[CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV] - Integral tripla

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Profª Ana Maria Maceira Pires 
 
Nome: Matr. 
 
 
 
Integral Tripla: conceito, interpretação geométrica, propriedades e cálculo1 
 
� Conceito 
De forma análoga que estudamos as integrais simples e as duplas, consideremos uma função 
contínua, no caso, definida em uma região fechada e limitada T do espaço. 
Subdividindo T em n pequenas sub-regiões, traçando planos paralelos aos planos 
coordenados, 
 
 
 
� Interpretação geométrica 
Se f(x, y, z) = 1 para todos os pontos de T, a integral tripla representa o volume de T. 
∫∫∫=
T
dV )z,y,x(f V
 
 
 
� Propriedades: (adotando que as integrais existam) 
(a) ∫∫∫∫∫∫ =
TT
dV . z) y,f(x, k. dV z)y,f(x, . k (para todo k real) 
(b) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ +=+
TTT
dV . z) y,g(x, dV . z) y,f(x, dV ) z) y,g(x, z)y,f(x, ( 
(c) Se a região T é composta de sub-regiões T1 e T2, cujos pontos comuns são os de suas 
fronteiras, então ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ +=
2T1TT
dV . z) y,f(x, dV . z) y,f(x, dV z)y,f(x, 
 
 
1
 GONÇALVES, Mirian Buss; FLEMMING, Diva Marilia. Cálculo B: funções de várias variáveis, inte-grais múltiplas, integrais curvilíneas 
e de superfície. 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009. 
STEWART, James. Cálculo. Tradução de Antonio Carlos Moretti e Antonio Carlos Gilli Martins. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 
2011. v.2 
MACHADO, Nilson José. Cálculo: funções de mais de uma variável. São Paulo: Atual. 
teremos n paralelepípedos. Em cada um dos Tk 
paralelepípedos, escolhemos um ponto arbitrário (xk, yk, zk). 
A integral tripla da função f(x, y, z) sobre a região T é 
dada por 
∫∫∫ ∑ ∆=
=
∞→
T
kkk
n
1k
k
 n
V )z,y,x(flim dV )z,y,x(f 
se o limite existir 
Curso de Engenharia Química – DUTEQU20130104NA783 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral IV 
06/10/2015 
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� Cálculo de integrais duplas em coordenadas retangulares 
De forma análoga que estudamos as integrais duplas, por meio de integrações sucessivas, 
podemos calcular as integrais triplas. 
 
(1) Supondo que T (no caso, D) é um paralelepípedo, sendo a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d e p ≤ z ≤ q. 
 
 
 
(2) Supondo que D é descrito por: a ≤ x ≤ b, y1(x) ≤ y ≤ y2(x) e z1(x, y) ≤ z ≤ z2(x, y). 
 
 
 
 Observação: Os limites de integração da integral de dentro contêm, no máximo, duas variáveis; 
os limites de integração da integral do meio contêm, no máximo, uma variável; e 
os limites de integração da integral de fora precisam ser constantes. 
 
� Aplicando... 
1. Calcule a integral tripla ∫∫∫
D
2 dV xyz , em que T é a caixa retangular dada por 
T = {(x, y, z)| 0 ≤ x ≤ 1, − 1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3}. 
 
2. Calcule ∫∫∫
D
dV z , em que T é definida por 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2x e 0 ≤ z ≤ 2x – y. 
 
 
� Exercite... 
1. Calcule ∫∫∫
T
32 dV z xy , em que T é definida por 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2 e 0 ≤ z ≤ 1. 
Consideremos que m(z) seja a massa de uma 
seção do sólido D perpendicular ao eixo z. 
Então a massa do sólido D de densidade 
f(x, y, z) será dada por: 
∫ ∫ ∫∫∫∫ 










==
q
p
b
a
d
c
D
dz dx dy z) y,f(x, dV z)y,f(x, M 
∫ ∫ ∫∫∫∫ 










=
b
a
)x(2y
)x(1y
)y,x(2z
)y,x(1zD
dx dy dz )z,y,x(f dV z)y,f(x, 
3 
 
2. Calcule ∫∫∫
T
2 dV z xy , em que T é definida por 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x e 0 ≤ z ≤ y. 
3. Calcule ∫∫∫
T
dV z , em que T é o tetraedro sólido delimitado pelos quatro planos x = 0, 
y = 0 e x + y + z = 1. 
 
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Profª Ana Maria Maceira Pires 
 
Nome: Matr. 
 
Nome: Matr. 
 
 
 
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