Português (94)

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ESTATÍSTICA
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(b) Ache a probabilidade do jogador I ganhar o jogo (mais cedo ou mais tarde)
Defina
 
e
 
Então pela -aditividade temos que
 
Agora
 
Então,
 
Exemplo:
Jogadores I e II tem Lança-se uma moeda com probabilidade de dar cara. Se der cara, o jogador I recebe do II, se 
der coroa, I paga ao II. Continua-se lançando a moeda, independentemente, até um dos jogadores perder tudo, i.e., até um deles 
ficar com os . Determine , no qual N é o número de lançamentos até terminar o jogo.
Defina , 
o jogo só acaba na i-ésima jogada se . Assim, considere primeiramente um número par e então
 
Então,
 
Agora, se n é impar então
 
o que implica que
 
com
 
Assim,
ESTATÍSTICA
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Exemplo:
Prove que o critério de integrabilidade ainda vale se “ ” é substituído por “ ”, isto é, X é integrável se, e somente se,
 
Temos que é integrável se, e somente, se é integrável
Agora . Porém,
 
então,
 
Assim,
 
Então,
 
se, e somente se,
 
Exemplo:
Verifique que a desigualdade de Jensen ainda vale se a função é convexa em um intervalo (a,b) tal que
 
no qual admitimos a possibilidade de ou .
Exemplo:
Sejam X e Y variáveis aleatórias com densidade conjunta . Verifique se para esse caso.
(Suponha e finito)
Sabemos que se a X e Y tem densidade conjunta então:
e
 
Mas,
ESTATÍSTICA
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Portanto,
.
 
Exemplo: 
Suponha que . Determine os valores de tais que é finita. Qual o valor da esperança nesse caso?
 
Agora se , então . Logo,
 
Portanto, o que implica que , assim o que implica que 
 
Exemplo: 
Calcule , no qual X tem densidade Logística 
 
, utilizando o Teorema 3.3.1. Compare com o resultado obtido no exemplo 3.3.2(c).
Pelo Teorema 3.3.1 temos: 
 
Agora, fazendo uma mudança de variável e 
 
novamente fazendo uma mudança de variável e 
 
Temos que
 
pois
ESTATÍSTICA
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e
 
Então,
 
Exemplo:
Calcule a esperança de
 
e
 
Para o primeiro caso, temos que
 
Para o segundo caso temos que
 
Exemplo 3.3.18:
Seja X o tempo de espera até o primeiro sucesso em uma sequência de ensaios de Bernoulli tendo probabilidade de sucesso em 
cada ensaio. Calcule 
 
para , então
 
para simplificar a notação vamos definir , então vamos mostrar que
 
Para isso, observe que
ESTATÍSTICA
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Então temos que
 
Mas, é conhecido que
 
e
 
Então, temos que
 
Desta forma temos que
Momento
Seja uma variável aleatória. Se , dizemos que é o r-ésimo momento de .
O r-ésimo momento em torno de é definido como sendo , caso este valor esperado exista. Se então 
ele é chamado de r-ésimo momento central. Observamos que , ou seja, a variância é definida como 
sendo o segundo momento central. 
Função geradora de momentos
Definição 1: 
Seja uma variável aleatória. A função geradora de momentos da variável é definida como sendo a função
 
desde que exista em algum intervalo do tipo para algum número real .
A função geradora de momentos possui esse nome pois, a partir dela, podemos encontrar todos os momentos da variável aleatória 
(quando estes existem). A função só precisa estar definida em uma vizinhança do ponto zero, pois os momentos serão obtidos através de 
sucessivas diferenciações aplicadas em zero, utilizando o resultado abaixo.
Teorema
Seja uma variável aleatória. Como está definido para para algum , temos que