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um curso de geometria analitica e álgebra linear.pdf
UM CURSO DE
GEOMETRIA ANAL´ITICA E ´ALGEBRA LINEAR
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matema´tica-ICEx
Universidade Federal de Minas Gerais
http://www.mat.ufmg.br/˜regi
Julho 2009
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear
Copyright c⃝ 2009 by Reginaldo de Jesus Santos (091118)
´E proibida a reproduc¸a˜o desta publicac¸a˜o, ou parte dela, por qualquer meio, sem a pre´via
autorizac¸a˜o, por escrito, do autor.
Editor, Coordenador de Revisa˜o, Supervisor de Produc¸a˜o, Capa e Ilustrac¸o˜es:
Reginaldo J. Santos
ISBN 85-7470-006-1
Ficha Catalogra´fica
Santos, Reginaldo J.
S237u Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear / Reginaldo J. Santos
- Belo Horizonte: Imprensa Universita´ria da UFMG, 2009.
1. ´Algebra Linear 2. Geometria Analı´tica I. Tı´tulo
CDD: 512.5
516.3
Conteu´do
Prefa´cio vii
1 Matrizes e Sistemas Lineares 1
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Operac¸o˜es com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Propriedades da ´Algebra Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Aplicac¸a˜o: Cadeias de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Apeˆndice I: Notac¸a˜o de Somato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.2.1 Me´todo de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.2.2 Matrizes Equivalentes por Linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.2.3 Sistemas Lineares Homogeˆneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.2.4 Matrizes Elementares (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
iii
iv Conteu´do
2 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes 75
2.1 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.1.1 Propriedades da Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.1.2 Matrizes Elementares e Inversa˜o (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.1.3 Me´todo para Inversa˜o de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.1.4 Aplicac¸a˜o: Interpolac¸a˜o Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.1.5 Aplicac¸a˜o: Criptografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.2.1 Propriedades do Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.2.2 Matrizes Elementares e o Determinante (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . 126
Apeˆndice II: Demonstrac¸a˜o do Teorema 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3 Vetores no Plano e no Espac¸o 139
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.2 Produtos de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.2.1 Norma e Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.2.2 Projec¸a˜o Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3.2.3 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
3.2.4 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Apeˆndice III: Demonstrac¸a˜o do item (e) do Teorema 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4 Retas e Planos 213
4.1 Equac¸o˜es de Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4.1.1 Equac¸o˜es do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4.1.2 Equac¸o˜es da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
4.2 ˆAngulos e Distaˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
Conteu´do v
4.2.1 ˆAngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
4.2.2 Distaˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
5 Espac¸os ℝ푛 278
5.1 Independeˆncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
5.1.1 Os Espac¸os ℝ푛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
5.1.2 Combinac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
5.1.3 Independeˆncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
5.1.4 Posic¸o˜es Relativas de Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
5.2 Subespac¸os, Base e Dimensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
Apeˆndice IV: Outros Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
5.3 Produto Escalar em ℝ푛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
5.3.1 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
5.3.2 Bases Ortogonais e Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
5.4 Mudanc¸a de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
5.4.1 Rotac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
5.4.2 Translac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
5.4.3 Aplicac¸a˜o: Computac¸a˜o Gra´fica - Projec¸a˜o Ortogra´fica . . . . . . . . . . . . . 370
6 Diagonalizac¸a˜o 382
6.1 Diagonalizac¸a˜o de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
6.1.1 Motivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
6.1.2 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
6.1.3 Diagonalizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
6.2 Diagonalizac¸a˜o de Matrizes Sime´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
6.2.1 Motivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
vi Conteu´do
6.2.2 Matrizes Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
Apeˆndice V: Autovalores Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
6.3 Aplicac¸a˜o: Identificac¸a˜o de Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
6.3.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
6.3.2 Hipe´rbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
6.3.3 Para´bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
Respostas dos Exercı´cios 474
Bibliografia 656
´Indice Alfabe´tico 661
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
Prefa´cio
Este texto cobre o material para um curso de um semestre de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear
ministrado nos primeiros semestres para estudantes da a´rea de Cieˆncias Exatas. O texto pode, mas
na˜o e´ necessa´rio, ser acompanhado de um programa como o MATLABⓇ ∗, SciLab ou o Maxima.
O conteu´do e´ dividido em seis capı´tulos. O Capı´tulo 1 trata das matrizes e sistemas lineares. Aqui
todas as propriedades da a´lgebra matricial sa˜o demonstradas. A resoluc¸a˜o de sistemas lineares e´
feita usando somente o me´todo de Gauss-Jordan (transformando a matriz ate´ que ela esteja na forma
escalonada reduzida). Este me´todo requer mais trabalho do que o me´todo de Gauss (transformando a
matriz, apenas, ate´ que ela esteja na forma escalonada). Ele foi o escolhido, por que tambe´m e´
usado
no estudo da inversa˜o de matrizes no Capı´tulo 2. Neste Capı´tulo e´ tambe´m estudado o determinante,
que e´ definido usando cofatores. As demonstrac¸o˜es dos resultados deste capı´tulo podem ser, a
crite´rio do leitor, feitas somente para matrizes 3× 3.
O Capı´tulo 3 trata de vetores no plano e no espac¸o. Os vetores sa˜o definidos de forma geome´trica,
assim como a soma e a multiplicac¸a˜o por escalar. Sa˜o provadas algumas propriedades geometrica-
∗MATLABⓇ e´ marca registrada de The Mathworks, Inc.
vii
viii Conteu´do
mente. Depois sa˜o introduzidos sistemas de coordenadas de forma natural sem a necessidade da
definic¸a˜o de base. Os produtos escalar e vetorial sa˜o definidos tambe´m geometricamente. O Capı´tulo
4 trata de retas e planos no espac¸o. Sa˜o estudados aˆngulos e distaˆncias entre retas e planos.
O Capı´tulo 5 cobre a teoria dos espac¸os euclidianos. O conceito de dependeˆncia e independeˆncia
linear e´ introduzido de forma alge´brica, acompanhado da interpretac¸a˜o geome´trica para os casos de
ℝ
2 e ℝ3. Aqui sa˜o estudadas as posic¸o˜es relativas de retas e planos como uma aplicac¸a˜o do conceito
de dependeˆncia linear. Sa˜o tambe´m tratados os conceitos de geradores e de base de subespac¸os.
Sa˜o abordados tambe´m o produto escalar e bases ortonormais. O Capı´tulo e´ terminado com mudanc¸a
de coordenadas preparando para o Capı´tulo de diagonalizac¸a˜o.
O Capı´tulo 6 traz um estudo da diagonalizac¸a˜o de matrizes em geral e diagonalizac¸a˜o de matrizes
sime´tricas atrave´s de um matriz ortogonal. ´E feita uma aplicac¸a˜o ao estudo das sec¸o˜es coˆnicas.
Os exercı´cios esta˜o agrupados em treˆs classes. Os “Exercı´cios Nume´ricos”, que conte´m
exercı´cios que sa˜o resolvidos fazendo ca´lculos, que podem ser realizados sem a ajuda de um com-
putador ou de uma ma´quina de calcular. Os “Exercı´cios Teo´ricos”, que conte´m exercı´cios que reque-
rem demonstrac¸o˜es. Alguns sa˜o simples, outros sa˜o mais complexos. Os mais difı´ceis complemen-
tam a teoria e geralmente sa˜o acompanhados de sugesto˜es. Os “Exercı´cios usando o MATLABⓇ”,
que conte´m exercı´cios para serem resolvidos usando o MATLABⓇ ou outro software. Os comandos
necessa´rios a resoluc¸a˜o destes exercı´cios sa˜o tambe´m fornecidos juntamente com uma explicac¸a˜o
ra´pida do uso. Os exercı´cios nume´ricos sa˜o imprescindı´veis, enquanto a resoluc¸a˜o dos outros, de-
pende do nı´vel e dos objetivos pretendidos para o curso.
O MATLABⓇ e´ um software destinado a fazer ca´lculos com matrizes (MATLABⓇ = MATrix LABo-
ratory). Os comandos do MATLABⓇ sa˜o muito pro´ximos da forma como escrevemos expresso˜es
alge´bricas, tornando mais simples o seu uso. Podem ser incorporados a`s func¸o˜es pre´-definidas,
pacotes de func¸o˜es para tarefas especı´ficas. Um pacote chamado gaal com func¸o˜es que sa˜o direci-
onadas para o estudo de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear pode ser obtido na web na pa´gina do
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
Prefa´cio ix
autor, assim como um texto com uma introduc¸a˜o ao MATLABⓇ e instruc¸o˜es de como instalar o pacote
gaal. O MATLABⓇ na˜o e´ um software gratuito, embora antes a versa˜o estudante vinha gra´tis ao se
comprar o guia do usua´rio. Atualmente o SciLab e´ uma alternativa gratuita, mas que na˜o faz ca´lculo
simbo´lico. O Maxima e´ um programa de computac¸a˜o alge´brica gratuito. Ambos podem ser usados
como ferramenta auxiliar na aprendizagem de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear. Na pa´gina do
autor na web podem ser encontrados pacotes de func¸o˜es para estes programas ale´m de links para as
pa´ginas do SciLab e do Maxima e va´rias pa´ginas interativas que podem auxiliar na aprendizagem.
No fim de cada capı´tulo temos um “Teste do Capı´tulo” para que o aluno possa avaliar os seus
conhecimentos. Os Exercı´cios Nume´ricos e os Exercı´cios usando o MATLABⓇ esta˜o resolvidos apo´s
o u´ltimo capı´tulo utilizando o MATLABⓇ. Desta forma o leitor que na˜o estiver interessado em usar o
software pode obter apenas as respostas dos exercı´cios, enquanto aquele que tiver algum interesse,
pode ficar sabendo como os exercı´cios poderiam ser resolvidos fazendo uso do MATLABⓇ e do pacote
gaal.
Gostaria de agradecer aos professores que colaboraram apresentando correc¸o˜es, crı´ticas e su-
gesto˜es, entre eles Joana Darc A. S. da Cruz, Francisco Dutenhefner, Jorge Sabatucci, Seme Gebara,
Alexandre Washington, Vivaldo R. Filho, Hamilton P. Bueno, Paulo A. F. Machado, Helder C. Rodri-
gues, Nikolai A. Goussevskii, Israel Vainsencher, Leopoldo G. Fernandes, Rodney J. Biezuner, Wilson
D. Barbosa, Flaviana A. Ribeiro, Cristina Marques, Roge´rio S. Mol, Denise Burgarelli, Paulo C. de
Lima, Jose´ Barbosa Gomes, Francisco Satuf, Viktor Beckkert, Moacir G. dos Anjos, Daniel C. de
Morais Filho, Michel Spira, Dan Avritzer, Maria Laura M. Gomes, Armando Neves, Maria Cristina C.
Ferreira e Kennedy Pedroso.
Histo´rico
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
x Prefa´cio
Julho 2009 Algumas correc¸o˜es. Va´rias figuras foram refeitas.
Julho 2007 Algumas correc¸o˜es. As respostas de alguns exercı´cios foram reescritas.
Marc¸o 2007 Va´rias figuras foram refeitas e outras acrescentadas. Foram reescritos o Exemplo 3.12 e
o Corola´rio 3.10. Na sec¸a˜o 5.2 um exemplo foi reescrito e acrescentado mais um. Os Exemplos
5.25 e 5.26 foram reescritos, saı´ram do apeˆndice e voltaram ao texto normal. A sec¸a˜o 5.4 de
Mudanc¸a de Coordenadas foi reescrita e acrescentada uma aplicac¸a˜o a` computac¸a˜o gra´fica.
Foram acrescentados dois exercı´cios na sec¸a˜o de Matrizes, um na de Inversa˜o de Matrizes, um
na sec¸a˜o de Determinantes, dois na de Produto de Vetores, um na de Subespac¸os, um na de
Produto Escalar em ℝ푛, treˆs na de Mudanc¸a de Coordenadas, quatro na de Diagonalizac¸a˜o e
um na de Diagonalizac¸a˜o de Matrizes Sime´tricas. Foram corrigidos alguns erros.
Julho 2006 Foi acrescentado o Exemplo 2.16 na pa´gina 122. A sec¸a˜o 3.2 ’Produtos de Vetores’
foi reescrita. Foi acrescentado um exercı´cio na sec¸a˜o 4.2. O Capı´tulo 5 foi reescrito. Foram
corrigidos alguns erros.
Marc¸o 2006 A Sec¸a˜o 1.1 de Matrizes e a Sec¸a˜o 2.2 de Determinantes foram reescritas. Na sec¸a˜o 1.2
o Teorema 1.4 voltou a ser que toda matriz e´ equivalente por linhas a uma u´nica matriz na forma
escalonada reduzida. Foram acrescentados va´rios exercı´cios aos Capı´tulos 3 e 4. O Capı´tulo
5 foi reescrito. Foram acrescentados exercı´cios teo´ricos a` sec¸a˜o ’Aplicac¸a˜o a` Coˆnicas’.
Julho 2004 Foram acrescentadas aplicac¸o˜es a` criptografia (Exemplo na pa´gina 96) e a cadeias de
Markov (Exemplos 1.9 na pa´gina 16, 1.16 na pa´gina 53 e 6.8 na pa´gina 402). Foi acrescentado
um exercı´cio na sec¸a˜o 1.1. O Teorema 1.4 agora conte´m as propriedades da relac¸a˜o “ser
equivalente por linhas” com a demonstrac¸a˜o. O que antes era Exemplo 1.14 passou para o
lugar do Exemplo 1.10. O Exemplo 2.5 foi modificado. No Capı´tulo 3 foram acrescentados 2
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
Prefa´cio xi
exercı´cios na sec¸a˜o 3.1, 1 exercı´cio na sec¸a˜o 3.2. No Capı´tulo 4 a sec¸a˜o 4.1 foi reescrita e
foram acrescentados 2 exercı´cios. O Capı´tulo 5 foi reescrito. Foi incluı´da no Apeˆndice III da
sec¸a˜o 5.2. a demonstrac¸a˜o de que a forma escalonada reduzida de uma matriz e´ u´nica. A
sec¸a˜o ’Diagonalizac¸a˜o de Matrizes’ ganhou mais um exercı´cio teo´rico.
Setembro 2003 Foi acrescentada a regra de Cramer na sec¸a˜o ’Determinantes’ (Exemplo 2.20). A
sec¸a˜o ’Subespac¸os, Base e Dimensa˜o’ foi reescrita. Foi acrescentado um apeˆndice a esta
sec¸a˜o com ’Outros resultados’. A Proposic¸a˜o 5.15 da sec¸a˜o ’Produto Escalar em ℝ푛 foi re-
escrita. A sec¸a˜o ’Diagonalizac¸a˜o de Matrizes’ ganhou mais dois exercı´cios teo´ricos. A sec¸a˜o
’Diagonalizac¸a˜o de Matrizes Sime´tricas’ ganhou
um apeˆndice sobre ’Autovalores Complexos’.
Novembro 2002 Va´rias correc¸o˜es incluindo respostas de exercı´cios. A sec¸a˜o ’Subespac¸os, Base
e Dimensa˜o’ ganhou mais um exemplo e um exercı´cio. A sec¸a˜o ’Diagonalizac¸a˜o de Matrizes
Sime´tricas’ ganhou mais um exemplo.
Julho 2001 Revisa˜o completa no texto. Novos exercı´cios nas sec¸o˜es ’Matrizes’ e ’Sistemas Lineares’.
As sec¸o˜es ’Subespac¸os’ e ’Base e Dimensa˜o’ tornaram-se uma so´. A sec¸a˜o ’Mudanc¸a de
Coordenadas’ passou do Capı´tulo 6 para o Capı´tulo 5.
Julho 2000 Criado a partir do texto ’Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear’ para ser usado numa
disciplina de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear.
Sugesta˜o de Cronograma
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
xii Prefa´cio
Capı´tulo 1 8 aulas
Capı´tulo 2 8 aulas
Capı´tulo 3 8 aulas
Capı´tulo 4 8 aulas
Capı´tulo 5 16 (12) aulas
Capı´tulo 6 12 aulas
Total 60 (56) aulas
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
Capı´tulo 1
Matrizes e Sistemas Lineares
1.1 Matrizes
Uma matriz 퐴, 푚×푛 (푚 por 푛), e´ uma tabela de 푚푛 nu´meros dispostos em 푚 linhas e 푛 colunas
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎11 푎12 . . . 푎1푛
푎21 푎22 . . . 푎2푛
.
.
. . . .
.
.
.
푎푚1 푎푚2 . . . 푎푚푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
A 푖-e´sima linha de 퐴 e´ [
푎푖1 푎푖2 . . . 푎푖푛
]
,
1
2 Matrizes e Sistemas Lineares
para 푖 = 1, . . . ,푚 e a 푗-e´sima coluna de 퐴 e´⎡
⎢⎢⎢⎣
푎1푗
푎2푗
.
.
.
푎푚푗
⎤
⎥⎥⎥⎦ ,
para 푗 = 1, . . . , 푛. Usamos tambe´m a notac¸a˜o 퐴 = (푎푖푗)푚×푛. Dizemos que 푎푖푗 ou [퐴]푖푗 e´ o elemento
ou a entrada de posic¸a˜o 푖, 푗 da matriz 퐴.
Se 푚 = 푛, dizemos que 퐴 e´ uma matriz quadrada de ordem 푛 e os elementos 푎11, 푎22, . . . , 푎푛푛
formam a diagonal (principal) de 퐴.
Exemplo 1.1. Considere as seguintes matrizes:
퐴 =
[
1 2
3 4
]
, 퐵 =
[ −2 1
0 3
]
, 퐶 =
[
1 3 0
2 4 −2
]
,
퐷 =
[
1 3 −2 ] , 퐸 =
⎡
⎣ 14
−3
⎤
⎦ e 퐹 = [ 3 ] .
As matrizes 퐴 e 퐵 sa˜o 2 × 2. A matriz 퐶 e´ 2 × 3, 퐷 e´ 1 × 3, 퐸 e´ 3 × 1 e 퐹 e´ 1 × 1. De acordo
com a notac¸a˜o que introduzimos, exemplos de elementos de algumas das matrizes dadas acima sa˜o
푎12 = 2, 푐23 = −2, 푒21 = 4, [퐴]22 = 4, [퐷]12 = 3.
Uma matriz que so´ possui uma linha e´ chamada matriz linha, e uma matriz que so´ possui uma
coluna e´ chamada matriz coluna, No Exemplo 1.1 a matriz 퐷 e´ uma matriz linha e a matriz 퐸 e´ uma
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 3
matriz coluna. Matrizes linha e matrizes coluna sa˜o chamadas de vetores. O motivo ficara´ claro na
Sec¸a˜o 5.1 na pa´gina 278.
Dizemos que duas matrizes sa˜o iguais se elas teˆm o mesmo tamanho e os elementos correspon-
dentes sa˜o iguais, ou seja, 퐴 = (푎푖푗)푚×푛 e 퐵 = (푏푖푗)푝×푞 sa˜o iguais se 푚 = 푝, 푛 = 푞 e 푎푖푗 = 푏푖푗
para 푖 = 1, . . . ,푚 e 푗 = 1, . . . , 푛.
Vamos definir operac¸o˜es matriciais ana´logas a`s operac¸o˜es com nu´meros e provar propriedades
que sa˜o va´lidas para essas operac¸o˜es. Veremos, mais tarde, que um sistema de equac¸o˜es lineares
pode ser escrito em termos de uma u´nica equac¸a˜o matricial.
Vamos, agora, introduzir as operac¸o˜es matriciais.
1.1.1 Operac¸o˜es com Matrizes
Definic¸a˜o 1.1. A soma de duas matrizes de mesmo tamanho 퐴 = (푎푖푗)푚×푛 e 퐵 = (푏푖푗)푚×푛 e´
definida como sendo a matriz 푚× 푛
퐶 = 퐴+ 퐵
obtida somando-se os elementos correspondentes de 퐴 e 퐵, ou seja,
푐푖푗 = 푎푖푗 + 푏푖푗 ,
para 푖 = 1, . . . ,푚 e 푗 = 1, . . . , 푛. Escrevemos tambe´m [퐴+ 퐵]푖푗 = 푎푖푗 + 푏푖푗 .
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
4 Matrizes e Sistemas Lineares
Exemplo 1.2. Considere as matrizes:
퐴 =
[
1 2 −3
3 4 0
]
, 퐵 =
[ −2 1 5
0 3 −4
]
Se chamamos de 퐶 a soma das duas matrizes 퐴 e 퐵, enta˜o
퐶 = 퐴+ 퐵 =
[
1 + (−2) 2 + 1 −3 + 5
3 + 0 4 + 3 0 + (−4)
]
=
[ −1 3 2
3 7 −4
]
Definic¸a˜o 1.2. A multiplicac¸a˜o de uma matriz 퐴 = (푎푖푗)푚×푛 por um escalar (nu´mero) 훼 e´ definida
pela matriz 푚× 푛
퐵 = 훼퐴
obtida multiplicando-se cada elemento da matriz 퐴 pelo escalar 훼, ou seja,
푏푖푗 = 훼 푎푖푗 ,
para 푖 = 1, . . . ,푚 e 푗 = 1, . . . , 푛. Escrevemos tambe´m [훼퐴]푖푗 = 훼 푎푖푗 . Dizemos que a matriz 퐵 e´
um mu´ltiplo escalar da matriz 퐴.
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1.1 Matrizes 5
Exemplo 1.3. O produto da matriz 퐴 =
⎡
⎣ −2 10 3
5 −4
⎤
⎦ pelo escalar −3 e´ dado por
−3퐴 =
⎡
⎣ (−3)(−2) (−3) 1(−3) 0 (−3) 3
(−3) 5 (−3)(−4)
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 6 −30 −9
−15 12
⎤
⎦ .
Definic¸a˜o 1.3. O produto de duas matrizes, tais que o nu´mero de colunas da primeira matriz e´
igual ao nu´mero de linhas da segunda, 퐴 = (푎푖푗)푚×푝 e 퐵 = (푏푖푗)푝×푛 e´ definido pela matriz 푚× 푛
퐶 = 퐴퐵
obtida da seguinte forma:
푐푖푗 = 푎푖1푏1푗 + 푎푖2푏2푗 + . . .+ 푎푖푝푏푝푗, (1.1)
para 푖 = 1, . . . ,푚 e 푗 = 1, . . . , 푛. Escrevemos tambe´m [퐴퐵]푖푗 = 푎푖1푏1푗 + 푎푖2푏2푗 + . . .+ 푎푖푝푏푝푗 .
A equac¸a˜o (1.1) esta´ dizendo que o elemento 푖, 푗 do produto e´ igual a` soma dos produtos dos
elementos da 푖-e´sima linha de 퐴 pelos elementos correspondentes da 푗-e´sima coluna de 퐵.
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6 Matrizes e Sistemas Lineares
⎡
⎢⎣ 푐11 . . . 푐1푛... 푐푖푗 ...
푐푚1 . . . 푐푚푛
⎤
⎥⎦ =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
푎11 푎12 . . . 푎1푝
.
.
. . . .
.
.
.
푎푖1 푎푖2 . . . 푎푖푝
.
.
. . . .
.
.
.
푎푚1 푎푚2 . . . 푎푚푝
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎡
⎢⎢⎢⎣
푏11
푏21
.
.
.
푏푝1
. . .
. . .
. . .
. . .
푏1푗
푏2푗
.
.
.
푏푝푗
. . .
. . .
. . .
. . .
푏1푛
푏2푛
.
.
.
푏푝푛
⎤
⎥⎥⎥⎦
A equac¸a˜o (1.1) pode ser escrita de forma compacta usando a notac¸a˜o de somato´rio.
[퐴퐵]푖푗 = 푎푖1푏1푗 + 푎푖2푏2푗 + . . .+ 푎푖푝푏푝푗 =
푝∑
푘=1
푎푖푘푏푘푗
e dizemos “somato´rio de 푘 variando de 1 a 푝 de 푎푖푘푏푘푗”. O sı´mbolo
푝∑
푘=1
significa que estamos fazendo
uma soma em que o ı´ndice 푘 esta´ variando de 푘 = 1 ate´ 푘 = 푝. Algumas propriedades da notac¸a˜o
de somato´rio esta˜o explicadas no Apeˆndice I na pa´gina 32.
Exemplo 1.4. Considere as matrizes:
퐴 =
[
1 2 −3
3 4 0
]
, 퐵 =
⎡
⎣ −2 1 00 3 0
5 −4 0
⎤
⎦ .
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1.1 Matrizes 7
Se chamamos de 퐶 o produto das duas matrizes 퐴 e 퐵, enta˜o
퐶 = 퐴퐵 =
[
1 (−2) + 2 ⋅ 0 + (−3) 5 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 3 + (−3) (−4) 0
3 (−2) + 4 ⋅ 0 + 0 ⋅ 5 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 3 + 0 (−4) 0
]
=
[ −17 19 0
−6 15 0
]
.
Observac¸a˜o. No exemplo anterior o produto 퐵퐴 na˜o esta´ definido (por que?). Entretanto, mesmo
quando ele esta´ definido, 퐵퐴 pode na˜o ser igual a 퐴퐵, ou seja, o produto de matrizes na˜o e´ comu-
tativo, como mostra o exemplo seguinte.
Exemplo 1.5. Sejam 퐴 =
[
1 2
3 4
]
e 퐵 =
[ −2 1
0 3
]
. Enta˜o,
퐴퐵 =
[ −2 7
−6 15
]
e 퐵퐴 =
[
1 0
9 12
]
.
Vamos ver no pro´ximo exemplo como as matrizes podem ser usadas para descrever quantitativa-
mente um processo de produc¸a˜o.
Exemplo 1.6. Uma indu´stria produz treˆs produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B.
Para a manufatura de cada kg de X sa˜o utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B;
para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 1 grama de insumo B e, para cada kg de Z, 1 grama de
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8 Matrizes e Sistemas Lineares
A e 4 gramas de B. Usando matrizes podemos determinar quantos gramas dos insumos A e B sa˜o
necessa´rios na produc¸a˜o de 푥 kg do produto X, 푦 kg do produto Y e 푧 kg do produto Z.
X Y Z
gramas de A/kg
gramas de B/kg
[
1 1 1
2 1 4
]
= 퐴 푋 =
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ kg de X produzidoskg de Y produzidos
kg de Z produzidos
퐴푋 =
[
푥+ 푦 + 푧
2푥+ 푦 + 4푧
]
gramas de A usados
gramas de B usados
Definic¸a˜o 1.4. A transposta de uma matriz 퐴 = (푎푖푗)푚×푛 e´ definida pela matriz 푛×푚
퐵 = 퐴푡
obtida trocando-se as linhas com as colunas, ou seja,
푏푖푗 = 푎푗푖 ,
para 푖 = 1, . . . , 푛 e 푗 = 1, . . . ,푚. Escrevemos tambe´m [퐴푡]푖푗 = 푎푗푖.
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1.1 Matrizes 9
Exemplo 1.7. As transpostas das matrizes
퐴 =
[
1 2
3 4
]
, 퐵 =
[ −2 1
0 3
]
e 퐶 =
[
1 3 0
2 4 −2
]
sa˜o
퐴푡 =
[
1 3
2 4
]
, 퐵푡 =
[ −2 0
1 3
]
e 퐶푡 =
⎡
⎣ 1 23 4
0 −2
⎤
⎦ .
A seguir, mostraremos as propriedades que sa˜o va´lidas para a a´lgebra matricial. Va´rias proprie-
dades sa˜o semelhantes a`quelas que sa˜o va´lidas para os nu´meros reais, mas deve-se tomar cuidado
com as diferenc¸as. Uma propriedade importante que e´ va´lida para os nu´meros reais, mas na˜o e´
va´lida para as matrizes e´ a comutatividade do produto, como foi mostrado no Exemplo 1.5. Por ser
compacta, usaremos a notac¸a˜o de somato´rio na demonstrac¸a˜o de va´rias propriedades. Algumas
propriedades desta notac¸a˜o esta˜o explicadas no Apeˆndice I na pa´gina 32.
1.1.2 Propriedades da ´Algebra Matricial
Teorema 1.1. Sejam 퐴, 퐵 e 퐶 matrizes com tamanhos apropriados, 훼 e 훽 escalares. Sa˜o va´lidas as
seguintes propriedades para as operac¸o˜es matriciais:
(a) (comutatividade) 퐴+ 퐵 = 퐵 + 퐴;
(b) (associatividade) 퐴+ (퐵 + 퐶) = (퐴+ 퐵) + 퐶;
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10 Matrizes e Sistemas Lineares
(c) (elemento neutro) A matriz 0¯, 푚 × 푛, definida por [0¯]푖푗 = 0, para 푖 = 1, . . . ,푚, 푗 = 1, . . . , 푛 e´
tal que
퐴+ 0¯ = 퐴,
para toda matriz 퐴, 푚× 푛. A matriz 0¯ e´ chamada matriz nula 푚× 푛.
(d) (elemento sime´trico) Para cada matriz 퐴, existe uma u´nica matriz −퐴, definida por [−퐴]푖푗 =
−푎푖푗 tal que
퐴+ (−퐴) = 0¯.
(e) (associatividade) 훼(훽퐴) = (훼훽)퐴;
(f) (distributividade) (훼 + 훽)퐴 = 훼퐴+ 훽퐴;
(g) (distributividade) 훼(퐴+ 퐵) = 훼퐴+ 훼퐵;
(h) (associatividade) 퐴(퐵퐶) = (퐴퐵)퐶;
(i) (elemento neutro) Para cada inteiro positivo 푝 a matriz, 푝× 푝,
퐼푝 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . 1
⎤
⎥⎥⎥⎦ ,
chamada matriz identidade e´ tal que
퐴퐼푛 = 퐼푚퐴 = 퐴, para toda matriz 퐴 = (푎푖푗)푚×푛.
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1.1 Matrizes 11
(j) (distributividade) 퐴(퐵 + 퐶) = 퐴퐵 + 퐴퐶 e (퐵 + 퐶)퐴 = 퐵퐴+ 퐶퐴;
(k) 훼(퐴퐵) = (훼퐴)퐵 = 퐴(훼퐵);
(l) (퐴푡)푡 = 퐴;
(m) (퐴+ 퐵)푡 = 퐴푡 + 퐵푡;
(n) (훼퐴)푡 = 훼퐴푡;
(o) (퐴퐵)푡 = 퐵푡퐴푡;
Demonstrac¸a˜o. Para provar as igualdades acima, devemos mostrar que os elementos da matriz do
lado esquerdo sa˜o iguais aos elementos correspondentes da matriz do lado direito. Sera˜o usadas
va´rias propriedades dos nu´meros sem cita´-las explicitamente.
(a) [퐴+ 퐵]푖푗 = 푎푖푗 + 푏푖푗 = 푏푖푗 + 푎푖푗 = [퐵 + 퐴]푖푗 ;
(b) [퐴+ (퐵 + 퐶)]푖푗 = 푎푖푗 + [퐵 + 퐶]푖푗 = 푎푖푗 + (푏푖푗 + 푐푖푗) = (푎푖푗 + 푏푖푗) + 푐푖푗 = [퐴+퐵]푖푗 + 푐푖푗 =
[(퐴+ 퐵) + 퐶]푖푗 ;
(c) Seja 푋 uma matriz 푚× 푛 tal que
퐴+푋 = 퐴 (1.2)
para qualquer matriz A, 푚× 푛. Comparando os elementos correspondentes, temos que
푎푖푗 + 푥푖푗 = 푎푖푗 ,
ou seja, 푥푖푗 = 0, para 푖 = 1 . . . ,푚 e 푗 = 1 . . . , 푛. Portanto, a u´nica matriz que satisfaz (1.2) e´
a matriz em que todos os seus elementos sa˜o iguais a zero. Denotamos a matriz 푋 por 0¯.
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12 Matrizes e Sistemas Lineares
(d) Dada uma matriz 퐴, 푚× 푛, seja 푋 uma matriz 푚× 푛, tal que
퐴+푋 = 0¯ . (1.3)
Comparando os elementos correspondentes, temos que
푎푖푗 + 푥푖푗 = 0 ,
ou seja, 푥푖푗 = −푎푖푗 , para 푖 = 1 . . . ,푚 e 푗 = 1 . . . , 푛. Portanto, a u´nica matriz que satisfaz
(1.3) e´ a matriz em que todos os seus elementos sa˜o iguais aos sime´tricos dos elementos de
퐴. Denotamos a matriz 푋 por −퐴.
(e) [훼(훽퐴)]푖푗 = 훼[훽퐴]푖푗 = 훼(훽푎푖푗) = (훼훽)푎푖푗 = [(훼훽)퐴]푖푗 .
(f) [(훼 + 훽)퐴]푖푗 = (훼 + 훽)푎푖푗 = (훼푎푖푗) + (훽푎푖푗) = [훼퐴]푖푗 + [훽퐴]푖푗 = [훼퐴+ 훽퐴]푖푗 .
(g) [훼(퐴+ 퐵)]푖푗 = 훼[퐴+퐵]푖푗 = 훼(푎푖푗 + 푏푖푗) = 훼푎푖푗 + 훼푏푖푗 = [훼퐴]푖푗 + [훼퐵]푖푗
= [훼퐴+ 훼퐵]푖푗 .
(h) A demonstrac¸a˜o deste item e´ a mais trabalhosa. Sejam 퐴, 퐵 e 퐶 matrizes 푚× 푝, 푝× 푞 e 푞×푛
respectivamente. A notac¸a˜o de somato´rio aqui pode ser muito u´til, pelo fato de ser compacta.
[퐴(퐵퐶)]푖푗 =
푝∑
푘=1
푎푖푘[퐵퐶]푘푗 =
푝∑
푘=1
푎푖푘(
푞∑
푙=1
푏푘푙푐푙푗) =
푝∑
푘=1
푞∑
푙=1
푎푖푘(푏푘푙푐푙푗) =
=
푝∑
푘=1
푞∑
푙=1
(푎푖푘푏푘푙)푐푙푗 =
푞∑
푙=1
푝∑
푘=1
(푎푖푘푏푘푙)푐푙푗 =
푞∑
푙=1
(
푝∑
푘=1
푎푖푘푏푘푙)푐푙푗 =
=
푞∑
푙=1
[퐴퐵]푖푙푐푙푗 = [(퐴퐵)퐶]푖푗 .
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1.1 Matrizes 13
(i) Podemos escrever a matriz identidade em termos do delta de Kronecker que e´ definido por
훿푖푗 =
{
1, se 푖 = 푗
0, se 푖 ∕= 푗
como [퐼푛]푖푗 = 훿푖푗 . Assim,
[퐴퐼푛]푖푗 =
푛∑
푘=1
푎푖푘[퐼푛]푘푗 =
푛∑
푘=1
푎푖푘훿푘푗 = 푎푖푗.
A outra igualdade e´ ana´loga.
(j) [퐴(퐵 + 퐶)]푖푗 =
푝∑
푘=1
푎푖푘[퐵 + 퐶]푘푗 =
푝∑
푘=1
푎푖푘(푏푘푗 + 푐푘푗) =
푝∑
푘=1
(푎푖푘푏푘푗 + 푎푖푘푐푘푗) =
=
푝∑
푘=1
푎푖푘푏푘푗 +
푝∑
푘=1
푎푖푘푐푘푗 = [퐴퐵]푖푗 + [퐴퐶]푖푗 = [퐴퐵 + 퐴퐶]푖푗 .
A outra igualdade e´ inteiramente ana´loga a anterior e deixamos como exercı´cio.
(k) [훼(퐴퐵)]푖푗 = 훼
푝∑
푘=1
푎푖푘푏푘푗 =
푝∑
푘=1
(훼푎푖푘)푏푘푗 = [(훼퐴)퐵]푖푗 e
[훼(퐴퐵)]푖푗 = 훼
푝∑
푘=1
푎푖푘푏푘푗 =
푝∑
푘=1
푎푖푘(훼푏푘푗) = [퐴(훼퐵)]푖푗 .
(l) [(퐴푡)푡]푖푗 = [퐴푡]푗푖 = 푎푖푗 .
(m) [(퐴+ 퐵)푡]푖푗 = [퐴+ 퐵]푗푖 = 푎푗푖 + 푏푗푖 = [퐴푡]푖푗 + [퐵푡]푖푗 .
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14 Matrizes e Sistemas Lineares
(n) [(훼퐴)푡]푖푗 = [훼퐴]푗푖 = 훼푎푗푖 = 훼[퐴푡]푖푗 = [훼퐴푡]푖푗 .
(o) [(퐴퐵)푡]푖푗 = [퐴퐵]푗푖 =
푝∑
푘=1
푎푗푘푏푘푖 =
푝∑
푘=1
[퐴푡]푘푗[퐵
푡]푖푘 =
푝∑
푘=1
[퐵푡]푖푘[퐴
푡]푘푗 = [퐵
푡퐴푡]푖푗 .
■
A diferenc¸a entre duas matrizes de mesmo tamanho 퐴 e 퐵 e´ definida por
퐴− 퐵 = 퐴+ (−퐵),
ou seja, e´ a soma da matriz 퐴 com a sime´trica da matriz 퐵.
Sejam 퐴 uma matriz 푛×푛 e 푝 um inteiro positivo. Definimos a poteˆncia 푝 de 퐴, por 퐴푝 = 퐴 . . . 퐴︸ ︷︷ ︸
푝 vezes
.
E para 푝 = 0, definimos 퐴0 = 퐼푛.
Exemplo 1.8. Vamos verificar se para matrizes 퐴 e 퐵, quadradas, vale a igualdade
(퐴+ 퐵)(퐴−퐵) = 퐴2 −퐵2. (1.4)
Usando a propriedade (i) do teorema anterior obtemos
(퐴+ 퐵)(퐴−퐵) = (퐴+ 퐵)퐴+ (퐴+ 퐵)(−퐵)
= 퐴퐴+ 퐵퐴− 퐴퐵 −퐵퐵 = 퐴2 + 퐵퐴− 퐴퐵 − 퐵2
Assim, (퐴 + 퐵)(퐴 − 퐵) = 퐴2 − 퐵2 se, e somente se, 퐵퐴 − 퐴퐵 = 0, ou seja, se, e somente se,
퐴퐵 = 퐵퐴. Como o produto de matrizes na˜o e´ comutativo, a conclusa˜o e´ que a igualdade (1.4), na˜o
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1.1 Matrizes 15
vale para matrizes em geral. Como contra-exemplo basta tomarmos duas matrizes que na˜o comutem
entre si. Sejam
퐴 =
[
0 0
1 1
]
e 퐵 =
[
1 0
1 0
]
.
Para estas matrizes
퐴+퐵 =
[
1 0
2 1
]
, 퐴−퐵 =
[ −1 0
0 1
]
, 퐴2 = 퐴 =
[
0 0
1 1
]
, 퐵2 = 퐵 =
[
1 0
1 0
]
.
Assim,
(퐴+ 퐵)(퐴−퐵) =
[ −1 0
−2 1
]
∕=
[ −1 0
0 1
]
= 퐴2 − 퐵2.
1.1.3 Aplicac¸a˜o: Cadeias de Markov
Vamos supor que uma populac¸a˜o e´ dividida em treˆs estados (por exemplo: ricos, classe me´dia e
pobres) e que em cada unidade de tempo a probabilidade de mudanc¸a de um estado para outro seja
constante no tempo, so´ dependa dos estados. Este processo e´ chamado cadeia de Markov.
Seja 푡푖푗 a probabilidade de mudanc¸a do estado 푗 para o estado 푖 em uma unidade de tempo
(gerac¸a˜o). Tome cuidado com a ordem dos ı´ndices. A matriz
푇 =
1⃝ 2⃝ 3⃝⎡
⎣ 푡11 푡12 푡13푡21 푡22 푡23
푡31 푡32 푡33
⎤
⎦ 1⃝2⃝
3⃝
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16 Matrizes e Sistemas Lineares
e´ chamada matriz de transic¸a˜o. A distribuic¸a˜o da populac¸a˜o inicial entre os treˆs estados pode ser
descrita pela seguinte matriz:
푃0 =
⎡
⎣ 푝1푝2
푝3
⎤
⎦ esta´ no estado 1esta´ no estado 2
esta´ no estado 3
A matriz 푃0 caracteriza a distribuic¸a˜o inicial da populac¸a˜o entre os treˆs estados e e´ chamada vetor de
estado. Apo´s uma unidade de tempo a populac¸a˜o estara´ dividida entre os treˆs estados da seguinte
forma
푃1 =
⎡
⎣ 푡11푝1 + 푡12푝2 + 푡13푝3푡21푝1 + 푡22푝2 + 푡23푝3
푡31푝1 + 푡32푝2 + 푡33푝3
⎤
⎦ estara´ no estado 1estara´ no estado 2
estara´ no estado 3
Lembre-se que 푡푖푗 e´ a probabilidade de mudanc¸a do estado 푗 para o estado 푖. Assim o vetor de estado
apo´s uma unidade de tempo e´ dada pelo produto de matrizes:
푃1 = 푇푃0.
Exemplo 1.9. Vamos considerar a matriz de transic¸a˜o
푇 =
1⃝ 2⃝ 3⃝⎡
⎢⎣
1
2
1
4
0
1
2
1
2
1
2
0 1
4
1
2
⎤
⎥⎦ 1⃝2⃝
3⃝
(1.5)
e o vetor de estados inicial
푃0 =
⎡
⎣ 131
3
1
3
⎤
⎦ esta´ no estado 1esta´ no estado 2
esta´ no estado 3
(1.6)
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1.1 Matrizes 17
que representa uma populac¸a˜o dividida de forma que 1/3 da populac¸a˜o esta´ em cada estado.
Apo´s uma unidade de tempo a matriz de estado sera´ dada por
푃1 = 푇푃0 =
⎡
⎢⎣
1
2
1
4
0
1
2
1
2
1
2
0 1
4
1
2
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣
1
3
1
3
1
3
⎤
⎥⎦ =
⎡
⎢⎣
1
4
1
2
1
4
⎤
⎥⎦
Como estamos assumindo que em cada unidade de tempo a matriz de transic¸a˜o e´ a mesma,
enta˜o apo´s 푘 unidades de tempo a populac¸a˜o estara´ dividida entre os treˆs estados segundo a matriz
de estado
푃푘 = 푇푃푘−1 = 푇 2푃푘−2 = ⋅ ⋅ ⋅ = 푇 푘푃0
Assim a matriz 푇 푘 da´ a transic¸a˜o entre 푘 unidades de tempo.
Veremos na Sec¸a˜o 6.1 na pa´gina 382 como calcular rapidamente poteˆncias 푘 de matrizes e assim
como determinar a distribuic¸a˜o da populac¸a˜o apo´s 푘 unidades de tempo para 푘 um inteiro positivo
qualquer.
Exercı´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 475)
1.1.1. Considere as seguintes matrizes
퐴 =
[
2 0
6 7
]
, 퐵 =
[
0 4
2 −8
]
, 퐶 =
[ −6 9 −7
7 −3 −2
]
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18 Matrizes e Sistemas Lineares
퐷 =
⎡
⎣ −6 4 01 1 4
−6 0 6
⎤
⎦ , 퐸 =
⎡
⎣ 6 9 −9−1 0 −4
−6 0 −1
⎤
⎦
Se for possı´vel calcule:
(a) 퐴퐵 −퐵퐴,
(b) 2퐶 −퐷,
(c) (2퐷푡 − 3퐸푡)푡,
(d) 퐷2 −퐷퐸.
1.1.2. Conhecendo-se somente os produtos 퐴퐵 e 퐴퐶, como podemos calcular 퐴(퐵 + 퐶), 퐵푡퐴푡,
퐶푡퐴푡 e (퐴퐵퐴)퐶?
1.1.3. Considere as seguintes matrizes
퐴 =
[ −3 2 1
1 2 −1
]
, 퐵 =
⎡
⎣ 2 −12 0
0 3
⎤
⎦
퐶 =
⎡
⎣ −2 1 −10 1 1
−1 0 1
⎤
⎦ , 퐷 =
⎡
⎣ 푑1 0 00 푑2 0
0 0 푑3
⎤
⎦
퐸1 =
⎡
⎣ 10
0
⎤
⎦ , 퐸2 =
⎡
⎣ 01
0
⎤
⎦ , 퐸3 =
⎡
⎣ 00
1
⎤
⎦
Verifique que:
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 19
(a) 퐴퐵 e´ diferente de 퐵퐴.
(b) 퐴퐸푗 e´ a 푗-e´sima coluna de 퐴, para 푗 = 1, 2, 3 e 퐸푡푖퐵 e´ a 푖-e´sima linha de 퐵, para
푖 = 1, 2, 3 (o caso geral esta´ no Exercı´cio 1.1.16 na pa´gina 25).
(c) 퐶퐷 = [ 푑1퐶1 푑2퐶2 푑3퐶3 ], em que 퐶1 =
⎡
⎣ −20
−1
⎤
⎦, 퐶2 =
⎡
⎣ 11
0
⎤
⎦ e 퐶3 =
⎡
⎣ −11
1
⎤
⎦, sa˜o as
colunas de 퐶 (o caso geral esta´ no Exercı´cio 1.1.17 (a) na pa´gina 26).
(d) 퐷퐶 =
⎡
⎣ 푑1퐶1푑2퐶2
푑3퐶3
⎤
⎦, em que 퐶1 = [ −2 1 −1 ], 퐶2 = [ 0 1 1 ] e
퐶3 =
[ −1 0 1 ] sa˜o as linhas de 퐶 (o caso geral esta´ no Exercı´cio 1.1.17 (b) na
pa´gina 26).
(e) Escrevendo 퐵 em termos das suas colunas, 퐵 = [ 퐵1 퐵2 ], em que 퐵1 =
⎡
⎣ 22
0
⎤
⎦ e
퐵2 =
⎡
⎣ −10
3
⎤
⎦, o produto 퐴퐵 pode ser escrito como 퐴퐵 = 퐴 [ 퐵1 퐵2 ] = [ 퐴퐵1 퐴퐵2 ]
(o caso geral esta´ no Exercı´cio 1.1.18 (a) na pa´gina 27).
(f) escrevendo 퐴 em termos das suas linhas, 퐴1 =
[ −3 2 1 ] e 퐴2 = [ 1 2 −1 ], o
produto 퐴퐵 pode ser escrito como 퐴퐵 =
[
퐴1
퐴2
]
퐵 =
[
퐴1퐵
퐴2퐵
]
(o caso geral esta´ no
Exercı´cio 1.1.18 (b) na pa´gina 27).
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
20 Matrizes e Sistemas Lineares
1.1.4. Sejam
퐴 =
[
1 −3 0
0 4 −2
]
e 푋 =
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ .
Verifique que 푥퐴1 + 푦퐴2 + 푧퐴3 = 퐴푋 , em que 퐴푗 e´ a 푗-e´sima coluna de 퐴, para 푗 = 1, 2, 3
(o caso geral esta´ no Exercı´cio 1.1.19 na pa´gina 28).
1.1.5. Encontre um valor de 푥 tal que 퐴퐵푡 = 0, em que
퐴 =
[
푥 4 −2 ] e 퐵 = [ 2 −3 5 ] .
1.1.6. Mostre que as matrizes 퐴 =
[
1 1
푦
푦 1
]
, em que 푦 e´ uma nu´mero real na˜o nulo, verificam a
equac¸a˜o 푋2 = 2푋 .
1.1.7. Mostre que se 퐴 e 퐵 sa˜o matrizes que comutam com a matriz 푀 =
[
0 1
−1 0
]
, enta˜o 퐴퐵 =
퐵퐴.
1.1.8. (a) Determine todas as matrizes퐴, 2×2, diagonais (os elementos que esta˜o fora da diagonal
sa˜o iguais a zero) que comutam com toda matriz 퐵, 2 × 2, ou seja, tais que 퐴퐵 = 퐵퐴,
para toda matriz 퐵, 2× 2.
(b) Determine todas as matrizes 퐴, 2 × 2, que comutam com toda matriz 퐵, 2 × 2, ou seja,
tais que 퐴퐵 = 퐵퐴, para toda matriz 퐵, 2× 2.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 21
1.1.9. Verifique que 퐴3 = 0¯, para
퐴 =
⎡
⎣ 0 1 00 0 1
0 0 0
⎤
⎦ .
O caso geral esta´ no Exercı´cio 1.1.29 na pa´gina 31.
Exercı´cios usando o MATLABⓇ
Uma vez inicializado o MATLABⓇ, aparecera´ na janela de comandos um prompt >> ou EDU>>.
O prompt significa que o MATLABⓇ esta´ esperando um comando. Todo comando deve ser
finalizado teclando-se Enter. Comandos que foram dados anteriormente podem ser obtidos
novamente usando as teclas ↑ e ↓. Enquanto se estiver escrevendo um comando, este pode
ser corrigido usando as teclas ←, →, Delete e Backspace. O MATLABⓇ faz diferenc¸a entre
letras maiu´sculas e minu´sculas.
No MATLABⓇ, pode-se obter ajuda sobre qualquer comando ou func¸a˜o. O comando
>> help
(sem o prompt >>) mostra uma listagem de todos os pacotes disponı´veis. Ajuda sobre um
pacote especı´fico ou sobre um comando ou func¸a˜o especı´fica pode ser obtida com o comando
>> help nome,
(sem a vı´rgula e sem o prompt >>) em que nome pode ser o nome de um pacote ou o nome de
um comando ou func¸a˜o.
Ale´m dos comandos e func¸o˜es pre´-definidas, escrevemos um pacote chamado gaal
com func¸o˜es especı´ficas para a aprendizagem de Geometria Analı´tica e ´Algebra Li-
near. Este pacote pode ser obtido gratuitamente atrave´s da internet no enderec¸o
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
22 Matrizes e Sistemas Lineares
http://www.mat.ufmg.br/˜regi, assim como um texto com uma introduc¸a˜o ao MATLABⓇ e
instruc¸o˜es de como instalar o pacote gaal. Depois deste pacote ser devidamente instalado, o
comando help gaal no prompt do MATLABⓇ da´ informac¸o˜es sobre este pacote.
Mais informac¸o˜es sobre as capacidades do MATLABⓇ podem ser obtidas em [4, 28].
Vamos descrever aqui alguns comandos que podem ser usados para a manipulac¸a˜o de matri-
zes. Outros comandos sera˜o introduzidos a medida que forem necessa´rios.
>> syms x y z diz ao MATLABⓇ que as varia´veis x y e z sa˜o simbo´licas.
>> A=[a11,a12,...,a1n;a21,a22,...; ...,amn] cria uma matriz, 푚 por 푛, usando os
elementos a11, a12, ..., amn e a armazena numa varia´vel de nome A. Por exemplo, >>
A=[1,2,3;4,5,6] cria a matriz 퐴 =
[
1 2 3
4 5 6
]
;
>> I=eye(n) cria a matriz identidade 푛 por 푛 e a armazena numa varia´vel I;
>> O=zeros(n) ou >> O=zeros(m,n) cria a matriz nula 푛 por 푛 ou 푚 por 푛, respectivamente,
e a armazena numa varia´vel O;
>> A+B e´ a soma de A e B,
>> A*B e´ o produto de A por B,
>> A.’ e´ a transposta de A,
>>
A-B e´ a diferenc¸a A menos B,
>> num*A e´ o produto do escalar num por A,
>> Aˆk e´ a poteˆncia A elevado a 푘.
>> A(:,j) e´ a coluna 푗 da matriz A, >> A(i,:) e´ a linha 푖 da matriz A.
>> diag([d1,...,dn]) cria uma matriz diagonal, cujos elementos da diagonal sa˜o iguais aos
elementos da matriz [d1,...,dn], ou seja, sa˜o d1,...,dn.
>> A=sym(A) converte a matriz A numa matriz em que os elementos sa˜o armazenados no
formato simbo´lico. A func¸a˜o numeric faz o processo inverso.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 23
>> solve(expr) determina a soluc¸a˜o da equac¸a˜o expr=0. Por exemplo,
>> solve(xˆ2-4) determina as soluc¸o˜es da equac¸a˜o 푥2 − 4 = 0;
Comando do pacote GAAL:
>> A=randi(n) ou >> A=randi(m,n) cria uma matriz n por n ou m por n, respectivamente,
com elementos inteiros aleato´rios entre −5 e 5.
1.1.10. Use o MATLABⓇ para calcular alguns membros da sequ¨eˆncia 퐴, 퐴2, . . . , 퐴푘, . . ., para
(a) 퐴 =
[
1 1
2
0 1
3
]
; (b) 퐴 =
[
1
2
1
3
0 −1
5
]
.
A sequ¨eˆncia parece estar convergindo para alguma matriz? Se estiver, para qual?
1.1.11. Calcule as poteˆncias das matrizes dadas a seguir e encontre experimentalmente (por tentativa!)
o menor inteiro 푘 > 1 tal que (use o comando >> A=sym(A) depois de armazenar a matriz na
varia´vel A):
(a) 퐴푘 = 퐼3, em que
퐴 =
⎡
⎣ 0 0 11 0 0
0 1 0
⎤
⎦ ;
(b) 퐴푘 = 퐼4, em que
퐴 =
⎡
⎢⎢⎣
0 1 0 0
−1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
⎤
⎥⎥⎦;
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
24 Matrizes e Sistemas Lineares
(c) 퐴푘 = 0¯, em que
퐴 =
⎡
⎢⎢⎣
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
⎤
⎥⎥⎦.
1.1.12. Vamos fazer um experimento no MATLABⓇ para tentar ter uma ide´ia do qua˜o comum e´ encontrar
matrizes cujo produto comuta. No prompt do MATLABⓇ digite a seguinte linha:
>> c=0; for n=1:1000,A=randi(3);B=randi(3);if(A*B==B*A),c=c+1;end,end,c
(na˜o esquec¸a das vı´rgulas e pontos e vı´rgulas!). O que esta linha esta´ mandando o MATLABⓇ
fazer e´ o seguinte:
∙ Criar um contador c e atribuir a ele o valor zero.
∙ Atribuir a`s varia´veis A e B, 1000 matrizes 3×3 com entradas inteiras e aleato´rias entre−5
e 5.
∙ Se AB=BA, ou seja, A e B comutarem, enta˜o o contador c e´ acrescido de 1.
∙ No final o valor existente na varia´vel c e´ escrito.
Qual a conclusa˜o que voceˆ tira do valor obtido na varia´vel c?
1.1.13. Fac¸a um experimento semelhante ao anterior, mas para o caso em que cada uma das matrizes
e´ diagonal, isto e´, os elementos que esta˜o fora da diagonal sa˜o iguais a zero. Use a seta para
cima ↑ para obter novamente a linha digitada e edite a linha no prompt do MATLABⓇ de forma a
obter algo semelhante a` linha:
>> c=0; for n=1:1000,A=diag(randi(1,3));B=diag(randi(1,3));if( ....
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 25
Qual a conclusa˜o que voceˆ tira do valor obtido na varia´vel c?
1.1.14. Fac¸a um experimento semelhante ao anterior, mas para o caso em que uma das matrizes e´
diagonal. Use a seta para cima ↑ para obter novamente a linha digitada e edite a linha no
prompt do MATLABⓇ de forma a obter a seguinte linha:
>> c=0; for n=1:1000,A=diag(randi(1,3));B=randi(3);if(A*B==B*A),c=c+1;A,B,end,end,c
Aqui sa˜o impressas as matrizes A e B quando elas comutarem. Qual a conclusa˜o que voceˆ tira
deste experimento? Qual a probabilidade de um tal par de matrizes comutarem?
1.1.15. Use o MATLABⓇ para resolver os Exercı´cios Nume´ricos.
Exercı´cios Teo´ricos
1.1.16. Sejam 퐸1 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1
0
0
.
.
.
0
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦ , 퐸2 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0
1
0
.
.
.
0
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦,. . . , 퐸푛 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0
0
.
.
.
0
1
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦ matrizes 푛× 1.
(a) Mostre que se
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎11 푎12 . . . 푎1푛
푎21 푎22 . . . 푎2푛
.
.
. . . .
.
.
.
푎푚1 푎푚2 . . . 푎푚푛
⎤
⎥⎥⎥⎦
e´ uma matriz 푚× 푛, enta˜o 퐴퐸푗 e´ igual a` coluna 푗 da matriz 퐴.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
26 Matrizes e Sistemas Lineares
(b) Mostre que se
퐵 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푏11 푏12 . . . 푏1푚
푏21 푏22 . . . 푏2푚
.
.
. . . .
.
.
.
푏푛1 푏푛2 . . . 푏푛푚
⎤
⎥⎥⎥⎦ ,
e´ uma matriz 푛×푚 enta˜o 퐸푡푖퐵 e´ igual a` linha 푖 da matriz 퐵.
1.1.17. Seja
퐷 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
휆1 0 . . . 0
0 휆2 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 . . . 0 휆푛
⎤
⎥⎥⎥⎦
uma matriz diagonal 푛× 푛, isto e´, os elementos que esta˜o fora da diagonal sa˜o iguais a zero.
Seja
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎11 푎12 . . . 푎1푛
푎21 푎22 . . . 푎2푛
.
.
. . . .
.
.
.
푎푛1 푎푛2 . . . 푎푛푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
(a) Mostre que o produto 퐴퐷 e´ obtido da matriz 퐴 multiplicando-se cada coluna 푗 por 휆푗 , ou
seja, se 퐴 = [ 퐴1 퐴2 . . . 퐴푛 ], em que 퐴푗 =
⎡
⎢⎣ 푎1푗..
.
푎푛푗
⎤
⎥⎦ e´ a coluna 푗 de 퐴, enta˜o
퐴퐷 = [ 휆1퐴1 휆2퐴2 . . . 휆푛퐴푛 ].
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 27
(b) Mostre que o produto 퐷퐴 e´ obtido da matriz 퐴 multiplicando-se cada linha 푖 por 휆푖, ou
seja, se 퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
퐴1
퐴2
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎦, em que 퐴푖 = [ 푎푖1 . . . 푎푖푛 ] e´ a linha 푖 de 퐴, enta˜o
퐷퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
휆1퐴1
휆2퐴2
.
.
.
휆푛퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
1.1.18. Sejam 퐴 e 퐵 matrizes 푚× 푝 e 푝× 푛, respectivamente.
(a) Mostre que a 푗-e´sima coluna do produto 퐴퐵 e´ igual ao produto 퐴퐵푗 , em que 퐵푗 =⎡
⎢⎣ 푏1푗..
.
푏푝푗
⎤
⎥⎦ e´ a 푗-e´sima coluna de 퐵, ou seja, se 퐵 = [ 퐵1 . . . 퐵푛 ], enta˜o
퐴퐵 = 퐴[ 퐵1 . . . 퐵푛 ] = [ 퐴퐵1 . . . 퐴퐵푛 ];
(b) Mostre que a 푖-e´sima linha do produto 퐴퐵 e´ igual ao produto 퐴푖퐵, em que 퐴푖 =
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
28 Matrizes e Sistemas Lineares
[ 푎푖1 . . . 푎푖푝 ] e´ a 푖-e´sima linha de 퐴, ou seja, se 퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
퐴1
퐴2
.
.
.
퐴푚
⎤
⎥⎥⎥⎦, enta˜o
퐴퐵 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
퐴1
퐴2
.
.
.
퐴푚
⎤
⎥⎥⎥⎦퐵 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
퐴1퐵
퐴2퐵
.
.
.
퐴푚퐵
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
1.1.19. Seja 퐴 uma matriz 푚 × 푛 e 푋 =
⎡
⎢⎣ 푥1..
.
푥푛
⎤
⎥⎦ uma matriz 푛 × 1. Prove que
퐴푋 =
푛∑
푗=1
푥푗퐴푗 , em que 퐴푗 e´ a 푗-e´sima coluna de 퐴. (Sugesta˜o: Desenvolva o lado direito e
chegue ao lado esquerdo.)
1.1.20. (a) Mostre que se 퐴 e´ uma matriz 푚× 푛 tal que 퐴푋 = 0¯, para toda matriz 푋 , 푛× 1, enta˜o
퐴 = 0¯. (Sugesta˜o: use o Exercı´cio 16 na pa´gina 25.)
(b) Sejam 퐵 e 퐶 matrizes 푚× 푛, tais 퐵푋 = 퐶푋 , para todo 푋 , 푛× 1. Mostre que 퐵 = 퐶.
(Sugesta˜o: use o item anterior.)
1.1.21. Mostre que a matriz identidade 퐼푛 e´ a u´nica matriz tal que 퐴퐼푛 = 퐼푛퐴 = 퐴 para qualquer
matriz 퐴, 푛 × 푛. (Sugesta˜o: Seja 퐽푛 uma matriz tal que 퐴퐽푛 = 퐽푛퐴 = 퐴. Mostre que
퐽푛 = 퐼푛.)
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 29
1.1.22. Se 퐴퐵 = 퐵퐴 e 푝 e´ um inteiro positivo, mostre que (퐴퐵)푝 = 퐴푝퐵푝.
1.1.23. Sejam 퐴,퐵 e 퐶 matrizes 푛× 푛.
(a) (퐴+ 퐵)2 = 퐴2 + 2퐴퐵 + 퐵2? E se 퐴퐵 = 퐵퐴? Justifique.
(b) (퐴퐵)퐶 = 퐶(퐴퐵)? E se 퐴퐶 = 퐶퐴 e 퐵퐶 = 퐶퐵? Justifique.
(Sugesta˜o: Veja o Exemplo 1.8 na pa´gina 14.)
1.1.24. (a) Se 퐴 e 퐵 sa˜o duas matrizes tais que 퐴퐵 = 0¯, enta˜o 퐴 = 0¯ ou 퐵 = 0¯? Justifique.
(b) Se 퐴퐵 = 0¯, enta˜o 퐵퐴 = 0¯? Justifique.
(c) Se 퐴 e´ uma matriz tal que 퐴2 = 0¯, enta˜o 퐴 = 0¯? Justifique.
1.1.25. Dizemos que uma matriz 퐴, 푛× 푛, e´ sime´trica se 퐴푡 = 퐴 e e´ anti-sime´trica se 퐴푡 = −퐴.
(a) Mostre que se 퐴 e´ sime´trica, enta˜o 푎푖푗 = 푎푗푖, para 푖, 푗 = 1, . . . 푛 e que se 퐴 e´ anti-
sime´trica, enta˜o 푎푖푗 = −푎푗푖, para 푖, 푗 = 1, . . . 푛. Portanto, os elementos da diagonal
principal de uma matriz anti-sime´trica sa˜o iguais a zero.
(b) Mostre que se 퐴 e 퐵 sa˜o sime´tricas,
enta˜o 퐴+퐵 e 훼퐴 sa˜o sime´tricas, para todo escalar
훼.
(c) Mostre que se 퐴 e 퐵 sa˜o sime´tricas, enta˜o 퐴퐵 e´ sime´trica se, e somente se, 퐴퐵 = 퐵퐴.
(d) Mostre que se 퐴 e 퐵 sa˜o anti-sime´tricas, enta˜o 퐴+퐵 e 훼퐴 sa˜o anti-sime´tricas, para todo
escalar 훼.
(e) Mostre que para toda matriz 퐴, 푛× 푛, 퐴+ 퐴푡 e´ sime´trica e 퐴− 퐴푡 e´ anti-sime´trica.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
30 Matrizes e Sistemas Lineares
(f) Mostre que toda matriz quadrada퐴 pode ser escrita como a soma de uma matriz sime´trica
e uma anti-sime´trica. (Sugesta˜o: Observe o resultado da soma de 퐴+ 퐴푡 com 퐴− 퐴푡.)
1.1.26. Para matrizes quadradas 퐴 = (푎푖푗)푛×푛 definimos o trac¸o de 퐴 como sendo a soma dos ele-
mentos da diagonal (principal) de 퐴, ou seja, tr(퐴) =
푛∑
푖=1
푎푖푖.
(a) Mostre que tr(퐴+ 퐵) = tr(퐴) + tr(퐵).
(b) Mostre que tr(훼퐴) = 훼tr(퐴).
(c) Mostre que tr(퐴푡) = tr(퐴).
(d) Mostre que tr(퐴퐵) = tr(퐵퐴). (Sugesta˜o: Prove inicialmente para matrizes 2× 2.)
1.1.27. Seja 퐴 uma matriz 푛× 푛. Mostre que se 퐴퐴푡 = 0¯, enta˜o 퐴 = 0¯. (Sugesta˜o: use o trac¸o.) E se
a matriz 퐴 for 푚× 푛, com 푚 ∕= 푛?
1.1.28. Ja´ vimos que o produto de matrizes na˜o e´ comutativo. Entretanto, certos conjuntos de matrizes
sa˜o comutativos. Mostre que:
(a) Se 퐷1 e 퐷2 sa˜o matrizes diagonais 푛× 푛, enta˜o 퐷1퐷2 = 퐷2퐷1.
(b) Se 퐴 e´ uma matriz 푛× 푛 e
퐵 = 푎0퐼푛 + 푎1퐴+ 푎2퐴
2 + . . .+ 푎푘퐴
푘,
em que 푎0, . . . , 푎푘 sa˜o escalares, enta˜o 퐴퐵 = 퐵퐴.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 31
1.1.29. Uma matriz 퐴 e´ chamada nilpotente se 퐴푘 = 0¯, para algum inteiro positivo 푘. Verifique que a
matriz
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0 1 0 ⋅ ⋅ ⋅ 0
0 0 1 ⋅ ⋅ ⋅ 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 ⋅ ⋅ ⋅ 1
0 0 0 ⋅ ⋅ ⋅ 0
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
푛×푛
,
e´ nilpotente.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
32 Matrizes e Sistemas Lineares
Apeˆndice I: Notac¸a˜o de Somato´rio
Sa˜o va´lidas algumas propriedades para a notac¸a˜o de somato´rio:
(a) O ı´ndice do somato´rio e´ uma varia´vel muda que pode ser substituı´da por qualquer letra:
푛∑
푖=1
푓푖 =
푛∑
푗=1
푓푗.
(b) O somato´rio de uma soma pode ser escrito como uma soma de dois somato´rios:
푛∑
푖=1
(푓푖 + 푔푖) =
푛∑
푖=1
푓푖 +
푛∑
푖=1
푔푖.
Pois,
푛∑
푖=1
(푓푖+푔푖) = (푓1+푔1)+ . . .+(푓푛+푔푛) = (푓1+ . . .+푓푛)+(푔1+ . . .+푔푛) =
푛∑
푖=1
푓푖+
푛∑
푖=1
푔푖.
Aqui foram aplicadas as propriedades associativa e comutativa da soma de nu´meros.
(c) Se no termo geral do somato´rio aparece um produto, em que um fator na˜o depende do ı´ndice
do somato´rio, enta˜o este fator pode “sair” do somato´rio:
푛∑
푖=1
푓푖 푔푘 = 푔푘
푛∑
푖=1
푓푖.
Pois,
푛∑
푖=1
푓푖 푔푘 = 푓1푔푘 + . . . + 푓푛푔푘 = 푔푘(푓1 + . . . + 푓푛) = 푔푘
푛∑
푖=1
푓푖. Aqui foram aplicadas as
propriedades distributiva e comutativa do produto em relac¸a˜o a soma de nu´meros.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 33
(d) Num somato´rio duplo, a ordem dos somato´rios pode ser trocada:
푛∑
푖=1
푚∑
푗=1
푓푖푗 =
푚∑
푗=1
푛∑
푖=1
푓푖푗.
Pois,
푛∑
푖=1
푚∑
푗=1
푓푖푗 =
푛∑
푖=1
(푓푖1+ . . .+ 푓푖푚) = (푓11+ . . .+ 푓1푚)+ . . .+(푓푛1+ . . .+ 푓푛푚) = (푓11+ . . .+
푓푛1) + . . .+ (푓1푚 + . . .+ 푓푛푚) =
푚∑
푗=1
(푓1푗 + . . .+ 푓푛푗) =
푚∑
푗=1
푛∑
푖=1
푓푖푗 . Aqui foram aplicadas as
propriedades comutativa e associativa da soma de nu´meros.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
34 Matrizes e Sistemas Lineares
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Muitos problemas em va´rias a´reas da Cieˆncia recaem na soluc¸a˜o de sistemas lineares. Vamos
ver como a a´lgebra matricial pode simplificar o estudo dos sistemas lineares.
Uma equac¸a˜o linear em 푛 varia´veis 푥1, 푥2, . . . , 푥푛 e´ uma equac¸a˜o da forma
푎1푥1 + 푎2푥2 + . . .+ 푎푛푥푛 = 푏 ,
em que 푎1, 푎2, . . . , 푎푛 e 푏 sa˜o constantes reais;
Um sistema de equac¸o˜es lineares ou simplesmente sistema linear e´ um conjunto de equac¸o˜es
lineares, ou seja, e´ um conjunto de equac¸o˜es da forma⎧⎨
⎩
푎11푥1 + 푎12푥2 + . . . + 푎1푛푥푛 = 푏1
푎21푥1 + 푎22푥2 + . . . + 푎2푛푥푛 = 푏2
.
.
.
.
.
. =
.
.
.
푎푚1푥1 + 푎푚2푥2 + . . . + 푎푚푛푥푛 = 푏푚
em que 푎푖푗 e 푏푘 sa˜o constantes reais, para 푖, 푘 = 1, . . . ,푚 e 푗 = 1, . . . , 푛.
Usando o produto de matrizes que definimos na sec¸a˜o anterior, o sistema linear acima pode ser
escrito como uma equac¸a˜o matricial
퐴푋 = 퐵,
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 35
em que
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎11 푎12 . . . 푎1푛
푎21 푎22 . . . 푎2푛
.
.
. . . .
.
.
.
푎푚1 푎푚2 . . . 푎푚푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ , 푋 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푥1
푥2
.
.
.
푥푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ e 퐵 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푏1
푏2
.
.
.
푏푚
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
Uma soluc¸a˜o de um sistema linear e´ uma matriz 푆 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푠1
푠2
.
.
.
푠푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ tal que as equac¸o˜es do sistema sa˜o
satisfeitas quando substituı´mos 푥1 = 푠1, 푥2 = 푠2, . . . , 푥푛 = 푠푛. O conjunto de todas as soluc¸o˜es do
sistema e´ chamado conjunto soluc¸a˜o ou soluc¸a˜o geral do sistema. A matriz 퐴 e´ chamada matriz
do sistema linear.
Exemplo 1.10. O sistema linear de duas equac¸o˜es e duas inco´gnitas{
푥 + 2푦 = 1
2푥 + 푦 = 0
pode ser escrito como [
1 2
2 1
] [
푥
푦
]
=
[
1
0
]
.
A soluc¸a˜o (geral) do sistema acima e´ 푥 = −1/3 e 푦 = 2/3 (verifique!) ou
푋 =
[ −1
3
2
3
]
.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
36 Matrizes e Sistemas Lineares
Uma forma de resolver um sistema linear e´ substituir o sistema inicial por outro que tenha o mesmo
conjunto soluc¸a˜o do primeiro, mas que seja mais fa´cil de resolver. O outro sistema e´ obtido depois
de aplicar sucessivamente uma se´rie de operac¸o˜es, que na˜o alteram a soluc¸a˜o do sistema, sobre as
equac¸o˜es. As operac¸o˜es que sa˜o usadas sa˜o:
∙ Trocar a posic¸a˜o de duas equac¸o˜es do sistema;
∙ Multiplicar uma equac¸a˜o por um escalar diferente de zero;
∙ Somar a uma equac¸a˜o outra equac¸a˜o multiplicada por um escalar.
Estas operac¸o˜es sa˜o chamadas de operac¸o˜es elementares. Quando aplicamos operac¸o˜es ele-
mentares sobre as equac¸o˜es de um sistema linear somente os coeficientes do sistema sa˜o alterados,
assim podemos aplicar as operac¸o˜es sobre a matriz de coeficientes do sistema, que chamamos de
matriz aumentada, ou seja, a matriz
[퐴 ∣ 퐵] =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎11 푎12 . . . 푎1푛 푏1
푎21 푎22 . . . 푎2푛 푏2
.
.
. . . .
.
.
.
.
.
.
푎푚1 푎푚2 . . . 푎푚푛 푏푚
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 37
Definic¸a˜o 1.5. Uma operac¸a˜o elementar sobre as linhas de uma matriz e´ uma das seguintes
operac¸o˜es:
(a) Trocar a posic¸a˜o de duas linhas da matriz;
(b) Multiplicar uma linha da matriz por um escalar diferente de zero;
(c) Somar a uma linha da matriz um mu´ltiplo escalar de outra linha.
O pro´ximo teorema garante que ao aplicarmos operac¸o˜es elementares a`s equac¸o˜es de um sis-
tema o conjunto soluc¸a˜o na˜o e´ alterado.
Teorema 1.2. Se dois sistemas lineares 퐴푋 = 퐵 e 퐶푋 = 퐷, sa˜o tais que a matriz aumentada
[퐶 ∣ 퐷] e´ obtida de [퐴 ∣ 퐵] aplicando-se uma operac¸a˜o elementar, enta˜o os dois sistemas possuem
as mesmas soluc¸o˜es.
Demonstrac¸a˜o. A demonstrac¸a˜o deste teorema segue-se de duas observac¸o˜es:
(a) Se 푋 e´ soluc¸a˜o de um sistema, enta˜o 푋 tambe´m e´ soluc¸a˜o do sistema obtido aplicando-se
uma operac¸a˜o elementar sobre suas equac¸o˜es (verifique!).
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
38 Matrizes e Sistemas Lineares
(b) Se o sistema 퐶푋 = 퐷, e´ obtido de 퐴푋 = 퐵 aplicando-se uma operac¸a˜o elementar a`s
suas equac¸o˜es (ou equivalentemente a`s linhas da sua matriz aumentada), enta˜o o sistema
퐴푋 = 퐵 tambe´m pode ser obtido de 퐶푋 = 퐷 aplicando-se uma operac¸a˜o elementar a`s suas
equac¸o˜es, pois cada operac¸a˜o elementar possui uma operac¸a˜o elementar inversa do mesmo
tipo, que desfaz o que a anterior fez (verifique!).
Pela observac¸a˜o (b),퐴푋 = 퐵 e퐶푋 = 퐷 podem ser obtidos um do outro aplicando-se uma operac¸a˜o
elementar sobre as suas equac¸o˜es. E pela observac¸a˜o (a), os dois possuem as mesmas soluc¸o˜es.
■
Dois sistemas que possuem o mesmo conjunto soluc¸a˜o sa˜o chamados sistemas equivalentes.
Portanto, segue-se do Teorema 1.2 que aplicando-se operac¸o˜es elementares a`s equac¸o˜es de um
sistema linear obtemos sistemas equivalentes.
1.2.1 Me´todo de Gauss-Jordan
O me´todo que vamos usar para resolver sistemas lineares consiste na aplicac¸a˜o de operac¸o˜es
elementares a`s linhas da matriz aumentada do sistema ate´ que obtenhamos uma matriz numa forma
em que o sistema associado a esta matriz seja de fa´cil resoluc¸a˜o.
Vamos procurar obter uma matriz numa forma em que todas as linhas na˜o nulas possuam como
primeiro elemento na˜o nulo (chamado pivoˆ) o nu´mero 1 . Ale´m disso, se uma coluna conte´m um pivoˆ,
enta˜o todos os seus outros elementos tera˜o que ser iguais a zero. Vamos ver no exemplo seguinte
como conseguimos isso. Neste exemplo veremos como a partir do faturamento e do gasto com
insumos podemos determinar quanto foi produzido de cada produto manufaturado em uma indu´stria.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 39
Exemplo 1.11. Uma indu´stria produz treˆs produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B.
Para a manufatura de cada kg de X sa˜o utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B;
para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 1 grama de insumo B e, para cada kg de Z, 1 grama de
A e 4 gramas de B. O prec¸o de venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z e´ R$ 2,00, R$ 3,00
e R$ 5,00, respectivamente. Com a venda de toda a produc¸a˜o de X, Y e Z manufaturada com 1 kg
de A e 2 kg de B, essa indu´stria arrecadou R$ 2500,00. Vamos determinar quantos kg de cada um
dos produtos X, Y e Z foram vendidos. Como vimos no Exemplo 1.6 na pa´gina 7, usando matrizes o
esquema de produc¸a˜o pode ser descrito da seguinte forma:
X Y Z
gramas de A/kg
gramas de B/kg
prec¸o/kg
⎡
⎣ 1 1 12 1 4
2 3 5
⎤
⎦ = 퐴 푋 =
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ kg de X produzidoskg de Y produzidos
kg de Z produzidos
퐴푋 =
⎡
⎣ 푥+ 푦 + 푧2푥+ 푦 + 4푧
2푥+ 3푦 + 5푧
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 10002000
2500
⎤
⎦ gramas de A usadosgramas de B usados
arrecadac¸a˜o
Assim precisamos resolver o sistema linear⎧⎨
⎩
푥 + 푦 + 푧 = 1000
2푥 + 푦 + 4푧 = 2000
2푥 + 3푦 + 5푧 = 2500
cuja matriz aumentada e´ ⎡
⎣ 1⃝ 1 1 10002 1 4 2000
2 3 5 2500
⎤
⎦
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40 Matrizes e Sistemas Lineares
1a. eliminac¸a˜o:
Vamos procurar para pivoˆ da 1a. linha um elemento na˜o nulo da primeira coluna na˜o nula (se for o caso,
podemos usar a troca de linhas para “trazeˆ-lo” para a primeira linha). Como o primeiro elemento da
primeira coluna e´ igual a 1 ele sera´ o primeiro pivoˆ. Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da
1a. coluna, que e´ a coluna do pivoˆ, para isto, adicionamos a` 2a. linha,−2 vezes a 1a. linha e adicionamos
a` 3a. linha, tambe´m, −2 vezes a 1a. linha.
−2×1a. linha + 2a. linha −→ 2a. linha
−2×1a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha
⎡
⎢⎣ 1 1 1 10000 −1⃝ 2 0
0 1 3 500
⎤
⎥⎦
2a. eliminac¸a˜o:
Olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1a. linha. Escolhemos para pivoˆ um elemento
diferente de zero na 1a. coluna na˜o nula desta sub-matriz. Vamos escolher o elemento de posic¸a˜o 2,2.
Como temos que “fazer” o pivoˆ igual a um, vamos multiplicar a 2a. linha por −1.
−1×2a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎣ 1 1 1 10000 1 −2 0
0 1 3 500
⎤
⎦
Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 2a. coluna, que e´ a coluna do pivoˆ, para isto, soma-
mos a` 1a. linha, −1 vezes a 2a. e somamos a` 3a. linha, tambe´m, −1 vezes a 2a. .
−1×2a. linha + 1a. linha −→ 1a. linha
−1×2a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha
⎡
⎣ 1 0 3 10000 1 −2 0
0 0 5⃝ 500
⎤
⎦
3a. eliminac¸a˜o:
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 41
Olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1a. e a 2a. linha. Escolhemos para pivoˆ um elemento
diferente de zero na 1a. coluna na˜o nula desta sub-matriz. Temos de escolher o elemento de posic¸a˜o
3,3 e como temos de “fazer” o pivoˆ igual a 1, vamos multiplicar a 3a. linha por 1/5.
1
5
×3a. linha −→ 3a. linha
⎡
⎣ 1 0 3 10000 1 −2 0
0 0 1 100
⎤
⎦
Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 3a. coluna, que e´ a coluna do pivoˆ, para isto, soma-
mos a` 1a. linha, −3 vezes a 3a. e somamos a` 2a. linha, 2 vezes a 2a. .
−3×3a. linha + 1a. linha −→ 1a. linha
2×3a. linha + 2a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎣ 1 0 0 7000 1 0 200
0 0 1 100
⎤
⎦
Portanto o sistema dado e´ equivalente ao sistema⎧⎨
⎩
푥 = 700
푦 = 200
푧 = 100
que possui soluc¸a˜o geral dada por
푋 =
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 700200
100
⎤
⎦ .
Portanto, foram vendidos 700 kg do produto X, 200 kg do produto Y e 100 kg do produto Z.
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42 Matrizes e Sistemas Lineares
A u´ltima matriz que obtivemos no exemplo anterior esta´ na forma que chamamos de escalonada
reduzida.
Definic¸a˜o 1.6. Uma matriz 퐴 = (푎푖푗)푚×푛 esta´ na forma escalonada reduzida quando satisfaz as
seguintes condic¸o˜es:
(a) Todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) ocorrem abaixo das linhas na˜o nulas;
(b) O pivoˆ (1o. elemento na˜o nulo de uma linha) de cada linha na˜o nula e´ igual a 1;
(c) O pivoˆ de cada linha na˜o nula ocorre a` direita do pivoˆ da linha anterior.
(d) Se uma coluna conte´m um pivoˆ, enta˜o todos os seus outros elementos sa˜o iguais a zero.
Se uma matriz satisfaz as propriedades (a) e (c), mas na˜o necessariamente (b) e (d), dizemos que
ela esta´ na forma escalonada.
Exemplo 1.12. As matrizes ⎡
⎣ 1 0 00 1 0
0 0 1
⎤
⎦ e
⎡
⎣ 1 3 0 20 0 1 −3
0 0 0 0
⎤
⎦
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 43
sa˜o escalonadas reduzidas, enquanto⎡
⎣ 1 1 10 −1 2
0 0 5
⎤
⎦ e
⎡
⎣ 1 3 −1 50 0 −5 15
0 0 0 0
⎤
⎦
sa˜o escalonadas, mas na˜o sa˜o escalonadas reduzidas.
Este me´todo de resoluc¸a˜o de sistemas, que consiste em aplicar operac¸o˜es elementares a`s linhas
da matriz aumentada ate´ que a matriz do sistema esteja na forma escalonada reduzida, e´ conhecido
como me´todo de Gauss-Jordan.
Exemplo 1.13. Considere o seguinte sistema⎧⎨
⎩
푥 + 3푦 + 13푧 = 9
푦 + 5푧 = 2
−2푦 − 10푧 = −8
A sua matriz aumentada e´ ⎡
⎣ 1⃝ 3 13 90 1 5 2
0 −2 −10 −8
⎤
⎦
1a. eliminac¸a˜o:
Como o pivoˆ da 1a. linha e´ igual a 1 e os outros elementos da 1a. coluna sa˜o iguais a zero, na˜o ha´ nada
o que fazer na 1a. eliminac¸a˜o. ⎡
⎢⎣ 1 3 13 90 1⃝ 5 2
0 −2 −10 −8
⎤
⎥⎦
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44 Matrizes e Sistemas Lineares
2a. eliminac¸a˜o:
Olhamos para submatriz obtida eliminando-se a 1a. linha. Escolhemos para pivoˆ um elemento na˜o
nulo da 1a. coluna na˜o nula da submatriz. Escolhemos o elemento de posic¸a˜o 2,2. Como ele e´ igual a
1, precisamos, agora, “zerar” os outros elementos da coluna do pivoˆ. Para isto somamos a` 1a. linha,
−3 vezes a 2a. e somamos a` 3a. linha, 2 vezes
a 2a. .
−3×2a. linha + 1a. linha −→ 1a. linha
2×2a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha
⎡
⎣ 1 0 −2 30 1 5 2
0 0 0 −4
⎤
⎦
Portanto o sistema dado e´ equivalente ao sistema⎧⎨
⎩
푥 − 2푧 = 3
푦 + 5푧 = 2
0 = −4
que na˜o possui soluc¸a˜o.
Em geral, um sistema linear na˜o tem soluc¸a˜o se, e somente se, a u´ltima linha na˜o nula da forma
escalonada reduzida da sua matriz aumentada for da forma [ 0 . . . 0 ∣ 푏′푚 ], com 푏′푚 ∕= 0.
Exemplo 1.14. Considere o seguinte sistema⎧⎨
⎩
3푧 − 9푤 = 6
5푥 + 15푦 − 10푧 + 40푤 = −45
푥 + 3푦 − 푧 + 5푤 = −7
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 45
A sua matriz aumentada e´ ⎡
⎣ 0 0 3 −9 65 15 −10 40 −45
1⃝ 3 −1 5 −7
⎤
⎦
1a. eliminac¸a˜o:
Como temos que “fazer” o pivoˆ igual a um, escolhemos para pivoˆ o elemento de posic¸a˜o 3,1. Preci-
samos “coloca´-lo” na primeira linha, para isto, trocamos a 3a. linha com a 1a. .
1a. linha ←→ 4a. linha
⎡
⎣ 1⃝ 3 −1 5 −75 15 −10 40 −45
0 0 3 −9 6
⎤
⎦
Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 1a. coluna, que e´ a coluna do pivoˆ, para isto, adici-
onamos a` 2a. linha, −5 vezes a 1a. .
−5×1a. linha + 2a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎢⎣ 1 3 −1 5 −70 0 −5⃝ 15 −10
0 0 3 −9 6
⎤
⎥⎦
2a. eliminac¸a˜o:
Olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1a. linha. Escolhemos para pivoˆ um elemento
diferente de zero na 1a. coluna na˜o nula desta sub-matriz. Escolhemos o elemento de posic¸a˜o 2,3.
Como temos que fazer o pivoˆ igual a 1, multiplicamos a 2a. linha por −1/5.
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46 Matrizes e Sistemas Lineares
−(1/5)×2a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎣ 1 3 −1 5 −70 0 1⃝ −3 2
0 0 3 −9 6
⎤
⎦
Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 2a. coluna, que e´ a coluna do pivoˆ, para isto, adici-
onamos a` 1a. linha a 2a. e a` 3a. linha, −3 vezes a 2a. .
2a. linha + 1a. linha −→ 1a. linha
−3×2a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha
⎡
⎣ 1 3 0 2 −50 0 1 −3 2
0 0 0 0 0
⎤
⎦
Esta matriz e´ escalonada reduzida. Portanto o sistema dado e´ equivalente ao sistema seguinte{
푥 + 3푦 + 2푤 = −5
푧 − 3푤 = 2.
A matriz deste sistema possui duas colunas sem pivoˆs. As varia´veis que na˜o esta˜o associadas
a pivoˆs podem ser consideradas varia´veis livres, isto e´, podem assumir valores arbitra´rios. Neste
exemplo as varia´veis 푦 e 푤 na˜o esta˜o associadas a pivoˆs e podem ser consideradas varia´veis livres.
Sejam 푤 = 훼 e 푦 = 훽. As varia´veis associadas aos pivoˆs tera˜o os seus valores dependentes das
varia´veis livres, 푧 = 2 + 3훼, 푥 = −5− 2훼− 3훽. Assim, a soluc¸a˜o geral do sistema e´
푋 =
⎡
⎢⎢⎣
푥
푦
푧
푤
⎤
⎥⎥⎦ =
⎡
⎢⎢⎣
−5− 2훼− 3훽
훽
2 + 3훼
훼
⎤
⎥⎥⎦ para todos os valores de 훼 e 훽 reais.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 47
Em geral, se o sistema linear tiver soluc¸a˜o e a forma escalonada reduzida da matriz aumentada
possuir colunas sem pivoˆs, as varia´veis que na˜o esta˜o associadas a pivoˆs podem ser consideradas
varia´veis livres, isto e´, podem assumir valores arbitra´rios. As varia´veis associadas aos pivoˆs tera˜o
os seus valores dependentes das varia´veis livres.
Lembramos que o sistema linear na˜o tem soluc¸a˜o se a u´ltima linha na˜o nula da forma escalonada
reduzida da matriz aumentada do sistema for da forma [ 0 . . . 0 ∣ 푏′푚 ], com 푏′푚 ∕= 0, como no Exemplo
1.13 na pa´gina 43.
Observac¸a˜o. Para se encontrar a soluc¸a˜o de um sistema linear na˜o e´ necessa´rio transformar a
matriz aumentada do sistema na sua forma escalonada reduzida, mas se a matriz esta´ nesta forma, o
sistema associado e´ o mais simples possı´vel. Um outro me´todo de resolver sistemas lineares consiste
em, atrave´s da aplicac¸a˜o de operac¸o˜es elementares a` matriz aumentada do sistema, se chegar a uma
matriz que e´ somente escalonada (isto e´, uma matriz que satisfaz as condic¸o˜es (a) e (c), mas na˜o
necessariamente (b) e (d) da Definic¸a˜o 1.6). Este me´todo e´ conhecido como me´todo de Gauss.
O pro´ximo resultado mostra que um sistema linear que tenha mais de uma soluc¸a˜o na˜o pode ter
um nu´mero finito de soluc¸o˜es.
Proposic¸a˜o 1.3. Sejam 퐴 uma matriz 푚 × 푛 e 퐵 uma matriz 푚 × 1. Se o sistema linear 퐴푋 = 퐵
possui duas soluc¸o˜es distintas 푋0 ∕= 푋1, enta˜o ele tem infinitas soluc¸o˜es.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
48 Matrizes e Sistemas Lineares
Demonstrac¸a˜o. Seja
푋휆 = (1− 휆)푋0 + 휆푋1, para 휆 ∈ ℝ.
Vamos mostrar que 푋휆 e´ soluc¸a˜o do sistema 퐴푋 = 퐵, para qualquer 휆 ∈ ℝ. Para isto vamos
mostrar que 퐴푋휆 = 퐵.
Aplicando as propriedades (i), (j) das operac¸o˜es matriciais (Teorema 1.1 na pa´gina 9) obtemos
퐴푋휆 = 퐴[(1− 휆)푋0 + 휆푋1] = 퐴(1− 휆)푋0 + 퐴휆푋1 = (1− 휆)퐴푋0 + 휆퐴푋1
Como 푋0 e 푋1 sa˜o soluc¸o˜es de 퐴푋 = 퐵, enta˜o 퐴푋0 = 퐵 e 퐴푋1 = 퐵, portanto
퐴푋휆 = (1− 휆)퐵 + 휆퐵 = [(1− 휆) + 휆]퐵 = 퐵,
pela propriedade (f) do Teorema 1.1.
Assim o sistema 퐴푋 = 퐵 tem infinitas soluc¸o˜es, pois para todo valor de 휆 ∈ ℝ, 푋휆 e´ soluc¸a˜o e
푋휆−푋휆′ = (휆−휆′)(푋1−푋0), ou seja, 푋휆 ∕= 푋휆′ , para 휆 ∕= 휆′. Observe que para 휆 = 0, 푋휆 = 푋0,
para 휆 = 1, 푋휆 = 푋1, para 휆 = 1/2, 푋휆 = 12푋0 +
1
2
푋1, para 휆 = 3, 푋휆 = −2푋0 + 3푋1 e para
휆 = −2, 푋휆 = 3푋0 − 2푋1.
No Exemplo 3.4 na pa´gina 155 temos uma interpretac¸a˜o geome´trica desta demonstrac¸a˜o. ■
Para resolver sistemas lineares vimos aplicando operac¸o˜es elementares a` matriz aumentada do
sistema linear. Isto pode ser feito com quaisquer matrizes.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 49
1.2.2 Matrizes Equivalentes por Linhas
Definic¸a˜o 1.7. Uma matriz 퐴 = (푎푖푗)푚×푛 e´ equivalente por linhas a uma matriz 퐵 = (푏푖푗)푚×푛, se
퐵 pode ser obtida de 퐴 aplicando-se uma sequ¨eˆncia de operac¸o˜es elementares sobre as suas linhas.
Exemplo 1.15. Observando os Exemplos 1.11, 1.14 e 1.13, vemos que as matrizes⎡
⎣ 1 1 12 1 4
2 3 5
⎤
⎦ ,
⎡
⎣ 0 0 3 −95 15 −10 40
1 3 −1 5
⎤
⎦ ,
⎡
⎣ 1 3 130 1 5
0 −2 −10
⎤
⎦
sa˜o equivalentes por linhas a`s matrizes⎡
⎣ 1 0 00 1 0
0 0 1
⎤
⎦ ,
⎡
⎣ 1 3 0 20 0 1 −3
0 0 0 0
⎤
⎦ ,
⎡
⎣ 1 0 −20 1 5
0 0 0
⎤
⎦ ,
respectivamente. Matrizes estas que sa˜o escalonadas reduzidas.
Cuidado: elas sa˜o equivalentes por linhas, na˜o sa˜o iguais!
A relac¸a˜o “ser equivalente por linhas” satisfaz as seguintes propriedades, cuja verificac¸a˜o deixa-
mos como exercı´cio para o leitor:
∙ Toda matriz e´ equivalente por linhas a ela mesma (reflexividade);
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
50 Matrizes e Sistemas Lineares
∙ Se 퐴 e´ equivalente por linhas a 퐵, enta˜o 퐵 e´ equivalente por linhas a 퐴 (simetria);
∙ Se 퐴 e´ equivalente por linhas a 퐵 e 퐵 e´ equivalente por linhas a 퐶, enta˜o 퐴 e´ equivalente por
linhas a 퐶 (transitividade).
Toda matriz e´ equivalente por linhas a uma matriz na forma escalonada reduzida e a
demonstrac¸a˜o, que omitiremos, pode ser feita da mesma maneira que fizemos no caso particular
das matrizes aumentadas dos Exemplos 1.11, 1.14 e 1.13. No Teorema 5.15 na pa´gina 339 mostra-
mos que essa matriz escalonada reduzida e´ a u´nica matriz na forma escalonada reduzida equivalente
a 퐴.
Teorema 1.4. Toda matriz 퐴 = (푎푖푗)푚×푛 e´ equivalente por linhas a uma u´nica matriz escalonada
reduzida 푅 = (푟푖푗)푚×푛.
O pro´ximo resultado sera´ usado para provar alguns resultados no capı´tulo de inversa˜o de matrizes.
Proposic¸a˜o 1.5. Seja 푅 uma matriz 푛× 푛, na forma escalonada reduzida. Se 푅 ∕= 퐼푛, enta˜o 푅 tem
uma linha nula.
Demonstrac¸a˜o. Observe que o pivoˆ de uma linha 푖 esta´ sempre numa coluna 푗 com 푗 ≥ 푖. Portanto,
ou a u´ltima linha de 푅 e´ nula ou o pivoˆ da linha 푛 esta´ na
posic¸a˜o 푛, 푛. Mas, neste caso todas as
linhas anteriores sa˜o na˜o nulas e os pivoˆs de cada linha 푖 esta´ na coluna 푖, ou seja, 푅 = 퐼푛. ■
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 51
1.2.3 Sistemas Lineares Homogeˆneos
Um sistema linear da forma⎧⎨
⎩
푎11푥1 + 푎12푥2 + . . . + 푎1푛푥푛 = 0
푎21푥1 + 푎22푥2 + . . . + 푎2푛푥푛 = 0
.
.
.
.
.
. =
.
.
.
푎푚1푥1 + 푎푚2푥2 + . . . + 푎푚푛푥푛 = 0
(1.7)
e´ chamado sistema homogeˆneo. O sistema (1.7) pode ser escrito como 퐴푋 = 0¯. Todo sistema
homogeˆneo admite pelo menos a soluc¸a˜o 푋 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푥1
푥2
.
.
.
푥푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ =
⎡
⎢⎢⎢⎣
0
0
.
.
.
0
⎤
⎥⎥⎥⎦ chamada de soluc¸a˜o trivial.
Portanto, todo sistema homogeˆneo tem soluc¸a˜o. Ale´m disso ou tem somente a soluc¸a˜o trivial ou tem
infinitas soluc¸o˜es
Observac¸a˜o. Para resolver um sistema linear homogeˆneo 퐴푋 = 0¯, basta escalonarmos a matriz 퐴
do sistema, ja´ que sob a ac¸a˜o de uma operac¸a˜o elementar a coluna de zeros na˜o e´ alterada. Mas, e´
preciso ficar atento quando se escreve o sistema linear associado a` matriz resultante das operac¸o˜es
elementares, para se levar em considerac¸a˜o esta coluna de zeros que na˜o vimos escrevendo.
Teorema 1.6. Se 퐴 = (푎푖푗)푚×푛, e´ tal que 푚 < 푛, enta˜o o sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯ tem soluc¸a˜o
diferente da soluc¸a˜o trivial, ou seja, todo sistema homogeˆneo com menos equac¸o˜es do que inco´gnitas
tem infinitas soluc¸o˜es.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
52 Matrizes e Sistemas Lineares
Demonstrac¸a˜o. Como o sistema tem menos equac¸o˜es do que inco´gnitas (푚 < 푛), o nu´mero de
linhas na˜o nulas 푟 da forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema tambe´m e´ tal que
푟 < 푛. Assim, temos 푟 pivoˆs e 푛−푟 varia´veis (inco´gnitas) livres, que podem assumir todos os valores
reais. Logo, o sistema admite soluc¸a˜o na˜o trivial e portanto infinitas soluc¸o˜es. ■
O conjunto soluc¸a˜o de um sistema linear homogeˆneo satisfaz duas propriedades interessantes.
Estas propriedades tera˜o um papel decisivo no estudo de subespac¸os de ℝ푛 na Sec¸a˜o 5.2 na pa´gina
308.
Proposic¸a˜o 1.7. Seja 퐴 = (푎푖푗)푚×푛.
(a) Se 푋 e 푌 sa˜o soluc¸o˜es do sistema homogeˆneo, 퐴푋 = 0¯, enta˜o 푋 + 푌 tambe´m o e´.
(b) Se 푋 e´ soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo, 퐴푋 = 0¯, enta˜o 훼푋 tambe´m o e´.
Demonstrac¸a˜o. (a) Se 푋 e 푌 sa˜o soluc¸o˜es do sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯, enta˜o 퐴푋 = 0¯ e
퐴푌 = 0¯ e portanto 푋 + 푌 tambe´m e´ soluc¸a˜o pois, 퐴(푋 + 푌 ) = 퐴푋 + 퐴푌 = 0¯ + 0¯ = 0¯;
(b) Se 푋 e´ soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯, enta˜o 훼푋 tambe´m o e´, pois 퐴(훼푋) =
훼퐴푋 = 훼0¯ = 0¯.
■
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 53
Estas propriedades na˜o sa˜o va´lidas para sistemas lineares em geral. Por exemplo, considere o
sistema linear 퐴푋 = 퐵, em que 퐴 = [1] e 퐵 = [1]. A soluc¸a˜o deste sistema e´ 푋 = [1]. Mas,
푋 +푋 = 2푋 = 2, na˜o e´ soluc¸a˜o do sistema.
Exemplo 1.16. Vamos retomar a cadeia de Markov do Exemplo 1.9 na pa´gina 16. Vamos supor que
uma populac¸a˜o e´ dividida em treˆs estados (por exemplo: ricos, classe me´dia e pobres) e que em cada
unidade de tempo a probabilidade de mudanc¸a de um estado para outro seja constante no tempo, so´
dependa dos estados.
Seja 푡푖푗 a probabilidade de mudanc¸a do estado 푗 para o estado 푖 em uma unidade de tempo
(gerac¸a˜o). A matriz de transic¸a˜o e´ dada por
푇 =
1⃝ 2⃝ 3⃝⎡
⎣ 푡11 푡12 푡13푡21 푡22 푡23
푡31 푡32 푡33
⎤
⎦ 1⃝2⃝
3⃝
Vamos considerar a matriz de transic¸a˜o
푇 =
1⃝ 2⃝ 3⃝⎡
⎢⎣
1
2
1
4
0
1
2
1
2
1
2
0 1
4
1
2
⎤
⎥⎦ 1⃝2⃝
3⃝
Vamos descobrir qual distribuic¸a˜o inicial da populac¸a˜o entre os treˆs estados permanece inalterada,
gerac¸a˜o apo´s gerac¸a˜o. Ou seja, vamos determinar um vetor de estado 푃 tal que
푇푃 = 푃 ou 푇푃 = 퐼3푃 ou (푇 − 퐼3)푃 = 0¯.
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54 Matrizes e Sistemas Lineares
Assim precisamos resolver o sistema linear homogeˆneo
(푇 − 퐼3)푋 = 0¯ ⇔
⎧⎨
⎩
−1
2
푥 + 1
4
푦 = 0
1
2
푥 − 1
2
푦 + 1
2
푧 = 0
1
4
푦 − 1
2
푧 = 0
cuja matriz aumentada e´ ⎡
⎢⎣ −
1
2
1
4
0 0
1
2
−1
2
1
2
0
0 1
4
−1
2
0
⎤
⎥⎦
1a. eliminac¸a˜o:
−2×1a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎢⎣ 1 −
1
2
0 0
1
2
−1
2
1
2
0
0 1
4
−1
2
0
⎤
⎥⎦
−1
2
×1a. linha + 2a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎢⎣ 1 −
1
2
0 0
0 −1
4
1
2
0
0 1
4
−1
2
0
⎤
⎥⎦
2a. eliminac¸a˜o:
−4×2a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎣ 1 −12 0 00 1 −2 0
0 1
4
−1
2
0
⎤
⎦
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 55
1
2
×2a. linha + 1a. linha −→ 1a. linha
−1
4
×2a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha
⎡
⎣ 1 0 −1 00 1 −2 0
0 0 0 0
⎤
⎦
Portanto o sistema dado e´ equivalente ao sistema seguinte{
푥 − 푧 = 0
푦 − 2푧 = 0
Seja 푧 = 훼. Enta˜o 푦 = 2훼 e 푥 = 훼. Assim, a soluc¸a˜o geral do sistema e´
푋 =
⎡
⎣ 푝1푝2
푝3
⎤
⎦ = 훼
⎡
⎣ 12
1
⎤
⎦ , para todo 훼 ∈ ℝ.
Tomando a soluc¸a˜o tal que 푝1 + 푝2 + 푝3 = 1 obtemos que se a populac¸a˜o inicial for distribuı´da de
forma que 푝1 = 1/4 da populac¸a˜o esteja no estado 1, 푝2 = 1/2 da populac¸a˜o esteja no estado 2 e
푝3 = 1/4, esteja no estado 3, enta˜o esta distribuic¸a˜o permanecera´ constante gerac¸a˜o apo´s gerac¸a˜o.
1.2.4 Matrizes Elementares (opcional)
Definic¸a˜o 1.8. Uma matriz elementar 푛×푛 e´ uma matriz obtida da matriz identidade 퐼푛 aplicando-se
uma, e somente uma, operac¸a˜o elementar.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
56 Matrizes e Sistemas Lineares
Vamos denotar por 퐸푖푗 a matriz elementar obtida trocando-se a linha 푖 com a linha 푗 da matriz 퐼푛,
퐸푖(훼) a matriz elementar obtida multiplicando-se a linha 푖 da matriz 퐼푛 pelo escalar 훼 ∕= 0 e 퐸푖,푗(훼)
a matriz elementar obtida da matriz 퐼푛, somando-se a` linha 푗, 훼 vezes a linha 푖.
퐸푖,푗 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0
0
.
.
. ⋅
⋅ 1 ⋅
⋅ 0 . . . 1 ⋅
⋅
.
.
.
.
.
.
.
.
. ⋅
⋅ 1 . . . 0 ⋅
⋅ 1 ⋅
⋅
.
.
. 0
0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0 1
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
← 푖
←푗
, 퐸푖(훼) =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0
0
.
.
. ⋅
⋅ 1 ⋅
⋅ 훼 ⋅
⋅ 1 ⋅
⋅ . . . 0
0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0 1
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
← 푖
e 퐸푖,푗(훼) =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0
0
.
.
. ⋅
⋅ 1 ⋅
⋅ ... . . . ⋅
⋅ 훼 . . . 1 ⋅
⋅ . . . 0
0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0 1
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
← 푖
←푗
Exemplo 1.17. As matrizes seguintes sa˜o as matrizes elementares 2× 2:
퐸1,2 = 퐸2,1 =
[
0 1
1 0
]
, 퐸1(훼) =
[
훼 0
0 1
]
, 퐸2(훼) =
[
1 0
0 훼
]
, com 훼 ∕= 0,
퐸1,2(훼) =
[
1 0
훼 1
]
e 퐸2,1(훼) =
[
1 훼
0 1
]
.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 57
Sejam 퐸1 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
1
0
.
.
.
0
⎤
⎥⎥⎥⎦ , 퐸2 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
0
1
.
.
.
0
⎤
⎥⎥⎥⎦,. . . , 퐸푛 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
0
0
.
.
.
1
⎤
⎥⎥⎥⎦ matrizes 푚× 1.
As matrizes elementares podem ser escritas em termos das matrizes 퐸푖 como
퐸푖,푗 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐸푡1
.
.
.
퐸푡푗
.
.
.
퐸푡푖
.
.
.
퐸푡푚
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
← 푖
←푗
, 퐸푖(훼) =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐸푡1
.
.
.
훼퐸푡푖
.
.
.
퐸푡푚
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦← 푖 e 퐸푖,푗(훼) =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐸푡1
.
.
.
퐸푡푖
.
.
.
퐸푡푗 + 훼퐸
푡
푖
.