CIRC_ELE_I_A06

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CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
1 
Prof. Dr. Edmarcio Antonio Belati 
edmarcio.belati@ufabc.edu.br 
Aula Aula 66 
02/03/2015 
 Circuitos RC e RL 
 
 Resposta a uma Função de Excitação 
Constante 
 
 Exercícios 
 
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R
C
+
-
V(t)
i(t)
V0
+
-
ANÁLISES DE CIRCUITOS RC 
Circuito RC sem fonte 
Considere o circuito da figura 1, 
onde se supõe que o capacitor 
está inicialmente carregado e 
fornecendo energia após a 
chave ser aberta. Como a tensão 
no capacitor não pode variar 
abruptamente, então: 
Figura 1: Circuito RC sem fonte. 
0000 V)(v)(v)(v CCC 

t=0 
No instante t=0 o interruptor é 
aberto. A corrente total deixando o 
nó no topo do diagrama deve ser 
zero. Assim podemos escrever: 
0 CR ii
dt
dv
CiC 
R
v
iR 
Como 
então: 
0
dt
dv
C
R
v
2 
 
 
 
 
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Dividindo a expressão por C: 
Esta é uma equação diferencial 
de 1° ordem. Para resolvê-la 
dispõe-se os termos da 
expressão da seguinte forma: 
0
dt
dv
RC
v
dt
RCv
dv 1

Integrando ambos os lados 
temos: 
  dtRCv
dv 1
resolvendo, 
k
RC
t
vln 
k é a constante de integração e 
é determinada pelas condições 
iniciais. Em t=0. 
kVln)(vln  00
Substituindo k 
RC
t
V
v
lnVlnvln 
0
0
Sabendo que tem-se: 
xe xln 
RC
t
C eV)t(v

 0
ANÁLISES DE CIRCUITOS RC 
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ANÁLISES DE CIRCUITOS RC – 
CONSTANTE DE TEMPO 
Figura 2: Gráfico do fator de decaimento de tensão no 
circuito RC sem fonte em função do tempo, RC=100. 
RC
t
C eV)t(v

 0
A velocidade com que a 
tensão diminui com o 
passar do tempo é 
expressa através de um 
termo chamado constante 
de tempo denotada pela 
letra grega τ (tau). 
A tensão no circuito será Voe
-1 [V], para t = τ e, portanto, a constante 
de tempo de um circuito é o tempo necessário para que a resposta caia 
por um fator de 1/e, ou seja, 36,8% do seu valor inicial. 
RC
t
0c eV)t(v


)s(RC
4 
0 200 400 600 800
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
V
(t)
0.367
0.135

5
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A Tabela 1, mostra que em  = 5 o capacitor terá menos que 1% da 
carga inicial. Geralmente se considera que o circuito atingiu o 
regime permanente após transcorrido um tempo igual a 5 τ 
 Tempo (t) V(t) / V(0) 
  0,36788 
 2 0,13534 
 3 0,04979 
 4 0,01832 
 5 0,00674 
Tabela 1 – Tabela com dados do fator de 
decrescimento 
ANÁLISES DE CIRCUITOS RC – 
CONSTANTE DE TEMPO 
5 http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod07/ 
Circuito ilustrativo RC: 
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V0
R L
+
- +
-
VR VL
t=0
Supõe-se que o indutor da 
figura 3 está fornecendo uma 
corrente elétrica após a chave 
ser aberta. Como a corrente no 
indutor não pode variar 
abruptamente, então: 
Circuito RL sem fonte 
Figura 3: Circuito RL sem fonte. 
Aplicando LKT ao circuito da 
figura 1, tem-se: 
Como : 
0000 I)(i)(i)(i 

0 RL vv
0 Ri
dt
di
L
ANÁLISES DE CIRCUITOS RL 
Dividindo por L e agrupando 
os termos: 
dt
L
R
i
di

i 
dt
di
LvL 
RivR 
e 
então: 
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ou: 
A tensão no indutor é: 
L
Rt
eI)t(i

 0
L
Rt
L eRI
dt
di
L)t(v

 0
  dtL
R
i
di
Calculando a integral indefinida 
de cada lado temos: 
ou 
k
L
Rt
iln 
K (constante de integração) é 
determinada pelas condições 
iniciais. Em t=0. 
kIln)(iln  00
Substituindo k 
L
Rt
I
i
lnIlniln 
0
0
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ANÁLISES DE CIRCUITOS RL – 
CONSTANTE DE TEMPO 
A partir do instante em 
que o interruptor é 
aberto, a corrente no 
circuito decresce de 
forma exponencial 
conforme mostra a 
Figura 2. 
Figura 4: Gráfico do fator de decaimento da corrente no 
circuito RL sem fonte em função do tempo. 
O valor de  seguindo 
a definição feita na 
aula anterior é: 
L
Rt
eI)t(i

 0
)s(
R
L

V0
R L
+
- +
-
VR VL
t=0
i 
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Estudaremos circuitos que, além da energia armazenada nos 
elementos armazenadores, são excitados por fontes de tensão ou 
corrente independente e constante, ou função de excitação. 
Considere o circuito da figura 5: 
Figura 5: Circuito RC 
Io
Ir Ic
v
-
+
t=0
EXCITAÇÃO CONSTANTE COM ELEMENTOS 
ARMAZENADORES DE ENERGIA 
Para t>0, a chave é fechada 
e uma equação nodal para o 
nó superior é dada por: 
Dividindo por C tem-se: 
0RC Iii 
ou equivalente. 
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Reagrupando os termos 
resulta em: 
Multiplicando os dois lados por 
e integrando ambos 
Resolvendo tem-se: 
Constante de integração 
os lados resulta: 
Multiplicando por e (neperiano) 
resulta em: 
EXCITAÇÃO CONSTANTE COM ELEMENTOS 
ARMAZENADORES DE ENERGIA 
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Ordenando tem-se: 
Onde A=ek é determinado 
pelas condições iniciais do 
circuito 
Análise da solução: 
Resposta natural (vn). 
Tende a zero com o 
passar do tempo 
Resposta forçada (Vf). 
Mantém constante com o 
passar do tempo 
Portanto: 
EXCITAÇÃO CONSTANTE COM ELEMENTOS 
ARMAZENADORES DE ENERGIA 
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Determinação de “A”. 
Em t=0+ temos que 
 v(0+) = v(0-) = V0. 
Em t=0+, tem-se: 
 
00 RIAV 
00 RIVA 
ou: 
“A” é determinado pela tensão inicial 
no capacitor e pela função de 
excitação I0 . 
Portanto: 
RC
t
000 e)RIV(RIv


A corrente no capacitor para t>0 é: 
RC
t
00 e
R
)RIV(
dt
dv
Ci


EXCITAÇÃO CONSTANTE COM ELEMENTOS 
ARMAZENADORES DE ENERGIA 
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A corrente no resistor para t>0 pode ser determinada aplicando a 
LKC no circuito. Verifique que a chave está fechada para t>0. 
CR iIi  0
RC
t
R e
R
RIV
Ii


)( 00
0
- 
+ 
t >0 
Io r v 
Pela LKC: Logo: 
EXCITAÇÃO CONSTANTE COM ELEMENTOS 
ARMAZENADORES DE ENERGIA 
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iR 
iC 
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vf 
vn 
vf e vn 
RI0 
V0- RI0 
Gráfico - Resposta natural e forçada 
RI0 
v 
Gráfico - Resposta completa 
Gráficos da resposta forçada e da resposta natural do exemplo da 
figura 5. 
Io
Ir Ic
v
-
+
t=0
EXCITAÇÃO CONSTANTE COM ELEMENTOS 
ARMAZENADORES DE ENERGIA 
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Exercício 2 : Calcule v(t) e a constante de tempo  para o circuito abaixo, 
dado que o circuito está em regime permanente cc imediatamente antes da 
abertura da chave. Em t=0- , a chave está fechada. 
V1
100V
R1
2ohm
R2
3ohm
R3
4ohm
R4
8ohm
C1
1F
-
+
v (t)
t=0
Exercício 1 : Um capacitor de 1m F tem uma tensão inicial de 50V. 
Determine o tempo 5 caso seja descarregado: 
a) Através de um resistor de 100K ; 
b) Através de um resistor de 1M . 
Resp: a) 500 s; b) 5000 s 
Resp: v(t)=100e-t/10 V; =10 s 
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ANÁLISES DE CIRCUITOS RC - EXERCÍCIOS 
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V1
12V
R2
2kohm
R3
3kohm
R4
4kohm
C1
100uF
-
+
Vc(t)
t=0
-
+
V0(t)
Exercício 3 : Determine Vc(t) e V0(t) para t >0 no circuito mostrado a 
seguir, se antes da chave ser aberta o circuito estava em regime 
permanente. 
 Resp: Vc(t)=8e-1.667t V 
 V0(t)=2.66e-1.667t V 
ANÁLISES DE CIRCUITOS RC - EXERCÍCIOS 
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Exercício 4. Considere o circuito da figura abaixo após a chave ser aberta 
t>0. Qual a energia absorvida pelo resistor R quando o tempo se torna 
infinito? 
)J(LIspostaRe 20
2
1

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V1
100V
R2
75ohm
-
+
V(t)
t=0
R1
150ohm
L1
10H
R3
50ohm
i(t)
Exercício 5. Determine i(t) e v(t) no circuito RL da figura abaixo, assumindo 
que esteja em regime permanente cc em t=0-? 
Exercício 6: Em um circuito RL série, determine: 
 a) A tensão no indutor para R = 200Ω, L = 40 mH e I0 = 10 mA; 
 b) L, se R= 10k Ω e  = 10 µs; 
 c) R, para que a corrente no indutor de 0,01 H se reduza a metade a cada 
100 µs. 
ANÁLISES DE CIRCUITOS RL – EXERCÍCIO 
)V(e100)t(v
)A(e2)t(i:spostaRe
t10
t10




3,69)c);H(1,0)b);V(e2)a:spostaRe t5000
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Exercício 7: Um circuito RL série tem um indutor de 1 H. Determine o valor 
de R para que a energia armazenada se reduza à metade a cada 10 ms. 
1ohm
-
+
V(t)
t=0
2H
4ohm
i(t)
I1
5A
12ohmExercício 8: O circuito abaixo está em regime permanente em t = 0-. Em t=0 
a chave é fechada. Calcule i(t) e v(t) para t >0. 
ANÁLISES DE CIRCUITOS RL – EXERCÍCIO 
66,34spostaRe 
t2t2 e12)b);A(e4)a:spostaRe  
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Exercício 9: Calcule v para t>0, se o circuito está em regime permanente 
em t=0- da figura abaixo. 
5uF v 
- 
+ 
t =0 
10V 
4 k Ω 2 k Ω 
4V 
t =0 
Exercício 10: O circuito da 
figura ao lado está em regime 
permanente em t=0-. Calcule i 
para t>0. 
24 V 
4 Ω 
8 Ω 
2 H 
t =0 
i 
Resp:10-6e-50t (V) 
Resp:6-4e-2t (A) 
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ANÁLISES DE CIRCUITOS RC - EXERCÍCIOS 
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Exercício 11: Calcule v para t >0 se o circuito da figura a seguir está 
em regime permanente t=0-. 
4 A 
24 Ω 
4 Ω 
24 V 
8 Ω 1/18 F 
t=0 
- 
v 
+ 
Resp:24-8e-3t (V) 
20 
ANÁLISES DE CIRCUITOS RC - EXERCÍCIOS