Trabalho Algebra Linear II

em 24/09/2026

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Instituto Federal de São Paulo
1o Trabalho de Álgebra Linear II
Nome: NOTA:
Antes de iniciar o trabalho, leia as instruções abaixo:
1. Justifique as respostas de forma clara, organizada e com notação matemática ade-
quada;
2. Respostas sem desenvolvimento, com erros conceituais ou argumentos incompletos
terão redução na nota;
3. Serão avaliados: a compreensão dos conceitos, o rigor lógico, clareza, organização e
o desenvolvimento das resoluções;
4. Erros conceituais, ausência de justificativas, argumentos incompletos e uso incorreto
de resultados poderão reduzir significativamente a nota;
5. O racioćınio utilizado é tão importante quanto a resposta final; apresente todos os
passos.
Bom trabalho
1. (valor: 1,7) Verifique se as funções dadas a seguir são lineares:
(a) T : R3 → P2(R) tal que T (a, b, c) = a+ bx+ cx2.
(b) T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (xy, x).
2. (valor: 1,7) No espaço vetorial R[x], considere as funçõesD,A : R[x] → R[x] dadas porD(p(x)) =
p′(x) e A(p(x)) = x · p(x).
(a) Mostre que D e A são funções lineares.
(b) Determine D ◦A−A ◦D.
(c) Calcule kerD e kerA.
3. (valor: 1,7) Seja V um espaço vetorial e seja T : V → V uma transformação linear. Mostre que
as seguintes afirmações são equivalentes:
(a) ImT ∩KerT = 0.
(b) Se T 2 = 0 → T = 0 (T = 0 é a transformação linear nula).
4. (valor: 1,6) Seja T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (2x, 4x− y, 2x+ 3y − z).
(a) Mostre que T é invert́ıvel e determine T−1.
(b) Determine T−2.
5. (valor: 1,7) Seja T : R2 → R2 a transformação linear com representação matricial [T ]α,α =(
2 −1
3 −4
)
onde α é a base canônica de R2. Encontre uma base β de R2 tal que [T ]β,β =(
0 1
5 −2
)
.
6. (valor: 1,6) Escreva a matriz A associada à transformação linear T : R2 → R2 que representa as
seguintes transformações sobre um vetor do R2: uma reflexão em relação à reta y = x, seguida
por uma contração uniforme de 1√
2
e finalizada por uma rotação de 45o no sentido horário.
1

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Seja V um espaço vetorial e seja T : V → V uma transformação linear. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:a) ImT ∩KerT = 0.b) Se T 2 = 0 → T = 0 (T = 0 é a transformação linear nula).

Seja T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (2x, 4x− y, 2x+ 3y − z).a) Mostre que T é invert́ıvel e determine T−1.b) Determine T−2.

Seja T : R2 → R2 a transformação linear com representação matricial [T ]α,α =( 2 −1 3 −4 ) onde α é a base canônica de R2.Encontre uma base β de R2 tal que [T ]β,β =( 0 1 5 −2 ).

Escreva a matriz A associada à transformação linear T : R2 → R2 que representa as seguintes transformações sobre um vetor do R2: uma reflexão em relação à reta y = x, seguida por uma contração uniforme de 1/√2 e finalizada por uma rotação de 45o no sentido horário.

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