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ANPEC
QUESTÃO 09 (2001)
A partir de uma amostra de n elementos, foi estimada uma regressão linear simples, pelo método de mínimos quadrados, obtendo-se os resultados:
t
t
X
Y
1
ˆ
ˆ
ˆ
b
a
+
=
0
ˆ
¹
a
1
2
1
K
R
=
A seguir, a mesma regressão foi estimada sabendo-se que a reta de regressão da população passa pela origem das coordenadas (termo constante = 0), obtendo-se os resultados:
t
t
X
Y
2
ˆ
ˆ
b
=
2
2
2
K
R
=
Pode-se afirmar que:
Ⓞ 
b
ˆ
1 = 
b
ˆ
2
① 
)
 
de
 
padrão
 
(desvio
 
 
 
)
 
de
 
padrão
 
(desvio
 
1
2
 
1
2
b
b
b
b
s
s
<
② A reta 
X
ˆ
2
b
 passa pelo ponto médio da amostra (
Y
,
X
)
③ (K2 / K1) > 1
④ A soma dos resíduos de mínimos quadrados de ambas equações estimadas é zero.
QUESTÃO 12 (2005)
Um pesquisador estima o seguinte modelo de regressão simples: 
i
i
i
e
X
Y
+
+
=
1
0
b
b
. Outro pesquisador estima o mesmo modelo, mas com escalas diferentes para 
i
Y
 e 
i
X
. O segundo modelo é: 
*
*
*
1
*
0
*
i
i
i
e
X
Y
+
+
=
b
b
, em que: 
i
i
Y
w
Y
1
*
=
, 
i
i
X
w
X
2
*
=
 e 
1
w
 e 
2
w
 são constantes maiores que zero.
Ⓞ
Os estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários de 
0
b
 e 
1
b
 são iguais aos de 
*
0
b
 e 
*
1
b
.
①
Se 
2
*
ˆ
s
 é a variância estimada de 
*
i
e
 e 
2
ˆ
s
 é a variância estimada de 
i
e
, então 
2
2
1
2
*
ˆ
ˆ
s
s
w
=
.
②
As variâncias dos estimadores dos parâmetros do primeiro modelo são maiores do que as variâncias dos estimadores do segundo modelo.
③
Os coeficientes de determinação são iguais nos dois modelos.
④
A transformação de escala de (
i
Y
,
i
X
) para (
*
i
Y
,
*
i
X
) não afeta as propriedades dos estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários dos parâmetros.
QUESTÃO 11 (2000)
Considere o seguinte modelo de regressão linear clássico, relacionando as variáveis quantidade demandada (Q) e preço do produto (P). Admita que as duas variáveis sejam medidas em Reais, e que a estimação será efetuada por MQO (ln é logaritmo natural)
lnQi = (1 + (2 lnPi + ui i = 1,2,..., 100.
É correto afirmar que:
(0) Variando-se o preço em 1%, a quantidade demandada variará 10(2%, ceteris paribus.
(1) Ignorando-se o termo aleatório, se o preço ultrapassar determinado limite, será possível obter quantidades demandadas negativas.
(2) Se mudarmos as unidades de Q e P para dólares americanos, então a estimativa de (2 na nova equação será igual a sua estimativa obtida na equação em Reais.
(3) Se a variável ln Y (Y = renda) for acrescentada ao modelo o coeficiente R2 desta nova regressão será maior ou igual ao coeficiente R2 da regressão original. 
(4) Se o coeficiente R2 ajustado da regressão com a variável ln Y for maior do que o coeficiente R2 ajustado da regressão original, então necessariamente, o coeficiente de ln Y é estatisticamente significante, ao nível de significância de 5%, em um teste bi-lateral.
QUESTÃO 12 (2001)
No modelo clássico de regressão linear: 
12
iii
YXu
bb
=++
 
Ⓞ A hipótese de que o erro é normalmente distribuído é necessária para que os estimadores de mínimos quadrados ordinários também sejam normalmente distribuídos.
① Se a hipótese 
0
)
,
|
,
cov(
=
j
i
j
i
X
X
u
u
, i ( j for violada, os estimadores de mínimos quadrados ordinários serão viesados e não eficientes. 
② As hipóteses de que o erro é normalmente distribuído e de que 
0
)
,
|
,
cov(
=
j
i
j
i
X
X
u
u
, i ( j asseguram que 
i
u
 e 
j
u
se distribuem independentemente.
③ A hipótese 
2
)
|
(
s
m
=
i
i
X
Var
 é necessária para que os estimadores de mínimos quadrados ordinários sejam não tendenciosos.
④ Os estimadores de mínimos quadrados de 
1
b
 e 
2
b
 podem ser escritos como combinações lineares das observações 
i
Y
.
QUESTÃO 07 (2008)
Considere a regressão múltipla:
y = β0 + β1 x1+ β2 x2+ β3 x3 + u
cujos parâmetros tenham sido estimados pelo método dos mínimos quadrados ordinários. Julgue
as afirmativas:
Ⓞ Se E(u| x1, x2, x3)=0 e o modelo não é perfeitamente colinear, então os estimadores não são
viesados.
① Se o R2 = 1, então y é uma combinação linear de x1, x2 e x3.
② O R2 ajustado aumenta ao se incluir uma variável adicional, caso tal variável seja significativa
ao nível de 5%.
③ Se o modelo satisfaz as hipóteses do teorema de Gauss-Markov, então 1
ˆβ
é o estimador
linear não viesado de β1 com menor variância possível.
④ Se omitirmos x3 da regressão, os estimadores de β0, β1 e β2 podem ser viesados.
QUESTÃO 08 (2007)
Julgue as afirmativas: 
Ⓞ Heterocedasticidade ocorre quando o erro aleatório em um modelo de regressão é correlacionado com uma das variáveis explicativas. 
Exame Nacional ANPEC 2007: 1° Dia ESTATÍSTICA 3/6 
① Quando o erro aleatório em um modelo de regressão é correlacionado com alguma variável explicativa, os estimadores de mínimos quadrados não são consistentes. 
② Na presença de heterocedasticidade, estimadores de mínimos quadrados ordinários são ineficientes. 
③ Os testes t e F usuais não são válidos na presença de heterocedasticidade. 
④ Na presença de heterocedasticidade, estimadores de mínimos quadrados ordinários são não viesados, mas são inconsistentes. 
QUESTÃO 06 (2006) 
Julgue as afirmativas. A respeito dos estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), em um modelo de regressão linear múltipla:
Ⓞ
Se a variância do erro não for constante, as estimativas dos parâmetros serão não-viesadas.
①
Se E(() ( 0, os estimadores de todos os parâmetros, com exceção do intercepto, serão viesados.
②
Se o erro não seguir a distribuição Normal as estimativas por MQO são consistentes.
③
Sob as hipóteses do modelo de regressão clássica, com erros na forma de ruído branco com distribuição Normal, os estimadores de MQO serão os mais eficientes possíveis. 
④
A presença de colinearidade imperfeita entre as variáveis explicativas gera estimadores viesados.
QUESTÃO 09 (2006)
O método dos mínimos quadrados ordinários foi empregado para estimar o modelo de regressão abaixo, cujo objetivo é explicar as variações de renda entre 526 indivíduos de uma amostra aleatória:
ln(renda) = 0,362+ 0,094 educ + 0,014 exper – 0,178 sexo – 0,010 exper x sexo + u
(0,128)
(0,008)
 (0,002)
(0,058)
(0,002)
R2 = 0,368
n = 526
em que sexo é uma variável dicotômica (valor 1, se for mulher e 0, caso contrário), educ é o número de anos de escolaridade (0 ( educ ( 17), exper são anos de experiência profissional (0 ( exper ( 40) e u é a estimativa do erro. Os números entre parênteses são os erros-padrão das estimativas, robustos à heterocedasticidade. Com base nos resultados acima, é correto afirmar:
Ⓞ
Ao nível de significância de 5%, o efeito de um ano a mais de experiência profissional para indivíduos do sexo masculino é estatisticamente maior do que o efeito para mulheres. 
①
Para um indivíduo com 10 anos de escolaridade, 1 ano adicional de estudo acarreta um aumento da renda de aproximadamente 9%.
②
O efeito na renda de um aumento de 1 ano na experiência profissional para as mulheres é 1% menor do que para os homens. 
③
Pela inspeção dos resultados da estimação fica claro que os erros do modelo são heterocedásticos.
④
Se a um nível de significância de 5%, o valor crítico do teste F para a regressão for 2,37, os coeficientes angulares serão conjuntamente diferentes de zero.
QUESTÃO 14 (2004)
Um pesquisador estimou uma regressão múltipla com 5 variáveis independentes e n = 56, mas na pressa, não imprimiu os resultados e anotou apenas o valor do R2 = 0,90, o coeficiente de determinação. Este pesquisador precisa verificar se a regressão é significante. Ajude-o, calculando o valor da estatística do teste a ser empregado. 
QUESTÃO 11 (2005)
É dada a seguinte função de produção para determinada indústria:
i
i
i
i
u
K
L
Y
+
+
+
=
)
ln(
)
ln(
)
ln(
2
1
0
b
b
b
,
em que Y é o valor adicionado por firma (em reais), L é o trabalhoempregado, K é o valor do capital (em reais) e u é o termo aleatório. Uma amostra aleatória de 27 observações leva às seguintes estimativas: 
76
,
0
R
 
84
,
0
ˆ
 
)
ln(
3856
,
0
)
ln(
6022
,
0
1755
,
1
)
ln(
2
27
1
2
=
=
=
+
+
=
å
=
i
i
i
i
i
u
SQR
K
L
Y
São corretas as afirmativas:
Ⓞ
Se Y passasse a ser medido em mil reais, somente o valor estimado do intercepto da regressão seria alterado.
①
Ao nível de 5%, os coeficientes associados ao trabalho e ao capital são conjuntamente iguais a zero.
QUESTÃO 14 (2005)
Considere o seguinte modelo para a população: Y = 2 + 4X – 5Z + u, em que u é o termo aleatório e 
0
)
(
)
,
|
(
=
=
u
E
Z
X
u
E
. A partir de uma amostra de n indivíduos, estimaram-se os parâmetros deste modelo, tendo, todavia, sido omitida a variável Z. Ou seja, o modelo estimado foi: 
i
i
X
Y
1
0
ˆ
ˆ
ˆ
q
+
q
=
. Suponha ainda que, para amostra em questão, tenham sido obtidos os seguintes resultados:
7
,
0
)
(
)
)(
(
1
2
1
=
-
-
-
å
å
=
=
n
i
i
n
i
i
i
X
X
X
X
Z
Z
, em que 
å
=
=
n
i
i
X
n
X
1
1
 e 
å
=
=
n
i
i
Z
n
Z
1
1
.
Calcule 
(
)
X
E
|
ˆ
1
q
. Multiplique o resultado por 10.
QUESTÃO 07 (2003)
O método dos mínimos quadrados ordinários foi empregado para estimar o modelo de regressão abaixo, cujo objetivo é explicar as variações de renda entre 526 indivíduos:
,
526
,
441
,
0
,
00058
,
0
029
,
0
080
,
0
297
,
0
417
,
0
)
log(
2
2
)
00010
,
0
(
)
005
,
0
(
)
007
,
0
(
)
036
,
0
(
)
099
,
0
(
=
=
+
-
+
+
-
=
n
R
u
exper
exper
educ
sexo
renda
em que sexo é uma variável dicotômica (valor 1, se for homem e 0, caso contrário), educ é o número de anos de escolaridade, exper é experiência profissional, também medida em anos. Os números entre parênteses são os erros-padrão das estimativas 
)
4
.,
,.,..
1
,
0
(
=
i
s
i
b
. Com base nos resultados acima, é correto afirmar:
Ⓞ
a regressão não é estatisticamente significante pois o coeficiente de determinação é menor do que 0,5; 
①
a diferença de renda entre homens e mulheres não é estatisticamente significante;
②
um ano a mais de escolaridade, mantidos constantes todos os demais fatores, aumenta em 0,08% a renda de um indivíduo do sexo feminino;
QUESTÃO 10 (2000)
O seguinte modelo de regressão foi estimado utilizando-se dados trimestrais entre 1979 e 1998, inclusive:
^
i
Y
 = 2.20 + 0.104 X2i 
A soma total explicada foi 100,5. Quando esta equação foi re-estimada, adicionando-se três “dummies” sazonais, a soma total explicada aumentou para 114,5 e a soma do quadrado dos resíduos foi igual a 20,00. Suponha que deseja-se testar se a sazonalidade é significativa. Calcule a estatística de teste adequada. 
QUESTÃO 5 (1999)
Foram encontrados os seguintes resultados para estimar uma regressão linear com duas variáveis explicativas para uma amostra de tamanho 10.
	Variáveis preditoras
	Coeficiente
	Desvio padrão
	Estatística
“t’
	p-valor
	Constante
	223,3
	254,8
	0,88
	0,410
	X1
	-1,26
	0,8263
	-1,52
	0,172
	X2
	-1,03
	3,213
	-0,32
	0,752
R2 = 81,2%; R2 ajustado = 76,1%; Valor calculado da estatística F=15,1
Podemos afirmar que:
(0) A equação de regressão estimada é 
.
(1) A um nível de significância de 5% podemos afirmar que a regressão existe. Porém, após elaborarmos os testes de hipóteses para os coeficientes individuais, aceitamos a hipótese (a um nível de significância de 1%) de que o coeficiente para a variável X2 é zero.
(2) O coeficiente de determinação indica que 81,2b% da variação amostral de Y podem ser atribuídos as variações de X1 e X2.
(3) O valor estimado para Y quando X1 = 15 e X2 = 80 é 220.
(4) Os valores teóricos das estatísticas “t” utilizadas para testar os coeficientes das variáveis explicativas devem ser calculados para 7 graus de liberdade.
QUESTÃO 08 (2001)
No modelo de equações simultâneas: 
1
1
1
1
u
Y
P
Q
D
+
+
+
=
g
b
a
(demanda)
2
2
2
u
P
Q
S
+
+
=
b
a
(oferta)
S
D
Q
Q
=
 
em que: QD é a quantidade demandada; QS, a quantidade ofertada; P, o preço; Y, a renda; 
1
u
 e 
2
u
 são os componentes aleatórios. Neste modelo: 
Ⓞ
A aplicação do método de mínimos quadrados ordinários (MQO) a cada uma das equações do sistema, desconsiderando-se a outra, fornecerá estimativas não tendenciosas. 
①
A equação de demanda é subidentificada.
②
A equação de oferta é exatamente identificada.
③
Na equação de oferta, o estimador de MQO é consistente.
④
Caso seja subidentificada, a equação de demanda não pode ser estimada
QUESTÃO 12 (2002)
Em relação aos modelos de Séries de Tempo pode-se afirmar:
Ⓞ No modelo Autoregressivo de ordem 1, 
0
1
q
f
+
+
=
-
t
t
t
u
Z
Z
, 
1
<
f
 , em que ut é um ruído branco, o parâmetro 
0
q
 é a média do processo. 
① O modelo misto Autoregressivo-Médias Móveis, ARMA(1,1), pode ser representado pela expressão Zt = Zt + ut – ut-1 em que  e  são parâmetros e ut é um ruído branco. 
② Se um processo estocástico possui uma tendência determinística, yt= 1 + 2 t + ut, então este é dito não-estacionário e sua não-estacionariedade pode ser detectada por um teste para raiz unitária. 
③ Em uma regressão com duas séries temporais, se estas são I(1), ou seja, não estacionárias, mas são cointegradas, pode-se empregar a estatística t de Student para testar a significância dos coeficientes da regressão.
④ O teste de Engle-Granger para co-integração entre três variáveis consiste em utilizar a estatística e a tabela de valores críticos Dickey-Fuller nos resíduos de uma regressão entre estas variáveis.
QUESTÃO 08 (2003)
Considere o modelo de equações simultâneas:
S
i
D
i
i
i
S
i
i
i
D
i
Q
Q
u
P
Q
u
P
Q
=
+
+
=
+
+
=
(oferta)
(demanda)
2
2
2
1
'
1
b
a
b
a
em que: 
D
i
Q
 é a quantidade demandada, 
S
i
Q
 é a quantidade ofertada, Pi é o preço, e u1i e u2i são termos aleatórios. É correto afirmar que:
Ⓞ
o estimador de mínimos quadrados ordinários aplicado a cada uma das equações é consistente e não-tendencioso;
①
no modelo acima a equação de demanda é identificada mas a equação de oferta não é;
②
se a equação de demanda for definida por 
i
i
i
D
i
u
Y
P
Q
1
1
'
1
+
+
+
=
g
b
a
, em que Yi é a renda, a equação de oferta será identificada;
③
a equação de demanda será identificada se for definida por 
i
i
i
D
i
u
Y
P
Q
1
1
'
1
+
+
+
=
g
b
a
;
④
a variável renda, empregada nos dois itens anteriores, é uma “variável instrumental”.
QUESTÃO 07 (2004)
São corretas as afirmativas. Em modelos de equações simultâneas: 
Ⓞ
o problema da identificação precede o da estimação.
①
se a condição de ordem for satisfeita, a condição de posto também será satisfeita.
②
os estimadores de mínimos quadrados indiretos e os de mínimos quadrados de dois estágios são não-tendenciosas e consistentes.
③
se uma equação é exatamente identificada, os métodos de mínimos quadrados indiretos e de dois estágios produzem resultados idênticos.
④
o método de mínimos quadrados indiretos pode ser aplicado tanto a equações exatamente identificados quanto a equações superidentificadas.
QUESTÃO 08 (2005)
Considere o modelo de equações simultâneas:
t
t
t
d
t
e
X
P
Q
1
2
1
0
+
+
+
=
a
a
a
 (demanda)
t
t
s
t
e
P
Q
2
1
0
+
+
=
b
b
 (oferta)
s
t
d
t
Q
Q
=
 (condição de equilíbrio)
s
t
d
t
Q
e
Q
 são, respectivamente, as quantidades demandadas e ofertadas do bem, 
t
X
 é uma variável exógena e 
t
e
1
 e 
t
e
2
 são os termos aleatórios, com médias zero e variâncias constantes. São corretas as afirmativas:
Ⓞ
As equações de demanda e oferta são exatamente identificadas.
①
Os parâmetros estruturais do modelo são consistentemente estimados por Mínimos Quadrados Ordinários.
②
As equações na forma reduzida são: 
t
t
t
v
X
P
+
P
+
P
=
1
0
 e 
t
t
t
w
X
Q
+P
+
P
=
3
2
, em que 
1
1
0
0
0
b
a
a
b
-
-
=
P
; 
1
1
2
1
b
a
a
-
-
=
P
; 
1
1
2
1
b
a
-
-
=
t
t
t
e
e
v
; 
1
1
1
0
0
1
2
b
a
b
a
b
a
-
-
=
P
; 
1
1
1
2
3
b
a
b
a
-
-
=
P
 e 
1
1
1
1
2
1
b
a
b
a
-
-
=
t
t
t
e
e
w
.
③
As estimativas dos parâmetros da forma reduzida descritos no quesito anterior, por Mínimos Quadrados Ordinários, são consistentes.
④
Os parâmetros das equações estruturais, obtidos dos parâmetros da forma reduzida, são estimados por Mínimos Quadrados Ordinários.
QUESTÃO 07 (2006)
Considere o modelo:
Yt = Zt + Yt-1 + e1t
(equação I)
Zt = Zt-1 + e2t
(equação II)
em que ,  e  são parâmetros e 
.
 
 todo
para
 
,
0
0
)
(
,
0
0
Normal
~
2
22
12
12
2
11
2
1
t
k
E
e
e
k
t
t
t
t
¹
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
e
e
e
s
s
s
s
Suponha também que |<1 e |<1. São corretas as afirmativas:
Ⓞ
A condição |<1 garante a estacionariedade de segunda ordem de Zt.
①
O estimador de mínimos quadrados ordinários de  na equação II, não é consistente.
②
Os estimadores de mínimos quadrados ordinários de  e  na equação I, só serão consistentes se 12 = 1.
③
Sem nenhuma restrição adicional sobre os parâmetros do modelo, a equação I não satisfaz a condição de ordem para identificação.
④
Para testar se há endogeneidade na equação I, pode-se usar o teste de Hausman
QUESTÃO 15 (2000)
Considere um processo AR(1)
 Yt = ( Yt -1 + (t , (t ~ NID(0, (2), t = 1,2,...T,
em que, por hipótese, |(| <1, a não ser que seja dito o contrário. Considere Yo fixo e que t seja muito distante da origem.
(0) A condição |( | < 1 é necessária para que o processo apresente média e variância incondicionais independentes do tempo.
(1) A média incondicional do processo é zero.
(2) A função de autocorrelação deste processo é diferente de zero para o "lag" 1, e é igual a zero para todos os outros "lags".
(3) A previsão dois-passos à frente é dada por: E(Yt+2| Yt) = (( +1) + (2Yt , em que Yt = { Y1 , Y2 ,..., Yt}.
(4) Se ( =1, o processo será não estacionário.
QUESTÃO 10 (2001)
Seja o processo auto-regressivo: 
t
1
t
1
t
y
y
e
+
f
=
-
. Pode-se afirmar que:
Ⓞ
O processo é estacionário para 
1
f
< 1.
① Se 
1
f
 = 1, o processo é dito um caminho aleatório (random walk).
② O estimador de mínimos quadrados ordinários do parâmetro
1
f
 é não tendencioso.
③ A estatística t-Student pode ser usada para testar a presença de raiz unitária.
④ 
O processo pode ser escrito em uma forma alternativa como (
t
1
t
t
y
y
e
+
d
=
-
 em que 
1
1
-
f
=
d
 e (
t
y
=
1
t
t
y
y
-
-
.
QUESTÃO 11 (2001)
Um econometrista estimou uma função consumo usando 25 observações anuais da renda pessoal disponível e consumo, a partir do modelo:
12
ttt
CYu
bb
=++
, em que:
t
C
= consumo em t; 
t
Y
 = renda pessoal disponível em t; 
t
u
 = erro aleatório
Os resultados indicaram parâmetros significativos a 5%, coeficiente de determinação de 0,94 e d de Durbin-Watson 0,5421. Com base nesses números, o econometrista fez o teste de Dickey-Fuller aumentado (ADF) para as séries de renda e de consumo, obtendo estimativas de
t
menores que os valores críticos de 
t
 tabelados, a 1%, 5% e 10%.
Conseqüentemente, o econometrista:
Ⓞ Aceitou a hipótese nula do teste ADF, concluindo que as séries de renda e consumo são não-estacionárias; 
① Concluiu que os testes t e F não são válidos.
② Concluiu que o teste t não é válido.
③ Concluiu que a regressão estimada é espúria.
QUESTÃO 12 (2002)
Em relação aos modelos de Séries de Tempo pode-se afirmar:
Ⓞ No modelo Autoregressivo de ordem 1, 
0
1
q
f
+
+
=
-
t
t
t
u
Z
Z
, 
1
<
f
 , em que ut é um ruído branco, o parâmetro 
0
q
 é a média do processo. 
① O modelo misto Autoregressivo-Médias Móveis, ARMA(1,1), pode ser representado pela expressão Zt = Zt + ut – ut-1 em que  e  são parâmetros e ut é um ruído branco. 
② Se um processo estocástico possui uma tendência determinística, yt= 1 + 2 t + ut, então este é dito não-estacionário e sua não-estacionariedade pode ser detectada por um teste para raiz unitária. 
③ Em uma regressão com duas séries temporais, se estas são I(1), ou seja, não estacionárias, mas são cointegradas, pode-se empregar a estatística t de Student para testar a significância dos coeficientes da regressão.
④ O teste de Engle-Granger para co-integração entre três variáveis consiste em utilizar a estatística e a tabela de valores críticos Dickey-Fuller nos resíduos de uma regressão entre estas variáveis.
QUESTÃO 10 (2003)
Considere o modelo de regressão linear
T
t
u
Y
C
t
t
t
,
,
1
,
1
0
K
=
+
a
+
a
=
,
em que: Ct é o consumo pessoal em t, Yt é a renda pessoal em t e ut é o termo aleatório. É correto afirmar que:
Ⓞ
se Ct e Yt são I(1), então ut será obrigatoriamente estacionário;
①
se o Ct e Yt são integradas, mas com ordens de integração diferentes, então a regressão será inválida;
②
se Ct e Yt são I(1), então o teste ADF aplicado aos resíduos da regressão poderá identificar a presença de co-integração entre as variáveis;
③
se Ct e Yt são I(1), mas os resíduos são I(0), então há co-integração entre as variáveis;
④
se Ct e Yt são I(1) e os resíduos também são I(1), então a regressão de Ct em Yt é inválida.
QUESTÃO 15 (2003)
Considere o modelo ARMA(1,1) definido por:
,
,
,
1
,
2
,
0
5
,
0
1
1
T
t
y
y
t
t
t
t
K
=
e
+
e
-
=
-
-
 em que a variância de t é igual a 1. Encontre a variância de yt. 
(Multiplique o resultado final por 10. Marque somente a parte inteira na folha de resposta).
QUESTÃO 09 (2004)
Considere a seguinte regressão entre yt e zt:
t
t
t
u
z
y
+
a
=
,
em que ut é o erro. São corretas as afirmativas:
Ⓞ
Se yt for I(1) e zt for I(0), então yt e zt​ são co-integradas.
①
Se yt for I(0) e zt for I(1), então yt e zt são co-integradas.
②
Se yt for I(1) e zt for I(1), então y​t e zt são co-integradas.
③
Se yt for I(1), zt for I(1) e u​t for I(0), então yt e zt são co-integradas.
④
Se ut for I(0) as séries yt e zt são necessariamente co-integradas.
QUESTÃO 10 (2004)
Em relação aos modelos de séries temporais, são corretas as afirmativas:
Ⓞ
No processo AR(1), 
0
t
1
t
t
a
Z
Z
q
+
+
f
=
-
, 
1
<
f
, e 
t
a
 é um ruído branco, a média de 
t
Z
 será 
f
q
-
1
0
.
①
O processo MA(1), 
1
-
-
=
t
t
t
a
a
Z
, em que 
t
a
 é um ruído branco, não é estacionário.
②
O processo AR(1), 
t
t
t
a
Z
Z
+
=
-
1
8
,
0
, em que 
t
a
 é um ruído branco, é estacionário.
③
No processo AR(1), 
t
t
t
a
Z
Z
+
=
-
1
f
, em que 
t
a
 é um ruído branco com Var(
t
a
) = 
2
a
s
, a variância de 
t
Z
 é 
2
2
1
f
s
-
a
. 
④
No modelo ARMA(1,1), 
1
1
-
-
+
+
=
t
t
t
t
a
a
Z
Z
q
f
, em que 
t
a
 é um ruído branco, a média de 
t
Z
 é diferente de zero.
QUESTÃO 07 (2005)
Com respeito à teoria das séries temporais, são corretas as afirmativas:
Ⓞ
Considere uma série temporal 
t
Y
 auto-regressiva de ordem 1 com parâmetro 
r
. No modelo: 
t
t
t
t
u
Y
Y
Y
+
=
-
-
-
1
1
d
, em que 
t
u
 é um ruído branco e 
1
-
=
r
d
, se 
d
 for de fato igual a zero, a série 
t
Y
 será não estacionária.
①
Numa regressão linear simples de duas séries temporais não estacionárias de ordem 1, o teste usual t de Student ainda é válido.
②
Numa regressão linear múltipla de séries temporais de ordem 1, mas cointegráveis, não se corre o risco de os resultados serem espúrios.
③
Numa regressão linear múltipla de séries temporais de ordem 1, mas cointegráveis, os resíduos da regressão são estacionários.
④
Se uma série temporal tiver que ser diferenciada n vezes antes de se tornar estacionária, a série original é integrada de ordem n -1.
QUESTÃO 09 (2005)
São corretas as afirmativas:Ⓞ
No processo AR(1): 
t
t
t
e
y
y
+
f
+
f
=
-
1
1
0
, em que 
1
<
f
 e 
t
e
 é um ruído branco de média zero e variância 
2
s
, a variância de 
t
y
 será 
2
2
1
f
-
s
. 
①
Seja a função de autocovariância do processo AR(1) definido no quesito anterior 
]
)
)(
E[(
m
-
m
-
=
g
-
-
j
t
j
t
j
y
y
, em que 
]
E[
t
y
=
m
 é a média do processo 
t
y
. É correto afirmar que 
(
)
2
1
1
0
1
f
-
f
+
f
=
g
j
j
.
②
O processo AR(2), 
t
t
t
t
e
y
y
y
+
f
+
f
+
f
=
-
-
2
2
1
1
0
, em que 
t
e
 é um ruído branco de média nula e variância 
2
s
, será estacionário de segunda ordem se, e somente se, 
1
1
<
f
 e 
1
2
<
f
.
③
A média do processo MA(1), 
1
-
q
+
=
t
t
t
e
e
y
, em que 
t
e
 é um ruído branco, é igual a zero.
④
No modelo ARMA(1,1), 
1
1
1
0
-
-
q
+
+
f
+
f
=
t
t
t
t
e
e
y
y
, em que 
t
e
 é um ruído branco de média nula e variância constante, a média de 
t
y
 é dada por 
1
0
1
f
-
f
. 
QUESTÃO 07 (2006)
Considere o modelo:
Yt = Zt + Yt-1 + e1t
(equação I)
Zt = Zt-1 + e2t
(equação II)
em que ,  e  são parâmetros e 
.
 
 todo
para
 
,
0
0
)
(
,
0
0
Normal
~
2
22
12
12
2
11
2
1
t
k
E
e
e
k
t
t
t
t
¹
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
e
e
e
s
s
s
s
Suponha também que |<1 e |<1. São corretas as afirmativas:
Ⓞ
A condição |<1 garante a estacionariedade de segunda ordem de Zt.
①
O estimador de mínimos quadrados ordinários de  na equação II, não é consistente.
②
Os estimadores de mínimos quadrados ordinários de  e  na equação I, só serão consistentes se 12 = 1.
③
Sem nenhuma restrição adicional sobre os parâmetros do modelo, a equação I não satisfaz a condição de ordem para identificação.
④
Para testar se há endogeneidade na equação I, pode-se usar o teste de Hausman
QUESTÃO 11 (2006)
Dois economistas usam os modelos abaixo para analisar a relação entre demanda de moeda (m) e renda nacional (y). As variáveis estão todas em logaritmos e a periodicidade é mensal. 
	Economista A:
t
t
t
u
y
m
ˆ
099
.
1
)
0086
.
0
(
+
=
(Equação 1)
	Economista B:
t
t
t
e
y
m
ˆ
14
.
1
)
145
.
0
(
+
D
=
D
(Equação 2)
Os valores entre parênteses são os erros-padrão.
Testes Dickey-Fuller Aumentado (ADF), com número apropriado de defasagens maior que zero em todos os casos, para as variáveis e para os resíduos dos dois modelos geram os seguintes resultados:
	Variável
	mt
	yt
	ût
	(mt
	(yt
	êt
	Estatística-ADF
	-2.191
	-1,952
	-2.993
	-5.578
	-6.312
	-8.456
O valor crítico da tabela Dickey-Fuller a 5% é igual a –2,886. São corretas as afirmativas:
Ⓞ
Tanto a série de demanda de moeda quanto a de renda nacional são integradas de primeira ordem.
①
As séries de demanda de moeda e de renda nacional não são cointegradas ao nível de significância de 5%.
②
Se a série de demanda de moeda for estacionária na diferença (difference stationarity) ela não pode ser estacionária na tendência (trend stationary).
③
Se as séries de demanda de moeda e de renda nacional forem cointegradas, o Economista B deve incluir o erro defasado ût-1 em seu modelo.
④
A série de renda nacional é um passeio aleatório puro.
QUESTÃO 15 (2006)
Uma série temporal Yt, t = 1,...T, foi gerada por um processo da classe ARIMA(p,d,q) e apresenta os seguintes formatos para a Função de Autocorrelação (FAC) e Função de Autocorrelação Parcial (FACP):
	
	
Supondo que a média da série seja 100 e que YT-3 = 35, YT-2 = 28, YT-1 = 38 e YT = 30, calcule a previsão para YT+1 feita no instante T , isto é E(YT+1|YT,YT-1,YT-2,YT-3,...).
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