Aula 4 - Raciocínio Lógico

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RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA 
Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br 
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AULA 4 – Probabilidade 
I. PROBABILIDADE ....................................................................... 2 
1. Introdução ................................................................................ 2 
2. Abordagem frequentista da probabilidade ................................ 7 
3. Probabilidade condicional ......................................................... 9 
4. Fórmula da probabilidade condicional ..................................... 15 
5. Probabilidade da união de dois eventos .................................. 27 
6. Probabilidade do evento complementar .................................. 38 
7. Teorema da probabilidade total .............................................. 50 
8. Teorema de Bayes ................................................................... 59 
9. Probabilidade e análise combinatória ..................................... 74 
II. QUADRO RESUMO ................................................................... 95 
III. LISTA DAS QUESTÕES DE CONCURSO ................................... 96 
IV. GABARITO DAS QUESTÕES DE CONCURSO .......................... 115 
 
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I. PROBABILIDADE 
1. Introdução 
Probabilidade tem relação com a chance de um evento ocorrer. 
Passaremos longe, muito longe de uma definição adequada de 
probabilidade. Vamos dar duas definições. A primeira nos diz que a 
probabilidade é a relação entre número de casos favoráveis e número de 
casos possíveis. Não é uma definição correta, mas nosso propósito aqui é 
apenas resolver questões de concurso, mesmo que para isso tenhamos 
que deixar um pouco de lado o rigor matemático. 
Em seguida, melhoraremos um pouco nossa definição, adotando a 
abordagem frequentista da probabilidade. 
Quando falamos em probabilidade, podemos basicamente pensar em 
casos favoráveis e casos possíveis. Sim, apenas isto: casos favoráveis 
e casos possíveis. 
Vejamos o exemplo do lançamento de um dado. 
Queremos calcular a probabilidade de sair um número múltiplo de três. 
Então a pergunta é: qual a probabilidade de sair um número múltiplo de 
três quando se lança um dado de seis faces? 
A questão é de probabilidade. Probabilidade lembra casos favoráveis e 
casos possíveis. 
Casos possíveis são todos aqueles que podem ocorrer. No lançamento de 
um dado, podemos obter os seguintes resultados: 
Casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6 
Casos favoráveis são todos aqueles em que estamos interessados. Neste 
exemplo, estamos interessados nos múltiplos de três. 
Casos favoráveis: 3, 6. 
Para resolver o problema, primeiro contamos quantos são os casos 
favoráveis. 
Quantos são os múltiplos de três presentes nas faces de um dado? 
Resposta: são dois os múltiplos de três presentes nas faces de um dado (o 
número 3 e o número 6). 
Depois contamos quantos são os casos possíveis. 
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Quantos são os casos possíveis no lançamento de um dado? 
Resposta: são seis os casos possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6). 
A probabilidade será obtida dividindo o número de casos favoráveis pelo 
número de casos possíveis. Ficaria assim: 
6
2
_
_ =⇒= P
possíveiscasos
favoráveiscasosP
Estou usando a letra P para indicar a probabilidade. 
Vimos que a probabilidade de sair um número múltiplo de três em um 
lançamento de um dado é de dois sextos. 
O conjunto com todos os casos possíveis é chamado de espaço amostral. 
No caso do lançamento do dado, o espaço amostral é: 
{1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Repetindo: espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis. 
Chamamos de evento a qualquer subconjunto de um espaço amostral. 
Geralmente os eventos servem para designar um resultado em particular. 
No caso acima estávamos interessados nos resultados que são múltiplos 
de três. Esses eram os nossos casos favoráveis. A esse resultado em 
particular, qual seja, “sair múltiplo de três”, chamamos de evento. 
Neste caso, o evento “sair múltiplo de três” corresponde ao seguinte 
conjunto: 
{3, 6} 
Veja como o evento é um subconjunto do espaço amostral. 
Com essa noção de espaço amostral e de evento, em vez de dizermos que 
a probabilidade de um dado evento é a relação entre o número de casos 
favoráveis e o número de casos possíveis, podemos dizer que é a relação 
entre o número de elementos do evento e o número de elementos do 
espaço amostral. 
amostralespaçodoelementosdenumero
eventodoelementosdenumero
possiveiscasosdenumero
favoraveiscasosdenumeroP
_____
____
___
___ ==
A probabilidade só pode ser definida como a relação entre casos 
favoráveis e casos possíveis (ou ainda, como a relação entre o número de 
elementos do evento e o número de elementos do espaço amostral) 
quando todos os casos têm a mesma chance de ocorrer. A resolução 
acima só é válida se o dado for “honesto”. Ou seja, se for um dado 
simétrico e de material homogêneo. 
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Quando dizemos que o dado é “honesto”, estamos considerando que, em 
um lançamento qualquer, a probabilidade de sair a face de número 1 é 
igual à probabilidade de sair a face de número 4, de número 6, ou 
qualquer outra. Costumamos dizer que todas as faces são equiprováveis 
(ou seja, têm a mesma chance de ocorrer). 
Como já dissemos, é comum se utilizar a expressão “evento” para 
designar um resultado em particular. Assim, no lançamento de um dado, 
o evento “sair o número 1” tem a mesma probabilidade do evento “sair o 
número 2”, que por sua vez tem a mesma probabilidade do evento “sair o 
número 3”, e assim por diante. Todos esses eventos são equiprováveis. 
Aí vem a pergunta: e se todos os casos não tiverem a mesma chance de 
ocorrer? E se o dado não for honesto? E se a probabilidade de sair “1” for 
diferente da probabilidade de sair “2”? 
Resposta: bom, deixemos isto para depois (daqui a pouco na verdade). 
Para contornar este tipo de problema, utilizaremos a já mencionada 
abordagem frequentista da probabilidade. 
Por enquanto, vamos apenas ficar com esta noção de casos favoráveis e 
possíveis, o que já ajuda bastante a resolvermos questões de concursos 
públicos. 
Antes de continuarmos com a teoria, vou responder a uma pergunta em 
que provavelmente vocês estão pensando. 
Pergunta: Mas professor, você disse que essa explicação sobre 
probabilidade não é adequada. Por quê? 
Resposta: Em primeiro lugar, nem todas as situações de aplicação da 
probabilidade podem ser resumidas a casos possíveis e casos favoráveis. 
Imagine que queremos calcular qual a probabilidade de, no dia 
19/03/2011, a ação da empresa alfa subir. Não dá para transformar esse 
problema numa situação de número casos possíveis e favoráveis. 
Acontece que os problemas em que dá para contar quantos são os casos 
possíveis e quantos são os casos favoráveis são os mais fáceis para gente 
começar a se acostumar com probabilidade. Por isso, de início, vamos 
focar apenas neles. Ou então, “dar um jeitinho” para que a questão possa 
ser interpretada como uma relação entre casos favoráveis e possíveis. 
Outro problema da explicação dada é o que segue. Dissemos que 
probabilidade é igual à divisão entre o número de casos favoráveis e o 
número de casos possíveis quando todos os casos têm a mesma 
probabilidade de ocorrer. 
Ou seja, na própria definição de probabilidade estamos usando o conceito 
de probabilidade. Que raio de definição é essa? Se utilizarmos na definiçãoo conceito que pretendemos definir, não estamos definindo nada. 
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Novamente, deixemos esses problemas de lado. 
Antes de passarmos para os exercícios, só um alerta. Quando usamos as 
expressões “casos favoráveis”/”casos desfavoráveis” (ou ainda: sucessos 
e fracassos), estamos apenas nos referindo aos casos em que estamos ou 
não interessados. Não estamos fazendo qualquer juízo de valor. Não nos 
preocupamos se estamos diante de algo bom ou ruim, certo ou errado. 
Para melhor visualização, considere um estudo sobre a relação entre a 
utilização de um produto e o desenvolvimento de câncer. Queremos saber 
qual a probabilidade de uma cobaia que utilizou o produto por tempo 
prolongado ter a doença. Nessa situação, os casos favoráveis (=sucesso) 
seriam aqueles em que a cobaia adquiriu a doença, independentemente 
de se considerar que contrair câncer seja bom ou ruim. Ok? 
Continuemos com a matéria. 
EC 1. AUGE MG 2009 [CESPE] 
Em um departamento de determinada empresa, 30% das mulheres são 
casadas, 40% solteiras, 20% divorciadas e 10% viúvas. Considerando a 
situação hipotética acima, é correto afirmar que a probabilidade de uma 
mulher 
A) ser solteira ou divorciada é 0,50. 
B) ser solteira é 0,50. 
C) ser casada ou solteira é 0,60. 
D) ser divorciada ou viúva é 0,40. 
E) não ser casada é 0,70. 
Resolução: 
Podemos supor que são 100 mulheres na empresa, sendo 30 casadas, 40 
solteiras, 20 divorciadas e 10 viúvas. 
Letra A: 
Casos favoráveis: 40 solteiras mais 20 divorciadas = 60 
Casos possíveis: 100 
probabilidade: 6,0
100
60 = 
Letra B. 
Casos favoráveis: 40 solteiras 
Casos possíveis: 100 
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probabilidade: 4,0
100
40 = 
Letra C. 
Casos favoráveis: 40 solteiras mais 30 solteiras = 70 
Casos possíveis: 100 
probabilidade: 7,0
100
70 = 
Letra D. 
Casos favoráveis: 20 divorciadas mais 10 viúvas = 30 
Casos possíveis: 100 
Probabilidade: 3,0
100
30 = 
Letra E. 
Vamos calcular a probabilidade de a mulher ser casada: 
Casos favoráveis: 30 casadas 
Casos possíveis: 100 
probabilidade: 30,0
100
30 = 
Se a probabilidade de a mulher ser casada é de 30%, então a 
probabilidade de ela não ser casada é de 70%. 
Gabarito: E 
EC 2. TRT 21ª REGIÃO 2010 [CESPE] 
Suponha que determinado partido político pretenda ter candidatos 
próprios para os cargos de governador, senador e deputado federal e que 
tenha, hoje, 5 possíveis nomes para o cargo de governador, 7 para o 
cargo de senador e 12 para o cargo de deputado federal. Como todos os 
pré-candidatos são muito bons, o partido decidiu que a escolha da chapa 
(governador, senador e deputado federal) será por sorteio. Considerando 
que todos os nomes têm chances iguais de serem escolhidos, julgue os 
itens seguintes. 
Considerando que José seja um dos pré-candidatos ao cargo de 
governador, a probabilidade de que José esteja na chapa sorteada será 
maior que 0,1. 
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Resolução: 
Há 5 candidatos a governador (5 casos possíveis). Queremos calcular a 
probabilidade de José ser escolhido (1 caso favorável). A probabilidade 
fica: 
ܲ ൌ
1
5
ൌ 0,2
Gabarito: certo. 
2. Abordagem frequentista da probabilidade 
Quando um experimento pode ser repetido inúmeras vezes, dizemos que 
a probabilidade corresponde à frequência relativa que seria obtida com a 
repetição do experimento. 
Exemplo: seja A o evento que ocorre quando, lançando um dado honesto, 
obtemos a face 2. 
Queremos calcular a probabilidade de A. 
ܲሺܣሻ ൌ?
Quando lançamos um dado inúmeras vezes, é razoável esperar que cada 
face saia em 1/6 das vezes. Quanto mais vezes lançamos, mais a 
frequência relativa associada à face 2 se aproxima de 1/6. 
Idealmente, se lançássemos o dado infinitas vezes, a frequência relativa 
seria igual a 1/6. 
Por isso dizemos que a probabilidade de A é 1/6. 
ܲሺܣሻ ൌ
1
6
⇒ 
PROBABILIDADE – ABORDAGEM FREQUENTISTA
A probabilidade corresponde à frequência relativa que seria obtida em 
um número muito grande de experimentos. 
EC 3. MPOG 2010 [ESAF] 
Um viajante, a caminho de determinada cidade, deparou-se com uma 
bifurcação onde estão três meninos e não sabe que caminho tomar. 
Admita que estes três meninos, ao se lhes perguntar algo, um responde 
sempre falando a verdade, um sempre mente e o outro mente em 50% 
das vezes e consequentemente fala a verdade nas outras 50% das vezes. 
O viajante perguntou a um dos três meninos escolhido ao acaso qual era o 
caminho para a cidade e ele respondeu que era o da direita. Se ele fizer a 
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mesma pergunta a um outro menino escolhido ao acaso entre os dois 
restantes, qual a probabilidade de ele também responder que é o caminho 
da direita? 
a) 1. 
b) 2/3. 
c) 1/2. 
d) 1/3. 
e) 1/4. 
Resolução: 
Imaginemos que vários viajantes passem regularmente por esta 
bifurcação, e que eles nunca saibam qual o caminho correto. 
Esta situação aconteceu durante 60 dias seguidos. Nestes 60 dias, vamos 
ver como se comportam os meninos. 
Seja A o menino que sempre diz a verdade, B o menino que sempre 
mente e C o menino que pode tanto dizer a verdade quanto mentir. 
As possíveis maneiras de escolhermos os dois meninos são: AB, AC, BA, 
BC, CA, CB. 
Todas estas combinações são equiprováveis. 
Nestes 60 dias, temos: 
- AB ocorreu 10 vezes 
- AC ocorreu 10 vezes 
- BA ocorreu 10 vezes 
- BC ocorreu 10 vezes 
- CA ocorreu 10 vezes 
- CB ocorreu 10 vezes 
Como C pode tanto mentir quanto dizer a verdade, então, em 50% das 
vezes em que ele foi escolhido, ele disse a mesma coisa que o outro 
menino escolhido. E, nas outras 50% das vezes, ele disse o contrário do 
que o outro menino escolhido. 
Vamos detalhar melhor então o que acontece nos dias em que C foi 
escolhido: 
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- AB ocorreu 10 vezes em todas as 10 vezes A e B dão 
respostas contrárias. 
- AC ocorreu 10 vezes - em 5 vezes eles dão respostas 
iguais 
- em 5 vezes eles dão respostas 
contrárias 
- BA ocorreu 10 vezes em todas as 10 vezes A e B dão 
respostas contrárias. 
- BC ocorreu 10 vezes - em 5 vezes eles dão respostas 
iguais 
- em 5 vezes eles dão respostas 
contrárias 
- CA ocorreu 10 vezes - em 5 vezes eles dão respostas 
iguais 
- em 5 vezes eles dão respostas 
contrárias 
- CB ocorreu 10 vezes - em 5 vezes eles dão respostas 
iguais 
- em 5 vezes eles dão respostas 
contrárias 
Assim, nestas 60 vezes, em 20 ocorrem respostas iguais. Logo, a 
probabilidade de duas respostas iguais é de: 
3
1
60
20 ==P 
Gabarito: D 
3. Probabilidade condicional 
Voltemos ao nosso dado de seis faces. É o mesmo dado honesto, de 
material homogêneo. Só que agora vamos pintar as faces. As faces terão 
as seguintes cores: 
Cor azul: faces 1 e 2. 
Cor verde: faces 3, 4, 5 e 6. 
Maria lançou esse nosso dado. João não viu o resultado e quer calcular 
qual a probabilidade de ter saído um múltiplo de 3. 
Pergunta: Qual a probabilidade de ter saído um múltiplo de 3? 
Resposta: 
6
2
. 
É exatamente o mesmo problema visto anteriormente. Todas as faces têm 
a mesma chance de sair. Os casos favoráveis são: 3 e 6. Os casos 
possíveis são: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. A probabilidadefica: 
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10 
6
2
_
_ =⇒= P
possíveiscasos
favoráveiscasosP
Ok, agora vamos mudar um pouco o problema. Maria lançou esse nosso 
dado. João não viu o resultado. Maria fala para João: “Saiu uma face de 
cor verde”. 
Aí está a grande diferença: agora João sabe que saiu uma face verde. É 
uma informação nova! Esta informação vai mudar completamente o 
cálculo. Isto porque já sabemos, com certeza, que não saiu uma face azul. 
Queremos calcular a probabilidade de ter saído um múltiplo de 3 sabendo 
que a face que saiu é verde. Esta questão pode ser enunciada como: 
Qual a probabilidade do resultado do lançamento ser múltiplo de três dado
que saiu uma face verde? 
Ou seja, a informação de que saiu uma face verde é dada, é sabida. É 
uma informação conhecida e que deve ser usada. 
Se fôssemos escrever os casos possíveis, teríamos: 
Casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6. 
Observe que mudaram os casos possíveis. Isto porque sabemos que não é 
possível terem saído os números 1 e 2. Temos certeza de que o resultado 
foi o de uma face verde. 
Já os casos favoráveis são os mesmos. Continuamos interessados nas 
faces 3 e 6. E estas duas faces podem ter saído, dado que ambas são da 
cor verde. 
Casos favoráveis: 3,6. 
Fazendo o cálculo, temos: 
Número de casos possíveis: 4 
Número de casos favoráveis: 2 
E a probabilidade fica: 
4
2
_
_ =⇒= P
possíveiscasos
favoráveiscasosP
A probabilidade agora é de dois quartos. Note como uma informação nova 
alterou o cálculo da probabilidade. Dizemos que a probabilidade é 
condicional porque teve uma condição a ser obedecida. Não era 
simplesmente calcular a probabilidade de sair um múltiplo de 3. Foi dada 
uma condição, uma informação nova. Justamente esta condição alterou o 
cálculo da probabilidade. 
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Agora vejamos alguns exercícios para aplicarmos o que acabamos de 
aprender. 
EC 4. TRT 2ª REGIÃO 2008 [FCC] 
O número de peças vendidas diariamente numa loja pode ser considerada 
como uma variável aleatória X com a seguinte distribuição de 
probabilidades: 
Sabendo que em um determinado dia o número de peças vendidas não foi 
nulo, então a probabilidade de ter sido inferior a 4 é igual a 
(A) 75,00% 
(B) 80,00% 
(C) 93,75% 
(D) 95,25% 
(E) 96,35% 
Resolução: 
Adotando a abordagem frequentista da probabilidade, temos que: 
- em 20% dos dias, não são vendidas peças. 
- em 25% dos dias, é vendida 1 peça 
- em 40% dos dias, são vendidas 2 peças 
- em 10% dos dias, são vendidas 3 peças 
- em 5% dos dias, são vendidas 4 peças. 
Assim, a cada 100 dias, temos: 
- 20 dias com 0 peças vendidas 
- 25 dias com 1 peça vendida 
- 40 dias com 2 peças vendidas 
- 10 dias com 3 peças vendidas 
- 5 dias com 4 peças vendidas. 
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Escolhe-se um dia aleatoriamente. É dado que, neste dia, o número de 
peças vendidas foi diferente de zero. Com isso, revemos nossos casos 
possíveis: 
- 20 dias com 0 peças vendidas
- 25 dias com 1 peça vendida 
- 40 dias com 2 peças vendidas 
- 10 dias com 3 peças vendidas 
- 5 dias com 4 peças vendidas. 
São 80 dias possíveis. 
Pede-se a probabilidade de o número de peças vendidas ser inferior a 4. 
Estão nesta situação os seguintes dias: 
- 25 dias com 1 peça vendida 
- 40 dias com 2 peças vendidas 
- 10 dias com 3 peças vendidas 
São 75 casos favoráveis. 
A probabilidade fica: 
ܲ ൌ
75
80
ൌ 93,75%
Gabarito: C 
EC 5. TJ PI 2009 [FCC] 
As unidades de televisores vendidas diariamente em uma loja apresentam 
a seguinte distribuição de probabilidades de ocorrência de vendas de n 
unidades: 
Em um determinado dia, sabendo-se que ocorreu a venda de pelo menos 
um televisor, a probabilidade de ter sido inferior a 4 unidades é de 
(A) 3/4 
(B) 11/15 
(C) 5/8 
(D) 7/8 
(E) 9/10 
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Resolução: 
Problema muito semelhante ao anterior. 
A soma de todas as probabilidade é sempre igual a 1. 
Logo: 
݌ ൅ 2݌ ൅ 4݌ ൅ 5݌ ൅ 3݌ ൅ ݌ ൌ 1
16݌ ൌ 1
݌ ൌ
1
16
A cada 16 dias, temos: 
- 1 dia com venda de 0 unidades. 
- 2 dias com venda de 1 unidade. 
- 4 dias com venda de 2 unidades 
- 5 dias com venda de 3 unidades 
- 3 dias com venda de 4 unidades 
- 1 dias com venda de 5 unidades 
Escolhe-se um dia aleatoriamente. São 16 dias possíveis. 
É dado que no dia escolhido houve venda de pelo menos uma unidade. 
Com isso, revemos nossos casos possíveis: 
- 1 dia com venda de 0 unidades.
- 2 dias com venda de 1 unidade. 
- 4 dias com venda de 2 unidades 
- 5 dias com venda de 3 unidades 
- 3 dias com venda de 4 unidades 
- 1 dias com venda de 5 unidades 
São 15 casos possíveis. 
Estamos interessados nos dias com venda de menos de 4 unidades. Casos 
favoráveis: 
- 2 dias com venda de 1 unidade. 
- 4 dias com venda de 2 unidades 
- 5 dias com venda de 3 unidades 
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14 
São 11 casos favoráveis. 
A probabilidade fica: 
ܲ ൌ
11
15
Gabarito: B 
EC 6. INMETRO 2010 [CESPE] 
As fábricas A, B e C, que produzem determinado dispositivo X, integram 
uma mesma empresa. A tabela abaixo mostra a participação percentual 
de cada fábrica na produção desse dispositivo. Apesar de o consumidor do 
dispositivo X não saber de qual fábrica ele originou, sabe-se que 90% dos 
consumidores estão satisfeitos quando ele é fabricado em A, 80% estão 
satisfeitos quando ele é fabricado em B e 60% estão satisfeitos quando 
sua produção é na fábrica C, conforme a tabela seguinte. 
Se determinado consumidor está satisfeito com o produto X, então a 
probabilidade de o produto ter sido produzido na fábrica A é igual a 
A 0,67. 
B 0,60. 
C 0,20. 
D 0,12. 
E 0,06. 
Resolução: 
Vamos supor que são fabricados100 produtos X. 
De acordo com a tabela, podemos dizer que: 
A fabrica 10 produtos (=10% de 100). 
B fabrica 60 produtos (=60% de 100) 
C fabrica 30 produtos (30% de 100). 
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15 
Em A, 9 produtos vão resultar em satisfação dos clientes (90% de 10). 
Em B, 48 produtos vão resultar em satisfação dos clientes (80% de 60). 
Em C, 18 produtos vão resultar em satisfação dos clientes (60% de 30). 
Reunindo tudo isso em uma tabela: 
Fábrica Produtos que vão gerar 
satisfação 
Produtos que não vão 
gerar satisfação 
A 9 1 
B 48 12 
C 18 12 
Total 75 25 
É dado que o produto em questão gerou satisfação. 
Fábrica Produtos que vão gerar 
satisfação 
Produtos que não vão 
gerar satisfação 
A 9 1
B 48 12 
C 18 12 
Total 75 25 
A probabilidade de o produto ter sido fabricado em A é: 
9
75
ൌ 12%
Gabarito: D 
4. Fórmula da probabilidade condicional 
Outra forma de resolver exercícios de probabilidade condicional é por meio 
de uma fórmula. 
Considere o lançamento de um dado. Antes de ver o resultado, queremos 
calcular a probabilidade de ter saído um múltiplo de 3. Qual a 
probabilidade deste evento? 
A probabilidade é de 2/6. Certo? Temos dois casos favoráveis (3 e 6) em 
seis casos possíveis. 
Vamos mudar um pouco o exemplo. O dado é lançado. Antes de vermos o 
resultado, alguém nos informa:saiu um número maior que 4. 
Pronto. Agora temos uma informação nova. 
Queremos calcular a probabilidade de ter saído um múltiplo de 3 DADO 
que saiu um número maior que 4. Temos uma informação nova, que 
devemos utilizar. 
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16 
Agora a probabilidade muda. Temos apenas dois casos possíveis (5 e 6). 
E, dentre os casos possíveis, apenas um nos é favorável (6). Neste 
segundo caso, a probabilidade é igual a 1/2. 
Se fôssemos resumir isto em uma fórmula, ficaria assim: 
)(
)()|(
BP
BAPBAP ∩= 
Nosso espaço amostral pode ser representado pelo seguinte conjunto: 
{1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Temos dois eventos. 
Se lançarmos o dado e obtivermos uma face múltipla de 3, temos o 
evento ‘A’. O evento ‘A’ é um subconjunto do espaço amostral. 
A = {3, 6} 
Se lançarmos o dado e obtivermos uma face maior que 4, temos o evento 
‘B’. 
B = {5, 6}. 
A intersecção dos dois conjuntos acima é dada por: 
A ∩ B = {6} 
O símbolo que parece um ‘U’ de cabeça para baixo indica a intersecção. 
Neste exemplo, está associado ao resultado do lançamento do dado que é, 
simultaneamente, maior que 4 e múltiplo de 3. 
As probabilidades relacionadas são: 
- ܲሺܣሻ é a probabilidade de o evento A ocorrer. 
- ܲሺܤሻ é a probabilidade de o evento B ocorrer. 
- ܲሺܣ ת ܤሻ é a probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente. O 
símbolo que parece um “U” de cabeça para baixo indica intersecção. Ou 
seja, estamos interessados nos casos em que os dois eventos ocorrem 
simultaneamente. 
- ܲሺܣ|ܤሻ é a probabilidade de o evento A ocorrer, DADO que o evento B 
ocorreu. É a probabilidade de A, condicionada ao acontecimento de B. 
No caso do lançamento do dado, ficamos com: 
6
2)( =AP (casos favoráveis: 3, 6; casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6) 
6
2)( =BP (casos favoráveis: 5, 6; casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6) 
6
1)( =∩ BAP (caso favorável: 6 – só o número 6 é, ao mesmo tempo, 
maior que 4 e múltiplo de 3; casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6) 
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17 
Aplicando a fórmula: 
)(
)()|(
BP
BAPBAP ∩= 
2
1
6
2
6
1)|( =÷=BAP
Portanto, a probabilidade de sair um múltiplo de 3 dado que saiu um 
número maior que 4 é de 50%. 
Um diagrama destes conjuntos ajuda a entender melhor a fórmula. 
O nosso espaço amostral é representado pelo retângulo azul. Nele, temos 
todos os possíveis resultados do lançamento do dado {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
Dentro do espaço amostral temos dois conjuntos destacados. O conjunto 
vermelho representa o evento A (múltiplos de 3). O conjunto verde 
representa o evento B (maiores que 4). 
É dado que o resultado do lançamento do dado é maior que 4. Ou seja, já 
sabemos que o resultado, qualquer que seja, deve estar dentro do 
conjunto verde. 
Todos os resultados fora do conjunto verde são descartados. É como se a 
condição estabelecida modificasse nosso espaço amostral. 
Nosso espaço amostral modificado se reduziria ao conjunto verde. 
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18 
Agora, a única possibilidade de o evento A ter ocorrido corresponde ao 
número que, além de ser múltiplo de 3, também é maior que 4. Ou seja, 
corresponde ao elemento que está na intersecção entre A e B. 
Ou seja, temos uma condição (o resultado é maior que 4, ou seja, ocorreu 
o evento B). Graças a esta condição, os casos favoráveis estão 
relacionados à intersecção e os casos possíveis estão relacionados ao 
conjunto B. 
Logo, a probabilidade fica “casos favoráveis” sobre “casos possíveis”. 
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19 
Vou indicar por “n( )” o número de elementos de cada conjunto. 
A probabilidade condicional fica: 
)(
)()|(
Bn
BAnBAP ∩= 
Dividindo o numerador e o denominador pelo número de elementos do 
espaço amostral (S): 
)()(
)()()|(
SnBn
SnBAnBAP ÷
÷∩=
O que conduz a: 
)(
)()|(
BP
BAPBAP ∩= 
Dizemos que o evento ‘A’ é independente do evento ‘B’ quando
)()|( APBAP = . Ou seja, o fato de ‘B’ ter ocorrido não influi em nada na 
probabilidade de ‘A’. 
⇒ 
FÓRMULA DA PROBABILIDADE CONDICIONAL:
)(
)()|(
BP
BAPBAP ∩= 
Se A e B são independentes, então: 
)()|( APBAP = e )()|( BPABP =
É interessante observar que, a partir da fórmula da probabilidade 
condicional, podemos chegar à fórmula da probabilidade da intersecção de 
dois eventos: 
)()|()(
)(
)()|( BPBAPBAP
BP
BAPBAP ×=∩⇒∩=
⇒ PROBABILIDADE DA INTERSECÇÃO DE DOIS EVENTOS
Um resultado interessante para eventos independentes é o seguinte: 
ܲሺܣ ת ܤሻ ൌ ܲሺܣ|ܤሻ ൈ ܲሺܤሻ
ܲሺܣ|ܤሻ ൌ
ܲሺܣ ת ܤሻ
ܲሺܤሻ
 (I) 
Mas, se os eventos são independentes, então o fato de B ocorrer não 
altera a probabilidade de A: 
ܲሺܣ|ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ(II) 
Substituindo II em I: 
ܲሺܣ|ܤሻ ൌ
ܲሺܣ ת ܤሻ
ܲሺܤሻ
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ܲሺܣሻ ൌ
ܲሺܣ ת ܤሻ
ܲሺܤሻ
ܲሺܣ ת ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ൈ ܲሺܤሻ
Ou seja, quando dois eventos são independentes, a probabilidade da 
intersecção é o produto das probabilidades. 
⇒ 
ATENÇÃO:
Se A e B são independentes, então: 
ܲሺܣ ת ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ൈ ܲሺܤሻ
Para eventos independentes, a probabilidade da intersecção é o 
produto das probabilidades. 
EC 7. STN 2008 [ESAF] 
Dois eventos A e B são ditos eventos independentes se e somente se: 
a) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for nula 
b) a ocorrência de B alterar a probabilidade de ocorrência de A. 
c) a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B. 
d) a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A. 
e) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1. 
Resolução: 
Aplicação direta do conceito visto acima. 
Gabarito: D 
EC 8. CGU/2008 [ESAF] 
A e B são eventos independentes se: 
a) )()()( BPAPBAP +=∩
b) )()()( BPAPBAP ÷=∩
c) )()()( BPAPBAP −=∩
d) )()()( ABPAPBAP +=∩
e) )()()( BPAPBAP ×=∩
Resolução: 
Aplicação direta da fórmula vista. 
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21 
Gabarito: E. 
EC 9. CEB 2009 [UNIVERSA] 
Anemia ferropriva é o tipo de anemia mais comum e é causada pela 
deficiência de ferro (sideropénia). Nesse tipo de anemia, a ingestão de 
ferro está menor que o mínimo necessário para as atividades do 
organismo que precisam de ferro. Considere um estudo de anemia 
ferropriva realizado que gerou os seguintes dados: 
O Valor Preditivo Positivo (VPP) é a probabilidade de o indivíduo ser 
portador da doença, dado que o exame (teste) deu positivo. Para os 
resultados do estudo sobre anemia ferropriva, tem-se que VPP é igual a 
(A) 0,38 
(B) 0,47 
(C) 0,63 
(D) 0,70 
(E) 0,88 
Resolução: 
Se tivéssemos que calcular apenas a probabilidade de o indivíduo ter a 
doença, teríamos: 
Casos favoráveis: 80 (são 80 doentes). 
Aqui cabe um comentário. Quando usamos a expressão “casos 
favoráveis”, estamos indicando os casos em que temos interesse. Não há 
qualquer juízo de valor (bom/ruim, certo/errado, etc). Não estamos 
dizendo que ter a doença seja algo bom ou ruim, certo? Apenas indicamos 
que nosso interesse recai sobre aqueles que estão doentes. 
Continuando. 
Casos possíveis: 260 (são 260 pessoas ao todo). 
A probabilidade seria: 
ܲ ൌ
80
260
Contudo, foi dada uma condição. É dado que o teste deu positivo. 
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22 
Com isso, devemos descartar as pessoas para as quais o teste deu 
negativo, pois elas não obedecem à condição informada. 
Agora temos 70 doentes em 100 pessoas. A probabilidade condicional 
fica: 
ܲ ൌ
70
100
ൌ 70%
Gabarito: D 
Poderíamos também ter usado a fórmula da probabilidade condicional. 
Seja A o evento que ocorre quando, selecionando uma pessoa 
aleatoriamente, ela tem a doença. 
Seja B o evento que ocorre quando, selecionando uma pessoa 
aleatoriamente, seu teste deu positivo. 
Temos: 
ܲሺܣሻ ൌ
80
260
ܲሺܤሻ ൌ
100
260
ܲሺܣ ת ܤሻ ൌ
70
260
Ficamos com: 
ܲሺܣ|ܤሻ ൌ
ܲሺܣ ת ܤሻ
ܲሺܤሻ
ൌ
70/260
100/260
ൌ 70%
EC 10. TCE ES 2004 [CESPE] 
Considere que dois controladores de recursos públicos de um tribunal de 
contas estadual serão escolhidos para auditar as contas de determinada 
empresa estatal e que, devido às suas qualificações técnicas, a 
probabilidade de José ser escolhido para essa tarefa seja de 3/8, enquanto 
a probabilidade de Carlos ser escolhido seja de 5/8. Em face dessas 
considerações, julgue os itens subseqüentes. 
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23 
1. Considere que, na certeza de que Carlos tenha sido escolhido, a 
probabilidade de José ser escolhido é 1/5. Nessas condições, a 
probabilidade de José e Carlos serem ambos escolhidos é menor que 1/4 . 
Resolução: 
O exercício forneceu as seguintes probabilidades: 
8/3)( =JoseP
8/5)( =CarlosP
5/1)( =CarlosJoseP
A pergunta é: 
?)( =∩CarlosJoseP
Aplicando a fórmula da probabilidade da intersecção, temos: 
)()()( CarlosJosePCarlosPCarlosJoseP ×=∩
8
1
5
1
8
5)( =×=∩CarlosJoseP
Gabarito: certo 
Outra forma de resolução seria assim. A cada 8 auditorias, temos: 
- Carlos é escolhido em 5 (assim, a probabilidade de ele participar de uma 
auditoria qualquer é 5/8). 
- Das 5 auditorias em que Carlos participa, em 1 delas o José também 
participa (assim, a probabilidade de José participar, dado que Carlos 
participa, é de 1/5). 
Assim, dessas oito auditorias, José e Carlos participam conjuntamente de 
1 auditoria. 
Logo, a probabilidade de ambos serem escolhidos é de 1/8. 
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24 
EC 11. INSS 2008 [CESPE] 
De acordo com dados do IBGE, em 2007, 6,4% da população brasileira 
tinha 65 anos de idade ou mais e, em 2050, essa parcela, que constitui o 
grupo de idosos, corresponderá a 18,8% da população. Com base nessas 
informações e nas apresentadas na tabela acima, julgue os itens 
seguintes. 
1. Se, em 2050, três pessoas da população brasileira forem escolhidas ao 
acaso, a probabilidade de todas elas terem até 59 anos de idade é inferior 
a 0,4. 
2. Considere-se que, em 2050, serão aleatoriamente selecionados três 
indivíduos, um após o outro, do grupo de pessoas que compõem a parcela 
da população brasileira com 15 anos de idade ou mais. Nessa situação, a 
probabilidade de que apenas o terceiro indivíduo escolhido tenha pelo 
menos 65 anos de idade será superior a 0,5 e inferior a 0,6. 
Resolução: 
Segundo a tabela, a probabilidade de uma pessoa ter 60 anos ou mais é 
de 24,7%. Logo, a probabilidade de a pessoa ter até 59 anos de idade é 
de 75,3% (= 100% – 24,7%) 
Seja A o evento que ocorre quando a primeira pessoa escolhida tem 59 
anos ou menos. Seja B o evento que ocorre quando a segunda pessoa 
escolhida tem 59 anos ou menos. Seja C o evento que ocorre quando a 
terceira pessoa escolhida tem 59 anos ou menos. Queremos a 
probabilidade da intersecção de A, B e C. 
 
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25 
Se o conjunto universo tivesse apenas 30 pessoas e, destas, 15 tivessem 
menos de 59 anos, teríamos que os eventos A, B e C não são 
independentes. 
A probabilidade de “A” seria de 
30
15
, pois seriam 15 pessoas com idades 
menores ou iguais a 59 anos, num total de 30. 
A probabilidade de “B” dependeria do resultado da primeira pessoa 
escolhida. Se a primeira pessoa tiver idade menor ou igual a 59 anos, a 
probabilidade de B seria de 
29
14
 (restariam 14 casos favoráveis, num total 
de 29). 
Do contrário, se a primeira pessoa tiver idade maior que 59 anos, a 
probabilidade de B seria de 
29
15
 (ainda teríamos 15 pessoas com idades 
menores ou iguais a 59, num total de 29). 
Nessa situação, os eventos não são independentes, pois a probabilidade 
de um deles depende do resultado anterior. 
Quando o conjunto universo é formado por um número muito grande de 
elementos, aí podemos considerar que os eventos A, B e C são 
praticamente independentes. É exatamente o caso do exercício acima. 
Como a população brasileira é grande (são milhões de habitantes), o 
resultado das escolhas anteriores é praticamente irrelevante. Uma escolha 
de um habitante num universo de milhões possíveis é irrisória. Sempre 
que isso ocorrer, ou seja, sempre que o conjunto universo for bem 
grande, é porque o exercício quer que a gente considere que os eventos 
são independentes. 
Se os eventos são independentes, então a probabilidade da intersecção é 
igual ao produto das probabilidades. 
753,0753,0753,0)( ××=∩∩ CBAP
Para facilitar as contas, vamos aproximar. 
42,0
4
3
4
3
4
3)( ≅××≅∩∩ CBAP
Item errado. 
Segundo item. 
Seja A o evento que ocorre quando o primeiro escolhido tem menos de 65 
anos. Seja B o evento que ocorre quando o segundo escolhido tem menos 
de 65 anos. Seja C o evento que ocorre quando o terceiro escolhido tem 
65 anos ou mais. Temos: 
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26 
%5,63)()( == BPAP ; %5,36)( =CP 
Os três eventos são independentes. A probabilidade da intersecção é o 
produto das probabilidades. 
365,0635,0635,0)( ××=∩∩ CBAP
O produto entre 0,635 e 0,635 será menor que 1. 
Quando multiplicamos 0,365 por um número menor que 1, ele diminui. 
Logo, a probabilidade acima é menor que 0,365. 
Item errado. 
Gabarito: errado, errado 
EC 12. CEHAP 2008 [CESPE] 
Uma urna contêm 5 bolas amarelas e 4 bolas azuis, todas do mesmo 
tamanho e feitas do mesmo material. Caso se retirem 2 bolas 
sucessivamente da urna, sem repô-las, a probabilidade de que sejam 
retiradas 2 bolas amarelas será 
A inferior a 0,2. 
B superior a 0,2 e inferior a 0,25. 
C superior a 0,25 e inferior a 0,3. 
D superior a 0,3. 
Resolução: 
Seja A o evento que ocorre quando, selecionando-se aleatoriamente a 
primeira bola, obtemos uma bola amarela. 
Seja B o evento que ocorre quando, selecionando-se aleatoriamente a 
segunda bola, obtemos uma bola amarela. 
Nós queremos calcular: 
=∩ )( BAP )()( ABPAP × 
Para a primeira extração, temos 5 bolas amarelas (casos favoráveis), em 
9 possíveis. 
9
5)( =AP 
Logo: 
=∩ )( BAP )(
9
5 ABP× 
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Agora vamos calcular a probabilidade de a segunda extração resultar em 
amarelo, dado que a primeira extração também foi amarela. 
Para a segunda extração sobram 4 bolas amarelas, num total de 8. Logo: 
8
4)( =ABP . 
Portanto: 
=∩ )( BAP =×
8
4
9
5
0,28 
Gabarito: C 
5. Probabilidade da união de dois eventos 
Nós até já vimos alguns exercícios em que calculamos a probabilidade da 
união de dois eventos. Só que não usamos nenhuma fórmula. Lembram 
do exemplo do dado, lá do começo da aula? Queríamoscalcular a 
probabilidade de sair um múltiplo de 3. Pois bem, seja ‘A’ o evento que 
ocorre quando, lançando um dado honesto, obtém-se uma face múltipla 
de 3. 
Sabemos que: 
A= {3, 6}. 
O espaço amostral é dado por: 
{1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Na ocasião, para calcularmos a probabilidade de ‘A’, dividimos o número 
de elementos do evento (=2) pelo número de elementos do espaço 
amostral (=6). 
Haveria uma outra possibilidade de realizarmos este cálculo. Observe que 
o conjunto ‘A’ ainda pode ser decomposto em mais conjuntos. 
Seja ‘B’ o evento que ocorre quando, lançando o dado, obtém-se a face 3. 
Seja ‘C’ o evento que ocorre quando se obtém a face ‘6’. 
B = {3} 
C = {6} 
Podemos dizer que: 
CBA ∪=
O evento ‘A’ é igual à união entre os eventos ‘B e ‘C’. Ou seja, a 
probabilidade de sair um múltiplo de 3 (=evento A) é equivalente à 
probabilidade da união dos eventos “sair 3” e “sair 6”. 
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28 
Assim, em vez de calcularmos diretamente a probabilidade do evento ‘A’, 
poderíamos ter calculado as probabilidades de ‘B’ e ‘C’ e, em seguida, 
usando a probabilidade da união de dois eventos, obtido a probabilidade 
de ‘A’. 
Logo abaixo veremos que existe uma fórmula para o cálculo da união de 
dois eventos. Nem sempre a gente precisa dela. Aliás, em grande parte 
dos exercícios, dá para ir bem sem ela. Mas é bom saber que existe. 
Antes de entrarmos na fórmula, alguns comentários. O evento ‘A’ pôde ser 
decomposto em outros dois eventos (B e C). Já os eventos ‘B’ e ‘C’ não 
podem mais ser decompostos. Cada um deles é formado por um único 
elemento. Dizemos que B e C são eventos elementares. 
EP 1 Uma escola de ensino fundamental oferece cursos de idiomas. São 
disponibilizados cursos de inglês e espanhol. Os alunos podem optar por 
fazer nenhum, um ou os dois cursos. 
Atualmente temos a seguinte situação: 
- 30 alunos fazem inglês. 
- 20 alunos fazem inglês e espanhol. 
- 35 alunos fazem espanhol. 
- 25 alunos não fazem nem inglês nem espanhol. 
Sorteamos um aluno dessa escola. Qual a probabilidade de o aluno 
sorteado cursar inglês ou espanhol? 
Resolução: 
Sorteia-se aleatoriamente um aluno. Quando o aluno sorteado cursa 
inglês, temos o evento ‘I’. Quando o aluno sorteado cursa espanhol, 
temos o evento ‘E’. 
Queremos calcular a probabilidade do aluno fazer inglês ou espanhol. Ou 
seja, estamos interessados naqueles alunos que fazem só inglês, que 
fazem só espanhol e que fazem inglês e espanhol. 
Estamos interessados na união dos eventos “E” e “I”. 
?)( =∪ IEP 
Esse símbolo que parece um “U” é o símbolo de união. Indica que estamos 
interessados nos casos em que pelo menos um dos dois eventos ocorra. 
Neste exemplo, estamos interessados nos alunos que fazem pelo menos 
um dos dois idiomas. 
Vamos representar graficamente os alunos dessa escola. 
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29 
Dentro do círculo azul temos os trinta alunos que fazem inglês. Dez deles 
estão dentro do circulo azul, mas não estão dentro do círculo vermelho. 
Dentro do círculo vermelho temos os trinta e cinco que fazem espanhol. 
Quinze deles estão dentro do círculo vermelho, mas não estão dentro do 
círculo azul. 
Outros vinte estão nos dois círculos simultaneamente. São os que fazem 
inglês e espanhol. 
E os 25 que estão de fora dos dois círculos não fazem inglês nem 
espanhol. 
Casos favoráveis são aqueles que estão em pelo menos um dos dois 
círculos. Ou seja, são os alunos que fazem pelo menos um dos dois 
idiomas. São 45 casos favoráveis. 
E casos possíveis são todos os alunos da escola. São 45, que fazem pelo 
menos um curso de idioma, e mais 25, que não fazem nenhum curso de 
idioma, totalizando 70 alunos. 
A probabilidade de o aluno ser sorteado fazer inglês ou espanhol é: 
70
45)( =∪ IEP 
Ok, agora vejamos a fórmula para calcular a probabilidade da união de 
dois eventos. 
A probabilidade do aluno sorteado cursar inglês é: 
70
30)( =IP 
A probabilidade do aluno sorteado cursar espanhol é: 
70
35)( =EP 
A probabilidade do aluno sorteado cursar inglês e espanhol, 
simultaneamente, é: 
70
20)( =∩ IEP 
alunos que fazem 
espanholalunos que 
fazem ingles
10 20 15
25
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30 
Para encontrar a probabilidade do aluno sorteado cursar inglês ou 
espanhol, precisamos saber quantos são os casos favoráveis. 
São 30 alunos que fazem inglês. São 35 que fazem espanhol. Portanto, 
para saber quantos alunos fazem inglês ou espanhol, somamos esses dois 
valores. 
Número de alunos que fazem inglês ou espanhol: 30 + 35 = 65 
Só que tem um problema. Quando fazemos esta conta, estamos 
ignorando que há alunos que fazem, ao mesmo tempo, inglês e espanhol. 
Esses alunos foram contados duas vezes. São 20 alunos que foram 
contados em duplicidade. Portanto, do total acima, temos que tirar 20. 
Número de alunos que fazem inglês ou espanhol: 30 + 35 – 20 
Pronto. Achamos o total de casos favoráveis. Se dividirmos esse valor pelo 
total de casos possíveis, achamos a probabilidade procurada. 
70
203530)( −+=∪ IEP
70
20
70
35
70
30)( −+=∪ IEP
)()()()( IEPIPEPIEP ∩−+=∪
Resumindo, quando temos dois eventos quaisquer A e B, a probabilidade 
da união dos dois eventos é: 
)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪
Quando ‘A’ e ‘B’ não têm elementos em comum, isto é, quando a 
intersecção entre ambos é nula, dizemos que são eventos mutuamente 
excludentes. 
Se os dois eventos forem mutuamente excludentes, temos: 
0)( =∩ BAP 
Neste caso, a probabilidade da união fica: 
)()()( BPAPBAP +=∪
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31 
⇒ 
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS:
)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪
Se A e B forem mutuamente excludentes, a fórmula se reduz a: 
)()()( BPAPBAP +=∪
EC 13. TRT 9 2007 [CESPE] 
Julgue os itens a seguir. 
De 100 processos guardados em um armário, verificou-se que 10 
correspondiam a processos com sentenças anuladas, 20 estavam 
solucionados sem mérito e 30 estavam pendentes, aguardando a decisão 
de juiz, mas dentro do prazo vigente. Nessa situação, a probabilidade de 
se retirar desse armário um processo que esteja com sentença anulada, 
ou que seja um processo solucionado sem mérito, ou que seja um 
processo pendente, aguardando a decisão de juiz, mas dentro do prazo 
vigente, é igual a 3/5. 
Resolução: 
Sejam A, B e C os eventos que ocorrem quando, selecionando-se 
aleatoriamente um processo, obtém-se, respectivamente, um com 
sentença anulada, um processo sem mérito, e um processo pendente de 
julgamento. 
Nesse caso, queremos calcular a probabilidade da união desses três 
eventos. 
Como ocorre na maior parte dos exercícios de probabilidade da união, dá 
para ir bem sem a fórmula. Basta listarmos os casos possíveis e os casos 
favoráveis. 
Casos favoráveis: 10 com sentenças anuladas + 20 sem mérito + 30 
pendentes, dentro do prazo = 60 
Casos possíveis: 100 
Probabilidade: 
5
3
100
60 = 
Gabarito: certo. 
EC 14. TRT 1ª Região 2008 [CESPE] 
Considere que, em 2005, foram julgados 640 processos dos quais 160 
referiam-se a acidentes de trabalho; 120, a não-recolhimento de 
contribuição do INSS; e 80, a acidentes de trabalho e não-recolhimento 
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32 
de contribuição de INSS. Nesse caso, ao se escolher aleatoriamente um 
dessesprocessos julgados, a probabilidade dele se referir a acidentes de 
trabalho ou ao não-recolhimento de contribuição do INSS é igual a 
a) 3/64 
b) 5/64 
c) 5/16 
d) 7/16 
e) 9/16 
Resolução: 
Sejam os seguintes eventos: 
- A: ocorre quando o processo escolhido aleatoriamente se refere a 
acidentes de trabalho 
- B: ocorre quando o processo escolhido aleatoriamente se refere a não-
recolhimento. 
Temos: 
640
160)( =AP ; 
640
120)( =BP ; 
640
80)( =∩ BAP 
Aplicando a fórmula probabilidade da união: 
)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪
16
5
640
200
640
80
640
120
640
160)( ==−+=∪ BAP
Gabarito: C 
EC 15. TRT 1ª REGIÃO 2008 [CESPE] 
De acordo com informações apresentadas no endereço eletrônico 
www.trtrio.gov.br/Administrativo, em fevereiro de 2008, havia 16 
empresas contratadas para atender à demanda de diversos serviços do 
TRT/1.ª Região, e a quantidade de empregados terceirizados era igual a 
681. 
Se, entre as 16 empresas contratadas para atender aos serviços diversos 
do TRT, houver 4 empresas que prestem serviços de informática e 2 
empresas que cuidem da manutenção de elevadores, e uma destas for 
escolhida aleatoriamente para prestar contas dos custos de seus serviços, 
a probabilidade de que a empresa escolhida seja prestadora de serviços 
de informática ou realize a manutenção de elevadores será igual a 
A) 0,125. 
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33 
B) 0,250. 
C) 0,375. 
D) 0,500. 
E) 0,625. 
Resolução: 
Outro exercício de probabilidade da união em que não precisamos da 
fórmula. 
Casos favoráveis: 4 empresas de informática + 2 de elevadores = 6 
Casos possíveis: 16 
Probabilidade: 375,0
16
6 = 
Gabarito: C 
EC 16. TRT 21ª REGIÃO 2010 [CESPE] 
Suponha que determinado partido político pretenda ter candidatos 
próprios para os cargos de governador, senador e deputado federal e que 
tenha, hoje, 5 possíveis nomes para o cargo de governador, 7 para o 
cargo de senador e 12 para o cargo de deputado federal. Como todos os 
pré-candidatos são muito bons, o partido decidiu que a escolha da chapa 
(governador, senador e deputado federal) será por sorteio. Considerando 
que todos os nomes têm chances iguais de serem escolhidos, julgue os 
itens seguintes. 
Considerando que Mariana seja pré-candidata ao cargo de governador e 
Carlos seja pré-candidato ao cargo de senador, então a probabilidade de 
que a chapa sorteada ou não tenha o nome de Maria ou não tenha o nome 
de Carlos será inferior a 0,75. 
Resolução: 
A banca confundiu os nomes. Primeiro usou Mariana, depois Maria. Isto, 
inclusive, resultou na anulação da questão. 
Nesta resolução, vou considerar que ambas são a mesma pessoa (Mariana 
= Maria). 
Queremos que: ou Mariana não seja escolhida ou Carlos não seja 
escolhido. 
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34 
Temos um “ou exclusivo”. Para que ele seja verdadeiro, uma das parcelas 
deve ocorrer e a outra não. 
1º caso: Mariana não é escolhida e Carlos é escolhido. 
2º caso: Mariana é escolhida e Carlos não é escolhido. 
1º caso: 
A probabilidade de Mariana ser escolhida é: 
ܲሺMarianaሻ ൌ
1
5
 ሺ1 caso favorável em 5 possíveisሻ
Logo, a probabilidade de ela não ser escolhida é 4/5. 
A probabilidade de Carlos ser escolhido é: 
ܲሺCarlosሻ ൌ
1
7
ሺ1 caso favorável em 7 possíveisሻ
Queremos que as duas coisas ocorram (Mariana não seja escolhida e 
Carlos seja escolhido). 
Ou seja, temos a intersecção de dois eventos independentes. A 
probabilidade da intersecção é o produto das probabilidades: 
4
5
ൈ
1
7
ൌ
4
35
Vamos chamar este evento de A (Mariana não é escolhida e Carlos é 
escolhido). 
ܲሺܣሻ ൌ
4
35
2º caso: 
A probabilidade de Mariana ser escolhida é: 
ܲሺMarianaሻ ൌ
1
5
 ሺ1 caso favorável em 5 possíveisሻ
A probabilidade de Carlos ser escolhido é: 
ܲሺCarlosሻ ൌ
1
7
ሺ1 caso favorável em 7 possíveis
Logo, a probabilidade de Carlos não ser escolhido é de 6/7. 
ሻ
Seja B o evento que ocorre quando Mariana é escolhida e Carlos não é. A 
probabilidade de B fica: 
ܲሺܤሻ ൌ
1
5
ൈ
6
7
ൌ
6
35
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35 
Para que o evento solicitado no comando da questão ocorra, A ou B 
devem ocorrer. Temos a união entre dois eventos mutuamente exclusivos. 
ܲሺܣ ׫ ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ൅ ܲሺܤሻ ൌ
4
35
൅
6
35
ൌ
10
35
Gabarito: anulado 
EC 17. TJ PI 2009 [FCC] 
Em uma entrevista realizada com 4.000 pessoas, foi inquirida de cada 
uma sua posição em relação a um determinado projeto. Todas 
responderam e cada uma deu uma e somente uma das duas posições 
conforme apresentado pela tabela abaixo: 
A porcentagem de pessoas que são contra o projeto ou são mulheres é de 
(A) 37,5%. 
(B) 47,5%. 
(C) 52,5%. 
(D) 57,5%. 
(E) 80,0%. 
Resolução: 
Seja A o evento que ocorre quando a pessoa escolhida é mulher. 
Seja B o evento que ocorre quando a pessoa escolhida é contra o projeto. 
Temos: 
ܲሺܣሻ ൌ
1.700
4.000
ܲሺܤሻ ൌ
2.300
4.000
ܲሺܣ ת ܤሻ ൌ
800
4.000
Logo: 
ܲሺܣ ׫ ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ൅ ܲሺܤሻ െ ܲሺܣ ת ܤሻ
ܲሺܣ ׫ ܤሻ ൌ
1.700 ൅ 2.300 െ 800
4.000
ൌ 80%
Gabarito: E 
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36 
EC 18. TRT 3ª REGIÃO 2009 [FCC] 
A tabela abaixo apresenta a distribuição conjunta das frequências das 
variáveis “tipo de processo” (Y) e “setor” (X), referente aos processos 
autuados, em um período analisado, numa repartição pública: 
A porcentagem dos processos autuados no Setor B ou que não são do tipo 
III é 
(A) 92,5% 
(B) 87,5% 
(C) 62,5% 
(D) 37,5% 
(E) 32,5% 
Resolução: 
Em vez de usarmos a fórmula da probabilidade da união, vamos contar o 
número de casos possíveis e favoráveis. 
Casos favoráveis: processos do setor B, ou dos tipos I e II: 
100 ൅ 120 ൅ 100 ൅ 30 ൅ 20 ൌ 370
Número de casos favoráveis: 
A probabilidade fica: 
ܲ ൌ
370
400
ൌ 92,5%
Gabarito: A 
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37 
EC 19. TRT 7ª REGIÃO 2009 [FCC] 
A tabela apresenta a classificação segundo duas variáveis, sexo e idade, 
dos 1.200 funcionários de uma empresa. 
Se um funcionário é selecionado ao acaso dessa empresa, a probabilidade 
dele ser mulher ou ter pelo menos 30 anos é 
(A) 11/24 
(B) 13/15 
(C) 19/24 
(D) 12/17 
(E) 11/17 
Resolução: 
São 1.200 casos possíveis. 
Os casos favoráveis estão marcados na tabela abaixo: 
300 ൅ 180 ൅ 150 ൅ 200 ൅ 120 ൌ 950
Casos favoráveis: 
A probabilidade fica: 
ܲ ൌ
950
1.200
ൌ
19
24
Gabarito: C 
EC 20. TRF 2ª REGIÃO 2007 [FCC] 
Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Supondo que 
4,0)( =AP e 7,0)( =∪ BAP e pBP =)( . Os valores de p que fazem com que A 
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38 
e B sejam mutuamente exclusivos e A e B sejam independentes são, 
respectivamente, 
a) 0,3 e 0,5 
b) 0,4 e 0,2 
c) 0,5 e 0,2 
d) 0,6 e 0,2 
e) 0,3 e 0,4 
Resolução: 
Para que A e B sejam mutuamente exclusivos, temos a seguinte condição: 
)()()( BPAPBAP +=∪
Substituindo os valores: 
3,04,07,0 =⇒+= pp 
Para que A e B sejam independentes, temos a seguinte condição: 
)()()( BPAPBAP ×=∩
Sabendo disso, vamos partir da probabilidade da união de A e B. 
)()()()( BAPBPAPBAP ∪−+=∪
)()()()()( BPAPBPAPBAP×−+=∪
Substituindo os valores: 
5,03,06,04,04,07,0 =⇒=×⇒×−+= pppp
Gabarito: A 
6. Probabilidade do evento complementar 
Quando temos um experimento, dizemos que o conjunto de todos os 
resultados possíveis é o espaço amostral. 
Por exemplo, o lançamento de um dado pode resultar em 1, 2, 3, 4, 5 ou 
6. 
O espaço amostral é: 
{1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Outro exemplo. Temos um tetraedro com faces 1, 2, 3, 4. Lançamo-lo 
duas vezes. O espaço amostral é: 
{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), 
(3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)} 
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39 
Dizemos que dois eventos são complementares quando, simultaneamente, 
temos: 
· a união dos dois eventos resulta no espaço amostral 
· os dois eventos são mutuamente excludentes (eles não têm elementos 
em comum; a intersecção entre ambos é vazia) 
Ou seja, qualquer resultado possível estará contido em dos dois eventos. 
Os dois eventos, juntos, conseguem englobar todos os resultados 
possíveis. E mais que isso: não há qualquer resultado que satisfaça, 
simultaneamente, aos dois eventos. 
Com alguns exemplos fica mais fácil. 
Novamente, considere o resultado do lançamento de um dado. 
Seja ‘A’ o evento “sair número par”. Seja ‘B’ o evento “sair número 
ímpar”. 
Os eventos ‘A’ e ‘B’, unidos, englobam todas as possibilidades. Não tem 
como lançar um dado e dar um resultado que não seja um número par e 
não seja um número ímpar. 
Além disso, não há intersecção entre os dois eventos. Não tem nenhum 
resultado de um dado que seja, ao mesmo tempo, par e ímpar. 
Dizemos que os eventos ‘A’ e ‘B’ são complementares. 
Ainda em relação ao lançamento do dado. 
Seja ‘C’ o evento “sair um número maior ou igual a 4”. Seja ‘D’ o evento 
“sair um número menor que 4”. 
Esses dois eventos, unidos, englobam todos casos possíveis. Não dá para 
lançar um dado e obter um resultado que não seja maior ou igual a 4 nem 
menor que 4. 
Além disso, não há nenhum resultado que pertença ao mesmo tempo aos 
dois eventos. 
Os eventos ‘C’ e ‘D’ são complementares. 
Continuemos com o lançamento do dado. 
Seja ‘E’ o evento “sair um número menor que 5”. Seja ‘F’ o evento “sair 
um número maior que 3”. 
Os dois eventos, juntos, englobam todos os casos possíveis. 
Mas os dois eventos não são complementares. Existe um resultado que 
pertence aos dois eventos. O resultado “4” é maior que 3 e também é 
menor que 5. 
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40 
Ainda em relação ao lançamento do dado. 
Seja ‘G’ o evento “sair um número menor que 4”. Seja ‘H’ o evento “sair 
um número maior que 4”. 
‘G’ e ‘H’ não têm elementos em comum. Só que não englobam todos os 
casos possíveis. O resultado 4 não é nem menor que 4 nem maior que 4. 
Este resultado não está contemplado em nenhum dos dois eventos. ‘G’ e 
‘H’ não são complementares. 
Geralmente o evento complementar é indicado por uma barra. 
Continuemos com o lançamento do dado. Seja Z o evento “sair um 
múltiplo de 3”. O evento complementar de Z é indicado por: Z
Z é o evento “não sair um múltiplo de 3”. 
Note que Z e Z , juntos, englobam todos os casos. Além disso, não têm 
elementos em comum. São eventos complementares. 
Agora vem o que interessa para gente. Sejam A e A dois eventos 
complementares. 
Vamos calcular a probabilidade da união desses dois eventos. Usando a 
fórmula da probabilidade da união, temos: 
)()()()( AAPAPAPAAP ∩−+=∪
Mas nós vimos que a intersecção entre eventos complementares é vazia. 
Sua probabilidade é nula. 
0)()()( −+=∪ APAPAAP
)()()( APAPAAP +=∪
E nós vimos também que a união entre eventos complementares é 
justamente o espaço amostral. A probabilidade de ocorrer o espaço 
amostral é sempre igual a 1. 
Ficou em dúvida? 
Considere o lançamento do dado. 
O espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis = {1, 2, 
3, 4, 5, 6}. 
Considere o evento que ocorre quando lançamos o dado e sai um número 
de 1 a 6. Qual a probabilidade deste evento? É de 100%. Com certeza, 
quando lançarmos o dado, vai sair um número de 1 a 6. Isto porque esse 
evento é simplesmente igual ao espaço amostral. A probabilidade de 
ocorrer o espaço amostral é de 100%. 
)()()( APAPAAP +=∪
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41 
)()(1 APAP= + 
E é esse resultado que nos interessa. 
⇒ 
PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR:
Sejam A e A dois eventos complementares. Então: 
)()(1 APAP= + 
EC 21. TRT 2ª REGIAO 2008 [FCC] 
A probabilidade de que Antônio esteja vivo daqui a 10 anos é igual a 80% 
e de que Paulo o esteja daqui a 10 anos é 70%. Então, a probabilidade de 
que somente um deles esteja vivo daqui a 10 anos é igual a 
(A) 30% 
(B) 36% 
(C) 56% 
(D) 38% 
(E) 44% 
Resolução: 
Seja A o evento que ocorre se Antônio estiver vivo daqui a 10 anos. 
ܲሺܣሻ ൌ 0,8
Logo, a probabilidade do evento complementar (Antônio estar morto daqui 
a 10 anos) é de: 
ܲሺܣҧሻ ൌ 1 െ ܲሺܣሻ ൌ 0,2
Seja B o evento que ocorre se Paulo estiver vivo daqui a 10 anos. 
ܲሺܤሻ ൌ 0,7
Logo: 
ܲሺܤതሻ ൌ 1 െ ܲሺܤሻ ൌ 1 െ 0,7 ൌ 0,3 
Para que somente um dos dois esteja vivo daqui a dez anos, devemos ter: 
- Antônio vivo e Paulo morto (ܣ ת ܤത) 
ou 
- Antônio morto e Paulo vivo (ܣҧ ת ܤ) 
Logo, temos que calcular a seguinte probabilidade: 
ܲሾሺܣ ת ܤതሻ ׫ ሺܣҧ ת ܤሻሿ 
Entre colchetes, temos dois eventos mutuamente excludentes. A 
probabilidade da união é igual à soma das probabilidades. 
ܲሾሺܣ ת ܤതሻ ׫ ሺܣҧ ת ܤሻሿ ൌ ܲሺܣ ת ܤതሻ ൅ ܲሺܣҧ ת ܤሻ 
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Supondo que os eventos são independentes, ou seja, que o fato de 
Antônio viver (ou morrer) em nada influi na vida de Paulo, temos: 
ܲሾሺܣ ת ܤതሻ ׫ ሺܣҧ ת ܤሻሿ ൌ ܲሺܣ ת ܤതሻ ൅ ܲሺܣҧ ת ܤሻ 
ൌ ܲሺܣሻ ൈ ܲሺܤതሻ ൅ ܲሺܣҧሻ ൈ ܲሺܤሻ 
ൌ 0,8 ൈ 0,3 ൅ 0,2 ൈ 0,7 ൌ 0,24 ൅ 0,14 ൌ 0,38 
Gabarito: D 
Existem alguns tipos de problema em que a probabilidade pedida é muito 
difícil de ser calculada. Nesses casos, desconfie. Às vezes é mais fácil 
calcular a probabilidade do evento complementar, o que nos ajuda a 
resolver a questão. 
Vejamos alguns exercícios. 
EP 2 Lançamos um dado seis vezes. Qual a probabilidade de sair pelo 
menos uma vez o número 5? 
Resolução: 
Seja A o evento que ocorre quando, em pelo menos um dos 6 
lançamentos, temos o resultado 5. 
Uma primeira forma de resolução seria listar todos os casos possíveis e 
todos os casos favoráveis. 
Casos possíveis: 
1; 1; 1; 1; 1; 1 
1; 1; 1; 1; 1; 2 
1; 1; 1; 1; 1; 3 
[...] 
E a lista continuaria com inúmeras linhas. Ficar listando todos os casos 
possíveis não dá. 
Poderíamos tentar resolver considerando que o evento ‘A’ é, na verdade, 
uma união de vários eventos. 
Precisaríamos calcular a probabilidade de: 
· Sair o número 5 exatamente 1 vez 
· Sair o número 5 exatamente 2 vezes 
· Sair o número 5 exatamente 3 vezes 
· Sair o número 5 exatamente 4 vezes 
· Sair o número 5 exatamente 5 vezes 
· Sair o número 5 exatamente 6 vezes 
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43 
Depois fazemos a união de todos esses eventos. A probabilidade da união 
de todos esses eventos é o resultado procurado. 
Só que isso dá um trabalhão. Só para que fique claro como os eventos 
acima são difíceis de lidar, tomemos o segundo deles. Trata-se do evento 
que ocorre quando, lançando o dado seis vezes, obtém-se o resultado 5 
exatamenteduas vezes. Para calcular a probabilidade relacionada, 
teríamos que dividir este evento em diversos outros eventos: 
· Sair o número 5 apenas no primeiro e no segundo lançamento; 
· Sair o número 5 apenas no primeiro e no terceiro lançamento; 
· Sair o número 5 apenas no primeiro e no quarto lançamento; 
· Sair o número 5 apenas no primeiro e no quinto lançamento; 
· Sair o número 5 apenas no primeiro e no sexto lançamento; 
· Sair o número 5 apenas no segundo e no terceiro lançamento; 
· Sair o número 5 apenas no segundo e no quarto lançamento; 
· Sair o número 5 apenas no segundo e no quinto lançamento; 
· Sair o número 5 apenas no segundo e no sexto lançamento; 
· Sair o número 5 apenas no terceiro e no quarto lançamento; 
· Sair o número 5 apenas no terceiro e no quinto lançamento; 
· Sair o número 5 apenas no terceiro e no sexto lançamento; 
· Sair o número 5 apenas no quarto e no quinto lançamento; 
· Sair o número 5 apenas no quarto e no sexto lançamento; 
· Sair o número 5 apenas no quinto e no sexto lançamento. 
Depois, teríamos que fazer um procedimento análogo para todos os outros 
eventos (sair 5 exatamente uma vez; sair 5 exatamente três vezes; etc). 
Vamos procurar outra saída. 
O evento pedido no enunciado foi “sair 5 pelo menos 1 vez”. 
Qual seu evento complementar? 
Seu evento complementar é “não sair 5 nenhuma vez”. Vamos chamá-lo 
de A
Ah, para esse evento complementar é bem mais fácil de calcularmos a 
probabilidade. 
Ele é a intersecção dos seguintes eventos: 
· Não sai 5 no primeiro lançamento 
· Não sai 5 no segundo lançamento 
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· Não sai 5 no terceiro lançamento 
· Não sai 5 no quarto lançamento 
· Não sai 5 no quinto lançamento 
· Não sai 5 no sexto lançamento 
Todos os eventos acima têm probabilidade de 5/6. E todos eles são 
independentes. Isto porque o resultado de um lançamento não interfere 
em nada no resultado de qualquer outro lançamento. Vimos que, quando 
os eventos são independentes, a probabilidade da intersecção é igual ao 
produto das probabilidades. 
Ficamos com: 
6
6
5
6
5
6
5
6
5
6
5
6
5
6
5)( ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=×××××=AP
Portanto: 
6
6
51)( ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=AP 
A utilização do evento complementar facilitou muito as contas. 
O enunciado típico de utilização do evento complementar geralmente 
contém expressões como: “calcule a probabilidade de tal resultado ocorrer 
pelo menos uma vez.” 
Sempre que você se deparar com algo semelhante, lembre-se de verificar 
se a utilização do evento complementar facilita o cálculo. 
EC 22. MINISTERIO DA SAUDE 2007 [FCC] 
Sabe-se que 3/5 dos pacientes submetidos a uma determinada cirurgia 
sobrevivem. Se 4 pacientes realizarem a cirurgia, a probabilidade de que 
pelo menos um não sobreviva é de: 
a) 609/625 
b) 544/625 
c) 96/625 
d) 24/625 
e) 16/625 
Resolução: 
Pede-se a probabilidade de que pelo menos um paciente morra. 
Este é o caso clássico de utilização do evento complementar: quando 
temos a expressão “pelo menos um”. 
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45 
Sempre que aparecer esta expressão, é mais fácil calcularmos a 
probabilidade do evento complementar. Ou seja, vamos pensar 
justamente no evento que é o contrário do que o solicitado no enunciado. 
Seja A o evento “pelo menos um paciente morre”. Seja A o evento 
complementar, ou seja, “todos os pacientes sobrevivem”. O evento 
complementar é uma intersecção de 4 eventos: 
· E1 – o primeiro paciente sobrevive 
· E2 – o segundo paciente sobrevive 
· E3 – o terceiro paciente sobrevive 
· E4 – o quarto paciente sobrevive 
Quando todos estes quatro eventos ocorrerem simultaneamente 
(intersecção), aí nós teremos o evento A . 
Todos esses eventos têm probabilidade de 3/5. E todos eles são 
independentes. Assim, a probabilidade da intersecção se resume ao 
produto das probabilidades. 
4321 EEEEA ∩∩∩=
)4()3()2()1()4321( EPEPEPEPEEEEP ×××=∩∩∩
46,06,06,06,06,0)4321( =×××=∩∩∩ EEEEP
Ou seja: 
000.10
296.16,0)( 4 ==AP
Já calculamos a probabilidade do evento complementar. 
Agora fica bem fácil calcular a probabilidade do evento original. 
A probabilidade de A fica: 
625
544
000.10
704.8
000.10
296.11)( ==−=AP
Gabarito: B. 
EC 23. MPE PE 2006 [FCC] 
Um lote contém 20 peças das quais 5 são defeituosas. Colhendo-se uma 
amostra de 2 peças, ao acaso e sem reposição deste lote, a probabilidade 
de se obter pelo menos uma pela defeituosa é: 
a) 21/38 
b) 19/38 
c) 17/38 
d) 15/38 
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46 
e) 13/38 
Resolução. 
Vamos chamar de A o evento “escolher pelo menos uma peça 
defeituosa”. Vamos chamar de A o evento complementar. O evento 
complementar ocorre quando “todas as peças escolhidas são normais”. 
Considerem os seguintes eventos: 
E1 – a primeira peça escolhida é normal 
E2 – a segunda peça escolhida é normal 
O evento A é a intersecção desses dois eventos acima. Para que A
ocorra, ambos devem ocorrer simultaneamente. 
21 EEA ∩=
Queremos achar a probabilidade da intersecção. 
Mas, agora, diferentemente dos exercícios anteriores, esses eventos não 
são mais independentes. A probabilidade da intersecção não é mais o 
produto das probabilidades. 
Na hora de escolhermos a primeira peça, a probabilidade de ela não ser 
defeituosa é de 15/20. Temos 15 peças a nosso favor em 20 possíveis. 
Na hora de escolhermos a segunda peça, a probabilidade de ela não ser 
defeituosa vai depender do resultado da primeira escolha. Se, na primeira 
escolha, tiver saído uma peça defeituosa, a probabilidade da segunda 
peça não ser defeituosa será 15/19. Continuamos tendo 15 peças 
normais. São 15 casos favoráveis, em 19 possíveis. 
De outro modo, se a primeira peça escolhida for normal, a probabilidade 
da segunda também ser normal será de 14/19. Teremos apenas 14 casos 
favoráveis. 
Logo, os eventos não são independentes. O resultado de uma escolha 
influi na probabilidade da segunda escolha. 
A fórmula da probabilidade da intersecção fica: 
)21()( EEPAP ∩= 
)12()1()( EEPEPAP ×=
Na primeira escolha, a probabilidade de tomarmos uma peça não 
defeituosa é de 15/20. Temos 15 peças normais (casos favoráveis) num 
total de 20 (casos possíveis). 
20/15)1( =EP 
Já tendo escolhido uma peça não defeituosa, qual a probabilidade da 
segunda também ser não defeituosa. Ou seja, qual a probabilidade de 
ocorrer o evento E2, dado que o evento E1 já ocorreu? 
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Já tendo retirado uma peça normal, sobram 14 peças normais (casos 
favoráveis), num total de 19 (casos possíveis). 
19/14)12( =EEP
Portanto: 
)12()1()( EEPEPAP ×=
38
21
19
7
2
3
19
14
20
15)( =×=×=AP
Logo: 
38
17
38
211)( =−=AP
Gabarito: C. 
EC 24. BACEN/2006 [FCC] 
A probabilidade de um associado de um clube pagar a sua mensalidade 
com atraso é de 5%. Entre 5 associados escolhidos aleatoriamente, a 
probabilidade de pelo menos 1 pagar a sua mensalidade sem atraso é: 
a) 1 – 0,955 
b) 0,955 
c) 4,75 . 0,955 
d) 5 . 0,955 
e) 1 – 0,055 
Resolução. 
Nesta questão da FCC, queremos calcular a probabilidade de pelo menos
um associado pagar a mensalidade sem atraso. 
Seja A o evento “pelo menos 1 associado paga sem atraso”. Queremos 
calcular a probabilidade de A . Só que calcular esta probabilidade não é 
nada simples. 
Qual o eventocomplementar de A ? É o evento “todos os associados 
atrasam o pagamento”. Vamos chamá-lo de evento A . Esse evento A é 
uma intersecção de vários eventos. Ele corresponde aos seguintes 
eventos, quando ocorrem simultaneamente: 
O primeiro associado atrasa o pagamento (evento E1) 
O segundo associado atrasa o pagamento (evento E2) 
O terceiro associado atrasa o pagamento (evento E3) 
O quarto associado atrasa o pagamento (evento E4) 
O quinto associado atrasa o pagamento (evento E5) 
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Todos esses eventos tem probabilidade de 5%. 
Vamos considerar que todos esses eventos sejam independentes. Ou seja, 
a probabilidade da intersecção é o produto das probabilidades. 
Ficamos com: 
)5()4()3()2()1()54321( EPEPEPEPEPEEEEEP ××××=∩∩∩∩
505,005,005,005,005,005,0)54321( =××××=∩∩∩∩ EEEEEP
Assim, a probabilidade de todos os associados atrasarem é de 0,055. 
Portanto, a probabilidade de pelo menos um associado pagar sem atraso 
é: 
505,01− 
Gabarito: E 
EC 25. MMA 2008 [CESPE] 
O Brasil faz parte de um grupo de 15 países denominados megadiversos, 
que, juntos, abrigam cerca de 70% da biodiversidade do planeta. No 
Brasil, existem 6 regiões com uma diversidade biológica própria, os 
chamados biomas. Por exemplo, o bioma caatinga, no nordeste do país, 
ocupa uma área de aproximadamente 844.452 km2; o bioma pantanal, no 
centro-oeste do país, ocupa uma área de aproximadamente 150.500 km2. 
A Comissão Nacional de Biodiversidade (CONABIO), que atua 
fundamentalmente na implementação da política nacional de 
biodiversidade, é constituída pelo presidente e mais 6 membros titulares, 
tendo estes 6 últimos 2 suplentes cada. No Programa Nacional de 
Florestas, há alguns projetos em andamento, como, por exemplo, o Plano 
Nacional de Silvicultura com Espécies Florestais Nativas (P1) e o Plano de 
Recuperação de Áreas Degradadas (P2). 
Com base nessas informações e no texto acima, julgue os itens a seguir. 
1. Suponha que as probabilidades de os planos P1 e P2, referidos no 
texto, terem 100% de suas metas atingidas sejam, respectivamente, 
iguais a 3/7 e 2/5, e que ambos estejam em andamento 
independentemente um do outro. Nesse caso, a probabilidade de pelo 
menos um desses planos ter suas metas plenamente atingidas é superior 
a 0,7. 
Resolução: 
Seja “A” o evento que ocorre quando pelo menos um dos planos atinge 
todas as suas metas. O evento complementar, indicado por A , é aquele 
que ocorre quando nenhum plano atinge suas metas. 
Seja E1 o evento que ocorre quando o primeiro plano não atinge suas 
metas. 
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Seja E2 o evento que ocorre quando o segundo plano não atinge suas 
metas. 
De acordo com o texto, temos: 
7
4
7
31)1( =−=EP
5
3
5
21)2( =−=EP
Com isso, temos: 
)21()( EEPAP ∩= 
Os planos são independentes. Logo, a probabilidade da intersecção é o 
produto das probabilidade. 
)2()1()( EPEPAP ×=
35
12
5
3
7
4)( =×=AP
Logo: 
)(1)( APAP −= 
35
23
35
121)( =−=AP =0,66 
Gabarito: errado. 
EC 26. TRT 21ª REGIÃO 2010 [CESPE] 
Suponha que determinado partido político pretenda ter candidatos 
próprios para os cargos de governador, senador e deputado federal e que 
tenha, hoje, 5 possíveis nomes para o cargo de governador, 7 para o 
cargo de senador e 12 para o cargo de deputado federal. Como todos os 
pré-candidatos são muito bons, o partido decidiu que a escolha da chapa 
(governador, senador e deputado federal) será por sorteio. Considerando 
que todos os nomes têm chances iguais de serem escolhidos, julgue os 
itens seguintes. 
Caso João e Roberto sejam pré-candidatos ao cargo de senador e Maria e 
Ana sejam pré-candidatas ao cargo de deputado federal, a chance de que 
a chapa sorteada tenha qualquer um desses nomes será maior que 49%. 
Resolução: 
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50 
Queremos que pelo menos uma das pessoas indicadas (João, Roberto, 
Maria, Ana) seja escolhida (evento A). 
O evento complementar ocorre quando nenhuma delas é escolhida 
(evento ҧ). 
O evento ҧ ocorre quando: 
- João e Roberto não são escolhidos para senador; 
- Maria e Ana não são escolhidas para deputado. 
A probabilidade de João e Roberto não serem escolhidos é de 5/7 (são 5 
casos favoráveis em 7 possíveis). 
A probabilidade de Maria e Ana não serem escolhidas é de 10/12 (10 
casos favoráveis em 12 possíveis). 
Logo: 
ܲሺܣҧሻ ൌ
5
7
ൈ
10
12
ൌ
50
84
 
Do que resulta: 
ܲሺܣሻ ൌ 1 െ ܲሺܣҧሻ ൌ 1 െ
50
84
ൌ
34
84
ൌ 40,4% 
Gabarito errado 
7. Teorema da probabilidade total 
EP 3 Uma urna tem uma bola branca e uma bola preta (vamos chamá-la 
de primeira urna). Outra urna tem três bolas brancas e uma bola preta 
(vamos chamar de segunda urna). Escolhe-se uma dessas urnas ao acaso 
e retira-se uma bola. Qual a probabilidade da bola escolhida ser preta? 
Resolução: 
Seja ‘U1’ o evento que ocorre quando a urna escolhida para a retirada da 
bola é a primeira urna. Seja ‘U2’ o evento que ocorre quando a urna 
escolhida para a retirada da bola é a segunda urna. 
Observe que os eventos U1 e U2 são complementares. 
A probabilidade de se escolher cada uma das duas urnas é de 50%. 
5,0)()( 21 == UPUP
Esses dois eventos são complementares. Abrangem todos os casos 
possíveis. Todas as bolas em questão pertencem a uma dessas duas 
urnas. E não há nenhuma bola que pertença, simultaneamente, a ambas. 
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51 
Seja ‘A’ o evento que ocorre quando a bola retirada é preta. 
Suponha que escolhemos a primeira urna. A probabilidade de sair uma 
bola preta é de 50%. Ou seja, a probabilidade de sair bola preta, dado 
que escolhemos a primeira urna, é de 50%. 
5,0)( 1 =UAP 
Suponha agora que escolhemos a segunda urna. A probabilidade de sair 
uma bola preta é de 25%. Ou seja, a probabilidade de sair bola preta, 
dado que escolhemos a segunda urna, é de 25%. 
25,0)( 2 =UAP 
Mas a pergunta foi: qual a probabilidade de sair bola preta? 
Para achar a probabilidade do evento ‘A’, basta somar as probabilidades 
acima, certo??? 
Errado!!! 
Muita gente cai nesse erro. Cuidado para não cometê-lo. 
Para checar o absurdo que seria, considere ‘B’ o evento que ocorre 
quando a bola sorteada é branca. 
Ficaríamos com: 
5,0)( 1 =UBP e 75,0)( 2 =UBP 
Por esse raciocínio, a probabilidade de sair bola branca seria de 125%, 
algo absurdo. 
Como fazer? 
É aqui que entra o teorema da probabilidade total. 
Como U1 e U2 são eventos complementares, a união de ambos é igual ao 
espaço amostral. Vamos chamar de S o espaço amostral. 
21US U∪=
A intersecção de ‘A’ com ‘S’ é igual ao próprio ‘A’. Isso porque ‘A’ é um 
evento, que está contido no espaço amostral. 
ASA =∩
Portanto, podemos escrever: 
)()( SAPAP ∩=
[ ])()( 21UAPAP U∪∩=
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[ ])()()( 21 UAUAPAP ∩∪∩=
)()()( 21 UAPUAPAP ∩+∩=
)()()()()( 2211 UAPUPUAPUPAP ×+×=
⇒ 
TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL:
Se dois eventos U1 e U2 forem complementares, a probabilidade de 
ocorrer o evento A é dada por: 
)2()2()1()1()( UAPUPUAPUPAP ×+×=
Você não precisa decorar a fórmula acima. Muito menos gravar o 
procedimento para chegar nela. O que importa é que você entenda a 
continuação do problema, que vem logo abaixo. Apenas isso. Se para você 
a continuação