Integração Numérica - Cálculo Numérico - Instituto Tecnológico de Aeronáutica

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CCI-22
á lMatemática Computacional
Carlos Alberto Alonso Sanches
Juliana de Melo Bezerra
CCI-22
7) Integração Numérica) g ç
Fórmulas de Newton-Cotes, Quadratura Adaptativa
CCICCI--2222
ƒ Definiçãoç
ƒ Fórmulas de Newton-Cotes
ƒ Regra dos trapézios
ƒ Regra de Simpsonƒ Regra de Simpson
ƒ Fórmula geral
ƒ Estimativas de erros
Mét d d Q d t Ad t tiƒ Método da Quadratura Adaptativa
CCICCI--2222
ƒ Definiçãoç
ƒ Fórmulas de Newton-Cotes
ƒ Regra dos trapézios
ƒ Regra de Simpsonƒ Regra de Simpson
ƒ Fórmula geral
ƒ Estimativas de erros
Mét d d Q d t Ad t tiƒ Método da Quadratura Adaptativa
DefiniçãoDefiniçãof çf ç
ƒ Em determinadas situações, pode ser muito díficil (e 
é i í l!) i li i f ã até impossível!) integrar analiticamente uma função 
f(x) no intervalo [a,b]: ∫b dx)x(f
ƒ Isso ocorre por exemplo quando o valor de f(x) é 
∫
a
dx)x(f
Isso ocorre, por exemplo, quando o valor de f(x) é 
conhecido em apenas alguns pontos do intervalo
ƒ Por outro lado, mesmo quando se dispõe da expressão , m m q p p
analítica de f(x), costuma ser vantajoso calcular sua 
integração numérica, pois se conta com uma boa 
 d estimativa do erro
ƒ A ideia básica é substituir trechos de f(x) por 
li ô i i d D d bl é polinômios aproximadores. Desse modo, o problema é 
resolvido através das integrações desses polinômios
Regra do retânguloRegra do retângulog gg g
ƒ Considerando apenas os pontos x0=a e x1=b de [a,b], 
 i i i ã d i t l uma primeira aproximação dessa integral, que 
chamaremos de I(f), pode ser obtida do seguinte modo:
f(a)(b-a) ou
f(b)(b-a) ou
f(y )(b a) onde y = (a+b)/2
I(f) =f(x)
f(a) 
f(y0) 
f(y0)(b-a), onde y0 = (a+b)/2
Supondo que seja disponível...
xb x
f(b) 
ƒ Generalizando para n+1 pontos em [a,b], onde h=(b-a)/n:
h[f( ) f( ) f( )] hΣf( ) 0 i 
xb = x1a = x0 y0 
h[f(x0) + f(x1) + ... + f(xn-1)] = hΣf(xi), 0≤i<n ou
h[f(x1) + f(x2) + ... + f(xn)] = hΣf(xi), 0<i≤n ou
h[f(y0) + f(y1) + ... + f(yn-1)] = hΣf(yi), onde yi = (xi+1+xi)/2, 0≤i<n
I(f) =
[f(y0) f(y1) f(yn-1)] f(yi), yi ( i+1 i) ,
ƒ É equivalente a aproximar f com polinômios de grau 0
CCICCI--2222
ƒ Definiçãoç
ƒ Fórmulas de Newton-Cotes
ƒ Regra dos trapézios
ƒ Regra de Simpsonƒ Regra de Simpson
ƒ Fórmula geral
ƒ Estimativas de erros
Mét d d Q d t Ad t tiƒ Método da Quadratura Adaptativa
Fórmulas de Fórmulas de NewtonNewton--CotesCotesmm
ƒ Nas Fórmulas de Newton-Cotes, f(x) é , ( )
interpolada por um polinômio em n+1 pontos de 
[a=x0,b=xn], igualmente espaçados[ 0, n], g p ç
ƒ Há outros métodos para o caso em que os pontos 
não são equidistantes entre si mas não os não são equidistantes entre si, mas não os 
estudaremos neste curso
C d s bi t l [ ] t t h h d ss ƒ Cada subintervalo [xi,xi+1] tem tamanho h: desse 
modo, xi+1–xi = h = (b-a)/n, 0≤i<n 
ƒ Principais fórmulas de Newton-Cotes:
ƒ Regra dos trapéziosg p
ƒ Regra de Simpson
CCICCI--2222
ƒ Definiçãoç
ƒ Fórmulas de Newton-Cotes
ƒ Regra dos trapézios
ƒ Regra de Simpsonƒ Regra de Simpson
ƒ Fórmula geral
ƒ Estimativas de erros
Mét d d Q d t Ad t tiƒ Método da Quadratura Adaptativa
Regra simples dos trapéziosRegra simples dos trapéziosg mp pg mp p
ƒ Consiste em aproximar f com um polinômio p1(x) de 
 1 i t l [ b] d bgrau 1 no intervalo [a,b], onde x0=a e x1=b:
f(x)
p1(x)
f(x1) 
f(x0) 
IT(f)
xb = x1a = x0 
ƒ Usando a fórmula de Lagrange para p1(x):
)f(d)](fxx)(fxx[d)(d)(f 0
x
1
xb 11 −−∫∫∫ )f(Idx)]x(fhxx)x(fhxx[dx)x(pdx)x(f T100x 1x 1a 00 =+−=≈ ∫∫∫
A i I (f) h[f( ) f( )]/2 é á d é i ƒ Assim, IT(f) = h[f(x0)+f(x1)]/2, que é a área do trapézio 
de altura h = x1-x0 e bases f(x0) e f(x1)
Regra composta dos trapéziosRegra composta dos trapéziosg mp pg mp p
ƒ Consiste em dividir [a,b] em n subintervalos de 
tamanho h, e em cada um deles aproximar f por uma 
reta (ou seja, por um polinômio de grau 1)
E l 4ƒ Exemplo para n=4:
f( )
T0 T1
IT(f) = T(h) = ΣTi(h), 0≤i<n
f(x)
T1
T2 T3 T(h) = Σh[f(xi)+f(xi+1)]/2, 0≤i<n
xb = x4a = x0 x1 x2 x3 
])()()()([)( xfxfxfxfhhT n0 ++++= L ])()([)(
2
xfxf
2
hhT 1n1 ++++= −
ExemploExemplompmp
ƒ Calcular a integral de f(x) = (6x-5)1/2 no intervalo [1;9] g
através das regras simples e composta dos trapézios
ƒ Regra simples dos trapézios:g p p
ƒ Sabemos que x0=1, x1=9, f(x0)=1, f(x1)=7, h=8
ƒ IT(f) = h[f(x0)+f(x1)]/2 = 32
ƒ Regra composta dos trapézios:
ƒ Vamos considerar n=8 e h=1
ƒ Tabela de valores:
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f( ) 1 00 2 65 3 61 4 36 5 00 5 57 6 08 6 56 7 00f(x) 1,00 2,65 3,61 4,36 5,00 5,57 6,08 6,56 7,00
ƒ T(1) = 1(0,5 + 2,65 + 3,61 + 4,36 + 5 + 5,57 + 6,08 + 6,56 + 3,5)
T(1) 37 8 ƒ T(1) = 37,8 
ƒ Valor exato dessa integral: 38
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ƒ Definiçãoç
ƒ Fórmulas de Newton-Cotes
ƒ Regra dos trapézios
ƒ Regra de Simpsonƒ Regra de Simpson
ƒ Fórmula geral
ƒ Estimativas de erros
Mét d d Q d t Ad t tiƒ Método da Quadratura Adaptativa
Regra simples de SimpsonRegra simples de Simpsong mp mpg mp mp
ƒ Consiste em aproximar f com um polinômio p2(x) de 
 2 i t l [ b] 3 tgrau 2 em um intervalo [a,b] com 3 pontos:
f(x)
f(x ) p2(x)
f(x1) 
f(x0) 
f(x2) 
xx1a = x0 b = x2
ƒ Usando a fórmula de Lagrange para p2(x):
))(())(())(( xxxxxxxxxxxx −−−−−− )(
)(
))(()(
)(
))(()(
)(
))(()( 2101200212 xfhh2
xxxxxf
hh
xxxxxf
h2h
xxxxxp −−+−
−−+−−
−−=
ƒ Portanto:
dxxf
h2
xxxxxf
h
xxxxxf
h2
xxxxxpfI 22
10
12
20
02
21
x
x
x
x
2S
2
0
2
0
)]())(()())(()())(([)()( −−+−−−−−== ∫∫
Regra simples de SimpsonRegra simples de Simpsong mp mpg mp mp
dxxf
h2
xxxxxf
h
xxxxxf
h2
xxxxxpfI 22
10
12
20
02
21
xx
2S
22
)]())(()())(()())(([)()( −−+−−−−−== ∫∫ fh2fhfh2pf 221202xx 2S 00 )]()()([)()( ∫∫
ƒ Trocas de variáveis:
ƒ x – x0 = z.h ⇒ x = x0 + z.h 
ƒ dx = h.dz
ƒ x = x + h ƒ x1 = x0 + h 
ƒ x – x1 = x0 + z.h – (x0 + h) = (z-1)h
ƒ Analogamente, x – x2 = (z-2)hg , 2 ( )
ƒ x = x0⇒ z = 0; x = x1 ⇒ z = 1; x = x2⇒ z = 2
ƒ Substituindo na integral acima:g m
∫∫∫ −+−−−−= 2
0
2
2
0
1
2
0
0 1
2
221
2
dz)z(zh)x(fdz)z(zh)x(fdz)z)(z(h)x(f)f(IS
000
)]x(f)x(f4)x(f[
3
h)f(I 210S ++=
Regra composta de SimpsonRegra composta de Simpsong mp mpg mp mp
ƒ Consiste em generalizar a regra de Simpson para um 
i t l ú í d t intervalo com um número ímpar de pontos x0, x1, ..., xn
(onde n é maior que 1 e par), espaçados entre si pela 
distância hdistância h
ƒ Em cada subintervalo, a função será aproximada 
através de um polinômio de grau 2através de um pol nôm o de grau 
ƒ Exemplo com 5 pontos:
S0
f(x)
IS(f) = S(h) = ΣSi(h), 0≤i<n/2
(h) Σh[f( ) 4f( ) f( )]/3 0 /2S0
S1
xb = x4a = x0 x1 x2 x3 
S(h) = Σh[f(x2i)+4f(x2i+1)+f(x2i+2)]/3, 0≤i<n/2
))]x(f)x(f)x(f(2))x(f)x(f)x(f(4)x(f)x(f[
3
h)h(S 2n421n31n0 −− +++++++++= LL
ExemploExemplompmp
ƒ Através das regras simples e composta de Simpson, 
calcular ∫10
6
xdxlog
hƒ Regra simples de Simpson:
ƒ h = (10-6)/2 = 2
)]()()([)( 210S xfxf4xf3
hfI ++=
ƒ Is(f) = 2(log 6 + 4.log 8 + log 10)/3
ƒ Is(f) = 3,5936742
ƒ Na regra composta de Simpson, vamos considerar n=8:
ƒ h = (10-6)/8 = 0,5
ƒ Is(f) = 0,5[log 6 + log 10 + 4.(log 6,5 + log 7,5 + log 8,5 + log 9,5) 
+ 2(log 7 + log 8 + log 9)]/3
I (f) 3 5939136ƒ Is(f) = 3,5939136
ƒ Valor dessa integral: ≈ 3,59391457
CCICCI--2222
ƒ Definiçãoç
ƒ Fórmulas de Newton-Cotes
ƒ Regra dos trapézios
ƒ Regra de Simpsonƒ Regra de Simpson
ƒ Fórmula geral
ƒ Estimativas de erros
Mét d d Q d t Ad t tiƒ Método da Quadratura Adaptativa
Fórmula geral de NewtonFórmula geral de Newton--CotesCotesm gm g
ƒ É possível encontrar a fórmula geral da integração deli ô i i t l d ( ) d um polinômio interpolador pm(x) de grau m que 
aproxima a função f(x) em um intervalo [a,b]
ƒ Para isso é preciso determinar m+1 pontos em [a b] ƒ Para isso, é preciso determinar m+1 pontos em [a,b], 
espaçados entre si pela distância h
ƒ Usando a fórmula de Lagrange:ƒ Usando a fórmula de Lagrange:
])()()()()()([)()()( dxxLxfxLxfxLxfdxxpfIdxxf mm
x
1100
x
m
x mmm
+++==≈ ∫∫∫ L ])()()()()()([)()()( fffpff mm
x
1100
x
m
x 000
∫∫∫
mm m xx x ∫∫ ∫ dxxLxfdxxLxfdxxLxffI
00 0 x
mm
x x
1100 ∫∫ ∫ +++= )()()()()()()( L
)()()()( mm1100 xfAxfAxfAfI +++= L Expressão da fórmula geral
Alguns casos particularesAlguns casos particularesg pg p
ƒ Dados m+1 pontos da função f(x) espaçados com distância h no 
intervalo [a b] onde x =a e x =b e supondo que f(x) seja intervalo [a,b], onde x0=a e xm=b, e supondo que f(x) seja 
interpolada pelo polinômio pm(x) de grau m, indicamos abaixo 
algumas fórmulas de Newton-Cotes:
m = 1 )]()([)( 10 xfxf2
hfI += Trapézio
h
m = 2 )]()()([)( 210 xfxf4xf3
hfI ++= Simpson 1/3
h3m = 3 )]()()()([)( 3210 xfxf3xf3xf8
h3fI +++= Simpson 3/8
m = 4 )]()()()()([)( 43210 xf7xf32xf12xf32xf745
h2fI ++++=
m = 5 )]()()()()()([)( 543210 xf19xf75xf50xf50xf75xf19288
h5fI +++++=
CCICCI--2222
ƒ Definiçãoç
ƒ Fórmulas de Newton-Cotes
ƒ Regra dos trapézios
ƒ Regra de Simpsonƒ Regra de Simpson
ƒ Fórmula geral
ƒ Estimativas de erros
Mét d d Q d t Ad t tiƒ Método da Quadratura Adaptativa
Estimativas de errosEstimativas de errosmm
ƒ Já vimos que o erro da interpolação de f(x) com um 
polinômio de grau m em m+1 pontos no intervalo [x0,xm] 
é Em(x) = (x - x0)(x – x1)...(x – xm)f(m+1)(ξ)/(m+1)!, ∀x ∈ [x x ] onde ξ ∈ (x x )∀x ∈ [x0,xm], onde ξ ∈ (x0,xm)
ƒ Portanto:
)()()( xExpxf mm +=
∫∫ += m
0
m
0
x
x
m
x
x
dxxEfIdxxf )()()(
00 xx
∫∫ +mm
x )1m(x
d)ξ(f)())(()f(Id)(f ∫∫ +−−−+=
00 x
m10
x
dx
)!1m(
)ξ(f)xx()xx)(xx()f(Idx)x(f K
Erro na regra dos trapéziosErro na regra dos trapéziosg pg p
ƒ Na regra simples dos trapézios, o polinômio interpolador tem grau 1:
∫∫ =−−= 1
0
1
0
x
x
x
x
10TS dx)ξ(''f)x(g2
1dx
2
)ξ(''f)xx)(xx(E , onde g(x) = (x – x0)(x – x1)
ƒ Como ξ depende de x, não podemos tirar f’’(ξ) para fora da 
integral, mas veremos um artifício para fazer isso...
 ( ) ( )ƒ Sabemos que g(x) < 0, ∀x ∈ (x0,x1)
ƒ Se f’’(x) for contínua em [x0,x1], existem k1 ∈ R e k2 ∈ R tais que 
k1 ≤ f’’(x) ≤ k2 nesse intervalok1 ≤ f (x) ≤ k2 nesse intervalo
ƒ Portanto, g(x).k1 ≥ g(x).f’’(ξ) ≥ g(x).k2, pois g(x) ≤ 0
ƒ Logo: x
d)ξ(''f)(
1∫∫∫∫ ≤≤ 1
0
1
0
1
0
x
x
1
x
x
x
x
2 dx)x(gkdx)ξ(''f)x(gdx)x(gk 2x
x
1 k
dx)x(g
dx)ξ(''f)x(g
k
1
0 ≤≤
∫
∫
⇔
x
)(g
0
∫
< 0 < 0
= A
Erro na regra dos trapéziosErro na regra dos trapéziosg pg p
ƒ Da hipótese de f’’(x) ser contínua em [x0,x1], e como k1 ≤ A ≤ k2, 
tã i t ( ) t l f’’( ) A jentão existe c ∈ (x0,x1) tal que f’’(c) = A, ou seja:
∫∫ = 11
xx
dx)x(g)c(''fdx)ξ(''f)x(g Teorema do Valor Médio para integrais
00 xx
ƒ Voltando à fórmula do erro:
)(''fhd)()(''f1d)ξ(''f)(1E
3xx 11 −∫∫ d ( ) )c(''f12hdx)x(g)c(''f21dx)ξ(''f)x(g21E xxTS 00 === ∫∫ , onde c ∈ (x0,x1) 
ƒ No caso da regra composta dos trapézios:No caso da regra composta dos trapézios
12
)c(''fhE i
1m
0i
3
TC ∑−
=
−= , onde ci ∈ (xi,xi+1), 0≤i<m
ƒ Como supomos que f’’(x) é contínua em [x0,xm], existe k ∈ (x0,xm) 
tal que:
1∑−
=
=
1m
0i
i )k(''mf)c(''f ⇒ 12
)k(''fmhE
3
TC −= , onde k ∈ (x0,xm)
Erro na regra de Erro na regra de Simpson 1/3Simpson 1/3gg mpmp
ƒ Como os pontos são equidistantes entre si, as fórmulas de 
Newton Cotes podem ser deduzidas através da integração dos Newton-Cotes podem ser deduzidas através da integração dos 
polinômios integradores na forma de Newton-Gregory
ƒ Faremos isso em particular para o polinômio de terceiro grau:p p p g
ƒ x - xi = (s – i)h, 0≤i≤n
ƒ p(x) = f(x0) + s∆f(x0) + s(s–1)∆2f(x0)/2 + s(s-1)(s-2)∆3f(x0)/6
ƒ E(x) = s(s-1)(s-2)(s-3)h4f(4)(ξ)/4!
ƒ Portanto:
x )4(x )ξ(f
ƒ dx = h ds e os extremos da integral vão de 0 a 2:
∫∫ −−−+== 2
0
2
0
x
x
)4(
4
x
x
dx]
!4
)ξ(fh)3s)(2s)(1s(s)x(p[dx)x(fI
ƒ dx = h.ds, e os extremos da integral vão de 0 a 2:
∫ −−−+−−+−++= 2
0
4
)4(
0
3
0
2
00 ds]h)3s)(2s)(1s(s24
)ξ(f)2s)(1s(s
6
)x(f∆)1s(s
2
)x(f∆s)x(f∆)x(f[hI
ƒ Através dos mesmos artifícios anteriores, podemos considerar 
f(4)(ξ) como constante no intervalo de integração
Erro na regra de Erro na regra de Simpson 1/3Simpson 1/3gg mpmp
2
4)4(
2345
0
3
234
0
2
23
0
2
0 h)ξ(f8
s
72
s11
16
s
120
s)x(f∆
6
s
6
s
24
s)x(f∆
4
s
6
s)x(f∆
2
s)x(sfhI ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+−+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −++=
ƒ Calculando nos extremos:
⎥⎤⎢⎡ 4)4(30
2
h)ξ(f1)(f∆0)x(f∆)(f∆2)(f2hI
0
0000 872161206624462 ⎥⎦⎢⎣ ⎟⎠⎜⎝⎟⎠⎜⎝⎟⎠⎜⎝
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+++= 4)4(03000 h)ξ(f90
1)x(f∆.0
3
)x(f∆)x(f∆2)x(f2hI
ƒ Lembrando: ∆f(x0) = f(x1) – f(x0) e ∆2f(x0) = f(x2) – 2f(x1) + f(x0):
5)4(
210 h)ξ(f90
1)]x(f)x(f4)x(f[
3
hI −++=
( 0) ( 1) ( 0) ( 0) ( 2) ( 1) ( 0)
Simpson 1/3 ESS
ƒ Esse resultado é muito curioso: o uso da regra de Simpson 1/3 
(isto é, integração com um polinômio de grau 2) garante precisão 
até a terceira ordem!até a terceira ordem!
ƒ No caso da regra composta de Simpson 1/3, as parábolas serão 
traçadas a cada 2 subintervalos. Portanto, será preciso somar m/2 
erros
ƒ Considerando o valor médio das derivadas de ordem 4: 180
)ξ(fmhE
)4(5
SC −=
Alguns casos particularesAlguns casos particularesg pg p
)ξ(fhE ''
3
T −=Trapézio ( i l ) ξ ∈ (x0 x1))ξ(f12ETS =(simples):
hh 23é
ξ ∈ (x0,x1)
)ξ(f
12
h)ab()ξ(f
12
hmE ''
2
''
3
TC −−=−=Trapézio(composta): ξ ∈ (x0,xm)
Simpson 1/3 
(simples): )ξ(f90
hE )4(
5
SS −= ξ ∈ (x0,x2)
Simpson 1/3 )ξ(fh)ab()ξ(fhmE )4(
4
)4(
5
== ξ ∈ (x x )(composta): )ξ(f180)ab()ξ(f180mE
)()(
SC −−=−= ξ ∈ (x0,xm)
Importante: De modo análogo ao erro da interpolação, as diferenças 
divididas de ordem n possibilitam uma estimativa do valor de f(n)(ξ)
Teorema Geral do ErroTeorema Geral do Erromm
ƒ Seja a função f(x) contínua e com derivadas até ordem m+2 
t bé tí i t l [ b ] 1 t também contínuas no intervalo [a = x0, b = xm] com m+1 pontos 
equidistantes, onde xi+1 - xi = h, 0≤i<m 
ƒ O erro Em na integração numérica de f(x) através do polinômio m g ç f( ) p
interpolador de grau m que passa por esses pontos será:
∫++ m)1m(2m )ξ(fh í∫ −−+= 0m ds)ms()1s(s)!1m(
)ξ(fhE L para m ímpar
∫ −−−+=
++ m
0
)2m(3m
m ds)ms()1s(s)2
ms(
)!2m(
)ξ(fhE L para m par
x – xi = (s – i).h ξ ∈ [a,b]
ƒ É possível observar que, de modo geral, o erro tende a diminuir à 
medida que h diminui e m aumenta 
ExemploExemplompmp
ƒ Cálculo da integração numérica de ∫1 xdxe
ƒ Resultado exato: e - 1 ≈ 1,7182818
∫
0
h Trapézio Simpson 1/3 Newton-Cotescom m=4
0 25 1 7272219 1 7183188 1 74085480,25 1,7272219 1,7183188 1,7408548
0,125 1,7205186 1,7192841 1,7182818
0,0625 1,7188411 1,7182820 1,7182818
0,03125 1,7184216 1,7182818 1,7182818
ƒ Quanto mais baixa a ordem da fórmula utilizada menor ƒ Quanto mais baixa a ordem da fórmula utilizada, menor 
deverá ser o h para se atingir a precisão desejada
Outro exemploOutro exemplompmp
ƒ Cálculo da integração numérica de ∫2/π xdxcos
ƒ Resultado exato: sen π/2 – sen 0 = 1
V l s btid s us nd p n s N t n C t s c m m 4:
∫
0
ƒ Valores obtidos usando apenas Newton-Cotes com m=4:
n h Resultado
4 0,3926990 0,9999908210
Intervalo com
8 0,1963495 0,9999986890
16 0 0981748 0 9999987480
Intervalo com
n+1 pontos16 0,0981748 0,9999987480
32 0,0490874 0,9999980830 Resultado mais próximo
64 0,0245437 0,9999973350
p
Composição do erroComposição do erromp çmp ç
ƒ Na verdade, o erro Em é composto por duas parcelas:
ƒ EA (aproximação): depende do método utilizado
ƒ ER (representação): proveniente dos cálculos no computador
E i t l t t i t lt d ƒ Experimentalmente, temos os seguintes resultados 
(valor do erro em função da quantidade de pontos no 
intervalo):intervalo):
EA ER Em
n n nn*
P t t ó t * ã é í l t ƒ Portanto, após um certo n*, não é possível aumentar a 
exatidão do resultado...
CCICCI--2222
ƒ Definiçãoç
ƒ Fórmulas de Newton-Cotes
ƒ Regra dos trapézios
ƒ Regra de Simpsonƒ Regra de Simpson
ƒ Fórmula geral
ƒ Estimativas de erros
Mét d d Q d t Ad t tiƒ Método da Quadratura Adaptativa
Método da Quadratura AdaptativaMétodo da Quadratura AdaptativaQ pQ p
ƒ Considere uma função f(x) que não seja bem 
comportada:
f(x)
xa b
ƒ Para melhorar o resultado da integração numérica de 
f(x) no intervalo [a,b], convém que haja mais subdivisões j
nos trechos mais abruptos
ƒ Supondo que os valores de f(x) sejam conhecidos nos 
b l b é b l é d subintervalos, o objetivo é estabelecer um método 
capaz de reconhecer a vantagem ou não de subdividi-los
Bisseção em um subintervaloBisseção em um subintervaloç m mç m m
ƒ Seja Ii o valor exato da integral de f(x) em [xi, xi+1], seja Pi o valor 
da integração numérica nesse subintervalo através da regra da integração numérica nesse subintervalo através da regra 
simples do trapézio, e seja Qi um novo resultado ao se aplicar a 
regra composta do trapézio nesse subintervalo bissecionado
ƒ Pelo Teorema Geral do Erro, sabemos que:
ƒ Ii – Pi = -(h3/12).f’’(ξ1)
ƒ I Q = 2((h/2)3/12) f’’(ξ )ƒ Ii – Qi = -2((h/2)3/12).f (ξ2)
ƒ Considerando f’’(x) limitada em [xi, xi+1], temos:
ƒ (I – P )/(I – Q ) ≈ h3/(2(h/2)3)ƒ (Ii Pi)/(Ii Qi) ≈ h /(2(h/2) )
ƒ (Ii – Pi)/(Ii – Qi) ≈ 22
ƒ Supondo que as derivadas de mais alta ordem de f(x) também p q
sejam limitadas nesse mesmo subintervalo, é possível calcular 
relações análogas quando se aplicam outros métodos:
ƒ Simpson 1/3: (Ii – Pi)/(Ii – Qi) ≈ 24Simpson 1/3: (Ii Pi)/(Ii Qi) ≈ 2
ƒ Simpson 3/8: (Ii – Pi)/(Ii – Qi) ≈ 24
ƒ Newton-Cotes de ordem 4: (Ii – Pi)/(Ii – Qi) ≈ 26
Critério de paradaCritério de paradapp
ƒ Consideremos que (Ii – Pi)/(Ii – Qi) ≈ 2p, ou seja, a bisseção no 
bi t l [ ] di i i d i t ã f t 2psubintervalo [xi, xi+1] diminuiu o erro de integração em um fator 2p
ƒ Portanto:
2p(I Q ) ≈ (I P ) ƒ 2p(Ii – Qi) ≈ (Ii – Pi) 
ƒ 2pIi – 2pQi + Qi ≈ Ii – Pi + Qi
ƒ 2pIi - 2pQi + Qi - Ii ≈ -Pi + QiIi Qi Qi Ii Pi Qi
ƒ 2p(Qi – Ii) – (Qi – Ii) ≈ Pi - Qi
ƒ Qi – Ii ≈ (Pi - Qi)/(2p – 1)
ƒ Isso estabelece uma relação entre o erro em Qi e a diferença 
entre duas aproximações sucessivas
S d j l i ã [ b] ƒ Se desejamos manter um erro total ε na integração em [a,b], 
então o erro em [xi, xi+1] deve contribuir proporcionalmente:
ƒ |Qi – Ii| < ε(xi+1 – xi)/(b – a)|Qi Ii| ε(xi+1 xi)/(b a)
ƒ |Pi - Qi| < ε(2p – 1)(xi+1 – xi)/(b – a)
Critério de parada
ExemploExemplompmp
ƒ Vejamos como aplicar a quadratura adaptativa à regra 
d 1/ b l d bde Simpson 1/3 no subintervalo [xi, xi+1] de [a, b]:
)]()()(())()()(()()([)( xfxfxf2xfxfxf4xfxfhhS +++++++++ )]()()(())()()(()()([)( 2n421n31n0 xfxfxf2xfxfxf4xfxf3hS −− +++++++++= LL
hi = xi+1 - xiPontos 
Regra composta
)]()()([ iiiiiii hxf2
hxf4xf
6
hP ++++=xxi+1xi
P 
para Pi
)]())()(()()([
2
hxf2
4
h3xf
4
hxf4hxfxf
12
hQ iiiiiiiiiii ++++++++=
Pontos 
para Qi
Critério de parada: |Pi - Qi| < 15hiε/(b – a)
d é f d h d Quando não é satisfeito, ocorrem duas chamadas recursivas: 
em [xi, xi+hi/2] e em [xi+hi/2, xi+1]
MatLabMatLab
ƒ trapz(x,y)
ƒ Através da regra composta dos trapézios, retorna o valor da integral da função 
tabulada em x e y
ƒ Exemplo:p
ƒ x = [1:0.1:2]
ƒ y = sin(x)
ƒ integral = trapz(x,y)g p y
ƒ quad(fun,a,b)
ƒ Através da quadratura adaptativa de Simpson 1/3, calcula a integral da função 
fun no intervalo [a b] com erro total 10-6fun no intervalo [a,b] com erro total 10 6
ƒ Exemplo:
ƒ integral = quad(inline('0.2+25*x-200*x.^2+675*x.^3-900*x.^4+400*x.^5'),0,.8)