Resoluções de Exercícios - Teoria Elementar dos Números - Edgard Alencar - Capítulo 1

a < 2 e -2 < b. Somando membro a membro, a – 2 < b + 2  a - b < 
4. 
De (1) e (2), conclui-se que -4 < a – b < 4. 
 
CAPÍTULO 2 – Questão 1 
Os exercícios abaixo são demonstrados usando a seqüência: 
(1) Verificar se a propriedade é válida para um certo valor de “n” 
(2) Supor a propriedade válida para “n”. (hipótese de recorrência) 
(3) Provar que a propriedade é válida para “n + 1” 
1 – Demonstrar por “indução matemática”: 
(a) 12 + 22 + 32 + ... + n2 = (n/6)(n + 1)(2n + 1) ,  n  N. 
 
SOLUÇÃO 
(1) Para n = 1 (1/6)(1 + 1)(2 + 1) = (1/6)(2)(3) = (1/6)(6) = 1 = 12. 
(2) Hipótese: 12 + 22 + 32 + ... + n2 = (n/6)(n + 1)(2n + 1). 
(3) Provar 12 + 22 + 32 + ... + n2 + (n + 1)2 = [(n+1)/6](n + 2)(2n + 3) 
Demonstração: 
12 + 22 + 32 + ... + n2 + (n + 1)2 = (n/6)(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)2 = 
= (n/6)(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)2 (observe que a soma até n2 é (n/6)(n + 1)(2n 
+ 1)  
12 + 22 + 32 + ... + n2 + (n + 1)2 = (n +1)[(n/6)(2n + 1) + (n + 1)] = 
= (n + 1)(1/6)(2n2 + n + 6n + 6) = (n + 1)(1/6)(2n2 + 7n + 6) * = 
= (n + 1)(1/6).2(n + 3/2) .(n + 2) = [(n + 1)/6](n + 2)(2n + 3) c.q.d. 
* Nota:- O polinômio ax2 + bx + c, com raízes x1 e x2 pode ser decomposto em a(x 
– x1)(x – x2). 
Como as raízes de 2n2 + 7n + 6 são –2 e –3/2, temos 2n2 + 7n + 6 = 2.(n + 
3/2)(n + 2). 
 
(b) 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (n2/4)(n + 1)2,  n  N. 
 
SOLUÇÃO: 
(1) Para n = 1, temos: 13 = 1 e (12/4)(1 + 1)2 = (1/4)(4) = 1. 
Portanto, a propriedade é válida para n = 1. 
(2) Hipótese 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (n2/4)(n + 1)2 
(3) Provar 13 + 23 + 33 + ... + n3 + (n + 1)3 = [(n+1)2/4](n + 2)2. 
Demonstração: 
13 + 23 + 33 + ... + n3 + (n + 1)3 = (n2/4)(n + 1)2 + (n + 1)3 = 
= [(n + 1)2].[(n2/4) + (n + 1)] = [(n + 1)2].(1/4)(n2 + 4n + 4) = 
= [(n + 1)2/4](n + 2)2 c.q.d. 
 
(c) 12 + 32 + 52 + ..... + (2n – 1)2 = (n/3)(4n2 – 1) ,  n  N. 
 
SOLUÇÃO 
(1) Para n = 1, temos: 12 = 1 e (1/3)(4.12 – 1) = 1. 
O que mostra ser a propriedade verdadeira para n = 1 . 
(2) Hipótese: 
12 + 32 + 52 +...+ (2n – 1)2 = (n/3)(4n2 – 1) = (1/3) (4n3 + 12n2 + 11n + 3) 
(3) Demonstrar que 
12 + 32 + 52 + (2n – 1)2 + (2n + 1)2 = [(n + 1)/3)[4(n + 1)2 – 1] = 
= (1/3)(n + 1)[4n2 + 8n + 3] = (1/3)(4n3 + 12n2 + 11n + 3). 
 
Demonstração: 
12 + 32 + 52 +..... + (2n – 1)2 + (2n + 1)2 = (n/3)(4n2 – 1) + (2n + 1)2 = 
= (n/3)(2n + 1)(2n – 1) + (2n + 1)2 = (2n + 1)[(n/3)(2n – 1) + (2n + 1)] = 
= [(2n + 1)/3](2n2 – n + 6n + 3) = [(2n + 1)/3][2n2 + 5n + 3] = 
= (1/3)(4n3 + 12n2 + 11n + 3) . c.q.d. 
 
(d) 13 + 33 + 53 + ... + (2n – 1)3 = n2.(2n2 – 1) ,  n  N. 
 
SOLUÇÃO 
(1) Para n = 1, temos 13 = 1 e 13.(2.13 – 1) = 1.(2 – 1) = 1. 
O que mostra ser a propriedade verdadeira para n = 1. 
(2) Hipótese: 13 + 33+ 53 + ... + (2n – 1)3 = n2.(2n2 – 1) . 
(3) Provar que 13 + 33 + 53 + ... + (2n – 1)3 + (2n + 1)3 = 
=(n + 1)2.[2.(n + 1)2 – 1] = (n + 1)2.(2n2 + 4n + 2 – 1) = 
= (n + 1)2.(2n2 + 4n + 1) = 2n4 + 8n3 + 11n2 + 6n + 1 
 
Demonstração: 
13 + 33 + 53 + ... + (2n – 1)3 + (2n + 1)3 = n2.(2n2 – 1) + (2n +1)3 = 
= 2n4 – n2 + 8n3 + 12n2 + 6n + 1 = 2n4 + 8n3 + 11n2 + 6n + 1. c. q. d. 
 
(e) 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) = (n/3)(n + 1)(n + 2),  n  N. 
 
SOLUÇÃO 
(1) Para n = 1: 1.2 = 2 e (1/3)(1 + 1)(1 + 2) = (1/3)(2)(3) = 2. 
O que mostra ser a propriedade verdadeira para n = 1. 
(2) Hipótese: 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) = (n/3)(n + 1)(n + 2) 
(3) Provar que: 
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) + (n + 1)(n + 2) = [(n + 1)/3](n + 2)(n + 3). 
 
Demonstração: 
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) + (n + 1)(n + 2) = 
= (n/3)(n + 1)(n + 2) + (n + 1)(n + 2) = (n + 1)(n + 2)[(n/3) + 1] = 
= (n + 1)(n + 2)[(n + 3)/3] = [(n + 1)/3](n + 2)(n + 3). c. q. d. 
 
(f) 1 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/n2 < 2 – 1/n ,  n  N. 
 
SOLUÇÃO 
(1) Para n = 1: 2 – 1/1 = 1 < 1. Verdadeira para n = 1. 
(2) Hipótese: 1 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/n2 < 2 – 1/n ,  n  N. 
(3) Provar: 1 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/n2 + 1/(n + 1)2 < 2 – 1/(n + 1). 
 
Demonstração: 
1 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/n2 < 2 – 1/n 
 1/(n + 1)2 aos dois membros da desigualdade, resulta: 
1 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/n2 + 1/(n + 1)2 < 2 – 1/n + 1/(n + 1)2 (1) 
Temos que: 
[(1/n) –1/(n + 1)2] = [(n + 1)2 - n]/[n.(n + 1)] = [(n2 + n + 1)]/[n(n + 1)2]. (2) 
Porém: 
[(n2 + n + 1)]/[n(n + 1)2] > (n2 + n)/n(n + 1)2 = [n.(n+1)]/[n.(n+1)2] = 1/(n + 1) 
(3) 
De (2) e (3) 2 – [(1/n) –1/(n + 1)2] < 2 - 1/(n +1) (4). 
Portanto, de (1) e (4), por transitividade, 
1 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/n2 + 1/(n + 1)2 < 2 - 1/(n +1). cqd. 
 
(g) a + aq + aq2 + ... + aqn = a(qn + 1 – 1)/(q – 1) (q  1) ,  n  N. 
 
SOLUÇÃO 
(1) Para n = 2: S = a + aq + aq2 .(1) 
Temos ainda que: S = a(q2+1 – 1)(q – 1) = a(q3 – 1)/(q – 1) = 
= a(q2 + q + 1)(q – 1)/(q – 1) = aq2 + aq + a = a + aq + aq2. (2) 
De (1) e (2)conclui-se que: a igualdade é válida para n = 2. 
(2) Hipótese a + aq + aq2 + ... + aqn = a(qn + 1 – 1)/(q – 1) 
(3) Provar que a + aq + aq2 + ... + aqn + aqn + 1 = a(qn + 2 – 1)/(q – 1) 
 
Demonstração: 
a + aq + aq2 + ... + aqn + aqn + 1 = a(qn + 1 – 1)/(q – 1) + aqn + 1 = [aqn+1 – a + 
aqn+1(q – 1)]/(q – 1) = 
= (aqn + 1 – a + aqn + 2 – aqn+1)/(q – 1) = (aqn+2 – 1)/(q – 1). c.q.d. 
 
CAPÍTULO 2 – Questão 2 
2 – Demonstrar por “indução matemática”. 
 
(a) 2n < 2n + 1,  n  N. 
 
SOLUÇÃO 
(1) Para n = 1: 21 = 2 < 21 + 1 = 22 = 4. Como 21 < 22 a proposição é verdadeira 
para n =1. 
(2) Hipótese: 2n < 2n + 1. 
(4) Provar 2n + 1 < 2n + 2. 
 
Demonstração: 
Por hipótese 2n < 2n + 1  2.2n < 2.2n + 1  2n + 1 < 2n + 2. c.q.d. 
 
(b) 2n > n2,  n > 5 . 
 
SOLUÇÃO 
(1) É verdade para n = 5, pois 25 = 32 e 52 = 25. 
(2) Hipótese: 2n > n2. 
(3) Provar 2n + 1 > (n + 1)2 
 
Demonstração: - Provemos inicialmente que 2n > 2n + 1, para n > 5. 
Esta proposição é verdadeira para n = 5, pois 25 > 10 + 1 = 11. 
Supondo verdadeira para n, 2n > 2n + 1, devemos ter 2n + 1 > 2.(n + 1) + 1 = 2n 
+ 3. 
Ora, 2n > 2n + 1 (hipótese) e 2n > 2 para n > 1. 
Somando membro a membro, 2n + 2n > 2n + 1 + 2  2.2n > 2n + 3  
 2n+1 > 2n + 3. Portanto 2n > 2n + 1, para n > 5. 
Retornando à demonstração do enunciado: 
Pela hipótese 2n > n2 e conforme demonstrado, 2n > 2n + 1. 
Somando membro a membro essas igualdades, concluímos: 
2n + 2n > n2 + 2n + 1  2n + 1 > (n + 1)2. cqd. 
 
(c) 2n > n3,  n > 10 . 
 
SOLUÇÃO 
(1) É verdade para n = 10 pois 210 = 1024 e 103 = 1000. 
(2) Hipótese: 2n > n3 
(3) Provar que 2n + 1 > (n + 1)3. 
 
 
Demonstração: 
2n + 1 > (n + 1)3  2n2 = 2n + 2n > (n3 + 3n2 + 3n + 1)  2n + 2n > (n3) + (3n2 + 
3n + 1). 
Pela hipótese 2n > n3. 
Provemos então que 2n > 3n2 + 3n + 1. (i) 
Esta propriedade é válida para n = 10, pois 210 = 1024 e 3n2 + 3n + 1 = 331. 
Supondo válida para n, provemos para n + 1, isto é 
2n + 1 > 3.(n + 1)2 + 3.(n + 1) + 1= 3n2 + 9n + 7  
 2n + 2n > (3n2) + (9n + 7) (ii). 
Esta desigualdade é válida pois 2n > n3 (por hipótese) e n3 > 2n2 para n > 10 e 2n 
> 9n + 7 (iii). 
 
Devemos provar ainda que 2n > 9n + 7 para n > 10. 
É verdade para n = 10 pois 210 = 1024 e 9n + 7 = 97. 
Supondo 2n > 9n + 7, devemos ter ainda 2n + 1 > 9.(n + 1) + 7 = 9n + 7 + 9. 
Esta desigualdade é verdadeira pois pela hipótese 2n > 9n + 7 e 2n > 9 para n > 
10. 
 
Assim, as afirmativas em (iii), (ii) e (i) são verdadeiras. 
Portanto, a propriedade inicial é válida para todo n inteiro, maior ou igual a 10. cqd 
 
(d) 4n > n4 ,  n > 5. 
 
SOLUÇÃO 
(1) é verdade para n = 5, pois 45 = 1024 e 54 = 625 . 
(2) hipótese: 4n > n4 
(3) Provar que 4n + 1 > (n + 1)4 
 
Demonstração 
Pelo que