TRABALHO DE ALGEBRA LINEAR II (ALG-2)_083809

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Fernando Alberto Chiringo 
Wine Laurina Vargi Chazemba 
 
 
 
 
 
 
Trabalho de álgebra Linear II 
 
 
Licenciatura Em Ensino De Física, Habilitação Em Ensino de Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Pedagógica de Maputo 
Faculdade de Ciências Naturais e Matemática 
Maputo, Dezembro de 2024 
Fernando Alberto Chiringo 
Wine Laurina Vargi Chazemba 
 
 
 
 
Trabalho de álgebra Linear II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Pedagógica de Maputo 
Faculdade de Ciências Naturais e Matemática 
Maputo, Dezembro de 2024 
Trabalho de álgebra linear, a ser entre na 
Universidade Pedagógica de Maputo, F.C.N.M, 
supervisionado pelo docente da cadeira Dr. Lúcio 
para efeitos de avaliação 
 
1. Seja 
𝑨 = (
𝟏 𝟏 𝟐
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟏 𝟑
) 
Encontre os seus autovalores e as suas respetivas multiplicidades algébricas. Apresente o 
Autoespaço associado a cada autovalor encontrado e indique a sua base. Calcule 𝑨𝟏𝟓 
Resolução 
 Dados Pede se 
𝑨 = (
𝟏 𝟏 𝟐
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟏 𝟑
) 
 
• 𝑨𝒖𝒕𝒐𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒆 𝒂𝒔 𝒔𝒖𝒂𝒔 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒕𝒊𝒗𝒂𝒔 𝒎𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒂𝒍𝒈é𝒃𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔 (𝝀). 
𝒅𝒆𝒕(𝑨 − 𝝀 ∗ 𝑰) = 𝒅𝒆𝒕 [(
𝟏 𝟏 𝟐
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟏 𝟑
) − 𝝀(
𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏
)] = 𝒅𝒆𝒕 [(
𝟏 𝟏 𝟐
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟏 𝟑
) − (
𝝀 𝟎 𝟎
𝟎 𝝀 𝟎
𝟎 𝟎 𝝀
)] = 𝟎 
𝒅𝒆𝒕 (
𝟏 − 𝝀 𝟏 𝟐
𝟎 𝟏 − 𝝀 𝟎
𝟎 𝟏 𝟑 − 𝝀
) = (𝟏 − 𝝀) ∗ 𝒅𝒆𝒕 (
𝟏 − 𝝀 𝟎
𝟏 𝟑 − 𝝀
) = (𝟏 − 𝝀) ∗ (𝟏 − 𝝀) ∗ (𝟑 − 𝝀) = 𝟎 
 
(𝟏 − 𝝀)𝟐 ∗ (𝟑 − 𝝀) = 𝟎 Resolvendo esta equação obtém se que 𝝀𝟏 = 𝝀𝟐 = 𝟏 𝐞 𝝀𝟑 = 𝟏 
 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒐𝒔𝒕𝒂 ∶ 𝑶𝒔 𝒂𝒖𝒕𝒐𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝑨 = (
𝟏 𝟏 𝟐
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟏 𝟑
) 𝒔ã𝒐 ( 𝝀𝟏 = 𝟏, 𝝀𝟐 = 𝟏, 𝝀𝟑 = 𝟑) 
• 𝑴𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒂𝒍𝒈é𝒃𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔 
 
𝑷𝒂𝒓𝒂 (𝝀 = 𝟏) → ( 𝒂 𝒎𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒂𝒍𝒈é𝒃𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔 é 𝟐) 
 
𝑷𝒂𝒓𝒂 (𝝀 = 𝟑) → ( 𝒂 𝒎𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒂𝒍𝒈é𝒃𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔 é 𝟏) 
 
 
 
• Autovalores e as suas respetivas multiplicidades algébricas (𝜆). 
• Apresente o autoespaço associado a cada autovalor encontrado e indique a sua base. 
• Calcule 𝑨𝟏𝟓. 
 
• 𝑨𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒐 𝒂𝒖𝒕𝒐𝒆𝒔𝒑𝒂ç𝒐 𝒂𝒔𝒔𝒐𝒄𝒊𝒂𝒅𝒐 𝒂 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒂𝒖𝒕𝒐𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒆𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒆 𝒊𝒏𝒅𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒂 𝒔𝒖𝒂 𝒃𝒂𝒔𝒆 
 
Para calcular o autaespaço podemos recorrer a seguinte relação (𝑨 − 𝝀 ∗ 𝑰) ∗ �⃗⃗� = �⃗⃗� ou a 
seguinte relação 𝑨 ∗ �⃗⃗� = 𝝀 ∗ �⃗⃗� , onde o �⃗⃗� ≠ [
𝟎
𝟎
⋮
𝟎
] 
 
(𝑨 − 𝝀 ∗ 𝑰) ∗ �⃗⃗� = [(
𝟏 𝟏 𝟐
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟏 𝟑
) − 𝝀(
𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏
)] ∗ [
𝒙
𝒚
𝒛
] = [
𝟏 − 𝝀 𝟏 𝟐
𝟎 𝟏 − 𝝀 𝟎
𝟎 𝟏 𝟑 − 𝝀
] ∗ [
𝒙
𝒚
𝒛
] = [
𝟎
𝟎
𝟎
] 
 
{
(𝟏 − 𝝀)𝒙 + 𝟏𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟎
𝟎𝒙 + (𝟏 − 𝝀)𝒚 + 𝟎𝒛 = 𝟎
𝟎𝒙 + 𝟏𝒚 + (𝟑 − 𝝀)𝒛 = 𝟎
 
 
Primeiro calculemos o autaespaço 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝝀𝟏 = 𝝀𝟐 = 𝟏 
 
para 𝝀 = 𝟏 → {
(𝟏 − 𝝀)𝒙 + 𝟏𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟎
𝟎𝒙 + (𝟏 − 𝝀)𝒚 + 𝟎𝒛 = 𝟎
𝟎𝒙 + 𝟏𝒚 + (𝟑 − 𝝀)𝒛 = 𝟎
→ {
(𝟏 − 𝟏)𝒙 + 𝟏𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟎
𝟎𝒙 + (𝟏 − 𝟏)𝒚 + 𝟎𝒛 = 𝟎
𝟎𝒙 + 𝟏𝒚 + (𝟑 − 𝟏)𝒛 = 𝟎
→ {
𝟎𝒙 + 𝟏𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟎
𝟎𝒙 + 𝟎𝒚 + 𝟎𝒛 = 𝟎
𝟎𝒙 + 𝟏𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟎
 
 
Resolvendo o sistema {
𝟎𝒙 + 𝟏𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟎
𝟎𝒙 + 𝟎𝒚 + 𝟎𝒛 = 𝟎
𝟎𝒙 + 𝟏𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟎
 temos que {
𝟎 ∗ 𝒙 = 𝟎
𝒚 = −𝟐𝒛
𝒛 = −
𝟏
𝟐
𝒚
 , seja {
𝒙 = 𝒕
𝒚 = 𝒂
𝒛 = −
𝟏
𝟐
𝒂
 assim 
 
obtém se que [
𝟏 𝟏 𝟐
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟏 𝟑
] ∗ [
𝒕
𝒂
−
𝟏
𝟐
𝒂
] = 𝟏 ∗ [
𝒕
𝒂
−
𝟏
𝟐
𝒂
] 
 
𝑬(𝝀=𝟏) = {[
𝒙
𝒚
𝒛
] = 𝒕 [
𝟏
𝟎
𝟎
] + 𝒂 [
𝟎
𝟏
−
𝟏
𝟐
] ∶ 𝒂 , 𝒕 𝝐 ℝ } 𝒐𝒖 𝑬(𝝀=𝟏) = 𝒔𝒑𝒂𝒏{[
𝟏
𝟎
𝟎
] , [
𝟎
𝟏
−
𝟏
𝟐
] } 
 
 
𝑩𝒂𝒔𝒆 𝒅𝒆 𝒂𝒖𝒕𝒂𝒆𝒔𝒑𝒂ç𝒐 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝝀 = 𝟏 é ([
𝟏
𝟎
𝟎
] , [
𝟎
𝟏
−
𝟏
𝟐
] ) 
𝑨𝒈𝒐𝒓𝒂 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒐 𝒂𝒖𝒕𝒂𝒆𝒔𝒑𝒂ç𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝝀𝟑 = 𝟑 
 
para 𝝀 = 𝟑 → {
(𝟏 − 𝝀)𝒙 + 𝟏𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟎
𝟎𝒙 + (𝟏 − 𝝀)𝒚 + 𝟎𝒛 = 𝟎
𝟎𝒙 + 𝟏𝒚 + (𝟑 − 𝝀)𝒛 = 𝟎
→ {
(𝟏 − 𝟑)𝒙 + 𝟏𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟎
𝟎𝒙 + (𝟏 − 𝟑)𝒚 + 𝟎𝒛 = 𝟎
𝟎𝒙 + 𝟏𝒚 + (𝟑 − 𝟑)𝒛 = 𝟎
→ {
−𝟐𝒙 + 𝟏𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟎
𝟎𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟎𝒛 = 𝟎
𝟎𝒙 + 𝟏𝒚 + 𝟎𝒛 = 𝟎
 
 
Resolvendo o sistema {
𝟎𝒙 + 𝟏𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟎
𝟎𝒙 + 𝟎𝒚 + 𝟎𝒛 = 𝟎
𝟎𝒙 + 𝟏𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟎
 temos que {
𝒙 = 𝒛
𝒚 = 𝟎
𝒛 = 𝒛
 , seja {
𝒙 = 𝒕
𝒚 = 𝟎
𝒛 = 𝒕
 assim 
 
obtém se que [
𝟏 𝟏 𝟐
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟏 𝟑
] ∗ [
𝒕
𝟎
𝒕
] = 𝟑 ∗ [
𝒕
𝟎
𝒕
] 
 
𝑬(𝝀=𝟏) = {[
𝒙
𝒚
𝒛
] = 𝒕 [
𝟏
𝟎
𝟎
] ∶ 𝒕 𝝐 ℝ } 𝒐𝒖 𝑬(𝝀=𝟏) = 𝒔𝒑𝒂𝒏 {[
𝟏
𝟎
𝟏
]} 
 
𝑩𝒂𝒔𝒆 𝒅𝒆 𝒂𝒖𝒕𝒂𝒆𝒔𝒑𝒂ç𝒐 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝝀 = 𝟑 é ([
𝟏
𝟎
𝟏
] ) 
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑨𝟏𝟓 
 
𝑨𝟏𝟓 = 𝑃 ∗ 𝐷15 ∗ 𝑃−1 
𝐷 = [
𝝀1 0 0 0
0
⋮
𝝀2
⋮
0 0
⋱ ⋮
0 0 … 𝝀𝑛
] = [
1 0 0
0 1 0
0 0 3
] 𝑒 𝐷15 = [
115 0 0
0 115 0
0 0 315
] = [
115 0 0
0 115 0
0 0 14348907
] 
𝑷 = [
𝟏 𝟎 𝟏
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 −
𝟏
𝟐
𝟏
] e 𝑷−𝟏 = [
𝟏 −
𝟏
𝟐
−𝟏
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎
𝟏
𝟐
𝟏
] 
 
𝑨𝟏𝟓 = ([
𝟏 𝟎 𝟏
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 −
𝟏
𝟐
𝟏
] ∗ [
𝟏𝟏𝟓 𝟎 𝟎
𝟎 𝟏𝟏𝟓 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏𝟒𝟑𝟒𝟖𝟗𝟎𝟕
])*[
𝟏 −
𝟏
𝟐
−𝟏
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎
𝟏
𝟐
𝟏
] 
Solução : 𝑨𝟏𝟓 = [
𝟏 𝟕𝟏𝟕𝟒𝟒𝟓𝟑 𝟏𝟒𝟑𝟒𝟖𝟗𝟎𝟔
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟕𝟏𝟕𝟒𝟒𝟓𝟑 𝟏𝟒𝟑𝟒𝟖𝟗𝟎𝟕
] 
 
2. Considere o operador linear no 𝑹𝟐 representado pela matriz 
𝑨 = (
𝒂 𝒃
𝟏 𝟐
) 
Encontre a e b de modo que 1 seja autovalor de A e a dupla(
𝟏
𝟏
) seja um autovector de A. 
 Resolução 
 Dados Pede se 
 𝑨 = (
𝒂 𝒃
𝟏 𝟐
) 
 𝒗 = (
𝟏
𝟏
) 
 𝝀 = 𝟏 
Um vector é dito autovector e um escalar é dito autovalor se satisfazerem a seguinte igualdade 
(𝑨 − 𝝀 ∗ 𝑰) ∗ �⃗⃗� = �⃗⃗� ou 𝑨 ∗ �⃗⃗� = 𝝀 ∗ �⃗⃗� , onde o �⃗⃗� ≠ [
𝟎
𝟎
⋮
𝟎
]. Onde �⃗⃗� é autovector de A e 𝝀 é autovalor de 
A e A é um operador. Usando uma das relações obtém se o esguite 
𝑨 ∗ �⃗⃗� = 𝝀 ∗ �⃗⃗� = (
𝒂 𝒃
𝟏 𝟐
) ∗ (
𝟏
𝟏
) = 𝟏 ∗ (
𝟏
𝟏
) → (
𝒂 + 𝒃
𝟑
) = (
𝟏
𝟏
) → {
𝒂 + 𝒃 = 𝟏
𝟑 = 𝟏 (𝑭)
→ {
𝒂 = 𝒃 + 𝟏
− − − −
 
Seja 𝒃 = 𝒕 , Logo : {
𝒂 = 𝒕 + 𝟏
𝒃 = 𝒕
: 𝒕𝝐ℝ 
𝑨 ∗ �⃗⃗� = 𝝀 ∗ �⃗⃗� = (
𝒕 + 𝟏 𝒕
𝟏 𝟐
) ∗ (
𝟏
𝟏
) = (
𝟐𝒕 + 𝟏
𝟑
) → (
𝟐𝒕 + 𝟏
𝟑
) = 𝟏 ∗ (
𝟏
𝟏
) → {
𝟐𝒕 + 𝟏 = 𝟏
𝟑 = 𝟏
→ {
𝒕 = 𝟎
− − − −
 
{
𝒂 = 𝒕 + 𝟏
𝒃 = 𝒕
→ {
𝒂 = 𝟏
𝒃 = 𝟎
 (
𝒂 𝒃
𝟏 𝟐
) ∗ (
𝟏
𝟏
) = 𝟏 ∗ (
𝟏
𝟏
) → (
𝟏 𝟎
𝟏 𝟐
) = 𝟏 ∗ (
𝟏
𝟏
) → (
𝟏
𝟑
) = 𝟏 ∗ (
𝟏
𝟏
) → {
𝟏 = 𝟏(𝑽)
𝟑 = 𝟏(𝑭)
 
• Encontre a e b de modo que 1 seja autovalor de A e a dupla(
𝟏
𝟏
) seja um autovector de A 
 
Resposta: Nas condições em que o exercício foi dado não existe possíveis valores de a e b para que 
a dupla (
𝟏
𝟏
) seja autovector de A e 1 seja autovalor de A . Para 𝑎 , 𝑏 𝜖 ℝ a relação 𝑨 ∗ �⃗⃗� = 𝝀 ∗ �⃗⃗� não é 
satisfeita. 
3. A é uma matriz quadrada de ordem n. Suponha que existe 𝛽 ∈ ℝ tal que a soma das 
entradas de cada linha de A é 𝛽. Mostre que o vector 𝑿 ∈ ℝ𝒏 com todas as entradas iguais a 
1, é autovector de A e encontre o autovalor associado. 
 
 Dados Pedido 
 𝑨 = [
𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 … 𝒂𝟏𝒏
𝒂𝟐𝟏
⋮
𝒂𝟐𝟐
⋮
… 𝒂𝟐𝒏
⋱ ⋮
𝒂𝒏𝟏 𝒂𝒏𝟐 … 𝒂𝒏𝒏
] 
 {
𝒂𝟏𝟏 + 𝒂𝟏𝟐 + ⋯+ 𝒂𝟏𝒏 = 𝛃
𝒂𝟐𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 + ⋯+ 𝒂𝟐𝒏 = 𝛃
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝒂𝒏𝟏 + 𝒂𝒏𝟐 + ⋯+ 𝒂𝒏𝒏 = 𝛃
 𝛽 ∈ ℝ 
 𝑿 = [
𝟏
𝟏
⋮
𝟏
] 𝑿 ∈ ℝ𝒏 Tese 𝑨 ∗ 𝑿 = 𝝀 ∗ 𝑿 
Resolução 
• Mostre que o vector 𝑿 ∈ ℝ𝒏 com todas as entradas iguais a 1, é autovector de A 
 Ponto de partida 𝑨 ∗ 𝑿 = [
𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 … 𝒂𝟏𝒏
𝒂𝟐𝟏
⋮
𝒂𝟐𝟐
⋮
… 𝒂𝟐𝒏
⋱ ⋮
𝒂𝒏𝟏 𝒂𝒏𝟐 … 𝒂𝒏𝒏
] ∗ [
𝟏
𝟏
⋮
𝟏
] e [
𝛃
𝛃
⋮
𝛃
] = 𝛃 [
𝟏
𝟏
⋮
𝟏
] 
[
𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 … 𝒂𝟏𝒏
𝒂𝟐𝟏
⋮
𝒂𝟐𝟐
⋮
… 𝒂𝟐𝒏
⋱ ⋮
𝒂𝒏𝟏 𝒂𝒏𝟐 … 𝒂𝒏𝒏
] ∗ [
𝟏
𝟏
⋮
𝟏
] = [
𝒂𝟏𝟏 + 𝒂𝟏𝟐 + ⋯+ 𝒂𝟏𝒏
𝒂𝟐𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 + ⋯+ 𝒂𝟐𝒏
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝒂𝒏𝟏 + 𝒂𝒏𝟐 + ⋯+ 𝒂𝒏𝒏
] onde {
𝒂𝟏𝟏 + 𝒂𝟏𝟐 + ⋯+ 𝒂𝟏𝒏 = 𝛃
𝒂𝟐𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 + ⋯+ 𝒂𝟐𝒏 = 𝛃
⋮⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝒂𝒏𝟏 + 𝒂𝒏𝟐 + ⋯+ 𝒂𝒏𝒏 = 𝛃
 
[
𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 … 𝒂𝟏𝒏
𝒂𝟐𝟏
⋮
𝒂𝟐𝟐
⋮
… 𝒂𝟐𝒏
⋱ ⋮
𝒂𝒏𝟏 𝒂𝒏𝟐 … 𝒂𝒏𝒏
] ∗ [
𝟏
𝟏
⋮
𝟏
] = [
𝛃
𝛃
⋮
𝛃
] → [
𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 … 𝒂𝟏𝒏
𝒂𝟐𝟏
⋮
𝒂𝟐𝟐
⋮
… 𝒂𝟐𝒏
⋱ ⋮
𝒂𝒏𝟏 𝒂𝒏𝟐 … 𝒂𝒏𝒏
] ∗ [
𝟏
𝟏
⋮
𝟏
] = 𝛃 [
𝟏
𝟏
⋮
𝟏
] logo temos que 𝐀 ∗ 𝐗 = 𝛃 ∗ 𝐗 
 A X X 
• Pede-se para Mostrar que o vector 𝑿 ∈ ℝ𝒏 com 
todas as entradas iguais a 1, é autovector de A e 
encontrar o autovalor associado 
 
Resposta: Se 𝐀 ∗ 𝐗 = 𝛃 ∗ 𝐗 então o vector 𝑿 ∈ ℝ𝒏 com todas as 
entradas iguais a 1, é autovector de A. 
• Encontrar o autovalor associado 
𝐀 ∗ 𝐗 = 𝛃 ∗ 𝐗 
𝑨 ∗ 𝑿 = 𝝀 ∗ 𝑿 
 
{
𝑨 ∗ 𝑿 = 𝛃 ∗ 𝐗
𝑨 ∗ 𝑿 = 𝝀 ∗ 𝐗
→ 𝝀 ∗ 𝐗 = 𝛃 ∗ 𝐗 ; 𝑽𝒊𝒔𝒕𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒐 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 �⃗⃗� ≠ �⃗⃗� 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒏𝒅𝒐 𝒂𝒎𝒃𝒐𝒔 𝒎𝒆𝒃𝒓𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒓 �⃗⃗� 
𝒐𝒃𝒕𝒆𝒎 − 𝒔𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝝀 = 𝛃 , 𝝀 é o autovalor associado ao operador 𝑨 e 𝝀 = 𝛃. 
 
Resumo 
1-Seja 
𝑨 = (
𝟏 𝟏 𝟐
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟏 𝟑
) 
Encontre os seus autovalores e as suas respetivas multiplicidades algébricas. Apresente o 
Autoespaço associado a cada autovalor encontrado e indique a sua base. Calcule 𝑨𝟏𝟓 
• 𝑨𝒖𝒕𝒐𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒆 𝒂𝒔 𝒔𝒖𝒂𝒔 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒕𝒊𝒗𝒂𝒔 𝒎𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒂𝒍𝒈é𝒃𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔 (𝝀). 
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒐𝒔𝒕𝒂 ∶ 𝑶𝒔 𝒂𝒖𝒕𝒐𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝑨 = (
𝟏 𝟏 𝟐
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟏 𝟑
) 𝒔ã𝒐 ( 𝝀𝟏 = 𝟏, 𝝀𝟐 = 𝟏, 𝝀𝟑 = 𝟑) 
• 𝑴𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒂𝒍𝒈é𝒃𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔 
𝑷𝒂𝒓𝒂 (𝝀 = 𝟏) → ( 𝒂 𝒎𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒂𝒍𝒈é𝒃𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔 é 𝟐) 
 
𝑷𝒂𝒓𝒂 (𝝀 = 𝟑) → ( 𝒂 𝒎𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒂𝒍𝒈é𝒃𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔 é 𝟏) 
• 𝑨𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒐 𝒂𝒖𝒕𝒐𝒆𝒔𝒑𝒂ç𝒐 𝒂𝒔𝒔𝒐𝒄𝒊𝒂𝒅𝒐 𝒂 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒂𝒖𝒕𝒐𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒆𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒆 𝒊𝒏𝒅𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒂 𝒔𝒖𝒂 𝒃𝒂𝒔𝒆 
autaespaço 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝝀𝟏 = 𝝀𝟐 = 𝟏 
𝑬(𝝀=𝟏) = {[
𝒙
𝒚
𝒛
] = 𝒕 [
𝟏
𝟎
𝟎
] + 𝒂 [
𝟎
𝟏
−
𝟏
𝟐
] ∶ 𝒂 , 𝒕 𝝐 ℝ } 𝒐𝒖 𝑬(𝝀=𝟏) = 𝒔𝒑𝒂𝒏{[
𝟏
𝟎
𝟎
] , [
𝟎
𝟏
−
𝟏
𝟐
] } 
 
𝑩𝒂𝒔𝒆 𝒅𝒆 𝒂𝒖𝒕𝒂𝒆𝒔𝒑𝒂ç𝒐 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝝀 = 𝟏 é ([
𝟏
𝟎
𝟎
] , [
𝟎
𝟏
−
𝟏
𝟐
] ) 
𝒂𝒖𝒕𝒂𝒆𝒔𝒑𝒂ç𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝝀𝟑 = 𝟑 
𝑬(𝝀=𝟏) = {[
𝒙
𝒚
𝒛
] = 𝒕 [
𝟏
𝟎
𝟎
] ∶ 𝒕 𝝐 ℝ } 𝒐𝒖 𝑬(𝝀=𝟏) = 𝒔𝒑𝒂𝒏 {[
𝟏
𝟎
𝟏
]} 
 
𝑩𝒂𝒔𝒆 𝒅𝒆 𝒂𝒖𝒕𝒂𝒆𝒔𝒑𝒂ç𝒐 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝝀 = 𝟑 é ([
𝟏
𝟎
𝟏
] ) 
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑨𝟏𝟓 
𝑨𝟏𝟓 = [
𝟏 𝟕𝟏𝟕𝟒𝟒𝟓𝟑 𝟏𝟒𝟑𝟒𝟖𝟗𝟎𝟔
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟕𝟏𝟕𝟒𝟒𝟓𝟑 𝟏𝟒𝟑𝟒𝟖𝟗𝟎𝟕
] 
 
2-Considere o operador linear no 𝑹𝟐 representado pela matriz 
𝑨 = (
𝒂 𝒃
𝟏 𝟐
) 
Encontre a e b de modo que 1 seja autovalor de A e a dupla(
𝟏
𝟏
) seja um autovector de A. 
Resposta: Nas condições em que o exercício foi dado não existe possíveis valores de a e b 
para que a dupla (
𝟏
𝟏
) seja autovector de A e 1 seja autovalor de A . Para 𝑎 , 𝑏 𝜖 ℝ a relação 
𝑨 ∗ �⃗⃗� = 𝝀 ∗ �⃗⃗� não é satisfeita 
{
𝒂 = 𝒕 + 𝟏
𝒃 = 𝒕
: 𝒕𝝐ℝ {
𝒂 = 𝟏
𝒃 = 𝟎