1ºEE-S7

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
A´lgebra Linear
Primeiro exerc´ıcio escolar
Turma S7
Professor: Henrique Vito´rio
21 de junho de 2013
1o Questa˜o (2.0 pts) Para qual(ais) valor(es) de a e b os planos descritos pelas equac¸o˜es
x+ y + 2z = 1, 2x+ 3y − z = 1, x+ ay + z = b
se interceptam em mais de um ponto?
2o Questa˜o Em R5, sejam W1 o subespac¸o gerado pelos vetores v1 = (1,−1,−1,−2, 0), v2 =
(1,−2,−2, 0,−3), v3 = (1,−1,−2,−2, 1), e W2 o subespac¸o dado pelo conjunto soluc¸a˜o do
seguinte sistema linear homogeˆneo{
4x1 + 2x2 − x4 = 0
9x1 + 2x2 + x3 + x5 = 0
(a) (1.5 pts) Encontre um sistema linear homogeˆneo nas varia´veis x1, x2, x3, x4, x5 que tenha
W1 como conjunto soluc¸a˜o.
(b) (1.5 pts) Encontre uma base para a intersec¸a˜o W1 ∩W2.
3o Qesta˜o Dados 4 vetores v1, v2, v3, v4 num espac¸o vetorial V, mostre que:
(a) (1.0 pts) Se v1, v2, v3, v4 sa˜o L.I., enta˜o os 4 vetores v1, v1+v2, v1+v2+v3, v1+v2+v3+v4
sa˜o tambe´m L.I.
(b) (1.0 pts) Ger[v1, v2, v3, v4] = Ger[v1, v1 + v2, v1 + v2 + v3, v1 + v2 + v3 + v4].
4o Questa˜o Considere os seguintes polinoˆmios de P3: p1(t) = 1 + t + t3, p2(t) = t + t3, p3(t) =
1 + t2 + t3, p4(t) = t+ t
2 + t3.
(a) (1.0 pts) Mostre que B = {p1(t), p2(t), p3(t), p4(t)} e´ uma base de P3.
(b) (1.0 pts) Sendo U = {1, t, t2, t3}, calcule a matriz de mudanc¸a de base [I]UB .
(c) (1.0 pts) Para o polinoˆmio p(t) = 2 + t+ 2t3, calcule suas coordenadas [p(t)]B.
Boa Prova!