ELABORACAO-DE-TABELAS-PRATICAS-PARA-O-DIMENSIONAMENTO-DE-LAJES-E-VIGAS-DE-CONCRETO-ARMADO

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INSTITUTO DE ENSINO SUPERIOR PLANALTO 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
ELABORAÇÃO DE TABELAS PRÁTICAS PARA O 
DIMENSIONAMENTO DE LAJES E VIGAS DE CONCRETO ARMADO 
 
 
EDENVAL VAZ JÚNIOR 
 
 
ORIENTADOR: LI CHONG LEE BACELAR DE CASTRO. 
 
 
 
PROJETO FINAL DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
PUBLICAÇÃO: IESPlan. EnC. PFG 215/2013. 
Brasília-DF – Dezembro/2013 
ii 
 
INSTITUTO DE ENSINO SUPERIOR PLANALTO 
 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
ELABORAÇÃO DE TABELAS PRÁTICAS PARA O 
DIMENSIONAMENTO DE LAJES E VIGAS DE CONCRETO ARMADO 
 
EDENVAL VAZ JÚNIOR 
 
 
PROJETO FINAL SUBMETIDO AO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
DO INSTITUTO DE ENSINO SUPERIOR PLANALTO COMO PARTE DOS 
REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO 
CIVIL. 
 
APROVADO POR: 
 
LI CHONG LEE BACELAR DE CASTRO, Eng.º Civil, D.Sc, IESPlan 
(ORIENTADOR) 
 
JOSÉ DE ARAUJO SILVA, Arq. e Urb., Esp., IESPlan (EXAMINADOR INTERNO) 
 
CAIO CÍCERO MADRID MAGALHÃES, Eng.º Civil e Advogado, Esp., TJDFT 
(EXAMINADOR EXTERNO) 
 
Brasília-DF – Dezembro/2013 
iii 
 
FICHA CATALOGRÁFICA 
VAZ JÚNIOR, EDENVAL, 
Elaboração de tabelas práticas para o dimensionamento de lajes e vigas de 
concreto armado. Distrito Federal, 2013. xiv, 139 p., 210x297 mm (EnC,/ 
IESPlan, Engenheiro Civil, 2013). 
Projeto Final de Graduação – IESPlan, Departamento de Engenharia Civil. 
1. Concreto Armado 2. Elementos Estruturais 
3. Dimensionamento no ELU 4. Ductibilidade 
I. EnC / IESPlan II. Engenheiro Civil 
 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
VAZ JÚNIOR, E. Elaboração de tabelas práticas para o dimensionamento de lajes e 
vigas de concreto armado, 2013. 139p. Projeto Final de Graduação, Publicação 
ENC. PJ – 215/2013, Departamento de Engenharia Civil, Instituto de Ensino 
Superior Planalto, Brasília, DF. 
 
CESSÃO DE DIREITOS 
NOME DO AUTOR: Edenval Vaz Júnior. 
TÍTULO DO PROJETO FINAL: Elaboração de tabelas práticas para o 
dimensionamento de lajes e vigas de concreto armado 
GRAU: Graduação ANO: 2013. 
 
É concedido ao Instituto de Ensino Superior Planalto a permissão para reproduzir 
cópias deste projeto final e para emprestar ou vender tais cópias somente para 
propósitos acadêmicos e científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e 
nenhuma parte deste projeto final de graduação pode ser reproduzido sem a 
autorização por escrito do autor. 
 
Edenval Vaz Júnior 
Av. Gomes Rabelo Qd. 63, Lote 10, Setor Tradicional 
73330-017 - Planaltina/DF - Brasil 
iv 
 
RESUMO 
 
As estruturas de concreto armado sugiram para vencer os obstáculos 
impostos pelas antigas construções, formadas por materiais como a pedra e a 
madeira. A partir do concreto armado foi possível juntar em um único material 
características de resistência à compressão e à tração. O dimensionamento da 
estrutura de concreto armado deve ocorrer em relação ao estado limite último (ELU), 
visto que esse estado está relacionado ao colapso ou a qualquer outra forma de 
ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da estrutura. É importante ainda 
eliminar parte do domínio 3, visando garantir a ductibilidade da armadura. O objetivo 
do estudo é elaborar tabelas práticas para o dimensionamento de lajes e vigas de 
concreto armado no estado limite último, tornado o processo de dimensionamento 
desses elementos estruturais mais ágil e possibilitando a integração das disciplinas 
de Concreto Armado I e II com a disciplina de Projeto Estrutural de Edifícios. As 
tabelas foram elaboradas com auxílio do programa Microsoft Excel, e conforme 
prescrições da NBR 6118:2007, que dita os procedimentos para projeto de 
estruturas de concreto armado e protendido. As tabelas foram testadas e utilizadas 
para o dimensionamento da cobertura de um edifício comercial, seus resultados 
foram satisfatórios, demonstrando a possibilidade de tornar prático e ágil o 
dimensionamento de elementos estruturais em edifícios de pequeno porte. 
 
Palavras-chave: Concreto Armado; Elementos Estruturais; Dimensionamento no 
ELU; Tabelas Práticas; Ductibilidade. 
 
 
 
 
 
 
 
v 
 
SUMÁRIO 
 
 
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................... 1 
1.1 Breve histórico ................................................................................................ 1 
1.2 Motivação ....................................................................................................... 2 
1.3 Objetivo........................................................................................................... 3 
1.4 Metodologia .................................................................................................... 3 
1.5 Escopo.. .......................................................................................................... 3 
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .......................................................................... 5 
2.1 Elementos estruturais ..................................................................................... 5 
2.2 Projeto de estruturas ...................................................................................... 7 
2.3 Normas Técnicas ............................................................................................ 8 
2.4 Concepção estrutural (pré-projeto) ................................................................. 8 
2.5 Pré-dimensionamento dos elementos estruturais ......................................... 10 
2.5.1 Pré-dimensionamento da lajes ..................................................................... 11 
2.5.2 Pré-dimensionamento das vigas ................................................................... 12 
2.5.3 Pré-dimensionamento dos pilares ................................................................ 13 
2.6 Análise estrutural .......................................................................................... 14 
2.7 Dimensionamento para o estado limite último (ELU) .................................... 17 
2.7.1 Considerações iniciais .................................................................................. 17 
2.7.2 Seções retangulares com armadura longitudinal simples ............................. 21 
2.7.3 Roteiro para o dimensionamento de seções retangulares ............................ 24 
2.7.4 Cálculo da armadura transversal .................................................................. 24 
2.7.4.1 Verificação do estado limite último ............................................................... 26 
2.7.4.2 Modelo de cálculo ......................................................................................... 27 
3 TABELAS PRÁTICAS ................................................................................. 29 
3.1 Tabelas práticas para laje maciça retangular ............................................... 29 
3.2 Tabelas práticas para vigas ......................................................................... 32 
3.2.1 Armadura longitudinal ................................................................................... 32 
3.2.2 Armadura transversal ................................................................................... 33 
 
vi 
 
4 DIMENSIONAMENTO DE UM EDIFÍCIO COM TABELAS PRÁTICAS ...... 35 
4.1 Pré-lançamento da estrutura ........................................................................ 35 
4.2 Dimensionamento das lajes da cobertura ..................................................... 37 
4.2.1 Verificação da flecha da laje mais solicitada................................................. 44 
4.2.1.1 Verificação se há fissuras ............................................................................. 44 
4.2.1.2 Flecha imediata ............................................................................................ 45 
4.2.1.3 Flecha total.....da armadura longitudinal de tração, e ancorados na 
face oposta. O diâmetro da barra que constitui o estribo deve ser maior ou igual a 
5mm, sem exceder 1/10 da largura da alma da viga (5 mm ≤ φt ≤ b/10). Quando a 
barra for lisa, seu diâmetro não pode ser superior a 12mm. 
34 
 
O espaçamento mínimo entre estribos, medido segundo o eixo longitudinal 
do elemento estrutural, deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador, 
garantindo um bom adensamento da massa. O espaçamento máximo deve atender 
às seguintes condições da NBR 6118:2007, item 18.3.3.2: 
 Se Vsd ≤ 0,67 VRd2, então smáx = 0,6 . d ≤ 300mm; 
 Se Vsd > 0,67 VRd2, então smáx = 0,3 . d ≤ 200mm. 
A partir dessas recomendações, das prescrições da NBR 6118:2007 do 
modelo de cálculo I e utilizando o programa Microsoft Excel é possível desenvolver 
tabelas práticas para o cálculo da armadura transversal das vigas de concreto 
armado, conforme Tabela 3.5. 
Tabela 3.5 - Hipóteses para armadura transversal para viga. 
Hipóteses para armadura transversal - Modelo de cálculo I 
Vsd ≤ VRd2 VRd2 = 0,27 . (1 - fck/250) . Ϭcd . b . d 
Vsd = Vsw + Vc 
Vc = 0,6 . fctd . b . d 
Vsw = (Asw / s) . 0,9 . d . Ϭsd 
Cálculo do Esforço Cortante de Serviço: 
 
Vsd = (Asw / s) . 0,9 . d . Ϭsd + 0,6 . 0,15 . fck
2/3 . b . d ≤ VRd2 
 
Área de aço mínima (cm²/m) 
Asw,min = 0,10% . 100 . b 
 
Obs: de acordo com NBR 6118, a tensão de escoamento do aço a ser adotada nos cálculos dos 
estribos não pode ser superior a 435 MPa. 
Para utilizar as tabelas práticas de armadura transversal, localizadas no 
apêndice B (Tabelas A.25 ao A.34), é necessário primeiro obter o maior esforço 
cortante de serviço na viga, e de posse desse esforço e da seção transversal (b x h), 
deve-se escolher a bitola e o espaçamento adequado. 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
4 DIMENSIONAMENTO DE UM EDIFÍCIO COM TABELAS PRÁTICAS 
O edifício a ser dimensionado é composto por subsolo, pavimento térreo, 
mezanino, 1ª pavimento e cobertura. Trata-se de um edifício comercial com depósito 
no subsolo, uma loja no pavimento térreo com copa e lavabo, e o 1ª pavimento com 
uma loja/escritório com copa e lavabo. A cobertura do edifício é composta por 
estrutura metálica e telha de fibrocimento embutida em platibanda de h: 1,00m, além 
de possuir um reservatório de 750l. 
A escolha dos materiais utilizados na estrutura deve ser realizada antes do 
início do dimensionamento, visto que para o dimensionamento é necessário 
conhecer a disponibilidade comercial e as características físico-químicas dos 
materiais empregados. Para os aços, emprega-se o aço CA-50 nos elementos 
estruturais que exigem barras de maior diâmetro (armadura longitudinais de vigas, 
pilares, escadas e fundação). Já locais que exigem barras de pequeno diâmetro 
(estribos, armaduras de lajes com pequenos carregamentos ou marquises) serão 
empregados o aço CA-60. 
De acordo com Araújo (2009), é conveniente reduzir o número de diâmetros 
empregados no projeto, tendo em vista que uma maior uniformização dos diâmetros 
utilizados permite um maior aproveitamento de sobras, reduzindo as perdas. 
É preciso ainda definir a resistência à compressão do concreto e a classe da 
agressividade ambiental, neste dimensionamento será adotado a classe do concreto 
C-25 (fck = 25 MPa aos 28 dias) e classe de agressividade ambiental II (CAA-II). 
 
4.1 Pré-lançamento da estrutura 
A partir do projeto arquitetônico (Anexo I), define-se as locações dos 
elementos estruturais de acordo o modelo convencional, procurando não ultrapassar 
a distância de 6 m entre um pilar e outro. Para o pré-dimensionamento foi 
considerado os seguintes fatores: vãos de lajes e vigas, altura do edifício, área de 
influência dos pilares, etc. 
36 
 
O pré-dimensionamento dos pilares foi definido a partir de estimativas 
preliminares do carregamento, por meio do processo das áreas de influência, 
conforme Tabela 4.1. 
Tabela 4.1 – Pré-dimensionamento dos pilares 
Pilar b (cm) α Ai (m²) n + 0,7 fcd (kN/cm²) hcalc (cm) hadot (cm) 
P1 12,0 1,8 4,22 2,7 2,5 16,19 40,0 
P2 12,0 1,8 4,22 3,7 2,5 22,19 40,0 
P3 12,0 1,3 4,00 2,7 2,5 11,08 40,0 
P4 12,0 1,3 6,00 2,7 2,5 16,62 40,0 
P5 12,0 1,3 4,00 3,7 2,5 15,19 40,0 
P6 12,0 1,3 7,50 3,7 2,5 28,48 40,0 
P7 12,0 1,3 3,00 3,7 2,5 11,39 40,0 
P8 12,0 1,3 4,20 1,7 2,5 7,33 40,0 
P9* 43,0 95,0 
P10* 36,0 95,0 
PC1 12,0 1,8 2,00 1,7 2,5 4,83 40,0 
PM1 12,0 1,3 6,60 0,7 2,5 4,74 40,0 
P9* e P10* já apresentam as pré-dimensões, conforme arquitetura; 
 
ℎ𝑐𝑎𝑙𝑐 =
30. 𝛼.𝐴𝑖 . (𝑛 + 0,7)
(𝑓𝑐𝑘 + 0,01. 69,2 − 𝑓𝑐𝑘 .𝑏
 
 
Obs: A dimensão adotada dos pilares serão de 12cm x 40cm, tendo em vista que de acordo 
com a NBR 6118 a menor seção possível para um pilar é de 12cm x 30cm (360cm²). 
As larguras das seções das vigas e pilares foram escolhidas procurando-se 
escondê-las dentro das paredes, sempre que possível. Logo para as vigas e pilares 
embutidas nas paredes de 15cm adotou-se uma largura de b = 12cm. E o pré-
dimensionamento da altura das vigas estão representados na Tabela 4.2. 
Os vãos na estrutura foram obtidos a partir dos vãos do projeto 
arquitetônico, acrescentando-se as espessuras de reboca para cada lado. Assim 
para uma viga de 12 cm de largura embutida em uma parede de 15 cm de 
espessura, considera-se um reboco de 1,5 cm de espessura para cada lado da viga. 
Tabela 4.2 – Pré-dimensionamento das vigas 
Vigas Maio Vão (cm) hcalc (cm) hadotado(cm) 
VB01 = V101 = V201 = V301 = V401 485 48,50 45,00 
VB02 = V102 = V302 = V402 245 24,50 25,00 
VB03 = V104 = V204 = V303 = V403 485 48,50 45,00 
VB04 = V105 = V304 = V404 440 44,00 45,00 
VB05 = V106 = V305 = V405 328 32,80 45,00 
VB06 = V107 = V206 = V306 = V406 180 18,00 25,00 
VB07 = V108 = V307 = V407 350 35,00 45,00 
(continua) 
37 
 
(continuação) 
Vigas Maio Vão (cm) hcalc (cm) hadotado(cm) 
V103 = V203 240 24,00 25,00 
V202 245 24,50 35,00 
V205 = V208 328 32,80 45,00 
V207 328 32,80 35,00 
Nota: ℎ𝑐𝑎𝑙𝑐 = 
𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑣ã𝑜
10
 
Conforme critério proposto por Carvalho et al. (2009), para lajes maciças em 
concreto armado, a altura útil (d) pode ser estimada por meio da expressão d ≥ 
l/Ψ2 . Ψ3 (equação 2.3). Logo o pré-dimensionamento das lajes está representado na 
Tabela 4.3, note que a título de simplificação e visando dar uma uniformidade a 
estrutura, a laje foi pré-dimensionada apenas para a laje de maior dimensão, 
estendendo a altura estimada para as demais lajes. A vantagem de trabalhar com 
lajes de tamanhos iguais e a uniformidade no escoramento é a facilidade no 
detalhamento das armaduras. 
Tabela 4.3 – Pré-dimensionamento da laje 
Laje lx (cm) ly (cm) Tipo(1) = ly / lx 2
(2) 3
(2) dcalc 
(cm) 
hadot (cm) 
L404 350 485 2B 1,39 1,58 25 8,9 10,0 
Obs: 
(1)
 Classificação da laje de acordo com os vínculos das bordas, nesse caso trata-se de uma laje 
com uma borda engastada e as demais apoiadas; 
(2)
 Valores retirados da tabela 2.1a. (PINHEIRO, 2007) 
 
4.2 Dimensionamento das lajes da cobertura 
Esse trabalho apresentará apenas o dimensionamento das lajes da 
cobertura do projeto em anexo, procurando mostrar a viabilidade e prática do uso 
das tabelas propostas. Os momentos e reações das lajes serão calculados com o 
auxílio das tabelas de Pinheiro, em anexo. 
As cargas a serem consideradas para o cálculo das lajes da cobertura são 
peso próprio, revestimento, carga da caixa d’água de 750 litros,carga acidental e 
carga do telhado. Considerando a espessura h = 10cm, de acordo com a Tabela 4.3, 
para todas as lajes, resulta o peso próprio 25 kN/m² x 0,10m = 2,5 kN/m². 
Para o revestimento, adota-se a carga de 0,8 kN/m² em todas as lajes. Já a 
carga da caixa d’água de 750 litros será considerado apenas na laje L-403, onde ela 
38 
 
se encontra. Como 750 litros equivale a 0,75m³ e o peso específico da água é 10 
kN/m³, assim, obtém-se que a carga da caixa d’água equivale a 7,5 kN. 
A laje L-403tem dimensões de 2,45m x 3,07m, resultando uma relação entre 
as dimensões inferiores a 2, o que indica ser uma laje armada nas duas direções, 
permitindo transformar a carga da caixa d’água concentrada em carga uniforme 
equivalente (Tabela 4.4), basta para isso dividir o peso da caixa d’água pela área da 
laje. 
 
Tabela 4.4 – Carga uniforme equivalente da caixa d’água 
Laje 
lx 
(m) 
ly 
(m) 
Área 
(m²) 
Peso da Caixa 
d’Água 
(kN) 
Carga uniforme 
equivalente 
(kN/m²) 
L-403 2,45 3,07 7,52 7,5 1,0 
 
Com todas as cargas calculadas e considerações adotadas conforme NBR 
6118 e NBR 6120, obtém-se na Tabela 4.5 o resumo das cargas atuantes nas lajes 
da cobertura. 
 
Tabela 4.5 – Cargas atuantes nas lajes da cobertura – kN/m² 
Carregamento nas lajes (kN/m²) 
Lajes 
Permanentes Acidental Total 
Peso 
próprio 
Revestiment
o 
Telhado 
Caixa 
d’agua 
750l 
g(1) q(2) 
p = g + 
q 
401 2,5 0,80 1,50 - 4,8 0,50 5,30 
402 2,5 0,80 1,50 - 4,8 0,50 5,30 
403 2,5 0,80 1,50 1,00 5,8 0,50 6,30 
404 2,5 0,80 1,50 - 4,8 0,50 5,30 
(1)
 Carga permanente = peso próprio + revestimento + telhado + caixa d’água 
(2)
 Carga acidental para laje de cobertura, sem acesso ao público, de acordo com a NBR-6120 
 
Para calcular as reações de apoio das lajes e os momentos fletores é 
necessário ainda, definir as vinculações das bordas das lajes. As vinculações entre 
as lajes estão representados na Figura 4.1, sendo consideradas apoiadas nas 
bordas com vigas e engastadas nas bordas com lajes contínuas, desde que não 
haja uma grande diferença entre as dimensões das lajes em análise. 
39 
 
 
Figura 4.1 – Vínculos das lajes de cobertura 
O cálculo das reações de apoio das lajes foram realizados conforme as 
tabelas de Pinheiro. As tabelas fornecem os coeficientes adimensionais: x, x', y e 
y'. E as reações de apoio são obtidos pela equação 4.1. 
𝑹 = 
𝝊 . 𝒑 . 𝒍𝒙
𝟏𝟎
 (Equação 4.1) 
Na Tabela 4.6, apresentam-se as reações obtidas para as lajes da 
cobertura, conforme as considerações das tabelas de Pinheiro. 
40 
 
Tabela 4.6 - Reações de apoio das lajes da cobertura - kN/m 
Reações de apoio das Lajes – kN/m 
Lajes 
 
P 
kN/m² 
lx 
(m) 
ly 
(m) 
λ CASO νx ν'x νy ν'y Rx R'x Ry R´y 
L-401 5,30 3,28 4,85 1,48 2B 3,27 1,83 - - 5,68 8,33 3,18 - 
L-402 5,30 2,40 3,07 1,28 5A 2,22 - 2,61 3,17 2,82 4,13 - 4,03 
L-403 6,30 2,45 3,07 1,25 5A 2,13 - 2,64 3,17 3,29 4,83 - 4,89 
L-404 5,30 3,50 4,85 1,39 2B 3,20 1,83 2,25 - 5,94 8,68 3,39 - 
A Figura 4.2 apresenta as reações de apoio das lajes da cobertura conforme 
sua orientação. 
 
Figura 4.2 - Reações de apoio nas lajes da cobertura 
O cálculo dos momentos fletores atuantes nas lajes foram calculados de 
maneira similar ao cálculo das reações, seguindo as tabelas de lajes de Pinheiro. As 
41 
 
tabelas fornecem os coeficientes, que são: x’xye’y. Os momentos fletores 
atuantes são obtidos pela equação 4.2, e na Tabela 4.7 obtém-se o resumo de todos 
os momentos fletores das lajes da cobertura. 
𝑴 = 
𝝁.𝒑𝒍𝒙²
𝟏𝟎𝟎
 (Equação 4.2) 
Tabela 4.7 – Momentos fletores nas lajes da cobertura – kN.m/m 
Momentos Fletores nas Lajes – kN.m/m 
Lajes 
 
P 
kN/m² 
lx 
(m) 
ly 
(m) 
λ CASO µx µ'x µy µ'y Mx M'x My M´y 
L-401 5,30 3,28 4,85 1,48 2B 5,24 11,09 2,12 - 2,99 6,32 1,21 - 
L-402 5,30 2,40 3,07 1,28 5A 3,45 8,59 2,61 7,51 1,05 2,62 0,80 2,29 
L-403 6,30 2,45 3,07 1,25 5A 3,23 8,81 2,64 7,36 1,22 3,33 1,00 2,78 
L-404 5,30 3,50 4,85 1,39 2B 5,00 10,75 2,25 - 3,25 6,98 1,46 - 
A Figura 4.3 apresenta os momentos fletores das lajes da cobertura 
conforme sua orientação. 
 
Figura 4.3 – Momentos fletores de acordo com sua orientação. 
Os momentos fletores nos vãos das lajes são momentos positivos, e os 
momentos nos apoios engastados são negativos. Nos apoios engastados, lajes 
42 
 
adjacentes, os resultados dos momentos fletores são diferentes de uma laje para 
outra, conforme visto na Figura 4.3. Sendo necessário promover a compatibilização 
desses momentos. 
De acordo com Pinheiro (2007), o critério usual para a compatibilização dos 
momentos negativos consiste em adotar o maior valor entre a média dos dois 
momentos e 80% do maior. Esse critério apresenta razoável aproximação quando os 
dois momentos são da mesma ordem de grandeza. Em decorrência da 
compatibilização dos momentos negativos, os momentos positivos na mesma 
direção devem ser analisados. Se essa correção tende a diminuir o valor do 
momento positivo, ignora-se a redução (a favor da segurança), caso contrário, se 
houver acréscimo do momento positivo, a correção deverá ser feita, somando-se ao 
valor deste momento a média das variações ocorridas nos momentos fletores 
negativas, conforme Figura 4.4. 
 
Figura 4.4 – Compatibilização dos momentos fletores (PINHEIRO, 2007). 
43 
 
Na Tabela 4.8, indicam-se os momentos fletores das lajes da cobertura 
compatibilizados para os momentos negativos e corrigidos para os momentos 
positivos. 
Tabela 4.8 – Momentos fletores das lajes da cobertura compatibilizados e corrigidos. 
Laje 
Positivos 
(kN.m/m) Negativos (kN.m/m) 
Mk,x Mk,y Engaste Mk,e 
L-401 3,62 1,21 L401-L402 5,06 
L-402 1,05 0,80 L402-L403 2,98 
L-403 1,40 1,00 L402-L404 5,58 
L-404 3,94 1,46 L403-L404 5,58 
 
L401-L403 5,06 
A partir dos momentos fletores compatibilizados e corrigidos é possível 
dimensionar as armaduras das lajes em cada direção. Para esse dimensionamento 
o presente trabalho propõe as tabelas práticas (Apêndice B),que de posse da altura 
útil da laje (d), do cobrimento (c) e do momento de serviço (f.Mk) é possível 
encontrar na tabela uma ou mais bitolas de aço comercial por um espaçamento que 
atenda as recomendações da NBR 6118. 
Visto que no pré-dimensionamento adotou-se uma espessura de 10 cm para 
as lajes de cobertura, pode-se adotar para o dimensionamento uma altura útil (d) 
igual a 8,0 cm e o cobrimento CAA-II de 2,0 cm (tendo em vista que a NBR 6118, 
permite uma redução de até 0,5 cm no cobrimento, desde que haja um controle 
rigoroso na qualidade da execução da obra). Quanto ao momento de serviço a 
Tabela 4.9 fornece os valores majorados dos momentos característicos pela 
multiplicação do coeficiente de majoração para o estado limite último. 
Tabela 4.9 – Momentos de serviços das lajes da cobertura – kN.m/m 
𝑀𝑠𝑑 = 𝑀𝑘 .𝛾𝑓 ; 𝛾𝑓 = 1,4 
Laje 
Positivos 
(kN.m/m) Negativos (kN.m/m) 
Msd,x Msd,y Engaste Msd,e 
L-401 5,07 1,69 L401-L402 7,08 
L-402 1,47 1,12 L402-L403 4,17 
L-403 1,96 1,40 L402-L404 7,81 
L-404 5,52 2,04 L403-L404 7,81 
 
L401-L403 7,08 
 
44 
 
Na Tabela 4.10, apresentam-se a área de aço (As - cm²/m) e as barras 
adotadas, com seus respectivos espaçamentos, para as lajes da cobertura. Esses 
resultados foram obtidos por meio da Tabela A.3 e A.4, no apêndice B. 
Tabela 4.10 - Cálculo das armaduras das lajes da cobertura 
Armadura Positiva 
Lajes Direção 
Msd 
(kN.m/m) 
d 
(cm) 
c 
(cm) 
As,min 
(cm²/m) 
Φ c/s 
As,ef 
(cm²/m) 
L-401 x 5,07 8,0 2,0 1,01 Φ 6.3 c/17,5 1,78 
y 1,69 8,0 2,0 1,01 Φ 5.0 c/19,5 1,01 
L-402 x 1,47 8,0 2,0 1,01 Φ 5.0 c/19,5 1,01 
y 1,12 8,0 2,0 1,01 Φ 5.0 c/19,5 1,01 
L-403 x 1,96 8,0 2,0 1,01 Φ 5.0 c/19,5 1,01 
y 1,40 8,0 2,0 1,01 Φ 5.0 c/19,5 1,01 
L-404 x 5,52 8,0 2,0 1,01 Φ 6.3 c/16,0 1,95 
y 2,04 8,0 2,0 1,01 Φ 5.0 c/19,5 1,01 
Armadura Negativa 
Lajes Direção 
Msd 
(kN.m/m) 
d 
(cm) 
c 
 (cm) 
As,min 
(cm²/m) 
Φ c/s 
As,ef 
(cm²/m) 
L401- L402 x,y 7,08 8,0 2,0 1,50 Φ 6.3 c/12,5 2,49 
L401-L403 x,y 7,08 8,0 2,0 1,50 Φ 6.3 c/12,5 2,49 
L402- L403 x,x 4,17 8,0 2,0 1,50 Φ 5.0 c/13,0 1,51 
L402- L404 y,x 7,81 8,0 2,0 1,50 Φ 8.0 c/18,0 2,79 
L403- L404 y,x 7,81 8,0 2,0 1,50 Φ 8.0 c/18,0 2,79 
 
4.2.1 Verificação da flecha da laje mais solicitada 
Será verificada a flecha na laje L-404, na qual ocorre o maior momento fletor6.3 c/12,5 82 24 6 112 N9 
Φ 6.3 c/12,5 60 24 6 90 N9 
L-402 
L-403 
Φ 5.0 c/13,0 60 19 6 85 N10 
Φ 5.0 c/13,0 60 19 6 85 N10 
L-402 
L-404 
Φ 8.0 c/18,0 60 30 6 96 N11 
Φ 8.0 c/18,0 88 30 6 124 N11 
L-403 
L-404 
Φ 8.0 c/18,0 60 30 6 96 N11 
Φ 8.0 c/18,0 88 30 6 124 N11 
 
4.2.5 Armaduras de canto 
Segundo Clímaco (2008), nos cantos sem continuidade, é necessário ainda 
uma armadura em ambas as faces, para se combater os "momentos volventes", 
originados de uma tendência de elevação dos cantos da placa, com a inversão das 
reações nesses cantos, de cima para baixo, nos extremos das vigas de apoio. Elas 
têm por objetivo evitar fissuras diagonais nos cantos, que surgem na face superior. 
Essa armadura é estabelecida como uma fração de 0,75 da maior armadura positiva 
na laje, com barras nas duas direções, dispostos nas faces superior e inferior. Na 
face inferior, a área dessa armadura adicional incorpora as barras positivas 
existentes. 
Para obter o comprimento do trecho horizontal (Figura 4.7) das barras de 
canto, deve-se considerar a seguinte equação (PINHEIRO, 2007): 
𝒍𝒉 = 
𝒍𝒙
𝟓
 + 𝒕 − 𝟐 (Equação 4.12) 
onde: 
lx = menor vão da laje; 
t = espessura do apoio - viga (nesse caso será adotado 12 cm, conforme o pré-
dimensionamento das vigas). 
51 
 
 
Figura 4.7 - Armadura de canto (PINHEIRO, 2007). 
De acordo com o projeto em anexo, as lajes L-401 e L-404 possuem, cada 
uma, dois cantos. O cálculo da armadura de canto será resumido em apenas um 
cálculo para os quatros cantos, tendo em vista que a armadura principal da laje L-
401 e L-404 são próximas quanto seus valores. Logo tem-se que a armadura de 
canto e o comprimento do trecho horizontal das barras é: 
Ascanto = 0,75 . 1,95 = 1,46 cm²/m 
lh = 350 / 5 + 12 - 2 = 80 cm 
Adota-se φ 6,3 c / 20 (área efetiva = 1,56cm²/m), resultando em 4 barras de 
φ 6,3, em cada direção, formando um malha de 80 x 80 cm. O detalhe das 
armaduras de canto encontra-se no apêndice A. 
 
4.2.6 Armaduras de bordo 
Segundo Clímaco (2008), em bordos simplesmente apoiados, portanto, sem 
continuidade, em se tratando de lajes, com valores de cargas e vão elevados (em 
geral, superando 6,0m), devem-se prever armaduras específicas junto às faces 
superiores, para prevenir fissuras paralelas às vigas na região próxima a esses 
bordos. As barras são normais ao bordo, com espaçamento uniforme, sendo sua 
área uma fração de 0,25 da armadura positiva da laje paralela ao bordo. 
52 
 
O projeto em análise neste trabalho não necessita de armaduras de bordo, 
visto que trata-se de lajes de no máximo 4,85m de vão e que possuem pequenas 
cargas. 
 
4.2.7 Planta de armação das lajes 
A planta de armação das lajes da cobertura está no apêndice A, nos quais 
constam relação das barras, com diâmetros, quantidades e comprimentos, e o 
resumo das barras, com tipo de aço, bitola, comprimento total, massa de cada bitola, 
massa total mais 10% de perda e algumas dicas e detalhes construtivos. 
 
4.3 Dimensionamento das vigas da cobertura 
As vigas servem de apoio para as lajes ou para as vigas que não possuem 
pilar em sua extremidade. As lajes distribuem sua reação com cargas uniformes nas 
vigas, já as vigas que se apoiam sobre vigas implicam em cargas concentradas. 
Existe ainda as vigas de transição que recebem carga concentrada dos pilares que 
nascem nelas. 
As cargas verticais atuantes nas vigas de contorno da cobertura são obtidas 
pela superposição das reações das lajes, do peso das alvenarias (platibanda h: 
1,0m) e do peso próprio das vigas. E as cargas das vigas internas da cobertura são 
obtidas pela superposição das reações das lajes e do peso próprio das vigas. 
As cargas provenientes da lajes podem ser calculadas pelo "quinhão de 
cargas", em que se traça bissetrizes nas lajes que irão definir a área de influência de 
cada laje em relação a cada viga, e consequentemente as cargas. Outra maneira e 
pelas tabelas de Marcus, Pinheiro ou Barës-Czerny, sendo que neste trabalho a 
reação das lajes foram calculadas pelas tabelas de Pinheiro, como visto 
anteriormente na Tabela 4.6 e Figura 4.2 - Reações de apoio nas lajes da 
cobertura). 
 O peso da alvenaria será de 13 kN/m³ (1.300 Kg/m³), tendo em vista que se 
trata de alvenaria comum de tijolo furado. Esse valor foi retirado da NBR 6120:1980. 
Para obter o peso por metro de viga aplica-se a equação 4.13. 
53 
 
𝑷𝒑𝒍𝒂𝒕𝒊𝒃𝒂𝒏𝒅𝒂 = 𝟎,𝟏𝟓𝒎 .𝟏, 𝟎𝒎 .𝟏𝟑
𝒌𝑵
𝒎𝟑 = 𝟏,𝟗𝟓 𝐤𝐍/𝐦 𝒐𝒖 𝟏𝟗𝟓 𝑲𝒈/𝒎 (Equação 4.13) 
O peso próprio das vigas pode ser obtido pela multiplicação da área da 
seção transversal das vigas pelo peso especifico do concreto armado (γc), conforme 
a equação 4.14. 
𝑷𝒗𝒊𝒈𝒂𝒔 = 𝒃 . 𝒉 .𝜸𝒄𝒐𝒏𝒄𝒓𝒆𝒕𝒐 (Equação 4.14) 
onde: 
b = largura da viga (m) 
h = altura da viga (m) 
γc = peso especifico do concreto (25 kN/m³ ou 2.500 Kg/m³, conforme NBR 6120) 
Após os levantamentos das cargas, calcula-se os esforços finais para o 
dimensionamento por meio do software livre educacional Ftool (2012), que 
possibilita utilizar o modelo de pórticos planos, com análise linear elástica. 
 
4.3.1 Viga V-401 
Dados iniciais: 
 Nome da viga: V-401; 
 Apoios: P1 e P2; 
 Dimensão da seção: 12 x 45cm (Tabela 4.2); 
 Cobrimento (c) = 3,0 (CAA-II); 
 Vão teórico = 485 cm; 
 Concreto C-25 e aço CA-50. 
As cargas, admitidas uniformes, são: peso próprio, reação da laje L-401, 
cargas da parede da platibanda (h: 1,0m) de tijolo furando (13 kN/m³) e a carga 
variável igual a 0,5 kN/m (NBR 6120): 
 Peso próprio (Pp) = 0,12 m x 0,45 m x 25 kN/m = 1,35 kN/m; 
 Reação da laje L-401 (Tabela 4.6) = 5,68 kN/m; 
 Peso da Platibanda = 1,00m x 0,15m x 13 kN/m³ = 1,95 kN/m; 
 Ação variável (q) = 0,5 kN/m; 
Carga Total (PT = g + q) = 8,98 + 0,50 = 9,48 kN/m. 
54 
 
Tem-se na Figura 4.8, o momento fletor máximo e o esforço cortante 
máximo, para a viga V-401 com auxilio do software Ftool (2012), sendo utilizado o 
modelo de pórtico plano. 
 
 
Figura 4.8 - Diagrama do momento fletor e do esforço cortante (FTOOL, 2012). 
 
55 
 
Na Tabela 4.15, indicam-se os resumos dos esforços na viga V-401, de 
acordo com a Figura 4.8. 
Tabela 4.15 - Resumos dos esforços na viga V-401. 
Viga 
Apoios Meio do vão 
Mk Msd
* Vk Vsd** Mk Msd Vk Vsd 
V-401 - 3,34 - 4,68 22,99 32,19 24,54 34,36 0 0 
* Msd = 1,4 . Mk 
** Vsd = 1,4 . Vk 
 
Na Tabela 4.16, indicam-se a armadura longitudinal a flexão para viga V-
401, de acordo com a tabela A.16 (Apêndice B). Para utilizar as tabelas práticas de 
vigas à flexão normal é necessário ter a seção, e por meio do momento de serviço 
(Msd) calculado na Tabela 4.15, busca-se a combinação entre as bitolas de aço que 
atenda esse momento. 
Tabela 4.16 - Armadura longitudinal à flexão para viga V-401 
Viga Seção (cm) Msd (kN.m) Tabela Prática 
Área de 
aço (cm²) 
Bitola (mm) 
V-401 12 x 45 
- 4,68 
Tabela A.16* 
1,00 2 φ 8 
+ 34,36 2,50 2 φ 12,5 
*A Tabela A.16 encontra-se no apêndice B. 
Conforme a Figura 4.8, verifica-se que os momentos fletores variam ao 
longo da viga, a distribuição da armadura deve acompanhar a variação dos 
momentos. Porém, neste trabalho a armadura à flexão positiva e negativa foi 
calculada para os maiores momentos (negativo e positivo) e estendida até os apoios 
das extremidades, assim, estando a favor da segurança e facilitando a montagem da 
armação das vigas, já que se trata de um edifício comercial de pequeno porte. 
O dimensionamento dos estribos, armadura transversal, é feito com o 
procedimento semelhante ao da armadura longitudinal, considerando o maior 
esforço cortante, em valor absoluto. Na Tabela 4.17, indicam-se a armadura 
transversal para viga V-401, de acordo com a tabela A.26 (Apêndice B). Para utilizar 
as tabelas práticas de armadura transversal é necessário ter a seção, e por meio do 
esforço cortantemáximo de serviço (Vsd) calculado na Tabela 4.15, busca-se a 
combinação entre as bitolas de aço (mm) por espaçamento (cm) que atenda esse 
esforço. 
 
56 
 
 
Tabela 4.17 - Armadura transversal para viga V-401 
Viga Seção (cm) Vsd (kN) Tabela Prática 
Área de 
aço (cm²) 
Bitola (mm) + 
esp. (cm) 
V-401 12 x 45 32,19 
Apêndice B - 
Tabela A.26 
1,31 φ 5 c/30 
1,57 φ 5 c/25 
De acordo com a tabela A.26 do apêndice B, verifica-se que o armadura 
transversal da viga V-401 é igual a armadura mínima que podem ser escolhidas as 
seguintes soluções: 
- alternativa 1: barras de 5mm espaçadas a cada 30cm (área de aço igual a 
1,31cm²); 
- alternativa 2: barras de 5mm espaçadas a cada 25cm (área de aço igual a 
1,57cm²). 
Observa-se que a alternativa 1 é mais econômica, pois a área de aço é mais 
próxima da mínima (Asw,min = 1,20cm²). Porém de acordo com a NBR 6118, o 
espaçamento máximo nessa situação é smáx = 0,6 . (45 - 4) = 25 cm ≤ 30cm. Como 
o espaçamento máximo nessa situação é igual a 25 cm, verifica-se que a alternativa 
2 é a mais indicada. 
 
4.3.1.1 Comprimento das barras 
No comprimento das barras deve ser adicionado o comprimento de 
ancoragem que impede que haja escorregamento da barra em relação ao concreto 
que o envolve. 
Na ancoragem por aderência, deve ser previsto um comprimento suficiente 
que o esforço da barra seja transferido para o concreto. Além disso, em peças nas 
quais, por disposições construtivas ou pelo seu comprimento, necessita-se fazer 
emendas nas barras, também se deve garantir um comprimento suficiente para que 
os esforços sejam transferidos de uma barra para outra, na região da emenda 
(LIBÂNIO, 2003). 
 
57 
 
4.3.1.2 Comprimento de ancoragem básico 
O comprimento de ancoragem básica (lb) é calculado pela equação 4.11. A 
Tabela 4.18, indicam-se os comprimentos de ancoragem básico para as barras da 
viga V-401. 
Tabela 4.18 - Comprimento de ancoragem básico 
Viga Bitola (cm) 𝑓𝑦𝑑 (MPa) 𝑓𝑏𝑑 (MPa) lb (cm) 
V-401 
0,8 
434,78 2,88 
30 
 1,25 48 
 
𝑙𝑏 = 
Φ
4
 .
𝑓𝑦𝑑
𝑓𝑏𝑑
 
onde: 
fyd = resistência de escoamento do aço (fyk / 1,15 = 500/1,15 = 434,78 MPa) 
fbd = resistência de aderência => fbd = 1 . 2 . 3 . fctd = 2,25 . 1 . 1 .1,282 = 2,88 MPa; 
1 = 2,25 para barras alta aderência (CA-50); 
2 = 1,0 para situação de boa aderência; 
3 = 1,0 para φé compensado pelas folgas existentes nas armaduras 
positivas dos vãos. 
*** Conforme visto na Tabela A.26, no Apêndice B, a área de aço mínima, para os estribos das vigas 
V-402, V-404, V-405, V-406 e V-407, suportaria o esforço cortante de serviço, no entanto, o 
espaçamento máximo entre os estribos não atenderia a NBR 6118. 
 
4.3.3 Estados limites de serviço 
A verificação dos estados limites de serviço (momento de fissuração, 
abertura de fissuras e deformação excessiva) para vigas não foram realizados, visto 
que o objetivo deste trabalho é desenvolver tabelas práticas para o 
dimensionamento no estado limite último. 
 
61 
 
4.3.4 Planta de armação 
A planta de armação das vigas da cobertura está no apêndice A, nos quais 
constam relação das barras, com diâmetros, quantidades e comprimentos, e o 
resumo das barras, com tipo de aço, bitola, comprimento total, massa de cada bitola, 
massa total mais 10% de perda e detalhes construtivos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
5 CONCLUSÃO 
Neste trabalho foram desenvolvido tabelas práticas para o dimensionamento 
de lajes e vigas de concreto armado quanto ao estado limite último, conforme 
prescrições da NBR 6118:2007 e análise da ductibilidade estrutural relacionada com 
a capacidade da estrutura entrar em colapso com aviso prévio de ruptura, 
apresentações de fissuras e flechas excessivas. 
 As tabelas elaboradas mostraram ser eficientes para o objetivo de agilizar 
e tornar prático o dimensionamento de peças estruturais no estado limite último, por 
não ser necessário calcular os adimensionais (Kmd, Kx e Kz) e não precisar verificar a 
armadura mínima. Observou-se que de posse dos esforços solicitantes da viga 
V-401, o dimensionamento dessa viga pelo método tradicional pode levar em torno 
de 4 a 5 minutos, ao passo que pelo uso das tabelas práticas é possível dimensionar 
a mesma viga em menos de um minuto. 
Além disso, o trabalho seguiu a didática do fluxograma de Custódio (Figura 
2.2), permitindo a execução de um dimensionamento de edifício de pequeno porte 
por meio de etapas, que facilita a compreensão e integração das disciplinas de 
Concreto Armado I e II com a disciplina de Projeto Estrutural de Edifícios. 
Em relação ao dimensionamento para se obter um comportamento dúctil em 
flexão simples foi adotado o critério proposto por José Milton de Araújo, no qual não 
se pode dimensionar as seções das peças considerando todo o domínio 3, sendo 
necessário eliminar parte desse domínio para obter uma ruptura dúctil com avisos. 
Enfim, para utilização das tabelas práticas, localizadas no Apêndice B, é 
necessário que o usuário realize o pré-dimensionamento dos elementos estruturais e 
que tenha os esforços solicitantes de tais elementos, neste trabalho essa etapa foi 
realizada com auxilio do programa Ftool (2012). É importante ainda ter 
conhecimento das prescrições da NBR 6118:2007. 
 
63 
 
5.1 Sugestões para pesquisas futuras 
Visando aprimorar, complementar e corrigir possíveis falhas que possam 
haver nas tabelas práticas elaboradas neste trabalho, recomenda-se as seguintes 
sugestões de pesquisas futuras: 
 Complementar a tabela prática para o dimensionamento de armadura 
transversal quanto ao esforço cortante, possibilitando a verificação quanto ao 
espaçamento máximo automática, ou seja, embutida na tabela e não apenas citado 
como nota de observação para ser feita a verificação manual; 
 Acrescentar mais combinações de armaduras nas planilhas de 
dimensionamento de vigas à flexão normal; 
 Elaborar tabelas práticas para o dimensionamento de pilares, 
abrangendo tanto o dimensionamento para solicitações à flexão reta (ábacos de 
Venturini), quanto para flexão oblíqua (ábacos de Pinheiro), buscando o mesmo 
objetivo das demais tabelas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
64 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
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milênio cálculo prático e econômico. 2. ed. Rio de Janeiro: Interciência, 2010. 224p. 
 
ARAÚJO, J. M. Curso de Concreto Armado. V. 1. Rio Grande: Editora Dunas, 2. ed., 
2003. 257 p. 
 
ARAÚJO, J. M. Curso de Concreto Armado. V. 2. Rio Grande: Editora Dunas, 2. ed., 
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ARAÚJO, J. M. Dimensionamento à flexão simples de seções transversais de 
concreto armado com ênfase na ductilidade. Escola de Engenharia – FURG – Rio 
Grande, RS. 
 
ARAÚJO, J. M. Projeto estrutural de edifício de concreto armado. 2. ed. Rio Grande: 
Editora Dunas, 2009. 224p. 
 
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Recomendações para Elaboração de Projetos Estruturais de Edifícios de Concreto. 
Disponível em: . Acesso em: 20 de 
setembro de 2013. 
 
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concreto – Procedimento, NBR 6118. Rio de Janeiro, 2007. 221 p. 
 
BASTOS, Paulo Sérgio dos Santos. Lajes de Concreto. Notas de Aula, Estruturas de 
Concreto I, Universidade Estadual Paulista, UNESP – Bauru/SP, 2005. 124 p. 
 
BOTELHO, Manoel H. C.; Marchetti, Osvaldemar. Concreto armado, eu te amo. vol. 
1. 7ª ed. revisada segundo a nova norma de concreto armado NBR 6118/2007. São 
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CAMACHO, Jefferson S. Estudo do esforço cortante. Notas de Aula, Curso de 
Concreto Armado, Universidade Estadual Paulista, UNESP – Bauru/SP, 2004. 35 p. 
 
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detalhamento de estruturas usuais de concreto armado: segundo a NBR 6118:2003. 
3. ed. São Carlos: EdUFSCar, 2009. 368 p. 
http://www.abece.com.br/recomendacoes.pdf
65 
 
 
CLÍMACO, João Carlos Teatini de Souza. Estruturas de concreto armada: 
fundamentos de projeto, dimensionamento e verificação. 2. ed. revisada. Brasília: 
Editora Universidade de Brasília: Finatec, 2008. 410 p. 
 
DIMENSIONAMENTO E ANÁLISE DE ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO. 
Disponível em: Acesso em: 24 de setembro de 2013. 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Concepção 
Estrutural de Edifícios. Disponível em: Acesso em: 20 de setembro 
de 2013. 
 
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segundo a NBR 6118:2003. Dissertação (Mestrado). São Carlos, Escola de 
Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo.120 p. 
 
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armado convencional e de desempenho. Dissertação (Mestrado). Ilha Solteira, 
Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira. 121 p. 
 
GIONGO, José Samuel. Concreto Armado: Projeto Estrutural de Edifícios. 
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2007. 176 p. 
 
LEONHART, Fritz; Mönnig, Eduard. Construções de concreto, volume 1: princípios 
básicos do dimensionamento de estruturas de concreto armado. Tradução: David 
Fridman, revisão técnica de João Luís Escosteguy Merino e Pedro Paulo Sayão 
Barreto. Rio de Janeiro, Interciência, 1977. 336 p. 
 
PINHEIRO, Libâneo M. Fundamentos do Concreto e Projeto de Edifícios. 
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TQS INFORMÁTICA LTDA. Análise estrutural com pórtico espacial completo 
com Pilares + Vigas + Lajes. Disponível em: Acesso: 14 de outubro de 2013. 
 
66 
 
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA (UNESP). Lajes de Concreto. Disponível 
em: Acesso em: 24 de 
setembro de 2013.67 
 
ANEXO A - Coeficientes para o pré-dimensionamento de lajes e vigas 
 
 
 Fonte: PINHEIRO, 2007. 
68 
 
ANEXO B - Coeficientes para o cálculo das reações de apoio em lajes 
 
 
 Fonte: PINHEIRO, 2007. 
69 
 
ANEXO C - Coeficientes para o cálculo das reações de apoio em lajes 
 
 
 Fonte: PINHEIRO, 2007. 
 
 
70 
 
ANEXO D - Coeficientes para o cálculo das reações de apoio em lajes 
 
 
 Fonte: PINHEIRO, 2007. 
 
 
71 
 
ANEXO E - Coeficientes para o cálculo dos momentos fletores em lajes 
 
 
 Fonte: PINHEIRO, 2007. 
 
72 
 
ANEXO F - Coeficientes para o cálculo dos momentos fletores em lajes 
 
 
Fonte: PINHEIRO, 2007. 
 
 
73 
 
ANEXO G - Coeficientes para o cálculo dos momentos fletores em lajes 
 
 
Fonte: PINHEIRO, 2007. 
 
74 
 
ANEXO H - Adimensional α para cálculo das flechas em lajes 
 
 
Fonte: PINHEIRO, 2007. 
 
75 
 
ANEXO I - PROJETO DE ARQUITETURA 
O projeto de arquitetura do edifício comercial que teve sua cobertura 
dimensionada no Capítulo 4, por meio das tabelas práticas, apresenta os seguintes 
detalhamentos: 
 Planta baixa do subsolo; 
 Planta baixa do pavimento térreo; 
 Planta baixa do mezanino; 
 Planta baixa do 1º Pavimento; 
 Fachada Frontal; e 
 Cortes A-A e B-B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
76 
 
 
 
77 
 
 
 
 
78 
 
 
 
 
79 
 
 
 
 
80 
 
 
 
 
 
 
 
 
81 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
82 
 
 
 
 
 
 
 
83 
 
APÊNDICES A - PROJETO DE ESTRUTURA 
O apêndice A apresenta o projeto de estrutura da cobertura do edifício 
localizado no anexo I, constam as seguintes plantas: 
 Formas dos pilares e vigas de acordo com o pré-dimensionamento; 
 Armadura inferior da laje da cobertura (armadura positiva); 
 Armadura superior da laje da cobertura (armadura negativa); 
 Esforços e detalhamento das vigas da cobertura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
84 
 
 
 
85 
 
 
 
86 
 
 
87 
 
 
 
 
88 
 
 
 
89 
 
 
90 
 
 
91 
 
92 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
93 
 
 
V-402 (12X25) : DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE E DO MOMENTO FLETOR 
 
94 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
95 
 
 
V-403 (12X45) : DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE E DO MOMENTO FLETOR 
 
 
96 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
97 
 
 
V-404 (12X45) : DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE E DO MOMENTO FLETOR 
 
98 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
99 
 
 
V-405 (12X45) : DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE E DO MOMENTO FLETOR 
 
100 
 
 
 
101 
 
 
V-406 (12X25) : DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE E DO MOMENTO FLETOR 
 
102 
 
 
103 
 
 
V-407 (12X45) : DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE E DO MOMENTO FLETOR 
 
104 
 
105 
 
APÊNDICES B - TABELAS PRÁTICAS 
O apêndice B apresenta as tabelas práticas elaboradas no trabalho, constam 
nesse apêndice as seguintes tabelas: 
 Tabelas A.1 ao A.14 para dimensionamento de lajes retangulares 
maciças; 
 Tabelas A.15 ao A.24 para dimensionamento de vigas retangulares à 
flexão normal simples (armadura longitudinal); 
 Tabelas A.25 ao A.34 para dimensionamento de vigas retangulares à 
esforço cortante (armadura transversal - estribos). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
106 
 
Esp. (cm) 3.4* 4.2* 5.0* 6.3 8.0 10.0 12.5 16.0
10,0 1,94 2,96 4,20 5,56 8,96 -- -- --
10,5 -- 2,82 4,00 5,29 8,53 -- -- --
11,0 -- 2,69 3,82 5,05 8,15 -- -- --
11,5 -- 2,58 3,65 4,83 7,79 -- -- --
12,0 -- 2,47 3,50 4,63 7,47 -- -- --
12,5 -- 2,37 3,36 4,45 7,17 -- -- --
13,0 -- 2,28 3,23 4,27 6,89 -- -- --
13,5 -- 2,20 3,11 4,12 6,64 -- -- --
14,0 -- 2,12 3,00 3,97 6,40 -- -- --
14,5 -- 2,04 2,90 3,83 6,18 -- -- --
15,0 -- 1,98 2,80 3,70 5,97 -- -- --
15,5 -- -- 2,71 3,59 5,78 -- -- --
16,0 -- -- 2,63 3,47 5,60 -- -- --
16,5 -- -- 2,55 3,37 5,43 -- -- --
17,0 -- -- 2,47 3,27 5,27 -- -- --
17,5 -- -- 2,40 3,18 5,12 -- -- --
18,0 -- -- 2,33 3,09 4,98 -- -- --
18,5 -- -- 2,27 3,00 4,84 -- -- --
19,0 -- -- 2,21 2,92 4,72 -- -- --
19,5 -- -- 2,15 2,85 4,60 -- -- --
20,0 -- -- 2,10 2,78 4,48 -- -- --
 kxd,lim 0,450 CA-50 * kxd,lim 0,450 CA-60
 kmd,lim 0,251 CA-50 * kmd,lim 0,251 CA-60
 kz,lim 0,820 CA-50 * kz,lim 0,820 CA-60
 d 5 cm Cnom 2 cm
 fck 25 Mpa cd 15178,57 kN/m²
 fyk 500 Mpa fyk 600 Mpa
sd 434782,61 kN/m² sd 521739,1 kN/m²
s,min = 0,90 cm²/m Mmin = 1,60 kN.m/m
Hipóteses
lim ≤ h/8
Slim ≤ 2.h ou 20 cm
VALORES DE Kx,lim PARA GARANTIR DUCTIBILIDADE ADEQUADA DO AÇO
Domínio 3 (para CA-50 0,158kN/m²
 fyk 500 Mpa fyk 600 Mpa
sd 434782,61 kN/m² sd 521739,1 kN/m²
s,min = 1,01 cm²/m Mmin = 2,87 kN.m/m
TABELA A.3 - LAJES EM CRUZ (ARMADURA POSITIVA) - h = 10,0 cm
Msd = f.Mk
Msd,máx= Msd ≤ Kmd,lim.d².fcd 
TABELA PARA DIMENSIONAMENTO DE LAJES RETANGULARES MACIÇAS - ARMADURA SIMPLES
MOMENTOS FLETORES POSITIVOS DE SERVIÇO - kN.m/m
Mserviço=Msd = As.Kz,lim.d.sd 
*Aço CA-60
Domínio 3 (para CA-50 0,1584.2* 5.0* 6.3 8.0 10.0 12.5 16.0
10,0 -- -- 9,24 12,23 19,71 30,80 -- --
10,5 -- -- -- 11,64 18,77 29,33 45,84 --
11,0 -- -- -- 11,11 17,92 28,00 43,75 --
11,5 -- -- -- 10,63 17,14 26,78 41,85 --
12,0 -- -- -- 10,19 16,43 25,67 40,11 --
12,5 -- -- -- 9,78 15,77 24,64 38,50 --
13,0 -- -- -- 9,40 15,16 23,69 37,02 --
13,5 -- -- -- 9,06 14,60 22,82 35,65 --
14,0 -- -- -- 8,73 14,08 22,00 34,38 --
14,5 -- -- -- 8,43 13,60 21,24 33,19 --
15,0 -- -- -- 8,15 13,14 20,53 32,08 --
15,5 -- -- -- 7,89 12,72 19,87 31,05 --
16,0 -- -- -- -- 12,32 19,25 30,08 --
16,5 -- -- -- -- 11,95 18,67 29,17 --
17,0 -- -- -- -- 11,60 18,12 28,31 --
17,5 -- -- -- -- 11,26 17,60 27,50 45,06
18,0 -- -- -- -- 10,95 17,11 26,74 43,81
18,5 -- -- -- -- 10,66 16,65 26,01 42,62
19,0 -- -- -- -- 10,38 16,21 25,33 41,50
19,5 -- -- -- -- 10,11 15,80 24,68 40,44
20,0 -- -- -- -- 9,86 15,40 24,06 39,43
 kxd,lim 0,450 CA-50 * kxd,lim 0,450 CA-60
 kmd,lim 0,251 CA-50 * kmd,lim 0,251 CA-60
 kz,lim 0,820 CA-50 * kz,lim 0,820 CA-60
 d 11 cm Cnom 2 cm
 fck 25 Mpa cd 15178,57 kN/m²
 fyk 500 Mpa fyk 600 Mpa
sd 434782,61 kN/m² cd 521739,1 kN/m²
s,min = 1,95 cm²/m Mmin = 7,65 kN.m/m
1 kN = 100 kgf = 0,1 tf
TABELA PARA DIMENSIONAMENTO DE LAJES RETANGULARES MACIÇAS - ARMADURA SIMPLES
MOMENTOS FLETORES NEGATIVOS DE SERVIÇO - kN.m/m
Hipóteses
Msd = f.Mk
lim ≤ h/8Mserviço=Msd = As.Kz,lim.d.sd Msd,máx= Msd ≤ Kmd,lim.d².fcd 
Domínio 2 (Kmd ≤ 0,158)
Domínio 3 (para CA-50 0,15816,0 -- -- -- -- 17,92 28,00 43,75 71,68
16,5 -- -- -- -- 17,38 27,15 42,43 69,51
17,0 -- -- -- -- 16,87 26,35 41,18 67,47
17,5 -- -- -- -- 16,38 25,60 40,00 65,54
18,0 -- -- -- -- 15,93 24,89 38,89 63,72
18,5 -- -- -- -- 15,50 24,22 37,84 62,00
19,0 -- -- -- -- -- 23,58 36,84 60,36
19,5 -- -- -- -- -- 22,98 35,90 58,82
20,0 -- -- -- -- -- 22,40 35,00 57,35
 kxd,lim 0,450 CA-50 * kxd,lim 0,450 CA-60
 kmd,lim 0,251 CA-50 * kmd,lim 0,251 CA-60
 kz,lim 0,820 CA-50 * kz,lim 0,820 CA-60
 d 16 cm Cnom 2 cm
 fck 25 Mpa cd 15178,57 kN/m²
 fyk 500 Mpa fyk 600 Mpa
sd 434782,61 kN/m² cd 521739,1 kN/m²
s,min = 2,70 cm²/m Mmin = 15,40 kN.m/m
1 kN = 100 kgf = 0,1 tf
TABELA PARA DIMENSIONAMENTO DE LAJES RETANGULARES MACIÇAS - ARMADURA SIMPLES
MOMENTOS FLETORES NEGATIVOS DE SERVIÇO - kN.m/m
Hipóteses
Msd = f.Mk
lim ≤ h/8Mserviço=Msd = As.Kz,lim.d.sd Msd,máx= Msd ≤ Kmd,lim.d².fcd 
Domínio 2 (Kmd ≤ 0,158)
Domínio 3 (para CA-50 0,158.............................................................................................. 46 
4.2.1.4 Flecha limite... ............................................................................................... 46 
4.2.2 Verificação quanto ao cisalhamento ............................................................. 47 
4.2.2.1 Força cortante solicitante .............................................................................. 47 
4.2.2.2 Força Cortante resistente ............................................................................. 47 
4.2.3 Verificação de abertura de fissuras em lajes ................................................ 48 
4.2.4 Comprimento das barras .............................................................................. 48 
4.2.4.1 Armadura positiva ......................................................................................... 48 
4.2.4.2 Armadura negativa ....................................................................................... 49 
4.2.5 Armaduras de canto ..................................................................................... 50 
4.2.6 Armaduras de bordo ..................................................................................... 51 
4.2.7 Planta de armação das lajes......................................................................... 52 
4.3 Dimensionamento das vigas da cobertura .................................................... 52 
4.3.1 Viga V-401 ................................................................................................... 53 
4.3.1.1 Comprimento das barras .............................................................................. 56 
4.3.1.2 Comprimento de ancoragem básico ............................................................. 57 
4.3.1.3 Comprimento de ancoragem necessário ...................................................... 57 
4.3.1.4 Comprimento mínimo de ancoragem em apoios extremos........................... 58 
4.3.2 Demais vigas (V-402, V-403, V-404, V-405, V-406 e V-407) ........................ 59 
4.3.3 Estados limites de serviço ............................................................................ 60 
4.3.4 Planta de armação ........................................................................................ 61 
5 CONCLUSÃO............................................................................................... 62 
5.1 Sugestões para pesquisas futuras ................................................................ 63 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 64 
ANEXO A - Coeficientes para o pré-dimensionamento de lajes e vigas ................... 67 
ANEXO B - Coeficientes para o cálculo das reações de apoio em lajes .................. 68 
ANEXO C - Coeficientes para o cálculo das reações de apoio em lajes .................. 69 
vii 
 
ANEXO D - Coeficientes para o cálculo das reações de apoio em lajes .................. 70 
ANEXO E - Coeficientes para o cálculo dos momentos fletores em lajes ................. 71 
ANEXO F - Coeficientes para o cálculo dos momentos fletores em lajes ................. 72 
ANEXO G - Coeficientes para o cálculo dos momentos fletores em lajes ................ 73 
ANEXO H - Adimensional α para cálculo das flechas em lajes ................................. 74 
ANEXO I - PROJETO DE ARQUITETURA ............................................................... 75 
APÊNDICES A - PROJETO DE ESTRUTURA ........................................................ 83 
APÊNDICES B - TABELAS PRÁTICAS ................................................................. 105 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
viii 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
 
Figura 2.1 – Perspectiva de parte de um edifício (GIONGO, 2007) ............................ 5 
Figura 2.2 – Fluxograma de elaboração de projeto estrutural (CUSTÓDIO, 2010). .... 7 
Figura 2.3 – Seção transversal da laje (PINHEIRO, 2007)........................................ 11 
Figura 2.4 – Seção transversal da viga. (PINHEIRO, 2007)...................................... 13 
Figura 2.5 – Viga contínua e representação dos esforços predominantes. (Ftool) ... 15 
Figura 2.6 – Pórticos planos associados com cargas verticais e horizontais. (Ftool) 16 
Figura 2.7 – Modelo Estrutural composto por grelha e pórtico espacial. (TQS, 
adaptado) ................................................................................................. 16 
Figura 2.8 – Diagrama parábola-retângulo para concreto em compressão (NBR 6118).
 ................................................................................................................. 18 
Figura 2.9 – Diagrama retangular para o concreto (Araújo, 2009). ........................... 19 
Figura 2.10 - Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras passivas 
(adaptado, NBR. 6118:2007). ................................................................... 19 
Figura 2.11 - Domínio de estado limite último de uma seção transversal (NBR 
6118:2007). .............................................................................................. 20 
Figura 2.12 – Profundidade limite da linha neutra para garantir ductibilidade 
adequada (ARAÚJO, 2009) ..................................................................... 23 
Figura 2.13 - Analogia da treliça clássica (CAMACHO, 2004). ................................. 25 
Figura 3.1 – Vãos teóricos lx (menor vão) e ly (maior vão) (PINHEIRO, 2007). ........ 29 
Figura 4.1 – Vínculos das lajes de cobertura ............................................................ 39 
Figura 4.2 - Reações de apoio nas lajes da cobertura ............................................. 40 
Figura 4.3 – Momentos fletores de acordo com sua orientação. ............................... 41 
Figura 4.4 – Compatibilização dos momentos fletores (PINHEIRO, 2007). .............. 42 
Figura 4.5 - Comprimento das barras da armadura negativa .................................... 49 
Figura 4.6 - Esquema simplificado para determinar o comprimento dos ganchos. .. 49 
Figura 4.7 - Armadura de canto (PINHEIRO, 2007). ................................................. 51 
Figura 4.8 - Diagrama do momento fletor e do esforço cortante (FTOOL, 2012). .... 54 
Figura 4.9 - Ancoragem no apoio (PINHEIRO, 2007) ............................................... 58 
 
 
ix 
 
LISTA DE TABELAS 
 
 
Tabela 2.1 – Valores de Kx,lim para garantir ductibilidade adequada do aço ........... 23 
Tabela 3.1 – Hipóteses e parâmetros para lajes maciças retangulares em concreto 
armado ..................................................................................................... 30 
Tabela 3.2 – Área da seção de barras da armadura passiva por unidade de 
comprimento (cm²/m) em bitolas padronizadas da NBR 7480:1996. ....... 30 
Tabela 3.3 - Hipóteses para armadura longitudinal (flexão) para vigas. ................... 32 
Tabela 3.4 - Combinação de bitolas (mm) de aço usuais.......................................... 33 
Tabela 3.5 - Hipóteses para armadura transversal para viga. ................................... 34 
Tabela 4.1 – Pré-dimensionamento dos pilares ........................................................ 36 
Tabela 4.2 – Pré-dimensionamento das vigas .......................................................... 36 
Tabela 4.3 – Pré-dimensionamento da laje ............................................................... 37 
Tabela 4.4 – Carga uniforme equivalente da caixa d’água........................................ 38 
Tabela 4.5 – Cargas atuantes nas lajes da cobertura – kN/m² .................................. 38 
Tabela 4.6 - Reações de apoio das lajes da cobertura - kN/m .................................. 40 
Tabela 4.7 – Momentos fletores nas lajes da cobertura – kN.m/m ............................ 41 
Tabela 4.8 – Momentos fletores das lajes da cobertura compatibilizados2 φ 12,5 + 1φ 6,3 2,82
6 φ 8 3,00
4 φ 10 3,20
2 φ 10 + 1 φ 16 3,60
3 φ 12,5 3,75
5 φ 10 4,00
2 φ 12,5 + 1 φ 10 4,10
2 φ 12,5 + 1 φ 16 4,50
6 φ 10 4,80
4 φ 12,5 5,00
3 φ 16 6,00
5 φ 12,5 6,25
6 φ 12,5 7,50
4 φ 16 8,00
 Mmin =
 fck = 25 MPa
 fyk = 500 MPa Domínio 3 (para CA-50 0,1588 3,00
4 φ 10 3,20
2 φ 10 + 1 φ 16 3,60
3 φ 12,5 3,75
5 φ 10 4,00
2 φ 12,5 + 1 φ 10 4,10
2 φ 12,5 + 1 φ 16 4,50
6 φ 10 4,80
4 φ 12,5 5,00
3 φ 16 6,00
5 φ 12,5 6,25
6 φ 12,5 7,50
4 φ 16 8,00
 Mmin =
 fck = 25 MPa
 fyk = 500 MPa Domínio 3 (para CA-50 0,15810 2,40
2 φ 12,5 2,50
2 φ 10 + 2φ 8 2,60
2 φ 12,5 + 1φ 6,3 2,82
6 φ 8 3,00
4 φ 10 3,20
2 φ 10 + 1 φ 16 3,60
3 φ 12,5 3,75
5 φ 10 4,00
2 φ 12,5 + 1 φ 10 4,10
2 φ 12,5 + 1 φ 16 4,50
6 φ 10 4,80
4 φ 12,5 5,00
3 φ 16 6,00
5 φ 12,5 6,25
6 φ 12,5 7,50
4 φ 16 8,00
 Mmin =
 fck = 25 MPa
 fyk = 500 MPa Domínio 3 (para CA-50 0,158φ 6,3 c/10 6,23
φ 10 c/25 6,28
φ 8,0 c/15 6,70
φ 10 c/20 7,85
φ 12,5 c/30 8,18
φ 8,0 c/12 8,38
φ 12,5 c/25 9,82
φ 8,0 c/10 10,05
φ 10 c/15 10,47
φ 12,5 c/20 12,27
φ 10 c/12 13,09
φ 10 c/10 15,71
 VRd2 (kN) =
 Vc (kN) =
 fck = 25 MPa
 fyk = 500 MPa
fctd = 0,15 . fck
2/3 (resistência à tração do concreto)
12,29 16,13 19,97 23,81 27,65 31,49 35,33
Vc = 0,6 . fctd . b . d 
-- -- -- -- --
--
-- --
138,44 155,33 172,21
-- --
Armadura 
Bitolas (mm) + 
Espaçamento (cm)
ESFORÇO CORTANTE DE SERVIÇO - kN
 VRd2 = 0,27 . (1 - fck/250) . cd . b . d 
Espaçamento Máximo, de acordo com item 18.3.3.2 da Norma: 
• Se Vsd ≤ 0,67 VRd2, então smáx = 0,6 . d ≤ 300mm;
• Se Vsd > 0,67 VRd2, então smáx = 0,3 . d ≤ 200mm.
 Vsd ≤ VRd2
--
sd =
-- --
Vsd = Vsw + Vc → (As / s) . 0,9 . d . sd + 0,6 . 0,15 . fck2/3
 . b . d ≤ VRd2
39,17 43,01
-- -- --
-- -- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- --
-- --
1,00
--
---- -- -- -- -- --
--
-- -- -- -- -- -- -- -- --
--
-- ---- --
TABELA A.25 - DIMENSIONAMENTO DE VIGAS RETANGULARES À ESFORÇO CORTANTE 
54,03 70,91 87,79 104,68 121,56
-- -- -- -- -- -- --
Hipóteses
--
 Vsw = (As / s) . 0,9 . d .sd
1,00 1,00
59,01 77,46 95,90 114,34 132,78 151,22
→
→ cd = 15178,57
-- -- -- -- --
434782,61 kN/m²
ÁREA DE AÇO MÍNIMA DE ACORDO COM A SEÇÃO (cm²)
--
1,00
kN/m²
169,67 188,11 206,55
-- -- -- -- --
1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
189,09
-- -- -- -- -- -- -- --
148,73 164,89 181,06
52,36 68,72 85,08 101,44 117,80 134,17 150,53
51,73 67,90 84,06 100,23 116,40 132,56
166,89 183,25
45,68 59,95 74,23 88,50 102,78 117,05 131,33 145,60 159,88
45,16 59,27 73,38 87,49 101,60 115,72 129,83 143,94 158,05
110,93 122,99 135,04
43,59 57,21 70,84 84,46 98,08 111,71 125,33
38,58 50,64 62,70 74,76 86,81 98,87
138,95 152,57
37,33 49,00 60,66 72,33 84,00 95,66 107,33 118,99 130,66
36,83 48,34 59,85 71,36 82,87 94,38 105,89 117,40 128,91
102,03 112,03
94,13 104,36 114,59
33,16 43,52 53,88 64,24 74,60 84,97 95,33
32,74 42,97 53,20 63,43 73,67 83,90
105,69 116,05
63,15 71,92 80,69
32,01 42,01 52,02 62,02 72,02 82,02 92,03
28,65 37,60 46,56 55,51 64,46 73,41 82,37
25,44 33,38 41,33
56,64 63,55 70,46
91,32 100,27
49,28 57,23 65,18
39,91 47,58 55,26 62,93
89,46 98,23
73,13 81,08 89,03
28,07 36,84 45,61 54,38
77,37
24,56 32,23 70,61 78,28 85,96
OBS: De acordo com NBR 6118, a tensão de escoamento do aço a ser adotada nos cálculos dos estribos não pode ser superior a 435MPa.
Nota: Os espaçamentos máximos entre barras devem ser verificados conforme as condições acima. 
Seção transversal da Largura da Viga (b x h)Área de Aço 
(cm²/m)
20,47 26,87 33,26 39,66 46,05 52,45 58,85 65,24 71,64
22,11 29,01 35,92 42,83 49,74
 
 
 
 
131 
 
 
 
 
12 x 20 12 x 25 12 x 30 12 x 35 12 x 40 12 x 45 12 x 50 12 x 55 12 x 60
φ 5,0 c/30 1,31
φ 5,0 c/25 1,57
φ 5,0 c/20 1,96
φ 6,3 c/30 2,08
φ 6,3 c/25 2,49
φ 5,0 c/15 2,62
φ 6,3 c/20 3,12
φ 5,0 c/12 3,27
φ 8,0 c/30 3,35
φ 5,0 c/10 3,93
φ 8,0 c/25 4,02
φ 6,3 c/15 4,16
φ 8,0 c/20 5,03
φ 6,3 c/12 5,20
φ 10 c/30 5,24
φ 6,3 c/10 6,23
φ 10 c/25 6,28
φ 8,0 c/15 6,70
φ 10 c/20 7,85
φ 12,5 c/30 8,18
φ 8,0 c/12 8,38
φ 12,5 c/25 9,82
φ 8,0 c/10 10,05
φ 10 c/15 10,47
φ 12,5 c/20 12,27
φ 10 c/12 13,09
φ 10 c/10 15,71
 VRd2 (kN) =
 Vc (kN) =
 fck = 25 MPa
 fyk = 500 MPa
fctd = 0,15 . fck
2/3 (resistência à tração do concreto)
14,75 19,35 23,96 28,57 33,18 37,79 42,39
Vc = 0,6 . fctd . b . d 
-- -- -- -- --
--
213,31 234,22
144,74 162,39 180,05
-- --
Armadura 
Bitolas (mm) + 
Espaçamento (cm)
ESFORÇO CORTANTE DE SERVIÇO - kN
 VRd2 = 0,27 . (1 - fck/250) . cd . b . d 
Espaçamento Máximo, de acordo com item 18.3.3.2 da Norma: 
• Se Vsd ≤ 0,67 VRd2, então smáx = 0,6 . d ≤ 300mm;
• Se Vsd > 0,67 VRd2, então smáx = 0,3 . d ≤ 200mm.
 Vsd ≤ VRd2
--
sd =
-- --
Vsd = Vsw + Vc → (As / s) . 0,9 . d . sd + 0,6 . 0,15 . fck2/3
 . b . d ≤ VRd2
47,00 51,61
-- -- --
-- -- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- --
-- --
1,20
--
---- -- -- -- -- --
226,91
66,92 87,83 108,74 129,66 150,57 171,48 192,39 213,31 234,22
--
-- ---- --
TABELA A.26 - DIMENSIONAMENTO DE VIGAS RETANGULARES À ESFORÇO CORTANTE 
56,48 74,14 91,79 109,44 127,09
66,92 87,83 108,74 129,66 150,57 171,48 192,39
Hipóteses
--
 Vsw = (As / s) . 0,9 . d .sd
1,20 1,20
70,82 92,95 115,08 137,21 159,34 181,47
→
→ cd = 15178,57
-- -- -- -- --
434782,61 kN/m²
ÁREA DE AÇO MÍNIMA DE ACORDO COM A SEÇÃO (cm²)
--
1,20
kN/m²
203,60 225,73 247,86
-- -- -- -- --
1,20 1,20 1,20 1,20 1,20
197,70
64,83 85,09 105,35 125,61 145,87 166,13 186,39 206,65
155,79 172,73 189,66
54,82 71,94 89,07 106,20 123,33 140,46 157,59
54,19 71,12 88,06 104,99 121,93 138,86
174,72 191,85
48,14 63,18 78,22 93,27 108,31 123,35 138,39 153,44 168,48
47,62 62,49 77,37 92,25 107,13 122,01 136,89 151,77 166,65
117,99 130,82 143,64
46,05 60,44 74,83 89,22 103,61 118,00 132,39
41,04 53,87 66,69 79,52 92,34 105,17
146,78 161,17
39,79 52,22 64,66 77,09 89,53 101,96 114,39 126,83 139,26
39,29 51,57 63,84 76,12 88,40 100,68 112,95 125,23 137,51
109,86 120,64
101,19 112,19 123,19
35,62 46,74 57,87 69,00 80,13 91,26 102,39
35,20 46,20 57,20 68,20 79,19 90,19
113,52 124,65
68,68 78,22 87,75
34,47 45,24 56,01 66,78 77,55 88,32 99,09
31,11 40,83 50,55 60,27 69,99 79,71 89,43
27,89 36,61 45,33
62,94 70,62 78,29
99,15 108,88
54,04 62,76 71,48
43,90 52,35 60,79 69,23
97,29 106,83
80,19 88,91 97,63
30,52 40,06 49,60 59,14
85,97
27,02 35,46 77,67 86,12 94,56
OBS: De acordo com NBR 6118, a tensão de escoamento do aço a ser adotada nos cálculos dos estribos não pode ser superior a 435MPa.
Nota: Os espaçamentos máximos entre barras devem ser verificados conforme as condições acima. 
Seção transversal da Largura da Viga (b x h)Área de Aço 
(cm²/m)
22,93 30,09 37,26 44,42 51,58 58,75 65,91 73,08 80,24
24,56 32,24 39,91 47,59 55,27
. 
 
 
 
132 
 
 
 
 
13 x 20 13 x 25 13 x 30 13 x 35 13 x 40 13 x 45 13 x 50 13 x 55 13 x 60
φ 5,0 c/30 1,31
φ 5,0 c/25 1,57
φ 5,0 c/20 1,96
φ 6,3 c/30 2,08
φ 6,3 c/25 2,49
φ 5,0 c/15 2,62
φ 6,3 c/20 3,12
φ 5,0 c/12 3,27
φ 8,0 c/30 3,35
φ 5,0 c/10 3,93
φ 8,0 c/25 4,02
φ 6,3 c/15 4,16
φ 8,0 c/20 5,03
φ 6,3 c/12 5,20
φ 10 c/30 5,24
φ 6,3 c/10 6,23
φ 10 c/25 6,28
φ 8,0 c/15 6,70
φ 10 c/20 7,85
φ 12,5 c/30 8,18
φ 8,0 c/12 8,38
φ 12,5 c/25 9,82
φ 8,0 c/10 10,05
φ 10 c/15 10,47
φ 12,5 c/20 12,27
φ 10 c/12 13,09
φ 10 c/10 15,71
 VRd2 (kN) =
 Vc (kN) =
 fck = 25 MPa
 fyk = 500 MPa
90,27
28,25 37,07 81,21 90,03 98,86
OBS: De acordo com NBR 6118, a tensão de escoamento do aço a ser adotada nos cálculos dos estribos não pode ser superior a 435MPa.
Nota: Os espaçamentos máximos entre barras devem ser verificados conforme as condições acima. 
Seção transversal da Largura da Viga (b x h)Área de Aço 
(cm²/m)
24,16 31,70 39,25 46,80 54,35 61,90 69,45 76,99 84,54
25,79 33,85 41,91 49,97 58,03
29,12 38,22 47,32
66,09 74,15 82,21
103,07 113,18
56,42 65,53 74,63
45,90 54,73 63,55 72,38
101,21 111,13
83,73 92,83 101,93
31,75 41,67 51,60 61,52 71,44 81,36 91,29
35,70 46,85 58,01 69,16 80,32 91,47 102,63
32,34 42,44 52,55 62,65 72,76 82,86 92,97
113,78 124,94
104,73 116,11 127,49
36,84 48,36 59,87 71,39 82,90 94,41 105,93
36,43 47,81 59,19 70,58 81,96 93,34
117,44 128,95
40,52 53,18 65,84 78,50 91,16 103,82 116,49 129,15 141,81
41,02 53,84 66,65 79,47 92,29 105,11 117,93 130,74 143,56
121,53 134,74 147,95
47,28 62,05 76,83 91,60 106,38 121,15 135,93
42,27 55,48 68,69 81,90 95,11 108,32
150,70 165,48
48,84 64,11 79,37 94,64 109,90 125,16 140,43 155,69 170,95
49,37 64,79 80,22 95,65 111,07 126,50 141,93 157,35 172,78
159,33 176,64193,96
56,04 73,56 91,07 108,59 126,10 143,61 161,13
55,42 72,74 90,05 107,37 124,69 142,01
178,64 196,15
202,00
66,06 86,71 107,35 127,99 148,64 169,28 189,93 210,57
-- -- -- -- --
434782,61 kN/m²
ÁREA DE AÇO MÍNIMA DE ACORDO COM A SEÇÃO (cm²)
--
1,30
kN/m²
220,57 244,54 268,52
-- -- -- -- --
1,30 1,30 1,30 1,30 1,30
76,72 100,69 124,67 148,64 172,62 196,59
→
→ cd = 15178,57
--
-- ---- --
TABELA A.27 - DIMENSIONAMENTO DE VIGAS RETANGULARES À ESFORÇO CORTANTE 
57,71 75,75 93,78 111,82 129,86
68,15 89,44 110,74 132,04 153,33 174,63 195,93
Hipóteses
--
 Vsw = (As / s) . 0,9 . d .sd
1,30 1,30
---- -- -- -- -- --
231,21
68,15 89,44 110,74 132,04 153,33 174,63 195,93 217,22 238,52
Vsd = Vsw + Vc → (As / s) . 0,9 . d . sd + 0,6 . 0,15 . fck2/3
 . b . d ≤ VRd2
50,92 55,91
-- -- --
-- -- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- --
-- --
1,30
-- --
sd =
-- --
Armadura 
Bitolas (mm) + 
Espaçamento (cm)
ESFORÇO CORTANTE DE SERVIÇO - kN
 VRd2 = 0,27 . (1 - fck/250) . cd . b . d 
Espaçamento Máximo, de acordo com item 18.3.3.2 da Norma: 
• Se Vsd ≤ 0,67 VRd2, então smáx = 0,6 . d ≤ 300mm;
• Se Vsd > 0,67 VRd2, então smáx = 0,3 . d ≤ 200mm.
 Vsd ≤ VRd2
fctd = 0,15 . fck
2/3 (resistência à tração do concreto)
15,97 20,97 25,96 30,95 35,94 40,93 45,93
Vc = 0,6 . fctd . b . d 
-- -- -- -- --
--
217,22 238,52
147,89 165,93 183,96
-- --
 
 
 
 
133 
 
 
 
 
14 x 20 14 x 25 14 x 30 14 x 35 14 x 40 14 x 45 14 x 50 14 x 55 14 x 60
φ 5,0 c/30 1,31
φ 5,0 c/25 1,57
φ 5,0 c/20 1,96
φ 6,3 c/30 2,08
φ 6,3 c/25 2,49
φ 5,0 c/15 2,62
φ 6,3 c/20 3,12
φ 5,0 c/12 3,27
φ 8,0 c/30 3,35
φ 5,0 c/10 3,93
φ 8,0 c/25 4,02
φ 6,3 c/15 4,16
φ 8,0 c/20 5,03
φ 6,3 c/12 5,20
φ 10 c/30 5,24
φ 6,3 c/10 6,23
φ 10 c/25 6,28
φ 8,0 c/15 6,70
φ 10 c/20 7,85
φ 12,5 c/30 8,18
φ 8,0 c/12 8,38
φ 12,5 c/25 9,82
φ 8,0 c/10 10,05
φ 10 c/15 10,47
φ 12,5 c/20 12,27
φ 10 c/12 13,09
φ 10 c/10 15,71
 VRd2 (kN) =
 Vc (kN) =
 fck = 25 MPa
 fyk = 500 MPa
fctd = 0,15 . fck
2/3 (resistência à tração do concreto)
17,20 22,58 27,96 33,33 38,71 44,08 49,46
Vc = 0,6 . fctd . b . d 
-- -- -- -- --
--
221,14 242,82
151,04 169,46 187,88
229,46 254,40
Armadura 
Bitolas (mm) + 
Espaçamento (cm)
ESFORÇO CORTANTE DE SERVIÇO - kN
 VRd2 = 0,27 . (1 - fck/250) . cd . b . d 
Espaçamento Máximo, de acordo com item 18.3.3.2 da Norma: 
• Se Vsd ≤ 0,67 VRd2, então smáx = 0,6 . d ≤ 300mm;
• Se Vsd > 0,67 VRd2, então smáx = 0,3 . d ≤ 200mm.
 Vsd ≤ VRd2
--
sd =
-- --
Vsd = Vsw + Vc → (As / s) . 0,9 . d . sd + 0,6 . 0,15 . fck2/3
 . b . d ≤ VRd2
54,84 60,21
-- -- --
-- -- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- --
-- --
1,40
--
279,3479,81 104,75 129,69 154,64 179,58 204,52
235,52
69,38 91,06 112,74 134,42 156,10 177,78 199,46 221,14 242,82
--
254,40 279,3479,81 104,75
TABELA A.28 - DIMENSIONAMENTO DE VIGAS RETANGULARES À ESFORÇO CORTANTE 
58,94 77,36 95,78 114,20 132,62
69,38 91,06 112,74 134,42 156,10 177,78 199,46
Hipóteses
--
 Vsw = (As / s) . 0,9 . d .sd
1,40 1,40
82,62 108,44 134,26 160,08 185,90 211,71
→
→ cd = 15178,57
129,69 154,64 179,58 204,52 229,46
434782,61 kN/m²
ÁREA DE AÇO MÍNIMA DE ACORDO COM A SEÇÃO (cm²)
--
1,40
kN/m²
237,53 263,35 289,17
-- -- -- -- --
1,40 1,40 1,40 1,40 1,40
206,30
67,29 88,32 109,35 130,37 151,40 172,43 193,46 214,49
162,86 180,56 198,26
57,27 75,17 93,07 110,97 128,86 146,76 164,66
56,65 74,35 92,05 109,75 127,46 145,16
182,56 200,45
50,59 66,41 82,22 98,03 113,84 129,65 145,46 161,27 177,08
50,07 65,72 81,37 97,02 112,66 128,31 143,96 159,61 175,25
125,06 138,65 152,25
48,51 63,67 78,82 93,98 109,14 124,30 139,46
43,50 57,09 70,69 84,28 97,87 111,47
154,62 169,78
42,25 55,45 68,65 81,85 95,06 108,26 121,46 134,66 147,86
41,75 54,79 67,84 80,88 93,93 106,97 120,02 133,06 146,11
117,70 129,24
108,26 120,03 131,79
38,07 49,97 61,87 73,77 85,66 97,56 109,46
37,66 49,42 61,19 72,96 84,72 96,49
121,36 133,25
74,21 84,51 94,82
36,92 48,46 60,00 71,54 83,08 94,62 106,16
33,56 44,05 54,54 65,03 75,52 86,01 96,50
30,35 39,84 49,32
69,24 77,68 86,13
106,99 117,48
58,81 68,29 77,77
47,90 57,11 66,32 75,53
105,13 115,43
87,26 96,74 106,23
32,98 43,29 53,59 63,90
94,57
29,47 38,69 84,74 93,95 103,16
OBS: De acordo com NBR 6118, a tensão de escoamento do aço a ser adotada nos cálculos dos estribos não pode ser superior a 435MPa.
Nota: Os espaçamentos máximos entre barras devem ser verificados conforme as condições acima. 
Seção transversal da Largura da Viga (b x h)Área de Aço 
(cm²/m)
-- -- -- -- -- -- -- -- --
27,02 35,46 43,91 52,35 60,80
 
 
 
 
134 
 
 
 
 
15 x 20 15 x 25 15 x 30 15 x 35 15 x 40 15 x 45 15 x 50 15 x 55 15 x 60
φ 5,0 c/30 1,31
φ 5,0 c/25 1,57
φ 5,0 c/20 1,96
φ 6,3 c/30 2,08
φ 6,3 c/25 2,49
φ 5,0 c/15 2,62
φ 6,3 c/20 3,12
φ 5,0 c/12 3,27
φ 8,0 c/30 3,35
φ 5,0 c/10 3,93
φ 8,0 c/25 4,02
φ 6,3 c/15 4,16
φ 8,0 c/20 5,03
φ 6,3 c/12 5,20
φ 10 c/30 5,24
φ 6,3 c/10 6,23
φ 10 c/25 6,28
φ 8,0 c/15 6,70
φ 10 c/20 7,85
φ 12,5 c/30 8,18
φ 8,0 c/12 8,38
φ 12,5 c/25 9,82
φ 8,0 c/10 10,05
φ 10 c/15 10,47
φ 12,5 c/20 12,27
φ 10 c/12 13,09
φ 10 c/10 15,71
 VRd2 (kN) =
 Vc (kN) =
 fck = 25 MPa
 fyk = 500 MPa
fctd = 0,15 . fck
2/3 (resistência à tração do concreto)
18,43 24,19 29,95 35,71 41,47 47,23 52,99
Vc = 0,6 . fctd . b . d 
-- -- -- -- --
244,99
225,06 247,12
154,19 172,99 191,80
232,99 258,32
Armadura 
Bitolas (mm) + 
Espaçamento (cm)
ESFORÇO CORTANTE DE SERVIÇO - kN
 VRd2 = 0,27 . (1 - fck/250) . cd . b . d 
Espaçamento Máximo, de acordo com item 18.3.3.2 da Norma: 
• Se Vsd ≤ 0,67 VRd2, então smáx = 0,6 . d ≤ 300mm;
• Se Vsd > 0,67 VRd2, então smáx = 0,3 . d ≤ 200mm.
 Vsd ≤ VRd2
--
sd =
-- --
Vsd = Vsw + Vc → (As / s) . 0,9 . d . sd + 0,6 . 0,15 . fck2/3
 . b . d ≤ VRd2
58,75 64,51
-- -- --
-- -- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- --
-- --
1,50
--
283,6481,04 106,37 131,69 157,02 182,34 207,67
239,82
70,61 92,67 114,73 136,80 158,86 180,93 202,99 225,06 247,12
298,25
258,32 283,6481,04 106,37
TABELA A.29 - DIMENSIONAMENTO DE VIGAS RETANGULARES À ESFORÇO CORTANTE 
60,17 78,97 97,78 116,58 135,39
70,61 92,67 114,73 136,80 158,86 180,93 202,99
Hipóteses
218,36
 Vsw = (As / s) . 0,9 . d .sd
1,50 1,50
88,52 116,18 143,85 171,51 199,17 226,84
→
→ cd = 15178,57
131,69 157,02 182,34 207,67 232,99
434782,61 kN/m²
ÁREA DE AÇO MÍNIMA DE ACORDO COM A SEÇÃO (cm²)
271,62
1,50
kN/m²
254,50 282,16 309,83
85,21 111,84 138,47 165,10 191,73
1,50 1,50 1,50 1,50 1,50
210,60
68,52 89,93 111,34 132,76 154,17 175,58 196,99 218,40
166,39 184,48 202,56
58,50 76,78 95,07 113,35 131,63 149,91 168,19
57,88 75,96 94,05 112,13 130,22 148,31
186,47 204,76
51,82 68,02 84,21 100,41 116,60 132,80 148,99 165,19 181,38
51,30 67,33 83,37 99,40 115,43 131,46 147,49 163,52 179,56
128,59 142,57 156,55
49,74 65,28 80,82 96,36 111,91 127,45 142,99
44,73 58,71 72,68 86,66 100,64 114,61
158,53 174,08
43,48 57,06 70,65 84,23 97,82 111,41 124,99 138,58 152,16
42,97 56,40 69,83 83,26 96,69 110,12 123,55 136,98 150,41
121,62 133,54
111,79 123,94 136,09
39,30 51,58 63,87 76,15 88,43 100,71 112,99
38,88 51,04 63,19 75,34 87,49 99,64
125,27 137,56
76,97 87,66 98,35
38,15 50,08 62,00 73,92 85,85 97,77 109,69
34,79 45,67 56,54 67,41 78,29 89,16 100,03
31,58 41,45 51,32
72,39 81,22 90,04
110,91 121,78
61,19 71,05 80,92
49,89 59,49 69,08 78,68
109,04 119,73
90,79 100,66 110,53
34,21 44,90 55,59 66,28
98,87
30,70 40,30 88,27 97,87 107,46
OBS: De acordo com NBR 6118, a tensão de escoamento do aço a ser adotada nos cálculos dos estribos não pode ser superior a 435MPa.
Nota: Os espaçamentos máximos entre barras devemser verificados conforme as condições acima. 
Seção transversal da Largura da Viga (b x h)Área de Aço 
(cm²/m)
-- -- -- -- -- -- -- -- --
28,25 37,08 45,90 54,73 63,56
 
 
 
 
135 
 
 
 
 
20 x 20 20 x 25 20 x 30 20 x 35 20 x 40 20 x 45 20 x 50 20 x 55 20 x 60
φ 5,0 c/30 1,31
φ 5,0 c/25 1,57
φ 5,0 c/20 1,96
φ 6,3 c/30 2,08
φ 6,3 c/25 2,49
φ 5,0 c/15 2,62
φ 6,3 c/20 3,12
φ 5,0 c/12 3,27
φ 8,0 c/30 3,35
φ 5,0 c/10 3,93
φ 8,0 c/25 4,02
φ 6,3 c/15 4,16
φ 8,0 c/20 5,03
φ 6,3 c/12 5,20
φ 10 c/30 5,24
φ 6,3 c/10 6,23
φ 10 c/25 6,28
φ 8,0 c/15 6,70
φ 10 c/20 7,85
φ 12,5 c/30 8,18
φ 8,0 c/12 8,38
φ 12,5 c/25 9,82
φ 8,0 c/10 10,05
φ 10 c/15 10,47
φ 12,5 c/20 12,27
φ 10 c/12 13,09
φ 10 c/10 15,71
 VRd2 (kN) =
 Vc (kN) =
 fck = 25 MPa
 fyk = 500 MPa
fctd = 0,15 . fck
2/3 (resistência à tração do concreto)
24,58 32,26 39,94 47,62 55,30 62,98 70,66
Vc = 0,6 . fctd . b . d 
-- -- -- -- --
262,66
244,64 268,62
169,93 190,66 211,38
250,66 277,90
Armadura 
Bitolas (mm) + 
Espaçamento (cm)
ESFORÇO CORTANTE DE SERVIÇO - kN
 VRd2= 0,27 . (1 - fck/250) . cd . b . d 
Espaçamento Máximo, de acordo com item 18.3.3.2 da Norma: 
• Se Vsd ≤ 0,67 VRd2, então smáx = 0,6 . d ≤ 300mm;
• Se Vsd > 0,67 VRd2, então smáx = 0,3 . d ≤ 200mm.
 Vsd ≤ VRd2
--
sd =
-- --
Vsd = Vsw + Vc → (As / s) . 0,9 . d . sd + 0,6 . 0,15 . fck2/3
 . b . d ≤ VRd2
78,34 86,02
295,66 327,79 359,93
108,05 141,82 175,59 209,36 243,12 276,89 310,66
102,84 134,97 167,11 199,25 231,38 263,52
344,42 378,19
2,00
--
305,1587,18 114,43 141,68 168,92 196,17 223,41
261,32
76,75 100,73 124,72 148,70 172,69 196,67 220,66 244,64 268,62
319,76
277,90 305,1587,18 114,43
TABELA A.30 - DIMENSIONAMENTO DE VIGAS RETANGULARES À ESFORÇO CORTANTE 
66,32 87,04 107,76 128,49 149,21
76,75 100,73 124,72 148,70 172,69 196,67 220,66
Hipóteses
234,11
 Vsw = (As / s) . 0,9 . d .sd
2,00 2,00
118,03 154,91 191,80 228,68 265,56 302,45
→
→ cd = 15178,57
141,68 168,92 196,17 223,41 250,66
434782,61 kN/m²
ÁREA DE AÇO MÍNIMA DE ACORDO COM A SEÇÃO (cm²)
291,21
2,00
kN/m²
339,33 376,22 413,10
91,36 119,91 148,46 177,01 205,56
2,00 2,00 2,00 2,00 2,00
232,10
74,66 98,00 121,33 144,66 167,99 191,32 214,66 237,99
184,06 204,06 224,07
64,65 84,85 105,05 125,25 145,45 165,65 185,86
64,02 84,03 104,03 124,04 144,04 164,05
206,06 226,26
57,97 76,08 94,20 112,31 130,43 148,54 166,66 184,77 202,89
57,45 75,40 93,35 111,30 129,25 147,20 165,16 183,11 201,06
146,26 162,15 178,05
55,88 73,34 90,81 108,27 125,73 143,19 160,66
50,87 66,77 82,67 98,56 114,46 130,36
178,12 195,58
49,62 65,13 80,63 96,14 111,64 127,15 142,66 158,16 173,67
49,12 64,47 79,82 95,17 110,52 125,87 141,22 156,57 171,92
141,20 155,04
129,46 143,53 157,60
45,45 59,65 73,85 88,05 102,25 116,45 130,66
45,03 59,10 73,17 87,24 101,31 115,38
144,86 159,06
90,80 103,41 116,02
44,30 58,14 71,98 85,83 99,67 113,51 127,36
40,94 53,73 66,52 79,32 92,11 104,90 117,70
37,72 49,51 61,30
-- -- --
130,49 143,28
73,09 84,88 96,67
-- -- -- --
128,63 141,24
108,46 120,24 132,03
40,35 52,96 65,57 78,18
--
-- -- -- -- --
OBS: De acordo com NBR 6118, a tensão de escoamento do aço a ser adotada nos cálculos dos estribos não pode ser superior a 435MPa.
Nota: Os espaçamentos máximos entre barras devem ser verificados conforme as condições acima. 
Seção transversal da Largura da Viga (b x h)Área de Aço 
(cm²/m)
-- -- -- -- -- -- -- -- --
-- -- -- -- --
 
 
 
 
136 
 
 
 
 
25 x 20 25 x 25 25 x 30 25 x 35 25 x 40 25 x 45 25 x 50 25 x 55 25 x 60
φ 5,0 c/30 1,31
φ 5,0 c/25 1,57
φ 5,0 c/20 1,96
φ 6,3 c/30 2,08
φ 6,3 c/25 2,49
φ 5,0 c/15 2,62
φ 6,3 c/20 3,12
φ 5,0 c/12 3,27
φ 8,0 c/30 3,35
φ 5,0 c/10 3,93
φ 8,0 c/25 4,02
φ 6,3 c/15 4,16
φ 8,0 c/20 5,03
φ 6,3 c/12 5,20
φ 10 c/30 5,24
φ 6,3 c/10 6,23
φ 10 c/25 6,28
φ 8,0 c/15 6,70
φ 10 c/20 7,85
φ 12,5 c/30 8,18
φ 8,0 c/12 8,38
φ 12,5 c/25 9,82
φ 8,0 c/10 10,05
φ 10 c/15 10,47
φ 12,5 c/20 12,27
φ 10 c/12 13,09
φ 10 c/10 15,71
 VRd2 (kN) =
 Vc (kN) =
 fck = 25 MPa
 fyk = 500 MPa
--
-- -- -- -- --
OBS: De acordo com NBR 6118, a tensão de escoamento do aço a ser adotada nos cálculos dos estribos não pode ser superior a 435MPa.
Nota: Os espaçamentos máximos entre barras devem ser verificados conforme as condições acima. 
Seção transversal da Largura da Viga (b x h)Área de Aço 
(cm²/m)
-- -- -- -- -- -- -- -- --
-- -- -- -- --
-- -- --
-- -- --
150,07 164,79
-- -- --
-- -- -- --
-- --
-- -- --
-- -- -- -- -- -- --
50,44 66,20 81,97 97,73 113,49 129,26 145,02
47,08 61,79 76,51 91,22 105,93 120,65 135,36
160,78 176,55
147,12 163,11 179,10
51,59 67,71 83,83 99,95 116,08 132,20 148,32
51,17 67,16 83,15 99,15 115,14 131,13
164,44 180,56
55,26 72,53 89,80 107,07 124,34 141,61 158,88 176,15 193,42
55,76 73,19 90,62 108,04 125,47 142,89 160,32 177,75 195,17
163,92 181,74 199,55
62,02 81,41 100,79 120,17 139,55 158,94 178,32
57,02 74,83 92,65 110,47 128,29 146,10
197,70 217,09
63,59 83,46 103,33 123,20 143,08 162,95 182,82 202,69 222,56
64,11 84,15 104,18 124,22 144,25 164,29 184,32 204,35 224,39
201,72 223,65 245,57
70,79 92,91 115,03 137,15 159,28 181,40 203,52
70,16 92,09 114,02 135,94 157,87 179,79
225,64 247,76
253,61
80,81 106,06 131,31 156,56 181,82 207,07 232,32 257,57
151,66 180,82 209,99 239,15 268,32
434782,61 kN/m²
ÁREA DE AÇO MÍNIMA DE ACORDO COM A SEÇÃO (cm²)
310,79
2,50
kN/m²
424,17 470,27 516,38
97,50 127,97 158,44 188,91 219,38
2,50 2,50 2,50 2,50 2,50
147,54 193,64 239,75 285,85 331,96 378,06
→
→ cd = 15178,57
341,26
297,49 326,6593,33 122,49
TABELA A.31 - DIMENSIONAMENTO DE VIGAS RETANGULARES À ESFORÇO CORTANTE 
72,46 95,10 117,75 140,39 163,03
82,89 108,80 134,70 160,61 186,51 212,42 238,32
Hipóteses
249,85
 Vsw = (As / s) . 0,9 . d .sd
2,50 2,50
326,6593,33 122,49 151,66 180,82 209,99 239,15
282,82
82,89 108,80 134,70 160,61 186,51 212,42 238,32 264,22 290,13
Vsd = Vsw + Vc → (As / s) . 0,9 . d . sd + 0,6 . 0,15 . fck2/3
 . b . d ≤ VRd2
97,92 107,52
313,32 347,38 381,43
114,20 149,89 185,57 221,26 256,95 292,63 328,32
108,98 143,04 177,09 211,15 245,21 279,26
364,01 399,69
2,50
212,70 458,13
sd =
130,89 171,80
Armadura 
Bitolas (mm) + 
Espaçamento (cm)
ESFORÇO CORTANTE DE SERVIÇO - kN
 VRd2 = 0,27 . (1 - fck/250) . cd . b . d 
Espaçamento Máximo, de acordo com item 18.3.3.2 da Norma: 
• Se Vsd ≤ 0,67 VRd2, então smáx = 0,6 . d ≤ 300mm;
• Se Vsd > 0,67 VRd2, então smáx = 0,3 . d ≤ 200mm.
 Vsd ≤ VRd2
fctd = 0,15 . fck
2/3 (resistência à tração do concreto)
30,72 40,32 49,92 59,52 69,12 78,72 88,32
Vc = 0,6 . fctd . b . d 
253,61 294,51 335,42 376,32 417,22
280,32
264,22 290,13
185,68 208,32 230,96
268,32 297,49
 
 
 
 
137 
 
 
 
30 x 20 30 x 25 30 x 30 30 x 35 30 x 40 30 x 45 30 x 50 30 x 55 30 x 60
φ 5,0 c/30 1,31
φ 5,0 c/25 1,57
φ 5,0 c/20 1,96
φ 6,3 c/30 2,08
φ 6,3 c/25 2,49
φ 5,0 c/15 2,62
φ 6,3 c/20 3,12
φ 5,0 c/12 3,27
φ 8,0 c/30 3,35
φ 5,0 c/10 3,93
φ 8,0 c/25 4,02
φ 6,3 c/15 4,16
φ 8,0 c/20 5,03
φ 6,3 c/12 5,20
φ 10 c/30 5,24
φ 6,3 c/10 6,23
φ 10 c/25 6,28
φ 8,0 c/15 6,70
φ 10 c/20 7,85
φ 12,5 c/30 8,18
φ 8,0 c/12 8,38
φ 12,5 c/25 9,82
φ 8,0 c/10 10,05
φ 10 c/15 10,47
φ 12,5 c/20 12,27
φ 10 c/12 13,09
φ 10 c/10 15,71
 VRd2 (kN) =
 Vc (kN) =
 fck = 25 MPa
 fyk = 500 MPa
fctd = 0,15 . fck
2/3 (resistência à tração do concreto)
36,86 48,38 59,90 71,42 82,94 94,46 105,98
Vc = 0,6 . fctd . b . d 
265,51 308,34 351,16 393,98 436,81
297,98
283,81 311,63
201,42 225,98 250,55
285,98 317,07
Armadura 
Bitolas (mm) + 
Espaçamento (cm)
ESFORÇOCORTANTE DE SERVIÇO - kN
 VRd2 = 0,27 . (1 - fck/250) . cd . b . d 
Espaçamento Máximo, de acordo com item 18.3.3.2 da Norma: 
• Se Vsd ≤ 0,67 VRd2, então smáx = 0,6 . d ≤ 300mm;
• Se Vsd > 0,67 VRd2, então smáx = 0,3 . d ≤ 200mm.
 Vsd ≤ VRd2
479,63
sd =
137,04 179,86
Vsd = Vsw + Vc → (As / s) . 0,9 . d . sd + 0,6 . 0,15 . fck2/3
 . b . d ≤ VRd2
117,50 129,02
330,98 366,96 402,94
120,34 157,95 195,56 233,16 270,77 308,38 345,98
115,12 151,10 187,08 223,05 259,03 295,01
383,59 421,20
3,00
222,69
348,1599,47 130,56 161,64 192,73 223,81 254,90
304,33
89,04 116,86 144,69 172,51 200,34 228,16 255,98 283,81 311,63
362,76
317,07 348,1599,47 130,56
TABELA A.32 - DIMENSIONAMENTO DE VIGAS RETANGULARES À ESFORÇO CORTANTE 
78,60 103,17 127,73 152,29 176,86
89,04 116,86 144,69 172,51 200,34 228,16 255,98
Hipóteses
265,59
 Vsw = (As / s) . 0,9 . d .sd
3,00 3,00
177,04 232,37 287,69 343,02 398,35 453,67
→
→ cd = 15178,57
161,64 192,73 223,81 254,90 285,98
434782,61 kN/m²
ÁREA DE AÇO MÍNIMA DE ACORDO COM A SEÇÃO (cm²)
330,37
3,00
kN/m²
509,00 564,32 619,65
103,65 136,04 168,43 200,82 233,20
3,00 3,00 3,00 3,00 3,00
275,11
86,95 114,12 141,30 168,47 195,64 222,81 249,98 277,16
219,38 243,23 267,08
76,93 100,98 125,02 149,06 173,10 197,14 221,18
76,31 100,15 124,00 147,85 171,69 195,54
245,23 269,27
70,26 92,21 114,16 136,12 158,07 180,03 201,98 223,94 245,89
69,73 91,53 113,32 135,11 156,90 178,69 200,48 222,28 244,07
181,58 201,32 221,06
68,17 89,47 110,77 132,08 153,38 174,68 195,98
63,16 82,90 102,63 122,37 142,11 161,85
217,29 238,59
61,91 81,25 100,60 119,95 139,29 158,64 177,98 197,33 216,68
61,41 80,60 99,79 118,98 138,16 157,35 176,54 195,73 214,92
180,37 198,05
164,78 182,70 200,61
57,73 75,78 93,82 111,86 129,90 147,94 165,98
57,32 75,23 93,14 111,05 128,96 146,87
184,03 202,07
-- -- --
56,59 74,27 91,95 109,63 127,32 145,00 162,68
-- -- -- -- -- -- --
-- -- --
-- -- --
-- --
-- -- --
-- -- -- --
-- --
-- -- --
-- -- -- --
--
-- -- -- -- --
OBS: De acordo com NBR 6118, a tensão de escoamento do aço a ser adotada nos cálculos dos estribos não pode ser superior a 435MPa.
Nota: Os espaçamentos máximos entre barras devem ser verificados conforme as condições acima. 
Seção transversal da Largura da Viga (b x h)Área de Aço 
(cm²/m)
-- -- -- -- -- -- -- -- --
-- -- -- -- --
 
 
 
 
 
138 
 
 
 
 
35 x 20 35 x 25 35 x 30 35 x 35 35 x 40 35 x 45 35 x 50 35 x 55 35 x 60
φ 5,0 c/30 1,31
φ 5,0 c/25 1,57
φ 5,0 c/20 1,96
φ 6,3 c/30 2,08
φ 6,3 c/25 2,49
φ 5,0 c/15 2,62
φ 6,3 c/20 3,12
φ 5,0 c/12 3,27
φ 8,0 c/30 3,35
φ 5,0 c/10 3,93
φ 8,0 c/25 4,02
φ 6,3 c/15 4,16
φ 8,0 c/20 5,03
φ 6,3 c/12 5,20
φ 10 c/30 5,24
φ 6,3 c/10 6,23
φ 10 c/25 6,28
φ 8,0 c/15 6,70
φ 10 c/20 7,85
φ 12,5 c/30 8,18
φ 8,0 c/12 8,38
φ 12,5 c/25 9,82
φ 8,0 c/10 10,05
φ 10 c/15 10,47
φ 12,5 c/20 12,27
φ 10 c/12 13,09
φ 10 c/10 15,71
 VRd2 (kN) =
 Vc (kN) =
 fck = 25 MPa
 fyk = 500 MPa
--
-- -- -- -- --
OBS: De acordo com NBR 6118, a tensão de escoamento do aço a ser adotada nos cálculos dos estribos não pode ser superior a 435MPa.
Nota: Os espaçamentos máximos entre barras devem ser verificados conforme as condições acima. 
Seção transversal da Largura da Viga (b x h)Área de Aço 
(cm²/m)
-- -- -- -- -- -- -- -- --
-- -- -- -- --
-- -- --
-- -- --
-- --
-- -- --
-- -- -- --
-- --
-- -- --
-- -- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- -- --
-- --
-- -- --
-- -- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- --
-- --
67,55 88,66 109,77 130,88 151,99 173,10 194,21 215,32 236,43
68,05 89,32 110,58 131,85 153,12 174,38 195,65 216,91 238,18
199,25 220,91 242,56
74,31 97,53 120,76 143,98 167,20 190,43 213,65
69,30 90,96 112,62 134,28 155,93 177,59
236,87 260,09
75,88 99,59 123,30 147,01 170,72 194,44 218,15 241,86 265,57
76,40 100,27 124,15 148,02 171,90 195,77 219,65 243,52 267,40
237,05 262,81 288,58
83,08 109,04 135,00 160,96 186,92 212,89 238,85
82,45 108,22 133,98 159,75 185,52 211,28
264,81 290,77
296,61
93,09 122,19 151,28 180,37 209,46 238,56 267,65 296,74
171,63 204,63 237,64 270,64 303,65
434782,61 kN/m²
ÁREA DE AÇO MÍNIMA DE ACORDO COM A SEÇÃO (cm²)
349,96
3,50
kN/m²
593,83 658,38 722,93
109,79 144,10 178,41 212,72 247,03
3,50 3,50 3,50 3,50 3,50
206,55 271,10 335,64 400,19 464,74 529,28
→
→ cd = 15178,57
384,27
336,65 369,66105,62 138,62
TABELA A.33 - DIMENSIONAMENTO DE VIGAS RETANGULARES À ESFORÇO CORTANTE 
84,75 111,23 137,71 164,20 190,68
95,18 124,93 154,67 184,41 214,16 243,90 273,65
Hipóteses
281,34
 Vsw = (As / s) . 0,9 . d .sd
3,50 3,50
369,66105,62 138,62 171,63 204,63 237,64 270,64
325,83
95,18 124,93 154,67 184,41 214,16 243,90 273,65 303,39 333,14
Vsd = Vsw + Vc → (As / s) . 0,9 . d . sd + 0,6 . 0,15 . fck2/3
 . b . d ≤ VRd2
137,09 150,53
348,65 386,54 424,44
126,49 166,01 205,54 245,07 284,59 324,12 363,65
121,27 159,17 197,06 234,96 272,85 310,75
403,17 442,70
3,50
232,67 501,14
sd =
143,18 187,93
Armadura 
Bitolas (mm) + 
Espaçamento (cm)
ESFORÇO CORTANTE DE SERVIÇO - kN
 VRd2 = 0,27 . (1 - fck/250) . cd . b . d 
Espaçamento Máximo, de acordo com item 18.3.3.2 da Norma: 
• Se Vsd ≤ 0,67 VRd2, então smáx = 0,6 . d ≤ 300mm;
• Se Vsd > 0,67 VRd2, então smáx = 0,3 . d ≤ 200mm.
 Vsd ≤ VRd2
fctd = 0,15 . fck
2/3 (resistência à tração do concreto)
43,01 56,45 69,89 83,33 96,77 110,21 123,65
Vc = 0,6 . fctd . b . d 
277,41 322,16 366,90 411,65 456,39
315,65
303,39 333,14
217,16 243,65 270,13
303,65 336,65
 
 
 
 
139 
 
 
 
 
40 x 20 40 x 25 40 x 30 40 x 35 40 x 40 40 x 45 40 x 50 40 x 55 40 x 60
φ 5,0 c/30 1,31
φ 5,0 c/25 1,57
φ 5,0 c/20 1,96
φ 6,3 c/30 2,08
φ 6,3 c/25 2,49
φ 5,0 c/15 2,62
φ 6,3 c/20 3,12
φ 5,0 c/12 3,27
φ 8,0 c/30 3,35
φ 5,0 c/10 3,93
φ 8,0 c/25 4,02
φ 6,3 c/15 4,16
φ 8,0 c/20 5,03
φ 6,3 c/12 5,20
φ 10 c/30 5,24
φ 6,3 c/10 6,23
φ 10 c/25 6,28
φ 8,0 c/15 6,70
φ 10 c/20 7,85
φ 12,5 c/30 8,18
φ 8,0 c/12 8,38
φ 12,5 c/25 9,82
φ 8,0 c/10 10,05
φ 10 c/15 10,47
φ 12,5 c/20 12,27
φ 10 c/12 13,09
φ 10 c/10 15,71
 VRd2 (kN) =
 Vc (kN) =
 fck = 25 MPa
 fyk = 500 MPa
fctd = 0,15 . fck
2/3 (resistência à tração do concreto)
49,15 64,51 79,87 95,23 110,59 125,95 141,31
Vc = 0,6 . fctd . b . d 
289,32 335,98 382,65 429,31 475,98
333,31
322,98 354,64
232,91 261,31 289,72
321,31 356,24
Armadura 
Bitolas (mm) + 
Espaçamento (cm)
ESFORÇO CORTANTE DE SERVIÇO - kN
 VRd2 = 0,27 . (1 - fck/250) . cd . b . d 
Espaçamento Máximo, de acordo com item 18.3.3.2 da Norma: 
• Se Vsd ≤ 0,67 VRd2, então smáx = 0,6 . d ≤ 300mm;
• Se Vsd > 0,67 VRd2, então smáx = 0,3 . d ≤ 200mm.
 Vsd ≤ VRd2
522,64
sd =
149,33 195,99
Vsd = Vsw + Vc → (As / s) . 0,9 . d . sd + 0,6 . 0,15 . fck2/3
 . b . d ≤ VRd2
156,67 172,03
366,31 406,13 445,95
132,63 174,08 215,52 256,97 298,42 339,87 381,31
127,41 167,23 207,05 246,86 286,68 326,50
422,76 464,21
4,00
242,65
391,16111,76 146,69 181,61 216,54 251,46 286,39
347,34
101,33 132,99 164,65 196,32 227,98 259,65 291,31 322,98 354,64
405,77
356,24 391,16111,76 146,69
TABELA A.34 - DIMENSIONAMENTO DE VIGAS RETANGULARES À ESFORÇO CORTANTE 
90,89 119,29 147,70 176,10 204,51
101,33 132,99 164,65 196,32 227,98 259,65 291,31
Hipóteses
297,08
 Vsw = (As / s) . 0,9 . d .sd
4,00 4,00
236,06 309,83 383,59 457,36 531,13 604,90
→
→ cd = 15178,57
181,61 216,54 251,46 286,39 321,31
434782,61 kN/m²
ÁREA DE AÇO MÍNIMA DE ACORDO COM A SEÇÃO (cm²)
369,54
4,00
kN/m²
678,66 752,43 826,20
115,93 152,16 188,39 224,62 260,85
4,00 4,00 4,00 4,00 4,00
318,12
99,24 130,25 161,26 192,28 223,29 254,30 285,31 316,32
254,71 282,40 310,08
89,22 117,10 144,99 172,87200,75 228,63 256,51
88,60 116,28 143,97 171,65 199,34 227,03
284,39 312,28
82,54 108,34 134,13 159,93 185,72 211,52 237,31 263,11 288,90
82,02 107,65 133,29 158,92 184,55 210,18 235,81 261,44 287,08
216,91 240,49 264,07
80,46 105,60 130,74 155,88 181,03 206,17 231,31
75,45 99,03 122,60 146,18 169,76 193,33
256,45 281,60
74,20 97,38 120,57 143,75 166,94 190,13 213,31 236,50 259,68
-- -- -- -- -- -- -- -- --
-- --
-- -- --
-- -- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- --
-- --
-- -- --
-- -- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- -- --
-- -- --
-- -- --
-- --
-- -- --
-- -- -- --
-- --
-- -- --
-- -- -- --
--
-- -- -- -- --
OBS: De acordo com NBR 6118, a tensão de escoamento do aço a ser adotada nos cálculos dos estribos não pode ser superior a 435MPa.
Nota: Os espaçamentos máximos entre barras devem ser verificados conforme as condições acima. 
Seção transversal da Largura da Viga (b x h)Área de Aço 
(cm²/m)
-- -- -- -- -- -- -- -- --
-- -- -- -- --e corrigidos.
 ................................................................................................................. 43 
Tabela 4.9 – Momentos de serviços das lajes da cobertura – kN.m/m ..................... 43 
Tabela 4.10 - Cálculo das armaduras das lajes da cobertura ................................... 44 
Tabela 4.11 - Resultado da flecha imediata para Laje L-404 .................................... 46 
Tabela 4.12 - Comparação da flecha limite com a flecha total .................................. 47 
Tabela 4.13 - Comprimentos das barras positivas .................................................... 48 
Tabela 4.14 - Comprimentos das barras negativas .................................................. 50 
Tabela 4.15 - Resumos dos esforços na viga V-401. ................................................ 55 
Tabela 4.16 - Armadura longitudinal à flexão para viga V-401 .................................. 55 
Tabela 4.17 - Armadura transversal para viga V-401 ................................................ 56 
Tabela 4.18 - Comprimento de ancoragem básico .................................................... 57 
Tabela 4.19 - Comprimento de ancoragem necessário. ............................................ 58 
Tabela 4.20 - Cargas uniformes atuantes nas demais vigas da cobertura ................ 59 
 
x 
 
Tabela 4.21 - Carga concentrada atuante nas demais vigas da cobertura ............... 59 
Tabela 4.22 - Armadura longitudinal e transversal das vigas da cobertura ............... 60 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xi 
 
 
LISTA DE SÍMBOLOS 
 
Ac área da seção transversal bruta 
Aef área de aço efetiva 
af flecha diferida 
Ai área de influência do pilar 
ai flecha imediata 
alim flecha limite 
As área de aço 
As
- área de aço referente ao momento fletor de serviço negativo 
As,calc área de aço calculada 
As,canto armadura de canto 
As,min área de aço mínima 
As,w área de aço transversal - estribos 
As
+ área de aço referente ao momento fletor de serviço positivo 
at flecha total 
b largura da seção transversal 
c cobrimento nominal da armadura 
cmin cobrimento mínimo 
d altura útil da seção transversal 
Ec módulo de elasticidade do concreto 
Es módulo de elasticidade do aço 
fbd resistência de aderência 
fcd resistência de cálculo à compressão do concreto 
fck resistência característica à compressão do concreto 
fct,m resistência média à tração do concreto 
fyd resistência de cálculo ao escoamento do aço 
fyk resistência característica ao escoamento do aço 
g ações permanentes 
h altura total da seção transversal 
hadot altura total da seção transversal adotada 
xii 
 
hcalc altura total da seção transversal calculada 
Ic momento de inércia da seção bruta 
kx profundidade relativa da linha neutra 
kx,lim profundidade relativa da linha neutra limite 
lb comprimento básico de ancoragem 
lbe,min comprimento de ancoragem mínimo em apoios externos 
lx vão na direção x 
ly vão na direção y 
M+
k momento fletor característico positivo 
M+
sd momento fletor de serviço positivo 
Mk momento característico 
M-
k momento fletor característico negativo 
Mk,e momento compatibilizado 
Mr momento de fissuração 
Msd momento de serviço 
M-
sd momento fletor de serviço negativo 
Mx momento fletor positivo da laje, na direção x (vão da laje) 
M'x momento fletor negativo da laje, na direção x (apoio 
engastado) 
My momento fletor positivo da laje, na direção y (vão da laje) 
M'y momento fletor negativo da laje, na direção y (apoio 
engastado) 
n número de pavimentos tipo 
Pp peso próprio 
q ações variáveis (cargas acidentais) 
R reação de apoio na laje 
Rrd1 força cortante resistente da laje 
Rsd força cortante solicitante da laje 
Rx reação de apoio da laje, na direção x apoiada 
R'x reação de apoio da laje, na direção x engastada 
Ry reação de apoio da laje, na direção y apoiada 
R'y reação de apoio da laje, na direção y engastada 
s espaçamento 
xiii 
 
tmin comprimento mínimo 
Vc parcela de força cortante absorvida por mecanismo 
complementares ao de treliça; 
Vk força cortante característica 
VRd2 força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das 
diagonais comprimidas de concreto, de acordo com os 
modelos de cálculo I ou II 
VRd3 força cortante resistente de cálculo, relativo à ruína por tração 
diagonal 
Vsd força cortante de serviço 
Vsw parcela de força cortante resistente pela armadura transversal, 
de acordo com os modelos I ou II 
x altura da linha neutra 
xb altura da linha neutra balanceada, limite do domínio 3/4 
xlim altura da linha neutra limite para garantir a ductibilidade 
y = 0,8x altura do diagrama retangular simplificado que deve ser 
considerada com tensão constante 
yt centróide da seção bruta 
z braço de alavanca 
Δc acréscimo do cobrimento referente a uma tolerância de 
execução 
Δ(t) - (t0) coeficiente em função do tempo, pode ser obtido na tabela 
17.1 da NBR 6118:2007 
εcd encurtamento máximo do concreto no elu de flexão 
εsd alongamento máximo do aço na ruptura da peça 
ξ deformação específica 
ξc deformação específica do concreto 
ξs deformação específica do aço 
 coeficiente que leva em conta as excentricidade da carga no 
pilar 
l diâmetro da barra longitudinal 
t diâmetro do estribo 
 diâmetro da armadura 
luiz
Realce
luiz
Realce
xiv 
 
c coeficiente de ponderação da resistência do concreto 
concreto peso específico do concreto 
f coeficiente de ponderação das ações 
s coeficiente de ponderação da resistência do aço 
e  coeficientes de aderência, dependem respectivamente do tipo 
de barra, situação e bitola. 
 índice de esbeltez 
min taxa mínima de armadura a flexão 
s taxa geométrica mínima de armadura aderente passiva 
c tensão à compressão no concreto 
cd tensão de máxima de compressão no concreto no ELU de 
flexão 
ct tensão à tração no concreto 
s tensão normal no aço de armadura passiva 
sd tensões normais solicitantes de cálculo 
sd tensão de tração máximos do aço na ruptura da peça 
Rd tensões de cisalhamento resistentes de cálculo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
1 INTRODUÇÃO 
1.1 Breve histórico 
As civilizações antigas utilizavam a pedra e a madeira como materiais de 
construção. Os grandes representantes desse período são as civilizações: egípcias 
com obras faraônicas (as pirâmides) e os romanos com construções de fortificações, 
pontes em arcos com pedras, coliseu, entre outras edificações. 
A pedra possui ótima durabilidade e resistência a esforço de compressão, 
mas possui limitações para vencer grandes vãos, visto que apresentam baixar 
resistência a tração. 
Os romanos já utilizavam um tipo de concreto, usando como aglomerante a 
cal e a pozolana. Porém o uso se propagou, apenas a partir de processo de 
fabricação industrial do cimento Portland, por Joseph Apsdin, na Inglaterra em 1824. 
O concreto consiste em uma pasta de agregados graúdos e miúdos com 
aglomerante, que apresenta características semelhantes à pedra, por possuir boa 
resistência à compressão, mas sua resistência à tração era em torno de um décimo 
da resistência à compressão. 
A partir dessa limitação e da busca de um material estrutural que 
incorporasse em suas características não só boa resistência a compressão, mas 
também boa resistência à tração, surgiu em meados do século XIX, na Europa, o 
concreto armado . 
O concreto armado associava a pedra artificial (concreto) com a armadura 
de aço. A armadura que integra o concreto armado é chamada de vergalhão, e 
consiste numa barra de aço de seção circular. O objetivo de adicionar o aço na 
mistura do concreto é produzir um material que ao mesmo tempo seria resistente à 
compressão e à tração, já que o aço resiste bem a tração e o concreto a 
compressão. 
Essa combinação entre o concreto e o aço deu tão certo que se difundiupelo mundo modernizado, sendo o concreto o material de produção industrial mais 
consumido no mundo. Foram criados, em vários países, institutos para divulgar, 
pesquisar e reunir especialistas. No Brasil foi criado o Instituto Brasileiro do Concreto 
2 
 
(Ibracon), tendo em vista a importância do concreto armado na indústria da 
construção civil brasileira. 
Atualmente, foram introduzidos os materiais denominados compósitos, com 
utilização no reparo e no reforço estrutural, em particular a adição de polímeros 
reforçados com fibras de carbono. Além do grande avanço na resistência 
característica do concreto a compressão, chamado de fck. 
Por esse breve histórico é possível ressaltar a importância do concreto 
armado principalmente na construção de edifícios. 
Os edifícios de concreto armado são compostos por elementos estrutural 
que são responsáveis por resistir às ações impostas a eles, transmitindo-as para a 
fundação. A primeira etapa de um projeto estrutural é a escolha do sistema 
estrutural, que está condicionada a fatores técnicos e econômicos. A partir desta 
escolha, é possível começar o lançamento e pré-dimensionamento dos elementos 
estruturais (pilares, vigas e lajes). É importante conhecer e respeitar a função de 
cada elemento estrutural, tendo em vista que as lajes são posicionadas nos pisos 
para transferir as cargas para as vigas de apoio, e as vigas, por sua vez, transferir 
as reações das lajes, juntamente com o peso das alvenarias, para os pilares de 
apoio, e por fim, os pilares transferem as cargas das vigas para a fundação. 
Neste trabalho, o desenvolvimento do projeto estrutural segue o fluxograma 
de Custódio (figura 2.2), que tem por finalidade sugerir uma ordem prática e concisa 
das etapas de um projeto estrutural. Mas não serão realizados todas as etapas 
neste trabalho, tendo um foco especial na etapa de dimensionamento para o estado 
limite último, em que é proposto tabelas práticas para o dimensionamento de lajes e 
vigas de concreto armado. 
 
1.2 Motivação 
Possibilitar a integração das disciplinas de Concreto Armado I e II com a 
disciplina de Projeto Estrutural de Edifícios, buscando auxiliar os alunos de 
engenharia civil no desenvolvimento de projetos e exercícios estruturais, com auxílio 
de tabelas práticas propostas por este trabalho. 
3 
 
1.3 Objetivo 
Proporcionar uma roteiro prático para elaboração de um projeto estrutural de 
edifícios de pequeno porte, baseados no dimensionamento dos elementos 
estruturais por tabelas práticas, desenvolvidas no programa Microsoft Excel, com 
base em recomendações e hipóteses da NBR 6118:2007 (Projeto de estruturas de 
concreto - Procedimento), além de demonstrar a importância de eliminar parte do 
domínio 3, visando atender a ductibilidade do aço, permitindo uma ruptura dúctil e 
com aviso. Essas tabelas práticas tornam mais ágil o dimensionamento de lajes e 
vigas de concreto armado. 
 
1.4 Metodologia 
A metodologia deste trabalho foi dividida em três etapas: revisão 
bibliográfica, desenvolvimento das tabelas práticas e dimensionamento de um 
edifício com tabelas práticas. 
A revisão bibliográfica tem o objetivo de elucidar as definições e etapas para 
a elaboração de um projeto estrutural, seguindo o fluxograma proposto por Custódio 
(figura 2.2). Abordando as etapas de pré-projeto (concepção estrutural), pré-
dimensionamento, análise estrutural e dimensionamento para o estado limite último. 
A etapa do dimensionamento para o estado limite de serviço não será abordado 
neste trabalho. 
Já as tabelas práticas para lajes foram desenvolvidas levando em conta as 
recomendações da NBR 6118:2007 e as hipóteses dos adimensionais Kmd, Kx e Kz. 
Os valores dos adimensionais foram fixados, visando adequar o dimensionamento 
para o estado limite último e considerando a ductibilidade do aço. 
E por fim, no dimensionamento de um edifício comercial demonstrou-se 
como se aplica as tabelas. 
 
1.5 Escopo 
O presente trabalho está divido em cinco capítulos: 
4 
 
 Capítulo 1 - apresenta a introdução, contendo um breve histórico, a 
motivação, o objetivo, a metodologia e o escopo que apresenta a estrutura do 
trabalho; 
 Capítulo 2 - aborda a revisão bibliográfica com intuito de apresentar 
algumas definições básicas, fornecendo bases para elaboração de um projeto 
estrutural; 
 Capítulo 3 - descreve o desenvolvimento das tabelas práticas para 
lajes e vigas, de acordo com a recomendações e hipóteses da NBR 6118:2007; 
 Capítulo 4 - dimensiona um edifício com as tabelas práticas, mostrando 
como utilizá-las; 
 Capítulo 5 - apresenta a conclusão com algumas recomendações e 
sugestões para estudos futuros. 
Além dos cinco capítulos, o trabalho apresenta anexos, ou seja, documentos 
não elaborados pelo autor, que são: tabelas e projetos extraídos de referências 
bibliográficas contidas neste trabalho. E por fim, o apêndice que apresenta as 
tabelas práticas e os projetos de estruturas desenvolvidas ao longo do trabalho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 
Serão apresentadas algumas definições e etapas importantes para a 
elaboração de um projeto estrutural, com ênfase na etapa de dimensionamento para 
o estado limite último (ELU) de lajes maciças retangulares e vigas, ambas de 
concreto armado. 
 
2.1 Elementos estruturais 
Estrutura é o conjunto das partes consideradas resistentes de uma 
edificação. Para que uma estrutura tenha sua capacidade assegurada, é necessário 
conhecer o comportamento de suas peças ou elementos estruturais (CLÍMACO, 
2008). 
Segundo Fontes (2005), a decomposição da estrutura em partes (Figura 
2.1), que possam ser associadas a uma teoria de cálculo já consolidada no meio 
técnico, dá origem aos elementos estruturais. 
 
Figura 2.1 – Perspectiva de parte de um edifício (GIONGO, 2007) 
De acordo com a NBR 6118:2007, item 14.4 – Elementos estruturais: “as 
estruturas podem ser idealizadas como a composição de elementos estruturais 
6 
 
básicos, classificados e definidos de acordo com a sua forma geométrica e a sua 
função estrutural”. 
Quanto ao aspecto geométrico a norma NBR 6118: 2007, itens 14.4.1 e 
14.4.2, classifica os elementos estruturais em lineares e superficiais. Os elementos 
lineares são aqueles cujo comprimento longitudinal deve superar em pelo menos 3 
vezes a maior dimensão da seção transversal, denominados barras. Destacam-se 
entre eles as vigas, os pilares, os arcos e os tirantes. Já os elementos superficiais 
têm uma dimensão, usualmente chamada espessura, relativamente pequena em 
face das demais. Destacam-se entre eles as placas ou lajes, chapas, cascas e os 
pilares-parede. 
Conforme a sua função e geometria, os elementos estruturais recebem as 
seguintes designações: 
a) Vigas: elementos lineares em que a flexão é preponderante; 
b) Pilares: elementos lineares de eixo reto, em que as forças de 
compressão são preponderantes; 
c) Tirantes: elementos lineares de eixo reto em que as forças normais de 
tração são preponderantes; 
d) Arcos: elementos lineares curvos em que as forças normais de 
compressão são preponderantes; 
e) Placas: elementos de superfície plana, usualmente denominadas lajes, 
estão sujeitas principalmente a ações normais a seu plano; 
f) Chapas: elementos de superfície plana, sujeitos principalmente a ações 
contidas em seu plano. As chapas de concreto em que o vão for menor que três 
vezes a maior dimensão da seção transversal são usualmente denominados vigas-
parede; 
g) Cascas: elementos de superfície não plana; 
h) Pilares-parede: elementos de superfície plana ou casca cilíndrica, 
estão submetidos preponderantemente à compressão. Para que se tenha um pilar-
parede, em alguma dessas superfícies a menor dimensão deve ser menor que 1/5 
da maior, considerando a seção transversal do elemento. 
7 
 
2.2 Projeto de estruturas 
Segundo Associação Brasileira de Engenhariae Consultoria Estrutural 
(ABECE), na concepção do projeto estrutural uma das principais preocupações 
deverá ser a integração entre as demais disciplinas, em especial a arquitetura. 
Para Botelho (2013), “O projetista estrutural e o profissional de instalações 
(hidráulica, eletricidade, ar condicionado etc) têm de conversar sempre com o 
arquiteto, portanto todos os documentos de projetos e suas modificações e 
evoluções, tudo isso, etapa por etapa, e com os acordos prévios devem ser 
obedecidos por todos. Fazer atas de reunião”. 
E imprescindível também que o projeto estrutural atenda a finalidade da 
edificação e aos requisitos de segurança, durabilidade e funcionalidade. Ao passo 
que, ao tomar tais cuidados é possível iniciar o planejamento e a elaboração do 
projeto estrutural, para isso deve-se seguir as seguintes etapas: 
 
Figura 2.2 – Fluxograma de elaboração de projeto estrutural (CUSTÓDIO, 2010). 
8 
 
 
2.3 Normas Técnicas 
Todo projeto estrutural deverá atender as recomendações das normas da 
Associação Brasileira de Normas Técnicas – ABNT, relacionadas abaixo: 
 NBR 6118:2007: Projeto de estruturas de concreto – Procedimento; 
 NBR 6120:1980: Cargas para o cálculo de estruturas de edificações - 
Procedimento; 
 NBR 7191:1982: Execução de desenhos para obras de concreto simples 
ou armado; 
 NBR 6123:1988: Forças devidas ao vento em edificações – 
Procedimento; 
 NBR 7480:1991: Barras e fios de aço destinados a armaduras de 
concreto armado – Especificações; 
 NBR 8681:2003: Ações e segurança nas estruturas – Procedimentos; 
 NBR 8953:1992: Concreto para fins estruturais – Classificação por 
grupos de resistência; 
 NBR 14931:2003: Execução de estruturas de concreto – Procedimento; 
 NBR 15575-2:2013: Edificações habitacionais – Desempenho. Parte 2: 
Requisitos para os sistemas estruturais. 
 
2.4 Concepção estrutural (pré-projeto) 
A concepção estrutural ou lançamento da estrutura consiste em definir um 
sistema estrutural que será a parte resistente do edifício. Tal solução adotada no 
projeto deve atender aos requisitos de qualidade estabelecidos nas normas técnicas, 
relativos à capacidade resistente, ao desempenho em serviço e à durabilidade da 
estrutura (PINHEIRO, 2007). 
É nesta etapa que se define o posicionamento dos elementos estruturais de 
forma a respeitar a distribuição dos diferentes ambientes nos diversos pavimentos. 
Além da estrutura ter que apresentar compatibilidade com as características do solo, 
onde ela se apoia (PINHEIRO, 2007). 
9 
 
Segundo Adão et al. (2010), as posições dos elementos estruturais são 
estritamente pessoais e devem respeitar o projeto arquitetônico. Sendo que, o 
lançamento inicial deverá ser feito pelo pavimento tipo. 
Não existindo pavimento tipo, ou seja, pavimentos que se repetem, 
recomenda-se iniciar o lançamento pelos pavimentos superiores em direção aos 
inferiores. De posse do pavimento superior,o lançamento estrutural é iniciado com a 
localização dos pilares e seguido do posicionamento das vigas e das lajes, sendo 
que, a compatibilização com o projeto arquitetônico deve ser levado em conta. 
Segundo Adão et al. (2010), os pilares serão posicionados sem que se exija 
vigas grandes e pequenas demais, e ao mesmo tempo, não podem prejudicar a 
disposição dos cômodos e vagas na garagem. 
As vigas normalmente são coincidentes com as alvenarias, mas nem todas 
alvenarias necessitam ter vigas. Quanto as lajes, recomenda-se que sejam 
retangulares e não tenham grande dimensões. 
É importante considerar no lançamento o comportamento dos elementos 
estruturais, visto que, as lajes recebem as cargas do piso e transferem para as vigas 
em seu contorno. As vigas por sua vez, recebem o peso da alvenaria e as reações 
das lajes e transferem para os pilares. E os pilares fornecem apoio às vigas, 
transferindo as cargas para as fundações. 
Para Pinheiro (2007), algumas recomendações na execução do lançamento 
são importantes: 
a) Iniciar a localização dos pilares pelos cantos, em seguida continua 
pelas áreas que geralmente são comuns a todos os pavimentos; 
b) Dispor os pilares alinhados, a fim de formar pórticos com as vigas que 
os unem. Os pórticos contribuem para a estabilidade global do edifício; 
c) Usualmente os pilares são dispostos de forma que resultam distância 
entre seus eixos da ordem de 4m a 6m; 
d) Direcionar o pilar de maneira a garantir maior rigidez a estrutura; 
e) Evitar alterar a prumada do pilar em grandes edificações, pois exige 
vigas de transições com altos carregamentos; 
f) As vigas devem, quando possível coincidir com as alvenarias, e 
aquelas que ligam os pilares contribuem para forma o pórtico; 
10 
 
g) As vigas delimitam os painéis das lajes. E para lajes maciças a 
dimensão econômica é da ordem de 3,5m a 5,0m; 
h) Sempre que possível procurar embutir nas paredes os pilares e vigas, 
respeitando o projeto de arquitetura. 
A concepção estrutural não diz respeito apenas ao posicionamento dos 
elementos estruturais, é necessário definir o tipo de sistema estrutural. 
Nos edifícios usuais empregam-se lajes maciças ou nervuradas, moldadas 
no local e pré-fabricadas. Já em casos específicos de grandes vãos, pode ser 
aplicada protensão para melhorar a resistência da estrutura. Há possibilidade de 
utilizar lajes sem vigas, apoiadas diretamente em pilares, com ou sem capitéis, 
denominadas lajes-cogumelos, e lajes planas, respectivamente (PINHEIRO, 2007). 
A escolha do sistema estrutural está condicionada a fatores técnicos e 
econômicos. Em caso de edifícios residenciais e comerciais, a escolha do tipo de 
estrutura praticamente é condicionada pelos fatores econômicos, tendo em vista que 
as condições técnicas para projeto e construção já são conhecidas da Engenharia 
de Estrutura e Construção (PINHEIRO, 2007). 
 
2.5 Pré-dimensionamento dos elementos estruturais 
Segundo Araújo (2009), as dimensões dos elementos estruturais são 
escolhidos a priori, levando-se em conta os seguintes fatores: vãos de lajes e vigas, 
altura do edifício, número de pilares em cada direção, etc. Em todo caso, recorre-se 
a experiências anteriores, sendo que essas dimensões são necessárias para início 
dos cálculos, podendo ser alteradas à medida que a elaboração do projeto vai 
avançando. 
Para Pinheiro (2007), “o pré-dimensionamento dos elementos estruturais é 
necessário para que se possa calcular o peso próprio da estrutura, que é a primeira 
parcela considerada no cálculo das ações”. 
 
11 
 
2.5.1 Pré-dimensionamento da lajes 
Os tipos usuais de lajes são: maciças, cogumelo, nervurada e mista. Esse 
trabalho fará uma abordagem sobre as lajes do tipo maciça. 
De acordo com a NBR 6118:2007, item 13.2.4.1, nas lajes maciças devem 
ser respeitados os seguintes limites mínimos para a espessura: 
a) 5 cm para lajes de cobertura não em balanço; 
b) 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço; 
c) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 
30 KN; 
d) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30KN. 
A espessura da laje está representada na Figura 2.3 e pode ser obtida por 
meio da equação 2.1: 
𝒉 = 𝒅 + 𝒄 + 
∅
𝟐
 (Equação 2.1) 
onde: 
h = altura total da seção (espessura) 
d = altura útil da laje (distância do centro de gravidade da armadura de tração à fibra 
mais comprimida); 
∅ = diâmetro da armadura de tração 
c = cobrimento nominal da armadura 
 
 
Figura 2.3 – Seção transversal da laje (PINHEIRO, 2007). 
O cobrimento nominal da armadura (c) é o cobrimento mínimo (cmin) 
acrescido de uma tolerância de execução (∆c), conforme equação 2.2: 
12 
 
𝒄 = 𝒄𝒎𝒊𝒏 + 𝚫𝒄 (Equação 2.2) 
De acordo com a NBR 6118:2007, item 7.4.7.3, nas obras correntes o valor 
de ∆c deve ser maior ou igual a 10 mm. Entretanto, o item 7.4.7.4, admite que se 
adote ∆c=5mm, desde que haja um controle rigoroso da qualidade de execução. 
O valor do cobrimento depende ainda da classe de agressividade ambiental, 
que é classificada de acorda com a tabela 6.1 da NBR 6118:2007. Após a classe de 
agressividade ambiental ser escolhida é possível por meio da tabela 7.2 da NBR 
6118:2007 adotar o valor do cobrimento nominal para a laje. 
Segundo Carvalho et al. (2009), as lajes maciças retangulares de concreto 
armado em condições de deformações – limite estariam atendidas quando o valor da 
altura útil (d) respeitar à seguinte condição: 
𝐝 ≥ 
𝐥
𝚿𝟐.𝚿𝟑
 (Equação 2.3) 
onde: 
Ψ2 = coeficiente dependente da condições de vinculação e dimensões da laje (tabela 
2.1a – Pinheiro); 
Ψ3 = coeficiente que depende do tipo de aço (tabela 2.1a – Pinheiro); 
l = menor dos dois vãos da laje. 
 
2.5.2 Pré-dimensionamento das vigas 
Segundo Pinheiro (2007), uma estimativa grosseira para a altura das vigas é 
dada por: 
a) Tramos internos: ℎ𝑒𝑠𝑡 = 
𝑣ã𝑜
12
 ; 
b) Tramos externos ou vigas biapoiadas: ℎ𝑒𝑠𝑡 = 
𝑣ã𝑜
10
; 
c) Balanços: ℎ𝑒𝑠𝑡 = 
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑛 ç𝑜
5
 
Em vigas a relação entre altura total e a altura útil é dada pela equação 2.4 e 
sua seção transversal e representada pela Figura 2.4: 
𝒉 = 𝒅 + 𝒄 + ∅𝒕 + 
∅𝒍
𝟐
 (Equação 2.4) 
13 
 
onde: 
h = altura total da seção; 
d = altura útil (distância do centro de gravidade da armadura longitudinal à fibra mais 
comprimida); 
c = cobrimento nominal da armadura; 
∅𝑡= diâmetro do estribo; 
∅𝑙= diâmetro das barras longitudinais. 
 
Figura 2.4 – Seção transversal da viga. (PINHEIRO, 2007) 
De acordo com a NBR. 6118:2007, item 13.2.2, a seção transversal das 
vigas não devem apresentam largura menor que 12 cm, em caso excepcional esse 
limite pode ser reduzido para 10 cm. 
 
2.5.3 Pré-dimensionamento dos pilares 
A área da seção transversal de um pilar não pode ser inferior a 360 cm², e 
sua menor dimensão não deve ser menor que 19 cm. Em casos especiais, permite-
se a consideração de dimensões entre 19 cm e 12 cm, desde que se multiplique as 
ações a serem consideradas no dimensionamento por um coeficiente adicional de 
acordo com a tabela 13.1 da NBR 6118:2007. 
Segundo Pinheiro (2007), é possível iniciar o pré-dimensionamento dos 
pilares estimando a sua carga, por meio de processo das áreas de influência. Este 
processo consiste em dividir a área total do pavimento em áreas de influência, 
relativas a cada pilar. A seção do pilar é estimada utilizando a equação 2.5: 
14 
 
𝑨𝒄 = 
𝟑𝟎 . 𝜶 . 𝑨𝒊 . 𝒏+𝟎,𝟕 
𝒇𝒄𝒌+𝟎,𝟎𝟏 . 𝟔𝟗,𝟐− 𝒇𝒄𝒌 
 (Equação 2.5) 
onde: 
Ac = área da seção transversal do pilar (cm²); 
 = coeficiente que leva em conta as excentricidades da carga, e pode ser: 
 1,3 → pilares internos ou de extremidade, na direção da maior dimensão; 
 1,5 → pilares de extremidade, na direção da menor dimensão; 
 1,8 → pilares de canto. 
Ai = área da influência do pilar (m²); 
n = número de pavimentos tipo; 
(n + 0,7) = número que considera a cobertura, com carga estimada em 70% da 
relativa ao pavimento tipo; 
fck = resistência característica do concreto (kN/cm²). 
 
2.6 Análise estrutural 
“É o conjunto de simplificações adicionais, após a análise inicial da 
edificação, que visam tornar o projeto estrutural exequível, por meio de novas 
decomposições virtuais, subdividindo a estrutura em grupos de elementos 
estruturais mais simples, que possam ser tratados separadamente por modelos 
esquemáticos da Teoria das Estruturas” (CLÍMACO, 2008). 
Segundo a NBR 6118:2007, item 14.2.1, o objetivo da análise estrutural é 
determinar os efeitos das ações em uma estrutura, com a finalidade de efetuar 
verificações de estados limites últimos e de serviços. No item 14.2.2, a norma 
apresenta as premissas necessárias à análise estrutural, dentre elas, destaca-se a 
análise que deve ser feita com um modelo estrutural realista, e que permita 
representar de maneira clara todos os caminhos percorridos pelas ações até os 
apoios da estrutura, permitindo ainda representar a resposta não linear dos 
materiais. 
Os principais modelos estruturais compostos por elementos lineares, de 
acordo com Fontes (2005): 
15 
 
a) Vigas Contínuas: originam-se de divisão da estrutura em partes, para 
a análise de estruturas solicitadas por ações verticais. O modelo é simples e 
consiste em vigas isoladas que recebem os carregamentos provenientes de peso 
próprio, lajes, alvenarias, outras vigas, entre outros. Os esforços predominantes são 
os momentos fletores e os esforços cortantes, conforme Figura 2.5. Caso seja 
necessário a consideração da torção é preciso de um outro modelo. O modelo 
clássico de vigas contínuas considera a viga simplesmente apoiada nos pilares, mas 
para isso deve-se considerar as observações do item 14.6.7.1 da NBR 6118:2007; 
 
 
Figura 2.5 – Viga contínua e representação dos esforços predominantes. (Ftool) 
 
b) Pórticos Planos: são composições de elementos lineares situados 
num mesmo plano,e são mais precisos que as vigas contínuas, pois levam em conta 
a transmissão de esforços entre os elementos que constituem o pórtico. Os pórticos 
planos referentes a análise horizontal (análise de estabilidade), permitem a 
associação dos diferentes pórticos de uma mesma direção, por meio de barras 
rígidas (Figura 2.6). O modelo de pórticos planos tem como limitação, a 
incapacidade de avaliar os efeitos de torção, além da associação de pórticos ficar 
restrita a edifícios simétricos; 
16 
 
 
Figura 2.6 – Pórticos planos associados com cargas verticais e horizontais. (Ftool) 
c) Pórticos Espaciais: são formados por elementos lineares com 
ligações rígidas, semi-rígidas ou flexíveis. A NBR 6118:2007, item 14.6.7.2, indica 
que, devido à fissuração, a rigidez das vigas à torção pode ser reduzida para 15% 
da rigidez elástica, assim como nas grelhas. O modelo tridimensional (Figura 2.7) é o 
mais completo para análise estrutural, por ser capaz de determinar momentos 
fletores e de torção, e esforços cortantes e normais, de todos os elementos; 
 
Figura 2.7 – Modelo Estrutural composto por grelha e pórtico espacial. (TQS, adaptado) 
d) Grelhas: são estruturas planas formadas por barras, e que recebem 
carregamento perpendicular ao seu plano. Em edifícios, as grelhas podem ser 
formadas exclusivamente por vigas, ou associadas às lajes adjacentes. As lajes 
podem ser satisfatoriamente modeladas como uma malha de barras (Figura 2.7), 
17 
 
com rigidez à flexão e rigidez à torção referentes às das faixas de lajes por elas 
representadas. 
Fontes (2005), afirma que a análise de uma estrutura, via modelos que a 
representem como um todo, é a mais precisa e, portanto, a mais indicada. Em sua 
dissertação é comparado os modelos estruturais de vigas contínuas, pórticos planos 
e pórticos espaciais, tomando-se por base a análise linear de um edifício de oito 
pavimentos mais o subsolo. A conclusão de sua análise referente à ações verticais é 
que o modelo de vigas contínuas é recomendado somente para edifícios de menor 
porta de até 4 pavimentos, e sempre que possível, deve ser dada preferência a 
utilização do Pórtico Espacial. Já na análise de ações horizontais o ideal é utilizar o 
modelo de Pórticos Planos Associados com barras rígidas, para que se possa medir 
de forma coerente os deslocamentos horizontais da estrutura. 
Para que seja possível equacionar o problema de análise estrutural de um 
edifício, é necessário idealizar também o comportamento dos materiais que o 
constituir. De acordo com a NBR 6118:2007, item 14.5.1, a análise quanto a esse 
aspecto pode ser efetuada por diversos métodos apresentados nos itens 14.5.2 ao 
14.5.6, permitindo cinco diferentes tipos de análise: análise linear, análise linear com 
redistribuição, análiseplástica, análise não-linear e análise através de modelos 
físicos. 
Para aceitação do projeto ou obra é suficiente mostrar a conformidade com a 
norma em pelo menos um desses modelos. Todos os modelos admitem que os 
deslocamentos da estrutura são pequenos. 
 
2.7 Dimensionamento para o estado limite último (ELU) 
2.7.1 Considerações iniciais 
Segundo a NBR 6118:2007, item 17.2.2, as hipóteses básicas de 
dimensionamento à flexão simples ou composta dos elementos sujeitos a 
solicitações normais no estado limite último (ELU) são: 
a) As seções transversais se mantêm planas após deformação; 
18 
 
b) A deformação das barras passivas aderentes, em tração ou 
compressão, deve ser o mesmo do concreto em seu entorno; 
c) As tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, podem 
ser desprezadas, obrigatoriamente no ELU, ou seja, no estado limite último as 
tensões de tração devem ser resistidas unicamente pelas armaduras; 
d) A distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama 
parábola-retângulo, representado na Figura 2.8, com tensão de pico igual a 0,85.fcd; 
 
 
Figura 2.8 – Diagrama parábola-retângulo para concreto em compressão (NBR 6118). 
Na Figura 2.8, ξc e σc representam a deformação e a tensão de compressão, 
respectivamente, e fcd é a resistência à compressão de cálculo do concreto, 
conforme equação 2.6. 
𝒇𝒄𝒅 = 
𝒇𝒄𝒌
𝜸𝒄
 (Equação 2.6) 
onde: 
𝑓𝑐𝑘 = é a resistência característica à compressão; 
𝛾𝑐 = é um coeficiente de segurança (tabela 12.1, NBR 6118:2007). 
Segundo Araújo (2009), como uma alternativa o diagrama parábola-
retângulo descrito na Figura 2.8, pode ser simplificado pelo diagrama retangular da 
Figura 2.9, tendo em vista que os resultados são compatíveis com o diagrama 
parábola-retângulo. 
19 
 
 
Figura 2.9 – Diagrama retangular para o concreto (Araújo, 2009). 
De acordo com a Figura 2.9, a profundidade da linha neutra é representada 
por x, medida a partir da borda comprimida da seção. Deve-se considerar que a 
seção e comprimida com a tensão constante σc = 0,85.fcd até uma profundidade 0,8x. 
e) A tensão nas armaduras deve ser obtida a partir dos diagramas tensão-
deformação (Figura 2.10); 
f) O estado limite último é caracterizado quando a distribuição das 
deformações nas seção transversal pertencer a um dos domínios representados 
pela Figura 2.11. 
 
 
Figura 2.10 - Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras passivas (adaptado, NBR. 
6118:2007). 
 
 
 
 
diagrama característico 
diagrama de cálculo 
20 
 
 
 
 
 
Figura 2.11 - Domínio de estado limite último de uma seção transversal (NBR 6118:2007).
21 
 
De acordo com Clímaco (2008), o alongamento máximo da armadura de 
tração é de 10‰, para evitar deformações plásticas excessivas da peça no estado 
limite último, e o encurtamento de ruptura do concreto é de 2‰, na compressão 
simples, e de 3,5‰, na flexão simples. 
 
2.7.2 Seções retangulares com armadura longitudinal simples 
Uma seção de concreto é dimensionada com armadura simples quando o 
cálculo á flexão mostra a necessidade apenas de armadura na zona de tração. Já na 
zona de compressão, somente o concreto é suficiente (CLÍMACO, 2008). 
Segundo Araújo (2009), as peças superarmadas são aquelas que rompem 
no domínio 4. Em virtude do excesso de armação, o aço não chega a escoar e a 
ruptura ocorre por esmagamento do concreto. A ruptura é frágil, brusca ou sem 
aviso prévio, enquanto que a ruptura nos domínios 2 e 3 é do tipo dúctil, ou com 
aviso prévio, o que é sempre desejável. Portanto, o dimensionamento com armadura 
simples pressupõe que a ruptura ocorre no domínio 2 ou 3. 
Para realizar o dimensionamento com armadura simples no estado limite 
último é necessário verificar as deformações específicas do aço e do concreto, 
conforme equação 2.7. 
 
𝜺𝒔𝒅 = 
𝒅−𝒙
𝒙
𝜺𝒄𝒅 =
𝟏−𝒙
𝒅 
𝒙
𝒅 
𝜺𝒄𝒅 (Equação 2.7) 
 
Para Clímaco (2008), é interessante formular o adimensional kx = x / d, 
chamado profundidade relativa da linha neutra. E substituindo esse adimensional na 
equação 2.7, obtém-se equação 2.8. 
 
𝒌𝒙 = 
𝒙
𝒅
= 
𝜺𝒄𝒅
𝜺𝒄𝒅+ 𝜺𝒔𝒅
 (Equação 2.8) 
 
Com os valores limites das deformações máximas do aço e do concreto, 
podem ser definidos os intervalos entre os domínios. 
Segundo Araújo, durante muito tempo, o dimensionamento com armadura 
simples foi feito considerando todo o domínio 3, ou seja, representando a 
luiz
Realce
luiz
Realce
luiz
Realce
luiz
Realce
luiz
Realce
luiz
Realce
22 
 
profundidade da linha neutra no limite entre os domínios 3 e 4. A condição de 
deformação nesse intervalo é denominada deformação balanceada. A profundidade 
relativa da linha neutra nessa condição balanceada é dada pela equação 2.9. 
 
𝒌𝒙 = 
𝟑,𝟓‰
𝟑,𝟓‰+ 𝜺𝒚𝒅
 (Equação 2.9) 
 
Neste caso, a profundidade relativa da linha neutra só depende do aço 
empregado, sendo independente da resistência à compressão do concreto. 
Araújo (2009) considera os aços CA-50 e CA-60, com módulo de 
elasticidade Es = 200GPa, pois segundo ele todas as normas inclusive a CEB/90 
levam em conta esse valor, exceto a NBR 6118. Consequentemente, os valores de 
Kx,lim, entre os domínios 3 e 4,são 0,617 para o aço CA-50 e 0,573 para o aço CA-
60. 
De acordo com Clímaco (2003), o módulo de elasticidade Es = 210GPa, 
conforme a NBR 6118:2007, e os valores de Kx,lim, entre os domínios 3 e 4, serão 
0,628 para o aço CA-50 e 0,585 para o aço CA-60. 
Entretanto, neste trabalho serão adotadas as considerações de Araújo 
(2009) em que é feita uma alteração no limite entre as soluções com armadura 
simples e com armadura dupla. Essas alterações visam adaptar o modelo de 
dimensionamento às recomendações do CEB/90 e fazer uma melhor concordância 
com a NBR 6118. 
Segundo Araújo (2009), é conveniente limitar a profundidade da linha neutra 
de modo que seja bem menor que a profundidade balanceada (Xb). Desse modo, 
conforme visto anteriormente, a profundidade relativa da linha neutra (Kx,lim) deve ser 
reduzida, para que se tenha uma ruptura distante do domínio 4. Assim, a parte final 
do domínio 3 deve ser evitada para garantir uma maior ductibilidade da viga, 
conforme a Figura 2.12. 
luiz
Realce
luiz
Realce
23 
 
 
Figura 2.12 – Profundidade limite da linha neutra para garantir ductibilidade adequada 
(ARAÚJO, 2009) 
Para Gamino (2003), a ductibilidade é a medida da habilidade de um 
material, seção, elemento estrutural ou sistema estrutural de sofrer deformações 
inelásticas nas vizinhanças de um possível ruptura, sem que ocorra perda 
substancial de sua capacidade resistente. 
De acordo com o CEB/90, a profundidade relativa da linha neutra, Kx,lim, 
deve ser limitada aos valores conforme a Tabela 2.1, para garantir a ductibilidade 
adequada da armadura tracionada. 
Tabela 2.1 – Valores de Kx,lim para garantir ductibilidade adequada do aço 
Profundidade Relativa da 
Linha Neutra (xlim/d) 
CONCRETO 
fck≤ 35 MPa fck> 35 MPa 
Kx,lim 0,45 0,35 
Esses valores de Kx,lim são válidos sempre que o dimensionamento for feito 
para os momentos fletores obtidos em uma análise elástica linear (sem redistribuição 
de esforços). E a desconsideração de parte do domínio 3 permite uma maior 
segurança, uma vez que a abertura de fissuras de uma viga de concreto é 
diretamente proporcional à deformação da armadura tracionada, logo quanto maior a 
deformação da armadura, maior será o aviso prévio da ruptura, manifestada por 
fissuras intensa. Esse fato permite o seu escoramento e a execução do reforço 
estrutural necessário (ARAÚJO, 2009). 
Segundo a NBR 6118:2007, nas regiões de apoio das vigas ou de ligações 
com outros elementos estruturais, quando não feitas redistribuições de esforços, 
devem-se adotar Kx,lim igual a 0,50 para fck ≤ 35 MPa e0,40 para fck > 35 MPa. 
luiz
Realce
luiz
Realce
luiz
Realce
luiz
Realce
luiz
Realce
luiz
Realce
luiz
Realce
luiz
Realce
luiz
Realce
luiz
Realce
luiz
Realce
24 
 
A NBR 6118:2007 é mais tolerante que o CEB, além de não ser clara quanto 
ao procedimento a ser adotado par as seções de momentos positivos, situados nos 
vãos das vigas. Podendo-se subentender que a norma está permitindo adotar Xlim = 
Xb (figura 2.12) nesses casos (ARAÚJO, 2009). 
 
2.7.3 Roteiro para o dimensionamento de seções retangulares 
A partir das dimensões da seção transversal (bw, h e d), das propriedades 
dos materiais empregados (aço - fyk e do concreto - fck), e do momento fletor 
característico (Mk) é possível calcular a área de aço (As) para flexão seguindo os 
passos abaixo: 
1) 𝑀𝑠𝑑 = 𝑀𝑘 .𝛾𝑓 , com 𝛾𝑓 = 1,4 em geral; 
2) 𝐾𝑚𝑑 = 
𝑀𝑠𝑑
𝑏𝑤 .𝑑2 .𝜎𝑐
 , onde σc = 0,85.fcd; 
3) 𝐾𝑥 = 1,25 − 1,917 . 0,425 − 𝐾𝑚𝑑 , onde Kx≤ Kx,lim ; 
4) Kx,lim = 0,45 , se fck≤ 35 MPa ou Kx,lim = 0,35 , se fck> 35 MPa; 
5) Kz = 1 – 0,4.Kx ; 
6) 𝐴𝑠 = 
𝑀𝑠𝑑
𝐾𝑧 . 𝑑 . 𝜎𝑠𝑑
 , onde 𝜎𝑠𝑑 = 𝑓𝑦𝑑 = 
𝑓𝑦𝑘
𝛾𝑠
 , sendo 𝛾𝑠 = 1,15 e 𝑓𝑦𝑘 é a 
resistência característica ao escoamento do aço; 
7) Comparar a armadura calculada (As) com a armadura mínimo: 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 𝜌𝑚𝑖𝑛 . 𝑏 .ℎ , onde 𝜌𝑚𝑖𝑛 é a taxa mínima de armadura a flexão é pode ser 
obtido pela NBR 6118:2007. Caso As ≥ As,min adota-se a armadura calculada, caso 
contrário a armadura mínima. 
É possível desconsiderar o passo 2, ou seja, o cálculo do Kmd. Para isso é 
necessário fixar o Kx = Kx,lim,de acordo com o passo 4 e prosseguir o cálculo até o 
passo 7. 
 
2.7.4 Cálculo da armadura transversal 
As seções transversais dos elementos estruturais lineares de concreto 
armado não estão sujeitas apenas à flexão pura, ou seja, elementos estruturais 
lineares como vigas, que estão submetidos a um carregamento vertical qualquer, 
25 
 
com ou sem força normal, estão trabalhando em flexão simples ou composta não-
pura, sendo variável, nesta situação, o momento fletor, e sendo a força cortante, 
portanto, diferente de zero, surgindo na seção transversal, além das tensões 
normais, tensões tangenciais que equilibram o esforço cortante (CARVALHO et al., 
2009). 
Por volta de 1.900, W. Ritter e E. Mörsch (Mörsh,1948), propuseram uma 
teoria para determinar a armadura de cisalhamento necessária ao equilíbrio de uma 
viga de concreto armado, em que o mecanismo resistente da viga no estádio II 
(fissurado) pudesse ser associado ao de uma treliça e que as armaduras e o 
concreto equilibrassem, conjuntamente, o esforço cortante (CARVALHO et al., 
2009). 
A grande vantagem do modelo proposto por Mörsch (treliça clássica -Figura 
2.13) é que, embora sendo simples, o modelo conduz a resultados satisfatório para 
a quantidade da armadura transversal no estado limite último. 
 
Figura 2.13 - Analogia da treliça clássica (CAMACHO, 2004). 
26 
 
Os elementos que compõe a treliça clássica, na Figura 2.13, são: 
 BC = banzo comprimido: formado pela zona comprimida de concreto; 
 BT = banzo tracionado: formado pelas barras da armadura longitudinal 
de tração; 
 DC = diagonal comprimida: formada pelas bielas comprimidas de 
concreto; 
 DT = diagonal tracionada: formada pela armadura transversal; 
 α = inclinação da diagonal tracionada (armadura); 
 β = inclinação das bielas de concreto (ou das fissuras). 
O cálculo da armadura transversal e a verificação das tensões nas bielas 
comprimidas, em elementos lineares sujeitos à força cortante, serão realizados de 
acordo com as hipóteses e os modelos apresentados pela NBR 6118:2007, no item 
17.4. 
As prescrições da Norma aplicam-se a elementos lineares armados ou 
protendidos, submetidos a força cortante, eventualmente combinadas com outros 
esforços solicitantes. Não se aplicam a elementos de volume, lajes, vigas-parede e 
consolos curtos. 
De acordo com a NBR 6118:2007, para elementos lineares admitem dois 
modelos de cálculo que pressupõem a analogia com modelo em treliça, de banzos 
paralelos, associado a mecanismos resistentes complementares desenvolvidos no 
interior do elemento estrutural e traduzidos por uma componente adicional Vc. 
O ângulo de inclinação α armaduras transversais (item 17.4.1.1.5 da NBR 
6118) em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural deve estar situado no 
intervalo 45º ≤ α ≤ 90º. 
 
2.7.4.1 Verificação do estado limite último 
Segundo Carvalho et al. (2009), a resistência da peça, em determinada 
seção transversal, será satisfatória quando forem verificadas, simultaneamente, as 
seguintes condições: 
𝑽𝒔𝒅 ≤ 𝑽𝑹𝒅𝟐 (Equação 2.10) 
27 
 
𝑽𝒔𝒅 ≤ 𝑽 𝑹𝒅𝟑 = 𝑽𝒄 + 𝑽𝒔𝒘 (Equação 2.11) 
onde: 
Vsd = força cortante de serviço na seção; 
VRd2= força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais 
comprimidas de concreto, de acordo com os modelos de cálculo I ou II; 
VRd3 = Vc + Vsw, é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração 
diagonal; 
Vc = parcela de força cortante absorvida por mecanismo complementares ao de 
treliça; e 
Vsw = parcela de força cortante resistida pela armadura transversal, de acordo com 
os modelos I ou II. 
 
2.7.4.2 Modelo de cálculo 
O modelo de cálculo adotado neste trabalho será o modelo I. De acordo com 
NBR 6118:2007, item 17.4.2.2, o modelo I admite diagonais de compressão 
inclinadas de θ = 45º em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural e admite 
ainda que a parcela complementar Vc tenha valor constante, independente de Vsd. 
a) Verificação da compressão diagonal do concreto: 
𝑽𝑹𝒅𝟐 = 𝟎, 𝟐𝟕 .∝𝒗𝟐 .𝒇𝒄𝒅 . 𝐛 . 𝒅 (Equação 2.12) 
onde: 
αv2 = (1 - fck/250), sendo fck em MPa; 
VRd2= força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais 
comprimidas de concreto, de acordo com os modelos de cálculo I. 
b) Cálculo da armadura transversal: 
𝑽𝑹𝒅𝟑 = 𝑽𝒄 + 𝑽𝒔𝒘 (Equação 2.13) 
sendo que a força cortante resistente de cálculo VRd3 deve ser no mínimo igual à 
força cortante de serviço de cálculo Vsd (VRd3 = Vsd). Assim: 
𝑽𝒔𝒅 = 𝑽𝒄 + 𝑽𝒔𝒘 (Equação 2.14) 
28 
 
onde: 
Vc = 0,6 . fctd . b . d ; 
fctd = 0,15 . fck
2/3; 
b = menor largura da seção; e 
d = altura útil da seção, igual à distância da borda comprimida ao centro de 
gravidade da armadura de tração. 
A força cortante resistida pela armadura transversal, para estribos verticais, 
em certa seção é expressa pela equação 2.15. 
𝑽𝒔𝒘 = 
𝑨𝒔𝒘
𝒔
 . 𝟎,𝟗 . 𝒅 . 𝒇𝒚𝒘𝒅 (Equação 2.15) 
onde: 
Asw = área da seção transversal dos estribos; 
s = espaçamento entre elementos da armadura transversal Asw, medido segundo o 
eixo longitudinal da peça; 
fymd = tensão na armadura transversal passiva, limitada ao valor fyd, no caso de 
estribos, e a 70% desse valor, no caso de barras dobradas, não se tomando, para 
ambos os casos, valores superiores a 435 MPa; 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
3 TABELAS PRÁTICAS 
Esse capitulo abordará o desenvolvimento de tabelas práticas, elaboradas 
em planilhas eletrônicas em ambiente Microsoft Excel, para o dimensionamento no 
estado limite último (ELU) de lajes maciças retangulares e vigas, ambas de concreto 
armado. 
 
3.1 Tabelas práticas para laje maciça retangular 
As lajes são os primeiros elementos estruturais a receberem os 
carregamentos. São elementos estruturais superficiais, como visto no sub-item 2.1, 
que podem ser classificados em dois tipos: 
a) Lajes armadas nas duas direções (laje em cruz), as duas armaduras 
são calculadas para resistir os momentos fletores nessas direções. Condição: 
relação entre as duas dimensões horizontais deve ser menor ou igual a 2 (verFigura 
3.1); 
b) Lajes armadas em uma direção, também armada nas duas direções. 
No entanto, a armadura principal, na direção do menor vão, é calculada para resistir 
o momento fletor nessa direção. Portanto, a laje é calculada como se fosse um 
conjunto de vigas-faixas na direção do menor vão, e a armadura na direção do maior 
vão é apenas de distribuição. Condição: relação entre as duas dimensões 
horizontais deve ser maior que 2 (ver Figura 3.1). 
 
Figura 3.1 – Vãos teóricos lx (menor vão) e ly (maior vão) (PINHEIRO, 2007). 
30 
 
Tendo em vista essa classificação e as hipóteses da Tabela 3.1, foi possível 
desenvolver uma tabela prática que englobe todos os parâmetros e recomendações 
da NBR 6118:2007. 
Tabela 3.1 – Hipóteses e parâmetros para lajes maciças retangulares em concreto armado 
Hipóteses para lajes 
Cálculo do Momento de Serviço: 
 
𝐴𝑠 = 
𝑀𝑠𝑑
𝐾𝑧,𝑙𝑖𝑚 . 𝑑 . 𝜎𝑠𝑑
=> 𝑴𝒔𝒆𝒓𝒗𝒊ç𝒐 = 𝑴𝒔𝒅 = 𝑨𝒔. 𝑲𝒛,𝒍𝒊𝒎.𝒅.𝝈𝒔𝒅 
Msd = ϒf.Mk ; ϒf= 1,4 
𝜙𝑙𝑖𝑚 ≤ ℎ 8 
Valores do Momento de Serviço de acordo com Kmd,lim: 
 
𝐾𝑚𝑑 = 
𝑀𝑑
𝑏𝑤 .𝑑2 .𝜎𝑐
=> 𝑴𝒔𝒅,𝒎á𝒙 = 𝑴𝒔𝒅 ≤ 𝑲𝒎𝒅,𝒍𝒊𝒎 .𝒅².𝝈𝒄𝒅 
Slim≤ 2.h ou 20cm 
bw = 100cm 
h = d + c 
 
Parâmetros 
Materiais Kx,lim Kmd,lim Kz,lim 
Concreto fck = 25MPa σcd = 15178,57 kN/m² - - - 
Aço CA-50 fyk = 500MPa σsd = 434782,61 kN/m² 
0,450 0,251 0,820 
Aço CA-60 fyk = 600MPa σsd = 521739,13 kN/m² 
 
Área de aço mínima de acordo com NBR 6118:2007 
Armadura 
Negativa 
Armadura Positiva 
Laje em cruz Laje em uma direção 
Principal Principal 
As,min≥min.bw.h As,min≥ 0,67.min.bw.h As,min≥min.bw.h 
 
Caso Msd = Mmin = As,min.Kz,lim.d.𝝈𝒔𝒅 ; adotar Armadura mínima (As,min) 
 
fck (MPa) 20 25 30 35 
min (%) 0,15 0,15 0,173 0,201 
O objetivo da tabela para o dimensionamento de lajes é que de posse de 
todos os parâmetros da Tabela 3.1 e da relação de aço de acordo com o 
espaçamento (Tabela 3.2), é possível determinar os momentos fletores de serviços 
no intervalo limitado pelo domínio 2 e 3, com exclusão de parte do domínio 3, 
visando a ductibilidade do aço, conforme dito no sub-item 2.6.2. 
Tabela 3.2 – Área da seção de barras da armadura passiva por unidade de comprimento 
(cm²/m) em bitolas padronizadas da NBR 7480:1996. 
As (cm²/m) 
Esp. (cm) 3,4(1) 4,2(1) 5(1) 6,3 8 10 12,5 16 
10,0 0,91 1,39 1,96 3,12 5,03 7,85 12,27 20,11 
10,5 0,86 1,32 1,87 2,97 4,79 7,48 11,69 19,15 
11,0 0,83 1,26 1,78 2,83 4,57 7,14 11,16 18,28 
11,5 0,79 1,20 1,71 2,71 4,37 6,83 10,67 17,48 
12,0 0,76 1,15 1,64 2,60 4,19 6,54 10,23 16,76 
(continua) 
31 
 
(continuação) 
As (cm²/m) 
Esp. (cm) 3,4(1) 4,2(1) 5(1) 6,3 8 10 12,5 16 
12,5 0,73 1,11 1,57 2,49 4,02 6,28 9,82 16,08 
13,0 0,70 1,07 1,51 2,40 3,87 6,04 9,44 15,47 
13,5 0,67 1,03 1,45 2,31 3,72 5,82 9,09 14,89 
14,0 0,65 0,99 1,40 2,23 3,59 5,61 8,77 14,36 
14,5 0,63 0,96 1,35 2,15 3,47 5,42 8,46 13,87 
15,0 0,61 0,92 1,31 2,08 3,35 5,24 8,18 13,40 
15,5 0,59 0,89 1,27 2,01 3,24 5,07 7,92 12,97 
16,0 0,57 0,87 1,23 1,95 3,14 4,91 7,67 12,57 
16,5 0,55 0,84 1,19 1,89 3,05 4,76 7,44 12,19 
17,0 0,53 0,81 1,15 1,83 2,96 4,62 7,22 11,83 
17,5 0,52 0,79 1,12 1,78 2,87 4,49 7,01 11,49 
18,0 0,50 0,77 1,09 1,73 2,79 4,36 6,82 11,17 
18,5 0,49 0,75 1,06 1,68 2,72 4,25 6,63 10,87 
19,0 0,48 0,73 1,03 1,64 2,65 4,13 6,46 10,58 
19,5 0,47 0,71 1,01 1,60 2,58 4,03 6,29 10,31 
20,0 0,45 0,69 0,98 1,56 2,51 3,93 6,14 10,05 
(1)
Apenas para o Aço CA-60 
 
As tabelas práticas foram desenvolvidas apenas com as bitolas de aço mais 
utilizadas na construções de edifícios e com os espaçamentos usuais para armação 
principal, variando de 10 a 20cm. Já o concreto como visto na Tabela 3.1 foi adotado 
com fck = 25 MPa (C-25), procurando ainda respeitar o limite para armadura mínima 
que depende das características do concreto e da seção transversal. Caso o 
momento fletor de serviço seja igual ou menor que o momento fletor mínimo, basta 
adotar a armadura mínima (As,min). 
No apêndice B (Tabelas A.1 ao A.14), estão localizadas as tabelas práticas 
para armação de lajes retangulares em cruz, à flexão normal simples, e com altura 
(h) da seção variando de 7 a 20cm. Note que para lajes armadas em uma direção, 
pode-se adotar as mesmas tabelas de lajes armadas em cruz para armadura 
negativa, visto que as hipóteses e considerações, como armadura mínima, são as 
mesmas. 
32 
 
3.2 Tabelas práticas para vigas 
3.2.1 Armadura longitudinal 
As vigas, em geral, servem de apoio para lajes e paredes, conduzindo suas 
cargas até os pilares. Elas são elementos lineares em que a flexão é preponderante, 
portanto, os esforços predominantes são momento fletor e força cortante 
(PINHEIRO, 2007). 
Neste trabalho o efeito do vento não será considerado, as vigas serão 
dimensionadas apenas para resistir às ações verticais. 
Segundo Carvalho et al. (2009), em uma viga de concreto armado, 
conhecendo-se o diagrama de momentos fletores, as dimensões da seção 
transversal e as características mecânicas do concreto e aço, é possível determinar 
a armadura longitudinal necessária em cada seção. 
A partir desses conceitos e com auxilio do programa Microsoft Excel é 
possível desenvolver tabelas práticas para o cálculo da armadura longitudinal das 
vigas de concreto armado, que englobe todas os parâmetros e recomendações da 
NBR 6118:2007, e fornece os momentos de serviço, conforme Tabela 3.3. 
 
Tabela 3.3 - Hipóteses para armadura longitudinal (flexão) para vigas. 
Hipóteses para armadura longitudinal (flexão) no estado limite último 
Cálculo do Momento de Serviço: 
 
𝐴𝑠 = 
𝑀𝑠𝑑
𝐾𝑧,𝑙𝑖𝑚 . 𝑑 . 𝜎𝑠𝑑
=> 𝑴𝒔𝒆𝒓𝒗𝒊ç𝒐 = 𝑴𝒔𝒅 = 𝑨𝒔. 𝑲𝒛,𝒍𝒊𝒎.𝒅.𝝈𝒔𝒅 
Msd = ϒf.Mk ; ϒf= 1,4 
𝑑 = ℎ − 𝑐 − 𝛷𝑡 −
Φ𝑙
2
 
Valores do Momento de Serviço de acordo com Kmd,lim: 
 
𝐾𝑚𝑑 = 
𝑀𝑑
𝑏 .𝑑2 . 𝜎𝑐
=> 𝑴𝒔𝒅,𝒎á𝒙 = 𝑴𝒔𝒅 ≤ 𝑲𝒎𝒅,𝒍𝒊𝒎 .𝒃. 𝒅².𝝈𝒄𝒅 
c = 3,0cm (CAA-II) 
b = largura da viga 
h = altura da viga 
 
Parâmetros 
Materiais Kx,lim Kmd,lim Kz,lim 
Concreto C-25 fck = 25 MPa σcd = 15178,57 kN/m² - - - 
Aço CA-50 fyk = 500MPa σsd = 434782,61 kN/m² 0,450 0,251 0,820 
 
Área de aço mínima de acordo com NBR 6118:2007 
As,min ≥ min.b.h = 0,15% . b . h ; (min = 0,15% para C-25) 
 
As tabelas práticas de vigas foram desenvolvidas para uma combinação de 
bitolas usuais, representadas na Tabela 3.4. As tabelas para dimensionamento de 
33 
 
vigas quanto armadura longitudinais estão localizadas no apêndice B (Tabelas A.15 
ao A.24) e apresentam seções transversais variando a largura de 10 a 40 cm, e a 
altura de 20 a 60cm. 
Tabela 3.4 - Combinação de bitolas (mm) de aço usuais. 
Armadura (bitolas 
em mm) 
Área de aço 
(cm²) 
Armadura (bitolas 
em mm) 
Área de aço 
(cm²) 
2 φ 6,3 0,63 6 φ 8 3,00 
3 φ 6,3 0,95 4 φ 10 3,20 
2 φ 8 1,00 2 φ 10 + 1 φ 16 3,60 
2 φ 6,3 + 1 φ 8 1,13 3 φ 12,5 3,75 
4 φ 6,3 1,26 5 φ 10 4,00 
2 φ 8 + 1 φ 6,3 1,32 2 φ 12,5 + 1 φ 10 4,10 
3 φ 8 1,50 2 φ 12,5 + 1 φ 16 4,50 
2 φ 10 1,60 6 φ 10 4,80 
4 φ 8 2,00 4 φ 12,5 5,00 
2 φ 10 + 1 φ 8 2,10 3 φ 16 6,00 
3 φ 10 2,40 5 φ 12,5 6,25 
2 φ 12,5 2,50 6 φ 12,5 7,50 
2 φ 10 + 2 φ 8 2,60 4 φ 16 8,00 
2 φ 12,5 + 1 φ 6,3 2,82 
 
3.2.2 Armadura transversal 
Como visto anteriormente, as vigas submetidas a um carregamento vertical 
sofrem tensões normais, e tensões tangenciais que equilibram o esforço cortante. 
Isso implica no dimensionamento de armadura para os esforços cortantes, ou seja, 
além da armadura longitudinal para resistir ao momento fletor é necessário de 
armadura transversal para resistir aos esforços de tração provocados por forças 
cortantes. 
As armaduras transversais podem ser constituídas por estribos, combinados 
ou não com barras dobradas ou barras soldadas, e devem ser projetadas de acordo 
com as prescrições do item 17.4 da NBR 6118. 
Os estribos para forças cortantes devem ser fechados por meio de um ramo 
horizontal, envolvendo as barras200,75 228,63 256,51
88,60 116,28 143,97 171,65 199,34 227,03
284,39 312,28
82,54 108,34 134,13 159,93 185,72 211,52 237,31 263,11 288,90
82,02 107,65 133,29 158,92 184,55 210,18 235,81 261,44 287,08
216,91 240,49 264,07
80,46 105,60 130,74 155,88 181,03 206,17 231,31
75,45 99,03 122,60 146,18 169,76 193,33
256,45 281,60
74,20 97,38 120,57 143,75 166,94 190,13 213,31 236,50 259,68
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OBS: De acordo com NBR 6118, a tensão de escoamento do aço a ser adotada nos cálculos dos estribos não pode ser superior a 435MPa.
Nota: Os espaçamentos máximos entre barras devem ser verificados conforme as condições acima. 
Seção transversal da Largura da Viga (b x h)Área de Aço 
(cm²/m)
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