MATEMÁTICA_V2_2023

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Caro aluno 
Ao elaborar o seu material inovador, completo e moderno, o Hexag considerou como principal diferencial sua exclusiva metodologia em período integral, 
com aulas e Estudo Orientado (E.O.), e seu plantão de dúvidas personalizado. O material didático é composto por 6 cadernos de aula e 107 livros, totali-
zando uma coleção com 113 exemplares. O conteúdo dos livros é organizado por aulas temáticas. Cada assunto contém uma rica teoria que contempla, 
de forma objetiva e transversal, as reais necessidades dos alunos, dispensando qualquer tipo de material alternativo complementar. Para melhorar a 
aprendizagem, as aulas possuem seções específicas com determinadas finalidades. A seguir, apresentamos cada seção:
De forma simples, resumida e dinâmica, essa seção foi desen-
volvida para sinalizar os assuntos mais abordados no Enem e 
nos principais vestibulares voltados para o curso de Medicina 
em todo o território nacional.
INCIDÊNCIA DO TEMA NAS PRINCIPAIS PROVAS 
Todo o desenvolvimento dos conteúdos teóricos de cada co-
leção tem como principal objetivo apoiar o aluno na resolu-
ção das questões propostas. Os textos dos livros são de fácil 
compreensão, completos e organizados. Além disso, contam 
com imagens ilustrativas que complementam as explicações 
dadas em sala de aula. Quadros, mapas e organogramas, em 
cores nítidas, também são usados e compõem um conjunto 
abrangente de informações para o aluno que vai se dedicar 
à rotina intensa de estudos.
TEORIA
No decorrer das teorias apresentadas, oferecemos uma cui-
dadosa seleção de conteúdos multimídia para complementar 
o repertório do aluno, apresentada em boxes para facilitar a 
compreensão, com indicação de vídeos, sites, filmes, músicas, 
livros, etc. Tudo isso é encontrado em subcategorias que fa-
cilitam o aprofundamento nos temas estudados – há obras 
de arte, poemas, imagens, artigos e até sugestões de aplicati-
vos que facilitam os estudos, com conteúdos essenciais para 
ampliar as habilidades de análise e reflexão crítica, em uma 
seleção realizada com finos critérios para apurar ainda mais 
o conhecimento do nosso aluno.
MULTIMÍDIA
Atento às constantes mudanças dos grandes vestibulares, é 
elaborada, a cada aula e sempre que possível, uma seção que 
trata de interdisciplinaridade. As questões dos vestibulares 
atuais não exigem mais dos candidatos apenas o puro co-
nhecimento dos conteúdos de cada área, de cada disciplina.
Atualmente há muitas perguntas interdisciplinares que abran-
gem conteúdos de diferentes áreas em uma mesma questão, 
como Biologia e Química, História e Geografia, Biologia e Ma-
temática, entre outras. Nesse espaço, o aluno inicia o contato 
com essa realidade por meio de explicações que relacionam 
a aula do dia com aulas de outras disciplinas e conteúdos de 
outros livros, sempre utilizando temas da atualidade. Assim, 
o aluno consegue entender que cada disciplina não existe de 
forma isolada, mas faz parte de uma grande engrenagem no 
mundo em que ele vive.
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
Um dos grandes problemas do conhecimento acadêmico 
é o seu distanciamento da realidade cotidiana, o que difi-
culta a compreensão de determinados conceitos e impede 
o aprofundamento nos temas para além da superficial me-
morização de fórmulas ou regras. Para evitar bloqueios na 
aprendizagem dos conteúdos, foi desenvolvida a seção “Vi-
venciando“. Como o próprio nome já aponta, há uma preo-
cupação em levar aos nossos alunos a clareza das relações 
entre aquilo que eles aprendem e aquilo com que eles têm 
contato em seu dia a dia.
VIVENCIANDO
Essa seção foi desenvolvida com foco nas disciplinas que fa-
zem parte das Ciências da Natureza e da Matemática. Nos 
compilados, deparamos-nos com modelos de exercícios re-
solvidos e comentados, fazendo com que aquilo que pareça 
abstrato e de difícil compreensão torne-se mais acessível e 
de bom entendimento aos olhos do aluno. Por meio dessas 
resoluções, é possível rever, a qualquer momento, as explica-
ções dadas em sala de aula.
APLICAÇÃO DO CONTEÚDO
Sabendo que o Enem tem o objetivo de avaliar o desem-
penho ao fim da escolaridade básica, organizamos essa 
seção para que o aluno conheça as diversas habilidades e 
competências abordadas na prova. Os livros da “Coleção 
Vestibulares de Medicina” contêm, a cada aula, algumas 
dessas habilidades. No compilado “Áreas de Conhecimento 
do Enem” há modelos de exercícios que não são apenas 
resolvidos, mas também analisados de maneira expositiva e 
descritos passo a passo à luz das habilidades estudadas no 
dia. Esse recurso constrói para o estudante um roteiro para 
ajudá-lo a apurar as questões na prática, a identificá-las na 
prova e a resolvê-las com tranquilidade.
ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
Cada pessoa tem sua própria forma de aprendizado. Por isso, 
criamos para os nossos alunos o máximo de recursos para 
orientá-los em suas trajetórias. Um deles é o ”Diagrama de 
Ideias”, para aqueles que aprendem visualmente os conte-
údos e processos por meio de esquemas cognitivos, mapas 
mentais e fluxogramas.
Além disso, esse compilado é um resumo de todo o conteúdo 
da aula. Por meio dele, pode-se fazer uma rápida consulta 
aos principais conteúdos ensinados no dia, o que facilita a 
organização dos estudos e até a resolução dos exercícios.
DIAGRAMA DE IDEIAS
© Hexag SiStema de enSino, 2018
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MATEMÁTICA
ÁLGEBRA 5
AULAS 9 E 10: OPERAÇÕES COM INTERVALOS 007
AULAS 11 E 12: INEQUAÇÕES DO PRIMEIRO E SEGUNDO GRAUS 009
AULAS 13 E 14: RELAÇÕES, FUNÇÕES E DEFINIÇÕES 018
AULAS 15 E 16: FUNÇÕES DO PRIMEIRO GRAU 026
ARITMÉTICA 33
AULAS 9 E 10: RAZÃO, PROPORÇÃO E GRANDEZAS PROPORCIONAIS 035
AULAS 11 E 12: TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA, M.M.C. E M.D.C. 044
AULAS 13 E 14: PORCENTAGEM 053
AULAS 15 E 16: ACRÉSCIMOS E DESCONTOS 056
GEOMETRIA PLANA 61
AULAS 9 E 10: SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 063
AULAS 11 E 12: RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 067
AULAS 13 E 14: TRIGONOMETRIA NUM TRIÂNGULO QUALQUER 073
AULAS 15 E 16: ÁREAS DOS TRIÂNGULOS 078
SUMÁRIO
Co
m
pe
tê
n
Ci
a
 1
Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações - naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Co
m
pe
tê
n
Ci
a
 2 Utilizarem que k é denominado constante de proporcionalidade. 
Essa constante k é o número de vezes que cada anteceden-
te é maior que seu respectivo consequente. Observe:
 a __ 
b
 = c __ 
d
 = k ä { a = k · b 
c = k · d
 
 
 
Assim, tem-se as seguintes propriedades:
P1: 
a __ 
b
 = c __ 
d
 ä ad = bc (propriedade fundamental)
“Numa proporção, o produto dos meios é igual ao pro-
duto dos extremos.”
Veja:
 { a · d = (kb) · d = kbd 
b · c = b · (kd) = kbd
 
 
 ä a · d = b · c
P2: 
a __ 
b
 = c __ 
d
 ä = a + c _____ 
b + d
 
Veja:
 a + c _____ 
b + d
 = kb + kd ______ 
b + d
 ä a + c _____ 
b + d
 = k(b + d) _______ 
b + d
 ä
ä a + c _____ 
b + d
 = k = a __ 
b
 = c __ 
d
 
P3: 
a __ 
b
 = c __ 
d
 ä a _____ 
a + b
 = c ____ 
c + d
 
Veja:
 a _____ 
a + b
 = c ____ 
c + d
 ä bk _____ 
bk + b
 = dk _____ 
dk + d
 ä
ä bk _______ 
b(k + 1)
 = dk _______ 
d(k + 1)
 (verdade).
RAZÃO, 
PROPORÇÃO 
E GRANDEZAS 
PROPORCIONAIS
COMPETÊNCIA(s)
3 e 4
HABILIDADE(s)
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 
e 18
MT
AULAS 
9 E 10
36  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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2
Aplicação do conteúdo
1. Duas jarras idênticas contêm poupa de fruta e água 
nas proporções: 3:7 na primeira e 3:5 na segunda. Jul-
gando o suco da primeira “muito fraco” e o da segunda 
“muito forte”, Dona Benta resolveu juntar os conteúdos 
das duas jarras numa vasilha maior, obtendo, a seu ver, 
um suco na proporção ideal de poupa de fruta e água. 
Considerando J o volume de uma jarra, é possível desco-
brir essa proporção ideal utilizando as propriedades das 
proporções. Observe:
I. Na primeira jarra:
 
poupa
 _____ 
água
 = 3 __ 
7
 ä 
poupa
 ____________ 
(poupa + água)
 = 3 _____ 
3 + 7
 ä 
poupa = 3 ___ 
10
 · J e água = 7 ___ 
10
 · J
Note: poupa + água = J (volume da jarra)
II. Na segunda jarra:
 
poupa
 _____ 
água
 = 3 __ 
5
 ä 
poupa
 ____________ 
(poupa + água)
 = 3 _____ 
3 + 5
 ä
poupa = 3 __ 
8
 · J e água = 5 __ 
8
 · J
III. Juntando-se as duas jarras, obtém-se:
 
poupa
 _____ 
água
 = 
 3 ___ 
10
 · J + 3 __ 
8
 · J
 __________ 
 7 ___ 
10
 · J + 5 __ 
8
 · J
 ä
ä 
 12J + 15J ________ 
40
 
 ________ 
 28J + 25J ______ 
40
 
 = 27 ___ 
53
 = 27:53
A proporção ideal consiste em 27 partes de poupa de fruta para 
53 partes de água.
2. Um bar vende suco e refresco de tangerina. Ambos 
são fabricados diluindo em água um concentrado dessa 
fruta. As proporções são de uma parte de concentrado 
para três de água, no caso do suco, e de uma parte de 
concentrado para seis de água, no caso do refresco. Fal-
tando refresco e sobrando suco, o chefe de cozinha do 
bar poderá transformar o suco em refresco. Mas, para 
isso, ele deverá saber quantas partes de suco (x partes) 
ele deverá diluir em y partes de água. A relação entre x 
poderá ser obtida através das proporções. Observe:
I. Para o suco:
 concentrado __________ 
água
 = 1 __ 
3
 
 concentrado ________________ 
(concentrado + água)
 = 1 _____ 
1 + 3
 
Concentrado = 1 __ 
4
 do suco e 
água = 3 __ 
4
 do suco
Note: concentrado + água = suco (todo)
II. Para o refresco, obtido a partir do suco:
 concentrado __________ 
água
 = 1 __ 
6
 ä 
 1 __ 
4
 x
 _____ 
y + 3 __ 
4
 x
 = 1 __ 
6
 
ä 6 __ 
4
 x = y + 3 __ 
4
 x ä 3 __ 
4
 x = y 
ä 3x = 4y ä x _ y = 4 __ 
3
 
Observe que, ao adicionar x copos de suco, tem-se 1 __ 
3
 x de con-
centrado, e de água se tem os 3 __ 
4
 x do suco mais y copos de água.
Assim, conhecendo a quantidade de copos de suco disponíveis, o 
chefe saberá quantos copos de água deverá acrescentar para obter 
o refresco. Por exemplo, se sobrarem 8 copos de suco (x = 8), deve-
rão ser adicionados 6 copos de água (y = 6), pois 8 __ 
6
 = 4 __ 
3
 .
3. Um carpinteiro fabrica portas retangulares maciças, 
feitas de um mesmo material. Por ter recebido de seus 
clientes pedidos de portas mais altas, aumentou sua altura 
em 1 __ 
8
 , preservando suas espessuras. A fim de manter o cus-
to com o material de cada porta, precisou reduzir a largura.
Qual a razão entre a largura da nova porta e a largura 
da porta anterior?
Resolução:
Sejam x, y e z, respectivamente, a altura, a espessura e a largura 
da porta original. Assim, segue que o volume da porta original é 
igual a x · y · z.
Aumentando-se em 1 __ 
8
 a altura da porta e preservando sua espes-
sura, deve-se ter, a fim de manter o custo com o material, 9x __ 
8
 ∙ y · 
z1 = x ∙ y ∙ z ⇔ z1 = 8z __ 
9
 , sendo a largura da nova porta.
Assim, a razão pedida é 
z1 __ z = 8 __ 
9
 
4. Por um terminal de ônibus passam dez linhas diferentes. 
A mais movimentada delas é a linha 1: quatro em cada 
sete usuários do terminal viajam nessa linha. Cada uma 
das demais linhas transporta cerca de 1.300 usuários do 
terminal por dia. Considerando que cada passageiro utili-
za uma única linha, a linha 1 transporta, por dia, cerca de 
a) 5.200 usuários do terminal. 
b) 9.100 usuários do terminal. 
c) 13.000 usuários do terminal. 
d) 15.600 usuários do terminal. 
e) 18.200 usuários do terminal. 
Resolução:
Seja T o total de usuários do terminal. Sabendo que 9 linhas 
transportam 1.300 usuários por dia, e que 4 __ 
7
 dos usuários do 
terminal utilizam a linha 1, tem-se 3 __ 
7
 ∙ 
3 __ 
7
 T = 9 ∙ 1.300 ⇒ T = 3 ∙ 7 ∙ 1.300
Assim, o resultado pedido é 4 __ 
7
 ∙ T = 4 __ 
7
 ∙ 3 ∙ 7 · 1.300 ⇒ 
T = 15.600
Alternativa D
MATEMÁTICA e suas tecnologias  37


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2
5. Uma empresa fabricante de suco que envasava o pro-
duto em frascos de vidro passou a fazer o envasamento 
em um novo vasilhame plástico com 2 __ 
3
 da capacidade do 
frasco anterior. 
A lanchonete revendedora enche de suco um copo com 
capacidade de 1 __ 
5
 do frasco de vidro. 
A quantidade de copos de suco (inteiro + fração) que a 
lanchonete obtém com um frasco do novo vasilhame é 
igual a:
a) 1 copo e 2/3 
b) 2 copos e 1/3
c) 2 copos e 2/3
d) 3 copos e 1/3 
e) 3 copos e 2/3 
Resolução:
Volume do frasco de vidro: v
Volume do frasco de plástico: 2v __ 
3
 
Volume do copo: v __ 
5
 
Número de copos: 
 2v __ 
3
 
 ___ 
 v __ 
5
 
 = 2v __ 
3
 ∙ 5 __ v = 10 ___ 
3
 
Ou seja, 3 copos e 1 __ 
3
 
Alternativa D
6. As dimensões de um paralelepípedo retângulo são 
proporcionais aos números 1, 2 e 3, e sua área total é 
igual a 198 cm2. Sobre esse paralelepípedo, assinale o 
que for correto. 
a) Seu volume vale 162 cm3.
b) As suas dimensões formam uma progressão aritmética. 
c) A soma das medidas de todas as suas arestas é 72 cm. 
d) Sua diagonal é maior que 11 cm. 
Resolução:
Sejam a, b e c as dimensões do paralelepípedo retângulo. Tem-se 
que:
 a __ 
1
 = b __ 
2
 = c __ 
3
 = k ⇔ { a = k
 
 
 b = 2k 
c = 3k
 
 Com k sendo um número real positivo.
Dado que a área total é igual a 198 cm2, tem-se:
2(ab + ac + bc) = 198 ⇔ 
k ∙ 2k + k ∙ 3k + 2k ∙ 3k = 99 ⇔ k2 = 9 ⇒ k = 3
Assim, a = 3 cm, b = 6 cm e c = 9 cm
a) Correto. O volume do paralelepípedo vale 
a · b · c = 3 · 6 · 9 = 162 cm3
b) Correto. As dimensões formam uma progressão arit-
mética com primeiro termo igual a 3 e razão igual a 3.
c) Correto. A soma das medidas de todas arestas é 
igual a 4(a + b + c) = 4(3 + 6 + 9) = 72 cm
d) Correto. A diagonal do paralelepípedo mede
d = √
_________
 a2 + b2 + c2 = √
__________
 32 + 62 + 92 = √
____
 126 cm
Assim, tem-se √
____
 126 cm > √
____
 121 cm = 11 cm. 
3. Números diretamente 
proporcionais
Considere as seguintes sequências numéricas:
1.ª sequência: (2, 6, 4, 10).
2.ª sequência: (6, 18, 12, 30).
Observe que as sequências crescem ou decrescem na mesma 
razão inversa, ou seja, se um dado elemento de uma delas 
triplica,o correspondente desse elemento na outra sequência 
também triplica. Em outras palavras, os elementos correspon-
dentes nas duas sequências estão na mesma razão.
Em geral, é possível dizer que os números da sucessão 
numérica (a1, a2, a3,..., an) são diretamente proporcionais 
(ou simplesmente proporcionais) aos números da sucessão 
(b1, b2, b3, ..., bn) quando as razões entre seus respectivos 
correspondentes forem iguais, isto é:
Essa razão constante k é denominada fator ou coeficiente 
de proporcionalidade e indica quantas vezes cada antece-
dente é maior que o respectivo consequente.
Aplicação do conteúdo
1. Se (a, b, 20) e ( 3, 2 __ 
3
 , 5 ) são proporcionais, determine o 
coeficiente de proporcionalidade e os valores de a e b.
 a __ 
3
 = b __ 
 2 __ 
3
 
 = 20 ___ 
5
 ä a __ 
3
 = 3b ___ 
2
 = 4
Coeficiente de proporcionalidade:
2. Os irmãos João Victor, Gabriela e Matheus têm 16 anos, 
14 anos e 10 anos, respectivamente. Se o pai deles dis-
tribuir R$ 240,00 reais entre eles, em partes diretamente 
proporcionais às idades, quanto receberá cada um?
Sendo k a constante de proporcionalidade, a parte de cada um 
será k vezes a respectiva idade, ou seja, as partes serão 16 k 
(João Victor), 14 k (Gabriela) e 10 k (Matheus).
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

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2
João Victor, Gabriela e Matheus receberam, respectivamente, R$ 
96,00, R$84,00 e R$60,00.
Nota: O mais velho recebe mais, pois as partes são diretamente pro-
porcionais às idades. Quanto mais velho, mais recebe.
4. Números inversamente 
proporcionais
Considere as seguintes sequências numéricas:
1.ª sequência: ( 1 __ 
2
 , 1 __ 
6
 , 1 __ 
4
 , 1 ___ 
10
 ) formada pelos respectivos 
inversos de (2, 6, 4, 10).
2.ª sequência: (6, 18, 12, 30).
Observe que as sequências crescem ou decrescem na razão 
inversa, ou seja, se dado elemento de uma delas triplica, o 
correspondente desse elemento na outra sequência reduz-
-se a sua terça parte.
Observe que os inversos dos números da 1.ª sequên-
cia são diretamente proporcionais aos números da 
2.ª sequência.
4.1. Inversos da 1.ª sequência (2, 6, 4, 10)
Em geral, diz-se que os números da sequência (a1, a2, a3, 
..., an) são inversamente proporcionais aos números da se-
quência (b1, b2, b3, ..., bn) quando os números de uma delas 
forem, respectivamente, diretamente proporcionais aos in-
versos da outra, isto é:
 
a1 __ 
 1 __ 
b1
 
 = 
a2 __ 
 1 __ 
b2
 
 = 
a3 __ 
 1 __ 
b3
 
 = ... = 
an __ 
 1 __ 
bn
 
 = k
Ou de outra forma:
a1b1 = a2b2 = a3b3 = ... = anbn = k
Nesse caso, a constante k também é chamada de fator 
ou coeficiente de proporcionalidade e indica o produto 
entre os respectivos elementos das sequências inversa-
mente proporcionais.
Em resumo, considerando as sequências (a1, a2, ..., an) e (b1, 
b2, ..., bn), tem-se:
Se elas são diretamente proporcionais, as razões entre os 
respectivos elementos são iguais:
Se elas são inversamente proporcionais, os produtos entre 
os respectivos elementos são iguais:
Aplicação do conteúdo
1. Se (a, 8, b) e (3, c, 5) são inversamente proporcionais 
e têm coeficiente de proporcionalidade igual a 120, cal-
cule a, b e c.
Os produtos dos respectivos elementos devem ser iguais ao coe-
ficiente de proporcionalidade.
Assim:
2. Os funcionários de uma fábrica, Lucas, Raquel e 
Elias, no mês de maio, faltaram ao serviço 8 dias, 5 
dias e 2 dias, respectivamente. Se o diretor financeiro 
dessa fábrica dividir R$ 396,00 entre os citados fun-
cionários, em partes inversamente proporcionais às 
faltas, quanto receberá cada um?
As partes procuradas devem ser diretamente proporcionais aos 
inversos dos números de falta ( 1 __ 
8
 , 1 __ 
5
 e 1 __ 
2
 ) , respectivamente. Sendo 
k a constante de proporcionalidade, as partes são, então, 1 __ 
8
 · k 
(Lucas), 1 __ 
5
 · k (Raquel) e 1 __ 
2
 · k (Elias).
Daí:
Lucas, Raquel e Elias receberão R$ 60,00, R$ 96,00 e R$ 240,00, 
respectivamente.
Nota: Quem faltou mais recebe menos, pois as partes são inver-
samente proporcionais. Quanto mais falta, menos recebe.
5. Sequências proporcionais 
a várias outras
Caso os números de uma sequência sejam proporcionais 
aos respectivos números de várias outras sequências, eles 
serão números proporcionais.
MATEMÁTICA e suas tecnologias  39



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2
Aplicação do conteúdo
1. Usando a constante de proporcionalidade k, repre-
sente quantidades:
a. Diretamente proporcionais a 2, 5 e 3 __ 
8
 
Se a 1.º quantidade é k vezes maior que o 1.º número (2), a 2.º 
e a 3.º quantidades devem ser também k vezes 5 e k vezes 3 __ 
8
 , 
respectivamente. Assim:
1.ª quantidade = 2 · k
2.ª quantidade = 5 · k
3.ª quantidade = 3 __ 
8
 k
b. Inversamente proporcionais a 1 __ 
3
 , 1 __ 
6
 e 21
As quantidades devem ser diretamente proporcionais a 3, 6 e 1 __ 
21
 
(inversos dos números dados), respectivamente.
Assim:
1.ª quantidade = 3 · k
2.ª quantidade = 6 · k
3.ª quantidade = 1 ___ 
21
 · k
c. Diretamente proporcionais a 2, 3 __ 
5
 e 9 inversamente pro-
porcionais a 3 __ 
2
 , 6 e 1 __ 
8
 .
As quantidades devem ser diretamente proporcionais a ( 2, 3 __ 
5
 , 9 ) 
e ( 2 __ 
3
 , 1 __ 
6
 e 8 ) , os inversos ( 3 __ 
2
 , 6, 1 __ 
8
 ) .
Desse modo, as quantidades serão proporcionais aos produtos 
2 · 2 __ 
3
 ; 3 __ 
5
 · 1 __ 
6
 e 9 · 8
Assim:
1.ª quantidade = 2 · 2 __ 
3
 · k = 4 __ 
3
 k
2.ª quantidade = 3 __ 
5
 · 1 __ 
6
 · k = k ___ 
10
 
3.ª quantidade = 9 · 8 · k = 72 k
2. Rafaela, Augusto e Moacir têm 14,12 e 9 anos e tira-
ram notas iguais a 7, 9 e 6, respectivamente, na prova de 
Português. Se o pai deles repartir 92 reais em partes in-
versamente proporcionais às idades e diretamente pro-
porcionais às notas entre eles, quanto receberá cada um?
Sendo k o coeficiente de proporcionalidade, as partes devem ser:
 § Rafaela = 1 ___ 
14
 · 7 · k = k __ 
2
 
 § Augusto = 1 ___ 
12
 · 9 · k = 3k __ 
4
 
 § Moacir = 1 __ 
9
 · 6 · k = 2k __ 
3
 
Assim: 
 k __ 
2
 + 3k __ 
4
 + 2k __ 
3
 = 92 ä 
ä 6k + 9k + 8k = 92 · 12 
⇒ k = 92 · 12 ______ 
23
 ä k = 48
Assim:
 k __ 
2
 = 48 ___ 
2
 = 24; 3k __ 
4
 = 3 · 48 _____ 
4
 = 36 e 2k __ 
3
 = 2 · 48 _____ 
3
 = 32
Rafaela deve receber 24 reais; Augusto, 36 reais; e Moacir, 32 
reais.
6. Grandezas diretamente 
proporcionais
Veja na tabela seguinte as quantidades (Q) de picolés com-
prados a R$ 3,00 reais cada e os respectivos valores pagos:
Valor(V) 3 6 15 24 18 36
Quantidade (Q) 1 2 5 8 6 12
Observe que as razões obtidas entre os respectivos ele-
mentos das sequências de valores (V) e de quantidade (Q) 
são iguais.
 V __ 
Q
 = 3 __ 
1
 = 6 __ 
2
 = 15 ___ 
5
 = ... = 36 ___ 
12
 ä V __ 
Q
 = 3
Em geral, diz-se que duas grandezas, A e B, são diretamen-
te proporcionais quando uma aumenta e outra também 
aumenta na mesma proporção, ou seja, quando as razões 
obtidas entre os valores assumidos por uma das grandezas 
e os respectivos valores assumidos pela outra são iguais.
Em símbolos:
A∝B à A __ 
B
 = k,
Em que k é a constante de proporcionalidade.
Aplicação do conteúdo
1. As grandezas X e Y são diretamente proporcionais. 
Quando X vale 28, tem-se Y valendo 12. Assim, se Y = 15, 
quanto vale X?
Deve-se ter X __ 
Y
 = k, onde k é a constante. Assim:
I. X __ Y = k ä 28 ___ 
12
 = k ä k = 7 __ 
3
 
II. X __ 
Y
 = 7 __ 
3
 ä X ___ 
15
 = 7 __ 
3
 ä X = 35
2. Um trabalhador limpará dois terrenos circulares 
cujos raios medem 5 e 15 metros. Se, para limpar o 
primeiro terreno, esse trabalhador gastou 3 horas, 
considerando os dois terrenos com igual dificuldade 
de limpeza, ele poderá estimar quanto tempo levará 
para limpar o segundo terreno? 
As grandezas “quantidade de horas” (T) e “áreaa limpar” (A) 
são diretamente proporcionais (note: “quanto maior a área, mais 
tempo se gasta para limpá-la”). Daí, T __ 
A
 = k em que k é a cons-
tante de proporcionalidade e A = p (raio)2.
Assim, deve-se ter, considerando os dois terrenos:
 T __ 
A
 = 3 _____ 
p · 52
 = x ______ 
p · 152
 = k (constante), em que x é o tempo, em 
horas, gasto na limpeza do segundo terreno.
Assim: x = 3 · 152
 _____ 
52 = 27
40  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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7. Grandezas inversamente 
proporcionais
Felipe quer dividir todos os seus 60 bombons entre seus 
amigos em partes iguais. Observe na tabela a seguir os 
possíveis números de amigos (A) e as respectivas quantida-
des (B) de bombons recebidos por cada amigo.
Número de 
amigos (A)
2 3 4 5 6 10 30
Bombons 
recebidos (B)
30 20 15 12 10 6 2
Perceba que os produtos obtidos entre os respectivos ele-
mentos das sequências “números de amigos” (A) e “nú-
mero de bombons recebidos” (B) são iguais:
A · B = 2 · 30 = 3 · 20 = ... = 30 · 2 ⇒ A · B = 60
Em geral, afirma-se que duas grandezas, A e B, são inversa-
mente proporcionais quando uma aumenta e a outra dimi-
nui na razão inversa, ou seja, quando os produtos obtidos 
multiplicando-se cada valor assumido por uma das gran-
dezas pelo respectivo valor assumido pela outra são iguais.
Em símbolos:
A a 1 ____ 
B
 à A · B = K
Em que k é a constante de proporcionalidade.
Aplicação do conteúdo
1. Duas grandezas V e W são inversamente proporcio-
nais. Quando V vale 18, tem-se W valendo 20. Assim, se 
W vale 24 ___ 
7
 , quanto vale V?
Deve-se ter V · W = k, em que k é a constante. Assim:
I. V · W = k ä 18 · 20 = k ä k = 360
II. V · W = 360 ä V · 24 ___ 
7
 = 360 ä V = 360 · 7 ______ 
24
 ä V = 105
2. Se 20 operários, todos com a mesma capacidade de 
trabalho, realizam determinado serviço em 15 dias, 
pode-se deduzir em quantos dias 24 desses operários 
farão serviço idêntico. Para isso, note que as grandezas 
“n.º de operários” (H) e “n.º dias” (D) são inversamente 
proporcionais (note: “quanto mais homens trabalhan-
do, menos tempo eles gastam”). Daí, H · D = k, em que 
k é a constante.
Assim, para os dois serviços, deve-se ter: 
H · D= 20 · 15 = 24 · x = k (constante), em que x é o número de 
dias para realizar o outro serviço. Assim: 
x = 20 · 15 ______ 
24
 = 12,5.
8. Grandezas proporcionais a 
duas ou mais outras grandezas
Se uma grandeza A é proporcional às grandezas B e C, en-
tão A é proporcional ao produto B · C, ou seja:
 A ____ 
B · C
 = k em que k é a constante
Essa propriedade se estende para mais de duas outras 
grandezas. Por exemplo:
a. A grandeza X é proporcional às grandezas Y, Z e W. En-
tão:
 X _______ 
Y · Z · W
 = constante
b. A grandeza M é diretamente proporcional às grandezas 
A e B e inversamente proporcional à grandeza C. Então:
 M · C _____ 
A · B
 = constante
c. A grandeza X é inversamente proporcional às grandezas 
P, Q, R e diretamente proporcional à grandeza S. Então:
 X · P · Q · R _________ 
S
 = constante
Aplicação do conteúdo
1. Três grandezas, X, Y e Z, são tais que X é 
diretamente proporcional a Y e inversamente propor-
cional a Z. Quando X vale 2 __ 
3
 , tem-se Y valendo 3 __ 
5
 e Z va-
lendo 9 __ 
5
 . Assim, se Y vale 7 __ 
8
 e z vale 1 __ 
4
 , qual o valor de X?
Deve-se ter X · Z ____ 
Y
 = k, em que k é a constante. Assim:
I. X · Z ____ Y = k ä 
 2 __ 
3
 · 9 __ 
5
 
 ____ 
 3 __ 
5
 
 = k ä 6 __ 
5
 · 5 __ 
3
 = k ä k = 2
II. X · Z ____ Y = 2 ä 
X · 1 __ 
4
 
 ____ 
 7 __ 
8
 
 = 2 ä X __ 
4
 = 7 __ 
4
 ä X = 7
2. Para construir uma barragem de 22 metros de compri-
mento por 0,9 metro de largura, 20 operários gastam 11 
dias, trabalhando 8 horas por dia. Em quanto tempo 8 
operários, trabalhando 6 horas por dia, construirão uma 
barragem de 18 metros de comprimento, 0,3 metro de 
largura e com o dobro da altura da primeira, se a capaci-
dade de trabalho do 2.º grupo é o dobro a do 1.º grupo?
Tomando a grandeza “n.º de dias” (D) como referência (a gran-
deza cujo valor se quer descobrir), são diretamente proporcionais 
a ela: comprimento (C), largura (L), altura (A) (note: quanto maior 
é o C, L ou A, maior é o D). Já as grandezas “n.º de operário” 
(P), “horas por dia de trabalho” (H) e “capacidade” (E) são inver-
samente proporcionais a D (note: quanto maior é o P, H ou E, 
menor é o D). Considerando a primeira barragem de altura 1, a 
MATEMÁTICA e suas tecnologias  41
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segunda terá altura 2,e considerando a capacidade de trabalho 
do 1.º grupo 1, a do 2.º. grupo será 2. Daí:
 D · P · H · E _________ 
C · L · A
 = k, em que k é a constante.
I. 11 · 20 · 8 · 1
 ___________ 22 · 0,9 · 1 = k ä k = 80 ___ 
0,9
 ä k = 800 ___ 
9
 
II. D · P · H · E ________ C · L · A = 800 ___ 
9
 ä D · 8 · 6 · 2 _________ 
18 · 0,3 · 2
 = 800 ___ 
9
 ä 
D = 
800 · 3 · 0,3
 __________ 
9 · 8
 ä D = 10
Nota: Os valores de uma mesma grandeza devem estar numa 
mesma unidade.
9. Regra de três simples e 
regra de três composta
Há uma regra prática que possibilita relacionar dois valores 
de uma grandeza A com dois valores de outras grandezas 
proporcionais à grandeza A.
Essa regra pode ser resumida da seguinte maneira:
1.º passo: elabora-se uma tabela colocando ordenada-
mente em cada coluna os valores de cada grandeza.
2.º passo: escolhe-se uma grandeza para servir de referên-
cia, de preferência a que se quer saber o valor.
3.º passo: à grandeza de referência é associada uma seta 
com sentido para baixo (é só uma convenção, poderia ser 
para cima).
4.º passo: essa grandeza de referência é comparada isola-
damente a cada uma das outras com o intuito de identificar 
se há proporcionalidade direta (setas no mesmo sentido) ou 
inversa (setas invertidas).
5º passo: a razão da grandeza de referência isolada é colo-
cada no 1.º membro, e, no 2.º membro, é colocada a outra 
razão ou o produto das outras grandezas, caso haja mais de 
uma; é importante lembrar que, se houver proporcionalida-
de em relação à grandeza de referência, é preciso inverter 
os elementos da respectiva coluna e escrever a razão inversa 
no membro da igualdade formada.
Se o problema envolve apenas duas grandezas proporcio-
nais, tem-se uma regra de três simples. Se o problema envol-
ve mais de duas grandezas proporcionais, trata-se de uma 
regra de três composta.
Fonte: youtube
Proporcionalidade e Funções Afins - Elon - 2001
multimídia: vídeo
Aplicação do conteúdo
1. Para analisar a transpiração das plantas, os botâni-
cos precisam conhecer a área das suas folhas. Essa área 
pode ser obtida pelo seguinte processo: coloca-se a fo-
lha da planta sobre uma cartolina e traça-se o seu con-
torno. Na mesma cartolina, desenha-se um quadrado 
com 10 cm de lado, como mostram as figuras a seguir:
Depois de serem recortadas, as duas figuras são pesadas em 
uma balança de alta precisão, que indica uma massa de 1,44 
g para o quadrado da cartolina. Desse modo, usando grandezas 
proporcionais, os botânicos podem determinar a área das folhas. 
Supondo que o botânico obteve a massa da figura da folha igual 
a 3,24 g, ele poderia usar a seguinte regra de três:
Área (cm2) Massa (g)
100
x
1,44
3,24
Daí: 100 ___ x = 
1,44
 ____ 
3,24
 é 1,44x = 324 ä x = 225
Assim, a área da folha é 255 cm2.
2. As grandezas X e Y são diretamente proporcionais. 
Quando X vale 28, tem-se Y valendo 12. Assim, se Y vale 
15, quanto vale X?
Usando a regra de três, tem-se:
Grandeza X Grandeza Y
28
a
12
15
Assim: 28 ___ a = 12 ___ 
15
 ä a = 15 · 28 ______ 
12
 ä a = 35
3. Duas grandezas, V e W, são inversamente proporcio-
nais. Quando V vale 18, tem-se W valendo 20. Assim, 
se W vale 24 ___ 
7
 , quanto vale V?
Usando regra de três, tem-se:
Grandeza V Grandeza W
18
x
20
 24 ___ 
7
 
Note que a grandeza W é inversamenteproporcional à grandeza 
V; logo, a razão no cálculo é invertida.
Assim: 
 18 ___ x = 
 24 ___ 
7
 
 ___ 
20
 ä 18 ___ x = 24 ___ 
7
 · 1 ___ 
20
 ä x = 18 · 7 · 5 _______ 
6
 ä x = 105
42  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
4. Vinte operários, todos com a mesma capacidade de 
trabalho, realizam determinado serviço em 15 dias. 
Usando regra de três, é possível deduzir em quantos 
dias 24 desses operários farão um serviço idêntico.
Observe:
n.º de operários Dias
20
24
15
x
Note: quanto mais operários trabalham, menos dias são gas-
tos.
Daí: 15 ___ x = 24 ___ 
20
 ä x = 15 · 5 _____ 
6
 ä x = 12,5
Assim, eles farão o serviço em 12,5 dias.
5. Três grandezas, X, Y e Z, são tais que X é diretamen-
te proporcional a Y e inversamente proporcional a Z. 
Quando X vale 2 __ 
3
 , tem-se Y valendo 3 __ 
5
 e Z valendo 9 __ 
5
 . 
Assim, se Y vale 7 __ 
8
 e Z vale 1 __ 
4
 , qual o valor de X?
Usando regra de três, temos:
Grandeza X Grandeza Y Grandeza Z
 2 __ 
3
 
a
 3 __ 
5
 
 7 __ 
8
 
 9 __ 
5
 
 1 __ 
4
 
Assim:
 
 2 __ 
3
 
 __ a = 
 3 __ 
5
 
 __ 
 7 __ 
8
 
 · 
 1 __ 
4
 
 __ 
 9 __ 
5
 
 ä 2 __ 
3a
 = 3 __ 
5
 · 8 __ 
7
 · 1 __ 
4
 · 5 __ 
9
 ä 
 2 __ 
3a
 = 6 __ 
9
 · 7 ä a = 7
6. Para construir uma barragem de 22 metros de com-
primento por 0,9 metros de largura, 20 operários gas-
tam 11 dias, trabalhando 8 horas por dia. Em quanto 
tempo 8 operários, trabalhando 6 horas por dia, cons-
truirão uma barragem de 18 metros de comprimento, 
0,3 metro de largura e com o dobro da altura da primei-
ra, se a capacidade de trabalho do 2.º grupo é o dobro 
da do 1.º grupo. Observe:
Comprimento Largura Operários Dias
Horas 
por dia
Altura Capacidade
22
18
0,9
0,3
20
08
11
x
8
6
1
2
1
2
Daí: 11 ___ x = 22 ___ 
18
 · 
0,9
 ___ 
0,3
 · 8 ___ 
20
 · 6 __ 
8
 · 1 __ 
2
 · 2 __ 
1
 
Resolvendo a proporção, obtém-se x = 10. Assim, eles construi-
rão em 10 dias.
7. Três irmãs – Jasmim, Flora e Gardênia – reservaram 
para as compras de Natal as quantias de 600 reais, 360 
reais e 120 dólares, respectivamente. Antes de sair às 
compras, as três fizeram o seguinte acordo: o total de 
reais reservados por Jasmim e Flora seria igualmente 
dividido entre as três, enquanto os dólares reservados 
por Gardênia seriam totalmente repassados a Jasmim 
e Flora em partes proporcionais às quantias que cada 
uma delas tinha inicialmente.
Considerando que o acordo foi cumprido, quantos dóla-
res Jasmim recebeu a mais que Flora? 
Resolução:
Equacionando as informações dadas no enunciado, tem-se:
 Jasmin _____ 
600
 = Flora ____ 
360
 ä Jasmin + Flora ___________ 
960
 = 120 ___ 
960
 = 1 __ 
8
 ä
 Jasmin ___________ 
600
 = 1 __ 
8
 ä Jasmin = 75 dólares
 Flora ____ 
360
 = 1 __ 
8
 ä Flora = 45 dólares
Jasmin recebeu (75 – 45), ou seja, 30 dólares a mais que Flora.
Razão, proporção e grandezas proporcionais possuem características interdisciplinares e, por esse motivo, são 
temas recorrentes nos vestibulares. A proporcionalidade está relacionada com a estequiometria na disciplina de 
Química, com a variação de grandezas no estudo do comportamento dos gases na disciplina de Física, e também 
com a mudança de escalas da cartografia na disciplina de Geografia.
MATEMÁTICA e suas tecnologias  43
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8. Já que, em determinadas situações, e também para al-
gumas pessoas, “tempo é dinheiro”, uma ação na Bolsa 
de Valores apresentou a seguinte evolução: nos primeiros 
30 minutos do pregão, o preço de compra da ação pas-
sou de R$ 12,00 para R$ 12,75. Um investidor comprou 
1.000 dessas ações ao preço de R$ 12,00 no início do 
pregão e vendeu todas elas após 18 minutos. Supondo 
que a variação desse preço tenha ocorrido igualmente 
distribuída nos 30 minutos iniciais do pregão, o lucro bru-
to alcançado por esse investidor, em 18 minutos, foi de: 
a) R$ 450,00 d) R$ 900,00
b) R$ 325,00 e) R$ 250,00
c) R$ 750,00
Resolução:
Se as ações aumentaram de R$ 12,00 para R$ 12,75 em 30 
minutos, então pode-se dizer que a variação foi de 0,75 em 30 
minutos. Assim, pode-se escrever:
0,75 —— 30min
x —— 18 min
x = 0,45
Ou seja, aos 18 minutos, as ações compradas por R$ 12,00 já 
valiam R$ 12,45 cada uma. Se o investimento inicial foi de R$ 
12.000,00 (1000 x R$ 12,00) e após 18 minutos elas foram to-
das vendidas por um total de R$ 12.450,00 (1000 x R$12,45) o 
lucro bruto foi de R$ 450,00. 
Alternativa A
9. Duas grandezas positivas x e y são inversamente pro-
porcionais se existir uma correspondência bijetiva entre 
os valores de x e os valores de y e um número constante 
positivo k tal que, se o valor y for o correspondente do 
valor x então y · x = k. Nessas condições, se o valor y = 
6 é correspondente ao valor x = 25, então o valor y que 
corresponde ao valor x = 15 é:
a) 8 
b) 10 
c) 12 
d) 14 
Resolução:
O enunciado descreve uma função y . x = k, sendo k uma cons-
tante. Ou seja: y = k _ x , o que confere com a informação do enun-
ciado de que x e y são inversamente proporcionais. Ainda de 
acordo com o informado, quando y = 6, x é igual a 25, logo:
y = k _ x ⇒ 6 = k ___ 
25
 ⇒ k = 150 
Portanto, a função descrita será: y = 150 ___ x . Logo, quando 
x = 15, y terá valor igual a 10.
Alternativa B
DIAGRAMA DE IDEIAS
É O QUOCIENTE ENTRE DUAS GRANDEZAS
EX.: O ARTILHEIRO FEZ 45 GOLS EM 9 JOGOS HÁ UMA RAZÃO DE 5 GOLS POR JOGO
IGUALDADE ENTRE DUAS RAZÕES
RAZÃO
PROPORÇÃO
RAZÃO ENTRE A E B: A
B
PROPORÇÃO DIRETA:
PROPORÇÃO INVERSA:
= = K
A1
B1
A2
B2
= = K
1
A1
B1
1
A2
B2
QUANDO UMA GRANDEZA AUMENTA 
A OUTRA DIMINUI
QUANDO UMA GRANDEZA AUMENTA 
A OUTRA TAMBÉM AUMENTA
44  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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2
1. Introdução
A aritmética é o ramo da matemática que estuda os nú-
meros e as operações que podem ser realizadas entre eles. 
Trata-se de um ramo diferente da álgebra, por exemplo, 
que lida com equações e polinômios.
2. Números primos
Há muito tempo os números primos são conhecidos e 
estudados. O matemático Euclides, em seu livro Os Ele-
mentos (300 a.C.), já discutia a importância dos números 
primos, apesar de a matemática grega da época se fun-
damentar inteiramente na geometria. Diversos matemá-
ticos importantes estudaram os números primos e suas 
propriedades, como Eratóstenes, na Grécia, por volta de 
230 a.C., Marin Mersenne e Pierre de Fermat, na França 
no século XVII, e Leonhard Euler, na Suíça no século XVIII.
No mundo atual, os números primos possuem aplicações 
na área de criptografia. 
Muitos problemas chegaram ao século XXI sem solução, 
como a prova da Conjectura de Goldbach, que afirma que 
todo número inteiro par maior do que 2 pode ser escrito 
como uma soma de dois números primos:
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 5 + 3
10 = 7 + 3
...
600 = 269 + 331
2.1. Definição
Um número natural é definido como primo caso ele pos-
sua somente dois divisores positivos: 1 e ele próprio. Os 
números compostos são os números que podem ser es-
critos como multiplicação de dois números primos, ou os 
números que possuem dois ou mais divisores.
Os primeiros 12 números primos são:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...
Observe que:
 § 1 não é considerado um número primo;
 § 2 é o único número primo par;
 § existem infinitos números primos.
3. Teorema fundamental 
da aritmética
O teorema fundamental da aritmética afirma que todo in-
teiro positivo maior do que 1 pode ser expresso como 
um produto de potências de números primos, descon-
siderando a ordem dos fatores de maneira única.
Observe alguns exemplos:
6 = 2 ∙ 3
12 = 22 · 3
30 = 2 · 3 · 5
150 = 2 · 3 · 52
Note que, se o número 1 fosse considerado primo, o teore-
ma fundamental da aritmética não seria verdadeiro, pois a 
fatoração não seria única comodiz o teorema:
6 = 1 ∙ 2 ∙ 3
ou
6 = 12 · 2 ∙ 3
Todo número não primo diferente de 0 e 1 é considerado um 
número composto, pois ele é composto de fatores primos.
3.1. Decomposição em fatores primos
É possível decompor um número composto em seus fato-
res primos utilizando a seguinte técnica:
 § Escreve-se o número que se deseja decompor e é traça-
da uma reta vertical:
60
TEOREMA 
FUNDAMENTAL 
DA 
ARITMÉTICA, 
M.M.C. E M.D.C.
COMPETÊNCIA(s)
1 e 5
HABILIDADE(s)
3, 4, 5 e 21
MT
AULAS 
11 E 12
MATEMÁTICA e suas tecnologias  45
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2
 § Divide-se o número pelo seu divisor primo; o quociente 
é escrito abaixo do número. Para 60, seu primeiro divi-
sor primo é 2:
60 2
30
 § O processo se repete até que o número a ser dividido 
seja 1:
60 2
30 2
15 3
5 5
1
Assim, a decomposição do número 60 em fatores primos é:
60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 22 · 3 · 5
Observe alguns exemplos:
72 2
36 2
18 2
9 3
3 3
1
72 = 23 · 32
294 2
147 3
49 7
7 7
1
294 = 2 · 3 · 72
165 3
55 5
11 11
1
165 = 3 · 5 · 11
Decompor um número como um produto de fatores pode 
ser útil em alguns casos. Caso se queira, por exemplo, sim-
plificar a seguinte expressão:
 √
____
 294 _____ 
 √
__
 6 
 
Como já foi visto no exemplo anterior, 294 = 2 · 3 · 7², 
logo:
 √
____
 294 _____ 
 √
__
 6 
 = √
_______
 2 ∙ 3 ∙ 72 ________ 
 √
__
 6 
 = √
____
 2 ∙ 3 ∙ √
__
 72 _________ 
 √
__
 6 
 = 7 √
__
 6 ____ 
 √
__
 6 
 = 7
3.2. Divisibilidade
Ao utilizar os números em sua forma fatorada em função 
de seus fatores primos, pode-se verificar se um número a é 
divisível por outro número b. Considere a = 23 · 32 = 72 e 
b = 22 · 32 = 36. Ao observar as formas fatoradas de a e b, 
é possível afirmar que a é divisível por b, pois:
 a __ 
b
 = 2
3 · 32
 _____ 
22 · 32 
SimpliFicando a __ 
b
 = 2
Como a __ 
b
 = 2 é um número inteiro, a é divisível por b.
Exemplos
1. Dados x = a3 · b5 · k e y = a4 · b7 · c2, com a, b e c naturais, 
qual deve ser o menor valor de k para que x seja divisível 
por y?
Para x ser divisível por y, x _ y deve ser um número inteiro:
 x _ y = a
3 · b5 · k ________ 
a4 · b7 · c2 
SimpliFicando x _ y = k ________ 
a1 · b2 · c2 
Para “cancelar” todos os termos do denominador, segue 
que k deve ser, no mínimo:
k= a1 ∙ b2 ∙ c2
Observe:
 x _ y = k ________ 
a1 ∙ b2 ∙ c2 = a
1 ∙ b2 ∙ c2
 ________ 
 a1 ∙ b2 ∙ c2 = 1 [ Z
2. Quanto deve ser o valor de x em 12x para que este seja um 
cubo perfeito?
Ocorre que 12 = 2² ∙ 3. Fazendo K = 12x, tem-se:
K = 2² ∙ 3 ∙ x
Para que K seja um cubo perfeito, deve-se ter:
x = 2¹ ∙ 3², pois, assim, tem-se:
K = 2² ∙ 3 ∙ 2¹ ∙ 3² = 2³ ∙ 3³ = 6³
Como 6³ é um cubo perfeito, então x = 2¹ ∙ 3².
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3.3. Número de divisores de 
um número natural
Sejam dois números a, b inteiros. Diz-se que b é divisor de 
a se existe k também inteiro, tal que:
b · k = a
Ou seja, k = a __ 
b
 , em que k deve ser inteiro. Em outras pa-
lavras, b é divisor de a caso a divisão de a por b resul-
te em um número inteiro com resto nulo. Por exemplo, 
ao escrever o conjunto dos divisores positivos de 12, deno-
tado por D+ (12):
D+ (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
1 é divisor de 12, pois 12 ___ 
1
 é inteiro.
6 é divisor de 12, pois 12 ___ 
6
 é inteiro.
5 não é divisor de 12, pois 12 ___ 
5
 não é inteiro.
A quantidade de divisores positivos que um número pos-
sui pode ser calculada por meio das potências dos fatores 
primos em sua fatoração. Considere o número 360 e sua 
decomposição em potências de fatores primos:
360 = 23 · 32 · 51
Para um número ser divisor de 360, ele deve ser composto 
por potências dos fatores primos de 360. Ao se pensar em 
frações, é possível verificar esse fato facilmente. Observe se 
12 é divisor de 360:
 360 ___ 
12
 decompondo 2
3 · 32 · 5 ________ 
22 · 3
 = 2
1 · 31 · 5 _______ 
1
 = 30 
Veja que não restaram fatores no denominador, portanto, 
o número é inteiro. Agora, observe se 50 é divisor de 360:
 360 ___ 
50
 decompondo 2
3 · 32 · 51
 ________ 
21 · 52 = 2
2 · 32
 _____ 
5
 = 36 ___ 
5
 
Depois das simplificações, não foi possível reduzir o deno-
minador a 1, “sobrando” o fator 5. Assim, 50 não é divisor 
de 360.
Todos os divisores de 360 devem ser, portanto, compostos 
por fatores de 360:
2³ · 3² · 5¹ = 360
2² · 3² · 5¹ = 180
2¹ · 3² · 5¹ = 90
20 · 3² · 5¹ = 45
....
20 · 30 · 50 = 1
O fator 23 pode estar presente como 20, 2¹, 2² ou 2³, isto 
é, de 4 maneiras.
O fator 3² pode estar presente como 30, 3¹ ou 3², isto é, de 
3 maneiras.
O fator 5¹ pode estar presente como 50 ou 5¹, isto é, de 
2 maneiras.
Observe que o número de maneiras que um fator pode 
estar presente no divisor é uma unidade a mais do que a 
potência. Cada um dos fatores pode estar presente de 4, 
3 e 2 maneiras:
___ · ___ · ___
20, 21, 22 ou 23 30, 31 ou 32 50 ou 51
O número total de divisores Pelo Princípio Fundamental da 
Contagem é:
 4 · 3 · 2 = 24 divisores
De modo geral, é possível afirmar que:
O número de divisores inteiros positivos de um número é 
igual ao produto dos expoentes dos fatores primos aumen-
tados em uma unidade. Isto é, se um número N decomposto 
em potências de números primos resulta em N = ax · by · cz, 
o número de divisores inteiros positivos que N possui 
n[D+ (N)] é igual a:
n[D+ (N)] = (x + 1)(y + 1)(z + 1)
Modelo:
 § Quantos divisores naturais possui o número 
432?
Fatorando 432, tem-se:
432 = 24 · 33
Assim, como os expoentes dos seus fatores primos são 4 
e 3, resulta que o número de divisores naturais é dado por 
(4 + 1)(3 + 1) = 5 · 4 = 20
3.4. Critérios de divisibilidade
 § Divisibilidade por 2: um número é divisível por 2 quan-
do ele é par.
 § Divisibilidade por 3: um número é divisível por 3 quan-
do a soma dos seus algarismos for divisível por 3.
Exemplo: 51.204 é divisível por 3, porque 
5 + 1 + 2 + 0 + 4 = 12, e 12 é divisível por 3.
 § Divisibilidade por 4: um número é divisível por 4 quan-
do termina em 00 ou quando o número formado pelos 
dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.
Exemplo: 37.528 é divisível por 4, pois seus últimos 
dois algarismos, 28, formam um número divisível por 4.
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 § Divisibilidade por 5: um número é divisível por 5 quan-
do o último algarismo (das unidades) é 0 ou 5.
Exemplo: 90 é divisível por 5, pois termina em 0.
 § Divisibilidade por 6: um número é divisível por 6 quan-
do é divisível por 2 e por 3.
Exemplo: 738 é divisível por 6, pois é divisível por 2 
(pois é par) e é divisível por 3 (pois 7 + 3 + 8 = 18).
 § Divisibilidade por 7: um número é divisível por 7 quan-
do a diferença entre o dobro do último algarismo e o 
número formado pelos algarismos restantes for divisí-
vel por 7.
Exemplo: 378 é divisível por 7, pois 
37 – 2 · 8 = 37 – 16 = 21, e 21 é divisível por 7.
 § Divisibilidade por 8: um número é divisível por 8 quan-
do termina em 000 ou quando o número formado pe-
los três últimos algarismos da direita for divisível por 8.
Exemplo: 61.112 é divisível por 8, pois 112 é divisível 
por 8.
 § Divisibilidade por 9: um número é divisível por 9 quan-
do a soma dos seus algarismos formarem um número 
divisível por 9.
Exemplo: 3.726 é divisível por 9, pois 
3 + 7 + 2 + 6 = 18, e 18 é divisível por 9.
 § Divisibilidade por 10: um número é divisível por 10 
quando seu último algarismo for 0.
4. Máximo divisor comum (M.D.C.)
Dados dois números inteiros positivos, A = d ∙ k e B = d ∙ q, 
em que k e q são números inteiros, diz-se que o inteiro d é 
um divisor (fator) comum de A e B.
Modelos:
1. 
12 = 6 · 2
18 = 6 · 3
 ⇒ 6 é divisor comum de 12 e 18
2. 42 = 7 · 6
70 = 7 · 10
 ⇒ 7 é divisor comum de 42 e 70
Caso ocorra A = d · k e B = d ∙ q, em que k e q são núme-
ros inteiros primos entre si, isto é, k e q não apresentam 
divisores(fatores) comuns, exceto a unidade, diz-se que o 
inteiro positivo d é o máximo divisor comum (M.D.C.) de 
A e B.
Nos exemplos anteriores, 6 é o M.D.C. de 12 e 18, uma vez 
que 2 e 3 são primos entre si. Ou seja, 6 é o maior inteiro 
positivo que divide exatamente 12 e 18. Em símbolos: mdc 
(12, 18) = 6. 
Por sua vez, 7 não é o maior divisor comum de 42 e 70, 
pois 6 e 10 apresentam fator comum absoluto diferente 
de 1. Ou seja, existe um número maior que 7 que divide 
exatamente 42 e 70. Observe:
42 = 7 · 6 = (7 · 2) · 3
70 = 7 · 10 = (7 · 2) · 5
Assim, 7 · 2 = 14 é o M.D.C. de 42 e 70, pois 3 e 5 são pri-
mos entre si. Isso indica que 14 é o maior inteiro positivo que 
divide exatamente 42 e 70. Em símbolos: mdc (42, 70) = 14.
Analisando os números 630 e 280, por exemplo, nota-se 
facilmente que 10 é divisor comum. Será 10 o M.D.C. de 
630 e 280? Observe:
630 = 10 · 63
280 = 10 · 28
Nota-se que 10 é divisor comum de 630 e 280, mas não é 
o maior. Existe outro divisor (fator) comum maior, uma vez 
que 63 = 7 · 9 e 28 = 7 · 4 não são primos entre si. Assim, 
o maior divisor (fator) comum é 10 · 7 = 70. Veja:
630 = 10 · 63 = (10 · 7) · 9
280 = 10 · 28 = (10 · 7) · 4
⇒ 10 ∙ 7 = 70 é o M.D.C. de 630 e 280, pois 9 e 4 são 
primos entre si.
Lembre-se!
O M.D.C. de dois números primos entre si é igual a 1.
pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-fac-
tors-multiples/pre-algebra-greatest-common-divisor/e/gcf-
-and-lcm-word-problems
multimídia: site
5. Mínimo múltiplo comum (M.M.C.)
Todo número de forma A = 6 · k, em que k [ Z, é múltiplo 
de 6; e todo inteiro B = 8 · q, na qual q [ Z, é múltiplo de 
8. Trata-se, portanto, dos conjuntos dos múltiplos de 6 e de 
8, respectivamente:
M(6) = {0, ± 6 · 1, ± 6 · 2, ± 6 · 3, ± 6 · 4, ± 6 · 5, ...}
M(8) = {0, ± 8 · 1, ± 8 · 2, ± 8 · 3, ± 8 · 4, ± 8 · 5, ...}
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VIVENCIANDO
Os cálculos de M.M.C. e M.D.C. estão ligados aos múltiplos e aos divisores de um número, e é muito comum a sua 
utilização nas resoluções de problemas. Imagine a seguinte situação: um médico, ao prescrever uma receita, deter-
mina que três medicamentos sejam ingeridos pelo paciente de acordo com a seguinte escala de horários: remédio A, 
de 3 em 3 horas; remédio B, de 4 em 4 horas; e remédio C, de 6 em 6 horas. Caso o paciente utilize os três remédios 
às 9 horas da manhã, qual será o próximo horário que os mesmos serão ingeridos juntos?
Calculando o M.M.C. dos números 3, 4 e 6, temos:
3 4 6 2
3 2 3 2
3 1 3 3
1 1 1
mmc (3, 4, 6) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12
Então, de 12 em 12 horas, os três remédios serão ingeridos juntos. Portanto, o próximo horário será às 21 horas.
Observe que o menor múltiplo comum positivo de 6 e 8 é 
6 ∙ 4 = 8 · 3 = 24, ou seja, 24 é o menor inteiro positivo 
que pode ser dividido exatamente (é divisível e múltiplo) 
por 6 e 8. Em símbolos, m.m.c. (6, 8) = 24.
De maneira geral, dados números inteiros a e b, o me-
nor múltiplo comum de a e b é o menor inteiro positivo 
a · k = b · q, em que k e q são inteiros positivos. Assim, 
obter o m.m.c. de 6 e 8 equivale a encontrar o menor produ-
to inteiro positivo 6 · k = 8 · q. Para isso, é preciso encontrar 
os menores inteiros positivos k e q na igualdade anterior. 
Observe:
6 · k = 8 · q
(cancelando os fatores comuns de 6 e 8)
3 · k = 4 · q ⇒ k = 
4q
 ___ 
3
 
(3 e 4 são primos entre si, k é inteiro 
positivo e q é múltiplo de 3)
Assim, o menor valor para q é 3, o que resulta:
q = 3, k = 4 e 6 · k = 8 · q = 24
5.1. Resumindo
Dados dois inteiros a e b, não nulos, seu mínimo múltiplo 
comum, indicado por m.m.c. (a, b), é o menor elemento 
positivo do conjunto M(a) > M(b).
Modelo:
1. Para os inteiros 10 e 12, temos:
M(10) = {..., –30, –20, –10, 0, 10, 20, 30, 40, 50, 
60, ...}
M(12) = {..., –24, –12, 0, 12, 24, 36, 48, 60, ...}
M(10) > M(12) = {..., –60, 0, 60, ...} é conjunto dos 
múltiplos comuns de 10 e 12. O menor elemento posi-
tivo de M(10) > M(12) é 60.
Então, m.m.c. (10, 12) = 60
6. Técnicas para o cálculo 
do M.D.C. e do M.M.C.
O M.D.C. e o M.M.C. de dois ou mais números podem ser 
obtidos a partir da decomposição dos números em seus 
fatores primos. 
Decompondo-os isoladamente em fatores primos distintos, 
o M.D.C. desses números é o produto dos fatores primos 
comuns, tomados com seus menores expoentes. 
Por sua vez, o M.M.C. desses números é o produto dos 
fatores primos comuns e não comuns, tomados com os 
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CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
seus maiores expoentes. Observe, por exemplo, as formas 
fatoradas dos números 4.200, 720 e 600:
4200 = 23 · 31 · 52 · 71
720 = 24 · 32 · 51
600 = 23 · 31 · 52
Com base nessas fatorações, tem-se:
 § M.D.C. (4.200, 720, 600) = 23 · 31 · 51 = 120 
(produto dos fatores primos comuns, tomados com 
seus menores expoentes).
 § M.M.C. (4.200, 720, 600) = 24 · 32 · 52 · 71 = 25.200 
(produto dos fatores primos comuns e não comuns ele-
vados ao maior expoente).
Assim, 120 é o maior número inteiro positivo que divide 
exatamente 4.200, 720 e 600. Isso significa que, caso haja 
4.200 kg de arroz, 720 latas de leite e 600 kg de café para 
montar cestas básicas, de modo que cada cesta contenha 
as mesmas quantidades inteiras de kg de arroz, latas de 
leite e kg de café, é possível montar 120 cestas básicas, 
beneficiando 120 famílias. 
Por outro lado, 25.200 é o menor inteiro positivo que 
pode ser dividido exatamente (é divisível, é múltiplo) por 
4.200, 720 e 600. Isso significa que, se Antonio, Francisco 
e Raimundo estão treinando para uma maratona e cada 
um deles der voltas em pistas circulares de 4.200 m, 720 
m e 600 m, respectivamente, os três terão dado um nú-
mero inteiro de voltas e percorrido a mesma distância 
quando cada um tiver percorrido, no mínimo, 25.200 
m. Nesse caso, eles terão dado 25200 _____ 
4200
 = 6, 25200 _____ 
720
 = 35 
e 25200 _____ 
600
 = 42 voltas, respectivamente.
Outro modo de se obter o M.D.C. e o M.M.C. é fatorando 
simultaneamente esses números. Nesse caso, o M.D.C. 
é o produto apenas dos fatores comuns, enquanto o 
M.M.C. é o produto de todos os fatores obtidos. Observe:
4.200 720 600 2
2.100 360 300 2
1.050 180 150 2
525 90 75 2
525 45 75 3 mdc = 23 · 3 · 5 = 120
175 15 25 3
175 5 25 5
35 1 5 5
7 1 1 7
1 1 1 24 · 32 · 52 · 7 = 25.200 = mmc
Note que os fatores primos circulados dividiram todos 
os números das respectivas linhas (são os fatores co-
muns). O produto deles é o M.D.C. dos números 4.200, 
720 e 600.
Lembre-se!
Dados dois números inteiros positivos a e b, vale a se-
guinte relação entre o M.D.C. e o M.M.C.:
a · b = mdc (a, b) · mmc (a, b).
6.1. M.M.C. e M.D.C. de 
expressões algébricas
Da mesma forma que são utilizados os fatores de dois nú-
meros para calcular o M.M.C ou o M.D.C. entre eles, é possí-
vel expandir esse conceito para expressões algébricas. Assim 
como é feito com números, deve-se fatorar as expressões em 
fatores primos. Observe uma rápida revisão dos métodos::
 § M.M.C.:
Depois de fatorar os números em função de potências 
de seus fatores primos, o M.M.C. é o produto dos fa-
tores primos comuns e não comuns, tomados com os 
seus maiores expoentes.
Já imaginou o quão cansativo seria se para saber se um número é ou não divisível por outro fosse necessário efetuar 
a divisão e verificar se o resto é nulo? Diante desse fato, os critérios de divisibilidade auxiliam a determinar quais 
números são divisores de um determinado número; com isso, podemos efetuar cálculos numéricos, presentes tam-
bém na Física e na Química, sem a necessidade de efetuar longos processos de divisão, otimizando, assim, o tempo 
para a resolução de um problema. 
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 § M.D.C.:
Decompondo os números isoladamente, em fatores 
primos distintos, o M.D.C. desses números é o produto 
dos fatores primos comuns, tomados com seus meno-
res expoentes.
Observe um exemplo:
 § Encontre o mínimo múltiplocomum e o máximo divisor 
comum das expressões algébricas a seguir:
x²y³ (z + 1) e x(z + 1)³
Note que as expressões já estão em sua forma fato-
rada.
6.1.1. M.M.C.
São escolhidos os fatores comuns e não comuns de 
maior expoente:
x²y³ (z + 1) e x(z + 1)³
x²y³ (z + 1)³
Assim, o M.M.C. entre x²y³(z + 1) e x (z + 1)³ é: x²y³ (z + 1)³.
6.1.2. M.D.C.
Tomamos os fatores comuns e de menor expoente:
x²y³ (z + 1) e x(z + 1)³
x(z + 1)
Assim, o M.D.C. entre x²y³(z+1) e x (z+1)³ é: x(z + 1).
Em alguns casos, é preciso fatorar o polinômio para en-
contrar o M.M.C. ou o M.D.C.. Observe:
 § A expressão a ________ 
c2a2 – c2b2 + b ______ 
(a – b)3 é reduzida a uma 
única fração.
Para realizar a soma, é necessário reduzir as parcelas a um 
mesmo denominador comum. Isso se faz encontrando o 
M.M.C. entre os denominadores:
m.m.c. (c²a² – c²b², (a – b)³) = ?
Fatorando c²a² – c²b², tem-se:
c²(a² – b²) (fator comum em evidência)
c²(a – b)(a + b) (diferença de quadrados)
Agora, o M.M.C. entre c²(a – b)(a + b) e (a – b)³ é o 
produto dos fatores comuns e não comuns de maior 
expoente:
mmc (c²a² – c²b², (a – b)³) = c²(a – b)³(a + b)
Agora que o denominador comum é conhecido, deve-se 
proceder da mesma maneira aplicada para somar frações 
numéricas: o denominador de cada fração é dividido pelo 
denominador comum encontrado; por fim, o quociente é 
multiplicado pelo respectivo numerador:
 a ________ 
c2a2 – c2b2 + b ______ 
(a – b)3 = 
= a ____________ 
c2(a – b)(a + b)
 + b ______ 
(a – b)3 =
= (a – b)2a + c2(a + b)b _________________ 
c2(a – b)3(a + b)
 
Aplicação do conteúdo
1. Antônio e Bruno são dois trabalhadores que tiram um 
dia de folga a cada 8 dias e a cada 12 dias, respectiva-
mente. Sabendo que no dia 1.° de janeiro eles tiraram 
o dia de folga juntos, qual a última vez no ano que vão 
tirar folga juntos novamente?
Calculando o mínimo múltiplo comum, tem-se: mmc (8,12) 
= 24.
Assim, a cada 24 dias, os dois trabalhadores tiram folga juntos, 
ou seja, após 24, 48, 72, 96, ... dias. Para calcular o último dia do 
ano, dividi-se a quantidade de dias no ano por 24, e, em seguida, 
analisa-se o resto da divisão:
365 24
5 15
Logo, há cinco dias a mais após o último dia de folga simultâ-
neo. Assim, como o último dia do ano é 31/12, cinco dias antes 
temos: 26/12.
2. Em uma fábrica de papel há duas bobinas, uma con-
tendo 120 m de papel e outra contendo 160 m de papel. 
Se desejamos cortar o papel em pedaços de tamanhos 
iguais, qual deve ser o maior tamanho que eles devem 
ser cortados de modo a não haver sobra? Quantos pe-
daços podem ser cortados desta forma?
Queremos um divisor comum entre 120 e 160 que seja o maior 
possível, logo, calculamos o máximo divisor comum entre os nú-
meros: mdc (120,160) = 40.
Assim, cada pedaço cortado terá 40 m.
Para calcular a quantidade de pedaços, dividimos o comprimento 
total de papel por 40 m:
 120 m + 160 m ___________ 
40 m
 = 280 m _____ 
40 m
 = 7
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ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
HABILIDADE 3
Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
A habilidade 3 exige do aluno a capacidade de resolver uma situação proposta a partir de conhecimentos de 
aritmética.
MODELO 1
(Enem) O gerente de um cinema fornece anualmente ingressos gratuitos para escolas. Este ano serão distribuídos 
400 ingressos para uma sessão vespertina e 320 ingressos para uma sessão noturna de um mesmo filme. Várias 
escolas podem ser escolhidas para receberem ingressos. Há alguns critérios para a distribuição dos ingressos:
1) cada escola deverá receber ingressos para uma única sessão;
2) todas as escolas contempladas deverão receber o mesmo número de ingressos;
3) não haverá sobra de ingressos (ou seja, todos os ingressos serão distribuídos).
O número mínimo de escolas que podem ser escolhidas para obter ingressos, segundo os critérios estabelecidos, é:
a) 2. b) 4. c) 9. d) 40. e) 80.
ANÁLISE EXPOSITIVA
O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar um problema do cotidiano e utilizar seus conheci-
mentos sobre aritmética que envolvam múltiplos e divisores para a sua resolução.
O número mínimo de escolas beneficiadas ocorre quando cada escola recebe o maior número possí-
vel de ingressos. Logo, sendo o número máximo de ingressos igual ao máximo divisor comum de 
400 = 24 · 5² e 320 = 26 · 5, temos mdc(400, 320) = 24 · 5 = 80.
Assim, como 400 = 5 · 80 e 320 = 4 · 80, segue 5 + 4 = 9
RESPOSTA Alternativa C
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DIAGRAMA DE IDEIAS
ARITMÉTICA
DECOMPOSIÇÃO
M.M.C. (10,15) = 30
M.D.C. (10,15) = 5
NÚMEROS PRIMOS M.M.C.
MÍNIMO 
MÚLTIPLO COMUM
M.D.C.
MÁXIMO 
DIVISOR COMUM
EX: 20 
10 
5
2
2
5
22 · 5 2 · 3 · 5 = 30
EX: 10,15
 5, 15
5, 5
1, 1
2
3
5
EX: 10,15
 5, 15
5, 5
1, 1
2
3
5
DIVISORES
MATEMÁTICA e suas tecnologias  53



 V
O
LU
M
E 
2
1. Porcentagem
A porcentagem é uma forma utilizada para indicar uma 
fração de denominador 100 ou qualquer representação 
equivalente a ela.
Exemplos:
 § 50% é o mesmo que 50 ___ 
100
 ou 1 __ 
2
 ou 0,50 ou 0,5 (metade);
 § 75% é o mesmo que 75 ___ 
100
 ou 3 __ 
4
 ou 0,75;
 § 9% é o mesmo que 9 ___ 
100
 ou 0,09;
 § 0,4 é o mesmo que 0,40 ou 40 ___ 
100
 ou 40%;
 § 6/40 é o mesmo que 3 ___ 
20
 ou 15 ___ 
100
 ou 15%;
 § 8 pessoas em grupo de 10 correspondem a 8 ___ 
10
 ou 80 ___ 
100
 
ou 80% do grupo;
 § Num total de R$ 300,00, a quantia de R$ 21,00 equi-
vale a 21 ___ 
300
 ou 7 ___ 
100
 ou 7% do total.
Algumas porcentagens usadas com maior frequência de-
vem ter seus valores bem conhecidos. Observe e procure 
justificar cada uma delas:
 § 100%: (total)
 § 20%: 1 __ 
5
 ou 0,2
 § 25%: 1 __ 
4
 ou 0,25 (quarta parte)
 § 75%: 3 __ 
4
 ou 0,75
 § 1%: 1 ___ 
100
 ou 0,01
 § 50%: 1 __ 
2
 ou 0,5 (metade)
 § 200%: o dobro
 § 10%: 1 ___ 
10
 ou 0,1
1.1. Porcentagem de uma quantia
Considere uma mercadoria que custa R$ 450,00 e está 
sendo vendida com desconto de 8%. Observe como 
calcular de quanto é o desconto e por quanto ela está 
sendo vendida.
Deve-se calcular 8% ( 8 ___ 
100
 = 2 ___ 
25
 ) de 450, ou seja:
 2 ___ 
25
 de 450 = 2 ___ 
25
 · 450 = 36
450 – 36 = 414
Assim, o desconto é de R$ 36,00, e a mercadoria está sen-
do vendida por R$ 414,00.
Na sentença 8% de R$ 450,00 = R$ 36,00, tem-se:
8%: porcentagem
R$ 450,00: total
R$ 36,00: valor correspondente a 8%
De modo geral, as situações com porcentagem são resol-
vidas usando-se os três problemas exemplificados a seguir. 
Cada um deles pode ser resolvido de diversas maneiras.
Busque compreender cada uma das situações.
 § Qual o valor de 45% de 60?
45% de 60 = x
Método 1: utilizando a forma fracionária da taxa:
45% = 45 ___ 
100
 = 9 ___ 
20
 
 9 ___ 
20
 · 60 = x ä x = 27
Método 2: utilizando a forma decimal da taxa:
45% = 0,45
0,45 · 60 = x ä x = 27
Método 3: utilizando a proporção em que 60 corresponde 
a 100% (inteiro), e a parte x corresponde a 45%:
 60 ___ 
100
 = x ___ 
45
 ä 100x = 2.700 ä x = 27
Assim, 45% de 60 é 27.
PORCENTAGEM
COMPETÊNCIA(s)
5 e 6
HABILIDADE(s)
21, 23 e 25
MT
AULAS 
13 E 14
54  MATEMÁTICA e suas tecnologias



 V
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2
 § 80% de quanto resulta em 28?
80% de x = 28
Método 1: utilizando a forma fracionária da taxa:
80% = 80 ___ 
100
 = 4 __ 
5
 
4/5 · x = 28 ä x = 5 · 28 _____ 
4
 = 35
Método 2: utilizando a forma decimal da taxa:
80% = 0,80 = 0,8
0,8 · x = 28 ä x = 28 ___ 
0,8
 ä x = 35
Método 3: utilizando a proporção na qual x corresponde 
a 100%, e a parte 28 corresponde a 80%:
 x ___ 
100
 = 28 ___ 
80
 ä 80 ∙ x = 2800 ä x = 35
Assim, 80% de 35 é 28.
 § A quantia R$ 36,00 corresponde a quantos por 
cento de R$ 120,00?
x% de 120 = 36
Método 1: utilizandoa forma fracionária da taxa:
x · 120 = 36 ä x = 36 ___ 
120
 = 6 ___ 
20
 = 30 ___ 
100
 = 0,3%
Método 2: utilizando a forma decimal da taxa:
x · 120 = 36 ä x = 36 ___ 
120
 = 0,3 = 0,3%
Método 3: utilizando a proporção em que 120 correspon-
de a 100%, e 36 corresponde a x%:
 120 ___ 
100
 = 36 ___ x ä 120x = 3600 ä x = 30%
Assim, 30% de 120 é 36.
Nota: Para calcular 10% ( 1 ___ 
10
 ) ou 1% ( 1 ___ 
100
 ) de um núme-
ro, basta andar com a vírgula uma ou duas casas para a 
esquerda, respectivamente.
Exemplos
 § 10% de 450 = 45,0 ou 45
 § 10% de R$ 38,00 = R$ 3,80
 § 1% de 450 = 4,50 ou 4,5
 § 1% de R$ 20.000,00 = R$ 200,00
Aplicação do conteúdo
1. Uma mistura de combustível possui 10 litros de álco-
ol e 40 litros de gasolina. Pergunta-se:
a) Qual a porcentagem de álcool em relação à gasolina?
b) Qual a porcentagem de álcool em relação à mistura?
c) Quantos litros de gasolina devemos adicionar para 
que o álcool represente 10% da mistura?
Resolução:
a) A porcentagem de álcool em relação à gasolina é 
dada pela razão entre as duas grandezas:
 10 ___ 
40
 = 0,25 ou 25%
b) A porcentagem de álcool em relação à mistura é 
dada pela razão entre a quantidade de álcool e o to-
tal da mistura:
 10 _______ 
10 + 40
 = 10 ___ 
50
 = 0,20 ou 20%
c) Como a razão entre a quantidade de álcool e o 
total representa a porcentagem de álcool na mistura, 
tem-se:
 10 _____ 
10 + x
 = 0,10
Em que x representa a quantidade de gasolina desejada. Re-
solvendo a equação, tem-se:
10 = 0,10(10 + x)
10 = 1 + 0,10x
9 = 0,10x
x = 9 ____ 
0,10
 = 90 litros
Assim, como já havia 40 litros de gasolina, deve-se adicionar 
90 – 40 = 50 litros de gasolina para que o álcool represente 
10% da mistura.
VIVENCIANDO
Como calcular quanto vale um desconto ao entrar em uma loja e escolher uma peça que está em promoção? A mate-
mática está em todos os lugares, e a porcentagem é um tipo de operação utilizada o tempo todo. Se você for calcular o 
aumento da gasolina, os 10% do garçom em um restaurante ou o desconto de impostos, tenha certeza de que usará a 
porcentagem. Além disso, vários assuntos ligados a Matemática financeira exigem o uso de porcentagem. Por exemplo: 
cálculo de juros em compras financiadas, financiamentos de carros, casas, apartamentos, empréstimos bancários, etc.
MATEMÁTICA e suas tecnologias  55



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2
2. No racionamento de energia elétrica, a cota destina-
da a uma determinada cidade é distribuída entre resi-
dências, comércio e indústria.
Assim: 20% da cota são destinados ao uso residencial; 
25% da cota restante são destinados ao uso comercial; 
144 milhões de kWh (os restantes) são destinados ao uso 
industrial.
a) 144 b) 173 c) 180 d) 216 e) 240
Resolução:
A porcentagem destinada ao uso residencial é de 20% em 
relação ao total. O restante (80%) é dividido entre o co-
mércio e a indústria. Como 25% do retante é destinado ao 
comércio (25% de 80%), logo 75% de 80% é destinado 
a indústria.
Pind = 75% ∙ 80% ä 144 = 0,60 ä 
Etotal = 144 = 240 milhões de kWh
Alternativa E
3. (FGV) O Sr. Oliveira aplicou R$ 20.000,00 numa cader-
neta de poupança e R$ 30.000,00 num fundo de ações 
por 1 ano. Neste período, a caderneta de poupança ren-
deu 8% e o fundo de ações apenas 2%.
a) Qual a taxa de rendimento global do Sr. Oliveira, 
no período?
b) Quanto ele deveria ter aplicado no fundo de ações 
(mantida a aplicação de R$ 20.000,00 na caderneta de 
poupança) para que sua taxa global fosse 6% ao ano?
Resolução:
a) O total do Sr. Oliveira é de R$ 50.000,00. O rendimen-
to na caderneta de poupança e no fundos de ações são:
Ppoupança = 8% ä X _____ 
20000
 = 8 ___ 
100
 ä X = R$ 1.600,00
Pações = 2% ä Y _____ 
20000
 = 2 ___ 
100
 ä Y = R$ 600,00
O rendimento total é de R$ 2.200,00. Assim a porcen-
tagem global será:
Pglobal = 2200 ∙ 100 = 4,4%
b) O valor otal da aplicalção agora são os R$ 20.000,00 
mais um valor X. O valor de rendimento com o fundo de 
ações será de 0,02x. Sendo a porcentagem global 6% 
ao ano, temos:
Ppoupança = 6% ä 1.600 + 0,02x = 0,06 ä 
ä 1200 + 0,06x = 1600 + 0,02x ä 0,04x = 400
ä x = R$ 10.000,00
pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ra-
tios-rates#pre-algebra-intro-percents
multimídia: site
56  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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2
1. Variações percentuais
1.1. Fator de atualização
O fator de atualização (f) é a razão entre dois valores de 
uma grandeza em tempos diferentes (passado, presente ou 
futuro). Trata-se da ferramenta mais indicada para quem 
deseja trabalhar com matemática financeira, seja na prepa-
ração para os vestibulares, seja na vida cotidiana.
Só existem três resultados possíveis na divisão de dois va-
lores quaisquer. Ou resulta 1, ou maior que 1 ou menor que 
1. Quando o resultado da divisão é 1, significa que os dois 
valores são iguais, ou seja, um valor é 100% do outro. Por 
isso, diz-se que f = 1 é fator neutro.
No caso da divisão resultar em número maior que 1, 
como A __ 
B
 = 1,05, pode-se entender o resultado de duas ma-
neiras diferentes:
1. A é 5% maior que B ou
2. A é 105% de B (portanto 5% maior).
As duas interpretações são corretas e seu uso depende 
do contexto. 
No caso de a divisão resultar em número menor que 1, 
como A __ 
B
 = 0,90, o resultado também pode ser entendi-
do de duas formas diferentes:
3. A é 10% menor que B ou
4. A é 90% de B (portanto 10% menor).
Também aqui a escolha sobre qual interpretação é melhor 
depende do contexto.
Na prática, se a opção for pela primeira interpretação, é 
necessário aprender a obter a taxa percentual a partir do 
valor do fator de atualização.
 § Se f > 1, f = 1 + i; portanto a taxa é i = f – 1, em nú-
meros decimais.
 § Se f 1 significa aumento (ou acréscimo de valor), e 
f 1 é aumento, ganho, acréscimo
fvalores originais)
Assim: facumulado = 0, 80 f2 = 1 ä f2 = 1 ___ 
0,8
 = 1,25
Como f2 > 1, então: f2 = 1 + i = 1,25 ä i = 0,25 = 25%
Alternativa B
3. A tabela a seguir mostra a variação do preço do dólar 
em uma semana qualquer, em termos percentuais. No 
valor acumulado desses 5 dias, o que aconteceu com o 
preço do dólar? (Subiu? Caiu? Quantos por cento?)
Resolução:
Dia Variação
Segunda-feira –2,35%
Terça-feira 1,37%
Quarta-feira 1,05%
Quinta-feira –0,13%
Sexta-feira 0,21%
É preciso compor as cinco variações para poder emitir um julga-
mento. Para isso, são necessários os fatores de atualização de 
cada variação:
f1 = 1 – 0,0235 = 0,9765
f2 = 1 + 0,0137 = 1,0137
f3 = 1 + 0,0105 = 1,0105
f4 = 1 – 0,0013 = 0,9987
f5 = 1 + 0,0021 = 1,0021
Assim:
facumulado = f1 · f2 · f3 · f4 · f5 =
= 0,9765 . 1,0137 . 1,0105 . 0,9987 . 1,0021 = 1,00107
Como o fator acumulado > 1, então:
f = 1 + i ä i = 1,00107 – 1 = 0,00107 = 0,107%
Ou seja, o dólar teve uma pequena alta de 0,107%.
4. O preço de uma camisa passou de R$ 50,00 para R$ 
59,00. Qual foi o aumento percentual desse preço?
Resolução:
Preço velho: 50,00
Preço novo: 59,00
f = 
preço novo
 _________ 
preço velho
 = 
59,0
 ____ 
50,0
 = 1,18
Como f > 1, então:
f = 1 + i = 1,18 ä i = 0,18 = 18%
Assim, o aumento percentual foi de 18%.
2.2. Resolução de problemas 
com porcentagem
Problemas que envolvem porcentagem estão a todo mo-
mento presentes no dia a dia. Com os conceitos trabalha-
dos até agora, é possível resolver uma série deles.
Aplicação do conteúdo
1. Uma geladeira, cujo preço à vista é de R$ 680,00, 
tem um acréscimo de 5% no seu preço se for paga em 
3 prestações iguais. Qual é o valor de cada prestação?
Resolução:
1.º modo:
5% de 680 = 0,05 · 680 = R$ 34 (acréscimo)
680 + 34 = R$ 714 (preço em 3 prestações iguais)
714 : 3 = R$ 238 (valor de cada prestação)
A porcentagem é muito útil no mercado financeiro, como no momento de obter um desconto, calcular o lucro na 
venda de um produto ou medir as taxas de juros. Na Engenharia, por exemplo, a porcentagem pode ser utilizada para 
definir o quanto já foi construído de um prédio. Em Administração, ela pode ser aplicada para medir as quotas de 
participação dos sócios em um negócio. No campo da Estatística, possui participação ativa na apresentação de dados 
comparativos e organizacionais, proporcionando, assim, uma imensa utilidade em diversas práticas do cotidiano.
58  MATEMÁTICA e suas tecnologias


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2
2.º modo:
t = 5% = 0,05 =
f = 1 + 0,05 = 1,05
680 · 1,05 = 714
714 : 3 = R$ 238
Assim, o valor de cada prestação é de R$ 238,00.
2. O salário de um trabalhador que era de R$ 840,00 
passou a ser R$ 966,00. Qual foi a porcentagem de 
aumento?
Resolução:
1.º modo:
966 – 840 = 126 (aumento em reais)
?% de 840 = 126
 126 ___ 
840
 = 18 ___ 
120
 = 3 ___ 
20
 = 15 ___ 
100
 ä 15% aumento em porcentagem
2.º modo:
?% de 840 = 966 (salário anterior mais aumento)
 966 ___ 
840
 = 138 ___ 
120
 = 23 ___ 
20
 = 115 ___ 
100
 ä115% ä 100% + 15% aumento
3.º modo:
f = 966/840 = 1,15
f > 1 é aumento
f = 1 + i = 1,15 ä i = 0,15 = 15%
Assim, a porcentagem de aumento foi de 15%.
3. Se, ao aumentarmos o comprimento dos lados de um 
quadrado na mesma proporção, obtivermos um aumen-
to de 69% em sua área, a porcentagem do aumento no 
comprimento de cada lado do quadrado deverá ser:
a) 27,0% c) 31,0% 
b) 30,0% d) 34,5%
Resolução:
Considere ℓ e L, respectivamente, o lado do quadrado original e o 
lado do quadrado aumentado. Desse modo, tem-se:
L2 = 1,69 ∙ ℓ2 → L = 1,3ℓ
Ou seja, o percentual de aumento no comprimento de cada lado 
do quadrado deverá ser
 
1,3ℓ - ℓ
 ______ 
ℓ
 ∙ 100% = 30%
Alternativa B
4. Considere uma mercadoria que teve seu preço ele-
vado de x reais para y reais. Para saber o percentual de 
aumento, um cliente dividiu y por x obtendo quociente 
igual a 2,08 e resto igual a zero.
Em relação ao valor de x, o aumento percentual é 
equivalente a:
a) 10,8% c) 108,0%
b) 20,8% d) 208,0% 
Resolução:
Sabendo que y = 2,08 ∙ x, tem-se que o resultado pedido é igual a:
 
2,08 ∙ x – x
 _________ x ∙ 100% = 108,0%
Alternativa C
5. O professor Cláudio prestou um serviço de consul-
toria pedagógica. Sabendo-se que sobre o valor bruto 
a receber incidiram os descontos de 11% do Instituto 
Nacional de Seguridade Nacional (INSS) e 7,5% do Im-
posto de Renda Pessoa Física (IRPF), e que o valor des-
contado de INSS foi de R$ 105,00 a mais que o IRPF, 
qual o valor líquido recebido por Cláudio?
a) 2.295 reais. d) 2.555 reais. 
b) 2.445 reais. e) 2.895 reais. 
c) 2.505 reais. 
Resolução:
Seja x o valor bruto do salário do professor Cláudio. Tem-se que:
0,11 ∙ x = 0,075 ∙ x + 105 ⇔ x = R$ 3.000,00.
Portanto, o valor líquido recebido por ele foi 
(1 – 0,185) ∙ 3000 = R$ 2.445,00.
Alternativa B
6. Analise as afirmativas abaixo.
I. Uma pessoa perdeu 30% de seu peso em um mês. No 
mês seguinte, aumentou seu peso em 40%. Ao final des-
ses dois meses, o peso inicial dessa pessoa diminuiu 2%. 
II. Quando num supermercado tem-se a promoção “pa-
gue 3 produtos e leve 4”, o desconto concedido é de 30%.
III. Há alguns meses, uma certa casa podia ser comprada 
por 25% do seu valor atual. O aumento no valor da casa 
nesse período foi de 75%.
Entre as afirmativas acima, é(são) FALSA(S) 
a) Apenas a II. c) Apenas II e III. 
b) Apenas I e III. d) I, II e III. 
Resolução:
I. Verdadeiro. Seja x o peso inicial da pessoa, pode-se escrever:
1.º mês → x – 0,3x = 0,7x
2.º mês → 0,7x + 0,4 ∙ (0,7x) = 0,98x
Ou seja, ao final do segundo mês, essa pessoa possuía 98% do 
peso inicial (2% a menos).
II. Falsa. Considerando como x o preço de cada produto e y o 
desconto a ser concedido sobre os 4 produtos comprados, pode-
-se equacionar:
4x ∙ (1 - y) = 3x ä 4 − 4yä = 3 ä y = 0,25 ä y = 25% 
III. Falsa. Considerando como x o valor da casa atualmente e 
y o aumento que a mesma sofreu nos últimos meses, pode-se 
equacionar:
0,25x ∙ (1 + y) = x → 0,25 + 0,25y = 1 ä
ä 0,25y = 0,75 ä y = 3 ä y = 300% 
Alternativa C
MATEMÁTICA e suas tecnologias  59


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2
ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
HABILIDADE 25
Resolver problemas com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
A habilidade 25 exige do aluno a capacidade de resolver uma situação proposta a partir da análise de gráficos 
e tabelas.
MODELO 1
(Enem) Quanto tempo você fica conectado à internet? Para responder a essa pergunta foi criado um minia-
plicativo de computador que roda na área de trabalho, para gerar automaticamente um gráfico de setores, 
mapeando o tempo que uma pessoa acessa cinco sites visitados. Em um computador, foi observado que houve 
um aumento significativo do tempo de acesso da sexta-feira para o sábado, nos cinco sites mais acessados. A 
seguir, temos os dados do miniaplicativo para esses dias.
Analisando os gráficos do computador, a maior taxa de aumento no tempo de acesso, da sexta-feira para o 
sábado, foi no site
a) X. b) Y. c) Z. d) W. e) U.
ANÁLISE EXPOSITIVA
A questão exige que o aluno seja capaz de interpretar e analisar os dados fornecidos pelo gráfico 
para chegar à resposta correta.
Considere as taxas de aumento de cada um dos sites:
X: 9/12 = 0,75
Y: 21/30 = 0,7
Z: 1/10 = 0,1
W: 19/38 = 0,5
U: 16/40 = 0,4
A maior taxa de aumento é a do site X.
RESPOSTA Alternativa A
60  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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2
DIAGRAMA DE IDEIAS
PORCENTAGEM DE 
UMA QUANTIA
RAZÃO COM 
DENOMINADOR 100
VARIAÇÕES 
PERCENTUAIS
PORCENTAGEM
EX: 
15% DE 200
15 · 200 = 15 · 2 = 30
F > 1 → AUMENTO, GANHO, ACRÉSCIMO
Fapresenta muitas questões sobre 
geometria plana. Os temas deste caderno 
são essenciais para esse tipo de prova. Ali-
nhar os conceitos de trigonometria com os 
deste livro é de grande proveito. 
No vestibular da FUVEST haverá questões 
sobre todos as aulas deste caderno. A pro-
va, por ser de elevado nível, não deixará 
a geometria plana de lado e com certeza 
exigirá os conceitos apresentados neste 
caderno. 
A UNICAMP exigirá de seu candidato a 
resolução de questões com todos os temas 
deste livro e até mesmo as relações trigo-
nométricas para áreas da Física.
As aulas deste caderno devem ser analisa-
das e estudadas para a prova da UNIFESP. 
A VUNESP apresenta os temas deste ca-
derno com um grau mediano e até mesmo 
elevado. Questões que exigem uma inter-
pretação dos dados também não faltarão 
em suas fases.
A prova da ALBERT EINSTEIN procura apre-
sentar a geometria plana com questões de 
grande interpretação dos dados. 
A prova da FMABC traz a geometria plana 
com grande incidência dos temas aborda-
dos neste livro. 
A PUC de Campinas aborda em sua prova 
a geometria plana, e os temas abordados 
neste livro são de extrema importância 
para o candidato realizar seus problemas. 
A Santa Casa mostra um vestibular com 
uma incidência média de geometria pla-
na, porém, quando há uma questão, os 
temas deste livro são os mais exigidos do 
candidato. 
A parte da trigonometria alinhada com a 
geometria plana levará o candidato a ter 
um grande resultado no vestibular da Es-
tadual de Londrina. 
A Federal do Paraná exige do seu can-
didato a parte da geometria plana com 
elevado grau em suas questões. Visto isso, 
os temas deste livro são necessários para 
esse vestibular. 
A faculdade de Ciências Médicas de Minas 
Gerais exigirá de seu candidato uma boa 
análise da geometria plana com questões 
medianas. Os temas das aulas deste livro 
tem alta incidência em seu vestibular. 
A UERJ apresenta questões tanto no seu 
exame Discursivo como no exame de Qua-
lificação sobre geometria plana. O aluno 
deve se atentar nas questões para ter um 
bom aproveitamento. 
A UNIGRANRIO, diferente dos outros ves-
tibulares, leva ao seu candidato uma prova 
muito objetiva e por isso o tema da geo-
metria plana não tem grande incidência em 
sua prova. Mesmo assim, os temas deste 
caderno, quando abordados, são de alta 
complexidade.
A Faculdade Souza Marques aborda os 
temas da geometria plana em sua prova. 
Assim, as aulas deste livro são necessárias 
para uma boa aplicação do aluno em seu 
vestibular. 
MATEMÁTICA e suas tecnologias  63



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1. Semelhança de triângulos
A seguir, será analisado se os triângulos ABC e A’B’C’ são 
semelhantes:
De acordo com a definição de semelhança, dois polígonos 
são semelhantes quando seus lados correspondentes são 
proporcionais e os ângulos correspondentes congruentes.
Nos triângulos acima é possível observar que:
 § 
 ̂ 
 A ≡ 
 ̂ 
 A’ 
 § 
 ̂ 
 B ≡ 
 ̂ 
 B’ 
 § 
 ̂ 
 C ≡ 
 ̂ 
 C’ 
E também:
 AB ____ 
A’B’
 = BC ____ 
B’C’
 = CA ____ 
C’A’
 = 7 __ 
5
 —— razão de semelhança
Aplicando a definição geral de semelhança dos polígonos, 
pode-se dizer que:
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, seus 
ângulos correspondentes são congruentes e os lados 
correspondentes são proporcionais.
Nesse caso, a razão entre os lados correspondentes tam-
bém é denominada razão de semelhança.
Aplicação do conteúdo
1. Os triângulos abaixo são semelhantes?
Note que os ângulos correspondentes são congruentes, 
 
^ 
 A ≡ 
 ̂ 
 D , 
 ̂ 
 B ≡ 
 ̂ 
 E e 
 ̂ 
 C ≡ 
 ̂ 
 F 
Calculando a proporção entre os lados correspondentes, 
tem-se:
 AB ___ 
DE
 = 12 ___ 
4
 = 3
 BC ___ 
EF
 = 18 ___ 
6
 = 3
 AC ___ 
DF
 = 9 __ 
3
 = 3
razão de semelhança
Assim, como os ângulos correspondentes são congruentes 
e os lados correspondentes são proporcionais, é possível 
afirmar que os triângulos ABC e DEF são semelhantes.
1.1. Teorema fundamental da 
semelhança de triângulos
Caso uma reta seja paralela a um dos lados de um triân-
gulo e intercepte os outros dois lados em pontos distintos, 
então o triângulo que ela determina com esses lados será 
semelhante ao primeiro.
Supondo que a reta r é paralela ao lado 

 AB (r // 

 AB ), e, 
portanto, 

 DE // 

 AB , será demonstrado que DABC ~ DDEC.
Como 

 DE // 

 AB , então: CD ___ 
CA
 = CE ___ 
CB
 (I)
Tem-se ainda:
 § A 
 ̂ 
 C B ≡ D 
 ̂ 
 C E (ângulo comum aos dois triângulos)
 § B 
 ̂ 
 A C ≡ E 
 ̂ 
 D C (ângulos correspondentes em retas paralelas)
 § A 
 ̂ 
 B C ≡ D 
 ̂ 
 E C (ângulos correspondentes em retas paralelas)
(II)
SEMELHANÇA 
DE 
TRIÂNGULOS
COMPETÊNCIA(s)
2 e 3
HABILIDADE(s)
6, 7, 8, 9, 12 e 14
MT
AULAS 
9 E 10
64  MATEMÁTICA e suas tecnologias


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1.2. Casos de semelhança
Nem sempre é necessário conhecer a medida de todos os 
lados e de todos os ângulos de dois triângulos para verifi-
car se eles são semelhantes.
Observe os três casos de semelhança de triângulos.
1.º Caso: Ângulo – Ângulo (AA)
São conhecidos dois ângulos dos triângulos em que:
C 
 ̂ 
 A B ≡ C’ 
 ̂ 
 A ‘B’ e A 
 ̂ 
 B C ≡ A’ 
 ̂ 
 B ‘C’
DABC ~ DA’B’C’
Se dois triângulos possuem dois ângulos correspondentes 
congruentes, então esses triângulos são semelhantes.
2.º Caso: Lado – Ângulo – Lado (LAL)
São conhecidos dois lados dos triângulos e o ângulo for-
mado por eles, em que: AB ____ 
A’B’
 = CA ____ 
C’A’
 e C 
 ̂ 
 A B ≡ C’ 
 ̂ 
 A ‘B’
DABC ~ DA’B’C’
Demonstração:
No DABC, construímos 

 DE de forma que 

 AD = 

 A’B’ e 
 

 DE // 

 BC .
Se dois triângulos têm dois pares de lados correspon-
dentes proporcionais e os ângulos compreendidos por 
esses lados são congruentes, então esses triângulos são 
semelhantes.
3.º Caso: Lado – Lado – Lado (LLL)
São conhecidos os três lados dos triângulos em que: 
 AB ____ 
A’B’
 = CA ____ 
C’A’
 = BC ____ 
B’C’
 
DABC ~ DA’B’C’
Se dois triângulos possuem os três pares de lados corres-
pondentes proporcionais, então esses triângulos são seme-
lhantes.
1.3. Consequência da semelhança 
de triângulos
Observe os triângulos semelhantes ABC e A’B’C’:
Nesses triângulos, 

 AH e 

 A’H’ são as alturas, e 

 AM e 

 A’M’ 
são as medianas.
Pela semelhança de dois triângulos, pode-se verificar que, 
se a razão de semelhança entre ABC e A’B’C’ é um número 
real k, então:
 § A razão entre duas alturas correspondentes é k, ou 
seja: AH ____ 
A’H’
 = k
 § A razão entre duas medianas correspondentes é k, ou 
seja: AM ____ 
A’M’
 = k
 § A razão entre os perímetros é k. a + b + c _________ 
a’ + b’ + c’
 = k
Nota: Em um triangulo ABC qualquer, unindo os pontos 
médios dos lados 

 AB e 

 AC , resulta um segmento cuja me-
dida é a metade da medida do terceiro lado 

 BC .
MN
___
 = 1 __ 
2
 BC
__
Essa consequência é denominada base média de um 
triângulo.
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
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Aplicação do conteúdo
1. Encontre o comprimento do lado do quadrado PQRS 
na figura a seguir:
Resolução:
Denominando o ângulo P 
 ̂ 
 B S = a e P 
 ̂ 
 S B = b, tem-se que a e 
b são complementares. Como 

 SR é paralelo a 

 BC , segue que 
A 
 ̂ 
 S R = a, e, consequentemente, A 
 ̂ 
 R S = b. Da mesma forma, 
Q 
 ̂ 
 C R = b e C 
 ̂ 
 R Q = a:
Assim, os triângulos BPS e CQR são semelhantes (caso AA):
 x __ 
2
 = 3 __ x ⇒ x2 = 6 ⇒ x = √
__
 6 
2. Numa festa junina, além da tradicional brincadeira 
de roubar bandeira no alto do pau de sebo, quem des-
cobrisse a sua altura ganharia um prêmio. O ganhador 
do desafio fincou, paralelamente a esse mastro, um 
bastão de 1 m. Medindo-se as sombras projetadas no 
chão pelo bastão e pelo pau de sebo, ele encontrou, 
respectivamente, 25 dm e 125 dm. Portanto,o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Co
m
pe
tê
n
Ci
a
 3
Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Co
m
pe
tê
n
Ci
a
 4 Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Co
m
pe
tê
n
Ci
a
 5
Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Co
m
pe
tê
n
Ci
a
 6 Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extra-
polação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Co
m
pe
tê
n
Ci
a
 7
Compreender o caráter aleatório e não-determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determi-
nação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados (não 
em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
MATRIZ DE REFERÊNCIA DO ENEM 
LIVRO 
TEÓRICO
2 ÁLGEBRA
MATEMÁTICA
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INCIDÊNCIA DO TEMA NAS PRINCIPAIS PROVAS
A prova do Enem tem alta incidência em 
questões de função de primeiro grau com 
questões mais medianas ou até mesmo 
de grau elevado. O texto sempre deve ser 
analisado para uma boa interpretação da 
questão. Saber as relações e definições 
de uma função torna-se básico 
para essa prova. 
No vestibular da FUVEST são encontradas 
questões de inequações, relações de fun-
ção e função de primeiro grau. Além disso, 
esses temas são essenciais para a continua-
ção da matéria até chegar em pontos mais 
avançados, como Polinômios. 
Operações com intervalos e relações com 
função são temas importantes para a prova 
da Unicamp, pois eles podem ser aborda-
dos inicialmente na questão para serem 
aprofundados dentro dela. Função de pri-
meiro grau tem alta incidência também. 
As aulas deste caderno devem ser analisa-
das e estudadas para a prova da UNIFESP. 
Por apresentar questões mais elaboradas 
nas grandes áreas da Matemática, a prova 
pode exigir do candidato conceitos mais 
específicos.
A VUNESP apresentou inúmeras questões 
de funções nas suas últimas provas, tanto 
na primeira quanto na segunda fase. 
A prova do Albert Einstein apresenta ques-
tões com os temas das aulas do caderno 
1 como base. Em seu desenvolvimento, o 
aluno terá que ser eficiente ao saber do 
domínio e imagem de uma função e como 
resolver uma raiz de funções do primeiro 
grau. 
A FMABC apresenta questões que exigem 
uma boa interpretação de texto na parte 
de função de primeiro grau. Intervalos dos 
reais também será exigido ao final de uma 
questão de inequações do 1.º ou 2.º grau. 
A PUC de Campinas apresenta alta inci-
dência de questões de inequação do 1.º 
e 2.º grau, mesclando as duas em divisões 
ou multiplicações. Saber realizar o gráfico 
de uma função do primeiro grau e ler suas 
incógnitas também é essencial. 
A prova da Santa Casa possui questões 
de elevado grau na matemática. As aulas 
deste caderno devem ser estudadas com 
excelência para um bom aproveitamento 
nessa prova. 
A prova de Londrina apresenta questões 
bem elaboradas nas áreas da Aritmética. 
Exercícios com inequação e função de 
primeiro grau não faltarão em sua prova. 
A federal do Paraná apresenta uma prova 
de Matemática muito bem elaborada, e 
as aulas deste caderno são totalmente 
necessárias para a resolução das questões. 
Inequações e função do primeiro grau têm 
alta incidência em seu vestibular. 
A Faculdade de Ciências Médicas apresen-
ta uma prova com poucas questões, porém 
abordando vários temas da matemática 
dentro delas. O aluno deve estudar detida-
mente as aulas deste livro para alcançar um 
resultado satisfatório.
A UERJ vai aproveitar a operação de inter-
valos em alguma de suas questões; além 
disso possui elevada recorrência de ques-
tões de função de primeiro grau. 
A UNIGRANRIO trará uma prova de Mate-
mática diferente da prova do Enem, com 
questões de pouco texto e mais objetivi-
dade. É fundamental saber o domínio e 
imagem de uma função. 
A Souza Marques abordará em suas ques-
tões as matérias deste caderno junto com 
outras grandes matérias da Matemática. 
Operações com intervalos reais e defini-
ções de uma função são essenciais para 
sua prova. 
MATEMÁTICA e suas tecnologias  7
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1. Introdução
Dados dois números reais a e b, com aa altura do 
pau de sebo, em metros, é 
a) 5,0. b) 5,5. c) 6,0. d) 6,5.
Resolução:
Sabendo que a altura é proporcional ao comprimento da sombra 
projetada, segue-se que a altura h do pau de sebo é dada por: 
 h ___ 
125
 = 1 ___ 
25
 ⇒ 25 × h = 125 ⇒ h = 5 m
Alternativa A
3. Considere a imagem abaixo, que representa o fundo 
de uma piscina em forma de triângulo isósceles com a 
parte mais profunda destacada.
O valor, em metros, da medida x é 
a) 2. b) 2,5. c) 3. d) 4. e) 6.
Resolução:
O triângulo ADE é isósceles, logo AD = 8 m.
O triângulo ABC é semelhante ao triângulo ADE, assim:
 2 __ 
8
 = x ___ 
12
 → 8x =24 ⇔ x = 3 m
Alternativa C
4. Suponha que dois navios tenham partido ao mesmo 
tempo de um mesmo porto A em direções perpendicu-
lares e a velocidades constantes. Sabe-se que a veloci-
dade do navio B é de 18 km/h e que, com 30 minutos de 
viagem, a distância que o separa do navio C é de 15 km, 
conforme mostra a figura:
A
x
y
15
B
C
raio B
raio C
Desse modo, pode-se afirmar que, com uma hora de via-
gem, a distância, em quilômetros, entre os dois navios e 
a velocidade desenvolvida pelo navio C, em quilômetros 
por hora, serão, respectivamente: 
a) 30 e 25. b) 25 e 22. c) 30 e 24. 
d) 25 e 20. e) 25 e 24.
Resolução: 
y = 18 ∙ 0,5 = 9 km
Aplicando o teorema de Pitágoras:
x2 + 92 = 152 ⇒ x2 + 81 = 225 ⇒ 
x2 =225 – 81 ⇒ x2 = 144 ⇒ x = 12 km 
Depois de uma hora de viagem, as distâncias serão dobradas; por-
tanto, a distância entre os navios B e C será de 30 km.
O navio C se locomove de 12 km a cada meia hora, isto é, sua 
velocidade é de 24 km/h.
Alternativa C
66  MATEMÁTICA e suas tecnologias

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ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
HABILIDADE 12
Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
Dentro do terceiro eixo cognitivo do Enem, a habilidade 12 exige do aluno a capacidade de resolver uma 
situação proposta com conhecimentos de geometria.
MODELO 1
(Enem) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao 
caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. 
A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é
a) 1,16. b) 3,0. c) 5,4. d) 5,6. e) 7,04.
ANÁLISE EXPOSITIVA
O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar o problema e utilizar seus conhecimentos de 
geometria básica para descobrir a resposta correta.
 
RESPOSTA Alternativa D
MATEMÁTICA e suas tecnologias  67


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1. Teorema de Pitágoras
Considere o triângulo retângulo a seguir:
a
b
c
Nesse triângulo, 

 AB é a hipotenusa e 

 BC e 

 AC são os catetos.
O teorema de Pitágoras afirma que:
Num triângulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas 
dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa.
a² + b² = c²
Um prova simples pode ser realizada utilizando o conceito 
de áreas. Observe a figura a seguir:
Na figura, é possível notar um quadrado maior de lado (a 
+ b) e um menor de lado c. A área do quadrado menor é 
dada por c², enquanto a área do quadrado maior é dada 
por (a + b)².
A parte destacada na figura representa triângu-
los retângulos, e cada uma de suas áreas é dada por 
Atriângulo = ab __ 
2
 . Se as áreas de todos os triângulos forem 
subtraídas da área do quadrado maior, o resultado será a 
área do quadrado menor:
Amenor = Amaior – 4 ∙ Atriângulo
c² = (a + b)² – 4 ⋅ ab __ 
2
 
c² = a² + 2ab + b² – 2ab
c² = a² + b²
Aplicação do conteúdo
1. Determine a medida da hipotenusa no triângulo abaixo.
Nesse caso, 

 AB e 

 AC são os catetos e 

 BC é a hipotenusa. 
Aplicando o teorema, tem-se:
a2 = 72 + 42
a2 = 49 + 16
a2 = 65
a = √
___
 65 
a ≅ 8,06
Nota: um triângulo pitagórico é um triângulo retângulo, 
em que os três lados possuem medidas inteiras. O triângulo 
pitagórico mais comum é o que possui catetos de compri-
mento 3 e 4 e hipotenusa de comprimento 5.
Na tabela a seguir é possível observar algumas medidas de 
triângulos pitagóricos (denominadas ternos pitagóricos):
Cateto Cateto Hipotenusa
3 4 5
5 12 13
7 24 25
8 15 17
9 40 41
... ... ...
Note também que, se (c, b, a) é um terno pitagórico, como 
(3, 4, 5), qualquer termo dado por (kc, kb, ka) também é 
pitagórico, para qualquer k natural, como (6, 8, 10), (9, 12, 
15), (12, 16, 20) e assim por diante.
RELAÇÕES 
MÉTRICAS NO 
TRIÂNGULO 
RETÂNGULO
COMPETÊNCIA(s)
2 e 3
HABILIDADE(s)
7, 8, 9 e 12
MT
AULAS 
11 E 12
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1.1. Segunda relação métrica
Considere os triângulos ABC e HBA, que são semelhantes 
pelo caso de semelhança AA (Ângulo-Ângulo), conforme 
verificado.
Pode-se escrever a seguinte proporção entre os la-
dos homólogos:
 AB ___ 
HB
 = 

 BC ___  
BA 
 = 

 AC ___  
HA 
 
 c __ m = a __ c = b __ 
h
 (I)
Da igualdade (I), tem-se:
 a __ c = b __ 
h
 
b  c = a  h
Num triângulo retângulo qualquer, o produto das medidas 
dos catetos é igual ao produto da medida da hipotenusa 
pela medida da altura relativa à hipotenusa.
Aplicação do conteúdo
1. Para encontrar a medida h no triângulo abaixo, é apli-
cada a segunda relação métrica.
b ⋅ c = a ⋅ h
h = b ⋅ c ____ a 
h = 4 ⋅ 3 ____ 
5
 
h = 2,4
2. Aplicando o teorema de Pitágoras e a segunda relação 
métrica, é possível encontrar as medidas b e h. Observe:
b2 + c2 = a2
b2 + 62 = 102
b2 = 100 – 36
b2 = 64
b = 8
b ⋅ c = a ⋅ h
h = b ⋅ c ____ a 
h = 8 ⋅ 6 ____ 
10
 
h = 4,8
1.2. Terceira relação métrica
Analisando ainda a proporção entre os lados homólogos 
dos triângulos semelhantes ABC e HBA:
 AB ___ 
HB
 = 

 BC ___  
BA 
 = 

 AC ___  
HA 
 
 c __ m = a __ c = b __ 
h
 
(II)
Da igualdade (II), tem-se:
 c __ m = a __ c 
c2 = a ⋅ m
Agora, considere os triângulos ABC e HAC. Como foi visto, 
esses triângulos também são semelhantes.
É possível escrever a seguinte proporção entre os la-
dos homólogos:
 AB ___ 
HA
 = 

 BC ___  
AC 
 = 

 AC ___  
HC 
 
 c __ 
h
 = a __ 
b
 = b __ n 
(III)
MATEMÁTICA e suas tecnologias  69


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2
Da igualdade (III), tem-se:
 a __ 
b
 = b __ n 
b2 = a ⋅ n
Dessa forma, esta é a terceira relação métrica:
Num triângulo retângulo qualquer, o quadrado da medi-
da de um cateto é igual ao produto da medida da hipo-
tenusa pela medida da projeção ortogonal desse cateto 
sobre a hipotenusa.
Exemplo
Encontre as medidas b e c no triângulo seguinte:
Calculando b:
b2 = a ⋅ n
b2 = 5 ⋅ 3,2
b2 = 16
b = √
___
 16 
b = 4
Calculando c:
c2 = a ⋅ m
c2 = 5 ⋅ 1,8
c2 = 9
c = √
__
 9 
c = 3
1.3. Quarta relação métrica
Considere, agora, os triângulos semelhantes HBA e HAC.
Pode-se escrever a seguinte proporção entre os lados 
homólogos:
 HB ___ 
HA
 = 

 HA ___  
HC 
 = 

 BA ___  
AC 
 
 m __ 
h
 = h __ n = c __ 
b
 
(IV)
Da igualdade (IV), segue:
 m __ 
h
 = h __ n 
h2 = m ⋅ n
Num triângulo retângulo qualquer, o quadrado da medida da 
altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas 
das projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.
Exemplo
Calcule a medida h da altura do triângulo retângulo abaixo 
usando a quarta relação métrica.
h2 = m ⋅ n
h2 = 2,5 ⋅ 7,5
h2 = 18,75
h = √
_____
 18,75 
h ≅ 4,33
2. Aplicações do teorema 
de Pitágoras
2.1. Diagonal de um quadrado
Considere um quadrado ABCD de lado ℓ e diagonal d.
Note que a diagonal 

 AC divide o quadrado ABCD em dois 
triângulos retângulos congruentes (DABC e DADC).
Aplicando o teorema de Pitágoras ao ∆ABC, tem-se:
d2 = ℓ2 + ℓ2 ⇒ d2 = 2ℓ2 ⇒ d = dXX 2ℓ² ⇒ d = ℓ dXX 2 
Então:
Em um quadradode lado ℓ, a medida da diagonal é ℓ √
__
 2 .
70  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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
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CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
2.2. Altura do triângulo equilátero
Considere um triângulo equilátero ABC de lado ℓ e altura h.
Note que a altura 

 AH divide o DABC equilátero em dois 
triângulos retângulos congruentes (DABH e DACH).
Aplicando o teorema de Pitágoras ao DACH, tem-se:
h2 + ( ℓ __ 
2
 ) ² = ℓ2 ⇒ h2 + ℓ² __ 
4
 = ℓ2 ⇒ h2 = 3ℓ² ___ 
4
 ⇒ h = dXXX 3ℓ2
 ___ 
4
 
⇒ h = ℓ dXX 3 ____ 
2
 
Então:
Em um triângulo equilátero de lado ℓ, a altura mede 
h = ℓ dXX 3 ____ 
2
 .
Aplicação do conteúdo
1. Nos triângulos retângulos mostrados, determine o 
valor de x, y, z e t.
b)
a)
9 cm
9 cm
12 cm
B
A C
t
x
t
y
y
z
x
z
3 cm
Resolução:
a) 
x = 12 cm
y = 3 √
__
 3 cm
z = 6 cm
t = 6 √
__
 3 cm
I) y2 = 9 ∙ 3 ⇒ y = √
___
 27 = √
__
 33 = √
____
 32 ∙ 3 = 3 √
__
 3 cm
II) x = 9 + 3 = 12 cm
III) z2 = 3 ∙ x ⇒ z = √
_______
 3 ∙ 12 = √
___
 36 = 6 cm
IV) t2 = 9 ∙ x ⇒ t = √
_______
 9 ∙ 12 = √
________
 32 ∙ 22 ∙ 3 = 6 √
__
 3 cm
⇒
b) 
I) x2 = (9)2 + (12)2 ⇒ x = √
________
 81 + 144 = √
____
 225 = 15 cm
II) x ∙ t = 9 ∙ 12 ⇒ 15t = 108 ⇒ t = 108 ___ 
15
 = 7,2 cm
III) (12)2 = z ∙ x ⇒ 15z = 144 ⇒ z = 144 ___ 
15
 = 9,6 cm
IV) (9)2 = y ∙ x ⇒ 15y = 81 ⇒ y = 81 ___ 
15
 = 5,4 cm
x = 15 cm
y = 5,4 cm
z = 9,6 cm
t = 7,2 cm
⇒
Descobrindo o teorema de Pitágoras – Luiz Márcio Ime-
nes e Marcelo Lellis
O livro apresenta a importância do teorema de Pitágoras 
para a ciência e o avanço tecnológico, desafiando o 
leitor a redescobri-lo e ensinando-o a prová-lo.
multimídia: livro
2. No retângulo ABCD de lado AB = 3 cm e BC = √
__
 7 cm, 
o segmento AP é perpendicular à diagonal BD. 
Quanto mede o segmento BP?
O triângulo é a figura mais simples e uma das mais importantes da Geometria. Ele é objeto de estudos desde a An-
tiguidade. Quando se trata de decomposição de vetores, é preciso lançar mão de uma ferramenta matemática muito 
importante: a Trigonometria, que tem suas bases associadas aos elementos do triângulo retângulo. 
MATEMÁTICA e suas tecnologias  71



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M
E 
2
ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
Resolução:
Pelo teorema de Pitágoras, tem-se:
BD2 = AB2 + AD2 ⇔ BD2 = 32 + ( √
__
 7 ) 2
⇒ BD = 4 cm.
HABILIDADE 12
Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
Dentro do terceiro eixo cognitivo do Enem, a habilidade 12 exige do aluno a capacidade de resolver com 
conhecimentos de geometria uma situação proposta.
MODELO 1
(Enem) Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe de cozinha usará um melão esférico com diâmetro 
medindo 10 cm, o qual servirá de suporte para espetar diversos doces. Ele irá retirar uma calota esférica do 
melão, conforme ilustra a figura, e, para garantir a estabilidade deste suporte, dificultando que o melão role 
sobre a mesa, o chefe fará o corte de modo que o raio r da seção circular de corte seja de pelo menos 3 cm. Por 
outro lado, o chefe desejará dispor da maior área possível da região em que serão afixados os doces.
Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá cortar a calota do melão numa altura h, em centímetro, igual a
a) 5 - dXXX 91 /2 b) 10 - dXXX 91 c) 1 d) 4 e) 5
ANÁLISE EXPOSITIVA
O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar o problema e utilizar seus conhecimentos 
sobre relações métricas para a sua resolução.
O triângulo OAB é um triângulo pitagórico do tipo (3, 4, 5); assim:
AO = 4
AB = r = 3
r = 5
h = r – AO = 5 – 4
h = 1
RESPOSTA Alternativa C
Assim, como o quadrado de um cateto é igual ao produto da sua 
projeção pela hipotenusa, tem-se:
AB2 = BP ∙ BD ⇔ 32 = BP ∙ 4
⇔ BP = 9 __ 
4 
 cm.
72  MATEMÁTICA e suas tecnologias


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2
DIAGRAMA DE IDEIAS
A2 = B2 + C2
TEOREMA DE 
PITÁGORAS
RELAÇÕES
O TRIÂNGULO
APLICAÇÕES
AH = BC
H2 = M · N
B2 = M · A
C2 = N · A 
A HIPOTENUSA
B E C CATETOS
H ALTURA
M PROJEÇÃO DO LADO B
N PROJEÇÃO DO LADO C
RELAÇÕES MÉTRICAS NO 
TRIÂNGULO RETÂNGULO
·
B
A
C
H
M N
·
D
L
L
·
LL
L
D2 = L2 + L2
D = L 2 
L
2 L2 = H2 +
2 ( )
H = L 3
2
d d
MATEMÁTICA e suas tecnologias  73



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1. Lei dos cossenos
Observe a figura a seguir:
h
 § No triângulo ABD, tem-se:
x = c ⋅ cos 
 ̂ 
 A 
c2 = x2 + h2
cos 
 ̂ 
 A = x _ c 
(AB)2 = (AD)2 + (BD)2
⇒
 
(1)
 § No triângulo BDC, tem-se:
(BC)2 = (BD)2 + (CD)2
a2 = h2 + (b – x)2
a2 = h2 + b2 – 2bx + x2
a2 = b2 + h2 + x2 – 2bx (2)
Substituindo (1) em (2), tem-se: 
a2 = b2 + c2 – 2 ∙ b ∙ c ∙ cos 
 ̂ 
 A 
Aplicação do conteúdo
1. Calcule o comprimento do segmento 

 BF no hexágono 
regular de lado 2 cm a seguir:
Os ângulos internos medem 120° em um hexágono regu-
lar. Pode-se, então, aplicar a lei dos cossenos no triângulo 
ABF:
BF2 = AB2 + AF2 – 2 ⋅ AB ⋅ AF ⋅ cos(B 
 ̂ 
 A F) ⇒
⇒ BF2 = 22 + 22 – 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ ( – 1 __ 
2
 ) = 8 + 4 ⇒
⇒ BF = dXXX 12 = 2 dXX 3 cm
2. Lei dos senos
Em todos os triângulos, os lados são proporcionais aos se-
nos dos ângulos opostos.
Observe a figura a seguir, onde o DACB é obtusângulo em 
 ̂ 
 C :
DOHB → sen a = 
 a __ 
2
 
 __ 
R
 = a ___ 
2R
 = sen 
 ̂ 
 A 
Admitindo que tal propriedade estende-se a todos os ân-
gulos do ∆ABC, conclui-se que:
 a ____ 
sen 
 ^ 
 A 
 = b ____ 
sen 
 ^ 
 B 
 = c ____ 
sen 
 ^ 
 C 
 = 2R
Além da conclusão de que as razões entre os lados e os 
senos dos ângulos opostos são iguais, também é possível 
observar que eles equivalem ao diâmetro (2R) da circunfe-
rência circunscrita ao triângulo.
TRIGONOMETRIA 
NUM TRIÂNGULO 
QUALQUER
COMPETÊNCIA(s)
2 e 3
HABILIDADE(s)
7, 8, 9 e 14
MT
AULAS 
13 E 14
74  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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VIVENCIANDO
Aplicação do conteúdo
1. Calcule o comprimento do segmento 

 BC e o raio da cir-
cunferência de centro O circunscrita ao triângulo da figura 
a seguir:
Em primeiro lugar, calcula-se a medida do ângulo B 
 ̂ 
 A C:
B 
 ̂ 
 A C + 75° + 45° = 180°
B 
 ̂ 
 A C = 60°
Aplicando a lei dos senos, tem-se:
 BC _______ 
sen(B 
 ̂ 
 A C)
 = AB ________ 
sen(A 
 ̂ 
 C B)
 
 BC ______ 
sen 60º
 = 4 ______ 
sen 45º
 
BC = 4 ______ 
sen 45º
 ∙ sen 60º
BC = 4 ___ 
 
√
__
 2 ___ 
2
 
 ∙ 
√
__
 3 ___ 
2
 
BC = 4 √
__
 3 ____ 
 √
__
 2 
 = 2 √
__
 6 cm
Por fim, o raio da circunferência é dado por:
 BC _______ 
sen(B 
 ̂ 
 A C)
 = 2R
 2 dXX 6 ______ 
sen 60º
 = 2R
 2 dXX 6 ____ 
 
dXX 3 ___ 
2
 
 = 4 dXX 2 = 2R
R = 2 dXX 2 cm.
2.1. Área de um DABC qualquer 
(fórmula trigonométrica)
I. Se a + θ = 180º → sen a = sen θ.
II. sen θ = h __ 
b
 → h = b ∙ sen θ = b ∙ sen a = b ∙ sen 
 ̂ 
 A .
III. Área (DABC) = c ⋅ h ____ 
2
 .
Substituindo (II) em (III), resulta:
Área (DABC) = c ⋅ bsen 
 ̂ 
 A _______ 
2
 
Admitindo que tal resultado estende-se a todos os ângulos 
do DABC, conclui-se:
área (DABC) = c ⋅ bsen 
 ̂ 
 A _______ 
2
 = a ⋅ bsen 
 ̂ 
 C ________ 
2
 = a ⋅ csen 
 ̂ 
 B _______ 
2
 
A trigonometria possui distintas aplicações nos diversos ramos da ciência e também no cotidiano. Por esse motivo, 
é considerada uma importante aliada do mundo moderno. É possível encontrar um excelente exemplo na prática de 
exercícios físicos. A caminhada é uma das atividades físicas que, quando realizada com frequência, torna-se eficaz 
na prevenção de doenças crônicas e na melhora da qualidade de vida. Imagine a seguinte situação: para a prática 
de uma caminhada, uma pessoa sai do ponto A, passa pelos pontos B e C e retorna ao ponto A, formando em A um 
ângulo de 120°. Sabe-se que a distância entre os pontos A e C é de 80 m, e a distância entre ospontos A e B é de 
70 m. Quantos quilômetros ela terá caminhado?
Pela lei dos cossenos, segue que:
x² = (80)² + (70)² – 2 ∙ 80 ∙ 70 ∙ cos 120°
x² = 6400 + 4900 – 11200 ∙ (–1/2)
x² = 11300 + 5600
x² = 16900
x = 130
Total percorrido: 130 + 80 + 70 = 280 m = 0,28 km.
MATEMÁTICA e suas tecnologias  75


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Aplicação do conteúdo
1. Um navio, deslocando-se em linha reta, visa um farol 
e obtém a leitura de 30º para o ângulo formado entre 
a sua trajetória e a linha de visada do farol. Após na-
vegar 20 milhas, através de uma nova visada ao farol, 
obtém a leitura de 75º. Determine a distância entre o 
farol e o navio no instante em que se fez a 2ª leitura.
(Use √
__
 2 ≅ 1,4)
Resolução:
Observe a situação ilustrada na figura. A distância “d” pedida 
pode ser calculada pela lei dos senos:
 d ______ 
sen30º
 = 20 ______ 
sen45º
 ⇒ d ( √
__
 2 ___ 
2
 ) = 20 ( 1 __ 
2
 ) ⇒
d √
__
 2 = 20 ⇒ d = 20 ___ 
 √
__
 2 
 = 
20 ∙ (1,4)
 _______ 
2
 = 10 ∙ (1,4) = 14 milhas.
2. Um triângulo ABC possui ângulos 
 ̂ 
 B e 
 ̂ 
 C medindo, res-
pectivamente, 45º e 30º. Determine a medida do lado 
AB, sabendo que a medida de AC é 8 cm.
Resolução:
Aplicando a lei dos senos, tem-se:
 8 ______ 
sen45º
 = x ______ 
sen30º
 ⇒ 8 ∙ ( 1 __ 
2
 ) = x ∙ 
√
__
 2 ___ 
 2 
 ⇒ 4 = x √
__
 2 ____ 
2
 ⇒
⇒ x = 8 ___ 
 √
__
 2 
 = 8 ___ 
 √
__
 2 
 ∙ 
√
__
 2 ___ 
 √
__
 2 
 ⇒ x = 8 √
__
 2 ____ 
2
 = 4 √
__
 2 cm.
pt.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-with-
general-triangles#law-of-sines
multimídia: site
3. Algebrópolis, Geometrópolis e Aritmetrópolis são ci-
dades do país Matematiquistão, localizadas conforme a 
figura abaixo. A partir dos dados fornecidos, determine 
a distância aproximada de Geometrópolis a Algebrópo-
lis. Considere √
__
 2 ≅ 1,4. 
Resolução:
Encontrando o terceiro ângulo, aplica-se a lei dos senos:
 5 ______ 
sen30º
 = x ______ 
sen135º
 ⇒ 1 __ 
2
 x = 5 ∙ 
√
__
 2 ___ 
2
 ⇒ x = 5 √
__
 2 ⇒ 
x = 5(1,4) = 7 km.
O Andar do Bêbado - Leonard Mlodinow
O Andar do Bêbado, do físico americano Leonard Mlodinow, 
explica por que as pessoas apresentam tanta dificuldade em 
aceitar o acaso e compreendê-lo. Num tom irreverente, o au-
tor costura casos emblemáticos a teorias matemáticas, citando 
pesquisas e exemplos presentes em todos os âmbitos da vida, 
do mercado financeiro aos esportes, de Hollywood à medici-
na. Mais do que uma visão geral sobre aleatoriedade, sorte e 
probabilidade, Mlodinow lembra que muitas coisas em nossas 
vidas são tão previsíveis quanto o próximo passo de um bêbado 
depois de uma noitada. 
multimídia: livro
76  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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2
ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
HABILIDADE 14
Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e 
medidas.
Dentro do terceiro eixo cognitivo do Enem, a habilidade 14 exige do aluno a capacidade de resolver uma 
situação proposta com conhecimentos de geometria.
MODELO 1
(Enem) Uma desenhista projetista deverá desenhar uma tampa de panela em forma circular. Para realizar esse dese-
nho, ela dispõe, no momento, de apenas um compasso, cujo comprimento das hastes é de 10 cm, um transferidor e 
uma folha de papel com um plano cartesiano. Para esboçar o desenho dessa tampa, ela afastou as hastes do com-
passo de forma que o ângulo formado por elas fosse de 120º. A ponta seca está representada pelo ponto C, a ponta 
do grafite está representada pelo ponto B e a cabeça do compasso está representada pelo ponto A conforme a figura.
Após concluir o desenho, ela o encaminha para o setor de produção. Ao receber o desenho com a indicação do 
raio da tampa, verificará em qual intervalo este se encontra e decidirá o tipo de material a ser utilizado na sua 
fabricação, de acordo com os dados.
Tipo de material Intervalo de valores do raio (cm)
I 0do cateto 

 AC ;
 § c: medida do cateto 

 AB ;
 § a: medida da hipotenusa 

 BC ;
 § Relação métrica: a2 = b2 + c2 (Pitágoras).
Área (∆ABC) = S = b ⋅ c ____ 
2
 = cateto ⋅ cateto ___________ 
2
 
Nesse caso, o cateto 

 AC é a base, e o cateto 

 AB é altura.
Aplicação do conteúdo
1. Calcule a área do triângulo ABC a seguir:
Em vez de calcular a altura h relativa ao lado 

 AB, é mais 
simples calcular o lado 

 CB pelo teorema de Pitágoras:
(AC
__
)² + (CB
__
)² = (AB
__
)²
(12)² + (CB
__
)² = (15)²
CB
__
 = 9
Calculando a área pelos catetos:
A = AC
__
 ⋅ CB
__
 ______ 
2
 = 12 ⋅ 9 _____ 
2
 = 54 u.a.
Agora é possível, inclusive, calcular a altura h da 
seguinte forma:
A = AB
__
 ⋅ h _____ 
2
 
No entanto, já se sabe que a área vale 54:
54 = 15h ___ 
2
 
h = 36 ___ 
5
 
1.2. Área de um triângulo equilátero
 § a: medida dos lados do ∆ABC;
 § h: medida da altura do ∆ABC → h = a ⋅ dXX 3 _____ 
2
 .
Área (DABC) = S = a² ⋅ dXX 3 ______ 
4
 
 
80  MATEMÁTICA e suas tecnologias


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2
1.3. Área de um triângulo em 
função dos três lados
 § a, b, c: medidas dos lados do triângulo ABC;
 § p: semiperímetro (metade do perímetro):
p = a + b + c ________ 
2
 
Área (∆ABC) = S = dXXXXXXXXXXXXXXXXXX p(p – a) (p – b) (p – c) 
(fórmula de Heron)
1.4. Área de um triângulo em função de 
dois lados e do ângulo formado entre eles
 § a, b, c: medidas dos lados do triângulo ABC;
 § a: medida do ângulo formado pelos lados b e c.
Área (∆ABC) = S = b ⋅ c ⋅ sena _________ 
2
 = b ⋅ c ⋅ sen 
 ̂ 
 A _________ 
2
 
Observando o triângulo ABC a seguir, é possível demons-
trar essa relação facilmente:
Prolongando o lado 

 AC e traçando uma perpendicular que 
passa pelo vértice B, tem-se a altura relativa ao lado 

 AC :
Como o triângulo BCD formado é retângulo, pode-se cal-
cular o lado BD por trigonometria:
senθ = BD
__
 ___ 
BC
__ BD
__
= senθ ∙ BC
Como 

 BD representa a altura relativa à base 

 AC , a área do 
triângulo ABC é dada por:
A = AC
__
 ⋅ DB
__
 ______ 
2
 = b ⋅ senθ ⋅ a _________ 
2
 
A = a ⋅ b ⋅ senθ _________ 
2
 
1.5. Área de um triângulo em função 
dos lados e do circunraio (raio da 
circunferência circunscrita)
A
 § O: centro do círculo;
 § P: ponto da circunferência;
 § OP = R (circunraio);
 § a, b, c: medidas dos lados do DABC.
Área (∆ABC) = S = a ⋅ b ⋅ c ______ 
4R
 
MATEMÁTICA e suas tecnologias  81


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2
pt.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geo-area-and-
perimeter/area-triangle/v/intuition-for-area-of-a-triangle
multimídia: site
O teorema do papagaio
Um filósofo numa cadeira de rodas; um menino surdo; um 
casal de gêmeos adolescentes; um papagaio que sofre de 
amnésia. Esse grupo inusitado de repente se defronta com 
uma situação ainda mais estranha quando a remessa de uma 
fabulosa bibiloteca de livros raros de matemática chega até 
sua casa, em Paris, enviada da longínqua Manaus. 
multimídia: livro
1.6. Área de um triângulo em 
função dos lados e do inraio
 § O: centro do círculo;
 § P: ponto da circunferência;
 § OP = r (inraio);
 § a, b, c: medidas dos lados do DABC;
 § p: semiperímetro.
Área (∆ABC) = S = p ⋅ r
82  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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2
ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
HABILIDADE 14
Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a 
grandezas e medidas.
Dentro do terceiro eixo cognitivo do Enem, a habilidade 14 exige do aluno a capacidade de resolver uma 
situação proposta com conhecimentos de geometria.
MODELO 1
(Enem) A distribuição de salários pagos em uma empresa pode ser analisada destacando-se a parcela do total 
da massa salarial que é paga aos 10% que recebem os maiores salários. Isso pode ser representado na forma 
de um gráfico formado por dois segmentos de reta, unidos em um ponto P, cuja abscissa tem valor igual a 90, 
como ilustrado na figura.
No eixo horizontal do gráfico tem-se o percentual de funcionários, ordenados de forma crescente pelos valores 
de seus salários, e no eixo vertical tem-se o percentual do total da massa salarial de todos os funcionários.
O Índice de Gini, que mede o grau de concentração de renda de um determinado grupo, pode ser calculado 
pela razão A/(A + B) em que A e B são as medidas das áreas indicadas no gráfico.
A empresa tem como meta tornar seu Índice de Gini igual ao do país, que é 0,3. Para tanto, precisa ajustar os 
salários de modo a alterar o percentual que representa a parcela recebida pelos 10% dos funcionários de maior 
salário em relação ao total da massa salarial.
diSponível em: www.ipea.gov.br. aceSSo em: 4 maio 2016 (adaptado)
Para atingir a meta desejada, o percentual deve ser
a) 40% b) 20% c) 60% d) 30% e) 70%
ANÁLISE EXPOSITIVA
O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar o problema utilizando cálculos de área de super-
fícies planas para a sua resolução.
Seja Yp a ordenada do ponto P, de tal forma que : B = 90 · Yp/2 + (Yp + 100)·10/2 = 50 · Yp + 500.
Assim, tem-se: A = 100·100/2 – B = 4500 – 50 Yp.
Desse modo, se a meta é 0,3, então: A / (A + B) = 0,3 ⇒ A = 1500 ⇒ 4500 – 50Yp = 1500 ⇒ Yp = 60
Portanto, a resposta é ( 100 – 60 )% = 40%
RESPOSTA Alternativa A
MATEMÁTICA e suas tecnologias  83
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DIAGRAMA DE IDEIAS
S =
a · b · c
4R
CB
A
a
bc
S = p · r
c
a
b
A
BC
RETÂNGULO
EM FUNÇÃO DOS 
TRÊS LADOS
EQUILÁTERO
EM FUNÇÃO DE DOIS
LADOS E DO ÂNGULO
FORMADO ENTRE ELES 
INSCRITO
CIRCUNS-
CRITO
EM FUNÇÃO DA 
BASE E DA ALTURA
ÁREA DE UM TRIÂNGULO
S =
b · hb
2
hb
c
C A
B
b
a
S =
b · c · sen aa
aa
2
C
A Bc
2 
S =
l 3
4
h
l
l
l
 
h =
l 3
2
ab
r r
________________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
________________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
______________________________________________________
_______________________________________________________
______________________________________________________
ANOTAÇÕES
84  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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2e diferença em intervalos também.
2. Representação geométrica 
de intervalos na reta real
É possível representar intervalos na reta real, o que facilita 
a realização de operações entre intervalos. Veja o exemplo:
a) [–1, 2]
b) [1, 4[
c) ]–2, 2[
d) [–3, +Ü[
A notação [a, b] se refere necessariamente a um conjunto 
de números reais. Assim, o intervalo [1, 2], por exemp-
lo, representa o conjunto de todos os números reais 
maiores ou iguais a 1 e menores ou iguais a 2, possuindo 
infinitos elementos.
2.1. Operações com intervalos
Aplicação do conteúdo
1. Se A = {x [ R | 2 B.
Resolução:
3 é elemento de A e também de B.
5 é elemento de B e não é elemento de A.
Os elementos de 3 até o 5, excluído esse último, pertencem a A 
e a B simultaneamente.
OPERAÇÕES 
COM 
INTERVALOS
COMPETÊNCIA(s)
5
HABILIDADE(s)
19, 20, 21 e 22
MT
AULAS 
9 E 10
8  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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2
Assim, A > B = {x [ R | 3 ≤ x B.
Não há elementos que pertençam aos dois conjuntos ao mesmo 
tempo.
A interseção é o conjunto vazio: A > B = Ø.
 § Dados A = {x [ R | –2 ≤ x ≤ 3} e 
B = {x [ R | 1 g(x): f(x) é maior que g(x) ou g(x) é menor que 
f(x);
 § f(x) > g(x): f(x) é maior ou igual a g(x) ou g(x) é menor 
ou igual a f(x);
 § f(x) 2 é dado por 
S = {x [ R | x > 1}. Note que x = 1 não torna a inequa-
ção verdadeira:
1 + 1 > 2
2 > 2 (falso)
2. A inequação x > x + 2 não possui valores reais que a 
tornam verdadeira (x + 2 sempre será maior que x para 
qualquer valor real de x), logo S = \.
Para encontrar o conjunto solução de uma inequação, é 
preciso simplificá-la de modo a obter uma inequação equi-
valente (em que o conjunto solução é o mesmo), de ma-
neira semelhante à resolução de equações. Para isso, são 
utilizadas duas propriedades das inequações:
 § P1: Dada a inequação a > b, com a [ R e b [ R, 
pode-se somar um valor c [ R em ambos os lados da 
inequação e obter uma inequação equivalente:
a > b e a + c > b + c 
possuem o mesmo conjunto solução
3. Encontrar o conjunto solução da inequação 
2x – 1 b, com a [ R e b [ R e um 
valor c [ R, segue que:
i) se c > 0, a > b e a ∙ c > b ∙ c são equivalentes;
ii) se c b e a ∙ c –15 (Note que –6 é maior que –15)
Devido à troca do sentido da desigualdade, ao serem 
multiplicados ambos os membros por um valor negativo, 
na inequação:
 1 __ x 0
ax + b > 0
ax + b 3x – x(x + 1) 
pode ser reduzida à forma ax + b > 0, sendo, assim, uma 
inequação do 1.º grau:
4x – 4 – x2 > 3x – x2 – x
4x – 4 – x2 – 3x + x2 + x > 0
2x – 4 > 0
polinômio do 1.° grau
Em algumas situações, é necessário obter os valores de x 
que satisfazem duas ou mais inequações.
Duas ou mais inequações consideradas ao mesmo tempo 
constituem o que é denominado sistema de inequações.
2x – 1 > 0
x – 5 10.
Resolução:
–2x > 10 – 4
–2x > 6
Agora, multiplicando ambos os membros da inequação por – 1 __ 
2
 
(o que é equivalente a dividir ambos os membros por –2):
 ( – 1 __ 
2
 ) (–2x) 5 __ 
6
 .
Resolução:
Reduzindo ambos os membros a um denominador comum, tem-
-se:
 6 · x ____ 
12
 – 
3 · (1 – x)
 ________ 
12
 > 2 · 5 ____ 
12
 
Multiplicando ambos os membros por 12, simplifica-se a expres-
são:
6x – 3(1 – x) > 2 · 5
6x – 3 + 3x > 10
9x > 13
x > 13 ___ 
9
 
Assim, o conjunto solução é:
 S = { x [ R | x > 13 ___ 
9
 } .
2.2. Sistemas de inequações do 1.º grau
O conjunto solução de um sistema de inequações é de-
terminado pela interseção dos conjuntos soluções de cada 
inequação do sistema.
Aplicação do conteúdo
1. Resolver a inequação –1 1
x1
(II)
2x – 3 ≤ x
2x – x ≤ 3
x ≤ 3
x3
Fazendo a interseção:
1
1
(i)
(i) > (ii)
(ii)
3
3
S = {x [ R I 19
Agora, dividindo todos os membros por 3, tem-se:
1 (ii)
(ii)
3
S = {x [ R I 1 0
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c 0
polinômio do 2.º grau polinômio do 2.º grau
2x2 – 5x 0, f(x) > 0, f(x) x² + 11x – 5
Transpondo todos os fatores para um membro da inequa-
ção, tem-se:
2x² + 6x – 1– x² – 11x + 5 > 0
x² – 5x + 4 > 0
(com a, b e c [ R e a Þ 0)
Agora, é preciso simplesmente analisar o sinal da função 
f(x) = x² – 5x + 4. Para isso, deve-se construir seu gráfico:
 § Calculando as raízes
f(x) = 0
x² – 5x + 4 = 0
x1 = 1 e x2 = 4
 § Concavidade da parábola
Como a = 1 (positivo), resulta que a parábola possui concavida-
de para cima; portanto, seu gráfico é:
y
1 4
f(x)
x
Pelo gráfico, nota-se que:
Para x 4 ⇒ f(x) > 0
Para 1 0:
y
1 4
f(x)
x
Assim, o conjunto solução é S = {x [ R | x 4}.
3.2. Sistemas de inequações do 2.º grau
Alguns sistemas de inequação apresentam uma ou mais 
inequações do 2.º grau. Para resolver esses sistemas, cada 
inequação deve ser resolvida separadamente, e, em segui-
da, encontra-se a interseção das soluções.
Aplicação do conteúdo
1. Resolver o sistema de inequações:
2x2 + 8 > x2 – 6x (I)
 x + 5 x2 – 6x ⇒ x2 + 6x + 8 > 0
 § a = 1 > 0
 § x2 + 6x + 8 = 0
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VIVENCIANDO
No dia a dia ocorre uma variação nas medidas de temperatura. Na prática, essa variação é registrada ao se indicar 
uma temperatura mínima e uma máxima, construindo, assim, a ideia de intervalo. Imagine a cidade de São Paulo 
em um dia chuvoso, com a temperatura mínima de 18º e a máxima de 24º. A temperatura será representada por 
T, e os símbolos de maior ou igual (≥) e de menor ou igual (≤) serão utilizados para escrever a frase que expresse 
essa temperatura:
18º ≤ T ≤ 24º
A inequação é mais um recurso da linguagem matemática que permite a organização de problemas, uma vez que 
as medidas sempre serão variáveis, por mais precisos que sejam os instrumentos de medição. Ao comparar duas 
quantidades, tentando concluir qual delas é maior ou menor, você estará utilizando o princípio da inequação.
D = 4
x = – 6 ± 2 ______ 
2
 
x' = − 8 ___ 
2
 = − 4
x'' = − 4 ___ 
2
 = − 2
x–4 –2
Resolvendo (II): x + 5 (ii)
(ii)
–4 –2
–5
–5
S = {x [ R | x 0
f(x) ⋅ g(x) > 0
f(x) ⋅ g(x) 0.
O sinal de cada função será analisado separadamente:
f(x) = x – 3
g(x) = 1 – x
f(x) g(x)
3 1
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Assim:
Para x > 3, f(x) é positiva, e para x 1, g(x) é negativa, e para x 3, a função f(x) é positiva, e g(x), negativa; portanto, o 
produto entre elas é negativo.
Como se quer (x – 3)(1 – x) > 0, ou seja, não se procuram os 
valores de x que anulam o produto (x – 3)(1 – x), as raízes 1 e 3 
não são incluídas no conjunto solução:
S = {x [ R | 1 0, seria 
possível também realizar o produto do primeiro membro e obter 
–x² + 4x – 3 > 0, resolver a inequação do segundo grau e obter 
o mesmo conjunto solução.
2. Encontre o conjunto solução da inequação (x2 – 2x)
(x2 – 5x + 4) 0.
 § g(x) = x² – 2x – 3
Calculando suas raízes, tem-se:
g(x) = 0
x² – 2x – 3 = 0
x1 = –1 e x2 = 3
Sua concavidade é para cima, pois a > 0.
f(x)
0 –1 3
g(x)
Quadro de sinais:
f(x)
g(x)
f(x)g(x)
–1 0 3
Assim, segue que f(x)g(x) é negativo para x 0 f(x) ___ 
g(x)
 > 0 f(x) ___ 
g(x)
grau.
f(x) = 2 – x 
Sua raiz é dada por:
f(x) = 0
2 – x = 0
x = 2
Como a = –1, a função é decrescente.
g(x) = 2x
Sua raiz é dada por:
g(x) = 0
2x = 0
x = 0
Como a = 2, a função é crescente.
g(x)
2 0
f(x)
x x
Quadro de sinais:
f(x)
g(x)
0 2
f(x)
g(x) 0 2
Atenção ao resolver inequações-quociente, pois elas possuem 
uma condição de existência. Como a inequação é do tipo 
 
f(x)
 ___ 
g(x)
 2}
A tabela abaixo ilustra os valores normais dos lipídios sanguíneos para um adulto. O perfil lipídico é o resultado de 
uma série de exames laboratoriais para determinar dosagens dos quatro tipos principais de gordura. Você consegue 
observar uma inequação na tabela?
Indicador Valores Normais
CT (colesterol total) Até 200 mg/dL
LDL (“bom” colesterol) Até 130 mg/dL
HDL (“mau” colesterol) Entre 40 e 60 mg/dL
TG (triglicérides) Até 150 mg/dL
É possível escrever 40 1.
Novamente, não é possível transpor apenas o denomina-
dor x + 1 multiplicando no segundo membro. Procede-se 
deslocando todos os termos para o mesmo membro e re-
duzindo a um mesmo denominador comum:
 x
2 – x – 7 ________ 
x + 1
 – 1 > 0
 x
2 – x – 7 ________ 
x + 1
 – 1(x + 1) _______ 
x + 1
 > 0
 x
2 – 2x – 8 _________ 
x + 1
 > 0
Agora, a inequação-quociente é resolvida na forma f(x) ___ 
g(x)
 > 0, 
em que:
f(x) = x² – 2x – 8 
g(x) = x + 1
Construindo os gráficos das funções, tem-se:
g(x)
–1
f(x)
–2 4
Quadro de sinais:
–2 –1 4
f(x)
g(x)
–2 –1 4
f(x)
g(x)
Como são procurados os valores de x que satisfazem f(x) ___ 
g(x)
 > 0, 
tem-se os intervalos [–2, –1[ e [4, +`[ que tornam a fun-
ção maior ou igual a zero. Perceba novamente que –1 não 
pertence ao conjunto solução, pois é raiz da função g(x). 
Portanto:
S = {x [ R | –2 4}
16  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
HABILIDADE 21
Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Dentro do terceiro eixo cognitivo do Enem, a habilidade 21 exige do aluno a capacidade de resolver uma situ-
ação proposta a partir de conhecimentos algébricos adquiridos.
MODELO 1
(Enem) Uma padaria vende, em média, 100 pães especiais por dia e arrecada com essas vendas, em média, 
R$ 300,00. Constatou-se que a quantidade de pães especiais vendidos diariamente aumenta, caso o preço 
seja reduzido, de acordo com a equação q = 400 – 100p, na qual q representa a quantidade de pães especiais 
vendidos diariamente e p, o seu preço em reais.
A fim de aumentar o fluxo de clientes, o gerente da padaria decidiu fazer uma promoção. Para tanto, modifi-
cará o preço do pão especial de modo que a quantidade a ser vendida diariamente seja a maior possível, sem 
diminuir a média de arrecadação diária na venda desse produto.
O preço p, em reais, do pão especial nessa promoção deverá estar no intervalo:
a) R$ 0,50 ≤ p 300
400p − 100p2 > 300
p2 − 4p + 3 0
1.º GRAU
AX + B 0
2.º GRAU
AX2 + BX + C 0
INEQUAÇÕES- 
-QUOCIENTE
MAIOR
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1. Relações
 § Produto cartesiano: dados dois conjuntos não vazios A e 
B, chama-se de produto cartesiano de A por B (indica-se: A × 
B) o conjunto constituído pelos pares ordenados, nos quais o 
primeiro elemento pertence a A, e o segundo pertence a B.
A × B = {(x, y) | x [ A e y [ B}
 § Relação: dados dois conjuntos A e B, denomina-se re-
lação R de A em B qualquer subconjunto de A × B.
R é relação de A em B à R , A × B.
Modelo:
Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} 
e a relação R de A em B, tal que y = 2x, x [ A e y [ B. 
Escrever os elementos dessa relação R.
Como x [ A: x = 0 ä y = 2 · 0 = 0 par (0, 0)
 x = 1 ä y = 2 · 1 = 2 par (1, 2)
 x = 2 ä y = 2 · 2 = 4 par (2, 4)
 x = 3 ä y = 2 · 3 = 6 par (3, 6)
Assim: R = {(0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6)}.
É possível representar essa relação por meio de um diagra-
ma ou de um sistema cartesiano ortogonal.
x
Pode-se observar que, numa relação R de A em B, o con-
junto R é formado pelos pares (x, y), em que o elemento 
x [ A é associado ao elemento y [ B mediante uma lei 
de associação.
A função pode ser definida como um tipo de relação:
 § Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação 
de A em B.
Essa relação f é uma função de A em B quando a cada 
elemento x do conjunto A está associado um e apenas 
um elemento y do conjunto B.
A definição acima afirma que, para uma relação f de A 
em B ser considerada uma função, ela necessita satis-
fazer duas condições:
 § Todo elemento de A deve estar associado a algum ele-
mento de B.
 § A um dado elemento de A deve estar associado um 
único elemento de B.
Modelos:
1. Dados os conjuntos A = {0, 5, 15} e B = {0, 5, 10, 15, 20, 25}, 
seja a relação de A em B determinada pela fórmula y = x + 5, 
com x [ A e y [ B.
Observe que:
Todos os elementos de A estão associados a elementos 
de B.
A um dado elemento de A está associado um único ele-
mento de B.
Assim, a relação de A em B expressa pela fórmula y = x + 5 
é uma função de A em B.
2. Dados os conjuntos A = {–2, 0, 2, 5} e B = {0, 2, 5, 10, 20}, 
seja a relação de A em B dada pela fórmula y = x, com x [ A 
e y [ B.
RELAÇÕES, 
FUNÇÕES E 
DEFINIÇÕES
COMPETÊNCIA(s)
3, 4, 5 e 6
HABILIDADE(s)
13, 15, 20 e 25
MT
AULAS 
13 E 14
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2
Esse exemplo não expressa uma função de A em B, uma 
vez que o elemento –2 do conjunto A não está associado a 
algum elemento de B.
3. Dados os conjuntos A = { –3, –1, 1, 3} e B = {1, 3, 6, 9}, seja a 
relação de A em B dada pela fórmula y = x2, com x [ A e y [ B.
A relação determinada pela fórmula y = x2, nesse caso, re-
presenta uma função de A em B, pois:
A todos os elementos de A estão associados elementos 
de B.
A um dado elemento de A está associado um único ele-
mento de B.
4. Dados os conjuntos A = {16, 81} e B = {–2, 2, 3}, seja a re-
lação de A em B dada pela fórmula y4 = x, com x [ A e y [ B.
Esse exemplo não representa uma função de A em B, pois 
o elemento 16 do conjunto A está associado a dois ele-
mentos (–2 e 2) do conjunto B.
Quando ocorre uma função de A em B, pode-se represen-
tá-la da seguinte forma:
f: A é B (funçãof de A em B)
x é y (a cada valor de x [ A associa-se um só valor y [ B)
As letras x e y são muito utilizadas para representar as va-
riáveis de uma função.
A letra f, em geral, dá o nome às funções, mas podemos 
ter também a função g, h, etc. Por exemplo, escreve-se 
g: A é B para designar a função g de A em B.
Se y = x + 5 é a fórmula de uma relação, pode-se escrevê-
-la também como f(x) = x + 5.
O símbolo f(x), lê-se f de x, possui o mesmo significado do y 
e pode simplificar a linguagem. Por exemplo, em vez de se 
dizer: “Qual o valor de y quando x = 2?”, simplesmente se 
utiliza: “Qual o valor de f(2)?”. Assim, f(2) indica o valor de 
y quando x é 2.
1.1. Domínio, contradomínio 
e imagem de uma função
Já foi visto que, numa função, o domínio é constituído por 
todos os valores que podem ser atribuídos à variável inde-
pendente. A imagem da função, por sua vez, é formada por 
todos os valores correspondentes da variável dependente.
Uma função f com domínio A e contradomínio B será deno-
tada por:
f: A é B (função que relaciona valores do conjunto A a 
valores do conjunto B)
x é y = f(x) (a cada elemento x [ A corresponde um 
único y [ B)
O conjunto A é denominado domínio da função, que será in-
dicado por D. O domínio da função, também chamado campo 
de definição ou campo de existência da função, serve 
para definir em qual conjunto se está trabalhando, ou seja, os 
valores possíveis para a variável x.
O conjunto B é denominado contradomínio da função, que 
será indicado por CD. É no contradomínio que estão os elemen-
tos que podem corresponder aos elementos do domínio.
Cada elemento x do domínio tem um correspondente y no 
contradomínio. Esse valor de y é chamado de imagem de x 
pela função f. O conjunto de todos os valores de y que são ima-
gens de valores de x forma o conjunto imagem da função, 
que será indicado por Im. Observe que o conjunto imagem da 
função é um subconjunto do contradomínio da mesma.
f: A é B
x é y = f(x)
D = A, CD = B, Im = {y [ CD | y é correspondente de 
algum valor de x}
Aplicação do conteúdo
1. Dados os conjuntos A = {–3, –1, 0, 2} e B = {–1, 0, 1, 2, 
3, 4}, determinar o conjunto imagem da função f: A é B 
definida por f(x) = x + 2.
f(–3) = (–3) + 2 = –1
f(–1) = (–1) + 2 = 1
f(0) = 0 + 2 = 2
f(2) = 2 + 2 = 4
Observando o diagrama:
Im = {–1, 1, 2, 4}
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VIVENCIANDO
2. Seja a função f: R é R definida por f(x) = x2 – 10x + 8. 
Calcular os valores reais de x para que se tenha f(x) = –1, 
isto é, imagem –1 pela função f dada.
f(x) = –1 ä x2 – 10x + 8 = –1
x2 – 10x + 9 = 0
D = b2 – 4ac = 100 – 36 = 64
x = 10 ± 8 ______ 
2
 
x = 9 ou x = 1
3. Dada a função f: R é R definida por f(x) = ax + b, com 
a, b [ R, calcular a e b, sabendo que f(1) = 4 e f(–1) = –2.
A lei de formação da função é f(x) = ax + b ou y = ax + b.
f(1) = 4 ä x = 1 e y = 4 ä 4 = a · 1 + b (I)
f(–1) = –2 ä x = –1 e y = –2 ä
ä –2 = a · (–1) + b (II)
De (I) e (II), tem-se: 
a + b = 4 
–a + b = –2
Resolvendo o sistema:
a = 3 e b = 1
Pelo que foi visto, uma função fica bem definida quando se sabe 
qual o seu domínio, o seu contradomínio e a regra de associação. 
Essa regra de associação (também denominada lei de formação 
ou lei de associação) geralmente é dada por uma fórmula ma-
temática.
2. O domínio de uma função
É importante conhecer o domínio de uma função, pois é 
ele que vai determinar os valores possíveis para a variável 
independente.
Em muitas funções, o domínio vem explicitado:
 § A função f: R é R, dada por f(x) = 3x2 – 1, possui 
domínio D = R.
 § A função g: Z é R, dada por g(x) = – x __ 
2
 + 5, possui 
domínio D = Z.
 § Na função h(x) = 2x + 3, com –2 ≤ x 0 ä x > 2 (II)
obServe que a raiz eStá no denominador; aSSim, além 
de não poder Ser negativo (condição da raiz), 
também não pode Ser nulo (condição do denominador).
Representando as condições (I) e (II) na reta e determinando a 
interseção dos respectivos intervalos, tem-se:
D = {x [ R | x ≥ 4}
O GeoGebra é um programa de matemática que permite 
realizar construções geométricas com a utilização de 
pontos, retas, segmentos de reta, polígonos, etc., assim 
como permite inserir funções e alterar todos esses 
objetos dinamicamente depois de a construção estar 
finalizada. Equações e coordenadas também podem ser 
diretamente inseridas.
multimídia: site
3. Função injetora
Considere os diagramas:
Os diagramas (I) e (II) são os únicos que representam fun-
ções injetoras ou injetivas.
Definição: uma função f de A em B é injetora se, a todo x1 ≠ x2 
do domínio (D), ocorrer f(x1) ≠ f(x2) no contradomínio (CD).
Resumindo: não pode haver duas flechas convergindo 
para uma mesma imagem (cada x do domínio tem seu y 
no contradomínio).
Nota: Entenda-se por imagem o elemento que “recebe” 
a flecha.
Considere os gráficos:
 § Os gráficos (I) e (II) são os únicos que representam uma 
função injetora ou injetiva.
 § Para identificar graficamente uma função injetora, são tra-
çadas retas horizontais. Se as retas tocarem em um único 
ponto em toda a extensão do domínio ou simplesmente 
não tocarem o gráfico, tem-se uma função injetora.
Conclusão: se existir reta horizontal que intercepte o grá-
fico em mais de um ponto, a função não será injetora.
3.1. Exemplos de identificação 
pela lei de formação
1. Mostrar que a função, cuja lei de formação é f(x) = 2x, 
é injetora.
x1 ≠ x2 ä 2x1 ≠ 2x2 ä f(x1) ≠ f(x2), assim, f é injetora.
2. Mostrar que f(x) = 1 __ x é injetora.
x1 ≠ x2 ä 1 __ x1
 ≠ 1 __ x2
 ä f(x1) ≠ f(x2), assim, f é injetora.
3. Mostrar que f(x) = x2 não é injetora.
Basta ver que se x1 = 2 e x2 = –2, então:
Ou seja, existem x1 e x2 diferentes, tais que f(x1) = f(x2) 
e f não é injetora.
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4. Função sobrejetora
Considere os diagramas:Os diagramas (I) e (III) são os únicos que representam fun-
ções sobrejetoras ou sobrejetivas.
Definição: uma função f de A em B é sobrejetora se o 
contradomínio (CD) for igual ao conjunto imagem (Im).
Resumindo: não podem “sobrar” elementos no contra-
domínio (CD).
Considere os gráficos:
Analisando apenas o gráfico de uma função, não é possível 
caracterizá-la como sobrejetora, pois, como já foi visto, o 
gráfico não indica o contradomínio de uma função, mas 
seu domínio e sua imagem.
Dessa forma, para qualificar uma função como sobrejetora, 
é preciso que seja fornecido o contradomínio de todas as 
3 funções dadas. Se os contradomínios forem considerados 
como o conjunto dos reais (R), então apenas o gráfico (II) 
é uma função sobrejetora.
Se o contradomínio da função (I) for considerado o intervalo 
[a, +Ü[, o contradomínio da função (II) for considerado R 
e o contradomínio da função (III) for considerado R – {a}, 
então todos os gráficos representarão funções sobrejetoras.
Lembre-se!
Toda função pode ser sobrejetora, basta que seja escol-
hido um contradomínio conveniente.
Para identificar graficamente uma função sobrejetora, tra-
ça-se uma reta horizontal em cada elemento do contrado-
mínio. Se cada uma das retas cortar o gráfico da função em 
um ou mais pontos, a função será sobrejetora.
5. Função bijetora
Considere os diagramas:
O diagrama (I) é o único que representa função bijetora.
Definição: uma função f de A em B é bijetora se for inje-
tora e sobrejetora ao mesmo tempo.
Resumindo:
1. Cada x do domínio tem seu único y no contradomínio.
2. Não “sobra” ninguém no contradomínio (CD = Im).
Importante
O diagrama (II) é de uma função que não é injetora 
(pois b e c possuem a mesma imagem) e nem sobreje-
tora (pois “sobram” os elementos i e j no CD).
O diagrama (III) não representa função por duas razões:
1. Está sobrando o elemento V no domínio.
2. O elemento x possui duas imagens: k e m.
Aplicação do conteúdo
1. Qual o domínio da função real dada por f(x) = √
________
 x2
 ________ 
–x2 + 4x
 ?
Resolução:
A condição inicial para a função é que o radicando seja não ne-
gativo, e o denominador seja diferente de zero. 
Analisando cada parte separadamente, tem-se:
I) No numerador: x2. Será zero se x = 0.
0+ + + + + + + +x2
II) Denominador: –x2 + 4x = x(–x + 4). Será nulo se x = 0 ou 
x = 4.
- - - - + + + +x
0
+ + +- x + 4 + + + +
+
- -4
+ + + - -4
-x2 + 4x - - - - 0
–x
MATEMÁTICA e suas tecnologias  23
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CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
O plano cartesiano é muito utilizado na construção de gráficos de funções, em que os valores relacionados a x 
constituem o domínio, e os valores de y, a imagem da função. Pode-se associar o plano cartesiano à localização de 
lugares e/ou fenômenos que ocorrem sobre a superfície terrestre, a trabalhos relacionados à cartografia, a pontos 
estratégicos de bases militares e a localizações no espaço aéreo, terrestre e marítimo.
Relacionando as informações:
+ + + +x2
0
+ + +-x2 + 4
+
- -4
+ + + - -4x2
-x2 + 4x
- - - - 0
+ + + +
- - - - 0
-
Assim:
D(f) = ]0, 4[ ou, D(f) = {x ∈ ℝ | 0 0 e decrescente 
se a 0 ⇒ f é crescente aé uma simples corrida de táxi. 
Considere a seguinte situação:
Um motorista de táxi cobra R$ 4,50 de bandeirada mais R$ 2,75 por quilômetro rodado. Sabe-se que o preço a 
pagar é dado em função do número de quilômetros rodados. Qual o preço a ser pago se a distância percorrida for 
de 16 quilômetros?
A função que define o valor a ser cobrado por uma corrida de x quilômetros é: 
ƒ(x) = 2,75x + 4,50
Assim:
ƒ(16) = 2,75 ∙ 16 + 4,50
ƒ(16) = 48,50
4. Proporção na função do 1.º grau
tg a = y2 – y1 ____ x2 – x1 = y3 – y2 ____ x3 – x2 
proporção (igualdade de FraçõeS)
Nota:
a = tg a (coeficiente angular)
b = coeficiente linear
Aplicação do conteúdo
1. Construa o gráfico da função do primeiro grau 
f(x) = 2x – 6.
Como o gráfico de uma função do primeiro grau é uma reta, 
são necessários apenas dois pontos para a construção do gráfico. 
Para isso, é preciso encontrar os pontos de interseção da reta 
com os eixos coordenados.
Como o coeficiente linear é –6, já se sabe que a reta passa pelo 
ponto –6 no eixo y:
Em qualquer ponto no eixo x, o valor da ordenada é zero; por-
tanto: f(x) = 0:
2x – 6 = 0
x = 3
Assim, o ponto (3, 0) pertence à reta. Como já existem dois pon-
tos pelos quais passa a reta da função f(x), é possível construir 
o gráfico:
2. Dado o gráfico a seguir de uma função polinomial do 
1.º grau, encontre sua lei de formação.
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CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
A importância do estudo das funções não se restringe aos interesses da Matemática. O estudo das funções também 
é colocado em prática em áreas como Física, Química e Economia. No estudo da cinemática, por exemplo, que é a 
parte da Física que estuda os movimentos relacionando-os por meio dos conceitos de posição, velocidade e acelera-
ção, o uso de funções de 1.º grau é muito comum. Um dos exemplos mais famosos é o que relaciona a posição (S) de 
um móvel em movimento uniforme com o tempo (t). O modelo matemático que define essa função é:
S = S0 + v ∙ t
Em que: 
S0 → é o espaço inicial do móvel (lugar que ele ocupa no instante t = 0) 
v → é sua velocidade escalar. 
Observe uma comparação entre a expressão acima e a expressão que define uma função afim: 
S = S0 + v ∙ t 
y = b + a ∙ x
A comparação entre as expressões deixa bem claro que a fórmula definida como espaço em função do tempo é uma 
função do 1.º grau.
Como a função é de primeiro grau, sabe-se que sua forma é do 
tipo y = ax + b. Em primeiro lugar, deve-se encontrar o coeficien-
te angular a:
a = 
y2 – y1 _____ x2 – x1
 = 5 – 4 ____ 
3 – 1
 = 1 __ 
2
 
Substituindo na função, tem-se:
y = 1 __ 
2
 x + b
Agora é possível substituir qualquer um dos dois pontos dados, 
(1, 4) ou (3, 5), na função a fim de encontrar o coeficiente linear 
b. Substituindo o ponto (1, 4):
y = 1 __ 
2
 x + b
4 = 1 __ 
2
 1 + b
4 – 1 __ 
2
 = b ⇒ b = 7 __ 
2
 
Assim, a função pedida é y = 1 __ 
2
 x + 7 __ 
2
 .
5. Estudo do sinal da função 
polinomial do 1.º grau
Estudar o sinal de uma função y = f(x) significa analisar 
para quais valores de x do domínio da função a imagem 
será positiva, negativa ou nula.
Ou seja, realizar o estudo de sinal significa determinar para 
quais valores de x temos f(x) > 0, f(x) 2, a função possui valores de f(x) negativos.
 § Para todo xtecnologias  31
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DIAGRAMA DE IDEIAS
FUNÇÃO DO 1.º GRAU
Y = AX + B
↳↲ COEFICIENTE LINEARCOEFICIENTE ANGULAR
PONTO EM QUE A 
RETA CORTA O EIXO Y
Δx
Δy
α
α
y2
.y1
x1 x2
↓
A > 0 → CRESCENTE
A