Magnetostática - Eletromagnetismo - Instituto Tecnológico de Aeronáutica

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Cap´ıtulo 10
Magnetosta´tica
10.1 Campo Magne´tico
Por meio de experimentos, notou-se que os portadores de carga sofriam in-
flueˆncias de outra forc¸a, fora aquela resultante da ac¸a˜o do campo ele´trico.
Tal forc¸a dependia na˜o so´ da posic¸a˜o da part´ıcula mas tambe´m da velocidade
de seu movimento, e ela recebeu o nome de forc¸a magne´tica.
Portanto, Em todo ponto do espac¸o temos duas quantidades vetoriais que
determinam a forc¸a resultante que atua sobre uma carga:
• A primeira delas e´ a forc¸a ele´trica, a qual fornece uma componente
da forc¸a independente do movimento da carga. E´ poss´ıvel descreveˆ-la,
como ja´ foi visto, em termos do campo ele´trico.
• A segunda quantidade e´ uma componente adicional a` forc¸a denominada
forc¸a magne´tica, que sera´ apresentada a seguir.
Foi visto que o campo ele´trico pode ser definido como a forc¸a ele´trica por
unidade de carga:
�E =
�Fe
q
(10.1)
149
150 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
Isso poˆde ser feito devido a` existeˆncia de monopo´los ele´tricos. Pore´m o
ser humano na˜o observou, ate´ hoje, monopolos magne´ticos: Todos os corpos
magnetizados possuem um po´lo Norte e um po´lo Sul. Por causa disso, o
campo magne´tico deve ser definido de outra maneira.
Observando o movimento de cargas ele´tricas em campos magne´ticos,
notou-se que:
• A forc¸a magne´tica e´ proporcional a` carga da part´ıcula:
Fm ∝ q
• A forc¸a magne´tica e´ sempre perpendicular ao sentido de deslocamento
da part´ıcula:
�Fm · �v = 0
• Se o deslocamento da part´ıcula e´ paralelo a` uma direc¸a˜o fixa, a forc¸a
magne´tica e´ nula. Caso contra´rio, a forc¸a magne´tica e´ proporcional
a` componente da velocidade que e´ perpendicular a` essa direc¸a˜o. Em
s´ıntese: sendo θ o aˆngulo entre o vetor velocidade (�v) e essa direc¸a˜o
fixa:
Fm ∝ v sin θ (10.2)
Todo esse comportamento pode ser descrito por meio da definic¸a˜o do vetor
campo magne´tico �B1, cuja direc¸a˜o especifica simultaneamente a direc¸a˜o fixa
mencionada e a constante de proporcionalidade com a velocidade e a carga.
�Fm = q
�
�v × �B
�
(10.3)
Utilizando as equac¸o˜es 10.1 e 10.3, demonstra-se que a forc¸a resultante
1Unidade do campo magne´tico:
�
�B
�
= T (tesla). 1T = 104G (gauss)=
wb
m2
(weber)
10.2. FORC¸A MAGNE´TICA EM FIOS 151
aplicada sobre uma carga ele´trica e´ dada por:
�F = �Fe + �Fm (10.4)
�F = q
�
�E + �v × �B
�
(10.5)
A equac¸a˜o 10.5 representa a Forc¸a de Lorentz, um dos axiomas da teoria
eletromagne´tica. Sua importaˆncia adve´m do fato dela ser a ponte entre a
dinaˆmica e o eletromagnetismo.
Observac¸a˜o: A forc¸a magne´tica NA˜O realiza trabalho, pois ela e´ sempre
perpendicular ao deslocamento da part´ıcula.
dW = �Fm · d�l = q
�
�v × �B
�
· �v dt = 0
Segue que a forc¸a magne´tica na˜o pode alterar apenas a direc¸a˜o da veloci-
dade da carga (�v). Fica enta˜o a pergunta: Como um ı´ma˜ pode mover outro?
Veremos isso mais adiante.
10.2 Forc¸a magne´tica em fios
Vamos considerar um condutor pelo qual passa uma corrente ele´trica I,
imerso em um campo magne´tico �B. Pode-se dizer que a quantidade de carga
que passa pela secc¸a˜o transversal do fio em um tempo dt e´:
dq = I dt (10.6)
De acordo com a equac¸a˜o 10.3, a forc¸a magne´tica aplicada nesse elemento
de carga e´:
d �Fm = dq
�
�v × �B
�
(10.7)
Substitu´ındo 10.6 em 10.7, temos:
152 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
d �Fm = I dt
�
�v × �B
�
d �Fm = I
�
�v dt× �B
�
d �Fm = I
�
d�l × �B
�
(10.8)
Onde �dl possui a mesma direc¸a˜o e sentido da corrente. Enta˜o integrando
a equac¸a˜o 10.8 ao longo do comprimento do fio, encontramos a forc¸a aplicada
nesse corpo:
�Fm =
�
Γ
I
�
d�l × �B
�
(10.9)
Figura 10.1: Fio imerso em campo magne´tico
Como exemplo, fac¸amos uma ana´lise para o caso no qual a corrente e o
campo sa˜o constantes.
Como I e �B na˜o variam, a integral apresentada em 10.9 fica da seguinte
maneira:
�Fm = I

�
Γ
�
d�l
�
× �B

 (10.10)
Se somarmos todos os vetores elementares de comprimento ( d�l) de um
fio, obtemos como resultado o vetor �l, que liga as duas extremidades desse
10.3. TORQUE EM ESPIRAS 153
objeto. Portanto, a equac¸a˜o 10.10 torna-se:
�Fm = I
�
�l × �B
�
(10.11)
Nota-se que, para fios fechados (espiras), o vetor �l e´ nulo, portanto a forc¸a
magne´tica resultante e´ zero.
Figura 10.2: Forc¸a resultante na espira fechada e´ nula
Observac¸a˜o: A forc¸a magne´tica resultante e´ nula, mas o torque na˜o o e´!
10.3 Torque em espiras
Considere uma espira retangular imersa em um campo magne´tico �B de tal
forma que seus fios estejam paralelos aos vetores do campo, como mostrado
na figura 10.3. Vamos calcular a forc¸a em cada lado da espira:
Figura 10.3: Espira retangular
154 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
Lado 1:
�F1 = I
�
�l1 × �B
�
= 0
Lado 2:
�F2 = I
�
�l2 × �B
�
= IBa
�
−iˆ× jˆ
�
�F2 = −IBakˆ
Lado 3:
�F3 = I
�
�l3 × �B
�
= 0
Lado 4:
�F4 = I
�
�l4 × �B
�
= IBa
�
iˆ× jˆ
�
�F4 = IBakˆ
Agora e´ poss´ıvel calcular o torque das forc¸as �F2 e �F4 em relac¸a˜o ao eixo que
passa pelo centro da espira e e´ perpendicular aos fios 1 e 3, como mostrado
na Figura 10.4.
Figura 10.4: Ca´lculo do torque
Lado 2:
�τ2 = �r2 × �F2 =
�
− b
2
jˆ
�
×
�
−IBakˆ
�
�τ2 =
IBab
2
iˆ
Lado 4:
�τ4 = �r4 × �F4 =
�
b
2
jˆ
�
×
�
IBakˆ
�
10.3. TORQUE EM ESPIRAS 155
�τ4 = −IBab
2
iˆ
Enta˜o, o torque total e´:
�τ = �τ2 + �τ4 = IBabˆi
Nota-se que o produto ab e´ a a´rea da pro´pria espira. Pode-se estender
o resultado acima para uma espira qualquer de a´rea A percorrida por uma
corrente I. Sendo �A um vetor normal a` superf´ıcie da espira com mo´dulo igual
a` A, o torque nesse objeto e´ dado por:
�τ = I �A× �B (10.12)
Para uma espira com N voltas, temos:
�τ = NI �A× �B (10.13)
Observando-se a importaˆncia do primeiro fator do membro direito da
equac¸a˜o 10.13 , define-se o momento de dipolo magne´tico �µ como sendo:
�µ = NI �A (10.14)
Logo a equac¸a˜o 10.13 pode ser escrita como2:
�τ = �µ× �B (10.15)
Exerc´ıcio 10.1. Em um dado instante, percebeu-se que uma bobina de N
voltas imersa em um campo magne´tico �B apresentou uma acelerac¸a˜o angular
de rotac¸a˜o igual a` α. Sendo I seu momento de ine´rcia, calcule a a´rea da
bobina. Considere θ como sendo o aˆngulo entre o plano da bobina e o vetor
�B
Podemos calcular o torque de duas maneiras:
2analogia com a equac¸a˜o do momento de dipolo para a eletrosta´tica
156 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
Figura 10.5: Espira imersa no campo magne´tico
τ = Iα
�τ = �µ× �B
Logo:
Iα =
����µ× �B��� (10.16)
Calculando o momento de dipolo magne´tico:
µ = i �A = NiA�n (10.17)
Substitu´ındo 10.17 em 10.16 :
Iα = NiAB
����n�j���
Iα = NiAB cos θ
Enta˜o a a´rea e´:
A =
Iα
NiB cos θ
10.4. O MOVIMENTO CYCLOTRON 157
10.4 O Movimento Cyclotron
Um dos mecanismos utilizados em aceleradores de part´ıculas emprega campos
magne´ticos para que elas descrevam movimentos circulares. Tais aceleradores
sa˜o conhecidos como Cyclotrons.
Uma part´ıcula lanc¸ada em um campo magne´tico �B com uma velocidade �v
perpendicular a` �B, como mostrado na Figura 10.6, realizara´ esse tipo de mo-
vimento, no qual a forc¸a magne´tica desempenha o papel de forc¸a centr´ıpeta.
Pode-se dizer enta˜o que:
Figura 10.6: Movimento de uma part´ıcula no Cyclotron
Fm = qvB =
mv2
R
(10.18)
Os aceleradores de part´ıculas permitem a obtenc¸a˜o de certas caracter´ısticas
importantes desses corpos, tais como o momento linear. Sendo p = mv o mo-
mento linear de uma part´ıcula, pode-se manipular a equac¸a˜o 10.18 e chegar
ao seguinte resultado:p = qBR (10.19)
Desse modo, basta lanc¸ar a part´ıcula no campo e medir o raio de seu
158 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
movimento para medir o seu momento linear.
Sabe-se que a frequ¨eˆncia angular do movimento circular e´ ω = v/R.
Manipulando a equac¸a˜o 10.18, tambe´m e´ poss´ıvel determinar a frequ¨eˆncia
cyclotron:
ω =
qB
m
(10.20)
Outro aspecto interessante relativo a` esse movimento e que, caso a part´ıcula
apresente uma componente da velocidade paralela ao campo magne´tico, ela
descrevera´ uma trajeto´ria helicoidal.
Figura 10.7: Movimento helicoidal
Exerc´ıcio 10.2. Um feixe de part´ıculas transitando por uma regia˜o com
campo magne´tico �B e campo ele´trico �E na˜o sofre acelerac¸o˜es. Depois,
retirou-se o campo magne´tico, enta˜o as part´ıculas passaram a executar um
movimento circular uniforme de raio R. Deˆ a relac¸a˜o carga/massa dessas
part´ıculas
No primeiro caso, as forc¸as ele´tricas e magne´ticas devem equilibrar-se
para que na˜o haja acelerac¸o˜es. Ou seja, a Forc¸a de Lorentz deve ser nula:
�F = q
�
�E + �v × �B
�
= 0
�E + �v × �B = 0
E = vB
v =
E
B
(10.21)
Para o segundo caso, temos um movimento cyclotron. De acordo com
10.5. A AUSEˆNCIA DE MONOPOLOS MAGNE´TICOS 159
a equac¸a˜o que fornece o momento linear das part´ıculas nesse movimento,
temos:
mv = qBR
q
m
=
v
BR
(10.22)
Encontramos a relac¸a˜o carga/massa por meio da substituic¸a˜o de 10.21
em 10.22:
q
m
=
E
B2R
Esse foi o processo pelo qual J. J. Thomson descobriu o ele´tron estudando
o comportamento de raios cato´dicos, em 1897.
10.5 A Auseˆncia de monopolos magne´ticos
Como foi dito anteriormente, nunca observaram-se monopolos magne´ticos, e
tal fenoˆmeno foi tomado como outro axioma da teoria eletromagne´tica. Isso
pode ser descrito matematicamente do seguinte modo, sendo S uma superf´ıcie
fechada e V o volume delimitado por essa superf´ıcie:
�
S
�B · d�S = 0
Aplicando o Teorema de Gauss, encontramos que:
�
S
�B · d�S =
�
V
�∇ · �B dV = 0
�∇ · �B = 0 (10.23)
A equac¸a˜o 10.23 pertence a`s equac¸o˜es de Maxwell. Os principais signifi-
cados contidos nessa equac¸a˜o sa˜o:
160 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
• Auseˆncia de monopo´los magne´ticos
• As linhas do campo magne´tico sempre sa˜o fechadas
Na eletrosta´tica, vimos que �∇ · �E = ρ
�0
. Conclui-se que na˜o ha´ ana´logo
magne´tico para a carga ele´trica. Na˜o ha´ cargas magne´ticas por onde o campo
magne´tico possa emergir (nunca divergem de nenhum ponto!), pois ele so´
surge na presenc¸a de correntes ele´tricas. Observa-se tambe´m que as linhas
de campo magne´tico sa˜o sempre fechadas. Ale´m disso, pelo fato de o fluxo
atrave´s de uma superf´ıcie fechada ser igual a zero, todas as linhas que entram
nessa superf´ıcie devem sair. As linhas nunca comec¸am ou terminam em algum
lugar.
10.6 O Efeito Hall
Em 1979, E.H. Hall tentou determinar se a resisteˆncia de um fio aumentava
quando este estava na presenc¸a de um campo magne´tico, uma vez que os
portadores de carga deveriam se acumular num lado do fio. Vamos analisar
tal fenoˆmeno por meio da experieˆncia ilustrada na Figura 10.8.
Figura 10.8: Efeito Hall
Considere um condutor no qual o sentido da corrente e´ perpendicular ao
campo magne´tico. Os portadores de carga negativa acumular-se-a˜o em uma
das extremidades do condutor, logo a extremidade oposta apresentara´ uma
carga positiva, o que resultara´ no surgimento de um campo ele´trico �EH no
interior do condutor. Os ele´trons sera˜o deslocados ate´ que as forc¸as ele´tricas
e magne´ticas entrem em equil´ıbrio, ou seja:
10.6. O EFEITO HALL 161
�Fe = �Fm
Aplicando as equac¸o˜es 10.1 e 10.3, temos:
−e �EH = −e
�
�v × �B
�
�EH = �v × �B (10.24)
Considerando o campo constante no interior do condutor, podemos medir
a diferenc¸a de potencial entre as duas extremidades, denominada ddp Hall,
como sendo:
�H = EHd (10.25)
Nota-se que essa voltagem existe no sentido transversal a` corrente.
E´ poss´ıvel utilizar o Efeito Hall para investigar a natureza dos portadores
de carga no condutor, como mostrado nas Figuras 10.9 e 10.10, uma vez que
podemos prever como as cargas devem se comportar sob ac¸a˜o de campos
magne´ticos.
Figura 10.9: Efeito Hall para portadores de carga negativa
162 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
Figura 10.10: Efeito Hall para portadores de carga positiva
10.7 A Lei de Biot Savart
10.7.1 Introduc¸a˜o
Na eletrosta´tica, a Lei de Coulomb permite analisar como se da´ a relac¸a˜o
entre o campo ele´trico e as cargas ele´tricas. Sera´ que existe uma lei corres-
pondente para a magnetosta´tica? A resposta e´ sim, e ela e´ conhecida como
a Lei de Biot-Savart, que sera´ discutida a seguir.
Como foi visto anteriormente, definimos o campo magne´tico por meio da
forc¸a magne´tica. Agora queremos defini-lo por meio de sua fonte, que e´ a
corrente ele´trica.
Figura 10.11: Movimento da carga em relac¸a˜o a` um ponto P
Observe a Figura 10.11. Experimentalmente, pode-se constatar que:
B ∝ qv
r2
�B⊥�v
�B⊥�r
10.7. A LEI DE BIOT SAVART 163
Com base nisso, pode-se dizer que o elemento do campo magne´tico produ-
zido por um elemento de de carga em movimento obedece a` seguinte relac¸a˜o:
d �B ∝ dq�v × rˆ
r2
(10.26)
d �B ∝ dq d
�l
dt
× rˆ
r2
d �B ∝ dq
dt
d�l × rˆ
r2
d �B ∝ I d
�l × rˆ
r2
d �B =
µ0
4π
I
d�l × rˆ
r2
�B =
µ0
4π
�
I
d�l × rˆ
r2
(10.27)
A equac¸a˜o 10.27 e´ denominada lei de Biot-Savart.
A escolha da constante de proporcionalidade foi feita de modo a facilitar
os ca´lculos subsequ¨entes. No sistema MKS:
µ0
4π
= 10−7
N
A2
Onde µ0 e´ a permeabilidade magne´tica do va´cuo.
10.7.2 Formas Alternativas
A Lei de Biot-Savart tambe´m pode ser escrita em termos da distribuic¸a˜o de
corrente. Sabendo que I = j dS, a equac¸a˜o 10.27 fica da seguinte maneira:
�B =
µ0
4π
�
jdS
d�l × rˆ
r2
(10.28)
Vamos aplicar a equac¸a˜o 10.28 para a situac¸a˜o ilustrada na Figura ???x.
Neste caso, o sistema Oxyz e´ um referencial fixo, enquanto o sistema Ox�y�z�
164 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
esta˜o situados no elemento de carga em estudo. Observe que �R = �r − �r�.
Como �j e d�l possuem a mesma direc¸a˜o, podemos dizer que j d�l = �j dl. Ale´m
disso, sabendo que dl dS = dV , pode-se dizer que a Lei de Biot-Savart fica
da seguinte maneira:
�B (�r) =
µ0
4π
� �j ��r��× Rˆ
R2
dv�
Vamos aplicar o divergente em relac¸a˜o ao sistema Oxyz:
�∇ · �B (�r) = µ0
4π
�
�∇ ·

�j
�
�r�
�
× Rˆ
R2

 dv� (10.29)
Aplicando a regra do divergente do produto vetorial3 ao divergente pre-
sente no membro direito da equac¸a˜o 10.29 :
�∇ ·

�j
�
�r�
�
× Rˆ
R2

 = −�j ��r�� · �∇×
�
Rˆ
R2
�
+
Rˆ
R2
· �∇×�j
�
�r�
�
Nota-se que
Rˆ
R2
= �∇
�
− 1
R
�
. Logo �∇×
�
Rˆ
R2
�
= 0 pois o rotacional do
gradiente e´ sempre nulo. Ale´m disso �∇ × �j
�
�r�
�
= 0 pois o rotacional esta´
aplicado em Oxyz enquanto �j refere-se ao sistema Ox�y�z�. Obtemos enta˜o
que:
�∇ · �B = 0
Isso corrobora a validade da Lei de Biot-Savart.
3�∇ ·
�
�A× �B
�
= − �A ·
�
�∇× �B
�
+ �B ·
�
�∇× �A
�
10.7. A LEI DE BIOT SAVART 165
10.7.3 Aspectos Interessantes
Um resultando interessante pode ser obtido ao combinar a Lei de Biot-Savart
com a equac¸a˜o 10.3 na seguinte situac¸a˜o: imagine uma carga q1 movendo-se
com velocidade �v1 tendo ao seu redor uma outra carga q movendo-se com
velocidade �v. Qual a forc¸a magne´tica que q imprimira´ em q1?
A ana´lise inicia-se por meio da integrac¸a˜o da equac¸a˜o 10.26, empregando,
antes, a constante de proporcionalidade. Encontramos enta˜o que:
�B=
µ0
4π
q
�v × rˆ
r2
(10.30)
Substitu´ındo a equac¸a˜o 10.30 na equac¸a˜o 10.3 aplicada para a carga q1:
�Fm = q1�v1 × �B = q1�v1 ×
�
µ0
4π
q
�v × rˆ
r2
�
Multiplicando e dividindo o membro direito por µ0:
�Fm = µ0�0�v1 ×
�
�v × qq1rˆ
4π�0r2
�
Mas, pela Lei de Coulomb:
�Fe =
qq1rˆ
4π�0r2
Ale´m disso, sabendo que c2 = µ−10 �
−1
0 , temos:
�Fm =
�v1
c
×
�
�v
c
× �Fe
�
Se considerarmos v << c, encontramos que:
�Fm ≤ vv1
c2
�Fe (10.31)
A equac¸a˜o 10.31 diz que para velocidades pequenas comparadas com a
velocidade da luz, a interac¸a˜o magne´tica sera´ muito menor que a interac¸a˜o
166 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
ele´trica. Como Fm << Fe, pode parecer, a` primeira vista, que a forc¸a
magne´tica poderia ser desprezada em comparac¸a˜o com a forc¸a ele´trica, pore´m
existem sistemas de part´ıculas onde isso na˜o e´ assim. De fato, numa corrente
de conduc¸a˜o, onde esta˜o presentes cargas positivas e negativas em iguais den-
sidades, o campo ele´trico macrosco´pico e´ nulo, pore´m o campo magne´tico das
cargas em movimento na˜o o e´.
Outro aspecto importante que pode ser derivado por meio da Lei de Biot-
Savart e´ uma relac¸a˜o entre o campo ele´trico e o campo magne´tico gerado
por uma mesma part´ıcula. Multiplicando o numerador e o denominador da
equac¸a˜o 10.30 por �0:
�B =
µ0�0
4π�0
q
�v × rˆ
r2
�B =
�v × �E
c2
10.7.4 Aplicac¸o˜es da Lei de Biot-Savart
Agora vejamos alguns exemplos nos quais se aplica a Lei de Biot-Savart:
Exerc´ıcio 10.3. Calcule, por meio da Lei de Biot Savart, o campo ele´trico
nas vizinhanc¸as de um fio reto.
Figura 10.12: Campo gerado por um fio reto
10.7. A LEI DE BIOT SAVART 167
Podemos escrever a Lei de Biot-Savart do seguinte modo:
�B =
µ0
4π
�
I
d�l × rˆ
r2
=
µ0
4π
�
I
d�l × �r
r3
Para o fio reto, vale:
d�l = dxiˆ
�r = −xiˆ+ djˆ
Enta˜o, fazendo as devidas substituic¸o˜es:
�B =
µ0
4π
l/2�
−l/2
I
dxiˆ× r
�
−xiˆ+ djˆ
�
(x2 + d2)
3/2
�B =
µ0
4π
l/2�
−l/2
I
ddx
(x2 + d2)
3/2
kˆ
�B =
µ0Id
4π
1
d2
x
(x2 + d2)
1/2
������
l
2
−l
2
Logo o campo e´:
�B =
µ0I
4πd
l�
l2
4
+ d2
�1/2 kˆ
Note que se considerarmos o fio como sendo infinito (l >> d), o campo
sera´:
168 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
�B =
µ0I
2πd
kˆ
Exerc´ıcio 10.4. Calcule, por meio da Lei de Biot Savart, o campo ele´trico
no eixo de uma espira circular.
Figura 10.13: Campo gerado por uma espira circular
Podemos escrever a Lei de Biot-Savart do seguinte modo:
�B =
µ0
4π
�
I
d�l × rˆ
r2
=
µ0
4π
�
I
d�l × �r
r3
Para a espira, vale:
d�l = a dθθˆ
�r = −aˆi+ zjˆ
Pela simetria do problema, so´ teremos campo paralelo ao eixo da espira.
Logo precisamos calcular apenas uma componente do campo gerado por cada
elemento de corrente:
d �B = d �B1 cosα
10.7. A LEI DE BIOT SAVART 169
Onde:
cosα =
a√
a2 + z2
Enta˜o, aplicando a Lei de Biot-Savart (para calcular apenas o elemento
de campo):
d �B =
µ0
4π
I
d�l × �r
r3
cosα
Fazendo as devidas substituic¸o˜es:
d �B =
µ0
4π
Ia
(z2 + a2)
3/2
adθkˆ
Integrando de 0 a 2π para cobrir toda a espira, encontramos o campo
desejado:
�B =
µ0Ia
2
2 (a2 + z2)
3/2
kˆ
Exerc´ıcio 10.5. Para criar regio˜es com campos magne´ticos constantes em
laborato´rio, empregam-se as bobinas de Helmholtz, esquematizadas na Fi-
gura 10.14.Calcule o valor do campo ao longo do eixo das bobinas e o ponto
no qual o campo e´ magne´tico e´ maximo :
O campo gerado por uma espira circular e´:
�B (z) =
µ0Ia
2
2 (a2 + z2)
3/2
kˆ
Enta˜o, usando o princ´ıpio da superposic¸a˜o para as duas espiras, o campo
ao longo do eixo e´:
�B (z) =
µ0Ia
2
2

 1
(a2 + z2)
3/2
+
1�
a2 + (2b− z)2�3/2

 kˆ
170 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
Figura 10.14: Bobinas de Helmholtz
Para calcular o ponto no qual o campo magne´tico apresenta valor ma´ximo,
basta encontrarmos o valor de z tal que a derivada da func¸a˜o acima se anula:
d �B (z)
dz
=
µ0Ia
2
2

−3
2
2z
(a2 + z2)
5/2
− 3
2
2 (2b− z) (−1)�
a2 + (2b− z)2�5/2

 kˆ
Vemos que:
d �B (z)
dz
= 0⇒ z = b
Agora veremos a condic¸a˜o para que o campo nesse ponto seja aproxima-
damente constante. Derivando mais uma vez a func¸a˜o do campo magne´tico:
d2 �B (z)
dz2
�����
z=b
= 0⇒ a2 − 4b2 = 0⇒ 2b = a
A condic¸a˜o e´ que a separac¸a˜o das bobinas seja igual ao raio.
Fazendo a expansa˜o em se´ries de Taylor, e´ poss´ıvel calcular o qua˜o pro´ximo
esse campo esta´ de um campo constante:
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPE`RE 171
Sabendo que B��(a/2) = B���(a/2) = 0, a expansa˜o fica:
�B (z) ≈ B
�a
2
�
+
1
24
�
z − a
2
�4 ∂4B
∂z4
����
z=
a
2
+ ...
�B (z) = B
�a
2
��
1− 144
125
�
z − a/2
a
�4�
A partir desse resultado, e´ poss´ıvel inferir que, para |z − a/2| < a/10 ⇒
B (z) �= B (a/2), o campo varia em menos de uma parte e meia em dez mil.
10.8 A Lei Circuital de Ampe`re
10.8.1 Introduc¸a˜o
As experieˆncias de Oersted, ale´m de comprovarem que correntes ele´tricas
geram campos magne´ticos ao seu redor, motivou a comunidade cient´ıfica a
compreeender a relac¸a˜o entre fenoˆmenos ele´tricos e magne´ticos. Apo´s tais
experimentos, uma semana foi tempo suficiente para que Ampere deduzisse
a apresentasse sua lei. Enquanto que a Lei de Biot-Savart corresponde a` Lei
de Coulomb, a Lei de Ampe`re faz a vez da Lei de Gauss na magnetosta´tica.
Considere um fio infinito por onde passa uma corrente I, como mostrado
na Figura 10.15. Utilizando a Lei de Biot-Savart, demonstrou-se que o campo
gerado nesse caso e´ dado por:
Figura 10.15: Fio infinito
172 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
�B =
µ0I
2πr
θˆ
Calcularemos a circulac¸a˜o do campo magne´tico por meio de va´rios cami-
nhos ao redor do fio.
Considerando, inicialmente, o caminho como sendo um c´ırculo:
Figura 10.16: Caminho ao redor do fio para ca´lculo da circulac¸a˜o
�
Γ
�B · d�l = µ0I
2πr
2πr = µ0I
Vamos calcular a circulac¸a˜o pora outro caminho:
Figura 10.17: Caminho ao redor do fio para ca´lculo da circulac¸a˜o
�
Γ
�B · d�l =
�
Γ1
�B · d�l +
�
Γ2
�B · d�l +
�
Γ3
�B · d�l +
�
Γ4
�B · d�l
Como os vetores �B e d�l sa˜o paralelos para os fios 2 e 4, as integrais para
Γ2 e Γ4 sa˜o nulas. Logo temos o seguinte resultado:
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPE`RE 173
�
Γ
�B · d�l = µ0I
2πr1
πr1 + 0 +
µ0I
2πr2
πr2 = µ0I
Mais um caminho para calcular:
Figura 10.18: Caminho ao redor do fio para ca´lculo da circulac¸a˜o
�
Γ
�B · d�l =
�
Γ1
�B · d�l +
�
Γ2
�B · d�l +
�
Γ3
�B · d�l +
�
Γ4
�B · d�l
A mesma observac¸a˜o feita para os fios 2 e 4 anteriormente valem para
esse caso. Enta˜o temos:
�
Γ
�B · d�l = µ0I
2πr1
θr1 + 0 +
µ0I
2πr2
(2π − θ) r2 = µ0I
Obsevou a semelhanc¸a dos resultados? Enta˜o vamos generaliza´-los para
um caminho qualquer.
Figura 10.19: Caminho ao redor do fio para ca´lculo da circulac¸a˜o
174 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
Em coordenadas cil´ındricas:
d�l = drrˆ + r dθθˆ + dzkˆ
Sabendo que �B = Bθˆ, encontramos que:
�B · d�l = Br dθ = µ0I
2πr
r dθ =
µ0I
2π
dθ
Fazendo a integral ao redor do fio:
�
Γ
�B · d�l =
�
Γ
µ0I
2π
dθ =
2π�
0
µ0I
2π
dθ =
µ0I
2π
2π
Disso resulta a Lei de Ampe`re:
�
Γ
�B · d�l = µ0Iint (10.32)
Observac¸a˜o: Na Lei de Coulomb, utiliza´vamos SUPERFI´CIES que en-
volviam as cargas para fazer o ca´lculo do campo ele´trico, mas na Lei de
Ampe`re, precisamos criar CURVAS que envolvam os condutores a fim de
calcular o campo magne´tico.
Assimcomo a Lei de Coulomb, a Lei de Ampe`re sempre e´ va´lida. No
entanto sua maior utilidade se da´ em casos nos quais e´ poss´ıvel notar simetria
no campo magne´tico, como sera´ mostrado no exerc´ıcios mais adiante.
10.8.2 A forma diferencial da Lei de Ampe`re
Aplicando o Teorema de Stokes no membro esquerdo da equac¸a˜o 10.32:
�
Γ
�B · d�l =
�
S
� �
�∇× �B
�
· d�S (10.33)
Analisando o membro direito da equac¸a˜o 10.32:
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPE`RE 175
µ0I = µ0
�
S
�
�j · d�S (10.34)
Pela pro´pria Lei de Ampe`re, podemos igualar 10.33 e 10.34, encontrando
que: �
S
� �
�∇× �B
�
· d�S = µ0
�
S
�
�j · d�S
Finalmente, temos a forma diferencial da Lei de Ampe`re:
�∇× �B = µ0�j (10.35)
Se aplicarmos o divergente na equac¸a˜o 10.35
�∇ ·
�
�∇× �B
�
= µ0�∇ ·�j
�∇ ·�j = 0
Percebe-se algo importante diante desse resultado: a Lei de Ampe`re e´
va´lida apenas para correntes estaciona´rias4
10.8.3 Aplicac¸o˜es da Lei de Ampe`re
Seguem alguns exemplos nos quais e´ fundamental a aplicac¸a˜o da Lei de
Ampe`re para a resoluc¸a˜o dos problemas:
Exerc´ıcio 10.6. Calcule o campo magne´tico, em todo o espac¸o, gerado por
um ciclindro infinito percorrido por uma corrente I.
Devido a` simetria cil´ındrica do problema, podemos escolher amperianas
circulares para calcular o campo no interior e ao redor do fio, pois o campo
magne´tico sera´ constante ao longo de toda a curva, facilitando a integrac¸a˜o.
4corrente estaciona´ria:
dρ
dt
= 0
176 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
Figura 10.20: Cilindro condutor
• Para r > R (Figura 10.21):
Figura 10.21: Amperiana fora do cilindro
�
Γ1
�B · d�l = µ0I → B2πr = µ0I
�B =
µ0I
2πr
θˆ
• Para r < R (Figura 10.22):
�
Γ2
�B · d�l = µ0Iint → B2πr = µ0I πr
2
πR2
�B =
µ0Ir
2πR2
θˆ
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPE`RE 177
Figura 10.22: Amperiana dentro do cilindro
Sintetizando os resultados na forma de um gra´fico:
Figura 10.23: Campo magne´tico gerado por um cilindro infinito
Exerc´ıcio 10.7. Calcule o campo magne´tico, em todo o espac¸o, gerado por
um cabo coaxial percorrido por correntes de mesma intensidade mas de sen-
tidos opostos em cada face.
Vamos dividir o espac¸o em 4 regio˜es e aplicar a Lei de Ampe`re para cada
uma delas:
• Para r < a:
Para determinar a corrente interna a` amperiana, vamos considerar que
178 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
Figura 10.24: Cabo coaxial
a densidade de corrente ao longo do cabo e´ constante e igual a` j, logo
sendo πr2 a a´rea delimintada pela amperiana:
j =
Iint
πr2
=
I
πa2
Iint =
r2
a2
Aplicando a Lei de Ampe`re:
B2πr = µ0I
r2
a2
→ �B = µ0Ir
2πa2
θˆ
• Para a < r < b:
A corrente interna a` amperiana sera´ sempre a corrente total que passa
pelo cabo interno, logo pela Lei de Ampe`re:
B2πr = µ0I → �B = µ0I
2πr
θˆ
• Para b < r < c:
A corrente interna a` amperiana sera´ a corrente total que passa pelo
cabo interno menos a corrente que passa pela porc¸a˜o do cabo externo
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPE`RE 179
delimitada pela curva. Considerando tambe´m a densidade de corrente
constante no cabo externo:
Iint = I − r
2 − b2
c2 − b2
Aplicando a Lei de Ampe`re:
B2πr = µ0I − µ0Iπ (r
2 − b2)
π (c2 − b2) θˆ →
�B =
µ0I
2πr
�
1− r
2 − b2
c2 − b2
�
θˆ
�B = µ0I
�
c2 − r2
c2 − b2
�
θˆ
• Para r > c:
A corrente interna a` amperiana sera´ a soma das correntes que passam
pelo cabo interno e pelo cabo externo. Como as duas correntes possuem
a mesma intensidade mas possuem sentidos opostos, a soma sempre sera´
nula. Enta˜o, pela Lei de Ampe`re:
�B = 0
Exerc´ıcio 10.8. Considere dois soleno´ides infinitos conceˆntricos de raios a
e b. Calcule o campo magne´tico em todo o espac¸o. As correntes de cada
soleno´ide possuem mesma intensidade mas teˆm sentidos contra´rios.
Primeiro vamos analisar o campo gerado por um soleno´ide para depois
empregar o princ´ıpio da superposic¸a˜o
Observa-se que a corrente no interior da amperiana (Figura: 10.26) de-
pende do nu´mero de espiras englobadas:
Iint = NI
Aplicando enta˜o a Lei de Ampe`re:
180 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
Figura 10.25: Soleno´ides
Figura 10.26: Amperiana no interior do soleno´ide
�
Γ
�B · d�l =
�
Γ1
�B · d�l
� �� �
=0pois �B=0
+
�
Γ2
�B · d�l
� �� �
=0pois �B⊥ d�l
+
�
Γ3
�B · d�l +
�
Γ4
�B · d�l
� �� �
=0pois �B⊥ d�l
Logo:
�
Γ
�B · d�l = µ0I → Bdentrol = µ0NI → Bdentro = µ0N
l
I = µ0nI
onde n =
N
l
indica a densidade de espiras do soleno´ide
Agora, fac¸amos uma amperiana para calcular o campo fora do soleno´ide
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPE`RE 181
(Figura: 10.27) :
Figura 10.27: Amperiana externa ao soleno´ide
Note que, neste caso, a corrente interna a` curva e´ zero. Portanto o campo
magne´tico fora do soleno´ide infinite e´ nulo:
Bfora = 0
Agora, vamos usar o princ´ıpio da superposic¸a˜o para calcular o campo
para os dois soleno´ides.
• Para r < a :
Neste caso, temos a influeˆncia dos campos dos dois soleno´ides. Sendo
�B1 o campo gerado pelo soleno´ide interno e �B2 o campo gerado pelo
soleno´ide externo:
�B = �B1 − �B2 = µ0In1 − µ0In2
�B = µoI (n1 − n2)
• Para a < r < b :
Aqui, temos influeˆncia apenas do soleno´ide externo
182 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
�B = −µ0In2 (10.36)
• Para r > b :
Como estamos fora de ambos os soleno´ides, o campo neste caso e´ nulo
�B = 0
Exerc´ıcio 10.9. Considere um cilindro de raio a com uma cavidade cil´ındrica
de raio b. A distaˆncia entre os centros dos cilindros e´ d. Sendo j a densidade
de corrente no condutor, qual e´ o campo magne´tico no interior da cavidade?
Figura 10.28: Condutor com cavidade
Considere como sendo �x a posic¸a˜o do ponto em questa˜o em relac¸a˜o ao
eixo do condutor e �y como sendo a posic¸a˜o do ponto em relac¸a˜o ao eixo da
cavidade:
Para resolver esse exerc´ıcio, sera´ necessa´ria a utilizac¸a˜o do princ´ıpio da
superposic¸a˜o. Observe que a configurac¸a˜o final do sistema pode ser obtida se
somarmos dois cilindros com sentidos de correntes opostos, como apresentado
na Figura 10.30 :
Portanto, devemos calcular o campo gerado pelo cilindro maior em um
ponto que dista x do seu eixo e somar com o campo gerado pelo cilindro
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPE`RE 183
Figura 10.29: Posicionamento do ponto
Figura 10.30: Princ´ıpio da superposic¸a˜o
menor em um ponto que dista y de seu centro.
• Cilindro maior
Figura 10.31: Lei de Ampe`re para cilindro maior
184 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
�
Γ
−→
B · d−→l = µ0Iint
B12πx = µ0jπx
2
�B1 =
µ0jx
2
−→
θ
�Bx =
µ0
2
�−→
j ×−→x
�
• Cilindro menor
Figura 10.32: Lei de Ampe`re para cilindro menor
�
Γ
−→
B · d−→l = µ0Iint
B22πy = µ0jπy
2
�B2 =
µ0jy
2
−→ϕ
�B2 =
µ0
2
�−→
j ×−→y
�
Como os sentidos das correntes sa˜o opostos, o campo resutante sera´:
−→
B =
−→
B 1 −−→B 2−→
B =
µ0
2
�−→
j ×−→x
�
− µ0
2
�−→
j ×−→y
�
−→
B =
µ0
2
�−→
j × (−→x −−→y )
�
Mas a seguinte relac¸a˜o sempre e´ va´lida: �x − �y = �d . Portanto o campo
no interior da cavidade e´ constante e igual a`:
−→
B =
µ0
2
�−→
j ×−→d
�
10.9. POTENCIAL VETOR 185
Exerc´ıcio 10.10. Calcule o campo no centro da sec¸a˜o circular de um toro´ide
de N espiras.
Figura 10.33: Toro´ide
Vamos passar uma amperiana no interior do toro´ide
Figura 10.34: Amperiana no toro´ide
Temos que a corrente interna a` amperiana sera´ Iint = NI. Logo�
�B · d�l = µ0Iint → B2πr = µ0NI → �B = µ0NI
2πr
θˆ
10.9 Potencial Vetor
As 4 equac¸o˜es que sintetizam a teoria eletromagne´tica vistas ate´ agora sa˜o:
ELETROSTA´TICA
�∇ · �E = ρ0
�0
(10.37)
�∇× �E =0 (10.38)
186 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
MAGNETOSTA´TICA
�∇ · �B = 0 (10.39)
�∇× �B = µ0�j (10.40)
Para a eletrosta´tica, devido a` equac¸a˜o 10.38, percebe-se que o campo
ele´trico e´ um campo conservativo. Logo foi poss´ıvel definir o potencial ele´trico
da seguinte forma:
�∇× �E = 0⇒ �E =
�
−�∇V
�
Aplicando esse resultado a` equac¸a˜o 10.38:
�∇ · �E = �∇ ·
�
−�∇V
�
= −∇2V
Segue que:
∇2V = −ρ0
�0
Sera´ que e´ poss´ıvel definir um potencial ana´logo para o campo magne´tico?
Sabe-se que �∇ · �B = 0. A partir disso, pode-se inferir que �B e´ um campo
rotacional. Em outras palavras, e´ poss´ıvel encontrar um campo vetorial tal
que seu rotacional resulta no campo magne´tico. Esse campo e´ denominado
potencial vetorial
�
�A
�
, que e´ definido do seguinte modo:
�∇ · �B = 0⇒ �B =
�
�∇× �A
�
(10.41)
Aplicando esse resultado a` equac¸a˜o 10.40:
�∇× �B = �∇×
�
�∇× �A
�
= �∇
�
�∇ · �A
�
−∇2 �A
Como pode-se determinar mais de um campo que satisfac¸a a equac¸a˜o
10.41, e´ permitido escolher adequadamente um campo �A tal que �∇ · �A = 05.
5Denomina-se isso como escolha de calibre, ou escolha de gauge
10.9. POTENCIAL VETOR 187
Segue enta˜o que:
�∇× �B = −∇2 �A
∇2 �A = −µ0�j (10.42)
Observac¸a˜o: ∇2 �A na˜o e´ o operador Laplaciano, pois esta´ sendo aplicado
a um campo vetorial. Na verdade, temos que:
∇2 �A = �∇
�
�∇ · �A
�
− �∇×
�
�∇× �A
�
Particularmente, para coordenadas cartesianas:
∇2Ax = −µ0jx
∇2Ay = −µ0jy
∇2Az = −µ0jz
Outras formas de expressar o potencial vetor em func¸a˜o das densidades
de corrente6 sa˜o:
• Densidade volume´trica
�A (�r) =
µ0
4π
� �j ��r�� dv�����r − �r���� (10.43)
• Densidade superficial
�A (�r) =
µ0
4π
� �k ��r�� ds�����r − �r���� (10.44)
6�r:posic¸a˜o do ponto em relac¸a˜o ao referencial fixo. �r�: posic¸a˜o do ponto em relac¸a˜o a
um elemento de carga. (ver Figura 10.11)
188 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
• Densidade linear
�A (�r) =
µ0
4π
� �I ��r�� dl�����r − �r���� (10.45)
Fac¸amos alguns exemplos:
Exerc´ıcio 10.11. Calcule o potencial vetor para um fio finito percorrido por
uma corrente I.
Figura 10.35: Fio finito
Vamos aplicar a equac¸a˜o que fornece o potencial vetor em func¸a˜o da
densidade linear de carga (equac¸a˜o 10.45 ):
�A =
µ0
4π
� �Idzkˆ
r
, comr =
√
z2 + s2
�A =
µ0I
4π
� dz√
z2 + s2
kˆ → �A = µ0I
4π
ln
�
z +
√
z2 + s2
���z2
z1
kˆ → �A = µ0I
4π
ln
�
z2 +
�
z22 + s
2
z1 +
�
z21 + s
2
�
kˆ
Observe que se aplicarmos o rotacional ao resultado, obtemos o vetor �B:
10.10. CONDIC¸O˜ES DE CONTORNO NA MAGNETOSTA´TICA 189
�∇× �A =
�
∂As
∂z
− ∂Az
∂s
�
θˆ.Assim,
�B = �∇× �A = −∂Az
∂s
θˆ = − ∂
∂s
�
µ0I
4π
ln
�
z2 +
�
z22 + s
2
z1 +
�
z21 + s
2
��
θˆ
�B
Exerc´ıcio 10.12. (Griffths, pa´g , ex: 5.23) Qual densidade de corrente pro-
duziria um vetor potencial �A = k ˆphi, em coordenadas cil´ındricas (k e´ cons-
tante)?
Para resolver esse exerc´ıcio, primeiro aplicaramos o rotacional em �A para
determinar o campo magne´tico. Depois aplicaremos o rotacional em �B para
determinar a densidade de corrente, de acordo com as equac¸o˜es da magne-
tosta´tica.
Observac¸a˜o: aplicar o rotacional em coordendadas cil´ındricas
Aφ = k ⇒ �B = �∇× �A = 1
ρ
∂
∂ρ
(ρAρ) kˆ =
Aφkˆ
ρ
=
k
ρ
kˆ �B = Bzkˆ
�∇× �B = µ0 �J ⇒ �j = 1
µ0
�
�∇× �B
�
=
1
µ0
�
−∂Bz
∂ρ
�
φˆ = +
k
µ0ρ2
φˆ
10.10 Condic¸o˜es de Contorno na Magnetosta´tica
Vimos que existe uma descontinuidade no campo ele´trico em de superf´ıcies
carregadas, no sentido perpendicular a` essa superf´ıcie. Da mesma forma, o
campo magne´tico tambe´m e´ descont´ınuo numa superf´ıcie de corrente. Para
facilitar a ana´lise desse fenoˆmemo, vamos divid´ı-lo em 3 etapas, uma para
cada componente do campo magne´tico7:
7B⊥ = B⊥superficie, B
//
// = B
//corrente
//corrente , B
//
⊥
= B
//superficie
⊥corrente
190 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
10.10.1 Componente perpendicular a` superf´ıcie
Considere uma superf´ıcie percorrida por uma corrente I, cuja densidade su-
perficial e´ �k. Vamos envolver uma porc¸a˜o dessa superf´ıcie por um retaˆngulo
cujas faces possuem a´rea A, como mostrado na Figura 10.36.
Figura 10.36: Superf´ıcie fechada para ca´lculo do fluxo de B⊥
Como na˜o ha´ monopo´los magne´ticos:
�
S
�B · d�S = 0
Considerando apenas a componente do campo perpendicular a` superf´ıcie,
teremos fluxo apenas na face superior e inferior do retaˆngulo, portanto:
�
S
�B · d�S = B⊥acimaA− B⊥abaixoA = 0
B⊥acima = B
⊥
abaixo
Logo essa componente e´ cont´ınua.
10.10.2 Componente paralela a` superf´ıcie e paralela a`
direc¸a˜o da corrente
Para a mesma superf´ıcie descrita anteriormente, vamos trac¸ar uma amperi-
ana da forma como esta´ apresentada na Figura 10.37 .
10.10. CONDIC¸O˜ES DE CONTORNO NA MAGNETOSTA´TICA 191
Figura 10.37: Amperiana para ca´lculo de B
//
//
Nota-se que a corrente que passa pelo interior da amperiana e´ nula. Enta˜o,
aplicando a Lei de Ampe`re (10.32):
�
Γ
�B · d�l = B////acimal − B////abaixol = 0
B
//
//acima = B
//
//abaixo
Logo essa componente tambe´m e´ cont´ınua.
10.10.3 Componente paralela a` superf´ıcie e perpendi-
cular a` direc¸a˜o da corrente
Agora, ainda na mesma superf´ıcie, trac¸aremos uma outra amperiana, desta
vez em outra direc¸a˜o, como mostrado na Figura 10.38 .
Figura 10.38: Amperiana para ca´lculo de B⊥//
A corrente que passa pelo interor da amperiana e´ Iint = kl. Aplicando a
192 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
Lei de Ampe`re (10.32) encontramos que:
�
Γ
�B · d�l = B//
⊥acimal − B//⊥abaixol = µ0Iint
B
//
⊥acimal − B//⊥abaixol = µ0kl
B
//
⊥acima − B//⊥abaixo = µ0k
�B
//
⊥acima − �B//⊥abaixo = µ0
�
�k × �n
�
Conclui-se que o campo magne´tico, na direc¸a˜o paralela a` superf´ıcie e
perpendicular ao sentido da corrente, e´ descont´ınuo.
10.11 Expansa˜o em multipo´los
Assim como foi feito para o campo ele´trico, buscaremos uma forma de expres-
sar o potencial vetorial em uma se´rie de poteˆncias de
1
r
, onde r e´ a distaˆncia
do multipolo ate´ o ponto em questa˜o. A ide´ia e´ que esta equac¸a˜o seja u´til
para analisar o comportamento do campo magne´tic a` grandes distaˆncias.
Considere a espira apresentada na Figura 10.39 .
Figura 10.39: Posic¸a˜o do ponto P em relac¸a˜o a` espira
Vimos na Sec¸a˜o 10.9 que o potencial vetor, para densidades lineares, e´
dado por:
10.11. EXPANSA˜O EM MULTIPO´LOS 193
�A (�r) =
µ0
4π
�
Γ
�I
�
�r�
�
dl�����r − �r���� (10.46)
Podemos reescrever o denominador do integrando da seguinte maneira:
1���−→r −−→r� ��� =
1√
r2 + r�2 − 2rr� cos θ� =
1
r
∞�
n=0
�
r�
r
�n
pn cos θ
� (10.47)
Onde pn e´ o Polinoˆmio de Legendre
8. Considerando a corrente cons-
tante e substitu´ındo 10.47 em 10.46 , encontramos a expressa˜o de multipo´los
magne´ticos:
�A (�r) =
µ0I
4π
∞�
n=0
1
rn+1
�
Γ
(r�)
n
pn cos (θ
�) d�l�
E´ interessante notar que o termo correspondente ao monopo´lo (n=0) e´
1
r
�
Γ
d�l� = 0, o que esta´ de acordo com os observac¸o˜es. Enta˜o, o termo mais
importante da sequeˆncia corresponde ao dipolo magne´tico (n=1):
�Adipolo =
µ0I
4πr2
�
Γ
�
rˆ · �r�
�
d�l� =
µ0
4πr2
�µ× rˆ
Onde µ e´ o momento de dipolo magne´tico definido na equac¸a˜o 10.14.
8Pn(x) =
1
2nn!
�
d
dx
�n �
x2 − 1�n
194 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA