Aula 2

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Prof. Dr. Guilherme Augusto Pianezzer
Álgebra linear
Aula 2
Conversa inicial
Relações com geometria analítica
Sistemas lineares
Posto e nulidade de uma matriz
Matrizes e sistemas equivalentes
Caracterização dos sistemas lineares
Relações com 
geometria analítica
Espaço cartesiano ℝ
Retas e planos são 
subconjuntos desse espaço 
𝑃 𝑃 𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ ℝ
No espaço vetorial conhecido 
como espaço cartesiano 
possuímos três eixos, 
chamados de eixo 𝑥, eixo 𝑦 e 
eixo 𝑧
Coordenadas de um ponto e de um vetor
Z
𝑷 𝒙,𝒚, 𝒛
X
0 y
�⃗� ∈ ℝ ; �⃗� 𝑘 1,0,0 ,𝑘 ∈ ℝ
�⃗� ∈ ℝ ; �⃗� 𝑘 0,1,0 ,𝑘 ∈ ℝ
�⃗� ∈ ℝ ; �⃗� 𝑘 0,0,1 ,𝑘 ∈ ℝ
Eixos coordenados - 𝒙,𝒚, 𝒛
Z
y
X
ā
ā 𝟏,𝟎,𝟎
Z
y
X
ā
ā 𝟎,𝟏,𝟎
Z
y
X
ā
ā 𝟎,𝟎,𝟏
1 2
3 4
5 6
2
�⃗� ∈ ℝ ; �⃗� 𝑘 1,0,0 𝑘 0,1,0 ;𝑘 , 𝑘 ∈ ℝ
�⃗� ∈ ℝ ; �⃗� 𝑘 1,0,0 𝑘 0,0,1 ;𝑘 , 𝑘 ∈ ℝ
�⃗� ∈ ℝ ; �⃗� 𝑘 0,1,0 𝑘 0,0,1 ;𝑘 , 𝑘 ∈ ℝ
Planos coordenados - 𝒙𝒚,𝒙𝒛,𝒚𝒛
Z
y
x
∏xy
x
y
z
∏xz
y
z
x
∏yz
A partir de um ponto 𝑃 𝑥 ,𝑦 , 𝑧 ∈ 𝑟 e um vetor 
diretor da reta 𝑟 dado por �⃗� 𝑣 , 𝑣 , 𝑣 :
𝑟:
𝑥 𝑥 𝑡𝑣
𝑦 𝑦 𝑡𝑣
𝑧 𝑧 𝑡𝑣
Um plano pode ser definido a partir de um ponto 
𝑃 𝑥 ,𝑦 , 𝑧 ∈ Π e de seu vetor normal 𝑛 𝑎, 𝑏, 𝑐 :
Π: 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐𝑧 𝑑. 
(...)
Equações de retas e do plano
(...)
E as equações da forma 
𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐𝑥 ⋯ 𝑛𝑥 ⋯ 𝑘?
Sistemas lineares
Uma equação linear do tipo 𝑎𝑥
𝑏𝑦 𝑐 é uma reta composta por 
infinitos pontos 𝑥,𝑦
E um sistema linear composto 
por duas equações e duas 
incógnitas estará comparando a 
posição relativa entre duas 
retas no plano:
(...)
Sistema de equações no ℝ𝟐
y
x
P
ε1
ε2
(...) A forma geral desse sistema 
será dada por: 
𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑏
𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑏 .
Suas posições relativas poderão 
ser: 
I) Concorrentes
II) Coincidentes
III) Paralelas
x
ε1= ε2
y
x
y
ε1
ε2
7 8
9 10
11 12
3
Um sistema linear composto por 
duas equações e três incógnitas 
estará comparando a posição 
relativa entre dois planos
A forma geral desse sistema será 
dada por: 
𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑏
𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑏
(...)
Sistema de equações no ℝ𝟑
x
y
x
z
y
z
∏1 = ∏2 
∏1 // ∏2 
∏2 
∏1 
(...) Suas posições relativas 
poderão ser: 
I) Coincidentes
II) Paralelos
III) Concorrentes numa 
reta
z
∏xy 
y
x
∏yz 
Um sistema linear composto por 
três equações e três incógnitas 
estará comparando a posição 
relativa entre três planos
A forma geral desse sistema 
será dada por: 
𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑏
𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑏
𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑏
(...)
Sistema de equações no ℝ𝟑
z
∏yz 
x
y
0
∏xy 
∏xz
∏1 
∏2 
∏3 
z
y
x
(...) Suas posições relativas poderão ser: 
I) Concorrentes num ponto
II) Intersecção vazia
III) Concorrentes numa reta
𝒙
𝒚
∏𝒙𝒛𝒛 ∏𝟑
∏𝟐
∏𝟏
∏𝒙𝒚
𝜺𝒙
Sistema linear geral formado por 𝑚 equações 
e 𝑛 incógnitas 
𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 ⋯𝑎 𝑥 𝑏
𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 ⋯ 𝑎 𝑥 𝑏
⋮
𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 ⋯ 𝑎 𝑥 𝑏
(...)
Sistemas lineares
(...) 
Matriz dos coeficientes 𝐴 𝑎 , 
Matriz das incógnitas 𝑋 𝑥
Matriz dos termos independentes 𝐵
𝑏 . 
𝐴𝑋 𝐵
13 14
15 16
17 18
4
Posto e nulidade de uma matriz
2𝑥 3𝑦 50
𝑥: quantidade de maçãs que custa 𝑅$ 2,00
𝑦: quantidade de bananas que custa 𝑅$ 3,00 
50 o preço total gasto na compra das frutas 
Quantas frutas de cada foram compradas?
E informando que 𝟒𝒙 𝟔𝒚 𝟏𝟎𝟎, qual a solução 
agora?
Exemplo
O posto de uma matriz determina para nós a 
quantidade de linhas linearmente 
independentes da matriz, isto é, indica 
quantas equações restam após eliminarmos 
aquelas que possuem a mesma informação
Por exemplo, 
𝐴 0 1 0
0 0 0
, 𝐵
1 1 0 0
0 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
, 𝐶
1 0 0
0 1 2
0 0 1
Posto de uma matriz
Considere uma matriz 𝐴 de ordem 𝑚 𝑛. O 
posto da matriz 𝐴, 𝒑 𝑨 será a ordem da maior 
submatriz não singular da matriz dada 
(...)
Posto de uma matriz
(...) Por exemplo, a matriz 𝐴
1 3 5
0 1 2
0 2 4
. Nela, 
det 𝐴 0
𝐴 0 1
0 2
é submatriz de 𝐴. Entretanto, det 𝐴
0
𝐴 3 5
1 2
é submatriz de 𝑨. C𝐨𝐦𝐨 det 𝐴 11, 
existe uma submatriz de 𝐴 de ordem 2 que é não 
singular
Como todas as submatrizes de 𝐴 de terceira 
ordem são singulares (apenas ela mesma), 
concluímos que 𝑝 𝐴 2
Se a matriz 𝐴
1 3 5
0 1 2
0 2 4
 é de dimensão 3, 
mas tem posto 2, significa que nela estão 
contidas informações excessivas acerca do 
problema avaliado
Nulidade de uma matriz
19 20
21 22
23 24
5
Uma matriz qualquer 𝐴 de dimensão 𝑚 𝑛 tem 
sua nulidade definida como a diferença entre o 
número de colunas (𝑛) e seu posto (𝑝), isto é, 
𝑛𝑢𝑙 𝐴 𝑛 𝑝
𝐵
1 2 3
3 5 7
4 6 5
 tem det 𝐵 3. Como a matriz 𝐵 é não 
singular, concluímos que 𝑝 𝐵 3 e tendo 𝐵
apenas 𝑛 3 colunas, concluímos que 𝑛𝑢𝑙 𝐵 3
3 0
(...)
Nulidade de uma matriz
(...)
𝐶
1 3 2
3 8 9
1 2 5
, tem det 𝐶 0. Logo, é singular. 
Suas submatrizes são 𝐶 3 9
1 5
, 𝐶 1 3
3 8
 e 
outras com det 𝐶 6 e det 𝐶 1. Logo, 
𝑝 𝐶 2. Como 𝑛 3, concluímos que 𝑛𝑢𝑙 𝐶
3 2 1
Matrizes equivalentes e sistemas 
equivalentes
I) podemos trocar uma linha (ou coluna) por 
outra linha (ou coluna)
O sistema dado por 𝑦 𝑘
𝑥 𝑘 tem matriz dos 
coeficientes dada por 𝐸 0 1
1 0
, ao trocarmos 
ambas as linhas, é evidente que se trata do 
mesmo sistema, dados por 𝑥 𝑘
𝑦 𝑘 ou 𝐸 1 0
0 1
Operações elementares
II) Podemos multiplicar uma linha ou uma 
coluna inteira por um número real qualquer ou 
O sistema dado por 
𝑥 𝑘
𝑦 𝑘
𝑧 𝑘
de matriz 𝐴
1 0 0
0 1 0
0 0 1
é equivalente à matriz obtida ao multiplicar a 
terceira linha por 3: 
𝑥 𝑘
𝑦 𝑘
3𝑧 3𝑘
ou 𝐴
1 0 0
0 1 0
0 0 3
Operações elementares
III) Podemos somar uma linha (ou coluna), 
mesmo multiplicada pelo número real 
qualquer, com outra linha (ou coluna)
(...)
Operações elementares
25 26
27 28
29 30
6
(...)
𝑥 𝑘
𝑦 𝑘
3𝑧 3𝑘
ou 𝐴
1 0 0
0 1 0
0 0 3
. Se somarmos a 
segunda com a terceira linha e substituirmos 
no lugar da terceira, obtemos: 
𝑥 𝑘
𝑦 3𝑧 𝑘 3𝑘
3𝑧 3𝑘
ou 𝐴
1 0 0
0 1 3
0 0 3
Duas matrizes são consideradas equivalentes 
quando conseguimos obter uma da outra por 
meio de operações elementares 
𝑥 𝑘
𝑦 3𝑧 𝑘 3𝑘
3𝑧 3𝑘
𝑥 𝑘
𝑦 𝑘
3𝑧 3𝑘
Matrizes equivalentes
𝐴𝑋 𝐵
Matriz aumentada (ampliada), denotada por 
𝐴 𝐴 ⋮ 𝐵
Nesse caso, à matriz de coeficientes 
adicionamos uma última coluna contendo a 
matriz dos termos independentes
(...)
Matriz aumentada (ampliada) (...)
Por exemplo,
𝑥 3𝑥 5𝑥 1
𝑥 2𝑥 7𝑥 2
2𝑥 𝑥 3
𝐴
1 3 5
1 2 7
0 2 1
e 𝐵
1
2
3
. 𝐴
1 3 5 1
1 2 7 2
0 2 1 3
Se encontrarmos uma matriz 𝐴 que seja 
equivalente à 𝐴 , então o sistema 𝐴𝑋 𝐵 será 
equivalente à 𝐴𝑋 𝐵
Caracterização dos sistemas 
lineares
Se 𝑝 𝐴 𝑝 𝐴 , o sistema é possível
Nesse caso, se 𝑝 𝐴 𝑛, será possível e 
determinado. Se 𝑝 𝐴 𝑛, será possível, mas 
indeterminado
Se 𝑝 𝐴 𝑝 𝐴 , será impossível
Caracterização dos sistemas lineares
31 32
33 34
35 36
7
𝑥 𝑥 1
𝑥 𝑥 2
𝐴 1 1
1 1
𝐴 1 1 1
1 1 2
𝑝 𝐴 1, 𝑝 𝐴 2
Sendo 𝑝 𝐴 𝑝 𝐴 , o sistema é impossível 
Exemplo
𝑔 𝑛 𝑝
É associado ao número de variáveis livres do 
sistema
Exemplo: 𝑥 𝑥 1
A matriz de coeficientes é dada por 1 1 e 
tem 𝑝 𝐴 1. Como 𝑛 2, 𝑔 2 1 1
Exemplo𝑥 𝑥 𝑥 1
𝑔 2
Grau de liberdade de um sistema linear
Na prática
Encontre a solução do sistema dado por:
10𝑥 4𝑥 𝑥 1
𝑥 4𝑥 𝑥 𝑥 2
3𝑥 2𝑥 𝑥 2𝑥 5
2𝑥 8𝑥 2𝑥 2𝑥 4
𝑥 6𝑥 3𝑥 1
Na prática
37 38
39 40