Capítulo 04-Material complementar

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Disciplina: 
MATERIAL COMPLEMENTAR 
Assunto: 
Matemática 
Divisibilidade 
www.cpequenoprincipe.com.br 
Fone: 88 3523.4133 
 
 
• Conteúdo programático (capítulo 04) 
SUGESTÃO DE VÍDEOS 
 
-MÚLTIPLOS E DIVISORES (com números naturais) - 
1. Múltiplos (definição) 
https://www.youtube.com/watch?v=UrrHMGxAb9I 
 
https://www.youtube.com/watch?v=RZnxL-N3HBo 
 
2. Divisores (definição) 
 https://www.youtube.com/watch?v=a59FJ3r4jYk 
 
 https://www.youtube.com/watch?v=MVxkuFoRSgc 
 
3. Critérios de divisibilidade 
https://www.youtube.com/watch?v=RAXp2qjhA1M 
 
https://www.youtube.com/watch?v=VkUEbysvr5o 
 
 -NÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOS - 
1. Números primos e compostos 
https://www.youtube.com/watch?v=vP0SquC1gSU 
 
2. Decomposição em fatores primos 
https://www.youtube.com/watch?v=PAwrTlW_cTw 
 
 -DIVISORES – 
1. Como determinar os divisores de um número 
https://www.youtube.com/watch?v=Nrk2-MviHWw 
 
https://www.youtube.com/watch?v=4iXq0FKLLWc 
 
2. Quantidade de divisores 
https://www.youtube.com/watch?v=BC6Ls_iEZrc 
 
https://www.youtube.com/watch?v=d2q-i6yfp-s 
 
https://www.youtube.com/watch?v=UrrHMGxAb9I
https://www.youtube.com/watch?v=RZnxL-N3HBo
https://www.youtube.com/watch?v=a59FJ3r4jYk
https://www.youtube.com/watch?v=MVxkuFoRSgc
https://www.youtube.com/watch?v=RAXp2qjhA1M
https://www.youtube.com/watch?v=VkUEbysvr5o
https://www.youtube.com/watch?v=vP0SquC1gSU
https://www.youtube.com/watch?v=PAwrTlW_cTw
https://www.youtube.com/watch?v=Nrk2-MviHWw
https://www.youtube.com/watch?v=4iXq0FKLLWc
https://www.youtube.com/watch?v=BC6Ls_iEZrc
https://www.youtube.com/watch?v=d2q-i6yfp-s
 
 
Múltiplos 
Os múltiplos de um número são todos os valores (resultados) possíveis da multiplicação 
desse número por cada um dos números naturais (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...). 
Ex: 
𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑜 3 →
{
 
 
 
 
3 ∙ 0 = 0
3 ∙ 1 = 3
3 ∙ 2 = 6
3 ∙ 3 = 9
… }
 
 
 
 
𝑀(3) = {0,3,6,9, … } 
 
ATENÇÃO: A sequência dos múltiplos de um número natural não tem fim, é infinita, 
por isso usa-se reticências (...) no final. 
 
 
Divisores 
Um número é divisor do outro quando o resto da divisão for igual à zero 
 
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑜 12 → 𝐷(12) = {1,2,3,4,6,12} 
 
ATENÇÃO: Todo número pode ser dividido por 1 e por ele mesmo, mas nenhum pode 
ser dividido por zero. 
 
Critérios de divisibilidade 
Existem formas de saber se um número é divisível por outro sem precisar efetuar a divisão. 
Essas formas são os critérios de divisibilidade: 
 
• Divisibilidade por 2. 
Um número é divisível por 2 quando for par, ou seja, quando o algarismo das unidades for 
igual a 0,2,4,6 ou 8. 
Ex: 
- Os números 2742, 234572, 111348, 230 são divisíveis por 2, pois são números 
pares; 
- Os números 513, 2187 não são divisíveis por 2, pois terminam em números ímpares, 
o que torna o número completo também ímpar. 
 
• Divisibilidade por 3. 
Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos for divisível por 3. 
Ex: 
- 111111 é divisível por 3 pois a soma de seus algarismos 1+1+1+1+1+1 = 6 e seis é 
divisível por 3; 
- 432 é divisível por 3 pois a soma de seus algarismos 4 + 3 + 2 = 9 é divisível por 3; 
- 1621 não é divisível por 3 pois a soma de seus algarismos 1+ 6 + 2 +1 = 10 e 10 não 
é divisível por 3. 
 
• Divisibilidade por 4. 
Um número é divisível por 4 quando: 
 
 
a) O número formado pelos dois últimos algarismos for divisível por 4. 
Ou 
b) Os dois últimos algarismos que o compõe forem iguais a zero. 
 
Ex: 
- 316 é divisível por 4 pois seus dois últimos algarismos, que é 16, é divisível por 4; 
- 1000 é divisível por 4 pois os seus dois últimos algarismos são iguais a zero; 
- 215 não é divisível por 4, pois os dois últimos algarismos, 15, não é divisível por 4. 
 
• Divisibilidade por 5. 
Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5. 
Ex: 
- 115 é divisível por 5, pois termina em 5; 
- 230 é divisível por 5, pois termina em 0; 
- 211 não é divisível por 5, pois não termina em 0 e nem em 5. 
 
• Divisibilidade por 6. 
Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. 
Ex: 
- 702 é divisível por 6, pois 702 é par, logo divisível por 2 e a soma de seu algarismos 
7 + 0 + 2 = 9, logo divisível por 3; 
 
- 104 é divisível por 2, porém 104 não é divisível por 3, logo 104 não é divisível por 6. 
 
• Divisibilidade por 7. 
Não estudamos a divisibilidade pelo número sete. 
 
• Divisibilidade por 8 
Um número é divisível por 8 quando: 
a) O número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8. 
Ou 
b) Os três últimos algarismos que o compõe forem iguais a zero. 
Ex: 
- 45128 é divisível por 8 pois 128:8=16 
- 45321 não é divisível por 8 pois 321 não é divisível por 8. 
-76424000 é divisível por 8 pois termina em 000 
 
• Divisibilidade por 9. 
Um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos for divisível por 9. 
Ex: 
- 423 é divisível por 9, pois 4 + 2 + 3 = 9 e 9 é divisível por 9; 
- 112 não é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos1+1+ 2 = 4, e 4 não é 
divisível por 9. 
 
• Divisibilidade por 10, 100, 1000. 
 
 
Um número é divisível por 10 quando termina em zero, em 100 quando termina em 
dois zeros, em 1000 quando termina em três zeros, etc. 
Ex: 
- 30 é divisível por 10, pois termina em zero; 
- 200 é divisível por 100, pois termina com dois zeros; 
- 432000 é divisível por 1000, pois termina em três zeros. 
 
 
Números Primos: 
Um número natural é chamado um número primo quando possuir apenas dois divisores 
naturais, o 1 e ele mesmo. 
Ex: 
2, pois D(2) = {1,2} – Tem apenas dois divisores (1 e ele mesmo), portanto é primo 
6, pois D(6) = {1, 2, 3, 6} –Tem quatro divisores, portanto não é primo 
5, pois D(5) = {1, 5} – É primo 
16, pois D(16) = {1, 2, 4, 8, 16} – Tem cinco divisores, portanto não é primo 
 
Decomposição em fatores primos: 
Todo número composto (nome dado ao número que não é primo) pode ser decomposto em 
um produto de fatores primos. 
Para decompor um número em fatores primos, devemos dividi-lo pelo seu menor divisor 
primo. Até encontrar quociente igual a 1 
 
Ex: 
 
 
ATENÇÃO: a decomposição também pode ser chamada de fatoração 
 
Como determinar os divisores de um número: 
Na prática, determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos. 
Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90: 
1. decompomos o número em fatores primos; 
2. traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele é divisor de qualquer 
número; 
 
 
 
3. multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e 
escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo 
 
 
 4. os divisores já obtidos não precisam ser repetidos. 
 
 
Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90. 
 
Fonte: https://www.somatematica.com.br/fundam/divisor.php 
 
 
Quantidade de divisores 
 
Para determinar a quantidade de divisores de um número natural, podemos seguir os 
seguintes passos: 
1. Fatore o número em seus fatores primos. 
Por exemplo, se o número é 24, sua fatoração em números primos é 2³ ∙ 3¹. 
 
2. Para encontrar a quantidade de divisores, adicione 1 a cada expoente nos fatores 
primos e multiplique esses resultados. 
No exemplo de 24, adicionamos 1 a cada expoente 
(3 + 1) ∙ (1 + 1) 
4 ∙ 2 = 8 
Portanto, 24 tem 8 divisores. 
 
https://www.somatematica.com.br/fundam/divisor.php
 
 
Esse método é eficiente e funciona para qualquer número natural, pois a fatoração em 
números primos é única para cada número.