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SEMI_Calculo_I_05

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&iOFXOR�,
Autoria: Jeanne Dobgenski
Tema 05
Funções Trigonométricas
7HPD���
Funções Trigonométricas
Autoria: Jeanne Dobgenski
Como citar esse documento:
DOBGENSKI, Jeanne. Cálculo I: Funções Trigonométricas. Caderno de Atividades. Valinhos: Anhanguera Educacional, 2014.
Índice
‹������$QKDQJXHUD�(GXFDFLRQDO�� 3URLELGD� D� UHSURGXomR� ¿QDO� RX� SDUFLDO� SRU� TXDOTXHU�PHLR� GH� LPSUHVVmR�� HP� IRUPD� LGrQWLFD�� UHVXPLGD� RX�PRGL¿FDGD� HP� OtQJXD�
SRUWXJXHVD�RX�TXDOTXHU�RXWUR�LGLRPD�
Pág. 14
Pág. 15 Pág. 16
Pág. 15
Pág. 12Pág. 11
ACOMPANHENAWEB
Pág. 3
CONVITEÀLEITURA
Pág. 3
PORDENTRODOTEMA
�
Funções Trigonométricas
Em algum momento, você já deve ter pensado ou perguntado por que algumas funções são muito estudadas, como 
ocorre com as funções trigonométricas. E, realmente, há várias razões para isso, tanto como fatores históricos quanto 
propriedades relevantes que apresentam e que possuem muitas aplicações.
Todo fenômeno periódico pode, basicamente, ser representado por combinações de senos e cossenos. Essa é uma 
aplicação muito importante, porque existem muitos fenômenos periódicos como a frequência da corrente alternada, a 
IUHTXrQFLD�GD�OX]�GH�OkPSDGDV�ÀXRUHVFHQWHV��XPD�YH]�TXH�WRGD�D�HOHWULFLGDGH��H�HOHWURPDJQHWLVPR��p�UHSUHVHQWDGD�SRU�
modelos ondulatórios1��$V�IXQo}HV�WULJRQRPpWULFDV�SRGHP�VHU�GH¿QLGDV�FRP�R�XVR�GR�FtUFXOR�XQLWiULR��UDLR� �����SRLV�
1�$OpP�GHVVHV�H[HPSORV��Ki�R�QtYHO�GD�iJXD�GR�PDU�GHYLGR�jV�PDUpV��D�SUHVVmR�VDQJXtQHD�GR�FRUDomR�H�RXWURV�H[HPSORV�SRGHUmR�VHU�
H[SORUDGRV�QR�VLWH�GR�SURI��*DUFLD��������±�YHU�QR�³DFRPSDQKH�QD�ZHE´�RX�QDV�UHIHUrQFLDV�
Neste tema, você terá contato com as funções trigonométricas e sua relação com funções periódicas. Além das 
explicações sobre essas funções, o texto representa uma boa base para o uso futuro de funções trigonométricas em 
DSOLFDo}HV�TXH�HVWmR�SRU�YLU��$¿QDO��VHX�XVR�QDV�HQJHQKDULDV�p�FRQVWDQWH��SRLV�SRGHP�UHSUHVHQWDU�PXLWRV�IHQ{PHQRV�
ItVLFRV�GH�FRPSRUWDPHQWR�FtFOLFR�SRGHP�VHU�PRGHODGRV�FRP�VHX�DX[tOLR��SRU�H[HPSOR��DV�RQGDV�FHUHEUDLV�H�RV�EDWLPHQWRV�
FDUGtDFRV�VmR�SHULyGLFRV��DVVLP�FRPR�D�YROWDJHP�H�D�FRUUHQWH�HOpWULFD�GRPpVWLFD��2�FDPSR�HOHWURPDJQpWLFR�TXH�DTXHFH�
D�FRPLGD�QR�IRUQR�PLFUR�RQGDV�p�SHULyGLFR��EHP�FRPR�R�IXQFLRQDPHQWR�GH�PiTXLQDV�URWDWLYDV��2V�FiOFXORV�WRSRJUi¿FRV�
são feitos com base nas funções trigonométricas. Então, aproveite esse aprendizado! Leia o texto para relembrar e 
IRUWDOHFHU�RV�FRQFHLWRV�VREUH�IXQo}HV�WULJRQRPpWULFDV��IDoD�RV�H[HUFtFLRV�SURSRVWRV�H�DFHVVH�R�PDWHULDO�LQGLFDGR�H�TXH�
HVWi�GLVSRQtYHO�QD�LQWHUQHW��%RQV�HVWXGRV�
CONVITEÀLEITURA
F õ T i ét i
HVWi�GLVSRQtYHO�QD�LQWHUQHW��%RQV�HVWXGRV�
PORDENTRODOTEMA
�
HVVD�GH¿QLomR�DV�ID]�SHULyGLFDV��2EVHUYH�TXH�FDGD�YROWD�QXP�FtUFXOR��SDUWLQGR�GH�XP�SRQWR�GH�RULJHP�H�YROWDQGR�D�HOH��
FRPSOHWD�VH�XP�FLFOR��FHUWR"�e�HVVD�D�FDUDFWHUtVWLFD�GD�SHULRGLFLGDGH�
$�XQLGDGH�PDLV�FRPXP�SDUD�PHGLU�kQJXORV�p�R�JUDX����kQJXOR�UHWR� ����JUDXV� ���ž���(QWUHWDQWR��D�XQLGDGH�SDGUmR�SDUD�
medida de ângulos no cálculo é o radiano. Um radiano é o ângulo central de uma circunferência unitária que equivale 
D�XP�DUFR�GH�FRPSULPHQWR�TXH�p�LJXDO�DR�UDLR�±�FRPR�D�FLUFXQIHUrQFLD�p�XQLWiULD�R�UDLR�p�LJXDO�D����6,00216��������S��
������2EVHUYH�HVVD�GH¿QLomR�QD�)LJXUD�����
)LJXUD�����±�'H¿QLomR�GH�UDGLDQR�
)RQWH��6LPPRQV��������S�������
(PERUD�DV�IXQo}HV�WULJRQRPpWULFDV�SRVVDP�VHU�UHSUHVHQWDGDV�HP�UDGLDQRV�H�JUDXV��DV�IyUPXODV�GH�FiOFXOR�¿FDP�PDLV�
simples em radianos do que em graus e, por isso, é importante compreender a relação entre radianos e graus.
&RPR�IRL�YLVWR�QD�)LJXUD������R�Q~PHUR�GH�UDGLDQRV�QXP�kQJXOR�FHQWUDO�TXDOTXHU�p�GH¿QLGR�FRPR�VHQGR�D�UD]mR�HQWUH�R�
FRPSULPHQWR�GR�DUFR��V��H�R�UDLR��U���ș� �V�U��'H�PRGR�HTXLYDOHQWH��XP�kQJXOR�FHQWUDO�GH�ș�UDGLDQRV�HTXLYDOH�D�XP�DUFR�
�V���FXMR�FRPSULPHQWR�p�ș�YH]HV�R�UDLR��U���V� �șU. 
&RQWLQXDQGR�FRP�HVVH�UDFLRFtQLR��FRQVLGHUH�TXH�R�FRPSULPHQWR�GD�FLUFXQIHUrQFLD�F� ��ʌU p�XP�DUFR�FRPSOHWR��V���RX�
VHMD��XP�kQJXOR�FHQWUDO�FRPSOHWR��ș� ����ƒ��p�HTXLYDOHQWH�D��ʌU �U ��ʌ�UDGLDQRV��$VVLP���ʌ�UDGLDQRV� ����ƒ�H�ʌ�UDGLDQRV�
 ����ƒ��9RFr�SRGHUi�IDFLOPHQWH�FRQVWDWDU�DV�UHODo}HV�HQWUH�JUDXV�H�UDGLDQRV�SDUD�RXWURV�kQJXORV�FRPR���ƒ� �ʌ������ƒ� �
ʌ������ƒ� �ʌ���H���ƒ� �ʌ���
PORDENTRODOTEMA
�
2EVHUYH�D�)LJXUD�����H�FRQVLGHUH�ș�FRPR�XP�Q~PHUR�SRVLWLYR��
)LJXUD�����±�&LUFXQIHUrQFLD�GH�UDLR�XQLWiULR�H�GH¿QLo}HV�GH�VHQR�H�FRVVHQR�
)RQWH��6LPPRQV��������S�������
6HMD�OP segmento de reta que representa o raio da circunferência que a partir da posição OA JLUD�ș�UDGLDQRV�QR�VHQWLGR�
DQWL�KRUiULR��$VVLP��ș� �ʌ�SURGX]�D�PHWDGH�GH�XPD�YROWD�H�ș� ��ʌ�SURGX]�XPD�YROWD�FRPSOHWD��DPEDV�QR�VHQWLGR�DQWL�KRUiULR��
6H�ș�p�QHJDWLYR��OP JLUD��ș�UDGLDQRV�QR�VHQWLGR�KRUiULR��$�)LJXUD�����LOXVWUD�GH�IRUPD�PXLWR�FODUD�R�VHQWLGR�GD�URWDomR�GRV�
kQJXORV�PHGLGRV�HP�UDGLDQRV��2EVHUYH�TXH�R�VHQWLGR�DQWL�KRUiULR�p�GH¿QLGR�FRPR�SRVLWLYR�H�R�KRUiULR�FRPR�QHJDWLYR�
)LJXUD������D��±�5RWDomR�DQWL�KRUiULD�GR�kQJXOR�H�VLQDO�SRVLWLYR�
)LJXUD������E�±�5RWDomR�KRUiULD�GR�kQJXOR�H�VLQDO�QHJDWLYR�
)RQWH��6LPPRQV��������S�������
PORDENTRODOTEMA
�
'HVVD�PDQHLUD�� FDGD�Q~PHUR� UHDO� ș� �SRVLWLYR�� QHJDWLYR�RX�QXOR�� GHWHUPLQD�XPD�~QLFD�SRVLomR�OP QD�)LJXUD�����H��
SRUWDQWR��XP�~QLFR�SRQWR�P = (x,y) com a propriedade de que x2 + y2 ���±�7HRUHPD�GH�3LWiJRUDV��SDUD�TXDOTXHU�WULkQJXOR�
UHWkQJXOR��R�TXDGUDGR�GR�FRPSULPHQWR�GD�KLSRWHQXVD�p�LJXDO�j�VRPD�GRV�TXDGUDGRV�GRV�FRPSULPHQWRV�GRV�FDWHWRV��
2�VHQR�H�R�FRVVHQR�GH�ș�VmR�DJRUD�GH¿QLGRV�SRU�VHQ�ș = y �TXH�p�R�ODGR�RSRVWR�DR�kQJXOR�ș�GLYLGLGR�SHOD�KLSRWHQXVD� 
H�FRV�ș� �x �TXH�p�R�ODGR�DGMDFHQWH�DR�kQJXOR�ș�GLYLGLGR�SHOD�KLSRWHQXVD���/HPEUDQGR�TXH�HVVDV�GH¿QLo}HV�VmR�GDGDV�
a partir do triângulo retângulo de lados x��FDWHWR�DGMDFHQWH�DR�kQJXOR�ș���y��FDWHWR�RSRVWR�DR�kQJXOR�ș��H����KLSRWHQXVD�
TXH�p�LJXDO�DR�UDLR��DSUHVHQWDGR�QD�)LJXUD������
$�)LJXUD�����PRVWUD�XP�WULkQJXOR�UHWkQJXOR�H�DV�GH¿QLo}HV�GH�VHQR��FRVVHQR�H�WDQJHQWH��RV�TXDLV�VmR�GH¿QLGRV�D�SDUWLU�
dele.
 
)LJXUD�����±�'H¿QLo}HV�GH�VHQR��FRVVHQR�H�WDQJHQWH�
)RQWH��6LPPRQV��������S�������
9ROWDQGR�j�)LJXUD�����H�DQDOLVDQGR�D�)LJXUD�����¿FD�HYLGHQWH��SHOD�GH¿QLomR��TXH����”�VHQ�ș�”����9HMD�TXH�,��,,��,,,�H�,9�QD�
)LJXUD�����LQGLFDP�RV�TXDGUDQWHV�GD�FLUFXQIHUrQFLD�TXH�HTXLYDOHP�D�ʌ����3ULPHLUR�TXDGUDQWH�GH���D�ʌ����VHJXQGR�GH�ʌ���
D�ʌ��WHUFHLUR�GH�ʌ�D��ʌ���H�TXDUWR�GH��ʌ���D��ʌ��2�YDORU�GR�VHQR��UHSUHVHQWDGR�SRU�y��p�]HUR�TXDQGR�ș� ���H�p���TXDQGR�
ș� �ʌ����4XDQGR�R�kQJXOR�ș�XOWUDSDVVDU�ʌ����y�FRPHoD�D�GLPLQXLU�GH�YDORU��FHUWR"�(QWmR��LVVR�PRVWUD�TXH�VHQ�ș�HVWi�
GLPLQXLQGR��$R�FKHJDU�HP�ʌ��\� ��� �VHQ�ʌ��$R�XOWUDSDVVDU�ʌ��y�FRPHoD�D�WHU�XP�YDORU�QHJDWLYR�FKHJDQGR�D����TXDQGR�ș�
 ��ʌ����4XDQGR�ș�SDVVD�D�VHU�PDLRU�TXH��ʌ����y continua negativo mais vai se aproximando de zero, chegando a zero 
TXDQGR�ș� ��ʌ��(VVHV�YDORUHV�SDUD�R�VHQR�GXUDQWH�D�YDULDomR�GR�kQJXOR�ș�FRPSRUmR�D�IXQomR�VHQR�GHVFULWD�DGLDQWH�
$QDORJDPHQWH��SDUD�FRV�ș; os sinais algébricos dessas quantidades dependem do quadrante em que está o ponto P. 
3DUD�WRGR�ș, p�FODUR�TXH�RV�Q~PHURV�ș H�ș ���ʌ�GHWHUPLQDP�R�PHVPR�SRQWR�P; logo, sen (ș ���ʌ�� �VHP�ș e cos (ș + 
�ʌ�� �FRV�ș.
PORDENTRODOTEMA
�
$VVLP��RV�YDORUHV�GH�VHQR�H�FRVVHQR�GR�kQJXOR�ș�VH�UHSHWHP�TXDQGR�ș DXPHQWD�GH��ʌ. (VVD�SURSULHGDGH�GH�VHQ�ș�H�
FRV�ș�PRVWUD�TXH�HVVDV�IXQo}HV�VmR�SHULyGLFDV�FRP�SHUtRGR��ʌ�
2EVHUYH�D�)LJXUD������9HMD�TXH�DV�H[WUHPLGDGHV�GRV�GRLV�UDLRV�HVWmR�QD�PHVPD�YHUWLFDO�SDUD�WRGRV�RV�YDORUHV�GH���TXH�
PRVWUD�LPHGLDWDPHQWH�DV�GXDV�SULPHLUDV�LGHQWLGDGHV��OHPEUDQGR�TXH�VHQ��ș�� ��VHQș�HTXLYDOH�D��\��H�FRV��ș�� �FRVș�
HTXLYDOH�D�[��7DQJHQWH�GH�XP�kQJXOR�p�GH¿QLGD�SHOD�GLYLVmR�GR�VHQR�SHOR�FRVVHQR�GR�PHVPR�kQJXOR�
)LJXUD�����±�,GHQWLGDGHV�H�R�HIHLWR�GD�VXEVWLWXLomR�GH�ș�SRU��ș�
)RQWH��6LPPRQV��������S�������
&RPR�D�HTXDomR�GR�FtUFXOR�XQLWiULR�p�[����\� ����RFRUUH�D�VHJXLQWH�LGHQWLGDGH�IXQGDPHQWDO�
cos��ș���VHQ��ș� ��
4XDQGR�ș�DXPHQWD�H�R�SRQWR�PVH�PRYH�DR�ORQJR�GD�FLUFXQIHUrQFLD��RV�YDORUHV�GH�VHQ�ș�H�GH�FRV�ș�RVFLODP�HQWUH���H�±��H�
acabam se repetindo quando P VH�PRYH�DWUDYpV�GH�SRQWRV�SRU�RQGH�Mi�SDVVRX�DQWHV��1mR�HVTXHoD�TXH�VH�ș�p�QHJDWLYR��
o ângulo é medido no sentido horário. 
9HMD�QD�)LJXUD�����DV�IXQo}HV�VHQR�H�FRVVHQR��2V�YDORUHV�Pi[LPRV�H�PtQLPRV�GH�VHQR�H�GH�FRVVHQR�VmR����H�����Mi�TXH�
HVVHV�VmR�RV�YDORUHV�Pi[LPRV�H�PtQLPRV�GH�x e de y QR�FtUFXOR�XQLWiULR��'HSRLV�GR�SRQWR�P ter se movido em tomo do 
FtUFXOR�FRPSOHWR�XPD�YH]��RV�YDORUHV�GH�FRV�ș e de sen começam a se repetir; ou seja, essas funções são periódicas 
�+8*+(6�+$//(77��������S������
PORDENTRODOTEMA
�
)LJXUD����D�±�)XQo}HV�VHQR��¬�HVTXHUGD�XP�SHUtRGR���ʌ��H�j�GLUHLWD�YiULRV�SHUtRGRV�
)LJXUD����E�±�)XQo}HV�FRVVHQR��¬�HVTXHUGD�XP�SHUtRGR���ʌ��H�j�GLUHLWD�YiULRV�SHUtRGRV�
)RQWH��6LPPRQV��������S�������
2�JUi¿FR�FRPSOHWR�FRQVLVWH�HP�LQ¿QLWDV�UHSHWLo}HV�GHVVH�FLFOR��j�GLUHLWD�H�j�HVTXHUGD�GH�]HUR��2�JUi¿FR�GH�FRV�ș�p�
HVERoDGR�HVVHQFLDOPHQWH�GD�PHVPD�PDQHLUD�TXH�R�GR�VHQR��VHQGR�D�SULQFLSDO�GLIHUHQoD�D�GH�TXH�FRV�ș�FRPHoD�HP����
GHFUHVFH�SDUD����GHFUHVFH�SRVWHULRUPHQWH�SDUD�����FUHVFH�SDUD���H�FUHVFH�GHSRLV�SDUD���
3DUD�TXDOTXHU� IXQomR�SHULyGLFD�GR� WHPSR��SRGH�VH�GH¿QLU�amplitude como a metade da distância entre os valores 
Pi[LPR� H�PtQLPR� �VH� H[LVWLUHP��� H�período como o menor tempo necessário para que a função execute um ciclo 
FRPSOHWR��+8*+(6�+$//(77��������S�������9HUL¿TXH�QD�)LJXUD�����TXH�D�DPSOLWXGH�H�R�SHUtRGR�GDV�IXQo}HV�VHQR�H�
FRVVHQR�VmR���H��ʌ��UHVSHFWLYDPHQWH�
3RU�PHLR�GD�)LJXUD������p�SRVVtYHO�DYHULJXDU�TXH�RV�JUi¿FRV�GR�VHQR�H�GR�FRVVHQR�WrP�H[DWDPHQWH�D�PHVPD�IRUPD��PDV�
HVWmR�GHVORFDGRV�KRUL]RQWDOPHQWH�XP�HP�UHODomR�DR�RXWUR��&RPR�R�JUi¿FR�GR�FRVVHQR�p�R�JUi¿FR�GR�VHQR�GHVORFDGR�
ʌ���XQLGDGHV�SDUD�D�HVTXHUGD��FRV�t� �VHQ��t���ʌ����±�REVHUYH�TXH�IRL�XVDGR�W�HP�YH]�GH�ș�SDUD�UHSUHVHQWDU�R�kQJXOR�H�
isso não interfere nos resultados e explicações.
PORDENTRODOTEMA
�
)LJXUD�����±�)XQo}HV�VHQR�H�FRVVHQR�GR�kQJXOR�t ou x.
)RQWH��+XJKHV�+DOOHWW��������S������H�:LNLSpGLD��KWWS���SW�ZLNLSHGLD�RUJ�ZLNL�)XQ�&��$��&��$�RBSHUL�&��%�GLFD�PHGLDYLHZHU�)LFKHLUR�6LQHBFRVLQHBSORW�VYJ��
(TXLYDOHQWHPHQWH��R�JUi¿FR�GR�VHQR�p�R�JUi¿FR�GR�FRVVHQR�GHVORFDGR�ʌ���XQLGDGHV�SDUD�D�GLUHLWD��ORJR�VHQ�t �FRV�W���
ʌ��). Logo, pode-se dizer que a diferença de fase entre sen t e cos t p�ʌ��.�)XQo}HV�FXMRV�JUi¿FRV�WrP�D�IRUPD�GH�XPD�
curva seno ou cosseno são chamadas de funções senoidais �+8*+(6�+$//(77��������S������
PORDENTRODOTEMA
��
6HJXQGR�+XJKHV�+DOOHWW� ������� S�� ����� SDUD� GHVFUHYHU� DPSOLWXGHV� H� SHUtRGRV� DUELWUiULRV� GH� IXQo}HV� VHQRLGDLV�� VmR�
usadas funções da forma 
f(t) �A sen(%t) e g(t) �$ cos(%t),
VHQGR�_$_�D�DPSOLWXGH�H��ʌ�_%_ R�SHUtRGR�
2�TXH�YRFr�H[WUDL�GHVVD�H[SOLFDomR"�³$´�p�R�YDORU�GD�DPSOLWXGH�GD�IXQomR��R�PDLRU�YDORU�TXH�D�IXQomR�DWLQJH��6H�$� ����
então, trata-se de uma função sen t ou cos t��FHUWR"�2EVHUYH�TXH�p�XVDGR�R�YDORU�DEVROXWR�GH�$��YDORU�VHP�VLQDO��SRUTXH�
D�DPSOLWXGH�p�PHWDGH�GD�DOWXUD�TXH�D�IXQomR�DWLQJH�HQWUH�VHXV�YDORUHV�GH�PtQLPR�H�Pi[LPR�
2�SHUtRGR�p�GDGR�SHOR�PHQRU�HVSDoR�TXH�XPD� IXQomR�XWLOL]D�SDUD�FRPSOHWDU�XP�FLFOR��RX�VHMD�� UHSHWLU� VHX�SDGUmR��
/RJR��TXDQGR�%�p�GH¿QLGR�FRPR��ʌ�_%_��RX�VHMD��XPD�YROWD�FRPSOHWD�QR�FtUFXOR�����ƒ��GLYLGLGR�SHOR�YDORU�DEVROXWR�GH�
%��REVHUYD�VH�TXH�VH�%� ����HQWmR�R�SHUtRGR�GD�IXQomR�VHQRLGDO�p�R�XVXDO���ʌ��6H�%� ����HQWmR�R�PHQRU�SHUtRGR�SDUD�
HVVD�IXQomR�SDVVD�D�VHU�ʌ��SDUD�%� ���R�SHUtRGR�VHUi��ʌ����VH�FRQWLQXDUPRV�DXPHQWDQGR�R�YDORU�GH�%��FRQWLQXDUHPRV�
GHFUHPHQWDQGR�R�YDORU�GR�SHUtRGR�GD�IXQomR��LVWR�p��TXDQWR�PDLRU�R�YDORU�GH�%�PDLV�UDSLGDPHQWH�D�IXQomR�FRPSOHWDUi�
XP�FLFOR��'HVVD�IRUPD��REVHUYD�VH�TXH�VH���”�%������HQWmR�RV�YDORUHV�GRV�SHUtRGRV�GDV�IXQo}HV�VHQRLGDLV�SDUD�HVVHV�
YDORUHV�GH�%�VHUmR�PDLRUHV�TXH��ʌ��LQGLFDQGR�TXH�D�IXQomR�GHPRUD�PDLV�SDUD�FRPSOHWDU�XP�FLFOR�
3DUD�UHSUHVHQWDU�GLIHUHQoDV�GH�IDVH�DUELWUiULDV��GHVORFD�VH�KRUL]RQWDOPHQWH�XP�JUi¿FR�FRP�D�DPSOLWXGH�H�R�SHUtRGR�
corretos substituindo t por t - h ou por t + h �+8*+(6�+$//(77��������S������ 
&RQVLGHUH�R�VHJXLQWH�H[HPSOR�SDUD�IRUWDOHFHU�VXD�FRPSUHHQVmR�VREUH�D�SHULRGLFLGDGH�GH�IXQo}HV�VHQRLGDLV��([HPSOR��
considere a função f�t�� ���VHQ���t��H�PRVWUH�JUD¿FDPHQWH�D�DPSOLWXGH�H�R�SHUtRGR�GHVVD�IXQomR��+8*+(6�+$//(77��
������S������
6ROXomR��VHQGR�GH¿QLGD�D�IXQomR�f(t) �$ sen(%t)��REVHUYD�VH�TXH�$� ����ORJR�D�DPSOLWXGH�GH�f(t) = 5 VHP���t��p����SRLV�
HVVH�IDWRU�DORQJD�DV�RVFLODo}HV��TXH�VREHP�DWp���H�GHVFHP�DWp�����9HUL¿FD�VH�TXH�%� ����ORJR�R�SHUtRGR�GH�f(t) ���VHP�
��t��p��ʌ��� �ʌ� pois quando t YDULD�GH���DWp�ʌ, a quantidade 2t YDULD�GH���D��ʌ, e a função seno passa por uma oscilação 
FRPSOHWD�±�YHMD�D�)LJXUD�����
PORDENTRODOTEMA
��
Uma Abordagem das Aplicações Trigonométricas
‡� ([FHOHQWH�WUDEDOKR�GH�FRQFOXVmR�GH�FXUVR�TXH�DSUHVHQWD� LQ~PHUDV�DSOLFDo}HV�GDV�IXQo}HV�
trigonométricas e nas mais diversas áreas.
/LQN���KWWSV���UHSRVLWRULR�XIVF�EU�ELWVWUHDP�KDQGOH�����������������*HUVRQB/XLVB8EHUWL�3')"VHTXHQFH �>. 
$FHVVR�HP�����PDLR�������
Aplicações Práticas da Trigonometria
‡� %RDV�LQIRUPDo}HV�H�H[HPSORV�D�UHVSHLWR�GH�IXQo}HV�SHULyGLFDV�
/LQN���KWWS���ZZZ�SURIJDUFLD�[SJ�FRP�EU�$SOLFDFRHVBSUDWLFDVBGDB7ULJRQRPHWULD�KWP>��$FHVVR�HP�����PDLR�������
ACOMPANHENAWEB
)LJXUD�����±�*Ui¿FR�GD�IXQomR�I�t�� ���VHQ���t��LQGLFDQGR�DPSOLWXGH�H�SHUtRGR�
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Introdução à Teoria Acústica
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trigonométricas. 
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Matemática - Funções Trigonométricas
‡� Excelente videoaula que explica as funções seno, cosseno e tangente e dá alguns exemplos.
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Instruções:
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escolha e dissertativas. Leia cuidadosamente os enunciados e atente-se para o que está sendo pedido.
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AGORAÉASUAVEZ
Questão 1
&RQVLGHUDQGR�VHX�FRQKHFLPHQWR�SUpYLR�VREUH�IXQo}HV��LQGLTXH�R�FRQMXQWR�LPDJHP�GD�IXQomR�\� �[�����SDUD�R�FRQMXQWR�$� �^±���
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AGORAÉASUAVEZ
Questão 2
3DUD�D�IXQomR�\� �����FRV���[���PDUTXH�D�DOWHUQDWLYD�TXH�LQGLFD�TXDO�p�D�DPSOLWXGH�H�TXDO�p�R�SHUtRGR�GHVVD�IXQomR�
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Questão 3
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H�±��H�DFDEDP�VH�UHSHWLQGR�TXDQGR�P se move por meio de pontos por onde já passou antes.
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AGORAÉASUAVEZ
Questão 4
'HVHQKH�R�JUi¿FR�GD�IXQomR�y� ���VHQ�x�H�QR�PHVPR�SODQR�FDUWHVLDQR�GHVHQKH�R�JUi¿FR�GD�IXQomR�y� �VHQ�x��0RVWUH�TXDLV�VmR�
DV�GXDV�IXQo}HV�H�LQGLTXH�D�GLIHUHQoD�GH�DPSOLWXGH�GH�FDGD�IXQomR�H�TXDO�R�SHUtRGR�TXH�SRVVXHP�
Questão 5
3DUD�R�JUi¿FR�D�VHJXLU��LQGLTXH�TXDO�p�D�IXQomR�TXH�R�GHVFUHYH�
Nesse tema você estudou que logaritmos são as funções inversas das funções exponenciais e que o logaritmo 
QDGD�PDLV�p�TXH�R�Q~PHUR�TXH�VHUYH�GH�H[SRHQWH�
Um fator muito importante ao trabalhar com logaritmos é lembrar das suas propriedades para aplicá-las nas situações 
QHFHVViULDV�SDUD�D�UHVROXomR�GH�SUREOHPDV��7DPEpP�YLX�TXH�VmR�FKDPDGRV�GH�ORJDULWPRV�QDWXUDLV��OQ��RV�TXH�SRVVXHP�EDVH�³H´��PDV�TXH�DV�SURSULHGDGHV�SHUPDQHFHP�DV�PHVPDV�
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referência para o estudo e concretização do aprendizado. Avalie seu aprendizado e faça as atividades propostas!
N ê d l i f i d f i i l i
FINALIZANDO
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+8*+(6�+$//(77��'HERUDK�HW�DO��Cálculo de uma variável.���HG��5LR�GH�-DQHLUR��/7&��������3/7�����
6,00216��*HRUJH�)��Cálculo com geometria analítica.�Y�����6mR�3DXOR��0F*UDZ�+LOO�������
),11(<��5RVV�/��HW�DO��Cálculo de George B. Thomas Jr.�Y�����6mR�3DXOR��$GGLVRQ�:HVOH\�������
+(;$*0(',&,1$��Matemática - Funções Trigonométricas.�9LGHRDXOD��'LVSRQtYHO�HP���KWWSV���ZZZ�\RXWXEH�FRP�ZDWFK"Y -I���6JQ�%(>. 
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0('(,526��(GXDUGR�%DX]HU��Introdução à Teoria Acústica.�6HPLQiULR�GH�(QJHQKDULD�HP�ÈXGLR���6(0($�������'LVSRQtYHO�HP��
�KWWS���ZZZ�FSGHH�XIPJ�EU�aVHPHD�DQDLV�DUWLJRV�(GXDUGR%DX]HU�SGI>��$FHVVR�HP�����PDLR������
3URI��*DUFLD��Aplicações práticas da trigonometria.�'LVSRQtYHO�HP���KWWS���ZZZ�SURIJDUFLD�[SJ�FRP�EU�$SOLFDFRHVBSUDWLFDVBGDB
Trigonometria.htm>��$FHVVR�HP�����PDLR�������
8%(57,��*HUVRQ�/XL]��Uma abordagem das aplicações trigonométricas. 7UDEDOKR�GH�FRQFOXVmR�GH�FXUVR��8QLYHUVLGDGH�)HGHUDO�
GH�6DQWD�&DWDULQD��'HSWR�GH�0DWHPiWLFD��������'LVSRQtYHO�HP���KWWSV���UHSRVLWRULR�XIVF�EU�ELWVWUHDP�KDQGOH�����������������
*HUVRQB/XLVB8EHUWL�3')"VHTXHQFH �>��$FHVVR�HP�����PDLR������
REFERÊNCIAS
Amplitude: é uma medida escalar negativa e positiva da magnitude de oscilação de uma onda.
Período:�p�R�PHQRU�Q~PHUR�UHDO�SRVLWLYR�p�SDUD�R�TXDO�VH�YHUL¿FD�D�SURSULHGDGH�GD�IXQomR�UHDOL]DU�XP�FLFOR�
Funções trigonométricas: são funções angulares, importantes no estudo dos triângulos e na modelação de fenômenos 
SHULyGLFRV��3RGHP�VHU�GH¿QLGDV�FRPR�UD]}HV�HQWUH�GRLV�ODGRV�GH�XP�WULkQJXOR�UHWkQJXOR�HP�IXQomR�GH�XP�kQJXOR��RX��
GH�IRUPD�PDLV�JHUDO��FRPR�UD]}HV�GH�FRRUGHQDGDV�GH�SRQWRV�QR�FtUFXOR�XQLWiULR�
B B TB B T
A lit d é did l ti iti d it d d il ã d d
GLOSSÁRIO
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GABARITO
Questão 1
Resposta: &RQMXQWR�LPDJHP�GD�IXQomR�p�^����������������`�
Questão 2
Resposta: $OWHUQDWLYD�'�
Questão 3
Resposta: Alternativa A.
Questão 4
Resposta:�3DUD�D�IXQomR�\� ���VHQ�x��$� ����RX�VHMD��D�DPSOLWXGH�p����3DUD�\� �VHQ�x��$� ����RX�VHMD��D�DPSOLWXGH�p����
$PEDV�DV�IXQo}HV�WrP�SHUtRGR�LJXDO�D����%� ����VHQGR�SHUtRGR� ��ʌ�%� ��ʌ�
Questão 5
Resposta: y� ����VHQ��t���

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