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Escola Estadual de Educação Profissional - EEEP Ensino Médio Integrado à Educação Profissional Curso Técnico em Edificações Resistência dos Materiais Governador Vice Governador Secretário Executivo Assessora Institucional do Gabinete da Seduc Cid Ferreira Gomes Francisco José Pinheiro Antônio Idilvan de Lima Alencar Cristiane Carvalho Holanda Secretária da Educação Secretário Adjunto Coordenadora de Desenvolvimento da Escola Coordenadora da Educação Profissional – SEDUC Maria Izolda Cela de Arruda Coelho Maurício Holanda Maia Maria da Conceição Ávila de Misquita Vinãs Thereza Maria de Castro Paes Barreto Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional CURSO TÉCNICO INTEGRADO EM EDIFICAÇÕES DISCIPLINA DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO E ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES ..............................................03 1.1 INTRODUÇÃO.........................................................................................................................03 1.2 EXERCÍCIOS............................................................................................................................04 1.3 PRESSUPOSTOS E HIPÓTESES BÁSICAS DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS......................06 1.3.1 Continuidade Física.................................................................................................................06 1.3.2 Homogeneidade......................................................................................................................07 1.3.3 Isotropia.................................................................................................................................07 1.3.4 Equilíbrio................................................................................................................................07 1.3.5 Pequenas Deformações............................................................................................................07 1.3.6 Saint-Venant...........................................................................................................................07 1.3.7 Seções Planas..........................................................................................................................07 1.3.8 Conservação das Áreas............................................................................................................07 1.3.9 Lei de Hooke...........................................................................................................................07 1.3.10 Princípio da Superposição de Efeitos.......................................................................................07 2 OBJETIVO.................................................................................................................................08 3 TIPOS DE CARGAS...................................................................................................................08 3.1 CARGA CONCENTRADA........................................................................................................08 3.2 CARGA DISTRIBUIDA.............................................................................................................09 3.3 CARGAS PERMANENTES.......................................................................................................09 3.4 CARGAS ESTÁTICAS..............................................................................................................09 3.5 CARGAS ACIDENTAIS.............................................................................................................09 3.6 CARGAS MÓVEIS....................................................................................................................09 4 ESFORÇOS EXTERNOS...........................................................................................................09 4.1 CARGAS CONCENTRADAS....................................................................................................09 4.2 CARGAS DISTRIBUIDAS.........................................................................................................09 4.3 FORÇA DE TRAÇÃO E COMPRESSÃO....................................................................................09 5 ESFORÇOS INTERNOS............................................................................................................09 5.1 MOMENTOS............................................................................................................................09 Resistência dos Materiais 3 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional 5.1.1 Momento Fletor......................................................................................................................09 5.1.2 Momento Torsor.....................................................................................................................10 5.2 CISALHAMENTO (FORÇAS CONSTANTES)...........................................................................10 6 TIPOS DE ESTRUTURA............................................................................................................10 6.1 ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS..................................................................................................10 6.2 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS...........................................................................................11 7 TIPOS DE APOIO.......................................................................................................................11 7.1 PRIMEIRO GÊNERO ESTÁTICO..............................................................................................11 7.2 SEGUNDO GÊNERO ESTÁTICO..............................................................................................11 7.3 TERCEIRO GÊNERO ESTATICO...............................................................................................12 8 CALCULO DAS REAÇÕES.......................................................................................................12 8.1 CONVENÇÕES ........................................................................................................................12 8.2 EXEMPLOS..............................................................................................................................12 9 DIAGRAMA DO MOMENTOFLETOR ....................................................................................21 10 DIAGRAMA DE ESFORÇO CONSTANTE..............................................................................27 11 EXERCÍCIOSDE FIXAÇÃO 1..................................................................................................30 12 EXERCÍCIOSDE FIXAÇÃO 2..................................................................................................34 13 RESISTÊNCIA..........................................................................................................................43 14 MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA FIGURA PLANA QUALQUER EM RELAÇÃO A UM EIXO QUALQUER.................................................................................................................................48 15 EXERCICIOS GERAIS............................................................................................................51 16 BIBLIOGRAFIA.......................................................................................................................54 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Resistência dos Materiais – Jayme Ferreira da Silva Jr. Resistência dos Materiais – Timoshenko – volume 1 e 2 Resistência dos Materiais – Alerson Moreira da Rocha RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Resistência dos Materiais 4 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional 1 INTRODUÇÃO A ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES1.1 INTRODUÇÃO Um conceito da grandeza tensão pode ser encarado como uma extensão do conceito da grandeza pressão. Imaginemos o sistema de êmbolos apresentado abaixo: Utilizando-se os conceitos de física, pode-se dizer que a pressão P no interior do duto é constante e tem valor: onde F1 e F2 são as forças aplicadas nas extremidades e A1 e A2 são as áreas da seção transversal do duto onde são aplicadas F1 e F2, respectivamente. Os macacos hidráulicos são aplicações diretas da equação acima, pois com uma pequena força aplicada na extremidade 2 do sistema de êmbolos afim de se produzir uma força de magnitude considerável na extremidade 1, dependendo da razão entre as áreas A1 e A2. Algumas conclusões já podem ser obtidas analisando a grandeza pressão: Sua unidade de medida será: unidade de força dividida por unidade de área. No Sistema Internacional de Unidades (SI): Pa (Pascal) = N/m2. Como 1 Pa representa uma pressão relativamente pequena 1 normalmente se utiliza prefixos do tipo kilo (103) ou mega (106). Exemplos: 10 MPa, 45 kPa, etc. O módulo da pressão é o mesmo no interior do duto, mas a direção e sentido não.Pode-se dizer en- tão que a pressão é uma grandeza vetorial. A direção da força F2 gerada no sistema de êmbolo é sempre a mesma da pressão atuante na seção 2, e esta direção é sempre normal a superfície do êmbolo. Porque surgiu pressão no interior do duto? A resposta é simples: Sempre que se tenta movimentar uma massa de fluido e existem restrições ao deslocamento, surgem as pressões. Assim sendo, no caso do êmbolo da figura 1, se não existir resistên- Resistência dos Materiais 5 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional cia na seção 2, o fluido entraria em movimento acelerado e escoaria sem o surgimento de pressões inter- nas. Em outras palavras, é preciso que haja confinamento (pressão positiva) ou aumento do volume dos dutos (pressão negativa). Um raciocínio análogo pode ser aplicado aos sólidos. Supondo que se exerça uma força F sobre um sólido qualquer conforme figura abaixo. Da mesma maneira que nos fluidos, têm-se duas possibilidades: ou o sólido entra em movimento ou, no caso onde existam restrições ao deslocamento (como no exemplo da figura 2), surgem o que nos sólidos se denominam tensões. A grande diferença entre sólidos e fluidos pode ser observada na figura 1.3: Em ambos os casos na figura surgirão pressões (para o fluido) e tensões (para o sólido) quando se aplica a carga F1 (direção axial do tubo). Entretanto, quando se aplica a carga F2 (transversal ao tubo) pode-se verificar que o fluido não oferece a menor resistência ao corte ou cisalhamento, porém no sólido isso não acontece. Esta diferença motivou os pesquisadores a estudarem os sólidos e os fluidos em duas grandes áreas do conhecimento: Resistência dos Materiais 6 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional Mecânica dos Sólidos e Mecânica dos Fluidos. Então, diferentemente dos líquidos, as tensões em um sólido podem ocorrer de duas formas: Tensões normais: Estas tensões são resultados de um carregamento que provoca a aproximação ou o afastamento de moléculas que constituem o sólido. E o caso do carregamento F1 da figura 1.3. Tensões cisalhantes ou tangenciais: Estas tensões são resultado de um carregamento que provoca um deslizamento relativo de moléculas que constituem o sólido. É o caso do carregamento F2 da figura 1.3. 1.2 EXERCÍCIOS Resistência dos Materiais 7 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional 1.3 PRESSUPOSTOS E HIPÓTESES BÁSICAS DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS A Resistência dos Materiais é uma ciência desenvolvida a partir de ensaios experimentais e de análises teóricas. Os ensaios ou testes experimentais, em laboratórios, visam determinar as características físicas dos materiais, tais como as propriedades de resistência e rigidez, usando corpos de prova de dimensões adequadas. As análises teóricas determinam o comportamento mecânico das peças em modelos matemáticos idealizados, que devem ter razoável correlação com a realidade. Algumas hipóteses e pressupostos são admitidos nestas deduções e são eles: 1.3.1 Continuidade Física A matéria apresenta uma estrutura continua, ou seja, são desconsiderados todos os vazios e porosidades. Resistência dos Materiais 8 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional 1.3.2 Homogeneidade O material apresenta as mesmas características mecânicas, elasticidade e de resistência em todos os pontos. 1.3.3 Isotropia O material apresenta as mesmas características mecânicas elásticas em todas as direções. “Ex: As madeiras apresentam, nas direções das fibras, características mecânicas e resistentes distintas daquelas em direção perpendicular e, portanto não é considerado um material isótropo”. 1.3.4 Equilíbrio Se uma estrutura está em equilíbrio, cada uma de suas partes também está em equilíbrio. 1.3.5 Pequenas Deformações As deformações são muito pequenas quando comparadas com as dimensões da estrutura. 1.3.6 Saint-Venant Sistemas de forças estaticamente equivalentes causam efeitos idênticos em pontos suficientemente afastados da região de aplicação das cargas. 1.3.7 Seções planas A seção transversal, após a deformação, permanece plana e normal à linha média (eixo deformado). 1.3.8 Conservação das áreas A seção transversal, após a deformação, conserva as suas dimensões primitivas. 1.3.9 Lei de Hooke A força aplicada é proporcional ao deslocamento. F = k.d Onde: F é a força aplicada; k é a constante elástica de rigidez e d é o deslocamento. 1.3.10 Princípio da Superposição de efeitos Os efeitos causados por um sistema de forças externas são a soma dos efeitos produzidos por cada força considerada agindo isoladamente e independente das outras. A fim de compensar as incertezas na avaliação das cargas, na determinação das propriedades dos materiais, nos pressupostos ou nas simplificações, é previsto nas Normas Técnicas a adoção de coeficientes de segurança. Consiste em se majorar as cargas e se reduzir a resistência dos materiais. Os diversos critérios adotados para escolha dos coeficientes de segurança adequados são estudados ao longo do curso de Engenharia Civil. Resistência dos Materiais 9 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional Adota-se neste texto um coeficiente de segurança único que reduz a capacidade de carga da estrutura. 2 OBJETIVO Estudar os esforços internos e externos que atuam nas peças de uma construção de modo a resolver os problemas. Fig. 2 3 TIPOS DE CARGA 3.1 CARGA CONCENTRADA: Se apóiam em pequenas áreas e podem ser consideradas como apoiadas em um ponto. Fig. 3.1 Resistência dos Materiais 10 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional 3.2 CARGA DISTRIBUIDA: Se apóiam em grandes áreas, podendo ser uniformes ou variadas. Fig. 3.2 Fig. 3.2 3.3 CARGAS PERMANENTES: Atuam durante toda a vida da estrutura, sem mudar de valor. 3.4 CARGAS ESTÁTICAS: Atuam em cargas paradas, não sofrem efeito de impacto. 3.5 CARGAS ACIDENTAIS: Cargas móveis sofrem efeito de impacto, podendo ou não mudar de valor. 3.6 CARGAS MÓVEIS: Carga acidental 4 ESFORÇOS EXTERNOS 4.1 CARGAS CONCENTRADAS 4.2 CARGAS DISTRIBUIDAS 4.3 FORÇA DE TRAÇÃO E COMPRESSÃO 5 ESFORÇOS INTERNOS 5.1 MOMENTOS 5.1.1 Momento Fletor ( Ma = F x d) Resistência dos Materiais 11 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação ProfissionalFig. 5.1.1 5.1.2 Momento Torsor Fig. 5.1.2 5.2 CISALHAMENTO (FORÇAS CONSTANTES) Fig. 5.2 6 TIPOS DE ESTRUTURAS 6.1 ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS N° de Eq. ≥ N° de incógnitas Resistência dos Materiais 12 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional ∑ Fu = 0 ∑ Fv = 0 ∑ M = 0 6.2 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS N° de Eq. ≥ N° de incógnitas 7 TIPOS DE APOIO Entendemos como apoio qualquer estrutura que impeça o deslocamento. 7.1 PRIMEIRO GÊNERO ESTÁTICO Só impede o deslocamento vertical Símbolo Fig. 7.1 7.2 SEGUNDO GÊNERO ESTÁTICO Impede o deslocamento vertical e horizontal, mas permite a rotação. Fig. 7.2 Resistência dos Materiais 13 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional 7.3 TERCEIRO GÊNERO ESTÁTICO Fixa totalmente a peça, impedindo o deslocamento horizontal, vertical e a rotação. Fig. 7.3 8 CÁLCULO DAS REAÇÕES 8.1 CONVENÇÕES Fig. 8.1 8.2 EXEMPLOS Exemplo 1 Fig. 8.2.1 Resistência dos Materiais 14 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional a) ∑ Fv = 0 RA + RB – 2 – 4 – 2 = 0 RA + RB = 8t 4 + RB = 8 RB = 4t b) ∑ MB = 0 RA x 6 – 2 x 5 – 4 x 3 – 2 x 1 = 0 6 RA - 10 – 12 – 2 = 0 RA = 24 6 RA = 4t Exemplo 2 Fig. 8.2.2 a) ∑ FV = 0 RA + RB – 2 – 4 – 4 = 0 RA + RB = 10 4,8 + RB = 10 RB = 5,20t b) ∑ MB = 0 RA x 5 – 2 x 4 – 4 x 3 – 4 x 1 = 0 5RA = 8 + 12 + 4 5RA = 24 RA = 4,80t Resistência dos Materiais 15 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional Exemplo 3 Fig. 8.2.3 Sen 30° = 0,50 Cos 30° = 0,87 a) ∑ FV = 0 RA + RB – 2 – 4.sen 30° - 2 = 0 RA + RB = 6t RA = 6 – 3,67 RA = 2,33t b) ∑ MB = 0 RHA + 3,87 = 0 RHA = 3,87t Ou c) ∑ MA = 0 -2 x 7 + RB x 6 – 4.0,5 x 3 – 2 x 1 = 0 -14 + 6RB – 6 – 2 = 0 6RB = 22 RB = 3,67 t d) ∑ MB = 0 RA x 6 – 2 x 5 – 2 x 3 + 2 x 1 = 0 6RA = 14 RA = 2,33t Resistência dos Materiais 16 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional Exemplo 4 Fig. 8.2.4 a) ∑ FV = 0 b) ∑ FH = 0 RA + RB – 4 – 4 - 2 = 0 HA = 4t RA + RB = 10t c) ∑ MB = 0 RA x 5 x 4 x 5 – 2 x 3 – 4 x 5 – 4 x 3 = 0 5RA + 20 – 6 – 20 – 12 = 0 RA = 18 5 RA = 3,60t e RB = 6,40 t Exemplo 5 Fig. 8.2.5 Resistência dos Materiais 17 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional a) ∑ FV = 0 b) ∑ FH = 0 RA + RB – 4 – 6 - 2 = 0 HA + 2 + 3,48 – 4 - 2 = 0 RA + RB = 12t HA + 5,48 – 6 = 0 RB = 6,12t HA = 0,52t c) ∑ MB = 0 RA x 5 + 0,52 x 3 + 2 x 2 + 2 x 2 – 4 x 5 - 6 x 2 – 3,48 x 2 = 0 5RA + 1,52 + 4 + 4 - 20 – 6,96 = 0 RA = 5,88t Exemplo 6 Fig. 8.2.6 a) ∑ FV = 0 b) ∑ FH = 0 RA + RB – 2 – 4 - 6 = 0 RHA + 2 – 4 = 0 RA + RB = 12t RHA = 2t RB = 5,20t c) ∑ MB = 0 RA x 5 + 2 x 2 - 2 x 5 – 4 x 3 - 4 x 4 = 0 5RA + 4 - 10 – 12 - 16 = 0 5RA = 34 RA = 34 5 RA = 6,80t Resistência dos Materiais 18 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional Exemplo7 Fig. 8.2.7 a) ∑ FV = 0 b) ∑ FH = 0 RA + RB – 4 – 2 – 2 = 0 HB + 2 – 4 = 0 RA + RB = 8t HB = - 2t RB = 7,50t c) ∑ MB = 0 RA x 4 + 4 x 6 - 4 x 4 – 2 x 2 - 2 x 3 = 0 4RA + 24 - 16 - 4 - 6 = 0 4RA = 2 RA = 2 4 RA = 0,50t * Calcular as reações Exemplo 8 Fig. 8.2.8 Resistência dos Materiais 19 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional a) ∑ FV = 0 RA + RB – 4 – 2 – 4 – 2 - 4 = 0 RA + RB = 16t RB = 8t b) ∑ MB = 0 RA x 6 - 4 x 5 - 2 x 4 – 4 x 3 - 2 x 2 – 4 x 1= 0 6RA - 20 - 8 - 12 – 4 - 4 = 0 6RA = 48 RA = 48 6 RA = 8t Exemplo 9 Fig. 8.2.9 a) ∑ FV = 0 RA + RB = 2 + 6 + 2 + 12 RA + RB = 22t RB = 8,83t b) ∑ MB = 0 -2 x 7 + RA x 6 - 6 x 5,50 - 2 x 4 – 12 x 2 = 0 6RA = 14 + 33 + 8 + 24 6RA = 79 RA = 79 6 RA = 13,17t Resistência dos Materiais 20 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional Exemplo 10 Fig. 8.2.10 a) ∑ FV = 0 RA + RB = 24t RB = 11,40t b) ∑ MB = 0 RA x 5 – 2 x 6 – 6 x 4,5 – 2 x 4 – 6 x 2 + 2 x 1 – 2 x 3 = 0 5RA - 12 – 24 – 8 – 12 + 2 - 6 RA = 12,60t Exemplo 11 Fig. 8.2.11 Resistência dos Materiais 21 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional a) ∑ FV = 0 RA + RB = 8t RB = 5,33t b) ∑ MB = 0 RA x 3 + 4 x 3 – 4 x 1 – 4 x 2 – 4 x 1 = 0 3RA = 8 RA = 2,67t Exemplo 12 Fig. 8.2.12 a) ∑ FV = 0 b) ∑ FHA = 0 RA + RB – 4 – 2 – 2 = 0 HA + 2 = 4 RA + RB = 8t HB = 2t RB = 7,50t c) ∑ MB = 0 RA x 3 + 2 x 3 + 2 x 0,5 – 4 x 1,5 - 2 x 1 – 2 x 1 = 0 3RA + 6 + 1 – 13,50 - 2 - 2 = 0 RA = 3,50t Resistência dos Materiais 22 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional 9 DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR Definição: É igual ao somatório de todos os momentos fletores, de um mesmo lado da seção. Convenções: Fig. 9.1 RA + RB = 2P // RA = 2P = P Fig. 9.2 2 MFs = P x l y = a . x ( Carga concentrada ) RA = P e RB = P Fig. 9.3 Resistência dos Materiais 23 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional MFs = q . l x l - q . l x l = 2 2 2 4 MFs = q. l 2 - q. l 2 = 4 8 MFs = 2q.l 2 – q.l 2 8 MFs = q . l 2 e y = a . x2 8 Exemplos Traçar os diagramas de momento fletor das estruturas. Fig. 9.4 Fig. 9.5 MF1 = 4 x 1 = 4tm // MF2 = 4 x 3 – 2 x 2 = 8tm // MF3 = 4 tm Fig. 9.7 Fig. 9.6 Nas extremidades da peça o momento é zero! Resistência dos Materiais 24 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional MFA = MFB = 0 MF1 = 6 x 2 – 4 x 1 = 8tm MF2 = 6 x 3 – 4 x 2 = 10tm MF3 = 6 x 2 – 4 x 1 = 8tm Fig. 9.8 Fig. 9.9 a) ∑ FV = 0 RA + RB = 17t RB = 7,50t ∑ MB = 0 RA x 6 - 4 x 5 - 2 x 4 - 12 x 2 – 2 x 1 = 0 6RA - 20 - 8 - 24 - 2 = 0 RA = 9t RB = 11t MFA = MFB = 0 MF1 = 4 x 2 – 4 x 1 MF1 = 14tm MF2 = 11 x 1 – 3 x 0,5 MF2 = 9,5tm Fig. 9.10 Fig. 9.11 Resistência dos Materiais 25 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional a) ∑ FV = 0 RA + RB = 2 + 6 + 4 + 6 + 2 + 2 RB = 11,50t b) ∑ MB = 0 -2 x 5 + RA x 4 - 6 x 3,5 - 4 x 2 - 6 x 1 + 2 x 0,5 + 2 x 1 = 0 - 10 + 4RA - 21 - 8 - 6 + 2 + 1 = 0 4RA = 42 RA = 10,50t c) MF1 = MF3 = 0 MFA = - 2 x 1 – 2 x 0,5 = - 3tm MF2 = - 6 – 9 + 21 MF2 = 6tm MFB = - 2 x 5 – 6 x 3,5 + 10,50 x 4 – 4 x 2 MFB = -10 – 21 + 42 – 8 MFB = 3tm E = 0 d) MC1 D = -2t E = - 2 – 2 = -4t MCA D = - 4 + 10,50 = 6,50t E = 6,5t – 4 = 2,50t MC2 D = 2,50 - 4 = - 1,50t E = -1,50 - 6 = - 7,50t MCB D = -7,50 + 11,50 = 4t E = 4 - 2 = 2t MC2 D = 2 - 2 = 0 Resistência dos Materiais 26 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional Traçar os D.M.F das estruturas Fig. 9.12 a) ∑ FH = 0 HA + 2 - 4 – 2 = 0 HA = 4t b) ∑ FV = 0 RA + RB = 3,48 + 6 + 4 - 4 RA + RB = 17,48t c) ∑ MB = 0 RA x 5 + 4 x 2 - 4 x 1 – 3,48 x 5 - 6 x 3,5 – 4 x 2 - 2 x 1 = 0 5RA + 8 – 4 – 17,40 – 21 – 8 - 2 = 0 5RA = 44,50 RA = 8,88t RB = 8,60t d) ∑ MB = 0 MFA = MFB = 0 MF1 = 4 x 2 – 4 x 1 MF1 = 4tm MF2 = MF3 = 4 x 4 – 4 x 3 – 2 x 2 = 16 – 12 – 4 = 0 Resistência dos Materiais 27 Escola Estadualde Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional MF4 = 8,88 x 3 + 4 x 4 – 4 x 3 – 2 x 2 – 3,48 x 3 MF4 = 7,20tm MF5 = MF6 = - 2 x 1 = -2tm Fig. 9.13 Fig. 9.14 Resistência dos Materiais 28 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional 10 DIAGRAMA DE ESFORÇO CONSTANTE (D. E. C.) Força constante de uma secção Definição: É igual ao somatório de todas as forças perpendiculares à estrutura de um mesmo lado da secção. _ Convenções: Fig. 9.15 _ Diagrama: + - Fig. 9.16 a) ∑ FV = 0 RA + RB = 8t E = 0 FA D = 4t E = 4t FC1 D = 4 – 2 = 2t E = 4 – 2 = 2t FC2 D = 4 – 2 - 4 = -2t Resistência dos Materiais 29 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional E = -2t FC3 D = – 2 - 2 = -4t E = -4t FCB D = – 4 + 4 = 0 MFA = MFB = 0 MF1 = MF3 = 4 x 1 = 4tm MF2 = 4 x 3 – 2 x 2 = 8tm Fig. 9.17 Fig. 9.18 Fig. 9.19 Resistência dos Materiais 30 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional Fig. 9.20 MFA = MFB = 0 MF1 = MF3 = 12tm MF2 = 14 tm E = 0 FCA D = 8t E = 8 – 4 = 4t FC1 D = 4 – 2 = 2t E = 2t FC2 D = 4 - 2 = 2t E = -2t FC3 D = – 2 - 2 = -4t E = - 4 – 4 = -8t FCB D = – 8 + 8 = 0 Resistência dos Materiais 31 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional 11 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1 1) Fig. 10.1 a) ∑ FV = 0 b) ∑ MB = 0 RA + RB = 2 + 4 + 2 RA x 6 – 2 x 5 – 4 x 3 – 2 x 1 = 0 RA + RB = 8t 6 RA = 10 + 12 + 2 RB = 4t RA = 24 = 4t 6 2) Fig. 10.2 a) ∑ FV = 0 b) ∑ MB = 0 RA + RB = 2 + 4 + 2 RA x 5 – 2 x 4 – 4 x 3 – 2 x 1 = 0 RA + RB = 8t 5 RA = 8 + 12 + 2 RB = 3,60t 5RA = 22 RA = 22 = 4,40t 5 Resistência dos Materiais 32 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional 3) Fig. 10.3 a) ∑ FV = 0 b) ∑ MB = 0 RA + RB = 2 + 2 + 2 RA x 6 – 2 x 5 – 2 x 3 + 2 x 1 = 0 RA + RB = 6t 6RA – 10 – 6 - 2 = 0 RB = 3,66t 6RA = 14 RA = 14 = 2,33t 6 4) Fig. 10.4 a) ∑ FV = 0 b) ∑ FH = 0 RA + RB = 4 + 4 + 2 HA = 4t RA + RB = 10t c) ∑ MB = 0 RA x 5 + HA x 5 – 2 x 3 – 4 x 5 – 4 x 3 = 0 5RA + 20 – 6 – 20 - 12 = 0 5RA = 18 RA = 18 = 3,60t // RB = 6,40t 5 Resistência dos Materiais 33 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional 5) Fig. 10.5 a) ∑ FV = 0 b) ∑ FH = 0 RA + RB = 4 + 6 + 2 HA + 2 – 4 – 2 + 3,48 = 0 RA + RB = 12t HA – 0,52 = 0 HA = 0,52 c) ∑ MB = 0 RA x 5 + 2 x 2 – 4 x 5 – 6 x 2 – 3,48 x 2 + 0,52 x 3 + 2 x 2 = 0 5RA + 4 – 20 – 12 – 6,96 + 1,56 + 4 = 0 5RA = 29 RA = 29 = 5,88t // RB = 6,12t 5 6) Fig. 10.6 a) ∑ FV = 0 b) ∑ FH = 0 RA + RB = 2 + 4 + 6 HA + 2 – 4 = 0 RA + RB = 12t HA = 8t RB = 5,20t Resistência dos Materiais 34 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional c) ∑ MB = 0 RA x 5 + 2 x 2 – 2 x 5 – 4 x 3 – 4 x 4 = 0 5RA + 4 – 10 – 12 – 16 = 0 5RA = 36 RA = 36 = 6,80t 5 7) Fig. 10.6 a) ∑ FV = 0 b) ∑ FH = 0 RA + RB = 4 + 2 + 2 HA + 2 – 4 = 0 RA + RB = 8t HA = 2t c) ∑ MB = 0 RA x 4 + 4 x 6 – 4 x 4 – 2 x 2 – 2 x 3 = 0 4RA + 24 – 16 – 4 – 6 = 0 4RA = 2 RA = 2 = 0,50t // RB = 7,50t 4 Resistência dos Materiais 35 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional 12 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 2 * Traçam os D.M.F e D.E.C 1) Fig. 11.1 a) ∑ FV = 0 RA + RB = 6 + 4 + 2 + 6 + 2 RA + RB = 20t RB = 11,67t b) ∑ MB = 0 RA x 6 – 6 x 5,5 – 4 x 3 – 2 x 2 - 6 x 0,5 + 2 x 1 = 0 6RA - 33 – 12 – 4 – 3 + 2 = 0 6RA = 50 RA = 50 = 8,33t 6 MF1 = MF5 = 0 MFA = - 2 x 0,5 = - 1tm MF2 = - 6 x 1,5 + 8,33 x 2 = 7,66tm MF3 = 8,33 x 3 – 6 x 2,5 = 9,99tm MF4 = - 2 x 3 + 1,67 x 2 – 6 x 1,5 = 8,34tm MFB = - 2 x 1 – 2 x 0,5 = - 3tm E = 0 FC1 D = 0 E = 0 – 2 = -2t FCA D = – 2 + 8,33 = 6,33t E = 6,33 – 4 = 2,33t FC2 D = 2,33t Resistência dos Materiais 36 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional E = 2,33t FC3 D = 2,33 - 4 = -1,67t E = - 1,67t FC4 D = – 1,67 - 2 = -3,67t E = 4 – 2 = 2t FC5 D = 2 - 2 = 0t Diagrama do momento fletor: Resistência dos Materiais 37 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional Fig. 11.2 a) ∑ FV = 0 RA + RB = 2 + 6 + 2 + 2 + 6 + 2 RA + RB = 20t RB = 10,33t b) ∑ MB = 0 - 2 x 7 + RA x 6 – 6 x 5,5 – 2 x 4 – 2 x 1 - 6 x 0,5 + 2 x 1 = 0 - 14 + 6RA - 33 – 8 – 2 – 3 + 2 = 0 RA = 4,67t MF1 = MF5 = 0 MFB = MFA = - 2 x 0,5 – 2 x 1= - 3tm MF2 = - 6 x 1,5 + RA x 2 – 2 x 3 = - 9 + 9,67 x 2 – 6 – 4,34 tm MF3 = 9,67 x 4 – 6 x 3,5 – 2 x 2 – 2 x 5 = 38,68 – 21 – 4 – 2 x 5= 3,68 tm MF4 = - 2 x 6 + 9,67 x 5 – 6 x 4,5 – 2 x 3 – 2 x 0,5 = - 12 + 48,35 – 27 – 6 – 1 = 2,37 tm E = 0 FC1 D = 0 – 2t E = - 2 – 2 = -4t FCA D = – 4 + 9,67 = 5,67t E = 5,67 – 4 = 1,67t FC2 D = 1,67 – 2 = - 0,33t E = - 0,33t FC3 D = - 0,33t E = 0,33 – 2 = - 2,33t FC4 D = – 2,33 - 2 = -4,33t Resistência dos Materiais 38 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional E = - 4,33 – 2 = -6,33t FCB D = - 6,33 + 10,33 = 4t E = 4 – 2 = 2t FC5 D = 2 – 2 = 0 Diagrama do momento fletor: Resistência dos Materiais 39 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional Fig. 11.3 a) ∑ FV = 0 RA + RB + 2 = 2 + 6 + 9 + 2 + 6 + 2 RA + RB = 25t RB = 13,07t b) ∑ MB = 0 - 2 x 8 + RA x 7 – 6 x 6,5 + 2 x 5 – 9 x 3,5 - 2 x 3 – 6 x 0,5 + 2 x 1 = 0 - 16 + 7RA – 39 + 10 – 31,5 – 6 – 3 + 2 = 0 RA = 11,93t c) MF1 = MF5 = 0 MFB = MFA = - 2 x 0,5 – 2 x 1= - 3tm MF2 = - 2 x 3 + – 6 x 1,5 + 11,93 x 2 = – 6 – 9 + 23,86 = 8,86 tm MF3 = - 2 x 5 – 6 x 3,5 + RA x 4 + 2 x 2 – 6 x 1= 14,72 tm MF4 = - 2 x 6 + 11,93 x 5 – 6 x 4,5 + 2 x 3 – 9 x 1,5 – 2 x 1 = - 12 + 59,65 – 27 + 6 – 13,50 - 2 = 11,15 tm MF4 = - 6 + 26,14 – 4 = 11,14 tm E = 0 FC1 D = 0 – 2 = -2t E = - 2 – 2 = -4t FCA D = – 4 + 11,93 = 7,93t E = 7,93 – 4 = 3,93t FC2 D = 3,93 + 2 = 5,93t E = 5,93 – 6 = - 0,07t FC3 D = - 0,07 – 2 = -2,07t E = - 2,07 – 3 = - 5,07t FC4 D = – 5,07t Resistência dos Materiais 40 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional E = - 5,07 – 4 = - 9,07t FCB D = - 9,07 + 13,07 = 4t E = 4 – 2 = 2t FC5 D = 2 – 2 = 0 Diagrama do Momento Fletor: Resistência dos Materiais 41 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional * Traçar os D.M.F e D.E.C das estruturas: Sen30° = 0,50 Cos30° = 0,87 2.sen30 = 2 x 0,5 = 1t Fig. 11.4 a) ∑ FV = 0 RA + RB – 6 – 4 – 9 – 2 – 6 – 2 + 1 = 0 RA + RB = 28t b) ∑ MB = 0 RA x 7 – 6 x 6,5 - 4 x 5 – 9 x 3,5 - 2 x 3 + 1 x 2 – 6 x 0,5 + 2 x 1 = 0 7RA – 39 - 20 – 31,5 – 6 + 2 – 3 + 2 = 0 RA = 95,5 // RA = 13,64 t 7 RB = 14,36t c) MF1 = MF5 = 0 MFA = 2tm MF2 = 13,64 x 2 – 6 x 1,5 = 27,28 – 9 = 18,28 tm MF3 = 13,64 x 4 – 6 x 3,5 – 4 x 2 = 19,56 tm MF4 = - 2 x 3 + 14,36 x 2 – 6 x 1,5 = - 6 + 28,72 – 9 = 13,72tm MFB = - 2 x 1 – 2 x 0,5 = -3,02tm D.M.F Fig.11.5 Resistênciados Materiais 42 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional E = 0 FC1 D = 0 E = - 2t FCA D = – 2 + 13,64 = 11,64t E = 11,64 – 4 = 7,64t FC2 D = 7,64 - 4 = 3,64t E = 3,64 – 6 = - 2,36t FC3 D = - 2,36 – 2 = - 4,36t E = - 4,36 – 3 = - 7,36t FC4 D = – 7,36 + 1 = - 6,36t E = - 6,36 – 4 = - 10,36t FCB D = - 10,36 + 14,36 = 4t E = 4 – 2 = 2t FC5 D = 2 – 2 = 0 D.E.C Fig. 11.6 Resistência dos Materiais 43 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional a) ∑ FV = 0 RA + RB – 3,48 – 6 – 4 – 4 = 0 RA + RB = 17,48t b) ∑ FH = 0 HA + 2 – 2 – 4 = 0 HA = 4t c) ∑ MB = 0 RA x 5 + 4 x 1 – 3,48 x 5 – 6 x 3,5 - 4 x 2 - 2 x 1 = 0 5RA + 4 – 17,4 – 21 – 8 – 2 = 0 RA = 44,4 // RA = 8,88t 5 RB = 8,60t d) MFA = MB5 = 0 MF1 = 4 x 2 – 4 x 1 = 8 - 4 = 4tm MF2 = 4 x 4 – 4 x 3 – 2 x 2 = 16 – 12 – 4 = 0t MF2 = MF3 = 0 MF4 = 8,88 x 3 + 4 x 4 – 4 x 3 – 2 x 2 – 3,48 x 3 – 6 x 1,5 = 26,64 + 16 – 12 – 4 – 10,44 – 9 = 7,24 tm MF5 = - 2 x 1 = – 2 tm = MF6 Resistência dos Materiais 44 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional 13 RESISTÊNCIA Fig. 12.1 a) RA + RB = 50 + 1000 + 100 RA + RB = 1150 kg b) ∑ MB = 0 - 50 x 5 + RA x 4 – 1000 x 2,5 - 100 x 1 = 0 -250 + 4RA – 2500 – 100 = 0 4RA = 2500 + 100 + 250 RA = 2850 // RA = 712,50 kg 4 RB = 437,50 kg c) MF1 = MFB = 0 MFA = - 50 x 1 – 200 x 0,5 = - 150 kg.m MF2 = 437,50 x 1 – 200 x 0,5 = 337,50 kg.m E = 0 FC1 D = - 50t E = - 50 – 200 = -250 kg FCA D = – 250 + 712,5 = 462,5 kg E = 462,5 - 600 = - 137,5 kg FC2 D = - 137,50 - 100 = - 237,5 kg E = - 237,5 – 200 = - 437,5 kg FCB D = - 437,5 + 437,5 = 0 Resistência dos Materiais 45 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional Fig. 12.2 Fig.12.3 FC5 = 0 - 50 + 712,5 – 200x = 0 x = 662,5 x = 3,31 m 200 MMÁX = MF5 = -50 x 3,31 + 712,5 x 2,31 – 665,5 = 387,25 kg.m Resistência dos Materiais 46 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional * Centro de Gravidade de uma Figura Plana Fig. 12.4 * Centro de Gravidade de uma figura plana qualquer Então: x = ∑ si . xi y = ∑ si . yi sT sT Fig. 12.5 Exercícios: Calcular os C.G da figuras dadas: Resistência dos Materiais 47 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional Fig. 12.6 Fig. 12.7 Resistência dos Materiais 48 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional Fig. 12.8 Fig. 12.9 Resistência dos Materiais 49 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional 14 MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA FIGURA PLANA QUALQUER EM RELAÇÃO A UM EIXO QUALQUER Definição: é igual ao somatório do momento de inércia em relação ao C.G paralelo ao eixo dado de cada elemento de área pelo quadrado da distância que separam os dois eixos. Fig. 13.1 Então: Jx = ∑ (Jx + Si . y2) Jy = ∑ (Jy + Si . x2) Ex: Calcular os M.I em relação aos eixos: x, y, x1, y1 xcg, ycg da figura: Fig. 13.2 Resistência dos Materiais 50 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional Jx = b1h13 + s1.y12 + b2h23 + s2.y22 12 Jx = 40.103 + 2800 . 352 + 30.30 3 + 900.152 12 12 Jx = ( 1143333,33 + 3430000) + (67500 + 202500) Jx = 4573333,33 + 270000 Jx = 4843333,33 cm4 Jy = h. b3 + s1.x12 + hb3 + sx.x22 12 12 Jy = 70.403 + 2800 . 202 + 30.30 3 + 900.552 12 12 Jy = 70.6400 + 2800 . 400 + 30.2700 + 900.3025 12 12 Jy = ( 373333,33 + 1120000) + (67500 + 2722500) Jy = 1493333,33 + 2790000 Jy = 4283333,33 cm4 Fig. 13.3 Resistência dos Materiais 51 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional 15 EXERCÍCIOS GERAIS 1) Calcular a altura da secção para suportar as tensões máximas e iguais de tração e compressão com valor de 4,83 kg/cm2. Fig. 14 2) Calcular o momento fletor máximo da estação abaixo. Fig. 15 3) Traçar os D.M.F e D.E.C da estação abaixo. Fig. 16 Resistência dos Materiais 52 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional 4) Calcular os M.I em relação aos eixos: xCG e yCG da figura abaixo: Fig. 17 Resistência dos Materiais 53 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional ANOTAÇÕES GERAIS _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ Resistência dos Materiais 54 Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional BIBLIOGRAFIA Resistência dos Materiais – Jayme Ferreira da Silva Jr. Resistência dos Materiais – Timoshenko – volume 1 e 2 Resistência dos Materiais – Alerson Moreira da Rocha Notas de aula Resistência dos Materiais 55 Hino do Estado do Ceará Poesia de Thomaz Lopes Música de Alberto Nepomuceno Terra do sol, do amor, terra da luz! Soa o clarim que tua glória conta! Terra, o teu nome a fama aos céus remonta Em clarão que seduz! Nome que brilha esplêndido luzeiro Nos fulvos braços de ouro do cruzeiro! Mudem-se em flor as pedras dos caminhos! Chuvas de prata rolem das estrelas... E despertando, deslumbrada, ao vê-las Ressoa a voz dos ninhos... Há de florar nas rosas e nos cravos Rubros o sangue ardente dos escravos. Seja teu verbo a voz do coração, Verbo de paz e amor do Sul ao Norte! Ruja teu peito em luta contra a morte, Acordando a amplidão. Peito que deu alívio a quem sofria E foi o sol iluminando o dia! Tua jangada afoita enfune o pano! Vento feliz conduza a vela ousada! Que importa que no seu barco seja um nada Na vastidão do oceano, Se à proa vão heróis e marinheiros E vão no peito corações guerreiros? Se, nós te amamos, em aventuras e mágoas! Porque esse chão que embebe a água dos rios Há de florar em meses, nos estios E bosques, pelas águas! Selvas e rios, serras e florestas Brotem no solo em rumorosas festas! Abra-se ao vento o teu pendão natal Sobre as revoltas águas dos teus mares! E desfraldado diga aos céus e aos mares A vitória imortal! Que foi de sangue, em guerras leais e francas, E foi na paz da cor das hóstias brancas! Hino Nacional Ouviram do Ipiranga as margens plácidas De um povo heróico o brado retumbante, E o sol da liberdade, em raios fúlgidos, Brilhou no céu da pátria nesse instante. Se o penhor dessa igualdade Conseguimos conquistar com braço forte, Em teu seio, ó liberdade, Desafia o nosso peito a própria morte! Ó Pátria amada, Idolatrada, Salve! Salve! Brasil, um sonho intenso, um raio vívido De amor e de esperança à terra desce, Se em teu formoso céu, risonho e límpido, A imagem do Cruzeiro resplandece. Gigante pela própria natureza, És belo, és forte, impávido colosso, E o teu futuro espelha essa grandeza. Terra adorada, Entre outras mil, És tu, Brasil, Ó Pátria amada! Dos filhos deste solo és mãe gentil, Pátria amada,Brasil! Deitado eternamente em berço esplêndido, Ao som do mar e à luz do céu profundo, Fulguras, ó Brasil, florão da América, Iluminado ao sol do Novo Mundo! Do que a terra, mais garrida, Teus risonhos, lindos campos têm mais flores; "Nossos bosques têm mais vida", "Nossa vida" no teu seio "mais amores." Ó Pátria amada, Idolatrada, Salve! Salve! Brasil, de amor eterno seja símbolo O lábaro que ostentas estrelado, E diga o verde-louro dessa flâmula - "Paz no futuro e glória no passado." Mas, se ergues da justiça a clava forte, Verás que um filho teu não foge à luta, Nem teme, quem te adora, a própria morte. Terra adorada, Entre outras mil, És tu, Brasil, Ó Pátria amada! Dos filhos deste solo és mãe gentil, Pátria amada, Brasil!
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