12 - Hidrologia_Tucci (Cap12)

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/'
Capítulo 12
ESCOAMENTO EM RIOS E RESERVATÓRIOS
Carlos E. M. Tucci
.2.1 Escoamento em regime permanente: remanso
No capítulo 10 foram apresentadas as equações unidimensionais do
oamento não-permanente. O escoamento em regime permanente é um caso
particular daquelas equações. Em navegação, controle de inundação e qualidade
ti" água, entre outros, toma-se necessário a determinação da linha de água do
amento em rios para uma situação de regime permanente. O cálculo da linha
cIo água é denominado muitas vezes de remanso, porque é realizado para
verificar o represamento provocado no rio. A determinação da linha de água do
amcnto unidimensional gradualmente variado no espaço é descrita a seguir,
PI",ssupondo alguns conhecimentos básicos de Hidráulica.
',(Iunção básica
A equação de energia entre duas seções é a seguinte (figura 12.1)
E1 = E2 (12.1)
I fluiu n I c E2 são as energias das seções 1 e 2, respectivamente.
lubstituindo na equação 12.1 a energia do escoamento para as seções
1I\lllI'lonndas resulta
2 2
aI \v. ~ V2
21 + -- = Z:2 + -- + hr (12.2)
2 g 2 g
inaulnr
r
11r 11 111 I 11\ \)
\
444 Hidrologia
hs = c I (Xl y21/2g - <X2 y22/2g I (12.4)
onde
x2
ht = f sr dx
x l
(12.5)
onde C =. coeficiente de contração ou expansão; áx = distância entre as
seções; Sr = declividade da linha de perda de carga linear, expressa por uma
equação de movimento uniforme como a equação de Manning ou Chezy. Utilizando
Manning fica
Q2 nZ
Sf=--
R413 AZ
(12.6)
r-=:: I PLANO DE ENERGIA
II Q----
.,'~';':
I\x
hf
2V2
29
~ LINHA DE ÁGUA
Z2
UN flI
1"1 fiNO /lI tH I I ',f"Nf I
11I11 I:J..I. )1"1 01 do 11(lt>11O
./
amento em Rios e Reservatórios 445
o termo da perda de carga pode ser discretizado por vários procedimentos
lloruativos. Um dos métodos mais utilizados é o seguinte:
(Sn + Sn)
ht = . áx
2
(12.7)
cálculo da linha de água em regime subcrítico é realizado de jusante
1"10\ montante. Esta é a condição da maioria dos rios naturais. Na equação
I )"lus variáveis da seção 2 são conhecidas. Da equação de continuidade pode-
." obter que y = Q / A, substituindo as relações apresentadas na equação 12.2
Il'Ill'I,\Hoizando a mesma, resulta
%1
QZ
Z2 + - [ l/g (a2/A~- al/At) + C Ial/At - a2/A~)1+
2
2 Z
+ áx (l/Kcl + l/Kcz) ] (12.8)
Z13
11111111 1<0 • (A,R )/n
Nestn equação as inc6gnitas são Zi, A: e Ri. Pode-se estabelecer a
11 entre ZI = f(Al) e ZI = F (Rl) com base na seção transversal, a única
111 1'1'11111\ passa a ser Z1. A equação acima é uma equação não-linear que pode
'I I 1,,~l)lvldn por tentativas, Este procedimento é descrito a seguir:
" udote inicialmente ZI(O) = Z2 + So áx, onde So é a declividade do
'"11<1(') e o indica a primeira tentativa;
11) enlculc o termo da direita da equação 12.8 que é igual a Zifk), onde
j número da tentativa;
qunndo entre duas iterações IZI(k-l) -Zuk) I < e , onde e é a
desejada. ZI(k) é aceito como a cota de Z1. Em caso contrário,
retomar ao Item b para uma nova tentativa.
no sentido de
as
m
446 Hidrologia
pois logo ap6s o extravasamento ocorre um aumento de rugosidade tanto no
leito maior como no leito menor devido aos vórtices que se formam na
interface. Este cálculo, apesar de ser prática corrente, tende a subestimar
os níveis máximos. O coeficiente Kc calculado pelo método de fatias fica
2/3
Kc = L: Kci = L: (Ai Ri )/ni (12.9)
Na figura 12.3 pode-se observar esta discretização.
Figura 12.2. Seção transversal
Parâmetros
Coeficiente a - Este coeficiente corrige o termo de velocidade (v2f2g) devido
à não-uniformidade transversal da velocidade. Este parâmetro é obtido por
J' y3 dA L: v3~A
a = ------ = -----
V3 A V3 A
onde y = velocidade de cada segmento dA; V = velocidade médln o A • drbU
total. Normalmente não existem dados para o cãlculo do vnlor do (X, Clww
(1959) apresentou umn tubo/li do vnrillçno de vlllofOIl dó (X. (mhclu 1"2,1).
./
incnto em Rios e Reservatórios 447
K3 K4
I~"'" '1~
~~
Figura 12.3. Díscretização do leito com extravasamento
Tabela 12.1. Valores de a (Chow.1959)
Canais a
mínimo médio máximo
Canal regular, vertedores, calhas 1.10 1,15 1,20
Rios naturais 1,15 1,30 1,50
Rios cobertos por gelo 1,20 1,50 2,00
Rios com inundação de margem 1,50 1,75 2,00
)11110 coeficiente é importante quando o termo l/2g tem peso
l"lIIUul\tlvo na determinação dos níveis. Em rios com velocidade baixa e
IlIldh\ CIto termo é muito pequeno.
'Ul1rMilnte C: no rio podem existir alargamentos e estreitamentos naturais ou
IIIIVIIIIl " pontes c aterros. Este coeficiente depende de vários fatores de
IIHlU\, NlI tuboln 12.2 são apresentados alguns valores. Chow (1959) apresenta
1_'III'lhllonl~8 que consideram diferentes obstruções ao escoamento.
Estreitamente IAlargamento
0,5 I 1~
~l ~t
UIIlIJI I,
1\111111I
)
448 Hidrologia
do rio ou canal. Na tabela 12.3 são apresentados os valores típicos deste
eficiente. Para maior detalhamento desta tabela consulte Chow (1959).
Tabela 12.3 Coeficiente de rugosidade n
Tipo intervalo de n
CANAIS COM REVESTIMENTO
pouco lisas 0,017 - 0,019
alisado 0,010 - 0,013
paredes rugosas 0,019 - 0,021
paredes de terra com vegetação 0,028 - 0,032
RIOS
Limpos e retilíneos 0,025 - 0,033
Limpos e retilíneos com vegetação 0,030 - 0,040
com meandros, vegetação e pedras 0,033 -' 0,060
com área de inundação e vegetação 0.075 - 0.150
ICxcmplo 12.1. Calcule o nível de enchente de uma seção 1000 ma montante eli,
sção de um posto tluviométrico. A vazão é de 600 m3/s, o nivel da scçRo d
[usante é 6,20 m. Adote a rugosidade no leito principal como 0.028 c nu .he"
do inundação 0,1. A seção é uniforme e igual a da figura abaixo
dcclividade do fundo é 0,0001 mim.
olução: Como o canal apresenta escoamento no leito maior, a seção 6 dlvhtltl
rn três partes. O valor de Kc é calculado separadamente para o lclío Illlllltll
(Kcm) e para as duas partes do leito maior (Kce e Kcd)
Ko = Kcm + Kce + Kcd
O cálculo é realizado de jusante para montante, A2 c Kol flodrul
nlculados, além disso Kce ==Kcd
2
A2 = 500 + (6,2 - 5) 600 = 1220 m
(6,2 . JOO)5/3 (1,2 .250)5/3
J(c2 • [- + 2 ] • 76.907,uo
,028 (1I0)213 0,I,(25l,2)2/"
o\lhlllltlllndll 011 VlilnfCII ccnhecldos nn cCluaçRo I?.H, lonulll
%1 •• 6,?'O 1 (000)'/ 2 Ilf'),H I I 1/ (I?}'O)2 • I/A1' I I
J
J (){)(j I Ifi( ill 'I 1/(lCI,IJ()/,(j(l)" I I
./
Hscoamento em Rios e Reservatórios 449
f--. 600 m 1
5m
~ 100m ~
Fig.12.4. seção transversal do exemplo 12.1
1111
2 8 2ZI = 6,24276 - 18.348.62/Al + 1,8.10 / (Kcl)
urulc A,I = 500 + (hi - 5).600, considerando que ln > 5m.
h15/3 [250(hl _5)]5/3
0,1 [250+ (hl_5)]2/3
Kcl = + 2-4
2.9739.10
iludo h 1= ZI - So Óx. Adotando In = hz e ZI(O)= 6,2 + 0.1 = 6,30. Calculando a
[uhuelra tentativa obtém-se ZI(I) = 6,261 e hl(l)= 6,161. Na segunda iteração
1I1111~II\'SC ZI(2) = 6,261 valor aceito como a cota da seção de montante.
12,~ leScoamento não-permanente: contrlbuíçâo lateral
A simulação do escoamento é o cálculo do hidrograma de uma seção a
1"\llh do hidrograma de outra seção a montante (modelos do tipo annazenamento
umln clncrnãtica), mais a contribuição do volume lateral que entra no trecho
IIIIU M duas seções para intervalos de tempo concomitantes. Na figura 12.5 o
Iildwjjl'lIffill da sccão 2 é obtido pela propagação das vazões da seção 1 e a
1lIlIld/luiçlto em percurso entre as duas seções.
Ouundo entre as duas seções existe contribuição em percurso que
IIIIIdlf1qllilsubstancinlmcntc a forma do hidrograrna de montante ou que o volume
It 1111111 Ibulçno lateral é preponderante, a vazão da bacia contribuinte deve
I IIIIlldl1 por c111C1{)sobscrvudos Ou simulados (escoamento supcrficinl,
)11111111 11).
111111I HVIIIIIII' 11 ilnjlOllnndll (\u contrlbulção lutel'lll 111\ l'()llIpl)~l,n() cio
IIldlllllllllllll tluIIl,\,nll 110 JII/IIIlIlC, deve tlO iROIIII' 1I1v,1II18 ClVl1ll10H U oulculru,
I'lilll 1!lldl\ OVI'1110, li VIII!W\t' do hldlllllllllllll do 11II111111UI" VIII e, 11 IIr IIIMIIIIII1 VI. A
dl', 11 III,'U d 1/ '0'111111I11 lIu 111\\'111 lll!! Illll'lI IIfll 11 VI. A pUH1IIIl\ ,IUNI/t '0'1111111111 I mu
•.. )
U"IIIIIl1Cnto em Rios e ReservatóriosHidrologia 451450
relação ao total Vj é um indicador do efeito da contribuição lateral,
estimado por I
(Vj - Vm)
Pi = 100
Vj
(12.1 O)
nlnl
onde Vm == ~t LI!
1=1
Vj = ~t LQt
1=1
e
Para valores de Pí < 15% a influência tende a ser pequena, acima d
valor deve-se utilizar com reservas os procedimentos a seguir descritos.
Quando a contribuição lateral é considerada pequena, o deslocamento tlu
onda no' rio é o processo principal. Neste caso pode-se adotar 111111\
distribuição uniforme ou linearmente proporcional para as vazões di
contribuição lateral. A distribuição uniforme considera que a vazão 1atcrn 1
constante durante todo o evento. Para estimá-Ia basta dividir Vi pelo pcdtllll1
do hidrograma. Adotando uma distribuição linear, proporcional ao hidrogruuu
de jusante, admite-se que a contribuição lateral tem o mesmo tempo de 1'100 ./
evolução das vazões do hidrograma de jusante do trecho. Neste caso, as VII'/n,
de contribuição lateral são estimadas por
\
\
IIfU 12.5. Propagação de vazão e contribuição lateral
1)\11111<10 a contribuição lateral é importante e existem dados de vazão em
uuullndutcs, deve-se utilizar estes dados para estimar a mesma.
·,,".IIII'I'lIlIdo que a bacia onde existem dados é representativa da vazão da
1"'1 li, l'OlltribuinLe. pode-se utilizar a proporção de área. A vazão de
l'llldlilll~,lto lateral fica
(12 11'1ouo = Ql Pi/lOO
onde t == intervalo de tempo
A vazão do trecho de jusante, sem a contribuição lateral, fica
0\(1) • Qp (t) AI / Ap (12.14)I~I*Q I = Qt (1 - Pi/100)
II 111I)" (I) • vazão do posto com dados; Ap = área da bacia do posto; AI =
I 'li !lu 11111'111 contribuinte ao trecho.
As equações anteriores são utilizadas para estimar li contrlhn
lateral nas fases de ajuste e verificação da simulação. NII fll
estimativa, quando não é conhecido o hidrograma de jusantc, n cC)l\ldhll
lateral pode ser estimada com base nos valores de PI dos evCl110a 11.)>>1~IOIiI!l
A contribuição lateral é acrescida à vazão propagada de 111(')J)Hliit~· 11fl1 rlHl
intervalo de tempo. Esta vazão fica
H~I'II"IIH'nto não-permanente em reservatórios
( 1M11I610(11111 ílII1I7,IId
Il.'IIVIII11doN l11l1 r<l/tlm
lii
til ri
tlpCllIl
1.'1Q*l = Ql (I '1 PI/I
"li
I
"1111,
111111111
!til
1'(11111
vHZl'IOPl'opll}llulll tIL' 1110/1111111", li,
4 Hidrologia
Um dos métodos mais conhecidos para simulação da propagação em
l'ONcrvatóriosé o de Pulz. A metodologia consiste numa expressão
crctizada da equação de continuidade concentrada e na relação entre
nuuzenamento e vazão do reservatório.
A equação da continuidade concentrada 10.22 pode ser discretizada por
SI+l - SI (11.+ 11+1) (QI + QI+l)
(12.1=
.:\t 2 2
onde 11 e 11+1= vazões de entrada no reservatório em t e t+l; Qt e QI+l
vuzõcs de saída do reservatório em t e t+ 1; St e St+ 1 = armazenamentos n
1I!l11pOS referidos; .:\t = intervalo de tempo. Nesta equação existem duu
Incógnitas Qi-t e SI+1. Reorganizando esta equação com as variável
conhecidas de um lado e as incógnitas de outro resulta
Ql+l + 2SI+l/.:\t = It + It+l - Qt ;+ 2St/.:\t (12.111)
Conhecida a função Q = f(S), pode-se construir outra fUIlÇI\\1
iclnclonando Q = fl(Q + 2S/llt). O processo de cálculo é o seguinte:
li) inicialmente é necessário estabelecer o volume inicial 50. lI~tl
volume depende dos critérios do estudo em análise ou do valor ObSOlVlh11l
onhecido, no caso de reprodução de um evento. Com base em
determina-se Qo;
b) para cada intervalo de tempo seguinte deve-se determinar o tOll1l0 ti
direita da equação 12.16, já que o hidrograrna de entrada no rosôrvllh11111
deve ser conhecido;
) conhecido o termo da direita da referida equação, também
lermo QI+l .•. 2SI+l/lll. Com este último valor e utilizando
ft(Q + 2S/llt) é determinado O valor de QH I;
ti) COm base no valor de QI+I determina-se SI+l por Slll 111.
) os passos do 11
11I1111011111"l1ullll
II rln Ilu
1/1-1
111I1I)Ontoem Rios e Reservatórios 453
flli).l'lItllda na forma de tabela ou gráfico. Devido às características em geral
1\IllIllr'lldas nos reservat6rios, esta função pode também ser ajusu.da a uma
I 1111 L: RI)do tipo seguinte:
b
Z=aS (12.17)
IlIdll 'I. • cota; a e b são coeficientes ajustados aos dados.
A função entre cota e vazão depende do tipo de extravasor. Esta função é
1111'1ldu pelo projetista ou estabelecida em modelo reduzido. Os
I 111 vlu6rios, em geral, possuem dois tipos de extravasores: vertedor, que
1111111HlI mente é de superfície e descarregador de fundo. Tanto o vertedor como o
I. lI'IIIIt'lI.t\dor de fundo podem ter comportas. A equação para o vertedor livre
li por
Q = C L ( Z - Zw)3/2 (12.18)
111111·t ' • coeficiente de descarga, L = largura e Zw = cota da crista do
III'tlnl', Nesta equação despreza-se o termo de velocidade porque a cota
I!illlllllll não se refere à crista do vertedor, mas a do reservat6rio, em que o
l[1i11111tlD velocidade é pequeno (Figura 12.7).
qunção do descarregador de fundo é expressa por
Q = C'A Ügllz' (12.19)
Indo C" • coeficiente de descarga; g ::: aceleração da gravidade; llz ::: a
ilfulllll..'" de nível entre montante e jusante.
curvos de
nfvel 2
,AI
I
ç(5
11\1111111I );fl, \(1·IIIOnO I1IUIl '1.Illt1UII,llllnlUI
454 Hidrologia
Essas equações podem sofrer alterações em função do afogamento de
jusante, características dos condutos de fundo, uso de comportas, entre
outros. Cada projeto tem definida as suas características pelo projetista,
Adicionalmente, deve-se considerar que dependendo do problema em estudo,
simplificações podem ser realizadas. Por exemplo, no estudo de amorteciment
de grandes cheias pode-se desprezar a vazão pelas turbinas de um
aproveitamento hidrelétrico, já que estas são muito pequenas se comparadas
com as vazões do vertedor. Deve-se verificar se esta condição realrncnt
ocorre em cada caso.
*--.t
a - Ver tedor b- De s cor reço dot li
fundo o f o çoriu
Figura 12.7. Extravasores de reservatórios
Combinando a função 12.17 (ou a tabela de valores Z e S)
do extravasor resulta a função desejada. Considere as seguinte
a) as funções Z = f2(S) e Z= f3(Q) são fomecidas na formn lIl\ 111"1II1
Utilizando um valor de Zi na função f2, é obtido S.I.Com o lllllN11I1l vulll
de Zi, na função f3 é obtido Qt OS valores SI e QI fouuuui 11 /lu
Q= f(S) desejada (figura 12.8).
b) normalmente na fase de projeto não oxlst
concreta das características do vcrtedor. N
função 12.17 (ou 11 tabela) coro 1\ cquu
• L ( 11 SI! • Zw ,~t2
Ncarn ('1q\lll~n(), 11tH' lll111Vtllll~1\1li1\ N pud
1'. 11011
111"
./
li
oamento em Rios e Reservatórios 455
Q = CL [ a (SIt..t)b - Zw ]3/2 + 2 SIt..t (12.21)
) quando o reservatório possui comportas, a curva de descarga muda para
ada manobra de comporta. A função f3 é alterada, o que necessita um
novo cálculo de Q = f(S). A regra operacional é transferida para a
irnulação através da função f3. A mudança desta função ou a operação
pode ser realizada de acordo com os seguintes critérios básicos:
zI
• Sai a SI
Q
SI S
Plllllrll 12.8. Funções de armazcnarncnto
"
456 Hidrologia
'I
,Iil
II
apresentadas duas curvas de descargas. Considere que até o intervalo t*
a curva I é utilizada, no intervalo t*+D.t a curva 2 é válida. Na
prática ocorreu um período de transição na abertura que é, em geral,
pequeno e desprezível. A vazão e o armazenamento no tempo t* são
calculados na curva 1. Admitindo que no intervalo (t*, t* + D.t) é
válida a curva 2, o cálculo do passo c do algoritmo érealizado com a
curva' 2;
- Manobra de comporta função do nível ou vazão defluente do
reservat6rio. Esta etapa envolve a identificação das variáveis que sã
geradas na simulação, para a modificação da curva operacionul.
Fornecendo a função f3 com esta condição operacional é possivel lcvui
em conta esta situação. Quando a vazão atinge Q* (ou Z*) ocorr
abertura de comporta. Esta vazão poderá atingir este valor dentro do
intervalo de tempo. Quando o intervalo de tempo de cálculo é multo
grande (1 dia ou várias horas) é necessário reduzir a discretiznçün
para evitar erros. O procedimento passa a ser o seguinte: Identificndo
que Q > Q", calcula-se o intervalo de tempo D.t*. Neste caso, Qt+1 •• (J
e SI+I = f( Q*). Substituindo na equação da continuidade fica
D.t* = (SI+I - SI)/(I - Q) (I 2,?••')
onde I e Q = vazão média de entrada e de saída, respectivameuu
Admite-se que o início e o fim do intervalo permitem uma estimativu ti
entrada.
Q
Q2
Q1
Q*
J Q:.o Q IfI
IIrl\ az.!>, 1111Il\'I'\UMdo 1IIIIIIi'filIiIlH~t!lIll1 IJlJiJl lillnllll Ull1IllU j
/
amento em Rios e Reservatórios 457
Alternativamente pode-se efetuar um processo iterativo, ou seja após a
determinação de D.t" com base na equação acima ié novamente estimada a
vazão com base na interpolação; Q = (Q* + Qt)/2;
- Manobra de comporta função da vazão afluente. Esta situação pode ser
incluída na primeira, ou seja varia com o tempo função do valor de Ir,
A aplicação do método depende do tipo de reservatório, declividade do
üualo, volume do hidrograma de entrada e da velocidade de escoamento. Para
lllNt'lvat6rios em que a linha de água não pode ser considerada horizontal esta
ulotudologia não pode ser aplicada. Para esta situação deve-se procurar
111l1t~ilr um modelo hidrodinâmico baseado na solução das equações completas de
IIllIt Vcnant ou outro modelo de escoamento, tratando o trecho como um rio. Em
I"~Nvntõrios onde o volume do hidrograma de entrada é muito maior que o
ulumc do reservatório a tendência é de que a linha de água deixe de ser
IliIl11,()ntule o escoamento tenha o comportamento de um rio.
1r.~I\IIII)lo 12.2. Determine o hidrograma de saída do reservat6rio do evento da
Illlit~11I 12.4. As funções de armazenamento foram determinadas e apresentadas na
1I11111'n 12.10
Illll~\n(l: Na tabela 12.4 são apresentados os valores calculados segundo o
1IIIIIIImo descrito no texto. Exemplificando o intervalo 3, o valor do termo a
1111111111 (11\ equação 12.16 é
11 I h+1 - Qr + 2St/D.t = 10 + 30 -6 + 18 = 52
Ttlbcla 12.4. Exemplo 12.2
Qt
m3/s
J I 2St/D.t I 2St+1/6t + Qt+1
h I m3js m3js m3js
1 I 5 16
2 10 18 26
30 40 52
70 96 127
1/16 187
160 196
140 182
IOH 11\,1
U, 101. Mi
I
)
5
6
13
29
40
43
458
260
Hidrologia
80
60-
'"<,'"E 40
O , I ~
I "
(2S + Q)
20
~ M
40 8 12 16 2 24
S
M
2Sót + Q (m3/s)e
Figura 12.10. Curvas de armazenamento do exemplo 12.2
roi _ ,
60
50
~E 40
o
30
20
10
lU2 3 ..,
t ( I1l'lrll
uru 1:\,11, IlIlh'IHU'IUllIIN tlll \1'"(\IVI\II~dll1111 ()}(Ulllphl l'l,
/
oumento em Rios e Reservat6rios 459
Nas funções da figura 12.10 obtém-se Qe-i = 13 e SI/.1t = 20. Na figura
I~,II são apresentados os hidrogramas de entrada e saída do trecho.
,.' f1:scoamento em rios
,,',I Modelo Muskingun
escoamento em rios se' desenvolve numa seção mais estreita, menor
1IIIIIIII1didadee maior velocidade que em reservat6rios. Um dos métodos mais
1If1ll~I\dospara a simulação do escoamento em rios é o método de Muskingun, do
111'11 urmazenamento (capítulo 10).
modelo Muskingun foi desenvolvido por McCarthy (1939) e aplicado no
111/ Muskingun, O método se baseia na equação da continuidade (equação 10.22)
111\ equação de amazenamento, que pondera o efeito da vazão de entrada e
Illdl\ do trecho. Este modelo é do tipo concentrado no espaço. Considera que a
II no e o armazenamento no trecho têm a seguinte relação com o nível ao longo
dll trecho.
O = a yn (12.23)
S = b ym (12.24)
11111\11O 1:1 vazão; S = armazenamento; y = profundidade; e a, b, nem = são
IIiIlRll\tlIros. A profundidade e a vazão são valores médios do trecho.
III '~1'1ezundo-se a variabilidade espacial destas funções e combinando as
f qlllll,'r\I.lS 12.23 e 12.24 resulta
b
S = - [X I + (1 - X)Q]m/n
a1/n
(12.25)
'1Idl' (J u X I ••. (I-X) Q ; I= vazão de entrada e Q = vazão de saída do trecho;
1111fUlCJr de ponderação das vazões. Este modelo adota que m/n = 1 e
li/li 1/11 , resultando a seguinte expressão para o armazenamento
• K [X I '.. (l - X) Q) (12.26)
II1 J' lIu
)
460 Hidrologia
dQ dI
K (I - X) - + Q = I - K X - (12.27
dt dt
A equação 12.27 é diferencial ordinária e será linear quando o."
coeficientes K e X forem constantes. Utilizando a mesma discretização do
modelo Pulz, a referida equação fica
Qt+l = ci It+l + C2 It + C3 Qt (l2.2H)
-KX + ll.t/2 KX + 1l.t/2 K(1-X) - ll.t/2
onde Ci = ; C2 = ; C3 = ----
K(I-X) + ll.t/2 K(1-X) + ll.t!2 K(1-X) -i- ll.t!2
o valor do parâmetro X representa o peso da integração da vazão 11I1
espaço. Devido às condições de estabilidade numérica X:s 0,5. Considcriuul«
que urna ponderação negativa é irreal, o intervalo de X é
O:s X :S 0,5 (I? )'JI
o parâmetro K tem unidade de tempo e representa o tempo médlu ti,
deslocamento da onda entre montante e jusante do trecho. Considerando qllo w/
coeficientes Ci e C3 devem ser positivos, para que não exista a posslbllkhu!
da vazão estimada ser negativa, o intervalo de variação possível plllU
intervalo de tempo é
2 X:S ll.t!K :S 2 (1 - X) ( I,' 1111
" ,
Utilizando as duas equações 12.29 e 12.30, pode-se estabclc
em que os parâmetros devem variar, como conseqüência é possível
discretização temporal (figura 12.12). Na inequalidade 12.30, <)11I11\1111 11
parâmetros tendem a romper o limite inferior, a distância entre l\
muito grande e o valor de K (tempo médio de deslocamento) é multo ,,1111 II
trecho necessita ser discretizado em subtrechos para efeito (Ie ~lth 11111
Quando os parâmetros tendem a romper o limite superior o inLcrvnlo di1 11"1111"1
alto e necessita ser reduzido.
Alguns autores têm expressado que, matematicamente 08t,
ser rompidos. Do ponto de vista físico significa que, 60 o 1I1i111
for negativo, o intervalo de tempo é muito pequeno Se comparado UOHIII ,. 11I1'\
de deslocamento da onda, para que U VllZSO de cntrndu no treohu, 11I1 "11I111
futuro (11+1) tenha influência sobre 11 VIlZ[tO do sllfdu (011 I). ('OIllfl 11 ~1I1,j
do cocficlcntc C I flcn ncgntlvo, o pondôrllclot flcn Incoorouro 1I~1t 111"1'"
unnto 1I0 rOIl1JllnlCIHO (\(1 1I11111ll .upc-rlw, li IU'('I V 1110 11" ,r 11I1''-'
u/ltllclltl'lmollto ~I,,"du I'IU'I\ 1t1JlI1'l'''"1111 /I dnlllll(lllllll~lllll -11\ 1111I111.111,
111'1'1111mulll, IllIUtlllllllldn li" Il",dllldll
111111101110 em Rios e Reservatórios 461
LH
K
2
Região lnata'velx-c o 1
- 0,5 0,5 l,O xo
Figura 12.12. Regiões de variação dos parâmetros
11\ .Ios parâmetros
,lu: originalmente, a determinação dos parâmetros K e X era baseada no
'11111110 dn cunha de armazenamento, provocada pela influência da declividade
IlIlth\ de cheia. No início da enchente ocorre aumento do armazenamento no
I ,,1111 1I.C'~undoum gradiente íngreme, quando o pico passa, a diminuição do
jillilllllllllUonto dá-se com gradiente menor e sentido contrário. Este processo
lunl~ 11'1' vlsualizado ao plotar-se o armazenamento versus a vazão ponderada
111.1111\ 12..(3).
II modelo se baseia numa relação biunívoca entre o armazenamento e a
ti ponderada (equação 12.26). Para obter esta relação deve-se plotar a
1111\, Iuzcndo variar o valor de X. Aquele valor de X que apresente uma
h~1111I111 próxima de uma função biunívoca é o valor procurado. O valor de K
11111111 du dcclividadc da reta ajustada à laçada (figura 12.13). Para plotar
111/\ I~.t 3 sl"iocalculados os seguintes valoresacumulados
<)11 1,1 III X (Ii-) - 11) + (1 - X) (Ql+l - Qi) + QII
11 1/1\1 • l/2f(1" I 1" li) • (QI+l + QI»)
(12.31)
(12.32)t/ó.t
462 Hidrologia
K = cotg o(
<li<,
I"l
E
I'
",
I
I
w
""'o
><,
ri H,
O+
H
><
s
a - Ajustamento dos parãmetros b - Hidrogramas
Figura 12.13. Ajuste pela Laçada
Mínimos quadrados: considerando que ó melhor resultado é aquele que ollnll/,1I1I
ajuste da função de armazenamento com os dados observados, os pIIrOlllllhll
podem ser obtidos por mínimos quadrados.
Considere a diferença quadrática entre o armazenamento observado
calculado
2
D = [( Sei- Soi) (I~,~I'\
O armazenamento calculado é obtido pela equação 12.26. Substltllhllln 11
expressão anterior, resulta
D = L [ K X li + K (l - X) Qi - Sol ]2 ( j ) :HI
Para obter o mínimo de D, função de K e X, cal
parciais de D com relação aos dois parârnctros C igualo-
das duas equações para K e X fornece o rnlnimo de D. Ali expr
são as seguintes:
2 })ISQI ,I D12[Qih ([QiSOI + [IISol) +
I( &o
I~I)I
2»1 » () )101\)
I i.1 unmcnto em Rios e Reservatórios 463
2[[Qj í)iSoi + [QiSoi DiQi]
X = --------- (12.36)
2 2[Di [Qi + (lJiQi)2] K
nrmazenamento observado é obtido pela equação 12.32. Este método não
1I1111It~ o melhor resultado, apenas que a diferença quadrática entre os
11 11mzenamcntos será mínima. O método dos mínimos quadrados tende a dar maior
fl~m I\OS maiores valores, que neste caso estão na vizinhança do pico.
IlIplo 12.3. Ajuste o modelo Muskingun ao trecho do rio Paraíba do Sul entre
111111 Bronca e Guarema para a cheia da tabela 12.5.
/'
11.1
0.1
At :S 0,45 dia
AI :s 0,58 dia
(para Ki)
(para K2)
464 Hidrologia
Tabela 12.5. Exemplo 12.3
I
,l-
I,
II
t I Q Qc S/At QI QI
X=O,2 X=O,5
dia m3/s m3/s m3/s m3/s m3/s m3/s
1 101 104 96
2 123 109 101 13,5 8,4 13,5
3 408 356 328 64,5 247,0 269,5
4 627 604 557 139,5 474,0 493,5
5 563 650 600 156,0 495,6 483,0
6 393 516 476 96,0 362,4 336,0
7 163 246 227 22,5 117,2 96,5
8 127 144 133
9 116 123 113
10 107 114 104
11 106 107 98
11
o
"O
o
:; 500
E
::J
U 400o r--
nU>
0;;'- 300
<lE
';( ~ 200,...•
.,'"
100+
<i
)(
w
I
d)O
I _
I(lO
I
IAI (111"1
o
1711'.1111' I?, I~ I IIIJIIIIIIH do IIIJlIII I ~,:I
.~
111i, IIIIIIINHO em Rios e Reservatórios 465
00
00
_ OBSERVADO
---- LANÇADA (KI E Kal Ri: 0,99
-.- MíNIMOS QUADRADOS Ri'0,98
<400
00
o I 1 i i i i i i , i i i J
2 3 4 5 6 7 8
t (dias)
Figura 12.15. Hidrogramas do exemplo 12.3
9 I II 12
udelo Muskingun-Cunge
nrnonto em rios e canais pode produzir o amortecimento da onda
vnrlnção da capacidade de armazenamento e o efeito das forças
IllInllll'IM do escoamento.Cunge (1969)demonstrou que não existe amortecimento
1111111111110 uo modelo Muskingun. O fundamento do modelo Muskingun é a relação
IIjlllllvlHJli 1,1IIh'Onrmazenarnento e vazão, que para uma seção é a relação entre a
i@ l' 1\ VII~1'I0, ou seja o princípio do modelo onda cinemática.
11t"lvllc!n parcial da área com o tempo pode ser expressa por
8A dA 8Q
-=-1 -dQ xo 8t (12.37)8t
IIil direito da equação é definido paru uma seçno
x, 11 sun derivada total 6
IIC 111 I ti (IJ ItO
11 li
111111I111I111 VII/,nlll'OIlP/IUIIlr 11 1111I tlNlvlllh\ 1111111,11111111, WIUltlHlIl1/ rUI
466 Hidrologia
dx -aQ/at
-=-- = c
dt aQ/ax
(12.39)
, ~
I ~,
1,1
111
onde c = celeridade da onda.
O termo do denominador é substituído com base na equação da contínuidnd
••ra ..··. '1 sem contribuição lateral (equação 10.1), resulta
dx 8Q/8t dQ
-=-- =-
dt 8N8t dA
(12.401
Substituindo na equação 12.37 fica
8A 1 ao ( 12..11)--=---
at c 8t
Introduzindo este termo na equação de continuidade distribuída, rcsultn
8Q
c -- +
8x
aQ = O
8t
que é a equação da continuidade transformada com base no conceito dll 11"
existe uma relação biunívoca entre vazão e área (modelo Onda Cíneuutt
Armazenamento ).
O modelo de difusão utiliza as equações da continuidade (cqulIo"o 1 (I I1
a equação dinâmica sem os termos de inércia. Essas equações silo
8y 1 aQ
-+-- =0
8t b 8x
8y So .. QIQI
8x 2
Ko
onde Kc = convcyancc; y = profundidade; Se • dccllvldl\(1
Dcri vando as expressões com rt'lllC;no 1\ x C' I,
muntnndo 05 11.:1'I1)()Sde dl'f'ivl\dll !ll'HIIIHII\ til) y, 10/1111111
'I r(1.,.11 'iI
IIUUllonlo em Rios e Reservat6rios 467
8Q 8Q 82Q
-+c- =0-
at 8x ai
2
Q 8Kc/8y / (b Kc) e O = Kc /(2 b IQ I). Esta é a equação de difusão
a celeridade da onda e O o coeficiente de difusão. Esta ~ uma
1"'I\nO difcrencial não-linear, a solução linear da mesma baseia-se num valor
I J I (1'11 II yo) a partir do qual' as perturbações são consideradas pequenas. Os
11 lluícutcs ficam c = 1,5 vc; O = Qo/(2BoSo), onde Bo = largura
III".ponucnte a Qo e So = declividade do fundo.
IIIMcrctizando a equação 12.42 segundo o esquema numérico apresentado a
1111, l1 obtida a equação numérica do modelo Muskingun.
(12.43)
1+1 1 1+1 1
8Q (qj - qj ) (qj+l - qj+l)
-~X +(1-X)----
8t At At
(12.44)
1+1 1+1 1 t
8Q qj+l - qj + qj+l - qj
-8!:--------
8x 2Ax
(12.45)
1+1q. ;
1+1 1+1= qj+l; QI = qj+l e;
J) (l, x) IJ Ax.
111111'1111111110 II 11'1\11I\\1\11 ~ ~t I1 \ IIIUI 111/\ II 11'111111 til
468 Hidrologia
i;
1,1
,111
direita aparece devido à discretização numérica. Para que o mesmo desapareça
é necessário que Dn= O e X=O,5. Este termo é denominado de difusão numérica,
que produz amortecimento na onda simulada.
Para que o Modelo Muskingun não tenha amortecimento numérico
necessário que Dn :; O, mas para que o modelo referido simule uma equação d
difusão, Cunge (1969) igualou a difusão numérica à difusão real. Utilizando
os coeficientes da equação linearizada, o ponderador X fica
Qo )
X = 0,5 (1 -Bo So c., 6.x (l2.4CI)
Como definido anteriormente, o parâmetro K representa o tempo médin ti
deslocamento da onda, o que é
óx
K =-
Co
(l~,II?i
Estas equações permitem a estimativa dos parâmetros do Modelo MUNhHlllllI1
para que o mesmo funcione como um modelo de difusão e possa ser cSlimudolllll'/
base em parâmetros físicos do trecho.
Utilizando a equação de Manning para expressar a vclockhul
considerando que R~ y, resulta
co :; 5 y2f3 S~/2
3 n
(I"
Retomando a equação de Manning, isolando a profundidnd
na equação anterior, resultam as seguintes equações
1111.,1111111I1,
0.3 0.4
1,67 $0 Qo
Co =
n0.6 aO.4
e
/1.1.. (n Jl"0l
K· ~
n.1 0,'1
,I ()II
O rllclliJt! li PlHlu NIII IINllillI qlUlIlIllI
11
I1
IlI\1I /'1'11 1-'1 1111II
monto em Rios e Reservatórios 469
nnhccida a relação entre a vazão e o nível de uma seção é possível
II111 IIr as equações anteriores para estimar a celeridade e os parâmetros do
I,"hllo Muskingun.
equação 12.48 foi estimada considerando a celeridade da onda
IIilt11lllttlca, portanto o seu uso neste caso está em contradição com o modelo de
1II/IIIno que a proposta de Cunge pretende representar. As equações 12.49 e
1 I ~o tOm sido utilizadas com essa limitação por alguns autores. A celeridade
Itiltll\ pelo modelo de difusão foi apresentada na equação 12.43.
11I1CS (1981) analisou as características de precisão do esquema numérico
1I Mn<lclo Muskingun para resolver a equação de difusão e apresentou as
I l'I,no. entre K/ót e X para diferentes níveis de erros de amortecimento e
1t1"II\lde (figura 12.16). Na figura 12.16, no intervalo de X entre 0,2 e 0,5
mlll, MO ujustar uma curva que atenda as duas funções dentro da margem de 2,5%
1111, Na figura 12.17 é apresentada esta curva e os limites apresentados
1111111"\ 12.12. Deve-se observar que na figura mencionada a ordenada era
1/1' 11 nn figura 12.17 é K/t:.t, o que toma os limites uma função inversa. No
!!li(1VIIlll 0,20 :S X :S 0,40 pode-se ajustar uma equação a duas curvas de
ihOI I_nll Ideal da figura 12.16. A equação éa seguinte:
K/ót = 0,32 X-1,2S (12.51)
)'\11'11 o intervalo de X ~ 0,4 pode-se adotar K/ót !li! 1 sem muito erro. A
1111 .no descritos alguns procedimentos para a estimativa dos parâmetros do
IfI"IJI_11I ('UOI base nesta metodologia.
/I!!\ .llIcloll Observados: a escolha de t:.t e óx de cálculo dependem das
1,1i !tIL '"110115 dos trechos e dos dados disponíveis. Quando t:.x é fixado em
IClI\~11 tios dados (largura, declividade ou rugosidade), t:.t é determinado
i!l IIIIIIIII<lu flcar dentro da faixa de precisão das curvas estabelecidas e
i I II'/~I onde tp ::: tempo de pico do hidrograma de entrada. Para um trecho
.111 1'0111 condições físicas aproximadamente uniformes e sem dados históricos,
Il\hhll\~,nOdas equações anteriores pode ser usada na discretização. Existem
ulrouuulvns, a seguir apresentamos dois roteiros:
III1III I:
r 'lu
.I equu
bcdeça à condição Al:S Lpl
12.46, 12.47 c 12,~ I, (l que fl~Nlil1l\11111
1),,1,1 rll 1\\
( I~l.~~)
I1
470 Hidrologra
4,0
3,0
K-
M
2,0
1,6
1,0
0,7
-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
X
Figura 12.16. Curvas de precisão numérica do Modelo Muskingun-Cun
1,5
2,0
Reyiào válida
-1,
~ = 0,32 X
M
K
M
1,0
0,5
:,
I
.il0,1
tln HlIh 1~1~1I ti mil VII Id(~l\l
/'
Imllllllento em Rios e Reservat6rios 471
I ) I\x é determinado por tentativa, iniciando com um valor obtido por
2,5 Qo
Óxo = So Bo Co (12.53)
Bssa expressão foi obtida adotando X=0.3 na equação 11.46. O valor de Qo
1'IIIIlI ser adotado como 2/3 da vazão máxima do hidrograma de montante. Este
,hu' é estimado e pode ser alterado;
di Ilnl\hccido óx é possível calcular K e X das expressões 12.46 e 12.47.
111I(IUe se a precisão está dentro da faixa de 5%. caso contrário retome
1I 111'1ll1 e reavalie óx.
j'llflill'CI2:
J d"lcunine ôt como no roteiro 1 e ôx pela equação 12.53;
111 1'llIoulo K e X pelas equações conhecidas e verifique se está dentro da
1"11 I~node 5%.
)\1I10do os dados não estão discretizados, de acordo com o ôt calculado.
11 \'''"U Interpolar os dados de vazão.
11I1110l2.4. Determine o hidrograma 18 km a jusante de uma seção. As
II\t1lmrstlcas médias do trecho são: largura = 30m, declividade = 0,0007
11111111rugcsidade de Manning n=0.045. Os dados do hidrograma de entrada são
1I11l1l'~lltudos abaixo
1I11I~,nll: o tempo tp = 200 min e Ót dos dados 40 min, portanto Ót = 200/5 = 40
111111 A vazão máxima de montante é 130 m3/s. Adotando
I., 2/3 .130 ;;::87 m3/s
1'11
ccloridadc da onda é
(0.0007)0.3 (87)°,4
(0.~5)O,6 (30)0,4
1,86 m/s
1111\lltlVIIde t.x ,(
,~ , K7
(),()()O'/ ,\() , I,He;
.t.,dH lU
472 Hidrologia
Tabela 12.6. Exemplo 12.4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
tempo /vazão de entrada Ivazão simulada
40mi m3/s m3/s
20
30
60
90
100
130
115
95
80
60
40
20
20
20
20
20,0
20,0
20,0
20,0
21,1
27,0
42,2
63,9
85,9
103,0
102,4
92,4
77,2
59,4
41,9
A distância do trecho total é de 18 km, adotando 3 subtrechos de (
Os parâmetros ficam
K ::: 6.000/1,86 :: 3.226 s
X ::0,31
que a precisão é muito boa. Com base nos valores de X e K e na
foram obtidos os valores de vazão na tabela anterior. Na slrnul
subtrechos a vazão de saída do primeiro subtrecho é a cntrnd
assim sucessivamente.
Quando o roteiro 1 é utilizado pela equação 12.
primeira tentativa, .1.xo = 5.568 m. Utilizando este valor JlIIII\
tentativas da equação 12.52 resulta, após algumas tcnuulvus, A
Este valor pode ser aproximado para 6.000 m como no CMO 1\1I11'11111
Com dados Observados: o âx podo
/'
11
IIHlmento em Rios e Reservatórios 473
tapas são iguais ao cálculo anterior.
busca do ajuste dos parâmetros pode ser realizada pelo processo de
hlllllilvlI c erro. Este processo utiliza a seguinte seqüência: a) arbitre um
111111 pura o parâmetro; b) simule o escoamento e compare com os dados
111M VIIUOS; c) altere o parâmetro procurando obter a aproximação dos
Illdllllll'lIll1nS observado e calculado e retome ao item 1. O processo de
"'lllIlIlvl\ finaliza com o parâmetro que melhor aproximar os hidrogramas. Para
\I 111111' este procedimento pode-se utilizar as seguinte estatísticas:
R2 =
2L (Qot-Qct)
-------
2L (Qo I-Qom)
(12.54)
2L (QOI-QCI) 1/2
---Jcr=(--N_l (12.55)
11111 0111 c QCI = são as vazões observadas e calculadas do intervalo t,
It1LJit'l tlvnmcnte, Qom = vazão média observada; N = número de intervalos de
resultados tendem a apresentar boa qualidade quando R2 tende para 1
Icnlemente pequeno, quando comparado com as vazões do hidrograma
unge Não-Linear
II 1110<1010 não-linear é caracterizado pela variação dos parâmetros K e X
ti 11Il1\lnO <lu vazão ao longo da simulação. A vazão de referência é substituída
11 1 \ ~,"n(J conhecida no intervalo de tempo de cálculo. Ponce e Yevjevich'"1 I.utudnrum três alternativas para estimar a vazão: a) média dos valores
h'lIll'iI I 111\entrada c na sarda do trecho; b) média dos valores conhecidos,
I" 11,1111 o Ql; c) média de todas as vazões 11, 11+1, Qt e Qt+l. Esta
11 11111'1100 um processo iterativo. Os referidos autores concluíram que
1111 /llll\ tlN simulações foram obtidas pela discretização b e c, com resultados
111 111, 111011. Como o processo pejo critério c é mais trabalhoso a opção mais
1111' 11111\(111 é LI b,
VII/~() OU 6 culculnda por
IJII
O,~
I1 I~.~()
,4 .4
11II I / "
I '1111111
11114lldl'
111 \:lIdl\ 11I1l'l1l1l10 til' 1111I1IHI I1 IIIIIIlr1111
"\lIi\hl/lH~nn" ,leI 1</1\1 " X, 1lllI'ltllII)q
474 Hidrologiu
numérica. As seguintes opções podem ser usadas:
iil
I~I
a) estabelecer a discretização com os valores extremos possíveis de vazão qn
o modelo pode assumir durante a simulação;
b) modificar o intervalo de tempo durante a simulação para se adequar
precisão desejada;
c) desprezar a variação dos parâmetros fora dos limites de precisão. Esta silo"
ção pode apresentar resultados finais aceitáveis.
Zamanillo e Tucci (1987) utilizaram este modelo para simular um tr(.lotllI
do rio Jacuí entre Itauba e Volta Grande onde existem quatro CVCIIIII
discretizados com intervalos horários. O trecho tem 36 km de comprirncntu,
declividade média de lm/km e para os eventos estudados a contribuição \I\WIIII
é desprezível. Para os quatro eventos foram ajustados os modelos Muskingtu
Cunge .Linear e não-linear com base naceleridade calculada pela equnçüu 111
Manning. O coeficiente de rugosidade obtido para as duas situações CI l"u 11
todos os eventos foi de 0,033, o espaçamento foi fixado em 1800 01. 1\ 11
intervalo de tempo em 1 hora. Para a solução linear foi utilizada a vu",no ,I
referência de 170 m3/s. Os resultados dos eventos são apresentados na nUIII ••
12.18 (dois eventos) e na tabela 12.7 as estatísticas de todos os cVtllllll./
Pode-se observar dos resultados que o modelo não-linear melhora o Idll"l
acompanhando melhor as variações de vazão.
Tabela 12.7. Estatísticas da simulação
Evento R2
Linear não-linear
1 0,91 0,97
2 0,83 0,94
3 0,92 0,96
4 0,88 0,98
Verificação e utilização dos resultados
As fases de utilização de um modelo compreendem
aplicação. Para o modelo Muskingun foram apresentou
ajuste. A escolha do melhor procedimento depende do
disponfveis.
SOIl1 cJôdoll hl/ltÓI'lcoN: o método d
deflnlr OA Il!Unmc Iroll 1\ pnnlr
ter iI oukludo de 1\111111~H\I' I'
lutU\[lI\to em Rios e Reservatórios 475
1IIIIIIIlhllldade física. Quando um rio sofre extravasamento de calha é
IVI'\ usar o método não-linear, já que as condições de escoamento podem
1I1111lill Hlgnlficativamente. O método linear é útil quando a celeridade varia
" 1\11111 onm a magnitude da vazão.
o Q (m3/s)
Hidrograma observado
Modelo linear
Modelo não-linear
1\00
00
o
o 10 20 30 40 50
t íhorca)
Resultados da simulação do evento 1
Q (m3/s)
__ Hidrograma observado
---- Modelo linear
....... Modelonõo-linear
30 40
t (horas)
H!lt>1l1 to do (i li ~ 1"1 \11 cl von1o
11L'11l 11 I ~ I H. 1(""IIII",IU/4I1 IUlIlIII~~CI1111 \lu J IU1111 (~I\ 11111111110
)
'1\1\",1, tOW/)
476 Hidrologia
.1
~\
.111
Com dados históricos: inicialmente é necessário verificar se os dado
históricos são representativos do período no qual se deseja utilizar o model
(projeto, extensão de série, previsão de cheia, etc). Por exemplo, se
dados históricos escolhidos para ajuste estiverem entre os níveis hi e h2
for utilizado para estimar cheias entre os níveis ns e h4 da figura 12.19, U
hidrograma provavelmente superestimará a cheia, já que na calha natural 11
tempo de deslocamento será menor. Quando a cheia ocorre dentro da calha, 11
modelo tende a subestimar cheias maiores que as utilizadas no ajusto '
superestimar as cheias menores.
A avaliação dos resultados para outra cheia ou período diferente daquel
utilizado no ajuste é importante para verificar a qualidade do ajuste c 1111
capacidade do modelo em representar o escoamento. Quando o objetivo é o ti
ajustar um modelo para extensão de séries, o modelo deverá representar ht1111,
em média, vários anos de simulação. O ajuste e verificação é realizado t'HIII
séries de períodos contínuos, o que pode levar a parâmetros dífcrcní
daqueles obtidos em períodos isolados de cheia. Quando o objetivo do UH(l 1111
modelo é para estimativa de cheias, deve-se selecionar os eventos IIUI
representativos.
___ liZ.~h4- an;,.z:;;: -
=~-_.~- h3
__~v_ I"ha\ ---
Q
...
•....•...
'-
,1111' I }"I O, VU III~~II 111\111'lIlIdl,nl'l!l1 !lllIlIlt, 11 "1111\'I\ll'lI
/
unmcnto em Rios e Reservatórios 477
I'III\I.EMAS
I'unsldcre um reservatório onde a vazão de saída por descarga de fundo é
(2gllli)o,s; onde A = área da seção do descarregador; C = coeficiente
l. ,III1L1I1rga; Illi = diferença de nível entre a superficie de água e o centro do
ti/h 111, O armazenamento se relaciona com a cota de acordo com a função
1I 1/, A cota do oriffcio é zw, determine, analiticamente, o tempo que o
1 '111111110levará para se esvaziar. O armazenamento inicial é So e a vazão
urrudn nula.
Num reservatório existe um canal de irrigação que retira vazão a partir
11111Zo. O canal tem rugosidade n, seção retangular, largura B e
11'IldlluOS. A equação de armazenamento e do vertedor são respectivamente
IIIHI~'~CS 12.17 e 12.18. Estabeleça as equações e o procedimento de cálculo
1;1111 11t\It'I;minara vazão do canal de irrigação e do vertedor com base em um
IIllIIloIIIllIlUI (t) de entrada.
l'IIII~ldcre um canal com seção trapezoidal de base 20 m e inclinação 1:1,
1I"lIvllll\(IOO,OOlm/m, rugosidade 0,025. Determine o hidrograma na seção 30 km
1"'111111) da seção de montante que recebe uma onda de cheia (tabela 12.8).
1'\\111310l2.8. Hidrograma do problema 3
30
70
120
90
80
50
35
I '1mll fI Inllll'll n~( !l0 111111\ 11 lI!v,,1 cio m."I',1I\!11dll dlwhllllt ,I., 1,11
Tabela 12.12. Dados do problema 5
IlIdrograma Reservatório
tumpo I h S Q* Q+
li m3/s m 106m3 m3/s m3/s
1 319 O O O
./ 111 D 15 320 0,5 O O
30 321 0,8 O 2
70 322 2,0 O 4
50 323 2,5 5 13
(I 35 324 4,0 18 32
'l 25 325 7,0 32 60U 18 326 10,0 50 50
vIIzl10 do vertedor
vazão do vertedor + descarga do fundo
478 Hidrologia
m. até 2,0 m. considere que a entrada de montante é nula;
b) no item a considere uma entrada constante de 3 m3/s;
c) ainda no item a considere como entrada o hidrograma da tabela 12.11.
Tabela 12.9. Relação entre S e Z, problema 4
~I
I
h,
Armazenamento Nível
106 m3 m
O O
0,6 3,0
1,02 5,0
1,23 6,0
1,85 6,5
3,10 7,5
3,70 8,5
Tabela 12.10. Medições de níveis
I1
11,
Medições período variação
início fim início fim
m
1 8:00 15:00 7,5 7,0
2 8:00 14:35 6,0 5,5
3 9:00 16:10 4,5 4,0
Tabela 12.11. Hidrograma de entrada
Tempo Vazão
h m3/S
1 °2 2,3
3 4,8
4 10,0
5 8,0
6 6,5
7 4,0
abastecimento de água da eldude a.
reservatório do amortecer hldrogrllnlll
'1I01h6111 pllrll Il1oncll'lr n dOlllllíltlll 11
oarnento em Rios e Reservatórios 479
o volume inicial para simulação deve garantir 60 dias de abastecimento
111111\11cidade ( q= 0,2 m3/s). A demanda de irrigação é de 0,05 m3/s. A saída
li" cnnal de irrigação foi construída antes do funcionamento do reservat6rio e
IIfl1l\zmente está dentro do reservatório. A capacidade máxima deste canal
1!l10t rc no nível 325 m, quando começa a inundar o perímetro.
Determine o hidrograma que sai do reservat6rio. O hidrograma de entrada
1111reservatório é apresentado na coluna 2 da tabela 12.12. Quando o
1i!.~lvat6rio atinge o nível de 324,8 m é aberta a descarga de fundo para
uilulmizar a inundação no perímetro de irrigação.
Uma onda de cheia dada peja senõide abaixo entra num reservatório com as
I IH'1I0lcrísticas do problema 2. a) Determine o volume de espera para que a
Illo no canal de jusantc não extravase. O canal de jusante é retangular com
1lIlIl'untlldl\dc máxima yo, largura B, declividade So e rugosidade n.
I (I) • Q" scn (0,105t/2) t::S 60
1ft) • O t> 60
111I1111 t lÓlllpO Ululo elll hOI'II\ ••
,IHIIJ((),
1I11\1IVII
480 Hidrologia
Q = 10 (h - ho)1.29
h = 0,067 A0.9
Tabela 12.13. Dados problema 7
I Tempo I Vazão I
h m3/s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
40
80
65
55
40
25
10
./
1~_IIIIII1\Cntoem Rios e Reservatórios
IIlh jlll de S, = 2,25.106 m'. Quando o reservatório atingir a cota de 123,0 m é
1111'1111a primeira comporta (instantaneamente). Quando atingir a cota de 125,0 m
,,11IJr'tu a segunda. Uma vez abertas as comportas, as mesmas ficam nessa
1"I,.h;fio até concluir a cheia. Determine o hidrograma de saída. As caracte-
11111kns físicas do reservatório e as vazões afluentes ao mesmo estão na tabe-
11I1U5.
111 Ajuste o modelo Muskingun para o trecho do rio São Francisco entre São
1'lIl11nu c Manga. O rio Urucuia é um afluente importante que desemboca próximo
til 1 posto São Romão. O restante da contribuição lateral é deprezível, A
íll~lnllcia entre as seções é de 106 km, declividade 0.0001 m/m e largura média
lt 11~O m.
Tabela 12.14. Dados do problema 8
t
mI/sh
1 15
2 60
3 100
4 80
5 65
6 50
Tabela 12.15. Dados do problema 9
hidrograma reservatório
'Iempo Vazão Cota Armazenamento Vazão Vazão
12h m3js m lcf'm3 Comporta] Comporta 1+2
m3js m3/s
I 5 120 0,5 O OFigura 12.20. Problema 5 - 15 121 0,8 O °3 90 122 2,0 O O8 • Utilize o modelo Muskingun-Cunge não-linear e estabeleça as condições do
ti 70 123 2,5 10 O&Iculo c equações para dois trechos de rio com 118 lJã8ulnlO. ~ tiO 124 4,0 28 Onrucrcrtstícas. Simule a cheia da tabela 12.14.
6 2:1 125 7,0 52 52
'! 20 126 10,0 80 80o a 0,001 mim; n- 0,045; Ax - 50 km: L a 20111,
O - 0,0003 n!/Ill; 11' 0,03; r\x u ()()km: L u SOIll,
!) 11111 '!lNQIVI\I~111I !1C111I dw,~ 1J11I1lJlIllIII~ "Nil( h\ll)ltlI111~l\ltll'cllllllltlll, ~llllll VIII\UIl
481
482 Hidroloaln
Tabela 12.16. Dados do problema 10.
I:
II
Tempo São Romão Barra do Escuro Manga
dia São Francisco Urucuia São Francisco
1 2050 613 1916
2 2693 681 2134
3 3360 616 2823
4 3940 714 3488
5 3750 819 4101
6 4501 1038 4556
7 4804 1050 5086
8 4264 1032 5439
9 3840 969 5223
10 3410 919 5223
11 3220 919 4956
12 2943 876 4681
13 2999 930 4492
14 3260 977 4342
15 3280 989 4457
16 4315 1092 4741
17 5160 1152 5132
18 4804 1184 5725
19 4887 1170 5966
20 5118 1166 5966
21 4959 1206 6042
22 4543 1228 6102
I 23 4182 1224 6093
: 7.4
I
3772 1168 5979
25 3440 1066 5737
16 3270 989 5405
1.1 3370 961 5120
28 3066 887 4885
29 2510 771 4457
30 2002 719 4192
31 1970 777 3982
32 2172 642 3531
33 209 555 3291
I:,
IH .
'I"
~;
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