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Universidade Federal do Triaˆngulo Mineiro
1o Prova-A´lgebra Linear/ICTE
21 de Setembro de 2014
1. Seja W =
{
(x, y, z, t)R4|x+ 2y − z + t = 0
}
um subespac¸o do R4. O vetor v = (0, 0, 0, 1) ∈ W?
Justifique sem usar determinante.
2. Mostre que os polinoˆmios 1, 1 + t, 1− t2 e 1− t− t2 − t3 formam uma base para P3(R)
3. Dizemos que uma matriz A e´ anti-sime´trica se AT = −A. Seja V = Mn(R), C o conjunto de
todas as matrizes sime´tricas e D o conjunto de todas as matrizes anti-sime´tricas em V .(Sugesta˜o:
A = 1/2(A+AT ) + 1/2(A−AT ))
a) Mostre que C ≤ V e D ≤ V .
b) V = C +D? Esta soma e´ direta?
4. Se A ∈ Mn(R) e´ uma matriz tal que A
n+1 = 0, enta˜o (I −A)−1 = I +A+A2 + · · ·+An.
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