CONTEUDO SÉRIES E SEQUÊNCIAS

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Guia Prático de Cálculo (Baseado no Capítulo
9)
1 Seção 9.1: Sequências e Convergência
Como Especificar uma Sequência:
• (i) Listando os primeiros termos: Se o padrão for óbvio, você pode
listar os primeiros termos seguidos por "...". Exemplo: A sequência dos
números pares positivos pode ser especificada como 2, 4, 6, 8, ...
• (ii) Fornecendo uma fórmula para o termo geral (an): Expresse o
termo an como uma função de n. Exemplo: A sequência {an} = {n2}
tem como termos 1, 4, 9, 16, ...
• (iii) Fornecendo uma fórmula recursiva: Defina an em função dos ter-
mos anteriores (a1, a2, ..., an−1) e especifique os termos iniciais necessários
para iniciar o cálculo. Exemplo: A sequência de Fibonacci é definida re-
cursivamente por a1 = 1, a2 = 1, e an = an−1+ an−2 para n ≥ 3, gerando
a sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...
Termos para Descrever Sequências:
• (a) Limitada:
– Limitada Inferiormente: an ≥ L para todo n. L é um limite
inferior. Exemplo: A sequência {n2} é limitada inferiormente por
1 (ou qualquer número menor ou igual a 1).
– Limitada Superiormente: an ≤ M para todo n. M é um limite
superior. Exemplo: A sequência { 1
n} é limitada superiormente por
1 (ou qualquer número maior ou igual a 1).
– Limitada: Se for limitada inferior e superiormente. Existe um K
tal que |an| ≤ K para todo n. Exemplo: A sequência {sin(n)} é
limitada, pois −1 ≤ sin(n) ≤ 1, então |an| ≤ 1.
• (b) Positiva/Negativa:
– Positiva: an ≥ 0 para todo n. Exemplo: A sequência {n + 1} é
positiva, pois todos os seus termos são maiores ou iguais a 2.
1
– Negativa: an ≤ 0 para todo n. Exemplo: A sequência {−n2} é
negativa, pois todos os seus termos são menores ou iguais a -1.
• (c) Crescente/Decrescente/Monotônica:
– Crescente: an+1 ≥ an para todo n. Exemplo: A sequência {2n} é
crescente, pois 2(n+ 1) = 2n+ 2 ≥ 2n.
– Decrescente: an+1 ≤ an para todo n. Exemplo: A sequência { 1
n}
é decrescente, pois 1
n+1 ≤ 1
n .
– Monotônica: Se for crescente ou decrescente. Exemplo: As se-
quências {n3} (crescente) e {e−n} (decrescente) são monotônicas.
• (d) Alternada: anan+1 0 para
x ≥ 1, então a sequência é crescente.
Sequências Ultimamente...:
Uma sequência tem uma propriedade "ultimamente" se seus termos possuem
essa propriedade a partir de algum ponto, mas não necessariamente no início.
Exemplo: A sequência {10, 8, 6, 4, 2, 1, 1, 1, 1, ...} é ultimamente crescente (a
partir do sexto termo).
Convergência de Sequências:
• Uma sequência {an} converge para um limite L (limn→∞ an = L) se, para
todo ϵ > 0, existe um inteiro N tal que se n ≥ N , então |an − L| 0, podemos escolher N > 1
ϵ ,
e para n ≥ N , | 1n − 0| = 1
nn! =
0.
Exemplo de Cálculo de Limite:
Para encontrar limn→∞
3n+4n+5n
5n , divida cada termo por 5n:
lim
n→∞
[(
3
5
)n
+
(
4
5
)n
+ 1
]
= 0 + 0 + 1 = 1.
2 Seção 9.2: Séries Infinitas
Definição de Série Infinita:
Uma série infinita é uma soma formal de infinitos termos: a1 + a2 + a3 + ...,
denotada por
∑∞
n=1 an. Exemplo: 1+ 1
2 +
1
3 + ... =
∑∞
n=1
1
n (Série Harmônica).
Índice de Somação:
O índice de somação pode começar em qualquer inteiro. É possível mudar
o índice de somação por meio de uma substituição. Exemplo:
∑∞
n=1
1
n2 =∑∞
k=0
1
(k+1)2 (substituindo n = k + 1).
Soma de uma Série Infinita:
A soma de uma série infinita é definida como o limite da sequência de suas
somas parciais {sn}, onde sn =
∑n
j=1 aj . Exemplo: Para a série
∑∞
n=1
1
2n , as
somas parciais são s1 = 1
2 , s2 = 1
2 +
1
4 = 3
4 , s3 = 3
4 +
1
8 = 7
8 , e assim por diante.
Vemos que sn = 1− 1
2n .
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Convergência de uma Série:
Uma série
∑∞
n=1 an converge para uma soma s se limn→∞ sn = s. Uma série
diverge se a sequência de suas somas parciais diverge. Exemplo de convergên-
cia: A série
∑∞
n=1
1
2n converge para 1, pois limn→∞ sn = limn→∞(1− 1
2n ) = 1.
Exemplo de divergência: A série
∑∞
n=1 1 = 1+ 1+ 1+ ... diverge, pois suas
somas parciais sn = n tendem para ∞.
Série Geométrica:
Uma série geométrica tem a forma
∑∞
n=1 ar
n−1 = a+ ar+ ar2 + .... A n-ésima
soma parcial é sn = a(1−rn)
1−r para r ̸= 1.
• Se |r| 1 e diverge se p ≤ 1. Demonstração (usando
o Teste da Integral): Considere f(x) = 1
xp . Para p > 0, f(x) é contínua
e positiva para x ≥ 1. Para p > 0, f ′(x) = −px−p−1 1)
e diverge se 1− p > 0 (i.e., p 1
e converge, então
∑∞
n=1
1
n2+1 também converge pelo Teste de Comparação
Direta.
• Se
∑
bn diverge e an ≥ bn para n suficientemente grande, então
∑
an
diverge. Exemplo: Teste a convergência de
∑∞
n=1
1√
n−1
para n ≥ 2.
Para n ≥ 4,
√
n − 1 ≤
√
n − 1
2
√
n = 1
2
√
n, então 1√
n−1
≥ 2√
n
. Como∑∞
n=1
1√
n
=
∑∞
n=1
1
n1/2 é uma série-p com p = 1/2 ≤ 1 e diverge, então∑∞
n=2
1√
n−1
também diverge pelo Teste de Comparação Direta.
Como Aplicar o Teste de Comparação Direta:
1. Escolha uma série de comparação
∑
bn com convergência conhecida.
2. Compare os termos an e bn.
3. Conclua sobre a convergência de
∑
an.
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Teste de Comparação do Limite:
Sejam
∑
an e
∑
bn com termos positivos. Se limn→∞
an
bn
= c com 0 1 (ou L = ∞), a série diverge.
• Se L = 1, o teste é inconclusivo.
Intuição: Se a razão dos termos consecutivos se aproxima de um valor menor
que 1, os termos eventualmente diminuem geometricamente, leading to conver-
gence. If the ratio is greater than 1, the terms grow, leading to divergence.
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Como Aplicar o Teste da Razão:
1. Calcule a razão an+1
an
.
2. Calcule o limite L.
3. Conclua sobre a convergência baseado no valor de L.
Exemplo: Teste a convergência de
∑∞
n=1
n2
2n .
lim
n→∞
(n+ 1)2/2n+1
n2/2n
= lim
n→∞
(n+ 1)2
2n+1
·2
n
n2
= lim
n→∞
(n+ 1)2
2n2
= lim
n→∞
n2 + 2n+ 1
2n2
= lim
n→∞1 + 2/n+ 1/n2
2
=
1
2
.
Como L = 1/2 1 (ou L = ∞), a série diverge.
• Se L = 1, o teste é inconclusivo.
Intuição: If the n-th root of the n-th term approaches a value less than 1,
it suggests that for large n, |an| ≈ Ln with L 1, a série diverge pelo Teste da Raiz.
Dicas para Escolher o Teste Apropiado:
Use o Teste da Razão para termos com fatoriais ou potências de n. Use o Teste
da Raiz para termos elevados à potência de n. Use os Testes de Comparação
quando puder comparar com séries-p ou geométricas conhecidas. Se o Teste da
Razão ou da Raiz resultar em L = 1, outros testes devem ser usados.
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6 Seção 9.6: Séries Alternadas
Série Alternada:∑∞
n=1(−1)n−1bn ou
∑∞
n=1(−1)nbn, onde bn > 0. Exemplo:
∑∞
n=1(−1)n−1 1
n =
1− 1
2 + 1
3 − 1
4 + ... (Série Harmônica Alternada).
Teste da Série Alternada:
Se
∑∞
n=1(−1)n−1bn satisfaz:
1. bn+1 ≤ bn para todo n (a sequência {bn} é decrescente).
2. limn→∞ bn = 0.
Então a série converge.
Como Aplicar o Teste da Série Alternada:
1. Verifique se a série é alternada.
2. Verifique se bn+1 ≤ bn.
3. Verifique se limn→∞ bn = 0.
4. Se ambas as condições forem satisfeitas, a série converge.
Exemplo: Teste a convergência da Série Harmônica Alternada
∑∞
n=1(−1)n−1 1
n .
Aqui, bn = 1
n .
1. A série é alternada.
2. bn+1 = 1
n+1 ≤ 1
n = bn para todo n ≥ 1.
3. limn→∞ bn = limn→∞
1
n = 0.
Como ambas as condições são satisfeitas, a Série Harmônica Alternada converge
pelo Teste da Série Alternada.
Estimativa da Soma de uma Série Alternada:
Se S =
∑∞
n=1(−1)n−1bn é a soma de uma série alternada que satisfaz as
condições do teste, então |S − Sn| ≤ bn+1, onde Sn é a n-ésima soma par-
cial. Exemplo: Para a Série Harmônica Alternada, a soma S satisfaz |S− (1−
1
2 + 1
3 − 1
4 )| = |S − 7
12 | ≤
1
5 .
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7 Seção 9.7: Convergência Absoluta e Condicional
Convergência Absoluta:∑
an converge absolutamente se
∑
|an| converge. Se uma série converge abso-
lutamente, então ela converge. Exemplo: A série
∑∞
n=1(−1)n−1 1
n2 converge
absolutamente porque
∑∞
n=1
∣∣(−1)n−1 1
n2
∣∣ =
∑∞
n=1
1
n2 converge (série-p com
p = 2 > 1).
Convergência Condicional:∑
an converge condicionalmente se ela converge, mas
∑
|an| diverge. Exem-
plo: A Série Harmônica Alternada
∑∞
n=1(−1)n−1 1
n converge (como mostrado
antes), mas
∑∞
n=1
∣∣(−1)n−1 1
n
∣∣ = ∑∞
n=1
1
n diverge (Série Harmônica). Portanto,
a Série Harmônica Alternada converge condicionalmente.
Como Determinar a Convergência Absoluta ou Condicional:
1. Teste a convergência absoluta de
∑
|an|.
2. Se
∑
|an| converge, então
∑
an converge absolutamente.
3. Se
∑
|an| diverge, teste a convergência de
∑
an usando o Teste da Série
Alternada ou outros testes. Se
∑
an converge, então converge condicional-
mente.
8 Seção 9.8: Séries de Potências
Série de Potências Centrada em a:∑∞
n=0 cn(x − a)n = c0 + c1(x − a) + c2(x − a)2 + ... Exemplo:
∑∞
n=0 x
n =
1 + x+ x2 + ... (série geométrica com a = 1 e razão x, centrada em a = 0).
Raio de Convergência (R):
A série converge absolutamente para |x− a| R.
• Se R = 0, a série converge apenas para x = a.
• Se R = ∞, a série converge para todo x.
Intervalo de Convergência:
O intervalo de todos os valores de x para os quais a série converge. Teste os
pontos extremos x = a − R e x = a + R separadamente. O intervalo pode ser
(a−R, a+R), [a−R, a+R), (a−R, a+R], ou [a−R, a+R].
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Como Encontrar o Raio de Convergência:
Use o Teste da Razão ou da Raiz em
∑
|cn(x− a)n|.
• Usando o Teste da Razão: R = 1
limn→∞ | cn+1
cn
|
, assumindo que o limite
existe. Se o limite é 0, R = ∞. Se o limite é ∞, R = 0.
• Usando o Teste da Raiz: R = 1
limn→∞ |cn|1/n
, assumindo que o limite existe.
Similarmente, se o limite é 0, R = ∞, e se é ∞, R = 0.
Exemplo: Encontre o raio de convergência da série
∑∞
n=0
xn
n! . Usando o Teste
da Razão:
lim
n→∞
∣∣∣∣xn+1/(n+ 1)!
xn/n!
∣∣∣∣ = lim
n→∞
∣∣∣∣ xn+1
(n+ 1)!
· n!
xn
∣∣∣∣ = lim
n→∞
∣∣∣∣ x
n+ 1
∣∣∣∣ = |x| lim
n→∞
1
n+ 1
= |x|·0 = 0.
Como o limite é 0 para todo x, que é menor que 1, a série converge para todo
x. Portanto, o raio de convergência é R = ∞.
Como Encontrar o Intervalo de Convergência:
1. Encontre o raio de convergência R.
2. Considere o intervalo (a−R, a+R).
3. Teste os pontos extremos x = a−R e x = a+R substituindo esses valores
na série original e testando a convergência da série numérica resultante.
4. O intervalo de convergência é a união do intervalo aberto com os pontos
extremos onde a série converge.
Exemplo: Encontre o intervalo de convergência da série
∑∞
n=0
xn
n! . Já encon-
tramos R = ∞. O intervalo é (−∞,∞). Não há pontos extremos para testar.
O intervalo de convergência é (−∞,∞).
Exemplo: Encontre o intervalo de convergência da série
∑∞
n=1
(x−1)n
n . Us-
ando o Teste da Razão:
lim
n→∞
∣∣∣∣ (x− 1)n+1/(n+ 1)
(x− 1)n/n
∣∣∣∣ = lim
n→∞
∣∣∣∣ (x− 1)n+1
n+ 1
· n
(x− 1)n
∣∣∣∣ = lim
n→∞
|x−1| n
n+ 1
= |x−1| lim
n→∞
1
1 + 1/n
= |x−1|·1 = |x−1|.
Para convergência, precisamos |x−1|raio e o intervalo de convergência (geralmente usando o Teste
da Razão).
Exemplo: Encontre a série de Maclaurin para f(x) = sinx. f(x) = sinx =⇒
f(0) = 0 f ′(x) = cosx =⇒ f ′(0) = 1 f ′′(x) = − sinx =⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cosx =⇒ f ′′′(0) = −1 f (4)(x) = sinx =⇒ f (4)(0) = 0 O padrão
se repete: 0, 1, 0, -1, ... sinx = 0 + 1 · x + 0
2!x
2 + −1
3! x
3 + 0
4!x
4 + 1
5!x
5 + ... =
x − x3
3! +
x5
5! −
x7
7! + ... =
∑∞
n=0(−1)n x2n+1
(2n+1)! . O raio de convergência é R = ∞
(como pode ser mostrado usando o Teste da Razão).
Séries de Maclaurin Comuns:
• 1
1−x =
∑∞
n=0 x
n, |x| 3
Então, (1 + x)3 = 1 + 3x + 3x2 + 1x3 = 1 + 3x + 3x2 + x3, que é o resultado
esperado da expansão binomial.
Fim do Capítulo 9 conforme o conteúdo fornecido.
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