Econometria - Capitulos 6

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ECONOMETRIA
Prof. Patricia Maria Bortolon, D. Sc.
Cap. 6 – Extensões do Modelo de 
Regressão Linear de Duas Variáveis
Fonte: GUJARATI; D. N. Econometria Básica: 4ª Edição. 
Rio de Janeiro. Elsevier- Campus, 2006
A regressão que passa pela origem
𝑌𝑖 = 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖
• Exemplo: modelo de formação de preços de ativos da 
moderna teoria de portfólio (CAPM), na sua forma de 
prêmio de risco
𝐸𝑅𝑖 − 𝑟𝑓 = 𝛽𝑖(𝐸𝑅𝑚 − 𝑟𝑓)
• Para fins empíricos é muitas vezes expressa como:
𝑅𝑖 − 𝑟𝑓 = 𝛽𝑖(𝑅𝑚 − 𝑟𝑓) + 𝑢𝑖
• ou
𝑅𝑖 − 𝑟𝑓 = 𝛼𝑖 − 𝛽𝑖(𝑅𝑚 − 𝑟𝑓) + 𝑢𝑖
Variável dependente Variável independente
A regressão que passa pela origem
• 𝛽𝑖 é estimado a partir da linha característica:
𝑅𝑖𝑡 = 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖𝑟𝑚𝑡 + 𝑢𝑖
Então a teoria explicita que no modelo:
𝑅𝑖 − 𝑟𝑓 = 𝛼𝑖 − 𝛽𝑖(𝑅𝑚 − 𝑟𝑓) + 𝑢𝑖
𝛼𝑖 seja igual a zero.
A regressão que passa pela origem
• Aplicando MQO à FRA:
𝑌𝑖 = 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖
• Encontramos:
 𝛽2 =
 𝑋𝑖𝑌𝑖
 𝑋𝑖
2
𝑣𝑎𝑟 𝛽2 =
𝜎2
 𝑋𝑖
2
 𝜎2 =
 𝑢𝑖
2
𝑛 − 1
A regressão que passa pela origem
• ... que comparadas às obtidas com o termo de 
intercepto:
 𝛽2 =
 𝑥𝑖𝑦𝑖
 𝑥𝑖
2 𝑣𝑎𝑟
 𝛽2 =
𝜎2
 𝑥𝑖
2 𝜎
2 =
 𝑢𝑖
2
𝑛 − 2
• Observamos as seguintes diferenças:
– Lidamos com variáveis brutas e não as ajustadas à média
– Graus de liberdade para cálculo de 𝜎2 = n − 1
– 𝑢𝑖 ≠ 0, consequentemente, a média das previsões será 
diferente da média das observações
𝑌𝑖 = 𝑌𝑖 + 𝑢𝑖 𝑌 =
 𝑌 + 𝑢 𝑌 ≠ 𝑌
A regressão que passa pela origem
• Observamos as seguintes diferenças:
– O r2 pode ser negativo. O r2 convencional pode não ser 
adequado a esses modelos. Pode-se calcular, entretanto, o r2
bruto que também atende a relação 0 < r2 < 1, mas não deve 
ser comparado ao r2 convencional.
𝑟𝑏𝑟𝑢𝑡𝑜
2 =
 𝑋𝑖𝑌𝑖
2
 𝑋𝑖
2 𝑌𝑖
2
– Regressões pela origem só devem ser usadas se houver 
indicação teórica forte “a priori”
– Melhor estimar com intercepto, e se ele for não significativo 
estimar sem ele
– Além disso, omiti-lo desnecessariamente seria um “erro de 
especificação” violando a Premissa 9 do MLRC
Escalas e unidades de medida
• FRA: 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖
• Seja: 𝑌𝑖
∗ = 𝑤1𝑌𝑖
𝑋𝑖
∗ = 𝑤2𝑋𝑖
𝑌𝑖
∗ = 𝛽1
∗ + 𝛽2
∗𝑋𝑖
∗ + 𝑢𝑖
∗
• As relações entre as estimativas são:
 𝛽2
∗ =
𝑤1
𝑤2
 𝛽2
𝑣𝑎𝑟 𝛽2
∗ =
𝑤1
𝑤2
2
𝑣𝑎𝑟 𝛽2
 𝛽1
∗ = 𝑤1 𝛽1
𝑣𝑎𝑟 𝛽1
∗ = 𝑤1
2𝑣𝑎𝑟 𝛽1
 𝜎∗
2
= 𝑤1
2 𝜎2 𝑟𝑥𝑦
2 = 𝑟𝑥∗𝑦∗
2
Ver exemplos numéricos pag.139 e observação no topo da pag. 140
Regressão com variáveis padronizadas
• 𝑌𝑖
∗ =
𝑌𝑖− 𝑌
𝑆𝑌
𝑋𝑖
∗ =
𝑋𝑖− 𝑋
𝑆𝑋
• Média de 𝑋𝑖
∗ e 𝑌𝑖
∗ é sempre 0 e desvio padrão sempre 1
• Uma regressão com variáveis dependentes e 
independentes padronizadas terá sempre intercepto 
igual a zero
𝑌𝑖
∗ = 𝛽1
∗ + 𝛽2
∗𝑋𝑖
∗ + 𝑢𝑖
∗
= 𝛽2
∗𝑋𝑖
∗ + 𝑢𝑖
∗
Pois 𝛽1
∗ = 𝑌 − 𝛽2
∗ 𝑋
Regressão com variáveis padronizadas
• Interpretação de β:
– Para cada aumento de 1 desvio padrão da variável 
independente a variável dependente aumenta 𝛽2
∗ desvios 
padrão.
• Qual a vantagem?
– Em modelos com mais do que um regressor podemos avaliar 
seus efeitos em uma mesma base. Os coeficientes passam a 
medir a força relativa dos vários regressores.
– Se um coeficiente padronizado for maior do que o outro 
regressor no mesmo modelo, então ele contribui mais para a 
explicação do regressando do que o segundo.
Modelos log-log (ou log-linear)
• Imagine o seguinte modelo de regressão exponencial:
𝑌𝑖 = 𝛽1𝑋𝑖
𝛽2 + 𝑒𝑢𝑖
• Que também pode ser expresso como:
𝑙𝑛𝑌𝑖 = 𝑙𝑛𝛽1 + 𝛽2𝑙𝑛𝑋𝑖 + 𝑢𝑖
• Estimando por MQO o modelo:
𝑌𝑖
∗ = 𝛼 + 𝛽2 𝑋𝑖
∗ + 𝑢𝑖
• Teremos:
– 𝛽2 mede a elasticidade de Y em relação a X
– 𝛽2 mede a variação percentual em Y para dada variação 
percentual (pequena) em X
– Uma dica para verificar se esse é um bom caminho é fazer o 
diagrama de dispersão lnY x lnX, e ver se há sinais de relação 
linear
Modelos log-log (ou log-linear)
Porque mede a elasticidade:
𝑙𝑛𝑌 = 𝛼 + 𝛽𝑙𝑛𝑋
Derivando em relação a X cada um dos lados:
𝑑(𝑙𝑛𝑌)
𝑑𝑥
=
1
𝑌
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑(𝛼 + 𝛽𝑙𝑛𝑋)
𝑑𝑥
= 𝛽
1
𝑋
Igualando:
1
𝑌
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝛽
1
𝑋
𝛽 =
𝑋
𝑌
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑌
𝑑𝑥
𝑋
Modelos Semilogarítmicos
Modelos log-lin
• Ex: se quisermos avaliar a taxa de crescimento de uma 
variável
𝑌𝑡 = 𝑌0 1 + 𝑟
𝑡 onde r = taxa de crescimento
composta ou geométrica
𝑙𝑛𝑌𝑡 = 𝑙𝑛𝑌0 + 𝑡. 𝑙𝑛(1 + 𝑟)
𝑙𝑛𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡
é o modelo de taxa de 
crescimento
𝛽1 𝛽2
t é a variável X: 1, 2, 3, ...
Modelos Semilogarítmicos
Modelos log-lin
𝛽2 = ln 1 + 𝑟
ln 1 + 𝑟 = 𝛽2
• 𝛽2 dá a taxa de crescimento instantânea (em um 
ponto no tempo)
• Para obter a taxa composta (ao longo de um período)
1 + 𝑟 = 𝑒𝛽2
𝑟 = 𝑒𝛽2 − 1
Modelos Semilogarítmicos
• Se ao invés de log Y, faz-se a regressão com Y temos 
um modelo de tendência linear
𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝑢𝑡
• Expressará uma variação absoluta e não relativa (no 
período)
Modelos Semilogarítmicos
Modelos log-lin
𝑙𝑛𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑙𝑛𝑌𝑖 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝛽1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝛽2𝑋𝑖 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑢𝑖
𝑑𝑦
𝑑𝑥
1
𝑌
= 𝛽2
𝛽2 =
 𝑑𝑦 𝑌
𝑑𝑥
𝛽2 =
 ∆𝑌 𝑌
∆𝑋
=
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 % 𝑒𝑚 𝑌
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 𝑒𝑚 𝑋
• Taxa de crescimento de Y
• Semi-elasticidade de Y
Modelos Semilogarítmicos
Modelos lin-log
Para conhecer a variação absoluta de Y dada uma variação 
percentual de X
𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑙𝑛𝑋𝑖 + 𝑢𝑖
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑌𝑖 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝛽1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝛽2𝑙𝑛𝑋𝑖 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑢𝑖
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝛽2
1
𝑋
𝛽2 =
𝑋𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
 𝑑𝑥 𝑋
𝛽2 =
∆𝑌
 ∆𝑋 𝑋
=
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 𝑒𝑚 𝑌
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 % 𝑒𝑚 𝑋
∆𝑌 = 𝛽2 
∆𝑋
𝑋
Modelos Semilogarítmicos
Modelos lin-log
∆𝑌 = 𝛽2 
∆𝑋
𝑋
• Assim, para interpretar o efeito de X em Y num modelo lin-
log, é preciso multiplicar 𝛽2 pela variação relativa de X, em 
geral = 1% ou 0,01, ou divide-se 𝛽2 por 100.
Por que usar logaritmos?
• log são invariantes à escala de variáveis, pois medem 
variações percentuais
• Fornecem estimativa direta da elasticidade
• Em modelos com Y>0, a distribuição condicional é 
geralmente heterocedástica e assimétrica => ln (Y)
atenua essas características
• A distribuição de ln (Y) reduz os efeitos dos outliers