19 Probabilidade

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Aula 19
 Raciocínio Lógico Matemático p/ PRF
(Policial) Pós-Edital
Autor:
Equipe Exatas Estratégia
Concursos
Aula 19
11 de Março de 2021
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Sumário 
1 – Introdução ................................................................................................................................... 3 
2 – Teoria das Probabilidades ........................................................................................................... 3 
2.1 – Conceitos Fundamentais ...................................................................................................... 3 
2.1.1 – Experimento Aleatório ................................................................................................... 3 
2.1.2 – Espaço Amostral ............................................................................................................. 4 
2.1.3 – Evento ............................................................................................................................ 5 
2.2 – Cálculo da Probabilidade ..................................................................................................... 6 
2.3 – Axiomas da Probabilidade .................................................................................................. 11 
2.4 – Probabilidade da Intersecção de Eventos .......................................................................... 12 
2.5 – Probabilidade de Eventos Independentes ......................................................................... 13 
2.6 – Probabilidade de Eventos Mutuamente Excludentes ......................................................... 15 
2.7 – Probabilidade da União de Dois Eventos ........................................................................... 17 
2.8 – Probabilidade do Evento Complementar ........................................................................... 19 
2.9 – Probabilidade Condicional ................................................................................................. 23 
2.10 – Teorema de Bayes ............................................................................................................ 30 
2.11 – Teorema da Probabilidade Total ...................................................................................... 33 
3 – Probabilidade com Análise Combinatória ................................................................................ 35 
Questões Comentadas ................................................................................................................... 41 
Lista de Questões ........................................................................................................................... 90 
Gabarito ........................................................................................................................................ 109 
Questões Complementares Comentadas ..................................................................................... 110 
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Lista de Questões Complementares ............................................................................................. 158 
Gabarito – Complementar ............................................................................................................ 175 
 
 
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1 – INTRODUÇÃO 
A probabilidade tem como finalidade o estudo da possibilidade ou chance de acontecer um 
determinado evento. 
Na sua prova, será muito fácil identificar uma questão de Probabilidade. Haverá no enunciado 
sempre a pergunta: 
Qual a probabilidade (ou chance) de ...? 
Identificado o assunto da questão, o próximo passo consiste em saber como resolvê-la. Analisando 
as questões das principais bancas examinadoras do país, percebemos que existem dois tipos: um 
explora o conhecimento da Teoria das Probabilidades, enquanto o outro exige do candidato a 
solução por meio da Teoria da Análise Combinatória (estudada na aula anterior). 
 
2 – TEORIA DAS PROBABILIDADES 
A Teoria das Probabilidades é o ramo da matemática que cria e desenvolve modelos matemáticos 
para estudar os experimentos aleatórios, fazendo uso de uma nomenclatura própria. 
2.1 – Conceitos Fundamentais 
Há três conceitos fundamentais que temos que passar a conhecer imediatamente: experimento 
aleatório, espaço amostral e evento. 
2.1.1 – Experimento Aleatório 
 
Tipos de questões
Teoria das Probabilidades
Teoria da
Análise Combinatória
É aquele que, mesmo repetido diversas vezes sob condições idênticas, 
pode apresentar RESULTADOS DIFERENTES.
Experimento Aleatório
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As variações de resultados, de experimento para experimento, são devidas a uma multiplicidade 
de causas que não podemos controlar, as quais denominamos acaso. 
Alguns exemplos de experimento aleatório: 
• Lançar uma moeda e observar a face de cima; 
• Lançar um dado e observar o resultado; 
• De uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 2 bolas brancas, selecionar uma bola e observar 
sua cor. 
2.1.2 – Espaço Amostral 
 
Designaremos o número de elementos de um espaço amostral por n(S). A letra “S” vem de 
“space”, que é espaço em inglês. O espaço amostral também pode ser designado por U ou W. 
Conseguir definir corretamente o espaço amostral de um experimento aleatório e conhecer o seu 
número de elementos constitui boa parte da resolução de muitas questões de probabilidade. 
Considere os seguintes exemplos: 
• Lançar uma moeda e observar a face de cima. 
o S = {cara, coroa}. 
o n(S) = 2. 
• Lançar um dado e observar o resultado. 
o S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
o n(S) = 6. 
• De uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 2 bolas brancas, selecionar uma bola e observar 
sua cor. 
o S = {V, B}. 
o n(S) = 2. 
É o conjunto "S" de todos os RESULTADOS POSSÍVEIS de um experimento 
aleatório.
Espaço Amostral
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Dizemos que um espaço amostral é equiprovável quando seus elementos têm a 
mesma chance de ocorrer. 
2.1.3 – Evento 
 
Designaremos um evento por uma letra maiúscula. Para cada evento X, chamamos de n(X) o 
número de elementos de cada evento. 
Dessa forma, conhecer o n(X) é o segundo passo para a resolução de algumas questões de 
probabilidade que veremos, pois o enunciado trará a descrição de um experimento aleatório e de 
um evento. Em seguida, será feita aquela pergunta que mencionei no início da aula: 
Qual a probabilidade (ou chance) de ...? 
Veja o exemplo a seguir, que ajudará a esclarecer esses conceitos iniciais. 
Considere o experimento aleatório de lançar um dado e observar a face voltada para cima. Vamos 
identificar o número de elementos do evento que consiste, nesse exemplo, em obter um resultado 
par no lançamento do dado. 
Bem, já sabemos que o experimento aleatório é “lançar um dado e observar a face para cima”. 
O próximo passo é obter o espaço amostral, que é o conjunto "S" de todos os resultados possíveis. 
Logo: 
• Espaço amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Daí, n(S) = 6. 
Agora vamos identificar o evento, que é um subconjunto do espaço amostral. No nosso caso, será 
obter um resultado par no lançamento do dado. 
• Evento: A = {2, 4, 6}. Daí, n(A) = 3. 
É qualquer subconjunto do espaço amostral. Ou seja, é o resultado desejado 
(favorável).
Evento
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Portanto, o número de elementos do evento, que consiste em obter um resultado par no 
lançamento do dado, é 3. 
Assim, diante do númerode elementos de um evento X, teremos: 
 
2.2 – Cálculo da Probabilidade 
A probabilidade de ocorrência de um evento X, num determinado experimento aleatório, 
considerando que cada elemento do espaço amostral desse experimento tem a mesma chance de 
ocorrer, será calculada por: 
𝑷(𝑿) = 	 𝒏(𝑿)
𝒏(𝑺)
= 𝐧º	𝐝𝐞	𝐫𝐞𝐬𝐮𝐥𝐭𝐚𝐝𝐨𝐬	𝐟𝐚𝐯𝐨𝐫á𝐯𝐞𝐢𝐬
𝐧º	𝐝𝐞	𝐫𝐞𝐬𝐮𝐥𝐭𝐚𝐝𝐨𝐬	𝐩𝐨𝐬𝐬í𝐯𝐞𝐢𝐬
 
Este é, pois, o conceito de probabilidade! Observe que, sabendo o número total de resultados 
possíveis e o número de resultados favoráveis, o cálculo da probabilidade é muito simples. Logo, 
normalmente a dificuldade das questões está justamente no cálculo desses dois resultados. 
Por exemplo, suponha que uma urna contenha dez bolinhas, sendo quatro delas azuis e seis 
vermelhas. Ao retirar aleatoriamente uma dessas bolas da urna, qual é a probabilidade de que ela 
seja azul? 
Qual é o evento em análise neste exemplo? Retirar uma bola azul da urna! Ora, a urna contém dez 
bolas. Daí, se quero retirar apenas uma delas, quantos serão os resultados possíveis para essa 
retirada? Dez, é claro! Então já temos o nosso denominador! 
Passemos ao numerador, que são os resultados favoráveis. A pergunta é: favoráveis a quem? 
Favoráveis à realização do evento! Ora, se eu pretendo retirar uma bola azul da urna, então quantos 
Evento
Certo
n(X) = n(S)
Exemplo: obter um resultado menor 
do que 7 no lançamento de um 
dado
Impossível
n(X) = 0
Exemplo: obter um resultado maior 
ou igual a 7 no lançamento de um 
dado
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serão os resultados que cumprirão essa exigência do evento (bola azul)? Quatro! (Só há quatro 
bolas azuis na urna). 
De posse dos resultados favoráveis e possíveis para o evento em tela, o cálculo da probabilidade 
é a parte mais simples: 
P = 4/10 = 0,40 = 40% 
Fica claro, meu amigo, que existe um padrão a ser seguido na resolução das questões de 
probabilidade: 
 
Vamos aplicar esse método no seguinte exemplo: uma urna contém dez bolinhas numeradas de 1 
a 10. Uma bolinha é escolhida ao acaso. Qual é a probabilidade de se observar um múltiplo de 2? 
Seguindo os 3 passos mencionados, temos: 
1º passo: Definir o espaço amostral: escolher uma bola de uma urna que contém 10 bolas. 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Daí, n(S) = 10. 
2º passo: Definir o evento: a bolinha retirada da urna deve ser um múltiplo de 2. 
Pergunto: no conjunto S, quais os números que são múltiplos de 2? Ora, são: {2, 4, 6, 8, 10}. Logo, 
há 5 resultados favoráveis. Ou seja: n(X) = 5. 
3º passo: Efetuar o cálculo da Probabilidade, que é dado pela razão entre os resultados favoráveis 
e os resultados possíveis: 
1º passo
Definir o número de elementos do
espaço amostral [n(S)], que é o número
de resultados possíveis.
2º passo
Definir o número de elementos do
evento [n(X)], que é o número de
resultados favoráveis.
3º passo
Efetuar o cálculo da Probabilidade:
𝑷 𝑿 =	𝒏(𝑿)
𝒏(𝑺)
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𝑷(𝑿) = 	
𝒏(𝑿)
𝒏(𝑺) =
𝟓
𝟏𝟎 = 𝟎, 𝟓 = 𝟓𝟎% 
Agora digamos que, de um baralho de 52 cartas, retira-se uma delas. Calcule a probabilidade de 
que a carta seja: 
a) um rei; 
b) um valete de paus; 
c) uma carta de ouros; 
d) uma carta que não seja de ouros. 
Você gosta de jogar baralho? Bem, o Alex não gosta, mas o Alexandre gosta! No entanto, algumas 
questões exigem o conhecimento dos naipes do baralho. É bom ficar de olho! 
Assim, saiba que um baralho contém 52 cartas, sendo 13 de cada um dos quatro naipes (ouros, 
espadas, copas e paus). Cada naipe contém as cartas 2 a 10, valete, dama, rei e ás. Os coringas 
não são usados em questões do assunto. 
Como curiosidade, quando o Alexandre fez o vestibular dele para a UFRJ em 1989, uma questão 
exigiu que o candidato soubesse quantos jogadores formam um time de futebol de salão, o que 
fez com que muitos candidatos pedissem a anulação da questão, que não foi anulada. Não 
diríamos que hoje você precise decorar quantos jogadores formam cada time dos mais diferentes 
esportes coletivos. Isso é bobagem, mas as cartas do baralho você tem que saber sim, ok? E do 
futebol de campo, que são 10 jogadores de linha e um goleiro, também recomendamos que saiba. 
No baralho, temos 52 cartas, logo, n(S) = 52. 
a) Evento: ocorrer um rei. 
X = {rei de ouros; rei de paus; rei de copas; rei de espadas}. Daí, n(X) = 4. 
𝑷(𝑿) = 	
𝒏(𝑿)
𝒏(𝑺) =
𝟒
𝟓𝟐 =
𝟏
𝟏𝟑 
b) Evento: ocorrer um valete de paus. 
X = {valete de paus}. Daí, n(X) = 1. 
𝑷(𝑿) = 	
𝒏(𝑿)
𝒏(𝑺) =
𝟏
𝟓𝟐 
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c) Evento: ocorrer uma carta de ouros. 
Como há 4 naipes num baralho, então cada naipe tem 52/4 = 13 cartas. Daí, n(X) = 13. 
𝑷(𝑿) = 	
𝒏(𝑿)
𝒏(𝑺) =
𝟏𝟑
𝟓𝟐 =
𝟏
𝟒 = 𝟐𝟓% 
d) Evento: ocorrer uma carta que não seja de ouros. 
Acabamos de ver que existem 13 cartas de ouros num baralho. Logo, temos 52 – 13 = 39 cartas 
que não são de ouros. Daí, n(X) = 39. 
𝑷(𝑿) = 	
𝒏(𝑿)
𝒏(𝑺) =
𝟑𝟗
𝟓𝟐 =
𝟑
𝟒 = 𝟕𝟓%
 
 
 
(ESAF/2010 – APO/MPOG) Em uma pequena localidade, os amigos Arnor, Bruce, Carlão, 
Denílson e Eleonora são moradores de um bairro muito antigo que está comemorando 100 anos 
de existência. Dona Matilde, uma antiga moradora, ficou encarregada de formar uma comissão 
que será a responsável pela decoração da festa. Para tanto, Dona Matilde selecionou, ao acaso, 
três pessoas entre os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora. Sabendo-se que Denílson 
não pertence à comissão formada, então a probabilidade de Carlão pertencer à comissão é, em 
termos percentuais, igual a: 
a) 30% 
b) 80% 
c) 62% 
d) 25% 
e) 75% 
Comentários: 
Já sabemos que Denilson não pertence à comissão, de forma que restam 4 pessoas, dentre as 
quais serão escolhidas 3. Assim, os grupos possíveis são: 
ü Arnor, Bruce, Carlão 
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ü Arnor, Bruce, Eleonora 
ü Arnor, Carlão, Eleonora 
ü Bruce, Carlão, Eleonora 
Logo, temos 4 resultados possíveis. Em 3 desses casos, Carlão participa do grupo. Assim, temos 
3 resultados favoráveis. Então, podemos calcular a probabilidade: 
𝑷(𝑿) = 	
𝒏(𝑿)
𝒏(𝑺) =
𝟑
𝟒 = 𝟎, 𝟕𝟓 = 𝟕𝟓% 
Gabarito: E. 
(CESPE/2013 – AFT/MTE) Um auditor do trabalho deve analisar 20 processos: 5 a respeito de 
segurança no trabalho, 7 a respeito de FGTS e 8 a respeito de jornada de trabalho. Considerando 
que esses processos sejam colocados sobre a mesa de trabalho do auditor, de maneira aleatória, 
formando uma pilha, julgue o item que se segue. 
Considere que uma pilha com os 20 processos seja formada de maneira aleatória. Nesse caso, a 
probabilidade de o processo que está na parte superior tratar de assunto relativo a FGTS será 
superior a 0,3. 
Comentários: 
A ideia da resolução da questão é imaginar que iremos sortear um processo, no qual o sorteado 
é exatamente aquele que ficou no topo da pilha. Nosso objetivo consiste em obter a probabilidade 
de que tal processo seja relativo ao FGTS. 
Ora, temos 7 processos que tratam de FGTS. Logo, são 7 resultados favoráveis em 20 possíveis. 
Efetuando o cálculo da probabilidade: 
𝑷(𝑿) = 	
7
20 = 𝟎, 𝟑𝟓 
Gabarito: certo. 
(CESPE/2014 – ANTAQ/Especialista) Uma pesquisa sobre o objeto de atividade de 600 empresas 
apresentou o seguinte resultado: 
5/6 dessas empresas atuam no mercado de transporte fluvial de cargas; 
1/3 dessas empresas atuam no mercado de transporte fluvial de passageiros; 
50 dessas empresas não atuam com transporte fluvial, nem de cargas, nem de passageiros. 
Com base nessa situação hipotética e sabendo-se queas 600 empresas pesquisadas se enquadram 
em, pelo menos, uma das 3 opções acima, julgue o item a seguir. 
Selecionada, ao acaso, uma dessas empresas, a probabilidade de que ela não atue com transporte 
fluvial de cargas nem de passageiros é inferior a 10%. 
Comentários: 
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Nosso objetivo consiste em obter a probabilidade de que uma empresa não atue com transporte 
fluvial de cargas nem de passageiros. 
Ora, o enunciado afirmou que 50 dessas empresas não atuam com transporte fluvial, nem de 
cargas, nem de passageiros. 
Além disso, sabemos que 600 empresas foram pesquisadas. Logo, são 50 resultados favoráveis 
em 600 possíveis. Efetuando o cálculo da probabilidade: 
𝑷(𝑿) =
50
600 = 𝟖, 𝟑𝟑% 
Veja que a probabilidade que encontramos é inferior a 10%. 
Gabarito: Certo. 
2.3 – Axiomas da Probabilidade 
Na matemática, um axioma é uma hipótese inicial de qual outros enunciados são logicamente 
derivados. Pode ser uma sentença, uma proposição, um enunciado ou uma regra que permite a 
construção de um sistema formal. Diferentemente de teoremas, axiomas não podem ser derivados 
por princípios de dedução e nem são demonstráveis por derivações formais. 
Destacamos os seguintes axiomas: 
1º) A probabilidade tem valor máximo 100%. Esse é o caso do evento certo. 
Já sabemos que o contrário do evento certo é o impossível, cuja probabilidade de ocorrência é de 
0%. 
Com isso, chegamos a uma conclusão fundamental: 
𝟎 ≤ 𝑷(𝑿) ≤ 𝟏 
Ou seja, entre um evento impossível e um evento certo, temos inúmeras possibilidades! 
 
2º) A soma das probabilidades de cada elemento do espaço amostral é igual a 1. 
Por exemplo, num lançamento de um lado, teremos: 
P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 = 100% 
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2.4 – Probabilidade da Intersecção de Eventos 
Trabalharemos com esse tipo de probabilidade quando a questão solicitar a chance de ocorrência 
conjunta de dois ou mais eventos. Nesse caso, os eventos estarão ligados pelo conectivo “e”, de 
forma explícita ou implícita. 
Já sabemos que o conectivo “e” está relacionado à intersecção entre conjuntos. Daí, a fórmula da 
Probabilidade da Intersecção de Eventos é: 
P(A e B) = P(A) x P(B|A) 
Podemos denotar P(A e B) também por 𝑃(𝐴	 ∩ 𝐵), em que ∩ simboliza a intersecção entre os 
eventos A e B. 
Em que P(B|A) é a probabilidade de ocorrer o evento B sabendo que o evento A já ocorreu. Enfim, 
chamamos de Probabilidade de B dado A. Também denominamos essa fórmula de Regra do E. 
 
(CESPE/2013 – TRT-10/Tec Info) Considerando que, dos 10 postos de combustíveis de 
determinada cidade, exatamente dois deles cometam a infração de vender gasolina adulterada, e 
que sejam escolhidos ao acaso alguns desses postos para serem fiscalizados, julgue o item 
seguinte. 
Se dois postos forem escolhidos aleatoriamente, a probabilidade de esses dois postos serem os 
infratores será inferior a 2%. 
Comentários: 
Nosso objetivo consiste em obter a probabilidade de dois postos escolhidos aleatoriamente serem 
os infratores. 
Sejam os eventos: 
A: Ocorre quando o primeiro posto selecionado é infrator; 
B: Ocorre quando o segundo posto selecionado é infrator. 
A probabilidade de o primeiro posto ser infrator é dada por: 
𝑷(𝑨) = 	
𝟐
𝟏𝟎 
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Ora, se é dado que o primeiro posto é infrator, então sobra um único infrator (caso favorável), em 
9 postos restantes. Daí, a probabilidade de B, dado A: 
𝑷(𝑩|𝑨) = 	
𝟏
𝟗 
 
Por fim, a probabilidade da interseção será: 
𝑷(𝑨	 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨)	𝒙	𝑷(𝑩|𝑨) 
𝑃(𝐴	 ∩ 𝐵) = 	
2
10 	𝑥	
1
9 = 	
2
90 =
1
45 = 0,0222… = 𝟐, 𝟐𝟐𝟐…% 
Veja que esse valor é superior a 2%. 
Gabarito: Errado. 
(FGV/2018 – SEFIN-RO/Auditor Fiscal) Dois eventos A e B têm probabilidades iguais a 70% e 
80%. Os valores mínimo e máximo da probabilidade da interseção de A e B são 
a) 20% e 50% 
b) 20% e 70% 
c) 50% e 70% 
d) 0% e 70% 
e) 30% e 50%. 
Comentários: 
O máximo da intersecção ocorre quando A é um subconjunto de B. Nesse caso, a intersecção 
corresponde ao próprio conjunto A: 
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨) = 𝟕𝟎% 
Já o valor mínimo da probabilidade pode ser calculado pela probabilidade da união, que é, no 
máximo, igual a 100%. Logo: 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
100% = 70%+ 80%− 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
100% = 150%− 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 150% − 100% = 𝟓𝟎% 
Gabarito: C. 
2.5 – Probabilidade de Eventos Independentes 
Dois eventos, A e B, são considerados independentes quando a ocorrência, ou não ocorrência, de 
um deles não afeta a probabilidade de ocorrência do outro. 
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Por exemplo, ao efetuarmos dois lançamentos consecutivos de um dado, o evento de obter um 
resultado par em cada um deles é independente, pois o resultado do primeiro lançamento em 
nada influencia o resultado do segundo. 
Quando temos experimentos independentes, a probabilidade é dada pela multiplicação das 
probabilidades de cada experimento: 
P(A e B) = P(A) x P(B) 
Portanto, podemos afirmar que: 
Dois eventos, A e B, são independentes se, e somente se, ocorrer a igualdade: 
P (A e B) = P(A) x P(B) 
Cuidado para não decorar simplesmente que P (A e B) = P(A) x P(B), pois essa igualdade é válida 
quando os eventos A e B forem independentes, ok? Se eles não forem independentes, essa 
igualdade deixará de ser obrigatória. 
Já no caso de três eventos, a independência assumirá o seguinte conceito: 
Três eventos, A, B e C, são independentes se, e somente se, ocorrerem as seguintes 
igualdades: 
P (A ∩ B ∩ C) = P(A) x P(B) x P(C) 
P (A ∩ B) = P(A) x P(B) 
P (A ∩ C) = P(A) x P(C) 
P (B ∩ C) = P(B) x P(C) 
Dessa forma, para considerarmos que três eventos são independentes, é necessário que sejam 
verificadas as quatro igualdades, sendo insuficiente que P (A ∩ B ∩ C) = P(A) x P(B) x P(C). 
 
(ESAF/2008 – AFC/STN) Dois eventos A e B são ditos eventos independentes se e somente se: 
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a) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for nula. 
b) a ocorrência de B alterar a probabilidade de ocorrência de A. 
c) a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B. 
d) a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A. 
e) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1. 
Comentários: 
Acabamos de aprender que: 
Dois eventos, A e B, são considerados independentes quando a ocorrência, ou não ocorrência, 
de um deles não afeta a probabilidade de ocorrência do outro. 
Gabarito: D. 
(CESP/2013 – AJ/TRT-10) No concurso de loterias denominado miniquina, o apostador pode 
marcar 5, 6 ou 7 dezenas em uma cartela que possui as dezenas de 01 a 15. Nesse concurso, o 
prêmio principal é dado ao apostador que marcar em sua cartela as cinco dezenas sorteadas 
aleatoriamente em uma urna. 
Com relação ao concurso hipotético acima apresentado, julgue o item subsequente. 
As dezenas que forem sorteadas em concursos anteriores terão mais chances de serem sorteadas 
novamente. 
Comentários: 
Bem, devemos considerar que cada concurso de loterias é independente dos demais, tratando-
se, então, de sorteios honestos. Sendo esse o caso, todas as dezenas terão chances iguais de 
serem sorteadas sempre, independentemente do que tenha ocorrido em concursos anteriores. 
Como curiosidade, perceba que aquelas relações de números que mais foram sorteados na Mega 
Sena que vendem por aí são purabobagem, só servem para ganharem dinheiro de pessoas que 
não sabem nada de probabilidade. 
Gabarito: errado. 
 2.6 – Probabilidade de Eventos Mutuamente Excludentes 
Dois eventos, A e B, são mutuamente excludentes (ou mutuamente exclusivos) se eles não podem 
ocorrer simultaneamente. Ou seja, se um evento ocorre, então o outro certamente não ocorreu! 
Por exemplo, para o evento João estar vivo ano que vem, o evento excludente é justamente João 
estar morto (coitado!). 
E podemos tirar as seguintes conclusões diante de dois eventos mutuamente excludentes, A e B: 
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Em termos gráficos, dois eventos (A e B) mutuamente excludentes são representados por dois 
círculos sem intersecção, chamados conjuntos disjuntos. Logo, A ∩ B = Ø. 
 
(ESAF/2012 – ATPS/MPOG) Se A e B são eventos mutuamente excludentes, então pode-se 
afirmar que: 
a) A e B são eventos independentes 
b) P(A ∩ B) = P(A) + P(B) 
c) P(B/A) ≠ 0 
d) P(A/B) ≠ 0 
e) P(A ∩ B) = 0 
Comentários: 
Acabamos de aprender que quando dois eventos, A e B, são mutuamente excludentes, a 
probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente é zero. Logo: P(A ∩ B) = 0. 
Gabarito: E. 
EV
EN
TO
S 
M
U
TU
A
M
EN
TE
 E
X
C
LU
D
EN
TE
S
P(A|B) = 0 Probabilidade de A ocorrer dado que B 
ocorreu é 0
P(B|A) = 0 Probabilidade de B ocorrer dado que A 
ocorreu é 0
P(A e B) = 0 Probabilidade de A e B ocorrerem 
simultaneamente é 0
P(A) + P(B) = 1
A soma das probabilidades de A e B 
será sempre igual a 100%
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(ESAF/2002 – AFPS/INSS) Considere um ensaio aleatório com espaço amostral {T,U,V,W}. 
Considere os eventos M={T}, N={U,V} e S={W}. 
Assinale a opção correta relativamente à probabilidade de M ∩ N ∩ S. 
a) Não se pode determinar a probabilidade da interseção sem maiores informações. 
b) É o produto das probabilidades de M, N e S, pois os eventos são estatisticamente 
independentes. 
c) A probabilidade é um, pois pelo menos um dos três eventos deve ocorrer. 
d) A probabilidade da interseção é 1/3 se os eventos elementares forem igualmente prováveis. 
e) A probabilidade da interseção é nula, pois os eventos são mutuamente exclusivos. 
Comentários: 
A questão fala de um experimento (ensaio) aleatório, cujo espaço amostral é: {T,U,V,W}. Daí, 
menciona três eventos: 
M={T} 
N={U,V} 
S={W} 
Ora, podemos perceber que: 
M ∩ N ∩ S = Ø 
O que isso significa, meu amigo? 
Vou arriscar, professor: os eventos M, N e S são mutuamente excludentes. 
Perfeito! Daí, nesse caso, já sabemos que a probabilidade de os eventos ocorrerem 
simultaneamente é zero. Logo: P(M ∩ N ∩	S) = 0. 
Gabarito: E. 
2.7 – Probabilidade da União de Dois Eventos 
Trabalharemos com esse tipo de probabilidade quando a questão trouxer uma pergunta referente 
a dois eventos ligados entre si pelo conectivo “ou” de forma explícita ou implícita. 
Já sabemos que o conectivo “ou” está relacionado à união entre conjuntos. Daí, a fórmula da 
Probabilidade da União de Eventos é: 
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) 
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Podemos denotar P(A ou B) também por 𝑃(𝐴		𝑈	𝐵). Em que U simboliza a união entre os eventos 
A e B. 
Também chamamos essa fórmula de Regra do OU. 
Perceba que, no cálculo da união de dois eventos, temos que retirar a parcela P(A e B) porque 
quando somamos todos os elementos de A com os de B, contamos duas vezes os elementos que 
estão na interseção de A e B, então temos que subtrair esses elementos uma vez. Daí nasceu a 
necessidade do termo “– P(A e B)” na fórmula citada. 
Note que a terceira parcela dessa fórmula [P(A e B)] trata da probabilidade de ocorrência 
simultânea dos eventos A e B. 
 
OU ⟶ ∪ ⟶ somar 
E ⟶ ∩ ⟶ multiplicar 
Quando estudante, eu, Alexandre, decorei as palavras “Enterseção” e “OUnião”, e assim nunca 
mais esquecei que o “e” lembra “i(e)nterseção” e o OU” lembra “u(ou)nião”. 
Se A e B forem mutuamente excludentes, a fórmula se reduz a: 
P(A ou B) = P(A) + P(B) 
Afinal, se A e B são excludentes, P(A ∩ B) = P(A e B) = 0. 
 
 
(ESAF/2008 – CGU) Quando Paulo vai ao futebol, a probabilidade de ele encontrar Ricardo é 0,4; 
a probabilidade de ele encontrar Fernando é igual a 0,10; a probabilidade de ele encontrar ambos, 
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Ricardo e Fernando, é igual a 0,05. Assim, a probabilidade de Paulo encontrar Ricardo ou 
Fernando é igual a: 
a) 0,04 
b) 0,40 
c) 0,50 
d) 0,45 
e) 0,95 
Comentários: 
Inicialmente, vamos definir os eventos mencionados na questão: 
A: ocorre quando, escolhendo-se ao acaso um dia em que Paulo vai ao futebol, ele encontra 
Ricardo. 
B: o evento equivalente, mas quando Paulo encontra Fernando. 
O nosso objetivo é definir a probabilidade de Paulo encontrar Ricardo ou Fernando. Ah! Sem 
dúvida, estamos diante da regra do OU. Daí, o enunciado forneceu as probabilidades da 
realização de cada evento: 
P(A) = 0,4 
P(B) = 0,1 
P(A ∩ B) = 0,05 
Bem, já sabemos que: 
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) 
Só nos resta saber o valor de P(A ou B). Aplicando a fórmula, temos: 
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) 
P(A ou B) = 0,4 + 0,1 – 0,05 = 0,45 
Gabarito: D. 
2.8 – Probabilidade do Evento Complementar 
Dizemos que dois eventos são complementares quando, simultaneamente, temos que: 
ü A união dos dois eventos resulta no espaço amostral; 
ü Os dois eventos são mutuamente excludentes (eles não têm elementos em comum; ou seja, a 
intersecção entre ambos é vazia). 
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Por exemplo, considere o resultado do lançamento de um dado. Seja ‘A’ o evento “ocorrer número 
par”. Seja ‘B’ o evento “ocorrer número ímpar”. Os eventos ‘A’ e ‘B’, unidos, englobam todas as 
possibilidades. Não tem como lançar um dado e sair um resultado que não seja um número par ou 
ímpar. Além disso, não há intersecção entre os dois eventos. Não tem nenhum resultado de um 
dado que seja, ao mesmo tempo, par e ímpar. 
Logo, podemos afirmar que os eventos A e B são complementares. 
Geralmente o evento complementar é indicado por uma barra em cima da letra. 
Agora vem o que interessa para a gente. Sejam A e Ā dois eventos complementares. Vamos 
calcular a probabilidade da união desses dois eventos. Usando a fórmula da probabilidade da 
união, temos: 
P(A ou Ā) = P(A) + P(Ā) – P(A e Ā) 
Acabamos de ver que a intersecção entre eventos complementares é vazia. Sua probabilidade é 
nula. Logo: 
P(A ou Ā) = P(A) + P(Ā) – 0 
P(A ou Ā) = P(A) + P(Ā) 
E nós vimos também que a união entre eventos complementares é justamente o espaço amostral. 
A probabilidade de ocorrer o espaço amostral é sempre igual a 1. Logo: 
1 = P(A) + P(Ā) 
E é esse resultado que buscávamos! Portanto, a probabilidade de eventos complementares é dada 
pela seguinte fórmula: 
1 = P(A) + P(Ā) 
Ou: 
P(Ā) = 1 – P(A) 
Em termos gráficos, dois eventos complementares podem ser representados do seguinte modo: 
 
 
A B 
S 
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O conjunto do evento A é representado pelo retângulo hachurado e a região fora dele corresponde 
ao conjunto do evento B. Veja que A ∩ B = Ø e A U B = S (espaço amostral). 
Veja outros exemplos de eventos complementares: 
ü P(réu inocente) + P(réu culpado) = 1; 
ü P(mínimo de três meninos) + P(máximo de dois meninos) = 1; 
ü P(nascerpelo menos uma menina) + P(nascer nenhuma menina) = 1. 
 
 
Quando calculamos a probabilidade do complementar de um evento E, estamos 
calculando a probabilidade de não ocorrer o evento E. 
 
 
Sempre que aparecer a expressão “pelo menos um”, é mais fácil calcularmos a 
probabilidade do evento complementar. Ou seja, vamos pensar justamente no 
evento que é o contrário ao solicitado no enunciado. 
Imagine uma questão solicitando a probabilidade de ocorrer pelo menos uma cara 
no lançamento de três moedas viciadas: 
P(pelo menos uma cara) = ? 
Bem, certamente será mais fácil calcularmos a probabilidade do evento 
complementar! E qual será o evento complementar nesse caso? 
Ora, será a ocorrência de nenhuma cara: P(nenhuma cara). E só haverá um resultado 
favorável: 
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{coroa, coroa, coroa} 
Após o cálculo dessa probabilidade, basta inserir o resultado na relação existente 
entre eventos complementares a fim de encontrarmos a probabilidade de ocorrer 
o evento desejado pela questão: 
P(pelo menos uma cara) = 1 – P(nenhuma cara) 
 
(ESAF/2004 – MPU/Téc) Quando Lígia para em um posto de gasolina, a probabilidade de ela 
pedir para verificar o nível de óleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão 
dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é 0,04. 
Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar 
o nível de óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é igual a 
a) 0,25 
b) 0,35 
c) 0,45 
d) 0,15 
e) 0,65. 
Comentários: 
Vamos calcular a probabilidade de Lígia verificar pelo menos um dos dois (óleo/pneu). Dizendo de 
outra forma: vamos calcular a probabilidade de Lígia verificar o óleo ou o pneu. 
Lígia vai ao posto de gasolina em diversos dias. Selecionando-se ao acaso um desses dias, ocorre 
o evento A quando, no dia escolhido, ela verifica o óleo. Ocorre o evento B quando, no dia 
sorteado, ela verifica o pneu. 
O enunciado forneceu os seguintes dados: 
P(A) = 0,28 
P(B) = 0,11 
P(A e B) = 0,04 
Substituindo na fórmula da regra do OU, temos: 
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) 
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P(A ou B) = 0,28 + 0,11 – 0,04 = 0,35 
Logo, a probabilidade de Lígia verificar pelo menos um dos dois (óleo ou pneu) é de 35%. 
Agora entra o evento complementar! Qual será? Lígia não verificar nenhum dos dois. Assim, 
concluímos que a probabilidade desse evento é: 
P(pelo menos um dos dois) = 1 – P(nenhuma dos dois) 
P(pelo menos um dos dois) = 1 – 0,35 = 0,65 
Gabarito: E. 
2.9 – Probabilidade Condicional 
Suponha que iremos lançar um dado e estamos analisando 2 eventos distintos: 
A: ocorrer um resultado par; 
B: ocorrer um resultado inferior a 4. 
Para o evento A ser atendido, os resultados favoráveis são 2, 4 e 6. Para o evento B ser atendido, 
os resultados favoráveis são 1, 2 e 3. Vamos calcular rapidamente a probabilidade de cada um 
desses eventos: 
𝑃(𝐴) =
3
6 = 50% 
𝑃(𝐵) =
3
6 = 50% 
Daí, pergunta-se: no lançamento de um dado, qual é a probabilidade de obter um resultado par, 
dado que foi obtido um resultado inferior a 4? 
Em outras palavras, essa pergunta equivale a: qual é a probabilidade de ocorrer o evento A, dado 
que o evento B ocorreu? Matematicamente, podemos escrever essa probabilidade condicional 
como P(A|B) (leia “probabilidade de A, dado B”). 
Já sabemos antecipadamente que B ocorreu, visto que foi obtido um resultado inferior a 4. 
Portanto, o resultado do lançamento do dado foi 1, 2 ou 3 (três resultados possíveis). Desses 
resultados, apenas um deles (o resultado 2) atende o evento A. 
Logo, a probabilidade de A ocorrer, dado que B ocorreu, é simplesmente: 
𝑃(𝐴|𝐵) =
1
3 = 33,3% 
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E se uma questão perguntasse qual é a probabilidade de obter um resultado inferior a 4, dado que 
o resultado do lançamento foi um número par? Ou seja, qual é a probabilidade de B ocorrer, dado 
que A ocorreu? 
Perceba que, se A ocorreu, o resultado foi 2, 4 ou 6. Desses, apenas o resultado 2 atende o evento 
B (é inferior a 4). Assim: 
𝑃(𝐵|𝐴) =
1
3 = 33,3% 
Coincidentemente, obtivemos o mesmo resultado para P(A|B) e P(B|A), mas não é sempre que isso 
ocorrerá. 
Daí, meus amigos, a probabilidade de um evento ocorrer, dado que outro ocorreu, é chamada de 
probabilidade condicional. 
Uma outra maneira de calcular essa probabilidade é por meio da seguinte fórmula: 
𝑷(𝑨|𝑩) = 𝑷(𝑨∩𝑩)
𝑷(𝑩)
 
Essa relação nos diz que a probabilidade de A ocorrer dado que B ocorreu, é a divisão entre a 
probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente e a probabilidade de B ocorrer. 
Voltando ao nosso exemplo, para que A e B ocorram simultaneamente (resultado par e inferior a 
4), a única possibilidade é o resultado igual a 2. Isto é, apenas 1 dos 6 resultados nos atende. 
Assim: 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
1
6 
Para que B ocorra (resultado inferior a 4), já vimos que 3 resultados atendem. Daí: 
𝑃(𝐵) =
3
6 
Portanto, usando a fórmula da probabilidade condicional, temos: 
𝑃(𝐴|𝐵) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵) =
1
6
3
6
=
1
3 = 𝟑𝟑, 𝟑%
 
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No caso de dois eventos (A e B) independentes, a probabilidade de o evento B ocorrer dado que 
A ocorreu, simbolizada por P(B|A), será sempre igual a P(B), pois B não depende de A (e vice-versa). 
Logo, Se A e B são eventos independentes, temos: 
𝑷(𝑨|𝑩) = 𝑷(𝑨) 
𝑷(𝑩|𝑨) = 𝑷(𝑩) 
 
(ESAF/2001 – SERPRO) Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Genésio ir para 
Genebra participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de Genésio ir de 
navio é de 40% e de ir de avião é de 60%. Se ele for de navio, a probabilidade de chegar ao 
congresso com dois dias de atraso é de 8,5%. Se ele for de avião a probabilidade de chegar ao 
congresso com dois dias de atraso é de 1%. Sabe-se que Genésio chegou com dois dias de atraso 
para participar do congresso em Genebra. A probabilidade de ele ter ido de avião é: 
a) 5% 
b) 8% 
c) 10% 
d) 15% 
e) 18% 
Comentários: 
Vamos analisar a primeira frase do enunciado: 
Há apenas dois modos de Genésio ir a Genebra participar de um congresso: ou de navio ou de 
avião. 
Além disso, esses dois modos de ele viajar são mutuamente excludentes! Ora, então são duas 
situações excludentes! 
Em seguida, percebemos que essa questão é bem propícia para que façamos uso da técnica da 
árvore de probabilidades, diante das situações excludentes que nos são apresentadas. 
Foram mencionadas quais são as probabilidades de o Genésio viajar de navio e de avião. Daí, já 
podemos iniciar o desenho da árvore de probabilidades! Teremos: 
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Perceba que, na hora que o enunciado falou que viajar de navio e viajar de avião são situações 
excludentes, e acrescentou que a probabilidade de o Genésio ir de navio é de 40%, não seria 
necessário ter informado que a probabilidade de ele ter ido de avião é de 60%. Já seria nossa 
obrigação saber disso, uma vez que a soma das probabilidades de situações excludentes é 
sempre 100%. Não é verdade? 
No entanto, surgem, na sequência da leitura, mais duas outras situações. Quer tenha o Genésio 
viajado de navio, quer tenha viajado de avião, ele poderá chegar com atraso ao congresso. 
E se pode chegar com atraso, nós já somos capazes de deduzir que, contrariamente, ele pode 
também chegar em tempo,ou seja, sem atraso. 
É evidente que, se Genésio chegar em tempo é porque não atrasou; e se atrasar, é porque não 
conseguiu chegar em tempo. Ou seja, essas duas situações – chegar atrasado e chegar em tempo 
– são situações excludentes! Também podemos dizer que esses eventos são complementares. 
Daí, o enunciado menciona as probabilidades de Genésio chegar atrasado nos dois casos (tendo 
ido de navio e tendo ido de avião), de modo que já teremos como completar a nossa árvore de 
probabilidades, da seguinte forma: 
 
Um novo conceito será necessário a partir desse momento. Estamos falando do caminho de 
probabilidades. 
Eita, professor. Hoje eu conheci a árvore de probabilidades; agora tem um “caminho” também? 
É isso mesmo! Trata-se de um caminho em que há mais de um evento, de forma que um sucede 
o outro. 
Olhando para o desenho apresentado, percebemos que temos quatro caminhos de probabilidade: 
1º) viajar de navio E chegar atrasado; 
2º) viajar de navio E chegar em tempo; 
Genésio
Navio (40%)
Avião (60%)
Genésio
Navio (40%)
Atrasado (8,5%)
Em tempo (91,5%)
Avião (60%)
Atrasado (1%)
Em tempo (99%)
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3º) viajar de avião E chegar atrasado; 
4º) viajar de avião E chegar em tempo. 
 
Você precisa ter em mente que, diante de um caminho de probabilidades, as probabilidades 
individuais não são interessantes para nós! Só nos vão interessar as probabilidades resultantes de 
cada caminho! 
E mais importante: para chegar a essas probabilidades resultantes, teremos que multiplicar as 
probabilidades individuais de cada caminho! Mas vamos prosseguir com a resolução de nossa 
questão. 
Perceba que o enunciado, após fornecer todos os elementos necessários e suficientes para que 
nós desenhássemos a árvore de probabilidades, trouxe mais uma informação. 
Essa informação adicional, que pode parecer inservível, será essencial para nossa resolução. O 
que temos que saber é que essa informação adicional não virá nos falando de uma probabilidade! 
Ela tratará de um FATO! 
Vou copiar a seguir o nosso enunciado, destacando a informação adicional que foi fornecida, OK? 
Aí segue o enunciado: 
“Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Genésio ir para Genebra participar de um 
congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de Genésio ir de navio é de 40% e de ir de 
avião é de 60%. Se ele for de navio, a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de 
atraso é de 8,5%. Se ele for de avião a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de 
atraso é de 1%. Sabe-se que Genésio chegou com dois dias de atraso para participar do congresso 
em Genebra. A probabilidade de ele ter ido de avião é:” 
E aí? Percebeu a frase suspeita? Uma frase que veio sozinha e que não falou “nadica” de 
probabilidade, mas só nos informou um fato dado? 
É lógico que percebi! Você facilitou, professor: está sublinhada! 
É isso mesmo!!! Aqui teremos novidades: quando a questão fornecer todos os elementos 
necessários para desenharmos a árvore de probabilidades e para construirmos os caminhos de 
probabilidades, mas não se contentar apenas com isso, de modo que nos revela ainda um FATO, 
estaremos diante de uma questão da nossa já conhecida probabilidade condicional. 
Retornemos novamente ao nosso enunciado, para ver se entendemos o que está sendo solicitado 
por esta questão. 
Na terceira e última parte do enunciado temos uma pergunta! Vejamos: 
“Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Genésio ir para Genebra participar de um 
congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de Genésio ir de navio é de 40% e de ir de 
avião é de 60%. Se ele for de navio, a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de 
atraso é de 8,5%. Se ele for de avião a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de 
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atraso é de 1%. Sabe-se que Genésio chegou com dois dias de atraso para participar do congresso 
em Genebra. A probabilidade de ele ter ido de avião é:” 
Sabendo que esta é a pergunta da questão, só nos falta verificar uma coisa: foi fornecido pelo 
enunciado aquela informação adicional? Aquele FATO DADO? Sim! 
E qual foi mesmo esse fato dado? Foi que Genésio chegou atrasado! 
Daí, o que a questão está mesmo querendo saber é o seguinte: 
“Qual é a probabilidade de Genésio ter ido de avião, dado que chegou atrasado?” 
Essa é a pergunta da probabilidade condicional. Por que condicional? Porque está submetida a 
uma condição. 
Qual condição, my teacher? 
A de que exista um FATO que nós estamos certos que ocorreu! 
Adequando a pergunta para o modelo da probabilidade condicional, temos: 
“Qual é a probabilidade de ocorrência de um evento ‘A’, dado que sabemos que ocorreu um 
evento ‘B’”? 
Perceba que o que virá após o dado será sempre o FATO fornecido pelo enunciado. Daí, para 
respondê-la, teremos que aplicar a fórmula: 
𝑷(𝑨|𝑩) = 	
𝑷(𝑨	 ∩ 	𝑩)
𝑷(𝑩) 
No caso da nossa questão, a fórmula será: 
P(avião dado atrasado) = P(avião E atrasado) / P(atrasado) 
Vejamos que o numerador dessa fórmula P(avião E atrasado) trata justamente do terceiro 
caminho de probabilidade: 
 
Multiplicando-se as probabilidades individuais desse caminho, teremos: 
(0,60) x (0,01) = 0,006 = 0,6% 
Na linguagem da probabilidade, diremos: 
P(avião E atrasado) = 0,006 
Por sua vez, o denominador da fórmula, P(atraso), corresponde a dois caminhos (1º e 3º), os quais 
nos conduzem ao resultado “chegar atrasado”. E são justamente os seguintes: 
Genésio Avião (60%) Atrasado (1%)
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Ora, como são dois os caminhos que nos conduzem ao resultado procurado, teremos que somar 
essas duas probabilidades resultantes de ambos. 
Já sabemos que a probabilidade do 3º caminho é P(avião E atrasado)=0,006. 
Daí, só resta calcular a probabilidade do 1º caminho. Daí, multiplicando-se as probabilidades 
individuais desse caminho, teremos: 
(0,40) x (0,085) = 0,034 = 3,4% 
Na linguagem da probabilidade, diremos: P(navio E atrasado)=0,034. Teremos, pois, que: 
3,4% + 0,6% = 0,04 = 4% 
Na linguagem da probabilidade, diremos: P(atrasado)=0,04. 
Pronto! Dispondo de todos os elementos da fórmula da probabilidade condicional, chegaremos 
ao seguinte: 
P(avião dado atraso) = P(avião E atraso) / P(atraso) 
P(avião dado atraso) = 0,006 / 0,04 = 0,15 = 15% 
Gabarito: D. 
Vamos considerar essa última questão para uma observação importante. Vimos que a 
probabilidade de Genésio chegar atrasado considerando que ele utilizou navio é de 8,5%, logo a 
probabilidade de Genésio não chegar atrasado (ou seja, chegar em tempo) considerando que ele 
utilizou navio é de 91,5%. 
Essas probabilidades podem ser representadas como probabilidades condicionais: 
P(atrasado|navio) = 8,5% 
P(não atrasado|navio) = 91,5% 
Sabemos que chegar atrasado e não chegar atrasado são eventos complementares (ou seja, 
situações excludentes), os quais seguem a relação 𝑃(�̅�) = 1 − 𝑃(𝐴), como vimos no tópico 
passado. Podemos observar pelas probabilidades descritas acima que essa relação de eventos 
complementares vale mesmo para probabilidades condicionais, ou seja: 
P(não atrasado|navio) = 1 – P(atrasado|navio) 
Mais genericamente, temos, para um evento 𝐴, seu complementar �̅� e um evento 𝐵 quaisquer: 
Genésio
Navio (40%) Atrasado (8,5%)
Avião (60%) Atrasado (1%)
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𝑃(�̅�|𝐵) = 1 − 𝑃(𝐴|𝐵) 
2.10 – Teorema de Bayes 
O Teorema de Bayes nos diz que: 
𝑷(𝑨𝒌|𝑨) = 	
𝑷(𝑨𝒌).(𝑷(𝑨|𝑨𝒌)
∑ 𝑷(𝑨𝒌).𝑷(𝑨|𝑨𝒌)𝒏𝒌#𝟏
 
Vixi, professor! Isso épara comer ou passar no cabelo??? Explica melhor, por favor! 
Calma, colega. Tudo ficará mais claro por meio de algumas questões que resolveremos. Garanto 
que você ainda terá o “Bayes” como um parceiro! (rs) 
 
(ESAF/2014 – MF/ATA) Considere que há três formas de Ana ir para o trabalho: de carro, de 
ônibus e de bicicleta. Em 20% das vezes ela vai de carro, em 30% das vezes de ônibus e em 50% 
da vezes de bicicleta. Do total das idas de carro, Ana chega atrasada em 15% delas, das idas de 
ônibus, chega atrasada em 10% delas e, quando vai de bicicleta, chega atrasada em 8% delas. 
Sabendo-se que um determinado dia Ana chegou atrasada ao trabalho, a probabilidade de ter ido 
de carro é igual a: 
a) 20% 
b) 40% 
c) 60% 
d) 50% 
e) 30% 
Comentários: 
Se você, ao ler o enunciado dessa questão, pensou em fazer a Árvore de Probabilidades, então 
parabéns, essa é a ideia correta! 
Sejam os eventos: 
A: Ana chega atrasada ao trabalho; 
Ā: Ana chega ao trabalho em tempo (é o evento complementar de A); 
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31 
 
A1: Ana vai ao trabalho de carro; 
A2: Ana vai ao trabalho de ônibus; 
A3: Ana vai ao trabalho de bicicleta. 
São fornecidos os seguintes dados: 
P(A1) = 0,2 
P(A2) = 0,3 
P(A3) = 0,5 
P(A|A1) = 0,15 
P(A|A2) = 0,1 
P(A|A3) = 0,08 
Pronto! Já temos condições de desenhar a nossa árvore de probabilidades: 
 
O nosso objetivo consiste em obter a probabilidade de Ana ter ido ao trabalho de carro, dado 
que chegou atrasada (P(A1|A). 
Perceba que agora temos um caso diferente. Até então, utilizávamos a técnica do caminho de 
probabilidades a fim de encontrar a chance da realização de um evento na segunda parte do 
“galho” dada a certeza de ocorrência de um evento na primeira parte do “galho”. No entanto, 
agora queremos justamente o contrário. 
Ou seja: Queremos calcular a probabilidade de um evento da primeira parte do “galho” dada 
a certeza de ocorrência de um evento da segunda parte do “galho” (Teorema de Bayes). 
Aplicando, então, a fórmula do Teorema de Bayes, teremos: 
𝑃(𝐴@|𝐴) = 	
𝑃(𝐴@). (𝑃(𝐴|𝐴@)
𝑃(𝐴@). (𝑃(𝐴|𝐴@) + 𝑃(𝐴A). (𝑃(𝐴|𝐴A) + 𝑃(𝐴B). (𝑃(𝐴|𝐴B)
 
Ana
A1: Carro (20%)
A: Atrasada (15%)
Ā: Em tempo (85%)
A2: Ônibus (30%)
A: Atrasada (10%)
Ā: Em tempo (90%)
A3: Bicicleta (50%)
A: Atrasada (8%)
Ā: Em tempo (92%)
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32 
 
𝑃(𝐴@|𝐴) = 	
0,20 × 0,15
0,20 × 0,15 + 0,30 × 0,10 + 0,50 × 0,08 
𝑃(𝐴@|𝐴) = 	0,30 = 30% 
Gabarito: E. 
(ESAF/2012 – MIN/Estatístico) O diagnóstico para uma grave doença que atinge 20% da 
população adulta em determinada região é feito por um invasivo exame que produz resultado 
positivo ou negativo. Pesquisas mostraram que esse exame produz um resultado falso positivo em 
10% dos casos e produz um resultado falso negativo em 40% dos casos. Se uma pessoa adulta 
desta região fizer o exame e o resultado for negativo, indique qual a probabilidade de essa pessoa 
ter a doença. 
a) 20% 
b) 15% 
c) 10% 
d) 5% 
e) 0% 
Comentários: 
Vamos desenhar a nossa árvore de probabilidades: 
 
 
O nosso objetivo consiste em obter a probabilidade de uma pessoa adulta desta região fazer o 
exame, o resultado ser negativo e ter a doença (P(A1|A)). 
Note que pedimos uma probabilidade de um evento da primeira parte do “galho”, dada a 
probabilidade de um evento da segunda parte do galho. Aplicando, então, a fórmula do Teorema 
de Bayes, teremos: 
𝑃(𝐴@|𝐴) = 	
𝑃(𝐴@). (𝑃(𝐴|𝐴@)
𝑃(𝐴@). (𝑃(𝐴|𝐴@) + 𝑃(𝐴A). (𝑃(𝐴|𝐴A)
 
Pessoa
A1: Doente (20%)
A: Negativo (40%)
Ā: Positivo (60%)
A2: Saudável (80%)
A: Negativo (90%)
Ā: Positivo (10%)
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33 
 
𝑃(𝐴@|𝐴) = 	
0,20 × 0,40
0,20 × 0,40 + 0,80 × 0,90 
𝑃(𝐴@|𝐴) = 	0,10 = 10% 
Gabarito: C. 
2.11 – Teorema da Probabilidade Total 
O Teorema da Probabilidade Total nos diz que: 
𝑷(𝑨) = 	∑ 𝑷(𝑨𝒌). 𝑷(𝑨|𝑨𝒌)𝒏𝒌C𝟏 
Você verá que as questões envolvendo o Teorema da Probabilidade Total são bem parecidos com 
os que tratam do Teorema de Bayes. O que vai mudar é o pedido feito no enunciado. 
De fato, acabamos de estudar que usamos o Teorema de Bayes quando queremos calcular uma 
probabilidade de um evento da primeira parte do “galho” dada a certeza de ocorrência de um 
evento da segunda parte do “galho”. 
Por sua vez, por meio do Teorema da Probabilidade Total, seremos capazes de calcular a 
probabilidade do evento da segunda parte do “galho”, ou seja, calcular P(A) a partir de P(A|A1), 
P(A|A2), ... 
Teorema da Probabilidade Total 
Queremos calcular a probabilidade de um evento da segunda parte do “galho” 
dada a certeza de ocorrência de um evento da primeira parte do “galho”. 
 
Para não restar nenhuma dúvida, a dica é: 
 
 
Qual teorema usar?
Bayes
A questão pede P(A1|A)
Probabilidade Total
A questão pede P(A)
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34 
 
 
(ESAF/2000 – AFC/STN) Uma companhia preocupada com sua produtividade costuma oferecer 
cursos de treinamento a seus operários. A partir da experiência, verificou-se que um operário, 
recentemente admitido, que tenha frequentado o curso de treinamento tem 82% de 
probabilidade de cumprir sua quota de produção. Por outro lado, um operário, também 
recentemente admitido, que não tenha frequentado o mesmo curso de treinamento, tem apenas 
35% de probabilidade de cumprir com sua quota de produção. Dos operários recentemente 
admitidos, 80% frequentaram o curso de treinamento. Selecionando-se, aleatoriamente, um 
operário recentemente admitido na companhia, a probabilidade de que ele não cumpra sua quota 
de produção é 
a) 11,70% 
b) 27,40% 
c) 35% 
d) 83% 
e) 85% 
Comentários: 
Sejam os eventos: 
A: Cumpre a quota de produção; 
Ā: não cumpre a quota de produção (é o evento complementar de A); 
A1: Ocorre quando o funcionário escolhido aleatoriamente participou do treinamento; 
A2: Ocorre quando o funcionário escolhido aleatoriamente não participou do treinamento. 
São fornecidos os seguintes dados: 
P(A1) = 80% 
P(A|A1) = 82% 
P(Ā|A1) = 18% 
P(A2) = 20% 
P(A|A2) = 35% 
P(Ā|A2) = 65% 
Pronto! Já temos condições de desenhar a nossa árvore de probabilidades: 
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35 
 
 
O nosso objetivo consiste em obter a probabilidade de que um funcionário escolhido 
aleatoriamente não cumpra sua quota de produção (P(Ā)). 
Note que o solicitado pela questão é uma probabilidade de um evento da segunda parte do 
“galho”. Aplicando, então, a fórmula do Teorema da Probabilidade Total, teremos: 
𝑃(�̅�) = 𝑃(�̅�|𝐴@). 𝑃(𝐴@) + 𝑃(�̅�|𝐴A). 𝑃(𝐴A) 
𝑃(�̅�) = 0,18 × 0,80 + 0,65 × 0,20 
𝑃(�̅�) = 0,274 = 27,4% 
Gabarito: B. 
3 – PROBABILIDADE COM ANÁLISE COMBINATÓRIA 
Esse é o segundo tipo de questões de Probabilidade. Na realidade, a maior parte do trabalho 
envolvido na resolução desse tipo de problema consiste em aplicar o conhecimento de análise 
combinatória. Daí, bastará fazer o cálculo da probabilidade (resultados favoráveis ÷ resultados 
possíveis). 
Bem, aqui a teoria será mínima. Passemos, então, aos comentários das questões. Antes, porém, 
queremos passar algumas dicas fundamentais: 
 
DICA 1: Cálculo de probabilidades com e sem reposição 
Um tipo de problema muito comum em questões de concursos segue o seguinte 
modelo: 
Operários
A1: Treinamento (80%)
A: Quota (82%)
Ā: Não quota (18%)
A2: Não treinamento (20%)
A: Quota (35%)
Ā: Não quota (65%)
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36 
 
Uma urna possui 2 bolas brancas, 3 bolas pretas e 2 bolas azuis. Você retira uma 
bola, vê a sua cor, coloca-a de volta na urna e retira outra bola. Qual é a 
probabilidade de que duas bolas retiradas sejam brancas? 
Note que, após retirar a primeira bola, você a colocou de volta no saco. Logo, houve 
uma reposição, de forma que deveremos efetuar o cálculo da probabilidade com 
reposição. 
A probabilidade de ter retirado uma bola branca do saco é de 2 em 7, isto é, 2/7. 
Como você devolveu esta bola ao saco, a probabilidade de retirar outra bola branca 
é novamente de 2/7. 
Temos dois eventos independentes, portanto a probabilidade combinada será a 
multiplicação dessas duas: 
2/7 x 2/7 = 4/49 
E se o exercício dissesse que você não coloca, de volta na urna, a bola que retirou? 
Estaríamos diante de um cálculo de probabilidades sem reposição. 
Nesse caso, a probabilidade de retirar uma bola branca inicialmente continua igual: 
2/7. 
Já no momento de retirar a segunda bola, teremos apenas 6 bolas dentro da urna, 
sendo que destas apenas 1 é branca. 
Portanto, a probabilidade de retirá-la não é mais de 2/7, e sim 1/6. Assim, a 
probabilidade de retirar duas bolas brancas da urna será: 
2/7 x 1/6 = 2/42 = 1/21 
Outra forma de efetuar esse último cálculo é observando que o número de 
conjuntos de duas bolas que podemos formar com 7 bolas é igual à combinação de 
7, tomadas 2 a 2: 
C(7,2) = 21 
E o número de conjuntos de 2 bolas que podemos formar apenas com as 2 bolas 
brancas é igual a C(2,2) = 1. Portanto, a probabilidade de tirar exatamente duas 
bolas brancas, sem reposição, é P = 1/21. 
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37 
 
DICA 2: 
Se os elementos forem retirados simultaneamente, a ordem entre eles não é 
importante; se os elementos forem retirados um após o outro, a ordem é 
importante. 
 
 
(ESAF/2010 – SUSEP/Ana-Téc) Considere um grupo de 15 pessoas dos quais 5 são estrangeiros. 
Ao se escolher ao acaso 3 pessoas do grupo, sem reposição, qual a probabilidade de exatamente 
uma das três pessoas escolhidas ser um estrangeiro? 
a) 45/91. 
b) 1/3. 
c) 4/9. 
d) 2/9. 
e) 42/81. 
Comentários: 
1º PASSO: Resultados possíveis. 
Queremos escolher 3 pessoas dentre 15 possíveis. É um caso de combinação de 15, tomados 3 a 
3: 
𝐶@E,B =
15	. 14	. 13
3	. 2	. 1 = 5	. 7	. 13 
 
2º PASSO: Resultados favoráveis. 
Primeiro vamos escolher o estrangeiro. Temos que escolher 1 estrangeiro entre 5 possíveis. O 
número de maneiras de fazer isso é: 𝐶E,@ = 5 
Em seguida, escolhemos os dois nacionais. Temos que escolher 2 entre os 10 existentes. O número 
de maneiras de fazer isso é: 
 
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38 
 
Aplicando o PFC, temos: 
5 × 45 
3º PASSO: Cálculo da Probabilidade. 
A probabilidade é igual à divisão entre o número de casos favoráveis pelos possíveis: 
 
Gabarito: A. 
(CESPE/2014 – TBN/CEF) Para utilizar o autoatendimento de certo banco, o cliente deve utilizar 
uma senha silábica composta por três sílabas distintas. Para que possa acessar a sua conta em um 
caixa eletrônico, o cliente deve informar a sua senha silábica da seguinte maneira: 
• primeiramente, é apresentada uma tela com 6 conjuntos de 4 sílabas distintas cada um, dos quais 
apenas um contém a primeira sílaba da senha do cliente, que deve, então, selecionar esse 
conjunto; 
• em seguida, é apresentada uma segunda tela com 6 novos conjuntos de 4 sílabas distintas cada 
um, dos quais apenas um contém a segunda sílaba da senha do cliente, que deve, então, selecionar 
esse conjunto; 
• finalmente, é apresentada uma terceira tela com 6 novos conjuntos de 4 sílabas distintas cada 
um, dos quais apenas um contém a terceira sílaba da senha do cliente, que deve, então, selecionar 
esse conjunto. 
A informação da senha silábica só será considerada correta se cada uma das 3 sílabas que 
compõem essa senha for informada na ordem solicitada: a primeira sílaba deverá estar no conjunto 
selecionado na primeira tela; a segunda sílaba, no conjunto selecionado na segunda tela; e a 
terceira sílaba, no conjunto selecionado na terceira tela. 
Com base nessas informações, julgue o próximo item. 
Se um indivíduo conseguir visualizar e anotar os 3 conjuntos de 4 sílabas selecionados 
corretamente por um cliente em um terminal de autoatendimento e, em seguida, listar todas as 
possibilidades para a senha silábica desse cliente, para, então, escolher uma dessas possíveis 
senhas, a probabilidade de que essa escolha coincida com a senha do correntista será inferior a 
0,01. 
Comentários: 
Fica mais fácil imaginarmos uma situação concreta. Por exemplo, suponha que os três conjuntos 
sejam: 
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39 
 
Ba, La, Ca, Da 
Be, Le, Ce, De 
Bi, Li, Ci, Di 
Daí, o indivíduo que deseja descobrir a senha do correntista listará todas as possibilidades. Logo: 
Primeira sílaba: 4 possibilidades (Ba, La, Ca, Da); 
Segunda sílaba: 4 possibilidades (Be, Le, Ce, De); 
Terceira sílaba: 4 possibilidades (Bi, Li, Ci, Di). 
Aplicando o PFC, temos: 
4 x 4 x 4 = 64 
São 64 possibilidades de senhas, sendo que apenas uma dessas é a correta. Logo, a chance de 
escolher a senha correta é de: 
1
64 
Ora, essa fração é maior que 1/100. 
Gabarito: Errado. 
(CESPE/2014 – TBN/CEF) Se um cliente esquecer completamente a sua senha silábica, a 
probabilidade de ele acertá-la em uma única tentativa, escolhendo aleatoriamente um conjunto 
de sílabas em cada uma das três telas que forem apresentadas pelo terminal de autoatendimento, 
será inferior a 0,005. 
Comentários: 
O enunciado afirma que em cada tela são apresentadas ao correntista 6 possibilidades. Aplicando 
o PFC, temos: 
6 x 6 x 6 = 216 
Infelizmente, o esquecido cliente só tem uma única chance para acertar a sequência. Logo, é 1 
resultado favorável em 216 possíveis. Calculando a probabilidade, temos: 
𝑃 = 	
1
216 = 0,0046 
Veja que esse valor, de fato, é inferior a 0,005. 
Gabarito: Certo. 
(CESPE/2014 – PF/Agente) Um batalhão é composto por 20 policiais: 12 do sexo masculino e 8 
do sexo feminino. A região atendida pelo batalhão é composta por 10 quadras e, em cada dia da 
semana, uma dupla de policiais polícia cada uma das quadras. 
Com referência a essa situação, julgue o item subsequente. 
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40 
 
Caso as duplas de policiais sejam formadas aleatoriamente, então a probabilidade de que em 
determinado dia os policiais que policiarão determinada quadra sejam do mesmo sexo será 
superior a 0,5. 
Comentários: 
O total de duplas de policiais que podemos formar é dado pela seguinte combinação, sabendo 
que a dupla Bruno e Sophia é a mesma que Sophia e Bruno: 
𝐶AG,A =
20	 × 	19
2 = 190 
Já o total de duplas com dois homens que podem ser formadas é dado pela combinação: 
𝐶@A,A =
12	 × 	11
2 = 66 
Por fim, o total de duplas com duas mulheres que podem ser formadas é dado pela combinação: 
𝐶H,A =
8	 × 	7
2 = 28 
Logo, o total de casos favoráveis é 66 + 28 = 94. Calculando a probabilidade, temos 
𝑃 = 	
94
190 = 0,494 
Veja que esse valor é inferior a 0,5. 
Gabarito: Errado 
 
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QUESTÕES COMENTADAS 
1. (CESPE/2011 – TRE-ES/AJ) A relação P(A ∩ B) = P(A|B) x P(B) é válida somente se A e B forem 
eventos independentes. 
Comentários: 
A relação que é válida somente para eventos independentesé: 
P (A ∩ B) = P(A) x P(B) 
Já a relação trazida pelo enunciado é sempre válida, independentemente se os eventos são 
independentes ou não. 
Gabarito: Errado. 
 
2. (CESPE/2010 – MPU/Ana) Considerando um espaço amostral W gerado por um 
experimento aleatório x e os eventos aleatórios A1, A2,... contidos em W, julgue o item 
que se segue acerca da definição axiomática de probabilidade e seus resultados 
básicos. 
Se os eventos A1, A2,..., An forem dois a dois disjuntos, se ⋃ 𝐴I = 𝛺JIC@ e se B for um evento 
do espaço amostral W, então 
𝑃(𝐵) =V𝑃(𝐵|𝐴I). 𝑃(𝐴I)
J
IC@
 
Comentários: 
Perceba que o item reproduz exatamente a fórmula do Teorema da Probabilidade Total. Ou seja: 
𝑷(𝑨) = 	V 𝑷(𝑨|𝑨𝒌)	. 𝑷(𝑨𝒌)
𝒏
𝒌C𝟏
 
Gabarito: Certo. 
3. (CESPE/2018 – ABIN/Ofic Intel) Como forma de melhorar a convivência, as famílias Turing, 
Russell e Gödel disputaram, no parque da cidade, em um domingo à tarde, partidas de futebol 
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e de vôlei. O quadro a seguir mostra os quantitativos de membros de cada família presentes 
no parque, distribuídos por gênero. 
Família Masculino Feminino 
Turing 5 7 
Russell 6 5 
Gödel 5 9 
A partir dessa tabela, julgue o item subsequente. 
Considere que, em eventual sorteio de brindes, um nome tenha sido retirado, ao acaso, do interior 
de uma urna que continha os nomes de todos os familiares presentes no evento. Nessa situação, 
sabendo-se que o sorteado não é uma mulher da família Gödel, a probabilidade de ser uma mulher 
da família Russell será superior a 20%. 
Comentários: 
Temos 37 pessoas no total. Como o sorteado não é uma mulher da família Gödel, sobram 37 – 9 
= 28 casos possíveis para o sorteado. 
Por sua vez, as mulheres da família Russell são 5, de modo que a probabilidade de a pessoa 
sorteada ser uma delas é de: 
P = 5/28 = 0,178 = 17,8% 
Assim, o item está errado ao afirmar que a probabilidade seria superior a 20%. 
Gabarito: Errado. 
 
4. (CESPE/2018 – PF/Agente) Em um aeroporto, 30 passageiros que desembarcaram de 
determinado voo e que estiveram nos países A, B ou C, nos quais ocorre uma epidemia 
infecciosa, foram selecionados para ser examinados. Constatou-se que exatamente 25 dos 
passageiros selecionados estiveram em A ou em B, nenhum desses 25 passageiros esteve em 
C e 6 desses 25 passageiros estiveram em A e em B. 
Com referência a essa situação hipotética, julgue o item que se segue. 
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Se 2 dos 30 passageiros, selecionados forem escolhidos ao acaso, então a probabilidade de esses 
2 passageiros terem estado em 2 desses países é inferior a 1/30. 
Comentários: 
A quantidade de maneiras para selecionar 2 passageiros dentre os 30 é dada por: 
𝐶(30,2) =
30!
2! × (30 − 2)! =
30 × 29
2 = 435 
O enunciado informa que há 6 passageiros que estiveram em 2 desses países. Assim, a quantidade 
de maneiras possíveis para escolher 2 passageiros que já estiveram em 2 países é dada por: 
𝐶(6,2) =
6!
2! × (6 − 2)! =
6 × 5
2 = 15 
Dessa forma, a probabilidade exigida pela questão é dada por: 
𝑃 =
15
435 =
1
29 
Repare que o número encontrado é superior a 1/30 (seu denominador é menor). 
Gabarito: Errado. 
 
5. (CESPE/2004 – TEFC/TCU) Um baralho comum contém 52 cartas de 4 tipos (naipes) 
diferentes: paus, espadas, copas e ouros. Em cada naipe, que consiste de 13 cartas, 3 
dessas cartas contêm as figuras do rei, da dama e do valete, respectivamente. Com 
base nessas informações, julgue o item subsequente. 
A probabilidade de se extrair uma carta e ela conter uma figura ou ser uma carta de paus 
é igual a 11/26. 
Comentários: 
Essa questão é uma verdadeira aula de baralho, não é mesmo? (rs) 
Sejam os seguintes eventos: 
A: Ocorre quando, selecionando-se aleatoriamente uma carta, ela é uma figura. 
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44 
 
B: Ocorre quando, selecionando-se aleatoriamente uma carta, ela é de paus. 
No baralho, temos 12 figuras, com 3 de cada naipe. Logo, são 12 resultados favoráveis em 52 
possíveis. Daí a probabilidade será: 
𝑃(𝐴) = 	
12
52 
De forma similar, no baralho, temos 13 cartas de paus, resultando em 13 casos favoráveis em 52 
possíveis. Daí a probabilidade será: 
𝑃(𝐴) = 	
13
52 
E três cartas são, ao mesmo tempo, figuras e de paus. Daí a probabilidade da interseção será: 
𝑃(𝐴	 ∩ 𝐵) = 	
3
52 
Nosso objetivo consiste em obter probabilidade de se extrair uma carta e ela conter uma figura 
OU ser uma carta de paus. Assim, utilizaremos a fórmula da probabilidade da união: 
𝑃(𝐴	 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴	 ∩ 𝐵) 
𝑃(𝐴	 ∪ 𝐵) =
12
52 +
13
52 −
3
52 =
22
52 =
11
26 
Gabarito: Certo. 
 
6. (CESPE/2010 – MPU/Ana) A probabilidade de haver atraso na entrega de um pedido 
de uma diligência investigatória é igual a 0,20. Se esse atraso se concretizar, a 
probabilidade de ocorrer atraso no início dessa diligência é igual a 0,25. Mas, caso não 
haja atraso nessa entrega, a probabilidade de ocorrer atraso no início dessa diligência 
passa a ser igual a 0,15. 
Com base nessas informações, a partir dos eventos A = atraso na entrega de um 
pedido de uma diligência investigatória e B = atraso no início da diligência. Julgue o 
próximo item. 
A probabilidade de ocorrer o evento A ∩ B é inferior a 10%. 
Comentários: 
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Sejam os seguintes eventos: 
A: Ocorrer atraso na entrega de um pedido de uma diligência investigatória; 
B: Ocorrer atraso no início da diligência. 
Daí, o enunciado fornece os seguintes dados: 
P(A) = 0,2 
P(B|A) = 0,25 
P(B|Ā) = 0,15 
O nosso objetivo consiste em obter a probabilidade de ocorrer o evento A ∩ B. 
Aplicando a fórmula da probabilidade condicional, teremos: 
𝑃(𝐵|𝐴) = 	
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴) 
0,25 = 	
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
0,2 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0,25	𝑥	0,2 = 𝟎, 𝟎𝟓 = 𝟓% 
A probabilidade desejada é de 5%, que é inferior a 10%. 
Gabarito: Certo. 
7. (CESPE/2014 – CADE/NS) Em uma escola, uma pesquisa entre seus alunos, acerca 
de práticas esportivas de futebol, voleibol e natação revelou que cada um dos 
entrevistados pratica pelos menos um desses esportes. As quantidades de alunos 
entrevistados que praticam esses esportes estão demonstrados na tabela abaixo. 
 
Com base nas informações e na tabela acima, julgue o próximo item. 
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Escolhendo-se um aluno ao acaso, entre os entrevistados, a probabilidade de ele praticar 
natação é inferior a 10%. 
Comentários: 
Vamos desenhar um diagrama a fim de representar as quantidades exatas de alunos em cada tipo 
de prática esportiva: 
 Futebol Voleibol 
 505 – (104+9+20) = 372 104 250 – (104+9+8) = 129 
 9 
 20 8 
 80 – (20+8+9) = 43 
 Natação 
Daí, é possível observar que o total de alunos entrevistados foi de: 
43 + 8 + 129 + 104 + 9 + 20 + 372 = 685 
Nosso objetivo consiste em obter a probabilidade de, escolhendo-se um aluno ao acaso, entre os 
entrevistados, ele praticar natação. 
A quantidade de alunos que praticam natação é: 
43 + 8 + 9 + 20 = 80 
Logo, temos 80 resultados favoráveis em 685 possíveis. Calculando a probabilidade, temos: 
𝑃 = 	
𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠	𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠
𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠	𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 =
80
685 ≅ 𝟎, 𝟏𝟏𝟕 = 𝟏𝟏, 𝟕%
 
Veja que o valor acima é superior a 10%. 
Gabarito: Errado. 
 
8. (CESPE/2014 – CADE/Ana-TA) 
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A figura acima ilustra parte de um jogo de tabuleiro com 100 casas, numeradas de 1 a 100, 
em que a centésima é denominada casa de chegada. O movimento das peças é 
determinado pelo jogo de um dado de seis faces numeradas de 1 a 6. Os jogadores vão 
se alternando no lançamento do dado e movimentando suas peças até que cheguem à 
casa de número 100. Para movimentar a sua peça, o jogador deverá lançar o dado e 
respeitar as seguintes regras: 
- se o número obtido no lançamento do dado for superior a 3, o jogador deverá andar 
uma quantidade de casas igual a esse número; 
- se o número obtido no lançamento do dado for inferior a 4, o jogador deverá andar uma 
quantidade de casas igual ao dobro desse número. 
Tendo como referência essas informações, julgue o item seguinte, considerando que o 
dado utilizado seja equilibrado, isto é, a probabilidade de sair determinada face é a mesma 
para todas as faces. 
Com um lançamento do dado, a probabilidade de que o resultado obtido permita que o 
jogador avance quatro casas com a sua peça é superior a 0,3. 
Comentários: 
Nosso objetivo consiste em obter a probabilidade de que o resultado obtido permita que o 
jogador avance quatro casas com a sua peça. 
Ora, do exposto pelo enunciado, sabemos que existem duas formas de o jogador avançar quatro 
casas: 
§ 1ª forma: Resultado 2. 
Tal situação se enquadra na segunda regra, em que dobramos o valor. Logo, ele andará 2 x 2 = 4 
casas. 
§ 2ª forma: Resultado 4. 
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Aqui o enquadramento é na primeira regra, em que se anda justamente o valor obtido no dado, 
ou seja, quatro casas. 
Assim, temos 2 casos favoráveis em 6 possíveis. Calculando a probabilidade, temos: 
𝑃 =
2
6 =
1
3 = 0,333… 
Veja que esse valor é superior a 0,3. 
Gabarito: Certo. 
 
9. (CESPE/2014 – SUFRAMA/Adm) Uma pesquisa na qual os 40 alunos de uma disciplina 
deveriam responder SIM ou NÃO às perguntas P1 e P2 apresentadas a eles, mostrou o 
seguinte resultado: 
• 28 responderam SIM à pergunta P1; 
• 22 responderam SIM à pergunta P2; 
• 5 responderam NÃO às 2 perguntas. 
Com base nessas informações, julgue o item subsecutivo. 
Selecionando-se ao acaso um desses alunos, a probabilidade de ele ter respondido SIM a 
pelo menos uma das perguntas será superior a 0,9. 
Comentários: 
Nosso objetivo consiste em obter a probabilidade de, selecionando-se ao acaso um dos alunos, 
ele ter respondido SIM a pelo menos uma das perguntas. 
Ora, do exposto pelo enunciado, sabemos que 5 alunos responderam NÃO às duas perguntas. 
Logo, o restante respondeu SIM a pelo menos uma das perguntas: 
40 – 5 = 35 
Assim, temos 35 resultados favoráveis em 40 possíveis. Daí, A probabilidade será: 
P = 35 / 40 = 0,875 = 87,5% 
Veja que esse valor é inferior a 0,9. 
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Gabarito: Errado. 
 
10. (CESPE/2012 – PRF/AA) Considere os eventos A, B, C e D, definidos abaixo, relativos 
ao número de veículos por família em determinada cidade. 
A = uma família possui 1 ou mais veículos; 
B = uma família possui 2 ou mais veículos; 
C = uma família possui 3 ou mais veículos; 
D = uma família possui 4 ou mais veículos. 
Considere, ainda, que as probabilidades de ocorrência desses eventos são: P(A) = 0,9; P(B) 
= 0,6; P(C) = 0,3 e P(D) = 0. Com base nessas informações, julgue o item que se segue. 
Os eventos A e D são independentes. 
Comentários: 
Sabemos que: 
Dois eventos, A e B, são independentes se, e somente se, ocorrer a igualdade 
P (A e B) = P(A) x P(B) 
 
Na interseção, temos os elementos que pertencem aos dois conjuntos ao mesmo tempo, 
satisfazendo a: 
§ Conjunto A: têm 1 ou mais veículos; 
§ Conjunto D: têm 4 ou mais veículos. 
É possível perceber que todas as famílias que pertencem a D também pertencem a A. Logo, o 
conjunto D está contido em A. Qual é o resultado disso? 
A ∩ D = D 
Daí, teremos que: 
P(A ∩ D) = P(D) = 0 
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Ótimo! A probabilidade do produto será: 
P(A) x P(D) = 0,9 x 0 = 0 
Ocorreu a igualdade que esperávamos. Logo, os eventos A e D são independentes. 
Gabarito: Certo. 
 
11. (CESPE/2008 – INSS/Ana) 
 
Um projeto do governo tinha como objetivo atrair para o sistema previdenciário uma 
parcela de trabalhadores que não eram contribuintes do INSS. Na ocasião em que tal 
projeto havia sido proposto, pelos cálculos do governo, existiam no país 19 milhões de 
trabalhadores com mais de 16 anos e renda mensal de um ou mais salários mínimos que 
não contribuíam para a previdência. Esses trabalhadores foram classificados de acordo 
com três perfis A, B e C, e a distribuição do número de trabalhadores em cada perfil está 
no quadro acima. A expectativa do governo era a seguinte: entre as pessoas com o 
perfil A, a probabilidade de entrada para o sistema previdenciário era de 0,8; para as de 
perfil B, a probabilidade de entrada para o sistema era de 0,5 e os de perfil C entrariam 
no sistema com uma probabilidade igual a 0,1. 
Fonte: Correio Braziliense, 15/11/2006, p. A-14 (com adaptações). 
Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue o item seguinte. 
Na ocasião em que o projeto havia sido proposto, a probabilidade de uma pessoa entre 
os 19 milhões de trabalhadores entrar para o sistema previdenciário era superior a 0,35 e 
inferior a 0,40. 
Comentários: 
Sejam os eventos: 
X: Ocorre quando a pessoa escolhida aleatoriamente ingressa no sistema previdenciário; 
A: Ocorre quando a pessoa escolhida aleatoriamente tem o perfil A; 
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B: Ocorre quando a pessoa escolhida aleatoriamente tem o perfil B; 
C: Ocorre quando a pessoa escolhida aleatoriamente tem o perfil C. 
São fornecidos os seguintes dados: 
§ P(A) = 3/19 
§ P(B) = 8/19 
§ P(C) = 8/19 
§ P(X|A) = 0,8 
§ P(X|B) = 0,5 
§ P(X|C) = 0,1 
O nosso objetivo consiste em obter a probabilidade de uma pessoa entre os 19 milhões de 
trabalhadores entrar para o sistema previdenciário (P(X)). 
Aplicando, então, a fórmula do Teorema da Probabilidade Total, teremos: 
 
Gabarito: Certo. 
 
12. (Cespe/2017 – PM-MA/Soldado) Uma operação policial será realizada com uma equipe de seis 
agentes, que têm prenomes distintos, entre eles André, Bruno e Caio. Um agente será o 
coordenador da operação e outro, o assistente deste; ambos ficarão na base móvel de operações 
nas proximidades do local de realização da operação. Nessa operação, um agente se infiltrará, 
disfarçado, entre os suspeitos, em reunião por estes marcada em uma casa noturna, e outros três 
agentes, também disfarçados, entrarão na casa noturna para prestar apoio ao infiltrado, caso seja 
necessário. 
A respeito dessa situação hipotética, julgue o item seguinte. 
Se os dois agentes que ficarão na base móvel forem escolhidos aleatoriamente, a probabilidade 
de André e Bruno serem os escolhidos será superior a 30%. 
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Comentários: 
O número de formas para escolher 2 dos 6 agentes para ficar na base móvel é dado pela 
combinação de 6 agentes em grupos de 2: 
𝐶K,A =
6 × 5
2 × 1 = 15 
O caso que nos interessa é apenas 1, ou seja, aquele em que André e Bruno são escolhidos. A 
probabilidade de essa escolha ser feita é de: 
𝑃 =
1
15 = 0,067 = 6,7% 
Gabarito: Errado. 
 
13. (Cespe/2017 – PM-MA/Psicólogo) Determinado laboratório de análises clínicas está sendo 
investigado por emitir laudos falsos de um exame constituído