Econometria - Capitulos 8

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ECONOMETRIA
Prof. Patricia Maria Bortolon, D. Sc.
Cap. 8 – Análise de Regressão 
Múltipla: o Problema da Inferência
Fonte: GUJARATI; D. N. Econometria Básica: 4ª Edição. 
Rio de Janeiro. Elsevier- Campus, 2006
A hipótese da normalidade
𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + 𝛽3𝑋3𝑖 + 𝑢𝑖
• Para fazer inferências precisamos supor que ui segue 
alguma distribuição de probabilidade.
• 11ª. Premissa: normalidade dos ui ~ N (0, σ
2)
• Sob esta premissa:
– Os estimadores são BLUE
– 𝛽1, 𝛽2 e 𝛽3 são normalmente distribuídos com médias iguais 
a 𝛽1, 𝛽2 e 𝛽3 e variâncias de acordo com Cap. 7 (pag. 168)
– 𝑛 − 3
 𝜎2
𝜎2
~χ𝑛−3
2
– Substituindo 𝜎2 nas expressões dos erros padrão dos 
coeficientes...
A hipótese da normalidade
𝑡 =
 𝛽1 − 𝛽1
𝑒𝑝( 𝛽1)
𝑡 =
 𝛽2 − 𝛽2
𝑒𝑝( 𝛽2)
𝑡 =
 𝛽3 − 𝛽3
𝑒𝑝( 𝛽3)
Segue a distribuição t com n – 3 graus de liberdade.
Por que 3 graus de liberdade?
t => para testar coeficientes parciais da regressão múltipla
χ2=> para testar hipóteses sobre o verdadeiro σ2 da 
população
Testes de hipóteses relativos aos coeficientes 
de regressão individuais
• H0: β2 = 0
• H1: β2 ≠ 0
– Comparar t com tcrítico
– Qual seria o tcrítico para o caso da MI?
– Na prática olhamos o p-valor
– E se eu espero um determinado sinal? 
• O teste não é mais bilateral... no exemplo da MI poderia supor que o 
coeficiente de PNBpc seja negativo. Então:
H0: β2 ≥ 0
H1: β2 < 0
Teste de significância geral da regressão 
amostral
• Testa se há uma relação linear entre o Y e as variáveis 
explicativas em conjunto
H0: β2 = β3 = 0
• É o mesmo que testar β2 = 0 e β3 = 0?
– Não!
– Usamos a mesma amostra para testar β2 = 0 e β3 = 0, portanto 
não são independentes
– 𝑃 𝛽2 = 0 𝛽3 = 0 ≠ 𝑃 𝛽2 = 0 . 𝑃(𝛽3 = 0)
– 𝑃[ 𝛽2 ± 𝑡 𝛼 2𝑒𝑝
 𝛽2 , 𝑃[ 𝛽3 ± 𝑡 𝛼 2𝑒𝑝
 𝛽3 ] ≠ (1 − 𝛼)(1 − 𝛼)
– Então, como testar β2 = β3 = 0?
A abordagem da ANOVA: teste F
 𝑦𝑖
2 = 𝛽2 𝑦𝑖𝑥2𝑖 + 𝛽3 𝑦𝑖𝑥3𝑖 + 𝑢𝑖
𝐹 =
 
 𝛽2 𝑦𝑖𝑥2𝑖 + 𝛽3 𝑦𝑖𝑥3𝑖
2
 
 𝑢𝑖
2
𝑛 − 3
=
 
𝑆𝑄𝐸
𝑔𝑙
 
𝑆𝑄𝑅
𝑔𝑙
Se distribui como a distribuição F, com 2 e n-3 graus de liberdade. 
Se β2 = β3 = 0 for verdadeira SQE e SQR serão muito próximos. O 
modelo não agrega explicação. Não se rejeitará H0. Se SQE for 
muito maior que SQR rejeita-se H0.
STQ SQE SQR
Significância geral de uma regressão 
múltipla
Dado o modelo de regressão com k variáveis:
𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + 𝛽3𝑋3𝑖 + ⋯ + 𝛽𝑘𝑋𝑘𝑖 + 𝑢𝑖
Para testar a hipótese:
H0: β2 = β3 =...= βk = 0
H1: nem todos os coeficientes angulares são simultaneamente 
iguais a zero
𝐹 =
 
𝑆𝑄𝐸
𝑔𝑙
 
𝑆𝑄𝑅
𝑔𝑙
=
 
𝑆𝑄𝐸
(𝑘 − 1)
 
𝑆𝑄𝑅
(𝑛 − 𝑘)
Se F > Fα(k-1,n-k), rejeite H0.
k =3 no caso de 3 variáveis (Y, X2 e X3)
Significância geral de uma regressão 
múltipla
• Testes dos coeficientes individuais não substituem o 
teste geral da regressão linear múltipla.
• É possível ter regressão significativa como um todo 
com poucos ou nenhum coeficiente significativo 
individualmente.
• E também R2 baixos em regressões com coeficientes 
significativos. Essa é uma situação comum em dados 
em corte transversal.
• O importante é a especificação correta do modelo, 
sinais corretos e significância estatística.
Relação entre R2 e F
𝑅2 =
𝑆𝑄𝐸
𝑆𝑄𝑇
𝐹 =
𝑆𝑄𝐸
(𝑘 − 1)
𝑆𝑄𝑅
(𝑛 − 𝑘)
=
𝑛 − 𝑘
𝑘 − 1
.
𝑆𝑄𝐸
𝑆𝑄𝑅
𝐹 =
𝑛 − 𝑘
𝑘 − 1
.
𝑆𝑄𝐸
𝑆𝑇𝑄 − 𝑆𝑄𝐸
÷ 𝑆𝑄𝑇
÷ 𝑆𝑄𝑇
𝐹 =
𝑛 − 𝑘
𝑘 − 1
.
𝑅2
1 − 𝑅2
𝐹 =
 𝑅
2
(𝑘 − 1)
 
(1 − 𝑅2)
(𝑛 − 𝑘)
Relação entre R2 e F
𝐹 =
 𝑅
2
(𝑘 − 1)
 
(1 − 𝑅2)
(𝑛 − 𝑘)
R2 = 0 => F = 0 => regressão não é significante
R2 = 1 => F => ∞
Quando acrescentar uma nova variável?
𝐹 =
 
(𝑆𝑄𝐸𝑛𝑜𝑣𝑜−𝑆𝑄𝐸𝑣𝑒𝑙ℎ𝑜)
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑣𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑔.
 
𝑆𝑄𝐸𝑛𝑜𝑣𝑜
(𝑛 − 𝑘)
Se as variáveis dependentes dos modelos novo e antigo 
são as mesmas posso usar:
𝐹 =
 𝑅𝑛𝑜𝑣𝑜
2 − 𝑅𝑣𝑒𝑙ℎ𝑜
2
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑣𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑔.
 1 − 𝑅𝑛𝑜𝑣𝑜
2
𝑛 − 𝑘
Quando acrescentar uma nova variável?
• A prática de escolher modelo com 𝑅𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡
2 mais alto não 
é adequada, pois não há certeza de que o aumento é 
significativo.
• 𝑅𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡
2 aumenta se | t | da nova variável é maior que 1, 
sendo | t | calculado sob a hipótese de que o coeficiente 
é igual a zero.
• 𝑅𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡
2 aumentará se t2 = F for maior que 1
Quando acrescentar um grupo de 
variáveis?
Quando F dado por 
𝐹 =
 𝑅𝑛𝑜𝑣𝑜
2 − 𝑅𝑣𝑒𝑙ℎ𝑜
2
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑣𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑔.
 1 − 𝑅𝑛𝑜𝑣𝑜
2
𝑛 − 𝑘
for maior que 1.
Teste da igualdade de dois coeficientes da 
regressão
𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + 𝛽3𝑋3𝑖 + 𝛽4𝑋4𝑖 + 𝑢𝑖
• X3 = renda, X4 = riqueza, Y = demanda do bem
H0: β3 = β4 => (β3 - β4) = 0
H0: β3 ≠ β4 => (β3 - β4) ≠ 0
𝑡 =
 𝛽3 − 𝛽4 − (𝛽3 − 𝛽4)
𝑒𝑝 𝛽3 − 𝛽4
𝑒𝑝 𝛽3 − 𝛽4 = 𝑣𝑎𝑟 𝛽3 + 𝑣𝑎𝑟 𝛽4 − 2𝑐𝑜𝑣( 𝛽3, 𝛽4)
Onde obter as var e cov?
Ver comandos em funcaocusto.txt
Mínimos quadrados restritos: teste das 
restrições de igualdade linear
Função Cobb-Douglas
𝑌𝑖 = 𝛽1𝑋2𝑖
𝛽2𝑋3𝑖
𝛽3𝑒𝑢𝑖
Onde X2 = insumo de mão de obra, X3 = insumo de 
capital, Y = produção
𝑙𝑛𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽2𝑙𝑛𝑋2𝑖 + 𝛽3𝑙𝑛𝑋3𝑖 + 𝑢𝑖
Onde 𝛽0 = 𝑙𝑛𝛽1
Se houver retornos constantes de escala = variação 
equiproporcional da produção para uma variação 
equiproporcional nos insumos
𝛽2 + 𝛽3 = 1
Mínimos quadrados restritos: teste das 
restrições de igualdade linear
A abordagem do teste t:
𝑡 =
 𝛽2 + 𝛽3 − (𝛽2 + 𝛽3)
𝑒𝑝 𝛽2 + 𝛽3
𝑒𝑝 𝛽2 + 𝛽3 = 𝑣𝑎𝑟 𝛽2 + 𝑣𝑎𝑟 𝛽3 + 2𝑐𝑜𝑣( 𝛽2, 𝛽3)
Mínimos quadrados restritos: teste das 
restrições de igualdade linear
A abordagem do teste F:
𝐹 =
 𝑆𝑄𝑅𝑅 − 𝑆𝑄𝑅𝑆𝑅 𝑚
 
𝑆𝑄𝑅𝑆𝑅
𝑛 − 𝑘
𝐹 =
 𝑅𝑆𝑅
2 − 𝑅𝑅
2
𝑚
 1 − 𝑅𝑆𝑅
2
𝑛 − 𝑘
Mínimos quadrados restritos: teste das 
restrições de igualdade linear
Como obter o modelo restrito?
𝛽2 + 𝛽3 = 1
𝛽2 − 1 = 𝛽3
𝑙𝑛𝑌𝑖 = 𝛽0 + (1 − 𝛽3)𝑙𝑛𝑋2𝑖 + 𝛽3𝑙𝑛𝑋3𝑖 + 𝑢𝑖
𝑙𝑛𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝑙𝑛𝑋2𝑖 − 𝛽3𝑙𝑛𝑋2𝑖 + 𝛽3𝑙𝑛𝑋3𝑖 + 𝑢𝑖
𝑙𝑛𝑌𝑖 − 𝑙𝑛𝑋2𝑖 = 𝛽0 + 𝛽3(𝑙𝑛𝑋3𝑖 − 𝑙𝑛𝑋2𝑖) + 𝑢𝑖
𝑙𝑛
𝑌𝑖
𝑋2𝑖
= 𝛽0 + 𝛽3𝑙𝑛
𝑋3𝑖
𝑋2𝑖
+ 𝑢𝑖
Ver comandos em cobbdouglas.txt
Teste da estabilidade estrutural ou dos 
parâmetros nos modelos de regressão: Teste de 
Chow
• Quando empregamos um modelo de regressão que 
envolve o uso de séries temporais pode haver mudança 
dos coeficientes ao longo do tempo.
• Exemplos: (i) exportações no Brasil antes e depois da 
liberação do câmbio em 1999; (ii) demonstrações 
contábeis antes e depois do IFRS
• Como saber se há quebra de estrutura?
Teste de Chow
• Nada mais é que um teste de modelo restrito x modelo 
sem restrições
• Aqui o restrito é o que supõe que os coeficientes são 
iguais ao longo de todo o tempo
• Premissas:
– 𝑢1𝑡~𝑁 0 , 𝜎
2
– 𝑢2𝑡~𝑁(0 , 𝜎
2)
– 𝑢1𝑡 e 𝑢2𝑡 têm distribuições independentes
Distribuição Normal
com mesma variância
Teste de Chow
• Etapas do teste:
1. Estima-se as regressões separadas
2. Estima-se a regressão para o período completo
3. Obtém-se os SQR (soma quad. resíduos)
4. Teste F
𝐹 =
 𝑆𝑄𝑅𝑅 − 𝑆𝑄𝑅𝑆𝑅
𝑘
 
𝑆𝑄𝑅𝑆𝑅
(𝑛1 + 𝑛2 − 2𝑘)
~ 𝐹𝑘 ,𝑛1+𝑛2−2𝑘
Ver comandos em pouprenda.txt
Teste de Chow
• Advertências:
1. As premissas devem ser respeitadas. É preciso verificar se 
as variâncias dos erros das regressão são iguais.
2. O testenão diz se a diferença entre as regressões decorre 
dos interceptos, coeficientes angulares ou de ambos.
3. O teste pressupõe que conhecemos o ponto de quebra 
estrutural.
Ver comandos em pouprenda.txt