seu amigo 
relatado no início da unidade, lembra? Pois é, ele tem razão. Você com certeza já ouviu 
falar das cores primárias. As cores primárias são: azul, amarelo e vermelho. Misturando 
essas cores em diferentes proporções, podemos obter outras cores. Por exemplo, se 
misturarmos o azul com o amarelo obtemos o verde; e se misturamos o amarelo com 
o vermelho obtemos o laranja. Nesse sentido, podemos dizer que as cores, em geral, 
podem ser classificadas como elementos de um espaço vetorial, sendo os vetores. 
187UNIDADE VI
No espaço vetorial das cores, a base é constituída pelas cores azul (z), amarelo (a) e 
vermelho (v), pois qualquer outra cor pode ser construída por meio de uma com-
binação linear desses três vetores. Seja c um vetor (uma cor) qualquer deste espaço, 
tal vetor pode ser representado por
c z a v= + +b b b1 2 3
Os coeficientes b1, b2 e b3 representam a proporção de cada cor primária que 
constituirá a mistura. 
Figura 1 - As cores primárias podem ser vistas como uma base do espaço vetorial das cores
A representação por cores primárias é só uma forma de se fazer a representação de 
vetores neste espaço. Outra forma, muito usual em computação gráfica, é o sistema 
de cores-luz, no qual a base é constituída pelas cores verde, vermelha e azul. Com isso, 
você pode perceber que para algo tão abstrato como um espaço vetorial podemos 
encontrar aplicações, mesmo as mais básicas como no sistema de cores. A matemática 
é realmente aplicável em tudo.
188 Espaços e Subespaços Vetoriais
A noção de vetor não se restringe apenas a aquelas semirretas orientadas que 
são utilizadas para representar força, deslocamento etc. Os vetores são estruturas 
matemáticas bem mais genéricas. Podemos dizer que um vetor é qualquer objeto 
que satisfaz as condições de um espaço vetorial. Nesse sentido, polinômios podem 
ser denominados de vetores.
Para finalizar, vamos considerar então o conjunto formado por todos os polinômios 
de grau menor ou igual a 2, representando-o por P2. Pode ser facilmente mostrado 
que o conjunto P2 satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial. Por exemplo, se 
você somar dois polinômios quaisquer, ambos de grau menor ou igual a 2, obtemos 
como resultado outro polinômio com mesma característica. Por outro lado, se mul-
tiplicarmos um polinômio de grau menor ou igual a 2 por um número real, obtemos 
como resultado um novo polinômio de mesmo grau que o original. Como P2 é um 
espaço vetorial, podemos definir uma infinidade de bases, sendo uma delas o conjunto 
a �� �1 2, ,x x . Perceba que a dimensão do espaço vetorial P2 é três, pois três vetores 
constituem qualquer base de P2. É também útil destacar que qualquer polinômio 
de grau menor ou igual a 2 (qualquer vetor pertencente a P2) pode ser escrito como 
combinação linear dos elementos de a. Então, quando você ler algo sobre espaços 
vetoriais, não fique imaginando apenas aquelas setinhas! 
Mistura das Cores
189
Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução.
1. Considere o conjunto W x y z x y z= ( ) − + ={ }, , 3 2 0 para responder os itens a 
seguir.
a) Mostre que W é um subespaço vetorial de R3.
b) Encontre uma base para W .
c) Qual é a dimensão de W ?
2. Seja a � �� � � � � �� �1 0 1 0 2 0 0 0 1, , ,� , , ,� , , uma base de R3. Se escrevermos o vetor 
v � �� �2 1 3, , como combinação linear dos vetores de a, ou seja, 
v a b c� �� � � � � � � �1 0 1 0 2 0 0 0 1, , , , , , ,
os coeficientes a, b e c valem, respectivamente:
a) 1, 2 e 3
b) -1, 1 e 2
c) 2, 1
2
 e 5
d) 1
2 , -2 e 5
e) 2, 1 e -1
3. Mostre que o conjunto α = −( ) −( ){ }2 1 0 3, , é uma base de R2.
190
4. Sejam α = −( ) −( ){ }2 0 0 1, , e β = −( ) −( ){ }3 1 1 3, , bases de R2. A matriz mudança 
da base a para a base b é:
a) 
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
��
3
2
1
1
2
3
b) 
� ��
�
�
�
��
�
�
�
�
��
3
4
1
8
1
4
3
8
c) 3
4
1
8
1
4
3
8
�
�
�
�
��
�
�
�
�
��
d) 
� �
� �
�
�
�
�
��
�
�
�
�
��
3
4
1
8
1
4
3
8
e) 3
4
1
8
1
4
3
8
� �
�
�
�
�
��
�
�
�
�
��
191
5. Se escrevermos o vetor 
v � �� �3 5, na base β = −( ) −( ){ }3 1 1 3, , , obtemos 
v a b� �� � � �� �3 1 1 3, , . Os coeficientes a e c valem, respectivamente:
a) 1 2 e
b) 2 2�e −
c) −1 5�� e
d) 3
2
1
2
�� e
e) 1
2
3
2
�� e
192
Álgebra Linear
Autor: Elon Lages Lima
Editora: IMPA
Sinopse: o presente livro apresenta uma exposição introdutória de Álgebra Li-
near. Ele não pressupõe conhecimentos anteriores sobre o assunto. Entretanto, 
convém lembrar que a posição natural de um tal curso no currículo universitário 
vem após um semestre (pelo menos) de Geometria Analítica a duas e três dimen-
sões, durante o qual o estudante deve adquirir alguma familiaridade, em nível 
elementar, com a representação algébrica de ideias geométricas e vice-versa. 
Comentário: livro recomendado ao estudante que deseja aprofundar os co-
nhecimentos sobre espaços vetoriais.
LIVRO
193
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. 10. ed. São Paulo: Editora Bookman, 2012.
FRANCO, N. M. B. Álgebra Linear. 1. ed. São Paulo: Editora Pearson, 2016.
HOLT, J. Álgebra Linear com Aplicações. 1. ed. São Paulo: Editora LTC, 2016.
LIMA, E. L. Álgebra Linear. 9. ed. Rio de Janeiro: Editora SBM, 2016.
194
1. 
a. Antes de mostrarmos que W é um subespaço do R3, note que a equação 3 2 0x y z� � � representa um 
plano que passa pela origem. 
Podemos isolar qualquer uma das variáveis na equação dada, de forma a obtermos o vetor genérico que 
pertença a W . Assim temos: y x z� �3 2 e um vetor de W possui a forma v � �� �x x z z, ,3 2 . Note que, 
em um vetor qualquer de W , a segunda coordenada é igual a três vezes a primeira mais duas vezes a 
terceira. Devemos então demonstrar as duas condições dadas na Definição 2. Para isso, considere 
v1 1 1 1 13 2� �� �x x z z, , e v2 2 2 2 23 2� �� �x x z z, , . Assim, temos:
v v1 2 1 1 1 1 2 2 2 23 2 3 2� � �� � � �� �x x z z x x z z, , , ,
v v1 2 1 2 1 2 1 2 1 23 2+ = +( ) + + +( ) +( , ( ) ( )).x x x x z z z z
Note que em, v v1 2+ , a segunda coordenada é igual a três vezes a primeira mais duas vezes a terceira, 
satisfazendo assim a condição para pertencer a W .
l l l l l lv1 1 1 1 1 1 1 1 13 2 3 2� �� � � �� �x x z z x x z z, , , , .
Observe que em, lv1, a segunda coordenada é igual a três vezes a primeira mais duas vezes a terceira, 
satisfazendo assim a condição para pertencer a W .
Como as duas condições foram satisfeitas, o conjunto W é um subespaço do R3.
b. A base para W pode ser encontrada considerando v � �� �x x z z, ,3 2 e isolando as variáveis indepen-
dentes da seguinte forma:
v = +( ) = ( ) + ( ) = ( ) + ( )x x z z x x z z x, , , , , , , .3 2 3 0 0 2 1 3 0 0 2 1
Note que o vetor genérico v de W pode ser representado com o uso dos vetores 1 3 0, ,� � e 0 2 1, ,� �. Logo, 
uma base para W é dada por 1 3 0 0 2 1, , , , ,� � � �� �.
A resposta do item (c) é nítida. Como a base de W tem dois vetores, então dimW = 2. Também podería-
mos ter dado essa resposta considerando o número de variáveis independentes dovetor genérico de W 
que também é igual a 2. Esse resultado já era esperado, pois W é o conjunto de vetores que pertencem 
ao plano 3 2 0x y z� � � , e qualquer plano tem dimensão igual a dois.
195
2. Essa questão é muito simples, basta fazermos:
2 1 3 2 1 0 1 1
2
0 2 0 5 0 0 1, , , , , , , .−( ) = −( ) − ( ) + ( )
Assim, a resposta correta é a alternativa c.
3. Precisamos verificar se o conjunto dado satisfaz os dois requisitos estabelecidos na Definição 6. Primeiro, 
devemos verificar se os vetores dados são linearmente independentes. Assim, temos:
a b2 1 0 3 0 0, , ,�� � � �� � � � �
2 0
3 0
a
a b
�
� � �
�
�
�
.
Esse sistema nos leva a a = 0 e b = 0 . Portanto, os vetores dados são linearmente independentes.
Agora, resta-nos verificar se eles geram o R2. Dessa forma, precisamos verificar se o vetor genérico do R2
, 
dado por 
v x y� � �, , pode ser escrito como combinação linear dos elementos da base dada. Assim, temos:
x y a a, , ,( ) = −( ) + −( )1 22 1 0 3
Isso nos leva a 
2
3
1
1 2
a x
a a y
�
� � �
�
�
�
.
O determinante da matriz dos coeficientes deste sistema é igual a -6, ou seja, é diferente de zero. Portanto, 
os vetores dados geram o R2. Assim, concluímos que o conjunto dado de fato é base do R2.
196
4. Verificamos que
�� � � � �� � � �� �2 0 3
4
3 1 1
4
1 3, , ,
0 1 1
8
3 1 3
8
1 3, , ,�� � � � �� � � �� �
Portanto, a matriz mudança de base é 
� ��
�
�
�
��
�
�
�
�
��
3
4
1
8
1
4
3
8
. A alternativa correta é a letra b.
5. Claramente, vemos que 3 5 1
2
3 1 3
2
1 3, , ,�� � � �� � � �� � . Logo, a alternativa correta é a e.
197
198
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Definir e identificar transformações lineares.
• Reconhecer transformações lineares injetoras e sobrejetoras.
• Identificar o núcleo e a imagem de uma transformação linear.
• Construir a matriz que representa uma transformação linear.
Transformações Lineares
Núcleo e Imagem de uma 
Transformação Linear
Matrizes e Transformações 
Lineares
Transformações Lineares 
Injetoras e Sobrejetoras
Dr. Ronni Amorim 
Dr. Ricardo Fragelli
Dr. Vinícius Rispoli
Transformações Lineares
Transformações Lineares
Prezado(a) aluno(a), nesta seção estudaremos as 
transformações lineares. Essas transformações es-
tabelecem uma correspondência entre dois espaços 
vetoriais, ou seja, leva vetores de um dado espaço a 
vetores de outro espaço vetorial. Elas possuem di-
versas aplicações práticas, dentre as quais merecem 
destaque as suas aplicações em computação gráfica. 
Antes de iniciar a discussão do conteúdo propria-
mente dito, considere a interessante situação a seguir.
Suponha que você esteja jogando videogame 
com os seus amigos, alternando entre o jogo do 
Sonic e do Super-Mario. Em um determinado mo-
mento, o seu primo mais novo, sabendo que você é 
uma pessoa culta, lhe pergunta como o Sonic gira 
e como o Super Mario muda de tamanho quan-
do engole o cogumelo. Coincidentemente, você 
está estudando sobre transformações lineares na 
faculdade. Assim, você responde ao seu primo:
 “
Espere aí, apresentarei alguns requisitos bá-
sicos e mostrarei a essência do que faz esses 
personagens possuírem tais características.
Então, para entender essas e outras aplicações das 
transformações lineares, acompanhe o que será 
discutido nesta unidade.
201UNIDADE VII
Nesta seção, será apresentada a definição de transformações lineares. Preste muita 
atenção, pois entender a definição é fundamental para prosseguir na discussão dessa 
importante ferramenta da álgebra linear.
DEFINIÇÃO 1
Seja T V W: → uma função do espaço vetorial V no espaço vetorial W . T é denomi-
nada transformação linear ou aplicação linear se as duas condições seguintes forem 
satisfeitas (LIMA, 2016):
( I ) Quaisquer que sejam os vetores u e v pertencentes a V , tem-se
T T Tu v u v�� � � � � � � �.
( II ) Quaisquer que sejam o número real a e o vetor u pertencente a V , tem-se:
T Tαu u( ) = ( ).α
Talvez você tenha achado a Definição 1 um pouco abstrata. Contudo, tudo ficará 
mais claro com os exemplos a seguir.
Mostre que a aplicação T R R:� 2 2→ dada por T x y x y x y, ,� � � � �� � é uma 
transformação linear.
Para resolver este exemplo, precisamos mostrar que T satisfaz as duas condições 
dadas na Definição 1. Assim, sejam os vetores v1 1 1� � �x y, e v2 2 2� � �x y, perten-
centes ao R2 . Observe que T x y x yv1 1 1 1 1� � � � �� �,� e T x y x yv2 2 2 2 2� � � � �� �,� . 
Dessa forma, temos:
v v1 2 1 2 1 2� � � �� �x x y y, .
Assim,
T T x x y y x x y y x x y yv v1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2�� � � � �� � � �� � � �� � �� � � �� �� �, , ,
T x y x y x y x yv v1 2 1 1 2 2 1 1 2 2�� � � �� � � � �� � � �( ( ), ( )),
T x y x y x y x yv v1 2 1 1 1 1 2 2 2 2�� � � �� � �� � � �� � �( , ) ( , ( )),
T T Tv v v v1 2 1 2�� � � � � � � �.
A condição ( I ) está satisfeita.
1 EXEMPLO
202 Transformações Lineares
Agora, resta-nos verificar a condição ( II ). Assim, seja o número real a, temos então
a a a av1 1 1 1 1� � � � � �x y x y, , .
Assim,
T T x y x y x y x y x y Tα α α α α α α α αv v1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) = ( ) = − +( ) = − +( ) = (, , )).
Percebemos que a condição ( II ) também foi satisfeita. Com isso, concluímos que a 
aplicação dada é, de fato, uma transformação linear.
Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo. 
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
Verifique se a aplicação T R R:� 2 → dada por T x y xy,� � � 2 é uma transformação linear.
Para resolver este exemplo, devemos verificar se as duas condições dadas na Defi-
nição 1 são satisfeitas. Sejam, então, os vetores v1 1 1� � �x y, e v2 2 2� � �x y, perten-
centes ao R2 . Observe que T x yv1 1 12� � � e T x yv2 2 22� � � . Perceba também que
v v1 2 1 2 1 2� � � �� �x x y y, .
Assim, temos
T T x x y y x x y yv v1 2 1 2 1 2 1 2 1 22�� � � � �� � � �� � �� �, ,
T x y x y x y x yv v1 2 1 1 1 2 2 1 2 22 2 2 2 ,
Ou seja
T T T x y x yv v v v1 2 1 2 1 2 2 12 2�� � � � � � � � � � .
Percebe-se, assim, que a condição ( I ) não é satisfeita. Assim, a aplicação dada no 
exemplo não é uma transformação linear.
Agora que você já sabe o que é uma transformação linear, mostraremos um teo-
rema muito importante envolvendo o vetor nulo dos espaços vetoriais associados a 
uma transformação linear.
2 EXEMPLO
203UNIDADE VII
Seja a transformação linear T V W: → , e sejam 0V e 0W os vetores nulos dos espaços 
vetoriais V e W , respectivamente; então:
T 0 0V W� � � .
Demonstração: seja u um vetor pertencente ao espaço vetorial V . Neste caso, T u� � 
pertence ao espaço vetorial W . Temos que:
0 0u V= .
Assim,
T T T0 0 0 0V Wu u� � � � � � � � � .
E o teorema está mostrado.
Como exemplo, considere a transformação linear T R R:� 2 3→ dada por 
T x y x y x y x y, , ,( ) = − +
+




2 2
2 .
O vetor nulo do R2 é 0 0 02R � � �, . Calculando a transformação deste vetor de acordo 
com a regra estabelecida, temos:
 
cujo resultado é o vetor nulo do R3.
Conforme você verá no decorrer desta unidade, as transformações lineares são 
intrinsecamente relacionadas com a física e a computação gráfica, por exemplo. 
Contudo, antes de estudar essas aplicações, você deve entender um pouco mais das 
formalidades das transformações lineares. Para esse fim, seguem alguns teoremas e 
algumas definições importantes (FRANCO, 2016).
TEOREMA1
204 Transformações Lineares
Considere dois espaços vetoriais reais V e W . Seja o conjunto u � u � u �1 2, , ,�� �n uma 
base de V e sejam w1 2, , , n… elementos quaisquer de W .
Existe uma única transformação linear T V W: → tal que T u w1 1� � � , �T u w2 2� � � ,...,
�T nu wn� � � . Tal transformação linear é dada por,
Se u u u u� � ���a a an n1 1 2 2 ,
T a T a Tnu u un( ) = ( ) +…+ ( )1 1
T a an nu w w( ) = +…+1 1
Para que você perceba a relevância do Teorema 2, veja o exemplo a seguir.
Descubra qual é a transformação linear T R R:� 2 3→ tal que T 1 0 1 1 2, , ,� � � � � e 
T 0 1 1 1 0, , , .� � � �� �
Resolução: primeiramente, noteque 1 0 0 1, , ,� � � �� � é uma base do R2 , coincidente-
mente é a base canônica. Você deve escrever o vetor genérico u � � �x y, nesta base. 
Como é a base canônica, esta tarefa é bastante simples (note que se não fosse a base 
canônica, você teria um pouco mais de trabalho),
x y x y, , , .� � � � � � � �1 0 0 1
Agora você deve tomar a transformação linear de ambos os lados da equação, obtendo:
T x y T x y, , , .� � � � � � � �� �1 0 0 1
Como T é linear, você pode escrever
T x y xT yT, , , .� � � � � � � �1 0 0 1
Usando o comando da questão, você obtém:
T x y x y, , , , , ,� � � � � � �� �1 1 2 1 1 0
T x y x x x y y, , , , , ,� � � � � � �� �2 0
T x y x y x y x, , , .� � � � �� �2
Perceba como esse exemplo foi instrutivo. Você conhecia apenas duas transformações 
específicas, mas como eram transformações de elementos da base do domínio da 
transformação, você foi capaz de escrever a lei geral da transformação!
TEOREMA2
3 EXEMPLO
205UNIDADE VII
Serão apresentadas agora duas definições mui-
to relevantes no contexto das transformações 
lineares; são elas: o núcleo e a imagem da trans-
formação linear.
Núcleo e Imagem de 
uma Transformação Linear
206 Transformações Lineares
Para que você entenda melhor essa definição, veja o exemplo a seguir.
Seja a transformação linear T R R:� 2 3→ dada por T x y x y x y x, ,( ) = + −( )2 . 
Determine o núcleo de T .
Resolução: a resolução deste exemplo é bastante simples, conforme você notará. A De-
finição 2 estabelece que o núcleo de uma transformação linear é um conjunto de vetores 
que são levados ao vetor nulo do contradomínio mediante a transformação. Assim, para 
descobrirmos quem é o núcleo da transformação dada, devemos resolver a equação:
T x y, , , ,� � � � �0 0 0
x y x y x+ −( ) = ( ), , .2 0 0 0
x y
x y
x
� �
� �
�
�
�
�
�
�
0
0
2 0
Este sistema nos fornece x = 0 � e y = 0. Portanto, ker ,T� � � � �� �0 0 . Observe que o 
núcleo dessa transformação é apenas um ponto, e um ponto tem dimensão nula. 
Portanto, a dimensão do núcleo dessa transformação é zero, ou seja, di Ker T( ) = 0.
Algumas observações sobre o núcleo de uma transformação linear T V W: →
(HOLT, 2016):
( I ) ker T� � é um subespaço vetorial de V .
( II ) ker T� � nunca será uma conjunto vazio, pois conterá pelo menos o vetor nulo de V .
O conceito de núcleo ficará cada vez mais claro, quando você estudar algumas trans-
formações lineares específicas no decorrer desta unidade.
4 EXEMPLO
DEFINIÇÃO 2
Seja T V W: → uma transformação linear. O conjunto dos vetores em V que trans-
forma em 0w é denominado núcleo de T e representado por Ker T� �, ou kernel de 
T (ANTON; RORRES, 2012).
DEFINIÇÃO 3
Seja T V W: → uma transformação linear. O conjunto de todos os vetores em W 
que são imagem de T de pelo menos um vetor em V é denominado imagem de T e 
representado por Im T� �.
207UNIDADE VII
Com a finalidade de o conceito tornar-se mais claro, acompanhe o exemplo a seguir:
Seja a transformação linear T R R:� 2 3→ dada por T x y x y x y x, ,( ) = + −( )2 . 
Determine a imagem de T .
Resolução: conforme você aprendeu na Definição 3, a imagem de uma transformação 
linear nada mais é que o conjunto de vetores que pertencem a W que se relacionam, 
por meio da transformação linear, a pelo menos um vetor pertencente a V . Neste caso, 
para determinarmos a imagem da transformação, devemos fazer:
Im T x y x y x x y R( ) = + −( ) ∈{ }, , ; ,2
Separando as variáveis, temos:
Im T x x x y y x y R( ) = ( ) + −( ) ∈{ }, , , , ; ,2 0
Colocando x e y em evidência, chegamos a
Im T x y x y R( ) = ( ) + −( ) ∈{ }1 1 2 1 1 0, , , , ; ,
Portanto, a imagem dessa transformação linear possui dois vetores (ou duas variáveis 
independentes), logo, a sua dimensão é igual a dois, ou seja, dim Im T� � � 2 .
Observando os exemplos 4 e 5, você deve ter notado que a soma das dimensões do 
núcleo e da imagem de T é igual a dois, que coincide com a dimensão do domínio da 
transformação, ou seja, dim dim dimIm T Ker T R� � � � � � �2 2. Isso sempre ocorre, 
constituindo uma propriedade das transformações lineares.
Logo, em geral, podemos considerar a propriedade:
Seja T V W: → , então dim dim dimIm T Ker T V� � � � � � � � .
Uma observação importante sobre a imagem de uma transformação linear é a 
seguinte: Im T� � é subespaço vetorial de W .
5 EXEMPLO
208 Transformações Lineares
Transformações Lineares 
Injetoras e Sobrejetoras
Neste tópico, você estudará dois importantes 
conceitos: as transformações lineares injetoras 
e as sobrejetoras. Em particular, você verá que as 
transformações lineares injetoras são essenciais 
para se definir transformações inversas.
209UNIDADE VII
Uma forma prática de verificar se a transformação linear é injetora é identificar o seu 
núcleo, pois se kerT = 0V , a transformação é injetora. Essa afirmação é um Teorema, 
cuja demonstração pode ser encontrada na referência Anton e Rorres (2012, p. 445).
TEOREMA3
DEFINIÇÃO 4
Dada uma transformação linear T V W: → , dizemos que T é injetora se dados quais-
quer dois vetores u e v pertencentes a V , com v≠ , então T Tu v� � � � �.
Ou seja, uma transformação linear é denominada injetora se as imagens de vetores 
distintos forem distintas.
DEFINIÇÃO 5
Dada uma transformação linear T V W: → , dizemos que T é sobrejetora se a imagem 
de T coincidir com W .
Verifique se as transformações lineares abaixo são injetoras e sobrejetoras.
a) T R R:� 2 3→ dada por T x y x y x y x, ,( ) = + −( )2 .
b) T R R:� 2 2→ dada por T x y y x, ,� � � � � .
Resolução:
a) Podemos verificar se a transformação linear é injetora, descobrindo o seu 
núcleo. Caso o núcleo da transformação seja constituído apenas do vetor nulo 
do domínio da transformação, temos que a transformação é injetora. Assim, 
já mostramos no Exemplo 4 que para esta transformação ker ,T� � � � �� �0 0 . 
Dessa forma, podemos dizer que a transformação dada é injetora.
Apesar de ser injetora, a transformação dada nesta alternativa não é sobrejeto-
ra, pois conforme constatamos no Exemplo 5, a sua imagem possui dimensão 
2, diferindo do seu contradomínio, o qual tem dimensão 3.
6 EXEMPLO
DEFINIÇÃO 6
Dada uma transformação linear T V W: → , dizemos que T é bijetora se T é injetora e 
sobrejetora. Neste caso, podemos dizer que T é um isomorfismo. Assim, se T V W: → 
é um isomorfismo, dizemos que V e W são isomorfos.
210 Transformações Lineares
Como a transformação dada é injetora, mas não é sobrejetora, também não 
pode ser classificada como um isomorfismo.
b) Para verificar se a transformação dada nesta alternativa é injetora, descubra-
mos o seu núcleo:
T x y, , ,� � � � �0 0
y x, , ,� � � � �0 0
o que implica x = 0 e y = 0. Assim, ker ,T� � � � �� �0 0 e a transformação 
dada é injetora.
Para verificar se ela é sobrejetora, descubramos a sua imagem.
Im T y x x y R( ) = ( ) ∈{ }, ; ,
separando as variáveis, temos:
Im T y x x y R( ) = ( ) + ( ) ∈{ }, , ; ,0 0
colocando x e y em evidência, chegamos a
Im T y x x y R( ) = ( ) + ( ) ∈{ }1 0 0 1, , ; ,
Perceba que a imagem é constituída de dois vetores (ou duas variáveis in-
dependentes), portanto a sua dimensão é igual a 2. Como o contradomínio 
da transformação linear dada é o R2, temos que a imagem é igual ao contra-
domínio. Assim, podemos concluir que a transformação dada é sobrejetora.
Como ela é injetora e sobrejetora, também é um isomorfismo.
DEFINIÇÃO 7
Uma transformação linear em que o domínio e o contradomínio são o mesmo conjunto, 
T V V: → , é denominada de operador linear.
Por exemplo, a transformação linear dada na alternativa b do Exemplo 6 é um operador 
linear, pois nela temos que o domínio e a imagem são o mesmo conjunto, ou seja, o R2.
211UNIDADE VII
Trabalhar com as transformações lineares escritas 
em fórmulas é muitas vezes muito complicado. 
Uma alternativa é utilizar matrizes para repre-
sentar as transformações lineares. E isso sempre 
é possível, pois, uma vez definidas as bases, a 
uma dada transformação linear está associadaapenas uma matriz! Isso é muito vantajoso para 
você, pois, ao longo das unidades precedentes, a 
ferramenta matemática mais utilizada foram as 
matrizes. Reduzindo o estudo das transformações 
lineares ao cálculo matricial, você poderá utilizar 
toda a experiência adquirida até aqui para enten-
der mais esse conceito matemático. Nesta seção, 
você aprenderá como representar transformações 
lineares por meio de matrizes.
Aí você pergunta: como posso encontrar a 
matriz que representa uma dada transforma-
ção linear? Essa resposta é dada pelo Teorema 4 
enunciado a seguir.
Matrizes e 
Transformações Lineares
212 Transformações Lineares
Sejam V e W dois espaços vetoriais. Seja a uma base de V , b uma base de W e 
T V W: → uma transformação linear. Se v for um vetor que pertença a V e w for 
um vetor pertencente a W , vale (ANTON; RORRES, 2012):
w v v� � � � ��� �� �β β β
α
αT T [ ] ,
em que T v� � representa a transformação linear do vetor v, e Tβ
α representa a matriz 
transformação linear em relação às bases a e b.
Demonstração: para demonstrar este teorema, consideraremos sem perda de ge-
neralidade, apenas para reduzir o espaço da demonstração, que a �� �v v v1 2 3,� ,� e 
b �� �w w1 2,� . Ou seja, a dimensão de V é 3 e de W é 2.
Sabemos que T v1� � , T v2� � e T v3� � pertencem a W e por isso podem ser escritos 
como combinação linear dos elementos de b . Assim, temos:
T a av w w1 11 1 21 2� � � � ,
T a av w w2 12 1 22 2� � � � ,
T a av w w3 13 1 23 2� � � � .
Considere agora um vetor v pertencente a V escrito como v v v v� � �x x x1 1 2 2 3 3 . 
Calculando a transformação linear de v, temos:
T x T x T x Tv v v v� � � � � � � � � � �1 1 2 2 3 3 ,
T x a a x a a x a av w w w w w w� � � �� � � �� � � �� �1 11 1 21 2 2 12 1 22 2 3 13 1 23 2 ;
aplicando a distributiva e colocando w1 e w2 em evidência, temos:
T v� � � (a x a x a x a x a x a x11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2+ + + + + .w w
Contudo, sendo T v� � pertencente a W , pode ser escrito como combinação linear 
dos elementos de b da seguinte forma:
T y yv w w� � � �1 1 2 2.
Igualando as duas últimas equações, temos:
y a x a x a x
y a x a x a x
1 11 1 12 2 13 3
2 21 1 22 2 23 3
= + +
= + +



,
TEOREMA4
213UNIDADE VII
ou matricialmente,
y
y
a a a
a a a
x
x
x
1
2
11 12 13
21 22 23
1
2
3
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
A matriz
T
a a a
a a aβ
α �
�
�
�
�
�
�
11 12 13
21 22 23
é a matriz transformação linear em relação às bases a e b .
Observe que a matriz Tβ
α �obtida é de ordem 2 por 3, enquanto a transformação 
linear era de um espaço de dimensão 3 para outro de dimensão 2. Em geral, a uma 
transformação linear T R Rn m:� → podemos associar uma matriz de ordem m por 
n. Sendo assim, a matriz que representa um operador linear é quadrada.
Então, para você recapitular como obter a matriz transformação linear, basta 
seguir as etapas a seguir.
Dada a transformação linear T V W: → . Caso você queira descobrir a matriz que 
representa essa transformação em relação às bases a �� �v v v1 2 3,� ,� de V e b �� �w w1 2,� 
de W , basta fazer:
( I ) Calcule as transformações lineares nos vetores v v v1 2 3,� ,� e em seguida escreva 
essas transformações em função da base b :
T a av w w1 11 1 21 2� � � � ,
T a av w w2 12 1 22 2� � � � ,
T a av w w3 13 1 23 2� � � � .
( II ) Escreva a transposta da matriz dos coeficientes deste sistema. Essa matriz será 
a matriz que representa a transformação linear Tβ
α .
T
a a a
a a aβ
α �
�
�
�
�
�
�
11 12 13
21 22 23
Viu como foi fácil? Agora você vai exercitar um pouco por meio dos exemplos a seguir.
214 Transformações Lineares
Seja a transformação linear T R R:� 2 3→ dada por T x y x y x y x, ,( ) = + −( )2 e as 
bases a � �� � �� �� �1 1 0 1, , , e β = ( ) −( ) ( ){ }1 1 0 0 1 0 0 0 1, , , , , , , , escreva a matriz Tβ
α 
que representa T .
Resolução: então faça o primeiro passo. Primeiro calcule as transformações dos 
vetores da base do domínio da transformação:
T �� � � � � � � �� � � � �� �1 1 1 1 1 1 2 0 2 2, , , , , .
T 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0, , , , .−( ) = − +( ) = −( )
Agora, escreva os resultados obtidos na base b :
0 2 2 0 1 1 0 2 0 1 0 2 0 0 1, , , , , , , ,� �� � � � � � �� � � � �
�� � � � � � � �� � � � �1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1, , , , , , , ,
Agora, basta escrever a transposta da matriz dos coeficientes desse sistema:
Tβ
α � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0 1
2 1
2 0
.
Observe que a transformação era T R R:� 2 3→ e a matriz obtida foi de ordem três por dois.
Perceba que, apesar de ser simples, resolver o exemplo acima ainda deu um pouco 
de trabalho. Isso porque as bases utilizadas não foram as bases canônicas. Contudo, 
na maioria das aplicações, as bases usadas são bases canônicas. Isso possibilita uma 
economia de tempo, conforme veremos no próximo exemplo. Quando as bases en-
volvidas forem as canônicas, denotaremos Tβ
α simplesmente por T .
Seja a transformação linear T R R3 2→ dada por T x y z x y z x y z, , ,�� � � � � � �� �2 3 
escreva a matriz que representa T em relação às bases canônicas.
Como você já sabe, as bases canônicas do R2 e do R3 são, respectivamente, 
1 0 0 1, ,( ) ( ){ } e 1 0 0 0 1 0 0 0 1, , ,� , , ,� , ,� � � � � �� � .
Então, você deve calcular as transformações dos vetores da base do R3 :
T 1 0 0 2 0 0 1 0 0 2 1, , ,� , ,� � � � � � �� � � � �
T 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1, , ,� , ,� � � � � � �� � � �� �
T 0 0 1 0 0 1 0 0 3 1 3, , , .( ) = + − − +( ) = −( )
7 EXEMPLO
8 EXEMPLO
215UNIDADE VII
Agora, você tem que escrever os resultados da transformação como combinação 
linear dos vetores da base canônica do R2 , mas isso é uma tarefa muito fácil, pois 
neste caso os coeficientes são as próprias coordenadas dos vetores:
2 1 2 1 0 1 0 1, , , ,� � � � � � � �
1 1 1 1 0 1 0 1, , , ,�� � � � � � � �
�� � � � � � � � �1 3 1 1 0 3 0 1, , , .
Por último, basta escrever a transposta da matriz dos coeficientes desse sistema
T �
�
�
�
�
�
�
�
�
2 1 1
1 1 3
.
Observe que a transformação era T R R:� 3 2→ e a matriz obtida foi de ordem dois por três.
Agora, vamos focar a discussão nos operadores lineares, pois eles são representa-
dos por matrizes quadradas. Suponha que você tenha aplicado um operador linear 
em um dado vetor e se indague: é possível fazer o caminho reverso, ou seja, reobter 
o vetor original? A resposta é positiva, desde que o operador linear seja injetor. E 
mais: se uma matriz T representa um dado operador linear, a operação linear inversa 
é representada simplesmente pela inversa da matriz T , ou seja, por T −1.
Você visualizará este procedimento pela situação a seguir. Considere a transformação 
linear T R R:� 2 2→ dada por T x y y x, ,� � � � �2 . Ou seja, trata-se de um operador linear, 
pois o domínio é o mesmo do contradomínio. Essa transformação é injetora, conforme 
você pode verificar. Veja que o resultado da aplicação da transformação no vetor 2 3,�� � :
T 2 3 3 4, , .�� � � �� �
Agora, perceba que a matriz que representa T em relação à base canônica é dada por
T �
�
�
�
�
�
�
0 1
2 0
.
Se você aplicar (multiplicar) a matriz no vetor 2 3, ��� �, obterá:
0 1
2 0
2
3
3
4
3 4
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
��
�
�
�
�
� � �� �, .
216 Transformações Lineares
Ou seja, você obtém o mesmo resultado da aplicação da transformação linear. Isso já 
era mais que esperado, pois a matriz dada representa a transformação linear. Suponha 
que agora você queira voltar, ou seja, reobter o vetor 2 3,�� � a partir do vetor �� �3 4, . 
Para isso, você pode utilizar a transformação inversa, a qual pode ser encontrada pela 
matriz inversa de T :
T � �
�
�
�
�
�
�
�
�
1 0 1
2
1 0
.
Aplicando T −1 no vetor �� �3 4, , obtém-se:
0 1
2
1 0
3
4
2
3
2 3
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
� � �� �, .
Isso evidencia que T −1 é realmente a transformação inversa.
Neste momento, podemos retornar à discussão inicial desta unidade. Tendo em 
vista que você já tenhaexplicado todo o conteúdo desta unidade ao seu pequeno 
primo, você já pode explicá-lo um pouco do funcionamento da computação gráfica, 
inclusive como o Super Mario aumenta de tamanho ao engolir o cogumelo.
Para esse fim, considere a transformação linear T R R:� 2 2→ dada por 
T x y x y, ,� � � � �2 2 . É fácil notar que essa transformação duplica o tamanho do ve-
tor. A matriz que representa essa transformação é dada por:
T �
�
�
�
�
�
�
2 0
0 2
.
Assim, se você quiser dobrar o tamanho de uma figura plana, o primeiro passo é 
discretizar o contorno da figura no maior número de pontos possível, depois repre-
sentar esses pontos por meio de vetores e, em seguida, multiplicar cada um desses 
vetores pela matriz T dada acima. No fim, você terá o resultado esperado. A Figura 
1 mostra o resultado da aplicação da transformação linear T x y x y, ,� � � � �2 2 no 
quadrado indicado. Isso pode ser feito representando os vértices do quadrado por 
vetores e aplicando a transformação dada nesses quatro vetores. Em geral, quando 
queremos dilatar ou contrair uma figura, basta multiplicar os vetores pela matriz
T
a
a
�
�
�
�
�
�
�
0
0
,
217UNIDADE VII
se o valor absoluto de a for maior que um ( a >1 ), temos uma dilatação (expansão). 
Contudo, se o valor absoluto de a for um número entre zero e um ( 0 1, T x y x y,� � � � , o núcleo é dado por T x y x y,� � � � � 0 . Dessa forma, tem-se 
y x� � . Assim, qualquer vetor que possua a forma v � �� �x x, , pertence ao núcleo. Por exemplo, os vetores 
0 0 1 1 2 2, , ( , ) ,,( ) − −( ) pertencem ao núcleo. Para a transformação dada ser injetora, o único vetor que deveria 
pertencer ao núcleo seria 0 0,� � . Logo, de fato, a transformação dada na alternativa b não é injetora.
3. Primeiramente, note que 1 0 0 1, , ,� � � �� � é uma base do R2, coincidentemente é a base canônica. Você deve 
escrever o vetor genérico u � � �x y, nesta base. Como é a base canônica, esta tarefa é bastante simples,
x y x y, , , .� � � � � � � �1 0 0 1
Agora você deve tomar a transformação linear de ambos os lados da equação, obtendo:
T x y T x y, , , .� � � � � � � �� �1 0 0 1
Como T é linear, você pode escrever
T x y xT yT, , , .� � � � � � � �1 0 0 1
Usando o comando da questão, você obtém:
T x y x y, , , ,� � � � � � �� �1 2 2 1
T x y x x y y, , , ,� � � � � � �� �2 2
227
T x y x y x y, , .� � � � �� �2 2
Logo, a resposta correta é a alternativa a.
4. Temos que a transformação linear T R R:� 2 3→ , T x y x y x y y, ,( ) = + −( ). Como queremos a matriz em relação 
às bases canônicas, a tarefa é um pouco simplificada.
T 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0, ,� , , , ,� � � � �� � � � �
T 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1, , , , .( ) = + −( ) = −( )
Agora, você tem que escrever os resultados da transformação como combinação linear dos vetores da 
base canônica do R3, mas isso é uma tarefa muito fácil, pois neste caso os coeficientes são as próprias 
coordenadas dos vetores:
1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1, , , , , , , , ,� � � � � � � � � � �
1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1, , , , , , , ,−( ) = ( ) − ( ) + ( )
Por último, basta escrever a transposta da matriz dos coeficientes desse sistema
T � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 1
1 1
0 1
.
Portanto, você deve assinalar a alternativa c.
5. A resolução desta questão é análoga à anterior. Entretanto, neste caso você encontrará uma matriz qua-
drada, pois a transformação dada é um operador linear. Fazendo os cálculos, obtém-se:
T 1 0 1 0, , ,� � � � �
T 0 1 1, ,( ) = ( )α
Agora, você tem que escrever os resultados da transformação como combinação linear dos vetores da 
base canônica do R2 , mas isso é uma tarefa muito fácil, pois neste caso os coeficientes são as próprias 
coordenadas dos vetores:
1 0 1 1 0 0 0 1, , , ,( ) = ( ) + ( )
α α , , .1 1 0 1 0 1( ) = ( ) + ( )
Por último, basta escrever a transposta da matriz dos coeficientes desse sistema
T �
�
�
�
�
�
�
1
0 1
a
.
Portanto, você deve assinalar a alternativa c.
228
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Calcular os autovalores e os autovetores de uma matriz. • Reconhecer as condições de diagonalização de uma matriz 
e aplicá-las na solução de problemas.
Autovalores 
e autovetores
Diagonalização
Dr. Ronni Amorim 
Dr. Ricardo Fragelli
Dr. Vinícius Rispoli
Diagonalização 
de Matrizes
Autovalores 
e Autovetores
Prezado(a) estudante! Nesta unidade, você estu-
dará sobre a diagonalização de matrizes. Escrever 
uma matriz na forma diagonal possui diversas 
aplicações práticas, conforme você notará no de-
senvolvimento desta unidade. No entanto, algu-
mas questões surgem: será que todas as matrizes 
podem ser colocadas na forma diagonal? Se uma 
dada matriz admite a forma diagonal, como pro-
ceder para obtê-la? As respostas a essas perguntas 
serão dadas ao longo da unidade. Contudo, um 
comentário é certo, esta unidade talvez seja a que 
você mais utilizará em aplicações desta disciplina 
no seu curso de engenharia. Portanto, aproveite e 
estude bastante para aprender os conceitos!
Antes de começar a apresentação do conteúdo, 
considere a seguinte situação. Suponha que você 
esteja conversando com os seus amigos sobre as 
aplicações desta disciplina. Você está muito mo-
tivado na conversa, pois ao longo das unidades 
percebe a vasta quantidade de aplicações práticas 
que a disciplina possui. Um de seus amigos, escu-
tando o que você está dizendo, se lembra de um 
231UNIDADE VIII
problema muito difícil e demorado que teve que resolver quando estudou matrizes, 
e em tom desafiador o propõe a você. O problema era o seguinte:
Dada a matriz A �
�
�
�
�
�
�
�
1 0
1 2
, calcule A10.
O seu amigo esperava que você fizesse pelo procedimento padrão, ou seja, que 
multiplicasse a matriz dada por ela mesma dez vezes consecutivas. Contudo, para a 
surpresa dele, você resolveu por um método muito mais simples, economizando tempo e 
papel. Ele ficou surpreso e pediu que você explicasse como fez aquilo. Você calmamente 
disse que antes teria que explicar-lhe sobre os conceitos que virão nas seções a seguir.
Nesta seção, você estudará a definição de autovalores e autovetores. Os autovalores 
e os autovetores de uma matriz são também denominados valores próprios e vetores 
próprios, respectivamente. Além de definir tais conceitos, você aprenderá também 
como calculá-los.
Para esse fim, considere A como uma matriz quadrada de ordem n e v como um 
vetor que pertença ao Rn. Conforme vimos nas unidades anteriores, quando calcu-
lamos o produto Av , obtemos, em geral, outro vetor u que possui módulo, direção 
e sentido diferentes de v. Contudo, há casos especiais em que o produto Av fornece 
como resultado um vetor múltiplo de v, ou seja, um vetor que possui a mesma dire-
ção de v. Neste último caso, podemos escrever que Av v=l , em que l é um número 
real. Aos vetores que satisfazem a essa condição, damos o nome de autovetores da 
matriz A; e aos números reais l denominamos autovalores de A. Nessa perspectiva, 
a definição a seguir formaliza esses conceitos.
DEFINIÇÃO 1
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, então um vetor não nulo v pertencente ao Rn é 
denominado autovetor de A se Av for múltiplo escalar de v , isto é, (ANTON; RORRES, 2016)
Av v=l ,
em que l é um número real (escalar). O escalar l é denominado autovalor de A, e 
denominamos v autovetor associado a l.
232 Diagonalização de Matrizes
Para ilustrar a definição, considere a matriz A �
�
�
�
�
�
�
�
�
3 4
1 2
 e os vetores v1 1 1� � �, e 
v2 4 1� � �, . Calcule os produtos Av1 e Av2:
Av v1 1
3 4
1 2
1
1
1
1
1
1
1
1�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � ,
Av v2 2
3 4
1 2
4
1
8
2
2
4
1
2�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
� � � .
Observando os resultados obtidos, você percebe que l1 1= é autovalor de A. Em 
outras palavras, você pode dizer que v1 1 1� � �, é o autovetor associado ao autovalor 
l1 1= . De forma análoga, você pode dizer que v2 4 1� � �, é o autovetor associado ao 
autovalor l2 2� � .
A seguir, são apresentadas algumas observações importantes acerca dos autova-
lores e autovetores (FRANCO, 2016).
Observações:
• Conforme você estudou na unidade anterior, toda matriz pode ser associada a 
alguma transformação linear. Portanto, os autovalores e os autovetores de uma 
dada matriz são autovalores e autovetores da transformação linear associada 
a tal matriz.
• Se v é autovetor de uma matriz, qualquer múltiplo escalar de v , kv, também 
é autovetor dessa matriz.
A partir daí você diz: tudo bem, já sei o que são os autovalores e os autovetores asso-
ciados a uma dada matriz, mas dada uma matriz, como posso calculá-los? A resposta 
será dada nos cálculos explicitados a seguir (HOLT, 2016).
Considere a equação de autovalores e autovetores dada por 
Av v=l ,
em que A é uma matriz quadrada de ordem n, e v um vetor não nulo pertencente ao Rn. 
Você pode escrevê-la como
A Iv v=l ,
233UNIDADE VIII
em que I representa a matriz identidade de ordem �n . Você pode reescrever a última 
equação na forma
A I�� � �l v 0.
Escrevendo
A
a a
a a
n
n nn
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
11 1
1
�
� � �
�
,
I �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 0
0 1
�
� � �
�
,
v �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
x
xn
1
 ,
0
0
0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 ,
a equação A I�� � �l v 0 pode ser escrita como
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234 Diagonalização de Matrizes
A última equação pode ser escrita na forma de um sistema
a x a x a x
a x a x a x
n n
n n
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11 1 12 2 1
0
0
�� � � ��� �
� ��� �� � �
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l
l
 .
Conforme você estudou na Unidade 2 deste curso, mais especificamente na Regra de 
Cramer, este sistema só terá solução diferente da trivial se o determinante da matriz dos 
coeficientes for igual a zero, já que os demais determinantes correspondentes às incógni-
tas serão nulos (pois os termos independentes do sistema são nulos). Assim, devemos ter:
det
a a
a a
n
n nn
11 1
1
0
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det .A I−( ) =λ 0
Esta última equação é denominada equação característica. Ela origina o denominado 
polinômio característico associado à matriz A. As raízes do polinômio característico são 
os autovalores de A. O grau do polinômio característico é igual à ordem da matriz A.
DEFINIÇÃO 2
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, l é um autovalor de A se, e somente se, l 
satisfaz a equação característica de A, a qual é dada por 
det .A I−( ) =λ 0
Uma vez calculados os autovalores da matriz A, seus autovetores podem ser en-
contrados resolvendo o sistema de equações A I�� � �l v 0 para cada autovalor 
encontrado. O conjunto formado pelos autovetores de A é denominado autoespaço 
de A (LIMA, 2016).
235UNIDADE VIII
Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo. 
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
Você entenderá melhor os últimos conceitos por meio da resolução dos exemplos a seguir.
 Encontre os autovalores de A �
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�
�
�
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1 0
1 2
.
Resolução: para determinar os autovalores de A, você deve resolver a equação ca-
racterística det A I−( ) =λ 0. Ou seja,
det
1 0
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1 0
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Essa última equação fornece o polinômio característico associado à matriz A:
1 2 0�� � �� � �l l ,
l l2 3 2 0� � � .
Perceba que a matriz dada é de ordem dois e o grau do polinômio característico 
também é dois. As raízes desta equação são l1 1= e l2 2= , os quais são os autova-
lores da matriz A.
1 EXEMPLO
236 Diagonalização de Matrizes
Encontre bases dos autoespaços da matriz A �
�
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�
�
�
�
1 0
1 2
.
Resolução: encontrar a base dos autoespaços de uma matriz corresponde a encontrar 
os autovetores da matriz. Neste caso, o primeiro passo é determinar os autovalores 
de A. Essa tarefa já foi feita no exemplo anterior, no qual encontramos os autovalores 
l1 1= e l2 2= . O próximo passo será resolver a equação A I�� � �l v 0 para cada 
autovalor encontrado, ou seja, você deve encontrar um autovetor v1 correspondente 
a l1 e um autovetor v2 correspondente a l2.
I. Seja o autovetor v x y1 1 1� � �,� associado a l1 1= . A equação A I�� � �l v 0 
fica escrita como
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1 2
1 0
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1
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x
y
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� � �x y1 1 0,
x y1 1= .
Ou seja, o autovetor v1 é qualquer vetor cuja ordenada seja igual à abscissa, ou seja, 
v x x1 1 1� � �,� . Tomando x k1 = , você encontra que v k1 1 1� � �,� .
II. Seja o autovetor v x y2 2 2� � �,� associado a l2 2= . A equação A I�� � �l v 0 
fica escrita como
1 0
1 2
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0 2
0
0
2
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2
x
y
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� �x2 0,
x2 0= .
2 EXEMPLO
237UNIDADE VIII
Ou seja, o autovetor v2 é qualquer vetor cuja abscissa seja nula, ou seja, v y2 20� � �,� . 
Tomando y t2 = , você encontra que v t2 0 1� � �,� .
Assim, os vetores v1 1 1� � �,� e v2 0 1� � �,� são autovetores da matriz dada. Você pode 
verificar que os autovetores encontrados são linearmente independentes e podem 
servir como uma base do R2.
Determine os autovalores da matriz 
A � �
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1 0 2
1 0 1
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.
Para determinar os autovalores de A, você deve resolver a equação característica 
det A I−( ) =λ 0. Ou seja
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Calculando o determinante acima, obtemos a equação característica
3 EXEMPLO
238 Diagonalização de Matrizes
λ λ λ3 23 3 0.
As raízes dessa equação são os autovalores da matriz dada. Você se lembra como cal-
cular as raízes de um polinômio de terceiro grau? Primeiramente, você deve descobrir 
uma das raízes. Para isso, observe o termo independente e o coeficiente do termo de 
maior grau do polinômio. O termo independente é igual a -3 e o coeficiente do termo 
de maior grau (o l3) é igual a -1. Divida o termo independente do polinômio pelo 
coeficiente do termo de maior grau, o que neste caso vai ser -3 dividido por -1, o que 
é igual a 3. Os divisores inteiros desse resultado são as prováveis raízes da equação. 
Os divisores inteiros de 3 são {3, -3, 1, -1} . Agora você deve testar se algum deles é 
raiz. Substitua cada um deles na equação:
- (3)³ + 3(3)² + 3 - 3 = 0 
Logo, 3 é raiz.
Tendo descoberto uma das raízes, calcular as outras é tarefa fácil. Para isso, divida o 
polinômio característico por λ - 3. Você obterá -λ² + 1. 
Calculando as raízes deste polinômio do segundo grau por meio da fórmula de 
Bháskara, obtém-se as raízes λ1 = 1 e λ2 =-1. Dessa forma, os autovalores da matriz 
dada são λ1 = 1 , λ2 =-1 e λ3 = 3.
239UNIDADE VIII
Nesta seção, você aprenderá sobre a diagonali-
zação de matrizes. Em um primeiro momento, 
o estudo focará em teoremas que garantirão as 
condições para que uma matriz seja diagonalizá-
vel. Por fim, será discutida a metodologia utilizada 
para diagonalizar matrizes.
Diagonalização
240 Diagonalização de Matrizes
Autovetores associados a autovalores distintos são linearmente independentes.
Demonstração: A demonstração que será esboçada contemplará apenas dois au-
tovetores associados a autovalores distintos. Contudo, a generalização é válida. Su-
ponha que v1 e v2 são autovetores da matriz A associados aos autovalores l1 e l2, 
respectivamente. Suponha ainda que λ λ1 2. Podemos então, escrever as equações 
Av1 1 1=l v e Av2 2 2=l v . Para mostrarmos que os autovetores v1 e v2 são linearmente 
independentes, devemos considerar a combinação linear a a1 1 2 2 0v v� � e concluir-
mos que a a1 2 0= = . 
I. Apliquemos a matriz (A I−l2 ), em que I representa a matriz identidade, na 
combinação linear a a1 1 2 2 0v v� � ; obtém-se,
a A a I a A a I1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 0v v v v� � � �l l .
Usando Av1 1 1=l v e Av2 2 2=l v , temos
a a a a I1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 0l l l lv v v v� � � � ,
ou seja
a1 1 2 1 0( ) .l l� �v
Como λ λ1 2, segue que a1 0= .
II. Apliquemos a matriz ( A I−l1 ) , em que I representa a matriz identidade, na 
combinação linear a a1 1 2 2 0v v� � ; obtém-se,
a A a I a A a I1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 0v v v v� � � �l l .
Usando Av1 1 1=l v e Av2 2 2=l v , temos
a a a a I1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 0l l l lv v v v� � � � ,
ou seja
a2 2 1 2 0( ) .l l� �v
Como λ λ1 2 , segue que a2 0= .
TEOREMA1
241UNIDADE VIII
Então, percebemos que na combinação linear a a1 1 2 2 0v v� � tem-sea a1 2 0= = . 
Com isso, conclui-se que v1 e v2 são linearmente independentes.
Assim, se a matriz quadrada A de ordem n possui n autovalores distintos, seus 
autovetores são linearmente independentes. Essa última propriedade induz à defi-
nição de matriz diagonalizável.
DEFINIÇÃO 3
Uma matriz A de ordem n que possui autovetores linearmente independentes é 
diagonalizável.
Observando a Definição 3, você percebe que se uma matriz ordem n que possui n 
autovalores distintos, ela é diagonalizável, já que os autovetores associados a auto-
valores distintos são linearmente independentes são linearmente independentes, 
como nos garante o Teorema 1. Como exemplo, é garantido que as matrizes dos 
exemplos 1 e 3 são diagonalizáveis, já que a matriz do exemplo 1 é de ordem 2 e pos-
sui 2 autovalores distintos, enquanto a matriz do exemplo 3 é de ordem 3 e possui 3 
autovalores distintos.
Aí você diz: ‘tudo bem, já sei quando uma matriz A pode ser diagonalizada, mas como 
posso encontrar a forma diagonal de A’? Essa resposta será dada na definição a seguir.
242 Diagonalização de Matrizes
Agora, vamos colocar um passo a passo do processo de diagonalização de matrizes 
para que você entenda melhor o conceito apresentado.
Passo a passo da diagonalização de uma matriz A de ordem n:
• Passo 1: calcule os autovalores e autovetores da matriz dada.
• Passo 2: se a matriz dada possui n autovetores linearmente independentes, a 
forma diagonal de A é calculada a partir da equação D P AP� �1 .
• Passo 3: a matriz diagonalizadora P é dada por P v v vn� �� �1 2� � � � , em que 
v v vn1 2 � são autovetores de A. 
• Passo 4: a forma diagonal de A é simplesmente D
n
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Entendeu? Tudo ficará mais claro nos exemplos a seguir.
Dada a matriz A �
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1 0
1 2
, responda:
a) A é diagonalizável? Em caso afirmativo, escreva a matriz D , ou seja, a forma 
diagonal de A.
4 EXEMPLO
DEFINIÇÃO 4
Suponha que uma matriz A de ordem n que possui n autovetores linearmente inde-
pendentes. A forma diagonal de A é uma matriz diagonal D que possui na diagonal 
principal os autovalores de A,ou seja,
D
n
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A matriz D pode ser calculada a partir da matriz A por meio da matriz diagonalizadora 
P mediante a relação de semelhança
D P AP� �1 .
A matriz P é formada pelos autovetores da matriz A, ou seja, as colunas da matriz P 
são os autovetores de A, ou seja,
P v v vn= …( )1 2
243UNIDADE VIII
b) Escreva a matriz P que diagonaliza A.
c) Verifique que D P AP� �1 .
Resolução: 
a) Primeiramente, devemos calcular os autovalores de A, mas isso já foi feito 
no Exemplo 1, no qual foram encontrados l1 1= e l2 2= . Assim, como a 
matriz A é de ordem 2 e possui dois autovalores distintos, terá também dois 
autovetores linearmente independentes. Logo, A é diagonalizável, e sua forma 
diagonal é a matriz diagonal que possui os autovalores de A na diagonal, ou seja, 
D �
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1 0
0 2
.
b) Para escrevermos a matriz diagonalizadora P, precisamos dos autovetores de 
A, os quais já foram encontrados no exemplo 2 e são v1 1 1� � �,� e v2 0 1� � �,� , 
associados a l1 1= e l2 2= , respectivamente. Logo, para obter a matriz dia-
gonalizadora, basta escrever os autovetores nas colunas da matriz P, obtendo
P �
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1 0
1 1
.
c) Vamos verificar agora se de fato D P AP� �1 . Para isso, tomemos
P� �
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1 1 0
1 1
.
Assim:
P AP� �
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1 0
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0 2
D.
A matriz A � �
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1 0 2
1 0 1
1 1 2
 é diagonalizável? Em caso afirmativo, escreva a sua forma 
diagonal.
5 EXEMPLO
244 Diagonalização de Matrizes
Resolução: primeiramente, devemos encontrar os autovalores de A , porém isso já 
foi feito no Exemplo 3. Assim, os autovalores de A são l1 1 2� � , l2 1 2� � e 
l3 1= . Como os três autovalores são distintos, é garantido que a matriz dada possui 
três autovetores linearmente independentes. Assim sendo, a forma diagonal de A é:
1 0 0
0 1 2 0
0 0 1 2
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.
O próximo exemplo mostrará que mesmo que uma matriz de ordem não possua to-
dos os autovalores distintos, ainda assim ela pode possuir n autovetores linearmente 
independentes.
Verifique se a matriz A �
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1 3 3
0 4 0
3 3 1
 é diagonalizável.
Resolução: primeiramente, você deve encontrar os autovalores de A. Para esse fim, 
você deve resolver a equação característica det A I−( ) =λ 0. Ou seja
det
1 3 3
0 4 0
3 3 1
1 0 0
0 1 0
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0
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λ
λ
λ
.
Calculando o determinante acima, obtemos a equação característica
λ λ3 26 32 0.
6 EXEMPLO
245UNIDADE VIII
Resolvendo essa equação cúbica, você encontrará as raízes l1 2� � , l2 4= e l3 4= . 
Ou seja, a matriz A de ordem 3 possui apenas 2 autovalores diferentes. Porém, mesmo 
assim, ela pode possuir três autovetores linearmente independentes. Sendo assim, 
agora você deve calcular os seus autovetores. Para isso, você precisa resolver a equação 
A I�� � �l v 0 para cada autovalor encontrado. 
• Autovalor l1 2� � : seja o autovetor v x y z1 1 1 1� � �,� , associado a l1 2� � . A 
equação A I�� � �l v 0 fica escrita como
1 3 3
0 4 0
3 3 1
2 0 0
0 2 0
0 0 2
1
1
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o que fornece o sistema 
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1 1 1
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y
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,
o qual possui como solução: x z1 1= e y1 0= . E o vetor v1 fica escrito como 
v x x x1 1 1 10 1 0 1� � � � � �, , , , . Ou seja, v1 possui apenas uma variável independente. 
• Autovalor l l2 3 4= = : seja o autovetor v x y z2 2 2 2� � �,� , associado a l2 4= . A 
equação A I�� � �l v 0 fica escrita como
1 3 3
0 4 0
3 3 1
4 0 0
0 4 0
0 0 4
2
2
2
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0 0 0
3 3 3
0
0
0
2
2
2
x
y
z
��
�
�
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�
,
246 Diagonalização de Matrizes
o que fornece o sistema 
� � � �
�
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3 3 3 0
0 0
3 3 3 0
2 2 2
2
2 2 2
x y z
y
x y z
,
o qual possui como solução: x y z2 2 2� � . E o vetor v2 fica escrito como 
v y z y z y z2 2 2 2 2 2 21 1 0 1 0 1� �� � � � � � �� �,� , , , , , . Ou seja, v2 possui duas variáveis 
independentes e origina dois outros vetores linearmente independentes.
Dessa forma, os autovetores da matriz dada são: 1 0 1, ,� � associado a l1 2� � ; 
1 1 0, ,� � e �� �1 0 1, , associados a l1 4= . Como a matriz dada é de ordem 3 e possui 3 
autovetores linearmente independentes, ela é diagonalizável!
A sua forma diagonal é dada por 
D �
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2 0 0
0 4 0
0 0 4
,
E sua matriz diagonalizadora é dada por
P �
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 1 1
0 1 0
1 0 1
.
Neste momento, você já está apto a retornar ao problema proposto pelo seu amigo 
no início da unidade. Ou seja, como calcular a décima potência de uma matriz sem 
a necessidade de multiplicá-la por ela mesma dez vezes consecutivas? Para isso, 
veja o exemplo a seguir.
Dada a matriz A �
�
�
�
�
�
�
�
1 0
1 2
, calcule A10.
Resolução: Considere que A seja diagonalizável, ou seja, existe uma matriz dia-
gonalizadora P tal que D P AP� �1 , em queD seja a forma diagonal de A. Se você 
multiplicar a equação D P AP� �1 à esquerda por P e à direita por P−1, encontrará
7 EXEMPLO
247UNIDADE VIII
PDP PP APP IAI A� � �� � �1 1 1 .
Assim, A AA PDP PDP PDIDP PDDP PD P2 1 1 1 1 2 1� � � � �� � � � � .
Da mesma forma, 
A AAA PDP PDP PDP PDIDIPP PDDDP PD P3 1 1 1 1 1 3 1� � � � �� � � � � � .
Entendeu a lógica? Então, você pode escrever em geral
A PD Pn n= −1
Calcular PD Pn −1 é bem mais simples que calcular An diretamente, pois Dn é a po-
tência de uma matriz diagonal. 
Então, para calcular A10 necessitamos da forma diagonal de A, a qual representare-
mos por D, bem como da matriz diagonalizadora de P, a qual será representada por P.
No entanto, você já tem esses dados do Exemplo 4, ou seja,
D �
�
�
�
�
�
�
1 0
0 2
,
P �
�
�
�
�
�
�
1 0
1 1
,
P� �
�
�
�
�
�
�
�
1 1 0
1 1
.
Como D é diagonal, logo
D10
10
10
1 0
0 2
1 0
0 1024
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�.
E, por fim,
A PD P10 10 1= −
A10 1 0
1 1
1 0
0 1024
1 0
1 1
1 0
1023 1024
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�.
248
Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução.
1. Os autovalores da matriz A �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3 0 4
0 3 5
0 0 1
 são:
a) l1 2� � , l2 1= e l3 4= .
b) l1 1� � , l2 3� � e l3 3= .
c) l1 1� � , l2 3= e l3 3= .
d) l1 2� � , l2 3= e l3 3= .
e) l1 1� � , l2 3� � e l3 3� � .
2. A forma diagonal da matriz A �
�
�
�
�
�
�
�
�
5 3
8 3
 é dada por:
a) 1 0
0 2
�
�
�
�
�
�
c) 5 0
0 2
�
�
�
�
�
�
e) 1 0
0 3�
�
�
�
�
�
�
b) ��
�
�
�
�
�
1 0
0 9
d) 1 0
0 5�
�
�
�
�
�
�
249
3. A matriz diagonalizadora associada a A �
�
�
�
�
�
�
�
�
5 3
8 3
 é dada por:
a) 1 1
2 4
3
�
�
�
�
��
�
�
�
��
c) 1 1
4 1
3
� �
�
�
�
��
�
�
�
��
e) 3 1
1 4
3
�
�
�
�
��
�
�
�
��
4. Dada a matriz A �
�
�
�
�
�
�
�
�
5 3
8 3
, det( )A20 é igual a:
a) 920
b) 1
c) −920
d) 0
e) 35
5. Os autovalores da matriz A � �
�
�
�
�
�
1 4
2 3
 são:
a) l1 1� � e l2 2= .
b) l1 1� � e l2 5= .
c) l1 1= e l2 5� � .
d) l1 2� � e l2 1= .
e) l1 1� � e l2 5� � .
b) 1 1
3 4
3
�
�
�
�
��
�
�
�
��
d) � �
�
�
�
�
��
�
�
�
��
1 2
4 4
3
250
Álgebra Linear - Desde o Início
Autor: Érica A. Carlen e Maria C. Carvalho 
Editora: LTC
Sinopse: este livro é voltado à formação de estudantes de ciências e engenharia. 
A sua maior vantagem é a sua metodologia baseada na resolução de problemas. 
Além disso, a linguagem é extremamente simples.
Comentário: a leitura do capítulo sobre autovalores é altamente recomendada.
LIVRO
251
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. 10. ed. São Paulo: Editora Bookman, 2012.
FRANCO, N. M. B. Álgebra Linear. 1. ed. São Paulo: Editora Pearson, 2016.
HOLT, J. Álgebra Linear com Aplicações. 1. ed. São Paulo: Editora LTC, 2016.
LIMA, E. L. Álgebra Linear. 9. ed. Rio de Janeiro: Editora SBM, 2016.
252
1. Para resolver a esta questão, você deve resolver a equação característica det A I−( ) =λ 0 . Ou seja,
det
3 0 4
0 3 5
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
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�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�l ,
det
3 0 4
0 3 5
0 0 1
0 0
0 0
0 0
0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
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�
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�
�
�
�
�
�
�
�
�
l
l
l
,
det
3 0 4
0 3 5
0 0 1
0
� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
l
l
l
.
Calculando o determinante acima, obtemos a equação característica
λ λ λ3 25 3 9 0.
Resolvendo essa equação cúbica, você encontrará as raízes l1 1� � , l2 3= e l3 3= , as quais são os 
autovalores da matriz dada. Com isso, a resposta correta para esta questão é a alternativa c.
2. O primeiro passo é determinar os autovalores da matriz dada. Para determinar os autovalores de A, você 
deve resolver a equação característica det A I−( ) =λ 0 . Ou seja,
det
5 3
8 3
1 0
0 1
0
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �l ,
det
5 3
8 3
0
0
0
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
l
l
,
det
5 3
8 3
0
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
l
l
.
253
Essa última equação fornece o polinômio característico associado à matriz A:
5 3 24 0�� � �� � � �l l ,
l l2 4 9 0� � � .
As raízes desta equação são l1 1� � e l2 9= , os quais são os autovalores da matriz A. Dessa maneira, a 
forma diagonal da matriz dada é ��
�
�
�
�
�
1 0
0 9
. Assim, a resposta correta é a alternativa b.
3. A matriz desta questão é a mesma da anterior. Assim, para encontrar a matriz diagonalizadora da matriz 
dada, você deve determinar os autovetores de A. Os autovalores de A são l1 1� � e l2 9= . O próximo 
passo será resolver a equação A I�� � �l v 0 para cada autovalor encontrado, ou seja, você deve encontrar 
um autovetor v1 correspondente a l1 e um autovetor v2 correspondente a l2.
Seja o autovetor v x y1 1 1� � �,� associado a l1 1� � . A equação A I�� � �l v 0 fica escrita como
5 3
8 3
1 0
0 1
0
0
1
1
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
x
y
,
6 3
8 4
0
0
1
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
x
y
,
6 3 01 1x y� � ,
y x= 2 1.
Ou seja, o autovetor v1 é qualquer vetor cuja ordenada seja igual ao dobro da abcissa, ou seja, v x x1 1 12� � �,� . 
Tomando x k1 = , você encontra que v k1 1 2� � �,� .
254
Seja o autovetor v x y2 2 2� � �,� associado à l2 9= . A equação A I�� � �l v 0 fica escrita como
5 3
8 3
9 0
0 9
0
0
2
2
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
x
y
,
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
4 3
8 6
0
0
2
2
x
y
,
y x2 2
4
3
� � .
Ou seja, o autovetor v2 é qualquer vetor cuja ordenada −
4
3
 da abscissa, ou seja, v x x2 2 2
4
3
� ��
�
�
�
�
�,� . 
Tomando x t2 = , você encontra que v t2 1 4
3
� ��
�
�
�
�
�, � .
Assim, os vetores v1 1 2� � �,� e v2 1 4
3
� ��
�
�
�
�
�, � são autovetores da matriz dada.
Com isso, a matriz que diagonaliza A é dada por 
1 1
2 4
3
�
�
�
�
��
�
�
�
��
. Assim, a resposta correta é alternativa a.
4. Já sabemos do Exemplo 7 desta unidade que A PD Pn n� �� 1. Assim, calculando o determinante de ambos 
os lados deste equação e utilizando as propriedades dos determinantes, temos:
det A PD P P D P Dn n n n( ) det det )det ( det .= ( ) = ( )( ) = ( )− −1 1det
Como D �
��
�
�
�
�
�
1 0
0 9
, então D20
20
20
1 0
0 9
�
�� ��
�
�
�
�
�
�
� . Dessa forma, 
det A D( ) det .20 20 209� � � �
A resposta correta é a alternativa a.
255
5. Para determinar os autovalores de A , você deve resolver a equação característica det A I−( ) =λ 0. Ou seja,
det
1 4
2 3
1 0
0 1
0
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �l ,
det
1 4
2 3
0
0
0
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
l
l
,
det
1 4
2 3
0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
l
l
.
Essa última equação fornece o polinômio característico associado à matriz A:
1 3 8 0�� � �� � � �l l ,
l l2 4 5 0� � � .
As raízes desta equação são l1 1� � e l2 5= , os quais são os autovalores da matriz A. A resposta correta é 
a alternativa b.
256
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Dr. Ronni Amorim 
Dr. Ricardo Fragelli
Dr. Vinícius Rispoli
• Reconhecer e construir as equações das cônicas. • Identificar as cônicas a partir das equações bilineares gerais.
Cônicas: elipse, 
hipérbole e parábola
Identificação 
das cônicas
As Cônicas
Cônicas: Elipse, 
Hipérbole e Parábola
Prezado(a) aluno(a)! Nesta unidade você apren-
derá a classificar importantes lugares geométricos: 
as cônicas. Para se ter uma ideia da importância 
das cônicas, quando os planetas do sistema solar 
se movem em torno do Sol, descrevem uma tra-
jetória elíptica, na qual o Sol ocupa um dos focos. 
A elipse juntamente com a parábola e a hipérbole 
constituem as denominadas cônicas. Sendo assim, 
o objetivo desta unidade é identificar as cônicas 
a partir de uma forma bilineardada. Entretanto, 
antes de iniciarmos o nosso estudo acerca de tais 
objetos, considere a situação a seguir.
Quando Raul Garcia tinha 6 anos, um grande 
evento ocorreu nas proximidades da Terra e foi 
muito anunciado pela mídia. Tratava-se da pas-
sagem do Cometa Halley. Raul mobilizou toda a 
família e os amigos para observar o cometa, pois 
sabia que aquele seria um evento singular que se 
repetiria somente após 76 anos. Raul observou o 
cometa a partir de uma luneta e ficou realmente 
impressionado. A partir de então, o garoto tornou-
259UNIDADE IX
-se um fã de astronomia e estudou algumas características do cometa. Raul leu que, 
assim como os planetas do sistema solar, o cometa descrevia uma trajetória elíptica 
em torno do Sol, na qual o nosso astro-rei ocupava um dos focos. Raul também leu 
que a excentricidade de tal órbita era 0,967 e o seu semieixo maior correspondia a 18 
UA (unidades astronômicas). Raul até sabia o que é uma elipse, mas não compreendeu 
o que significava os termos semieixo e excentricidade. O objetivo de Raul era utilizar 
esses dados para descobrir a distância mais próxima que o cometa passava do Sol (o 
periélio), bem como a maior distância possível entre o cometa e o Sol (o afélio). Você 
poderia ajudar o Raul a compreender esses dados? Se ainda não souber, certamente no 
final desta unidade esses termos astronômicos se tornarão mais claros. Bom estudo! 
Você sabe o porquê das cônicas receberem este nome? Nesta seção, você entenderá 
a razão desta denominação, bem como aprenderá a classificar as cônicas a partir de 
uma equação bilinear geral. 
As cônicas recebem esta denominação por que são obtidas a partir da intersecção 
de um plano com um cone de revolução. De acordo com a forma que o plano inter-
cepta o cone, obtém-se uma cônica distinta (SANTOS, 2009). Veja a Figura 1 abaixo. 
Circunferência
Parábola Hipérbole
Elipse
Figura 1 - As cônicas 
Fonte: o autor.
Você estudará a construção da equação de cada cônica detalhadamente. A circunfe-
rência já foi estudada na Unidade 3. A análise será iniciada pela elipse.
260 As Cônicas
A elipse
Nesta subseção, você aprenderá o que é uma elipse e quais são as principais proprieda-
des desta cônica. Para esse fim, considere a definição dada a seguir (WINTERLE, 2014).
Assim como a reta, a circunferência e o plano, as cônicas também possuem equações 
que as representam. A partir de agora será construída a equação da elipse. Para esse 
fim, a Figura 2 será utilizada como referência.
DEFINIÇÃO 1
Sejam dois pontos distintos F1 e F2 pertencentes a um mesmo plano b e seja 2c a 
distância entre eles. Elipse é o conjunto de pontos P pertencentes a b tais que a soma 
das distâncias dos pontos P a F1 e F2 é constante e igual a 2a.
Essa definição pode ser escrita formalmente como:
Elipse = ∈ + ={ |P PF PF aβ 1 2 2
Observe a Figura 2 para definirmos os elementos fundamentais de uma elipse, quais sejam:
• F1e F2 são os focos;
• O é o centro;
• O segmento A A1 2 é denominado eixo real e mede 2a;
• O segmento B B1 2 é denominado eixo imaginário e mede 2b;
• A distância entre F1e F2 é denominada distância focal e mede 2c;
• A relação notável a b c2 2 2� � pode ser obtida via teorema de Pitágoras.
Figura 2 - Elipse
Fonte: o autor.
261UNIDADE IX
Note que a elipse dada na Figura 2 tem os eixos 
sobre os eixos x e y e possui os focos F1 e F2 sobre 
o eixo x. Dessa forma, as coordenadas dos focos 
são F c1 0� �� �, e F c2 0� � �, . Como as coordena-
das do ponto genérico são P x y� � �, , utilizando 
a equação da distância entre dois pontos (ou da 
norma de um vetor) temos que:
PF x c y1
2 20= +( ) + −( ) e 
PF x c y2
2 20= −( ) + −( )
Agora, partindo da definição de elipse, podemos escrever
PF PF a1 2 2+ = ,
o que nos fornece
x c y x c y a+( ) + −( ) + −( ) + −( ) =2 2 2 20 0 2
Podemos reescrever a equação anterior como
x c y a x c y+( ) + = − −( ) +2 2 2 22
Elevando ambos os membros ao quadrado e desenvolvendo o produto do lado di-
reito, chegamos a
x c y a a x c y x c y�� � � � � �� � � � �� � �2 2 2 2 2 2 24 4 ,
O que dá ainda
x xc c y a a x c y x xc c y2 2 2 2 2 2 2 2 22 4 4 2� � � � � �� � � � � � � .
Elipse
262 As Cônicas
Simplificando a última equação, obtemos
4 4 42 2 2xc a a x c y� � � �� � � ,
a qual pode ser escrita como
a x c y a xc−( ) + = −2 2 2
Elevando novamente ambos os membros ao quadrado, chegamos a
a x xc c y a a xc x c2 2 2 2 4 2 2 22 2� � �� � � � � ,
depois de simplificada, temos
a x a xc a c a y a a xc x c2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 22 2� � � � � � ,
a x a c a y a x c2 2 2 2 2 2 4 2 2� � � � ,
a x x c a y a a c2 2 2 2 2 2 4 2 2� � � � .
Colocando em evidência x2 no membro esquerdo e a2 no membro direito da equação 
anterior, obtemos
x a c a y a a c2 2 2 2 2 2 2 2�� � � � �� �
Observando a Figura 2, percebemos que b a c2 2 2� � ; assim, chegamos a
x b a y a b2 2 2 2 2 2� � .
Dividindo ambos os membros da equação anterior por a b2 2, temos finalmente
x
a
y
b
2
2
2
2 1� � .
Essa é a equação reduzida de uma elipse centrada na origem, com o eixo maior sobre 
o eixo x que possui o eixo maior medindo a e o eixo menor medindo b. 
263UNIDADE IX
Se o centro da elipse (o ponto C da Figura 2) não estiver na origem, mas for dado pelas 
coordenadas C p q,� �, com o eixo maior paralelo o eixo x e o eixo menor paralelo 
ao eixo y, e ainda que possui o eixo maior medindo a e o eixo menor medindo b, a 
equação reduzida da elipse é escrita como
x p
a
y q
b
�� �
�
�� �
�
2
2
2
2 1,
em que o eixo maior é paralelo ao eixo x. Se o eixo maior estivesse paralelo ao eixo 
y, a equação da elipse seria dada por 
x p
b
y q
a
�� �
�
�� �
�
2
2
2
2 1.
Para encontrar a equação geral da elipse, basta desenvolver a expressão acima. 
Observações:
• Definimos a excentricidade da elipse como a razão e c
a
= .
• Note que se a b= a elipse é uma circunferência.
• A circunferência é uma elipse de excentricidade nula.
Você entenderá melhor o conteúdo apresentado resolvendo exemplos que serão 
apresentados a seguir. 
Escreva a equação da elipse que possui centro no ponto C 2 3,�� � e eixos com medida 
6 e 10, estando o eixo maior paralelo ao eixo y.
Resolução: este problema é muito simples. Para resolvê-lo, basta utilizar a equação 
x p
a
y q
b
2
2
2
2 1.
Como as medidas dos eixos são 6 e 10, temos que a = 35 e b = 53. Assim, a equação da 
elipse procurada é 
x y�� �
�
�� �
�
2
3
3
5
1
2
2
2
2 ,
x y�� �
�
�� �
�
2
9
3
25
1
2 2
.
1 EXEMPLO
264 As Cônicas
Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo. 
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
Dada a elipse de equação x y x y2 24 4 32 32 0� � � � � , determine: 
a) o centro;
b) os focos;
c) a excentricidade.
Resolução: a equação dada não está na forma reduzida. Sendo assim, como primeiro 
passo, você deve completar os quadrados para escrevê-la na forma reduzida. Assim, 
x x y y2 24 4 32 32 0� � � � � ,
adicionando ( 4 64+ ) e subtraindo 4 64�� �, não alteramos o resultado da equação, 
mas obtemos os quadrados perfeitos desejados. Veja:
x x y y2 24 4 4 4 32 64 64 32 0� � � � � � � � � ,
x y�� � � �� � � � � �2 4 4 4 64 32 02 2 ,
x y�� � � �� � �2 4 4 362 2 .
Dividindo ambos os lados por 36, obtém-se:
x y�� �
�
�� �
�
2
36
4 4
36
1
2 2
,
x y�� �
�
�� �
�
2
36
4
9
1
2 2
,
x y�� �
�
�� �
�
2
6
4
3
1
2
2
2
2 .
2 EXEMPLO
265UNIDADE IX
Com isso, fica fácil reconhecer o centro C 2 4,� � e as medidas dos semieixos como 
a = 6 e b = 3. 
As respostas às alternativas ficam dadas por:
a) C 2 4,� �.
b) Para determinarmos os focos, antes precisamos calcular o valor do parâmetro 
c. Sabemos que c a b2 2 2� � , assim, c = 3 3 . Dessa forma, observando a Fi-
gura 2, percebemos que, para obtermos os focos, como eles estão sobre o eixo 
principal da elipse, basta somarmos e subtrairmos o valor encontrado para c 
da abscissa do centro. Com isso, temos: F1 2 3 3 4� �� �,� e F2 2 3 3 4� �� �,� .
c) A excentricidade é dada por e c
a
= , dessa forma, para este problema temoshttp://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D2%5Ctimes 2%0A%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D2%5Ctimes 2%0A%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D2%5Ctimes 2%0A%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D2%5Ctimes 2%0A%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D2%5Ctimes 2%0A%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D2%5Ctimes 2%0A%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D2%5Ctimes 2%0A%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D2%5Ctimes 2%0A%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D2%5Ctimes 2%0A%0A%0A%0A%0A
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D2%5Ctimes 2%0A%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D2%5Ctimes 2%0A%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D2%5Ctimes 2%0A%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D2%5Ctimes 2%0A%0A%0A%0A%0A
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dx%3D-2%0A%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dx%3D-2%0A%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3y%3D12%0A%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3y%3D12%0A%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3y%3D12%0A%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3y%3D12%0A%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3y%3D12%0A%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3y%3D12%0A%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3y%3D12%0A%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3y%3D12%0A%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3y%3D12%0A%0A%0A%0A%0A
18 Matrizes
As matrizes podem ser classificadas de acordo 
com algumas características que apresentam. A 
seguir você estudará os principais tipos de matrizes 
(FRANCO, 2016).
A) Matriz Quadrada
Uma matriz é quadrada quando o número de li-
nhas é igual ao número de colunas, isto é, Am n× é 
quadrada quando m n= .
Alguns exemplos de matrizes quadradas são
B A=
1 3 2
5 2 7
3 0 1
=
5 1
2 1
−
−
−










−





Note que a matriz B é de ordem 3 3× e a matriz A é 
de ordem 2 2× . Podemos dizer simplesmente que as 
matrizes A e B são de ordem 3 e 2, respectivamente.
Classificação 
das Matrizes
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_%7Bm%5Ctimes n%7D%0A%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_%7Bm%5Ctimes n%7D%0A%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_%7Bm%5Ctimes n%7D%0A%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_%7Bm%5Ctimes n%7D%0A%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_%7Bm%5Ctimes n%7D%0A%0A%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA_%7Bm%5Ctimes n%7D%0A%0A%0A%0A%0A
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB%0A%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3 %5Ctimes 3%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3 %5Ctimes 3%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3 %5Ctimes 3%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3 %5Ctimes 3%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D3 %5Ctimes 3%0A%0A
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%0A%0A
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%0A%0A
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%0A%0A
19UNIDADE I
B) Matriz Nula
Uma matriz é nula quando todos os seus elementos são iguais a zero. Como exemplo, 
as matrizes A e B abaixo são nulas.
B A=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
=
0 0
0 0
















C) Matriz Linha e Matriz Coluna
Outros tipos de matrizes especiais são as matrizes linha e coluna. A matriz linha 
é aquela que possui apenas uma linha (A n1× ). Como exemplos de matrizes linhas, 
considere as matrizes abaixo
A B= (1 1 4) = ( 2 3)− −
Já a matriz coluna é aquela que possui apenas uma coluna (Am×1). Você pode visualizar 
exemplos de matrizes colunas a seguir
1
1
4
2
0
3
5
−










−
−












As matrizes colunas serão importantes na representação de vetores, conforme você 
perceberá na continuidade do nosso curso.
D) Matriz Diagonal
Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada em que aij = 0 para todo i j= , ou seja,e = =
3 3
6
3
2
Agora que você já conhece a elipse e suas propriedades, o estudo focará a hipérbole.
A Hipérbole
A hipérbole é outra cônica que é muito utilizada em aplicações práticas. Por exem-
plo, em telescópios de reflexão, o espelho menor é hiperbólico. O telescópio Hubble, 
em órbita a 600 km da Terra desde 1990, utiliza o sistema com espelho secundário 
hiperbólico. Nesta subseção, você estudará a definição de hipérbole, bem como suas 
propriedades.
O nosso objetivo agora é encontrar uma equação que descreva a hipérbole. Para 
esse fim, considere a hipérbole dada na Figura 3. 
Figura 3 - Hipérbole
Fonte: o autor.
266 As Cônicas
Observe a Figura 3 para definirmos os elementos fundamentais de 
uma hipérbole, quais sejam:
• F1 e F2 são os focos;
• O é o centro;
• O segmento A A1 2 é denominado eixo real e mede 2a;
• O segmento B B1 2 é denominado eixo imaginário e mede 2b;
• A distância entre F1 e F2 é denominada distância focal e 
mede 2c ;
• A relação notável bc a2 2 2 pode ser obtida via teorema 
de Pitágoras.
DEFINIÇÃO 2
Sejam dois pontos distintos F1e F2 pertencentes a um mesmo plano b e seja 2c a 
distância entre eles. Hipérbole é o conjunto de pontos P pertencentes a b tais que o 
valor absoluto da diferença das distâncias dos pontos P a F1 e F2 é constante e igual 
a 2a (0 2 2os únicos elementos diferentes de zero são aqueles que se encontram na diagonal da 
matriz. A seguir você pode visualizar dois exemplos de matrizes diagonais.
A B=
1 0 0
0 2 0
0 0 5
=
5 0
0 3
−
















As matrizes A e B dadas acima são diagonais.
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20 Matrizes
E) Matriz Identidade
A matriz identidade é uma matriz diagonal na qual os elementos não-nulos são 
iguais a 1. Se uma matriz A é diagonal, temos aij = 0 se i j= e aij = 1 se i j= . Repre-
sentaremos a matriz identidade de ordem n n× simplesmente por In. São exemplos 
de matrizes identidades as indicadas abaixo:
I I3 2=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
=
1 0
0 1
















A matriz I2 é a matriz identidade de ordem 2 e a matriz I3 é a matriz identidade de ordem 3.
F) Matriz Triangular Superior
Uma matriz A é denominada triangular superior se aij = 0 se i j> . Isto é, na matriz 
triangular superior, temos que os elementos abaixo da diagonal são todos nulos. 
Alguns exemplos de matrizes triangulares superiores seguem abaixo:
3 1 4
0 2 7
0 0 6
3 5
0 9
3 1 4 5
0 2 7 3
0 0 3 6
0 0 0 4
−









−





−
−












G) Matriz Triangular Inferior
Uma matriz A é denominada triangular inferior se aij = 0 se i jhttp://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Di%3Dj%0A
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Lucas gonçalves
Lucas gonçalves
Lucas gonçalves
Lucas gonçalves
Lucas gonçalves
Lucas gonçalves
Lucas gonçalves
Lucas gonçalves
Lucas gonçalves
Lucas gonçalves
matriz superior os numeros tods na parte de cima e os nulos na parte de baixo 
Lucas gonçalves
Lucas gonçalves
Lucas gonçalves
Lucas gonçalves
matriz inferior os nulos todos na parte de cima da matriz 
21UNIDADE I
Nesta seção, você aprenderá as principais opera-
ções envolvendo as matrizes, quais sejam: a adição 
e subtração; a multiplicação de um escalar por 
uma matriz; a multiplicação entre matrizes e a 
transposição de matrizes.
Adição de Matrizes
Você sabe em quais condições podemos somar 
duas matrizes? A única condição exigida para que 
duas matrizes sejam adicionadas é que ambas pos-
suam a mesma ordem. Ou seja, dadas a matriz 
Am n× e a matriz Br s× , A e B podem ser adiciona-
das se, e somente se, m r= e n s= . Você obtém 
o resultado da soma, adicionando os elementos 
correspondentes de cada matriz.
Dessa forma, se temos A aij= ( ) e B bij= ( ), en-
tão a matriz C cij= ( ) obtida pela soma C A B= + 
possui os elementos dados por c a bij ij ij= + .
Cálculo Matricial
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
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http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%3Dr
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%3Dr
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%3Dr
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%3Dr
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%3Dr
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%3Dr
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%3Dr
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%3Dr
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%3Dr
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%3Dr
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%3Dr
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%3Dr
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%3Dr
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%3Dr
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%3Dr
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%3Dr
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%3Dr
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%3Dr
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%3Dr
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%3Dr
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%3Dr
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%3Dr
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%3Dr
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%3Dr
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%3Dr
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%3Dr
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%3Dr
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%3Dr
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%3Dr
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7Dm%3Dr
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%3D(a_%7Bij%7D)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%3D(a_%7Bij%7D)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%3D(a_%7Bij%7D)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB%3D(b_%7Bij%7D)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB%3D(b_%7Bij%7D)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB%3D(b_%7Bij%7D)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB%3D(b_%7Bij%7D)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB%3D(b_%7Bij%7D)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB%3D(b_%7Bij%7D)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB%3D(b_%7Bij%7D)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB%3D(b_%7Bij%7D)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DC%3D(c_%7Bij%7D)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DC%3D(c_%7Bij%7D)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DC%3D(c_%7Bij%7D)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DC%3D(c_%7Bij%7D)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DC%3D(c_%7Bij%7D)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DC%3D(c_%7Bij%7D)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DC%3D(c_%7Bij%7D)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DC%3DA%2BB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DC%3DA%2BB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DC%3DA%2BB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DC%3DA%2BB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DC%3DA%2BB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DC%3DA%2BB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DC%3DA%2BB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DC%3DA%2BB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DC%3DA%2BB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DC%3DA%2BB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DC%3DA%2BB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DC%3DA%2BB
22 MatrizesComo exemplo, calculemos a soma das matrizes A e B dadas a seguir:
A B=
3 0 1
2 5 7
1 1 3
= .
5 3 2
3 9 11
13 7 8
−
−










−
−
−










Resolução: temos que
A B�
� � � �
� � � � �
� � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
=
3 5 0 3 1 ( 2)
2 3 5 9 7 ( 11)
1 13 1 7 3 ( 8)
=
8 3 11
1 14 4
14 6 5
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Propriedades da Adição de Matrizes
Sejam A e B duas matrizes de mesma ordem. Em relação à adição matricial, as se-
guintes propriedades são satisfeitas:
1. Comutatividade: A B B A+ += .
2. Associatividade: A B C A B C+ + + +( ) = ( ) .
3. Elemento Neutro: 0 = 0+ +A A , onde 0 é a matriz nula.
4. Elemento Oposto: existe a matriz ( )−A tal que A A� �( ) = 0.
Verifique você mesmo as propriedades da adição para as matrizes A e B abaixo.
A B=
3 0 1
2 5 7
1 1 3
=
5 3 2
3 9 11
13 7 8
.−
−










−
−
−










Agora vai um desafio para você!
Dada a matriz
A =
1 5 3
4 2 0
3 4 9
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Desafio você a encontrar a matriz B , tal que quando somada com a matriz A origine 
a matriz nula.
2 EXEMPLO
1 DESAFIO
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D0%2BA%3DA%2B0
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D0%2BA%3DA%2B0
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D0%2BA%3DA%2B0
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D0%2BA%3DA%2B0
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D0%2BA%3DA%2B0
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D0%2BA%3DA%2B0
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D0%2BA%3DA%2B0
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D0%2BA%3DA%2B0
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D0%2BA%3DA%2B0
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D0%2BA%3DA%2B0
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D0%2BA%3DA%2B0
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D0%2BA%3DA%2B0
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D(-A)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D(-A)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D(-A)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D(-A)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D(-A)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D(-A)
Lucas gonçalves
Lucas gonçalves
Lucas gonçalves
Lucas gonçalves
Lucas gonçalves
Lucas gonçalves
Lucas gonçalves
tenho uma matriz 3x3  identicas que cabem soma .
Lucas gonçalves
matiz c
Lucas gonçalves
-1     -5       -34       -2       03       -4       9
Lucas gonçalves
Lucas gonçalves
Lucas gonçalves
irá representa a matriz nula B=0
23UNIDADE I
Multiplicação por Escalar
Outra importante operação no cálculo matricial é a multiplicação de uma matriz 
por um número real, o qual denominaremos escalar (denominaremos por escalar 
qualquer número real).
Para realizar a multiplicação de um número real por uma matriz, basta multiplicar 
cada elemento da matriz por tal número (HOLT, 2016). Considere então uma matriz 
A aij= ( ) e um escalar a. Denotaremos o produto aA B= , onde B bij= ( ) e b aij ij=α .
Você perceberá o quanto é fácil realizar essa operação com a resolução do exemplo a seguir.
Seja a matriz
A =
3
2
1
0
5
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
Calcule −2A .
Resolução: para realizar esse cálculo, basta multiplicar os elementos de A por −2. 
Fazendo isso, encontramos:
�
�
� �
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2 =
2 3
2 2
2 1
0
2 5
2 1
=
6
4
2
0
10
2
A
.
( ).( )
.
.
( ).( )
��
�
�
�
�
�
�
�
Multiplicação de Matrizes
A multiplicação entre matrizes será a operação que você mais utilizará no decorrer 
dessa disciplina. Apesar de sua definição formal não ser tão intuitiva, realizar o cálculo, 
conforme você notará, não é tão difícil assim.
Antes de estudarmos a definição do produto matricial, é importante que você conheça 
algumas observações importantes. A primeira delas é que a ordem em que as matrizes 
são multiplicadas é importante, ou seja, caso você troque a ordem das matrizes, em geral, 
o resultado do produto será diferente. A essa observação, denominamos não-comutati-
vidade. A segunda observação é que, conforme você notará na definição do produto, ele 
só é possível de ser realizado quando a matriz da esquerda tiver o número de colunas 
igual ao número de linhas da matriz da direita. E mais, a matriz obtida no produto possui 
o número de linhas da matriz da esquerda e o número de colunas da matriz da direita.
3 EXEMPLO
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%3D(a_%7Bij%7D)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%3D(a_%7Bij%7D)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%3D(a_%7Bij%7D)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%3D(a_%7Bij%7D)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%3D(a_%7Bij%7D)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%3D(a_%7Bij%7D)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%3D(a_%7Bij%7D)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5Calpha
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5Calpha
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5Calpha
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5Calpha
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5Calpha
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5Calpha
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5Calpha
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5Calpha A%3DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5Calpha A%3DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5Calpha A%3DB
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB%3D(b_%7Bij%7D)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB%3D(b_%7Bij%7D)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB%3D(b_%7Bij%7D)
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DB%3D(b_%7Bij%7D)
Lucas gonçalves
-6      0 4     -10 -2    +2
Lucas gonçalves
mitplicar por -2
24 Matrizes
Observe, então, a definição de tal produto.
DEFINIÇÃO 1
O produto de duas matrizes, tais que o número de colunas da primeira é igual ao 
número de linhas da segunda, A aij m k= ( ) × e B bij k n= ( ) × é definido pela matriz 
C AB c ji m n= = ( ) × , calculado da seguinte forma
c a b a b a bij i j i j ik kj
l
k
= =1 1 2 2
=1
+ + + ∑…
 
Observando a definição, percebemos que, na multiplicação matricial, o elemento ij 
da matriz resultante do produto AB é obtido da soma dos produtos dos elementos 
i-ésima linha de A pela j-ésima coluna de B.
Você pode observar como isso é feito a partir do exemplo a seguir.
Sejam as matrizes
= −
−










3
2
1
0
5
1
B=










5
3
3
3
1
0
-2
-4
-1
.
calcule o produto C BA= .
Antes de calcularmos o produto BA, precisamos verificar se ele é definido. Para esse 
fim, basta verificar se o número de colunas de B é igual ao número de linhas de A. 
Como B possui 3 colunas e A possui 3 linhas, o produto em questão é definido. Agora, 
podemos efetuar o cálculo.
C BA= = −
−










3
2
1
0
5
1










5
3
3
3
1
0
-2
-4
-1
C BA� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
7
3
8
17
9
1
.
4 EXEMPLO
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%3D(a_%7Bij%7D)_%7Bm%5Ctimes k%7D%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%3D(a_%7Bij%7D)_%7Bm%5Ctimes k%7D%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7DA%3D(a_%7Bij%7D)_%7Bm%5Ctimes k%7D%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%24B%3D(b_%7Bij%7D)_%7Bk%5Ctimes n%7D%24%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%24B%3D(b_%7Bij%7D)_%7Bk%5Ctimes n%7D%24%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%24B%3D(b_%7Bij%7D)_%7Bk%5Ctimes n%7D%24%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%24B%3D(b_%7Bij%7D)_%7Bk%5Ctimes n%7D%24%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%24B%3D(b_%7Bij%7D)_%7Bk%5Ctimes n%7D%24%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%24B%3D(b_%7Bij%7D)_%7Bk%5Ctimes n%7D%24%0A%0A
http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%24B%3D(b_%7Bij%7D)_%7Bk%5Ctimes