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um curso de geometria analitica e álgebra linear.pdf
UM CURSO DE
GEOMETRIA ANAL´ITICA E ´ALGEBRA LINEAR
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matema´tica-ICEx
Universidade Federal de Minas Gerais
http://www.mat.ufmg.br/˜regi
Julho 2009
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear
Copyright c⃝ 2009 by Reginaldo de Jesus Santos (091118)
´E proibida a reproduc¸a˜o desta publicac¸a˜o, ou parte dela, por qualquer meio, sem a pre´via
autorizac¸a˜o, por escrito, do autor.
Editor, Coordenador de Revisa˜o, Supervisor de Produc¸a˜o, Capa e Ilustrac¸o˜es:
Reginaldo J. Santos
ISBN 85-7470-006-1
Ficha Catalogra´fica
Santos, Reginaldo J.
S237u Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear / Reginaldo J. Santos
- Belo Horizonte: Imprensa Universita´ria da UFMG, 2009.
1. ´Algebra Linear 2. Geometria Analı´tica I. Tı´tulo
CDD: 512.5
516.3
Conteu´do
Prefa´cio vii
1 Matrizes e Sistemas Lineares 1
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Operac¸o˜es com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Propriedades da ´Algebra Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Aplicac¸a˜o: Cadeias de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Apeˆndice I: Notac¸a˜o de Somato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.2.1 Me´todo de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.2.2 Matrizes Equivalentes por Linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.2.3 Sistemas Lineares Homogeˆneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.2.4 Matrizes Elementares (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
iii
iv Conteu´do
2 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes 75
2.1 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.1.1 Propriedades da Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.1.2 Matrizes Elementares e Inversa˜o (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.1.3 Me´todo para Inversa˜o de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.1.4 Aplicac¸a˜o: Interpolac¸a˜o Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.1.5 Aplicac¸a˜o: Criptografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.2.1 Propriedades do Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.2.2 Matrizes Elementares e o Determinante (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . 126
Apeˆndice II: Demonstrac¸a˜o do Teorema 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3 Vetores no Plano e no Espac¸o 139
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.2 Produtos de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.2.1 Norma e Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.2.2 Projec¸a˜o Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3.2.3 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
3.2.4 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Apeˆndice III: Demonstrac¸a˜o do item (e) do Teorema 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4 Retas e Planos 213
4.1 Equac¸o˜es de Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4.1.1 Equac¸o˜es do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4.1.2 Equac¸o˜es da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
4.2 ˆAngulos e Distaˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
Conteu´do v
4.2.1 ˆAngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
4.2.2 Distaˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
5 Espac¸os ℝ푛 278
5.1 Independeˆncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
5.1.1 Os Espac¸os ℝ푛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
5.1.2 Combinac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
5.1.3 Independeˆncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
5.1.4 Posic¸o˜es Relativas de Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
5.2 Subespac¸os, Base e Dimensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
Apeˆndice IV: Outros Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
5.3 Produto Escalar em ℝ푛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
5.3.1 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
5.3.2 Bases Ortogonais e Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
5.4 Mudanc¸a de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
5.4.1 Rotac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
5.4.2 Translac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
5.4.3 Aplicac¸a˜o: Computac¸a˜o Gra´fica - Projec¸a˜o Ortogra´fica . . . . . . . . . . . . . 370
6 Diagonalizac¸a˜o 382
6.1 Diagonalizac¸a˜o de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
6.1.1 Motivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
6.1.2 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
6.1.3 Diagonalizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
6.2 Diagonalizac¸a˜o de Matrizes Sime´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
6.2.1 Motivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
vi Conteu´do
6.2.2 Matrizes Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
Apeˆndice V: Autovalores Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
6.3 Aplicac¸a˜o: Identificac¸a˜o de Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
6.3.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
6.3.2 Hipe´rbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
6.3.3 Para´bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
Respostas dos Exercı´cios 474
Bibliografia 656
´Indice Alfabe´tico 661
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
Prefa´cio
Este texto cobre o material para um curso de um semestre de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear
ministrado nos primeiros semestres para estudantes da a´rea de Cieˆncias Exatas. O texto pode, mas
na˜o e´ necessa´rio, ser acompanhado de um programa como o MATLABⓇ ∗, SciLab ou o Maxima.
O conteu´do e´ dividido em seis capı´tulos. O Capı´tulo 1 trata das matrizes e sistemas lineares. Aqui
todas as propriedades da a´lgebra matricial sa˜o demonstradas. A resoluc¸a˜o de sistemas lineares e´
feita usando somente o me´todo de Gauss-Jordan (transformando a matriz ate´ que ela esteja na forma
escalonada reduzida). Este me´todo requer mais trabalho do que o me´todo de Gauss (transformando a
matriz, apenas, ate´ que ela esteja na forma escalonada). Ele foi o escolhido, por que tambe´m e´
usado
no estudo da inversa˜o de matrizes no Capı´tulo 2. Neste Capı´tulo e´ tambe´m estudado o determinante,
que e´ definido usando cofatores. As demonstrac¸o˜es dos resultados deste capı´tulo podem ser, a
crite´rio do leitor, feitas somente para matrizes 3× 3.
O Capı´tulo 3 trata de vetores no plano e no espac¸o. Os vetores sa˜o definidos de forma geome´trica,
assim como a soma e a multiplicac¸a˜o por escalar. Sa˜o provadas algumas propriedades geometrica-
∗MATLABⓇ e´ marca registrada de The Mathworks, Inc.
vii
viii Conteu´do
mente. Depois sa˜o introduzidos sistemas de coordenadas de forma natural sem a necessidade da
definic¸a˜o de base. Os produtos escalar e vetorial sa˜o definidos tambe´m geometricamente. O Capı´tulo
4 trata de retas e planos no espac¸o. Sa˜o estudados aˆngulos e distaˆncias entre retas e planos.
O Capı´tulo 5 cobre a teoria dos espac¸os euclidianos. O conceito de dependeˆncia e independeˆncia
linear e´ introduzido de forma alge´brica, acompanhado da interpretac¸a˜o geome´trica para os casos de
ℝ
2 e ℝ3. Aqui sa˜o estudadas as posic¸o˜es relativas de retas e planos como uma aplicac¸a˜o do conceito
de dependeˆncia linear. Sa˜o tambe´m tratados os conceitos de geradores e de base de subespac¸os.
Sa˜o abordados tambe´m o produto escalar e bases ortonormais. O Capı´tulo e´ terminado com mudanc¸a
de coordenadas preparando para o Capı´tulo de diagonalizac¸a˜o.
O Capı´tulo 6 traz um estudo da diagonalizac¸a˜o de matrizes em geral e diagonalizac¸a˜o de matrizes
sime´tricas atrave´s de um matriz ortogonal. ´E feita uma aplicac¸a˜o ao estudo das sec¸o˜es coˆnicas.
Os exercı´cios esta˜o agrupados em treˆs classes. Os “Exercı´cios Nume´ricos”, que conte´m
exercı´cios que sa˜o resolvidos fazendo ca´lculos, que podem ser realizados sem a ajuda de um com-
putador ou de uma ma´quina de calcular. Os “Exercı´cios Teo´ricos”, que conte´m exercı´cios que reque-
rem demonstrac¸o˜es. Alguns sa˜o simples, outros sa˜o mais complexos. Os mais difı´ceis complemen-
tam a teoria e geralmente sa˜o acompanhados de sugesto˜es. Os “Exercı´cios usando o MATLABⓇ”,
que conte´m exercı´cios para serem resolvidos usando o MATLABⓇ ou outro software. Os comandos
necessa´rios a resoluc¸a˜o destes exercı´cios sa˜o tambe´m fornecidos juntamente com uma explicac¸a˜o
ra´pida do uso. Os exercı´cios nume´ricos sa˜o imprescindı´veis, enquanto a resoluc¸a˜o dos outros, de-
pende do nı´vel e dos objetivos pretendidos para o curso.
O MATLABⓇ e´ um software destinado a fazer ca´lculos com matrizes (MATLABⓇ = MATrix LABo-
ratory). Os comandos do MATLABⓇ sa˜o muito pro´ximos da forma como escrevemos expresso˜es
alge´bricas, tornando mais simples o seu uso. Podem ser incorporados a`s func¸o˜es pre´-definidas,
pacotes de func¸o˜es para tarefas especı´ficas. Um pacote chamado gaal com func¸o˜es que sa˜o direci-
onadas para o estudo de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear pode ser obtido na web na pa´gina do
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
Prefa´cio ix
autor, assim como um texto com uma introduc¸a˜o ao MATLABⓇ e instruc¸o˜es de como instalar o pacote
gaal. O MATLABⓇ na˜o e´ um software gratuito, embora antes a versa˜o estudante vinha gra´tis ao se
comprar o guia do usua´rio. Atualmente o SciLab e´ uma alternativa gratuita, mas que na˜o faz ca´lculo
simbo´lico. O Maxima e´ um programa de computac¸a˜o alge´brica gratuito. Ambos podem ser usados
como ferramenta auxiliar na aprendizagem de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear. Na pa´gina do
autor na web podem ser encontrados pacotes de func¸o˜es para estes programas ale´m de links para as
pa´ginas do SciLab e do Maxima e va´rias pa´ginas interativas que podem auxiliar na aprendizagem.
No fim de cada capı´tulo temos um “Teste do Capı´tulo” para que o aluno possa avaliar os seus
conhecimentos. Os Exercı´cios Nume´ricos e os Exercı´cios usando o MATLABⓇ esta˜o resolvidos apo´s
o u´ltimo capı´tulo utilizando o MATLABⓇ. Desta forma o leitor que na˜o estiver interessado em usar o
software pode obter apenas as respostas dos exercı´cios, enquanto aquele que tiver algum interesse,
pode ficar sabendo como os exercı´cios poderiam ser resolvidos fazendo uso do MATLABⓇ e do pacote
gaal.
Gostaria de agradecer aos professores que colaboraram apresentando correc¸o˜es, crı´ticas e su-
gesto˜es, entre eles Joana Darc A. S. da Cruz, Francisco Dutenhefner, Jorge Sabatucci, Seme Gebara,
Alexandre Washington, Vivaldo R. Filho, Hamilton P. Bueno, Paulo A. F. Machado, Helder C. Rodri-
gues, Nikolai A. Goussevskii, Israel Vainsencher, Leopoldo G. Fernandes, Rodney J. Biezuner, Wilson
D. Barbosa, Flaviana A. Ribeiro, Cristina Marques, Roge´rio S. Mol, Denise Burgarelli, Paulo C. de
Lima, Jose´ Barbosa Gomes, Francisco Satuf, Viktor Beckkert, Moacir G. dos Anjos, Daniel C. de
Morais Filho, Michel Spira, Dan Avritzer, Maria Laura M. Gomes, Armando Neves, Maria Cristina C.
Ferreira e Kennedy Pedroso.
Histo´rico
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
x Prefa´cio
Julho 2009 Algumas correc¸o˜es. Va´rias figuras foram refeitas.
Julho 2007 Algumas correc¸o˜es. As respostas de alguns exercı´cios foram reescritas.
Marc¸o 2007 Va´rias figuras foram refeitas e outras acrescentadas. Foram reescritos o Exemplo 3.12 e
o Corola´rio 3.10. Na sec¸a˜o 5.2 um exemplo foi reescrito e acrescentado mais um. Os Exemplos
5.25 e 5.26 foram reescritos, saı´ram do apeˆndice e voltaram ao texto normal. A sec¸a˜o 5.4 de
Mudanc¸a de Coordenadas foi reescrita e acrescentada uma aplicac¸a˜o a` computac¸a˜o gra´fica.
Foram acrescentados dois exercı´cios na sec¸a˜o de Matrizes, um na de Inversa˜o de Matrizes, um
na sec¸a˜o de Determinantes, dois na de Produto de Vetores, um na de Subespac¸os, um na de
Produto Escalar em ℝ푛, treˆs na de Mudanc¸a de Coordenadas, quatro na de Diagonalizac¸a˜o e
um na de Diagonalizac¸a˜o de Matrizes Sime´tricas. Foram corrigidos alguns erros.
Julho 2006 Foi acrescentado o Exemplo 2.16 na pa´gina 122. A sec¸a˜o 3.2 ’Produtos de Vetores’
foi reescrita. Foi acrescentado um exercı´cio na sec¸a˜o 4.2. O Capı´tulo 5 foi reescrito. Foram
corrigidos alguns erros.
Marc¸o 2006 A Sec¸a˜o 1.1 de Matrizes e a Sec¸a˜o 2.2 de Determinantes foram reescritas. Na sec¸a˜o 1.2
o Teorema 1.4 voltou a ser que toda matriz e´ equivalente por linhas a uma u´nica matriz na forma
escalonada reduzida. Foram acrescentados va´rios exercı´cios aos Capı´tulos 3 e 4. O Capı´tulo
5 foi reescrito. Foram acrescentados exercı´cios teo´ricos a` sec¸a˜o ’Aplicac¸a˜o a` Coˆnicas’.
Julho 2004 Foram acrescentadas aplicac¸o˜es a` criptografia (Exemplo na pa´gina 96) e a cadeias de
Markov (Exemplos 1.9 na pa´gina 16, 1.16 na pa´gina 53 e 6.8 na pa´gina 402). Foi acrescentado
um exercı´cio na sec¸a˜o 1.1. O Teorema 1.4 agora conte´m as propriedades da relac¸a˜o “ser
equivalente por linhas” com a demonstrac¸a˜o. O que antes era Exemplo 1.14 passou para o
lugar do Exemplo 1.10. O Exemplo 2.5 foi modificado. No Capı´tulo 3 foram acrescentados 2
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
Prefa´cio xi
exercı´cios na sec¸a˜o 3.1, 1 exercı´cio na sec¸a˜o 3.2. No Capı´tulo 4 a sec¸a˜o 4.1 foi reescrita e
foram acrescentados 2 exercı´cios. O Capı´tulo 5 foi reescrito. Foi incluı´da no Apeˆndice III da
sec¸a˜o 5.2. a demonstrac¸a˜o de que a forma escalonada reduzida de uma matriz e´ u´nica. A
sec¸a˜o ’Diagonalizac¸a˜o de Matrizes’ ganhou mais um exercı´cio teo´rico.
Setembro 2003 Foi acrescentada a regra de Cramer na sec¸a˜o ’Determinantes’ (Exemplo 2.20). A
sec¸a˜o ’Subespac¸os, Base e Dimensa˜o’ foi reescrita. Foi acrescentado um apeˆndice a esta
sec¸a˜o com ’Outros resultados’. A Proposic¸a˜o 5.15 da sec¸a˜o ’Produto Escalar em ℝ푛 foi re-
escrita. A sec¸a˜o ’Diagonalizac¸a˜o de Matrizes’ ganhou mais dois exercı´cios teo´ricos. A sec¸a˜o
’Diagonalizac¸a˜o de Matrizes Sime´tricas’ ganhou
um apeˆndice sobre ’Autovalores Complexos’.
Novembro 2002 Va´rias correc¸o˜es incluindo respostas de exercı´cios. A sec¸a˜o ’Subespac¸os, Base
e Dimensa˜o’ ganhou mais um exemplo e um exercı´cio. A sec¸a˜o ’Diagonalizac¸a˜o de Matrizes
Sime´tricas’ ganhou mais um exemplo.
Julho 2001 Revisa˜o completa no texto. Novos exercı´cios nas sec¸o˜es ’Matrizes’ e ’Sistemas Lineares’.
As sec¸o˜es ’Subespac¸os’ e ’Base e Dimensa˜o’ tornaram-se uma so´. A sec¸a˜o ’Mudanc¸a de
Coordenadas’ passou do Capı´tulo 6 para o Capı´tulo 5.
Julho 2000 Criado a partir do texto ’Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear’ para ser usado numa
disciplina de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear.
Sugesta˜o de Cronograma
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
xii Prefa´cio
Capı´tulo 1 8 aulas
Capı´tulo 2 8 aulas
Capı´tulo 3 8 aulas
Capı´tulo 4 8 aulas
Capı´tulo 5 16 (12) aulas
Capı´tulo 6 12 aulas
Total 60 (56) aulas
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
Capı´tulo 1
Matrizes e Sistemas Lineares
1.1 Matrizes
Uma matriz 퐴, 푚×푛 (푚 por 푛), e´ uma tabela de 푚푛 nu´meros dispostos em 푚 linhas e 푛 colunas
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎11 푎12 . . . 푎1푛
푎21 푎22 . . . 푎2푛
.
.
. . . .
.
.
.
푎푚1 푎푚2 . . . 푎푚푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
A 푖-e´sima linha de 퐴 e´ [
푎푖1 푎푖2 . . . 푎푖푛
]
,
1
2 Matrizes e Sistemas Lineares
para 푖 = 1, . . . ,푚 e a 푗-e´sima coluna de 퐴 e´⎡
⎢⎢⎢⎣
푎1푗
푎2푗
.
.
.
푎푚푗
⎤
⎥⎥⎥⎦ ,
para 푗 = 1, . . . , 푛. Usamos tambe´m a notac¸a˜o 퐴 = (푎푖푗)푚×푛. Dizemos que 푎푖푗 ou [퐴]푖푗 e´ o elemento
ou a entrada de posic¸a˜o 푖, 푗 da matriz 퐴.
Se 푚 = 푛, dizemos que 퐴 e´ uma matriz quadrada de ordem 푛 e os elementos 푎11, 푎22, . . . , 푎푛푛
formam a diagonal (principal) de 퐴.
Exemplo 1.1. Considere as seguintes matrizes:
퐴 =
[
1 2
3 4
]
, 퐵 =
[ −2 1
0 3
]
, 퐶 =
[
1 3 0
2 4 −2
]
,
퐷 =
[
1 3 −2 ] , 퐸 =
⎡
⎣ 14
−3
⎤
⎦ e 퐹 = [ 3 ] .
As matrizes 퐴 e 퐵 sa˜o 2 × 2. A matriz 퐶 e´ 2 × 3, 퐷 e´ 1 × 3, 퐸 e´ 3 × 1 e 퐹 e´ 1 × 1. De acordo
com a notac¸a˜o que introduzimos, exemplos de elementos de algumas das matrizes dadas acima sa˜o
푎12 = 2, 푐23 = −2, 푒21 = 4, [퐴]22 = 4, [퐷]12 = 3.
Uma matriz que so´ possui uma linha e´ chamada matriz linha, e uma matriz que so´ possui uma
coluna e´ chamada matriz coluna, No Exemplo 1.1 a matriz 퐷 e´ uma matriz linha e a matriz 퐸 e´ uma
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 3
matriz coluna. Matrizes linha e matrizes coluna sa˜o chamadas de vetores. O motivo ficara´ claro na
Sec¸a˜o 5.1 na pa´gina 278.
Dizemos que duas matrizes sa˜o iguais se elas teˆm o mesmo tamanho e os elementos correspon-
dentes sa˜o iguais, ou seja, 퐴 = (푎푖푗)푚×푛 e 퐵 = (푏푖푗)푝×푞 sa˜o iguais se 푚 = 푝, 푛 = 푞 e 푎푖푗 = 푏푖푗
para 푖 = 1, . . . ,푚 e 푗 = 1, . . . , 푛.
Vamos definir operac¸o˜es matriciais ana´logas a`s operac¸o˜es com nu´meros e provar propriedades
que sa˜o va´lidas para essas operac¸o˜es. Veremos, mais tarde, que um sistema de equac¸o˜es lineares
pode ser escrito em termos de uma u´nica equac¸a˜o matricial.
Vamos, agora, introduzir as operac¸o˜es matriciais.
1.1.1 Operac¸o˜es com Matrizes
Definic¸a˜o 1.1. A soma de duas matrizes de mesmo tamanho 퐴 = (푎푖푗)푚×푛 e 퐵 = (푏푖푗)푚×푛 e´
definida como sendo a matriz 푚× 푛
퐶 = 퐴+ 퐵
obtida somando-se os elementos correspondentes de 퐴 e 퐵, ou seja,
푐푖푗 = 푎푖푗 + 푏푖푗 ,
para 푖 = 1, . . . ,푚 e 푗 = 1, . . . , 푛. Escrevemos tambe´m [퐴+ 퐵]푖푗 = 푎푖푗 + 푏푖푗 .
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
4 Matrizes e Sistemas Lineares
Exemplo 1.2. Considere as matrizes:
퐴 =
[
1 2 −3
3 4 0
]
, 퐵 =
[ −2 1 5
0 3 −4
]
Se chamamos de 퐶 a soma das duas matrizes 퐴 e 퐵, enta˜o
퐶 = 퐴+ 퐵 =
[
1 + (−2) 2 + 1 −3 + 5
3 + 0 4 + 3 0 + (−4)
]
=
[ −1 3 2
3 7 −4
]
Definic¸a˜o 1.2. A multiplicac¸a˜o de uma matriz 퐴 = (푎푖푗)푚×푛 por um escalar (nu´mero) 훼 e´ definida
pela matriz 푚× 푛
퐵 = 훼퐴
obtida multiplicando-se cada elemento da matriz 퐴 pelo escalar 훼, ou seja,
푏푖푗 = 훼 푎푖푗 ,
para 푖 = 1, . . . ,푚 e 푗 = 1, . . . , 푛. Escrevemos tambe´m [훼퐴]푖푗 = 훼 푎푖푗 . Dizemos que a matriz 퐵 e´
um mu´ltiplo escalar da matriz 퐴.
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1.1 Matrizes 5
Exemplo 1.3. O produto da matriz 퐴 =
⎡
⎣ −2 10 3
5 −4
⎤
⎦ pelo escalar −3 e´ dado por
−3퐴 =
⎡
⎣ (−3)(−2) (−3) 1(−3) 0 (−3) 3
(−3) 5 (−3)(−4)
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 6 −30 −9
−15 12
⎤
⎦ .
Definic¸a˜o 1.3. O produto de duas matrizes, tais que o nu´mero de colunas da primeira matriz e´
igual ao nu´mero de linhas da segunda, 퐴 = (푎푖푗)푚×푝 e 퐵 = (푏푖푗)푝×푛 e´ definido pela matriz 푚× 푛
퐶 = 퐴퐵
obtida da seguinte forma:
푐푖푗 = 푎푖1푏1푗 + 푎푖2푏2푗 + . . .+ 푎푖푝푏푝푗, (1.1)
para 푖 = 1, . . . ,푚 e 푗 = 1, . . . , 푛. Escrevemos tambe´m [퐴퐵]푖푗 = 푎푖1푏1푗 + 푎푖2푏2푗 + . . .+ 푎푖푝푏푝푗 .
A equac¸a˜o (1.1) esta´ dizendo que o elemento 푖, 푗 do produto e´ igual a` soma dos produtos dos
elementos da 푖-e´sima linha de 퐴 pelos elementos correspondentes da 푗-e´sima coluna de 퐵.
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6 Matrizes e Sistemas Lineares
⎡
⎢⎣ 푐11 . . . 푐1푛... 푐푖푗 ...
푐푚1 . . . 푐푚푛
⎤
⎥⎦ =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
푎11 푎12 . . . 푎1푝
.
.
. . . .
.
.
.
푎푖1 푎푖2 . . . 푎푖푝
.
.
. . . .
.
.
.
푎푚1 푎푚2 . . . 푎푚푝
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎡
⎢⎢⎢⎣
푏11
푏21
.
.
.
푏푝1
. . .
. . .
. . .
. . .
푏1푗
푏2푗
.
.
.
푏푝푗
. . .
. . .
. . .
. . .
푏1푛
푏2푛
.
.
.
푏푝푛
⎤
⎥⎥⎥⎦
A equac¸a˜o (1.1) pode ser escrita de forma compacta usando a notac¸a˜o de somato´rio.
[퐴퐵]푖푗 = 푎푖1푏1푗 + 푎푖2푏2푗 + . . .+ 푎푖푝푏푝푗 =
푝∑
푘=1
푎푖푘푏푘푗
e dizemos “somato´rio de 푘 variando de 1 a 푝 de 푎푖푘푏푘푗”. O sı´mbolo
푝∑
푘=1
significa que estamos fazendo
uma soma em que o ı´ndice 푘 esta´ variando de 푘 = 1 ate´ 푘 = 푝. Algumas propriedades da notac¸a˜o
de somato´rio esta˜o explicadas no Apeˆndice I na pa´gina 32.
Exemplo 1.4. Considere as matrizes:
퐴 =
[
1 2 −3
3 4 0
]
, 퐵 =
⎡
⎣ −2 1 00 3 0
5 −4 0
⎤
⎦ .
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1.1 Matrizes 7
Se chamamos de 퐶 o produto das duas matrizes 퐴 e 퐵, enta˜o
퐶 = 퐴퐵 =
[
1 (−2) + 2 ⋅ 0 + (−3) 5 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 3 + (−3) (−4) 0
3 (−2) + 4 ⋅ 0 + 0 ⋅ 5 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 3 + 0 (−4) 0
]
=
[ −17 19 0
−6 15 0
]
.
Observac¸a˜o. No exemplo anterior o produto 퐵퐴 na˜o esta´ definido (por que?). Entretanto, mesmo
quando ele esta´ definido, 퐵퐴 pode na˜o ser igual a 퐴퐵, ou seja, o produto de matrizes na˜o e´ comu-
tativo, como mostra o exemplo seguinte.
Exemplo 1.5. Sejam 퐴 =
[
1 2
3 4
]
e 퐵 =
[ −2 1
0 3
]
. Enta˜o,
퐴퐵 =
[ −2 7
−6 15
]
e 퐵퐴 =
[
1 0
9 12
]
.
Vamos ver no pro´ximo exemplo como as matrizes podem ser usadas para descrever quantitativa-
mente um processo de produc¸a˜o.
Exemplo 1.6. Uma indu´stria produz treˆs produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B.
Para a manufatura de cada kg de X sa˜o utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B;
para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 1 grama de insumo B e, para cada kg de Z, 1 grama de
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8 Matrizes e Sistemas Lineares
A e 4 gramas de B. Usando matrizes podemos determinar quantos gramas dos insumos A e B sa˜o
necessa´rios na produc¸a˜o de 푥 kg do produto X, 푦 kg do produto Y e 푧 kg do produto Z.
X Y Z
gramas de A/kg
gramas de B/kg
[
1 1 1
2 1 4
]
= 퐴 푋 =
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ kg de X produzidoskg de Y produzidos
kg de Z produzidos
퐴푋 =
[
푥+ 푦 + 푧
2푥+ 푦 + 4푧
]
gramas de A usados
gramas de B usados
Definic¸a˜o 1.4. A transposta de uma matriz 퐴 = (푎푖푗)푚×푛 e´ definida pela matriz 푛×푚
퐵 = 퐴푡
obtida trocando-se as linhas com as colunas, ou seja,
푏푖푗 = 푎푗푖 ,
para 푖 = 1, . . . , 푛 e 푗 = 1, . . . ,푚. Escrevemos tambe´m [퐴푡]푖푗 = 푎푗푖.
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1.1 Matrizes 9
Exemplo 1.7. As transpostas das matrizes
퐴 =
[
1 2
3 4
]
, 퐵 =
[ −2 1
0 3
]
e 퐶 =
[
1 3 0
2 4 −2
]
sa˜o
퐴푡 =
[
1 3
2 4
]
, 퐵푡 =
[ −2 0
1 3
]
e 퐶푡 =
⎡
⎣ 1 23 4
0 −2
⎤
⎦ .
A seguir, mostraremos as propriedades que sa˜o va´lidas para a a´lgebra matricial. Va´rias proprie-
dades sa˜o semelhantes a`quelas que sa˜o va´lidas para os nu´meros reais, mas deve-se tomar cuidado
com as diferenc¸as. Uma propriedade importante que e´ va´lida para os nu´meros reais, mas na˜o e´
va´lida para as matrizes e´ a comutatividade do produto, como foi mostrado no Exemplo 1.5. Por ser
compacta, usaremos a notac¸a˜o de somato´rio na demonstrac¸a˜o de va´rias propriedades. Algumas
propriedades desta notac¸a˜o esta˜o explicadas no Apeˆndice I na pa´gina 32.
1.1.2 Propriedades da ´Algebra Matricial
Teorema 1.1. Sejam 퐴, 퐵 e 퐶 matrizes com tamanhos apropriados, 훼 e 훽 escalares. Sa˜o va´lidas as
seguintes propriedades para as operac¸o˜es matriciais:
(a) (comutatividade) 퐴+ 퐵 = 퐵 + 퐴;
(b) (associatividade) 퐴+ (퐵 + 퐶) = (퐴+ 퐵) + 퐶;
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10 Matrizes e Sistemas Lineares
(c) (elemento neutro) A matriz 0¯, 푚 × 푛, definida por [0¯]푖푗 = 0, para 푖 = 1, . . . ,푚, 푗 = 1, . . . , 푛 e´
tal que
퐴+ 0¯ = 퐴,
para toda matriz 퐴, 푚× 푛. A matriz 0¯ e´ chamada matriz nula 푚× 푛.
(d) (elemento sime´trico) Para cada matriz 퐴, existe uma u´nica matriz −퐴, definida por [−퐴]푖푗 =
−푎푖푗 tal que
퐴+ (−퐴) = 0¯.
(e) (associatividade) 훼(훽퐴) = (훼훽)퐴;
(f) (distributividade) (훼 + 훽)퐴 = 훼퐴+ 훽퐴;
(g) (distributividade) 훼(퐴+ 퐵) = 훼퐴+ 훼퐵;
(h) (associatividade) 퐴(퐵퐶) = (퐴퐵)퐶;
(i) (elemento neutro) Para cada inteiro positivo 푝 a matriz, 푝× 푝,
퐼푝 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . 1
⎤
⎥⎥⎥⎦ ,
chamada matriz identidade e´ tal que
퐴퐼푛 = 퐼푚퐴 = 퐴, para toda matriz 퐴 = (푎푖푗)푚×푛.
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1.1 Matrizes 11
(j) (distributividade) 퐴(퐵 + 퐶) = 퐴퐵 + 퐴퐶 e (퐵 + 퐶)퐴 = 퐵퐴+ 퐶퐴;
(k) 훼(퐴퐵) = (훼퐴)퐵 = 퐴(훼퐵);
(l) (퐴푡)푡 = 퐴;
(m) (퐴+ 퐵)푡 = 퐴푡 + 퐵푡;
(n) (훼퐴)푡 = 훼퐴푡;
(o) (퐴퐵)푡 = 퐵푡퐴푡;
Demonstrac¸a˜o. Para provar as igualdades acima, devemos mostrar que os elementos da matriz do
lado esquerdo sa˜o iguais aos elementos correspondentes da matriz do lado direito. Sera˜o usadas
va´rias propriedades dos nu´meros sem cita´-las explicitamente.
(a) [퐴+ 퐵]푖푗 = 푎푖푗 + 푏푖푗 = 푏푖푗 + 푎푖푗 = [퐵 + 퐴]푖푗 ;
(b) [퐴+ (퐵 + 퐶)]푖푗 = 푎푖푗 + [퐵 + 퐶]푖푗 = 푎푖푗 + (푏푖푗 + 푐푖푗) = (푎푖푗 + 푏푖푗) + 푐푖푗 = [퐴+퐵]푖푗 + 푐푖푗 =
[(퐴+ 퐵) + 퐶]푖푗 ;
(c) Seja 푋 uma matriz 푚× 푛 tal que
퐴+푋 = 퐴 (1.2)
para qualquer matriz A, 푚× 푛. Comparando os elementos correspondentes, temos que
푎푖푗 + 푥푖푗 = 푎푖푗 ,
ou seja, 푥푖푗 = 0, para 푖 = 1 . . . ,푚 e 푗 = 1 . . . , 푛. Portanto, a u´nica matriz que satisfaz (1.2) e´
a matriz em que todos os seus elementos sa˜o iguais a zero. Denotamos a matriz 푋 por 0¯.
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12 Matrizes e Sistemas Lineares
(d) Dada uma matriz 퐴, 푚× 푛, seja 푋 uma matriz 푚× 푛, tal que
퐴+푋 = 0¯ . (1.3)
Comparando os elementos correspondentes, temos que
푎푖푗 + 푥푖푗 = 0 ,
ou seja, 푥푖푗 = −푎푖푗 , para 푖 = 1 . . . ,푚 e 푗 = 1 . . . , 푛. Portanto, a u´nica matriz que satisfaz
(1.3) e´ a matriz em que todos os seus elementos sa˜o iguais aos sime´tricos dos elementos de
퐴. Denotamos a matriz 푋 por −퐴.
(e) [훼(훽퐴)]푖푗 = 훼[훽퐴]푖푗 = 훼(훽푎푖푗) = (훼훽)푎푖푗 = [(훼훽)퐴]푖푗 .
(f) [(훼 + 훽)퐴]푖푗 = (훼 + 훽)푎푖푗 = (훼푎푖푗) + (훽푎푖푗) = [훼퐴]푖푗 + [훽퐴]푖푗 = [훼퐴+ 훽퐴]푖푗 .
(g) [훼(퐴+ 퐵)]푖푗 = 훼[퐴+퐵]푖푗 = 훼(푎푖푗 + 푏푖푗) = 훼푎푖푗 + 훼푏푖푗 = [훼퐴]푖푗 + [훼퐵]푖푗
= [훼퐴+ 훼퐵]푖푗 .
(h) A demonstrac¸a˜o deste item e´ a mais trabalhosa. Sejam 퐴, 퐵 e 퐶 matrizes 푚× 푝, 푝× 푞 e 푞×푛
respectivamente. A notac¸a˜o de somato´rio aqui pode ser muito u´til, pelo fato de ser compacta.
[퐴(퐵퐶)]푖푗 =
푝∑
푘=1
푎푖푘[퐵퐶]푘푗 =
푝∑
푘=1
푎푖푘(
푞∑
푙=1
푏푘푙푐푙푗) =
푝∑
푘=1
푞∑
푙=1
푎푖푘(푏푘푙푐푙푗) =
=
푝∑
푘=1
푞∑
푙=1
(푎푖푘푏푘푙)푐푙푗 =
푞∑
푙=1
푝∑
푘=1
(푎푖푘푏푘푙)푐푙푗 =
푞∑
푙=1
(
푝∑
푘=1
푎푖푘푏푘푙)푐푙푗 =
=
푞∑
푙=1
[퐴퐵]푖푙푐푙푗 = [(퐴퐵)퐶]푖푗 .
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1.1 Matrizes 13
(i) Podemos escrever a matriz identidade em termos do delta de Kronecker que e´ definido por
훿푖푗 =
{
1, se 푖 = 푗
0, se 푖 ∕= 푗
como [퐼푛]푖푗 = 훿푖푗 . Assim,
[퐴퐼푛]푖푗 =
푛∑
푘=1
푎푖푘[퐼푛]푘푗 =
푛∑
푘=1
푎푖푘훿푘푗 = 푎푖푗.
A outra igualdade e´ ana´loga.
(j) [퐴(퐵 + 퐶)]푖푗 =
푝∑
푘=1
푎푖푘[퐵 + 퐶]푘푗 =
푝∑
푘=1
푎푖푘(푏푘푗 + 푐푘푗) =
푝∑
푘=1
(푎푖푘푏푘푗 + 푎푖푘푐푘푗) =
=
푝∑
푘=1
푎푖푘푏푘푗 +
푝∑
푘=1
푎푖푘푐푘푗 = [퐴퐵]푖푗 + [퐴퐶]푖푗 = [퐴퐵 + 퐴퐶]푖푗 .
A outra igualdade e´ inteiramente ana´loga a anterior e deixamos como exercı´cio.
(k) [훼(퐴퐵)]푖푗 = 훼
푝∑
푘=1
푎푖푘푏푘푗 =
푝∑
푘=1
(훼푎푖푘)푏푘푗 = [(훼퐴)퐵]푖푗 e
[훼(퐴퐵)]푖푗 = 훼
푝∑
푘=1
푎푖푘푏푘푗 =
푝∑
푘=1
푎푖푘(훼푏푘푗) = [퐴(훼퐵)]푖푗 .
(l) [(퐴푡)푡]푖푗 = [퐴푡]푗푖 = 푎푖푗 .
(m) [(퐴+ 퐵)푡]푖푗 = [퐴+ 퐵]푗푖 = 푎푗푖 + 푏푗푖 = [퐴푡]푖푗 + [퐵푡]푖푗 .
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14 Matrizes e Sistemas Lineares
(n) [(훼퐴)푡]푖푗 = [훼퐴]푗푖 = 훼푎푗푖 = 훼[퐴푡]푖푗 = [훼퐴푡]푖푗 .
(o) [(퐴퐵)푡]푖푗 = [퐴퐵]푗푖 =
푝∑
푘=1
푎푗푘푏푘푖 =
푝∑
푘=1
[퐴푡]푘푗[퐵
푡]푖푘 =
푝∑
푘=1
[퐵푡]푖푘[퐴
푡]푘푗 = [퐵
푡퐴푡]푖푗 .
■
A diferenc¸a entre duas matrizes de mesmo tamanho 퐴 e 퐵 e´ definida por
퐴− 퐵 = 퐴+ (−퐵),
ou seja, e´ a soma da matriz 퐴 com a sime´trica da matriz 퐵.
Sejam 퐴 uma matriz 푛×푛 e 푝 um inteiro positivo. Definimos a poteˆncia 푝 de 퐴, por 퐴푝 = 퐴 . . . 퐴︸ ︷︷ ︸
푝 vezes
.
E para 푝 = 0, definimos 퐴0 = 퐼푛.
Exemplo 1.8. Vamos verificar se para matrizes 퐴 e 퐵, quadradas, vale a igualdade
(퐴+ 퐵)(퐴−퐵) = 퐴2 −퐵2. (1.4)
Usando a propriedade (i) do teorema anterior obtemos
(퐴+ 퐵)(퐴−퐵) = (퐴+ 퐵)퐴+ (퐴+ 퐵)(−퐵)
= 퐴퐴+ 퐵퐴− 퐴퐵 −퐵퐵 = 퐴2 + 퐵퐴− 퐴퐵 − 퐵2
Assim, (퐴 + 퐵)(퐴 − 퐵) = 퐴2 − 퐵2 se, e somente se, 퐵퐴 − 퐴퐵 = 0, ou seja, se, e somente se,
퐴퐵 = 퐵퐴. Como o produto de matrizes na˜o e´ comutativo, a conclusa˜o e´ que a igualdade (1.4), na˜o
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1.1 Matrizes 15
vale para matrizes em geral. Como contra-exemplo basta tomarmos duas matrizes que na˜o comutem
entre si. Sejam
퐴 =
[
0 0
1 1
]
e 퐵 =
[
1 0
1 0
]
.
Para estas matrizes
퐴+퐵 =
[
1 0
2 1
]
, 퐴−퐵 =
[ −1 0
0 1
]
, 퐴2 = 퐴 =
[
0 0
1 1
]
, 퐵2 = 퐵 =
[
1 0
1 0
]
.
Assim,
(퐴+ 퐵)(퐴−퐵) =
[ −1 0
−2 1
]
∕=
[ −1 0
0 1
]
= 퐴2 − 퐵2.
1.1.3 Aplicac¸a˜o: Cadeias de Markov
Vamos supor que uma populac¸a˜o e´ dividida em treˆs estados (por exemplo: ricos, classe me´dia e
pobres) e que em cada unidade de tempo a probabilidade de mudanc¸a de um estado para outro seja
constante no tempo, so´ dependa dos estados. Este processo e´ chamado cadeia de Markov.
Seja 푡푖푗 a probabilidade de mudanc¸a do estado 푗 para o estado 푖 em uma unidade de tempo
(gerac¸a˜o). Tome cuidado com a ordem dos ı´ndices. A matriz
푇 =
1⃝ 2⃝ 3⃝⎡
⎣ 푡11 푡12 푡13푡21 푡22 푡23
푡31 푡32 푡33
⎤
⎦ 1⃝2⃝
3⃝
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16 Matrizes e Sistemas Lineares
e´ chamada matriz de transic¸a˜o. A distribuic¸a˜o da populac¸a˜o inicial entre os treˆs estados pode ser
descrita pela seguinte matriz:
푃0 =
⎡
⎣ 푝1푝2
푝3
⎤
⎦ esta´ no estado 1esta´ no estado 2
esta´ no estado 3
A matriz 푃0 caracteriza a distribuic¸a˜o inicial da populac¸a˜o entre os treˆs estados e e´ chamada vetor de
estado. Apo´s uma unidade de tempo a populac¸a˜o estara´ dividida entre os treˆs estados da seguinte
forma
푃1 =
⎡
⎣ 푡11푝1 + 푡12푝2 + 푡13푝3푡21푝1 + 푡22푝2 + 푡23푝3
푡31푝1 + 푡32푝2 + 푡33푝3
⎤
⎦ estara´ no estado 1estara´ no estado 2
estara´ no estado 3
Lembre-se que 푡푖푗 e´ a probabilidade de mudanc¸a do estado 푗 para o estado 푖. Assim o vetor de estado
apo´s uma unidade de tempo e´ dada pelo produto de matrizes:
푃1 = 푇푃0.
Exemplo 1.9. Vamos considerar a matriz de transic¸a˜o
푇 =
1⃝ 2⃝ 3⃝⎡
⎢⎣
1
2
1
4
0
1
2
1
2
1
2
0 1
4
1
2
⎤
⎥⎦ 1⃝2⃝
3⃝
(1.5)
e o vetor de estados inicial
푃0 =
⎡
⎣ 131
3
1
3
⎤
⎦ esta´ no estado 1esta´ no estado 2
esta´ no estado 3
(1.6)
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1.1 Matrizes 17
que representa uma populac¸a˜o dividida de forma que 1/3 da populac¸a˜o esta´ em cada estado.
Apo´s uma unidade de tempo a matriz de estado sera´ dada por
푃1 = 푇푃0 =
⎡
⎢⎣
1
2
1
4
0
1
2
1
2
1
2
0 1
4
1
2
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣
1
3
1
3
1
3
⎤
⎥⎦ =
⎡
⎢⎣
1
4
1
2
1
4
⎤
⎥⎦
Como estamos assumindo que em cada unidade de tempo a matriz de transic¸a˜o e´ a mesma,
enta˜o apo´s 푘 unidades de tempo a populac¸a˜o estara´ dividida entre os treˆs estados segundo a matriz
de estado
푃푘 = 푇푃푘−1 = 푇 2푃푘−2 = ⋅ ⋅ ⋅ = 푇 푘푃0
Assim a matriz 푇 푘 da´ a transic¸a˜o entre 푘 unidades de tempo.
Veremos na Sec¸a˜o 6.1 na pa´gina 382 como calcular rapidamente poteˆncias 푘 de matrizes e assim
como determinar a distribuic¸a˜o da populac¸a˜o apo´s 푘 unidades de tempo para 푘 um inteiro positivo
qualquer.
Exercı´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 475)
1.1.1. Considere as seguintes matrizes
퐴 =
[
2 0
6 7
]
, 퐵 =
[
0 4
2 −8
]
, 퐶 =
[ −6 9 −7
7 −3 −2
]
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18 Matrizes e Sistemas Lineares
퐷 =
⎡
⎣ −6 4 01 1 4
−6 0 6
⎤
⎦ , 퐸 =
⎡
⎣ 6 9 −9−1 0 −4
−6 0 −1
⎤
⎦
Se for possı´vel calcule:
(a) 퐴퐵 −퐵퐴,
(b) 2퐶 −퐷,
(c) (2퐷푡 − 3퐸푡)푡,
(d) 퐷2 −퐷퐸.
1.1.2. Conhecendo-se somente os produtos 퐴퐵 e 퐴퐶, como podemos calcular 퐴(퐵 + 퐶), 퐵푡퐴푡,
퐶푡퐴푡 e (퐴퐵퐴)퐶?
1.1.3. Considere as seguintes matrizes
퐴 =
[ −3 2 1
1 2 −1
]
, 퐵 =
⎡
⎣ 2 −12 0
0 3
⎤
⎦
퐶 =
⎡
⎣ −2 1 −10 1 1
−1 0 1
⎤
⎦ , 퐷 =
⎡
⎣ 푑1 0 00 푑2 0
0 0 푑3
⎤
⎦
퐸1 =
⎡
⎣ 10
0
⎤
⎦ , 퐸2 =
⎡
⎣ 01
0
⎤
⎦ , 퐸3 =
⎡
⎣ 00
1
⎤
⎦
Verifique que:
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 19
(a) 퐴퐵 e´ diferente de 퐵퐴.
(b) 퐴퐸푗 e´ a 푗-e´sima coluna de 퐴, para 푗 = 1, 2, 3 e 퐸푡푖퐵 e´ a 푖-e´sima linha de 퐵, para
푖 = 1, 2, 3 (o caso geral esta´ no Exercı´cio 1.1.16 na pa´gina 25).
(c) 퐶퐷 = [ 푑1퐶1 푑2퐶2 푑3퐶3 ], em que 퐶1 =
⎡
⎣ −20
−1
⎤
⎦, 퐶2 =
⎡
⎣ 11
0
⎤
⎦ e 퐶3 =
⎡
⎣ −11
1
⎤
⎦, sa˜o as
colunas de 퐶 (o caso geral esta´ no Exercı´cio 1.1.17 (a) na pa´gina 26).
(d) 퐷퐶 =
⎡
⎣ 푑1퐶1푑2퐶2
푑3퐶3
⎤
⎦, em que 퐶1 = [ −2 1 −1 ], 퐶2 = [ 0 1 1 ] e
퐶3 =
[ −1 0 1 ] sa˜o as linhas de 퐶 (o caso geral esta´ no Exercı´cio 1.1.17 (b) na
pa´gina 26).
(e) Escrevendo 퐵 em termos das suas colunas, 퐵 = [ 퐵1 퐵2 ], em que 퐵1 =
⎡
⎣ 22
0
⎤
⎦ e
퐵2 =
⎡
⎣ −10
3
⎤
⎦, o produto 퐴퐵 pode ser escrito como 퐴퐵 = 퐴 [ 퐵1 퐵2 ] = [ 퐴퐵1 퐴퐵2 ]
(o caso geral esta´ no Exercı´cio 1.1.18 (a) na pa´gina 27).
(f) escrevendo 퐴 em termos das suas linhas, 퐴1 =
[ −3 2 1 ] e 퐴2 = [ 1 2 −1 ], o
produto 퐴퐵 pode ser escrito como 퐴퐵 =
[
퐴1
퐴2
]
퐵 =
[
퐴1퐵
퐴2퐵
]
(o caso geral esta´ no
Exercı´cio 1.1.18 (b) na pa´gina 27).
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
20 Matrizes e Sistemas Lineares
1.1.4. Sejam
퐴 =
[
1 −3 0
0 4 −2
]
e 푋 =
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ .
Verifique que 푥퐴1 + 푦퐴2 + 푧퐴3 = 퐴푋 , em que 퐴푗 e´ a 푗-e´sima coluna de 퐴, para 푗 = 1, 2, 3
(o caso geral esta´ no Exercı´cio 1.1.19 na pa´gina 28).
1.1.5. Encontre um valor de 푥 tal que 퐴퐵푡 = 0, em que
퐴 =
[
푥 4 −2 ] e 퐵 = [ 2 −3 5 ] .
1.1.6. Mostre que as matrizes 퐴 =
[
1 1
푦
푦 1
]
, em que 푦 e´ uma nu´mero real na˜o nulo, verificam a
equac¸a˜o 푋2 = 2푋 .
1.1.7. Mostre que se 퐴 e 퐵 sa˜o matrizes que comutam com a matriz 푀 =
[
0 1
−1 0
]
, enta˜o 퐴퐵 =
퐵퐴.
1.1.8. (a) Determine todas as matrizes퐴, 2×2, diagonais (os elementos que esta˜o fora da diagonal
sa˜o iguais a zero) que comutam com toda matriz 퐵, 2 × 2, ou seja, tais que 퐴퐵 = 퐵퐴,
para toda matriz 퐵, 2× 2.
(b) Determine todas as matrizes 퐴, 2 × 2, que comutam com toda matriz 퐵, 2 × 2, ou seja,
tais que 퐴퐵 = 퐵퐴, para toda matriz 퐵, 2× 2.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 21
1.1.9. Verifique que 퐴3 = 0¯, para
퐴 =
⎡
⎣ 0 1 00 0 1
0 0 0
⎤
⎦ .
O caso geral esta´ no Exercı´cio 1.1.29 na pa´gina 31.
Exercı´cios usando o MATLABⓇ
Uma vez inicializado o MATLABⓇ, aparecera´ na janela de comandos um prompt >> ou EDU>>.
O prompt significa que o MATLABⓇ esta´ esperando um comando. Todo comando deve ser
finalizado teclando-se Enter. Comandos que foram dados anteriormente podem ser obtidos
novamente usando as teclas ↑ e ↓. Enquanto se estiver escrevendo um comando, este pode
ser corrigido usando as teclas ←, →, Delete e Backspace. O MATLABⓇ faz diferenc¸a entre
letras maiu´sculas e minu´sculas.
No MATLABⓇ, pode-se obter ajuda sobre qualquer comando ou func¸a˜o. O comando
>> help
(sem o prompt >>) mostra uma listagem de todos os pacotes disponı´veis. Ajuda sobre um
pacote especı´fico ou sobre um comando ou func¸a˜o especı´fica pode ser obtida com o comando
>> help nome,
(sem a vı´rgula e sem o prompt >>) em que nome pode ser o nome de um pacote ou o nome de
um comando ou func¸a˜o.
Ale´m dos comandos e func¸o˜es pre´-definidas, escrevemos um pacote chamado gaal
com func¸o˜es especı´ficas para a aprendizagem de Geometria Analı´tica e ´Algebra Li-
near. Este pacote pode ser obtido gratuitamente atrave´s da internet no enderec¸o
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
22 Matrizes e Sistemas Lineares
http://www.mat.ufmg.br/˜regi, assim como um texto com uma introduc¸a˜o ao MATLABⓇ e
instruc¸o˜es de como instalar o pacote gaal. Depois deste pacote ser devidamente instalado, o
comando help gaal no prompt do MATLABⓇ da´ informac¸o˜es sobre este pacote.
Mais informac¸o˜es sobre as capacidades do MATLABⓇ podem ser obtidas em [4, 28].
Vamos descrever aqui alguns comandos que podem ser usados para a manipulac¸a˜o de matri-
zes. Outros comandos sera˜o introduzidos a medida que forem necessa´rios.
>> syms x y z diz ao MATLABⓇ que as varia´veis x y e z sa˜o simbo´licas.
>> A=[a11,a12,...,a1n;a21,a22,...; ...,amn] cria uma matriz, 푚 por 푛, usando os
elementos a11, a12, ..., amn e a armazena numa varia´vel de nome A. Por exemplo, >>
A=[1,2,3;4,5,6] cria a matriz 퐴 =
[
1 2 3
4 5 6
]
;
>> I=eye(n) cria a matriz identidade 푛 por 푛 e a armazena numa varia´vel I;
>> O=zeros(n) ou >> O=zeros(m,n) cria a matriz nula 푛 por 푛 ou 푚 por 푛, respectivamente,
e a armazena numa varia´vel O;
>> A+B e´ a soma de A e B,
>> A*B e´ o produto de A por B,
>> A.’ e´ a transposta de A,
>>
A-B e´ a diferenc¸a A menos B,
>> num*A e´ o produto do escalar num por A,
>> Aˆk e´ a poteˆncia A elevado a 푘.
>> A(:,j) e´ a coluna 푗 da matriz A, >> A(i,:) e´ a linha 푖 da matriz A.
>> diag([d1,...,dn]) cria uma matriz diagonal, cujos elementos da diagonal sa˜o iguais aos
elementos da matriz [d1,...,dn], ou seja, sa˜o d1,...,dn.
>> A=sym(A) converte a matriz A numa matriz em que os elementos sa˜o armazenados no
formato simbo´lico. A func¸a˜o numeric faz o processo inverso.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 23
>> solve(expr) determina a soluc¸a˜o da equac¸a˜o expr=0. Por exemplo,
>> solve(xˆ2-4) determina as soluc¸o˜es da equac¸a˜o 푥2 − 4 = 0;
Comando do pacote GAAL:
>> A=randi(n) ou >> A=randi(m,n) cria uma matriz n por n ou m por n, respectivamente,
com elementos inteiros aleato´rios entre −5 e 5.
1.1.10. Use o MATLABⓇ para calcular alguns membros da sequ¨eˆncia 퐴, 퐴2, . . . , 퐴푘, . . ., para
(a) 퐴 =
[
1 1
2
0 1
3
]
; (b) 퐴 =
[
1
2
1
3
0 −1
5
]
.
A sequ¨eˆncia parece estar convergindo para alguma matriz? Se estiver, para qual?
1.1.11. Calcule as poteˆncias das matrizes dadas a seguir e encontre experimentalmente (por tentativa!)
o menor inteiro 푘 > 1 tal que (use o comando >> A=sym(A) depois de armazenar a matriz na
varia´vel A):
(a) 퐴푘 = 퐼3, em que
퐴 =
⎡
⎣ 0 0 11 0 0
0 1 0
⎤
⎦ ;
(b) 퐴푘 = 퐼4, em que
퐴 =
⎡
⎢⎢⎣
0 1 0 0
−1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
⎤
⎥⎥⎦;
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
24 Matrizes e Sistemas Lineares
(c) 퐴푘 = 0¯, em que
퐴 =
⎡
⎢⎢⎣
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
⎤
⎥⎥⎦.
1.1.12. Vamos fazer um experimento no MATLABⓇ para tentar ter uma ide´ia do qua˜o comum e´ encontrar
matrizes cujo produto comuta. No prompt do MATLABⓇ digite a seguinte linha:
>> c=0; for n=1:1000,A=randi(3);B=randi(3);if(A*B==B*A),c=c+1;end,end,c
(na˜o esquec¸a das vı´rgulas e pontos e vı´rgulas!). O que esta linha esta´ mandando o MATLABⓇ
fazer e´ o seguinte:
∙ Criar um contador c e atribuir a ele o valor zero.
∙ Atribuir a`s varia´veis A e B, 1000 matrizes 3×3 com entradas inteiras e aleato´rias entre−5
e 5.
∙ Se AB=BA, ou seja, A e B comutarem, enta˜o o contador c e´ acrescido de 1.
∙ No final o valor existente na varia´vel c e´ escrito.
Qual a conclusa˜o que voceˆ tira do valor obtido na varia´vel c?
1.1.13. Fac¸a um experimento semelhante ao anterior, mas para o caso em que cada uma das matrizes
e´ diagonal, isto e´, os elementos que esta˜o fora da diagonal sa˜o iguais a zero. Use a seta para
cima ↑ para obter novamente a linha digitada e edite a linha no prompt do MATLABⓇ de forma a
obter algo semelhante a` linha:
>> c=0; for n=1:1000,A=diag(randi(1,3));B=diag(randi(1,3));if( ....
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 25
Qual a conclusa˜o que voceˆ tira do valor obtido na varia´vel c?
1.1.14. Fac¸a um experimento semelhante ao anterior, mas para o caso em que uma das matrizes e´
diagonal. Use a seta para cima ↑ para obter novamente a linha digitada e edite a linha no
prompt do MATLABⓇ de forma a obter a seguinte linha:
>> c=0; for n=1:1000,A=diag(randi(1,3));B=randi(3);if(A*B==B*A),c=c+1;A,B,end,end,c
Aqui sa˜o impressas as matrizes A e B quando elas comutarem. Qual a conclusa˜o que voceˆ tira
deste experimento? Qual a probabilidade de um tal par de matrizes comutarem?
1.1.15. Use o MATLABⓇ para resolver os Exercı´cios Nume´ricos.
Exercı´cios Teo´ricos
1.1.16. Sejam 퐸1 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1
0
0
.
.
.
0
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦ , 퐸2 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0
1
0
.
.
.
0
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦,. . . , 퐸푛 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0
0
.
.
.
0
1
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦ matrizes 푛× 1.
(a) Mostre que se
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎11 푎12 . . . 푎1푛
푎21 푎22 . . . 푎2푛
.
.
. . . .
.
.
.
푎푚1 푎푚2 . . . 푎푚푛
⎤
⎥⎥⎥⎦
e´ uma matriz 푚× 푛, enta˜o 퐴퐸푗 e´ igual a` coluna 푗 da matriz 퐴.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
26 Matrizes e Sistemas Lineares
(b) Mostre que se
퐵 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푏11 푏12 . . . 푏1푚
푏21 푏22 . . . 푏2푚
.
.
. . . .
.
.
.
푏푛1 푏푛2 . . . 푏푛푚
⎤
⎥⎥⎥⎦ ,
e´ uma matriz 푛×푚 enta˜o 퐸푡푖퐵 e´ igual a` linha 푖 da matriz 퐵.
1.1.17. Seja
퐷 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
휆1 0 . . . 0
0 휆2 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 . . . 0 휆푛
⎤
⎥⎥⎥⎦
uma matriz diagonal 푛× 푛, isto e´, os elementos que esta˜o fora da diagonal sa˜o iguais a zero.
Seja
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎11 푎12 . . . 푎1푛
푎21 푎22 . . . 푎2푛
.
.
. . . .
.
.
.
푎푛1 푎푛2 . . . 푎푛푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
(a) Mostre que o produto 퐴퐷 e´ obtido da matriz 퐴 multiplicando-se cada coluna 푗 por 휆푗 , ou
seja, se 퐴 = [ 퐴1 퐴2 . . . 퐴푛 ], em que 퐴푗 =
⎡
⎢⎣ 푎1푗..
.
푎푛푗
⎤
⎥⎦ e´ a coluna 푗 de 퐴, enta˜o
퐴퐷 = [ 휆1퐴1 휆2퐴2 . . . 휆푛퐴푛 ].
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 27
(b) Mostre que o produto 퐷퐴 e´ obtido da matriz 퐴 multiplicando-se cada linha 푖 por 휆푖, ou
seja, se 퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
퐴1
퐴2
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎦, em que 퐴푖 = [ 푎푖1 . . . 푎푖푛 ] e´ a linha 푖 de 퐴, enta˜o
퐷퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
휆1퐴1
휆2퐴2
.
.
.
휆푛퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
1.1.18. Sejam 퐴 e 퐵 matrizes 푚× 푝 e 푝× 푛, respectivamente.
(a) Mostre que a 푗-e´sima coluna do produto 퐴퐵 e´ igual ao produto 퐴퐵푗 , em que 퐵푗 =⎡
⎢⎣ 푏1푗..
.
푏푝푗
⎤
⎥⎦ e´ a 푗-e´sima coluna de 퐵, ou seja, se 퐵 = [ 퐵1 . . . 퐵푛 ], enta˜o
퐴퐵 = 퐴[ 퐵1 . . . 퐵푛 ] = [ 퐴퐵1 . . . 퐴퐵푛 ];
(b) Mostre que a 푖-e´sima linha do produto 퐴퐵 e´ igual ao produto 퐴푖퐵, em que 퐴푖 =
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
28 Matrizes e Sistemas Lineares
[ 푎푖1 . . . 푎푖푝 ] e´ a 푖-e´sima linha de 퐴, ou seja, se 퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
퐴1
퐴2
.
.
.
퐴푚
⎤
⎥⎥⎥⎦, enta˜o
퐴퐵 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
퐴1
퐴2
.
.
.
퐴푚
⎤
⎥⎥⎥⎦퐵 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
퐴1퐵
퐴2퐵
.
.
.
퐴푚퐵
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
1.1.19. Seja 퐴 uma matriz 푚 × 푛 e 푋 =
⎡
⎢⎣ 푥1..
.
푥푛
⎤
⎥⎦ uma matriz 푛 × 1. Prove que
퐴푋 =
푛∑
푗=1
푥푗퐴푗 , em que 퐴푗 e´ a 푗-e´sima coluna de 퐴. (Sugesta˜o: Desenvolva o lado direito e
chegue ao lado esquerdo.)
1.1.20. (a) Mostre que se 퐴 e´ uma matriz 푚× 푛 tal que 퐴푋 = 0¯, para toda matriz 푋 , 푛× 1, enta˜o
퐴 = 0¯. (Sugesta˜o: use o Exercı´cio 16 na pa´gina 25.)
(b) Sejam 퐵 e 퐶 matrizes 푚× 푛, tais 퐵푋 = 퐶푋 , para todo 푋 , 푛× 1. Mostre que 퐵 = 퐶.
(Sugesta˜o: use o item anterior.)
1.1.21. Mostre que a matriz identidade 퐼푛 e´ a u´nica matriz tal que 퐴퐼푛 = 퐼푛퐴 = 퐴 para qualquer
matriz 퐴, 푛 × 푛. (Sugesta˜o: Seja 퐽푛 uma matriz tal que 퐴퐽푛 = 퐽푛퐴 = 퐴. Mostre que
퐽푛 = 퐼푛.)
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 29
1.1.22. Se 퐴퐵 = 퐵퐴 e 푝 e´ um inteiro positivo, mostre que (퐴퐵)푝 = 퐴푝퐵푝.
1.1.23. Sejam 퐴,퐵 e 퐶 matrizes 푛× 푛.
(a) (퐴+ 퐵)2 = 퐴2 + 2퐴퐵 + 퐵2? E se 퐴퐵 = 퐵퐴? Justifique.
(b) (퐴퐵)퐶 = 퐶(퐴퐵)? E se 퐴퐶 = 퐶퐴 e 퐵퐶 = 퐶퐵? Justifique.
(Sugesta˜o: Veja o Exemplo 1.8 na pa´gina 14.)
1.1.24. (a) Se 퐴 e 퐵 sa˜o duas matrizes tais que 퐴퐵 = 0¯, enta˜o 퐴 = 0¯ ou 퐵 = 0¯? Justifique.
(b) Se 퐴퐵 = 0¯, enta˜o 퐵퐴 = 0¯? Justifique.
(c) Se 퐴 e´ uma matriz tal que 퐴2 = 0¯, enta˜o 퐴 = 0¯? Justifique.
1.1.25. Dizemos que uma matriz 퐴, 푛× 푛, e´ sime´trica se 퐴푡 = 퐴 e e´ anti-sime´trica se 퐴푡 = −퐴.
(a) Mostre que se 퐴 e´ sime´trica, enta˜o 푎푖푗 = 푎푗푖, para 푖, 푗 = 1, . . . 푛 e que se 퐴 e´ anti-
sime´trica, enta˜o 푎푖푗 = −푎푗푖, para 푖, 푗 = 1, . . . 푛. Portanto, os elementos da diagonal
principal de uma matriz anti-sime´trica sa˜o iguais a zero.
(b) Mostre que se 퐴 e 퐵 sa˜o sime´tricas,
enta˜o 퐴+퐵 e 훼퐴 sa˜o sime´tricas, para todo escalar
훼.
(c) Mostre que se 퐴 e 퐵 sa˜o sime´tricas, enta˜o 퐴퐵 e´ sime´trica se, e somente se, 퐴퐵 = 퐵퐴.
(d) Mostre que se 퐴 e 퐵 sa˜o anti-sime´tricas, enta˜o 퐴+퐵 e 훼퐴 sa˜o anti-sime´tricas, para todo
escalar 훼.
(e) Mostre que para toda matriz 퐴, 푛× 푛, 퐴+ 퐴푡 e´ sime´trica e 퐴− 퐴푡 e´ anti-sime´trica.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
30 Matrizes e Sistemas Lineares
(f) Mostre que toda matriz quadrada퐴 pode ser escrita como a soma de uma matriz sime´trica
e uma anti-sime´trica. (Sugesta˜o: Observe o resultado da soma de 퐴+ 퐴푡 com 퐴− 퐴푡.)
1.1.26. Para matrizes quadradas 퐴 = (푎푖푗)푛×푛 definimos o trac¸o de 퐴 como sendo a soma dos ele-
mentos da diagonal (principal) de 퐴, ou seja, tr(퐴) =
푛∑
푖=1
푎푖푖.
(a) Mostre que tr(퐴+ 퐵) = tr(퐴) + tr(퐵).
(b) Mostre que tr(훼퐴) = 훼tr(퐴).
(c) Mostre que tr(퐴푡) = tr(퐴).
(d) Mostre que tr(퐴퐵) = tr(퐵퐴). (Sugesta˜o: Prove inicialmente para matrizes 2× 2.)
1.1.27. Seja 퐴 uma matriz 푛× 푛. Mostre que se 퐴퐴푡 = 0¯, enta˜o 퐴 = 0¯. (Sugesta˜o: use o trac¸o.) E se
a matriz 퐴 for 푚× 푛, com 푚 ∕= 푛?
1.1.28. Ja´ vimos que o produto de matrizes na˜o e´ comutativo. Entretanto, certos conjuntos de matrizes
sa˜o comutativos. Mostre que:
(a) Se 퐷1 e 퐷2 sa˜o matrizes diagonais 푛× 푛, enta˜o 퐷1퐷2 = 퐷2퐷1.
(b) Se 퐴 e´ uma matriz 푛× 푛 e
퐵 = 푎0퐼푛 + 푎1퐴+ 푎2퐴
2 + . . .+ 푎푘퐴
푘,
em que 푎0, . . . , 푎푘 sa˜o escalares, enta˜o 퐴퐵 = 퐵퐴.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 31
1.1.29. Uma matriz 퐴 e´ chamada nilpotente se 퐴푘 = 0¯, para algum inteiro positivo 푘. Verifique que a
matriz
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0 1 0 ⋅ ⋅ ⋅ 0
0 0 1 ⋅ ⋅ ⋅ 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 ⋅ ⋅ ⋅ 1
0 0 0 ⋅ ⋅ ⋅ 0
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
푛×푛
,
e´ nilpotente.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
32 Matrizes e Sistemas Lineares
Apeˆndice I: Notac¸a˜o de Somato´rio
Sa˜o va´lidas algumas propriedades para a notac¸a˜o de somato´rio:
(a) O ı´ndice do somato´rio e´ uma varia´vel muda que pode ser substituı´da por qualquer letra:
푛∑
푖=1
푓푖 =
푛∑
푗=1
푓푗.
(b) O somato´rio de uma soma pode ser escrito como uma soma de dois somato´rios:
푛∑
푖=1
(푓푖 + 푔푖) =
푛∑
푖=1
푓푖 +
푛∑
푖=1
푔푖.
Pois,
푛∑
푖=1
(푓푖+푔푖) = (푓1+푔1)+ . . .+(푓푛+푔푛) = (푓1+ . . .+푓푛)+(푔1+ . . .+푔푛) =
푛∑
푖=1
푓푖+
푛∑
푖=1
푔푖.
Aqui foram aplicadas as propriedades associativa e comutativa da soma de nu´meros.
(c) Se no termo geral do somato´rio aparece um produto, em que um fator na˜o depende do ı´ndice
do somato´rio, enta˜o este fator pode “sair” do somato´rio:
푛∑
푖=1
푓푖 푔푘 = 푔푘
푛∑
푖=1
푓푖.
Pois,
푛∑
푖=1
푓푖 푔푘 = 푓1푔푘 + . . . + 푓푛푔푘 = 푔푘(푓1 + . . . + 푓푛) = 푔푘
푛∑
푖=1
푓푖. Aqui foram aplicadas as
propriedades distributiva e comutativa do produto em relac¸a˜o a soma de nu´meros.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 33
(d) Num somato´rio duplo, a ordem dos somato´rios pode ser trocada:
푛∑
푖=1
푚∑
푗=1
푓푖푗 =
푚∑
푗=1
푛∑
푖=1
푓푖푗.
Pois,
푛∑
푖=1
푚∑
푗=1
푓푖푗 =
푛∑
푖=1
(푓푖1+ . . .+ 푓푖푚) = (푓11+ . . .+ 푓1푚)+ . . .+(푓푛1+ . . .+ 푓푛푚) = (푓11+ . . .+
푓푛1) + . . .+ (푓1푚 + . . .+ 푓푛푚) =
푚∑
푗=1
(푓1푗 + . . .+ 푓푛푗) =
푚∑
푗=1
푛∑
푖=1
푓푖푗 . Aqui foram aplicadas as
propriedades comutativa e associativa da soma de nu´meros.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
34 Matrizes e Sistemas Lineares
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Muitos problemas em va´rias a´reas da Cieˆncia recaem na soluc¸a˜o de sistemas lineares. Vamos
ver como a a´lgebra matricial pode simplificar o estudo dos sistemas lineares.
Uma equac¸a˜o linear em 푛 varia´veis 푥1, 푥2, . . . , 푥푛 e´ uma equac¸a˜o da forma
푎1푥1 + 푎2푥2 + . . .+ 푎푛푥푛 = 푏 ,
em que 푎1, 푎2, . . . , 푎푛 e 푏 sa˜o constantes reais;
Um sistema de equac¸o˜es lineares ou simplesmente sistema linear e´ um conjunto de equac¸o˜es
lineares, ou seja, e´ um conjunto de equac¸o˜es da forma⎧⎨
⎩
푎11푥1 + 푎12푥2 + . . . + 푎1푛푥푛 = 푏1
푎21푥1 + 푎22푥2 + . . . + 푎2푛푥푛 = 푏2
.
.
.
.
.
. =
.
.
.
푎푚1푥1 + 푎푚2푥2 + . . . + 푎푚푛푥푛 = 푏푚
em que 푎푖푗 e 푏푘 sa˜o constantes reais, para 푖, 푘 = 1, . . . ,푚 e 푗 = 1, . . . , 푛.
Usando o produto de matrizes que definimos na sec¸a˜o anterior, o sistema linear acima pode ser
escrito como uma equac¸a˜o matricial
퐴푋 = 퐵,
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 35
em que
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎11 푎12 . . . 푎1푛
푎21 푎22 . . . 푎2푛
.
.
. . . .
.
.
.
푎푚1 푎푚2 . . . 푎푚푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ , 푋 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푥1
푥2
.
.
.
푥푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ e 퐵 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푏1
푏2
.
.
.
푏푚
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
Uma soluc¸a˜o de um sistema linear e´ uma matriz 푆 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푠1
푠2
.
.
.
푠푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ tal que as equac¸o˜es do sistema sa˜o
satisfeitas quando substituı´mos 푥1 = 푠1, 푥2 = 푠2, . . . , 푥푛 = 푠푛. O conjunto de todas as soluc¸o˜es do
sistema e´ chamado conjunto soluc¸a˜o ou soluc¸a˜o geral do sistema. A matriz 퐴 e´ chamada matriz
do sistema linear.
Exemplo 1.10. O sistema linear de duas equac¸o˜es e duas inco´gnitas{
푥 + 2푦 = 1
2푥 + 푦 = 0
pode ser escrito como [
1 2
2 1
] [
푥
푦
]
=
[
1
0
]
.
A soluc¸a˜o (geral) do sistema acima e´ 푥 = −1/3 e 푦 = 2/3 (verifique!) ou
푋 =
[ −1
3
2
3
]
.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
36 Matrizes e Sistemas Lineares
Uma forma de resolver um sistema linear e´ substituir o sistema inicial por outro que tenha o mesmo
conjunto soluc¸a˜o do primeiro, mas que seja mais fa´cil de resolver. O outro sistema e´ obtido depois
de aplicar sucessivamente uma se´rie de operac¸o˜es, que na˜o alteram a soluc¸a˜o do sistema, sobre as
equac¸o˜es. As operac¸o˜es que sa˜o usadas sa˜o:
∙ Trocar a posic¸a˜o de duas equac¸o˜es do sistema;
∙ Multiplicar uma equac¸a˜o por um escalar diferente de zero;
∙ Somar a uma equac¸a˜o outra equac¸a˜o multiplicada por um escalar.
Estas operac¸o˜es sa˜o chamadas de operac¸o˜es elementares. Quando aplicamos operac¸o˜es ele-
mentares sobre as equac¸o˜es de um sistema linear somente os coeficientes do sistema sa˜o alterados,
assim podemos aplicar as operac¸o˜es sobre a matriz de coeficientes do sistema, que chamamos de
matriz aumentada, ou seja, a matriz
[퐴 ∣ 퐵] =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎11 푎12 . . . 푎1푛 푏1
푎21 푎22 . . . 푎2푛 푏2
.
.
. . . .
.
.
.
.
.
.
푎푚1 푎푚2 . . . 푎푚푛 푏푚
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 37
Definic¸a˜o 1.5. Uma operac¸a˜o elementar sobre as linhas de uma matriz e´ uma das seguintes
operac¸o˜es:
(a) Trocar a posic¸a˜o de duas linhas da matriz;
(b) Multiplicar uma linha da matriz por um escalar diferente de zero;
(c) Somar a uma linha da matriz um mu´ltiplo escalar de outra linha.
O pro´ximo teorema garante que ao aplicarmos operac¸o˜es elementares a`s equac¸o˜es de um sis-
tema o conjunto soluc¸a˜o na˜o e´ alterado.
Teorema 1.2. Se dois sistemas lineares 퐴푋 = 퐵 e 퐶푋 = 퐷, sa˜o tais que a matriz aumentada
[퐶 ∣ 퐷] e´ obtida de [퐴 ∣ 퐵] aplicando-se uma operac¸a˜o elementar, enta˜o os dois sistemas possuem
as mesmas soluc¸o˜es.
Demonstrac¸a˜o. A demonstrac¸a˜o deste teorema segue-se de duas observac¸o˜es:
(a) Se 푋 e´ soluc¸a˜o de um sistema, enta˜o 푋 tambe´m e´ soluc¸a˜o do sistema obtido aplicando-se
uma operac¸a˜o elementar sobre suas equac¸o˜es (verifique!).
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
38 Matrizes e Sistemas Lineares
(b) Se o sistema 퐶푋 = 퐷, e´ obtido de 퐴푋 = 퐵 aplicando-se uma operac¸a˜o elementar a`s
suas equac¸o˜es (ou equivalentemente a`s linhas da sua matriz aumentada), enta˜o o sistema
퐴푋 = 퐵 tambe´m pode ser obtido de 퐶푋 = 퐷 aplicando-se uma operac¸a˜o elementar a`s suas
equac¸o˜es, pois cada operac¸a˜o elementar possui uma operac¸a˜o elementar inversa do mesmo
tipo, que desfaz o que a anterior fez (verifique!).
Pela observac¸a˜o (b),퐴푋 = 퐵 e퐶푋 = 퐷 podem ser obtidos um do outro aplicando-se uma operac¸a˜o
elementar sobre as suas equac¸o˜es. E pela observac¸a˜o (a), os dois possuem as mesmas soluc¸o˜es.
■
Dois sistemas que possuem o mesmo conjunto soluc¸a˜o sa˜o chamados sistemas equivalentes.
Portanto, segue-se do Teorema 1.2 que aplicando-se operac¸o˜es elementares a`s equac¸o˜es de um
sistema linear obtemos sistemas equivalentes.
1.2.1 Me´todo de Gauss-Jordan
O me´todo que vamos usar para resolver sistemas lineares consiste na aplicac¸a˜o de operac¸o˜es
elementares a`s linhas da matriz aumentada do sistema ate´ que obtenhamos uma matriz numa forma
em que o sistema associado a esta matriz seja de fa´cil resoluc¸a˜o.
Vamos procurar obter uma matriz numa forma em que todas as linhas na˜o nulas possuam como
primeiro elemento na˜o nulo (chamado pivoˆ) o nu´mero 1 . Ale´m disso, se uma coluna conte´m um pivoˆ,
enta˜o todos os seus outros elementos tera˜o que ser iguais a zero. Vamos ver no exemplo seguinte
como conseguimos isso. Neste exemplo veremos como a partir do faturamento e do gasto com
insumos podemos determinar quanto foi produzido de cada produto manufaturado em uma indu´stria.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 39
Exemplo 1.11. Uma indu´stria produz treˆs produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B.
Para a manufatura de cada kg de X sa˜o utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B;
para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 1 grama de insumo B e, para cada kg de Z, 1 grama de
A e 4 gramas de B. O prec¸o de venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z e´ R$ 2,00, R$ 3,00
e R$ 5,00, respectivamente. Com a venda de toda a produc¸a˜o de X, Y e Z manufaturada com 1 kg
de A e 2 kg de B, essa indu´stria arrecadou R$ 2500,00. Vamos determinar quantos kg de cada um
dos produtos X, Y e Z foram vendidos. Como vimos no Exemplo 1.6 na pa´gina 7, usando matrizes o
esquema de produc¸a˜o pode ser descrito da seguinte forma:
X Y Z
gramas de A/kg
gramas de B/kg
prec¸o/kg
⎡
⎣ 1 1 12 1 4
2 3 5
⎤
⎦ = 퐴 푋 =
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ kg de X produzidoskg de Y produzidos
kg de Z produzidos
퐴푋 =
⎡
⎣ 푥+ 푦 + 푧2푥+ 푦 + 4푧
2푥+ 3푦 + 5푧
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 10002000
2500
⎤
⎦ gramas de A usadosgramas de B usados
arrecadac¸a˜o
Assim precisamos resolver o sistema linear⎧⎨
⎩
푥 + 푦 + 푧 = 1000
2푥 + 푦 + 4푧 = 2000
2푥 + 3푦 + 5푧 = 2500
cuja matriz aumentada e´ ⎡
⎣ 1⃝ 1 1 10002 1 4 2000
2 3 5 2500
⎤
⎦
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40 Matrizes e Sistemas Lineares
1a. eliminac¸a˜o:
Vamos procurar para pivoˆ da 1a. linha um elemento na˜o nulo da primeira coluna na˜o nula (se for o caso,
podemos usar a troca de linhas para “trazeˆ-lo” para a primeira linha). Como o primeiro elemento da
primeira coluna e´ igual a 1 ele sera´ o primeiro pivoˆ. Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da
1a. coluna, que e´ a coluna do pivoˆ, para isto, adicionamos a` 2a. linha,−2 vezes a 1a. linha e adicionamos
a` 3a. linha, tambe´m, −2 vezes a 1a. linha.
−2×1a. linha + 2a. linha −→ 2a. linha
−2×1a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha
⎡
⎢⎣ 1 1 1 10000 −1⃝ 2 0
0 1 3 500
⎤
⎥⎦
2a. eliminac¸a˜o:
Olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1a. linha. Escolhemos para pivoˆ um elemento
diferente de zero na 1a. coluna na˜o nula desta sub-matriz. Vamos escolher o elemento de posic¸a˜o 2,2.
Como temos que “fazer” o pivoˆ igual a um, vamos multiplicar a 2a. linha por −1.
−1×2a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎣ 1 1 1 10000 1 −2 0
0 1 3 500
⎤
⎦
Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 2a. coluna, que e´ a coluna do pivoˆ, para isto, soma-
mos a` 1a. linha, −1 vezes a 2a. e somamos a` 3a. linha, tambe´m, −1 vezes a 2a. .
−1×2a. linha + 1a. linha −→ 1a. linha
−1×2a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha
⎡
⎣ 1 0 3 10000 1 −2 0
0 0 5⃝ 500
⎤
⎦
3a. eliminac¸a˜o:
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 41
Olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1a. e a 2a. linha. Escolhemos para pivoˆ um elemento
diferente de zero na 1a. coluna na˜o nula desta sub-matriz. Temos de escolher o elemento de posic¸a˜o
3,3 e como temos de “fazer” o pivoˆ igual a 1, vamos multiplicar a 3a. linha por 1/5.
1
5
×3a. linha −→ 3a. linha
⎡
⎣ 1 0 3 10000 1 −2 0
0 0 1 100
⎤
⎦
Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 3a. coluna, que e´ a coluna do pivoˆ, para isto, soma-
mos a` 1a. linha, −3 vezes a 3a. e somamos a` 2a. linha, 2 vezes a 2a. .
−3×3a. linha + 1a. linha −→ 1a. linha
2×3a. linha + 2a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎣ 1 0 0 7000 1 0 200
0 0 1 100
⎤
⎦
Portanto o sistema dado e´ equivalente ao sistema⎧⎨
⎩
푥 = 700
푦 = 200
푧 = 100
que possui soluc¸a˜o geral dada por
푋 =
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 700200
100
⎤
⎦ .
Portanto, foram vendidos 700 kg do produto X, 200 kg do produto Y e 100 kg do produto Z.
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42 Matrizes e Sistemas Lineares
A u´ltima matriz que obtivemos no exemplo anterior esta´ na forma que chamamos de escalonada
reduzida.
Definic¸a˜o 1.6. Uma matriz 퐴 = (푎푖푗)푚×푛 esta´ na forma escalonada reduzida quando satisfaz as
seguintes condic¸o˜es:
(a) Todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) ocorrem abaixo das linhas na˜o nulas;
(b) O pivoˆ (1o. elemento na˜o nulo de uma linha) de cada linha na˜o nula e´ igual a 1;
(c) O pivoˆ de cada linha na˜o nula ocorre a` direita do pivoˆ da linha anterior.
(d) Se uma coluna conte´m um pivoˆ, enta˜o todos os seus outros elementos sa˜o iguais a zero.
Se uma matriz satisfaz as propriedades (a) e (c), mas na˜o necessariamente (b) e (d), dizemos que
ela esta´ na forma escalonada.
Exemplo 1.12. As matrizes ⎡
⎣ 1 0 00 1 0
0 0 1
⎤
⎦ e
⎡
⎣ 1 3 0 20 0 1 −3
0 0 0 0
⎤
⎦
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 43
sa˜o escalonadas reduzidas, enquanto⎡
⎣ 1 1 10 −1 2
0 0 5
⎤
⎦ e
⎡
⎣ 1 3 −1 50 0 −5 15
0 0 0 0
⎤
⎦
sa˜o escalonadas, mas na˜o sa˜o escalonadas reduzidas.
Este me´todo de resoluc¸a˜o de sistemas, que consiste em aplicar operac¸o˜es elementares a`s linhas
da matriz aumentada ate´ que a matriz do sistema esteja na forma escalonada reduzida, e´ conhecido
como me´todo de Gauss-Jordan.
Exemplo 1.13. Considere o seguinte sistema⎧⎨
⎩
푥 + 3푦 + 13푧 = 9
푦 + 5푧 = 2
−2푦 − 10푧 = −8
A sua matriz aumentada e´ ⎡
⎣ 1⃝ 3 13 90 1 5 2
0 −2 −10 −8
⎤
⎦
1a. eliminac¸a˜o:
Como o pivoˆ da 1a. linha e´ igual a 1 e os outros elementos da 1a. coluna sa˜o iguais a zero, na˜o ha´ nada
o que fazer na 1a. eliminac¸a˜o. ⎡
⎢⎣ 1 3 13 90 1⃝ 5 2
0 −2 −10 −8
⎤
⎥⎦
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44 Matrizes e Sistemas Lineares
2a. eliminac¸a˜o:
Olhamos para submatriz obtida eliminando-se a 1a. linha. Escolhemos para pivoˆ um elemento na˜o
nulo da 1a. coluna na˜o nula da submatriz. Escolhemos o elemento de posic¸a˜o 2,2. Como ele e´ igual a
1, precisamos, agora, “zerar” os outros elementos da coluna do pivoˆ. Para isto somamos a` 1a. linha,
−3 vezes a 2a. e somamos a` 3a. linha, 2 vezes
a 2a. .
−3×2a. linha + 1a. linha −→ 1a. linha
2×2a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha
⎡
⎣ 1 0 −2 30 1 5 2
0 0 0 −4
⎤
⎦
Portanto o sistema dado e´ equivalente ao sistema⎧⎨
⎩
푥 − 2푧 = 3
푦 + 5푧 = 2
0 = −4
que na˜o possui soluc¸a˜o.
Em geral, um sistema linear na˜o tem soluc¸a˜o se, e somente se, a u´ltima linha na˜o nula da forma
escalonada reduzida da sua matriz aumentada for da forma [ 0 . . . 0 ∣ 푏′푚 ], com 푏′푚 ∕= 0.
Exemplo 1.14. Considere o seguinte sistema⎧⎨
⎩
3푧 − 9푤 = 6
5푥 + 15푦 − 10푧 + 40푤 = −45
푥 + 3푦 − 푧 + 5푤 = −7
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 45
A sua matriz aumentada e´ ⎡
⎣ 0 0 3 −9 65 15 −10 40 −45
1⃝ 3 −1 5 −7
⎤
⎦
1a. eliminac¸a˜o:
Como temos que “fazer” o pivoˆ igual a um, escolhemos para pivoˆ o elemento de posic¸a˜o 3,1. Preci-
samos “coloca´-lo” na primeira linha, para isto, trocamos a 3a. linha com a 1a. .
1a. linha ←→ 4a. linha
⎡
⎣ 1⃝ 3 −1 5 −75 15 −10 40 −45
0 0 3 −9 6
⎤
⎦
Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 1a. coluna, que e´ a coluna do pivoˆ, para isto, adici-
onamos a` 2a. linha, −5 vezes a 1a. .
−5×1a. linha + 2a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎢⎣ 1 3 −1 5 −70 0 −5⃝ 15 −10
0 0 3 −9 6
⎤
⎥⎦
2a. eliminac¸a˜o:
Olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1a. linha. Escolhemos para pivoˆ um elemento
diferente de zero na 1a. coluna na˜o nula desta sub-matriz. Escolhemos o elemento de posic¸a˜o 2,3.
Como temos que fazer o pivoˆ igual a 1, multiplicamos a 2a. linha por −1/5.
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46 Matrizes e Sistemas Lineares
−(1/5)×2a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎣ 1 3 −1 5 −70 0 1⃝ −3 2
0 0 3 −9 6
⎤
⎦
Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 2a. coluna, que e´ a coluna do pivoˆ, para isto, adici-
onamos a` 1a. linha a 2a. e a` 3a. linha, −3 vezes a 2a. .
2a. linha + 1a. linha −→ 1a. linha
−3×2a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha
⎡
⎣ 1 3 0 2 −50 0 1 −3 2
0 0 0 0 0
⎤
⎦
Esta matriz e´ escalonada reduzida. Portanto o sistema dado e´ equivalente ao sistema seguinte{
푥 + 3푦 + 2푤 = −5
푧 − 3푤 = 2.
A matriz deste sistema possui duas colunas sem pivoˆs. As varia´veis que na˜o esta˜o associadas
a pivoˆs podem ser consideradas varia´veis livres, isto e´, podem assumir valores arbitra´rios. Neste
exemplo as varia´veis 푦 e 푤 na˜o esta˜o associadas a pivoˆs e podem ser consideradas varia´veis livres.
Sejam 푤 = 훼 e 푦 = 훽. As varia´veis associadas aos pivoˆs tera˜o os seus valores dependentes das
varia´veis livres, 푧 = 2 + 3훼, 푥 = −5− 2훼− 3훽. Assim, a soluc¸a˜o geral do sistema e´
푋 =
⎡
⎢⎢⎣
푥
푦
푧
푤
⎤
⎥⎥⎦ =
⎡
⎢⎢⎣
−5− 2훼− 3훽
훽
2 + 3훼
훼
⎤
⎥⎥⎦ para todos os valores de 훼 e 훽 reais.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 47
Em geral, se o sistema linear tiver soluc¸a˜o e a forma escalonada reduzida da matriz aumentada
possuir colunas sem pivoˆs, as varia´veis que na˜o esta˜o associadas a pivoˆs podem ser consideradas
varia´veis livres, isto e´, podem assumir valores arbitra´rios. As varia´veis associadas aos pivoˆs tera˜o
os seus valores dependentes das varia´veis livres.
Lembramos que o sistema linear na˜o tem soluc¸a˜o se a u´ltima linha na˜o nula da forma escalonada
reduzida da matriz aumentada do sistema for da forma [ 0 . . . 0 ∣ 푏′푚 ], com 푏′푚 ∕= 0, como no Exemplo
1.13 na pa´gina 43.
Observac¸a˜o. Para se encontrar a soluc¸a˜o de um sistema linear na˜o e´ necessa´rio transformar a
matriz aumentada do sistema na sua forma escalonada reduzida, mas se a matriz esta´ nesta forma, o
sistema associado e´ o mais simples possı´vel. Um outro me´todo de resolver sistemas lineares consiste
em, atrave´s da aplicac¸a˜o de operac¸o˜es elementares a` matriz aumentada do sistema, se chegar a uma
matriz que e´ somente escalonada (isto e´, uma matriz que satisfaz as condic¸o˜es (a) e (c), mas na˜o
necessariamente (b) e (d) da Definic¸a˜o 1.6). Este me´todo e´ conhecido como me´todo de Gauss.
O pro´ximo resultado mostra que um sistema linear que tenha mais de uma soluc¸a˜o na˜o pode ter
um nu´mero finito de soluc¸o˜es.
Proposic¸a˜o 1.3. Sejam 퐴 uma matriz 푚 × 푛 e 퐵 uma matriz 푚 × 1. Se o sistema linear 퐴푋 = 퐵
possui duas soluc¸o˜es distintas 푋0 ∕= 푋1, enta˜o ele tem infinitas soluc¸o˜es.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
48 Matrizes e Sistemas Lineares
Demonstrac¸a˜o. Seja
푋휆 = (1− 휆)푋0 + 휆푋1, para 휆 ∈ ℝ.
Vamos mostrar que 푋휆 e´ soluc¸a˜o do sistema 퐴푋 = 퐵, para qualquer 휆 ∈ ℝ. Para isto vamos
mostrar que 퐴푋휆 = 퐵.
Aplicando as propriedades (i), (j) das operac¸o˜es matriciais (Teorema 1.1 na pa´gina 9) obtemos
퐴푋휆 = 퐴[(1− 휆)푋0 + 휆푋1] = 퐴(1− 휆)푋0 + 퐴휆푋1 = (1− 휆)퐴푋0 + 휆퐴푋1
Como 푋0 e 푋1 sa˜o soluc¸o˜es de 퐴푋 = 퐵, enta˜o 퐴푋0 = 퐵 e 퐴푋1 = 퐵, portanto
퐴푋휆 = (1− 휆)퐵 + 휆퐵 = [(1− 휆) + 휆]퐵 = 퐵,
pela propriedade (f) do Teorema 1.1.
Assim o sistema 퐴푋 = 퐵 tem infinitas soluc¸o˜es, pois para todo valor de 휆 ∈ ℝ, 푋휆 e´ soluc¸a˜o e
푋휆−푋휆′ = (휆−휆′)(푋1−푋0), ou seja, 푋휆 ∕= 푋휆′ , para 휆 ∕= 휆′. Observe que para 휆 = 0, 푋휆 = 푋0,
para 휆 = 1, 푋휆 = 푋1, para 휆 = 1/2, 푋휆 = 12푋0 +
1
2
푋1, para 휆 = 3, 푋휆 = −2푋0 + 3푋1 e para
휆 = −2, 푋휆 = 3푋0 − 2푋1.
No Exemplo 3.4 na pa´gina 155 temos uma interpretac¸a˜o geome´trica desta demonstrac¸a˜o. ■
Para resolver sistemas lineares vimos aplicando operac¸o˜es elementares a` matriz aumentada do
sistema linear. Isto pode ser feito com quaisquer matrizes.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 49
1.2.2 Matrizes Equivalentes por Linhas
Definic¸a˜o 1.7. Uma matriz 퐴 = (푎푖푗)푚×푛 e´ equivalente por linhas a uma matriz 퐵 = (푏푖푗)푚×푛, se
퐵 pode ser obtida de 퐴 aplicando-se uma sequ¨eˆncia de operac¸o˜es elementares sobre as suas linhas.
Exemplo 1.15. Observando os Exemplos 1.11, 1.14 e 1.13, vemos que as matrizes⎡
⎣ 1 1 12 1 4
2 3 5
⎤
⎦ ,
⎡
⎣ 0 0 3 −95 15 −10 40
1 3 −1 5
⎤
⎦ ,
⎡
⎣ 1 3 130 1 5
0 −2 −10
⎤
⎦
sa˜o equivalentes por linhas a`s matrizes⎡
⎣ 1 0 00 1 0
0 0 1
⎤
⎦ ,
⎡
⎣ 1 3 0 20 0 1 −3
0 0 0 0
⎤
⎦ ,
⎡
⎣ 1 0 −20 1 5
0 0 0
⎤
⎦ ,
respectivamente. Matrizes estas que sa˜o escalonadas reduzidas.
Cuidado: elas sa˜o equivalentes por linhas, na˜o sa˜o iguais!
A relac¸a˜o “ser equivalente por linhas” satisfaz as seguintes propriedades, cuja verificac¸a˜o deixa-
mos como exercı´cio para o leitor:
∙ Toda matriz e´ equivalente por linhas a ela mesma (reflexividade);
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
50 Matrizes e Sistemas Lineares
∙ Se 퐴 e´ equivalente por linhas a 퐵, enta˜o 퐵 e´ equivalente por linhas a 퐴 (simetria);
∙ Se 퐴 e´ equivalente por linhas a 퐵 e 퐵 e´ equivalente por linhas a 퐶, enta˜o 퐴 e´ equivalente por
linhas a 퐶 (transitividade).
Toda matriz e´ equivalente por linhas a uma matriz na forma escalonada reduzida e a
demonstrac¸a˜o, que omitiremos, pode ser feita da mesma maneira que fizemos no caso particular
das matrizes aumentadas dos Exemplos 1.11, 1.14 e 1.13. No Teorema 5.15 na pa´gina 339 mostra-
mos que essa matriz escalonada reduzida e´ a u´nica matriz na forma escalonada reduzida equivalente
a 퐴.
Teorema 1.4. Toda matriz 퐴 = (푎푖푗)푚×푛 e´ equivalente por linhas a uma u´nica matriz escalonada
reduzida 푅 = (푟푖푗)푚×푛.
O pro´ximo resultado sera´ usado para provar alguns resultados no capı´tulo de inversa˜o de matrizes.
Proposic¸a˜o 1.5. Seja 푅 uma matriz 푛× 푛, na forma escalonada reduzida. Se 푅 ∕= 퐼푛, enta˜o 푅 tem
uma linha nula.
Demonstrac¸a˜o. Observe que o pivoˆ de uma linha 푖 esta´ sempre numa coluna 푗 com 푗 ≥ 푖. Portanto,
ou a u´ltima linha de 푅 e´ nula ou o pivoˆ da linha 푛 esta´ na
posic¸a˜o 푛, 푛. Mas, neste caso todas as
linhas anteriores sa˜o na˜o nulas e os pivoˆs de cada linha 푖 esta´ na coluna 푖, ou seja, 푅 = 퐼푛. ■
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 51
1.2.3 Sistemas Lineares Homogeˆneos
Um sistema linear da forma⎧⎨
⎩
푎11푥1 + 푎12푥2 + . . . + 푎1푛푥푛 = 0
푎21푥1 + 푎22푥2 + . . . + 푎2푛푥푛 = 0
.
.
.
.
.
. =
.
.
.
푎푚1푥1 + 푎푚2푥2 + . . . + 푎푚푛푥푛 = 0
(1.7)
e´ chamado sistema homogeˆneo. O sistema (1.7) pode ser escrito como 퐴푋 = 0¯. Todo sistema
homogeˆneo admite pelo menos a soluc¸a˜o 푋 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푥1
푥2
.
.
.
푥푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ =
⎡
⎢⎢⎢⎣
0
0
.
.
.
0
⎤
⎥⎥⎥⎦ chamada de soluc¸a˜o trivial.
Portanto, todo sistema homogeˆneo tem soluc¸a˜o. Ale´m disso ou tem somente a soluc¸a˜o trivial ou tem
infinitas soluc¸o˜es
Observac¸a˜o. Para resolver um sistema linear homogeˆneo 퐴푋 = 0¯, basta escalonarmos a matriz 퐴
do sistema, ja´ que sob a ac¸a˜o de uma operac¸a˜o elementar a coluna de zeros na˜o e´ alterada. Mas, e´
preciso ficar atento quando se escreve o sistema linear associado a` matriz resultante das operac¸o˜es
elementares, para se levar em considerac¸a˜o esta coluna de zeros que na˜o vimos escrevendo.
Teorema 1.6. Se 퐴 = (푎푖푗)푚×푛, e´ tal que 푚 < 푛, enta˜o o sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯ tem soluc¸a˜o
diferente da soluc¸a˜o trivial, ou seja, todo sistema homogeˆneo com menos equac¸o˜es do que inco´gnitas
tem infinitas soluc¸o˜es.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
52 Matrizes e Sistemas Lineares
Demonstrac¸a˜o. Como o sistema tem menos equac¸o˜es do que inco´gnitas (푚 < 푛), o nu´mero de
linhas na˜o nulas 푟 da forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema tambe´m e´ tal que
푟 < 푛. Assim, temos 푟 pivoˆs e 푛−푟 varia´veis (inco´gnitas) livres, que podem assumir todos os valores
reais. Logo, o sistema admite soluc¸a˜o na˜o trivial e portanto infinitas soluc¸o˜es. ■
O conjunto soluc¸a˜o de um sistema linear homogeˆneo satisfaz duas propriedades interessantes.
Estas propriedades tera˜o um papel decisivo no estudo de subespac¸os de ℝ푛 na Sec¸a˜o 5.2 na pa´gina
308.
Proposic¸a˜o 1.7. Seja 퐴 = (푎푖푗)푚×푛.
(a) Se 푋 e 푌 sa˜o soluc¸o˜es do sistema homogeˆneo, 퐴푋 = 0¯, enta˜o 푋 + 푌 tambe´m o e´.
(b) Se 푋 e´ soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo, 퐴푋 = 0¯, enta˜o 훼푋 tambe´m o e´.
Demonstrac¸a˜o. (a) Se 푋 e 푌 sa˜o soluc¸o˜es do sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯, enta˜o 퐴푋 = 0¯ e
퐴푌 = 0¯ e portanto 푋 + 푌 tambe´m e´ soluc¸a˜o pois, 퐴(푋 + 푌 ) = 퐴푋 + 퐴푌 = 0¯ + 0¯ = 0¯;
(b) Se 푋 e´ soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯, enta˜o 훼푋 tambe´m o e´, pois 퐴(훼푋) =
훼퐴푋 = 훼0¯ = 0¯.
■
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 53
Estas propriedades na˜o sa˜o va´lidas para sistemas lineares em geral. Por exemplo, considere o
sistema linear 퐴푋 = 퐵, em que 퐴 = [1] e 퐵 = [1]. A soluc¸a˜o deste sistema e´ 푋 = [1]. Mas,
푋 +푋 = 2푋 = 2, na˜o e´ soluc¸a˜o do sistema.
Exemplo 1.16. Vamos retomar a cadeia de Markov do Exemplo 1.9 na pa´gina 16. Vamos supor que
uma populac¸a˜o e´ dividida em treˆs estados (por exemplo: ricos, classe me´dia e pobres) e que em cada
unidade de tempo a probabilidade de mudanc¸a de um estado para outro seja constante no tempo, so´
dependa dos estados.
Seja 푡푖푗 a probabilidade de mudanc¸a do estado 푗 para o estado 푖 em uma unidade de tempo
(gerac¸a˜o). A matriz de transic¸a˜o e´ dada por
푇 =
1⃝ 2⃝ 3⃝⎡
⎣ 푡11 푡12 푡13푡21 푡22 푡23
푡31 푡32 푡33
⎤
⎦ 1⃝2⃝
3⃝
Vamos considerar a matriz de transic¸a˜o
푇 =
1⃝ 2⃝ 3⃝⎡
⎢⎣
1
2
1
4
0
1
2
1
2
1
2
0 1
4
1
2
⎤
⎥⎦ 1⃝2⃝
3⃝
Vamos descobrir qual distribuic¸a˜o inicial da populac¸a˜o entre os treˆs estados permanece inalterada,
gerac¸a˜o apo´s gerac¸a˜o. Ou seja, vamos determinar um vetor de estado 푃 tal que
푇푃 = 푃 ou 푇푃 = 퐼3푃 ou (푇 − 퐼3)푃 = 0¯.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
54 Matrizes e Sistemas Lineares
Assim precisamos resolver o sistema linear homogeˆneo
(푇 − 퐼3)푋 = 0¯ ⇔
⎧⎨
⎩
−1
2
푥 + 1
4
푦 = 0
1
2
푥 − 1
2
푦 + 1
2
푧 = 0
1
4
푦 − 1
2
푧 = 0
cuja matriz aumentada e´ ⎡
⎢⎣ −
1
2
1
4
0 0
1
2
−1
2
1
2
0
0 1
4
−1
2
0
⎤
⎥⎦
1a. eliminac¸a˜o:
−2×1a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎢⎣ 1 −
1
2
0 0
1
2
−1
2
1
2
0
0 1
4
−1
2
0
⎤
⎥⎦
−1
2
×1a. linha + 2a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎢⎣ 1 −
1
2
0 0
0 −1
4
1
2
0
0 1
4
−1
2
0
⎤
⎥⎦
2a. eliminac¸a˜o:
−4×2a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎣ 1 −12 0 00 1 −2 0
0 1
4
−1
2
0
⎤
⎦
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 55
1
2
×2a. linha + 1a. linha −→ 1a. linha
−1
4
×2a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha
⎡
⎣ 1 0 −1 00 1 −2 0
0 0 0 0
⎤
⎦
Portanto o sistema dado e´ equivalente ao sistema seguinte{
푥 − 푧 = 0
푦 − 2푧 = 0
Seja 푧 = 훼. Enta˜o 푦 = 2훼 e 푥 = 훼. Assim, a soluc¸a˜o geral do sistema e´
푋 =
⎡
⎣ 푝1푝2
푝3
⎤
⎦ = 훼
⎡
⎣ 12
1
⎤
⎦ , para todo 훼 ∈ ℝ.
Tomando a soluc¸a˜o tal que 푝1 + 푝2 + 푝3 = 1 obtemos que se a populac¸a˜o inicial for distribuı´da de
forma que 푝1 = 1/4 da populac¸a˜o esteja no estado 1, 푝2 = 1/2 da populac¸a˜o esteja no estado 2 e
푝3 = 1/4, esteja no estado 3, enta˜o esta distribuic¸a˜o permanecera´ constante gerac¸a˜o apo´s gerac¸a˜o.
1.2.4 Matrizes Elementares (opcional)
Definic¸a˜o 1.8. Uma matriz elementar 푛×푛 e´ uma matriz obtida da matriz identidade 퐼푛 aplicando-se
uma, e somente uma, operac¸a˜o elementar.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
56 Matrizes e Sistemas Lineares
Vamos denotar por 퐸푖푗 a matriz elementar obtida trocando-se a linha 푖 com a linha 푗 da matriz 퐼푛,
퐸푖(훼) a matriz elementar obtida multiplicando-se a linha 푖 da matriz 퐼푛 pelo escalar 훼 ∕= 0 e 퐸푖,푗(훼)
a matriz elementar obtida da matriz 퐼푛, somando-se a` linha 푗, 훼 vezes a linha 푖.
퐸푖,푗 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0
0
.
.
. ⋅
⋅ 1 ⋅
⋅ 0 . . . 1 ⋅
⋅
.
.
.
.
.
.
.
.
. ⋅
⋅ 1 . . . 0 ⋅
⋅ 1 ⋅
⋅
.
.
. 0
0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0 1
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
← 푖
←푗
, 퐸푖(훼) =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0
0
.
.
. ⋅
⋅ 1 ⋅
⋅ 훼 ⋅
⋅ 1 ⋅
⋅ . . . 0
0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0 1
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
← 푖
e 퐸푖,푗(훼) =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0
0
.
.
. ⋅
⋅ 1 ⋅
⋅ ... . . . ⋅
⋅ 훼 . . . 1 ⋅
⋅ . . . 0
0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0 1
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
← 푖
←푗
Exemplo 1.17. As matrizes seguintes sa˜o as matrizes elementares 2× 2:
퐸1,2 = 퐸2,1 =
[
0 1
1 0
]
, 퐸1(훼) =
[
훼 0
0 1
]
, 퐸2(훼) =
[
1 0
0 훼
]
, com 훼 ∕= 0,
퐸1,2(훼) =
[
1 0
훼 1
]
e 퐸2,1(훼) =
[
1 훼
0 1
]
.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 57
Sejam 퐸1 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
1
0
.
.
.
0
⎤
⎥⎥⎥⎦ , 퐸2 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
0
1
.
.
.
0
⎤
⎥⎥⎥⎦,. . . , 퐸푛 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
0
0
.
.
.
1
⎤
⎥⎥⎥⎦ matrizes 푚× 1.
As matrizes elementares podem ser escritas em termos das matrizes 퐸푖 como
퐸푖,푗 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐸푡1
.
.
.
퐸푡푗
.
.
.
퐸푡푖
.
.
.
퐸푡푚
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
← 푖
←푗
, 퐸푖(훼) =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐸푡1
.
.
.
훼퐸푡푖
.
.
.
퐸푡푚
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦← 푖 e 퐸푖,푗(훼) =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐸푡1
.
.
.
퐸푡푖
.
.
.
퐸푡푗 + 훼퐸
푡
푖
.
.
.
퐸푡푚
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
← 푖
←푗
Aplicar uma operac¸a˜o elementar em uma matriz, corresponde a multiplicar a matriz a` esquerda
por uma matriz elementar, como mostra o resultado a seguir.
Teorema 1.8. Sejam 퐸 uma matriz elementar 푚×푚 e 퐴 uma matriz qualquer 푚× 푛. Enta˜o, 퐸퐴 e´
igual a` matriz obtida aplicando-se na matriz 퐴 a mesma operac¸a˜o elementar que originou 퐸.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
58 Matrizes e Sistemas Lineares
Demonstrac¸a˜o. Como a 푖-e´sima linha de um produto de matrizes 퐵퐴 e´ igual a 퐵푖퐴, em que 퐵푖 e´ a
푖-e´sima linha da matriz 퐵 (Exercı´cio 1.1.18 (b) na pa´gina 27) e 퐸푡푖퐴 = 퐴푖, em que 퐴푖 e´ a linha 푖 da
matriz 퐴 (Exercı´cio 16 (b) na pa´gina 25), enta˜o:
퐸푖,푗퐴 =
푖→
푗→
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐸푡1
.
.
.
퐸푡푗
.
.
.
퐸푡푖
.
.
.
퐸푡푚
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐸푡1퐴
.
.
.
퐸푡푗퐴
.
.
.
퐸푡푖퐴
.
.
.
퐸푡푚퐴
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
← 푖
←푗
=
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푗
.
.
.
퐴푖
.
.
.
퐴푚
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
← 푖
←푗
퐸푖(훼)퐴 = 푖→
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐸푡1
.
.
.
훼퐸푡푖
.
.
.
퐸푡푚
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦ 퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐸푡1퐴
.
.
.
훼퐸푡푖퐴
.
.
.
퐸푡푚퐴
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦← 푖 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
훼퐴푖
.
.
.
퐴푚
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦← 푖
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 59
퐸푖,푗(훼)퐴 =
푖→
푗→
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐸푡1
.
.
.
퐸푡푖
.
.
.
퐸푡푗 + 훼퐸
푡
푖
.
.
.
퐸푡푚
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐸푡1퐴
.
.
.
퐸푡푖퐴
.
.
.
퐸푡푗퐴+ 훼퐸
푡
푖퐴
.
.
.
퐸푡푚퐴
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
← 푖
←푗
=
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푖
.
.
.
퐴푗 + 훼퐴푖
.
.
.
퐴푚
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
← 푖
←푗
■
Assim, aplicar uma sequ¨eˆncia de operac¸o˜es elementares em uma matriz, corresponde a multipli-
car a matriz a` esquerda por um produto de matrizes elementares.
Exemplo 1.18. Quando usamos o me´todo de Gauss-Jordan para resolver o sistema do Exemplo 1.11
na pa´gina 39, aplicamos uma sequ¨eˆncia de operac¸o˜es elementares na matriz aumentada do sistema.
Isto corresponde a multiplicar a matriz aumentada
[퐴 ∣퐵 ] =
⎡
⎣ 1 1 1 10002 1 4 2000
2 3 5 2500
⎤
⎦
a` esquerda pelas matrizes elementares
퐸1,2(−2) =
⎡
⎣ 1 0 0−2 1 0
0 0 1
⎤
⎦ , 퐸1,3(−2) =
⎡
⎣ 1 0 00 1 0
−2 0 1
⎤
⎦ ,
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
60 Matrizes e Sistemas Lineares
퐸2(−1) =
⎡
⎣ 1 0 00 −1 0
0 0 1
⎤
⎦ , 퐸2,1(−1) =
⎡
⎣ 1 −1 00 1 0
0 0 1
⎤
⎦ , 퐸2,3(−1) =
⎡
⎣ 1 0 00 1 0
0 −1 1
⎤
⎦
퐸3(
1
5
) =
⎡
⎣ 1 0 00 1 0
0 0 1
5
⎤
⎦ , 퐸3,1(−3) =
⎡
⎣ 1 0 −30 1 0
0 0 1
⎤
⎦ , 퐸3,2(2) =
⎡
⎣ 1 0 00 1 2
0 0 1
⎤
⎦ ,
ou seja,
퐸3,2(2)퐸3,1(−3)퐸3(15)퐸2,3(−1)퐸2,1(−1)퐸2(−1)퐸1,3(−2)퐸1,2(−2) [퐴 ∣퐵 ]=
⎡
⎣ 1 0 0 7000 1 0 200
0 0 1 100
⎤
⎦ .
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 61
Exercı´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 484)
1.2.1. Quais das seguintes matrizes esta˜o na forma escalonada reduzida:
퐴 =
⎡
⎣ 1 0 0 0 30 0 1 0 −4
0 0 0 1 2
⎤
⎦,
퐶 =
⎡
⎢⎢⎣
1 0 0 0 3
0 0 1 0 0
0 0 0 1 2
0 0 0 0 0
⎤
⎥⎥⎦,
퐵 =
⎡
⎣ 0 1 0 0 −40 0 1 0 5
0 0 0 −1 2
⎤
⎦,
퐷 =
⎡
⎢⎢⎣
0 0 0 0 0
0 0 1 2 −4
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
⎤
⎥⎥⎦.
1.2.2. Em cada item suponha que a matriz aumentada de um sistema foi transformada usando
operac¸o˜es elementares na matriz escalonada reduzida dada. Resolva o sistema correspon-
dente.
(a)
⎡
⎣ 1 0 0 −7 80 1 0 3 2
0 0 1 1 −5
⎤
⎦;
(b)
⎡
⎢⎢⎣
1 −6 0 0 3 −2
0 0 1 0 4 7
0 0 0 1 5 8
0 0 0 0 0 0
⎤
⎥⎥⎦;
(c)
⎡
⎣ 1 0 0 0 60 1 0 0 3
0 0 1 1 2
⎤
⎦;
(d)
⎡
⎢⎢⎣
1 7 0 0 −8 −3
0 0 1 0 6 5
0 0 0 1 3 9
0 0 0 0 0 0
⎤
⎥⎥⎦.
1.2.3. Resolva, usando o me´todo de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:
(a)
⎧⎨
⎩
푥1 + 푥2 + 2푥3 = 8
−푥1 − 2푥2 + 3푥3 = 1
3푥1 − 7푥2 + 4푥3 = 10
;
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
62 Matrizes e Sistemas Lineares
(b)
⎧⎨
⎩
2푥1 + 2푥2 + 2푥3 = 0
−2푥1 + 5푥2 + 2푥3 = 1
8푥1 + 푥2 + 4푥3 = −1
;
(c)
⎧⎨
⎩
− 2푥2 + 3푥3 = 1
3푥1 + 6푥2 − 3푥3 = −2
6푥1 + 6푥2 + 3푥3 = 5
.
1.2.4. Os sistemas lineares seguintes possuem a mesma matriz 퐴. Resolva-os usando o me´todo de
Gauss-Jordan. Observe que os dois sistemas podem ser resolvidos ao mesmo tempo escalo-
nando a matriz aumentada [퐴 ∣퐵1 ∣퐵2 ].
(a)
⎧⎨
⎩
푥1 − 2푥2 + 푥3 = 1
2푥1 − 5푥2 + 푥3 = −2
3푥1 − 7푥2 + 2푥3 = −1
; (b)
⎧⎨
⎩
푥1 − 2푥2 + 푥3 = 2
2푥1 − 5푥2 + 푥3 = −1
3푥1 − 7푥2 + 2푥3 = 2
.
1.2.5. Seja 퐴 =
⎡
⎣ 1 0 51 1 1
0 1 −4
⎤
⎦
.
(a) Encontre a soluc¸a˜o geral do sistema (퐴+ 4퐼3)푋 = 0¯;
(b) Encontre a soluc¸a˜o geral do sistema (퐴− 2퐼3)푋 = 0¯.
1.2.6. Para cada sistema linear dado, encontre todos os valores de 푎 para os quais o sistema na˜o tem
soluc¸a˜o, tem soluc¸a˜o u´nica e tem infinitas soluc¸o˜es:
(a)
⎧⎨
⎩
푥 + 2푦 − 3푧 = 4
3푥 − 푦 + 5푧 = 2
4푥 + 푦 + (푎2 − 14)푧 = 푎+ 2
;
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 63
(b)
⎧⎨
⎩
푥 + 푦 + 푧 = 2
2푥 + 3푦 + 2푧 = 5
2푥 + 3푦 + (푎2 − 1)푧 = 푎+ 1
.
1.2.7. Uma indu´stria produz treˆs produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B. Para a
manufatura de cada kg de X sa˜o utilizados 2 gramas do insumo A e 1 grama do insumo B; para
cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 3 gramas de insumo B e, para cada kg de Z, 3 gramas de A
e 5 gramas de B. O prec¸o de venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z e´ R$ 3,00, R$ 2,00
e R$ 4,00, respectivamente. Com a venda de toda a produc¸a˜o de X, Y e Z manufaturada com
1,9 kg de A e 2,4 kg de B, essa indu´stria arrecadou R$ 2900,00. Determine quantos kg de cada
um dos produtos X, Y e Z foram vendidos. (Sugesta˜o: veja o Exemplo 1.11 na pa´gina 39.)
1.2.8. Determine os coeficientes 푎, 푏, 푐 e 푑 da func¸a˜o polinomial 푝(푥) = 푎푥3 + 푏푥2 + 푐푥 + 푑, cujo
gra´fico passa pelos pontos 푃1 = (0, 10), 푃2 = (1, 7), 푃3 = (3,−11) e 푃4 = (4,−14).
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
64 Matrizes e Sistemas Lineares
−2 −1 0 1 2 3 4 5
−30
−20
−10
0
10
20
30
x
y
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 65
1.2.9. Determine coeficientes 푎, 푏 e 푐 da equac¸a˜o do cı´rculo, 푥2 + 푦2 + 푎푥 + 푏푦 + 푐 = 0, que passa
pelos pontos 푃1 = (−2, 7), 푃2 = (−4, 5) e 푃3 = (4,−3).
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
66 Matrizes e Sistemas Lineares
−6 −4 −2 0 2 4 6 8
−4
−2
0
2
4
6
8
x
y
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 67
1.2.10. Encontre condic¸o˜es sobre os 푏푖’s para que cada um dos sistemas seja consistente (isto e´,
tenha soluc¸a˜o):
(a)
⎧⎨
⎩
푥1 − 2푥2 + 5푥3 = 푏1
4푥1 − 5푥2 + 8푥3 = 푏2
−3푥1 + 3푥2 − 3푥3 = 푏3
; (b)
⎧⎨
⎩
푥1 − 2푥2 − 푥3 = 푏1
−4푥1 + 5푥2 + 2푥3 = 푏2
−4푥1 + 7푥2 + 4푥3 = 푏3
.
1.2.11. (Relativo a` sub-sec¸a˜o 1.2.4) Considere a matriz
퐴 =
⎡
⎣ 0 1 7 81 3 3 8
−2 −5 1 −8
⎤
⎦ .
Encontre matrizes elementares 퐸,퐹,퐺 e 퐻 tais que 푅 = 퐸퐹퐺퐻퐴 e´ uma matriz escalonada
reduzida. (Sugesta˜o: veja o Exemplo 1.18 na pa´gina 59.)
1.2.12. Resolva, usando o me´todo
de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:
(a)
⎧⎨
⎩
푥1 + 2푥2 − 3푥4 + 푥5 = 2
푥1 + 2푥2 + 푥3 − 3푥4 + 푥5 + 2푥6 = 3
푥1 + 2푥2 − 3푥4 + 2푥5 + 푥6 = 4
3푥1 + 6푥2 + 푥3 − 9푥4 + 4푥5 + 3푥6 = 9
;
(b)
⎧⎨
⎩
푥1 + 3푥2 − 2푥3 + 2푥5 = 0
2푥1 + 6푥2 − 5푥3 − 2푥4 + 4푥5 − 3푥6 = −1
5푥3 + 10푥4 + 15푥6 = 5
2푥1 + 6푥2 + 8푥4 + 4푥5 + 18푥6 = 6
;
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68 Matrizes e Sistemas Lineares
1.2.13. Considere a matriz 퐴 =
⎡
⎢⎢⎣
1 1 1 1
1 3 −2 푎
2 2 푎− 2 −푎− 2 3 푎− 1
3 푎+ 2 −3 2 푎+ 1
⎤
⎥⎥⎦. Determine o conjunto soluc¸a˜o do
sistema 퐴푋 = 퐵, em que 퐵 = [ 4 3 1 6 ]푡, para todos os valores de 푎.
1.2.14. Resolva os sistemas lineares cujas matrizes aumentadas sa˜o:
(a)
⎡
⎣ 1 2 3 1 81 3 0 1 7
1 0 2 1 3
⎤
⎦;
(b)
⎡
⎣ 1 1 3 −3 00 2 1 −3 3
1 0 2 −1 −1
⎤
⎦;
(c)
⎡
⎢⎢⎣
1 2 3 0
1 1 1 0
1 1 2 0
1 3 3 0
⎤
⎥⎥⎦;
Exercı´cios usando o MATLABⓇ
Comandos do MATLABⓇ:
>> A=[A1,...,An] cria uma matriz A formada pelas matrizes, definidas anteriormente, A1,
..., An colocadas uma ao lado da outra;
>> expr=subs(expr,x,num) substitui na expressa˜o expr a varia´vel x por num.
>> p=poly2sym([an,...,a0],x) armazena na varia´vel p o polinoˆmio 푎푛푥푛 + . . .+ 푎0.
>> clf limpa a figura ativa.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 69
Comandos do pacote GAAL:
>> B=opel(alpha,i,A) ou >> oe(alpha,i,A)faz a operac¸a˜o elementar
alpha×linha i ==> linha i da matriz A e armazena a matriz resultante em B.
>> B=opel(alpha,i,j,A) ou >> oe(alpha,i,j,A) faz a operac¸a˜o elementar
alpha×linha i + linha j ==> linha j da matriz A e armazena em B.
>> B=opel(A,i,j) ou >> oe(A,i,j) faz a troca da linha 푖 com a linha 푗 da matriz A e arma-
zena a matriz resultante em B.
>> B=escalona(A) calcula passo a passo a forma escalonada reduzida da matriz A e arma-
zena a matriz resultante na varia´vel B.
>> matvand(P,k) obte´m a matriz de Vandermonde de ordem k, se P=[x1;...;xn] e a matriz
de Vandermonde generalizada no caso em que P=[x1,y1;...;xn,yn].
>> po([x1,y1;x2,y2;...xk,yk]) desenha os pontos (x1,y1),...,(xk,yk).
>> plotf1(f,[a,b]) desenha o gra´fico da func¸a˜o dada pela expressa˜o simbo´lica f no inter-
valo [a,b].
>> plotci(f,[a,b],[c,d]) desenha o gra´fico da curva dada implicitamente pela expressa˜o
f(x,y)=0 na regia˜o do plano [a,b]x[c,d].
>> p=poly2sym2([a,b,c,d,e,f],x,y) armazena na varia´vel p o polinoˆmio em duas
varia´veis 푎푥2 + 푏푥푦 + 푐푦2 + 푑푥+ 푒푦 + 푓 .
>> eixos desenha os eixos coordenados.
1.2.15. (a) Use o comando P=randi(4,2), para gerar 4 pontos com entradas inteiras e aleato´rias
entre −5 e 5. Os pontos esta˜o armazenados nas linhas da matriz P.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
70 Matrizes e Sistemas Lineares
(b) Use o MATLABⓇ para tentar encontrar os coeficientes 푎, 푏, 푐 e 푑 da func¸a˜o polinomial
푝(푥) = 푎푥3 + 푏푥2 + 푐푥+ 푑 cujo gra´fico passa pelos pontos dados pelas linhas da matriz
P. A matriz A=matvand(P(:,1),3) pode ser u´til na soluc¸a˜o deste problema, assim como
a matriz B=P(:,2). Se na˜o conseguiu, repita o passo anterior. Por que pode na˜o ser
possı´vel?
(c) Desenhe os pontos e o gra´fico do polinoˆmio com os comandos
clf, po(P), syms x, p=poly2sym(R(:,5),x), plotf1(p,[-5,5]), em que R e´ forma
escalonada reduzida da matriz [A,B].
(d) Desenhe os eixos coordenados com o comando eixos.
1.2.16. (a) Use o comando P=randi(5,2), para gerar 5 pontos com entradas inteiras e aleato´rias
entre −5 e 5. Os pontos esta˜o armazenados nas linhas da matriz P.
(b) Use o MATLABⓇ para tentar encontrar os coeficientes 푎, 푏, 푐, 푑, 푒 e 푓 da coˆnica, curva de
equac¸a˜o 푎푥2 + 푏푥푦 + 푐푦2 + 푑푥 + 푒푦 + 푓 = 0, cujo gra´fico passa pelos pontos cujas
coordenadas sa˜o dadas pelas linhas da matriz P. A matriz A=matvand(P,2) pode ser u´til
na soluc¸a˜o deste problema. Se na˜o conseguiu, repita o passo anterior. Por que pode na˜o
ser possı´vel?
(c) Desenhe os pontos e a coˆnica com os comandos
clf, po(P), syms x y, p=poly2sym2([-R(:,6);1],x,y),
plotci(p,[-5,5],[-5,5]), em que R e´ a forma escalonada reduzida da matriz
A.
(d) Desenhe os eixos coordenados com o comando eixos.
1.2.17. Use o MATLABⓇ e resolva os Exercı´cios Nume´ricos a partir do Exercı´cio 1.2.3.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 71
Exercı´cios Teo´ricos
1.2.18. Mostre que toda operac¸a˜o elementar possui inversa, do mesmo tipo, ou seja, para cada
operac¸a˜o elementar existe uma outra operac¸a˜o elementar do mesmo tipo que desfaz o que
a operac¸a˜o anterior fez.
1.2.19. Prove que:
(a) Toda matriz e´ equivalente por linhas a ela mesma (reflexividade);
(b) Se 퐴 e´ equivalente por linhas a 퐵, enta˜o 퐵 e´ equivalente por linhas a 퐴 (simetria);
(c) Se 퐴 e´ equivalente por linhas a 퐵 e 퐵 e´ equivalente por linhas a 퐶, enta˜o 퐴 e´ equivalente
por linhas a 퐶 (transitividade).
1.2.20. (a) Sejam 푋1 e 푋2 soluc¸o˜es do sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯. Mostre que 훼푋1 + 훽푋2 e´
soluc¸a˜o, para quaisquer escalares 훼 e 훽. (Sugesta˜o: veja o Exemplo 1.7.)
(b) Sejam 푋1 e 푋2 soluc¸o˜es do sistema 퐴푋 = 퐵. Mostre que se 훼푋1 + 훽푋2 e´ soluc¸a˜o,
para quaisquer escalares 훼 e 훽, enta˜o 퐵 = 0¯. (Sugesta˜o: fac¸a 훼 = 훽 = 0.)
1.2.21. Sejam 퐴 uma matriz 푚× 푛 e 퐵 ∕= 0¯ uma matriz 푚× 1.
(a) Mostre que se 푋1 e´ uma soluc¸a˜o do sistema 퐴푋 = 퐵 e 푌1 e´ uma soluc¸a˜o do sistema
homogeˆneo associado 퐴푋 = 0¯, enta˜o 푋1 + 푌1 e´ soluc¸a˜o de 퐴푋 = 퐵.
(b) Seja 푋0 soluc¸a˜o particular do sistema 퐴푋 = 퐵. Mostre que toda soluc¸a˜o 푋 do sistema
퐴푋 = 퐵, pode ser escrita como 푋 = 푋0 + 푌 , em que 푌 e´ uma soluc¸a˜o do sistema
homogeˆneo associado, 퐴푋 = 0¯. Assim, a soluc¸a˜o geral do sistema 퐴푋 = 퐵 e´ a soma
de uma soluc¸a˜o particular de 퐴푋 = 퐵 com a soluc¸a˜o geral do sistema homogeˆneo
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72 Matrizes e Sistemas Lineares
associado 퐴푋 = 0¯. (Sugesta˜o: Escreva 푋 = 푋0 + (푋 − 푋0) e mostre que 푋 − 푋0 e´
soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯.)
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1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 73
Teste do Capı´tulo
1. Para o sistema linear dado, encontre todos os valores de 푎 para os quais o sistema na˜o tem
soluc¸a˜o, tem soluc¸a˜o u´nica e tem infinitas soluc¸o˜es:⎧⎨
⎩
푥 + 2푦 + 푧 = 3
푥 + 푦 − 푧 = 2
푥 + 푦 + (푎2 − 5)푧 = 푎
2. Se possı´vel, encontre os valores de 푥, 푦 e 푧 tais que:⎡
⎣ 1 2 32 5 3
1 0 8
⎤
⎦
⎡
⎣ −40 16 푥13 −5 푦
5 −2 푧
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 1 0 00 1 0
0 0 1
⎤
⎦
3. Sejam
퐷 =
[
1 0
0 −1
]
. e 푃 =
[
cos 휃 sen 휃
− sen 휃 cos 휃
]
.
Sabendo-se que 퐴 = 푃 푡퐷푃 , calcule 퐷2, 푃푃 푡 e 퐴2.
4. Responda Verdadeiro ou Falso, justificando:
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
74 Matrizes e Sistemas Lineares
(a) Se 퐴2 = −2퐴4, enta˜o (퐼푛 + 퐴2)(퐼푛 − 2퐴2) = 퐼푛;
(b) Se 퐴 = 푃 푡퐷푃 , onde 퐷 e´ uma matriz diagonal, enta˜o 퐴푡 = 퐴;
(c) Se 퐷 e´ uma matriz diagonal, enta˜o 퐷퐴 = 퐴퐷, para toda matriz 퐴, 푛× 푛;
(d) Se 퐵 = 퐴퐴푡, enta˜o 퐵 = 퐵푡.
(e) Se 퐵 e 퐴 sa˜o tais que 퐴 = 퐴푡 e 퐵 = 퐵푡, enta˜o 퐶 = 퐴퐵, e´ tal que 퐶푡 = 퐶.
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Capı´tulo 2
Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
2.1 Matriz Inversa
Todo nu´mero real 푎, na˜o nulo, possui um inverso (multiplicativo), ou seja, existe um nu´mero 푏, tal
que 푎 푏 = 푏 푎 = 1. Este nu´mero e´ u´nico e o denotamos por 푎−1. Apesar da a´lgebra matricial ser
semelhante a` a´lgebra dos nu´meros reais, nem todas as matrizes 퐴 na˜o nulas possuem inversa, ou
seja, nem sempre existe uma matriz 퐵 tal que 퐴퐵 = 퐵퐴 = 퐼푛. De inı´cio, para que os produtos 퐴퐵
e 퐵퐴 estejam definidos e sejam iguais e´ preciso que as matrizes 퐴 e 퐵 sejam quadradas.
Portanto,
somente as matrizes quadradas podem ter inversa, o que ja´ diferencia do caso dos nu´meros reais,
pois todo nu´mero na˜o nulo tem inverso. Mesmo entre as matrizes quadradas, muitas na˜o possuem
inversa, apesar do conjunto das que na˜o tem inversa ser bem menor do que o conjunto das que tem
(Exercı´cio 2.2.9 na pa´gina 130).
75
76 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Definic¸a˜o 2.1. Uma matriz quadrada 퐴 = (푎푖푗)푛×푛 e´ invertı´vel ou na˜o singular, se existe uma
matriz 퐵 = (푏푖푗)푛×푛 tal que
퐴 퐵 = 퐵 퐴 = 퐼푛 , (2.1)
em que 퐼푛 e´ a matriz identidade. A matriz 퐵 e´ chamada de inversa de 퐴. Se 퐴 na˜o tem inversa,
dizemos que 퐴 e´ na˜o invertı´vel ou singular.
Exemplo 2.1. Considere as matrizes
퐴 =
[ −2 1
0 3
]
e 퐵 =
[ −1/2 1/6
0 1/3
]
.
A matriz 퐵 e´ a inversa da matriz 퐴, pois 퐴퐵 = 퐵퐴 = 퐼2.
Teorema 2.1. Se uma matriz 퐴 = (푎푖푗)푛×푛 possui inversa, enta˜o a inversa e´ u´nica.
Demonstrac¸a˜o. Suponhamos que 퐵 e 퐶 sejam inversas de 퐴. Enta˜o, 퐴퐵 = 퐵퐴 = 퐼푛 = 퐴퐶 =
퐶퐴 e assim,
퐵 = 퐵 퐼푛 = 퐵(퐴퐶) = (퐵퐴)퐶 = 퐼푛퐶 = 퐶 .
■
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
2.1 A Inversa de uma Matriz 77
Denotamos a inversa de 퐴, quando ela existe, por 퐴−1. Devemos chamar atenc¸a˜o para o fato de
que o ı´ndice superior −1, aqui, na˜o significa uma poteˆncia, ta˜o pouco uma divisa˜o. Assim como no
caso da transposta, em que 퐴푡 significa a transposta de 퐴, aqui, 퐴−1 significa a inversa de 퐴.
2.1.1 Propriedades da Inversa
Teorema 2.2. (a) Se 퐴 e´ invertı´vel, enta˜o 퐴−1 tambe´m o e´ e
(퐴−1)−1 = 퐴 ;
(b) Se 퐴 = (푎푖푗)푛×푛 e 퐵 = (푏푖푗)푛×푛 sa˜o matrizes invertı´veis, enta˜o 퐴퐵 e´ invertı´vel e
(퐴퐵)−1 = 퐵−1퐴−1 ;
(c) Se 퐴 = (푎푖푗)푛×푛 e´ invertı´vel, enta˜o 퐴푡 tambe´m e´ invertı´vel e
(퐴푡)−1 = (퐴−1)푡 .
Demonstrac¸a˜o. Se queremos mostrar que uma matriz e´ a inversa de uma outra, temos que mostrar
que os produtos das duas matrizes sa˜o iguais a` matriz identidade.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
78 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
(a) Uma matriz 퐵 e´ a inversa de 퐴−1 se
퐴−1퐵 = 퐵퐴−1 = 퐼푛 .
Mas, como 퐴−1 e´ a inversa de 퐴, enta˜o
퐴퐴−1 = 퐴−1퐴 = 퐼푛 .
Como a inversa e´ u´nica, enta˜o 퐵 = 퐴 e´ a inversa de 퐴−1, ou seja, (퐴−1)−1 = 퐴.
(b) Temos que mostrar que a inversa de 퐴퐵 e´ 퐵−1퐴−1, ou seja, mostrar que os produtos
(퐴퐵)(퐵−1퐴−1) e (퐵−1퐴−1)(퐴퐵) sa˜o iguais a` matriz identidade. Mas, pelas propriedades
(h) e (i) do Teorema 1.1 na pa´gina 9:
(퐴퐵)(퐵−1퐴−1) = 퐴(퐵퐵−1)퐴−1 = 퐴퐼푛퐴−1 = 퐴퐴−1 = 퐼푛,
(퐵−1퐴−1)(퐴퐵) = 퐵−1(퐴−1퐴)퐵 = 퐵−1퐼푛퐵 = 퐵−1퐵 = 퐼푛.
(c) Queremos mostrar que a inversa de 퐴푡 e´ (퐴−1)푡. Pela propriedade (o) do Teorema 1.1 na
pa´gina 9:
퐴푡(퐴−1)푡 = (퐴−1퐴)푡 = 퐼 푡푛 = 퐼푛,
(퐴−1)푡퐴푡 = (퐴퐴−1)푡 = 퐼 푡푛 = 퐼푛.
■
O teorema seguinte, cuja demonstrac¸a˜o sera´ omitida no momento (Subsec¸a˜o 2.1.2), garante que
basta verificarmos uma das duas igualdades em (2.1) para sabermos se uma matriz e´ a inversa de
outra.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
2.1 A Inversa de uma Matriz 79
Teorema 2.3. Sejam 퐴 e 퐵 matrizes 푛× 푛.
(a) Se 퐵퐴 = 퐼푛, enta˜o 퐴퐵 = 퐼푛;
(b) Se 퐴퐵 = 퐼푛, enta˜o 퐵퐴 = 퐼푛;
Assim, para verificar que uma matriz 퐴 e´ invertı´vel, quando temos uma matriz 퐵 que e´ candidata a
inversa de 퐴, basta fazer um dos produtos 퐴퐵 ou 퐵퐴 e verificar se um deles e´ igual a 퐼푛. O pro´ximo
exemplo ilustra este fato.
Exemplo 2.2. Seja 퐴 = (푎푖푗)푛×푛 uma matriz tal que 퐴3 = 0¯ (퐴 pode na˜o ser a matriz nula!). Vamos
mostrar que a inversa de 퐼푛−퐴 e´ 퐼푛+퐴+퐴2. Para provar isto, devemos multiplicar a matriz 퐼푛−퐴,
pela matriz que possivelmente seja a inversa dela, aqui 퐼 +퐴+퐴2, e verificar se o produto das duas
e´ igual a matriz identidade 퐼푛.
(퐼푛−퐴)(퐼푛 +퐴+퐴2) = 퐼푛(퐼푛 +퐴+퐴2)−퐴(퐼푛 +퐴+퐴2) = 퐼푛 +퐴+퐴2−퐴−퐴2−퐴3 = 퐼푛.
Aqui foram usadas as propriedades (i) e (j) do Teorema 1.1 na pa´gina 9.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
80 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
2.1.2 Matrizes Elementares e Inversa˜o (opcional)
As matrizes elementares teˆm um papel importante no estudo da inversa˜o de matrizes e da soluc¸a˜o
de sistemas lineares.
Proposic¸a˜o 2.4. Toda matriz elementar e´ invertı´vel e sua inversa e´ tambe´m uma matriz elementar.
Usando a notac¸a˜o introduzida na pa´gina 55, temos:
(a) 퐸−1푖,푗 = 퐸푗,푖 = 퐸푖,푗 ;
(b) 퐸푖(훼)−1 = 퐸푖(1/훼), para 훼 ∕= 0;
(c) 퐸푖,푗(훼)−1 = 퐸푖,푗(−훼).
Demonstrac¸a˜o. Seja퐸 uma matriz elementar. Esta matriz e´ obtida de 퐼푛 aplicando-se uma operac¸a˜o
elementar. Seja 퐹 a matriz elementar correspondente a operac¸a˜o que transforma 퐸 de volta em 퐼푛.
Agora, pelo Teorema 1.8 na pa´gina 57, temos que 퐹 퐸 = 퐸 퐹 = 퐼푛. Portanto, 퐹 e´ a inversa de
퐸. ■
Teorema 2.5. Seja 퐴 uma matriz 푛× 푛. As seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:
(a) Existe uma matriz 퐵, 푛× 푛, tal que 퐵퐴 = 퐼푛.
(b) A matriz 퐴 e´ equivalente por linhas a` matriz identidade 퐼푛.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
2.1 A Inversa de uma Matriz 81
(c) A matriz 퐴 e´ invertı´vel.
Demonstrac¸a˜o. (a)⇒(b) Se 퐵퐴 = 퐼푛, enta˜o o sistema 퐴푋 = 0¯ tem somente a soluc¸a˜o trivial,
pois 푋 = 퐼푛푋 = 퐵퐴푋 = 퐵 0¯ = 0¯. Isto implica que a matriz 퐴 e´ equivalente por linhas a`
matriz identidade 퐼푛, pois caso contra´rio a forma escalonada reduzida de 퐴 teria uma linha nula
(Proposic¸a˜o 1.5 na pa´gina 50).
(b)⇒(c) A matriz 퐴 ser equivalente por linhas a` 퐼푛 significa, pelo Teorema 1.8 na pa´gina 57, que
existem matrizes elementares 퐸1, . . . , 퐸푘, tais que
퐸푘 . . . 퐸1퐴 = 퐼푛 (2.2)
(퐸−11 . . . 퐸
−1
푘 )퐸푘 . . . 퐸1퐴 = 퐸
−1
1 . . . 퐸
−1
푘
퐴 = 퐸−11 . . . 퐸
−1
푘 . (2.3)
Aqui, usamos o fato de que as matrizes elementares sa˜o invertı´veis (Proposic¸a˜o 2.4). Portanto,
퐴 e´ invertı´vel como o produto de matrizes invertı´veis.
(c)⇒(a) Claramente.
■
Se 퐴 e´ invertı´vel, enta˜o multiplicando-se ambos os membros de (2.2) a` direita por 퐴−1 obtemos
퐸푘 . . . 퐸1퐼푛 = 퐴
−1.
Assim, a mesma sequ¨eˆncia de operac¸o˜es elementares que transforma a matriz퐴 na matriz identidade
퐼푛 transforma tambe´m 퐼푛 em 퐴−1.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
82 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
A demonstrac¸a˜o do Teorema 2.3 na pa´gina 79, agora, e´ uma simples consequ¨eˆncia do Teorema
anterior.
Demonstrac¸a˜o do Teorema 2.3. (a) Vamos mostrar que se 퐵퐴 = 퐼푛, enta˜o 퐴 e´ invertı´vel e 퐵 =
퐴−1. Se 퐵퐴 = 퐼푛, enta˜o pelo Teorema 2.5, 퐴 e´ invertı´vel e 퐵 = 퐵퐼푛 = 퐵퐴퐴−1 = 퐼푛퐴−1 =
퐴−1. Logo, 퐴퐵 = 퐵퐴 = 퐼푛.
(b) Se 퐴퐵 = 퐼푛, enta˜o pelo item anterior 퐵 e´ invertı´vel e 퐵−1 = 퐴. Portanto 퐵퐴 = 퐴퐵 = 퐼푛.
■
Segue da demonstrac¸a˜o, do Teorema 2.5 (equac¸a˜o (2.3)) o resultado seguinte.
Teorema 2.6. Uma matriz 퐴 e´ invertı´vel se, e somente se, ela e´ um produto de matrizes elementares.
Exemplo 2.3. Vamos escrever a matriz 퐴 do Exemplo 2.5 na pa´gina 87 como o produto de matrizes
elementares. Quando encontramos a inversa da matriz 퐴, aplicamos uma sequ¨eˆncia de operac¸o˜es
elementares em [퐴 ∣ 퐼3 ] ate´ que encontramos a matriz [ 퐼3 ∣퐴−1 ]. Como as operac¸o˜es sa˜o por linha,
esta mesma sequ¨eˆncia de operac¸o˜es elementares transforma 퐴 em 퐼푛. Isto corresponde a multiplicar
a matriz 퐴 =
⎡
⎣ 1 1 12 1 4
2 3 5
⎤
⎦ a` esquerda pelas matrizes elementares
퐸1,2(−2) =
⎡
⎣ 1 0 0−2 1 0
0 0 1
⎤
⎦ , 퐸1,3(−2) =
⎡
⎣ 1 0 00 1 0
−2 0 1
⎤
⎦ ,
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
2.1 A Inversa de uma Matriz 83
퐸2(−1) =
⎡
⎣ 1 0 00 −1 0
0 0 1
⎤
⎦ , 퐸2,1(−1) =
⎡
⎣ 1 −1 00 1 0
0 0 1
⎤
⎦ , 퐸2,3(−1) =
⎡
⎣ 1 0 00 1 0
0 −1 1
⎤
⎦
퐸3(
1
5
) =
⎡
⎣ 1 0 00 1 0
0 0 1
5
⎤
⎦ , 퐸3,1(−3) =
⎡
⎣ 1 0 −30 1 0
0 0 1
⎤
⎦ , 퐸3,2(2) =
⎡
⎣ 1 0 00
1 2
0 0 1
⎤
⎦ ,
ou seja,
퐸3,2(2) 퐸3,1(−3) 퐸3(15) 퐸2,3(−1) 퐸2,1(−1) 퐸2(−1) 퐸1,3(−2) 퐸1,2(−2) 퐴 = 퐼3.
Multiplicando a` esquerda pelas inversas das matrizes elementares correspondentes obtemos
퐴 = 퐸1,2(2) 퐸1,3(2) 퐸2(−1) 퐸2,1(1) 퐸2,3(1) 퐸3(5) 퐸3,1(3) 퐸3,2(−2).
2.1.3 Me´todo para Inversa˜o de Matrizes
O exemplo seguinte mostra, para matrizes 2 × 2, na˜o somente uma forma de descobrir se uma
matriz 퐴 tem inversa mas tambe´m, como encontrar a inversa, no caso em que ela exista. Ou seja,
escalonamos a matriz [퐴 ∣ 퐼2] e encontramos a sua forma escalonada reduzida [푅 ∣ 푆]. Se 푅 = 퐼2,
enta˜o a matriz 퐴 e´ invertı´vel e a inversa 퐴−1 = 푆. Caso contra´rio, a matriz 퐴 na˜o e´ invertı´vel.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
84 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Exemplo 2.4. Seja 퐴 =
[
푎 푏
푐 푑
]
. Devemos procurar uma matriz 퐵 =
[
푥 푦
푧 푤
]
tal que 퐴퐵 = 퐼2,
ou seja, ⎧⎨
⎩
푎푥 + 푏푧 = 1
푐푥 + 푑푧 = 0
푎푦 + 푏푤 = 0
푐푦 + 푑푤 = 1
Este sistema pode ser desacoplado em dois sistemas independentes que possuem a mesma matriz,
que e´ a matriz 퐴. Podemos resolveˆ-los simultaneamente. Para isto, basta escalonarmos a matriz
aumentada [
푎 푏 1 0
푐 푑 0 1
]
= [퐴 ∣ 퐼2 ].
Os dois sistemas teˆm soluc¸a˜o u´nica se, e somente se, a forma escalonada reduzida da matriz [퐴 ∣ 퐼2 ]
for da forma [ 퐼2 ∣푆 ] =
[
1 0 푠 푡
0 1 푢 푣
]
(verifique, observando o que acontece se a forma escalonada
reduzida da matriz 퐴 na˜o for igual a 퐼2). Neste caso, 푥 = 푠, 푧 = 푢 e 푦 = 푡, 푤 = 푣, ou seja, a matriz
퐴 possuira´ inversa, 퐴−1 = 퐵 = 푆 =
[
푠 푡
푢 푣
]
.
Para os leitores da Subsec¸a˜o 2.1.2 o pro´ximo teorema e´ uma simples consequ¨eˆncia do Teorema
2.5 na pa´gina 80. Entretanto a demonstrac¸a˜o que daremos a seguir fornece um me´todo para encontrar
a inversa de uma matriz, se ela existir.
Teorema 2.7. Uma matriz 퐴, 푛×푛, e´ invertı´vel se, e somente se, 퐴 e´ equivalente por linhas a` matriz
identidade 퐼푛.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
2.1 A Inversa de uma Matriz 85
Demonstrac¸a˜o. Pelo Teorema 2.3 na pa´gina 79, para verificarmos se uma matriz 퐴, 푛 × 푛, e´ in-
vertı´vel, basta verificarmos se existe uma matriz 퐵, tal que
퐴퐵 = 퐼푛 . (2.4)
Vamos denotar as colunas de 퐵 por 푋1, 푋2, . . . , 푋푛, ou seja, 퐵 = [푋1 . . . 푋푛 ], em que
푋1 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푥11
푥21
.
.
.
푥푛1
⎤
⎥⎥⎥⎦ , 푋2 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푥12
푥22
.
.
.
푥푛2
⎤
⎥⎥⎥⎦ , . . . , 푋푛 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푥1푛
푥2푛
.
.
.
푥푛푛
⎤
⎥⎥⎥⎦
e as colunas da matriz identidade 퐼푛, por 퐸1, 퐸2, . . . , 퐸푛, ou seja, 퐼푛 = [퐸1 . . . 퐸푛 ], em que
퐸1 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
1
0
.
.
.
0
⎤
⎥⎥⎥⎦ , 퐸2 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
0
1
.
.
.
0
⎤
⎥⎥⎥⎦ , . . . , 퐸푛 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
0
0
.
.
.
1
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
Assim a equac¸a˜o (2.4) pode ser escrita como
퐴 [푋1 . . . 푋푛 ] = [퐴푋1 . . . 퐴푋푛 ] = [퐸1 . . . 퐸푛 ],
pois a 푗-e´sima coluna do produto 퐴퐵 e´ igual a 퐴 vezes a 푗-e´sima coluna da matriz 퐵 (Exercı´cio 18
na pa´gina 27). Analisando coluna a coluna a equac¸a˜o anterior vemos que encontrar 퐵 e´ equivalente
a resolver 푛 sistemas lineares
퐴푋푗 = 퐸푗 para 푗 = 1 . . . , 푛.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
86 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Cada um dos sistemas pode ser resolvido usando o me´todo de Gauss-Jordan. Para isso, formarı´amos
as matrizes aumentadas [퐴 ∣ 퐸1], [퐴 ∣ 퐸2], . . . , [퐴 ∣ 퐸푛]. Entretanto, como as matrizes dos sistemas
sa˜o todas iguais a` 퐴, podemos resolver todos os sistemas simultaneamente formando a matriz 푛×2푛
[퐴 ∣ 퐸1퐸2 . . . 퐸푛 ] = [퐴 ∣ 퐼푛 ].
Transformando [퐴 ∣ 퐼푛 ] na sua forma escalonada reduzida, que vamos denotar por [푅 ∣ 푆 ], vamos
chegar a duas situac¸o˜es possı´veis: ou a matriz 푅 e´ a matriz identidade, ou na˜o e´.
∙ Se 푅 = 퐼푛, enta˜o a forma escalonada reduzida da matriz [퐴 ∣ 퐼푛 ] e´ da forma [ 퐼푛 ∣ 푆 ]. Se
escrevemos a matriz 푆 em termos das suas colunas 푆 = [푆1 푆2 . . . 푆푛 ], enta˜o as soluc¸o˜es dos
sistemas 퐴푋푗 = 퐸푗 sa˜o 푋푗 = 푆푗 e assim 퐵 = 푆 e´ tal que 퐴퐵 = 퐼푛 e pelo Teorema 2.3 na
pa´gina 79 퐴 e´ invertı´vel.
∙ Se 푅 ∕= 퐼푛, enta˜o a matriz 퐴 na˜o e´ equivalente por linhas a` matriz identidade 퐼푛. Enta˜o, pela
Proposic¸a˜o 1.5 na pa´gina 50 a matriz 푅 tem uma linha nula. O que implica que cada um dos
sistemas 퐴푋푗 = 퐸푗 ou na˜o tem soluc¸a˜o u´nica ou na˜o tem soluc¸a˜o. Isto implica que a matriz
퐴 na˜o tem inversa, pois as colunas da (u´nica) inversa seriam 푋푗 , para 푗 = 1, . . . 푛. ■
Observac¸a˜o. Da demonstrac¸a˜o do Teorema 2.7 obtemos na˜o somente uma forma de descobrir se
uma matriz 퐴 tem inversa mas tambe´m, como encontrar a inversa, no caso em que ela exista. Ou
seja, escalonamos a matriz [퐴 ∣ 퐼푛] e encontramos a sua forma escalonada reduzida [푅 ∣ 푆]. Se
푅 = 퐼푛, enta˜o a matriz 퐴 e´ invertı´vel e a inversa 퐴−1 = 푆. Caso contra´rio, a matriz 퐴 na˜o e´ invertı´vel.
Vejamos os exemplos seguintes.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
2.1 A Inversa de uma Matriz 87
Exemplo 2.5. Vamos encontrar, se existir, a inversa de
퐴 =
⎡
⎣ 1 1 12 1 4
2 3 5
⎤
⎦
1a. eliminac¸a˜o:
−2×1a. linha + 2a. linha −→ 2a. linha
−2×1a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha
⎡
⎣ 1 1 1 1 0 00 −1 2 −2 1 0
0 1 3 −2 0 1
⎤
⎦
2a. eliminac¸a˜o:
−1×2a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎣ 1 1 1 1 0 00 1 −2 2 −1 0
0 1 3 −2 0 1
⎤
⎦
−1×2a. linha + 1a. linha −→ 1a. linha
−1×2a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha
⎡
⎣ 1 0 3 −1 1 00 1 −2 2 −1 0
0 0 5 −4 1 1
⎤
⎦
3a. eliminac¸a˜o:
1
5
×3a. linha −→ 3a. linha
⎡
⎣ 1 0 3 −1 1 00 1 −2 2 −1 0
0 0 1 −4
5
1
5
1
5
⎤
⎦
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
88 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
−3×3a. linha + 1a. linha −→ 1a. linha
2×3a. linha + 2a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎢⎣ 1 0 0
7
5
2
5
−3
5
0 1 0 2
5
−3
5
2
5
0 0 1 −4
5
1
5
1
5
⎤
⎥⎦
Assim, a matriz [퐴 ∣ 퐼3] e´ equivalente por linhas a` matriz acima, que e´ da forma [퐼3 ∣ 푆], portanto a
matriz 퐴 e´ invertı´vel e a sua inversa e´ a matriz 푆, ou seja,
퐴−1 =
⎡
⎢⎣
7
5
2
5
−3
5
2
5
−3
5
2
5
−4
5
1
5
1
5
⎤
⎥⎦ .
Exemplo 2.6. Vamos determinar, se existir, a inversa da matriz
퐴 =
⎡
⎣ 1 2 31 1 2
0 1 1
⎤
⎦ .
Para isso devemos escalonar a matriz aumentada
[퐴 ∣ 퐼3] =
⎡
⎣ 1 2 3 1 0 01 1 2 0 1 0
0 1 1 0 0 1
⎤
⎦
1a. eliminac¸a˜o:
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
2.1 A Inversa de uma Matriz 89
−1×1a. linha + 2a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎣ 1 2 3 1 0 00 1 1 1 −1 0
0 1 1 0 0 1
⎤
⎦
2a. eliminac¸a˜o:
−1×2a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎣ 1 2 3 1 0 00 1 1 1 −1 0
0 1 1 0 0 1
⎤
⎦
−2×2a. linha + 1a. linha −→ 1a. linha
−1×2a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha
⎡
⎣ 1 0 1 −1 2 00 1 1 1 −1 0
0 0 0 −1 1 1
⎤
⎦
Assim, a matriz [퐴 ∣ 퐼3] e´ equivalente por linhas a` matriz acima, que e´ da forma [푅 ∣ 푆], com 푅 ∕= 퐼3.
Assim, a matriz 퐴 na˜o e´ equivalente por linhas a` matriz identidade e portanto na˜o e´ invertı´vel.
Se um sistema linear 퐴푋 = 퐵 tem o nu´mero de equac¸o˜es igual ao nu´mero de inco´gnitas,
enta˜o o conhecimento da inversa da matriz do sistema 퐴−1, reduz o problema de resolver o sistema
a simplesmente fazer um produto de matrizes, como esta´ enunciado no pro´ximo teorema.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
90 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Teorema 2.8. Seja 퐴 uma matriz 푛× 푛.
(a) O sistema associado 퐴푋 = 퐵 tem soluc¸a˜o u´nica se, e somente se, 퐴 e´ invertı´vel. Neste caso
a soluc¸a˜o e´ 푋 = 퐴−1퐵;
(b) O sistema homogeˆneo 퐴푋 =
0¯ tem soluc¸a˜o na˜o trivial se, e somente se, 퐴 e´ singular (na˜o
invertı´vel).
Demonstrac¸a˜o. (a) Se a matriz 퐴 e´ invertı´vel, enta˜o multiplicando 퐴푋 = 퐵 por 퐴−1 a` esquerda
em ambos os membros obtemos
퐴−1(퐴푋) = 퐴−1퐵
(퐴−1퐴)푋 = 퐴−1퐵
퐼푛푋 = 퐴
−1퐵
푋 = 퐴−1퐵.
Aqui foram usadas as propriedades (h) e (i) do Teorema 1.1 na pa´gina 9. Portanto, 푋 = 퐴−1퐵
e´ a u´nica soluc¸a˜o do sistema 퐴푋 = 퐵. Por outro lado, se o sistema 퐴푋 = 퐵 possui soluc¸a˜o
u´nica, enta˜o a forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema [퐴 ∣ 퐵] e´ da forma
[푅 ∣ 푆], em que 푅 = 퐼푛. Pois a matriz 퐴 e´ quadrada e caso 푅 fosse diferente da identidade
possuiria uma linha de zeros (Proposic¸a˜o 1.5 na pa´gina 50) o que levaria a que o sistema
퐴푋 = 퐵 ou na˜o tivesse soluc¸a˜o ou tivesse infinitas soluc¸o˜es. Logo, a matriz 퐴 e´ equivalente
por linhas a` matriz identidade o que pelo Teorema 2.7 na pa´gina 84 implica que 퐴 e´ invertı´vel.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
2.1 A Inversa de uma Matriz 91
(b) Todo sistema homogeˆneo possui pelo menos a soluc¸a˜o trivial. Pelo item anterior, esta sera´ a
u´nica soluc¸a˜o se, e somente se, 퐴 e´ invertı´vel. ■
Vamos ver no pro´ximo exemplo que se conhecemos a inversa de uma matriz, enta˜o a produc¸a˜o
de uma indu´stria em va´rios perı´odos pode ser obtida apenas multiplicando-se a inversa por matrizes
colunas que contenham a arrecadac¸a˜o e as quantidades dos insumos utilizados em cada perı´odo.
Exemplo 2.7. Uma indu´stria produz treˆs produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B.
Para a manufatura de cada kg de X sa˜o utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B;
para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 1 grama de insumo B e, para cada kg de Z, 1 grama de
A e 4 gramas de B. O prec¸o de venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z e´ R$ 2,00, R$ 3,00 e
R$ 5,00, respectivamente. Como vimos no Exemplo 1.6 na pa´gina 7, usando matrizes o esquema de
produc¸a˜o pode ser descrito da seguinte forma:
X Y Z
gramas de A/kg
gramas de B/kg
prec¸o/kg
⎡
⎣ 1 1 12 1 4
2 3 5
⎤
⎦ = 퐴 푋 =
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ kg de X produzidoskg de Y produzidos
kg de Z produzidos
퐴푋 =
⎡
⎣ 푥+ 푦 + 푧2푥+ 푦 + 4푧
2푥+ 3푦 + 5푧
⎤
⎦ gramas de A usadosgramas de B usados
arrecadac¸a˜o
No Exemplo 2.5 na pa´gina 87 determinamos a inversa da matriz
퐴 =
⎡
⎣ 1 1 12 1 4
2 3 5
⎤
⎦
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
92 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
que e´
퐴−1 =
⎡
⎢⎣
7
5
2
5
−3
5
2
5
−3
5
2
5
−4
5
1
5
1
5
⎤
⎥⎦ = 1
5
⎡
⎢⎣ 7 2 −32 −3 2
−4 1 1
⎤
⎥⎦ .
Sabendo-se a inversa da matriz 퐴 podemos saber a produc¸a˜o da indu´stria sempre que soubermos
quanto foi gasto do insumo A, do insumo B e a arrecadac¸a˜o.
(a) Se em um perı´odo com a venda de toda a produc¸a˜o de X, Y e Z manufaturada com 1 kg de A
e 2 kg de B, essa indu´stria arrecadou R$ 2500, 00, enta˜o para determinar quantos kg de cada
um dos produtos X, Y e Z foram vendidos simplesmente multiplicamos 퐴−1 pela matriz
퐵 =
⎡
⎣ 10002000
2500
⎤
⎦ gramas de A usadosgramas de B usados
arrecadac¸a˜o
ou seja,
kg de X produzidos
kg de Y produzidos
kg de Z produzidos
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦=푋=퐴−1퐵 = 1
5
⎡
⎢⎣ 7 2 −32 −3 2
−4 1 1
⎤
⎥⎦
⎡
⎣ 10002000
2500
⎤
⎦=
⎡
⎣ 700200
100
⎤
⎦
Portanto, foram produzidos 700 kg do produto X, 200 kg de Y e 100 kg de Z.
(b) Se em outro perı´odo com a venda de toda a produc¸a˜o de X, Y e Z manufaturada com 1 kg de
A e 2, 1 kg de B, essa indu´stria arrecadou R$ 2900, 00, enta˜o para determinar quantos kg de
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
2.1 A Inversa de uma Matriz 93
cada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos simplesmente multiplicamos 퐴−1 pela matriz
퐵 =
⎡
⎣ 10002100
2900
⎤
⎦ gramas de A usadosgramas de B usados
arrecadac¸a˜o
ou seja,
kg de X produzidos
kg de Y produzidos
kg de Z produzidos
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦=푋 =퐴−1퐵 = 1
5
⎡
⎢⎣ 7 2 −32 −3 2
−4 1 1
⎤
⎥⎦
⎡
⎣ 10002100
2900
⎤
⎦=
⎡
⎣ 500300
200
⎤
⎦
Portanto, foram produzidos 500 kg do produto X, 300 kg de Y e 200 kg de Z.
Vamos mostrar a recı´proca do item (b) do Teorema 2.2 na pa´gina 77. Este resultado sera´ u´til
na demonstrac¸a˜o de que o determinante do produto de matrizes e´ o produto dos determinantes
(Subsec¸a˜o 2.2.2 na pa´gina 126).
Proposic¸a˜o 2.9. Se 퐴 e 퐵 sa˜o matrizes 푛× 푛, com 퐴퐵 invertı´vel, enta˜o 퐴 e 퐵 sa˜o invertı´veis.
Demonstrac¸a˜o. Considere o sistema (퐴퐵)푋 = 0¯. Se 퐵 na˜o fosse invertı´vel, enta˜o existiria 푋 ∕= 0¯,
tal que 퐵푋 = 0¯ (Teorema 2.8 na pa´gina 90). Multiplicando-se por 퐴, terı´amos 퐴퐵푋 = 0¯, o que,
novamente pelo Teorema 2.8 na pa´gina 90, contradiz o fato de 퐴퐵 ser invertı´vel. Portanto, 퐵 e´
invertı´vel. Agora, se 퐵 e 퐴퐵 sa˜o invertı´veis, enta˜o 퐴 tambe´m e´ invertı´vel, pois 퐴 = (퐴퐵)퐵−1, que
e´ o produto de duas matrizes invertı´veis. ■
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
94 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
2.1.4 Aplicac¸a˜o: Interpolac¸a˜o Polinomial
Sejam 푃1 = (푥1, 푦1), . . . , 푃푛 = (푥푛, 푦푛), com 푥1, . . . , 푥푛 nu´meros distintos. Considere o pro-
blema de encontrar um polinoˆmio de grau 푛− 1
푝(푥) = 푎푛−1푥푛−1 + 푎푛−2푥푛−2 + ⋅ ⋅ ⋅+ 푎1푥+ 푎0,
que interpola os dados, no sentido de que 푝(푥푖) = 푦푖, para 푖 = 1, . . . , 푛.
Por exemplo se os pontos sa˜o 푃1 = (0, 10), 푃2 = (1, 7), 푃3 = (3,−11), 푃4 = (4,−14) enta˜o
o problema consiste em encontrar um polinoˆmio de grau 3 que interpola os pontos dados (veja o
Exercı´cio 1.2.8 na pa´gina 63).
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
2.1 A Inversa de uma Matriz 95
−2 −1 0 1 2 3 4 5
−30
−20
−10
0
10
20
30
x
y
Vamos mostrar que existe, um e somente um, polinoˆmio de grau no ma´ximo igual a 푛 − 1, que
interpola 푛 pontos, com abscissas distintas. Substituindo os pontos no polinoˆmio 푝(푥), obtemos um
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
96 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
sistema linear 퐴푋 = 퐵, em que
푋 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎푛−1
푎푛−2
.
.
.
푎0
⎤
⎥⎥⎥⎦ , 퐵 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푦1
푦2
.
.
.
푦푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ e 퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푥푛−11 푥
푛−2
1 . . . 푥1 1
푥푛−12 푥
푛−2
2 . . . 푥2 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
푥푛−1푛 푥
푛−2
푛 . . . 푥푛 1
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
A matriz 퐴 e´ chamada matriz de Vandermonde.
Vamos mostrar que 퐴푋 = 퐵 tem somente uma soluc¸a˜o. Pelo Teorema 2.8 na pa´gina 90, um
sistema de 푛 equac¸o˜es e 푛 inco´gnitas 퐴푋 = 퐵 tem soluc¸a˜o u´nica se, e somente se, o sistema
homogeˆneo associado, 퐴푋 = 0¯, tem somente a soluc¸a˜o trivial. 푋 = [ 푎푛−1 ⋅ ⋅ ⋅ 푎0 ] e´ soluc¸a˜o do
sistema homogeˆneo se, e somente se, o polinoˆmio de grau 푛 − 1, 푝(푥) = 푎푛−1푥푛−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + 푎0, se
anula em 푛 pontos distintos. O que implica que o polinoˆmio 푝(푥) e´ o polinoˆmio com todos os seus
coeficientes iguais a zero. Portanto, o sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯ tem somente a soluc¸a˜o trivial.
Isto prova que existe, um e somente um, polinoˆmio de grau no ma´ximo igual a 푛− 1, que interpola 푛
pontos, com abscissas distintas.
Assim a soluc¸a˜o do sistema linear e´ 푋 = 퐴−1퐵. Como a matriz 퐴 depende apenas das abs-
cissas dos pontos, tendo calculado a matriz 퐴−1 podemos determinar rapidamente os polinoˆmios
que interpolam va´rios conjuntos de pontos, desde que os pontos de todos os conjuntos tenham as
mesmas abscissas dos pontos do conjunto inicial.
2.1.5 Aplicac¸a˜o: Criptografia
Vamos transformar uma mensagem em uma matriz da seguinte forma. Vamos quebrar a men-
sagem em pedac¸os de tamanho 3 e cada
pedac¸o sera´ convertido em uma matriz coluna usando a
Tabela 2.1 de conversa˜o entre caracteres e nu´meros.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
2.1 A Inversa de uma Matriz 97
Considere a seguinte mensagem criptografada
1ydobbr,? (2.5)
Quebrando a mensagem criptografada em pedac¸os de tamanho 3 e convertendo cada pedac¸o para
uma coluna de nu´meros usando a Tabela 2.1 obtemos a matriz
푌 =
⎡
⎣ 80 15 1825 2 107
4 2 94
⎤
⎦
Sabendo-se que esta mensagem foi criptografada fazendo o produto da mensagem inicial pela matriz
푀 =
⎡
⎣ 1 1 00 1 1
0 0 1
⎤
⎦
enta˜o
푋 = 푀−1푌
sera´ a mensagem inicial convertida para nu´meros, ou seja,
푋 = 푀−1푌 =
⎡
⎣ 1 −1 10 1 −1
0 0 1
⎤
⎦
⎡
⎣ 80 15 1825 2 107
4 2 94
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 59 15 521 0 13
4 2 94
⎤
⎦
Convertendo para texto usando novamente a Tabela 2.1 obtemos que a mensagem que foi criptogra-
fada e´
Tudo bem? (2.6)
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
98 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Exercı´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 510)
2.1.1. Seja 퐴 uma matriz 3 × 3. Suponha que 푋 =
⎡
⎣ 1−2
3
⎤
⎦ e´ soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo
퐴푋 = 0¯. A matriz 퐴 e´ singular ou na˜o? Justifique.
2.1.2. Se possı´vel, encontre as inversas das seguintes matrizes:
(a)
⎡
⎣ 1 2 31 1 2
0 1 2
⎤
⎦;
(b)
⎡
⎣ 1 2 21 3 1
1 3 2
⎤
⎦;
(c)
⎡
⎢⎢⎣
1 1 1 1
1 2 −1 2
1 −1 2 1
1 3 3 2
⎤
⎥⎥⎦;
(d)
⎡
⎣ 1 2 30 2 3
1 2 4
⎤
⎦;
(e)
⎡
⎣ 1 2 31 1 2
0 1 1
⎤
⎦;
(f)
⎡
⎢⎢⎣
1 1 1 1
1 3 1 2
1 2 −1 1
5 9 1 6
⎤
⎥⎥⎦;
2.1.3. Encontre todos os valores de 푎 para os quais a matriz 퐴 =
⎡
⎣ 1 1 01 0 0
1 2 푎
⎤
⎦ tem inversa.
2.1.4. Se
퐴−1 =
[
3 2
1 3
]
e 퐵−1 =
[
2 5
3 −2
]
,
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
2.1 A Inversa de uma Matriz 99
encontre (퐴퐵)−1.
2.1.5. Resolva o sistema 퐴푋 = 퐵, se 퐴−1 =
[
2 3
4 1
]
e 퐵 =
[
5
3
]
.
2.1.6. Seja
퐴 =
[
1 −1
−4 1
]
.
mostraremos no Exemplo 6.6 na pa´gina 401 que
푃 =
[
1 1
−2 2
]
e 퐷 =
[
3 0
0 −1
]
sa˜o tais que
퐴 = 푃퐷푃−1.
Determine 퐴푘, para 푘 = 1, 2, 3, . . .
2.1.7. (Relativo a` Subsec¸a˜o 2.1.2) Encontre matrizes elementares 퐸1, . . . , 퐸푘 tais que 퐴 = 퐸1 . . . 퐸푘,
para
퐴 =
⎡
⎣ 1 2 32 1 2
0 1 2
⎤
⎦ .
Exercı´cios usando o MATLABⓇ
Comandos do MATLABⓇ:
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
100 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
>> M=[A,B] atribui a` matriz M a matriz obtida colocando lado a lado as matrizes A e B.
>> A=[A1,...,An] cria uma matriz A formada pelas matrizes, definidas anteriormente, A1,
..., An colocadas uma ao lado da outra;
>> M=A(:,k:l) atribui a` matriz M a submatriz da matriz A obtida da coluna l a` coluna k da
matriz A.
Comandos do pacote GAAL:
>> B=opel(alpha,i,A) ou B=oe(alpha,i,A)faz a operac¸a˜o elementar
alpha*linha i ==> linha i da matriz A e armazena a matriz resultante em B.
>> B=opel(alpha,i,j,A) ou B=oe(alpha,i,j,A) faz a operac¸a˜o elementar
alpha*linha i + linha j ==> linha j da matriz A e armazena a matriz resultante na
varia´vel B.
>> B=opel(A,i,j) ou B=oe(A,i,j) faz a troca da linha 푖 com a linha 푗 da matriz A e arma-
zena a matriz resultante na varia´vel B.
>> B=escalona(A) calcula passo a passo a forma escalonada reduzida da matriz A e arma-
zena a matriz resultante na varia´vel B.
2.1.8. O pacote GAAL conte´m alguns arquivos com mensagens criptografadas e uma chave para de-
cifra´-las. Use os comandos a seguir para ler dos arquivos e atribuir a`s varia´veis corresponden-
tes, uma mensagem criptografada e a uma chave para decifra´-la.
>> menc=lerarq(’c:/matlab/toolbox/gaal/menc1.txt’)
>> key=lerarq(’c:/matlab/toolbox/gaal/key.txt’)
Com estes comandos foram lidos os arquivos menc1.txt e key.txt e atribuı´dos os resultados
a`s varia´veis menc e key respectivamente. Para converter a mensagem criptografada e a chave
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
2.1 A Inversa de uma Matriz 101
para matrizes nume´ricas use os comandos do pacote gaal:
>> y=char2num(menc), M=char2num(key)
Sabendo-se que a mensagem criptografada (convertida para nu´meros), y, foi originalmente
obtida multiplicando-se a matriz M pela mensagem original (convertida para nu´meros), x, de-
termine x. Descubra a mensagem usando o comando do pacote gaal, num2char(x), que
converte a matriz para texto. Decifre as mensagens que esta˜o nos arquivos menc2.txt e
menc3.txt. Como deve ser a matriz M para que ela possa ser uma matriz chave na criptogra-
fia?
2.1.9. Resolva os Exercı´cios Nume´ricos a partir do Exercı´cio 2.1.2 usando o MATLABⓇ.
Exercı´cios Teo´ricos
2.1.10. (a) Mostre que a matriz 퐴 =
[
푎 푏
푐 푑
]
e´ invertı´vel se, e somente se, 푎푑 − 푏푐 ∕= 0 e neste
caso a inversa e´ dada por
퐴−1 =
1
푎푑− 푏푐
[
푑 −푏
−푐 푎
]
.
(Sugesta˜o: encontre a forma escalonada reduzida da matriz [퐴 ∣ 퐼2 ], para 푎 ∕= 0 e para
푎 = 0.)
(b) Mostre que se 푎푑− 푏푐 ∕= 0, enta˜o o sistema linear{
푎푥 + 푏푦 = 푔
푐푥 + 푑푦 = ℎ
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
102 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
tem como soluc¸a˜o
푥 =
푔푑− 푏ℎ
푎푑− 푏푐 , 푦 =
푎ℎ− 푔푐
푎푑− 푏푐
Sugesta˜o para os pro´ximos 4 exercı´cios: Para verificar que uma matriz 퐵 e´ a inversa de uma
matriz 퐴, basta fazer um dos produtos 퐴퐵 ou 퐵퐴 e verificar que e´ igual a 퐼푛.
2.1.11. Se 퐴 e´ uma matriz 푛× 푛 e 퐴푘 = 0¯, para 푘 um inteiro positivo, mostre que
(퐼푛 − 퐴)−1 = 퐼푛 + 퐴+ 퐴2 + . . .+ 퐴푘−1 .
2.1.12. Seja 퐴 uma matriz diagonal, isto e´, os elementos que esta˜o fora da diagonal sa˜o iguais a zero
(푎푖푗 = 0, para 푖 ∕= 푗). Se 푎푖푖 ∕= 0, para 푖 = 1, . . . , 푛, mostre que 퐴 e´ invertı´vel e a sua inversa
e´ tambe´m uma matriz diagonal com elementos na diagonal dados por 1/푎11, 1/푎22, . . . , 1/푎푛푛.
2.1.13. Sejam 퐴 e 퐵 matrizes quadradas. Mostre que se 퐴+퐵 e 퐴 forem invertı´veis, enta˜o
(퐴+ 퐵)−1 = 퐴−1(퐼푛 + 퐵퐴−1)−1.
2.1.14. Seja 퐽푛 a matriz 푛× 푛, cujas entradas sa˜o iguais a 1. Mostre que se 푛 > 1, enta˜o
(퐼푛 − 퐽푛)−1 = 퐼푛 − 1
푛− 1퐽푛.
(Sugesta˜o: observe que 퐽2푛 = 푛퐽푛.)
2.1.15. Mostre que se 퐵 e´ uma matriz invertı´vel, enta˜o 퐴퐵−1 = 퐵−1퐴 se, e somente se, 퐴퐵 = 퐵퐴.
(Sugesta˜o: multiplique a equac¸a˜o 퐴퐵 = 퐵퐴 por 퐵−1.)
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
2.1 A Inversa de uma Matriz 103
2.1.16. Mostre que se 퐴 e´ uma matriz invertı´vel, enta˜o 퐴 + 퐵 e 퐼푛 + 퐵퐴−1 sa˜o ambas invertı´veis ou
ambas na˜o invertı´veis. (Sugesta˜o: multiplique 퐴+퐵 por 퐴−1.)
2.1.17. Sejam 퐴 e 퐵 matrizes 푛× 푛. Mostre que se 퐵 na˜o e´ invertı´vel, enta˜o 퐴퐵 tambe´m na˜o o e´.
2.1.18. Mostre que se 퐴 e 퐵 sa˜o matrizes 푛× 푛, invertı´veis, enta˜o 퐴 e 퐵 sa˜o equivalentes por linhas.
2.1.19. Sejam퐴 uma matriz푚×푛 e퐵 uma matriz 푛×푚, com 푛 < 푚. Mostre que퐴퐵 na˜o e´ invertı´vel.
(Sugesta˜o: Mostre que o sistema (퐴퐵)푋 = 0¯ tem soluc¸a˜o na˜o trivial.)
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
104 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
a b c d e f g h i j k l m n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
o p q r s t u v w x y z a` a´ aˆ
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
a˜ c¸ e´ eˆ ı´ o´ oˆ o˜ u´ u¨ A B C D E
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
F G H I J K L M N O P Q R S T
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
U V W X Y Z A` A´ Aˆ A˜ C¸ E´ Eˆ I´ O´
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74
Oˆ O˜ U´ U¨ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 :
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
; < = > ? @ ! " # $ % & ’ ( )
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104
* + ,
- . / [ \ ] _ { | }
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117
Tabela 2.1: Tabela de conversa˜o de caracteres em nu´meros
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 105
2.2 Determinantes
Vamos inicialmente definir o determinante de matrizes 1× 1. Para cada matriz 퐴 = [푎] definimos
o determinante de 퐴, indicado por det(퐴), por det(퐴) = 푎. Vamos, agora, definir o determinante de
matrizes 2×2 e a partir daı´ definir para matrizes de ordem maior. A cada matriz 퐴, 2×2, associamos
um nu´mero real, denominado determinante de 퐴, por:
det(퐴) = det
[
푎11 푎12
푎21 푎22
]
= 푎11푎22 − 푎12푎21.
Para definir o determinante de matrizes quadradas maiores, precisamos definir o que sa˜o os
menores de uma matriz. Dada uma matriz 퐴 = (푎푖푗)푛×푛, o menor do elemento 푎푖푗 , denotado por
퐴˜푖푗 , e´ a submatriz (푛 − 1) × (푛 − 1) de 퐴 obtida eliminando-se a 푖-e´sima linha e a 푗-e´sima coluna
de 퐴, que tem o seguinte aspecto:
퐴˜푖푗 =
푗⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
푎11 . . .
∣∣∣ . . . 푎1푛
.
.
.
∣∣∣∣∣ ...
푎푖푗
∣∣∣∣∣
.
.
.
∣∣∣∣∣ ...
푎푛1 . . .
∣∣∣ . . . 푎푛푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
푖
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
106 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Exemplo 2.8. Para uma matriz 퐴 = (푎푖푗)3×3,
퐴˜23 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎11 푎12 푎13
∣∣∣
푎21 푎22 푎23
∣∣∣
푎31 푎32 푎33
∣∣∣
⎤
⎥⎥⎥⎦ =
[
푎11 푎12
푎31 푎32
]
Agora, vamos definir os cofatores de uma matriz quadrada 퐴 = (푎푖푗)3×3. O cofator do elemento
푎푖푗 , denotado por 푎˜푖푗 , e´ definido por
푎˜푖푗 = (−1)푖+푗 det(퐴˜푖푗),
ou seja, o cofator 푎˜푖푗 , do elemento 푎푖푗 e´ igual a mais ou menos o determinante do menor 퐴˜푖푗 , sendo
o mais e o menos determinados pela seguinte disposic¸a˜o:⎡
⎣ + − +− + −
+ − +
⎤
⎦
Exemplo 2.9. Para uma matriz 퐴 = (푎푖푗)3×3,
푎˜23 = (−1)2+3 det(퐴˜23) = −det
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎11 푎12 푎13
∣∣∣
푎21 푎22 푎23
∣∣∣
푎31 푎32 푎33
∣∣∣
⎤
⎥⎥⎥⎦ = −det
[
푎11 푎12
푎31 푎32
]
= 푎31푎12 − 푎11푎32
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 107
Vamos, agora, definir o determinante de uma matriz 3× 3. Se
퐴 =
⎡
⎢⎣ 푎11 푎12 푎13푎21 푎22 푎23
푎31 푎32 푎33
⎤
⎥⎦ ,
enta˜o, o determinante de 퐴 e´ igual a` soma dos produtos dos elementos da 1a. linha pelos seus cofa-
tores.
det(퐴) = 푎11푎˜11 + 푎12푎˜12 + 푎13푎˜13
= 푎11 det
[
푎22 푎23
푎32 푎33
]
− 푎12 det
[
푎21 푎23
푎31 푎33
]
+ 푎13 det
[
푎21 푎22
푎31 푎32
]
= 푎11(푎22푎33 − 푎32푎23)− 푎12(푎21푎33 − 푎31푎23) + 푎13(푎21푎32 − 푎31푎22).
Da mesma forma que a partir do determinante de matrizes 2 × 2, definimos o determinante de
matrizes 3×3, podemos definir o determinante de matrizes quadradas de ordem maior. Supondo que
sabemos como calcular o determinante de matrizes (푛 − 1) × (푛 − 1) vamos definir o determinante
de matrizes 푛× 푛.
Vamos definir, agora, os cofatores de uma matriz quadrada 퐴 = (푎푖푗)푛×푛. O cofator do elemento
푎푖푗 , denotado por 푎˜푖푗 , e´ definido por
푎˜푖푗 = (−1)푖+푗 det(퐴˜푖푗),
ou seja, o cofator 푎˜푖푗 , do elemento 푎푖푗 e´ igual a mais ou menos o determinante do menor 퐴˜푖푗 , sendo
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
108 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
o mais e o menos determinados pela seguinte disposic¸a˜o:⎡
⎢⎢⎢⎣
+ − + − . . .
− + − + . . .
+ − + − . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
⎤
⎥⎥⎥⎦
Definic¸a˜o 2.2. Seja 퐴 = (푎푖푗)푛×푛. O determinante de 퐴, denotado por det(퐴), e´ definido por
det(퐴) = 푎11푎˜11 + 푎12푎˜12 + . . .+ 푎1푛푎˜1푛 =
푛∑
푗=1
푎1푗 푎˜1푗, (2.7)
em que 푎˜1푗 = (−1)1+푗 det(퐴˜1푗) e´ o cofator do elemento 푎1푗 . A expressa˜o (2.8) e´ chamada desen-
volvimento em cofatores do determinante de 퐴 em termos da 1a. linha.
Exemplo 2.10. Seja
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
0 0 0 −3
1 2 3 4
−1 3 2 5
2 1 −2 0
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 109
Desenvolvendo-se o determinante de 퐴 em cofatores, obtemos
det(퐴) = 0푎˜11 + 0푎˜12 + 0푎˜13 + (−3)(−1)1+4 det(퐵), em que 퐵 =
⎡
⎢⎣ 1 2 3−1 3 2
2 1 −2
⎤
⎥⎦ .
Mas o det(퐵) tambe´m pode ser calculado usando cofatores,
det(퐵) = 1퐵11 + 2퐵12 + 3퐵13
= 1(−1)1+1 det(퐵˜11) + 2(−1)1+2 det(퐵˜12) + 3(−1)1+3 det(퐵˜13)
= det
[
3 2
1 −2
]
− 2 det
[ −1 2
2 −2
]
+ 3det
[ −1 3
2 1
]
= −8− 2 (−2) + 3 (−7)
= −25
Portanto,
det(퐴) = 3 det(퐵) = −75.
Exemplo 2.11. Usando a definic¸a˜o de determinante, vamos mostrar que o determinante de uma ma-
triz triangular inferior (isto e´, os elementos situados acima da diagonal principal sa˜o iguais a zero) e´
o produto dos elementos da diagonal principal. Vamos mostrar inicialmente para matrizes 3× 3. Seja
퐴 =
⎡
⎢⎣ 푎11 0 0푎21 푎22 0
푎31 푎32 푎33
⎤
⎥⎦
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
110 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Desenvolvendo-se o determinante de 퐴 em cofatores, obtemos
det(퐴) = 푎11 det
[
푎22 0
푎32 푎33
]
= 푎11푎22푎33.
Vamos supor termos provado que para qualquer matriz (푛− 1)× (푛− 1) triangular inferior, o deter-
minante e´ o produto dos elementos da diagonal principal. Enta˜o vamos provar que isto tambe´m vale
para matrizes 푛× 푛. Seja
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎣
푎11 0 . . . . . . 0
푎21 푎22 0
.
.
.
.
.
.
.
.
. 0
푎푛1 . . . 푎푛푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎦
Desenvolvendo-se o determinante de 퐴 em cofatores, obtemos
det(퐴) = 푎11 det
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎22 0 . . . . . . 0
푎32 푎33 0
.
.
.
.
.
.
.
.
. 0
푎푛2 . . . 푎푛푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ = 푎11푎22 . . . 푎푛푛,
pois o determinante acima e´ de uma matriz (푛 − 1) × (푛 − 1) triangular inferior. Em particular, para
a matriz identidade, 퐼푛,
det(퐼푛) = 1.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 111
2.2.1 Propriedades do Determinante
Vamos provar uma propriedade do determinante que e´ usada para provar va´rias outras proprieda-
des. Para isso vamos escrever a matriz 퐴 = (푎푖푗)푛×푛 em termos das suas linhas
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푘−1
퐴푘
퐴푘+1
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
,
em que 퐴푖 e´ a linha 푖 da matriz 퐴, ou seja, 퐴푖 = [ 푎푖1 푎푖2 . . . 푎푖푛 ]. Se a linha 퐴푘 e´ escrita na forma
퐴푘 = 훼푋 + 훽푌 , em que 푋 = [ 푥1 . . . 푥푛 ], 푌 = [ 푦1 . . . 푦푛 ] e 훼 e 훽 sa˜o escalares, dizemos que
a linha 퐴푘 e´ combinac¸a˜o linear de 푋 e 푌 . Se a linha 퐴푘 e´ combinac¸a˜o linear de 푋 e 푌 , enta˜o o
determinante pode ser decomposto como no resultado seguinte.
Teorema 2.10. Seja 퐴 = (푎푖푗)푛×푛 escrita em termos das suas linhas, denotadas por 퐴푖, ou seja,
퐴푖 = [ 푎푖1 푎푖2 . . . 푎푖푛 ]. Se para algum 푘, a linha 퐴푘 = 훼푋 + 훽푌 , em que 푋 = [ 푥1 . . . 푥푛 ],
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
112 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
푌 = [ 푦1 . . . 푦푛 ] e 훼 e 훽 sa˜o escalares, enta˜o:
det
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푘−1
훼푋 + 훽푌
퐴푘+1
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
= 훼 det
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푘−1
푋
퐴푘+1
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
+ 훽 det
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푘−1
푌
퐴푘+1
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
.
Aqui, 퐴푘 = 훼푋 + 훽푌 = [훼푥1 + 훽푦1 . . . 훼푥푛 + 훽푦푛 ].
Demonstrac¸a˜o. Vamos provar aqui somente para 푘 = 1. Para 푘 > 1 e´ demonstrado no Apeˆndice II
na pa´gina 133. Se 퐴1 = 훼푋 + 훽푌 , em que 푋 = [ 푥1 . . . 푥푛 ], 푌 = [ 푦1 . . . 푦푛 ] e 훼 e 훽 sa˜o escalares,
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 113
enta˜o:
det
⎡
⎢⎢⎢⎣
훼푋 + 훽푌
퐴2
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ =
푛∑
푗=1
(−1)1+푗(훼푥푗 + 훽푦푗) det(퐴˜1푗)
= 훼
푛∑
푗=1
푥푗 det(퐴˜1푗) + 훽
푛∑
푗=1
푦푗 det(퐴˜1푗)
= 훼 det
⎡
⎢⎢⎢⎣
푋
퐴2
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎦+ 훽 det
⎡
⎢⎢⎢⎣
푌
퐴2
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎦
■
Exemplo 2.12. O ca´lculo do determinante da matriz a seguir pode ser feito da seguinte forma:
det
[
cos 푡 sen 푡
2 cos 푡− 3 sen 푡 2 sen 푡+ 3 cos 푡
]
= 2det
[
cos 푡 sen 푡
cos 푡 sen 푡
]
+ 3det
[
cos 푡 sen 푡
− sen 푡 cos 푡
]
= 3
Pela definic¸a˜o de determinante, o determinante deve ser calculado fazendo-se o desenvolvimento
em cofatores segundo a 1a. linha. O pro´ximo resultado, que na˜o vamos provar neste momento
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
114 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
(Apeˆndice II na pa´gina 133), afirma que o determinante pode ser calculado fazendo-se o desen-
volvimento em cofatores segundo qualquer linha ou qualquer coluna.
Teorema 2.11. Seja 퐴 uma matriz 푛 × 푛. O determinante de 퐴 pode ser calculado fazendo-se o
desenvolvimento em cofatores segundo qualquer linha ou qualquer coluna.
det(퐴) = 푎푖1푎˜푖1 + 푎푖2푎˜푖2 + . . .+ 푎푖푛푎˜푖푛 =
푛∑
푗=1
푎푖푗 푎˜푖푗, para 푖 = 1, . . . , 푛, (2.8)
= 푎1푗 푎˜1푗 + 푎2푗 푎˜2푗 + . . .+ 푎푛푗 푎˜푛푗 =
푛∑
푖=1
푎푖푗 푎˜푖푗, para 푗 = 1, . . . , 푛, (2.9)
em que 푎˜푖푗 = (−1)푖+푗 det(퐴˜푖푗) e´ o cofator do elemento 푎푖푗 . A expressa˜o (2.8) e´ chamada desen-
volvimento em cofatores do determinante de 퐴 em termos da 푖-e´sima linha e (2.9) e´ chamada
desenvolvimento em cofatores do determinante de 퐴 em termos da 푗-e´sima coluna.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 115
Temos a seguinte consequ¨eˆncia deste resultado.
Corola´rio 2.12. Seja 퐴 uma matriz 푛× 푛. Se 퐴 possui duas linhas iguais, enta˜o det(퐴) = 0.
Demonstrac¸a˜o. O resultado e´ claramente verdadeiro para matrizes 2× 2. Supondo que o resultado
seja verdadeiro para matrizes (푛 − 1) × (푛 − 1), vamos provar que ele e´ verdadeiro para matrizes
푛× 푛. Suponhamos que as linhas 푘 e 푙 sejam iguais, para 푘 ∕= 푙. Desenvolvendo o determinante de
퐴 em termos de uma linha 푖, com 푖 ∕= 푘, 푙, obtemos
det(퐴) =
푛∑
푗=1
푎푖푗 푎˜푖푗 =
푛∑
푗=1
(−1)푖+푗푎푖푗 det(퐴˜푖푗).
Mas, cada 퐴˜푖푗 e´ uma matriz (푛− 1)× (푛− 1) com duas linhas iguais. Como estamos supondo que o
resultado seja verdadeiro para estas matrizes, enta˜o det(퐴˜푖푗) = 0. Isto implica que det(퐴) = 0. ■
No pro´ximo resultado mostramos como varia o determinante de uma matriz quando aplicamos
operac¸o˜es elementares sobre suas linhas.
Teorema 2.13. Sejam 퐴 e 퐵 matrizes 푛× 푛.
(a) Se 퐵 e´ obtida de 퐴 multiplicando-se uma linha por um escalar 훼, enta˜o
det(퐵) = 훼 det(퐴) ;
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
116 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
(b) Se 퐵 resulta de 퐴 pela troca da posic¸a˜o de duas linhas 푘 ∕= 푙, enta˜o
det(퐵) = − det(퐴) ;
(c) Se 퐵 e´ obtida de 퐴 substituindo-se a linha 푙 por ela somada a um mu´ltiplo escalar de uma linha
푘, 푘 ∕= 푙, enta˜o
det(퐵) = det(퐴) .
Demonstrac¸a˜o. (a) Segue diretamente do Teorema 2.10 na pa´gina 111.
(b) Sejam
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푘
.
.
.
퐴푙
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
e 퐵 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푙
.
.
.
퐴푘
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 117
Agora, pelo Teorema 2.10 na pa´gina 111 e o Corola´rio 2.12, temos que
0 = det
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푘 + 퐴푙
.
.
.
퐴푘 + 퐴푙
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
= det
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푘
.
.
.
퐴푘
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
+ det
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푘
.
.
.
퐴푙
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
+ det
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푙
.
.
.
퐴푘
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
+ det
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푙
.
.
.
퐴푙
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
= 0 + det(퐴) + det(퐵) + 0.
Portanto, det(퐴) = − det(퐵).
(c) Novamente, pelo Teorema 2.10 na pa´gina 111, temos que
det
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푘
.
.
.
퐴푙 + 훼퐴푘
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
= det
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푘
.
.
.
퐴푙
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
+ 훼 det
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푘
.
.
.
퐴푘
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
= det
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푘
.
.
.
퐴푙
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
.
■
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
118 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Exemplo 2.13. Vamos calcular o determinante da matriz
퐴 =
⎡
⎣ 0 1 53 −6 9
2 6 1
⎤
⎦
usando operac¸o˜es elementares para transforma´-la numa matriz triangular superior e aplicando o Te-
orema 2.13.
det(퐴) = − det
⎡
⎣ 3 −6 90 1 5
2 6 1
⎤
⎦ 1a. linha ←→ 2a. linha
= −3 det
⎡
⎣ 1 −2 30 1 5
2 6 1
⎤
⎦ 1/3×1a. linha −→ 1a. linha
= −3 det
⎡
⎣ 1 −2 30 1 5
0 10 −5
⎤
⎦ −2×1a. linha+3a. linha −→ 3a. linha
= −3 det
⎡
⎣ 1 −2 30 1 5
0 0 −55
⎤
⎦ −10×2a. linha+3a. linha −→ 3a. linha
= (−3)(−55) = 165
Quando multiplicamos uma linha de uma matriz por um escalar 훼 o determinante da nova matriz e´
igual a 훼 multiplicado pelo determinante da matriz antiga. Mas o que estamos calculando aqui e´ o
determinante da matriz antiga, por isso ele e´ igual a 1/훼 multiplicado pelo determinante da matriz
nova.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 119
Para se calcular o determinante de uma matriz 푛 × 푛 pela expansa˜o em cofatores, precisamos
fazer 푛 produtos e calcular 푛 determinantes de matrizes (푛 − 1) × (푛 − 1), que por sua vez vai
precisar de 푛 − 1 produtos e assim por diante. Portanto, ao todo sa˜o necessa´rios da ordem de 푛!
produtos. Para se calcular o determinante de uma matriz 20× 20, e´ necessa´rio se realizar 20! ≈ 1018
produtos. Os computadores pessoais realizam da ordem de 108 produtos por segundo. Portanto, um
computador pessoal precisaria de cerca de 1010 segundos ou 103 anos para calcular o determinante
de uma matriz 20×20 usando a expansa˜o em cofatores. Entretanto usando o me´todo apresentado no
exemplo anterior para o ca´lculo do determinante, e´ necessa´rio apenas da ordem de 푛3 produtos. Ou
seja, para calcular o determinante de uma matriz 20× 20 usando o me´todo apresentado no exemplo
anterior um computador pessoal gasta muito menos de um segundo.
A seguir estabelecemos duas propriedades do determinante que sera˜o demonstradas somente
na Subsec¸a˜o 2.2.2 na pa´gina 126.
Teorema 2.14. Sejam 퐴 e 퐵 matrizes 푛× 푛.
(a) O determinante do produto de 퐴 por 퐵 e´ igual ao produto dos seus determinantes,
det(퐴퐵) = det(퐴) det(퐵) .
(b) Os determinantes de 퐴 e de sua transposta 퐴푡 sa˜o iguais,
det(퐴) = det(퐴푡) ;
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
120 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Observac¸a˜o. Como o determinante de uma matriz e´ igual ao determinante da sua transposta (Teo-
rema 2.14 (b)), segue-se que todas as propriedades que se referem a linhas sa˜o va´lidas com relac¸a˜o
a`s colunas.
Exemplo 2.14. Seja 퐴 = (푎푖푗)푛×푛. Vamos mostrar que se 퐴 e´ invertı´vel, enta˜o
det(퐴−1) =
1
det(퐴)
.
Como 퐴퐴−1 = 퐼푛, aplicando-se o determinante a ambos os membros desta igualdade e usando
o Teorema 2.14,
obtemos
det(퐴) det(퐴−1) = det(퐼푛).
Mas, det(퐼푛) = 1 (Exemplo 2.11 na pa´gina 109, a matriz identidade tambe´m e´ triangular inferior!).
Logo, det(퐴−1) = 1
det(퐴)
.
Exemplo 2.15. Se uma matriz quadrada e´ tal que 퐴2 = 퐴−1, enta˜o vamos mostrar que det(퐴) =
1. Aplicando-se o determinante a ambos os membros da igualdade acima, e usando novamente o
Teorema 2.14 e o resultado do exemplo anterior, obtemos
(det(퐴))2 =
1
det(퐴)
.
Logo, (det(퐴))3 = 1. Portanto, det(퐴) = 1.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 121
O resultado seguinte caracteriza em termos do determinante as matrizes invertı´veis e os sistemas
lineares homogeˆneos que possuem soluc¸a˜o na˜o trivial.
Teorema 2.15. Seja 퐴 uma matriz 푛× 푛.
(a) A matriz 퐴 e´ invertı´vel se, e somente se, det(퐴) ∕= 0.
(b) O sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯ tem soluc¸a˜o na˜o trivial se, e somente se, det(퐴) = 0.
Demonstrac¸a˜o. (a) Seja 푅 a forma escalonada reduzida da matriz 퐴.
A demonstrac¸a˜o deste item segue-se de treˆs observac¸o˜es:
∙ Pelo Teorema 2.13 na pa´gina 115, det(퐴) ∕= 0 se, e somente se, det(푅) ∕= 0.
∙ Pela Proposic¸a˜o 1.5 da pa´gina 50, ou 푅 = 퐼푛 ou a matriz 푅 tem uma linha nula. Assim,
det(퐴) ∕= 0 se, e somente se, 푅 = 퐼푛.
∙ Pelo Teorema 2.7 na pa´gina 84, 푅 = 퐼푛 se, e somente se, 퐴 e´ invertı´vel.
(b) Pelo Teorema 2.8 na pa´gina 90, o sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯ tem soluc¸a˜o na˜o trivial se, e
somente se, a matriz 퐴 na˜o e´ invertı´vel. E pelo item anterior, a matriz 퐴 e´ na˜o invertı´vel se, e
somente se, det(퐴) = 0.
■
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
122 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Exemplo 2.16. Considere a matriz
퐴 =
⎡
⎣ 2 2 20 2 0
0 1 3
⎤
⎦ .
(a) Determinar os valores de 휆 ∈ ℝ tais que existe 푋 =
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ ∕= 0¯ que satisfaz 퐴푋 = 휆푋 .
(b) Para cada um dos valores de 휆 encontrados no item anterior determinar todos 푋 =
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ tais
que 퐴푋 = 휆푋 .
Soluc¸a˜o:
(a) Como a matriz identidade 퐼3 e´ o elemento neutro do produto, enta˜o
퐴푋 = 휆푋 ⇔ 퐴푋 = 휆퐼3푋.
Subtraindo-se 휆퐼3푋 obtemos
퐴푋 − 휆퐼3푋 = 0¯ ⇔ (퐴− 휆퐼3)푋 = 0¯.
Agora, este sistema homogeˆneo tem soluc¸a˜o na˜o trivial (푋 ∕= 0¯) se, e somente se,
det(퐴− 휆퐼3) = 0.
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2.2 Determinantes 123
Mas
det
⎡
⎣ 2− 휆 2 20 2− 휆 0
0 1 3− 휆
⎤
⎦ = −(휆− 2)2(휆− 3) = 0
se, e somente se, 휆 = 2 ou 휆 = 3. Assim, somente para 휆 = 2 e 휆 = 3 existem vetores
푋 =
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ ∕= 0¯ tais que 퐴푋 = 휆푋 .
(b) Para 휆 = 2:
(퐴− 2퐼3)푋 = 0¯ ⇔
⎡
⎣ 0 2 20 0 0
0 1 1
⎤
⎦
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 00
0
⎤
⎦ ⇔ { 2푦 + 2푧 = 0
푦 + 푧 = 0
que tem soluc¸a˜o o conjunto dos 푋 =
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 훽−훼
훼
⎤
⎦, para todos os valores de 훼, 훽 ∈ ℝ.
Para 휆 = 3:
(퐴− 3퐼3)푋 = 0¯ ⇔
⎡
⎣ −1 2 20 −1 0
0 1 0
⎤
⎦
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 00
0
⎤
⎦ ⇔
⎧⎨
⎩
−푥 + 2푦 + 2푧 = 0
−푦 = 0
푦 = 0
que tem soluc¸a˜o o conjunto dos 푋 =
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 2훼0
훼
⎤
⎦, para todos os valores de 훼 ∈ ℝ.
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124 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Exemplo 2.17. A matriz 퐴 =
[
푎 푏
푐 푑
]
e´ invertı´vel se, e somente se, det(퐴) = 푎푑 − 푏푐 ∕= 0. Neste
caso a inversa de 퐴 e´ dada por
퐴−1 =
1
det(퐴)
[
푑 −푏
−푐 푎
]
,
como pode ser verificado multiplicando-se a candidata a inversa pela matriz 퐴.
Observe que este exemplo fornece uma regra para se encontrar a inversa de uma matriz 2 × 2:
troca-se a posic¸a˜o dos elementos da diagonal principal, troca-se o sinal dos outros elementos e
divide-se todos os elementos pelo determinante de 퐴.
Exemplo 2.18. Considere o sistema linear de 2 equac¸o˜es e 2 inco´gnitas{
푎푥 + 푏푦 = 푔
푐푥 + 푑푦 = ℎ
A matriz deste sistema e´
퐴 =
[
푎 푏
푐 푑
]
.
Se det(퐴) ∕= 0, enta˜o a soluc¸a˜o do sistema e´
푋 = 퐴−1퐵 =
1
det(퐴)
[
푑 −푏
−푐 푎
] [
푔
ℎ
]
=
1
det(퐴)
[
푑푔 − 푏ℎ
−푐푔 + 푎ℎ
]
=
1
det(퐴)
⎡
⎢⎢⎣ det
[
푔 푏
ℎ 푑
]
det
[
푎 푔
푐 ℎ
]
⎤
⎥⎥⎦
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 125
ou seja,
푥 =
det
[
푔 푏
ℎ 푑
]
det
[
푎 푏
푐 푑
] , 푦 = det
[
푎 푔
푐 ℎ
]
det
[
푎 푏
푐 푑
]
esta e´ a chamada Regra de Cramer para sistemas de 2 equac¸o˜es e 2 inco´gnitas.
Pode-se mostrar (ver por exemplo [32] ou [33]), que para sistemas de 푛 equac¸o˜es e 푛 inco´gnitas
e´ va´lida a Regra de Cramer dada a seguir.
Se o sistema linear 퐴푋 = 퐵 e´ tal que a matriz 퐴 e´ 푛×푛 e invertı´vel, enta˜o a soluc¸a˜o do sistema
e´ dada por
푥1 =
det(퐴1)
det(퐴)
, 푥2 =
det(퐴2)
det(퐴)
, . . . , 푥푛 =
det(퐴푛)
det(퐴)
,
em que 퐴푗 e´ a matriz que se obte´m de 퐴 substituindo-se a sua 푗-e´sima coluna por 퐵, para 푗 =
1, . . . , 푛.
Existem sistemas 퐴푋 = 퐵 de 푛 equac¸o˜es e 푛 inco´gnitas, com 푛 > 2, em que det(퐴) =
det(퐴1) = ⋅ ⋅ ⋅ = det(퐴푛) = 0 e o sistema na˜o tem soluc¸a˜o. Por exemplo o sistema⎧⎨
⎩
푥 + 2푦 + 3푧 = 1
2푥 + 4푦 + 6푧 = 3
3푥 + 6푦 + 9푧 = 2
e´ tal que
det(퐴) = det(퐴1) = det(퐴2) = det(퐴3) = 0,
mas ele na˜o tem soluc¸a˜o (verifique!).
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126 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
2.2.2 Matrizes Elementares e o Determinante (opcional)
Relembramos que uma matriz elementar e´ uma matriz que se obte´m aplicando-se uma operac¸a˜o
elementar na matriz identidade. Assim, aplicando-se o Teorema 2.13 na pa´gina 115 obtemos o resul-
tado seguinte.
Proposic¸a˜o 2.16. (a) Se 퐸푖,푗 e´ a matriz elementar obtida trocando-se as linhas 푖 e 푗 da matriz
identidade, enta˜o det(퐸푖,푗) = −1.
(b) Se 퐸푖(훼) e´ a matriz elementar obtida da matriz identidade, multiplicando-se a linha 푖 por 훼,
enta˜o det(퐸푖(훼)) = 훼.
(c) Se 퐸푖,푗(훼) e´ a matriz elementar obtida da matriz identidade, somando-se a` linha 푗, 훼 vezes a
linha 푖, enta˜o det(퐸푖,푗(훼)) = 1.
Lembramos tambe´m que uma matriz e´ invertı´vel se, e somente se, ela e´ o produto de matrizes
elementares (Teorema 2.6 na pa´gina 82). Ale´m disso, o resultado da aplicac¸a˜o de uma operac¸a˜o
elementar em uma matriz e´ o mesmo que multiplicar a matriz a` esquerda pela matriz elementar
correspondente.
Usando matrizes elementares podemos provar o Teorema 2.14 na pa´gina 119.
Demonstrac¸a˜o do Teorema 2.14.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 127
(a) Queremos provar que det(퐴퐵) = det(퐴) det(퐵). Vamos dividir a demonstrac¸a˜o deste item em
treˆs casos:
Caso 1: Se 퐴 = 퐸 e´ uma matriz elementar. Este caso segue-se diretamente da proposic¸a˜o anterior
e do Teorema 2.13 na pa´gina 115.
Caso 2: Se 퐴 e´ invertı´vel, enta˜o pelo Teorema 2.6 na pa´gina 82 ela e´ o produto de matrizes elemen-
tares, 퐴 = 퐸1 . . . 퐸푘. Aplicando-se o caso anterior sucessivas vezes, obtemos
det(퐴퐵) = det(퐸1) . . . det(퐸푘) det(퐵) = det(퐸1 . . . 퐸푘) det(퐵) = det(퐴) det(퐵).
Caso 3: Se 퐴 e´ singular, pela Proposic¸a˜o 2.9 na pa´gina 93, 퐴퐵 tambe´m e´ singular. Logo,
det(퐴퐵) = 0 = 0 det(퐵) = det(퐴) det(퐵).
(b) Queremos provar que det(퐴) = det(퐴푡). Vamos dividir a demonstrac¸a˜o deste item em dois
casos.
Caso 1: Se 퐴 e´ uma matriz invertı´vel, pelo Teorema 2.6 na pa´gina 82 ela e´ o produto de matrizes
elementares, 퐴 = 퐸1 . . . 퐸푘. ´E fa´cil ver que se 퐸 e´ uma matriz elementar, enta˜o det(퐸) = det(퐸푡)
(verifique!). Assim,
det(퐴푡) = det(퐸푡푘) . . . det(퐸
푡
1) = det(퐸푘) . . . det(퐸1) = det(퐸1 . . . 퐸푘) = det(퐴).
Caso 2: Se 퐴 na˜o e´ invertı´vel, enta˜o 퐴푡 tambe´m na˜o o
e´, pois caso contra´rio, pelo Teorema 2.2 na
pa´gina 77, tambe´m 퐴 = (퐴푡)푡 seria invertı´vel. Assim neste caso, det(퐴푡) = 0 = det(퐴). ■
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
128 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Exercı´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 514)
2.2.1. Se det(퐴) = −3, encontre
(a) det(퐴2); (b) det(퐴3); (c) det(퐴−1); (d) det(퐴푡);
2.2.2. Se 퐴 e 퐵 sa˜o matrizes 푛× 푛 tais que det(퐴) = −2 e det(퐵) = 3, calcule det(퐴푡퐵−1).
2.2.3. Seja 퐴 = (푎푖푗)3×3 tal que det(퐴) = 3. Calcule o determinante das matrizes a seguir:
(a)
⎡
⎣ 푎11 푎12 푎13 + 푎12푎21 푎22 푎23 + 푎22
푎31 푎32 푎33 + 푎32
⎤
⎦ (b)
⎡
⎣ 푎11 + 푎12 푎11 − 푎12 푎13푎21 + 푎22 푎21 − 푎22 푎23
푎31 + 푎32 푎31 − 푎32 푎33
⎤
⎦
2.2.4. Calcule o determinante das matrizes a seguir:
(a)
[
푒푟푡 푡푒푟푡
푟푒푟푡 (1 + 푟푡)푒푟푡
]
(b)
[
cos 훽푡 sen 훽푡
훼 cos 훽푡− 훽 sen 훽푡 훼 sen 훽푡+ 훽 cos 훽푡
]
2.2.5. Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes usando operac¸o˜es elementares
para transforma´-las em matrizes triangulares superiores.
(a)
⎡
⎢⎢⎣
1 −2 3 1
5 −9 6 3
−1 2 −6 −2
2 8 6 1
⎤
⎥⎥⎦ (b)
⎡
⎢⎢⎣
2 1 3 1
1 0 1 1
0 2 1 0
0 1 2 3
⎤
⎥⎥⎦.
2.2.6. Determine todos os valores de 휆 para os quais det(퐴− 휆퐼푛) = 0, em que
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 129
(a) 퐴 =
⎡
⎣ 0 1 20 0 3
0 0 0
⎤
⎦ (b) 퐴 =
⎡
⎣ 1 0 0−1 3 0
3 2 −2
⎤
⎦
(c) 퐴 =
⎡
⎣ 2 −2 30 3 −2
0 −1 2
⎤
⎦ (d) 퐴 =
⎡
⎣ 2 2 31 2 1
2 −2 1
⎤
⎦
2.2.7. Determine os valores de 휆 ∈ ℝ tais que existe 푋 =
⎡
⎢⎣ 푥1..
.
푥푛
⎤
⎥⎦ ∕= 0¯ que satisfaz 퐴푋 = 휆푋 .
(a) 퐴 =
⎡
⎣ 2 0 03 −1 0
0 4 3
⎤
⎦; (b) 퐴 =
⎡
⎣ 2 3 00 1 0
0 0 2
⎤
⎦;
(c) 퐴 =
⎡
⎢⎢⎣
1 2 3 4
0 −1 3 2
0 0 3 3
0 0 0 2
⎤
⎥⎥⎦; (d) 퐴 =
⎡
⎢⎢⎣
2 2 3 4
0 2 3 2
0 0 1 1
0 0 0 1
⎤
⎥⎥⎦.
2.2.8. Para as matrizes do exercı´cio anterior, e os valores de 휆 encontrados, encontre a soluc¸a˜o geral
do sistema 퐴푋 = 휆푋 , ou equivalentemente, do sistema homogeˆneo (퐴− 휆퐼푛)푋 = 0¯.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
130 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Exercı´cios usando o MATLABⓇ
Comandos do MATLABⓇ:
>> det(A) calcula o determinante da matriz A.
Comando do pacote GAAL:
>> detopelp(A) calcula o determinante de A aplicando operac¸o˜es elementares ate´ que a
matriz esteja na forma triangular superior.
2.2.9. Vamos fazer um experimento no MATLABⓇ para tentar ter uma ide´ia do qua˜o comum e´ encontrar
matrizes invertı´veis. No prompt do MATLABⓇ digite a seguinte linha:
>> c=0; for n=1:1000,A=randi(2);if(det(A)˜=0),c=c+1;end,end,c
(na˜o esquec¸a das vı´rgulas e pontos e vı´rgulas!). O que esta linha esta´ mandando o MATLABⓇ
fazer e´ o seguinte:
∙ Criar um contador c e atribuir a ele o valor zero.
∙ Atribuir a` varia´vel A, 1000 matrizes 2× 2 com entradas inteiras aleato´rias entre −5 e 5.
∙ Se det(A) ∕= 0, enta˜o o contador c e´ acrescido de 1.
∙ No final o valor existente na varia´vel c e´ escrito.
Qual a conclusa˜o que voceˆ tira do valor obtido na varia´vel c?
2.2.10. Resolva, com o MATLABⓇ, os Exercı´cios Nume´ricos a partir do Exercı´cio 4.
Exercı´cios Teo´ricos
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 131
2.2.11. Mostre que se det(퐴퐵) = 0, enta˜o ou 퐴 e´ singular ou 퐵 e´ singular.
2.2.12. O determinante de 퐴퐵 e´ igual ao determinante de 퐵퐴? Justifique.
2.2.13. Mostre que se 퐴 e´ uma matriz na˜o singular tal que 퐴2 = 퐴, enta˜o det(퐴) = 1.
2.2.14. Mostre que se 퐴푘 = 0¯, para algum 푘 inteiro positivo, enta˜o 퐴 e´ singular.
2.2.15. Mostre que se 퐴푡 = 퐴−1, enta˜o det(퐴) = ±1;
2.2.16. Mostre que se 훼 e´ um escalar e 퐴 e´ uma matriz 푛× 푛, enta˜o det(훼퐴) = 훼푛 det(퐴).
2.2.17. Mostre que 퐴, 푛× 푛, e´ invertı´vel se, e somente se, 퐴푡퐴 e´ invertı´vel.
2.2.18. Sejam 퐴 e 푃 matrizes 푛× 푛, sendo 푃 invertı´vel. Mostre que det(푃−1퐴푃 ) = det(퐴).
2.2.19. Mostre que se uma matriz 퐴 = (푎푖푗)푛×푛 e´ triangular superior, (isto e´, os elementos situados
abaixo da diagonal sa˜o iguais a zero) enta˜o det(퐴) = 푎11푎22 . . . 푎푛푛.
2.2.20. (a) Mostre que se 퐴 =
[
푎 푏
푐 푑
]
, enta˜o det(퐴) = 0 se, e somente se, uma linha e´ mu´ltiplo
escalar da outra. E se 퐴 for uma matriz 푛× 푛?
(b) Mostre que se uma linha 퐴푖 de uma matriz 퐴 = (푎푖푗)푛×푛, e´ tal que 퐴푖 = 훼퐴푘+훽퐴푙, para
훼 e 훽 escalares e 푖 ∕= 푘, 푙, enta˜o det(퐴) = 0.
(c) Mostre que se uma linha 퐴푖 de uma matriz 퐴 = (푎푖푗)푛×푛, e´ tal que 퐴푖 =
∑
푘 ∕=푖
훼푘퐴푘, para
훼1, . . . , 훼푘 escalares, enta˜o det(퐴) = 0.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
132 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
2.2.21. Mostre que o determinante de Vandermonde e´ dado por
푉푛 = det
⎡
⎢⎢⎢⎣
1 푥1 푥
2
1 . . . 푥
푛−1
1
1 푥2 푥
2
2 . . . 푥
푛−1
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 푥푛 푥
2
푛 . . . 푥
푛−1
푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ =∏
푖>푗
(푥푖 − 푥푗).
A expressa˜o a` direita significa o produto de todos os termos 푥푖 − 푥푗 tais que 푖 > 푗 e 푖, 푗 =
1, . . . , 푛. (Sugesta˜o: Mostre primeiro que 푉3 = (푥3 − 푥2)(푥2 − 푥1)(푥3 − 푥1). Suponha que o
resultado e´ verdadeiro para matrizes de Vandermonde de ordem 푛− 1, mostre que o resultado
e´ verdadeiro para matrizes de Vandermonde de ordem 푛. Fac¸a as seguintes operac¸o˜es nas
colunas da matriz, −푥1퐶푖−1 + 퐶푖 → 퐶푖, para 푖 = 푛, . . . , 2. Obtenha 푉푛 = (푥푛 − 푥1) . . . (푥2 −
푥1)푉푛−1.)
2.2.22. Sejam 퐴,퐵 e 퐷 matrizes 푝× 푝, 푝× (푛− 푝) e (푛− 푝)× (푛− 푝), respectivamente. Mostre que
det
[
퐴 퐵
0¯ 퐷
]
= det(퐴) det(퐷).
(Sugesta˜o: O resultado e´ claramente verdadeiro para 푛 = 2. Suponha que o resultado seja
verdadeiro para matrizes de ordem 푛− 1. Desenvolva o determinante da matriz em termos da
1a. coluna, escreva o resultado em termos de determinantes de ordem 푛 − 1 e mostre que o
resultado e´ verdadeiro para matrizes de ordem 푛.)
2.2.23. Dado um polinoˆmio
푝(푡) = (−1)푛(푡푛 + 푎푛−1푡푛−1 + ⋅ ⋅ ⋅+ 푎0)
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 133
Verifique que a matriz
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0 1 0 ⋅ ⋅ ⋅ 0
0 0 1 ⋅ ⋅ ⋅ 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 ⋅ ⋅ ⋅ 1
−푎0 −푎1 −푎2 ⋅ ⋅ ⋅ −푎푛−1
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
푛×푛
,
e´ tal que det(퐴 − 푡퐼푛) = 푝(푡). Esta matriz e´ chamada matriz companheira do polinoˆmio
푝(푡). (Sugesta˜o: verifique para 푛 = 2 e depois supondo que seja verdade para matrizes
(푛 − 1) × (푛 − 1) mostre que e´ verdade para matrizes 푛 × 푛 expandindo em cofatores em
relac¸a˜o a primeira coluna)
Apeˆndice II: Demonstrac¸a˜o do Teorema 2.11 na pa´gina 114
Demonstrac¸a˜o do Teorema 2.10 na pa´gina 111 para 푘 > 1. Deixamos como exercı´cio para o leitor
a verificac¸a˜o de que para matrizes 2 × 2 o resultado e´ verdadeiro. Supondo que o resultado seja
verdadeiro para matrizes (푛− 1)× (푛− 1), vamos provar para matrizes 푛× 푛. Sejam
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푘−1
훼푋 + 훽푌
퐴푘+1
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
, 퐵 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푘−1
푋
퐴푘+1
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
e 퐶 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푘−1
푌
퐴푘+1
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
134 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Suponha que 푘 = 2, . . . , 푛. As matrizes 퐴˜1푗 , 퐵˜1푗 e 퐶˜1푗 so´ diferem na (푘 − 1)-e´sima linha (lembre-se
que a primeira linha e´ retirada!). Ale´m disso, a (푘 − 1)-e´sima linha de 퐴˜1푗 e´ igual a 훼 vezes a linha
correspondente de 퐵˜1푗 mais 훽 vezes a linha correspondente de 퐶˜1푗 (esta e´ a relac¸a˜o que vale para a
푘-e´sima linha de 퐴). Como estamos supondo o resultado verdadeiro para matrizes (푛− 1)× (푛− 1),
enta˜o det(퐴˜1푗) = 훼 det(퐵˜1푗) + 훽 det(퐶˜1푗). Assim,
det(퐴) =
푛∑
푗=1
(−1)1+푗푎1푗 det(퐴˜1푗)
=
푛∑
푗=1
(−1)1+푗푎1푗
[
훼 det(퐵˜1푗) + 훽 det(퐶˜1푗)
]
= 훼
푛∑
푗=1
(−1)1+푗푏1푗 det(퐵˜1푗) + 훽
푛∑
푗=1
(−1)1+푗푐1푗 det(퐶˜1푗)
= 훼 det(퐵) + 훽 det(퐶),
pois 푎1푗 = 푏1푗 = 푐1푗 , para 푗 = 1, . . . , 푛. ■
Lema 2.17. Sejam 퐸1 = [ 1 0 . . . 0 ], 퐸2 = [ 0 1 0 . . . 0 ], . . . , 퐸푛 = [ 0 . . . 0 1 ]. Se 퐴 e´ uma matriz
푛× 푛, cuja 푖-e´sima linha e´ igual a 퐸푘, para algum 푘 (1 ≤ 푘 ≤ 푛), enta˜o
det(퐴) = (−1)푖+푘 det(퐴˜푖푘).
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 135
Demonstrac¸a˜o. ´E fa´cil ver que para matrizes 2 × 2 o lema e´ verdadeiro. Suponha que ele seja
verdadeiro para matrizes (푛− 1)× (푛− 1) e vamos provar que ele e´ verdadeiro para matrizes 푛×푛.
Podemos supor que 1 < 푖 ≤ 푛.
Seja 퐵푗 a matriz (푛− 2)× (푛− 2) obtida de 퐴 eliminando-se as linhas 1 e 푖 e as colunas 푗 e 푘,
para 1 ≤ 푗 ≤ 푛.
Para 푗 < 푘, a matriz 퐴˜1푗 e´ uma matriz (푛− 1)× (푛− 1) cuja (푖− 1)-e´sima linha e´ igual a 퐸푘−1.
Para 푗 > 푘, a matriz 퐴˜1푗 e´ uma matriz (푛− 1)× (푛− 1) cuja (푖− 1)-e´sima linha e´ igual a 퐸푘. Como
estamos supondo o lema verdadeiro para estas matrizes e como pelo Teorema 2.10 na pa´gina 111 se
uma matriz tem uma linha nula o seu determinante e´ igual a zero, enta˜o det(퐴˜1푘) = 0, segue-se que
det(퐴˜1푗) =
⎧⎨
⎩
(−1)(푖−1)+(푘−1) det(퐵푗) se 푗 < 푘,
0 se 푗 = 푘,
(−1)(푖−1)+푘 det(퐵푗) se 푗 > 푘.
(2.10)
Usando (2.10), obtemos
det(퐴) =
푛∑
푗=1
(−1)1+푗푎1푗 det(퐴˜푖푗)
=
푛∑
푗<푘
(−1)1+푗푎1푗(−1)(푖−1)+(푘−1) det(퐵푗) +
푛∑
푗>푘
(−1)1+푗푎1푗(−1)(푖−1)+푘 det(퐵푗)
Por outro lado, temos que
(−1)푖+푘 det(퐴˜푖푘) = (−1)푖+푘
[
푛∑
푗<푘
(−1)1+푗푎1푗 det(퐵푗) +
푛∑
푗>푘
(−1)1+(푗−1)푎1푗 det(퐵푗)
]
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
136 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
´E simples a verificac¸a˜o de que as duas expresso˜es acima sa˜o iguais. ■
Demonstrac¸a˜o do Teorema 2.11 na pa´gina 114.
Pelo Teorema 2.14 na pa´gina 119 basta provarmos o resultado para o desenvolvimento em termos
das linhas de 퐴. Sejam 퐸1 = [1 0 . . . 0], 퐸2 = [0 1 0 . . . 0], . . . , 퐸푛 = [0 . . . 0 1]. Observe que a
linha 푖 de 퐴 pode ser escrita como 퐴푖 =
∑푛
푗=1 푎푖푗퐸푗 . Seja 퐵푗 a matriz obtida de 퐴 substituindo-se a
linha 푖 por 퐸푗 . Pelo Teorema 2.10 na pa´gina 111 e o Lema 2.17 segue-se que
det(퐴) =
푛∑
푗=1
푎푖푗 det(퐵푗) =
푛∑
푗=1
(−1)푖+푗푎푖푗 det(퐴˜푖푗).
■
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 137
Teste do Capı´tulo
1. Calcule o determinante da matriz seguinte usando operac¸o˜es elementares para transforma´-la
em uma matriz triangular superior. ⎡
⎢⎢⎣
1 3 9 7
2 3 2 5
0 3 4 1
4 6 9 1
⎤
⎥⎥⎦
2. Se possı´vel, encontre a inversa da seguinte matriz:⎡
⎢⎢⎣
1 0 0 2
0 1 0 0
0 0 1 0
2 0 0 2
⎤
⎥⎥⎦
3. Encontre todos os valores de 휆 para os quais a matriz 퐴− 휆퐼4 tem inversa, em que
퐴 =
⎡
⎢⎢⎣
2 0 0 0
2 0 0 0
1 2 1 0
3 2 −1 2
⎤
⎥⎥⎦
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
138 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
4. Responda Verdadeiro ou Falso, justificando:
(a) Se 퐴2 = −2퐴4, enta˜o (퐼 + 퐴2)−1 = 퐼 − 2퐴2;
(b) Se 퐴푡 = −퐴2 e 퐴 e´ na˜o singular, enta˜o determinante de 퐴 e´ -1;
(c) Se 퐵 = 퐴퐴푡퐴−1, enta˜o det(퐴) = det(퐵).
(d) det(퐴+ 퐵) = det퐴+ det퐵
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
Capı´tulo 3
Vetores no Plano e no Espac¸o
Muitas grandezas fı´sicas, como velocidade, forc¸a, deslocamento e impulso, para serem comple-
tamente identificadas, precisam, ale´m da magnitude, da direc¸a˜o e do sentido. Estas grandezas sa˜o
chamadas grandezas vetoriais ou simplesmente vetores.
Geometricamente, vetores sa˜o representados por segmentos (de retas) orientados (segmentos
de retas com um sentido de percurso) no plano ou no espac¸o. A ponta da seta do segmento orientado
e´ chamada ponto final ou extremidade e o outro ponto extremo e´ chamado de ponto inicial ou
origem do segmento orientado.
Segmentos orientados com mesma direc¸a˜o, mesmo sentido e mesmo comprimento representam
o mesmo vetor. A direc¸a˜o, o sentido e o comprimento do vetor sa˜o definidos como sendo a direc¸a˜o, o
sentido e o comprimento de qualquer um dos segmentos orientados que o representam.
Este fato e´ ana´logo ao que ocorre com os nu´meros racionais e as frac¸o˜es. Duas frac¸o˜es repre-
139
140 Vetores no Plano e no Espac¸o
Figura 3.1: Segmentos orientados representando o mesmo vetor
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar 141
sentam o mesmo nu´mero racional se o numerador e o denominador de cada uma delas estiverem
na mesma proporc¸a˜o. Por exemplo, as frac¸o˜es 1/2, 2/4 e 3/6 representam o mesmo nu´mero racio-
nal. A definic¸a˜o de igualdade de vetores tambe´m e´ ana´loga a igualdade de nu´meros racionais. Dois
nu´meros racionais 푎/푏 e 푐/푑 sa˜o iguais, quando 푎푑 = 푏푐. Dizemos que dois vetores sa˜o iguais se
eles possuem o mesmo comprimento, a mesma direc¸a˜o e o mesmo sentido.
Na Figura 3.1 temos 4 segmentos orientados, com origens em pontos diferentes, que representam
o mesmo vetor, ou seja, sa˜o considerados como vetores iguais, pois possuem a mesma direc¸a˜o,
mesmo sentido e o mesmo comprimento.
Se o ponto inicial de um representante de um vetor 푉 e´ 퐴 e o ponto final e´ 퐵, enta˜o escrevemos
푉 =
−→
퐴퐵
�
�
�
�
�
�*
퐴
퐵
−→
퐴퐵
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar
A soma, 푉 +푊 , de dois vetores 푉 e 푊 e´ determinada da seguinte forma:
∙ tome um segmento orientado que representa 푉 ;
∙ tome um segmento orientado que representa 푊 , com origem na extremidade de 푉 ;
∙ o vetor 푉 +푊 e´ representado pelo segmento orientado que vai da origem de 푉 ate´ a extremi-
dade de 푊 .
Da Figura 3.2, deduzimos que a soma de vetores e´ comutativa, ou seja,
푉 +푊 = 푊 + 푉, (3.1)
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
142 Vetores no Plano e no Espac¸o
푊
푉
푉
푊
푉
+
푊
푊
+
푉
Figura 3.2: 푉 +푊 = 푊 + 푉
푊
푉
푈
푊 + 푈
푉
+
푊
푉 +
(푊
+ 푈
)(푉 +
푊 )
+ 푈
Figura 3.3: 푉 + (푊 + 푈) = (푉 +푊 ) + 푈
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar 143
para quaisquer vetores 푉 e 푊 . Observamos tambe´m que a soma 푉 + 푊 esta´ na diagonal do
paralelogramo determinado por 푉 e 푊 , quando esta˜o representados com a mesma origem.
Da Figura 3.3, deduzimos que a soma de vetores e´ associativa, ou seja,
푉 + (푊 + 푈) = (푉 +푊 ) + 푈, (3.2)
para quaisquer vetores 푉 , 푊 e 푈 .
O vetor que tem a sua origem coincidindo com a sua extremidade e´ chamado vetor nulo e deno-
tado por 0¯. Segue enta˜o, que
푉 + 0¯ = 0¯ + 푉 = 푉, (3.3)
para todo vetor 푉 .
Para qualquer vetor 푉 , o sime´trico de 푉 , denotado por −푉 , e´ o vetor que tem mesmo compri-
mento, mesma direc¸a˜o e sentido contra´rio ao de 푉 . Segue enta˜o, que
푉 + (−푉 ) = 0¯. (3.4)
Definimos a diferenc¸a 푊 menos 푉 , por
푊 − 푉 = 푊 + (−푉 ).
Segue desta definic¸a˜o, de (3.1), (3.2), (3.4) e de (3.3) que
푊 + (푉 −푊 ) = (푉 −푊 ) +푊 = 푉 + (−푊 +푊 ) = 푉 + 0¯ = 푉.
Assim, a diferenc¸a 푉 −푊 e´ um vetor que somado a 푊 da´ 푉 , portanto ele vai da extremidade de 푊
ate´ a extremidade de 푉 , desde que 푉 e 푊 estejam representados por segmentos orientados com a
mesma origem.
A multiplicac¸a˜o de um vetor 푉 por um escalar 훼, 훼푉 , e´ determinada pelo vetor que possui as
seguintes caracterı´sticas:
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
144 Vetores
no Plano e no Espac¸o
(a) e´ o vetor nulo, se 훼 = 0 ou 푉 = 0¯,
(b) caso contra´rio,
i. tem comprimento ∣훼∣ vezes o comprimento de 푉 ,
ii. a direc¸a˜o e´ a mesma de 푉 (neste caso, dizemos que eles sa˜o paralelos),
iii. tem o mesmo sentido de 푉 , se 훼 > 0 e
tem o sentido contra´rio ao de 푉 , se 훼 < 0.
As propriedades da multiplicac¸a˜o por escalar sera˜o apresentadas mais a frente. Se 푊 = 훼푉 ,
dizemos que 푊 e´ um mu´ltiplo escalar de 푉 . ´E fa´cil ver que dois vetores na˜o nulos sa˜o paralelos
(ou colineares) se, e somente se, um e´ um mu´ltiplo escalar do outro.
As operac¸o˜es com vetores podem ser definidas utilizando um sistema de coordenadas retangu-
lares ou cartesianas. Em primeiro lugar, vamos considerar os vetores no plano.
Seja 푉 um vetor no plano. Definimos as componentes de 푉 como sendo as coordenadas (푣1, 푣2)
do ponto final do representante de 푉 que tem ponto inicial na origem. Vamos identificar o vetor com
as suas componentes e vamos escrever simplesmente
푉 = (푣1, 푣2).
Assim, as coordenadas de um ponto 푃 sa˜o iguais as componentes do vetor
−→
푂푃 , que vai da
origem do sistema de coordenadas ao ponto 푃 . Em particular, o vetor nulo, 0¯ = (0, 0). Em termos
das componentes, podemos realizar facilmente as operac¸o˜es: soma de vetores e multiplicac¸a˜o de
vetor por escalar.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar 145
 
 
 
 
푊−푊
푉
푉 −푊
 
 
 
푊
푉 푉 −푊
Figura 3.4: A diferenc¸a 푉 −푊
푉
−2푉
3푉
1
2
푉
Figura 3.5: Multiplicac¸a˜o de vetor por escalar
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
146 Vetores no Plano e no Espac¸o
x
y
푉 = (푣1, 푣2)
푣2
푂 푣1
Figura 3.6: As componentes do vetor 푉 no
plano
x
y
푃 = (푥, 푦)
−→
푂푃
푦
푂 푥
Figura 3.7: As coordenadas de 푃 sa˜o
iguais as componentes de
−→
푂푃
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar 147
∙ Como ilustrado na Figura 3.8, a soma de dois vetores 푉 = (푣1, 푣2) e 푊 = (푤1, 푤2) e´ dada por
푉 +푊 = (푣1 + 푤1, 푣2 + 푤2);
∙ Como ilustrado na Figura 3.9, a multiplicac¸a˜o de um vetor 푉 = (푣1, 푣2) por um escalar 훼 e´
dada por
훼 푉 = (훼 푣1, 훼 푣2).
Definimos as componentes de um vetor no espac¸o de forma ana´loga a que fizemos com vetores
no plano. Vamos inicialmente introduzir um sistema de coordenadas retangulares no espac¸o. Para
isto, escolhemos um ponto como origem 푂 e como eixos coordenados, treˆs retas orientadas (com
sentido de percurso definido), passando pela origem, perpendiculares entre si, sendo uma delas
vertical orientada para cima. Estes sera˜o os eixos 푥, 푦 e 푧. O eixo 푧 e´ o eixo vertical. Os eixos 푥
e 푦 sa˜o horizontais e satisfazem a seguinte propriedade. Suponha que giramos o eixo 푥 pelo menor
aˆngulo ate´ que coincida com o eixo 푦. Se os dedos da ma˜o direita apontam na direc¸a˜o do semi-
eixo 푥 positivo de forma que o semi-eixo 푦 positivo esteja do lado da palma da ma˜o, enta˜o o polegar
aponta no sentido do semi-eixo 푧 positivo. Cada par de eixos determina um plano chamado de plano
coordenado. Portanto os treˆs planos coordenados sa˜o: 푥푦, 푦푧 e 푥푧.
A cada ponto 푃 no espac¸o associamos um terno de nu´meros (푥, 푦, 푧), chamado de coordenadas
do ponto 푃 como segue.
∙ Trace uma reta paralela ao eixo 푧, passando por 푃 ;
∙ A intersec¸a˜o da reta paralela ao eixo 푧, passando por 푃 , com o plano 푥푦 e´ o ponto 푃 ′. As
coordenadas de 푃 ′, (푥, 푦), no sistema de coordenadas 푥푦 sa˜o as duas primeiras coordenadas
de 푃 .
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
148 Vetores no Plano e no Espac¸o
x
y
푣2
푤2
푣2+푤2
푣1 푤1 푣1+푤1
푉
푊
푉 +푊
Figura 3.8: A soma de dois vetores no
plano
x
y
푣2
훼푣2
푣1 훼푣1
푉
훼푉
Figura 3.9: A multiplicac¸a˜o de vetor por es-
calar no plano
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar 149
∙ A terceira coordenada e´ igual ao comprimento do segmento 푃푃 ′, se 푃 estiver acima do plano
푥푦 e ao comprimento do segmento 푃푃 ′ com o sinal negativo, se 푃 estiver abaixo do plano 푥푦.
As coordenadas de um ponto 푃 sa˜o determinadas tambe´m da maneira dada a seguir.
∙ Passe treˆs planos por 푃 paralelos aos planos coordenados.
∙ A intersec¸a˜o do plano paralelo ao plano 푥푦, passando por 푃 , com o eixo 푧 determina a coorde-
nada 푧.
∙ A intersec¸a˜o do plano paralelo ao plano 푥푧, passando por 푃 , com o eixo 푦 determina a coorde-
nada 푦
∙ A intersec¸a˜o do plano paralelo ao plano 푦푧, passando por 푃 , com o eixo 푥 determina a coorde-
nada 푥.
Agora, estamos prontos para utilizarmos um sistema de coordenadas cartesianas tambe´m nas
operac¸o˜es de vetores no espac¸o. Seja 푉 um vetor no espac¸o. Como no caso de vetores do plano,
definimos as componentes de 푉 como sendo as coordenadas (푣1, 푣2, 푣3) do ponto final do repre-
sentante de 푉 que tem ponto inicial na origem. Tambe´m vamos identificar o vetor com as suas
componentes e vamos escrever simplesmente
푉 = (푣1, 푣2, 푣3).
Assim, as coordenadas de um ponto 푃 sa˜o iguais as componentes do vetor
−→
푂푃 que vai da
origem do sistema de coordenadas ao ponto 푃 . Em particular, o vetor nulo, 0¯ = (0, 0, 0). Assim como
fizemos para vetores no plano, para vetores no espac¸o a soma de vetores e a multiplicac¸a˜o de vetor
por escalar podem ser realizadas em termos das componentes.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
150 Vetores no Plano e no Espac¸o
∙ Se 푉 = (푣1, 푣2, 푣3) e 푊 = (푤1, 푤2, 푤3), enta˜o a adic¸a˜o de 푉 com 푊 e´ dada por
푉 +푊 = (푣1 + 푤1, 푣2 + 푤2, 푣3 + 푤3);
∙ Se 푉 = (푣1, 푣2, 푣3) e 훼 e´ um escalar, enta˜o a multiplicac¸a˜o de 푉 por 훼 e´ dada por
훼 푉 = (훼 푣1, 훼 푣2, 훼 푣3).
Exemplo 3.1. Se 푉 = (1,−2, 3), 푊 = (2, 4,−1), enta˜o
푉 +푊 = (1 + 2,−2 + 4, 3 + (−1)) = (3, 2, 2), 3푉 = (3 ⋅ 1, 3 (−2), 3 ⋅ 3) = (3,−6, 9).
Quando um vetor 푉 esta´ representado por um segmento orientado com ponto inicial fora da origem
(Figura 3.13), digamos em 푃 = (푥1, 푦1, 푧1), e ponto final em 푄 = (푥2, 푦2, 푧2), enta˜o as componentes
do vetor 푉 sa˜o dadas por
푉 =
−→
푃푄=
−→
푂푄 −
−→
푂푃= (푥2 − 푥1, 푦2 − 푦1, 푧2 − 푧1).
Portanto, as componentes de 푉 sa˜o obtidas subtraindo-se as coordenadas do ponto 푄 (extremi-
dade) das do ponto 푃 (origem). O mesmo se aplica a vetores no plano.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar 151
Exemplo 3.2. As componentes do vetor 푉 que tem um representante com ponto inicial 푃 =
(5/2, 1, 2) e ponto final 푄 = (0, 5/2, 5/2) sa˜o dadas por
푉 =
−→
푃푄= (0− 5/2, 5/2− 1, 5/2− 2) = (−5/2, 3/2, 1/2).
Observac¸a˜o. O vetor e´ “livre”, ele na˜o tem posic¸a˜o fixa, ao contra´rio do ponto e do segmento orien-
tado. Por exemplo, o vetor 푉 = (−5/2, 3/2, 1/2), no exemplo acima, estava representado por um
segmento orientado com a origem no ponto 푃 = (5/2, 1, 2). Mas, poderia ser representado por um
segmento orientado cujo ponto inicial poderia estar em qualquer outro ponto.
Um vetor no espac¸o 푉 = (푣1, 푣2, 푣3) pode tambe´m ser escrito na notac¸a˜o matricial como uma
matriz linha ou como uma matriz coluna:
푉 =
⎡
⎣ 푣1푣2
푣3
⎤
⎦ ou 푉 = [ 푣1 푣2 푣3 ] .
Estas notac¸o˜es podem ser justificadas pelo fato de que as operac¸o˜es matriciais
푉 +푊 =
⎡
⎣ 푣1푣2
푣3
⎤
⎦+
⎡
⎣ 푤1푤2
푤3
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 푣1 + 푤1푣2 + 푤2
푣3 + 푤3
⎤
⎦ , 훼푉 = 훼
⎡
⎣ 푣1푣2
푣3
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 훼푣1훼푣2
훼푣3
⎤
⎦
ou
푉 +푊 =
[
푣1 푣2 푣3
]
+
[
푤1 푤2 푤3
]
=
[
푣1 + 푤1 푣2 + 푤2 푣3 + 푤3
]
,
Julho 2009 Reginaldo
J. Santos
152 Vetores no Plano e no Espac¸o
훼푉 = 훼
[
푣1 푣2 푣3
]
=
[
훼푣1 훼푣2 훼푣3
]
produzem os mesmos resultados que as operac¸o˜es vetoriais
푉 +푊 = (푣1, 푣2, 푣3) + (푤1, 푤2, 푤3) = (푣1 + 푤1, 푣2 + 푤2, 푣3 + 푤3),
훼푉 = 훼(푣1, 푣2, 푣3) = (훼푣1, 훼푣2, 훼푣3).
O mesmo vale, naturalmente, para vetores no plano.
No teorema seguinte enunciamos as propriedades mais importantes da soma de vetores e
multiplicac¸a˜o de vetores por escalar.
Teorema 3.1. Sejam 푈, 푉 e 푊 vetores e 훼 e 훽 escalares. Sa˜o va´lidas as seguintes propriedades:
(a) 푈 + 푉 = 푉 + 푈 ;
(b) (푈 + 푉 ) +푊 = 푈 + (푉 +푊 );
(c) 푈 + 0¯ = 푈 ;
(d) 푈 + (−푈) = 0¯;
(e) 훼(훽푈) = (훼훽)푈 ;
(f) 훼(푈 + 푉 ) = 훼푈 + 훼푉 ;
(g) (훼 + 훽)푈 = 훼푈 + 훽푈 ;
(h) 1푈 = 푈 .
Demonstrac¸a˜o. Segue diretamente das propriedades da a´lgebra matricial (Teorema 1.1 na pa´gina
9). ■
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar 153
Exemplo 3.3. Seja um triaˆngulo 퐴퐵퐶 e sejam 푀 e 푁 os pontos me´dios de 퐴퐶 e 퐵퐶, respectiva-
mente. Vamos provar que 푀푁 e´ paralelo a 퐴퐵 e tem comprimento igual a metade do comprimento
de 퐴퐵.
Devemos provar que
−→
푀푁=
1
2
−→
퐴퐵 .
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
154 Vetores no Plano e no Espac¸o
A B
C
M N
Agora, a partir da figura acima temos que
−→
푀푁=
−→
푀퐶 +
−→
퐶푁 .
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar 155
Como 푀 e´ ponto me´dio de 퐴퐶 e 푁 e´ ponto me´dio de 퐵퐶, enta˜o
−→
푀퐶=
1
2
−→
퐴퐶 e
−→
퐶푁=
1
2
−→
퐶퐵 .
Logo,
−→
푀푁=
1
2
−→
퐴퐶 +
1
2
−→
퐶퐵=
1
2
(
−→
퐴퐶 +
−→
퐶퐵) =
1
2
−→
퐴퐵 .
Exemplo 3.4. Dados quatro pontos 퐴, 퐵, 퐶 e 푋 tais que
−→
퐴푋= 휆
−→
퐴퐵, vamos escrever
−→
퐶푋 como
combinac¸a˜o linear de
−→
퐶퐴 e
−→
퐶퐵, isto e´, como uma soma de mu´ltiplos escalares de
−→
퐶퐴 e
−→
퐶퐵.
Como
−→
퐴푋= 휆
−→
퐴퐵, enta˜o os vetores
−→
퐴푋 e
−→
퐴퐵 sa˜o paralelos e portanto o ponto 푋 so´ pode estar
na reta definida por 퐴 e 퐵. Vamos desenha´-lo entre 퐴 e 퐵, mas isto na˜o vai representar nenhuma
restric¸a˜o.
O vetor que vai de 퐶 para 푋 , pode ser escrito como uma soma de um vetor que vai de 퐶 para 퐴
com um vetor que vai de 퐴 para 푋 ,
−→
퐶푋=
−→
퐶퐴 +
−→
퐴푋 .
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156 Vetores no Plano e no Espac¸o
A
B
C
X
Agora, por hipo´tese
−→
퐴푋= 휆
−→
퐴퐵, o que implica que
−→
퐶푋=
−→
퐶퐴 +휆
−→
퐴퐵.
Mas,
−→
퐴퐵=
−→
퐶퐵 −
−→
퐶퐴, portanto
−→
퐶푋=
−→
퐶퐴 +휆(
−→
퐶퐵 −
−→
퐶퐴). Logo,
−→
퐶푋= (1− 휆)
−→
퐶퐴 +휆
−→
퐶퐵 .
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar 157
Observe que:
∙ Se 휆 = 0, enta˜o
−→
퐶푋=
−→
퐶퐴.
∙ Se 휆 = 1, enta˜o
−→
퐶푋=
−→
퐶퐵.
∙ Se 휆 = 1/2, enta˜o
−→
퐶푋= 1
2
−→
퐶퐴 +1
2
−→
퐶퐵.
∙ Se 휆 = 1/3, enta˜o
−→
퐶푋= 2
3
−→
퐶퐴 +1
3
−→
퐶퐵.
Exemplo 3.5. Vamos mostrar, usando vetores, que o ponto me´dio de um segmento que une os pontos
퐴 = (푥1, 푦1, 푧1) e 퐵 = (푥2, 푦2, 푧2) e´
푀 =
(
푥1 + 푥2
2
,
푦1 + 푦2
2
,
푧1 + 푧2
2
)
.
O ponto 푀 e´ o ponto me´dio de 퐴퐵 se, e somente se,
−→
퐴푀= 1
2
−→
퐴퐵. Enta˜o, aplicando o exemplo
anterior (com o ponto 퐶 sendo a origem 푂),
−→
푂푀= 1
2
−→
푂퐴 +1
2
−→
푂퐵. Como as coordenadas de
um ponto sa˜o iguais as componentes do vetor que vai da origem ate´ aquele ponto, segue-se que
−→
푂푀= 1
2
(푥1, 푦1, 푧1) +
1
2
(푥2, 푦2, 푧2) e
푀 =
(
푥1 + 푥2
2
,
푦1 + 푦2
2
,
푧1 + 푧2
2
)
.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
158 Vetores no Plano e no Espac¸o
Exercı´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 523)
3.1.1. Determine o ponto 퐶 tal que
−→
퐴퐶= 2
−→
퐴퐵 sendo 퐴 = (0,−2) e 퐵 = (1, 0).
3.1.2. Uma reta no plano tem equac¸a˜o 푦 = 2푥+ 1. Determine um vetor paralelo a esta reta.
3.1.3. Determine uma equac¸a˜o para a reta no plano que e´ paralela ao vetor 푉 = (2, 3) e passa pelo
ponto 푃0 = (1, 2).
3.1.4. Determine o vetor 푋 , tal que 3푋 − 2푉 = 15(푋 − 푈).
3.1.5. Determine os vetores 푋 e 푌 tais que
{
6푋 − 2푌 = 푈
3푋 + 푌 = 푈 + 푉
3.1.6. Determine as coordenadas da extremidade do segmento orientado que representa o vetor 푉 =
(3, 0,−3), sabendo-se que sua origem esta´ no ponto 푃 = (2, 3,−5).
3.1.7. Quais sa˜o as coordenadas do ponto 푃 ′, sime´trico do ponto 푃 = (1, 0, 3) em relac¸a˜o ao ponto
푀 = (1, 2,−1)? (Sugesta˜o: o ponto 푃 ′ e´ tal que o vetor
−→
푀푃 ′= −
−→
푀푃 )
3.1.8. Verifique se os pontos dados a seguir sa˜o colineares, isto e´, pertencem a uma mesma reta:
(a) 퐴 = (5, 1,−3), 퐵 = (0, 3, 4) e 퐶 = (0, 3,−5);
(b) 퐴 = (−1, 1, 3), 퐵 = (4, 2,−3) e 퐶 = (14, 4,−15);
3.1.9. Dados os pontos 퐴 = (1,−2,−3), 퐵 = (−5, 2,−1) e 퐶 = (4, 0,−1). Determine o ponto 퐷
tal que 퐴, 퐵, 퐶 e 퐷 sejam ve´rtices consecutivos de um paralelogramo.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar 159
3.1.10. Verifique se o vetor 푈 e´ combinac¸a˜o linear (soma de mu´ltiplos escalares) de 푉 e 푊 :
(a) 푉 = (9,−12,−6),푊 = (−1, 7, 1) e 푈 = (−4,−6, 2);
(b) 푉 = (5, 4,−3),푊 = (2, 1, 1) e 푈 = (−3,−4, 1);
3.1.11. Verifique se e´ um paralelogramo o quadrila´tero de ve´rtices (na˜o necessariamente consecutivos)
(a) 퐴 = (4,−1, 1), 퐵 = (9,−4, 2), 퐶 = (4, 3, 4) e 퐷 = (4,−21,−14)
(b) 퐴 = (4,−1, 1), 퐵 = (9,−4, 2), 퐶 = (4, 3, 4) e 퐷 = (9, 0, 5)
3.1.12. Quais dos seguintes vetores sa˜o paralelos 푈 = (6,−4,−2), 푉 = (−9, 6, 3), 푊 =
(15,−10, 5).
Exercı´cios usando o MATLABⓇ
>> V=[v1,v2,v3] cria um vetor V, usando as componentes nume´ricas v1, v2, v3. Por
exemplo >> V=[1,2,3] cria o vetor 푉 = (1, 2, 3);
>> V+W e´ a soma de V e W; >> V-W e´ a diferenc¸a V menos W; >> num*V e´ o produto do vetor V
pelo escalar num;
>> subs(expr,x,num) substitui x por num na expressa˜o expr;
>> solve(expr) determina a soluc¸a˜o da equac¸a˜o expr=0;
Comandos gra´ficos do pacote GAAL:
>> desvet(P,V) desenha o vetor V com origem no ponto P e >> desvet(V) desenha o vetor
V com origem no ponto 푂 = (0, 0, 0).
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
160 Vetores no Plano e no Espac¸o
>> po([P1;P2;...;Pn]) desenha os pontos P1, P2, ..., Pn.
>> lineseg(P1,P2,’cor’) desenha o segmento de reta P1P2. >> tex(P,’texto’) co-
loca o texto no ponto P.
>> axiss reescala os eixos com a mesma escala. >> eixos desenha os eixos coordenados.
>> box desenha uma caixa em volta da figura. >> rota faz uma rotac¸a˜o em torno do eixo 푧.
>> zoom3(fator) amplifica a regia˜o pelo fator.
3.1.13. Coloque em duas varia´veis 푉 e 푊 dois vetores do plano ou do espac¸o a seu crite´rio
(a) Use a func¸a˜o ilsvw(V,W) para visualizar a soma dos dois vetores.
(b) Coloque em uma varia´vel a um nu´mero e use a func¸a˜o ilav(a,V) para visualizar a
multiplicac¸a˜o do vetor V pelo escalar a.
3.1.14. Use o MATLABⓇ para resolver os Exercı´cios Nume´ricos a partir do Exercı´cio 1.3.
Exercı´cios Teo´ricos
3.1.15. Demonstre que o segmento que une os pontos me´dios dos lados na˜o paralelos de um trape´zio
e´ paralelo a`s bases, e sua medida e´ a me´dia aritme´tica das medidas das bases. (Sugesta˜o:
mostre que
−→
푀푁= 1
2
(
−→
퐴퐵 +
−→
퐷퐶) e depois conclua que
−→
푀푁 e´ um mu´ltiplo escalar de
−→
퐴퐵.
Revise o Exemplo 3.3 na pa´gina 153)
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar 161
A B
C
M N
D
3.1.16. Demonstre que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio. (Sugesta˜o: Sejam 푀 e
푁 os pontos me´dios das duas diagonais do paralelogramo. Mostre que o vetor
−→
푀푁= 0¯, enta˜o
conclua que 푀 = 푁 .)
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
162 Vetores no Plano e no Espac¸o
A B
C
M N
D
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar 163
3.1.17. Considere o triaˆngulo 퐴퐵퐶 e sejam 푀 o ponto me´dio de 퐵퐶, 푁 o ponto me´dio de 퐴퐶 e 푃 o
ponto me´dio de 퐴퐵. Mostre que as medianas (os segmentos 퐴푀 , 퐵푁 e 퐶푃 ) se cortam num
mesmo ponto que divide as medianas na proporc¸a˜o 2/3 e 1/3. (Sugesta˜o: Sejam 퐺, 퐻 e 퐼 os
pontos definidos por
−→
퐴퐺= 2
3
−→
퐴푀 ,
−→
퐵퐻= 2
3
−→
퐵푁 e
−→
퐶퐼= 2
3
−→
퐶푃 . Mostre que
−→
퐺퐻= 0¯,
−→
퐺퐼= 0¯,
conclua que 퐺 = 퐻 = 퐼 .)
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
164 Vetores no Plano e no Espac¸o
A
B
C
M
P
N
GH
I
3.1.18. Sejam 퐴, 퐵 e 퐶 pontos quaisquer com 퐴 ∕= 퐵. Prove que:
(a) Um ponto 푋 pertence a reta determinada por 퐴 e 퐵 (
−→
퐴푋= 휆
−→
퐴퐵) se, e somente se,
−→
퐶푋= 훼
−→
퐶퐴 +훽
−→
퐶퐵, com 훼 + 훽 = 1.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar 165
(b) Um ponto 푋 pertence ao interior do segmento 퐴퐵 (
−→
퐴푋= 휆
−→
퐴퐵, com 0 < 휆 < 1) se, e
somente se,
−→
퐶푋= 훼
−→
퐶퐴 +훽
−→
퐶퐵, com 훼 > 0, 훽 > 0 e 훼 + 훽 = 1.
(c) Um ponto 푋 e´ um ponto interior ao triaˆngulo 퐴퐵퐶 (
−→
퐴′푋= 휆
−→
퐴′퐵′, com 0 < 휆 < 1,
em que 퐴′ e´ um ponto interior ao segmento 퐴퐶 e 퐵′ e´ interior ao segmento 퐶퐵) se, e
somente se,
−→
퐶푋= 훼
−→
퐶퐴 +훽
−→
퐶퐵, com 훼 > 0, 훽 > 0 e 훼 + 훽 < 1.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
166 Vetores no Plano e no Espac¸o
A
B
C
3.1.19. Mostre que se 훼푉 = 0¯, enta˜o 훼 = 0 ou 푉 = 0¯.
3.1.20. Se 훼푈 = 훼푉 , enta˜o 푈 = 푉 ? E se 훼 ∕= 0 ?
3.1.21. Se 훼푉 = 훽푉 , enta˜o 훼 = 훽 ? E se 푉 ∕= 0¯ ?
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar 167
x y
z
푃 = (푥, 푦, 푧)
푧
푃 ′
푦푥
x y
z
푃 = (푥, 푦, 푧)
푦푥
푧
Figura 3.10: As coordenadas de um ponto no espac¸o
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
168 Vetores no Plano e no Espac¸o
x y
z
푉 = (푣1, 푣2, 푣3)
푣2푣1
푣3
Figura 3.11: As componentes de um vetor
no espac¸o
x y
z
푃 = (푥, 푦, 푧)
−→
푂푃
푂
푦푥
푧
Figura 3.12: As coordenadas de 푃 sa˜o
iguais as componentes de
−→
푂푃
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar 169
x y
z
푄
푃
푂
푉
Figura 3.13: 푉 =
−→
푃푄=
−→
푂푄 −
−→
푂푃
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
170 Vetores no Plano e no Espac¸o
3.2 Produtos de Vetores
3.2.1 Norma e Produto Escalar
Ja´ vimos que o comprimento de um vetor 푉 e´ definido como sendo o comprimento de qualquer
um dos segmentos orientados que o representam. O comprimento do vetor 푉 tambe´m e´ chamado
de norma de 푉 e e´ denotado(a) por ∣∣푉 ∣∣. Segue do Teorema de Pita´goras que a norma de um vetor
pode ser calculada usando as suas componentes, por
∣∣푉 ∣∣ =
√
푣21 + 푣
2
2 ,
no caso em que 푉 = (푣1, 푣2) e´ um vetor no plano, e por
∣∣푉 ∣∣ =
√
푣21 + 푣
2
2 + 푣
2
3 ,
no caso em que 푉 = (푣1, 푣2, 푣3) e´ um vetor no espac¸o (verifique usando as Figuras 3.14 e 3.15).
Um vetor de norma igual a 1 e´ chamado vetor unita´rio.
A distaˆncia entre dois pontos 푃 = (푥1, 푦1, 푧1) e 푄 = (푥2, 푦2, 푧2) e´ igual a` norma do vetor
−→
푃푄
(Figura 3.13 na pa´gina 169). Como
−→
푃푄=
−→
푂푄 −
−→
푂푃= (푥2 − 푥1, 푦2 − 푦1, 푧2 − 푧1), enta˜o a distaˆncia
de 푃 a 푄 e´ dada por
dist(푃,푄) = ∣∣
−→
푃푄 ∣∣ =
√
(푥2 − 푥1)2 + (푦2 − 푦1)2 + (푧2 − 푧1)2.
Analogamente, a distaˆncia entre dois pontos 푃 = (푥1, 푦1) e 푄 = (푥2, 푦2) no plano e´ igual a`
norma do vetor
−→
푃푄, que e´ dada por
dist(푃,푄) = ∣∣
−→
푃푄 ∣∣ =
√
(푥2 − 푥1)2 + (푦2 − 푦1)2.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.2 Produtos de Vetores 171
x
y
∣∣푉 ∣
∣
푉 = (푣1, 푣2)
∣푣2∣
∣푣1∣
Figura 3.14: A norma de um vetor 푉 no
plano
x y
z
푉 = (푣1, 푣2, 푣3)
∣푣2 ∣
∣푣1∣
∣푣3∣
Figura 3.15: A norma de um vetor 푉 no
espac¸o
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
172 Vetores no Plano e no Espac¸o
Exemplo 3.6. A norma do vetor 푉 = (1,−2, 3) e´
∣∣푉 ∣∣ =
√
12 + (−2)2 + 32 =
√
14.
A distaˆncia entre os pontos 푃 = (2,−3, 1) e 푄 = (−1, 4, 5) e´
dist(푃,푄) = ∣∣
−→
푃푄 ∣∣ = ∣∣(−1− 2, 4− (−3), 5− 1)∣∣ = ∣∣(−3, 7, 4)∣∣ =
√
(−3)2 + 72 + 42 =
√
74.
Se 푉 = (푣1, 푣2, 푣3) e 훼 e´ um escalar, enta˜o da definic¸a˜o da multiplicac¸a˜o de vetor por escalar e
da norma de um vetor segue-se que
∣∣훼푉 ∣∣ = ∣∣(훼푣1, 훼푣2, 훼푣3)∣∣ =
√
(훼푣1)2 + (훼푣2)2 + (훼푣3)2 =
√
훼2(푣21 + 푣
2
2 + 푣
2
3),
ou seja,
∣∣훼푉 ∣∣ = ∣훼∣ ∣∣푉 ∣∣. (3.5)
Dado um vetor 푉 na˜o nulo, o vetor
푈 =
(
1
∣∣푉 ∣∣
)
푉.
e´ um vetor unita´rio na direc¸a˜o de 푉 , pois por (3.5), temos que
∣∣푈 ∣∣ =
∣∣∣∣ 1∣∣푉 ∣∣
∣∣∣∣ ∣∣푉 ∣∣ = 1.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.2 Produtos de Vetores 173
Exemplo 3.7. Um vetor unita´rio na direc¸a˜o do vetor 푉 = (1,−2, 3) e´ o vetor
푈 =
(
1
∣∣푉 ∣∣
)
푉 =
(
1√
14
)
(1,−2, 3) = ( 1√
14
,
−2√
14
,
3√
14
).
O aˆngulo entre dois vetores na˜o nulos, 푉 e 푊 , e´ definido pelo aˆngulo 휃 determinado por 푉 e 푊
que satisfaz 0 ≤ 휃 ≤ 휋, quando eles esta˜o representados com a mesma origem (Figura 3.16).
Quando o aˆngulo 휃 entre dois vetores 푉 e 푊 e´ reto (휃 = 90o), ou um deles e´ o vetor nulo, dizemos
que os vetores 푉 e 푊 sa˜o ortogonais ou perpendiculares entre si.
Vamos definir, agora, um produto entre dois vetores, cujo resultado e´ um escalar. Por isso ele e´
chamado produto escalar. Este produto tem aplicac¸a˜o, por exemplo, em Fı´sica: o trabalho realizado
por uma forc¸a e´ o produto escalar do vetor forc¸a pelo vetor deslocamento, quando a forc¸a aplicada e´
constante.
Definic¸a˜o 3.1. O produto escalar ou interno de dois vetores 푉 e 푊 e´ definido por
푉 ⋅푊 =
{
0, se 푉 ou 푊 e´ o vetor nulo,
∣∣푉 ∣∣ ∣∣푊 ∣∣ cos 휃, caso contra´rio,
em que 휃 e´ o aˆngulo entre eles.
Quando os vetores sa˜o dados em termos das suas componentes na˜o sabemos diretamente o
aˆngulo entre eles. Por isso, precisamos de uma forma de calcular o produto escalar que na˜o necessite
do aˆngulo entre os vetores.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
174 Vetores no Plano e no Espac¸o
푊
푉
휃 푊
푉
휃
Figura 3.16: ˆAngulo entre dois vetores, agudo (a` esquerda) e obtuso (a` direita)
푊
푉
푉 −푊
휃 푊
푉
휃
푉 −푊
Figura 3.17: Triaˆngulo formado por representantes de 푉 , 푊 e 푉 −푊 . `A esquerda o aˆngulo entre 푉
e 푊 e´ agudo e a` direita e´ obtuso.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.2 Produtos de Vetores 175
Se 푉 e 푊 sa˜o dois vetores na˜o nulos e 휃 e´ o aˆngulo entre eles, enta˜o pela lei dos cossenos,
∣∣푉 −푊 ∣∣2 = ∣∣푉 ∣∣2 + ∣∣푊 ∣∣2 − 2∣∣푉 ∣∣ ∣∣푊 ∣∣ cos 휃.
Assim,
푉 ⋅푊 = ∣∣푉 ∣∣ ∣∣푊 ∣∣ cos 휃 = 1
2
(∣∣푉 ∣∣2 + ∣∣푊 ∣∣2 − ∣∣푉 −푊 ∣∣2) . (3.6)
Ja´ temos enta˜o uma fo´rmula para calcular o produto escalar que na˜o depende
diretamente do aˆngulo
entre eles. Substituindo-se as coordenadas dos vetores em (3.6) obtemos uma expressa˜o mais sim-
ples para o ca´lculo do produto interno.
Por exemplo, se 푉 = (푣1, 푣2, 푣3) e 푊 = (푤1, 푤2, 푤3) sa˜o vetores no espac¸o, enta˜o substituindo-
se ∣∣푉 ∣∣2 = 푣21+푣22+푣23 , ∣∣푊 ∣∣2 = 푤21+푤22+푤23 e ∣∣푉 −푊 ∣∣2 = (푣1−푤1)2+(푣2−푤2)2+(푣3−푤3)2
em (3.6) os termos 푣2푖 e 푤2푖 sa˜o cancelados e obtemos
푉 ⋅푊 = 푣1푤1 + 푣2푤2 + 푣3푤3.
Teorema 3.2. O produto escalar ou interno, 푉 ⋅푊 , entre dois vetores e´ dado por
푉 ⋅푊 = 푣1푤1 + 푣2푤2,
se 푉 = (푣1, 푣2) e 푊 = (푤1, 푤2) sa˜o vetores no plano e por
푉 ⋅푊 = 푣1푤1 + 푣2푤2 + 푣3푤3,
se 푉 = (푣1, 푣2, 푣3) e 푊 = (푤1, 푤2, 푤3) sa˜o vetores no espac¸o.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
176 Vetores no Plano e no Espac¸o
Exemplo 3.8. Sejam 푉 = (0, 1, 0) e 푊 = (2, 2, 3). O produto escalar de 푉 por 푊 e´ dado por
푉 ⋅푊 = 푣1푤1 + 푣2푤2 + 푣3푤3 = 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 3 = 2 .
Podemos usar o Teorema 3.2 para determinar o aˆngulo entre dois vetores na˜o nulos, 푉 e 푊 . O
cosseno do aˆngulo entre 푉 e 푊 e´, enta˜o, dado por
cos 휃 =
푉 ⋅푊
∣∣푉 ∣∣ ∣∣푊 ∣∣ .
Se 푉 e 푊 sa˜o vetores na˜o nulos e 휃 e´ o aˆngulo entre eles, enta˜o
(a) 휃 e´ agudo (0 ≤ 휃 < 90o) se, e somente se, 푉 ⋅푊 > 0,
(b) 휃 e´ reto (휃 = 90o) se, e somente se, 푉 ⋅푊 = 0 e
(c) 휃 e´ obtuso (90o < 휃 ≤ 180o) se, e somente se, 푉 ⋅푊 < 0.
Exemplo 3.9. Vamos determinar o aˆngulo entre uma diagonal de um cubo e uma de suas arestas.
Sejam 푉1 = (1, 0, 0), 푉2 = (0, 1, 0) e 푉3 = (0, 0, 1) (Figura 3.18). Uma diagonal do cubo e´ represen-
tada pelo vetor 퐷 dado por
퐷 = 푉1 + 푉2 + 푉3 = (1, 1, 1) .
Enta˜o o aˆngulo entre 퐷 e 푉1 satisfaz
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.2 Produtos de Vetores 177
cos 휃 =
퐷 ⋅ 푉1
∣∣퐷∣∣∣∣푉1∣∣ =
1.1 + 0.1 + 0.1
(
√
12 + 12 + 12)(
√
12 + 02 + 02)
=
1√
3
ou seja,
휃 = arccos(
1√
3
) ≈ 54o .
Teorema 3.3. Sejam 푈, 푉 e 푊 vetores e 훼 um escalar. Sa˜o va´lidas as seguintes propriedades:
(a) (comutatividade) 푈 ⋅ 푉 = 푉 ⋅ 푈 ;
(b) (distributividade) 푈 ⋅ (푉 +푊 ) = 푈 ⋅ 푉 + 푈 ⋅푊 ;
(c) (associatividade) 훼(푈 ⋅ 푉 ) = (훼푈) ⋅ 푉 = 푈 ⋅ (훼푉 );
(d) 푉 ⋅ 푉 = ∣∣푉 ∣∣2 ≥ 0, para todo 푉 e 푉 ⋅ 푉 = 0 se, e somente se, 푉 = 0¯.
Demonstrac¸a˜o. Sejam 푈 = (푢1, 푢2, 푢3), 푉 = (푣1, 푣2, 푣3) e 푊 = (푤1, 푤2, 푤3).
(a) 푈 ⋅ 푉 = 푢1푣1 + 푢2푣2 + 푢3푣3 = 푣1푢1 + 푣2푢2 + 푣3푢3 = 푉 ⋅ 푈 ;
(b) 푈 ⋅(푉 +푊 ) = (푢1, 푢2, 푢3)⋅(푣1+푤1, 푣2+푤2, 푣3+푤3) = 푢1(푣1+푤1)+푢2(푣2+푤2)+푢3(푣3+푤3) =
(푢1푣1+푢1푤1)+(푢2푣2+푢2푤2)+(푢3푣3+푢3푤3) = (푢1푣1+푢2푣2+푢3푣3)+(푢1푤1+푢2푤2+푢3푤3) =
푈 ⋅ 푉 + 푈 ⋅푊 ;
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
178 Vetores no Plano e no Espac¸o
x
y
z
(0, 0, 1)
(0, 1, 0)
(1, 0, 0)
(1, 1, 1)
휃
Figura 3.18: ˆAngulo entre a diagonal de um cubo e uma de suas arestas
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.2 Produtos de Vetores 179
(c) 훼(푈 ⋅ 푉 ) = 훼(푢1푣1 + 푢2푣2 + 푢3푣3) = (훼푢1)푣1 + (훼푢2)푣2 + (훼푢3)푣3 = (훼푈) ⋅ 푉 ;
(d) 푉 ⋅ 푉 = ∣∣푉 ∣∣2 e´ uma soma de quadrados, por isso e´ sempre maior ou igual a zero e e´ zero se,
e somente se, todas as parcelas sa˜o iguais a zero. ■
3.2.2 Projec¸a˜o Ortogonal
Dados dois vetores 푉 e 푊 a projec¸a˜o ortogonal de 푉 sobre 푊 denotada por
proj푊 푉
e´ o vetor que e´ paralelo a 푊 tal que 푉 − proj푊 푉 seja ortogonal a 푊 (Figura 3.19).
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
180 Vetores no Plano e no Espac¸o
푊
푉
푉
−
p
ro
j 푊
푉
proj푊 푉 푊
푉
푉
−
p
ro
j 푊
푉
proj푊 푉
Figura 3.19: Projec¸a˜o ortogonal do vetor 푉 sobre o vetor 푊
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.2 Produtos de Vetores 181
Proposic¸a˜o 3.4. Seja 푊 um vetor na˜o nulo. Enta˜o, a projec¸a˜o ortogonal de um vetor 푉 em 푊 e´
dada por
proj푊 푉 =
(
푉 ⋅푊
∣∣푊 ∣∣2
)
푊 .
Demonstrac¸a˜o. Sejam 푉1 = proj푊 푉 e 푉2 = 푉 − proj푊 푉 . Como 푉1 e´ paralelo a 푊 , enta˜o
푉1 = 훼푊. (3.7)
Assim,
푉2 = 푉 − 훼푊 .
Multiplicando-se escalarmente 푉2 por 푊 e usando o Teorema 3.3 (d) obtemos
푉2 ⋅푊 = (푉 − 훼푊 ) ⋅푊 = 푉 ⋅푊 − 훼∣∣푊 ∣∣2. (3.8)
Mas, 푉2 e´ ortogonal a 푊 , enta˜o 푉2 ⋅푊 = 0. Portanto, de (3.8) obtemos
훼 =
푉 ⋅푊
∣∣푊 ∣∣2 .
Substituindo este valor de 훼 na equac¸a˜o (3.7) segue-se o resultado. ■
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
182 Vetores no Plano e no Espac¸o
Exemplo 3.10. Sejam 푉 = (2,−1, 3) e 푊 = (4,−1, 2). Vamos encontrar dois vetores 푉1 e 푉2 tais
que 푉 = 푉1 + 푉2, 푉1 e´ paralelo a 푊 e 푉2 e´ perpendicular a 푊 (Figura 3.19). Temos que
푉 ⋅푊 = 2 ⋅ 4 + (−1)(−1) + 3 ⋅ 2 = 15
∣∣푊 ∣∣2 = 42 + (−1)2 + 22 = 21 .
푉1 = proj푊 푉 =
(
푉 ⋅푊 )
∣∣푊 ∣∣2
)
푊 =
(
15
21
)
(4,−1, 2) = (20
7
,−5
7
,
10
7
)
푉2 = 푉 − 푉1 = (2,−1, 3)− (20
7
,−5
7
,
10
7
) = (−6
7
,−2
7
,
11
7
) .
3.2.3 Produto Vetorial
Vamos, agora, definir um produto entre dois vetores, cujo resultado e´ um vetor. Por isso, ele e´
chamado produto vetorial. Este produto tem aplicac¸a˜o, por exemplo, em Fı´sica: a forc¸a exercida
sobre uma partı´cula com carga unita´ria mergulhada num campo magne´tico uniforme e´ o produto
vetorial do vetor velocidade da partı´cula pelo vetor campo magne´tico.
Definic¸a˜o 3.2. Sejam 푉 e 푊 dois vetores no espac¸o. Definimos o produto vetorial, 푉 ×푊 , como
sendo o vetor com as seguintes caracterı´sticas:
(a) Tem comprimento dado numericamente por
∣∣푉 ×푊 ∣∣ = ∣∣푉 ∣∣ ∣∣푊 ∣∣ sen 휃,
ou seja, a norma de 푉 ×푊 e´ numericamente igual a` a´rea do paralelogramo determinado por
푉 e 푊 .
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.2 Produtos de Vetores 183
∣∣푉 ∣∣
∣∣푊
∣∣
푊
푉
ℎ
=
∣∣푊
∣∣
se
n
휃
휃
Figura 3.20: ´Area de um paralelogramo determinado por dois vetores
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
184 Vetores no Plano e no Espac¸o
(b) Tem direc¸a˜o perpendicular a 푉 e a 푊 .
(c) Tem o sentido dado pela regra da ma˜o direita (Figura 3.21): Se o aˆngulo entre 푉 e 푊 e´ 휃,
giramos o vetor 푉 de um aˆngulo 휃 ate´ que coincida com 푊 e acompanhamos este movimento
com os dedos da ma˜o direita, enta˜o o polegar vai apontar no sentido de 푉 ×푊 .
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.2 Produtos de Vetores 185
V x W
W x V
θ
θ
V
W
V
W
Figura 3.21: Regra da ma˜o direita
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
186 Vetores no Plano e no Espac¸o
Da forma como definimos o produto vetorial e´ difı´cil o seu ca´lculo, mas as propriedades que
apresentaremos a seguir possibilitara˜o obter uma fo´rmula para o produto vetorial em termos das
componentes dos vetores.
Teorema 3.5. Sejam 푈, 푉 e 푊 vetores no espac¸o e 훼 um escalar. Sa˜o va´lidas as seguintes proprie-
dades:
(a) 푉 ×푊 = −(푊 × 푉 ) (anti-comutatividade).
(b) 푉 ×푊 = 0¯ se, e somente se, 푉 = 훼푊 ou 푊 = 훼푉 .
(c) (푉 ×푊 ) ⋅ 푉 = (푉 ×푊 ) ⋅푊 = 0.
(d) 훼(푉 ×푊 ) = (훼푉 )×푊 = 푉 × (훼푊 ).
(e) 푉 × (푊 + 푈) = 푉 ×푊 + 푉 × 푈 e (푉 +푊 )× 푈 = 푉 × 푈 +푊 × 푈 (Distributividade em
relac¸a˜o a soma de vetores).
Demonstrac¸a˜o. (a) Pela definic¸a˜o do produto vetorial 푉 ×푊 e 푊×푉 teˆm o mesmo comprimento
e a mesma direc¸a˜o. Ale´m disso trocando-se 푉 por 푊 troca-se o sentido de 푉 ×푊 (Figura
3.21).
(b) ∣∣푉 ×푊 ∣∣ = 0 se, e somente se, um deles e´ o vetor nulo ou sen 휃 = 0, em que 휃 e´ o aˆngulo
entre 푉 e 푊 , ou seja, 푉 e 푊 sa˜o paralelos. Assim, 푉 ×푊 = 0¯ se, e somente se, 푉 = 훼푊
ou 푊 = 훼푉 .
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.2 Produtos de Vetores 187
(c) Segue-se imediatamente da definic¸a˜o do produto vetorial.
(d) Segue-se facilmente da definic¸a˜o do produto vetorial, por isso deixamos como exercı´cio para
o
leitor.
(e) Este item sera´ demonstrado no Apeˆndice III na pa´gina 210.
■
Os vetores canoˆnicos
푖⃗ = (1, 0, 0), 푗⃗ = (0, 1, 0) e 푘⃗ = (0, 0, 1)
sa˜o vetores unita´rios (de norma igual a um) paralelos aos eixos coordenados. Todo vetor
푉 = (푣1, 푣2, 푣3)
pode ser escrito como uma soma de mu´ltiplos escalares de 푖⃗, 푗⃗ e 푘⃗ (combinac¸a˜o linear), pois
푉 = (푣1, 푣2, 푣3) = (푣1, 0, 0) + (0, 푣2, 0) + (0, 0, 푣3) =
= 푣1(1, 0, 0) + 푣2(0, 1, 0) + 푣3(0, 0, 1) =
= 푣1 푖⃗+ 푣2 푗⃗ + 푣3 푘⃗. (3.9)
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188 Vetores no Plano e no Espac¸o
x y
z
푗⃗푖⃗
푘⃗
Figura 3.22: Vetores 푖⃗, 푗⃗ e 푘⃗
x y
z
푣2푗⃗푣1⃗푖
푣3푘⃗
푉 = (푣1, 푣2, 푣3)
Figura 3.23: 푉 = 푣1⃗푖+ 푣2푗⃗ + 푣3푘⃗
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.2 Produtos de Vetores 189
Da definic¸a˜o de produto vetorial podemos obter facilmente as seguintes relac¸o˜es:
푖⃗× 푖⃗ = 0¯, 푗⃗ × 푗⃗ = 0¯, 푘⃗ × 푘⃗ = 0¯,
푖⃗× 푗⃗ = 푘⃗, 푗⃗ × 푘⃗ = 푖⃗, 푘⃗ × 푖⃗ = 푗⃗,
푗⃗ × 푖⃗ = −푘⃗, 푘⃗ × 푗⃗ = −⃗푖, 푖⃗× 푘⃗ = −푗⃗.
Agora, estamos prontos para obter uma fo´rmula que deˆ o produto vetorial de dois vetores em
termos das suas componentes.
Teorema 3.6. Sejam 푉 = (푣1, 푣2, 푣3) e 푊 = (푤1, 푤2, 푤3) vetores no espac¸o. Enta˜o o produto
vetorial 푉 ×푊 e´ dado por
푉 ×푊 =
(
det
[
푣2 푣3
푤2 푤3
]
,− det
[
푣1 푣3
푤1 푤3
]
, det
[
푣1 푣2
푤1 푤2
])
. (3.10)
Demonstrac¸a˜o. De (3.9) segue-se que podemos escrever
푉 = 푣1 푖⃗+ 푣2 푗⃗ + 푣3 푘⃗ e 푊 = 푤1 푖⃗+ 푤2 푗⃗ + 푤3 푘⃗.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
190 Vetores no Plano e no Espac¸o
Assim, pela distributividade do produto vetorial em relac¸a˜o a soma, temos que
푉 ×푊 = (푣1 푖⃗+ 푣2 푗⃗ + 푣3 푘⃗)× (푤1 푖⃗+ 푤2 푗⃗ + 푤3 푘⃗)
= 푣1푤1(⃗푖× 푖⃗) + 푣1푤2(⃗푖× 푗⃗) + 푣1푤3(⃗푖× 푘⃗) +
+ 푣2푤1(⃗푗 × 푖⃗) + 푣2푤2(⃗푗 × 푗⃗) + 푣2푤3(⃗푗 × 푘⃗) +
+ 푣3푤1(푘⃗ × 푖⃗) + 푣3푤2(푘⃗ × 푗⃗) + 푣3푤3(푘⃗ × 푘⃗)
= (푣2푤3 − 푣3푤2)⃗푖+ (푣3푤1 − 푣1푤3)⃗푗 + (푣1푤2 − 푣2푤1)푘⃗
= det
[
푣2 푣3
푤2 푤3
]
푖⃗− det
[
푣1 푣3
푤1 푤3
]
푗⃗ + det
[
푣1 푣2
푤1 푤2
]
푘⃗
=
(
det
[
푣2 푣3
푤2 푤3
]
,− det
[
푣1 푣3
푤1 푤3
]
, det
[
푣1 푣2
푤1 푤2
])
■
Para obter as componentes do produto vetorial 푉 ×푊 procedemos como segue:
∙ Escreva a matriz: [
푉
푊
]
=
[
푣1 푣2 푣3
푤1 푤2 푤3
]
;
∙ Para calcular a primeira componente de 푉 ×푊 , elimine a primeira coluna da matriz acima e cal-
cule o determinante da sub-matriz resultante. A segunda componente e´ obtida, eliminando-se
a segunda coluna e calculando-se o determinante da sub-matriz resultante com o sinal trocado.
A terceira e´ obtida como a primeira, mas eliminando-se a terceira coluna.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.2 Produtos de Vetores 191
Exemplo 3.11. Sejam 푉 = 푖⃗+ 2⃗푗 − 2푘⃗ e 푊 = 3⃗푖+ 푘⃗. Vamos determinar o produto vetorial 푉 ×푊 .
Como [
푉
푊
]
=
[
1 2 −2
3 0 1
]
,
enta˜o
푉 ×푊 =
(
det
[
2 −2
0 1
]
,− det
[
1 −2
3 1
]
, det
[
1 2
3 0
])
= (2,−7,−6) .
Usando os vetores 푖⃗, 푗⃗ e 푘⃗ o produto vetorial 푉 ×푊 , pode ser escrito em termos do “determinante”
푉 ×푊 = det
⎡
⎣ 푖⃗ 푗⃗ 푘⃗푣1 푣2 푣3
푤1 푤2 푤3
⎤
⎦ = det [ 푣2 푣3
푤2 푤3
]
푖⃗− det
[
푣1 푣3
푤1 푤3
]
푗⃗ + det
[
푣1 푣2
푤1 푤2
]
푘⃗ .
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192 Vetores no Plano e no Espac¸o
푃
푄
푅
Figura 3.24: ´Area do triaˆngulo 푃푄푅
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.2 Produtos de Vetores 193
Exemplo 3.12. Vamos calcular a a´rea do triaˆngulo 푃푄푅 em que (Figura 3.24)
푃 = (3, 2, 0), 푄 = (0, 4, 3) e 푅 = (1, 0, 2).
Sejam
푉 =
−→
푅푃= (3− 1, 2− 0, 0− 2) = (2, 2,−2)
푊 =
−→
푅푄= (0− 1, 4− 0, 3− 2) = (−1, 4, 1) .
Enta˜o,
푉 ×푊 = (10, 0, 10) = 10(1, 0, 1).
A a´rea do triaˆngulo 푃푄푅 e´ a metade da a´rea do paralelogramo com lados determinados por 푉 e
푊 . Assim,
´Area =
1
2
∣∣푉 ×푊 ∣∣ = 5
√
2.
3.2.4 Produto Misto
O produto (푉 ×푊 ) ⋅ 푈 e´ chamado de produto misto de 푈 , 푉 e 푊 . O resultado abaixo mostra
como calcular o produto misto usando as componentes dos vetores.
Teorema 3.7. Sejam 푈 = 푢1⃗푖+ 푢2푗⃗ + 푢3푘⃗, 푉 = 푣1⃗푖+ 푣2푗⃗ + 푣3푘⃗ e 푊 = 푤1⃗푖+ 푤2푗⃗ + 푤3푘⃗. Enta˜o,
(푉 ×푊 ) ⋅ 푈 = det
⎡
⎣ 푣1 푣2 푣3푤1 푤2 푤3
푢1 푢2 푢3
⎤
⎦ .
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194 Vetores no Plano e no Espac¸o
Demonstrac¸a˜o. Segue do Teorema 3.2 na pa´gina 175, do Teorema 3.6 na pa´gina 189 e da definic¸a˜o
de determinante de uma matriz que
(푉 ×푊 ) ⋅ 푈 = (푢1, 푢2, 푢3) ⋅
(
det
[
푣2 푣3
푤2 푤3
]
,− det
[
푣1 푣3
푤1 푤3
]
, det
[
푣1 푣2
푤1 푤2
])
= 푢1 det
[
푣2 푣3
푤2 푤3
]
− 푢2 det
[
푣1 푣3
푤1 푤3
]
+ 푢3 det
[
푣1 푣2
푤1 푤2
]
= det
⎡
⎣ 푣1 푣2 푣3푤1 푤2 푤3
푢1 푢2 푢3
⎤
⎦ ;
■
Exemplo 3.13. O produto misto dos vetores 푈 = 2⃗푖− 푗⃗+3푘⃗, 푉 = −⃗푖+ 4⃗푗+ 푘⃗ e 푊 = 5⃗푖+ 푗⃗− 2푘⃗ e´
(푉 ×푊 ) ⋅ 푈 = det
⎡
⎣ 푣1 푣2 푣3푤1 푤2 푤3
푢1 푢2 푢3
⎤
⎦ = det
⎡
⎣ −1 4 15 1 −2
2 −1 3
⎤
⎦ = −84.
Teorema 3.8. Dados treˆs vetores no espac¸o, 푈, 푉 e 푊 ,
∣(푉 ×푊 ) ⋅ 푈 ∣
e´ numericamente igual ao volume do paralelepı´pedo determinado por 푈, 푉 e 푊 .
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.2 Produtos de Vetores 195
휃
푊
푉
푈
푉 ×푊
ℎ
=
∣∣푈
∣∣∣
co
s
휃
∣
Figura 3.25: Volume do paralelepı´pedo determinado por 푉 , 푊 e 푈
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196 Vetores no Plano e no Espac¸o
Demonstrac¸a˜o. O volume do paralelepı´pedo determinado por 푈, 푉 e 푊 e´ igual ao produto da a´rea
da base pela altura, ou seja, pela definic¸a˜o do produto vetorial, o volume e´ dado por
Volume = ∣∣푉 ×푊 ∣∣ℎ .
Mas, como vemos na Figura 3.25 a altura e´ ℎ = ∣∣푈 ∣∣∣ cos 휃∣, o que implica que
Volume = ∣∣푉 ×푊 ∣∣ ∣∣푈 ∣∣∣ cos 휃∣ = ∣(푉 ×푊 ) ⋅ 푈 ∣ .
■
Exemplo 3.14. Sejam 푉 = 4⃗푖, 푊 = 2⃗푖+ 5⃗푗 e 푈 = 3⃗푖+ 3⃗푗 + 4푘⃗. O volume do paralelepı´pedo com
um ve´rtice na origem e arestas determinadas por 푈, 푉 e 푊 e´ dado por
volume = ∣(푉 ×푊 ) ⋅ 푈 ∣ = ∣ det
⎡
⎣ 4 0 02 5 0
3 3 4
⎤
⎦ ∣ = ∣80∣ = 80 .
Segue imediatamente do Teorema 3.7 e do Teorema 3.8 um crite´rio para saber se treˆs vetores sa˜o
paralelos a um mesmo plano.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.2 Produtos de Vetores 197
푊푉
푈
Figura 3.26: Paralelepı´pedo determinado por 푈 , 푉 e 푊 do Exemplo 3.14
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
198 Vetores no Plano e no Espac¸o
Corola´rio 3.9. Sejam 푈 = 푢1⃗푖 + 푢2푗⃗ + 푢3푘⃗, 푉 = 푣1⃗푖 + 푣2푗⃗ + 푣3푘⃗ e 푊 = 푤1⃗푖 + 푤2푗⃗ + 푤3푘⃗. Estes
vetores sa˜o coplanares (isto e´, sa˜o paralelos a um mesmo plano) se, e somente se,
(푉 ×푊 ) ⋅ 푈 = det
⎡
⎣ 푣1 푣2 푣3푤1 푤2 푤3
푢1 푢2 푢3
⎤
⎦ = 0 .
Exemplo 3.15. Vamos verificar que os pontos 푃 = (0, 1, 1), 푄 = (1, 0, 2), 푅 = (1,−2, 0) e
푆 = (−2, 2,−2) sa˜o coplanares, isto e´, pertencem a um mesmo plano. Com estes pontos podemos
construir os vetores −→
푃푄= (1− 0, 0− 1, 2− 1) = (1,−1, 1),
−→
푃푅= (1− 0,−2− 1, 0− 1) = (1,−3,−1) e
−→
푃푆= (−2− 0, 2− 1,−2− 1) = (−2, 1,−3)
Os pontos 푃,푄,푅 e 푆 pertencem a um mesmo plano se, e somente se, os vetores
−→
푃푄,
−→
푃푅 e
−→
푃푆 sa˜o coplanares. E isto acontece se, e somente se, o produto misto deles e´ igual zero.
(
−→
푃푅 ×
−→
푃푆) ⋅
−→
푃푄= det
⎡
⎣ 1 −3 −1−2 1 −3
1 −1 1
⎤
⎦ = 0.
Assim, 푃,푄,푅 e 푆 sa˜o coplanares.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.2 Produtos de Vetores 199
O resultado a seguir sera´ usado no pro´ximo capı´tulo para deduzir as
equac¸o˜es parame´tricas do
plano.
Corola´rio 3.10. Sejam 푈, 푉 e 푊 vetores coplanares na˜o nulos no espac¸o.
(a) Enta˜o a equac¸a˜o vetorial
푥푉 + 푦푊 + 푧푈 = 0¯
tem soluc¸a˜o na˜o trivial, em que 푥, 푦 e 푧 sa˜o escalares.
(b) Enta˜o um dos vetores 푈, 푉 ou 푊 e´ combinac¸a˜o linear (soma de mu´ltiplos escalares) dos outros
dois.
(c) Se 푉 e 푊 sa˜o na˜o paralelos, enta˜o 푈 e´ combinac¸a˜o linear de 푉 e 푊 .
Demonstrac¸a˜o. (a) Seja퐴 a matriz cujas colunas sa˜o 푉 , 푊 e 푈 escritos como vetores colunas. A
equac¸a˜o 푥푉 + 푦푊 + 푧푈 = 0¯ e´ equivalente ao sistema 퐴푋 = 0¯. Se 푈, 푉 e 푊 sa˜o coplanares,
enta˜o
det(퐴) = det(퐴푡) = (푉 ×푊 ) ⋅ 푈 = 0.
Logo a equac¸a˜o tem soluc¸a˜o na˜o trivial.
(b) Pelo item anterior a equac¸a˜o 푥푈 + 푦푉 + 푧푊 = 0¯ possui soluc¸a˜o na˜o trivial. Mas, se isto
acontece, enta˜o um dos escalares 푥 ou 푦 ou 푧 pode ser diferente de zero. Se 푧 ∕= 0, enta˜o
푈 = (−푥/푧)푉 + (−푦/푧)푊 , ou seja, o vetor 푈 e´ combinac¸a˜o linear de 푉 e 푊 . De forma
semelhante, se 푥 ∕= 0, enta˜o 푉 e´ combinac¸a˜o linear de 푈 e 푊 e se 푦 ∕= 0, enta˜o 푊 e´
combinac¸a˜o linear de 푈 e 푉 .
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
200 Vetores no Plano e no Espac¸o
(c) Como 푈, 푉 e 푊 sa˜o coplanares, enta˜o a equac¸a˜o 푥푈 + 푦푉 + 푧푊 = 0¯ possui soluc¸a˜o na˜o
trivial com 푥 ∕= 0. Pois, caso contra´rio 푦푉 + 푧푊 = 0¯ com 푦 ou 푧 na˜o simultaneamente nulos o
que implicaria que 푉 e 푊 seriam paralelos (por que?). Logo 푈 = (−푦/푥)푉 + (−푧/푥)푊 .
■
Exemplo 3.16. Considere os vetores
푈 =
−→
푃푄= (1,−1, 1),
푉 =
−→
푃푅= (1,−3,−1) e
푊 =
−→
푃푆= (−2, 1,−3)
do Exemplo 3.15 na pa´gina 198. A equac¸a˜o
푥푈 + 푦푉 + 푧푊 = 0¯
e´ equivalente ao sistema ⎧⎨
⎩
푥 + 푦 − 2푧 = 0
−푥 − 3푦 + 푧 = 0
푥 − 푦 − 3푧 = 0
Escalonando a matriz do sistema obtemos⎡
⎣ 1 1 −2−1 −3 1
1 −1 −3
⎤
⎦ ∼
⎡
⎣ 1 1 −20 −2 −1
0 −2 −1
⎤
⎦ ∼
⎡
⎣ 1 1 −20 −2 −1
0 0 0
⎤
⎦
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3.2 Produtos de Vetores 201
A u´ltima matriz corresponde ao sistema{
푥 + 푦 − 2푧 = 0
− 2푦 − 푧 = 0
Assim
5훼
2
푈 − 훼
2
푉 + 훼푊 = 0¯.
Logo
푊 = −5
2
푈 − 1
2
푉.
Verifique que realmente vale esta relac¸a˜o entre os vetores 푈, 푉 e 푊 .
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202 Vetores no Plano e no Espac¸o
Exercı´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 526)
3.2.1. Determine a equac¸a˜o da reta no plano que e´ perpendicular ao vetor 푁 = (2, 3) e passa pelo
ponto 푃0 = (−1, 1).
3.2.2. Seja 푂 = (0, 0, 0). Qual o lugar geome´trico dos pontos 푃 = (푥, 푦, 푧) tais que ∣∣
−→
푂푃 ∣∣2 = 4?
Qual figura e´ representada pela equac¸a˜o 푥2 + 푦2 = 4?
3.2.3. Sejam 푉 = 푖⃗+ 2⃗푗 − 3푘⃗ e 푊 = 2⃗푖+ 푗⃗ − 2푘⃗. Determine vetores unita´rios paralelos aos vetores
(a) 푉 +푊 ; (b) 푉 −푊 ; (c) 2푉 − 3푊 .
3.2.4. Determine o valor de 푥 para o qual os vetores 푉 = 푥⃗푖 + 3⃗푗 + 4푘⃗ e 푊 = 3⃗푖 + 푗⃗ + 2푘⃗ sa˜o
perpendiculares.
3.2.5. Demonstre que na˜o existe 푥 tal que os vetores 푉 = 푥⃗푖 + 2⃗푗 + 4푘⃗ e 푊 = 푥⃗푖 − 2⃗푗 + 3푘⃗ sa˜o
perpendiculares.
3.2.6. Ache o aˆngulo entre os seguintes pares de vetores:
(a) 2⃗푖+ 푗⃗ e 푗⃗ − 푘⃗; (b) 푖⃗+ 푗⃗ + 푘⃗ e −2⃗푗 − 2푘⃗; (c) 3⃗푖+ 3⃗푗 e 2⃗푖+ 푗⃗ − 2푘⃗.
3.2.7. Decomponha 푊 = −⃗푖− 3⃗푗 + 2푘⃗ como a soma de dois vetores 푊1 e 푊2, com 푊1 paralelo ao
vetor 푗⃗ + 3푘⃗ e 푊2 ortogonal a este u´ltimo. (Sugesta˜o: revise o Exemplo 3.10 na pa´gina 182)
3.2.8. Ache o vetor unita´rio da bissetriz do aˆngulo entre os vetores 푉 = 2⃗푖+2⃗푗+푘⃗ e푊 = 6⃗푖+2⃗푗−3푘⃗.
(Sugesta˜o: observe que a soma de dois vetores esta´ na direc¸a˜o da bissetriz se, e somente se,
os dois tiverem o mesmo comprimento. Portanto, tome mu´ltiplos escalares de 푉 e 푊 de forma
que eles tenham o mesmo comprimento e tome o vetor unita´rio na direc¸a˜o da soma deles.)
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.2 Produtos de Vetores 203
3.2.9. Verifique se os seguintes pontos pertencem a um mesmo plano:
(a) 퐴 = (2, 2, 1), 퐵 = (3, 1, 2), 퐶 = (2, 3, 0) e 퐷 = (2, 3, 2);
(b) 퐴 = (2, 0, 2), 퐵 = (3, 2, 0), 퐶 = (0, 2, 1) e 퐷 = (10,−2, 1);
3.2.10. Calcule o volume do paralelepı´pedo que tem um dos ve´rtices no ponto 퐴 = (2, 1, 6) e os treˆs
ve´rtices adjacentes nos pontos 퐵 = (4, 1, 3), 퐶 = (1, 3, 2) e 퐷 = (1, 2, 1).
3.2.11. Calcule a a´rea do paralelogramo em que treˆs ve´rtices consecutivos sa˜o 퐴 = (1, 0, 1), 퐵 =
(2, 1, 3) e 퐶 = (3, 2, 4).
3.2.12. Calcule a a´rea do triaˆngulo com ve´rtices 퐴 = (1, 2, 1), 퐵 = (3, 0, 4) e 퐶 = (5, 1, 3).
3.2.13. Ache 푋 tal que 푋 × (⃗푖+ 푘⃗) = 2(⃗푖+ 푗⃗ − 푘⃗) e ∣∣푋∣∣ = √6.
3.2.14. Sabe-se que o vetor 푋 e´ ortogonal a 푖⃗+ 푗⃗ e a −⃗푖+ 푘⃗, tem norma√3 e sendo 휃 o aˆngulo entre
푋 e 푗⃗, tem-se cos 휃 > 0. Ache 푋 .
3.2.15. Mostre que퐴 = (3, 0, 2), 퐵 = (4, 3, 0) e퐶 = (8, 1,−1) sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo retaˆngulo.
Em qual dos ve´rtices esta´ o aˆngulo reto?
3.2.16. Considere dois vetores 푉 e 푊 tais que ∣∣푉 ∣∣ = 5, ∣∣푊 ∣∣ = 2 e o aˆngulo entre 푉 e 푊 e´ 60∘.
Determine, como combinac¸a˜o linear de 푉 e 푊 (푥푉 + 푦푊 ):
(a) Um vetor 푋 tal que 푋 ⋅ 푉 = 20 e 푋 ⋅푊 = 5
(b) Um vetor 푋 tal que 푋 × 푉 = 0¯ e 푋 ⋅푊 = 12.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
204 Vetores no Plano e no Espac¸o
Exercı´cios usando o MATLABⓇ
>> V=[v1,v2,v3] cria um vetor V, usando as componentes nume´ricas v1, v2, v3. Por
exemplo >> V=[1,2,3] cria o vetor 푉 = (1, 2, 3);
>> subs(expr,x,num) substitui x por num na expressa˜o expr;
>> solve(expr) determina a soluc¸a˜o da equac¸a˜o expr=0;
Comandos nume´ricos do pacote GAAL:
>> V=randi(1,3) cria um vetor aleato´rio com componentes inteiras;
>> no(V) calcula a norma do vetor V.
>> pe(V,W) calcula o produto escalar do vetor V pelo vetor W.
>> pv(V,W) calcula o produto vetorial do vetor V pelo vetor W.
Comandos gra´ficos do pacote GAAL:
>> desvet(P,V) desenha o vetor V com origem no ponto P e >> desvet(V) desenha o vetor
V com origem no ponto 푂 = (0, 0, 0).
>> po([P1;P2;...;Pn]) desenha os pontos P1, P2, ..., Pn.
>> lineseg(P1,P2,’cor’) desenha o segmento de reta P1P2.
>> eixos desenha os eixos coordenados.
>> box desenha uma caixa em volta da figura.
>> axiss reescala os eixos com a mesma escala.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.2 Produtos de Vetores 205
>> rota faz uma rotac¸a˜o em torno do eixo 푧.
>> zoom3(fator) amplifica a regia˜o pelo fator.
>> tex(P,’texto’) coloca o texto no ponto P.
3.2.17. Digite no prompt
demog21,
(sem a vı´rgula!). Esta func¸a˜o demonstra as func¸o˜es gra´ficas para vetores.
3.2.18. Coloque em duas varia´veis 푉 e 푊 dois vetores bi-dimensionais ou tri-dimensionais a seu
crite´rio.
(a) Use a func¸a˜o ilvijk(V) para visualizar o vetor V como uma soma de mu´ltiplos escalares
(combinac¸a˜o linear) dos vetores 푖⃗, 푗⃗ e 푘⃗.
(b) Use a func¸a˜o ilpv(V,W) para visualizar o produto vetorial 푉 ×푊 .
(c) Use a func¸a˜o ilproj(W,V) para visualizar a projec¸a˜o de 푉 em 푊 .
3.2.19. Use o MATLABⓇ para resolver os Exercı´cios Nume´ricos
Exercı´cios Teo´ricos
3.2.20. Mostre que em um triaˆngulo iso´sceles a mediana relativa a` base e´ perpendicular a` base.
3.2.21. Mostre que o aˆngulo inscrito em uma semicircunfereˆncia e´ reto.
Sugesta˜o para os pro´ximos 2 exercı´cios: Considere o paralelogramo 퐴퐵퐶퐷. Seja 푈 =
−→
퐴퐵
e 푉 =
−→
퐴퐷. Observe que as diagonais do paralelogramo sa˜o 푈 + 푉 e 푈 − 푉 .
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
206 Vetores no Plano e no Espac¸o
3.2.22. Mostre que se as diagonais de um paralelogramo sa˜o perpendiculares enta˜o ele e´ um losango.
3.2.23. Mostre que se as diagonais de um paralelogramo teˆm o mesmo comprimento enta˜o ele e´ um
retaˆngulo.
3.2.24. Se 푉 ⋅푊 = 푉 ⋅ 푈 e 푉 ∕= 0¯, enta˜o 푊 = 푈?
3.2.25. Mostre que se 푉 e´ ortogonal a 푊1 e 푊2, enta˜o 푉 e´ ortogonal a 훼1푊1 + 훼2푊2.
3.2.26. Demonstre que as
diagonais de um losango sa˜o perpendiculares. (Sugesta˜o: mostre que
−→
퐴퐶 ⋅
−→
퐵퐷= 0, usando o fato de que
−→
퐴퐵=
−→
퐷퐶 e ∣∣
−→
퐴퐵 ∣∣ = ∣∣
−→
퐵퐶 ∣∣.)
3.2.27. Sejam 푉 um vetor na˜o nulo no espac¸o e 훼, 훽 e 훾 os aˆngulos que 푉 forma com os vetores 푖⃗, 푗⃗
e 푘⃗, respectivamente. Demonstre que
cos2 훼 + cos2 훽 + cos2 훾 = 1 .
(Sugesta˜o: cos훼 = 푉 ⋅⃗푖∣∣푉 ∣∣∣∣⃗푖∣∣ , cos 훽 =
푉 ⋅⃗푗
∣∣푉 ∣∣∣∣⃗푗∣∣ e cos 훾 =
푉 ⋅⃗푘
∣∣푉 ∣∣∣∣⃗푘∣∣ )
3.2.28. Demonstre que, se 푉 e 푊 sa˜o vetores quaisquer, enta˜o:
(a) 푉 ⋅푊 = 1
4
(∣∣푉 +푊 ∣∣2 − ∣∣푉 −푊 ∣∣2);
(b) ∣∣푉 ∣∣2 + ∣∣푊 ∣∣2 = 1
2
(∣∣푉 +푊 ∣∣2 + ∣∣푉 −푊 ∣∣2).
(Sugesta˜o: desenvolva os segundos membros das igualdades acima observando que
∣∣푉 +푊 ∣∣2 = (푉 +푊 ) ⋅ (푉 +푊 ) e ∣∣푉 −푊 ∣∣2 = (푉 −푊 ) ⋅ (푉 −푊 ))
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.2 Produtos de Vetores 207
3.2.29. Demonstre que se 푉 e 푊 sa˜o vetores quaisquer, enta˜o:
(a) ∣푉 ⋅푊 ∣ ≤ ∣∣푉 ∣∣ ∣∣푊 ∣∣;
(b) ∣∣푉 +푊 ∣∣ ≤ ∣∣푉 ∣∣+ ∣∣푊 ∣∣;
(Sugesta˜o: mostre que ∣∣푉 +푊 ∣∣2 = (푉 +푊 ) ⋅ (푉 +푊 ) ≤ (∣∣푉 ∣∣+ ∣∣푊 ∣∣)2, usando o
item anterior)
(c)
∣∣∣ ∣∣푉 ∣∣ − ∣∣푊 ∣∣ ∣∣∣ ≤ ∣∣푉 −푊 ∣∣.
(Sugesta˜o: defina 푈 = 푉 −푊 e aplique o item anterior a 푈 e 푊 )
3.2.30. O produto vetorial e´ associativo? Justifique a sua resposta. (Sugesta˜o: experimente com os
vetores 푖⃗, 푗⃗, 푘⃗)
3.2.31. Se 푉 ×푊 = 푉 × 푈 e 푉 ∕= 0¯, enta˜o 푊 = 푈?
3.2.32. Demonstre que se 푉 e 푊 sa˜o vetores quaisquer no espac¸o, enta˜o
∣∣푉 ×푊 ∣∣ ≤ ∣∣푉 ∣∣ ∣∣푊 ∣∣.
3.2.33. Se 푈 , 푉 e 푊 sa˜o vetores no espac¸o, prove que ∣푈 ⋅ (푉 ×푊 )∣ ≤ ∣∣푈 ∣∣ ∣∣푉 ∣∣ ∣∣푊 ∣∣. (Sugesta˜o:
use o Teorema 3.2 na pa´gina 175 e o exercı´cio anterior)
3.2.34. Mostre que 푈 ⋅ (푉 ×푊 ) = 푉 ⋅ (푊 × 푈) = 푊 ⋅ (푈 × 푉 ). (Sugesta˜o: use as propriedades do
determinante)
3.2.35. Mostre que
(a) (훼푈1 + 훽푈2) ⋅ (푉 ×푊 ) = 훼푈1 ⋅ (푉 ×푊 ) + 훽푈2 ⋅ (푉 ×푊 );
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
208 Vetores no Plano e no Espac¸o
(b) 푈 ⋅ [(훼푉1 + 훽푉2)×푊 ] = 훼푈 ⋅ (푉1 ×푊 ) + 훽푈 ⋅ (푉2 ×푊 );
(c) 푈 ⋅ [푉 × (훼푊1 + 훽푊2)] = 훼푈 ⋅ (푉 ×푊1) + 훽푈 ⋅ (푉 ×푊2).
(d) 푈 ⋅ (푉 ×푊 ) = 푈 ⋅ [(푉 + 훼푈 + 훽푊 )×푊 ].
(Sugesta˜o: use as propriedades dos produtos escalar e vetorial)
3.2.36. Prove a identidade de Lagrange
∣∣푉 ×푊 ∣∣2 = ∣∣푉 ∣∣2∣∣푊 ∣∣2 − (푉 ⋅푊 )2.
3.2.37. Mostre que a a´rea do triaˆngulo com ve´rtices (푥푖, 푦푖), para 푖 = 1, 2, 3 e´ igual a ∣ det(퐴)∣/2, em
que
퐴 =
⎡
⎣ 푥1 푦1 1푥2 푦2 1
푥3 푦3 1
⎤
⎦ .
(Sugesta˜o: Marque os pontos 푃1 = (푥1, 푦1, 1), 푃2 = (푥2, 푦2, 1), 푃3 = (푥3, 푦3, 1) e
푃 ′1 = (푥1, 푦1, 0). O volume do paralelepı´pedo determinado por 푃1, 푃2, 푃3 e 푃 ′1 e´ dado por
∣
−→
푃1푃
′
1 ⋅
−→
푃1푃2 ×
−→
푃1푃3 ∣. Mas, a altura deste paralelepı´pedo e´ igual a 1. Assim, o seu
volume e´ igual a` a´rea da base que e´ o paralelogramo determinado por 푃1, 푃2 e 푃3. Observe
que
−→
푂푃 ′1,
−→
푃1푃2 e
−→
푃1푃3 sa˜o paralelos ao plano 푥푦.)
3.2.38. Sejam 푈1, 푈2 e 푈3 treˆs vetores unita´rios mutuamente ortogonais. Se 퐴 = [ 푈1 푈2 푈3 ] e´
uma matriz 3 × 3 cujas colunas sa˜o os vetores 푈1, 푈2 e 푈3, enta˜o 퐴 e´ invertı´vel e 퐴−1 = 퐴푡.
(Sugesta˜o: mostre que 퐴푡퐴 = 퐼3.)
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.2 Produtos de Vetores 209
3.2.39. Sejam 푈 = (푢1, 푢2, 푢3), 푉 = (푣1, 푣2, 푣3) e 푊 = (푤1, 푤2, 푤3). Prove a fo´rmula seguinte para o
produto vetorial duplo
푈 × (푉 ×푊 ) = (푈 ⋅푊 )푉 − (푈 ⋅ 푉 )푊,
seguindo os seguintes passos:
(a) Prove que
푈 × (⃗푖× 푗⃗) = (푈 ⋅ 푗⃗)⃗푖− (푈 ⋅ 푖⃗)⃗푗
푈 × (⃗푗 × 푘⃗) = (푈 ⋅ 푘⃗)⃗푗 − (푈 ⋅ 푗⃗)푘⃗
푈 × (푘⃗ × 푖⃗) = (푈 ⋅ 푖⃗)푘⃗ − (푈 ⋅ 푘⃗)⃗푖
(b) Prove usando o item anterior e as propriedades do produto vetorial que
푈 × (푉 × 푖⃗) = (푈 ⋅ 푖⃗)푉 − (푈 ⋅ 푉 )⃗푖
푈 × (푉 × 푗⃗) = (푈 ⋅ 푗⃗)푉 − (푈 ⋅ 푉 )⃗푗
푈 × (푉 × 푘⃗) = (푈 ⋅ 푘⃗)푉 − (푈 ⋅ 푉 )푘⃗
(c) Prove agora o caso geral usando o item anterior e as propriedades do produto vetorial.
3.2.40. (a) Prove que
[퐴× (퐵 × 퐶)] + [퐵 × (퐶 × 퐴)] + [퐶 × (퐴×퐵)] = 0
(Sugesta˜o: use o exercı´cio anterior).
(b) Mostre que se (퐴× 퐶)×퐵 = 0¯, enta˜o
퐴× (퐵 × 퐶) = (퐴×퐵)× 퐶,
ou seja, o produto vetorial e´, neste caso, associativo.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
210 Vetores no Plano e no Espac¸o
Apeˆndice III: Demonstrac¸a˜o do item (e) do Teorema 3.5 na pa´gina 186
Vamos dividir a demonstrac¸a˜o da distributividade do produto vetorial em relac¸a˜o a soma
푉 × (푊 + 푈) = 푉 ×푊 + 푉 × 푈 e (푉 +푊 )× 푈 = 푉 × 푈 +푊 × 푈
da seguinte forma:
(a) (푉 × 푊 ) ⋅ 푈 > 0 se, e somente se, 푉 , 푊 e 푈 satisfazem a regra da ma˜o direita, isto e´,
se o aˆngulo entre 푉 e 푊 e´ 휃, giramos o vetor 푉 de um aˆngulo 휃 ate´ que coincida com 푊 e
acompanhamos este movimento com os dedos da ma˜o direita, enta˜o o polegar vai apontar no
sentido de 푈 .
(b) (푉 ×푊 ) ⋅ 푈 = 푉 ⋅ (푊 × 푈), ou seja, pode-se trocar os sinais × e ⋅ em (푉 ×푊 ) ⋅ 푈 .
(c) 푉 × (푊 + 푈) = 푉 ×푊 + 푉 × 푈 e (푉 +푊 )× 푈 = 푉 × 푈 +푊 × 푈 .
Provemos, agora, os treˆs itens acima.
(a) Como vemos na Figura 3.25 na pa´gina 195 푉,푊 e 푈 satisfazem a regra da ma˜o direita se, e
somente se, 0 < 휃 < 휋/2, ou seja, cos 휃 > 0, em que 휃 e´ o aˆngulo entre 푉 ×푊 e 푈 . Como,
(푉 ×푊 ) ⋅ 푈 = ∣∣푉 ×푊 ∣∣∣∣푈 ∣∣ cos 휃, enta˜o 푉,푊 e 푈 satisfazem a regra da ma˜o direita se, e
somente se, (푉 ×푊 ) ⋅ 푈 > 0.
(b) Como o produto escalar e´ comutativo, pelo Teorema 3.8 na pa´gina 194,
∣(푉 ×푊 ) ⋅ 푈 ∣ = ∣푉 ⋅ (푊 × 푈)∣.
Agora, pelo item (a), temos que
(푉 ×푊 ) ⋅ 푈 e 푉 ⋅ (푊 × 푈)
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
3.2 Produtos de Vetores 211
teˆm o mesmo sinal, pois 푉,푊 e 푈 satisfazem a regra da ma˜o direita se, e somente se, 푊,푈 e
푉 tambe´m satisfazem.
(c) Vamos provar a primeira igualdade e deixamos como exercı´cio para o leitor a demonstrac¸a˜o da
segunda. Vamos mostrar que o vetor 푌 = 푉 × (푊 + 푈) − 푉 ×푊 − 푉 × 푈 e´ o vetor nulo.
Para isso, vamos mostrar que para qualquer vetor 푋 no espac¸o 푋 ⋅ 푌 = 0.
Pela distributividade do produto escalar, Teorema 3.3 item (b) na pa´gina 177, temos que
푋 ⋅ 푌 = 푋 ⋅ 푉 × (푊 + 푈)−푋 ⋅ (푉 ×푊 )−푋 ⋅ (푉 × 푈).
Pelo item (b), temos que
푋 ⋅ 푌 = (푋 × 푉 ) ⋅ (푊 + 푈)− (푋 × 푉 ) ⋅푊 − (푋 × 푉 ) ⋅ 푈
= (푋 × 푉 ) ⋅ (푊 + 푈)− (푋 × 푉 ) ⋅ (푊 + 푈) = 0
Assim, 푋 ⋅푌 = 0, para todo vetor 푋 , em particular para 푋 = 푌 , temos que 푌 ⋅푌 = ∣∣푌 ∣∣2 = 0.
Portanto 푌 = 0¯, ou seja, 푉 × (푊 + 푈) = 푉 ×푊 + 푉 × 푈 .
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212 Vetores no Plano e no Espac¸o
Teste do Capı´tulo
1. Mostre que os pontos 퐴 = (4, 0, 1), 퐵 = (5, 1, 3), 퐶 = (3, 2, 5), 퐷 = (2, 1, 3) sa˜o ve´rtices de
um paralelogramo. Calcule a sua a´rea.
2. Dado o triaˆngulo de ve´rtices 퐴 = (0, 1,−1), 퐵 = (−2, 0, 1) e 퐶 = (1,−2, 0), determine a
medida da altura relativa ao lado 퐵퐶.
3. Sejam 푈 e 푉 vetores no espac¸o, com 푉 ∕= 0¯.
(a) Determine o nu´mero 훼, tal que 푈 − 훼푉 seja ortogonal a 푉 .
(b) Mostre que (푈 + 푉 )× (푈 − 푉 ) = 2푉 × 푈 .
4. Determine 푥 para que 퐴 = (푥, 1, 2), 퐵 = (2,−2,−3), 퐶 = (5,−1, 1) e 퐷 = (3,−2,−2)
sejam coplanares.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
Capı´tulo 4
Retas e Planos
4.1 Equac¸o˜es de Retas e Planos
4.1.1 Equac¸o˜es do Plano
Equac¸a˜o Geral
No plano a equac¸a˜o geral de uma reta e´ 푎푥+ 푏푦 + 푐 = 0. No espac¸o um plano e´ o conjunto dos
pontos 푃 = (푥, 푦, 푧) que satisfazem a equac¸a˜o
푎푥+ 푏푦 + 푐푧 + 푑 = 0, para 푎, 푏, 푐 ∈ ℝ,
que e´ chamada equac¸a˜o geral do plano. Existe uma analogia entre uma reta no plano e um plano
no espac¸o. No plano, a equac¸a˜o de uma reta e´ determinada se forem dados sua inclinac¸a˜o e um de
213
214 Retas e Planos
seus pontos. No espac¸o, a inclinac¸a˜o de um plano e´ caracterizada por um vetor perpendicular a ele,
chamado vetor normal ao plano e a equac¸a˜o de um plano e´ determinada se sa˜o dados um vetor
normal e um de seus pontos.
Um Curso de Geometria Analı´tica
e ´Algebra Linear Julho 2009
4.1 Equac¸o˜es de Retas e Planos 215
푁 = (푎, 푏, 푐)
푃0 = (푥0, 푦0, 푧0)
푃 = (푥, 푦, 푧)휋
Figura 4.1: Plano perpendicular a 푁 = (푎, 푏, 푐) e que passa por 푃0 = (푥0, 푦0, 푧0)
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216 Retas e Planos
Proposic¸a˜o 4.1. A equac¸a˜o geral de um plano 휋 que passa por um ponto 푃0 = (푥0, 푦0, 푧0) e tem
vetor normal 푁 = (푎, 푏, 푐) e´
푎푥+ 푏푦 + 푐푧 + 푑 = 0 , (4.1)
em que 푑 = −(푎푥0 + 푏푦0 + 푐푧0).
Demonstrac¸a˜o. Um ponto 푃 = (푥, 푦, 푧) pertence ao plano 휋 se, e somente se, o vetor
−→
푃0푃 for
perpendicular ao vetor 푁 , ou seja,
푁 ⋅
−→
푃0푃= 0 . (4.2)
Como,
−→
푃0푃= (푥− 푥0, 푦 − 푦0, 푧 − 푧0), a equac¸a˜o (4.2) pode ser reescrita como
푎(푥− 푥0) + 푏(푦 − 푦0) + 푐(푧 − 푧0) = 0,
ou seja,
푎푥+ 푏푦 + 푐푧 − (푎푥0 + 푏푦0 + 푐푧0) = 0 .
■
Exemplo 4.1. Vamos encontrar a equac¸a˜o do plano 휋 que passa pelo ponto 푃0 = (1,−2,−2) e e´
perpendicular ao vetor 푁 = (2,−1, 2). Da Proposic¸a˜o 4.1, a equac¸a˜o do plano e´ da forma
푎푥+ 푏푦 + 푐푧 + 푑 = 0 ,
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
4.1 Equac¸o˜es de Retas e Planos 217
x y
z
− 푑
푎
x y
z
− 푑
푏
x y
z
− 푑
푐
Figura 4.2: Planos 푎푥− 푑 = 0, 푏푦 + 푑 = 0 e 푐푧 + 푑 = 0
x y
z
− 푑
푐
− 푑
푏
x y
z
− 푑
푎
− 푑
푐
x y
z
− 푑
푏
− 푑
푎
Figura 4.3: Planos 푏푦 + 푐푧 + 푑 = 0, 푎푥+ 푐푧 + 푑 = 0 e 푎푥+ 푏푦 + 푑 = 0
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
218 Retas e Planos
x y
z
푎푥
+
푏푦
=
0
푎푥
+
푐푧
=
0
x y
z
푎
푥
+
푏푦
=
0
푏푦
+
푐푧
=
0
x y
z
푎푥
+
푐푧
=
0 푏푦
+
푐푧
=
0
Figura 4.4: Planos 푎푥+ 푏푦 + 푐푧 = 0
x
y
z
푧
=
0
, 푎
푥
+
푏푦
=
0
푏푦
+
푐푧
=
0
x y
z
− 푑
푎
− 푑
푏
− 푑
푐
Figura 4.5: Planos 푎푥+ 푏푦 + 푐푧 = 0 e 푎푥+ 푏푦 + 푐푧 + 푑 = 0
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
4.1 Equac¸o˜es de Retas e Planos 219
x
y
z
2
4
2
Figura 4.6: Plano 2푥− 푦 + 2푧 = 0
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
220 Retas e Planos
em que os coeficientes de 푥, 푦 e 푧 sa˜o as componentes do vetor normal, ou seja, 푎 = 2, 푏 = −1 e
푐 = 2. Assim, a equac¸a˜o de 휋 e´ da forma
2푥− 푦 + 2푧 + 푑 = 0 .
Para determinar o coeficiente 푑, ao inve´s de usarmos a Proposic¸a˜o 4.1, vamos usar o fato de que
푃0 = (1,−2,−2) pertence a 휋. Mas, o ponto 푃0 pertence a 휋 se, e somente se, as suas coordenadas
satisfazem a equac¸a˜o de 휋, ou seja,
2 ⋅ 1− 1 ⋅ (−2) + 2 ⋅ (−2) + 푑 = 0 .
Logo, 푑 = 2+2−4 = 0. Substituindo-se 푑 = 0 na equac¸a˜o anterior do plano obtemos que a equac¸a˜o
do plano 휋 e´
2푥− 푦 + 2푧 = 0 .
No plano, a equac¸a˜o de uma reta e´ determinada se forem dados dois pontos da reta. Analoga-
mente, no espac¸o, a equac¸a˜o de um plano e´ determinada se sa˜o dados treˆs pontos 푃1, 푃2 e 푃3 na˜o
colineares (isto e´, na˜o pertencentes a uma mesma reta). Com os treˆs pontos podemos “formar” os
vetores
−→
푃1푃2 e
−→
푃1푃3 (Figura 4.7).
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
4.1 Equac¸o˜es de Retas e Planos 221
푃1 = (푥1, 푦1, 푧1)
푁 =
−→
푃1푃2 ×
−→
푃1푃3
푃2 = (푥2, 푦2, 푧2)
푃3 = (푥3, 푦3, 푧3)
푃 = (푥, 푦, 푧)
휋
Figura 4.7: Plano que passa por treˆs pontos
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222 Retas e Planos
x
y
z
1/2 1/2
1/4
Figura 4.8: Plano 2푥+ 2푦 + 4푧 − 1 = 0
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
4.1 Equac¸o˜es de Retas e Planos 223
Exemplo 4.2. Vamos encontrar a equac¸a˜o do plano 휋 que passa pelos pontos 푃1 = (12 , 0, 0),
푃2 = (0,
1
2
, 0) e 푃3 = (0,−12 , 12). Com os treˆs pontos podemos “formar” os vetores
−→
푃1푃2 e
−→
푃1푃3. O
vetor
푁 =
−→
푃1푃2 ×
−→
푃1푃3= (−1
2
,
1
2
, 0)× (−1
2
,−1
2
,
1
2
) = (
1
4
,
1
4
,
1
2
)
e´ um vetor normal ao plano. Assim, a equac¸a˜o do plano e´ da forma
1
4
푥+
1
4
푦 +
1
2
푧 + 푑 = 0,
em que os coeficientes de 푥, 푦 e 푧 sa˜o as componentes do vetor 푁 . Para determinar o coeficiente 푑,
vamos usar o fato de que o ponto 푃1 = (12 , 0, 0) pertence ao plano 휋. Mas, o ponto 푃1 pertence a 휋
se, e somente se, as suas coordenadas satisfazem a equac¸a˜o de 휋, ou seja,
1
4
⋅ 1
2
+
1
4
⋅ 0 + 1
2
⋅ 0 + 푑 = 0 .
Logo, 푑 = 1
8
. Finalmente, uma equac¸a˜o do plano 휋 e´
1
4
푥+
1
4
푦 +
1
2
푧 − 1
8
= 0
ou multiplicando por 8, obtemos
2푥+ 2푦 + 4푧 − 1 = 0.
Alternativamente, podemos encontrar a equac¸a˜o do plano da seguinte forma. Como vimos anteri-
ormente (Corola´rio 3.9 na pa´gina 198), treˆs vetores,
−→
푃1푃
−→
푃1푃2 e
−→
푃1푃3, sa˜o coplanares se, e somente
se, o produto misto entre eles e´ zero. Assim, um ponto 푃 = (푥, 푦, 푧) pertence a 휋 se, e somente se,
−→
푃1푃 ⋅ (
−→
푃1푃2 ×
−→
푃1푃3) = 0 .
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224 Retas e Planos
Mas,
−→
푃1푃 = (푥− 1
2
, 푦, 푧)
−→
푃1푃2 = (−1
2
,
1
2
, 0)
−→
푃1푃3 = (−1
2
,−1
2
,
1
2
).
Enta˜o,
det
⎡
⎣ 푥− 12 푦 푧−1
2
1
2
0
−1
2
−1
2
1
2
⎤
⎦ = 1
4
(푥− 1
2
) +
1
4
푦 +
1
2
푧
e assim a equac¸a˜o do plano e´ dada por
1
4
푥+
1
4
푦 +
1
2
푧 − 1
8
= 0.
ou multiplicando por 8,
2푥+ 2푦 + 4푧 − 1 = 0
A equac¸a˜o do plano tambe´m e´ determinada se ao inve´s de serem dados treˆs pontos, forem dados
um ponto 푃1 do plano e dois vetores paralelos ao plano, 푉 = (푣1, 푣2, 푣3) e 푊 = (푤1, 푤2, 푤3), desde
que eles sejam na˜o colineares. Ou ainda se forem dados dois pontos 푃1 e 푃2 do plano e um vetor pa-
ralelo ao plano 푉 = (푣1, 푣2, 푣3), ja´ que neste caso podemos formar o vetor푊 =
−→
푃1푃2 = (푤1, 푤2, 푤3)
que e´ tambe´m paralelo ao plano.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
4.1 Equac¸o˜es de Retas e Planos 225
Nestes casos temos novamente pelo menos duas maneiras de encontrarmos a equac¸a˜o do plano.
Uma delas e´ observando que o vetor 푁 = 푉 ×푊 e´ um vetor normal ao plano. Desta forma temos um
ponto do plano e um vetor normal ao plano. A outra e´ observando que temos treˆs vetores paralelos
ao plano:
−→
푃1푃= (푥−푥1, 푦−푦1, 푧− 푧1), 푉 e 푊 . Como vimos anteriormente (Corola´rio 3.9 na pa´gina
198), os treˆs vetores sa˜o coplanares se, e somente se, o produto misto entre eles e´ zero, ou seja,
−→
푃1푃 ⋅ (푉 ×푊 ) = det
⎡
⎣ 푥− 푥1 푦 − 푦1 푧 − 푧1푣1 푣2 푣3
푤1 푤2 푤3
⎤
⎦ = 0 . (4.3)
Assim, um ponto 푃 = (푥, 푦, 푧) pertence a um plano 휋 que passa pelo ponto 푃1 = (푥1, 푦1, 푧1)
e e´ paralelo aos vetores 푉 = (푣1, 푣2, 푣3) e 푊 = (푤1, 푤2, 푤3) (na˜o paralelos) se, e somente se, a
equac¸a˜o (4.3) e´ verdadeira.
Observac¸a˜o. Na˜o faz sentido dizer que um vetor pertence a um plano. Pois, por um lado, um plano e´
um conjunto de pontos e por outro, os vetores sa˜o “livres”, podem ser “colocados” em qualquer ponto.
O correto e´ dizer que um vetor e´ paralelo a um plano.
Equac¸o˜es Parame´tricas
Ale´m da equac¸a˜o geral do plano podemos tambe´m caracterizar os pontos de um plano da seguinte
forma. Considere um plano 휋, um ponto 푃0 = (푥0, 푦0, 푧0) pertencente a 휋 e dois vetores 푉 =
(푣1, 푣2, 푣3) e 푊 = (푤1, 푤2, 푤3) na˜o colineares, paralelos a 휋. Um ponto 푃 = (푥, 푦, 푧) pertence a 휋
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
226 Retas e Planos
se, e somente se, o vetor
−→
푃0푃= (푥−푥0, 푦−푦0, 푧−푧0) e´ uma combinac¸a˜o linear de 푉 e 푊 (Corola´rio
3.10
na pa´gina 199), ou seja, se existem escalares 푡 e 푠 tais que
−→
푃0푃= 푡푉 + 푠푊. (4.4)
Escrevendo em termos de componentes (4.4) pode ser escrito como
(푥− 푥0, 푦 − 푦0, 푧 − 푧0) = (푡푣1 + 푠푤1, 푡푣2 + 푠푤2, 푡푣3 + 푠푤3).
Logo um ponto 푃 = (푥, 푦, 푧) pertence a 휋 se, e somente se, satisfaz as equac¸o˜es⎧⎨
⎩
푥 = 푥0 + 푣1 푡 + 푤1 푠
푦 = 푦0 + 푣2 푡 + 푤2 푠
푧 = 푧0 + 푣3 푡 + 푤3 푠
para 푡, 푠 ∈ ℝ.
Estas equac¸o˜es sa˜o chamadas equac¸o˜es parame´tricas do plano.
Exemplo 4.3. Podemos obter equac¸o˜es parame´tricas do plano do Exemplo 4.2 na pa´gina 223 usando
o fato de que ele passa pelo ponto 푃1 = (1/2, 0, 0) e e´ paralelo aos vetores
−→
푃1푃2= (−1/2, 1/2, 0),−→
푃1푃3= (−1/2,−1/2, 1/2). Assim,⎧⎨
⎩
푥 = 1
2
− 1
2
푡− 1
2
푠
푦 = 1
2
푡− 1
2
푠
푧 = 1
2
푠
para 푡, 푠 ∈ ℝ.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
4.1 Equac¸o˜es de Retas e Planos 227
Exemplo 4.4. Para encontrarmos as equac¸o˜es parame´tricas do plano do Exemplo 4.1 na pa´gina 216
podemos resolver a equac¸a˜o geral do plano 4푥+ 2푦 + 3푧 = 0. Podemos proceder como no caso de
sistemas lineares e considerar as varia´veis 푦 e 푧 livres: 푧 = 푡 e 푦 = 푠. Assim, 푥 = 3
4
푡− 1
2
푠 e portanto⎧⎨
⎩
푥 = 3
4
푡− 1
2
푠
푦 = 푠
푧 = 푡
para 푡, 푠 ∈ ℝ.
sa˜o equac¸o˜es parame´tricas do plano. Destas equac¸o˜es obtemos que os vetores 푉1 = (34 , 0, 1) e
푉2 = (−12 , 1, 0) sa˜o paralelos ao plano.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
228 Retas e Planos
4.1.2 Equac¸o˜es da Reta
Equac¸o˜es Parame´tricas
Vamos supor que uma reta 푟 e´ paralela a um vetor 푉 = (푎, 푏, 푐) na˜o nulo e que passa por um
ponto 푃0 = (푥0, 푦0, 푧0). Um ponto 푃 = (푥, 푦, 푧) pertence a reta 푟 se, e somente se, o vetor
−→
푃0푃 e´
paralelo ao vetor 푉 , isto e´, se o vetor
−→
푃0푃 e´ um mu´ltiplo escalar de 푉 , ou seja,
−→
푃0푃= 푡 푉 . (4.5)
Em termos de componentes, a equac¸a˜o (4.5) pode ser escrita como
(푥− 푥0, 푦 − 푦0, 푧 − 푧0) = (푡푎, 푡푏, 푡푐).
Logo, 푥− 푥0 = 푡 푎, 푦 − 푦0 = 푡 푏 e 푧 − 푧0 = 푡 푐.
Ou seja, a reta 푟 pode ser descrita como sendo o conjunto dos pontos 푃 = (푥, 푦, 푧) tais que⎧⎨
⎩
푥 = 푥0 + 푡 푎
푦 = 푦0 + 푡 푏,
푧 = 푧0 + 푡 푐
para 푡 ∈ ℝ. (4.6)
sa˜o de uma reta 푟 que passa por um ponto 푃0 = (푥0, 푦0, 푧0) e e´ paralela ao vetor 푉 = (푎, 푏, 푐). As
equac¸o˜es (4.6) sa˜o chamadas equac¸o˜es parame´tricas da reta 푟. O vetor 푉 = (푎, 푏, 푐) e´ chamado
vetor diretor da reta 푟.
O paraˆmetro 푡 nas equac¸o˜es (4.6) pode ser interpretado como o instante de tempo, se o ponto
푃 = (푥, 푦, 푧) descreve o movimento de uma partı´cula em movimento retilı´neo uniforme com vetor
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
4.1 Equac¸o˜es de Retas e Planos 229
velocidade 푉 = (푎, 푏, 푐). Observe que para 푡 = 1, 푃 = (푥, 푦, 푧) = (푥0 + 푎, 푦0 + 푏, 푧0 + 푐), para
푡 = 2, 푃 = (푥, 푦, 푧) = (푥0 + 2푎, 푦0 + 2푏, 푧0 + 2푐) e assim por diante.
As equac¸o˜es (4.6), podem ser reescritas como
(푥, 푦, 푧) = (푥0 + 푎푡, 푦0 + 푏푡, 푧0 + 푐푡),
que e´ chamada equac¸a˜o vetorial da reta 푟.
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230 Retas e Planos
x y
z
푉 = (푎, 푏, 푐)
푃0 = (푥0, 푦0, 푧0)
푃 = (푥, 푦, 푧)
푟
x y
z
푉
−→
푂푃0
−→
푂푃
−→
푃0푃
푟
Figura 4.9: Reta paralela ao vetor 푉 = (푎, 푏, 푐)
y
z
x
푎 푦0
푧0
y
z
x
푥0
푏
푧0
y
z
x
푥0 푦0
푐
Figura 4.10: Retas (푥, 푦, 푧) = (푥0+푎푡, 푦0, 푧0), (푥, 푦, 푧) = (푥0, 푦0+푏푡, 푧0) e (푥, 푦, 푧) = (푥0, 푦0, 푧0+푐푡)
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
4.1 Equac¸o˜es de Retas e Planos 231
y
z
x
푧0
y
z
x
푥0
y
z
x
푦0
Figura 4.11: Retas (푥, 푦, 푧)=(푥0+푎푡, 푦0+푏푡, 푧0), (푥, 푦, 푧)=(푥0, 푦0+푏푡, 푧0+푐푡) e (푥, 푦, 푧)=(푥0+푎푡, 푦0, 푧0+푐푡)
y
z
x
푎
푏
푐
y
z
x
Figura 4.12: Retas (푥, 푦, 푧) = (푎푡, 푏푡, 푐푡) e (푥, 푦, 푧) = (푥0 + 푎푡, 푦0 + 푏푡, 푧0 + 푐푡)
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
232 Retas e Planos
Observac¸a˜o. Na˜o faz sentido dizer que o vetor esta´ contido na reta. Por um lado, a reta e´ um conjunto
de pontos e por outro um vetor na˜o tem posic¸a˜o fixa.
Exemplo 4.5. A reta que passa por 푃0 = (−3, 3/2, 4) e e´ paralela ao vetor 푉 = (−6, 1, 4) tem
equac¸o˜es parame´tricas
푟 :
⎧⎨
⎩
푥 = −3− 6 푡
푦 = 3
2
+ 푡
푧 = 4 + 4푡
para 푡 ∈ ℝ
Podemos encontrar a intersec¸a˜o da reta 푟 com os planos coordenados 푥푦, 푦푧 e 푥푧. A equac¸a˜o
do plano 푥푦 e´ 푧 = 0, do plano 푦푧 e´ 푥 = 0 e do plano 푥푧 e´ 푦 = 0. Substituindo 푧 = 0 nas equac¸o˜es
de 푟, obtemos 푡 = −2, 푥 = 3 e 푦 = 1/2, ou seja,
∙ o ponto de intersec¸a˜o de 푟 com o plano 푥푦 e´
(푥, 푦, 푧) = (3,
1
2
, 0).
De forma ana´loga obtemos
∙ o ponto de intersec¸a˜o de 푟 com o plano 푦푧 e´
(푥, 푦, 푧) = (0, 1, 2),
∙ o ponto de intersec¸a˜o de 푟 com o plano 푥푧
(푥, 푦, 푧) = (6, 0,−2).
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
4.1 Equac¸o˜es de Retas e Planos 233
x y
z
3
1/2
1
2
Figura 4.13: Reta que passa pelo ponto 푃0 = (−3, 3/2, 4) paralela ao vetor 푉 = (−6, 1, 4)
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
234 Retas e Planos
Equac¸o˜es na Forma Sime´trica
Se todas componentes do vetor diretor da reta 푟 sa˜o na˜o nulos, podemos resolver cada equac¸a˜o
em (4.6) para 푡 e igualar os resultados obtendo o que chamamos de equac¸o˜es na forma sime´trica
de 푟:
푥− 푥0
푎
=
푦 − 푦0
푏
=
푧 − 푧0
푐
.
No Exemplo 4.5 as equac¸o˜es de 푟 na forma sime´trica sa˜o:
푥+ 3
−6 =
푦 − 3/2
1
=
푧 − 4
4
.
Exemplo 4.6. Vamos encontrar as equac¸o˜es parame´tricas da reta 푟 que passa pelos pontos 푃1 =
(3, 0, 2) e 푃2 = (0, 3, 3). O vetor
−→
푃1푃2= (0− 3, 3− 0, 3− 2) = (−3, 3, 1)
e´ paralelo a 푟 e o ponto 푃1 = (3, 0, 2) pertence a 푟. Portanto, as equac¸o˜es parame´tricas de 푟 sa˜o⎧⎨
⎩
푥 = 3− 3 푡
푦 = 3 푡
푧 = 2 + 푡
para 푡 ∈ ℝ.
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4.1 Equac¸o˜es de Retas e Planos 235
x y
z
3
2
3
3
푃2
푃1
푟
Figura 4.14: Reta que passa pelos pontos 푃1 = (3, 0, 2) e 푃2 = (0, 3, 3)
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236 Retas e Planos
Figura 4.15: 휋1 : 2푥+ 푦 + 4푧 − 4 = 0
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4.1 Equac¸o˜es de Retas e Planos 237
Figura 4.16: 휋2 : 2푥− 푦 + 2푧 = 0
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238 Retas e Planos
Figura 4.17: 휋1, 휋2 e 휋1 ∩ 휋2
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4.1 Equac¸o˜es de Retas e Planos 239
Exemplo 4.7. Vamos encontrar as equac¸o˜es parame´tricas da reta 푟, intersec¸a˜o dos planos
휋1 : 2푥+ 푦 + 4푧 − 4 = 0
휋2 : 2푥− 푦 + 2푧 = 0.
Vetores normais destes planos sa˜o
푁1 = (2, 1, 4) e 푁2 = (2,−1, 2) .
A reta 푟 esta´ contida em ambos os planos, portanto e´ perpendicular a ambos os vetores normais.
Assim, a reta 푟 e´ paralela ao produto vetorial 푁1 ×푁2 (Teorema 3.5 (c) na pa´gina 186).
푁1 ×푁2 =
(
det
[
1 4
−1 2
]
,− det
[
2 4
2 2
]
, det
[
2 1
2 −1
])
= (6, 4,−4) .
Assim, 푉 = 푁1 ×푁2 = (6, 4,−4) e´ um vetor diretor de 푟. Agora, precisamos encontrar um ponto da
reta 푟. Este ponto e´ uma soluc¸a˜o particular do sistema{
2푥 + 푦 + 4푧 − 4 = 0
2푥 − 푦 + 2푧 = 0 (4.7)
Para encontrar uma soluc¸a˜o particular do sistema, atribuı´mos um valor a uma das inco´gnitas (neste
exemplo podemos fazer 푥 = 0) e resolvemos o sistema obtido, que e´ de duas equac¸o˜es e duas
inco´gnitas {
푦 + 4푧 − 4 = 0
−푦 + 2푧 = 0
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240 Retas
e Planos
Obtemos enta˜o, 푦 = 4/3 e 푧 = 2/3, ou seja, o ponto 푃0 = (0, 4/3, 2/3) e´ um ponto da reta 푟, pois e´
uma soluc¸a˜o particular do sistema (4.7). Assim, as equac¸o˜es parame´tricas de 푟 sa˜o⎧⎨
⎩
푥 = 6푡
푦 = 4/3 + 4푡
푧 = 2/3− 4푡
para todo 푡 ∈ ℝ. (4.8)
Alternativamente, podemos encontrar as equac¸o˜es parame´tricas de 푟 determinando a soluc¸a˜o
geral do sistema (4.7). Para isto devemos escalonar a matriz do sistema (4.7):[
2 1 4 4
2 −1 2 0
]
Precisamos “zerar” o outro elemento da 1a. coluna, que e´ a coluna do pivoˆ, para isto, adicionamos a`
2a. linha, menos a 1a. linha.
-1a. linha + 2a. linha −→ 2a. linha
[
2 1 4 4
0 −2 −2 −4
]
Agora, ja´ podemos obter facilmente a soluc¸a˜o geral do sistema dado, ja´ que ele e´ equivalente ao
sistema {
2푥 + 푦 + 4푧 = 4
− 2푦 − 2푧 = −4
A varia´vel 푧 e´ uma varia´vel livre. Podemos dar a ela um valor arbitra´rio, digamos 푡, para 푡 ∈ ℝ
qualquer. Assim, a soluc¸a˜o geral do sistema dado e´⎧⎨
⎩
푥 = 1 − 3
2
푡
푦 = 2 − 푡
푧 = 푡
para todo 푡 ∈ ℝ. (4.9)
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
4.1 Equac¸o˜es de Retas e Planos 241
Estas equac¸o˜es sa˜o diferentes das equac¸o˜es (4.8), mas representam a mesma reta, pois os vetores
diretores obtidos das duas equac¸o˜es sa˜o paralelos e o ponto 푃0 = (1, 2, 0) satisfaz tambe´m as
equac¸o˜es (4.9). Poderı´amos dizer tambe´m que (4.8) e (4.9) representam retas coincidentes.
O pro´ximo exemplo mostra como encontrar a equac¸a˜o da reta que e´ perpendicular a duas retas.
Exemplo 4.8. Achar as equac¸o˜es da reta 푟3 que intercepta as retas
푟1 :
⎧⎨
⎩
푥 = −1 + 2푡
푦 = 1 + 푡,
푧 = 0
para todo 푡 ∈ ℝ
e
푟2 : 푥− 2 = 푦 − 4
2
e 푧 = 3
e e´ perpendicular a ambas.
Um ponto qualquer da reta 푟1 e´ descrito por 푃푟1 = (−1+2푡, 1+ 푡, 0) e um ponto qualquer da reta
푟2 e´ da forma 푃푟2 = (2+ 푠, 4+2푠, 3). Aqui e´ necessa´rio o uso de um paraˆmetro diferente para a reta
푟2. O vetor
−→
푃푟1푃푟2= (3+ 푠− 2푡, 3+2푠− 푡, 3) “liga” um ponto qualquer de 푟1 a um ponto qualquer de
푟2. Vamos determinar 푡 e 푠 tais que o vetor
−→
푃푟1푃푟2 seja perpendicular ao vetor diretor 푉1 = (2, 1, 0)
de 푟1 e ao vetor diretor 푉2 = (1, 2, 0) de 푟2, ou seja, temos que resolver o sistema{ −→
푃푟1푃푟2 ⋅푉1 = 9 + 4푠− 5푡 = 0−→
푃푟1푃푟2 ⋅푉2 = 9 + 5푠− 4푡 = 0
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
242 Retas e Planos
A soluc¸a˜o deste sistema e´ 푡 = 1, 푠 = −1. Logo 푃푟1 = (1, 2, 0), 푃푟2 = (1, 2, 3) e 푉3 =
−→
푃푟1푃푟2=
(0, 0, 3). Assim as equac¸o˜es parame´tricas da reta procurada sa˜o
푟3 :
⎧⎨
⎩
푥 = 1
푦 = 2,
푧 = 3푡
para todo 푡 ∈ ℝ.
Esta soluc¸a˜o usou o fato de que as retas sa˜o reversas, isto e´, elas na˜o sa˜o paralelas, mas tambe´m
na˜o se interceptam. Como seria a soluc¸a˜o se elas se interceptassem? Por exemplo se a reta 푟2 fosse
dada por
푟2 : 푥− 2 = 푦 − 4
2
e 푧 = 0 ?
Exercı´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 534)
4.1.1. Fac¸a um esboc¸o dos seguintes planos:
(a) 2푥+ 3푦 + 5푧 − 1 = 0
(b) 푥− 2푦 + 4푧 = 0
(c) 3푦 + 2푧 − 1 = 0
(d) 2푥+ 3푧 − 1 = 0
(e) 3푥+ 2푦 − 1 = 0
(f) 5푦 − 2 = 0
(g) 3푧 − 2 = 0
(h) 2푥− 1 = 0
4.1.2. Fac¸a um esboc¸o das retas dadas a seguir:
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
4.1 Equac¸o˜es de Retas e Planos 243
(a) (푥, 푦, 푧) = (−3 + 3푡, 3
2
− 1
2
푡, 4− 2푡)
(b) (푥, 푦, 푧) = (2푡, 푡, 3
2
푡)
(c) (푥, 푦, 푧) = (1 + 푡, 2, 3 + 2푡)
(d) (푥, 푦, 푧) = (1, 2 + 2푡, 5
2
+ 3
2
푡)
(e) (푥, 푦, 푧) = (2 + 2푡, 3 + 푡, 3)
(f) (푥, 푦, 푧) = (1, 2, 2 + 2푡)
(g) (푥, 푦, 푧) = (1, 2 + 2푡, 3)
(h) (푥, 푦, 푧) = (2 + 2푡, 2, 3)
4.1.3. Ache a equac¸a˜o do plano paralelo ao plano 2푥−푦+5푧−3 = 0 e que passa por 푃 = (1,−2, 1).
4.1.4. Encontre a equac¸a˜o do plano que passa pelo ponto 푃 = (2, 1, 0) e e´ perpendicular aos planos
푥+ 2푦 − 3푧 + 2 = 0 e 2푥− 푦 + 4푧 − 1 = 0.
4.1.5. Encontrar a equac¸a˜o do plano que passa pelos pontos 푃 = (1, 0, 0) e 푄 = (1, 0, 1) e e´
perpendicular ao plano 푦 = 푧.
4.1.6. Determine a intersec¸a˜o da reta que passa pela origem e tem vetor diretor 푉 = 푖⃗+ 2⃗푗 + 푘⃗ com
o plano 2푥+ 푦 + 푧 = 5.
4.1.7. Verifique se as retas 푟 : (푥, 푦, 푧) = (9푡, 1 + 6푡,−2 + 3푡) e 푠 : (푥, 푦, 푧) = (1 + 2푡, 3 + 푡, 1)
se interceptam e em caso afirmativo determine a intersec¸a˜o. (Sugesta˜o: a questa˜o e´ se as
trajeto´rias se cortam e na˜o se as partı´culas se chocam, ou seja, elas na˜o precisam estar num
ponto no mesmo instante.)
4.1.8. Dadas as retas
푟 :
푥− 2
2
=
푦
2
= 푧 e 푠 : 푥− 2 = 푦 = 푧 ,
obtenha uma equac¸a˜o geral para o plano determinado por 푟 e 푠.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
244 Retas e Planos
4.1.9. Sejam 푃 = (4, 1,−1) e 푟 : (푥, 푦, 푧) = (2 + 푡, 4− 푡, 1 + 2푡).
(a) Mostre que 푃 ∕∈ 푟;
(b) Obtenha uma equac¸a˜o geral do plano determinado por 푟 e 푃 .
4.1.10. Dados os planos 휋1 : 푥 − 푦 + 푧 + 1 = 0 e 휋2 : 푥 + 푦 − 푧 − 1 = 0, determine o plano que
conte´m 휋1 ∩ 휋2 e e´ ortogonal ao vetor (−1, 1,−1).
4.1.11. Quais dos seguintes pares de planos se cortam segundo uma reta?
(a) 푥+ 2푦 − 3푧 − 4 = 0 e 푥− 4푦 + 2푧 + 1 = 0;
(b) 2푥− 푦 + 4푧 + 3 = 0 e 4푥− 2푦 + 8푧 = 0;
(c) 푥− 푦 = 0 e 푥+ 푧 = 0.
4.1.12. Encontre as equac¸o˜es da reta que passa pelo ponto 푄 = (1, 2, 1) e e´ perpendicular ao plano
푥− 푦 + 2푧 − 1 = 0.
4.1.13. Ache equac¸o˜es da reta que passa pelo ponto 푃 = (1, 0, 1) e e´ paralela aos planos 2푥 + 3푦 +
푧 + 1 = 0 e 푥− 푦 + 푧 = 0.
4.1.14. Seja 푟 a reta determinada pela intersec¸a˜o dos planos 푥 + 푦 − 푧 = 0 e 2푥 − 푦 + 3푧 − 1 = 0.
Ache a equac¸a˜o do plano que passa por 퐴 = (1, 0,−1) e conte´m a reta 푟.
4.1.15. Sejam 푟 e 푠 retas reversas passando por 퐴 = (0, 1, 0) e 퐵 = (1, 1, 0) e por 퐶 = (−3, 1,−4)
e 퐷 = (−1, 2,−7), respectivamente. Obtenha uma equac¸a˜o da reta concorrente com 푟 e 푠 e
paralela ao vetor 푉 = (1,−5,−1).
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
4.1 Equac¸o˜es de Retas e Planos 245
4.1.16. (a) Mostre que os planos 2푥− 푦+ 푧 = 0 e 푥+2푦− 푧 = 1 se interceptam segundo uma reta
푟;
(b) Ache equac¸o˜es da reta que passa pelo ponto 퐴 = (1, 0, 1) e intercepta a reta 푟 ortogo-
nalmente.
4.1.17. Considere as retas (푥, 푦, 푧) = 푡(1, 2,−3) e (푥, 푦, 푧) = (0, 1, 2) + 푠(2, 4,−6). Encontre a
equac¸a˜o geral do plano que conte´m estas duas retas.
4.1.18. Determine as equac¸o˜es parame´tricas da reta intersec¸a˜o dos planos:
(a) 푥+ 2푦 − 3푧 − 4 = 0 e 푥− 4푦 + 2푧 + 1 = 0;
(b) 푥− 푦 = 0 e 푥+ 푧 = 0.
4.1.19. Considere o plano 휋 : 2푥+ 2푦 − 푧 = 0.
(a) Determine as retas 푟, intersec¸a˜o do plano 휋 com o plano yz, 푠, intersec¸a˜o do plano 휋 com
o plano xz e 푡, intersec¸a˜o do plano 휋 com o plano 푧 = 2. Desenhe um esboc¸o do plano 휋
mostrando as retas 푟, 푠 e 푡.
(b) Determine o volume do tetraedro determinado pelo plano 휋, os planos coordenados xz e
yz e o plano 푧 = 2. (Sugesta˜o: este volume e´ igual a 1/6 do volume do paralelepı´pedo
determinado por
−→
푂퐴,
−→
푂퐵 e
−→
푂퐶, em que 푂 = (0, 0, 0), 퐴 e´ o ponto intersec¸a˜o do eixo z
com o plano 푧 = 2, 퐵 e´ a intersec¸a˜o das retas 푟 e 푡 e 퐶 e´ a intersec¸a˜o das retas 푠 e 푡.)
(c) Determine a a´rea da face do tetraedro contida no plano 휋.
(d) Determine a altura do tetraedro relativa a face contida no plano 휋. (Sugesta˜o: a reta
ortogonal ao plano 휋 que passa pelo ponto 퐴 intercepta o plano 휋 num ponto 푃 de forma
que a altura procurada e´ igual a ∣∣
−→
퐴푃 ∣∣)
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
246 Retas e Planos
4.1.20. Achar as equac¸o˜es da reta que intercepta as retas 푟1 e 푟2 e e´ perpendicular a ambas.
(a)
푟1 :
⎧⎨
⎩
푥 = 1 + 푡
푦 = 2 + 3푡,
푧 = 4푡
para 푡 ∈ ℝ
e
푟2 : 푥+ 1 =
푦 − 1
2
=
푧 + 2
3
.
(b)
푟1 :
⎧⎨
⎩
푥 = −1 + 푡
푦 = 2 + 3푡,
푧 = 4푡
para 푡 ∈ ℝ
e
푟2 : 푥 =
푦 − 4
2
=
푧 − 3
3
.
Exercı´cios usando o MATLABⓇ
>> V=[v1,v2,v3] cria um vetor V, usando as componentes nume´ricas v1, v2, v3. Por
exemplo >> V=[1,2,3] cria o vetor 푉 = (1, 2, 3);
>> V+W e´ a soma de V e W; >> V-W e´ a diferenc¸a V menos W; >> num*V e´ o produto do vetor V
pelo escalar num;
>> subs(expr,x,num,) substitui x por num na expressa˜o expr;
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
4.1 Equac¸o˜es de Retas e Planos 247
>> solve(expr) determina a soluc¸a˜o da equac¸a˜o expr=0;
Comandos nume´ricos do pacote GAAL:
>> no(V) calcula a norma do vetor V.
>> pe(V,W) calcula o produto escalar do vetor V pelo vetor W.
>> pv(V,W) calcula o produto vetorial do vetor V pelo vetor W.
>> subst(expr,[x,y,z],[a,b,c]) substitui na expressa˜o expr as varia´veis x,y,z por
a,b,c, respectivamente.
Comandos gra´ficos do pacote GAAL:
>> lin(P,V) desenha a reta que passa por P com direc¸a˜o V.
>> lin(P1,V1,P2,V2) desenha retas que passam por P1, P2, direc¸o˜es V1, V2.
>> plan(P,N) desenha o plano que passa por P com normal N.
>> plan(P1,N1,P2,N2) desenha planos que passam por P1, P2, normais N1, N2.
>> plan(P1,N1,P2,N2,P3,N3) desenha planos que passam por P1, P2 e P3 com normais
N1, N2 e N3.
>> poplan(P1,P2,N2) desenha ponto P1 e plano passando por P2 com normal N2.
>> poline(P1,P2,V2) desenha ponto P2 e reta passando por P2 com direc¸a˜o V2.
>> lineplan(P1,V1,P2,N2) desenha reta passando por P1 com direc¸a˜o V1 e plano pas-
sando por P2 com normal N2.
>> axiss reescala os eixos com a mesma escala.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
248 Retas e Planos
>> rota faz uma rotac¸a˜o em torno do eixo 푧.
4.1.21. Digite no prompt demog22, (sem a vı´rgula!). Esta func¸a˜o demonstra as func¸o˜es gra´ficas para
visualizac¸a˜o de retas e planos.
4.1.22. Use o MATLABⓇ para resolver os Exercı´cios Nume´ricos
Exercı´cio Teo´rico
4.1.23. Seja 푎푥+ 푏푦 + 푐푧 + 푑 = 0 a equac¸a˜o de um plano 휋 com 푎푏푐푑 ∕= 0.
(a) Determine a intersec¸a˜o de 휋 com os eixos;
(b) Se 푃1 = (푝1, 0, 0), 푃2 = (0, 푝2, 0) e 푃3 = (0, 0, 푝3) sa˜o as intersec¸o˜es de 휋 com os eixos,
a equac¸a˜o de 휋 pode ser posta sob a forma
푥
푝1
+
푦
푝2
+
푧
푝3
= 1 .
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
4.1 Equac¸o˜es de Retas e Planos 249
x y
z
3/2
3 3
x y
z
3
3
6
x y
z
3/21 23 3
3
3
6
Figura 4.18: Retas 푟1, 푟2 e 푟3 do Exemplo 4.8
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
250 Retas e Planos
4.2 ˆAngulos e Distaˆncias
4.2.1 ˆAngulos
ˆAngulo entre Retas
Com duas retas no espac¸o pode ocorrer um dos seguintes casos:
(a) As retas se interceptam em um ponto, ou seja, sa˜o concorrentes;
(b) As retas sa˜o paralelas (ou coincidentes);
(c) As retas sa˜o reversas, isto e´, na˜o sa˜o paralelas mas tambe´m na˜o se interceptam.
Se as retas se interceptam, enta˜o elas determinam quatro aˆngulos, dois a dois opostos pelo
ve´rtice. O aˆngulo entre elas e´ definido como sendo o menor destes aˆngulos.
Se as retas 푟1 e 푟2 sa˜o reversas, enta˜o por um ponto 푃 de 푟1 passa um reta 푟′2 que e´ paralela a
푟2. O aˆngulo entre 푟1 e 푟2 e´ definido como sendo o aˆngulo entre 푟1 e 푟′2 (Figura 4.19).
Se as retas sa˜o paralelas o aˆngulo entre elas e´ igual a zero.
Em qualquer dos casos, se 푉1 e 푉2 sa˜o vetores paralelos a 푟1 e 푟2 respectivamente, enta˜o o
cosseno do aˆngulo entre elas e´
cos(푟1, 푟2) = ∣ cos 휃∣ ,
em que 휃 e´ o aˆngulo entre 푉1 e 푉2.
Lembrando que da definic¸a˜o de produto escalar (Definic¸a˜o 3.1 na pa´gina 173), podemos encontrar
o cosseno do aˆngulo entre dois vetores, ou seja,
cos 휃 =
푉1 ⋅ 푉2
∣∣푉1∣∣ ∣∣푉2∣∣ .
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
4.2 ˆAngulos e Distaˆncias 251
y
z
x
푟2
푟′2
푉2
푉1
푟1
휃
푃
Figura 4.19: O ˆAngulo entre duas retas reversas 푟1 e 푟2
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
252 Retas e Planos
Isto prova o resultado seguinte.
Proposic¸a˜o 4.2. Sejam duas retas
푟1 :
⎧⎨
⎩
푥 = 푥1 + 푡 푎1
푦 = 푦1 + 푡 푏1
푧 = 푧1 + 푡 푐1
푟2 :
⎧⎨
⎩
푥 = 푥2 + 푡 푎2
푦 = 푦2 + 푡 푏2
푧 = 푧2 + 푡 푐2
para todo 푡 ∈ ℝ.
O cosseno do aˆngulo entre 푟1 e 푟2 e´
cos(푟1, 푟2) = ∣ cos 휃∣ = ∣푉1 ⋅ 푉2∣∣∣푉1∣∣ ∣∣푉2∣∣ ,
em que 푉1 = (푎1, 푏1, 푐1) e 푉2 = (푎2, 푏2, 푐2).
Exemplo 4.9. Encontrar o aˆngulo entre a reta
푟1 :
{
푥 + 푦 − 푧 + 1 = 0
2푥 − 푦 + 푧 = 0
e a reta
푟2 :
⎧⎨
⎩
푥 = 2 푡
푦 = 1− 푡
푧 = 2 + 3 푡
para todo 푡 ∈ ℝ.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
4.2 ˆAngulos e Distaˆncias 253
Vamos encontrar vetores paralelos a estas retas. A reta 푟1 e´ dada como a intersec¸a˜o de pois
planos, portanto o produto vetorial dos vetores normais dos dois planos e´ paralelo a 푟1.
푁1 = (1, 1,−1),
푁2 = (2,−1, 1),
푉1 = 푁1 ×푁2 =
(
det
[
1 −1
−1 1
]
,− det
[
1 −1
2 1
]
, det
[
1 1
2 −1
])
= (0,−3,−3)
e´ paralelo a 푟1 e 푉2 = (2,−1, 3) e´ paralelo a 푟2. Assim,
cos(푟1, 푟2) =
∣푉1 ⋅ 푉2∣
∣∣푉1∣∣ ∣∣푉2∣∣ =
∣0 ⋅ 2 + (−3)(−1) + (−3) ⋅ 3∣√
02 + (−3)2 + (−3)2 ⋅
√
22 + (−1)2 + 32
=
∣ − 6∣√
18 ⋅ √14 =
1√
7
.
Portanto, o aˆngulo entre 푟1 e 푟2 e´
arccos (
1√
7
) ≈ 67o .
ˆAngulo entre Planos
Sejam 휋1 e 휋2 dois planos com vetores normais 푁1 = (푎1, 푏1, 푐1) e 푁2 = (푎2, 푏2, 푐2), respecti-
vamente. O aˆngulo entre 휋1 e 휋2 e´ definido como o aˆngulo entre duas retas perpendiculares a eles.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
254 Retas e Planos
Como toda reta perpendicular a 휋1 tem 푁1 como vetor diretor e toda reta perpendicular a 휋2 tem 푁2
como vetor diretor, enta˜o o cosseno do aˆngulo entre eles e´ dado por
cos(휋1, 휋2) = ∣ cos 휃∣ ,
em que 휃 e´ o aˆngulo entre os vetores normais 푁1 e 푁2 de 휋1 e 휋2, respectivamente (Figura 4.20).
Portanto, o cosseno do aˆngulo entre 휋1 e 휋2 e´ cos(휋1, 휋2) =
∣푁1 ⋅푁2∣
∣∣푁1∣∣ ∣∣푁2∣∣ . O que prova o resultado
seguinte.
Proposic¸a˜o 4.3. Sejam dois planos
휋1 : 푎1푥+ 푏1푦 + 푐1푧 + 푑1 = 0 ,
휋2 : 푎2푥+ 푏2푦 + 푐2푧 + 푑2 = 0 .
O cosseno do aˆngulo entre 휋1 e 휋2 e´
cos(휋1, 휋2) =
∣푁1 ⋅푁2∣
∣∣푁1∣∣ ∣∣푁2∣∣ ,
em que 푁1 = (푎1, 푏1, 푐1) e 푁2 = (푎2, 푏2, 푐2) sa˜o os vetores normais de 휋1 e 휋2, respectivamente.
Dois planos 휋1 e 휋2 ou sa˜o paralelos ou se cortam segundo um reta. Eles sa˜o paralelos se, e
somente se, os vetores normais de 휋1 e 휋2, sa˜o paralelos, ou seja, um vetor e´ um mu´ltiplo escalar do
outro. Assim, 휋 e 휋2 sa˜o paralelos se, e somente se, o aˆngulo entre eles e´ igual a zero.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
4.2 ˆAngulos e Distaˆncias 255
푁1 푁2
휃
휋2
휋1
휃
Figura 4.20: ˆAngulo entre dois planos
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
256 Retas e Planos
Exemplo 4.10. Determinar o aˆngulo entre os planos cujas equac¸o˜es sa˜o
휋1 : 푥+ 푦 + 푧 = 0 ,
휋2 : 푥− 푦 − 푧 = 0 .
Os vetores normais a estes planos sa˜o os vetores cujas componentes sa˜o os coeficientes de 푥, 푦
e 푧 nas equac¸o˜es dos planos, ou seja,
푁1 = (1, 1, 1) e 푁2 = (1,−1,−1) .
Assim, o cosseno do aˆngulo entre 휋1 e 휋2 e´
cos(휋1, 휋2) =
∣푁1 ⋅푁2∣
∣∣푁1∣∣ ∣∣푁2∣∣ =
1√
3 ⋅ √3 =
1
3
.
Portanto, o aˆngulo entre eles e´
arccos (
1
3
) ≈ 70o .
4.2.2 Distaˆncias
Distaˆncia de Um Ponto a Um Plano
Sejam 푃0 = (푥0, 푦0, 푧0) um ponto qualquer e 휋 : 푎푥+ 푏푦+ 푐푧 + 푑 = 0 um plano. A distaˆncia de
푃0 a 휋 e´ definida como sendo a distaˆncia de 푃0 ate´ o ponto de 휋 mais pro´ximo de 푃0.
Dado um ponto 푃1 = (푥1, 푦1, 푧1) de 휋, podemos decompor o vetor
−→
푃1푃0 em duas parcelas, uma
na direc¸a˜o do vetor normal de 휋, 푁 =
(푎, 푏, 푐) e outra perpendicular a ele. A componente na direc¸a˜o
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
4.2 ˆAngulos e Distaˆncias 257
do vetor 푁 e´ a projec¸a˜o ortogonal de
−→
푃1푃0 em 푁 . Como vemos na Figura 4.21, a distaˆncia de 푃0 a
휋 e´ igual a` norma da projec¸a˜o, ou seja,
dist(푃0, 휋) = ∣∣proj푁
−→
푃1푃0 ∣∣ .
Mas, pela Proposic¸a˜o 3.4 na pa´gina 181, temos que
∣∣proj푁
−→
푃1푃0 ∣∣ =
∥∥∥∥∥
( −→
푃1푃0 ⋅푁
∣∣푁 ∣∣2
)
푁
∥∥∥∥∥ = ∣
−→
푃1푃0 ⋅푁 ∣
∣∣푁 ∣∣ .
O que prova o resultado seguinte.
Proposic¸a˜o 4.4. Sejam 푃0 = (푥0, 푦0, 푧0) um ponto qualquer e 휋 : 푎푥 + 푏푦 + 푐푧 + 푑 = 0 um plano.
A distaˆncia de 푃0 a 휋 e´ dada por
dist(푃0, 휋) = ∣∣proj푁
−→
푃1푃0 ∣∣ = ∣
−→
푃1푃0 ⋅푁 ∣
∣∣푁 ∣∣ ,
em que 푁 = (푎, 푏, 푐) e 푃1 = (푥1, 푦1, 푧1) e´ um ponto de 휋 (isto e´, um ponto que satisfaz a equac¸a˜o
de 휋).
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
258 Retas e Planos
휋
푁 = (푎, 푏, 푐)
푃0 = (푥0, 푦0, 푧0)
푃1 = (푥1, 푦1, 푧1)
d
is
t(
푃
0
,휋
)
p
ro
j 푁
−
→
푃
1
푃
0
Figura 4.21: Distaˆncia de um ponto 푃0 = (푥0, 푦0, 푧0) a um plano 휋
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
4.2 ˆAngulos e Distaˆncias 259
Exemplo 4.11. Calcular a distaˆncia entre o ponto 푃0 = (1, 2, 3) ao plano
휋 : 푥− 2푦 + 푧 − 1 = 0.
Fazendo 푧 = 0 e 푦 = 0 na equac¸a˜o de 휋, obtemos 푥 = 1. Assim, o ponto 푃1 = (1, 0, 0) pertence
a 휋. −→
푃1푃0= (1− 1, 2− 0, 3− 0) = (0, 2, 3)
e
푁 = (1,−2, 1) .
Assim,
dist(푃0, 휋) = ∣∣proj푁
−→
푃1푃0 ∣∣ = ∣
−→
푃1푃0 ⋅푁 ∣
∣∣푁 ∣∣ =
∣0 ⋅ 1 + 2(−2) + 3 ⋅ 1∣√
12 + (−2)2 + 12 =
∣ − 1∣√
6
=
1√
6
.
Distaˆncia de Um Ponto a Uma Reta
Sejam 푃0 = (푥0, 푦0, 푧0) um ponto qualquer e 푟 uma reta. A distaˆncia de 푃0 a 푟 e´ definida como a
distaˆncia de 푃0 ao ponto de 푟 mais pro´ximo de 푃0.
Dado um ponto qualquer 푃1 = (푥1, 푦1, 푧1) de 푟 podemos decompor o vetor
−→
푃1푃0 em duas parce-
las, uma na direc¸a˜o do vetor diretor 푉 de 푟 e outra perpendicular a ele. A componente na direc¸a˜o do
vetor 푉 e´ a projec¸a˜o ortogonal de
−→
푃1푃0 em 푉 . Como vemos na Figura 4.22,
(dist(푃0, 푟))
2 + ∣∣proj푉
−→
푃1푃0 ∣∣2 = ∣∣
−→
푃1푃0 ∣∣2,
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
260 Retas e Planos
ou seja,
(dist(푃0, 푟))
2 = ∣∣
−→
푃1푃0 ∣∣2 − ∣∣proj푉
−→
푃1푃0 ∣∣2 . (4.10)
Mas, pela Proposic¸a˜o 3.4 na pa´gina 181, temos que
∣∣proj푉
−→
푃1푃0 ∣∣2 =
∥∥∥∥∥
( −→
푃1푃0 ⋅푉
∣∣푉 ∣∣2
)
푉
∥∥∥∥∥
2
=
(
−→
푃1푃0 ⋅푉 )2
∣∣푉 ∣∣2 .
Substituindo esta expressa˜o em (4.10) e usando a definic¸a˜o do produto escalar na pa´gina 173 e da
norma do produto vetorial na pa´gina 182 obtemos
(dist(푃0, 푟))
2 = ∣∣
−→
푃1푃0 ∣∣2 − (
−→
푃1푃0 ⋅푉 )2
∣∣푉 ∣∣2 =
∣∣
−→
푃1푃0 ∣∣2∣∣푉 ∣∣2 − (
−→
푃1푃0 ⋅푉 )2
∣∣푉 ∣∣2
=
∣∣
−→
푃1푃0 ∣∣2∣∣푉 ∣∣2 − ∣∣
−→
푃1푃0 ∣∣2∣∣푉 ∣∣2 cos2 휃
∣∣푉 ∣∣2
=
∣∣
−→
푃1푃0 ∣∣2∣∣푉 ∣∣2sen2휃
∣∣푉 ∣∣2 =
∣∣
−→
푃1푃0 ×푉 ∣∣2
∣∣푉 ∣∣2 .
Isto prova o resultado seguinte.
Proposic¸a˜o 4.5. Sejam 푃0 = (푥0, 푦0, 푧0) um ponto qualquer e
푟 :
⎧⎨
⎩
푥 = 푥1 + 푡 푎
푦 = 푦1 + 푡 푏
푧 = 푧1 + 푡 푐
para todo 푡 ∈ ℝ
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4.2 ˆAngulos e Distaˆncias 261
푟
푃0 = (푥0, 푦0, 푧0)
푃1 = (푥1, 푦1, 푧1) 푉 = (푎, 푏, 푐)proj푉
−→
푃1푃0
d
is
t(
푃
0
,푟
)
Figura 4.22: Distaˆncia de um ponto 푃0 = (푥0, 푦0, 푧0) a uma reta 푟
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
262 Retas e Planos
uma reta. A distaˆncia de 푃0 a 푟 e´ dada por
dist(푃0, 푟) =
∣∣
−→
푃1푃0 ×푉 ∣∣
∣∣푉 ∣∣ .
em que 푉 = (푎, 푏, 푐) e´ um vetor diretor e 푃1 = (푥1, 푦1, 푧1) e´ um ponto da reta 푟.
Exemplo 4.12. Calcular a distaˆncia do ponto 푃0 = (1,−1, 2) a` reta
푟 :
⎧⎨
⎩
푥 = 1 + 2 푡
푦 = −푡
푧 = 2− 3 푡
para todo 푡 ∈ ℝ.
Um vetor diretor da reta 푟 e´ 푉 = (2,−1,−3) e um ponto de 푟 e´ 푃1 = (1, 0, 2). Assim,
−→
푃1푃0= (1− 1,−1− 0, 2− 2) = (0,−1, 0) ,
−→
푃1푃0 ×푉 = (3, 0, 2) ,
∣∣
−→
푃1푃0 ×푉 ∣∣ =
√
13 e ∣∣푉 ∣∣ =
√
14 .
Portanto,
dist(푃0, 푟) =
∣∣
−→
푃1푃0 ×푉 ∣∣
∣∣푉 ∣∣ =
√
13
14
.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
4.2 ˆAngulos e Distaˆncias 263
푁1
푃1
푃2
d
is
t(
휋
1
,휋
2
)
p
ro
j 푁
1
−
→
푃
1
푃
2
휋1
휋2
Figura 4.23: Distaˆncia entre dois planos
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
264 Retas e Planos
Distaˆncia entre Dois Planos
Sejam dois planos 휋1 e 휋2 quaisquer. A distaˆncia entre 휋1 e 휋2 e´ definida como a menor distaˆncia
entre dois pontos, um de 휋1 e outro de 휋2.
Se os seus vetores normais na˜o sa˜o paralelos, enta˜o os planos sa˜o concorrentes e neste caso a
distaˆncia entre eles e´ igual a zero. Se os seus vetores normais sa˜o paralelos, enta˜o os planos sa˜o
paralelos (ou coincidentes) e a distaˆncia entre 휋1 e 휋2 e´ igual a` distaˆncia entre um ponto de um deles,
por exemplo 푃2 de 휋2, e o ponto de 휋1, mais pro´ximo de 푃2 (Figura 4.23). Mas, esta distaˆncia e´ igual
a` distaˆncia de 푃2 a 휋1. Vamos ver isto em um exemplo.
Exemplo 4.13. Os planos 휋1 : 푥+2푦− 2푧− 3 = 0 e 휋2 : 2푥+4푦− 4푧− 7 = 0 sa˜o paralelos, pois
os seus vetores normais 푁1 = (1, 2,−2) e 푁2 = (2, 4,−4) sa˜o paralelos (um e´ mu´ltiplo escalar do
outro). Vamos encontrar a distaˆncia entre eles.
Vamos encontrar dois pontos quaisquer de cada um deles. Fazendo 푧 = 0 e 푦 = 0 em ambas
as equac¸o˜es obtemos 푥1 = 3 e 푥2 = 7/2. Assim, 푃1 = (3, 0, 0) pertence a 휋1 e 푃2 = (7/2, 0, 0)
pertence a 휋2. Portanto, pela Proposic¸a˜o 4.4 temos que
dist(휋1, 휋2) = dist(휋1, 푃2) = ∣∣proj푁1
−→
푃1푃2 ∣∣ = ∣
−→
푃1푃2 ⋅푁1∣
∣∣푁1∣∣
=
∣(7/2− 3, 0− 0, 0− 0) ⋅ (1, 2,−2)∣√
12 + 22 + (−2)2 =
∣(1/2) ⋅ 1 + 0 ⋅ 2 + 0(−2)∣√
9
=
1
6
.
Distaˆncia entre Duas Retas
Sejam 푟1 e 푟2 duas retas quaisquer. A distaˆncia entre 푟1 e 푟2 e´ definida como a menor distaˆncia
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
4.2 ˆAngulos e Distaˆncias 265
entre dois pontos, um de 푟1 e outro de 푟2.
Para calcular a distaˆncia entre duas retas, vamos dividir em dois casos:
(a) Se os vetores diretores sa˜o paralelos, enta˜o as retas 푟1 e 푟2 sa˜o paralelas (ou coincidentes).
Neste caso, a distaˆncia entre elas e´ igual a` distaˆncia entre um ponto de 푟2 e a reta 푟1, ou vice-
versa, entre um ponto de 푟1 e a reta 푟2 (Figura 4.24). Assim, pela Proposic¸a˜o 4.5 na pa´gina
260, temos que
dist(푟1, 푟2) = dist(푃1, 푟2) =
∣∣
−→
푃1푃2 ×푉2∣∣
∣∣푉2∣∣ , (4.11)
em que 푃1 e 푃2 sa˜o pontos de 푟1 e 푟2 e 푉1 e 푉2 sa˜o vetores diretores de 푟1 e 푟2, respectiva-
mente.
(b) Se os vetores diretores na˜o sa˜o paralelos, enta˜o elas sa˜o reversas ou concorrentes. Os dois
casos podem ser resolvidos da mesma forma. Estas retas definem dois planos paralelos (que
podem ser coincidentes, no caso em que elas sa˜o concorrentes). Um e´ o plano que conte´m
푟1 e e´ paralelo a 푟2, vamos chama´-lo de 휋1. O outro, conte´m 푟2 e e´ paralelo a 푟1, 휋2. O vetor
푁 = 푉1 × 푉2, e´ normal (ou perpendicular) a ambos os planos, em que 푉1 e 푉2 sa˜o os vetores
diretores de 푟1 e 푟2 respectivamente. Assim, a distaˆncia entre as retas e´ igual a` distaˆncia entre
estes dois planos (Figura 4.25), ou seja,
dist(푟1, 푟2) = dist(휋1, 휋2) = dist(휋1, 푃2) =
∣
−→
푃1푃2 ⋅푁 ∣
∣∣푁 ∣∣ =
∣
−→
푃1푃2 ⋅ (푉1 × 푉2)∣
∣∣푉1 × 푉2∣∣ (4.12)
em que 푃1 e 푃2 sa˜o pontos de 푟1 e 푟2 e 푉1 e 푉2 sa˜o vetores diretores de 푟1 e 푟2, respectiva-
mente. Observe que se as retas sa˜o concorrentes a distaˆncia entre elas e´ zero, pois os vetores
−→
푃1푃2, 푉1 e 푉2 sa˜o coplanares e
−→
푃1푃2 ⋅ (푉1 × 푉2) = 0 (Corola´rio
3.9 na pa´gina 198).
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
266 Retas e Planos
Exemplo 4.14. Vamos determinar a distaˆncia entre as retas
푟1 :
푥− 1
4
=
푦 + 1
−2 =
푧 − 2
−6 .
e
푟2 :
⎧⎨
⎩
푥 = 1 + 2 푡
푦 = −푡
푧 = 2− 3 푡
para todo 푡 ∈ ℝ.
As retas sa˜o paralelas, pois seus vetores diretores 푉1 = (4,−2,−6) e 푉2 = (2,−1,−3) (Exemplo
4.5 na pa´gina 232) sa˜o paralelos (um e´ um mu´ltiplo escalar do outro, ou ainda as componentes
correspondentes sa˜o proporcionais). Ale´m disso, o ponto 푃1 = (1,−1, 2) pertence a` reta 푟1. Como
dissemos acima, a distaˆncia de 푟1 a 푟2 e´ igual a` distaˆncia entre um ponto de 푟2 e a reta 푟1 (Figura
4.24). Assim, pela Proposic¸a˜o 4.5 na pa´gina 260, temos que
dist(푟1, 푟2) = dist(푃1, 푟2) =
∣∣
−→
푃1푃2 ×푉2∣∣
∣∣푉2∣∣ =
√
13
14
.
As contas sa˜o as mesmas do Exemplo 4.12 na pa´gina 262.
Exemplo 4.15. Determinar a distaˆncia entre as retas
푟1 :
푥+ 1
3
=
푦 − 1
2
= 푧 .
e
푟2 :
⎧⎨
⎩
푥 = 푡
푦 = 2 푡
푧 = 1− 푡
para todo 푡 ∈ ℝ.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
4.2 ˆAngulos e Distaˆncias 267
As retas 푟1 e 푟2 sa˜o paralelas aos vetores 푉1 = (3, 2, 1) e 푉2 = (1, 2,−1) e passam pelos pontos
푃1 = (−1, 1, 0) e 푃2 = (0, 0, 1), respectivamente. As retas na˜o sa˜o paralelas, pois seus vetores
diretores na˜o sa˜o paralelos (observe que a 1a. componente de 푉1 e´ 3 vezes a 1a. componente de 푉2,
mas as 2a. ’s componentes sa˜o iguais). Logo,
−→
푃1푃2= (0− (−1), 0− 1, 1− 0) = (1,−1, 1) .
Um vetor perpendicular a ambas as retas e´
푁 = 푉1 × 푉2 = (−4, 4, 4) .
Este vetor e´ normal aos planos 휋1 (que conte´m 푟1 e e´ paralelo a 푟2) e 휋2 (que conte´m 푟2 e e´ paralelo
a 푟1) (veja a Figura 4.25). Assim,
dist(푟1, 푟2) = dist(휋1, 휋2) = dist(휋1, 푃2) =
∣
−→
푃1푃2 ⋅푁 ∣
∣∣푁 ∣∣
=
∣1(−4) + (−1) ⋅ 4 + 1 ⋅ 4∣√
(−4)2 + 42 + 42 =
∣ − 4∣
4
√
3
=
1√
3
.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
268 Retas e Planos
푟1
푟2 푃2
푃1 proj푉1
−→
푃1푃2 푉1
d
is
t(
푟 1
,푟
2
)
Figura 4.24: Distaˆncia entre duas retas paralelas
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
4.2 ˆAngulos e Distaˆncias 269
푟2
푟1
푉2
푉1
푉1 × 푉2
푃2
푃1
d
is
t(
푟 1
,푟
2
)
Figura 4.25: Distaˆncia entre duas retas reversas
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
270 Retas e Planos
Exercı´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 553)
4.2.1. Considere os vetores 푉 = 푖⃗+3⃗푗+2푘⃗, 푊 = 2⃗푖− 푗⃗+ 푘⃗ e 푈 = 푖⃗− 2⃗푗. Seja 휋 um plano paralelo
aos vetores 푊 e 푈 e 푟 uma reta perpendicular ao plano 휋. Ache a projec¸a˜o ortogonal do vetor
푉 sobre a reta 푟, ou seja, a projec¸a˜o ortogonal de 푉 sobre o vetor diretor da reta 푟.
4.2.2. Encontrar o aˆngulo entre o plano 2푥− 푦 + 푧 = 0 e o plano que passa pelo ponto 푃 = (1, 2, 3)
e e´ perpendicular ao vetor 푖⃗− 2⃗푗 + 푘⃗.
4.2.3. Seja 휋1 o plano que passa pelos pontos 퐴 = (1, 1, 1), 퐵 = (1, 0, 1), 퐶 = (1, 1, 0) e 휋2 o plano
que passa pelos pontos 푃 = (0, 0, 1) e 푄 = (0, 0, 0) e e´ paralelo ao vetor 푖⃗+ 푗⃗. Ache o aˆngulo
entre 휋1 e 휋2.
4.2.4. Ache todas as retas que passam pelo ponto (1,−2, 3) e que formam aˆngulos de 45o e 60o com
os eixos x e y respectivamente.
4.2.5. Obtenha os ve´rtices 퐵 e 퐶 do triaˆngulo equila´tero 퐴퐵퐶, sendo 퐴 = (1, 1, 0) e sabendo que o
lado 퐵퐶 esta´ contido na reta 푟 : (푥, 푦, 푧) = 푡 (0, 1,−1). (Sugesta˜o: Determine os pontos 푃푟
da reta 푟 tais que
−→
푃푟퐴 faz aˆngulo de 60o e 120o com o vetor diretor da reta 푟)
4.2.6. Seja 휋 o plano que passa pela origem e e´ perpendicular a` reta que une os pontos 퐴 = (1, 0, 0)
e 퐵 = (0, 1, 0). Encontre a distaˆncia do ponto 퐶 = (1, 0, 1) ao plano 휋.
4.2.7. Seja 푟1 a reta que passa pelos pontos 퐴 = (1, 0, 0) e 퐵 = (0, 2, 0), e 푟2 a reta
푥− 2 = 푦 − 3
2
=
푧 − 4
3
.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
4.2 ˆAngulos e Distaˆncias 271
(a) Encontre as equac¸o˜es da reta perpendicular a`s retas 푟1 e 푟2;
(b) Calcule a distaˆncia entre 푟1 e 푟2.
4.2.8. Dados 퐴 = (0, 2, 1), 푟 : 푋 = (0, 2,−2) + 푡 (1,−1, 2), ache os pontos de 푟 que distam √3 de
퐴. A distaˆncia do ponto 퐴 a` reta 푟 e´ maior, menor ou igual a
√
3? Por que?
4.2.9. Dada a reta 푟 : 푋 = (1, 0, 0) + 푡 (1, 1, 1) e os pontos 퐴 = (1, 1, 1) e 퐵 = (0, 0, 1), ache o
ponto de 푟 equ¨idistante de 퐴 e 퐵.
4.2.10. Encontre a equac¸a˜o do lugar geome´trico dos pontos equ¨idistantes de 퐴 = (1,−1, 2) e 퐵 =
(4, 3, 1). Este plano passa pelo ponto me´dio de 퐴퐵? Ele e´ perpendicular ao segmento 퐴퐵?
4.2.11. Ache as equac¸o˜es dos planos que sa˜o perpendiculares ao vetor (2, 2, 2) e que distam
√
3 do
ponto (1, 1, 1).
4.2.12. Determine os planos que conte´m a reta
푟 :
{
푥 − 2푦 + 2푧 = 0
3푥 − 5푦 + 7푧 = 0
e formam com o plano 휋1 : 푥+ 푧 = 0 um aˆngulo de 60o.
4.2.13. (a) Verifique que a reta 푟 : (푥, 푦, 푧) = (1, 0, 1) + 푡(1,−1, 0) e´ paralela ao plano
휋 : 푥+ 푦 + 푧 = 0.
(b) Calcule a distaˆncia de 푟 a 휋.
(c) Existem retas contidas no plano 휋, que sa˜o reversas a` reta 푟 e distam 2 desta?
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
272 Retas e Planos
4.2.14. (a) Determine a equac¸a˜o do plano 휋1 que passa por 퐴 = (10/3, 1,−1), 퐵 = (1, 9/2,−1) e
퐶 = (1,−1, 5/6).
(b) Determine a equac¸a˜o do plano 휋2 que passa por 퐷 = (−1, 4,−1), 퐸 = (3/2,−1, 10) e
e´ paralelo ao eixo z.
(c) Escreva equac¸o˜es parame´tricas para a reta 푟 intersec¸a˜o dos planos 휋1 e 휋2.
(d) Fac¸a um esboc¸o dos planos 휋1, 휋2 e da reta 푟 no primeiro octante.
(e) Qual o aˆngulo entre os planos 휋1 e 휋2?
(f) Qual o ponto 푃 de 휋1 que esta´ mais pro´ximo da origem? (Sugesta˜o: este ponto e´ tal que−→
푂푃 e´ ortogonal ao plano 휋1.)
(g) Qual a a´rea do triaˆngulo 퐴퐵퐶?
Exercı´cios usando o MATLABⓇ
4.2.15. Use o MATLABⓇ para resolver os Exercı´cios Nume´ricos
Exercı´cios Teo´ricos
4.2.16. Prove que o lugar geome´trico dos pontos do espac¸o que equ¨idistam de dois pontos distintos
퐴 = (푥1, 푦1, 푧1) e 퐵 = (푥2, 푦2, 푧2) e´ um plano que passa pelo ponto me´dio do segmento 퐴퐵 e
e´ perpendicular a ele. Esse plano e´ chamado plano mediador do segmento 퐴퐵.
4.2.17. Mostre que a distaˆncia de um ponto 푃0 = (푥0, 푦0, 푧0) a um plano 휋 : 푎푥+ 푏푦 + 푐푧 + 푑 = 0 e´
dist(푃0, 휋) =
∣푎푥0 + 푏푦0 + 푐푧0 + 푑∣√
푎2 + 푏2 + 푐2
.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
4.2 ˆAngulos e Distaˆncias 273
4.2.18. Mostre que a distaˆncia entre dois planos paralelos 휋1 : 푎푥+ 푏푦+ 푐푧+ 푑1 = 0 e 휋2 : 푎푥+ 푏푦+
푐푧 + 푑2 = 0 e´
dist(휋1, 휋2) =
∣푑2 − 푑1∣√
푎2 + 푏2 + 푐2
.
4.2.19. Mostre que a distaˆncia entre duas retas na˜o paralelas 푟1 : (푥, 푦, 푧) = (푥1+푡푎1, 푦1+푡푏1, 푧1+푡푐1)
e 푟2 : (푥, 푦, 푧) = (푥2 + 푡푎2, 푦2 + 푡푏2, 푧2 + 푡푐2) e´∣∣∣∣∣∣det
⎡
⎣ 푥2 − 푥1 푦2 − 푦1 푧2 − 푧1푎1 푏1 푐1
푎2 푏2 푐2
⎤
⎦
∣∣∣∣∣∣√(
det
[
푏1 푐1
푏2 푐2
])2
+
(
det
[
푎1 푐1
푎2 푐2
])2
+
(
det
[
푎1 푏1
푎2 푏2
])2
4.2.20. O aˆngulo entre uma reta 푟 que tem vetor diretor 푉 = (푎푟, 푏푟, 푐푟) e um plano 휋 que tem vetor
normal 푁 = (푎휋, 푏휋, 푐휋) e´ definido pelo complementar do aˆngulo entre uma reta perpendicular
ao plano 휋 e a reta 푟. Mostre que
sen(푟, 휋) =
∣푁 ⋅ 푉 ∣
∣∣푁 ∣∣∣∣푉 ∣∣ .
4.2.21. A distaˆncia entre uma reta 푟 que passa por um ponto 푃0 = (푥0, 푦0, 푧0) e tem vetor diretor
푉 = (푎푟, 푏푟, 푐푟) e um plano 휋 : 푎휋푥 + 푏휋푦 + 푐휋푧 + 푑휋 = 0 e´ definida como a menor distaˆncia
entre dois pontos um de 푟 e outro de 휋. Se o vetor diretor da reta 푟, 푉 = (푎푟, 푏푟, 푐푟), na˜o e´
ortogonal ao vetor normal do plano 휋, 푁 = (푎휋, 푏휋, 푐휋), enta˜o a reta e o plano sa˜o concorrentes
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
274 Retas e Planos
휋
푟
Figura 4.26: Reta e plano concorrentes
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
4.2 ˆAngulos e Distaˆncias 275
e a distaˆncia entre eles e´ igual a zero, caso contra´rio a distaˆncia e´ igual a distaˆncia de uma ponto
da reta 푟 ao plano 휋. Mostre que
dist(푟, 휋) =
⎧⎨
⎩
∣푎휋푥0 + 푏휋푦0 + 푐휋푧0 + 푑휋∣√
푎2휋 + 푏
2
휋 + 푐
2
휋
, se 푉 ⋅푁 = 0
0, caso contra´rio
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276 Retas e Planos
휋
푟
Figura 4.27: Reta e plano paralelos
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
4.2 ˆAngulos e Distaˆncias 277
Teste do Capı´tulo
1. Ache os pontos do plano 휋 : 푦 = 푥 que equ¨idistam dos pontos 퐴 = (1, 1, 0) e 퐵 = (0, 1, 1).
2. Determine 푚,푛 ∈ ℝ para que a reta (푥, 푦, 푧) = (푛, 2, 0) + 푡(2,푚,푚) esteja contida no plano
휋 : 푥− 3푦 + 푧 = 1.
3. (a) Encontre a equac¸a˜o do plano 휋 que passa pelos pontos 퐴 = (0, 0,−1), 퐵 = (0, 1, 0) e
퐶 = (1, 0, 1).
(b) Encontre a distaˆncia da origem ao plano 휋.
4. (a) Mostre que os planos 푥− 푦 = 0 e 푦 − 푧 = 1 se interceptam segundo uma reta 푟.
(b) Ache a equac¸a˜o do plano que passa pelo ponto 퐴 = (1, 0,−1) e e´ perpendicular a` reta 푟.
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Capı´tulo 5
Espac¸os ℝ푛
5.1 Independeˆncia Linear
Ja´ vimos que os vetores no plano sa˜o identificados com pares ordenados de nu´meros reais e
que vetores no espac¸o sa˜o identificados com ternos ordenados de nu´meros reais. Muito do que
estudamos sobre vetores no plano e no espac¸o pode ser estendido para 푛-u´plas de nu´meros reais,
em que 푛 pode ser um nu´mero inteiro positivo.
5.1.1 Os Espac¸os ℝ푛
278
5.1 Independeˆncia Linear 279
Definic¸a˜o 5.1. Para cada inteiro positivo 푛, o espac¸o (vetorial) ℝ푛 e´ definido pelo conjunto de todas
as 푛-u´plas ordenadas 푋 = (푥1, . . . , 푥푛) de nu´meros reais.
O conjunto ℝ1 e´ simplesmente o conjunto dos nu´meros reais. O conjunto ℝ2 e´ o conjunto dos
pares de nu´meros reais e o ℝ3 e´ o conjunto dos ternos de nu´meros reais.
No ℝ3 o terno de nu´meros (푥1, 푥2, 푥3) pode ser interpretado geometricamente de duas maneiras:
pode ser visto como um ponto, neste caso 푥1, 푥2 e 푥3 sa˜o as coordenadas do ponto (Figura 5.1),
ou como um vetor, neste caso 푥1, 푥2 e 푥3 sa˜o as componentes do vetor (Figura 5.2). Tambe´m
no ℝ푛 uma 푛-u´pla pode ser pensada como um vetor ou como um ponto. Por exemplo, a quintu´pla
푋 = (1,−2, 3, 5, 4) pode ser pensada como um ponto no ℝ5, quando consideramos 푋 como um
elemento do conjunto ℝ5, ou como um vetor do ℝ5, quando fazemos operac¸o˜es com 푋 , como as que
iremos definir adiante. Vamos chamar os elementos do ℝ푛 de pontos ou de vetores dependendo da
situac¸a˜o.
Dois vetores 푉 = (푣1, . . . , 푣푛) e 푊 = (푤1, . . . , 푤푛) no ℝ푛 sa˜o considerados iguais se
푣1 = 푤1, . . . , 푣푛 = 푤푛. As operac¸o˜es de soma de vetores e multiplicac¸a˜o de vetor por escalar
no ℝ푛 sa˜o definidas de maneira ana´loga ao que fizemos no plano e no espac¸o.
Definic¸a˜o 5.2. (a) A soma de dois vetores 푉 = (푣1, . . . , 푣푛) e푊 = (푤1, . . . , 푤푛) deℝ푛 e´ definida
por
푉 +푊 = (푣1 + 푤1, . . . , 푣푛 + 푤푛); (5.1)
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
280 Espac¸os ℝ푛
x y
z
(푥, 푦, 푧)
푦푥
푧
Figura 5.1: Ponto (푥, 푦, 푧) ∈ ℝ3
x y
z
(푥, 푦, 푧)
푂
푦푥
푧
Figura 5.2: Vetor (푥, 푦, 푧) ∈ ℝ3
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.1 Independeˆncia Linear 281
(b) A multiplicac¸a˜o de um vetor 푉 = (푣1, . . . , 푣푛) do ℝ푛 por um escalar 훼 e´ definida por
훼 푉 = (훼 푣1, . . . , 훼 푣푛). (5.2)
O vetor nulo de ℝ푛 e´ denotado por 0¯ e e´ definido por 0¯ = (0, . . . , 0). Se 푉 = (푣1, . . . , 푣푛) e´ um
vetor do ℝ푛, enta˜o o sime´trico de 푉 e´ denotado por −푉 e e´ definido por −푉 = (−푣1, . . . ,−푣푛). A
diferenc¸a de dois vetores no ℝ푛 e´ definida por 푉 −푊 = 푉 + (−푊 ). Se 푉 e 푊 sa˜o vetores do ℝ푛
tais que 푊 = 훼푉 , para algum escalar 훼, enta˜o dizemos que 푊 e´ um mu´ltiplo escalar de 푉 .
Um vetor 푉 = (푣1, . . . , 푣푛) de ℝ푛 pode tambe´m ser escrito na notac¸a˜o matricial como uma matriz
linha ou como uma matriz coluna:
푉 =
⎡
⎢⎣ 푣1..
.
푣푛
⎤
⎥⎦ ou 푉 = [ 푣1 . . . 푣푛 ] .
Estas notac¸o˜es podem ser justificadas pelo fato de que as operac¸o˜es matriciais
푉 +푊 =
⎡
⎢⎣ 푣1..
.
푣푛
⎤
⎥⎦+
⎡
⎢⎣ 푤1..
.
푤푛
⎤
⎥⎦ =
⎡
⎢⎣ 푣1 + 푤1..
.
푣푛 + 푤푛
⎤
⎥⎦ , 훼푉 = 훼
⎡
⎢⎣ 푣1..
.
푣푛
⎤
⎥⎦ =
⎡
⎢⎣ 훼푣1..
.
훼푣푛
⎤
⎥⎦
ou
푉 +푊 =
[
푣1 . . . 푣푛
]
+
[
푤1 . . . 푤푛
]
=
[
푣1 + 푤1 . . . 푣푛 + 푤푛
]
,
훼푉 = 훼
[
푣1 . . . 푣푛
]
=
[
훼푣1 . . . 훼푣푛
]
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282 Espac¸os ℝ푛
produzem os mesmos resultados que as operac¸o˜es vetoriais
푉 +푊 = (푣1, . . . , 푣푛) + (푤1, . . . , 푤푛) = (푣1 + 푤1, . . . , 푣푛 + 푤푛)
훼푉 = 훼(푣1, . . . , 푣푛) = (훼푣1, . . . , 훼푣푛).
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.1 Independeˆncia Linear 283
No teorema seguinte enunciamos as propriedades mais importantes da soma de vetores e
multiplicac¸a˜o de vetores por escalar no ℝ푛.
Teorema 5.1. Sejam 푈 = (푢1, . . . , 푢푛), 푉 = (푣1, . . . , 푣푛) e 푊 = (푤1, . . . , 푤푛) vetores de ℝ푛 e 훼 e
훽 escalares. Sa˜o va´lidas as seguintes propriedades:
(a) 푈 + 푉 = 푉 + 푈 ;
(b) (푈 + 푉 ) +푊 = 푈 + (푉 +푊 );
(c) 푈 + 0¯ = 푈 ;
(d) 푈 + (−푈) = 0¯;
(e) 훼(훽푈) = (훼훽)푈 ;
(f) 훼(푈 + 푉 ) = 훼푈 + 훼푉 ;
(g) (훼 + 훽)푈 = 훼푈 + 훽푈 ;
(h) 1푈 = 푈 .
Demonstrac¸a˜o. Segue diretamente das propriedades da a´lgebra matricial (Teorema 1.1 na pa´gina
9). ■
O conceito de vetores pode ser generalizado ainda mais. Um conjunto na˜o vazio onde esta˜o
definidas as operac¸o˜es de soma e multiplicac¸a˜o por escalar e´ chamado espac¸o vetorial se satisfaz
as oito propriedades do Teorema 5.1 (ver por exemplo [31]).
5.1.2 Combinac¸a˜o Linear
Uma combinac¸a˜o linear de vetores 푉1, . . . , 푉푘, e´ simplesmente uma soma de mu´ltiplos escalares
de 푉1, . . . , 푉푘.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
284 Espac¸os ℝ푛
Definic¸a˜o 5.3. Um vetor 푉 ∈ ℝ푛 e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores 푉1, . . . , 푉푘 ∈ ℝ푛, se existem
escalares 푥1, . . . , 푥푘 que satisfazem a equac¸a˜o
푥1푉1 + 푥2푉2 + . . .+ 푥푘푉푘 = 푉 (5.3)
ou seja, se a equac¸a˜o vetorial (5.3) possui soluc¸a˜o. Neste caso, dizemos tambe´m que 푉 pode ser
escrito como uma combinac¸a˜o linear de 푉1, . . . , 푉푘.
Se 푘 = 1, enta˜o a equac¸a˜o (5.3) se reduz a 푥1푉1 = 푉 , ou seja, 푉 e´ uma combinac¸a˜o linear de
푉1 se, e somente se, 푉 e´ um mu´ltiplo escalar de 푉1.
Exemplo 5.1. Sejam 푉1 = (1, 0, 0) e 푉2 = (1, 1, 0), vetores de ℝ3. O vetor 푉 = (2, 3, 2) na˜o e´ uma
combinac¸a˜o linear de 푉1 e 푉2, pois a equac¸a˜o
푥1푉1 + 푥2푉2 = 푉, (5.4)
que pode ser escrita como
푥1(1, 0, 0) + 푥2(1, 1, 0) = (2, 3, 2),
ou ainda,
(푥1 + 푥2, 푥2, 0) = (2, 3, 2),
e´ equivalente ao sistema ⎧⎨
⎩
푥1 + 푥2 = 2
푥2 = 3
0 = 2
que na˜o possui soluc¸a˜o.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.1 Independeˆncia Linear 285
x y
z
푉1 = (1, 0, 0)
푉2 = (1, 1, 0)
푉 = (2, 3, 2)
Figura 5.3: O vetor 푉 na˜o e´ combinac¸a˜o
linear de 푉1 e 푉2
x y
z
푉1 = (1, 0, 0)
푉2 = (1, 1, 0)
푉 = (2, 3, 0)
Figura 5.4: O vetor 푉 e´ combinac¸a˜o linear
de 푉1 e 푉2
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286 Espac¸os ℝ푛
Exemplo 5.2. O vetor 푉 = (2, 3, 0) e´ uma combinac¸a˜o linear de 푉1 = (1, 0, 0) e 푉2 = (1, 1, 0), pois
a equac¸a˜o
푥1푉1 + 푥2푉2 = 푉 (5.5)
ou
푥1(1, 0, 0) + 푥2(1, 1, 0) = (2, 3, 0)
ou ainda,
(푥1 + 푥2, 푥2, 0) = (2, 3, 0),
e´ equivalente ao sistema ⎧⎨
⎩
푥1 + 푥2 = 2
푥2 = 3
0 = 0
que possui soluc¸a˜o.
Exemplo 5.3. O vetor nulo 0¯ e´ sempre combinac¸a˜o
linear de quaisquer vetores 푉1, . . . , 푉푘, pois
0¯ = 0푉1 + . . .+ 0푉푘.
Exemplo 5.4. Todo vetor 푉 = (푎, 푏, 푐) de ℝ3 e´ uma combinac¸a˜o linear de
푖⃗ = (1, 0, 0), 푗⃗ = (0, 1, 0) e 푘⃗ = (0, 0, 1).
Pois,
(푎, 푏, 푐) = 푎(1, 0, 0) + 푏(0, 1, 0) + 푐(0, 0, 1) = 푎⃗푖+ 푏⃗푗 + 푐푘⃗.
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5.1 Independeˆncia Linear 287
x y
z
푗⃗푖⃗
푘⃗
Figura 5.5: Vetores 푖⃗, 푗⃗ e 푘⃗
x y
z
푏⃗푗푎⃗푖
푐푘⃗
푉 = (푎, 푏, 푐)
Figura 5.6: 푉 = (푎, 푏, 푐) = 푎⃗푖+ 푏⃗푗 + 푐푘⃗
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288 Espac¸os ℝ푛
Para verificarmos se um vetor 퐵 e´ combinac¸a˜o linear de um conjunto de vetores {퐴1, . . . , 퐴푛},
escrevemos a equac¸a˜o vetorial
푥1퐴1 + 푥2퐴2 + . . .+ 푥푛퐴푛 = 퐵 , (5.6)
e verificamos se ela tem soluc¸a˜o. Se 퐴1, . . . , 퐴푛 sa˜o vetores deℝ푚, a equac¸a˜o (5.6), pode ser escrita
como
푥1
⎡
⎢⎣ 푎11..
.
푎푚1
⎤
⎥⎦+ . . .+ 푥푛
⎡
⎢⎣ 푎1푛..
.
푎푚푛
⎤
⎥⎦ =
⎡
⎢⎣ 푏1..
.
푏푚
⎤
⎥⎦
que e´ equivalente ao sistema linear
퐴푋 = 퐵,
em que as colunas de 퐴 sa˜o os vetores 퐴푖 escritos como matrizes colunas, ou seja, 퐴 = [퐴1 . . . 퐴푛]
e 푋 =
⎡
⎢⎣ 푥1..
.
푥푛
⎤
⎥⎦. Isto prova o seguinte resultado.
Proposic¸a˜o 5.2. Sejam 퐴 uma matriz 푚× 푛 e 퐵 uma matriz 푚× 1. O vetor 퐵 e´ combinac¸a˜o linear
das colunas de 퐴 se, e somente se, o sistema 퐴푋 = 퐵 tem soluc¸a˜o.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.1 Independeˆncia Linear 289
5.1.3 Independeˆncia Linear
Definic¸a˜o 5.4. Dizemos que um conjunto 풮 = {푉1, . . . , 푉푘} de vetores de ℝ푛 e´ linearmente inde-
pendente (L.I.) se a equac¸a˜o vetorial
푥1푉1 + 푥2푉2 + . . .+ 푥푘푉푘 = 0¯ (5.7)
so´ possui a soluc¸a˜o trivial, ou seja, se a u´nica forma de escrever o vetor nulo como combinac¸a˜o linear
dos vetores 푉1, . . . , 푉푘 e´ aquela em que todos os escalares sa˜o iguais a zero. Caso contra´rio, isto e´,
se (5.7) possui soluc¸a˜o na˜o trivial, dizemos que o conjunto 풮 e´ linearmente dependente (L.D.).
Exemplo 5.5. Um conjunto finito de vetores de ℝ푛 que conte´m o vetor nulo e´ L.D., pois se
{푉1, . . . , 푉푘} e´ tal que 푉푗 = 0¯, para algum 푗, enta˜o 0푉1+ . . .+0푉푗−1+1푉푗 +0푉푗+1+ . . .+0푉푘 = 0¯.
Exemplo 5.6. Um conjunto formado por um u´nico vetor, {푉1}, na˜o nulo e´ L.I., pois 푥1푉1 = 0¯ e´
equivalente a 푥1 = 0 ou 푉1 = 0¯. Mas, 푉1 ∕= 0¯; portanto 푥1 = 0.
Exemplo 5.7. Se {푉1, . . . , 푉푘} e´ um conjunto de vetores L.D., enta˜o qualquer conjunto finito de veto-
res que contenha 푉1, . . . , 푉푘 e´ tambe´m L.D., pois a equac¸a˜o
푥1푉1 + . . .+ 푥푘푉푘 + 0푊1 + . . .+ 0푊푚 = 0¯
admite soluc¸a˜o na˜o trivial.
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290 Espac¸os ℝ푛
Exemplo 5.8. Um conjunto formado por dois vetores de ℝ푛, {푉1, 푉2} e´ L.D. se, e somente se, a
equac¸a˜o 푥1푉1 + 푥2푉2 = 0¯ possui soluc¸a˜o na˜o trivial. Mas se isto acontece, enta˜o um dos escalares
푥1 ou 푥2 pode ser diferente de zero. Se 푥1 ∕= 0, enta˜o 푉1 = (−푥2/푥1)푉2 e se 푥2 ∕= 0, enta˜o
푉2 = (−푥1/푥2)푉1. Ou seja, se {푉1, 푉2} e´ L.D., enta˜o um dos vetores e´ mu´ltiplo escalar do outro.
Reciprocamente, se um vetor e´ mu´ltiplo escalar do outro, digamos se 푉1 = 훼푉2, enta˜o 1푉1 −
훼푉2 = 0¯ e assim eles sa˜o L.D. Portanto, podemos dizer que dois vetores sa˜o L.D. se, e somente se,
um e´ um mu´ltiplo escalar do outro.
Por exemplo, o conjunto 풮 = {푉1, 푉2}, em que 푉1 = (1, 0, 1) e 푉2 = (0, 1, 1), e´ L.I., pois um vetor
na˜o e´ mu´ltiplo escalar do outro.
Exemplo 5.9. Um conjunto formado por treˆs vetores de ℝ푛, {푉1, 푉2, 푉3} e´ L.D. se, e somente se,
a equac¸a˜o 푥1푉1 + 푥2푉2 + 푥3푉3 = 0¯ possui soluc¸a˜o na˜o trivial. Mas se isto acontece, enta˜o um
dos escalares 푥1 ou 푥2 ou 푥3 pode ser diferente de zero. Se 푥1 ∕= 0, enta˜o 푉1 = (−푥2/푥1)푉2 +
(−푥3/푥1)푉3, ou seja, o vetor 푉1 e´ combinac¸a˜o linear de 푉2 e 푉3. De forma semelhante, se 푥2 ∕= 0,
enta˜o 푉2 e´ combinac¸a˜o linear de 푉1 e 푉3 e se 푥3 ∕= 0, enta˜o 푉3 e´ combinac¸a˜o linear de 푉1 e 푉2. Assim,
se treˆs vetores 푉1, 푉2 e 푉3 do ℝ푛 sa˜o L.D., enta˜o um deles e´ uma combinac¸a˜o linear dos outros dois,
ou seja, em deles e´ uma soma de mu´ltiplos escalares dos outros dois. No ℝ3 temos que se treˆs
vetores na˜o nulos sa˜o L.D., enta˜o ou os treˆs sa˜o paralelos (Figura 5.9), ou dois deles sa˜o paralelos
(Figura 5.10) ou os treˆs sa˜o coplanares, isto e´, sa˜o paralelos a um mesmo plano (Figura 5.11).
Reciprocamente, se um vetor e´ uma combinac¸a˜o linear dos outros dois, digamos se 푉1 = 훼푉2 +
훽푉3, enta˜o 1푉1−훼푉2−훽푉3 = 0¯ e assim eles sa˜o L.D. Portanto, podemos dizer que treˆs vetores sa˜o
L.D. se, e somente se, um deles e´ uma combinac¸a˜o linear dos outros dois. No ℝ3, se treˆs vetores sa˜o
L.I., enta˜o eles na˜o sa˜o coplanares (Figura 5.12).
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.1 Independeˆncia Linear 291
x y
z
푉1
푉2
Figura 5.7: Dois vetores linearmente depen-
dentes
x y
z
푉1
푉2
Figura 5.8: Dois vetores linearmente inde-
pendentes
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292 Espac¸os ℝ푛
x y
z
푉1
푉2
푉3
Figura 5.9: Treˆs vetores linearmente depen-
dentes (paralelos)
x y
z
푉1
푉2푉3
Figura 5.10: Treˆs vetores linearmente de-
pendentes (dois paralelos)
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5.1 Independeˆncia Linear 293
x y
z
푉3
푉1
푉2
Figura 5.11: Treˆs vetores linearmente de-
pendentes (coplanares)
x y
z
푉3
푉1
푉2
Figura 5.12: Treˆs vetores linearmente inde-
pendentes
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294 Espac¸os ℝ푛
Exemplo 5.10. Vamos mostrar que os vetores 퐸1 = (1, 0, . . . , 0), 퐸2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , 퐸푛 =
(0, . . . , 0, 1) sa˜o L.I. em particular os vetores 푖⃗ = (1, 0, 0), 푗⃗ = (0, 1, 0) e 푘⃗ = (0, 0, 1) sa˜o L.I. A
equac¸a˜o
푥1퐸1 + . . .+ 푥푛퐸푛 = 0¯
pode ser escrita como
푥1(1, 0, . . . , 0) + . . .+ 푥푛(0, . . . , 0, 1) = (0, . . . , 0) .
Logo, (푥1, . . . , 푥푛) = (0, . . . , 0), que e´ equivalente ao sistema
푥1 = 0, . . . , 푥푛 = 0 .
Para descobrir se um conjunto de vetores {퐴1, . . . , 퐴푛} e´ L.I. precisamos saber se a equac¸a˜o
vetorial
푥1퐴1 + 푥2퐴2 + . . .+ 푥푛퐴푛 = 0¯ (5.8)
tem somente a soluc¸a˜o trivial. Se 퐴1, . . . , 퐴푛 sa˜o vetores de ℝ푚, a equac¸a˜o (5.8), pode ser escrita
como
푥1
⎡
⎢⎣ 푎11..
.
푎푚1
⎤
⎥⎦+ . . .+ 푥푛
⎡
⎢⎣ 푎1푛..
.
푎푚푛
⎤
⎥⎦ =
⎡
⎢⎣ 0..
.
0
⎤
⎥⎦
que e´ equivalente ao sistema linear homogeˆneo 퐴푋 = 0¯, em que as colunas de 퐴 sa˜o os vetores
퐴푖 escritos como matrizes colunas, ou seja, 퐴 = [퐴1 . . . 퐴푛] e 푋 =
⎡
⎢⎣ 푥1..
.
푥푛
⎤
⎥⎦. Isto prova o seguinte
resultado.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.1 Independeˆncia Linear 295
Proposic¸a˜o 5.3. Seja 퐴 uma matriz 푚× 푛.
(a) As colunas de 퐴 sa˜o linearmente independentes se, e somente se, o sistema 퐴푋 = 0¯ tem
somente a soluc¸a˜o trivial.
(b) Se 푚 = 푛, enta˜o as colunas de 퐴 sa˜o linearmente independentes se, e somente se,
det(퐴) ∕= 0.
Treˆs ou mais vetores no ℝ2, assim como quatro ou mais vetores no ℝ3 e mais de 푛 vetores no ℝ푛
sa˜o sempre L.D. Pois, nestes casos, o problema de verificar se eles sa˜o ou na˜o L.I. leva a um sistema
linear homogeˆneo com mais inco´gnitas do que equac¸o˜es, que pelo Teorema 1.6 na pa´gina 51 tem
sempre soluc¸a˜o na˜o trivial.
Corola´rio 5.4. Em ℝ푛 um conjunto com mais de 푛 vetores e´ L.D.
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296 Espac¸os ℝ푛
Exemplo 5.11. Considere os vetores 푉1 = (1, 0, 1), 푉2 = (0, 1, 1) e 푉3 = (1, 1, 1) de ℝ3. Para
sabermos se eles sa˜o L.I. ou L.D. escrevemos a equac¸a˜o
푥1푉1 + 푥2푉2 + 푥3푉3 = 0¯.
Esta equac¸a˜o vetorial e´ equivalente ao sistema linear 퐴푋 = 0¯, em que
퐴 = [푉1 푉2 푉3 ] =
⎡
⎣ 1 0 10 1 1
1 1 1
⎤
⎦ .
Escalonando a matriz [퐴 ∣ 0¯ ] podemos obter a sua forma escalonada reduzida
[푅 ∣0¯ ] =
⎡
⎣ 1 0 0 00 1 0 0
0 0 1 0
⎤
⎦ .
Concluı´mos, enta˜o que o sistema 퐴푋 = 0¯ possui somente a soluc¸a˜o trivial 푥1 = 푥2 = 푥3 = 0.
Portanto os vetores 푉1, 푉2 e 푉3 sa˜o L.I.
Exemplo 5.12. Sejam 푉1 = (1, 2, 5), 푉2 = (7,−1, 5) e 푉3 = (1,−1,−1) vetores de ℝ3. Para
sabermos se eles sa˜o L.I. ou L.D. escrevemos a equac¸a˜o
푥1푉1 + 푥2푉2 + 푥3푉3 = 0¯. (5.9)
Esta equac¸a˜o vetorial e´ equivalente ao sistema linear 퐴푋 = 0¯, em que
퐴 = [푉1 푉2 푉3 ] =
⎡
⎣ 1 7 12 −1 −1
5 5 −1
⎤
⎦ .
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.1 Independeˆncia Linear 297
A matriz [퐴 ∣ 0¯ ] e´ equivalente por linhas a` matriz escalonada reduzida
[푅 ∣ 0¯ ] =
⎡
⎣ 1 0 −2/5 00 1 1/5 0
0 0 0 0
⎤
⎦ . (5.10)
Assim a varia´vel 푥3 pode ser uma varia´vel livre que pode, portanto, assumir qualquer valor. Con-
cluı´mos que o sistema 퐴푋 = 0¯ e a equac¸a˜o vetorial (5.9) teˆm soluc¸a˜o na˜o trivial. Portanto, 푉1, 푉2 e
푉3 sa˜o L.D.
A expressa˜o “linearmente dependente” sugere que os vetores dependem uns dos outros em algum
sentido. O teorema seguinte mostra que este realmente e´ o caso.
Teorema 5.5. Um conjunto 풮={푉1, . . . , 푉푘} (푘 > 1) de vetores e´ linearmente dependente (L.D.) se,
e somente se, pelo menos um dos vetores, 푉푗 , for combinac¸a˜o linear dos outros vetores de 풮.
Demonstrac¸a˜o. Vamos dividir a demonstrac¸a˜o em duas partes:
(a) Se 푉푗 e´ uma combinac¸a˜o linear dos demais vetores do conjunto 풮, isto e´, se existem escalares
훼1, . . . , 훼푗−1, 훼푗+1, . . . , 훼푘 tais que
훼1푉1 + . . .+ 훼푗−1푉푗−1 + 훼푗+1푉푗+1 + . . .+ 훼푘푉푘 = 푉푗,
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298 Espac¸os ℝ푛
enta˜o somando-se −푉푗 a ambos os membros ficamos com
훼1푉1 + . . .+ 훼푗−1푉푗−1 − 푉푗 + 훼푗+1푉푗+1 + . . .+ 훼푘푉푘 = 0¯. (5.11)
Isto implica que a equac¸a˜o 푥1푉1 + . . .+ 푥푘푉푘 = 0¯ admite soluc¸a˜o na˜o trivial, pois o coeficiente
de 푉푗 em (5.11) e´ −1. Portanto, 풮 e´ L.D.
(b) Se 풮 e´ L.D., enta˜o a equac¸a˜o
푥1푉1 + 푥2푉2 + . . .+ 푥푘푉푘 = 0¯ (5.12)
admite soluc¸a˜o na˜o trivial, o que significa que pelo menos um 푥푗 e´ diferente de zero. Enta˜o,
multiplicando-se a equac¸a˜o (5.12) por 1/푥푗 e subtraindo-se (푥1푥푗 )푉1 + . . .+ (
푥푘
푥푗
)푉푘 obtemos
푉푗 = −
(
푥1
푥푗
)
푉1 − . . .−
(
푥푗−1
푥푗
)
푉푗−1 −
(
푥푗+1
푥푗
)
푉푗+1 − . . .−
(
푥푘
푥푗
)
푉푘 .
Portanto, um vetor 푉푗 e´ combinac¸a˜o linear dos outros vetores de 풮. ■
Observac¸a˜o. Na demonstrac¸a˜o da segunda parte, vemos que o vetor, cujo escalar na combinac¸a˜o
linear, puder ser diferente de zero, pode ser escrito como combinac¸a˜o linear dos outros.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.1 Independeˆncia Linear 299
Exemplo 5.13. Sejam 푉1 = (1, 2, 5), 푉2 = (7,−1, 5) e 푉3 = (1,−1,−1) vetores do ℝ3. Vamos
escrever um dos vetores como combinac¸a˜o linear dos outros dois. Vimos no Exemplo 5.12 que estes
vetores sa˜o L.D. De (5.10) segue-se que
푥1푉1 + 푥2푉2 + 푥3푉3 = 0¯
se, e somente se, 푥1 = (2/5)훼, 푥2 = −(1/5)훼 e 푥3 = 훼, para todo 훼 ∈ ℝ. Substituindo-se os
valores de 푥1, 푥2 e 푥3 na equac¸a˜o acima, ficamos com
(2/5)훼푉1 − (1/5)훼푉2 + 훼푉3 = 0¯
Tomando-se 훼 = 1, obtemos
(2/5)푉1 − (1/5)푉2 + 푉3 = 0¯
multiplicando-se por −5 e somando-se 2푉1 + 5푉3, temos que 푉2 = 2푉1 + 5푉3. Observe que, neste
exemplo, qualquer dos vetores pode ser escrito como combinac¸a˜o linear dos outros. O pro´ximo exem-
plo mostra que isto nem sempre acontece.
Exemplo 5.14. Sejam 푉1 = (−2,−2, 2), 푉2 = (−3, 3/2, 0) e 푉3 = (−2, 1, 0). {푉1, 푉2, 푉3} e´ L.D.,
mas 푉1 na˜o e´ combinac¸a˜o linear de 푉2 e 푉3 (Figura 5.10 na pa´gina 292).
5.1.4 Posic¸o˜es Relativas de Retas e Planos
Posic¸o˜es Relativas de Duas Retas
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300 Espac¸os ℝ푛
Vamos estudar a posic¸a˜o relativa de duas retas, usando a dependeˆncia linear de vetores. Sejam
푟1 : (푥, 푦, 푧) = (푥1 + 푡푎1, 푦1 + 푡푏1, 푧1 + 푡푐1) e 푟2 : (푥, 푦, 푧) = (푥2 + 푡푎2, 푦2 + 푡푏2, 푧2 + 푡푐2) as
equac¸o˜es de duas retas.
(a) Se os vetores diretores 푉1 = (푎1, 푏1, 푐1) e 푉2 = (푎2, 푏2, 푐2) sa˜o L.D., enta˜o as retas sa˜o
paralelas ou coincidentes. Ale´m de paralelas, elas sa˜o coincidentes, se um ponto de uma
delas pertence a outra, por exemplo se 푃1 = (푥1, 푦1, 푧1) pertence a 푟2 ou se 푃2 = (푥2, 푦2, 푧2)
pertence a 푟1. Ou ainda,
(i) Se 푉1 e
−→
푃1푃2 ou 푉2 e
−→
푃1푃2 sa˜o L.D. (com 푉1 e 푉2 L.D.), enta˜o elas sa˜o coincidentes.
(ii) Se 푉1 e
−→
푃1푃2 ou 푉2 e
−→
푃1푃2 sa˜o L.I. (com 푉1 e 푉2 L.D.), enta˜o elas sa˜o paralelas distintas.
(b) Se os vetores diretores 푉1 = (푎1, 푏1, 푐1) e 푉2 = (푎2, 푏2, 푐2) sa˜o L.I. enta˜o as retas sa˜o
reversas ou concorrentes.
(i) Se
−→
푃1푃2, 푉1 e 푉2 sa˜o L.D. (com 푉1 e 푉2 L.I.), enta˜o as retas sa˜o concorrentes.
(ii) Se
−→
푃1푃2, 푉1 e 푉2 sa˜o L.I., enta˜o as retas sa˜o reversas (Figura 5.13).
Posic¸o˜es Relativas de Dois Planos
Vamos estudar a posic¸a˜o relativa dos dois planos usando a dependeˆncia linear de vetores. Sejam
휋1 : 푎1푥+ 푏1푦 + 푐1푧 + 푑1 = 0 e 휋2 : 푎2푥+ 푏2푦 + 푐2푧 + 푑2 = 0 as equac¸o˜es de dois planos.
(a) Se os vetores normais 푁1 = (푎1, 푏1, 푐1) e 푁2 = (푎2, 푏2, 푐2) sa˜o L.D., enta˜o os planos sa˜o
paralelos distintos ou coincidentes. Ale´m de paralelos, eles sa˜o coincidentes se, e somente se,
todo ponto que satisfaz a equac¸a˜o de um deles, satisfaz tambe´m a equac¸a˜o do outro. Ou ainda,
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.1 Independeˆncia Linear 301
(i) Se os vetores (푎1, 푏1, 푐1, 푑1) e (푎2, 푏2, 푐2, 푑2) sa˜o L.D., enta˜o as equac¸o˜es sa˜o proporcio-
nais e os planos sa˜o coincidentes.
(ii) Se os vetores (푎1, 푏1, 푐1, 푑1) e (푎2, 푏2, 푐2, 푑2) sa˜o L.I. (com 푁1 e 푁2 L.D.), enta˜o os planos
sa˜o paralelos distintos (Figura 5.15).
(b) Se os vetores normais 푁1 = (푎1, 푏1, 푐1) e 푁2 = (푎2, 푏2, 푐2) sa˜o L.I., enta˜o os planos sa˜o
concorrentes (Figura 5.14).
Posic¸o˜es Relativas de Reta e Plano
Vamos estudar a posic¸a˜o relativa de uma reta e um plano usando a dependeˆncia linear de vetores.
Sejam 푟 : (푥, 푦, 푧) = (푥1 + 푡푎1, 푦1 + 푡푏1, 푧1 + 푡푐1) a equac¸a˜o de uma reta e 휋 um plano que passa
pelo ponto 푃2 = (푥2, 푦2, 푧2) e e´ paralelo aos vetores 푉2 = (푎2, 푏2, 푐2) e 푉3 = (푎3, 푏3, 푐3).
(a) Se o vetor diretor da reta 푟, 푉1 = (푎1, 푏1, 푐1), os vetores paralelos ao plano 휋, 푉2 = (푎2, 푏2, 푐2)
e 푉3 = (푎3, 푏3, 푐3) sa˜o L.D., enta˜o a reta e o plano sa˜o paralelos ou a reta esta´ contida no
plano. A reta esta´ contida no plano se ale´m dos vetores 푉1, 푉2 e 푉3 forem L.D., um ponto da
reta pertence ao plano, por exemplo, se 푃1 = (푥1, 푦1, 푧1) pertence a 휋. Ou ainda,
(i) Se 푉1 = (푎1, 푏1, 푐1), 푉2 = (푎2, 푏2, 푐2) e 푉3 = (푎3, 푏3, 푐3) sa˜o L.D. e 푉2 = (푎2, 푏2, 푐2),
푉3 = (푎3, 푏3, 푐3) e
−→
푃1푃2 tambe´m sa˜o L.D., enta˜o a reta esta´ contida no plano.
(ii) Se 푉1 = (푎1, 푏1, 푐1), 푉2 = (푎2, 푏2, 푐2), 푉3 = (푎3, 푏3, 푐3) sa˜o L.D., mas 푉2 = (푎2, 푏2, 푐2),
푉3 = (푎3, 푏3, 푐3) e
−→
푃1푃2 sa˜o L.I., enta˜o a reta e´ paralela ao plano, mas na˜o esta´ contida
nele.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
302 Espac¸os ℝ푛
(b) Se 푉1 = (푎1, 푏1, 푐1), 푉2 = (푎2, 푏2, 푐2), 푉3 = (푎3, 푏3, 푐3) sa˜o L.I., enta˜o a reta e´ concorrente ao
plano.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.1 Independeˆncia Linear 303
Exercı´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 562)
5.1.1. Quais dos seguintes vetores sa˜o combinac¸a˜o linear de 푉1 = (5,−3, 1), 푉2 = (0, 4, 3) e
푉3 = (−10, 18, 7)?
(a) (10,−2, 5);
(b) (10, 2, 8);
(c) (−2,−1, 1);
(d) (−1, 2, 3).
5.1.2. Os vetores 푉1
= (5,−3, 1), 푉2 = (0, 4, 3) e 푉3 = (−10, 18, 7) do exercı´cio anterior sa˜o L.D.
ou L.I.? Caso sejam L.D. escreva um deles como combinac¸a˜o linear dos outros.
5.1.3. Quais dos seguintes conjuntos de vetores sa˜o linearmente dependentes?
(a) {(1, 1, 2), (1, 0, 0), (4, 6, 12)};
(b) {(1,−2, 3), (−2, 4,−6)};
(c) {(1, 1, 1), (2, 3, 1), (3, 1, 2)};
(d) {(4, 2,−1), (6, 5,−5), (2,−1, 3)}.
5.1.4. Para quais valores de 휆 o conjunto de vetores {(3, 1, 0), (휆2 + 2, 2, 0)} e´ L.D.?
5.1.5. Suponha que {푉1, 푉2, 푉3} e´ um conjunto linearmente independente de vetores de ℝ푛. Res-
ponda se {푊1,푊2,푊3} e´ linearmente dependente ou independente nos seguintes casos:
(a) 푊1 = 푉1 + 푉2, 푊2 = 푉1 + 푉3 e 푊3 = 푉2 + 푉3;
(b) 푊1 = 푉1, 푊2 = 푉1 + 푉3 e 푊3 = 푉1 + 푉2 + 푉3.
5.1.6. Sejam 푟1 : (푥, 푦, 푧) = (1 + 2푡, 푡, 2 + 3푡) e 푟2 : (푥, 푦, 푧) = (푡, 1 +푚푡,−1 + 2푚푡) duas retas.
(a) Determine 푚 para que as retas sejam coplanares (na˜o sejam reversas).
(b) Para o valor de 푚 encontrado, determine a posic¸a˜o relativa entre 푟1 e 푟2.
(c) Determine a equac¸a˜o do plano determinado por 푟1 e 푟2.
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304 Espac¸os ℝ푛
5.1.7. Sejam a reta 푟 : (푥, 푦, 푧) = (1, 1, 1) + (2푡,푚푡, 푡) e o plano paralelo aos vetores 푉1 = (1, 2, 0)
e 푉2 = (1, 0, 1) passando pela origem. Determine o valor de 푚 para que a reta seja paralela
ao plano. Para o valor de 푚 encontrado a reta esta´ contida no plano?
Exercı´cio usando o MATLABⓇ
5.1.8. (a) Defina os vetores V1=[1;2;3], V2=[3;4;5] e V3=[5;6;7]. Defina o vetor aleato´rio
V=randi(3,1). Verifique se V e´ combinac¸a˜o linear de V1, V2 e V3.
(b) Defina a matriz aleato´ria M=randi(3,5). Verifique se os vetores definidos pelas colunas
de M sa˜o combinac¸a˜o linear de V1, V2 e V3. Tente explicar o resultado.
(c) Verifique se V1, V2 e V3 sa˜o linearmente independentes. Se eles forem linearmente de-
pendentes, escreva um deles como combinac¸a˜o linear dos outros e verifique o resultado.
Exercı´cios Teo´ricos
5.1.9. Seja 퐴 uma matriz 푛 × 푛. Mostre que det(퐴) = 0 se, e somente se, uma de suas colunas e´
combinac¸a˜o linear das outras.
5.1.10. Suponha que {푉1, 푉2, . . . , 푉푛} e´ um conjunto de vetores deℝ푛 linearmente independente. Mos-
tre que se 퐴 e´ uma matriz 푛 × 푛 na˜o singular, enta˜o {퐴푉1, 퐴푉2, . . . , 퐴푉푛} tambe´m e´ um
conjunto linearmente independente.
5.1.11. Se os vetores na˜o nulos 푈 , 푉 e 푊 sa˜o L.D., enta˜o 푊 e´ uma combinac¸a˜o linear de 푈 e 푉 ?
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.1 Independeˆncia Linear 305
푟2
푟1
푉2
푉1
푉1 × 푉2
푃2
푃1
Figura 5.13: Duas retas reversas
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306 Espac¸os ℝ푛
휋1
휋2
Figura 5.14: Dois planos que se interceptam
segundo uma reta
휋1
휋2
Figura 5.15: Dois planos paralelos
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5.1 Independeˆncia Linear 307
휋
푟
Figura 5.16: Reta e plano concorrentes
휋
푟
Figura 5.17: Reta e plano paralelos
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308 Espac¸os ℝ푛
5.2 Subespac¸os, Base e Dimensa˜o
Sejam 퐴 uma matriz 푚×푛 e핎 ⊆ ℝ푛 o conjunto soluc¸a˜o do sistema linear homogeˆneo 퐴푋 = 0¯.
Ja´ vimos na Proposic¸a˜o 1.7 na pa´gina 52 que o conjunto핎 satisfaz as seguintes propriedades:
(a) Se 푋 e 푌 pertencem a핎, enta˜o 푋 + 푌 tambe´m pertence a핎.
(b) Se 푋 pertence a핎, enta˜o 훼푋 tambe´m pertence a핎 para todo escalar 훼.
Revise como foi feita a demonstrac¸a˜o dos itens (a) e (b) acima na Proposic¸a˜o 1.7 na pa´gina 52.
Assim, se 푋 e 푌 sa˜o soluc¸o˜es de um sistema homogeˆneo, enta˜o 푋 + 푌 e 훼푋 tambe´m o sa˜o.
Portanto, combinac¸o˜es lineares de soluc¸o˜es de 퐴푋 = 0¯ sa˜o tambe´m soluc¸o˜es de 퐴푋 = 0¯.
O conjunto soluc¸a˜o de um sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯ e´ chamado de espac¸o soluc¸a˜o do
sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯. Ele se comporta como se fosse um espac¸o, no sentido de que
fazendo soma de vetores do conjunto ou multiplicando vetores do conjunto por escalar na˜o saı´mos
dele.
Um subconjunto na˜o vazio de ℝ푛 que satisfaz as propriedades (a) e (b) acima e´ chamado de
subespac¸o de ℝ푛. Com relac¸a˜o as operac¸o˜es de soma e multiplicac¸a˜o por escalar podemos “viver”
nele sem termos que sair. Assim o espac¸o soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯ e´ um subespac¸o
de ℝ푛. Vale tambe´m a recı´proca, todo subespac¸o e´ o espac¸o soluc¸a˜o de um sistema homogeˆneo
(Exercı´cio 5.2.18 na pa´gina 331).
Exemplo 5.15. Os exemplos mais triviais de subespac¸os de ℝ푛 sa˜o o subespac¸o formado somente
pelo vetor nulo,핎 = {0¯} e핎 = ℝ푛. Mas cuidado, o ℝ2 na˜o e´ subespac¸o de ℝ3, pois o ℝ2 (conjunto
de pares de nu´meros reais) na˜o e´ um subconjunto do ℝ3 (conjunto de ternos de nu´meros reais). O
plano핎 = {(푥, 푦, 푧) ∈ ℝ3 ∣ 푧 = 0} e´ um subespac¸o de ℝ3 mas ele na˜o e´ o ℝ2.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.2 Subespac¸os Base e Dimensa˜o 309
x y
z
푋1
푋2
푋1+푋2
Figura 5.18: Soma de vetores do plano
푎푥+ 푏푦 + 푐푧 = 0
x y
z
푋
훼푋
Figura 5.19: Multiplicac¸a˜o de vetor por es-
calar do plano 푎푥+ 푏푦 + 푐푧 = 0
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310 Espac¸os ℝ푛
x y
z
푋1
푋2
푋1+푋2
Figura 5.20: Soma de vetores da reta
(푥, 푦, 푧) = (푎푡, 푏푡, 푐푡)
x y
z
푋
훼푋
Figura 5.21: Multiplicac¸a˜o de vetor por es-
calar da reta (푥, 푦, 푧) = (푎푡, 푏푡, 푐푡)
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.2 Subespac¸os Base e Dimensa˜o 311
Exemplo 5.16. Considere o sistema linear⎧⎨
⎩
푎1푥 + 푏1푦 + 푐1푧 = 0
푎2푥 + 푏2푦 + 푐2푧 = 0
푎3푥 + 푏3푦 + 푐3푧 = 0
Cada equac¸a˜o deste sistema e´ representada por um plano que passa pela origem. O conjunto soluc¸a˜o
e´ um subespac¸o de ℝ3 e e´ a intersec¸a˜o dos planos definidos pelas equac¸o˜es, podendo ser:
(a) Somente um ponto que e´ a origem.
(b) Uma reta que passa pela origem.
(c) Um plano que passa pela origem.
Vamos escrever toda soluc¸a˜o do sistema linear homogeˆneo 퐴푋 = 0¯ como uma combinac¸a˜o
linear de um nu´mero finito de vetores 푉1, . . . , 푉푘 que sa˜o tambe´m soluc¸a˜o do sistema.
Exemplo 5.17. Considere o sistema linear homogeˆneo 퐴푋 = 0¯, em que
퐴 =
⎡
⎣ 1 1 0 0 1−2 −2 1 −1 −1
1 1 −1 1 0
⎤
⎦ .
Escalonando a matriz aumentada do sistema acima, obtemos a matriz escalonada reduzida⎡
⎣ 1 1 0 0 1 00 0 1 −1 1 0
0 0 0 0 0 0
⎤
⎦ .
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
312 Espac¸os ℝ푛
E assim a soluc¸a˜o geral do sistema pode ser escrita como
푥1 = −훼− 훾, 푥2 = 훾, 푥3 = −훼 + 훽, 푥4 = 훽 푥5 = 훼
para todos os valores de 훼, 훽, 훾 ∈ ℝ, ou seja, o conjunto soluc¸a˜o do sistema 퐴푋 = 0¯ e´
핎 = {(푥1, 푥2, 푥3, 푥4, 푥5) = (−훼− 훾, 훾,−훼 + 훽, 훽, 훼) ∣ 훼, 훽, 훾 ∈ ℝ} .
Agora, um elemento qualquer de핎 pode ser escrito como uma combinac¸a˜o linear de vetores de핎:
(−훼− 훾, 훾,−훼 + 훽, 훽, 훼) = (−훼, 0,−훼, 0, 훼) + (0, 0, 훽, 훽, 0) + (−훾, 훾, 0, 0, 0)
= 훼(−1, 0,−1, 0, 1) + 훽(0, 0, 1, 1, 0) + 훾(−1, 1, 0, 0, 0)
Assim, todo vetor de핎 pode ser escrito como combinac¸a˜o linear dos vetores 푉1 = (−1, 0,−1, 0, 1),
푉2 = (0, 0, 1, 1, 0) e 푉3 = (−1, 1, 0, 0, 0) pertencentes a핎 (푉1 e´ obtido fazendo-se 훼 = 1 e 훽 = 훾 =
0, 푉2 fazendo-se 훼 = 훾 = 0 e 훽 = 1 e 푉3 fazendo-se 훼 = 훽 = 0 e 훾 = 1).
Neste caso dizemos que 푉1 = (−1, 0,−1, 0, 1), 푉2 = (0, 0, 1, 1, 0) e 푉3 = (−1, 1, 0, 0, 0) geram
o subespac¸o핎. Em geral temos a seguinte definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 5.5. Seja 핎 um subespac¸o de ℝ푛 (por exemplo, o espac¸o soluc¸a˜o de um sistema linear
homogeˆneo 퐴푋 = 0¯). Dizemos que os vetores 푉1, . . . , 푉푘 pertencentes a 핎, geram 핎 ou que
{푉1, . . . , 푉푘} e´ um conjunto de geradores de 핎, se qualquer vetor de 핎 e´ combinac¸a˜o linear de
푉1, . . . , 푉푘. Dizemos tambe´m que핎 e´ o subespac¸o gerado por 푉1, . . . , 푉푘.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.2 Subespac¸os Base e Dimensa˜o 313
Uma questa˜o importante e´ encontrar o maior nu´mero possı´vel de vetores linearmente indepen-
dentes em um subespac¸o. O resultado a seguir responde a esta questa˜o.
Teorema 5.6. Seja 핎 subespac¸o de ℝ푛 (por exemplo, o espac¸o soluc¸a˜o de um sistema linear ho-
mogeˆneo 퐴푋 = 0¯). Seja {푉1, . . . , 푉푚} um conjunto de vetores de핎
(a) linearmente independente (L.I.),
(b) que gera핎 (ou seja, todo vetor 푋 de핎 e´ combinac¸a˜o linear de 푉1, . . . , 푉푚).
Enta˜o, um conjunto com mais de 푚 vetores em핎 e´ linearmente dependente (L.D.).
Demonstrac¸a˜o. Seja {푊1, . . . ,푊푝} um subconjunto de 핎, com 푝 > 푚. Vamos mostrar que
{푊1, . . . ,푊푝} e´ L.D. Vamos considerar a combinac¸a˜o linear nula de 푊1, . . . ,푊푝
푥1푊1 + 푥2푊2 + . . .+ 푥푝푊푝 = 0¯. (5.13)
Como qualquer elemento de핎 pode ser escrito como combinac¸a˜o linear de 푉1, . . . , 푉푚, em particular,
푊푗 = 푏1푗푉1 + 푏2푗푉2 + . . .+ 푏푚푗푉푚 =
푚∑
푖=1
푏푖푗푉푖 , para 푗 = 1, . . . , 푝 . (5.14)
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314 Espac¸os ℝ푛
Assim, substituindo (5.14) em (5.13) e agrupando os termos que conte´m 푉푖, para 푖 = 1, . . . ,푚,
obtemos
(푏11푥1 + . . .+ 푏1푝푥푝)푉1 + . . .+ (푏푚1푥1 + . . .+ 푏푚푝푥푝)푉푚 = 0¯. (5.15)
Como {푉1, . . . , 푉푚} e´ L.I., enta˜o os escalares na equac¸a˜o (5.15) sa˜o iguais a zero. Isto leva ao
sistema linear
퐵푋 = 0¯,
em que퐵 = (푏푖푗)푚×푝. Mas, este e´ um sistema homogeˆneo que tem mais inco´gnitas do que equac¸o˜es,
portanto possui soluc¸a˜o na˜o trivial, (Teorema 1.6 na pa´gina 51), como querı´amos provar. ■
O resultado anterior mostra que se podemos escrever todo elemento do subespac¸o핎 como uma
combinac¸a˜o linear de vetores 푉1, . . . , 푉푚 L.I. pertencentes a 핎, enta˜o 푚 e´ o maior nu´mero possı´vel
de vetores L.I. em핎.
No Exemplo 5.17 os vetores 푉1 = (−1, 0,−1, 0, 1), 푉2 = (0, 0, 1, 1, 0) e 푉3 = (−1, 1, 0, 0, 0)
geram핎. Ale´m disso de
훼(−1, 0,−1, 0, 1) + 훽(0, 0, 1, 1, 0) + 훾(−1, 1, 0, 0, 0) = (−훼− 훾, 훾,−훼 + 훽, 훽, 훼)
segue-se que 푉1, 푉2 e 푉3 sa˜o L.I. (por que?)
Assim pelo Teorema 5.6 na˜o podemos obter um nu´mero maior de vetores em 핎 L.I. Neste caso
dizemos que {푉1, 푉2, 푉3} e´ uma base de핎. Em geral temos a seguinte definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 5.6. Seja 핎 um subespac¸o de ℝ푛 (por exemplo, o espac¸o soluc¸a˜o de um sistema linear
homogeˆneo 퐴푋 = 0¯). Dizemos que um subconjunto {푉1, . . . , 푉푘} de핎 e´ uma base de핎, se
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.2 Subespac¸os Base e Dimensa˜o 315
(a) {푉1, . . . , 푉푘} e´ um conjunto de geradores de핎 (ou seja, todo vetor de핎 e´ combinac¸a˜o linear
de 푉1, . . . , 푉푘) e
(b) {푉1, . . . , 푉푘} e´ L.I.
Exemplo 5.18. Os vetores 퐸1 = (1, 0, . . . , 0), 퐸2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , 퐸푛 = (0, . . . , 0, 1) formam
uma base do ℝ푛. Pois, um vetor qualquer do ℝ푛 e´ da forma 푉 = (푎1, . . . , 푎푛) e pode ser escrito
como uma soma de vetores, sendo um vetor para cada paraˆmetro e cada vetor dependendo apenas
de um paraˆmetro, obtendo
푉 = (푎1, . . . , 푎푛) = (푎1, 0, . . . , 0) + (0, 푎2, 0, . . . , 0) + . . .+ (0, . . . , 0, 푎푛)
= 푎1(1, 0, . . . , 0) + 푎2(0, 1, 0, . . . , 0) + . . .+ 푎푛(0, . . . , 0, 1).
Assim, os vetores 퐸1 = (1, 0, . . . , 0), 퐸2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , 퐸푛 = (0, . . . , 0, 1) geram o ℝ푛.
Vimos no Exemplo 5.10 na pa´gina 294 que 퐸1, 퐸2, . . .퐸푛 sa˜o L.I. Esses vetores formam a chamada
base canoˆnica de ℝ푛. No caso do ℝ3, 퐸1 = 푖⃗, 퐸2 = 푗⃗ e 퐸3 = 푘⃗.
Exemplo 5.19. Seja 핎 = {(푥, 푦, 푧) = 푡(푎, 푏, 푐) ∣ 푡 ∈ ℝ} uma reta que passa pela origem. Como o
vetor diretor 푉 = (푎, 푏, 푐) e´ na˜o nulo e gera a reta, enta˜o {푉 } e´ uma base de핎.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
316 Espac¸os ℝ푛
x y
z
푉2
푉1
Figura 5.22: 푉1 e 푉2 que formam uma base
para o plano
x y
z
푉 = (푎, 푏, 푐)
Figura 5.23: Vetor 푉 = (푎, 푏, 푐) que e´ base
para a reta (푥, 푦, 푧) = 푡(푎, 푏, 푐)
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.2 Subespac¸os Base e Dimensa˜o 317
Exemplo 5.20. Seja 핎 = {(푥, 푦, 푧) ∈ ℝ3 ∣ 푎푥 + 푏푦 + 푐푧 = 0} um plano que passa pela origem.
Vamos supor que 푎 ∕= 0. Um ponto (푥, 푦, 푧) satisfaz a equac¸a˜o 푎푥+ 푏푦 + 푐푧 = 0 se, e somente se,
푧 = 훼, 푦 = 훽, 푥 = −1
푎
(푐훼 + 푏훽), para todos 훼, 훽 ∈ ℝ.
Assim, o plano 핎 pode ser descrito como 핎 = {(− 푐
푎
훼 − 푏
푎
훽, 훽, 훼) ∣ 훼, 훽 ∈ ℝ}. Assim, todo vetor
de핎 pode ser escrito como uma soma de vetores, sendo um para cada paraˆmetro, obtendo
(− 푐
푎
훼− 푏
푎
훽, 훽, 훼) = (− 푐
푎
훼, 0, 훼) + (− 푏
푎
훽, 훽, 0) = 훼(− 푐
푎
, 0, 1) + 훽(− 푏
푎
, 1, 0).
Assim, todo vetor de핎 pode ser escrito como uma combinac¸a˜o linear dos vetores 푉1 = (− 푐푎 , 0, 1) e
푉2 = (− 푏푎 , 1, 0) pertencentes a 핎 (푉1 e´ obtido fazendo-se 훼 = 1 e 훽 = 0 e 푉2, fazendo-se 훼 = 0
e 훽 = 1). Portanto, 푉1 = (− 푐푎 , 0, 1) e 푉2 = (− 푏푎 , 1, 0) geram o plano 핎. Como 푉1 e 푉2 sa˜o L.I.,
pois um na˜o e´ mu´ltiplo escalar do outro, enta˜o {푉1, 푉2} e´ uma base do plano 핎. Deixamos como
exercı´cio para o leitor encontrar uma base de핎 para o caso em que 푏 ∕= 0 e tambe´m para o caso em
que 푐 ∕= 0.
Segue do Teorema 5.6 na pa´gina 313 que se핎 ∕= {0¯} e´ um subespac¸o, enta˜o qualquer base de
핎 tem o mesmo nu´mero de elementos e este e´ o maior nu´mero de vetores L.I. que podemos ter em
핎. O nu´mero de elementos de qualquer uma das bases de 핎 e´ chamado de dimensa˜o de 핎. Se
핎 = {0¯} dizemos que핎 tem dimensa˜o igual a 0.
Exemplo 5.21. A dimensa˜o do ℝ푛 e´ 푛, pois como foi mostrado no Exemplo 5.18 na pa´gina 315,
퐸1 = (1, 0, . . . , 0), 퐸2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , 퐸푛 = (0, . . . , 0, 1) formam uma base do ℝ푛.
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318 Espac¸os ℝ푛
Exemplo 5.22. Pelo Exemplo 5.19 na pa´gina 315 uma reta que passa pela origem tem dimensa˜o 1 e
pelo Exemplo 5.20 na pa´gina 317 um plano que passa pela origem tem dimensa˜o 2.
Vamos mostrar a seguir que se a dimensa˜o de um subespac¸o 핎 e´ 푚 > 0, enta˜o basta conse-
guirmos 푚 vetores L.I. em핎, que teremos uma base.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.2 Subespac¸os Base e Dimensa˜o 319
Teorema 5.7. Seja핎 um subespac¸o de dimensa˜o 푚 > 0. Se 푚 vetores, 푉1, . . . , 푉푚 ∈핎, sa˜o L.I.,
enta˜o eles geram o subespac¸o핎 e portanto formam uma base de핎.
Demonstrac¸a˜o. Sejam 푉1, . . . , 푉푚 vetores L.I. e seja 푉 um vetor qualquer do subespac¸o핎. Vamos
mostrar que 푉 e´ combinac¸a˜o linear de 푉1, . . . , 푉푚. Considere a equac¸a˜o vetorial
푥1푉1 + 푥2푉2 + . . .+ 푥푚푉푚 + 푥푚+1푉 = 0¯ (5.16)
Pelo Teorema 5.6 na pa´gina 313, 푉1, . . . , 푉푚, 푉 sa˜o L.D., pois sa˜o 푚 + 1 vetores em um subespac¸o
de dimensa˜o 푚. Enta˜o a equac¸a˜o (5.16) admite soluc¸a˜o na˜o trivial, ou seja, pelo menos um 푥푖 ∕= 0.
Mas, 푥푚+1 ∕= 0, pois caso contra´rio, 푉1, . . . , 푉푚 seriam L.D. Enta˜o, multiplicando-se a equac¸a˜o (5.16)
por 1/푥푚+1 e subtraindo (푥1/푥푚+1)푉1 + (푥2/푥푚+1)푉2 + . . .+ (푥푚/푥푚+1)푉푚, obtemos
푉 = −
(
푥1
푥푚+1
)
푉1 − . . .−
(
푥푚
푥푚+1
)
푉푚 .
■
Dos resultados anteriores, vemos que se a dimensa˜o de um subespac¸o,핎, e´ 푚 > 0, enta˜o basta
conseguirmos 푚 vetores L.I. em핎, que teremos uma base (Teorema 5.7) e na˜o podemos conseguir
mais do que 푚 vetores L.I. (Teorema 5.6 na pa´gina 313).
Exemplo 5.23. Do Teorema 5.7 segue-se que 푛 vetores L.I. do ℝ푛 formam uma base de ℝ푛. Por
exemplo, 3 vetores L.I. do ℝ3 formam uma base de ℝ3.
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320 Espac¸os ℝ푛
Figura 5.24: O subespac¸o핎 do Exemplo 5.24
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.2 Subespac¸os Base e Dimensa˜o 321
Figura 5.25: O subespac¸o 핍 do Exemplo 5.24
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322 Espac¸os ℝ푛
Figura 5.26:
Os subespac¸os핎,핍 e 핍 ∩핎 do Exemplo 5.24
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.2 Subespac¸os Base e Dimensa˜o 323
Exemplo 5.24. Sejam핎 o plano 푥+ 푦+ 푧 = 0 e 핍 o plano 4푥− 2푦+ 푧 = 0. Assim, o plano핎 tem
vetor normal 푁1 = (1, 1, 1) e o plano 핍 tem vetor normal 푁2 = (4,−2, 1). A intersec¸a˜o 핎 ∩ 핍 e´ a
reta cujo vetor diretor e´ 푉 = 푁1×푁2 = (3, 3,−6) (revise o Exemplo 4.7 na pa´gina 239) e que passa
pela origem. Assim, a reta que e´ a intersec¸a˜o, 핍∩핎, tem equac¸a˜o (푥, 푦, 푧) = 푡(3, 3,−6), para todo
푡 ∈ ℝ. Portanto, o vetor 푉 = (3, 3,−6) gera a intersec¸a˜o 핍 ∩핎. Como um vetor na˜o nulo e´ L.I. o
conjunto {푉 = (3, 3,−6)} e´ uma base da reta que e´ a intersec¸a˜o 핍 ∩핎.
Alternativamente, podemos encontrar as equac¸o˜es parame´tricas da reta 핍 ∩핎, intersec¸a˜o dos
planos determinando a soluc¸a˜o geral do sistema (5.17)
핎 : 푥+ 푦 + 푧 = 0 ,
핍 : 4푥− 2푦 + 푧 = 0 . (5.17)
Para isto devemos escalonar a matriz do sistema (5.17):[
1 1 1 0
4 −2 1 0
]
Precisamos “zerar” o outro elemento da 1a. coluna, que e´ a coluna do pivoˆ, para isto, adicionamos a`
2a. linha, −4 vezes a 1a. linha.
−4∗1a. linha + 2a. linha −→ 2a. linha
[
1 1 1 0
0 −6 −3 0
]
Agora, ja´ podemos obter facilmente a soluc¸a˜o geral do sistema dado, ja´ que ele e´ equivalente ao
sistema {
푥 + 푦 + 푧 = 0
−6푦 − 3푧 = 0
A varia´vel 푧 e´ uma varia´vel livre. Podemos dar a ela um valor arbitra´rio, digamos 푡, para 푡 ∈ ℝ
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324 Espac¸os ℝ푛
qualquer. Assim, a soluc¸a˜o geral do sistema (5.17) e´⎧⎨
⎩
푥 = −1
2
푡
푦 = −1
2
푡
푧 = 푡
para todo 푡 ∈ ℝ.
A reta que e´ a intersec¸a˜o, 핍∩핎, tem equac¸a˜o (푥, 푦, 푧) = 푡(−1/2,−1/2, 1), para todo 푡 ∈ ℝ (revise
o Exemplo 4.7 na pa´gina 239). Portanto, o vetor 푉 = (−1/2,−1/2, 1) gera a intersec¸a˜o 핍 ∩핎.
Como um vetor na˜o nulo e´ L.I. o conjunto {푉 = (−1/2,−1/2, 1)} e´ uma base do subespac¸o que e´ a
reta intersec¸a˜o de 핍 com핎.
Observac¸a˜o. Como no exemplo anterior, em geral, o espac¸o soluc¸a˜o de um sistema linear ho-
mogeˆneo pode ser visto como uma intersec¸a˜o de subespac¸os que sa˜o as soluc¸o˜es de sistemas
formados por subconjuntos de equac¸o˜es do sistema inicial.
Exemplo 5.25. Considere o subespac¸o핎 = {(푎+ 푐, 푏+ 푐, 푎+ 푏+ 2푐) ∣ 푎, 푏, 푐 ∈ ℝ} de ℝ3. Vamos
encontrar um conjunto de geradores e uma base para핎.
Qualquer elemento 푉 de 핎 pode ser escrito como uma soma de vetores, sendo um vetor para
cada paraˆmetro e cada vetor dependendo apenas de um paraˆmetro, obtendo
푉 = (푎+ 푐, 푏+ 푐, 푎+ 푏+ 2푐) = (푎, 0, 푎) + (0, 푏, 푏) + (푐, 푐, 2푐)
= 푎(1, 0, 1) + 푏(0, 1, 1) + 푐(1, 1, 2).
Logo, definindo 푉1 = (1, 0, 1), 푉2 = (0, 1, 1) e 푉3 = (1, 1, 2), temos que {푉1, 푉2, 푉3} gera 핎. Para
sabermos se {푉1, 푉2, 푉3} e´ base de 핎, precisamos verificar se 푉1, 푉2 e 푉3 sa˜o L.I. Para isto temos
que saber se a equac¸a˜o vetorial
푥푉1 + 푦푉2 + 푧푉3 = 0¯ (5.18)
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.2 Subespac¸os Base e Dimensa˜o 325
ou equivalentemente,
퐴푋 = 0¯, em que 퐴 = [ 푉1 푉2 푉3 ]
so´ possui a soluc¸a˜o trivial. Escalonando a matriz 퐴, obtemos
푅 =
⎡
⎣ 1 0 10 1 1
0 0 0
⎤
⎦ .
Logo 5.18 tem soluc¸a˜o na˜o trivial. Assim os vetores 푉1, 푉2 e 푉3 sa˜o L.D. A soluc¸a˜o de (5.18) e´ dada
por 푥 = −훼, 푦 = −훼 e 푧 = 훼, para todo 훼 ∈ ℝ. Substituindo-se esta soluc¸a˜o em (5.18) obtemos
−훼푉1 − 훼푉2 + 훼푉3 = 0¯
Tomando-se 훼 = 1 obtemos 푉3 = 푉2 + 푉1. Assim o vetor 푉3 pode ser descartado na gerac¸a˜o de
핎, pois ele e´ combinac¸a˜o linear dos outros dois. Logo, apenas 푉1 e 푉2 sa˜o suficientes para gerar핎.
Como ale´m disso, os vetores 푉1 e 푉2 sa˜o tais que um na˜o e´ mu´ltiplo escalar do outro, enta˜o eles sa˜o
L.I. e portanto {푉1, 푉2} e´ uma base de 핎. Observe que a mesma relac¸a˜o que vale entre as colunas
de 푅 vale entre as colunas de 퐴 (por que?).
Exemplo 5.26. Considere os vetores 푉1 = (−1, 1, 0,−3) e 푉2 = (−3, 3, 2,−1) linearmente inde-
pendentes de ℝ4. Vamos encontrar vetores 푉3 e 푉4 tais que {푉1, 푉2, 푉3, 푉4} formam uma base de ℝ4.
Escalonando a matriz cujas linhas sa˜o os vetores 푉1 e 푉2,
퐴 =
[ −1 1 0 −3
−3 3 2 −1
]
, obtemos 푅 =
[
1 −1 0 3
0 0 1 4
]
Vamos inserir linhas que sa˜o vetores da base canoˆnica na matriz 푅 ate´ conseguir uma matriz 4 × 4
triangular superior com os elementos da diagonal diferentes de zero. Neste caso acrescentando as
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326 Espac¸os ℝ푛
linhas 푉3 = [ 0 1 0 0 ] e 푉4 = [ 0 0 0 1 ] em posic¸o˜es adequadas obtemos a matriz
푅¯ =
⎡
⎢⎢⎣
1 −1 0 3
0 1 0 0
0 0 1 4
0 0 0 1
⎤
⎥⎥⎦
Vamos verificar que 푉1, 푉2, 푉3 e 푉4 sa˜o L.I.
푥1푉1 + 푥2푉2 + 푥3푉3 + 푥4푉4 = 0¯
e´ equivalente ao sistema linear
퐶푋 = 0¯, em que 퐶 = [ 푉1 푉2 푉3 푉4 ].
Mas como det(푅¯) ∕= 0, enta˜o det(퐶) ∕= 0, pelo Teorema 2.13 na pa´gina 115, pois 푅¯ pode ser obtida
de 퐶푡 aplicando-se operac¸o˜es elementares. Logo {푉1, 푉2, 푉3, 푉4} e´ L.I. Como a dimensa˜o do ℝ4 e´
igual a 4 , enta˜o pelo Teorema 5.7 na pa´gina 319, {푉1, 푉2, 푉3, 푉4} e´ uma base de ℝ4.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.2 Subespac¸os Base e Dimensa˜o 327
Exercı´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 570)
5.2.1. Encontre um conjunto de geradores para o espac¸o soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯,
em que
(a) 퐴 =
⎡
⎣ 1 0 1 01 2 3 1
2 1 3 1
⎤
⎦ ; (b) 퐴 =
⎡
⎣ 1 1 2 −12 3 6 −2
−2 1 2 2
⎤
⎦ .
5.2.2. Encontre os valores de 휆 tais que o sistema homogeˆneo (퐴 − 휆퐼푛)푋 = 0¯ tem soluc¸a˜o na˜o
trivial e para estes valores de 휆, encontre uma base para o espac¸o soluc¸a˜o, para as matrizes 퐴
dadas:
(a) 퐴 =
⎡
⎣ 0 0 11 0 −3
0 1 3
⎤
⎦;
(b) 퐴 =
⎡
⎢⎢⎣
2 2 3 4
0 2 3 2
0 0 1 1
0 0 0 1
⎤
⎥⎥⎦;
(c) 퐴 =
⎡
⎣ 1 1 −2−1 2 1
0 1 −1
⎤
⎦;
(d) 퐴 =
⎡
⎢⎢⎣
−1 2 2 0
−1 2 1 0
−1 1 2 0
0 0 0 1
⎤
⎥⎥⎦.
(e) 퐴 =
⎡
⎣ 2 3 00 1 0
0 0 2
⎤
⎦;
(f) 퐴 =
⎡
⎣ 2 3 00 2 0
0 0 2
⎤
⎦;
5.2.3. Determine uma base para a reta intersec¸a˜o dos planos 푥− 7푦 + 5푧 = 0 e 3푥− 푦 + 푧 = 0.
5.2.4. Sejam 푉1 = (4, 2,−3), 푉2 = (2, 1,−2) e 푉3 = (−2,−1, 0).
(a) Mostre que 푉1, 푉2 e 푉3 sa˜o L.D.
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328 Espac¸os ℝ푛
(b) Mostre que 푉1 e 푉2 sa˜o L.I.
(c) Qual a dimensa˜o do subespac¸o gerado por 푉1, 푉2 e 푉3, ou seja, do conjunto das
combinac¸o˜es lineares de 푉1, 푉2 e 푉3.
(d) Descreva geometricamente o subespac¸o gerado por 푉1, 푉2 e 푉3
5.2.5. Dados 푉1 = (2, 1, 3) e 푉2 = (2, 6, 4):
(a) Os vetores 푉1 e 푉2 geram o ℝ3? Justifique.
(b) Seja 푉3 um terceiro vetor do ℝ3. Quais as condic¸o˜es sobre 푉3, para que {푉1, 푉2, 푉3} seja
uma base de ℝ3?
(c) Encontre um vetor 푉3 que complete junto com 푉1 e 푉2 uma base do ℝ3.
5.2.6. Seja 핎 o plano 푥 + 2푦 + 4푧 = 0. Obtenha uma base {푉1, 푉2, 푉3} de ℝ3 tal que 푉1 e 푉2
pertenc¸am a핎.
5.2.7. Considere os seguintes subespac¸os de ℝ3:
핍 = [(−1, 2, 3), (1, 3, 4)] e 핎 = [(1, 2,−1), (0, 1, 1)].
Encontre as equac¸o˜es parame´tricas da reta 핍 ∩핎 e uma base para o subespac¸o 핍 ∩핎.
A notac¸a˜o [푉1, 푉2] significa o subespac¸o gerado por 푉1 e 푉2, ou seja, o conjunto de todas as
combinac¸o˜es lineares de 푉1 e 푉2.
5.2.8. Seja 핍 = {(3푎+ 4푏− 4푐, 2푎− 4푏− 6푐,−2푎− 4푏+ 2푐) ∣ 푎, 푏, 푐 ∈ ℝ} um subespac¸o de ℝ3.
(a) Determine um conjunto de geradores para 핍.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.2 Subespac¸os Base e Dimensa˜o 329
(b) Determine uma base para 핍.
5.2.9. Dados 푉1 = (−3, 5, 2, 1) e 푉2 = (1,−2,−1, 2):
(a) Os vetores 푉1 e 푉2 geram o ℝ4? Justifique.
(b) Sejam 푉3 e 푉4 vetores do ℝ4. Quais as condic¸o˜es sobre 푉3 e 푉4 para que {푉1, 푉2, 푉3, 푉4}
seja uma base de ℝ4?
(c) Encontre vetores 푉3 e 푉4 que complete junto com 푉1 e 푉2 uma base do ℝ4.
5.2.10. Deˆ exemplo de:
(a) Treˆs vetores: 푉1, 푉2 e 푉3, sendo {푉1} L.I., {푉2, 푉3} L.I., 푉2 e 푉3 na˜o sa˜o mu´ltiplos de 푉1 e
{푉1, 푉2, 푉3} L.D.
(b) Quatro vetores: 푉1, 푉2, 푉3 e 푉4, sendo {푉1, 푉2} L.I., {푉3, 푉4} L.I., 푉3 e 푉4 na˜o sa˜o
combinac¸a˜o linear de 푉1 e 푉2 e {푉1, 푉2, 푉3, 푉4} L.D.
Exercı´cio usando o MATLABⓇ
5.2.11. Defina a matriz aleato´ria A=triu(randi(4,4,3)). Encontre os valores de 휆 tais que o sistema
homogeˆneo (퐴 − 휆퐼4)푋 = 0¯ tem soluc¸a˜o na˜o trivial e para estes valores de 휆, encontre uma
base para o espac¸o soluc¸a˜o.
Exercı´cios Teo´ricos
5.2.12. Seja 퐴 uma matriz 푚× 푛. Mostre que se o conjunto soluc¸a˜o do sistema linear 퐴푋 = 퐵 e´ um
subespac¸o, enta˜o 퐵 = 0¯, ou seja, o sistema linear e´ homogeˆneo. (Sugesta˜o: se 푋 e´ soluc¸a˜o
de 퐴푋 = 퐵, enta˜o 푌 = 0푋 tambe´m o e´.)
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
330 Espac¸os ℝ푛
5.2.13. Determine uma base para o plano 푎푥 + 푏푦 + 푐푧 = 0 no caso em que 푏 ∕= 0 e no caso em que
푐 ∕= 0.
5.2.14. Sejam 푉 e 푊 vetores do ℝ푛. Mostre que o conjunto dos vetores da forma 훼푉 + 훽푊 e´ um
subespac¸o do ℝ푛.
5.2.15. Mostre que se uma reta emℝ2 ou emℝ3 na˜o passa pela origem, enta˜o ela na˜o e´ um subespac¸o.
(Sugesta˜o: se ela fosse um subespac¸o, enta˜o ...)
−2 −1 0 1 2 3 4
−1
0
1
2
3
4
5
x
y
5.2.16. Sejam 퐴 uma matriz 푚× 푛 e 퐵 uma matriz 푚× 1. Mostre que o conjunto dos vetores 퐵 para
os quais o sistema 퐴푋 = 퐵 tem soluc¸a˜o e´ um subespac¸o de ℝ푚. Ou seja, mostre que o
conjunto
ℐ(퐴) = {퐵 ∈ ℝ푚 ∣퐵 = 퐴푋, para algum 푋 ∈ ℝ푛}
e´ um subespac¸o de ℝ푚.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.2 Subespac¸os Base e Dimensa˜o 331
5.2.17. Sejam핎1 e핎2 dois subespac¸os.
(a) Mostre que핎1 ∩핎2 e´ um subespac¸o.
(b) Mostre que핎1 ∪핎2 e´ um subespac¸o se, e somente se,핎1 ⊆핎2 ou핎2 ⊆핎1.
(c) Definimos a soma dos subespac¸os핎1 e핎2 por
핎1 +핎2 = {푉1 + 푉2 ∣ 푉1 ∈핎1 e 푉2 ∈핎2}.
Mostre que핎1 +핎2 e´ um subespac¸o que conte´m핎1 e핎2.
5.2.18. Sejam 핎 um subespac¸o de ℝ푛 e {푊1, . . . ,푊푘} uma base de 핎. Defina a matriz 퐵 =
[ 푊1 . . .푊푘 ]
푡
, com 푊1, . . . ,푊푘 escritos como matrizes colunas. Sejam 핎⊥ o espac¸o
soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo 퐵푋 = 0¯ e {푉1, . . . , 푉푝} uma base de 핎⊥. Defina a ma-
triz 퐴 = [ 푉1 . . . 푉푝 ]푡, com 푉1, . . . , 푉푝 escritos como matrizes colunas. Mostre que 핎 e´ o
espac¸o soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯, ou seja,
핎 = {푋 ∈ ℝ푝 ∣ 퐴푋 = 0¯}.
5.2.19. Sejam 퐴 uma matriz 푚×푛 e 퐵 uma matriz 푚×1. Seja 푋0 uma soluc¸a˜o (particular) do sistema
linear 퐴푋 = 퐵. Mostre que se {푉1, . . . , 푉푘} e´ uma base para o espac¸o soluc¸a˜o do sistema
homogeˆneo 퐴푋 = 0¯, enta˜o toda soluc¸a˜o de 퐴푋 = 퐵 pode ser escrita na forma
푋 = 푋0 + 훼1푉1 + . . .+ 훼푘푉푘,
em que 훼1, . . . , 훼푘 sa˜o escalares. (Sugesta˜o: use o Exercı´cio 1.2.21 na pa´gina 71)
5.2.20. Mostre que a dimensa˜o do subespac¸o gerado pelas linhas de uma matriz escalonada reduzida
e´ igual a dimensa˜o do subespac¸o gerado pelas suas colunas.
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332 Espac¸os ℝ푛
5.2.21. Mostre que a dimensa˜o do subespac¸o gerado pelas linhas de uma matriz e´ igual a dimensa˜o
do subespac¸o gerado pelas suas colunas. (Sugesta˜o: Considere a forma escalonada reduzida
da matriz 퐴 e use o exercı´cio anterior.)
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.2 Subespac¸os Base e Dimensa˜o 333
Apeˆndice IV: Outros Resultados
Teorema 5.8. Um subconjunto {푉1, 푉2, . . . , 푉푚} de um subespac¸o 핎 e´ uma base para 핎 se, e
somente se, todo vetor푋 de핎 e´ escrito de maneira u´nica como combinac¸a˜o linear de 푉1, 푉2, . . . , 푉푚.
Demonstrac¸a˜o. Em primeiro lugar, suponha que todo vetor 푋 de 핎 e´ escrito de maneira u´nica
como combinac¸a˜o linear de 푉1, . . . , 푉푚. Vamos mostrar que {푉1, 푉2, . . . , 푉푚} e´ uma base de 핎.
Como todo vetor e´ escrito como combinac¸a˜o linear de 푉1, . . . , 푉푚, basta mostrarmos que 푉1, . . . , 푉푚
sa˜o L.I. Considere a equac¸a˜o
푥1푉1 + . . .+ 푥푚푉푚 = 0¯.
Como todo vetor e´ escrito de maneira u´nica como combinac¸a˜o linear de 푉1, . . . , 푉푚, em particular
temos que para 푋 = 0¯,
푥1푉1 + . . .+ 푥푚푉푚 = 0¯ = 0푉1 + . . .+ 0푉푚,
o que implica que 푥1 = 0, . . . , 푥푚 = 0, ou seja, 푉1, . . . , 푉푚 sa˜o linearmente independentes. Portanto,
{푉1, 푉2, . . . , 푉푚} e´ base de핎.
Suponha, agora, que {푉1, 푉2, . . . , 푉푚} e´ base de핎. Seja 푋 um vetor qualquer de핎. Se
푥1푉1 + . . .+ 푥푚푉푚 = 푋 = 푦1푉1 + . . .+ 푦푚푉푚,
enta˜o
(푥1 − 푦1)푉1 + . . .+ (푥푚 − 푦푚)푉푚 = 0¯.
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334 Espac¸os ℝ푛
Como 푉1, . . . , 푉푚 formam uma base de핎, enta˜o eles sa˜o L.I., o que implica que 푥1 = 푦1, . . . , 푥푚 =
푦푚. Portanto, todo vetor 푋 de핎 e´ escrito de maneira u´nica como combinac¸a˜o linear de 푉1, . . . , 푉푚.
■
Teorema 5.9. Se 풮 = {푉1, . . . , 푉푘} e´ um conjunto de vetores que gera um subespac¸o 핎, ou seja,
핎 = [풮] = [푉1, . . . , 푉푘], enta˜o existe um subconjunto de 풮 que e´ base de핎.
Demonstrac¸a˜o. Se 풮 e´ L.I., enta˜o 풮 e´ uma base de 핎. Caso contra´rio, 풮 e´ L.D. e pelo Teorema
5.5 na pa´gina 297, um dos vetores de 풮 e´ combinac¸a˜o linear dos outros. Assim, o subconjunto de
풮 obtido retirando-se este vetor continua gerando 핎. Se esse subconjunto for L.I., temos uma base
para핎, caso contra´rio, continuamos retirando vetores do subconjunto ate´ obtermos um subconjunto
L.I. e aı´ neste caso temos uma base para핎. ■
Vamos mostrar que se a dimensa˜o de um subespac¸o 핎 e´ 푚, enta˜o 푚 vetores que geram o
subespac¸o, 핎, formam uma base (Corola´rio 5.10) e que na˜o podemos ter menos que 푚 vetores
gerando o subespac¸o (Corola´rio 5.11).
Sa˜o simples as demonstrac¸o˜es dos seguintes corola´rios, as quais deixamos como exercı´cio.
Corola´rio 5.10. Em um subespac¸o,핎, de dimensa˜o 푚 > 0, 푚 vetores que geram o subespac¸o, sa˜o
L.I. e portanto formam uma base.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.2 Subespac¸os Base e Dimensa˜o 335
Corola´rio 5.11. Em um subespac¸o, 핎, de dimensa˜o 푚 > 0, um conjunto com menos de 푚 vetores
na˜o gera o subespac¸o.
Teorema 5.12. Se ℛ = {푉1, . . . , 푉푘} e´ um conjunto de vetores L.I. em um subespac¸o 핎 de ℝ푛,
enta˜o o conjunto ℛ pode ser completado ate´ formar uma base de 핎, ou seja, existe um conjunto
풮 = {푉1, . . . , 푉푘, 푉푘+1 . . . , 푉푚} (ℛ ⊆ 풮), que e´ uma base de핎.
Demonstrac¸a˜o. Se {푉1, . . . , 푉푘} gera핎, enta˜o {푉1, . . . , 푉푘} e´ uma base de핎. Caso contra´rio, seja
푉푘+1 um vetor que pertence a 핎, mas na˜o pertence ao subespac¸o gerado por {푉1, . . . , 푉푘}. Enta˜o,
o conjunto {푉1, . . . , 푉푘, 푉푘+1} e´ L.I., pois caso contra´rio 푥1푉1 + . . . + 푥푘+1푉푘+1 = 0¯, implicaria que
푥푘+1 ∕= 0 (por que?) e assim, 푉푘+1 seria combinac¸a˜o linear de 푉1, . . . , 푉푘, ou seja, 푉푘+1 pertenceria
ao subespac¸o 핎푘. Se {푉1, . . . , 푉푘+1} gera 핎, enta˜o {푉1, . . . , 푉푘+1} e´ uma base de 핎. Caso
contra´rio, o mesmo argumento e´ repetido para o subespac¸o gerado por {푉1, . . . , 푉푘, 푉푘+1}.
Pelo Corola´rio 5.4 na pa´gina 295 este processo tem que parar, ou seja, existe um inteiro positivo
푚 ≤ 푛 tal que {푉1, . . . , 푉푘, 푉푘+1, . . . , 푉푚} e´ L.I., mas {푉1, . . . , 푉푘, 푉푘+1, . . . , 푉푚, 푉 } e´ L.D. para
qualquer vetor 푉 de핎. O que implica que 푉 e´ combinac¸a˜o linear de {푉1, . . . , 푉푘, 푉푘+1, . . . , 푉푚} (por
que?). Portanto, {푉1, . . . , 푉푘, 푉푘+1, . . . , 푉푚} e´ uma base de핎. ■
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
336 Espac¸os ℝ푛
Corola´rio 5.13. Todo subespac¸o de ℝ푛 diferente do subespac¸o trivial {0¯} tem uma base e a sua
dimensa˜o e´ menor ou igual a 푛.
Os pro´ximos resultados sa˜o aplicac¸o˜es a`s matrizes.
Proposic¸a˜o 5.14. Sejam퐴 e퐵 matrizes푚×푛 equivalentes por linhas. Sejam퐴1, . . . , 퐴푛 as colunas
1, . . . , 푛, respectivamente, da matriz 퐴 e 퐵1, . . . , 퐵푛 as colunas 1, . . . , 푛, respectivamente, da matriz
퐵.
(a) 퐵푗1 , . . . , 퐵푗푘 sa˜o L.I. se, e somente se, 퐴푗1 , . . . , 퐴푗푘 tambe´m o sa˜o.
(b) Se existem escalares 훼푗1 , . . . , 훼푗푘 tais que
퐴푘 = 훼푗1퐴푗1 + ⋅ ⋅ ⋅+ 훼푗푘퐴푗푘 ,
enta˜o
퐵푘 = 훼푗1퐵푗1 + ⋅ ⋅ ⋅+ 훼푗푘퐵푗푘 ,
(c) O subespac¸o gerado pelas linhas de 퐴 e´ igual ao subespac¸o gerado pelas linhas de 퐵.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.2 Subespac¸os Base e Dimensa˜o 337
Demonstrac¸a˜o. Se 퐵 e´ equivalente por linhas a 퐴, enta˜o 퐵 pode ser obtida de 퐴 aplicando-se uma
sequ¨eˆncia de operac¸o˜es elementares. Aplicar uma operac¸a˜o elementar a uma matriz corresponde
a multiplicar a matriz a` esquerda por uma matriz invertı´vel (Teorema 1.8 na pa´gina 57). Seja 푀 o
produto das matrizes invertı´veis correspondentes a`s operac¸o˜es elementares aplicadas na matriz 퐴
para se obter a matriz 퐵. Enta˜o 푀 e´ invertı´vel e 퐵 = 푀퐴.
(a) Vamos supor que 퐵푗1 , . . . , 퐵푗푘 sa˜o L.I. e vamos mostrar que 퐴푗1 , . . . , 퐴푗푘 tambe´m o sa˜o. Se
푥푗1퐴푗1 + ⋅ ⋅ ⋅+ 푥푗푘퐴푗푘 = 0¯,
enta˜o multiplicando-se a` esquerda pela matriz 푀 obtemos
푥푗1푀퐴푗1 + ⋅ ⋅ ⋅+ 푥푗푘푀퐴푗푘 = 0¯.
Como 푀퐴푗 = 퐵푗 , para 푗 = 1, . . . , 푛 (Exercı´cio 1.1.18 (a) na pa´gina 27), enta˜o
푥푗1퐵푗1 + ⋅ ⋅ ⋅+ 푥푗푘퐵푗푘 = 0¯.
Assim, se 퐵푗1 , . . . , 퐵푗푘 sa˜o L.I., enta˜o 푥푗1 = . . . = 푥푗푘 = 0. O que implica que 퐴푗1 , . . . , 퐴푗푘
tambe´m sa˜o L.I.
Trocando-se 퐵 por 퐴 o argumento acima mostra que se 퐴푗1 , . . . , 퐴푗푘 sa˜o L.I., enta˜o
퐵푗1 , . . . , 퐵푗푘 tambe´m o sa˜o.
(b) Sejam 훼푗1 , . . . , 훼푗푘 escalares tais que
퐴푘 = 훼푗1퐴푗1 + ⋅ ⋅ ⋅+ 훼푗푘퐴푗푘 ,
enta˜o multiplicando-se a` esquerda pela matriz 푀 obtemos
푀퐴푘 = 훼푗1푀퐴푗1 + ⋅ ⋅ ⋅+ 훼푗푘푀퐴푗푘 .
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
338 Espac¸os ℝ푛
Como 푀퐴푗 = 퐵푗 , para 푗 = 1, . . . , 푛 (Exercı´cio 1.1.18 (a) na pa´gina 27), enta˜o
퐵푘 = 훼푗1퐵푗1 + ⋅ ⋅ ⋅+ 훼푗푘퐵푗푘 .
(c) A matriz 퐵 e´ obtida de 퐴 aplicando-se uma sequ¨eˆncia de operac¸o˜es elementares a`s linhas de
퐴. Assim, toda linha de 퐵 e´ uma combinac¸a˜o linear das linhas de 퐴. Logo, o espac¸o gerado
pelas linhas de 퐵 esta´ contido no espac¸o gerado pelas linhas de 퐴. Como toda operac¸a˜o
elementar tem uma operac¸a˜o elementar inversa, o argumento anterior tambe´m mostra que o
espac¸o gerado pelas linhas de 퐴 esta´ contido no espac¸o gerado pelas linhas de 퐵. Portanto,
eles sa˜o iguais.
■
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.2 Subespac¸os Base e Dimensa˜o 339
Somente agora podemos provar a unicidade da forma escalonada reduzida.
Teorema 5.15. Se 푅 = (푟푖푗)푚×푛 e 푆 = (푠푖푗)푚×푛 sa˜o matrizes escalonadas reduzidas equivalentes
por linhas a uma matriz 퐴 = (푎푖푗)푚×푛, enta˜o 푅 = 푆.
Demonstrac¸a˜o. Sejam 푆 e 푅 matrizes escalonadas reduzidas equivalentes a 퐴. Sejam 푅1, . . . , 푅푛
as colunas de 푅 e 푆1, . . . , 푆푛 as colunas de 푆. Seja 푟 o nu´mero de linhas na˜o nulas de 푅. Sejam
푗1, . . . , 푗푟 as colunas onde ocorrem os pivoˆs das linhas 1, . . . , 푟, respectivamente, da matriz 푅. Enta˜o
푅 e 푆 sa˜o equivalentes por linha, ou seja, existe uma sequ¨eˆncia de operac¸o˜es elementares que po-
demos aplicar em 푅 para chegar a 푆 e uma outra sequ¨eˆncia de operac¸o˜es elementares que podemos
aplicar a 푆 e chegar a 푅.
Assim, como as colunas 1, . . . , 푗1− 1 de 푅 sa˜o nulas o mesmo vale para as colunas 1, . . . , 푗1− 1
de 푆. Logo o pivoˆ da 1a. linha de 푆 ocorre numa coluna maior ou igual a 푗1. Trocando-se 푅 por 푆 e
usando este argumento chegamos a conclusa˜o que 푅푗1 = 푆푗1 e assim 푅1 = 푆1, . . . , 푅푗1 = 푆푗1 .
Vamos supor que 푅1 = 푆1, . . . , 푅푗푘 = 푆푗푘 e vamos mostrar que
푅푗푘+1 = 푆푗푘+1, . . . , 푅푗푘+1 = 푆푗푘+1 , se 푘 < 푟 ou
푅푗푟+1 = 푆푗푟+1, . . . , 푅푛 = 푆푛, se 푘 = 푟.
Observe que para 푗 = 푗푘 +1, . . . , 푗푘+1− 1, se 푘 < 푟, ou para 푗 = 푗푟 +1, . . . , 푛, se 푘 = 푟, temos
que
푅푗 = (푟1푗, . . . , 푟푘푗, 0, . . . , 0) = 푟1푗푅푗1 + . . .+ 푟푘푗푅푗푘 ,
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340 Espac¸os ℝ푛
o que implica pela Proposic¸a˜o 5.14 (b) na pa´gina 336 que
푆푗 = 푟1푗푆푗1 + . . .+ 푟푘푗푆푗푘 .
Mas por hipo´tese 푅푗1 = 푆푗1 , . . . , 푅푗푘 = 푆푗푘 , enta˜o,
푆푗 = 푟1푗푅푗1 + . . .+ 푟푘푗푅푗푘 = 푅푗,
para 푗 = 푗푘 + 1, . . . , 푗푘+1 − 1, se 푘 < 푟 ou para 푗 = 푗푟 + 1, . . . , 푛, se 푘 = 푟.
Logo, se 푘 < 푟, o pivoˆ da (푘 + 1)-e´sima linha de 푆 ocorre numa coluna maior ou igual a 푗푘+1.
Trocando-se 푅 por 푆 e usando o argumento anterior chegamos a conclusa˜o que 푅푗푘+1 = 푆푗푘+1 e
assim 푅1 = 푆1, . . . , 푅푗푟 = 푆푗푟 . E se 푘 = 푟, enta˜o 푅1 = 푆1, . . . , 푅푛 = 푆푛.
Portanto 푅 = 푆. ■
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.3 Produto Escalar em ℝ푛 341
5.3 Produto Escalar em ℝ푛
5.3.1 Produto Interno
Vimos que podemos estender a soma e a multiplicac¸a˜o de vetores por escalar para o ℝ푛. Pode-
mos estender tambe´m os conceitos de produto escalar e ortogonalidade.
Definic¸a˜o 5.7. (a) Definimos o produto escalar ou interno de dois vetores 푋 = (푥1, . . . , 푥푛) e
푌 = (푦1, . . . , 푦푛) ∈ ℝ푛 por
푋 ⋅ 푌 = 푥1푦1 + 푥2푦2 + . . .+ 푥푛푦푛 =
푛∑
푖=1
푥푖푦푖 .
(b) Definimos a norma de um vetor 푋 = (푥1, . . . , 푥푛) ∈ ℝ푛 por
∣∣푋∣∣ =
√
푋 ⋅푋 =
√
푥21 + . . .+ 푥
2
푛 =
√√√⎷ 푛∑
푖=1
푥2푖 .
Escrevendo os vetores como matrizes colunas, o produto interno de dois vetores
푋 =
⎡
⎢⎣ 푥1..
.
푥푛
⎤
⎥⎦ e 푌 =
⎡
⎢⎣ 푦1..
.
푦푛
⎤
⎥⎦
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342 Espac¸os ℝ푛
pode ser escrito em termos do produto de matrizes como
푋 ⋅ 푌 = 푋 푡푌.
Exemplo 5.27. Sejam 푉 = (1,−2, 4, 3, 5) e 푊 = (5, 3,−1,−2, 1) vetores do ℝ5. O produto escalar
entre 푉 e 푊 e´ dado por
푉 ⋅푊 = (1)(5) + (−2)(3) + (4)(−1) + (3)(−2) + (5)(1) = −6.
As normas de 푉 e 푊 sa˜o dadas por
∣∣푉 ∣∣ =
√
12 + (−2)2 + 42 + 32 + 52 =
√
55,
∣∣푊 ∣∣ =
√
52 + 32 + (−1)2 + (−2)2 + 12 =
√
40.
Sa˜o va´lidas as seguintes propriedades para o produto escalar e a norma de vetores de ℝ푛.
Proposic¸a˜o 5.16. Se 푋, 푌 e 푍 sa˜o vetores de ℝ푛 e 훼 e´ um escalar, enta˜o
(a) 푋 ⋅ 푌 = 푌 ⋅푋 (comutatividade);
(b) 푋 ⋅ (푌 + 푍) = 푋 ⋅ 푌 +푋 ⋅ 푍 (distributividade em relac¸a˜o a` soma);
(c) (훼푋) ⋅ 푌 = 훼(푋 ⋅ 푌 ) = 푋 ⋅ (훼푌 );
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.3 Produto Escalar em ℝ푛 343
(d) 푋 ⋅푋 = ∣∣푋∣∣2 ≥ 0 e ∣∣푋∣∣ = 0 se, e somente se, 푋 = 0¯;
(e) ∣∣훼푋∣∣ = ∣훼∣ ∣∣푋∣∣;
(f) ∣푋 ⋅ 푌 ∣ ≤ ∣∣푋∣∣∣∣푌 ∣∣ (desigualdade de Cauchy-Schwarz);
(g) ∣∣푋 + 푌 ∣∣ ≤ ∣∣푋∣∣+ ∣∣푌 ∣∣ (desigualdade triangular).
Demonstrac¸a˜o. Sejam푋, 푌, 푍 ∈ ℝ푛 e 훼 ∈ ℝ. Usando o fato de que se os vetores sa˜o escritos como
matrizes colunas, enta˜o o produto escalar pode ser escrito como o produto de matrizes, 푋 ⋅푌 = 푋 푡푌 ,
e as propriedades da a´lgebra matricial (Teorema 1.1 na pa´gina 9), temos que
(a) 푋 ⋅ 푌 = 푥1푦1 + ⋅ ⋅ ⋅+ 푥푛푦푛 = 푦1푥1 + ⋅ ⋅ ⋅+ 푦푛푥푛 = 푌 ⋅푋 .
(b) 푋 ⋅ (푌 + 푍) = 푋 푡(푌 + 푍) = 푋 푡푌 +푋 푡푍 = 푋 ⋅ 푌 +푋 ⋅ 푍.
(c) 훼(푋 ⋅ 푌 ) = 훼(푋 푡푌 ) = (훼푋 푡)푌 = (훼푋)푡푌 = (훼푋) ⋅ 푌 . A outra igualdade e´ inteiramente
ana´loga.
(d) 푋 ⋅푋 e´ uma soma de quadrados, por isso e´ sempre maior ou igual a zero e e´ zero se, e somente
se, todas as parcelas sa˜o iguais a zero.
(e) ∣∣훼푋∣∣2 = (훼푥1)2 + ⋅ ⋅ ⋅+ (훼푥푛)2 = 훼2(푥21 + ⋅ ⋅ ⋅+ 푥2푛) = 훼2∣∣푋∣∣2. Tomando a raiz quadrada,
segue-se o resultado.
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344 Espac¸os ℝ푛
(f) A norma de 휆푋 + 푌 e´ maior ou igual a zero, para qualquer 휆 real. Assim,
0 ≤ ∣∣휆푋 + 푌 ∣∣2 = (휆푋 + 푌 ) ⋅ (휆푋 + 푌 ) = (∣∣푋∣∣2)휆2 + (2푋 ⋅ 푌 )휆+ ∣∣푌 ∣∣2,
para qualquer 휆 real. Logo, o discriminante deste trinoˆmio tem que ser menor ou igual a zero.
Ou seja, Δ = 4(푋 ⋅ 푌 )2 − 4∣∣푋∣∣2∣∣푌 ∣∣2 ≤ 0. Logo, ∣푋 ⋅ 푌 ∣ ≤ ∣∣푋∣∣ ∣∣푌 ∣∣.
(g) Pelo item anterior temos que
∣∣푋 + 푌 ∣∣2 = (푋 + 푌 ) ⋅ (푋 + 푌 ) = ∣∣푋∣∣2 + 2푋 ⋅ 푌 + ∣∣푌 ∣∣2
≤ ∣∣푋∣∣2 + 2∣푋 ⋅ 푌 ∣+ ∣∣푌 ∣∣2
≤ ∣∣푋∣∣2 + 2∣∣푋∣∣∣∣푌 ∣∣+ ∣∣푌 ∣∣2 = (∣∣푋∣∣+ ∣∣푌 ∣∣)2.
Tomando a raiz quadrada, segue-se
o resultado. ■
Dizemos que dois vetores 푋 e 푌 sa˜o ortogonais se 푋 ⋅ 푌 = 0. As propriedades do produto
escalar permitem introduzir o conceito de bases ortogonais no ℝ푛. Antes temos o seguinte resultado.
Proposic¸a˜o 5.17. Se 푉1, . . . , 푉푘 sa˜o vetores na˜o nulos de ℝ푛 ortogonais, isto e´, 푉푖 ⋅ 푉푗 = 0, para
푖 ∕= 푗, enta˜o
(a) O conjunto {푉1, . . . , 푉푘} e´ L.I.
(b) Se 푉 =
푘∑
푖=1
훼푖푉푖, enta˜o 훼푖 =
푉 ⋅ 푉푖
∣∣푉푖∣∣2 .
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.3 Produto Escalar em ℝ푛 345
Demonstrac¸a˜o. (a) Considere a equac¸a˜o vetorial
푥1푉1 + . . .+ 푥푘푉푘 = 0¯ . (5.19)
Fazendo o produto escalar de ambos os membros de (5.19) com 푉푖, 푖 = 1, . . . , 푘 e aplicando
as propriedades do produto escalar, obtemos
푥1(푉1 ⋅ 푉푖) + . . .+ 푥푖(푉푖 ⋅ 푉푖) + . . .+ 푥푘(푉푘 ⋅ 푉푖) = 0 . (5.20)
Mas, 푉푖 ⋅ 푉푗 = 0, se 푖 ∕= 푗. Assim, de (5.20) obtemos que
푥푖∣∣푉푖∣∣2 = 0 .
Mas, como 푉푖 ∕= 0¯, enta˜o ∣∣푉푖∣∣ ∕= 0 e 푥푖 = 0, para 푖 = 1 . . . , 푘.
(b) Seja
푉 =
푘∑
푖=1
훼푖푉푖. (5.21)
Fazendo o produto escalar de 푉 com 푉푗 , para 푗 = 1, . . . , 푘, obtemos que
푉 ⋅ 푉푗 =
(
푘∑
푖=1
훼푖푉푖
)
⋅ 푉푗 =
푘∑
푖=1
(훼푖 푉푖 ⋅ 푉푗) = 훼푗 ∣∣푉푗∣∣2.
Assim,
훼푗 =
푉 ⋅ 푉푗
∣∣푉푗∣∣2 , para 푗 = 1, . . . , 푘.
■
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346 Espac¸os ℝ푛
Observe que o item (a) e´ uma consequ¨eˆncia imediata do item (b).
Definimos a projec¸a˜o ortogonal de um vetor 푉 sobre um vetor na˜o nulo 푊 , por
proj푊푉 =
(
푉 ⋅푊
∣∣푊 ∣∣2
)
푊 .
Observe que a projec¸a˜o ortogonal de um vetor 푉 sobre um vetor na˜o nulo푊 e´ um mu´ltiplo escalar
do vetor 푊 . Ale´m disso temos o seguinte resultado.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.3 Produto Escalar em ℝ푛 347
Proposic¸a˜o 5.18. Seja 푊 ∈ ℝ푛 um vetor na˜o nulo. Enta˜o, 푉 − proj푊푉 e´ ortogonal a 푊 , para
qualquer vetor 푉 ∈ ℝ푛.
Demonstrac¸a˜o. Precisamos calcular o produto escalar de 푊 com 푉 − proj푊푉 :
(푉 − proj푊푉 ) ⋅푊 = 푉 ⋅푊 −
(
푉 ⋅푊
∣∣푊 ∣∣2
)
푊 ⋅푊 = 0.
Portanto, 푉 − proj푊푉 e´ ortogonal a 푊 . ■
O pro´ximo resultado e´ uma generalizac¸a˜o da Proposic¸a˜o 5.18.
Proposic¸a˜o 5.19. Sejam 푊1,푊2, . . . ,푊푘 vetores na˜o nulos de ℝ푛, ortogonais entre si, enta˜o para
qualquer vetor 푉 , 푉 − proj푊1푉 − . . .− proj푊푘푉 e´ ortogonal a 푊푖, para 푖 = 1, . . . , 푘.
Demonstrac¸a˜o. Vamos calcular o produto interno de 푉 − proj푊1푉 − . . .− proj푊푘푉 com 푊푗 , para
푗 = 1, . . . , 푘.(
푉 −
푘∑
푖=1
proj푊푖푉
)
⋅푊푗 = 푉 ⋅푊푗 −
푘∑
푖=1
(
푉 ⋅푊푖
∣∣푊푖∣∣2
)
푊푖 ⋅푊푗 = 푉 ⋅푊푗 −
(
푉 ⋅푊푗
∣∣푊푗∣∣2
)
푊푗 ⋅푊푗 = 0,
pois 푊푖 ⋅푊푗 = 0, se 푖 ∕= 푗 e 푊푗 ⋅푊푗 = ∣∣푊푗∣∣2. ■
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348 Espac¸os ℝ푛
푊
푉
푉
−
p
ro
j 푊
푉
proj푊 푉 푊
푉
푉
−
p
ro
j 푊
푉
proj푊 푉
Figura 5.27: Projec¸a˜o ortogonal do vetor 푉 sobre o vetor 푊
proj푊1푉 +proj푊2푉
proj푊1푉
proj푊2푉
푉
푉
−
p
ro
j 푊
1
푉
−
p
ro
j 푊
2
푉
푊1
푊2
Figura 5.28: 푉 −proj푊1푉 −proj푊2푉 e´ ortogonal a 푊1 e a 푊2
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.3 Produto Escalar em ℝ푛 349
Vamos mostrar no pro´ximo exemplo como encontrar no conjunto soluc¸a˜o do sistema linear ho-
mogeˆneo 퐴푋 = 0¯ um conjunto com o maior nu´mero possı´vel de vetores unita´rios (com norma igual
a 1) ortogonais.
Exemplo 5.28. Considere o sistema linear homogeˆneo 퐴푋 = 0¯, em que
퐴 =
⎡
⎣ 1 1 0 0 1−2 −2 1 −1 −1
1 1 −1 1 0
⎤
⎦ .
Escalonando a matriz aumentada do sistema acima, obtemos a matriz escalonada reduzida⎡
⎣ 1 1 0 0 1 00 0 1 −1 1 0
0 0 0 0 0 0
⎤
⎦ .
E assim a soluc¸a˜o geral do sistema pode ser escrita como
푥1 = −훼− 훾, 푥2 = 훾, 푥3 = −훼 + 훽, 푥4 = 훽 푥5 = 훼
para todos os valores de 훼, 훽, 훾 ∈ ℝ, ou seja, o conjunto soluc¸a˜o do sistema 퐴푋 = 0¯ e´
핎 = {(푥1, 푥2, 푥3, 푥4, 푥5) = (−훼− 훾, 훾,−훼 + 훽, 훽, 훼) ∣ 훼, 훽, 훾 ∈ ℝ} .
Agora, um elemento qualquer de핎 pode ser escrito como uma combinac¸a˜o linear de vetores de핎:
(−훼− 훾, 훾,−훼 + 훽, 훽, 훼) = (−훼, 0,−훼, 0, 훼) + (0, 0, 훽, 훽, 0) + (−훾, 훾, 0, 0, 0)
= 훼(−1, 0,−1, 0, 1) + 훽(0, 0, 1, 1, 0) + 훾(−1, 1, 0, 0, 0)
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350 Espac¸os ℝ푛
Assim, todo vetor de핎 pode ser escrito como combinac¸a˜o linear dos vetores 푉1 = (−1, 0,−1, 0, 1),
푉2 = (0, 0, 1, 1, 0) e 푉3 = (−1, 1, 0, 0, 0) pertencentes a 핎 (푉1 e´ obtido fazendo-se 훼 = 1 e 훽 =
훾 = 0, 푉2 fazendo-se 훼 = 훾 = 0 e 훽 = 1 e 푉3 fazendo-se 훼 = 훽 = 0 e 훾 = 1). Ale´m disso segue da
equac¸a˜o anterior que 푉1, 푉2 e 푉3 sa˜o L.I. Logo {푉1, 푉2, 푉3} e´ uma base de핎.
Vamos, agora, encontrar uma base ortonormal para 핎. Para isso vamos aplicar a Proposic¸a˜o
5.18 na pa´gina 347.
푊1 = 푉1 = (−1, 0,−1, 0, 1);
푊2 = 푉2 − proj푊1 푉2 = (0, 0, 1, 1, 0) +
1
3
(−1, 0,−1, 0, 1) = 1
3
(−1, 0, 2, 3, 1)
푊3 = 푉3 − proj푊1 푉3 − proj푊2 푉3 = (−1, 1, 0, 0, 0)−
1
3
(−1, 0,−1, 0, 1)− 1
15
(−1, 0, 2, 3, 1)
=
1
5
(−3, 5, 1,−1,−2)
Agora, vamos “dividir” cada vetor pela sua norma para obtermos vetores de norma igual a 1
(unita´rios).
푈1 =
(
1
∣∣푊1∣∣
)
푊1 = (− 1√
3
, 0,− 1√
3
, 0,
1√
3
)
푈2 =
(
1
∣∣푊2∣∣
)
푊2 = (− 1√
15
, 0,
2√
15
,
3√
15
,
1√
15
)
푈3 =
(
1
∣∣푊3∣∣
)
푊3 = (− 3
2
√
10
,
5
2
√
10
,
1
2
√
10
,− 1
2
√
10
,− 1√
10
)
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.3 Produto Escalar em ℝ푛 351
5.3.2 Bases Ortogonais e Ortonormais
Definic¸a˜o 5.8. Seja {푉1, . . . , 푉푘} uma base de um subespac¸o de ℝ푛.
(a) Dizemos que {푉1, . . . , 푉푘} e´ uma base ortogonal, se 푉푖 ⋅ 푉푗 = 0, para 푖 ∕= 푗, ou seja, se
quaisquer dois vetores da base sa˜o ortogonais;
(b) Dizemos que {푉1, . . . , 푉푘} e´ uma base ortonormal, se ale´m de ser uma base ortogonal,
∣∣푉푖∣∣ = 1, ou seja, o vetor 푉푖 e´ unita´rio, para 푖 = 1, . . . 푚.
Exemplo 5.29. A base canoˆnica de ℝ푛, que e´ formada pelos vetores
퐸1 = (1, 0, . . . , 0), 퐸2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . 퐸푛 = (0, . . . , 0, 1)
e´ uma base ortonormal de ℝ푛.
Exemplo 5.30. No Exemplo 5.28, {푊1,푊2,푊3} e´ uma base ortogonal de 핎 e {푈1, 푈2, 푈3} e´ uma
base ortonormal de핎.
O resultado a seguir mostra que o procedimento usado no Exemplo 5.28 conhecido como pro-
cesso de ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt pode ser aplicado a qualquer subespac¸o de ℝ푛. Nas
Figuras 5.29 e 5.30 vemos como isto e´ possı´vel no caso em que o subespac¸o e´ o ℝ3, ja´ que o ℝ3 e´
subespac¸o dele mesmo.
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352 Espac¸os ℝ푛
푊1 = 푉1
푉3
푉2proj푊1푉2
푊2 =
푉2−proj푊1푉2
Figura 5.29: 푊1 = 푉1 e 푊2 = 푉2 −
proj푊1푉2
푉3
푊1
proj푊1푉3
푊2
푊3 =
푉3−proj푊1푉3
−proj푊2푉3
proj푊2푉3
proj푊1푉3+proj푊2푉3
Figura 5.30: 푊3 = 푉3 − proj푊1푉3 −
proj푊2푉3
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.3 Produto Escalar em ℝ푛 353
Teorema 5.20. Seja {푉1, . . . , 푉푘} uma base de um subespac¸o 핎 de ℝ푛. Enta˜o, existe uma base
{푈1, . . . , 푈푘} de 핎 que e´ ortonormal e tal que o subespac¸o gerado por 푈1, . . . , 푈푗 e´ igual ao
subespac¸o gerado por 푉1, . . . , 푉푗 para 푗 = 1, . . . , 푘.
Demonstrac¸a˜o. (a) Sejam
푊1 = 푉1 ,
푊2 = 푉2 − proj푊1푉2 ,
푊3 = 푉3 − proj푊1푉3 − proj푊2푉3 ,
. . .
푊푘 = 푉푘 − proj푊1푉푘 − proj푊2푉푘 . . .− proj푊푘−1푉푘.
Pela Proposic¸a˜o 5.18, segue-se que푊2 e´ ortogonal a푊1 e푊2 ∕= 0¯, pois 푉1 e 푉2 sa˜o L.I. Assim,
푊1 e 푊2 formam uma base ortogonal do subespac¸o gerado por 푉1 e 푉2. Agora, supondo
que 푊1, . . . ,푊푘−1 seja uma base ortogonal do subespac¸o gerado por 푉1, . . . , 푉푘−1, segue-
se da Proposic¸a˜o 5.19, que 푊푘 e´ ortogonal
a 푊1, . . . ,푊푘−1. 푊푘 ∕= 0¯, pois caso contra´rio,
푉푘 pertenceria ao subespac¸o gerado por 푊1, . . . ,푊푘−1 que e´ igual ao subespac¸o gerado por
푉1, . . . , 푉푘−1 e assim 푉1, . . . , 푉푘 seriam L.D. Como 푊1, . . . ,푊푘 sa˜o ortogonais na˜o nulos, pela
Proposic¸a˜o 5.17 na pa´gina 344, eles sa˜o L.I. e portanto formam uma base do subespac¸o핎.
(b) Sejam, agora
푈1 =
(
1
∣∣푊1∣∣
)
푊1, 푈2 =
(
1
∣∣푊2∣∣
)
푊2, . . . , 푈푘 =
(
1
∣∣푊푘∣∣
)
푊푘 .
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354 Espac¸os ℝ푛
Assim, {푈1, . . . , 푈푘} e´ uma base ortonormal para o subespac¸o핎.
■
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.3 Produto Escalar em ℝ푛 355
Exercı´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 591)
5.3.1. Sejam 푋 = (1, 1,−2) e 푌 = (푎,−1, 2). Para quais valores de 푎, 푋 e 푌 sa˜o ortogonais?
5.3.2. Sejam 푋 = (1/√2, 0, 1/√2) e 푌 = (푎, 1/√2,−푏). Para quais valores de 푎 e 푏, o conjunto
{푋, 푌 } e´ ortonormal?
5.3.3. Encontre uma base ortonormal para o plano 푥+ 푦 + 푧 = 0.
5.3.4. Encontre um subconjunto com o maior nu´mero possı´vel de vetores ortonormais no subespac¸o
dos vetores (푎, 푏, 푐, 푑) ∈ ℝ4 tais que 푎− 푏− 2푐+ 푑 = 0.
5.3.5. Encontre um subconjunto com o maior nu´mero possı´vel de vetores ortonormais no conjunto
soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo{
푥 + 푦 − 푧 = 0
2푥 + 푦 + 2푧 = 0.
5.3.6. Considere as retas (푥, 푦, 푧) = 푡(1, 2,−3) e (푥, 푦, 푧) = (0, 1, 2) + 푠(2, 4,−6) em ℝ3. Encontre
a equac¸a˜o geral do plano que conte´m estas duas retas e ache um subconjunto com o maior
nu´mero possı´vel de vetores ortonormais neste plano.
5.3.7. Use o processo de ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormal para
o subespac¸o de ℝ4 que tem como base {(1, 1,−1, 0), (0, 2, 0, 1), (−1, 0, 0, 1)}.
5.3.8. Aplique o processo de ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal de
ℝ
3 a partir da base {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 2, 3)}.
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356 Espac¸os ℝ푛
5.3.9. Ache as equac¸o˜es dos planos em ℝ3 ortogonais ao vetor (2, 2, 2), que distam
√
3 do ponto
(1, 1, 1). Estes planos sa˜o subespac¸os deℝ3? Caso afirmativo, encontre base(s) ortonormal(is)
para ele(s).
Exercı´cios Teo´ricos
5.3.10. Mostre que se 푉 e´ ortogonal a 푊 , enta˜o 푉 e´ ortogonal a 훼푊 , para todo escalar 훼.
5.3.11. Mostre que se 푉 e´ ortogonal a 푊1, . . . ,푊푘, enta˜o 푉 e´ ortogonal a qualquer combinac¸a˜o linear
de 푊1, . . . ,푊푘.
5.3.12. Sejam 푋 , 푌 e 푍 vetores de ℝ푛. Prove que se 푋 ⋅ 푌 = 푋 ⋅ 푍, enta˜o 푌 − 푍 e´ ortogonal a 푋 .
5.3.13. Mostre que se푊1, . . . ,푊푘 sa˜o vetores na˜o nulos ortogonais entre si e푋 = 훼1푊1+. . .+훼푘푊푘,
enta˜o 푋 = proj푊1푋 + . . .+ proj푊푘푋 .
5.3.14. Sejam 푉1, . . . , 푉푘 vetores linearmente dependentes. Mostre que, aplicando-se o processo de
ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt aos vetores 푉1, . . . , 푉푘, se obte´m um vetor 푊푖 que e´ nulo,
para algum 푖 = 1, . . . , 푘. (Sugesta˜o: Seja 푉푖 o primeiro vetor tal que 푉푖 ∈ [푉1, . . . , 푉푖−1] =
[푊1, . . . ,푊푖−1] e use o exercı´cio anterior.)
5.3.15. Seja 푆 = {푊1, . . . ,푊푘} uma base ortogonal de um subespac¸o핎 de ℝ푛. Mostre que um todo
vetor 푉 de핎 pode ser escrito como
푉 =
푉 ⋅푊1
∣∣푊1∣∣2푊1 +
푉 ⋅푊2
∣∣푊2∣∣2푊2 + . . .+
푉 ⋅푊푘
∣∣푊푘∣∣2푊푘.
(Sugesta˜o: escreva 푉 = 푥1푊1 + . . . + 푥푘푊푘, fac¸a o produto escalar de 푉 com 푊푖 e conclua
que 푥푖 = 푉 ⋅푊푖∣∣푊푖∣∣2 , para 푖 = 1, . . . , 푘.)
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.3 Produto Escalar em ℝ푛 357
5.3.16. Mostre que o conjunto de todos os vetores do ℝ푛 ortogonais a um dado vetor 푉 = (푎1, . . . , 푎푛),
핎 = {푋 = (푥1, . . . , 푥푛) ∈ ℝ푛 ∣ 푋 ⋅ 푉 = 0} e´ um subespac¸o de ℝ푛.
5.3.17. Demonstre que, se 푉 e 푊 sa˜o vetores quaisquer de ℝ푛, enta˜o:
(a) 푉 ⋅푊 = 1
4
[∣∣푉 +푊 ∣∣2 − ∣∣푉 −푊 ∣∣2] (identidade polar);
(b) ∣∣푉 +푊 ∣∣2 + ∣∣푉 −푊 ∣∣2 = 2(∣∣푉 ∣∣2 + ∣∣푊 ∣∣2) (lei do paralelogramo).
(Sugesta˜o: desenvolva os segundos membros das igualdades acima observando que
∣∣푉 +푊 ∣∣2 = (푉 +푊 ) ⋅ (푉 +푊 ) e ∣∣푉 −푊 ∣∣2 = (푉 −푊 ) ⋅ (푉 −푊 ))
5.3.18. Seja {푈1, . . . , 푈푛} uma base ortonormal de ℝ푛. Se 퐴 = [ 푈1 . . . 푈푛 ] e´ uma matriz 푛 × 푛
cujas colunas sa˜o os vetores 푈1, . . . , 푈푛, enta˜o 퐴 e´ invertı´vel e 퐴−1 = 퐴푡. (Sugesta˜o: mostre
que 퐴푡퐴 = 퐼푛.)
5.3.19. Mostre que o aˆngulo entre dois vetores na˜o nulos 푋 = (푥1, . . . , 푥푛) e 푌 = (푦1, . . . , 푦푛) de ℝ푛,
que e´ definido como sendo o nu´mero real 휃 entre 0 e 휋 tal que
cos 휃 =
푋 ⋅ 푌
∣∣푋∣∣ ∣∣푌 ∣∣ ,
esta´ bem definido, ou seja, que existe um tal nu´mero real 휃 e e´ u´nico. (Sugesta˜o: mostre,
usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, que
−1 ≤ 푋 ⋅ 푌∣∣푋∣∣ ∣∣푌 ∣∣ ≤ 1.)
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
358 Espac¸os ℝ푛
5.3.20. Seja핎 um subespac¸o de ℝ푛. Mostre que o conjunto de todos os vetores ortogonais a todos os
vetores de핎 e´ um subespac¸o deℝ푛. Este subespac¸o e´ chamado de complemento ortogonal
de핎 e denotado por핎⊥, ou seja,
핎
⊥ = {푋 ∈ ℝ푛 ∣ 푋 ⋅ 푌 = 0, para todo 푌 ∈핎}.
5.3.21. Mostre que todo subespac¸o 핎 de ℝ푛 e´ o espac¸o soluc¸a˜o de um sistema linear homogeˆneo.
(Sugesta˜o: seja {푊1, . . . ,푊푘} uma base de핎⊥ tome 퐴 = [ 푊1 . . .푊푘 ]푡.)
5.3.22. Embora na˜o exista o produto vetorial de dois vetores em ℝ푛, para 푛 > 3, podemos definir o
produto vetorial de 푛 − 1 vetores, 푉1 = (푣11, . . . , 푣1푛), . . . , 푉푛−1 = (푣(푛−1)1, . . . , 푣(푛−1)푛)
como
푉1 × 푉2 × ⋅ ⋅ ⋅ × 푉푛−1 =
(
(−1)푛+1 det(푣푖푗)푗 ∕=1, (−1)푛+2 det(푣푖푗)푗 ∕=2, . . . , (−1)2푛 det(푣푖푗)푗 ∕=푛
)
.
Mostre que:
(a) 푉1 × 푉2 × ⋅ ⋅ ⋅ × 푉푛−1 e´ ortogonal a 푉1, . . . , 푉푛−1.
(b) 훼(푉1 × 푉2 × ⋅ ⋅ ⋅ × 푉푛−1) = 푉1 × ⋅ ⋅ ⋅훼푉푖 × ⋅ ⋅ ⋅ × 푉푛−1
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.4 Mudanc¸a de Coordenadas 359
5.4 Mudanc¸a de Coordenadas
Se as coordenadas de um ponto 푃 no espac¸o sa˜o (푥, 푦, 푧), enta˜o as componentes do vetor
−→
푂푃
tambe´m sa˜o (푥, 푦, 푧) e enta˜o podemos escrever
−→
푂푃 = (푥, 푦, 푧) = (푥, 0, 0) + (0, 푦, 0) + (0, 0, 푧)
= 푥(1, 0, 0) + 푦(0, 푦, 0) + 푧(0, 0, 1) = 푥⃗푖+ 푦푗⃗ + 푧푘⃗,
em que 푖⃗ = (1, 0, 0), 푗⃗ = (0, 1, 0) e 푘⃗ = (0, 0, 1). Ou seja, as coordenadas de um ponto 푃 sa˜o
iguais aos escalares que aparecem ao escrevermos
−→
푂푃 como uma combinac¸a˜o linear dos vetores
canoˆnicos. Assim, o ponto 푂 = (0, 0, 0) e os vetores 푖⃗, 푗⃗ e 푘⃗ determinam um sistema de coor-
denadas ortogonal, {푂, 푖⃗, 푗⃗, 푘⃗}. Para resolver alguns problemas geome´tricos e´ necessa´rio usarmos
um segundo sistema de coordenadas ortogonal determinado por uma origem 푂′ e por 3 veto-
res 푈1, 푈2 e 푈3 ortonormais de ℝ3.∗ Por exemplo, se 푂′ = (2, 3/2, 3/2), 푈1 = (
√
3/2, 1/2, 0),
푈2 = (−1/2,
√
3/2, 0) e 푈3 = (0, 0, 1) = 푘⃗, enta˜o {푂′, 푈1, 푈2, 푈3} determina um novo sistema de
coordenadas: aquele com origem no ponto 푂′, cujos eixos 푥′, 푦′ e 푧′ sa˜o retas que passam por 푂′
orientadas com os sentidos e direc¸o˜es de 푈1, 푈2 e 푈3, respectivamente (Figura 5.32).
As coordenadas de um ponto 푃 no sistema de coordenadas {푂′, 푈1, 푈2, 푈3} e´ definido como
sendo os escalares que aparecem ao escrevermos
−→
푂′푃 como combinac¸a˜o linear dos vetores 푈1, 푈2
e 푈3, ou seja, se
−→
푂′푃= 푥′푈1 + 푦′푈2 + 푧′푈3,
∗Em geral, um sistema de coordenadas (na˜o necessariamente ortogonal) e´ definido por um ponto 푂′ e treˆs vetores
푉1, 푉2 e 푉3 L.I. de ℝ3 (na˜o necessariamente ortonormais) (veja o Exercı´cio 5.4.9 na pa´gina 379).
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360 Espac¸os ℝ푛
x y
z
푦푗⃗푥⃗푖
푥푘⃗
푃 = (푥, 푦, 푧)
Figura 5.31:
−→
푂푃= 푥⃗푖+ 푦푗⃗ + 푧푘⃗
x y
z
x’
y’
z’
푈3
푂′ 푈2
푈1
Figura 5.32: Dois sistemas de coordenadas
ortogonais {푂, 푖⃗, 푗⃗, 푘⃗} e {푂′, 푈1, 푈2, 푈3}
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.4 Mudanc¸a de Coordenadas 361
enta˜o as coordenadas
de 푃 no sistema {푂′, 푈1, 푈2, 푈3} sa˜o dadas por
[푃 ]{푂′,푈1,푈2,푈3} =
⎡
⎣ 푥′푦′
푧′
⎤
⎦ .
Vamos considerar inicialmente o caso em que 푂 = 푂′. Assim, se
−→
푂푃= (푥, 푦, 푧), enta˜o 푥′푈1 +
푦′푈2 + 푧′푈3 =
−→
푂푃 e´ equivalente ao sistema linear
푄푋 ′ = 푋, em que 푄 = [ 푈1 푈2 푈3 ], 푋 ′ =
⎡
⎣ 푥′푦′
푧′
⎤
⎦ , 푋 =
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ .
Como a matriz 푄 e´ invertı´vel (por que?) a soluc¸a˜o e´ dada por
푋 ′ = 푄−1푋.
Mas, como 푈1, 푈2 e 푈3 formam uma base ortonormal de ℝ3, enta˜o
푄푡푄 =
⎡
⎣ 푈 푡1푈 푡2
푈 푡3
⎤
⎦ [ 푈1 푈2 푈3 ] =
⎡
⎣ 푈 푡1푈1 푈 푡1푈2 푈 푡1푈3푈 푡2푈1 푈 푡2푈2 푈 푡2푈3
푈 푡3푈1 푈
푡
3푈2 푈
푡
3푈3
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 푈1 ⋅ 푈1 푈1 ⋅ 푈2 푈1 ⋅ 푈3푈2 ⋅ 푈1 푈2 ⋅ 푈2 푈2 ⋅ 푈3
푈3 ⋅ 푈1 푈3 ⋅ 푈2 푈3 ⋅ 푈3
⎤
⎦ = 퐼3
Assim, a matriz 푄 = [푈1 푈2 푈3 ] e´ invertı´vel e 푄−1 = 푄푡. Desta forma as coordenadas de um ponto
푃 no espac¸o em relac¸a˜o ao sistema {푂,푈1, 푈2, 푈3}, 푥′, 푦′ e 푧′ esta˜o unicamente determinados e
[푃 ]{푂,푈1,푈2,푈3} = 푄
푡[푃 ]{푂,⃗푖,⃗푗,⃗푘} ou
⎡
⎣ 푥′푦′
푧′
⎤
⎦ = 푄푡
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ .
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362 Espac¸os ℝ푛
Tambe´m no plano temos o mesmo tipo de situac¸a˜o que e´ tratada de forma inteiramente ana´loga.
As coordenadas de um ponto 푃 no plano em relac¸a˜o a um sistema de coordenadas {푂′, 푈1, 푈2},
em que 푈1 e 푈2 sa˜o vetores que formam uma base ortonormal do ℝ2, e´ definido como sendo os
escalares que aparecem ao escrevermos
−→
푂′푃 como combinac¸a˜o linear de 푈1 e 푈2, ou seja, se
−→
푂′푃= 푥′푈1 + 푦′푈2,
enta˜o as coordenadas de 푃 no sistema {푂′, 푈1, 푈2} sa˜o dadas por
[푃 ]{푂′,푈1,푈2} =
[
푥′
푦′
]
.
As coordenadas de um ponto 푃 no plano em relac¸a˜o ao sistema {푂,푈1, 푈2, 푈3} esta˜o bem
definidas, ou seja, 푥′ e 푦′ esta˜o unicamente determinados e sa˜o dados por
[푃 ]{푂,푈1,푈2} = 푄
푡[푃 ]{푂,퐸1,퐸2} ou
[
푥′
푦′
]
= 푄푡
[
푥
푦
]
,
em que 퐸1 = (1, 0) e 퐸2 = (0, 1). Observe que, tanto no caso do plano quanto no caso do espac¸o, a
matriz푄 satisfaz, 푄−1 = 푄푡. Uma matriz que satisfaz esta propriedade e´ chamada matriz ortogonal.
Exemplo 5.31. Considere o sistema de coordenadas no plano em que 푂′ = 푂 e 푈1 = (
√
3/2, 1/2)
e 푈2 = (−1/2,
√
3/2). Se 푃 = (2, 4), vamos determinar as coordenadas de 푃 em relac¸a˜o ao novo
sistema de coordenadas.
푄 = [ 푈1 푈2 ] =
[ √
3/2 −1/2
1/2
√
3/2
]
.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.4 Mudanc¸a de Coordenadas 363
Assim as coordenadas de 푃 em relac¸a˜o ao novo sistema de coordenadas sa˜o dadas por
[푃 ]{푂,푈1,푈2} = 푄
푡
[
2
4
]
=
[
푈 푡1
푈 푡2
] [
2
4
]
=
[ √
3/2 1/2
−1/2 √3/2
] [
2
4
]
=
[
2 +
√
3
2
√
3− 1
]
.
Exemplo 5.32. Considere o mesmo sistema de coordenadas do exemplo anterior, mas agora seja
푃 = (푥, 푦) um ponto qualquer do plano. Vamos determinar as coordenadas de 푃 em relac¸a˜o ao
novo sistema de coordenadas.
As coordenadas de 푃 em relac¸a˜o ao novo sistema de coordenadas sa˜o dadas por
[푃 ]{푂,푈1,푈2} = 푄
푡
[
푥
푦
]
=
[
푈 푡1
푈 푡2
] [
푥
푦
]
=
[ √
3/2 1/2
−1/2 √3/2
] [
푥
푦
]
=
[
(
√
3푥+ 푦)/2
(−푥+√3 푦)/2
]
.
Exemplo 5.33. Vamos agora considerar um problema inverso a`queles apresentados nos exemplos
anteriores. Suponha que sejam va´lidas as seguintes equac¸o˜es{
푥 = 1√
5
푥′ + 2√
5
푦′
푦 = 2√
5
푥′ − 1√
5
푦′
,
ou equivalentemente [
푥
푦
]
=
[
1√
5
2√
5
2√
5
− 1√
5
] [
푥′
푦′
]
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
364 Espac¸os ℝ푛
x‘
y‘
x
y
푃
푥
푦
퐸1
퐸2
푥
′
푈1푈2
푦
′
Figura 5.33: Coordenadas de um ponto 푃 em dois sistemas
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.4 Mudanc¸a de Coordenadas 365
entre as coordenadas
[
푥′
푦′
]
de um ponto 푃 em relac¸a˜o a um sistema de coordenadas {푂,푈1, 푈2}
e as coordenadas de 푃 ,
[
푥
푦
]
, em relac¸a˜o ao sistema de coordenadas original
{푂,퐸1 = (1, 0), 퐸2 = (0, 1)}.
Queremos determinar quais sa˜o os vetores 푈1 e 푈2.
Os vetores 푈1 e 푈2 da nova base possuem coordenadas
[
1
0
]
e
[
0
1
]
, respectivamente, em
relac¸a˜o ao novo sistema de coordenadas, {푂,푈1, 푈2}. Pois, 푈1 = 1푈1 + 0푈2 e 푈2 = 0푈1 +
1푈2. Queremos saber quais as coordenadas destes vetores em relac¸a˜o ao sistema de coordenadas
original, {푂,퐸1 = (1, 0), 퐸2 = (0, 1)}. Logo,
푈1 =
[
1√
5
2√
5
2√
5
− 1√
5
] [
1
0
]
=
[
1√
5
2√
5
]
푈2 =
[
1√
5
2√
5
2√
5
− 1√
5
] [
0
1
]
=
[
2√
5
− 1√
5
]
Ou seja, 푈1 e 푈2 sa˜o as colunas da matriz 푄 =
[
1√
5
2√
5
2√
5
− 1√
5
]
.
5.4.1 Rotac¸a˜o
Suponha que o novo sistema de coordenadas {푂,푈1, 푈2} seja obtido do sistema original
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
366 Espac¸os ℝ푛
x‘
y‘
x
y
퐸1
퐸2
푈1
푈2
휃
휃 cos 휃
se
n
휃co
s
휃
−sen 휃
Figura 5.34: Rotac¸a˜o de um aˆngulo 휃
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.4 Mudanc¸a de Coordenadas 367
{푂,퐸1 = (1, 0), 퐸2 = (0, 1)} por uma rotac¸a˜o de um aˆngulo 휃. Observando a Figura 5.34, ob-
temos
푈1 = (cos 휃, sen 휃)
푈2 = (−sen 휃, cos 휃)
seja 푃 = (푥, 푦) um ponto qualquer do plano. Vamos determinar as coordenadas de 푃 em relac¸a˜o
ao novo sistema de coordenadas.
A matriz
푄 = [ 푈1 푈2 ] =
[
cos 휃 −sen 휃
sen 휃 cos 휃
]
= 푅휃
e´ chamada matriz de rotac¸a˜o.
As coordenadas de 푃 em relac¸a˜o ao novo sistema de coordenadas sa˜o dadas por[
푥′
푦′
]
= 푅푡휃
[
푥
푦
]
=
[
cos 휃 sen 휃
−sen 휃 cos 휃
] [
푥
푦
]
.
O sistema de coordenadas que aparece nos dois primeiros exemplos desta sec¸a˜o podem ser
obtidos por uma rotac¸a˜o de um aˆngulo 휃 = 휋/6 em relac¸a˜o ao sistema original.
5.4.2 Translac¸a˜o
Vamos considerar, agora, o caso em que 푂′ ∕= 푂, ou seja, em que ocorre uma translac¸a˜o dos
eixos coordenados.
Observando a Figura 5.35, obtemos
−→
푂′푃=
−→
푂푃 −
−→
푂푂′ . (5.22)
Assim, se
−→
푂푂′= (ℎ, 푘), enta˜o
−→
푂′푃= (푥′, 푦′) = (푥, 푦)− (ℎ, 푘) = (푥− ℎ, 푦 − 푘)
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
368 Espac¸os ℝ푛
x‘
y‘
x
y
푥
푃
푂
푂′ 푥
′
푦′푦
Figura 5.35: Coordenadas de um ponto 푃 em dois sistemas (translac¸a˜o)
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.4 Mudanc¸a de Coordenadas 369
Logo, as coordenadas de 푃 em relac¸a˜o ao novo sistema sa˜o dadas por
[푃 ]{푂′,퐸1,퐸2} =
[
푥′
푦′
]
=
[
푥− ℎ
푦 − 푘
]
. (5.23)
O eixo x′ tem equac¸a˜o 푦′ = 0, ou seja, 푦 = 푘 e o eixo y′, 푥′ = 0, ou seja, 푥 = ℎ.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
370 Espac¸os ℝ푛
5.4.3 Aplicac¸a˜o: Computac¸a˜o Gra´fica - Projec¸a˜o Ortogra´fica
Esta projec¸a˜o e´ usada para fazer desenhos de objetos tridimensionais no papel ou na tela do
computador. Com esta projec¸a˜o os pontos no espac¸o sa˜o projetados ortogonalmente ao plano do
desenho.
Para encontrar a projec¸a˜o de um ponto 푃 podemos encontrar as coordenadas de 푃 em relac¸a˜o
ao sistema 풮′ = {푂′, 푈1, 푈2, 푈3} e tomar as duas primeiras coordenadas.
Como a projec¸a˜o em qualquer plano paralelo ao plano do desenho fornece as mesmas coordena-
das podemos supor que 푂′ = 푂, ou seja, que os dois sistemas teˆm a mesma origem.
A relac¸a˜o entre as coordenadas de um ponto nos dois sistemas
풮
′ = {푂,푈1, 푈2, 푈3} e 풮 = {푂, 푖⃗, 푗⃗, 푘⃗}
e´ dada por
푋 ′ = 푄푡푋, em que 푄 = [푈1 푈2 푈3 ]
Vamos
encontrar os vetores 푈1, 푈2 e 푈3 em func¸a˜o dos aˆngulos 휃 e 휙. O vetor 푈1 e´ paralelo ao plano
xy e e´ perpendicular ao vetor (cos 휃, sen 휃, 0), ou seja,
푈1 = (− sen 휃, cos 휃, 0).
Os vetores 푈2 e 푈3 esta˜o no plano definido por 푘⃗ e (cos 휃, sen 휃, 0).
푈2 = − cos휙(cos 휃, sen 휃, 0) + sen휙푘⃗ = (− cos휙 cos 휃,− cos휙 sen 휃, sen휙)
푈3 = cos휙푘⃗ + sen휙(cos 휃, sen 휃, 0) = (sen휙 cos 휃, sen휙 sen 휃, cos휙)
Assim a relac¸a˜o entre as coordenadas de um ponto nos dois sistemas
풮
′ = {푂,푈1, 푈2, 푈3} e 풮 = {푂, 푖⃗, 푗⃗, 푘⃗}
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.4 Mudanc¸a de Coordenadas 371
x′
y′
Figura 5.36: Projec¸a˜o ortogra´fica de um cubo
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
372 Espac¸os ℝ푛
푘⃗
푖⃗
푗⃗
푂′
푈1
푈2
푈3
휃
휙
Figura 5.37: sistemas de coordenadas relacionados a` projec¸a˜o ortogra´fica
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.4 Mudanc¸a de Coordenadas 373
푘⃗
푖⃗
푗⃗
푈2
푈1
푈3
(cos 휃, sen 휃, 0)
휃
휙
Figura 5.38: Bases relacionadas a` projec¸a˜o ortogra´fica
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
374 Espac¸os ℝ푛
(cos 휃, sen 휃, 0)
푘⃗푗⃗
푖⃗
푈3
(cos 휃, sen 휃, 0)
휙
휃
푈2
푈1
Figura 5.39: Relac¸a˜o entre os vetores das bases {푈1, 푈2, 푈3} e {⃗푖, 푗⃗, 푘⃗}
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.4 Mudanc¸a de Coordenadas 375
e´ dada por ⎡
⎣ 푥′푦′
푧′
⎤
⎦ =
⎡
⎣ − sen 휃 cos 휃 0− cos휙 cos 휃 − cos휙 sen 휃 sen휙
sen휙 cos 휃 sen휙 sen 휃 cos휙
⎤
⎦
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦
e a projec¸a˜o e´ dada por
[
푥′
푦′
]
=
[ − sen 휃 cos 휃 0
− cos휙 cos 휃 − cos휙 sen 휃 sen휙
]⎡⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ .
Por exemplo para 휃 = 30∘ e 휙 = 60∘ temos que
[
푥′
푦′
]
=
[
−1
2
√
3
2
0
−
√
3
4
−1
4
√
3
2
]⎡⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ ≈ [ −0.50 0.87 0−0.43 −0.25 0.87
]⎡⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ .
Usando esta projec¸a˜o os vetores 푖⃗, 푗⃗ e 푘⃗ sa˜o desenhados como na figura abaixo.
Experimente desenhar o cubo que tem a origem 푂 = (0, 0, 0) como um dos ve´rtices e como
ve´rtices adjacentes a` origem (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1). Observe que na˜o e´ necessa´rio calcular a
projec¸a˜o dos outros pontos (por que?)
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
376 Espac¸os ℝ푛
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 5.40: Vetores 푖⃗, 푗⃗ e 푘⃗ desenhados usando projec¸a˜o ortogra´fica
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.4 Mudanc¸a de Coordenadas 377
Exercı´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 597)
5.4.1. Encontre as coordenadas do ponto 푃 com relac¸a˜o ao sistema de coordenadas 풮, nos seguintes
casos:
(a) 풮 = {푂, (1/√2,−1/√2), (1/√2, 1/√2)} e 푃 = (1, 3);
(b) 풮 = {푂, (1/√2,−1/√2, 0), (0, 0, 1), (1/√2, 1/√2, 0)} e 푃 = (2,−1, 2);
5.4.2. Encontre o ponto 푃 , se as coordenadas de 푃 em relac¸a˜o ao sistema de coordenadas 풮, [푃 ]풮,
sa˜o:
(a) [푃 ]풮 =
[
2
1
]
, em que 풮 = {푂, (−1/√2, 1/√2), (1/√2, 1/√2)}. (b) [푃 ]풮 =
⎡
⎣ −11
2
⎤
⎦, em
que 풮 = {푂, (0, 1/√2,−1/√2), (1, 0, 0), (0, 1/√2, 1/√2)};
5.4.3. Sejam [푃 ]ℛ =
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ as coordenadas de um ponto 푃 em relac¸a˜o ao sistema de coordenadas
ℛ = {푂, 푖⃗, 푗⃗, 푘⃗} e [푃 ]풮 =
⎡
⎣ 푥′푦′
푧′
⎤
⎦, em relac¸a˜o ao sistema de coordenadas 풮 = {푂,푈1, 푈2, 푈3}.
Suponha que temos a seguinte relac¸a˜o:
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 1 0 00 1/2 −√3/2
0
√
3/2 1/2
⎤
⎦
⎡
⎣ 푥′푦′
푧′
⎤
⎦ .
Quais sa˜o os vetores 푈1, 푈2 e 푈3?
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
378 Espac¸os ℝ푛
5.4.4. Determine qual a rotac¸a˜o do plano em que as coordenadas do ponto 푃 = (
√
3, 1) sa˜o
[ √
3
−1
]
.
5.4.5. Considere o plano 휋 : 3푥−√3푦 + 2푧 = 0.
(a) Determine uma base ortonormal para o plano em que o primeiro vetor esteja no plano xy.
(b) Complete a base encontrada para se obter uma base ortonormal {푈1, 푈2, 푈3} de ℝ3.
(c) Determine as coordenadas dos vetores 푖⃗, 푗⃗ e 푘⃗ no sistema {푂,푈1, 푈2, 푈3}.
5.4.6. Considere dois sistemas de coordenadas ℛ = {푂, 푖⃗, 푗⃗, 푘⃗} e 풮 = {푂, 푖⃗, 푈2, 푈3}, em que o
sistema 풮 e´ obtido do sistema ℛ por uma rotac¸a˜o do aˆngulo 휃 em torno do eixo x. Determine
a relac¸a˜o entre as coordenadas, (푥′, 푦′, 푧′), em relac¸a˜o ao sistema 풮 e (푥, 푦, 푧), em relac¸a˜o ao
sistema ℛ
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.4 Mudanc¸a de Coordenadas 379
Exercı´cios Teo´ricos
5.4.7. Mostre que
(a) 푅휃1푅휃2 = 푅휃1+휃2 .
(b) 푅−1휃 = 푅−휃.
5.4.8. Seja 퐵 uma matriz quadrada 2× 2.
(a) Verifique que 푅휃퐵 e´ a matriz obtida girando as colunas de 퐵 de 휃.
(b) Verifique que 퐵푅휃 e´ a matriz obtida girando as linhas de 퐵 de −휃.
(c) Quais as condic¸o˜es sobre 퐵 e 휃 para que 푅휃퐵 = 퐵푅휃. Deˆ um exemplo.
5.4.9. Definimos coordenadas de pontos no espac¸o em relac¸a˜o a um sistema de coordenadas deter-
minado por um ponto 푂′ e treˆs vetores 푉1, 푉2 e 푉3 L.I. na˜o necessariamente ortonormais do
ℝ
3 da mesma forma como fizemos quando os vetores formam uma base ortonormal. As co-
ordenadas de um ponto 푃 no sistema de coordenadas {푂′, 푉1, 푉2, 푉3} e´ definido como sendo
os escalares que aparecem ao escrevermos
−→
푂′푃 como combinac¸a˜o linear dos vetores 푉1, 푉2 e
푉3, ou seja, se −→
푂′푃= 푥′푉1 + 푦′푉2 + 푧′푉3,
enta˜o as coordenadas de 푃 no sistema {푂′, 푉1, 푉2, 푉3} sa˜o dadas por
[푃 ]{푂′,푉1,푉2,푉3} =
⎡
⎣ 푥′푦′
푧′
⎤
⎦ .
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
380 Espac¸os ℝ푛
Assim, se
−→
푂′푃= (푥, 푦, 푧), enta˜o 푥′푉1 + 푦′푉2 + 푧′푉3 =
−→
푂′푃 pode ser escrito como
[ 푉1 푉2 푉3 ]
⎡
⎣ 푥′푦′
푧′
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦
(a) Mostre que a matriz 푄 = [푉1 푉2 푉3 ] e´ invertı´vel.
(b) Mostre que as coordenadas de um ponto 푃 no espac¸o em relac¸a˜o ao sistema
{푂′, 푉1, 푉2, 푉3} esta˜o bem definidas, ou seja, 푥′, 푦′ e 푧′ esta˜o unicamente determinados
e sa˜o dados por
[푃 ]{푂′,푉1,푉2,푉3} =
⎡
⎣ 푥′푦′
푧′
⎤
⎦ = 푄−1
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ = 푄−1[푃 ]{푂′ ,⃗푖,⃗푗,⃗푘}.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
5.4 Mudanc¸a de Coordenadas 381
Teste do Capı´tulo
1. Sejam 푆1 e 푆2 subconjuntos finitos do ℝ푛 tais que 푆1 seja um subconjunto de 푆2 (푆1 ∕= 푆2). Se
푆2 e´ linearmente dependente, enta˜o:
(a) 푆1 pode ser linearmente dependente? Em caso afirmativo deˆ um exemplo.
(b) 푆1 pode ser linearmente independente? Em caso afirmativo deˆ um exemplo.
2. Encontre os valores de 휆 tais que o sistema homogeˆneo (퐴 − 휆퐼3)푋 = 0¯ tem soluc¸a˜o na˜o
trivial e para estes valores de 휆, encontre um subconjunto de vetores ortonormais no conjunto
soluc¸a˜o, para a matriz
퐴 =
⎡
⎣ 0 0 00 2 2
0 2 2
⎤
⎦
3. Considere o vetor 푓1 = (12 ,
√
3
2
).
(a) Escolha 푓2 de forma que 풮 = {푓1, 푓2} seja base ortonormal do ℝ2. Mostre que 풮 e´ base.
(b) Considere 푃 = (√3, 3). Escreva 푃 como combinac¸a˜o linear dos elementos de 풮.
(c) Determine [푃 ]{푂,풮}, as coordenadas de 푃 em relac¸a˜o ao sistema de coordenadas deter-
minado pela origem 푂 e pela base 풮.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
Capı´tulo 6
Diagonalizac¸a˜o
6.1 Diagonalizac¸a˜o de Matrizes
6.1.1 Motivac¸a˜o
Certos processos sa˜o descritos em cada esta´gio por uma matriz 퐴 quadrada e em 푘 esta´gios pela
poteˆncia 푘 da matriz 퐴, 퐴푘, em que 푘 e´ um nu´mero inteiro positivo. Suponha que desejamos saber a
382
6.1 Diagonalizac¸a˜o de Matrizes 383
matriz que corresponde a 푘 esta´gios, para 푘 um inteiro positivo qualquer. Se a matriz 퐴 e´ diagonal,
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
휆1 0
. . . 0
0 휆2 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 . . . 0 휆푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ , enta˜o 퐴푘 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
휆푘1 0 . . . 0
0 휆푘2 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 . . . 0 휆푘푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
Se a matriz 퐴 na˜o e´ diagonal, mas existe uma matriz 푃 tal que
퐴 = 푃퐷푃−1, em que 퐷 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
휆1 0 . . . 0
0 휆2 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 . . . 0 휆푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ ,
enta˜o
퐴2 = (푃퐷푃−1)(푃퐷푃−1) = 푃퐷(푃−1푃 )퐷푃−1 = 푃퐷2푃−1.
Agora, supondo que 퐴푘−1 = 푃퐷푘−1푃−1, temos que
퐴푘 = 퐴푘−1퐴 = (푃퐷푃−1)푘−1(푃퐷푃−1)
= (푃퐷푘−1푃−1)(푃퐷푃−1) = 푃퐷푘−1(푃−1푃 )퐷푃−1
= 푃퐷푘푃−1 = 푃
⎡
⎢⎢⎢⎣
휆푘1 0 . . . 0
0 휆푘2 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 . . . 0 휆푘푛
⎤
⎥⎥⎥⎦푃−1.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
384 Diagonalizac¸a˜o
Assim, podemos facilmente encontrar a 푘-e´sima poteˆncia de 퐴.
Exemplo 6.1. Seja
퐴 =
[
1 −1
−4 1
]
.
mostraremos no Exemplo 6.6 na pa´gina 401 que
푃 =
[
1 1
−2 2
]
e 퐷 =
[
3 0
0 −1
]
sa˜o tais que
퐴 = 푃퐷푃−1.
Assim,
퐴푘 = 푃퐷푘푃−1 =
[
1 1
−2 2
] [
3푘 0
0 (−1)푘
] [
1 1
−2 2
]−1
=
[
3푘 (−1)푘
−2 3푘 2(−1)푘
]
1
4
[
2 −1
2 1
]
=
1
4
[
2(3푘 + (−1)푘) (−1)푘 − 3푘
4((−1)푘 − 3푘) 2(3푘 + (−1)푘)
]
Vamos descobrir, a seguir, como podemos determinar matrizes 푃 e 퐷, quando elas existem, tais
que 퐴 = 푃퐷푃−1, ou multiplicando a` esquerda por 푃−1 e a` direita por 푃 , 퐷 = 푃−1퐴푃 , com 퐷
sendo uma matriz diagonal. Chamamos diagonalizac¸a˜o ao processo de encontrar as matrizes 푃 e
퐷.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
6.1 Diagonalizac¸a˜o de Matrizes 385
6.1.2 Autovalores e Autovetores
Definic¸a˜o 6.1. Dizemos que uma matriz 퐴, 푛× 푛, e´ diagonaliza´vel, se existem matrizes 푃 e 퐷 tais
que 퐴 = 푃퐷푃−1, ou equivalentemente, 퐷 = 푃−1퐴푃 , em que 퐷 e´ uma matriz diagonal.
Exemplo 6.2. Toda matriz diagonal
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
휆1 0 . . . 0
0 휆2 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 . . . 0 휆푛
⎤
⎥⎥⎥⎦
e´ diagonaliza´vel, pois
퐴 = (퐼푛)
−1퐴퐼푛.
Vamos supor inicialmente que a matriz 퐴 seja diagonaliza´vel. Enta˜o existe uma matriz 푃 tal que
푃−1퐴푃 = 퐷 , (6.1)
em que 퐷 e´ uma matriz diagonal. Vamos procurar tirar concluso˜es sobre as matrizes 푃 e 퐷.
Multiplicando a` esquerda por 푃 ambos os membros da equac¸a˜o anterior, obtemos
퐴푃 = 푃퐷 . (6.2)
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
386 Diagonalizac¸a˜o
Sejam
퐷 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
휆1 0 . . . 0
0 휆2 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 . . . 0 휆푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ e 푃 = [ 푉1 푉2 . . . 푉푛 ] ,
em que 푉푗 e´ a coluna 푗 de 푃 . Por um lado
퐴푃 = 퐴
[
푉1 푉2 . . . 푉푛
]
=
[
퐴푉1 퐴푉2 . . . 퐴푉푛
]
(Exercı´cio 1.1.18 na pa´gina 27) e por outro lado
푃퐷 =
[
푉1 푉2 . . . 푉푛
]
⎡
⎢⎢⎢⎣
휆1 0 . . . 0
0 휆2 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 . . . 0 휆푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ = [ 휆1푉1 휆2푉2 . . . 휆푛푉푛 ]
(Exercı´cio 1.1.17 na pa´gina 27) Assim, (6.2) pode ser reescrita como,[
퐴푉1 퐴푉2 . . . 퐴푉푛
]
=
[
휆1푉1 휆2푉2 . . . 휆푛푉푛
]
.
Logo,
퐴푉푗 = 휆푗푉푗,
para 푗 = 1, . . . 푛. Ou seja, as colunas de 푃 , 푉푗 , e os elementos da diagonal de 퐷, 휆푗 , satisfazem a
equac¸a˜o
퐴푋 = 휆푋,
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
6.1 Diagonalizac¸a˜o de Matrizes 387
em que 휆 e 푋 sa˜o inco´gnitas. Isto motiva a seguinte definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 6.2. Seja 퐴 uma matriz 푛 × 푛. Um nu´mero real 휆 e´ chamado autovalor (real) de 퐴, se
existe um vetor na˜o nulo 푉 =
⎡
⎢⎣ 푣1..
.
푣푛
⎤
⎥⎦ de ℝ푛, tal que
퐴푉 = 휆푉 . (6.3)
Um vetor na˜o nulo que satisfac¸a (6.3), e´ chamado de autovetor de 퐴.
�
�
�
�
�
�*
�
��*
푂
퐴푉 = 휆푉
푉
휆 > 1
�
�
�
�
�
�*
�
��*
푂
푉
퐴푉 = 휆푉
0 < 휆 < 1
�
�
�
�
�
�*
�
�
��
푂
푉
퐴푉 = 휆푉
휆 < 0
Observe que, usando o fato de que a matriz identidade
퐼푛 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 . . . 0 1
⎤
⎥⎥⎥⎦
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
388 Diagonalizac¸a˜o
e´ tal que 퐼푛푉 = 푉 , a equac¸a˜o (6.3) pode ser escrita como
퐴푉 = 휆퐼푛푉
ou
(퐴− 휆퐼푛)푉 = 0¯ . (6.4)
Como os autovetores sa˜o vetores na˜o nulos, os autovalores sa˜o os valores de 휆, para os quais o
sistema (퐴 − 휆퐼푛)푋 = 0¯ tem soluc¸a˜o na˜o trivial. Mas, este sistema homogeˆneo tem soluc¸a˜o na˜o
trivial se, e somente se, det(퐴 − 휆퐼푛) = 0 (Teorema 2.15 na pa´gina 121). Assim temos um me´todo
para encontrar os autovalores e os autovetores de uma matriz 퐴.
Proposic¸a˜o 6.1. Seja 퐴 uma matriz 푛× 푛.
(a) Os autovalores (reais) de 퐴 sa˜o as raı´zes reais do polinoˆmio
푝(푡) = det(퐴− 푡 퐼푛) (6.5)
(b) Para cada autovalor 휆, os autovetores associados a 휆 sa˜o os vetores na˜o nulos da soluc¸a˜o do
sistema
(퐴− 휆퐼푛)푋 = 0¯ . (6.6)
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
6.1 Diagonalizac¸a˜o de Matrizes 389
Definic¸a˜o 6.3. Seja 퐴 uma matriz 푛× 푛. O polinoˆmio
푝(푡) = det(퐴− 푡 퐼푛) (6.7)
e´ chamado polinoˆmio caracterı´stico de 퐴.
Exemplo 6.3. Vamos determinar os autovalores e autovetores da matriz
퐴 =
[
1 −1
−4 1
]
Para esta matriz o polinoˆmio caracterı´stico e´
푝(푡) = det(퐴− 푡퐼2) = det
[
1− 푡 −1
−4 1− 푡
]
= (1− 푡)2 − 4 = 푡2 − 2푡− 3 .
Como os autovalores de 퐴 sa˜o as raı´zes de 푝(푡), enta˜o os autovalores de 퐴 sa˜o 휆1 = 3 e 휆2 = −1.
Agora, vamos determinar os autovetores associados aos autovalores 휆1 = 3 e 휆2 = −1. Para
isto vamos resolver os sistemas (퐴− 휆1퐼2)푋 = 0¯ e (퐴− 휆2퐼2)푋 = 0¯.
(퐴− 휆1퐼2)푋 = 0¯
e´ [ −2 −1
−4 −2
] [
푥
푦
]
=
[
0
0
]
ou
{ −2푥 − 푦 = 0
−4푥 − 2푦 = 0
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
390 Diagonalizac¸a˜o
cuja soluc¸a˜o geral e´
핎1 = {(훼,−2훼) ∣ 훼 ∈ ℝ}.
que e´ o conjunto de todos os autovetores associados a 휆1 = 3 acrescentado o vetor nulo. Agora,
(퐴− 휆2퐼2)푋 = 0¯
e´ [
2 −1
−4 2
] [
푥
푦
]
=
[
0
0
]
cuja soluc¸a˜o geral e´
핎2 = {(훼, 2훼) ∣ 훼 ∈ ℝ},
que e´ o conjunto de todos os autovetores associados a 휆2 = −1 acrescentado o vetor nulo.
Para determinarmos os autovalores de uma matriz 퐴 precisamos determinar as raı´zes reais do
seu polinoˆmio caracterı´stico, que tem a forma 푝(푡) = (−1)푛푡푛+푎푛−1푡푛−1+ . . .+푎1푡+푎0. (por que?)
Um resultado sobre polinoˆmios que muitas vezes e´ u´til, e´ o seguinte
Proposic¸a˜o 6.2. Se 푎0, 푎1, . . . , 푎푛−1 sa˜o inteiros, enta˜o as raı´zes racionais (se existirem) de
푝(푡) = (−1)푛푡푛 + 푎푛−1푡푛−1 + . . .+ 푎1푡+ 푎0.
sa˜o nu´meros inteiros e divisores do coeficiente do termo de grau zero 푎0.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
6.1 Diagonalizac¸a˜o de Matrizes 391
Demonstrac¸a˜o. Seja 푝
푞
raiz de 푝(푡), com 푝 e 푞 primos entre si, enta˜o
(−1)푛푝
푛
푞푛
+ 푎푛−1
푝푛−1
푞푛−1
+ ⋅ ⋅ ⋅+ 푎1푝
푞
+ 푎0 = 0 (6.8)
multiplicando-se por 푞푛 obtemos
(−1)푛푝푛 = −푎푛−1푝푛−1푞 − ⋅ ⋅ ⋅ − 푎1푝푞푛−1 − 푎0푞푛 = −푞(푎푛−1푝푛−1 + ⋅ ⋅ ⋅+ 푎1푝푞푛−2 + 푎0푞푛−1).
Como 푝 e 푞 sa˜o primos entre si, enta˜o 푞 = 1. Substituindo-se 푞 = 1 na equac¸a˜o (6.8) obtemos
(−1)푛푝푛 + 푎푛−1푝푛−1 + ⋅ ⋅ ⋅+ 푎1푝 = −푎0
colocando-se 푝 em evideˆncia obtemos
푝[(−1)푛푝푛−1 + 푎푛−1푝푛−2 + ⋅ ⋅ ⋅+ 푎1] = −푎0,
o que prova o que querı´amos. ■
Por exemplo, se 푝(푡) = −푡3 + 6푡2 − 11푡+ 6, enta˜o as possı´veis raı´zes racionais sa˜o ±1,±2,±3
e ±6. Substituindo estes valores de 푡 em 푝(푡), vemos que 푝(1) = 0, ou seja, 1 e´ uma raı´z de 푝(푡).
Dividindo
푝(푡) por 푡− 1, obtemos
푝(푡)
푡− 1 = −푡
2 + 5푡− 6,
ou seja, 푝(푡) = (푡− 1)(−푡2 + 5푡− 6). Como as raı´zes de −푡2 + 5푡− 6 sa˜o 2 e 3, enta˜o as raı´zes de
푝(푡), sa˜o 1, 2 e 3.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
392 Diagonalizac¸a˜o
Exemplo 6.4. Vamos determinar os autovalores e autovetores da matriz
퐴 =
⎡
⎣ 4 2 22 4 2
2 2 4
⎤
⎦
Para esta matriz o polinoˆmio caracterı´stico e´
푝(푡) = det(퐴− 푡 퐼3) = det
⎡
⎣ 4− 푡 2 22 4− 푡 2
2 2 4− 푡
⎤
⎦
= (4− 푡) det
[
4− 푡 2
2 4− 푡
]
− 2 det
[
2 2
2 4− 푡
]
+ 2det
[
2 4− 푡
2 2
]
= (4− 푡) det
[
4− 푡 2
2 4− 푡
]
− 4 det
[
2 2
2 4− 푡
]
= (4− 푡)[(4− 푡)2 − 4]− 8(2− 푡) = −푡3 + 12푡2 − 36푡+ 32
Como na˜o fatoramos o polinoˆmio caracterı´stico (neste caso ate´ e´ possı´vel!), sabemos que se ele
tem raı´zes racionais, enta˜o elas sa˜o nu´meros inteiros e sa˜o divisores de 32, ou seja, podem ser
±1,±2,±4,±8,±16,±32. Substituindo-se 푡 = ±1 obtemos
푝(1) = −1 + 12− 36 + 32 > 0, 푝(−1) = 1 + 12 + 36 + 32 > 0.
Substituindo-se 푡 = 2 obtemos 푝(2) = 0. Dividindo-se 푝(푡) por 푡− 2 obtemos
푝(푡)
푡− 2 = −푡
2 + 10푡− 16
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
6.1 Diagonalizac¸a˜o de Matrizes 393
ou seja, 푝(푡) = (푡− 2)(−푡2 + 10푡− 16) = (푡− 2)2(8− 푡). Portanto os autovalores de 퐴 sa˜o 휆1 = 2
e 휆2 = 8. Agora, vamos determinar os autovetores associados aos autovalores 휆1 e 휆2. Para isto
vamos resolver os sistemas (퐴− 휆1퐼3)푋 = 0¯ e (퐴− 휆2퐼3)푋 = 0¯. Como
(퐴− 휆1퐼3)푋 = 0¯ e´
⎡
⎣ 2 2 22 2 2
2 2 2
⎤
⎦
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 00
0
⎤
⎦
A forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema e´⎡
⎣ 1 1 1 00 0 0 0
0 0 0 0
⎤
⎦
Assim, a soluc¸a˜o geral do sistema (퐴− 휆1퐼3)푋 = 0¯ e´
핎1 = {(−훼− 훽, 훽, 훼) ∣ 훼, 훽 ∈ ℝ} ,
que e´ o conjunto de todos os autovetores associados a 휆1 = 2 acrescentado o vetor nulo.
Com relac¸a˜o ao autovalor 휆2 = 8, o sistema (퐴− 휆2퐼3)푋 = 0¯ e´⎡
⎣ −4 2 22 −4 2
2 2 −4
⎤
⎦
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 00
0
⎤
⎦
A forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema e´⎡
⎣ 1 0 −1 00 1 −1 0
0 0 0 0
⎤
⎦
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
394 Diagonalizac¸a˜o
Assim, a soluc¸a˜o geral do sistema (퐴− 휆2퐼3)푋 = 0¯ e´
핎2 = {(훼, 훼, 훼) ∣ 훼 ∈ ℝ}.
Para cada autovalor 휆, o conjunto dos autovetores associados a ele acrescentado o vetor nulo
e´ o conjunto soluc¸a˜o do sistema linear homogeˆneo (퐴 − 휆퐼푛)푋 = 0¯ e e´ chamado de autoespac¸o
associado ao autovalor 휆.
6.1.3 Diagonalizac¸a˜o
Vamos enunciar e demonstrar o resultado principal deste capı´tulo. Ja´ vimos que se uma matriz 퐴
e´ diagonaliza´vel, enta˜o as colunas da matriz 푃 , que faz a diagonalizac¸a˜o, sa˜o autovetores associados
a autovalores, que por sua vez sa˜o elementos da matriz diagonal 퐷. Como a matriz 푃 e´ invertı´vel,
estes 푛 autovetores sa˜o L.I. Vamos mostrar, a seguir, que se a matriz 퐴 tem 푛 autovetores L.I., enta˜o
ela e´ diagonaliza´vel.
Teorema 6.3. Seja퐴 uma matriz 푛×푛 que tem 푛 autovetores L.I. 푉1, . . . , 푉푛 associados a 휆1, . . . , 휆푛,
respectivamente. Enta˜o as matrizes
푃 =
[
푉1 푉2 . . . 푉푛
]
e 퐷 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
휆1 0 . . . 0
0 휆2 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 . . . 0 휆푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
sa˜o tais que
퐴 = 푃퐷푃−1,
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
6.1 Diagonalizac¸a˜o de Matrizes 395
−6 −4 −2 0 2 4 6
−6
−4
−2
0
2
4
6
x
y
핎2
핎1
−6 −4 −2 0 2 4 6
−6
−4
−2
0
2
4
6
x
y
퐴푊
퐴푉
푉 = (1,−2)
푊 = (1, 2)
Figura 6.1: Autovetores associados a 휆1 = 3 e a 휆2 = −1 da matriz do Exemplo 6.3
z
x
y
4
4
-4
4
핎1
핎2
Figura 6.2: Autoespac¸os do Exemplo 6.4
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
396 Diagonalizac¸a˜o
ou seja 퐴 e´ diagonaliza´vel. Reciprocamente, se 퐴 e´ diagonaliza´vel, enta˜o ela possui 푛 autovetores
linearmente independentes.
Demonstrac¸a˜o. Suponha que 푉1, . . . , 푉푛 sa˜o 푛 autovetores linearmente independentes associados
a 휆1, . . . , 휆푛, respectivamente. Vamos definir as matrizes
푃 =
[
푉1 푉2 . . . 푉푛
]
e 퐷 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
휆1 0 . . . 0
0 휆2 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 . . . 0 휆푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
Como 퐴푉푗 = 휆푗푉푗 , para 푗 = 1, . . . , 푛, enta˜o
퐴푃 = 퐴
[
푉1 푉2 . . . 푉푛
]
=
[
퐴푉1 퐴푉2 . . . 퐴푉푛
]
=
[
휆1푉1 휆2푉2 . . . 휆푛푉푛
]
=
[
푉1 푉2 . . . 푉푛
]
⎡
⎢⎢⎢⎣
휆1 0 . . . 0
0 휆2 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 . . . 0 휆푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ = 푃퐷.
Como 푉1, . . . , 푉푛 sa˜o L.I., a matriz 푃 e´ invertı´vel. Assim, multiplicando a equac¸a˜o anterior por 푃−1 a`
direita obtemos
퐴 = 푃퐷푃−1.
Ou seja, a matriz 퐴 e´ diagonaliza´vel.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
6.1 Diagonalizac¸a˜o de Matrizes 397
Vamos, agora, provar que se 퐴 e´ diagonaliza´vel, enta˜o ela possui 푛 autovetores L.I. Se a matriz
퐴 e´ diagonaliza´vel, enta˜o existe uma matriz 푃 tal que
퐴 = 푃퐷푃−1 , (6.9)
em que 퐷 e´ uma matriz diagonal. Multiplicando a` direita por 푃 ambos os membros da equac¸a˜o
anterior, obtemos
퐴푃 = 푃퐷 . (6.10)
Sejam
퐷 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
휆1 0 . . . 0
0 휆2 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 . . . 0 휆푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ e 푃 = [ 푉1 푉2 . . . 푉푛 ] ,
em que 푉푗 e´ a coluna 푗 de 푃 . Usando as definic¸o˜es de 푃 e 퐷 temos que
퐴푃 = 퐴
[
푉1 푉2 . . . 푉푛
]
=
[
퐴푉1 퐴푉2 . . . 퐴푉푛
]
푃퐷 =
[
푉1 푉2 . . . 푉푛
]
⎡
⎢⎢⎢⎣
휆1 0 . . . 0
0 휆2 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 . . . 0 휆푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ = [ 휆1푉1 휆2푉2 . . . 휆푛푉푛 ]
Assim, de (6.10) segue-se que
퐴푉푗 = 휆푗푉푗,
para 푗 = 1, . . . 푛. Como a matriz 푃 e´ invertı´vel, pela Proposic¸a˜o 5.3 na pa´gina 295, os autovetores
푉1, . . . , 푉푛 sa˜o L.I.
■
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
398 Diagonalizac¸a˜o
Assim, se uma matriz 퐴 e´ diagonaliza´vel e 퐴 = 푃퐷푃−1, enta˜o os autovalores de 퐴 formam a
diagonal de 퐷 e 푛 autovetores linearmente independentes associados aos autovalores formam as
colunas de 푃 .
O resultado que vem a seguir, garante que se conseguirmos para cada autovalor, autovetores L.I.,
enta˜o ao juntarmos todos os autovetores obtidos, eles continuara˜o sendo L.I.
Proposic¸a˜o 6.4. Seja 퐴 uma matriz 푛 × 푛. Se 푉 (1)1 , . . . , 푉 (1)푛1 sa˜o autovetores L.I. associados a 휆1,
푉
(2)
1 , . . . , 푉
(2)
푛2 sa˜o autovetores L.I. associados a 휆2, . . ., 푉
(푘)
1 , . . . , 푉
(푘)
푛푘 sa˜o autovetores L.I. associa-
dos a 휆푘, com 휆1 . . . 휆푘 distintos, enta˜o {푉 (1)1 , . . . , 푉 (1)푛1 , . . . , 푉 (푘)1 , . . . , 푉 (푘)푛푘 } e´ um conjunto L.I.
Demonstrac¸a˜o. Vamos demonstrar apenas para o caso em que temos dois autovalores diferen-
tes. O caso geral e´ inteiramente ana´logo. Sejam 푉 (1)1 , . . . , 푉 (1)푛1 autovetores L.I. associados a 휆1 e
푉
(2)
1 , . . . , 푉
(2)
푛2 autovetores L.I. associados a 휆2. Precisamos mostrar que a u´nica soluc¸a˜o da equac¸a˜o
푥
(1)
1 푉
(1)
1 + . . .+ 푥
(1)
푘1
푉 (1)푛1 + 푥
(2)
1 푉
(2)
1 + . . .+ 푥
(2)
푘2
푉 (2)푛2 = 0¯ (6.11)
e´ a soluc¸a˜o trivial. Multiplicando a equac¸a˜o (6.11) por 퐴 e usando o fato de que os 푉 (푗)푖 sa˜o autove-
tores, obtemos
푥
(1)
1 휆1푉
(1)
1 + . . .+ 푥
(1)
푛1
휆1푉
(1)
푛1
+ 푥
(2)
1 휆2푉
(2)
1 + . . .+ 푥
(2)
푛2
휆2푉
(2)
푛2
= 0¯ (6.12)
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
6.1 Diagonalizac¸a˜o de Matrizes 399
Multiplicando a equac¸a˜o (6.11) por 휆1, obtemos
푥
(1)
1 휆1푉
(1)
1 + . . .+ 푥
(1)
푛1
휆1푉
(1)
푛1
+ 푥
(2)
1 휆1푉
(2)
1 + . . .+ 푥
(2)
푛2
휆1푉
(2)
푛2
= 0¯ . (6.13)
Subtraindo a equac¸a˜o (6.12) da equac¸a˜o (6.13), obtemos
푥
(2)
1 (휆2 − 휆1)푉 (2)1 + . . .+ 푥(2)푛2 (휆2 − 휆1)푉 (2)푛2 = 0¯ .
Como 푉 (2)1 , . . . , 푉
(2)
푛2 sa˜o L.I., temos que 푥
(2)
1 = . . . = 푥
(2)
푛2 = 0. Agora, multiplicando a equac¸a˜o
(6.11) por 휆2 e subtraindo da equac¸a˜o (6.13) obtemos
푥
(1)
1 (휆2 − 휆1)푉 (1)1 + . . .+ 푥(1)푛1 (휆2 − 휆1)푉 (1)푛1 = 0¯ .
Como 푉 (1)1 , . . . , 푉
(1)
푛1 sa˜o L.I., temos que 푥
(1)
1 = . . . = 푥
(1)
푛1 = 0. O que prova que todos os autovetores
juntos sa˜o L.I. ■
Exemplo 6.5. Considere a matriz
퐴 =
⎡
⎣ 4 2 22 4 2
2 2 4
⎤
⎦
Ja´ vimos no Exemplo 6.4 na pa´gina 392 que seu polinoˆmio caracterı´stico e´ 푝(푡) = (푡−2)(−푡2+10푡−
16) = (푡− 2)2(8 − 푡), os seus autovalores sa˜o 휆1 = 2 e 휆2 = 8 e os autoespac¸os correspondentes
sa˜o
핎1 = {(−훼− 훽, 훽, 훼) ∣ 훼, 훽 ∈ ℝ},
핎2 = {(훼, 훼, 훼) ∣ 훼 ∈ ℝ},
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
400 Diagonalizac¸a˜o
respectivamente. Vamos encontrar, para cada autoespac¸o, o maior nu´mero possı´vel de autovetores
L.I., ou seja, vamos encontrar uma base para cada autoespac¸o. E o teorema anterior garante que se
juntarmos todos estes autovetores eles va˜o continuar sendo L.I.
Para핎1, temos que
(−훼− 훽, 훽, 훼) = 훼(−1, 0, 1) + 훽(−1, 1, 0).
Assim, os vetores 푉1 = (−1, 0, 1) e 푉2 = (−1, 1, 0) geram 핎1. Como ale´m disso, eles sa˜o L.I. (um
na˜o e´ mu´ltiplo escalar do outro), enta˜o eles formam uma base para핎1. Assim, na˜o podemos ter um
nu´mero maior de autovetores L.I. associados a 휆1 = 2 (Teorema 5.6 na pa´gina 313).
Para핎2, temos que o conjunto {푉3 = (1, 1, 1)} e´ uma base para핎2, pois como
(훼, 훼, 훼) = 훼(1, 1, 1),
푉3 gera 핎2 e um vetor na˜o nulo e´ L.I. Assim, na˜o podemos ter um nu´mero maior de autovetores L.I.
associados a 휆2 = 8 (Teorema 5.6 na pa´gina 313).
Como 푉1 e 푉2 sa˜o autovetores L.I. associados a 휆1 e 푉3 e´ um autovetor L.I. associado a 휆2, enta˜o
pela Proposic¸a˜o 6.4 na pa´gina 398 os autovetores juntos 푉1, 푉2 e 푉3 sa˜o L.I. Assim, a matriz 퐴 e´
diagonaliza´vel e as matrizes
퐷 =
⎡
⎣ 휆1 0 00 휆1 0
0 0 휆2
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 2 0 00 2 0
0 0 8
⎤
⎦ e 푃 = [ 푉1 푉2 푉3] =
⎡
⎣ −1 −1 10 1 1
1 0 1
⎤
⎦
sa˜o tais que
퐴 = 푃퐷푃−1.
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
6.1 Diagonalizac¸a˜o de Matrizes 401
Exemplo 6.6. Considere a matriz
퐴 =
[
1 −1
−4 1
]
Ja´ vimos no Exemplo 6.3 na pa´gina 389 que o seu polinoˆmio caracterı´stico e´ 푝(푡) = det(퐴− 푡 퐼2) =
푡2 − 2푡− 3, que os seus autovalores sa˜o 휆1 = 3 e 휆2 = −1 e que os autoespac¸os correspondentes
sa˜o
핎1 = {(훼,−2훼) ∣ 훼 ∈ ℝ} e 핎2 = {(훼, 2훼) ∣ 훼 ∈ ℝ},
respectivamente.
Para 휆1 = 3, temos que {푉1 = (1,−2)} e´ uma base de 핎1. Assim, na˜o podemos ter mais
autovetores L.I. associados a 휆1. De forma ana´loga para 휆2 = −1, {푉2 = (1, 2)} e´ um conjunto com
o maior nu´mero possı´vel de autovetores L.I. associados a 휆2. Assim, a matriz 퐴 e´ diagonaliza´vel e as
matrizes
푃 = [ 푉1 푉2 ] =
[
1 1
−2 2
]
e 퐷 =
[
휆1 0
0 휆2
]
=
[
3 0
0 −1
]
sa˜o tais que 퐷 = 푃−1퐴푃 .
Exemplo 6.7. Considere a matriz
퐴 =
[
0 1
0 0
]
O seu polinoˆmio caracterı´stico e´ 푝(푡) = det(퐴 − 푡 퐼2) = 푡2, assim 퐴 possui um u´nico autovalor:
휆1 = 0. Agora, vamos determinar os autovetores associados ao autovalor 휆1 = 0. Para isto vamos
resolver o sistema (퐴− 휆1퐼2)푋 = 0¯. Como
퐴− 휆1퐼2 = 퐴 =
[
0 1
0 0
]
,
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
402 Diagonalizac¸a˜o
enta˜o (퐴− 휆1퐼2)푋 = 0¯ e´ [
0 1
0 0
] [
푥
푦
]
=
[
0
0
]
ou {
푦 = 0
0 = 0
cuja soluc¸a˜o geral e´
핎1 = {(훼, 0) ∣ 훼 ∈ ℝ} = {훼(1, 0) ∣ 훼 ∈ ℝ} .
que e´ o autoespac¸o correspondente a 휆1 = 0. Assim, para 휆1 = 0, temos que {푉1 = (1, 0)} e´
um subconjunto L.I. de 핍1. Pelo Teorema 5.6 na pa´gina 313 na˜o podemos ter um nu´mero maior de
autovetores L.I. associados a 휆1 e como so´ temos um autovalor na˜o podemos ter mais autovetores
L.I. Portanto, pelo Teorema 6.3 na pa´gina 394, a matriz 퐴 na˜o e´ diagonaliza´vel, ou seja, na˜o existem
matrizes 푃 e 퐷 tais que 퐴 = 푃퐷푃−1.
Exemplo 6.8. Vamos retomar a cadeia de Markov do Exemplo 1.9 na pa´gina 16. Vamos supor que
uma populac¸a˜o e´ dividida em treˆs estados (por exemplo: ricos, classe me´dia e pobres) e que em cada
unidade de tempo a probabilidade de mudanc¸a de um estado para outro seja constante no tempo, so´
dependa dos estados.
Seja 푡푖푗 a probabilidade de mudanc¸a do estado 푗 para o estado 푖 em uma unidade de tempo
(gerac¸a˜o). A matriz de transic¸a˜o e´ dada por
푇 =
1⃝ 2⃝ 3⃝⎡
⎣ 푡11 푡12 푡13푡21 푡22 푡23
푡31 푡32 푡33
⎤
⎦ 1⃝2⃝
3⃝
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
6.1 Diagonalizac¸a˜o de Matrizes 403
Vamos considerar a matriz de transic¸a˜o
푇 =
1⃝ 2⃝ 3⃝⎡
⎢⎣
1
2
1
4
0
1
2
1
2
1
2
0 1
4
1
2
⎤
⎥⎦ 1⃝2⃝
3⃝
Vamos calcular poteˆncias 푘 de 푇 , para 푘 um inteiro positivo qualquer. Para isto vamos diagonalizar
a matriz 푇 . Para isso precisamos determinar seus os autovalores e autovetores. Para esta matriz o
polinoˆmio caracterı´stico e´
푝(푡) = det(푇 − 푡 퐼3) = det
⎡
⎢⎣
1
2
− 푡 1
4
0
1
2
1
2
− 푡 1
2
0 1
4
1
2
− 푡
⎤
⎥⎦
= (
1
2
− 푡) det
[
1
2
− 푡 1
2
1
4
1
2
− 푡
]
− 1
4
det
[
1
2
1
2
0 1
2
− 푡
]
= (
1
2
− 푡)
[
(
1
2
− 푡)2 − 1
8
]
− 1
8
(
1
2
− 푡)
= −푡3 + 3
2
푡2 − 1
2
푡 = 푡(−푡2 + 3
2
푡− 1
2
) = −푡(푡− 1)(푡− 1
2
)
Portanto os autovalores de 푇 sa˜o 휆1 = 0, 휆2 = 1/2 e 휆3 = 1. Agora, vamos determinar
os autovetores associados aos autovalores 휆1, 휆2 e 휆3. Para isto vamos resolver os sistemas
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
404 Diagonalizac¸a˜o
(푇 − 휆1퐼3)푋 = 0¯, (푇 − 휆2퐼3)푋 = 0¯ e (푇 − 휆3퐼3)푋 = 0¯. Como
(푇 − 휆1퐼3)푋 = 푇푋 = 0¯ e´
⎡
⎢⎣
1
2
1
4
0
1
2
1
2
1
2
0 1
4
1
2
⎤
⎥⎦
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 00
0
⎤
⎦
A forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema e´⎡
⎣ 1 0 −1 00 1 2 0
0 0 0 0
⎤
⎦
Assim, a soluc¸a˜o geral do sistema (푇 − 휆1퐼3)푋 = 0¯ e´
핎1 = {(훼,−2훼, 훼) ∣ 훼 ∈ ℝ} ,
que e´ o conjunto de todos os autovetores associados a 휆1 = 0 acrescentado o vetor nulo. O conjunto
{푉1 = (1,−2, 1)} e´ uma base para 핎1, pois como (훼,−2훼, 훼) = 훼(1,−2, 1), 푉1 gera 핎1 e um
vetor na˜o nulo e´ L.I.
Com relac¸a˜o ao autovalor 휆2 = 1/2, o sistema (푇 − 휆2퐼3)푋 = 0¯ e´⎡
⎢⎣ 0
1
4
0
1
2
0 1
2
0 1
4
0
⎤
⎥⎦
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 00
0
⎤
⎦
A forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema e´⎡
⎣ 1 0 1 00 1 0 0
0 0 0 0
⎤
⎦
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
6.1 Diagonalizac¸a˜o de Matrizes 405
Assim, a soluc¸a˜o geral do sistema (푇 − 휆2퐼3)푋 = 0¯ e´
핎2 = {(훼, 0, 훼) ∣ 훼 ∈ ℝ}.
O conjunto {푉2 = (1, 0, 1)} e´ uma base para핎2, pois como (훼, 0, 훼) = 훼(1, 0, 1), 푉3 gera핎2 e um
vetor na˜o nulo e´ L.I.
Com relac¸a˜o ao autovalor 휆3 = 1, o sistema (푇 − 휆3퐼3)푋 = 0¯ e´⎡
⎢⎣ −
1
2
1
4
0
1
2
−1
2
1
2
0 1
4
−1
2
⎤
⎥⎦
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 00
0
⎤
⎦
A forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema e´⎡
⎣ 1 0 −1 00 1 −2 0
0 0 0 0
⎤
⎦
Assim, a soluc¸a˜o geral do sistema (푇 − 휆3퐼3)푋 = 0¯ e´
핎3 = {(훼, 2훼, 훼) ∣ 훼 ∈ ℝ} ,
que e´ o conjunto de todos os autovetores associados
a 휆3 = 1 acrescentado o vetor nulo. O conjunto
{푉1 = (1, 2, 1)} e´ uma base para핎1, pois como (훼, 2훼, 훼) = 훼(1, 2, 1), 푉1 gera핎1 e um vetor na˜o
nulo e´ L.I.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
406 Diagonalizac¸a˜o
Como 푉1, 푉2 e 푉3 sa˜o autovetores associados a 휆1, 휆2 e 휆3, respectivamente, enta˜o pela
Proposic¸a˜o 6.4 na pa´gina 398 os autovetores juntos 푉1, 푉2 e 푉3 sa˜o L.I. Assim, a matriz 퐴 e´ dia-
gonaliza´vel e as matrizes
퐷 =
⎡
⎣ 휆1 0 00 휆2 0
0 0 휆3
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 0 0 00 1
2
0
0 0 1
⎤
⎦ e 푄 = [ 푉1 푉2 푉3] =
⎡
⎣ 1 −1 1−2 0 2
1 1 1
⎤
⎦
sa˜o tais que
퐷 = 푄−1푇푄 ou 푇 = 푄퐷푄−1.
Assim,
푇 푘 = 푄퐷푘푄−1 =
⎡
⎢⎣ 1 −1 1−2 0 2
1 1 1
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣ 0 0 00 (12)푘 0
0 0 1
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣
1
4
−1
4
1
4
−1
2
0 1
2
1
4
1
4
1
4
⎤
⎥⎦
=
⎡
⎢⎣
1
4
+ (1
2
)푘+1 1
4
1
4
− (1
2
)푘+1
1
2
1
2
1
2
1
4
− (1
2
)푘+1 1
4
1
4
+ (1
2
)푘+1
⎤
⎥⎦
Esta e´ a matriz que da´ a transic¸a˜o entre 푘 unidades de tempo (gerac¸o˜es).
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
6.1 Diagonalizac¸a˜o de Matrizes 407
Exercı´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 601)
6.1.1. Ache o polinoˆmio caracterı´stico, os autovalores e os autovetores de cada matriz:
(a)
[
1 1
1 1
]
(b)
[
1 −1
2 4
]
(c)
⎡
⎣ 0 1 20 0 3
0 0 0
⎤
⎦ (d)
⎡
⎣ 1 0 0−1 3 0
3 2 −2
⎤
⎦
(e)
⎡
⎣ 2 −2 30 3 −2
0 −1 2
⎤
⎦ (f)
⎡
⎣ 2 2 31 2 1
2 −2 1
⎤
⎦
6.1.2. Ache bases para os auto-espac¸os associados a cada autovalor
(a)
⎡
⎣ 2 0 03 −1 0
0 4 3
⎤
⎦ (b)
⎡
⎣ 2 3 00 1 0
0 0 2
⎤
⎦
(c)
⎡
⎢⎢⎣
1 2 3 4
0 −1 3 2
0 0 3 3
0 0 0 2
⎤
⎥⎥⎦ (d)
⎡
⎢⎢⎣
2 2 3 4
0 2 3 2
0 0 1 1
0 0 0 1
⎤
⎥⎥⎦
6.1.3. Verifique quais das matrizes sa˜o diagonaliza´veis:
(a)
[
1 4
1 −2
]
(b)
[
1 0
−2 1
]
(c)
⎡
⎣ 1 1 −24 0 4
1 −1 4
⎤
⎦ (d)
⎡
⎣ 1 2 30 −1 2
0 0 2
⎤
⎦
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
408 Diagonalizac¸a˜o
6.1.4. Ache para cada matriz 퐴, se possı´vel, uma matriz na˜o-singular 푃 tal que 푃−1퐴푃 seja diagonal:
(a)
⎡
⎣ 1 1 20 1 0
0 1 3
⎤
⎦ (b)
⎡
⎣ 4 2 32 1 2
−1 −2 0
⎤
⎦
(c)
⎡
⎣ 1 2 30 1 0
2 1 2
⎤
⎦ (d)
⎡
⎣ 3 −2 10 2 0
0 0 0
⎤
⎦
6.1.5. Sabendo-se que 푉1 = (−4,−4,−1), 푉2 = (5, 4, 1) e 푉3 = (5, 3, 1) sa˜o autovetores da matriz
퐴 =
⎡
⎢⎣ −
1
3
−5
6
20
3
−2
3
−1
6
16
3
−1
6
−1
6
11
6
⎤
⎥⎦
(a) Sem obter o polinoˆmio caracterı´stico determine os autovalores correspondentes a estes
autovetores.
(b) A matriz e´ diagonaliza´vel? Justifique?
6.1.6. Deˆ exemplo de:
(a) Uma matriz que na˜o tem autovalor (real) (Sugesta˜o: use o Exercı´cio 27 na pa´gina 412).
(b) Uma matriz que tem um autovalor e na˜o e´ diagonaliza´vel (em ℝ푛).
(c) Uma matriz que tem dois autovalores e na˜o e´ diagonaliza´vel (em ℝ푛).
Exercı´cios usando o MATLABⓇ
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
6.1 Diagonalizac¸a˜o de Matrizes 409
>> syms x y z diz ao MATLABⓇ que as varia´veis x, y e z sa˜o simbo´licas;
>> A=[a11,a12,...,a1n;a21,a22,...; ...,amn] cria uma matriz, 푚 por 푛, usando os
elementos a11, a12, ..., amn e a armazena numa varia´vel A;
>> A=[A1,...,An] cria uma matriz A formada pelas matrizes, definidas anteriormente, A1,
..., An colocadas uma ao lado da outra;
>> solve(expr) determina a soluc¸a˜o da equac¸a˜o expr=0. Por exemplo,
>> solve(xˆ2-4) determina as soluc¸o˜es da equac¸a˜o 푥2 − 4 = 0;
>> subs(expr,x,num) substitui na expressa˜o expr a varia´vel x por num.
>> [P,D]=eig(A) determina matrizes P e D (diagonal) tais que AP=PD.
inv(A) calcula a inversa da matriz A.
A=sym(A) converte a matriz A numa matriz em que os elementos sa˜o armazenados no formato
simbo´lico. A func¸a˜o numeric faz o processo inverso.
Comandos do pacote GAAL:
>> A=randi(n) ou >> A=randi(m,n) cria uma matriz n por n ou m por n, respectivamente,
com elementos inteiros aleato´rios.
>> escalona(A) calcula passo a passo a forma reduzida escalonada da matriz A.
6.1.7. Defina as matrizes B=sym(randi(2)) e A=[B-B’,zeros(2,1);zeros(1,2),randi]. A ma-
triz A e´ diagonaliza´vel? Por que?
6.1.8. Defina as matrizes L=[eye(2),zeros(2,1);randi(1,2),0] e A=sym(L*L’). Determine o
polinoˆmio caracterı´stico de A, os autovalores e um conjunto de autovetores linearmente inde-
pendentes com o maior nu´mero possı´vel de vetores. Encontre matrizes P e D (diagonal) tais que
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
410 Diagonalizac¸a˜o
inv(P)*A*P=D, se possı´vel. Verifique o resultado. Use o comando [P,D]=eig(A) e compare
com as matrizes que voceˆ encontrou.
6.1.9. Defina a=randi,b=randi e A=sym([2*a,a-b,a-b;0,a+b,b-a;0,b-a,a+b]). Determine o
polinoˆmio caracterı´stico de A, os autovalores e um conjunto de autovetores linearmente inde-
pendentes com o maior nu´mero possı´vel de vetores. Encontre matrizes P e D (diagonal) tais que
inv(P)*A*P=D, se possı´vel. Verifique o resultado. Use o comando [P,D]=eig(A) e compare
com as matrizes que voceˆ encontrou.
6.1.10. Defina a=randi,b=randi e A=sym([a,0,b;2*b,a-b,2*b;b,0,a]). Determine o polinoˆmio
caracterı´stico de A, os autovalores e um conjunto de autovetores linearmente independen-
tes com o maior nu´mero possı´vel de vetores. Encontre matrizes P e D (diagonal) tais que
A=P*D*inv(P), se possı´vel. Verifique o resultado. Use o comando [P,D]=eig(A) e compare
com as matrizes que voceˆ encontrou.
Exercı´cios Teo´ricos
6.1.11. Dizemos que uma matriz 퐵, 푛× 푛, e´ semelhante a uma matriz 퐴, 푛× 푛, se existir uma matriz
푃 na˜o singular tal que 퐵 = 푃−1퐴푃 . Demonstre:
(a) 퐴 e´ semelhante a 퐴;
(b) Se 퐴 e´ semelhante a 퐵, enta˜o 퐵 e´ semelhante a 퐴;
(c) Se 퐴 e´ semelhante a 퐵 e 퐵 e´ semelhante a 퐶, enta˜o 퐴 e´ semelhante a 퐶.
6.1.12. Seja 휆 um autovalor (fixo) de퐴. Demonstre que o conjunto formado por todos os autovetores de
퐴 associados a 휆, juntamente com o vetor nulo, e´ um subespac¸o de ℝ푛. Este subespac¸o e´ cha-
Um Curso de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear Julho 2009
6.1 Diagonalizac¸a˜o de Matrizes 411
mado de autoespac¸o associado a 휆. Em outras palavras, combinac¸a˜o linear de autovetores
associados a um mesmo autovalor e´ um autovetor associado a esse mesmo autovalor.
6.1.13. Demonstre que se 퐴 e 퐵 sa˜o semelhantes, enta˜o possuem os mesmos polinoˆmios carac-
terı´sticos e portanto os mesmos autovalores.
6.1.14. Demonstre que se 퐴 e´ uma matriz triangular superior, enta˜o os autovalores de 퐴 sa˜o os ele-
mentos da diagonal principal de 퐴.
6.1.15. Demonstre que 퐴 e 퐴푡 possuem os mesmos autovalores. O que podemos dizer sobre os
autovetores de 퐴 e 퐴푡?
6.1.16. Seja 휆 um autovalor de 퐴 com autovetor associado 푋 . Demonstre que 휆푘 e´ um autovalor de
퐴푘 = 퐴 . . . 퐴 associado a 푋 , em que 푘 e´ um inteiro positivo.
6.1.17. Uma matriz 퐴 e´ chamada nilpotente se 퐴푘 = 0¯, para algum inteiro positivo 푘. Reveja o
Exercı´cio 1.1.29 na pa´gina 31. Demonstre que se 퐴 e´ nilpotente, enta˜o o u´nico autovalor de 퐴
e´ 0. (Sugesta˜o: use o exercı´cio anterior)
6.1.18. Seja 퐴 uma matriz 푛× 푛.
(a) Mostre que o determinante de퐴 e´ o produto de todas as raı´zes do polinoˆmio caracterı´stico
de 퐴; (Sugesta˜o: 푝(푡) = det(퐴− 푡 퐼푛) = (−1)푛(푡− 휆1) . . . (푡− 휆푛).)
(b) Mostre que 퐴 e´ singular se, e somente se, 0 for um autovalor de 퐴.
6.1.19. Seja 휆 um autovalor da matriz na˜o-singular 퐴 com autovetor associado 푋 . Mostre que 1/휆 e´
um autovalor de 퐴−1 com autovetor associado 푋 .
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
412 Diagonalizac¸a˜o
6.1.20. Seja 퐴