Campo de Dist Continuas e Lei de Gauss

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08/09/2014
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É o campo elétrico produzido por objetos extensos, onde 
a carga elétrica encontra-se distribuída por todo o objeto.
Não é mais possível trabalhar com o valor da carga 
como se a mesma estivesse concentrada em um único 
ponto (carga pontual).
Para se calcular a distribuição de cargas em um objeto 
extenso, deve-se supor que a carga encontra-se 
uniformemente distribuída por todas as dimensões do 
objeto eletricamente carregado. 
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)v(V Volumar 
área)(A lSuperficia
comp.)(L Linear 
Expressão Variável carga de Densidade
olume
dV
dQ
dA
dQ
dL
dQ






Para operarmos dessa forma, necessitamos definir uma grandeza que será a 
relação entre a carga contida pela dimensão especificada (comprimento, 
área ou volume). 
A essa grandeza damos o nome de densidade de carga 
1) Calcular a distribuição de cargas em uma superfície metálica
esférica com 15 cm de raio, sabendo que faltam à superfície o 
montante de 800.1014 elétrons.
 
2
2
1914
222
/3,45
283,0
10.6,1.10.800.
. 
283,0)15,0.(.4..4esfera da área
mmC
m
C
A
en
A
Q
enQmas
A
Q
dA
dQ
mR









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2) Calcular o campo elétrico devido a
uma haste de comprimento 2L com
densidade linear de carga 𝜆 e à uma
distância r sobre seu centro.
𝑑𝐸 = 𝑘𝐸
𝑑𝑞
𝑟2
 𝑟
𝑑𝐸 = 𝑘𝐸
𝜆 𝑑𝑥
𝑟2
𝑑𝐸𝑦 = 𝑘𝐸
𝜆 𝑑𝑥
𝑟2
cos 𝜃
𝑑𝐸𝑦 = 𝑘𝐸
𝜆 𝑑𝑥
𝑟2
∙
𝑦
𝑟
= 𝑘𝐸
𝜆 𝑦
𝑟3
𝑑𝑥
𝑟 = 𝑦2 + 𝑥2
como
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𝑑𝐸𝑦 = 𝑘𝐸𝜆 𝑦
𝑑𝑥
(𝑦2 + 𝑥2)3/2
logo
𝐸𝑇 = 2 
0
𝐿
𝑘𝐸 𝜆 𝑦
𝑑𝑥
(𝑦2 + 𝑥2)3/2
𝐸𝑇 = 2 𝑘𝐸 𝜆 𝑦 
0
𝐿 𝑑𝑥
(𝑦2 + 𝑥2)3/2
𝐸𝑇 = 2 𝑘𝐸 𝜆 𝑦
1
𝑦2
∙
𝑥
(𝑦2 + 𝑥2)1/2
0
𝐿
𝐸𝑇 = 2 
0
𝐿
𝑑𝐸𝑦𝑑𝐸𝑇 = 2 𝑑𝐸𝑦
𝐸𝑇 = 2 𝑘𝐸 𝜆 𝑦
1
𝑦2
∙
𝑥
(𝑦2 + 𝑥2)1/2
0
𝐿
𝐸𝑇 =
2 𝑘𝐸 𝜆
𝑦
𝑥
(𝑦2 + 𝑥2)1/2
0
𝐿
𝐸𝑇 =
2 𝑘𝐸 𝜆
𝑦
𝐿
(𝑦2+𝐿2)1/2
Portanto, quando y<<L
𝐸𝑇 =
2 𝑘𝐸 𝜆
𝑦
𝐿
𝑟
Ou ainda, 𝐸𝑇 =
2 𝑘𝐸 𝜆
𝑦
𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃 ≈ 1
𝐸𝑇 =
2 𝑘𝐸 𝜆
𝑦
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𝐸𝑇 =
2 𝑘𝐸 𝜆
𝑦
Substituindo 𝑘𝐸 =
1
4𝜋ℇ0
na 
equação acima, 
𝐸𝑇 =
𝜆
2𝜋𝑦ℇ0
2) Calcular o campo elétrico de um anel carregado à uma distância r do
seu centro devido de simetria.
dq
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2) Calcular o campo elétrico de um anel carregado à uma
distância r do seu centro de simetria.
dq
𝑑𝐸𝑦 𝑑𝐸
𝑑𝐸2
𝑑𝐸1
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Tente resolver de forma semelhante ao exercício anterior
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Φ = 𝐺. 𝐴
Φ = 0Φ = 𝐺. 𝐴 cos𝜙Φ = 𝐺. 𝐴
𝑮
O fluxo Φ = 𝐺 ∙ 𝐴 = 𝐺.𝐴 O fluxo Φ = 𝐺 ∙ 𝐴 = 𝐺.𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜙
𝑮
O fluxo Φ = 𝐺 ∙ 𝐴 = 𝐺.𝐴 cos 90º
𝑮
Φ = 𝐺. 𝑑 𝐴
O cálculo do fluxo de campo consiste em 
contar a quantidade de linhas de campo 
que atravessam determinada área.
𝑮𝒋
𝑮𝒊
𝒅𝑨𝒋
𝒅𝑨𝒊
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Φ = 𝐺. 𝑑 𝐴Nessa situação, o 
fluxo do campo 
consiste em 
calcular a variação 
entre a quantidade 
de linhas de 
campo que entram 
e as que saem do 
volume 
compreendido 
pela superfície.
Propriedades das linhas de campo elétrico
A quantidade de linhas de campo associada a uma 
distribuição de carga elétrica é proporcional à carga da 
distribuição
Quanto maior a carga, maior a quantidade de linhas 
de campo;
Divergem de cargas positivas e convergem para cargas 
negativas;
Linhas de campo não se cruzam!
O vetor campo elétrico em um ponto do espaço é 
sempre tangente à linha de campo naquele ponto
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• Seja uma caixa com uma quantidade de 
carga desconhecida
• como saber se existe uma carga interna sem 
abrir a caixa?
• será possível medir a quantidade de carga 
no interior da caixa sem abri-la?
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A quantidade de linhas geradas 
por uma carga é proporcional ao 
valor da carga. Como a 
intensidade do campo depende da 
densidade de linhas, o campo 
elétrico deve ser proporcional à 
quantidade de cargas.
Para contar as linhas do campo, 
englobamos as cargas em uma 
superfície fechada imaginária
chamada de superfície gaussiana, 
arbitrariamente escolhida.
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matematicamente,
Φ ∝ 𝑞
Φ = 𝐸 . 𝑑 𝐴 Φ =
𝑞 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 à 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒
ℇ0
 𝐸 . 𝑑 𝐴 =
𝑞𝑖𝑛𝑡
ℇ0
Vamos agora calcular, com o auxílio 
da Lei de Gauss, o campo elétrico 
produzido por uma carga pontual.
Para isso, vamos escolher uma 
superfície gaussiana esférica, que é 
a mais adequada à simetria do 
problema.
O vetor área é paralelo ao campo 
elétrico em todos os pontos da 
superfície de raio r e ambos 
apontam “para fora” dela.
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Pela Lei de Gauss,
Como qint = q
temos que
0
int

q

0
int

q
AdE 

)4(
cos
2rEdAE
dAEdAEAdE







2
04
1
r
q
E


• Exercício 1:
Para uma linha de cargas infinita, com 
densidade de carga λ, encontre a expressão 
para o campo elétrico à uma distância r do fio.
Dica: escolha uma gaussiana adequada à essa 
configuração de cargas!
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L
Quando Usar: 
Com objetos de forma 
cilíndrica e com planos 
infinitos.
Lembrar que r é o raio da 
superfície gaussiana L
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qint= λ L 0
int

q

• Considere uma linha de cargas infinita com 
densidade 𝜆 = 𝑑𝑞 𝑑𝑙 ⇒ 𝜆 = 
𝑞𝑖𝑛𝑡
𝐿
• Então,
Φ =
𝑞𝑖𝑛𝑡
ℇ0
 𝐸 ∙ 𝑑 𝐴 =
𝑞𝑖𝑛𝑡
ℇ0
 𝐸. 𝑑𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑞𝑖𝑛𝑡
ℇ0
𝐸 𝑑𝐴 =
𝑞𝑖𝑛𝑡
ℇ0
𝐸 2𝜋𝑟𝐿 =
𝜆.𝐿
ℇ0
𝐸 =
𝜆
2𝜋𝑟ℇ0
• Exercício 2:
Para um plano isolante infinito, com densidade 
de carga σ, encontre a expressão para o campo 
elétrico à uma distância r do plano.
Dica: escolha uma gaussiana adequada à essa 
configuração de cargas!
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𝑑 𝐴
𝑑 𝐴
𝑑 𝐴
𝐸
Definir uma orientação positiva !
+
𝑑 𝐴𝑑 𝐴
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qint= σA
• Exercício 3:
Para um plano condutor infinito, com 
densidade de carga σ, encontre a 
expressão para o campo elétrico à uma 
distância r do plano.
Dica: escolha uma gaussiana adequada à 
essa configuração de cargas!
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+
𝑑 𝐴
𝑑 𝐴
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• Exercício 4:
Para uma esfera condutora maciça de raio 
R, carregada com carga Q, encontre a 
expressão para o campo elétrico à uma 
distância:
(a) r < R
(b) r = R
(c) r > R
Esboce o gráfico do módulo do campo 
elétrico em função da distância r, nos três 
casos acima.
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• Exercício 5:
Para uma esfera isolante maciça de raio R, 
homogeneamente carregada (ρ), encontre a 
expressão para o campo elétrico à uma 
distância:
(a) r < R
(b) r = R
(c) r > R
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• Exercício 6:
Para a mesma esfera isolante maciça de raio 
R, homogeneamente carregada (ρ), 
encontre a expressão para o campo elétrico 
em função da carga total Q, à uma distância:
(a) r < R
(b) r = R
(c) r > R
Esboce o gráfico do módulo do campo 
elétrico em função da distância r, nos três 
casos acima.
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