Dispersão

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ESTATÍSTICA APLICADA
Medidas de Dispersão ou Variabilidade
Prof. Joseane de Menezes 
Sternadt
2/43
O que é dispersão?
Imagine três equipes de alunos cujas 
notas numa mesma prova de estatística 
foram:
Equipe A: 5; 5; 5; 5 
Equipe B: 9; 9; 1; 1 
Equipe C: 6; 6; 4; 4 
5=X
3/43 3/43
Amplitude Total (At)
A amplitude total é a diferença entre o 
maior e o menor valor da série ou da 
distribuição. 
Representa a dispersão máxima. 
Ela raramente é usada como 
única medida de variabilidade 
porque é calculada apenas 
com os valores extremos. 
4/43 4/43
1º Caso – Dados brutos ou o rol 
É a diferença entre o valor máximo e mínimo 
observados.
Exemplo 1 – Vamos calcular a amplitude total 
para as notas dos alunos das equipes A, B e C 
citadas na introdução.
Equipe A: At = 5 – 5 = 0 
Equipe B: At = 9 – 1 = 8 
Equipe C: At = 6 – 4 = 2
5/43 5/43
Ordem
Idade
Ordem
Idade
Ordem
Idade
Ordem
Idade
Ordem
Idade
1ª 18 11ª 27 21ª 37 31ª 40 36ª 45
2ª 21 12ª 27 22ª 37 32ª 42 37ª 45
3ª 23 13ª 28 23ª 37 33ª 42 38ª 46
4ª 23 14ª 28 24ª 37 34ª 42 39ª 48
5ª 23 15ª 29 25ª 37 35ª 43 40ª 49
6ª 24 16ª 32 26ª 38
7ª 25 17ª 32 27ª 38
8ª 25 18ª 33 28ª 39
9ª 26 19ª 35 29ª 39
10ª 26 20ª 36 30ª 40
At = 49 – 18 = 31
6/43 6/43
2º Caso – Distribuição de freqüência 
sem intervalos de classes
A definição é a mesma, porém, o maior e o 
menor valor da série são observados na 
coluna do valor da variável Xi .
 
 
7/43 7/43
Exemplo 3 – Observe as distribuições a seguir 
e identifique os valor(es) da(s) amplitude(s) 
entre as 50 observações. 
Cervejas 
Xi 
fi 
0 11
1 12
2 18
3 5
4 4
Total 50
At = 4 – 0 
At = 4 cervejas 
8/43 8/43
Notas 
Xi 
fi 
6 6
7 10
8 15
9 10
10 9
Total 50
At = 10 – 6 
At = 4 pontos
9/43 9/43
H. estudo 
Xi 
fi 
6 10
7 10
8 10
9 10
10 10
Total 50
At = 10 – 6 
At = 4 horas
10/43 10/43
Desvio-padrão e Variância
Estas medidas levam em consideração a 
totalidade dos valores da variável, isto é, são 
medidas que fogem da influência dos 
extremos.
A média dos desvios ao redor da média 
elevados ao quadrado é chamada de 
variância.
O desvio-padrão é a raiz 
quadrada positiva da variância. 
11/43 11/43
1º Caso – Dados brutos ou o rol 
Sabendo que variância é a média dos 
desvios ao redor da média elevados ao 
quadrado, podemos escrever para a 
população que: 
Onde µ é a média populacional 
 e N é o tamanho da população 
estudada.
N
µ)(X
σ
2
i2 ∑ −
=
12/43 12/43
Quando a média µ não é exata e precisa ser 
arredondada, cada desvio fica afetado ligeiramente 
por esse arredondamento, que não deixa de ser um 
erro, por isso é mais aconselhável que se utilize a 
fórmula desenvolvida a seguir: 
( )



 ∑
= ∑ − N
X2
i
2
2
iX
N
1
σ
 
 
13/43 13/43
As equações que definem a variância da 
amostra, denotada por S2 são, então:
Onde é a média amostral e n 
é o tamanho da amostra 
estudada.
X
1n
)X(X
S
2
i2
−
−
=
∑
( )



 ∑
−
= ∑ − n
X2
i
2
2
iX
1n
1S
14/43 14/43
Para dados brutos recomendamos o uso 
das fórmulas:
( )



 ∑
= ∑ − N
X2
i
2
2
iX
N
1
σ
Para o cálculo da variância populacional:
Para o cálculo da variância amostral:
( )



 ∑
−
= ∑ − n
X2
i
2
2
iX
1n
1S
15/43 15/43
Como o desvio-padrão é raiz quadrada da 
variância, então: 
Variância
2σσ =
2SS =
Desvio-
padrão
16/43 16/43
Exemplo 4 - Vamos calcular o desvio-padrão 
das notas das três equipes. Para facilitar, 
vamos montar uma tabela com os dados e os 
cálculos necessários. 
Imagine três equipes de alunos cujas 
notas numa mesma prova de estatística 
foram:
Equipe A: 5; 5; 5; 5 
Equipe B: 9; 9; 1; 1 
Equipe C: 6; 6; 4; 4 
17/43 17/43
a) Equipe A: 5; 5; 5; 5 
Cada equipe é uma população. N = 4 
Qual fórmula usar?
18/43 18/43
Para dados brutos recomendamos o uso 
das fórmulas:
( )



 ∑
= ∑ − N
X2
i
2
2
iX
N
1
σ
Para o cálculo da variância populacional:
Para o cálculo da variância amostral:
( )



 ∑
−
= ∑ − n
X2
i
2
2
iX
1n
1S
 
 
19/43 19/43
a) Equipe A: 5; 5; 5; 5 
( )



 ∑
= ∑ − N
X2
i
2
2
iX
N
1
σ
Notas 
Xi 
5 5.5=25
5 5.5=25
5 5.5=25
5 5.5=25
20 100
2
iX






−=
4
20100
4
1
σ
2
2
20/43 20/43






−=
4
20100
4
1
σ
2
2




−=
4
400100
4
1
σ
2
[ ]100100
4
1
σ
2
−= [ ]04
1
σ
2
=
22 0pontosσ =
Variância:
21/43 21/43
Como o desvio-padrão é raiz quadrada da 
variância, então: 
Variância2σσ =Desvio-padrão
0pontos0pontosσ 2 ==
22/43 22/43
a) Equipe A: 5; 5; 5; 5 
0pontos0pontosσ 2 ==
5
Equipe A: 5 5 5 5
5555
Todos estão “em cima” da 
média – não há desvio!
23/43 23/43
b) Equipe B: 9; 9; 1; 1 
Notas 
Xi 
9 9.9=81
9 9.9=81
1 1.1=1
1 1.1=1
20 164
2
iX






−=
4
20164
4
1
σ
2
2
( )



 ∑
= ∑ − N
X2
i
2
2
iX
N
1
σ
24/43 24/43






−=
4
20164
4
1
σ
2
2




−=
4
400164
4
1
σ
2
[ ]100164
4
1
σ
2
−= [ ]64
4
1
σ
2
=
22 16pontosσ =
Variância:
 
 
25/43 25/43
Como o desvio-padrão é raiz quadrada da 
variância, então: 
Variância2σσ =Desvio-padrão
pontos16pontosσ 2 4==
26/43 26/43
pontospontosσ 2 416 ==
5
Equipe A: 9 9 1 1
9
9
1
1
Todos estão “4 pontos” da 
média. 
b) Equipe B: 9; 9; 1; 1 
27/43
pontospontosσ 2 11 ==
5
Equipe A: 6 6 4 4
6
6
4
4
Todos estão “1 ponto” da média. 
c) Equipe C: 6; 6; 4; 4 
28/43
2º Caso – Distribuição de freqüência sem 
intervalos de classes
Recomendamos o uso das fórmulas:
( )



 ∑
= ∑ − N
fX
i
2
i
2
2
iifX
N
1
σ
( )



 ∑
−
= ∑ − n
fX
i
2
i
2
2
iifX
1n
1S
Para o cálculo da variância populacional:
Para o cálculo da variância amostral:
29/43 29/43
Exemplo 5 - Na aula 3, elaboramos a 
distribuição de freqüências do número de filhos 
dos funcionários do Antenado. Agora, vamos 
calcular a variância e o desvio-padrão 
lembrando que a população foi investigada. 
( )



 ∑
= ∑ − N
fX
i
2
i
2
2
iifX
N
1
σ
30/43 30/43
Xi fi Xifi
0 11
1 8
2 12
3 5
4 4
Total 40 63
( )



 ∑
= ∑ − N
fX
i
2
i
2
2
iifX
N
1
σ
 
 
31/43 31/43
( )[ ]∑ −= 4063i2i2 2fX1σ 40
Xi fi Xifi
0 11 0.11= 0
1 8 1.8 = 8
2 12 2.12 = 24
3 5 3.5 = 15
4 4 4.4 = 16
Total 40 63
( )



 ∑
= ∑ − N
fX
i
2
i
2
2
iifX
N
1
σ
32/43 32/43
Xi fi Xifi
0 11 0.11= 0
1 8 1.8 = 8
2 12 2.12 = 24
3 5 3.5 = 15
4 4 4.4 = 16
Total 40 63
( )



 ∑
= ∑ − N
fX
i
2
i
2
2
iifX
N
1
σ
iiii
2
i fXXfX =
33/43 33/43
( )[ ]∑ −= 4063i2i2 2fX401σ
Xi fi Xifi
0 11 0.11= 0 0.0=0 ou 0.0.11=0
1 8 1.8 = 8 8.1=8 ou 1.1.8 =8
2 12 2.12 = 24 24.2=48 ou 2.2.12=48
3 5 3.5 = 15 3.15=45 ou 3.3.5= 45
4 4 4.4 = 16 4.16= ou 4.4.4 =64
Total 40 63 165
iiii
2
i fXXfX =
34/43 34/43
( )[ ]∑ −= 4063i2i2 2fX401σ  −= 4063165401σ
2
2




−=
40
3969165
40
1
σ
2 [ ]99,225165
40
1
σ
2
−=
[ ]65,775
40
1
σ
2
=
22 lhos1,644375fiσ =
35/4335/43
Como o desvio-padrão é raiz quadrada da 
variância, então: 
Variância2σσ =Desvio-padrão
lhos1,282332filhos1,644375fiσ 2 ==
36/43 36/43
Observação – Supondo que a pesquisa na 
empresa do Antenado tivesse abrangido 
apenas uma amostra de 40 funcionários e não 
a população. Usaríamos, então, n -1 e os 
cálculos seriam:
22 lhos1,686538fiS =






−=
40
63165
39
1S
2
2
( )



 ∑
−
= ∑ − n
fX
i
2
i
2
2
iifX
1n
1S
 
 
37/43 37/43
Teorema de Chebyshev para distribuições em 
forma de sino
µµµµ+σσσσµµµµ-σσσσ µµµµ
área = 68%
µµµµ+2σσσσµµµµ-2σσσσ µµµµ
área = 95%
µµµµ+3σσσσµµµµ-3σσσσ µµµµ
área = 99%
38/43 38/43
Coeficiente de variação (CV)
O coeficiente de variação é uma medida de 
dispersão relativa que indica qual o tamanho 
do desvio-padrão em relação à média. 
média
padrãodesvioCV −=
.100%
média
padrãodesvioCV −=
39/43 39/43
Exemplo 7 – (QUESTÃO 38, PROVÃO DE 
ADMINISTRAÇÃO DE 1997) ... O risco de um 
ativo individual, uma ação, por exemplo, pode 
ser devidamente avaliado através da 
variabilidade dos retornos esperados. Portanto, a 
comparação das distribuições probabilísticas 
dos retornos, relativas a cada ativo individual, 
possibilita a quem toma decisões perceber os 
diferentes graus de risco. Analise, a seguir, os 
dados estatísticos relativos aos retornos de 5 
ativos. 
40/43 40/43
Dados sobe 
os retornos
Ativo
A
Ativo
B
Ativo
C
Ativo
D
Ativo
E
Valor 
esperado
15,0% 12,0% 5,0% 10,0% 4,0%
Desvio-
padrão
6,0% 6,6% 2,5% 3,0% 2,6%
Coeficiente 
de variação
0,40 0,55 0,50 0,30 0,65
Era pedido qual o ativo 
MENOS arriscado. 
41/43 41/43