P2 2013.1 - Prof. Sérgio

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Abstract.
SEGUNDA PROVA DE A´LGEBRA LINEAR III
Data: 02-08-2013
Prof.: Se´rgio Luiz Silva
In´ıcio: 14h20min
Te´rmino: 17h10min
1) Seja T : R3 → R3 uma transformac¸a˜o linear cuja matriz em relac¸a˜o a` base β = { (1, 1, 0) , (1, 0, 1) , (0, 1, 1) }
e´ dada por
[T ]β =
 1 −1 0−1 1 0
0 0 2
 .
Determine, justificando:
1.1) T (x, y, z) para qualquer (x, y, z) ∈ R3 (valor 2,0 pontos).
1.2) O nu´cleo N(T ) de T (valor 1,0 ponto).
1.3) A imagem Im (T ) de T (valor 1,0 ponto).
2) Seja T : R2 → R2 uma transformac¸a˜o linear cuja matriz em relac¸a˜o a` base β = { (1, 1) , (1, 0) } e´ dada por
[T ]β =
(
1 −1
−1 2
)
.
Determine, justificando, T−1(x, y) para qualquer (x, y) ∈ R2 (valor 2,0 pontos).
3) Sejam S1 e S2 os subespac¸os de R4 dados por
S1 = { (x, y, z.w) ∈ R4 | x− y + z − w = 0 e x+ y − z = 0 }
e
S2 = { (x, y, z.w) ∈ R4 | x+ y − z + w = 0 e 2x− y + z + w = 0 }.
Determine, justificando:
3.1) Uma base para o subespac¸o S1 ∩ S2 (valor 1,0 ponto).
3.2) Uma base para o subespac¸o S1 + S2 (valor 1,0 ponto).
4) Sejam T : R3 → R2 e L: R2 → R3 transformac¸o˜es lineares cujas matrizes em relac¸o˜es a`s bases canoˆnicas
β = { (1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1) } e γ = { (1, 0) , (0, 1) } sa˜o dadas por
[T ]βγ =
(−1 2 −1
1 1 0
)
e [L ]γβ =
−1 12 1
−1 0
 .
Determine, justificando, (L◦T )(x, y, z) e (T ◦L)(x, y) para qualquer (x, y, z) ∈ R3 e qualquer (x, y) ∈ R2 (valor
2,0 pontos).