TORÇÃO

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Prof. Edimar N. Monteiro e-mail: eng.enmonteiro@gmail.com 
 
 
 
 
2024 
EDIMAR N. MONTEIRO 
UNESC 
23/10/2024 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
3 – Torção 
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Prof. Edimar N. Monteiro e-mail: eng.enmonteiro@gmail.com 
 
SUMÁRIO 
 
3.1 TENSÃO DE CISALHAMENTO POR TORÇÃO ............................................................................. 2 
3.1.1 Deformação por torção em eixos circulares ....................................................................... 2 
3.1.2 Tensão de cisalhamento por torção em eixos circulares ................................................ 4 
3.1.3 Relação entre torque e tensão de cisalhamento – a fórmula da torção ...................... 5 
Exercícios ............................................................................................................................................. 11 
3.2 PROJETO DE EIXOS DE TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA ....................................................... 12 
Exercícios ............................................................................................................................................. 16 
3.3 ÂNGULO DE TORÇÃO ..................................................................................................................... 17 
Exercícios ............................................................................................................................................. 23 
3.4 EIXOS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS .......................................................................... 25 
Exercícios ............................................................................................................................................. 29 
3.5 CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO .................................................................................................... 31 
Exercícios ............................................................................................................................................. 33 
RESPOSTAS ............................................................................................................................................. 33 
REFERÊNCIAS ......................................................................................................................................... 34 
APÊNCIDE A – PROPRIEDADES DE ALGUNS MATERIAIS .......................................................... 35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.1 TENSÃO DE CISALHAMENTO POR TORÇÃO 
 
Considere o sistema composto por uma turbina 𝐴 e um gerador elétrico 𝐵, conectados por um 
eixo circular 𝐴𝐵, tal como mostrado na Figura 3.1(a). Se o conjunto for separado do sistema, tal 
como mostrado na Figura 3.1(b), veremos que a turbina aplica um torque 𝑻 no eixo, e que o eixo 
aplica um torque de mesma intensidade no gerador, de modo que este reage aplicando um torque 
igual e oposto, 𝑻′, no eixo. 
 
 
(a) (b) 
Figura 3.1 – (a) Sistema de transmissão de potência e (b) eixo de transmissão de potência submetido a 
torques iguais e opostos 
Fonte: BEER, et al. (2012, p. 149) 
 
Nesse material, veremos que ao ser submetido a um torque, um eixo circular, desenvolve 
sofre uma deformação por cisalhamento e uma tensão de cisalhamento que depende do raio e do 
momento polar de inércia da seção. 
 
3.1.1 Deformação por torção em eixos circulares 
 
Para que possamos compreender como ocorre a deformação por cisalhamento devido a 
aplicação de um torque numa barra circular, considere a Figura 3.2(a) em que temos um eixo de 
alta elasticidade com um pequeno quadrado marcado em sua superfície. Se um torque puro é 
aplicado a esse eixo, esse elemento demarcado se deforma, assumindo a geometria mostrada na 
Figura 3.2(b), que indica a ocorrência de deformação por cisalhamento. 
 
 
 
(a) (b) 
Figura 3.2 – (a) eixo antes da aplicação do torque e (b) eixo após aplicação do torque 
Fonte: HIBBELER (2011, p. 180) 
 
Analogamente, agora, podemos analisar o que ocorre quando um eixo marcado por linhas de 
grade, que formam diversos quadrados, quando o eixo é submetido a torques iguais e opostos em 
suas extremidades, tal como mostrado nas Figuras 3.3(a) e (b). 
Notamos que o torque faz com que os círculos continuam como círculos e as linhas 
longitudinais se deformam formando hélices que interceptam o círculo em ângulos iguais. 
Adicionalmente, note que as seções transversais nas extremidades do eixo continuam planas e as 
linhas radiais nessas extremidades continuam retas. 
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A partir dessas observações experimentais podemos concluir que se o ângulo de torção for 
pequeno, ou seja, se o material se comportar no regime elástico, o comprimento e o raio do eixo 
permanecerão inalterados. 
 
 
(a) (b) 
Figura 3.3 – (a) eixo antes da deformação e (b) eixo após a deformação 
Fonte: HIBBELER (2011, p. 180) 
 
Dadas as observações, podemos determinar como ocorre a distribuição da deformação por 
cisalhamento em função do raio do eixo circular. Para isso, considerem a Figura 3.4 (a), que mostra 
um eixo engastado submetido em um torque em sua extremidade e o correspondente ângulo de 
torção, ∅, na face externa. Para que possamos correlacionar o ângulo de torção, ∅, com a 
deformação por cisalhamento, 𝛾, considere a Figura 3.4(b) que mostra uma porção interna 
indeformada do eixo, ou seja, apenas parte do raio foi considerado para a análise da deformação 
por cisalhamento, escolhendo-se, para isso, o ponto 𝐴, cuja distância até o centro do eixo é definida 
pelo raio, 𝜌. 
 
Figura 3.4 – (a) ângulo de torção superficial, ∅, (b) porção indeformada do eixo em um raio arbitrário, 𝜌 e (c) 
porção indeformada do eixo em um raio arbitrário, 𝜌 
Fonte: BEER, et al. (2012, p. 153) 
 
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Por sua vez, a Figura 3.4(c) ilustra como essa porção interna do eixo se deforma. Observe 
que o ângulo de torção, ∅, e a deformação por cisalhamento, 𝛾, formam o mesmo arco 𝐴𝐴′, na 
extremidade livre do eixo. Assim, escrevendo o comprimento desse arco em função dessas 
variáveis e igualando-os, obtemos: 
 
𝑦𝐿 = ∅𝜌 
 
Resolvendo a expressão acima para a deformação por cisalhamento, 𝑦, escrevemos: 
 
𝑦 =
𝜌∅
𝐿
 (3.1) 
 
Em que 𝑦 é a deformação por cisalhamento, em [𝑟𝑎𝑑], ∅ é o ângulo de torção, em [𝑟𝑎𝑑] e 𝜌 
é a distância de um ponto arbitrário ao centro do eixo, em [𝑚]. 
A Equação 3.1 nos permite observar que a deformação por cisalhamento varia linearmente 
com o raio, 𝜌, do eixo, de modo que a deformação máxima, 𝑦𝑚á𝑥, ocorrerá na superfície do eixo, ou 
seja, para 𝜌 = 𝑐. Substituindo essas variáveis na Equação 3.1, escrevemos: 
 
𝑦𝑚á𝑥 =
𝑐∅
𝐿
 (3.2) 
 
Uma vez que, neste momento, não estamos interessados no ângulo de torção, ∅, podemos 
isolá-lo na Equação 3.2, para obter: ∅ = (𝑦𝑚á𝑥𝐿) 𝜌⁄ , e substituir esse resultado na Equação 3.1. 
Dessa forma, podemos expressar uma equação para o perfil de deformação por cisalhamento, 
na forma: 
 
𝒚 =
𝝆
𝒄
𝒚𝒎á𝒙 (3.3) 
 
Em que 𝑐 é a distância entre o centro do eixo e a superfície, em [𝑚]. Para determinarmos o 
perfil de deformação por cisalhamento em um eixo circular, fazemos 𝜌 = 0 na Equação 3.3. o que 
resulta em uma deformação nula. Isso mostra que a deformação por cisalhamento no centro de 
um eixo circular sujeito à torção é nula. Por fim, fazemos 𝜌 = 𝑐 na Equação 3.3, o que resulta 
em 𝑦 = 𝑦𝑚á𝑥, ou seja, para umeixo circular, a deformação por cisalhamento é máxima em sua 
superfície. Adicionalmente, como a Equação 3.3 é de primeira ordem, podemos concluir que a 
deformação por cisalhamento varia linearmente de zero, no centro, até um máximo na 
superfície e um eixo circular. 
 
3.1.2 Tensão de cisalhamento por torção em eixos circulares 
 
Uma vez conhecido o perfil de deformação por cisalhamento, podemos definir o perfil de 
distribuição da tensão de cisalhamento. Isso é possível se admitirmos que o eixo será submetido a 
um torque de magnitude tal que a tensão desenvolvida no eixo será, no máximo, igual a tensão 
limite de escoamento do material, ou seja, o eixo permanecerá no regime elástico. 
Se essa restrição for cumprida, a lei de Hooke para o cisalhamento, 𝜏 = 𝐺𝑦, será válida, de 
modo que podemos escrever as seguintes relações: 
 
𝑦 =
𝜏
𝐺
 e 𝑦𝑚á𝑥 =
𝜏𝑚á𝑥
𝐺
 
 
Em que 𝜏 é a tensão de cisalhamento, em [𝑃𝑎], e 𝐺 é o módulo de elasticidade torcional, wm 
[𝑃𝑎]. Substituindo essas relações na Equação 3.3, e fazendo as devidas simplificações, obtemos o 
perfil de distribuição para a tensão de cisalhamento por torção em um eixo circular, na forma: 
 
𝝉 =
𝝆
𝒄
𝝉𝒎á𝒙 (3.4) 
 
 
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Para determinarmos o perfil de distribuição de tensão por cisalhamento em um eixo circular, 
fazemos 𝜌 = 0 na Equação 3.4. o que resulta em uma tensão nula. Isso mostra que a tensão por 
cisalhamento no centro de um eixo circular sujeito à torção é nula. Por fim, fazemos 𝜌 = 𝑐 na 
Equação 3.4, o que resulta em 𝜏 = 𝜏𝑚á𝑥, ou seja, para um eixo circular, a tensão por cisalhamento 
é máxima em sua superfície. Adicionalmente, como a Equação 3.4 é de primeira ordem, podemos 
concluir que a tensão por cisalhamento varia linearmente de zero, no centro, até um máximo 
na superfície e um eixo circular. A Figura 3.5 ilustra esse perfil tanto para um eixo maciço (a), 
quanto para um tubo (b). 
 
(a) (b) 
Figura 3.5 – (a) perfil de tensão de cisalhamento para um eixo maciço, ∅, (b) perfil de tensão de 
cisalhamento para um tubo 
Fonte: BEER, et al. (2012, p. 154) 
 
3.1.3 Relação entre torque e tensão de cisalhamento – a fórmula da torção 
 
Agora que conhecemos o como a tensão de cisalhamento se comporta quando aplicamos um 
torque em um eixo circular, podemos determinar uma relação entre o torque aplicado no eixo e a 
tensão interna que se opõe a esse torque, ou seja, a tensão de cisalhamento produzida por ele. 
Para isso, considere a Figura 3.6 em que estão representados o torque externo, 𝑻, e a tensão de 
cisalhamento interna que surge em resposta a essa solicitação 
 
Figura 3.6 – relação entre o torque externo e a tensão de cisalhamento interna 
Fonte: HIBBELER (2011, p. 182) 
 
Se considerarmos que o eixo está em equilíbrio estático rotacional em torno de seu eixo 
central, ou seja, o torque externo está contraposto pelo torque interno devido a tensão de 
cisalhamento, podemos escrever a equação de equilíbrio na forma: 
 
∑ 𝑀 = 0 ; 𝑇 = ∫ (𝜏𝑑𝐴)𝜌
𝐴
 
 
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Observando que 𝜏 da expressão acima é dado pela Equação 3.4, escrevemos: 
 
𝑇 = ∫ (
𝜌
𝑐
𝜏𝑚á𝑥)𝑑𝐴𝜌
𝐴
= 0 
 
Como 𝜏𝑚á𝑥 e 𝑐 são constantes, podemos reescrever a expressão acima na forma: 
 
𝑇 =
𝜏𝑚á𝑥
𝑐
∫ 𝜌2 𝑑𝐴
𝐴
 (3.5) 
 
Na Equação 3.5, a quantidade ∫ 𝜌2 𝑑𝐴
𝐴
 é o momento polar de inércia do eixo em relação 
sua linha central e depende somente de sua distribuição de área. Chamaremos essa quantidade de 
𝐽, dado em [𝑚4]. Essa propriedade mede a resistência que o eixo oferece à rotação, ou seja, a 
sofrer uma torção em torno de seu eixo central. Os valores de 𝐽 para um eixo maciço e para um 
tubo são mostrados nas Figuras 3.7. 
 
 
Figura 3.7 – Momento polar de inércia para eixos maciços e tubos 
Fonte: HIBBELER (2011, p. 182) 
 
Fazendo ∫ 𝜌2 𝑑𝐴
𝐴
= 𝐽 na Equação 3.5, escrevemos: 
𝑇 =
𝜏𝑚á𝑥
𝑐
𝐽 
Resolvendo a expressão acima para 𝜏𝑚á𝑥 obtemos a fórmula da torção que nos permite determinar 
a tensão de cisalhamento desenvolvida na superfície de um eixo, 𝜏𝑚á𝑥, sujeito a um torque. 
 
𝝉𝒎á𝒙 =
𝑻𝒄
𝑱
 (3.6) 
 
Uma vez que a distribuição de tensão é linear, a tensão de cisalhamento e um ponto arbitrário, 
raio 𝜌, do eixo é dada por: 
 
𝝉 =
𝑻𝝆
𝑱
 (3.7) 
 
Nessas equações: 
 
𝜌 = distância de um ponto arbitrário ao centro do eixo, [𝑚] 
𝑐 = raio externo do eixo, [𝑚] 
𝜏 = tensão de cisalhamento em um ponto arbitrário do eixo, [𝑃𝑎] 
𝜏𝑚á𝑥 = máxima tensão de cisalhamento no eixo, [𝑃𝑎] 
𝐽 = momento polar de inércia, [𝑚4] 
𝑇 = torque na seção a ser considerada, [𝑁 ∙ 𝑚]. 
 
 
𝐽 =
𝜋
2
𝑐4
𝐽 =
𝜋
2
𝑐4 − 𝑐𝑖
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EXEMPLO 3.1) O eixo mostrado na figura é feito a partir de uma liga de aço com tensão de 
cisalhamento admissível 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 84 𝑀𝑃𝑎. Determine: (a) o máximo torque que poderá ser aplicado 
nesse eixo e (b) dimensione um tubo de mesmo material capaz de suportar esse torque adotando 
como diâmetro externo 1,5𝑋 o diâmetro do eixo maciço e (c) sabendo que um eixo de um metro 
deverá ser fabricado, compare a viabilidade desses projetos em termos de utilização de material. 
Dado: 𝜌𝑎ç𝑜 = 7850 𝑘𝑔 𝑚3⁄ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 3.2) O eixo maciço de 30 𝑚𝑚 de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados 
às engrenagens. Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 3.3) O eixo sólido está sujeito aos troques distribuídos e concentrados, como mostrado. 
Determine o diâmetro, 𝑑, requerido, com aproximação de 𝑚𝑚 se a tensão de cisalhamento 
admissível do material é 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 50 𝑀𝑃𝑎. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 3.4) Se o torque aplicado ao eixo 𝐶𝐷 for 𝑇′ = 75 𝑁 ∙ 𝑚, determine a tensão de 
cisalhamento máxima absoluta em cada eixo. Os mancais 𝐵, 𝐶 e 𝐷 permitem a livre rotação dos 
eixos, e o motor impede a rotação dos mesmos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
3.1) O eixo circular sólido é submetido a um torque 𝑇 = 5 𝑘𝑁 ∙ 𝑚. Determine a tensão de 
cisalhamento desenvolvida nos pontos 𝐴 e 𝐵. 
 
3.2) O eixo oco é submetido ao torque mostrado. Determine a tensão de cisalhamento desenvolvida 
nos pontos 𝐴 e 𝐵. 
 
3.3) O eixo é oco de 𝐴 até 𝐵 e sólido de 𝐵 a 𝐶. Determine a tensão de cisalhamento máxima que 
ocorre no eixo. O eixo tem diâmetro externo de 80 𝑚𝑚 e parede de espessura de 10 𝑚𝑚 na seção 
𝐴𝐵. 
 
3.4) Determine a máxima tensão de cisalhamento desenvolvida no eixo maciço de 40 𝑚𝑚 de 
diâmetro. 
 
3.5) Determine a máxima tensão de cisalhamento desenvolvida na seção 𝑎 − 𝑎 do eixo mostrado. 
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3.6) Determine a tensão de cisalhamento desenvolvida no ponto 𝐴 doeixo que tem raio de 40 𝑚𝑚. 
 
3.7) O eixo é composto por três tubos concêntricos, todos do mesmo material, e cada um com os 
raios internos e externos mostrados na figura. Se for aplicado um torque 𝑇 = 800 𝑁 ∙ 𝑚 ao disco 
rígido preso à sua extremidade, determine a tensão de cisalhamento máxima no eixo. 
 
 
3.2 PROJETO DE EIXOS DE TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA 
 
Eixos e tubos de seções circulares são constantemente utilizados para transmitir a potência 
desenvolvida por máquinas. No projeto desses elementos, as principais especificações a serem 
observadas são a potência a ser transmitida e a velocidade de rotação do eixo. 
Nesses casos, o papel do engenheiro é selecionar o material e as dimensões da seção 
transversal do eixo de modo que as tensões de cisalhamento máximas admissíveis do material não 
sejam ultrapassadas quando o eixo estiver transmitindo a potência necessária com a velocidade 
especificada. 
Para determinarmos o torque aplicado no eixo, dada a potência a ser transmitida, recordamos 
do estudo de dinâmica que: 
 
𝑷 = 𝑻𝝎 (3.8) 
 
Na Equação 3.8, 𝑃 é a potência transmitida pelo eixo, em [𝑤], 𝑇 é o torque, dado em [𝑁 ∙ 𝑚] 
e 𝜔 é a velocidade de rotação ou velocidade angular do eixo, em [𝑟𝑎𝑑/𝑠]. A velocidade angular 
também pode ser escrita na forma 𝜔 = 2𝜋𝑓 em que 𝑓 é a frequência de rotação, isto é, o número 
de revoluções por segundo, dado em Hertz [𝐻𝑧]. Assim, a Equação 3.8 pode ser escrita na forma: 
 
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𝑷 = 𝟐𝝅𝒇𝑻 (3.9) 
 
Após determinar o torque a que o eixo estará submetido e tendo selecionado o material a ser 
utilizado, o projetista usará os valores de 𝑇 e 𝜏𝑎𝑑𝑚 na fórmula da torção (Equação 3.6), que sendo 
resolvida para as variáveis dimensionais e substituindo-se 𝜏𝑚á𝑥 por 𝜏𝑎𝑑𝑚 pode ser escrita na forma: 
 
𝑱
𝒄
=
𝑻
𝝉𝒂𝒅𝒎
 (3.10) 
 
 
 
EXEMPLO 3.5) O projeto prevê que o eixo de transmissão 𝐴𝐵 de um automóvel será um tubo de 
parede fina. O motor transmite 125 𝑘𝑊 quando o eixo está girando a 1500 𝑟𝑒𝑣 𝑚𝑖𝑛⁄ . Determine a 
espessura mínima da parede do eixo se o diâmetro externo for 62,5 𝑚𝑚. A tensão de cisalhamento 
admissível do material é 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 50 𝑀𝑝𝑎. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 3.6) O motor 𝐴 desenvolve potência de 300 𝑊 e gira a polia acoplada a 90 𝑟𝑒𝑣/𝑚𝑖𝑛. 
Determine os diâmetros exigidos para os eixos de aço nas polias 𝐴 e 𝐵 se a tensão de cisalhamento 
admissível for 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 85 𝑀𝑃𝑎. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 3.7) O eixo está sujeito a um torque distribuído ao longo de seu comprimento na forma 
𝑇 = (10𝑥2) 𝑁 ∙ 𝑚, em que 𝑥 está em metros. Se a máxima tensão de cisalhamento deve permanecer 
constante em 80 𝑀𝑃𝑎, determine a variação requerida no raio do eixo para o intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 3 𝑚. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
3.8) A bomba opera usando um motor que desenvolve uma potência de 85 𝑊. Se o acoplamento 
em 𝐵 está girando a 150 𝑟𝑒𝑣/𝑚𝑖𝑛, determine a máxima tensão de cisalhamento desenvolvida no 
eixo maciço de 20 𝑚𝑚 em 𝐴. 
 
3.9) O eixo maciço de aço 𝐷𝐹 tem diâmetro de 25 𝑚𝑚 e está apoiado nos mancais lisos em 𝐷 e 𝐸. 
O eixo está acoplado a um motor em 𝐹, que transmite 12 𝑘𝑊 de potência ao eixo quando está 
girando a 50 𝑟𝑒𝑣/𝑠. Se as engrenagens 𝐴, 𝐵 e 𝐶 absorvem 3 𝑘𝑊, 4 𝑘𝑊 e 5 𝑘𝑊, respectivamente, 
determine a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida no eixo. O eixo é livre para girar em seus 
mancais de apoio 𝐷 e 𝐸. 
 
3.10) O eixo tubular deve ser construído de aço A-36 (𝜏𝑎𝑑𝑚 = 80 𝑀𝑃𝑎) e apresentar as seguintes 
características de projeto: 2 𝑚 de comprimento e diâmetro externo de 50 𝑚𝑚. Se o eixo irá transmitir 
25 𝑘𝑊 a 40 𝑟𝑎𝑑/𝑠, determine a menor espessura de parede possível para o eixo. 
 
3.11) Se o eixo do problema 3.10 for construído com diâmetro externo de 60 𝑚𝑚 e tiver que 
transmitir 60 𝑘𝑊 de potência, determine a maior velocidade angular possível se a tensão admissível 
deve ser mantida. 
3.12) O motor transmite 40 𝑘𝑊 quando está girando a uma taxa constante de 1350 𝑟𝑝𝑚 em 𝐴. Esse 
carregamento é transmitido ao eixo de aço 𝐵𝐶 pelo sistema de correia e polia mostrado na figura. 
Determine, com aproximação de múltiplos de 5 𝑚𝑚, o menor diâmetro desse eixo se a tensão de 
cisalhamento admissível para o aço for 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 84 𝑀𝑃𝑎. 
 
 
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3.3 ÂNGULO DE TORÇÃO 
 
Em algumas situações práticas, o projeto de um eixo não tem apenas como parâmetro 
restritivo limitar a tensão de cisalhamento até o valor admissível, às vezes também é preciso limitar 
o ângulo de torção a que o eixo será submetido quando sujeito a um torque conhecido. 
Para que possamos determinar o ângulo de torção que resulta em um eixo circular quando 
esse é submetido a um torque conhecido, considere a Figura 3.8 que mostra um eixo circular 
submetido a um torque, 𝑇, em sua extremidade, resultando em um ângulo de torção ∅. 
 
Figura 3.8 – Torque aplicada à extremidade de um eixo engastado, resultando em um ângulo de torção ∅ 
Fonte: BEER, et al. (2012, p. 167) 
 
Pela Figura 3.8, podemos escrever o comprimento do arco formado na extremidade do eixo 
na forma: 
 
𝑦𝑚á𝑥𝐿 = 𝑐∅ 
 
Resolvendo a expressão acima para o ângulo de torção ∅ e lembrando que se o eixo 
permanecer no regime elástico a lei de Hooke para o cisalhamento nos dá: 𝜏𝑚á𝑥 = 𝐺𝑦𝑚á𝑥, de modo 
que: 𝑦𝑚á𝑥 = 𝜏𝑚á𝑥 𝐺⁄ , escrevemos: 
 
∅ =
𝜏𝑚á𝑥𝐿
𝑐𝐺
 
 
Lembrando que 𝜏𝑚á𝑥 é definido pela Equação 3.6, obtemos a expressão para o ângulo de 
torção em função do torque, 𝑇, aplicado ao eixo, na forma: 
 
∅ =
𝑻𝑳
𝑱𝑮
 (3.11) 
 
Na Equação 3.11, ∅ é o ângulo de torção, dado em [𝑟𝑎𝑑], e 𝐺 é o módulo de rigidez torcional 
do material, dado em [𝑃𝑎]. As demais variáveis já foram definidas em equações anteriores. 
Adicionalmente, essa equação mostra que dentro do regime elástico, o ângulo de torção, ∅, é 
proporcional ao momento torçor, 𝑻, aplicado ao eixo. No entanto, a Equação 3.11 somente pode 
ser aplicada para eixos com áreas de seção transversal constante, mesmo material e torque 
constante, tal como aquele mostrado na Figura 3.8. Se o eixo for composto, Figura 3.9(a), ou seja, 
formado por áreas de seções diferente e/ou sujeito a torques diferentes nas seções e/ou, ainda, 
fabricados com materiais diferentes (valores de rigidez torcional diferentes), a Equação 3.11 deve 
ser aplicada em cada uma das seções onde essas variáveis são constantes de modo que o ângulo 
de torção resultante será dado pela soma algébrica das deformações em cada uma das seções 
(princípio da superposição). Matematicamente, escrevemos: 
 
∅ = ∑
𝑻𝒊𝑳𝒊
𝑱𝒊𝑮𝒊
𝒊 (3.12) 
 
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Na expressão 3.12, o subscrito 𝑖 indica a enésima parte do eixoem que todas as variáveis 
são constantes. 
 
 
(a) (b) 
Figura 3.9 – Torque aplicada à extremidade de um eixo engastado, resultando em um ângulo de torção ∅ 
Fonte: BEER, et al. (2012, p. 169) 
 
Por fim, se a área de seção transversal do eixo é variável em todo o seu comprimento, como 
no caso de uma seção cônica, tal como mostrado na Figura 3.9(b), ou ainda, se o torque, 𝑇, está 
variando em toda a seção, ou seja, o torque varia em todo o comprimento do eixo de forma linear 
ou não de modo que 𝑇 = 𝑇(𝑥), escrevemos a Equação 3.11 na forma: 
 
∅ = ∫
𝑻(𝒙)𝒅𝒙
𝑱(𝒙)𝑮
𝑳
𝟎
 (3.13) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 3.8) A barra de alumínio 𝐴𝐵 (𝐺 = 26 𝐺𝑃𝑎) está ligada à barra de latão 𝐵𝐷 (𝐺 = 39 𝐺𝑃𝑎). 
Sabendo que a parte 𝐶𝐷 da barra de latão é vazada e tem um diâmetro interno de 40 𝑚𝑚, determine 
o ângulo de torção em 𝐴 e relação a 𝐷. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 3.9) O tubo de alumínio 6061-T6 tem diâmetro externo 𝑑0 = 80 𝑚𝑚 e diâmetro interno 
𝑑𝑖 = 60 𝑚𝑚, respectivamente. Determine o ângulo de torção da extremidade 𝐴. O suporte flexível 
𝐵 tem rigidez torcional de 90 𝑘𝑁 ∙ 𝑚/𝑟𝑎𝑑. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 3.10) Dois eixos de aço estão acoplados pelas engrenagens mostradas na figura. 
Sabendo que para cada uma 𝐺 = 75 𝐺𝑃𝑎 e que a tensão de cisalhamento admissível é 𝜏𝑎𝑑𝑚 =
55 𝑀𝑃𝑎, determine (a) o maior torque 𝑇0 que pode ser aplicado à extremidade 𝐴 do eixo 𝐴𝐵 e (b) o 
ângulo correspondente pelo qual a extremidade 𝐴 do eixo 𝐴𝐵 gira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
3.13) O eixo de aço A-36 com 60 𝑚𝑚 de diâmetro está sujeito aos torques mostrados. Determine o 
ângulo de torção da extremidade 𝐴 em relação a 𝐶. 
 
3.14) Determine o ângulo de torção da polia 𝐵 em relação a polia 𝐴. O eixo tem diâmetro de 40 𝑚𝑚 
e é fabricado de aço A-36. 
 
3.15) Uma série de engrenagens está montada em um eixo de aço A-36 com 40 𝑚𝑚 de diâmetro. 
Determine o ângulo de torção da extremidade 𝐵 em relação a 𝐴. 
 
3.16) O eixo A-36 com 80 𝑚𝑚 de diâmetro está submetido a um torque uniformemente distribuído 
como mostrado na figura. Determine o ângulo de torção de 𝐴 em relação a 𝐵. 
 
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3.17) O eixo 𝐴𝐵𝐶 de 60 𝑚𝑚 de diâmetro é suportado por dois mancais, enquanto o eixo 𝐸𝐻 de 
80 𝑚𝑚 é fixo em 𝐸 e apoiado em um mancal em 𝐻. Se 𝑇1 = 2 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 e 𝑇2 = 4 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, determine o 
ângulo de torção das engrenagens 𝐴 e 𝐶. Os eixos são fabricados em aço A-36. 
 
3.18) Os eixos são fabricados em aço A-36 e ambos têm diâmetro de 80 𝑚𝑚. Determine o ângulo 
de torção da extremidade 𝐸. 
 
3.19) O motor transmite 33 𝑘𝑊 ao eixo de aço inoxidável 304 quando gira a 20 𝐻𝑧. O eixo é apoiado 
em mancais lisos em 𝐴 e 𝐵, que permitem a livre rotação do eixo. As engrenagens 𝐶 e 𝐷 presas ao 
eixo absorvem 20 𝑘𝑊 e 13 𝑘𝑊, respectivamente. Determine o diâmetro do eixo com aproximação 
de 𝑚𝑚 se a tensão de cisalhamento admissível for 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 56 𝑀𝑃𝑎 e o ângulo de torção admissível 
de 𝐶 em relação a 𝐷 for 0,20°. Dado: 𝐺304 = 75 𝐺𝑃𝑎. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.4 EIXOS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS 
 
Diz-se que um eixo sob torção é estaticamente indeterminado quando a equação de equilíbrio 
rotacional aplicado em relação a sua linha central não é suficiente para determinar suas reações de 
apoio. A Figura 3.10(a) mostra um eixo rigidamente fixado em ambas as extremidades, 𝐴 e 𝐵, e 
sujeito a um torque em 𝐶. No intuito de determinarmos os torques de reação em 𝐴 e 𝐵, 
representamos o diagrama de equilíbrio para esse eixo, Figura 3.10(b), e estabelecemos a equação 
de equilíbrio rotacional em torno de seu eixo longitudinal, o que resulta em: 
∑ 𝑀 = 0; 𝑇𝐴 + 𝑇𝐵 − 𝑇 = 0 
 
Percebemos que com a aplicação da única equação de equilíbrio estático possível não 
podemos determinar tais reações, o que caracteriza eixo como estaticamente indeterminado. 
 
 
(a) (b) 
Figura 3.10 – (a) eixo rigidamente apoiado em ambas as extremidades e sujeito a torque e (b) diagrama de 
corpo livre correspondente 
Fonte: HIBBELER (2011, p. 214) 
 
Assim como fizemos para o caso de barras e eixos sob carga axial, usaremos condições de 
compatibilidade específicas de modo a formular outras equações adicionais para tornar possível 
a determinação dos torques de reação nesses casos. Algumas condições de compatibilidade mais 
comuns são mostradas no quadro que segue. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Quadro 1 – Condições de compatibilidade para eixos estaticamente indeterminados 
Fonte: HIBBELER (2011, p. 214) 
 
Os exemplos que seguem mostram como essas condições de compatibilidade são utilizadas 
na determinação de torques de reação envolvendo eixos estaticamente indeterminados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eixo entre apoios rígidos 
Eixos entre apoios flexíveis ou livres para girar 
em um determinado intervalo 
 
∅𝑨/𝑩 = 𝟎 
Em que: 
∅𝐴 = ângulo de torção da extremidade 𝐴, [𝑟𝑎𝑑] 
∅𝐵 = ângulo de torção da extremidade 𝐵, [𝑟𝑎𝑑] 
 
∅𝑨 = (∅𝑨)𝑻 − (∅𝑨)𝑻𝑨
 
Em que: 
∅𝐴 = ângulo de torção da extremidade 𝐴 devido a 
rigidez torcional, ∅𝐴 =
𝑇𝐴
𝑘
, [𝑟𝑎𝑑] 
𝑘 = rigidez torcional do apoio, [𝑁 ∙ 𝑚/𝑟𝑎𝑑] 
(∅𝐴)𝑇 = ângulo de torção da extremidade 𝐴 devido 
ao somatório de torques no eixo, [𝑟𝑎𝑑] 
(∅𝐴)𝑇𝐴
= ângulo de torção da extremidade 𝐴 
devido ao torque de reação no apoio 𝐴, [𝑟𝑎𝑑] 
Eixos entre apoios rígidos unidos por uma relação de transmissão 
 
𝒓𝑬∅𝑬 = 𝒓𝑭∅𝑭 
Em que: 
𝑟𝐸 = raio do elemento de transmissão da extremidade 𝐸, [𝑚] 
∅𝐸 = ângulo de torção da extremidade 𝐸, [𝑟𝑎𝑑] 
𝑟𝐹 = raio do elemento de transmissão da extremidade 𝐹, [𝑚] 
∅𝐹 = ângulo de torção da extremidade 𝐹, [𝑟𝑎𝑑] 
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EXEMPLO 3.11) O eixo de aço A-36 tem diâmetro de 60 𝑚𝑚 e está preso nas extremidades 𝐴 e 𝐵. 
Se for submetido aos torques mostrados, determine: (a) a tensão de cisalhamento máxima 
desenvolvida no eixo considerando que ambos os apoios são rígidos e (b) a tensão de cisalhamento 
máxima desenvolvida considerando que a rigidez do apoio 𝐴 é de 𝐾𝐴 = 200 𝑘𝑁 ∙ 𝑚/𝑟𝑎𝑑. Dado: 
𝐺𝐴−36 = 75 𝐺𝑃𝑎. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 3.12) Os dois eixos são feitos de aço A-36. Cada eixo tem diâmetro de 25 𝑚𝑚 e os dois 
estão acoplados pelas engrenagens presas a uma das extremidades de cada um deles. As outras 
extremidades e cada um dos eixos estão engastados em apoios fixos em 𝐴 e 𝐵. Além disso, os 
eixos estão apoiados em mancais em 𝐶 e 𝐷, que permite que eles girem livremente ao longo de 
suas linhas centrais. Se for aplicado um torque de 500 𝑁 ∙ 𝑚 à engrenagem em 𝐸, como mostra a 
figura, determine as reações em 𝐴 e 𝐵. Dado: 𝐺𝐴−36 = 75 𝐺𝑃𝑎.29 
 
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Exercícios 
 
3.20) O eixo de aço A-36 com 50 𝑚𝑚 de diâmetro está fixado nos apoios rígidos 𝐴 e 𝐵. Se o torque 
mostrado na figura é aplicado, determine as tensões desenvolvidas nas regiões 𝐴𝐶 e 𝐵𝐶 do eixo. 
 
3.21) O eixo é fabricado em aço A-36 e tem diâmetro de 80 𝑚𝑚. Se o apoio 𝐵 é rígido e o apoio 𝐴 
tem rigidez torcional de 𝑘 = 0,5 𝑀𝑁 ∙ 𝑚/𝑟𝑎𝑑, determine a máxima tensão de cisalhamento no eixo. 
 
3.22) Para o problema anterior, considere que o eixo o apoio 𝐴 é livre para girar 0,005 𝑟𝑎𝑑 antes de 
tornar-se rígido e determine as máximas tensões de cisalhamento nas regiões 𝐴𝐶 e 𝐶𝐷. 
3.23) Se o eixo é submetido a um torque uniformemente distribuído de 20 𝑘𝑁 ∙ 𝑚/𝑚, determine a 
máxima tensão de cisalhamento desenvolvida no eixo. O eixo é fabricado com a liga de alumínio 
2014-T6 e fixado nos apoios rígidos A e C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.24) Os eixos são fabricados em aço A-36 e têm diâmetro de 100 𝑚𝑚. Se um torque de 2 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 
é aplicado na engrenagem 𝐵, determine: (a) a máxima tensão de cisalhamento e (b) o ângulo de 
torção da engrenagem 𝐵. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.5 CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO 
 
Assim como ocorre no caso de tensões provocadas por cargas axiais. Quando há mudanças 
repentinas na seção transversal de um eixo sob torção, a distribuição da tensão de cisalhamento e 
a deformação por cisalhamento tornam-se complexas e só podem ser determinadas por meios 
experimentais ou através da teoria da elasticidade. Algumas descontinuidades comuns que ocorrem 
em eixos circulares sob torção são mostradas na Figura 3.11. Em cada caso a tensão de 
cisalhamento máxima ocorrerá no ponto (em negrito) indicado na seção transversal. 
 
 
(a) (b) (c) 
Figura 3.11 – As principais descontinuidades presentes em eixos sob torção são: (a) em acoplamentos por 
flanges, que são utilizados para interligar dois eixos colineares, (b) em rasgos de chaveta, usados para 
conectar engrenagens ou polias a um eixo e (c) em filetes de redução, utilizados para fabricar um único eixo 
colinear de dois ou mais diâmetros diferentes. 
Fonte: HIBBELER, (2011 p. 234) 
 
Para a determinação da tensão de cisalhamento máxima numa dada descontinuidade, pode-
se usar um fator de concentração de tensão, 𝑲, que é obtido através de um gráfico (carta de 
concentração de tensão), formulado com base em métodos experimentais. 
A Figura 3.12 mostra uma carta de concentração de tensão específica para rebaixos. Para 
usar esse gráfico devemos determinar, primeiramente, a razão geométrica 𝐷/𝑑 para definir a curva 
adequada e, então, uma vez calculada a abscissa 𝑟/𝑑, o valor de 𝐾 é determinado ao longo da 
ordenada. 
 
Figura 3.12 – Carta de concentração de tensão para elemento eixo circular sob torção com diferentes 
diâmetros 
Adaptado de: HIBBELER, (2011 p. 234) 
 
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Uma vez obtido o valor do fator de concentração, 𝐾, podemos determinar a tensão de 
cisalhamento máxima pela equação: 
 
𝝉𝒎á𝒙 = 𝑲
𝑻𝒄
𝑱
 (3.14) 
 
Os valores de 𝑇, 𝑐 e 𝐽, na Equação 3.14 são determinados na região da área de menor seção 
transversal. 
 
EXEMPLO 3.13) O eixo de seção variável mostrado na figura deve rotacionar com uma frequência 
de 50 𝐻𝑧. Sabendo que o raio de adoçamento é 𝑟 = 8 𝑚𝑚 e que a tensão de cisalhamento 
admissível é de 45 𝑀𝑃𝑎, determine a potência máxima que pode ser transmitida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
3.25) O aço utilizado para a fabricação do eixo possui tensão de cisalhamento admissível de 𝜏𝑎𝑑𝑚 =
8 𝑀𝑃𝑎. Se os elementos são conectados por solda com filete de raio 𝑟 = 4 𝑚𝑚, determine o máximo 
torque que pode ser aplicado. 
 
3.26) O eixo mostrado é projetado para girar a 540 𝑟𝑝𝑚. Se o raio de filete da conexão é 𝑟 = 7,2 𝑚𝑚, 
e a tensão de cisalhamento admissível do material é 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 55 𝑀𝑃𝑎, determine a máxima potência 
que o eixo pode transmitir. 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
3.1) 𝜏𝐴 = 49,7 𝑀𝑃𝑎 𝜏𝐵 = 37,3 𝑀𝑃𝑎 
3.2) 𝜏𝐴 = 24,5 𝑀𝑃𝑎 𝜏𝐵 = 36,7 𝑀𝑃𝑎 
3.3) (𝜏𝐴𝐵)𝑚á𝑥 = 29,1 𝑀𝑃𝑎 (𝜏𝐵𝐶)𝑚á𝑥 = 59,7 𝑀𝑃𝑎 
3.4) 𝜏𝑚á𝑥 = 47,7 𝑀𝑃𝑎 
3.5) (𝜏𝐵𝐶)𝑚á𝑥 = 30,6 𝑀𝑃𝑎 
3.6) 𝜏𝐴 = 39,8 𝑀𝑃𝑎 
3.7) 𝜏𝑚á𝑥 = 11,9 𝑀𝑃𝑎 
3.8) 𝜏𝑚á𝑥 = 3,44 𝑀𝑃𝑎 
3.9) 𝜏𝑚á𝑥 = 12,5 𝑀𝑃𝑎 
3.10) 𝑡 = 2,5 𝑚𝑚 
3.11) 𝜔 = 17,7 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
3.12) 𝑑 = 35 𝑚𝑚 
3.13) ∅𝐴/𝐶 = −0,00838 𝑟𝑎𝑑 = −0,48° 
3.14) ∅𝐵/𝐴 = 0,01432 𝑟𝑎𝑑 = 0,821° 
3.15) ∅𝐵/𝐴 = 0,01061 𝑟𝑎𝑑 = 0,608° 
3.16) ∅𝐴/𝐵 = 0,00531 𝑟𝑎𝑑 = 0,304° 
3.17) ∅𝐴 = 0,04637 𝑟𝑎𝑑 = 2,66° 
3.18) ∅𝐸 = 0,02089 𝑟𝑎𝑑 = 1,20° 
3.19) 
3.20) (𝜏𝐴𝐶)𝑚á𝑥 = 8,15 𝑀𝑃𝑎 (𝜏𝐶𝐵)𝑚á𝑥 = 4,07 𝑀𝑃𝑎 
3.21) 𝜏𝑚á𝑥 = 24,9 𝑀𝑃𝑎 
3.22) 𝜏𝑚á𝑥 = 28,2 𝑀𝑃𝑎 
3.23) 
3.24) 𝜏𝑚á𝑥 = 93,1 𝑀𝑃𝑎 
3.25) 𝑇 = 21,1 𝑁 ∙ 𝑚 
3.26) 𝑃 = 101 𝑘𝑊 
 
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REFERÊNCIAS 
 
BEER, F. P; et al. Mecânica dos Materiais. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2012. 
 
BEER el al. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 9. ed. Porto Alegre: AMGM, 2012. 
 
BEER, F. P; JOHNSTON, R. E. Resistência dos Materiais. 3. ed. São Paulo: Pearson Makron 
Books, 1995. 
 
GERE, J. M; GOODINO, B. J. Mecânica dos Materiais: Tradução da 7ª edição norte-americana. 
7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010. 
 
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 
 
ROY, R; CRAIG, Jr. Mecânica dos Materiais. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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APÊNCIDE A – PROPRIEDADES DE ALGUNS MATERIAIS 
 
 
Materiais 
Massa 
específica, 𝝆 
(𝒌𝒈/𝒎𝟑) 
Módulo de 
elasticidade 
longitudinal, 𝑬 
(𝑮𝑷𝒂) 
Módulo de 
elasticidade 
transversal, 𝑮 
(𝑮𝑷𝒂) 
Tensão de escoamento, 𝝈𝒆 (𝑴𝑷𝒂) 
Coeficiente 
de Poisson, ν 
Coeficiente de 
dilação térmica, 
𝜶 (𝟏𝟎−𝟔 ℃−𝟏) 
Tração Compr. Cisalh. 
Metálicos 
Ligas de 
alumínio 
forjadas 
2014-T6 2790 73,1 27 414 414 172 0,35 23 
6061-T6 2710 68,9 26 255 255 131 0,35 24 
Ligas de ferro 
fundido 
Cinzento ASTM 2 7190 67,0 27 - - - 0,28 12 
Maleável ASTM A-197 7280 172 68 - - - 0,28 12 
Ligas de cobre 
Latão vermelho 
C83400 
8740 101 37 70 70 - 0,35 18 
Bronze C86100 8830 103 38 345 345 - 0,34 17 
Liga de 
magnésio 
Am 1004-T61 1830 44,7 18 152 152 - 0,3 26 
Ligas de aço 
Estrutural A36 7850 200 75 250 250 - 0,32 12 
Inoxidável 304 7860 193 75 207 207 - 0,27 17 
Ferramenta L2 8160 200 75 703 703 - 0,32 12 
Liga de titânio TI-6AL-4V 4430 120 44 924 924 - 0,36 9,4 
Não metálicos 
Concreto 
Baixa resistência 2380 22,1 - - - 12 0,15 11 
Alta resistência 2380 29 - - - 38 0,15 11 
Polímero 
reforçado 
Kevlar 49 1450 131 - - - - 0,34 - 
Vidro 30% 1450 72,4 - - - - 0,34 - 
Madeira 
estrutural 
Abeto Douglas 470 13,1 - - - - 0,29 - 
Espruce branco 3600 9,65 - - - - 0,31 - 
 
Adaptado de: HIBBELER (2011, p. 161)