Notas de aula Calculo II

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Prof. Me. Francisco Pessoa de Paiva Júnior
Cálculo II
SANTA INÊS
2015
1
Sumário
1 Integrais 4
1.0.1 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.0.2 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1 A integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Métodos de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Integração por Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Integrais Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Poteências de senos e cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Produtos de Potências de senos e cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.3 Integrais de funções envolvendo Seno e Cosseno de arcos diferentes . . . . . . 17
1.3.4 As integrais Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante . . . . . . . . . . . 18
1.3.5 Potências de Tangentes, Cotangentes, Secantes e Cossecantes . . . . . . . . . 19
1.3.6 Integrais do tipo
∫︀
tan𝑚 𝑥 sec𝑛 𝑥𝑑𝑥 e
∫︀
cot𝑚 𝑥 csc𝑛 𝑥𝑑𝑥 . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.7 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4 Substituição trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.1 Procedimentos para uma Substituição Trigonométrica . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.2 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5 Integração de funções racionais por frações parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.1 1º Caso - Os fatores de 𝑞(𝑥) são lineares e distintos . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.2 2º Caso - Os fatores de q(x) são lineares sendo que alguns deles se repetem . 30
1.5.3 3º Caso - Os fatores de q(x) são lineares e quadráticos irredutíveis, sendo
que os fatores quadráticos não se repetem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5.4 4º Caso - Os fatores de q(x) são lineares e quadráticos irredutíveis sendo que
alguns dos fatores quadráticos se repetem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.5.5 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2 40
2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2
SUMÁRIO 3
3 41
3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4 42
4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5 Respostas dos Exercícios Propostos 43
Capítulo 1
Integrais
1.0.1 Primitivas
Já estudamos como calcular a derivada de uma função. No entanto, muitos problemas exigem
que recuperemos uma função a partir de sua derivada conhecida (a partir de sua taxa de variação
conhecida). Vermos neste capítulo que primitivas são o elo dos dois principais elementos do cálculo:
derivadas e integrais definidas.
Definição 1.0.1. Uma função 𝐹 é uma primitiva de 𝑓 em um intervalo 𝐼 se 𝐹 (𝑥) = 𝑓(𝑥) para
qualquer 𝑥 em 𝐼.
O processo de recuperação de uma função 𝐹 (𝑥) a partir de uma derivada 𝑓(𝑥) chama-se pri-
mitivação ou antiderivação. Usamos 𝐹 maiúsculo para representar uma primitiva de uma função
𝑓 , 𝐺 para representar uma primitiva de 𝑔, e assim por diante.
Exercícios Resolvidos
1. Determine uma primitiva para cada uma das seguintes funções:
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥
b) 𝑔(𝑥) = cos 𝑥
c) ℎ(𝑥) = 1
𝑥
+ 2𝑒2𝑥
4
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 5
Teorema 1.0.2. Se 𝐹 é uma primitiva de 𝑓 em um intervalo 𝐼, então a primitiva mais geral de 𝑓
em 𝐼 é
𝐹 (𝑥) + 𝐶
onde 𝐶 é uma constante arbitrária.
Assim, a primitiva mais geral de 𝑓 em 𝐼 é uma família de funções 𝐹 (𝑥) + 𝐶 cujos gráficos são
translações verticais uns dos outros. Podemos selecionar um a primitiva específica dessa família
atribuindo um valor específico a 𝐶. Eis um exemplo que mostra como tal atribuição pode ser feita.
Exercício Resolvido
1. Determine uma primitiva de 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 que satisfaça 𝐹 (1) = −1.
A tabela seguinte mostra algumas primitivas
Outras regras de derivação também levam a regras de primitivação correspondentes. Podemos
adicionar e subtrair primitivas, bem como multiplicá-las por constantes.
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 6
Definição 1.0.3. O conjunto de todas as primitivas de 𝑓 é chamado de Integral Indefinida de 𝑓
em relação a 𝑥, denotado por ∫︀
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹 (𝑥) + 𝐶∫︀
é o sinal da integral. A função 𝑓 é o integrando da integral e 𝑥 é a variável de integração.
Após o sinal da integral na notação que acabamos de definir, a função integranda é sempre
seguida por um diferencial para indicar a variável de integração.
Exercícios Resolvidos
1. Calcule:
a)
∫︀
(𝑥2 − 2𝑥+ 5)𝑑𝑥
b)
∫︀ 3√
𝑥2𝑑𝑥
c)
∫︀
( 1
𝑥
+
√
𝑥)𝑑𝑥
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 7
1.0.2 Exercícios Propostos
1. Calcule:
a)
∫︀
𝑥𝑑𝑥 b)
∫︀
3𝑑𝑥
c)
∫︀
(3𝑥+ 1)𝑑𝑥 d)
∫︀
(𝑥2 + 𝑥+ 1)𝑑𝑥
e)
∫︀
𝑥3𝑑𝑥 f)
∫︀
(𝑥3 + 2𝑥+ 3)𝑑𝑥
g)
∫︀ 1
𝑥2𝑑𝑥 h)
∫︀
(𝑥+ 1
𝑥3 )𝑑𝑥
i)
∫︀ √
𝑥𝑑𝑥 j)
∫︀
3
√
𝑥𝑑𝑥
k)
∫︀
𝑥+ 1
𝑥
𝑑𝑥 l)
∫︀
(2 + 4
√
𝑥)𝑑𝑥
m)
∫︀ √
𝑥+ 1
𝑥2𝑑𝑥 n)
∫︀
( 2
𝑥
+ 3
𝑥2 )𝑑𝑥
o)
∫︀
(3 5
√
𝑥2 + 3)𝑑𝑥 p)
∫︀
2𝑥3 − 1
𝑥4𝑑𝑥
q)
∫︀ 𝑥2+1
𝑥
𝑑𝑥 r)
∫︀
(3𝑥2 + 𝑥+ 1
𝑥3 )𝑑𝑥
1.1 A integral Definida
Definição 1.1.1. Seja 𝑓(𝑥) uma função definida no intervalo [a,b], a integral definida é dada por∫︀ 𝑏
𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
onde 𝑎 e 𝑏 são os limites inferior e superior, respectivamente
Teorema 1.1.2. - Teorema Fundamental do Calculo (TFC) Se 𝑓 é contínua em qualquer
ponto de [a,b] e se 𝐹 é qualquer primitiva de 𝑓 em [a,b], então∫︀ 𝑏
𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹 (𝑏)− 𝐹 (𝑎)
Exercícios Resolvidos
1. Calcule:
a)
∫︀ 2
1 𝑥
2𝑑𝑥 b)
∫︀ 2
0 (𝑥3 + 3𝑥− 1)𝑑𝑥
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 8
c)
∫︀ 2
1
1
𝑥
+ 1
𝑥3𝑑𝑥 d)
∫︀ 𝜋
8
0 sin 2𝑥𝑑𝑥
1.1.1 Exercícios Propostos
1. Calcule:
a)
∫︀ 1
0 (𝑥+ 3)𝑑𝑥 b)
∫︀ 1
−1(2𝑥+ 1)𝑑𝑥
c)
∫︀ 4
0
1
2𝑑𝑥 d)
∫︀ 1
−2(𝑥2 − 1)𝑑𝑥
e)
∫︀ 3
1 𝑑𝑥 f)
∫︀ 2
−1 4𝑑𝑥
g)
∫︀ 3
1
1
𝑥3𝑑𝑥 h)
∫︀ 1
−1 5𝑑𝑥
i)
∫︀ 2
0 (𝑥2 + 3𝑥− 3)𝑑𝑥 j)
∫︀ 1
0 (5𝑥3 − 12)𝑑𝑥
k)
∫︀ 1
1 (2𝑥+ 3)𝑑𝑥 l)
∫︀ 0
1 (2𝑥+ 3)𝑑𝑥
m)
∫︀−1
−2 ( 1𝑥2+𝑥)𝑑𝑥 n)
∫︀ 4
0
√
𝑥𝑑𝑥
o)
∫︀ 4
1
1√
𝑥
𝑑𝑥 p)
∫︀ 8
0
3
√
𝑥𝑑𝑥
q)
∫︀ 0
−1(𝑥3 − 2𝑥+ 3)𝑑𝑥 r)
∫︀ 1
0
8
√
𝑥𝑑𝑥
s)
∫︀ 2
1 (𝑥3 + 𝑥+ 1𝑥3 )𝑑𝑥 t)
∫︀ 1
0 (𝑥+ 4
√
𝑥)𝑑𝑥
u)
∫︀ 3
1 (5 + 1𝑥2 )𝑑𝑥 v)
∫︀ 3
−3 𝑥
3𝑑𝑥
x)
∫︀ 1
−1(𝑥7 + 𝑥3 + 𝑥)𝑑𝑥 y)
∫︀ 1
1
2
(𝑥+ 3)𝑑𝑥
w)
∫︀ 4
1 (5𝑥+
√
𝑥)𝑑𝑥 z)
∫︀ 0
1 (𝑥7 − 𝑥+ 3)𝑑𝑥
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 9
1.2 Métodos de Integração
Este capítulo trata dos "métodos de integração", que são recursos que permitem encontrar
primitivas de determinadas funções. Dois desses métodos são da maior importância, e não podem
ser omitidos num curso de Cálculo. São eles o método de Integração por Substituição e o método
de Integração por Partes,que apresentaremos a seguir.
Esses dois métodos de integração são importantes, não apenas para calcular efetivamente primi-
tivas de certas funções; mais do que isso, eles são instrumentos poderosos para o desenvolvimento
de vários métodos e técnicas, tanto no próprio Cálculo como em outras disciplinas matemáticas.
1.2.1 Integração por Substituição
Até agora tentamos calcular integrais de funções que possuem primitivas fáceis de identificar.
Assim, ∫︀
𝑥3𝑑𝑥 = 𝑥44 ,
∫︀
cos𝑥𝑑𝑥 = sin 𝑥,
∫︀ 𝑑𝑥
𝑥
= ln 𝑥,
∫︀
𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥, etc.
Mas como integrar funções do itpo 𝑥𝑒𝑥 ou cos2 𝑥, das quais não conhecemos primitivas imediatas?
Há vários métodos para se fazer isso, conhecidos como métodos de integração. Cada um desses
métodos é adequado a uma determinada classe de funções. Às vezes o métodos que funciona bem
numa integração é completamente inadequado em outro e, às vezes, diferentes métodos se aplicam
a uma mesma integral.
Veremos inicialmente, como fazer integração por substituição, um procedimento de grande
importância.
Teorema 1.2.1. Se 𝑢 = 𝑔(𝑥) for uma função derivável cuja imagem é um intervalo 𝐼 e 𝑓 for
contínua em 𝐼, então ∫︀
𝑓(𝑔(𝑥))𝑔ť(𝑥)𝑑𝑥 =
∫︀
𝑓(𝑢)𝑑𝑢
Exercícios Resolvidos
1. Calcule as integrais
a)
∫︀
5 sec2(5𝑥+ 1)𝑑𝑥
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 10
b)
∫︀
cos(7𝑥+ 3)𝑑𝑥
c) 2𝑥1+𝑥2𝑑𝑥
d)
∫︀ 2
−1 𝑥
2√𝑥3 + 1𝑑𝑥
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 11
e)
∫︀
cos3 𝑥 sin 𝑥𝑑𝑥
1.2.2 Exercícios Propostos
1. Calcule as integrais indefinidas usando as substituições indicadas
a)
∫︀
2(2𝑥+ 4)5𝑑𝑥, 𝑢 = 2𝑥+ 4
b)
∫︀
2𝑥(𝑥2 + 5)−4𝑑𝑥, 𝑢 = 𝑥2 + 5
c)
∫︀
(3𝑥+ 2)(3𝑥2 + 4𝑥)4𝑑𝑥, 𝑢 = 3𝑥2 + 4𝑥
d)
∫︀
sin(3𝑥)𝑑𝑥, 𝑢 = 3𝑥
e)
∫︀
sec(2𝑡) tan(2𝑡)𝑑𝑡, 𝑢 = 2𝑡
f)
∫︀ 9𝑟2√
1−𝑟3𝑑𝑟, 𝑢 = 1− 𝑟3
g)
∫︀ √
𝑥 sin2(𝑥3/2 − 1)𝑑𝑥, 𝑢 = 𝑥3/2 − 1
h)
∫︀
csc2(2𝜃) cot(2𝜃)𝑑𝜃, 𝑢 = cot(2𝜃)
2. Calcule as integrais usando o método da substituição
a)
∫︀ √
3− 2𝑠𝑑𝑠
b)
∫︀ 1
5𝑠+4𝑑𝑠
c)
∫︀
𝜃 4
√
1− 𝜃2𝑑𝜃
d)
∫︀ 1√
𝑥(1+
√
𝑥)2𝑑𝑥
e)
∫︀
sec2(3𝑥+ 2)𝑑𝑥
f)
∫︀ sin(2𝑡+1)
cos2(2𝑡+1)𝑑𝑡
g)
∫︀ 1
𝑡2 cos(
1
𝑡
− 1)𝑑𝑡
h)
∫︀ 1
𝜃2 sin(
1
𝜃
) cos(1
𝜃
)𝑑𝜃
i)
∫︀
𝑡3(1 + 𝑡4)3𝑑𝑡
j)
∫︀ 1
𝑥2
√︁
2− 1
𝑥
𝑑𝑥
k) 𝑖𝑛𝑡 𝑥(𝑥2−4)3𝑑𝑥
l) 𝑖𝑛𝑡(cos𝑥)𝑒sin𝑥𝑑𝑥
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 12
1.2.3 Integração por Partes
Estudaremos agora o chamado método de integração por partes, que se revela importante, não
apenas para calcular primitivas de certas funções. Ele é também uma técnica muito valiosa de
manipulação formal e de desenvolvimento de métodos operacionais importantes em vários domínios
da Matemática.
A integração por parte é um procedimento baseado na regra de derivação de um produto de
duas funções 𝑢 = 𝑢(𝑥) e 𝑣 = 𝑣(𝑥).
Teorema 1.2.2. Sejam 𝑢 = 𝑓(𝑥) e 𝑣 = 𝑔(𝑥) funções deriváveis cuja imagem é um intervalo 𝐼 e 𝑓
e 𝑔 contínuas em 𝐼, então ∫︀
𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)− ∫︀ 𝑓 ′(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥
Outra maneira de representarmos a integração por partes é∫︀
𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫︀ 𝑣𝑑𝑢
Exercícios Resolvidos
1. Calcule as integrais usando o método da integração por partes
a)
∫︀
𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥
b)
∫︀
𝑥 cos𝑥𝑑𝑥
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 13
c)
∫︀
sin2 𝑥𝑑𝑥
d)
∫︀
ln 𝑥𝑑𝑥
e)
∫︀
cos3 𝑥𝑑𝑥
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 14
1.2.4 Exercícios Propostos
1. Calcule as integrais
a)
∫︀
𝑥3𝑒𝑥𝑑𝑥
b)
∫︀
𝑥𝑒3𝑥𝑑𝑥
c)
∫︀
𝑥 sin 𝑥𝑑𝑥
d)
∫︀
𝑥2 sin 𝑥𝑑𝑥
e)
∫︀
cos2 𝑥𝑑𝑥
f)
∫︀
𝑒𝑥 sin 𝑥𝑑𝑥
g)
∫︀
𝑥 sin(𝑥2 )𝑑𝑥
h)
∫︀
𝑡2 cos 𝑡𝑑𝑡
i)
∫︀ 2
1 𝑥 ln 𝑥𝑑𝑥
j)
∫︀
𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥
k)
∫︀
𝑥2𝑒−𝑥𝑑𝑥
l)
∫︀
𝑥 sec2 𝑥𝑑𝑥
m)
∫︀
(𝑥2 − 5𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥
n)
∫︀
𝑥5𝑒𝑥𝑑𝑥
o)
∫︀
𝑒𝜃 sin 𝜃𝑑𝜃
p)
∫︀
𝑒2𝑥 cos(2𝑥)𝑑𝑥
1.3 Integrais Trigonométricas
As integrais trigonométricas envolvem combinações algébricas das seis funções trigonométricas
básicas. E, princípio, podemos sempre expressar tais integrais em termos de senos e cossenos, mais
muitas vezes é mais simples trabalhar com outras funções.
A idéia geral é usar identidades para transformar as integrais que temos de determinar em
integrais que sejam mais fáceis trabalhar.
1.3.1 Poteências de senos e cossenos
Nas integrais da forma: ∫︁
sin𝑚 𝑥𝑑𝑥∫︁
cos𝑚 𝑥𝑑𝑥
onde 𝑚 é um inteiro não negativo (positivo ou zero). Podemos resolvê-las conforme a sua potência
de duas formas:
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 15
CASO 1
Se 𝑚 é ímpar, escrevemos 𝑚 como 2𝑘 + 1 e usamos a identidade
sin2 𝑥+ cos2 𝑥 = 1
CASO 2
Se 𝑚 é par, escrevemos 𝑚 como 2𝑘 e usamos as identidades;
sin2 𝑥 = 1− 𝑐𝑜𝑠(2𝑥)2
cos2 𝑥 = 1 + 𝑐𝑜𝑠(2𝑥)2
Exercícios Resolvidos
1. Calcule as integrais
a)
∫︀
cos5 𝑥𝑑𝑥
b)
∫︀
sin4 𝑥𝑑𝑥
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 16
1.3.2 Produtos de Potências de senos e cossenos
Nas integrais da forma: ∫︁
sin𝑚 𝑥 cos𝑚 𝑥𝑑𝑥
onde 𝑚 e 𝑛 são inteiros não negativos (positivos ou zero). Podemos dividir a tarefa em três casos
dependendo se 𝑚 e 𝑛 forem pares ou ímpares.
CASO 1
Se 𝑚 é ímpar, escrevemos 𝑚 como 2𝑘+1 e usamos a identidade sin2 𝑥 = 1− cos2 𝑥 para obter
sin𝑚 𝑥 = sin2𝑘+1 𝑥 = (sin2 𝑥)𝑘 sin 𝑥 = (1− cos2 𝑥)𝑘 sin 𝑥
Então, combinamos o único sin 𝑥 com 𝑑𝑥 na integral e igualamos sin 𝑥𝑑𝑥 com −𝑑(cos𝑥)
CASO 2
Se𝑚 é par e 𝑛 é ímpar, em ∫︀ sin𝑀 𝑥 cos𝑛 𝑥𝑑𝑥, escrevemos 𝑛 como 2𝑘+1 e usamos a identidade
cos2 𝑥 = 1− sin2 𝑥 para obter
cos𝑚 𝑥 = cos2𝑘+1 𝑥 = (cos2 𝑥)𝑘 cos𝑥 = (1− sin2 𝑥)𝑘 cos𝑥 (1.3.1)
Em seguida, combinamos o único cos𝑥 com 𝑑𝑥 e igualamos cos𝑥 a 𝑑(sin 𝑥)
CASO 3
Se tanto 𝑚 quanto 𝑛 são pares em ∫︀ sin𝑚 𝑥 cos𝑛 𝑥𝑑𝑥, substituirmos
sin2 𝑥 = 1− cos(2𝑥)2 (1.3.2)
cos2 𝑥 = 1 + cos(2𝑥)2 (1.3.3)
para reduzir o integrando a outro que tenha potências mais baixas de cos(2𝑥).
Exercícios Resolvidos
1. Calcule
a)
∫︀
sin3 𝑥 cos2 𝑥𝑑𝑥
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 17
b)
∫︀
15 sin2 𝑥 cos3 𝑥𝑑𝑥
c)
∫︀
sin2 𝑥 cos4 𝑥𝑑𝑥
1.3.3 Integrais de funções envolvendo Seno e Cosseno de arcos dife-
rentes
As integrais ∫︀
sin𝑚𝑥 sin𝑛𝑥𝑑𝑥,
∫︀
sin𝑚𝑥 cos𝑛𝑥𝑑𝑥,
∫︀
cos𝑚𝑥 cos𝑛𝑥𝑑𝑥
surgem em muitas aplicações que envolvem funções periódicas. Podemos calcular essas integrais
usando integração por partes, mas sempre serão necessárias duas integrações desse tipo em cada
caso. É mais simples usar as identidades
sin𝑚𝑥 sin𝑛𝑥 = 12[cos(𝑚− 𝑛)𝑥− cos(𝑚+ 𝑛)𝑥] (1.3.4)
sin𝑚𝑥 cos𝑛𝑥 = 12[sin(𝑚− 𝑛)𝑥+ sin(𝑚+ 𝑛)𝑥] (1.3.5)
cos𝑚𝑥 cos𝑛𝑥 = 12[cos(𝑚− 𝑛)𝑥+ cos(𝑚+ 𝑛)𝑥] (1.3.6)
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 18
Exercício Resolvido
1. Calcule:
∫︀
sin(3𝑥) cos(5𝑥)𝑑𝑥
1.3.4 As integrais Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante
Nas integrais das funções tangente e cotangente usamos o método da substituição para resolvê-
las
Exercícios Resolvidos
1. Calcule:
a)
∫︀
tan 𝑥𝑑𝑥
b)
∫︀
cot𝑥𝑑𝑥
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 19
Nas integrais de secante e cossecante, usamos um artifício do calculo para podermos aplicar o
método da substituição. Na integral da secante, multiplicamos e dividimos o integrando por
sec𝑥+ tan 𝑥 e na cossecante, multiplicamos e dividimos o integrando por csc𝑥− cot𝑥.
Exercícios Resolvidos
1. Calcule
a)
∫︀
sec𝑥𝑑𝑥
b)
∫︀
csc𝑥𝑑𝑥
1.3.5 Potências de Tangentes, Cotangentes, Secantes e Cossecantes
Nas integrais da forma: ∫︁
tan𝑚 𝑥𝑑𝑥∫︁
cot𝑚 𝑥𝑑𝑥∫︁
sec𝑚 𝑥𝑑𝑥∫︁
csc𝑚 𝑥𝑑𝑥
onde 𝑚 é um inteiro não negativo (positivo ou zero). Podemos resolvê-las usando as identidades;
tan2 𝑥 = sec2 𝑥− 1
cot2 𝑥 = csc2 𝑥− 1
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 20
Exercícios Resolvidos
1. Calcule as integrais
a)
∫︀
tan3(3𝜃)𝑑𝜃
b)
∫︀
cot4(2𝑥)𝑑𝑥
c)
∫︀
csc6 𝑥𝑑𝑥
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 21
d)
∫︀
sec3 𝑥𝑑𝑥
1.3.6Integrais do tipo ∫︀ tan𝑚 𝑥 sec𝑛 𝑥𝑑𝑥 e ∫︀ cot𝑚 𝑥 csc𝑛 𝑥𝑑𝑥
Para resolvermos integrais desse tipo, as separaremos em dois casos;
CASO 1
Se 𝑚 for ímpar ou 𝑛 for par, devemos preparar o integrando para aplicar o método da
substituição
CASO 2
Se 𝑚 for par e 𝑛 for ímpar, a integral deve ser resolvida por integração por partes.
Exercícios Resolvidos
1. Calcule: a)
∫︀
tan7 𝑥 sec6 𝑥𝑑𝑥
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 22
b)
∫︀
tan7 𝑥 sec5 𝑥𝑑𝑥
c)
∫︀
cot4 𝑥 csc2 𝑥𝑑𝑥
d)
∫︀
cot3 𝑥 csc3 𝑥𝑑𝑥
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 23
1.3.7 Exercícios Propostos
1. Calcule as integrais
a)
∫︀
sin3(2𝑥+ 1)𝑑𝑥 b)
∫︀
cos5(3− 3𝑥)𝑑𝑥
c)
∫︀
2𝑥 sin4(𝑥2 − 1)𝑑𝑥 d) ∫︀ 𝑒2𝑥 cos2(𝑒2𝑥 − 1)𝑑𝑥
e)
∫︀
sin3(2𝜃) cos4(2𝜃)𝑑𝜃 f)
∫︀
sin3(1− 2𝜃) cos3(1− 2𝜃)𝑑𝜃
g)
∫︀ tan3(ln 𝜃)
𝜃
𝑑𝜃 h)
∫︀
tan3 𝑥 cos4 𝑥𝑑𝑥
i)
∫︀
cos4 𝑥𝑑𝑥 j)
∫︀
tan4 𝑥𝑑𝑥
k)
∫︀ sin2 𝑥
cos4 𝑥𝑑𝑥 l)
∫︀
15 sin5 𝑥𝑑𝑥
m)
∫︀
15 sin2 𝑥 cos3 𝑥𝑑𝑥 n)
∫︀
48 sin2 𝑥 cos4 𝑥𝑑𝑥
o)
∫︀
cos6(3𝑥)𝑑𝑥 p)
∫︀ −3 cos2 𝑥
sin4 𝑥 𝑑𝑥
q)
∫︀
sin(3𝑥) cos(5𝑥)𝑑𝑥 r)
∫︀
tan2(5𝑥)𝑑𝑥
s)
∫︀ cos3 𝑥
sin4 𝑥𝑑𝑥 t)
∫︀
sec3(1− 4𝑥)𝑑𝑥
u)
∫︀
csc4(3− 2𝑥)𝑑𝑥 v) ∫︀ 𝜋/20 sin2 𝑥𝑑𝑥
w)
∫︀ 𝜋
0 8 sin4 𝑥𝑑𝑥 x)
∫︀ 0
−𝜋/3 2 sec3 𝑥𝑑𝑥
y)
∫︀ 𝜋/2
𝜋/4 csc4 𝜃𝑑𝜃 z)
∫︀ 𝜋
−𝜋 sin(3𝑥) cos(3𝑥)𝑑𝑥
1.4 Substituição trigonométrica
As substituições trigonométricas ocorrem quando trocamos a variável de integração por uma
função trigonométrica. As substituições mais comuns são𝑥 = 𝑎 tan 𝜃, 𝑥 = 𝑎 sin 𝜃 e 𝑥 = 𝑎 cos 𝜃.
Essas substituições são eficazes na transformação de integrais que envolvem
√
𝑎2 + 𝑥2,
√
𝑎2 − 𝑥2
e
√
𝑥2 − 𝑎2 em integrais que podemos calcular diretamente, uma vez que elas vêm dos triângulos
retângulos de referência que vemos na Figura abaixo:
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 24
1.4.1 Procedimentos para uma Substituição Trigonométrica
Para calcularmos uma integral usando a substituição trigonométrica, seguiremos a seguinte
ordem:
1. Anote a substituição de 𝑥, calcule a diferencial 𝑑𝑥 e especifique os valores selecionados de 𝜃
para a substituição.
2. Substitua a expressão trigonométrica e a diferencial calculada no integrando e, então, sim-
plifique os resultados algebricamente.
3. Integre a integral trigonométrica, tendo em mente as restrições no ângulo 𝜃 para reversibili-
dade.
4. Desenhe um triângulo de referência adequado para inverter a substituição no resultado da
integração e o converta de volta à variável original 𝑥.
Exercícios Resolvidos
1. Calcule as integrais
a)
∫︀ 𝑑𝑥√
4+𝑥2
b)
∫︀ 𝑥2𝑑𝑥√
9−𝑥2
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 25
c)
∫︀ 𝑑𝑥√
25𝑥2−4
d)
∫︀ √9−𝑥2
2𝑥2 𝑑𝑥
1.4.2 Exercícios Propostos
1. Calcule as integrais:
a)
∫︀ 𝑑𝑥
𝑥2
√
𝑥2−5 b)
∫︀ 𝑑𝑡√
9−16𝑡2 c)
∫︀ 𝑥3√
𝑥2−9𝑑𝑥
d)
∫︀
(1− 4𝑡2)3/2𝑑𝑡 e) ∫︀ 𝑥2√4− 𝑥2𝑑𝑥 f) ∫︀ 𝑥3√𝑥2 + 3𝑑𝑥
g)
∫︀ 5𝑥+ 4
𝑥3
√
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 h)
∫︀
(𝑥+ 1)2
√
𝑥2 + 1𝑑𝑥 i)
∫︀ 𝑡5√
𝑡2+16𝑑𝑡
j)
∫︀ 𝑒𝑥
𝑒2𝑥 + 1𝑑𝑥 k)
∫︀ 𝑥2√
2− 𝑥2𝑑𝑥 l)
∫︀ 𝑒𝑥
4− 𝑒2𝑥𝑑𝑥
m)
∫︀ 𝑥+ 1√
𝑥2 − 1𝑑𝑥 n)
∫︀ √𝑥2 − 1
𝑥2
𝑑𝑥 o)
∫︀ 1 + 𝑥2
𝑥3
𝑑𝑥
p)
∫︀ (𝑥+ 1)√
4− 𝑥2𝑑𝑥 q)
∫︀ (6𝑥+ 5)√
9𝑥2 + 1
𝑑𝑥 r)
∫︀ (𝑥+ 3)√
𝑥2 + 2𝑥
𝑑𝑥
s)
∫︀ √
4− 𝑥2𝑑𝑥 t) ∫︀ √𝑥2 − 4𝑑𝑥 u) ∫︀ √4 + 𝑥2𝑑𝑥
v)
∫︀ √
4 + 𝑥2𝑑𝑥 w)
∫︀
(
√
1 + 𝑥2 + 2𝑥)𝑑𝑥 x)
∫︀ 2
−2
𝑑𝑥
4+𝑥2𝑥
y)
∫︀ 3/2
0
𝑑𝑥√
9−𝑥2𝑑𝑥 z)
∫︀√3/2
0
4𝑥2
(1−𝑥2)3/2𝑑𝑥
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 26
1.5 Integração de funções racionais por frações parciais
Nesta seção veremos mostrará como expressar uma função racional (quociente de polinômios)
como uma soma de frações mais simples, as chamadas frações parciais, que são fáceis de integrar.
Ex:
A fração 5𝑥−3
𝑥2−2𝑥−3 pode ser escrita como:
5𝑥−3
𝑥2−2𝑥−3 =
2
𝑥+1 +
3
𝑥−1
verifique!
A decomposição da função racional 𝑓(𝑥) = 𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥) em frações mais simples, está subordinada ao
modo como o denominador 𝑞(𝑥) se decompõe nos fatores lineares e/ou quadráticos irredutíveis.
Vamos considerar os vários casos separadamente. As formas das respectivas frações parciais são
asseguradas por resultados da Álgebra e não serão demonstradas.
Para o desenvolvimento do método, vamos considerar que o coeficiente do termo de mais alto
grau do polinômio do denominador 𝑞(𝑥) é 1. Se isso não ocorrer, dividimos o numerador e o
denominador da função racional f(x) por esse coeficiente.
Vamos supor, também, que o grau de 𝑝(𝑥) é menor que o grau de 𝑞(𝑥). Caso isso não ocorra,
devemos primeiro efetuar a divisão de 𝑝(𝑥) por 𝑞(𝑥).
Vajamos os casos nos quais podemos aplicar este método:
1.5.1 1º Caso - Os fatores de 𝑞(𝑥) são lineares e distintos
Neste caso, podemos escrever 𝑞(𝑥) na forma;
𝑞(𝑥) = (𝑥¯𝑎1)(𝑥¯𝑎2)...(𝑥¯𝑎𝑛)
onde os 𝑎𝑖, 𝑖 = 1, ...𝑛, são distintos dois a dois.
A decomposição da função racional 𝑓(𝑥) = 𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥) em frações mais simples é dada por
onde 𝐴1, 𝐴2, ..., 𝐴𝑛 são constantes que devem ser determinadas.
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 27
Exercícios Resolvidos
1. Resolva as integrais:
a)
∫︀ 5𝑥−3
𝑥2−2𝑥−3𝑑𝑥
b)
∫︀ 𝑥−2
(𝑥−1)(𝑥+1)(𝑥−3)𝑑𝑥
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 28
c)
∫︀ −4𝑥3
2𝑥3+𝑥2−2𝑥−1𝑑𝑥
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 29
d)
∫︀ 2𝑥3−4𝑥2−𝑥−3
𝑥2−2𝑥−3 𝑑𝑥
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 30
1.5.2 2º Caso - Os fatores de q(x) são lineares sendo que alguns deles
se repetem
Sé um fator linear (𝑥¯𝑎𝑖 de 𝑞(𝑥) tem multiplicidade r, a esse fator corresponderá uma soma de
frações parciais da forma:
onde 𝐵1, 𝐵2, . . . , 𝐵𝑟 são constantes que devem ser determinadas.
Exercícios Resolvidos
1. Calcule as integrais
a)
∫︀ 6𝑥+7
𝑥2+4𝑥+4𝑑𝑥
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 31
b)
∫︀ 𝑥3+3𝑥−1
𝑥4−4𝑥2 𝑑𝑥
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 32
c)
∫︀ 2
1
𝑥
8𝑥3−12𝑥2+6𝑥−1𝑑𝑥
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 33
1.5.3 3º Caso - Os fatores de q(x) são lineares e quadráticos irredutí-
veis, sendo que os fatores quadráticos não se repetem
A cada fator quadrático 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 de 𝑞(𝑥), corresponderá uma fração parcial da forma:
Neste tipo de integração, além de usarmos o método de completar quadrados, será necessário
também usarmos a integral
Exercícios Resolvidos
1. Calcule as integrais
a)
∫︀ −2𝑥+4
(𝑥2+1)(𝑥−1)𝑑𝑥
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 34
b)
∫︀ 2𝑥2+5𝑥+4
𝑥3+𝑥2+𝑥−3𝑑𝑥
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 35
c)
∫︀ 1
0
𝑑𝑥
(𝑥2+𝑥+1)(𝑥2+4𝑥+5)
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 36
1.5.4 4º Caso - Os fatores de q(x) são lineares e quadráticos irredutí-
veis sendo que alguns dos fatores quadráticos se repetem
Se um fator quadrático 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 de 𝑞(𝑥) tem multiplicidade 𝑠, a esse fator corresponderá
uma soma de frações parciais da forma
Exercícios Resolvidos
1. Calcule as integrais
a)
∫︀ 𝑑𝑥
𝑥(𝑥2+1)2
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 37
b)
∫︀ 𝑥+1
𝑥(𝑥2+2𝑥+3)2𝑑𝑥
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 38
c)
∫︀ 𝑑𝑥
(4𝑥2+8𝑥+12)3
CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 39
1.5.5 Exercícios Propostos
1. Decomponha os quocientes abaixo em frações parciais:
a) 5𝑥−13(𝑥−3)(𝑥−2) b)
𝑥+4
(𝑥+1)2
c) 𝑧+1
𝑧2(𝑧−1) d)
𝑡2+8
𝑡4+9𝑡2
2. Expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as integrais
a)
∫︀ 𝑑𝑥
1−𝑥2𝑑𝑥 b)
∫︀ 𝑥+4
𝑥2+5𝑥−6𝑑𝑥
c)
∫︀ 8
4
𝑦𝑑𝑦
𝑦2−2𝑦−3 d)
∫︀ 𝑑𝑡
𝑡3+𝑡2−2𝑡
3. Expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as integrais
a)
∫︀ 1
0
𝑥3𝑑𝑥
𝑥2+2𝑥+1 b)
∫︀ 𝑑𝑥
(𝑥−1)2
4. Expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as integrais
a)
∫︀ 1
0
𝑑𝑥
(𝑥+1)(𝑥2+1) b)
∫︀ 𝑦2+2𝑦+1
(𝑦2+1)2 𝑑𝑦
c)
∫︀ 2𝑠+2
(𝑠2+1)(𝑠−1)3𝑑𝑠 d)
∫︀ 𝑥2−𝑥+2
𝑥3−1 𝑑𝑥
e)
∫︀ 𝑥2
𝑥4−1 f)
∫︀ 2𝜃3+5𝜃2+8𝜃+4(𝜃2+2𝜃+2)2 𝑑𝜃
5. Calcule as integrais indefinidas
a)
∫︀ 2𝑥3
𝑥2+𝑥𝑑𝑥 b)
∫︀ 2𝑥+1
2𝑥2+3𝑥−2𝑑𝑥
c)
∫︀ 𝑥−1
𝑥3+𝑥2−4𝑥−4𝑑𝑥 d)
∫︀ 3𝑥2
2𝑥3−𝑥2−2𝑥+1
e)
∫︀ 𝑥2+5𝑥+4
𝑥2−2𝑥+1𝑑𝑥 f)
∫︀ 𝑥−1
(𝑥−2)2(𝑥−3)2𝑑𝑥
g)
∫︀ (𝑥2+1)
𝑥4−7𝑥3+18𝑥2−20𝑥+8𝑑𝑥 h)
∫︀ 𝑑𝑥
𝑥3−4𝑥2
i)
∫︀ 𝑥3
2𝑥2+2𝑑𝑥 j)
∫︀ 5
𝑥3+4𝑥𝑑𝑥
k)
∫︀ 𝑥−1
(𝑥2+2𝑥+3)2𝑑𝑥 l)
∫︀ 𝑑𝑥
𝑥3+8𝑑𝑥
m)
∫︀ 𝑥−1
(𝑥2+2𝑥+3)2𝑑𝑥 n)
∫︀ 𝑑𝑥
𝑥(𝑥2−𝑥+1)2
o)
∫︀ 4𝑥4
𝑥4−𝑥3−6𝑥2+4𝑥+8𝑑𝑥 p)
∫︀ 𝑥2
3𝑥2−𝑥2− 12
𝑑𝑥
q)
∫︀ 𝑑𝑥
𝑥3+9𝑥 r)
∫︀ 𝑑𝑥
(𝑥2+1)(𝑥2+4)
s)
∫︀ 𝑥3+𝑥2+2𝑥+1
𝑥3−1 𝑑𝑥 t)
∫︀ 𝑥3
(𝑥2+2)2𝑑𝑥
u)
∫︀ 𝑑𝑥
𝑥4−3𝑥3+3𝑥2−𝑥 v)
∫︀ 𝑥
(𝑥−1)2(𝑥+1)2𝑑𝑥
w)
∫︀ 𝑥2+2𝑥−1
(𝑥−1)2(𝑥2+1)𝑑𝑥
Capítulo 2
2.1
2.1.1
title
40
Capítulo 3
3.1
3.1.1
title
41
Capítulo 4
4.1
4.1.1
title
42
Capítulo 5
Respostas dos Exercícios Propostos
Exercícios Propostos 1.0.2
1)
a) 𝑥22 + 𝑐 b) 3𝑥+ 𝑐
c) 3𝑥22 + 𝑥+ 𝑐 d)
𝑥3
3 +
𝑥2
2 + 𝑥+ 𝑐
e) 𝑥44 + 𝑐 f)
𝑥4
4 + 𝑥
2 + 3𝑥+ 𝑐
g) − 1
𝑥
+ 𝑐 h) 𝑥22 − 12𝑥2 + 𝑐
i) 2
√
𝑥3
3 + 𝑐 j)
3 3
√
𝑥4
4 + 𝑐
k) 𝑥22 + ln 𝑥+ 𝑐 l) 2𝑥+
4 4
√
𝑥5
5 + 𝑐
m) 2
√
𝑥3
3 − 1𝑥 + 𝑐 n) 2 ln 𝑥− 3𝑥 + 𝑐
o) 15
5√
𝑥7
7 + 3𝑥+ 𝑐 p)
𝑥4
2 +
1
3𝑥3 + 𝑐
q) 𝑥22 + ln 𝑥+ 𝑐 r) 𝑥
3 + 𝑥22 − 12𝑥2 + 𝑐
Exercícios Propostos 1.1.1
1)
a) 7/2 b) 2 c) 2 d) 0 e) 2 f) 12 g) 4/9 h) 10 i) 8/3 j) 3/4
k) 0 l) -4 m) -1 n) 16/3 o) 2 p) 12 q) 15/4 r) 8/9 s) 45/8
t) 13/10 u) 32/3 v) 0 x) 0 w) 15/8 y) 253/6 z) -21/8
43
CAPÍTULO 5. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 44
Exercícios Propostos 1.2.2
1)
a) (2𝑥+4)66 + 𝑐 b)
(𝑥2+5)−3
3 + 𝑐
c) (3𝑥2+4𝑥)510 + 𝑐 d) − cos 3𝑥3 + 𝑐
e) sec 2𝑡2 + 𝑐 f) −6(1− 𝑟3)1/2 + 𝑐
g) (𝑥3/2−1)3 − sin(2𝑥
3/2−2)
6 + 𝑐 h) − cot
2(2𝜃)
4 + 𝑐
2)
a) − (3−2𝑠)3/23 + 𝑐 b) −2(1−𝜃
2)5/4
5 + 𝑐
c) (−2/(1 +√𝑥)) + 𝑐 d) tan(3𝑥+2)3 + 𝑐
e) 12 cos(2𝑡+1) + 𝑐 f) − sin(1𝑡 − 1) + 𝑐
g) − sin2(1/𝜃)2 + 𝑐 h) (1+𝑡
4)4
16 + 𝑐
i) 2(2−
1
𝑥
)3/2
3 + 𝑐 j)
(𝑥2+1)5/2
5 − (𝑥
2+1)3/2
3 + 𝑐
k) −14(𝑥2−4)2 + 𝑐 l) 𝑒
sin𝑥 + 𝑐
Exercícios Propostos 1.2.4
1)
a) 𝑒𝑥(𝑥3 − 3𝑥2 + 6𝑥− 6) + 𝑐 b) 𝑥𝑒3𝑥3 − 𝑒
3𝑥
9 + 𝑐
c) sin 𝑥− 𝑥 cos𝑥+ 𝑐 d) (2− 𝑥2) cos𝑥+ 2𝑥 sin 𝑥+ 𝑐
e) sin𝑥 cos𝑥+𝑥2 + 𝑐 f)
𝑒𝑥(sin𝑥−cos𝑥)
2 + 𝑐
g) −2𝑥 cos(𝑥/2) + 4 sin(𝑥/2) + 𝑐 h) 𝑡2 sin 𝑡+ 2𝑡 cos 𝑡− 2 sin 𝑡+ 𝑐
i) ln 4− 3/4 + 𝑐 j) 𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝑐
k) −(𝑥2 + 2𝑥+ 2)𝑒−𝑥 + 𝑐 l) 𝑥 tan 𝑥+ ln | cos𝑥|+ 𝑐
m) (𝑥2 − 7𝑥+ 7)𝑒𝑥 + 𝑐 n) (𝑥5 − 5𝑥4 + 20𝑥3 − 60𝑥2 + 120𝑥− 120)𝑒𝑥 + 𝑐
o) 12(−𝑒𝜃 cos 𝜃 + 𝑒𝜃 sin 𝜃) + 𝑐 p) 𝑒
2𝑥
13 (3 sin(3𝑥) + 2 cos(3𝑥) + 𝑐
Exercícios Propostos 1.3.7
1)
a) − cos(2𝑥+1)2 + cos
3(2𝑥+1)
6 + 𝑐
b) − sin(3−3𝑥)3 + 2 sin
3(3−3𝑥)
9 − sin
5(3−3𝑥)
15 + 𝑐
c) − sin3(𝑥2−1) cos(𝑥2−1)4 − 3 sin(𝑥
2−1) cos(𝑥2−1)
8 +
3(𝑥2−1)
8 + 𝑐
d) 𝑒2𝑥−14 +
sin(2𝑒2𝑥−2)
8 + 𝑐
e) − cos5(2𝜃)10 + cos
7(2𝜃)
14 + 𝑐
f) − sin4(1−2𝜃)8 + sin
6(1−2𝜃)
12 + 𝑐
CAPÍTULO 5. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 45
g) tan2(ln 𝜃)2 + ln | cos(ln 𝜃)|+ 𝑐
h) sin4 𝑥4 + 𝑐
i) cos3 𝑥 sin𝑥4 +
3 cos𝑥 sin𝑥
8 +
3𝑥
8 + 𝑐
j) tan3 𝑥3 − tan 𝑥+ 𝑥+ 𝑐
k) tan3 𝑥3 + 𝑐
l) −15 cos𝑥+ 10 cos3 𝑥− 3 cos5 𝑥+ 𝑐
m) 5 sin3 𝑥− 3 sin5 𝑥+ 𝑐
n) 2 cos3 𝑥 sin 𝑥− 8 cos5 𝑥 sin 𝑥+ 3 sin 𝑥 cos𝑥+ 𝑐
o) cos5(3𝑥) sin(3𝑥)18 +
5 cos3(3𝑥) sin(3𝑥)
72 +
5 cos(3𝑥) sin(3𝑥)
48 +
5𝑥
16 + 𝑐
p) cot3 𝑥+ 𝑐
q) − cos(8𝑥)16 + cos(2𝑥)4 + 𝑐
r) tan(5𝑥)5 − 𝑥+ 𝑐
s) −13 sin3 𝑥 +
1
sin𝑥 + 𝑐
t) − sec(1−4𝑥) tan(1−4𝑥)8 − ln | sec(1−4𝑥)+tan(1−4𝑥)|8 + 𝑐
u) cot(3−2𝑥)2 +
cot3(3−2𝑥)
6 + 𝑐
v) 16/35
w) 3𝜋
x) 2
√
3 + ln(2 +
√
3)
y) 4/3
z) 𝜋
Exercícios Propostos 1.4.2
1)
a)
√
𝑥2 − 5
5𝑥 + 𝑐
b) 14 arcsin(
4𝑡
3 ) + 𝑐
c) (𝑥
2
6 + 6)
√
𝑥2 + 9 + 𝑐
d) 𝑡(1− 4𝑡
2)
√
1− 4𝑡2
4 +
3 arcsin(2𝑡)
16 +
3𝑡
√
1− 4𝑡2
8 + 𝑐
e) 2 arcsin(𝑥2 ) +
𝑥
√
4− 𝑥2
2 −
𝑥(4− 𝑥2)√4− 𝑥2
4 + 𝑐
f)
√︁
(𝑥2 + 3)5
5 −
√︁
(𝑥2 + 3)3 + 𝑐
g) −5
√
1 + 𝑥2
𝑥
− 2
√
1 + 𝑥2
𝑥2
− 2 ln |
√
1 + 𝑥2 − 1
𝑥
|+ 𝑐
h) 𝑥(𝑥
2 + 1)
√
𝑥2 + 1
4 +
3𝑥
√
𝑥2 + 1
8 +
2(𝑥2 + 1)
√
𝑥2 + 1
3 +
3 ln |√𝑥2 + 1 + 𝑥|
8 + 𝑐
i) (𝑡
2 + 16)2
√
𝑡2 + 16
5 +
32(𝑡2 + 16)
√
𝑡2 + 16
3 + 256
√
𝑡2 + 16 + 𝑐
CAPÍTULO 5. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 46
j) ln |√𝑒2𝑥 + 1 + 𝑒𝑥|+ 𝑐 k) arcsin( 𝑥√2)− 𝑥
√
2−𝑥2
2 + 𝑐
l) arcsin( 𝑒𝑥2 ) + 𝑐 m)
√
𝑥2 − 1 + ln |𝑥+√𝑥2 − 1|+ 𝑐
n) ln |𝑥+√𝑥2 − 1| −
√
𝑥2−1
𝑥
+ 𝑐 o) −
√
1+𝑥2
2𝑥2 +
ln |
√
1+𝑥2−1
𝑥
|
2 + 𝑐
p) −√4− 𝑥2 + arcsin(𝑥2 ) + 𝑐 q) 2
√
9𝑥2+1
9 +
5
3 ln |
√
9𝑥2 + 1 + 3𝑥|+ 𝑐
r)
√
𝑥2 + 2𝑥+ 2 ln |𝑥+ 1 +√𝑥2 + 2𝑥|+ 𝑐 s) 2 arcsin(𝑥2 ) +
𝑥
√
4−𝑥2
2 + 𝑐
t) 𝑥
√
𝑥2−4
2 − 2 ln |𝑥+
√
𝑥2 − 4|+ 𝑐 u) 𝑥
√
4+𝑥2
2 − 2 ln |
√
4 + 𝑥2 + 𝑥|+ 𝑐
v) 𝑥
√
1+𝑥2
2 + 𝑥
2 + ln |𝑥+
√
1+𝑥2|
2 + 𝑐 w) − cos𝑥+ 𝑥
√
1+𝑥2
2 − ln |
√
1+𝑥2+𝑥|
2 + 𝑐
x) 𝜋/4 y) 𝜋/6
z) 4
√
3− 4𝜋3
Exercícios Propostos 1.5.5
1)
a) 2
𝑥−3 +
3
𝑥−2
b) 1
𝑥+1 +
3
(𝑥+1)2
c) −2
𝑧
+ −1
𝑧2 +
2
𝑧−1
d) 1 + 17
𝑡−3 +
−12
𝑡−2
2)
a) ln |1+𝑥|−ln |1−𝑥|2 + 𝑐
b) ln |(𝑥+62)(𝑥−1)5|7 + 𝑐
c) ln 152
d) − ln |𝑡|2 + ln |𝑡+2|6 + ln |𝑡−1|3 + 𝑐
3)
a) 3 ln 2− 2
b) 14 ln |𝑥+1𝑥−1 | − 𝑥2(𝑥2−1) + 𝑐
4)
a) 𝜋+2 ln 28 + 𝑐
b) tan−1 𝑦 − 1
𝑦2+1 + 𝑐
c) −(𝑠− 1)−2 + (𝑠− 1)−1 + tan−1 𝑠+ 𝑐
d) 23 ln |𝑥− 1|+ 16 ln |𝑥2 + 𝑥+ 1| −
√
3 tan−1 (2𝑥+1√3 ) + 𝑐
e) 14 ln |𝑥−1𝑥+1 |+ 12 tan−1 𝑥+ 𝑐
f) −1
𝜃2+2𝜃+2 + ln(𝜃
2 + 2𝜃 + 2)− tan−1 (𝜃 + 1) + 𝑐
CAPÍTULO 5. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 47
5)
a) 𝑥2 − 2𝑥+ 2 ln |𝑥+ 1|+ 𝑐
b) 25 ln |𝑥− 12 |+ 35 ln |𝑥+ 2|+ 𝑐
c) 112 ln |𝑥− 2|+ 23 ln |𝑥+ 1| − 34 ln |𝑥+ 2|+ 𝑐
d) 32 ln |𝑥− 1|+ 12 ln |𝑥+ 1| − 12 ln |𝑥− 12 |+ 𝑐
e) 𝑥+ 7 ln |𝑥− 1| − 10
𝑥−1 + 𝑐
f) 3 ln |𝑥−2
𝑥−3 | − 1𝑥−2 − 2𝑥−3 + 𝑐
g) ln |(𝑥−2
𝑥−1)
2|+ 1
𝑥−2 − 52(𝑥−2)2 + 𝑐
h) 116 ln |𝑥−4𝑥 |+ 14𝑥 + 𝑐
i) 𝑥24 + 𝑥− 14 ln |𝑥2 + 1|+ tan−1 𝑥+ 𝑐
j) 54 [ln |𝑥| − 12 ln |𝑥2 + 4|] + 𝑐
k) 32 ln |𝑥2 − 𝑥+ 1|+ 1√3 tan−1 2𝑥−1√3 + 𝑐
l) 112 ln |𝑥+ 2| − 124 ln |𝑥2 − 2𝑥+ 4|+ 14√3 tan−1 𝑥−1√3 + 𝑐
m) −𝑥−22(𝑥2+2𝑥+3) − 12√2 tan−1 𝑥+1√2 + 𝑐
n) ln |𝑥| − 12 ln |𝑥2 − 𝑥+ 1|+ 5
√
3
9 tan
−1 2𝑥−1√
3 +
𝑥+1
3(𝑥2−𝑥+1) + 𝑐
o) 4𝑥+ 49 ln |𝑥+ 1| − 4 ln |𝑥+ 2|+ 689 ln |𝑥− 2| − 163(𝑥−2) + 𝑐
p) 𝑥3 +
1
10 ln |𝑥− 12 | − 245 ln |𝑥+ 13 |+ 𝑐
q) 19 [ln |𝑥| − 12 ln |𝑥2 + 9|] + 𝑐
r) 12 tan
−1 𝑥− 16 tan−1 𝑥2 + 𝑐
s) 𝑥+ 5
𝑥
ln |𝑥− 1| − 13 ln |𝑥2 + 𝑥+ 1|+ 𝑐
t) 12 ln |𝑥2 + 2|+ 1𝑥2+2 + 𝑐
u) ln |𝑥−1
𝑥
|+ 1
𝑥−1 − 12(𝑥−1)2 + 𝑐
v) 14(
1
𝑥+1 − 1𝑥−1) + 𝑐
w) ln |𝑥− 1| − 1
𝑥−1 − 12 ln |𝑥2 + 1| − tan−1 𝑥+ 𝑐
Bibliografia
1 [1]
2 [2]
3 [3]
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5 [5]
6 [6]
7 [7] Z
	Integrais
	Primitivas
	Exercícios Propostos
	A integral Definida
	Exercícios Propostos
	Métodos de Integração
	Integração por Substituição
	Exercícios Propostos
	Integração por Partes
	Exercícios Propostos
	Integrais Trigonométricas
	Poteências de senos e cossenos
	Produtos de Potências de senos e cossenos
	Integrais de funções envolvendo Seno e Cosseno de arcos diferentes
	As integrais Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante
	Potências de Tangentes, Cotangentes, Secantes e Cossecantes
	Integrais do tipo tanm x secn x dx e cotm x cscn x dx
	Exercícios Propostos
	Substituição trigonométrica
	Procedimentos para uma Substituição Trigonométrica
	Exercícios Propostos
	Integração de funções racionais porfrações parciais
	1º Caso - Os fatores de q(x) são lineares e distintos
	2º Caso - Os fatores de q(x) são lineares sendo que alguns deles se repetem
	3º Caso - Os fatores de q(x) são lineares e quadráticos irredutíveis, sendo que os fatores quadráticos não se repetem
	4º Caso - Os fatores de q(x) são lineares e quadráticos irredutíveis sendo que alguns dos fatores quadráticos se repetem
	Exercícios Propostos
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Respostas dos Exercícios Propostos