2000_Problemas_de_Matemáticas_Propuestos_y_Resueltos_para_Secundaria-172-174

Prévia do material em texto

13. Hallar:
SOLUCIÓN:
14. Hallar:
SOLUCIÓN:
15. Hallar:
SOLUCIÓN:
16. Hallar:
SOLUCIÓN:
17. Hallar:
SOLUCIÓN:
18. Hallar:
SOLUCIÓN:
19. Hallar:
SOLUCIÓN:
20. Hallar:
I
SOLUCIÓN:
21. Hallar: 
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN I:
SOLUCIÓN II; lím 5n + 2
lím
22. Hallar:
lím V 2 \ 2 \ 2 -
SOLUCION: lím ^ 2 V 2 V 2 • ■ • = V 2
_6n + 1
lím . 2 3n
23. Hallar:
lím an ■ b n, sabiendo que los términos generales de las dos 
1
lím 2
siones son: a„ =■
SOLUCIÓN:
y bn = n2
lím a ■ b_ = + °o
lím 3 * + ”2 24. Hallar:
lím (1 + n) n
lím 3 ’
SOLUCION: lím (1 + n) n + CO
lím 3n + 1 
3n + 2
25. Hallar:
lím — r— [3 + 6 + 9 + • ■ • + 3n]
„ — . .
lim ( * L ± ± . ) - = 1 
»— >\ 3n + 2
SOLUCION: lím - V [3+ 6 + 9 + • • • + 3n] = — 
n—>• n 2
lím 2n + 3 
n - 1
26. Hallar:
lím 3n
4n + V 9 n 2 - 2
/ 2n + 3 , rz 1 s o l u c i ó n -
3n 3
lim / ------------- -— = V 2 i
n—. n — 1 I 4n + V 9 n 2 - 2 7
lím 3n2 + 2n + 5 
5n2 + 1
27. Hallar:
lím
lím 3n2 + 2n + 5 
5n2 + 1 SOLUCION: lím Í1 + ñ
1
+ H -V 1 5
\ ll n 12/ n2 2
x 28. Hallar:
lím 8n2 lOn + 4 lím
6n2 + 8n
(2n + l ) 3 - (2n - l ) 3 
3n2 + 1
8n2 - lOn + 4 4
“ “ =• 6n2 + 8n — 2 3
SOLUCION:
(2n + l ) 3 - (2n - l ) 3 _ „llltl ------------ —----- — O
. — 3n + 1
lím 4n2 + 2n - 3 
5n2 + 6
lím 4n2 + 2n - 3
5n2 + 6
lím l + 2 + 3 + - + n
l + 2 + 3 + -- - + n 1lim --------------- = -----
— - n2 2
lím V 2 V 2 V z ■ ■
29. Hallar:
\
SOLUCION:
30. Hallar:
SOLUCION:
31. Hallar:
lím V 4 n 4 + n - 1 + 3 
n2 + n + 2
V 4n " + n - 1 + 3lim ---------- :------------------- = 2— ►=" n2 + n + 2
lím V 2 + n - 1
V 2 + n - 1lim -----------—----------= 1
lím n2 + 5
V n 4 + 2n - 1
lím V2 V 2 v t - - - = SOLUCION: lím n2 + 5
V n 4 + 2n - 1
= + 0C
32. Hallar:
SOLUCION:
33. Hallar:
SOLUCIÓN:
34. Hallar:
SOLUCIÓN:
35. Hallar:
SOLUCIÓN:
36. Hallar:
SOLUCIÓN:
37. Hallar:
SOLUCIÓN:
38. Hallar:
lím 2 — 3n \
1 — n
lím 2 — 3n \ nn
1 - n = V 3
lím (Vn~+ 1 — V ñ)
lím (Vn + 1 — V n ) = 0
lím (Vn2 + 1 - n)
lím (Vn2 + 1 - n) = 0
lím [V 4n2 — 1 — (2n - 1)]
lím [V 4 n 2 + 1 - (2n - 1)] = 1
lím (Vn2 + n + 1 — Vn2 — 2n — 1)
lím (Vn2 + n + 1 -V n 2 - 2n - l) =
lím (\ /n + Vñ — "Vn — V n )
lím (V n +Vñ — \/n - Vn) = 1
lím 5n - 2
Vn3 - 2n - Vn2 + 1
SOLUCION:
39. Hallar:
SOLUCIÓN:
40. Hallar:
SOLUCIÓN:
41. Hallar:
SOLUCIÓN:
42. Hallar:
SOLUCIÓN:
43. Hallar:
SOLUCIÓN:
lím 5n - 2
Vn3 - 2n - Vn2 + 1
= + 00
lím V8n2 - 1 
Vn2 + 2n - 1
lím V8n2 1 
Vn2 + 2n - 1
2 V 2
lím (n2 - 1) V l6n2 - 1 
4n3 - 6n2 + 2
(n2 - 1) V l6 n 2 - 1 „lim ---------- :---------:------------- = 1
4n3 - 6n2 + 2
lím log ■2n + 1
lím r. 2n + 1log ------------ = log 2n ► 1 n
lím log ■ 1 + n2
2 + n2
lím log 1 + n2
2 + n2
lím log 4n + 5
n2 + 5
lím log 4n + 5
n2 + 5
PROBLEMAS RELACIONADOS CON EL NUMERO «e»
El n ú m ero «e»
La sucesión definida por (an) = | l H— — j es :
1.° M onótona creciente.
2.° Está acotada superiormente.
3.° Tiene límite.
El límite de esta sucesión (an) = j'l H— — j es un número muy
importante en la matemática superior y s e le representa por la 
letra «e», es decir:
lím _(l + = 1" = e
El núm ero e es ¡a ba se de los logaritmos naturales o neperianos; 
es un núm ero irracional, cuyas primeras cifras son: 
e = 2,718281...
Este núm ero está acotado entre 2 y 3, e s decir:
2 n = su stitu yen d o en ( l ) y te-n a
niendo en cuenta que cuando a ► 0, n ----- ► °°, resulta:
lím (1 + a)1'” = lím (1 + ~~ A = ®
II. lím (1 + — | = e* (2)
X XSi hacem os: a = ----- => n = --------, sustituyendo en (2) y te-n a
►°°, a ►O, resulta:niendo en cuenta que cuando n - 
lím í l H— — j = lím ^fl + a)*,“ = l í m j í l + a )1/af = ex
log (1 + a)III. lim — — -------- — = log e
En efecto :
log (1 + a)lím = lím —— log (1 + a) =u »—>° a
lím [lo g (l + a )1/a] = log [lím (1 + a )1/a] = log e
IV. Sean (an) y (bn) dos sucesion es tales que: 
lím an = 1 y lím b n = °°, se verifica:
lím a ^ = 1” , pod em os escribir: 
an»» = [(l + an - l l ^ f 1’
y com o an - 1 -----► 0, resulta:
lím a„b» = lím [(1 + a„ - 1)
-̂ -T--ib„{an - 1) Um b.ía,, -1)I = en— »
NOTA: Esta fórmula es de gran utilidad para calcular límites de la 
forma 1” , es decir, para calcular límites del número e.
172
EJERCICIOS PROPUESTOS
44. Calcular:
SOLUCIÓN:
45. Calcular:
SOLUCIÓN:
46. Calcular:
SOLUCION: 
47. Calcular:
SOLUCION:
48. Calcular:
SOLUCIÓN:
49. Calcular:
SOLUCIÓN:
50. Calcular:
SOLUCIÓN:
51. Calcular:
SOLUCIÓN:
52. Calcular:
SOLUCIÓN:
53. Calcular:
SOLUCIÓN:
54. Calcular:
SOLUCIÓN:
lím 1 - 1 \n
lím 1 l y 1
lím 1 + 2
lím 11 + — ] = e '
lím n + 3 \n
lím | n + 3 Y* = e3
lím n + 4
lím I -5 - Í - Í -1 = - »
lím n + 1 \n 
n — 1
lím n + 1 
n - 1
lím 3n + 4 \n 
3n
lím 3n + 4 \n .,r = e v e
3n
lím 1
lím |1 + “ = “ 10
lím 1 + 1 Y1
lím 1 +
lím n - 3 Y1 
n + 3
lím n - 3 
n + 3
lím 3n + 1 
3n + 4
lím 3n + 1 
3n + 4
lím (1 + 5x)*
lím (1 + 5x),/x = e 5
55. Calcular:
SOLUCIÓN:
56. Calcular:
SOLUCIÓN:
57. Calcular:
SOLUCIÓN:
58. Calcular:
SOLUCIÓN:
59. Calcular:
SOLUCIÓN:
60. Calcular:
SOLUCIÓN:
61. Calcular:
SOLUCIÓN:
62. Calcular:
SOLUCIÓN:
63. Calcular:
SOLUCIÓN:
64. Calcular:
SOLUCIÓN:
65. Calcular:
SOLUCIÓN:
lím (1 + 3x)l;
lím (1 + 3x)1'
lím n2 + 1 \"2 + 2
n2 - 1
, n2 + 1 \“! + 2 2
1 ,m | ^ r = ‘
lím n + 3
n — 2
, n + 3 í1- "
h m | - ^ T 2 - ' = e
lím 2n + 1 
2n
, 2n + 1 \2n 
1,m =e
lím 4n + 6 \n 
4n
lím 4n + 6 \" 
4n
lím 3n + 5 
3n + 1
lím 3n + 5 \2n 4 7
3n + 1
lím n2 + 4 ' 4n2
lím
lím n2 - 5n + 7 \n 
n2 — 5n
, n2 - 5n + 7 , 
llm | n2 - 5n 1 = 1
lím n2 + 3n - 5 \ « + 2
n — 4n + 2
lím | n ; i 3 n 5 )■ = e '
n2 - 4n + 2 1
lím x 1 - *
lím x 1 ”
lím 3n2 - 1 
3 n 2 - 2
1 7 3